14.12 Oyun Teorisi. Ders 18-20: Eksik Bilgi Dinamik Oyunlar. Yol haritası. 2. Ardaşık Rasyonelite. 3. Mükemmel Bayesyen Nash Dengesi

Transkript

1 4. Oyun eorisi Muhamet Yıldız Güz 5 Ders 8-: Eksik Bilgi Dinamik Oyunlar Yol haritası. Çifte İhale. Ardaşık asyonelite 3. Mükemmel Bayesyen Nash Dengesi 4. Ekonomik Uygulamalar (a) Eksik bilgili ardaşık pazarlık (b) İtibar

2 Bir Örnek I calis, Firma Ise al calisma yuksek p Ise alma, Doga, dusuk -p Ise al I calis, calisma -, Ise alma, Bir oyuncunun özel bilgisine, o oyuncunun tip i deniyor. Mesela, yukarıdaki örnekte, işçinin iki tipi var: Yüksek ve Düşük. Firmanın özel bilgisi olmadığından, firmanın tek bir tipi vardır. Yukarıdaki örnekte olduğu gibi, eksik bilgli oyunlar, Doğa nın her bir oyuncunun tipini seçtiği ve oyuncuları özel olarak bilgilendirdiği kusurlu bilgili oyunlarla modellenmiştir. Bu tip oyunlar eksik bilgili oyunlar ya da Bayezyen oyunlar olarak adlandırılırlar. Formel olarak, eksik bilgili statik bir oyun şöyledir. Ilk olarak, Doğa bir t =(t,t,...,t n ) seçer, öyle ki, her t p(t) olasıliğıyla seçilir. Burada, t i i oyuncu i nin, i N =,,...,n, tipidir. Sonra, her oyuncu kendi tipini öğrenir, ama diğer oyuncuların tiplerini öğrenmez. Son olarak, oyuncular, sadece kendi tiplerini bilerek, eylemlerini eşzamanlı olarak seçerler. üm oyuncuların eylemlerinin herhangi bir listesini a =(a,a,...,a ) A ile ifade ediyoruz, öyle ki, a i A i oyuncu i nin eylemidir. Oyun (N,, A, p) ile gösterilir. Her zamanki gibi, bir oyuncunun stratejisi her bilgi kümesinde hangi eylemi seçeceğini belirler. Burada, bilgi kümeleri tiplere, t i i, denk gelir. Dolayısıyla, oyuncu i nin bir stratejisi s i : i A i şeklinde, oyuncunun tiplerini eylemlerine atayan bir fonksiyondur. Mesela, yukarıdaki örnekte, işçinin dört stratejisi vardır: (Çalış,Çalış) - yüksek veya düşük kabiliyetli olmasından bağımsız olarak çalışacağı anlamına gelir, (Çalış, Kaytar) - yüksek kabiliyetli ise çalışacağıve düßük kabiliyetli ise kaytaracağı anlamına gelir, (Kaytar, Çalış) ve(kaytar, Kaytar).

3 Bu dengedeki sorun nedir? I calis, Firma Ise al calisma yuksek p Ise alma, Doga, dusuk -p Ise al I calis, calisma -, Ise alma, Bir oyuncunun özel bilgisine, o oyuncunun tip i deniyor. Mesela, yukarıdaki örnekte, işçinin iki tipi var: Yüksek ve Düşük. Firmanın özel bilgisi olmadığından, firmanın tek bir tipi vardır. Yukarıdaki örnekte olduğu gibi, eksik bilgli oyunlar, Doğa nın her bir oyuncunun tipini seçtiği ve oyuncuları özel olarak bilgilendirdiği kusurlu bilgili oyunlarla modellenmiştir. Bu tip oyunlar eksik bilgili oyunlar ya da Bayezyen oyunlar olarak adlandırılırlar. Formel olarak, eksik bilgili statik bir oyun şöyledir. Ilk olarak, Doğa bir t =(t,t,...,t n ) seçer, öyle ki, her t p(t) olasıliğıyla seçilir. Burada, t i i oyuncu i nin, i N =,,...,n, tipidir. Sonra, her oyuncu kendi tipini öğrenir, ama diğer oyuncuların tiplerini öğrenmez. Son olarak, oyuncular, sadece kendi tiplerini bilerek, eylemlerini eşzamanlı olarak seçerler. üm oyuncuların eylemlerinin herhangi bir listesini a =(a,a,...,a ) A ile ifade ediyoruz, öyle ki, a i A i oyuncu i nin eylemidir. Oyun (N,, A, p) ile gösterilir. Her zamanki gibi, bir oyuncunun stratejisi her bilgi kümesinde hangi eylemi seçeceğini belirler. Burada, bilgi kümeleri tiplere, t i i, denk gelir. Dolayısıyla, oyuncu i nin bir stratejisi s i : i A i şeklinde, oyuncunun tiplerini eylemlerine atayan bir fonksiyondur. Mesela, yukarıdaki örnekte, işçinin dört stratejisi vardır: (Çalış,Çalış) - yüksek veya düşük kabiliyetli olmasından bağımsız olarak çalışacağı anlamına gelir, (Çalış, Kaytar) - yüksek kabiliyetli ise çalışacağıve düßük kabiliyetli ise kaytaracağı anlamına gelir, (Kaytar, Çalış) 3 ve(kaytar, Kaytar).

4 hat is wrong with this equilibrium? X What is wrong with this equilibrium? Bu dengedeki (,6) sorun nedir? L L B X (,6) B (,) (3,) (-,3) (,5) L L (,) (3,) (-,3) (,5) Beliefs İnanışlar X eliefs of an agent at a given (,6) formation set is a Beliefs robability distribution on e information set. B X Beliefs of an agent at a given or each information set, we (,6) information set is a ust specify the beliefs of probability distribution on e agent who moves at that the information Lset. L B formation set. For each information set, we (,) (3,) (-,3) (,5) must specify the beliefs of the agent who moves at that L L information Bir oyuncunun set. verili bir bilgi kümesindeki inanışları o bilgi kümesi üzerine bir olasılık dağılımıdır. (,) (3,) (-,3) (,5) Her bilgi kümesi için o kümede oynayacak olan oyuncu için olasılıkları belirtmeliyiz

5 Ardaşık asyonelite Bir oyuncu ardaşık rasyoneldir ancak ve ancak, oynayacayı her bilgi kümesinde, bu kümede olduğu veriliyken, bu kümede verili inanışları doğrultusunda beklenen faydasını maksimize eder Bir Örnek I calis, Firma Ise al calisma yuksek p Ise alma, Doga, dusuk -p Ise al I calis, calisma -, Ise alma, Bir oyuncunun özel bilgisine, o oyuncunun tip i deniyor. Mesela, yukarıdaki örnekte, işçinin iki tipi var: Yüksek ve Düşük. Firmanın özel bilgisi olmadığından, firmanın tek bir tipi vardır. Yukarıdaki örnekte olduğu gibi, eksik bilgli oyunlar, Doğa nın her bir oyuncunun tipini seçtiği ve oyuncuları özel olarak bilgilendirdiği kusurlu bilgili oyunlarla modellenmiştir. Bu tip oyunlar eksik bilgili oyunlar ya da Bayezyen oyunlar olarak adlandırılırlar. 5 Formel olarak, eksik bilgili statik bir oyun şöyledir. Ilk olarak, Doğa bir t =(t,t,...,t n ) seçer, öyle ki, her t p(t) olasıliğıyla seçilir. Burada, t i i oyuncu i nin, i N =,,...,n, tipidir. Sonra, her oyuncu kendi tipini öğrenir, ama diğer oyuncuların tiplerini öğrenmez. Son olarak, oyuncular, sadece kendi tiplerini bilerek, eylemlerini eşzamanlı olarak seçerler. üm oyuncuların eylemlerinin herhangi bir listesini a =(a,a,...,a )

6 Another Another Başka bir example example Örnek X X (,6) (,6) B B L L L L (,) (,) (3,) (3,) (-,3) (-,3) (,5) (,5) Example Example Örnek B B L L L L (,) (3,) (-,3) (,5) (,) (3,) (-,3) (,5) 6 5 5

7 utarlılık Definition: Given any (possibly mixed) strategy profile s, an information set is said to be on the path of play iff the information set is reached with positive probability if players stick to s. Definition: Given any strategy profile s and any information set I on the path of play of s, a player s beliefs at I is said to be consistent with s iff the beliefs are derived using the Bayes rule and s. anım: Herhangi bir strateji vektörü s (karma olabilir) icin, bir bilgi kümesi oyun yolu üzerindedir ancak ve ancak bilgi kümesine, oyuncular s e sadıkalırlarsa, pozitif olasılıkla ulaşılır. anım: Herhangi bir strateji vektörü s için ve herhangi bir oyun yolu üzerinde bir I bilgi kümesi için, bir oyuncunun I daki inanışları s ile tutarlı dır ancak ve ancak inanışlar Bayes kuralı ve s i kullanarak çıkarılmıştır. Consistency Example Örnek B L L (,) (3,) (-,3) (,5) 6 7

8 Örnek Example E B X 3 L L Consistency utarlılık Given s and an information set I, even if I is off the path of play, the beliefs must be derived using the Bayes rule and s whenever possible, s ve I bilgi kümesi veriliyken, I oyun yolu üzerinde olmasa bile, inanışlar mümkün olan heryerde Bayes kuralı ve s kullanılarak bulunmalı. e.g., if players tremble with very small probability so that I is on the path, the beliefs must be very close to the ones derived using the Bayes rule and s. yani, eğer oyuncuların elleri çok düşük bir olasılıkla titrese ve bu yüzden I oyun yolu üzerinde olsa, inanışlar Bayes kuralı ve s i kullanılarak bulunanlara çok yekın olmalı. 8 7

9 Örnek Example E B X 3 L L Sequential ationality Ardaşık asyonellik Bir A strategy strateji vektörü profile ardaşık is said to rasyoneldir be sequentially ancakrational ve ancak, her iff, at each information set, the player who is to bilgi kümesinde, oynayacak olan oyuncu move maximizes his expected utility. given his beliefs at the information set, and. bilgi kümesindeki inanışları veriliyken. given that the other players play according to. oyunun the strategy geri kalanında profile diğer in the oyuncular continuation stratejigame vektörüne göre (and given that he is at the information set). oynayacakları veriliyken (kendisinin de bu bilgi kümesinde olduğu veriliyken) beklenen faydasını maksimize eder. 9 8

10 Mükemmel Bayesyen Nash Dengesi Perfect Bayesian Nash Equilibrium Bir Mükemmel Bayesyen Nash Dengesi bir (s,b) strateji vektörü A Perfect Bayesian Nash Equilibrium is a pair (s,b) of strategy profile and a set of beliefs such that ve inanışlar ikilisidir, öyle ki,. strateji vektörü, s, inanışlar, b, veriliyken ardaşık rasyoneldir. Strategy profile s is sequentially rational ve given beliefs b, and. Beliefs b are consistent with s.. inanışlar, b, s ile tutarlıdır. Nash Nash Alt-oyun mükemmel Bayesian Nash Bayesyen Nash Mükemmel Bayesyen Subgame-perfect Perfect Bayesian Örnek Example E B X 3 L L

11 3 3 Bira-Börek Beer Quiche Beer Quiche beer beer beer beer {.9} {.9} quiche quiche {.} {.} t w t w t s t s quiche quiche 3 3 Beer: Bira, Quiche: Börek, Don t: yapma, Duel: lo anlamındadır. Beer Quiche, An equilibrium Beer Quiche, An equilibrium 3 3 Bira-Börek, Bir Denge beer quiche beer quiche. {.}. {.}.9 beer.9 beer {.9} {.9} t w t w t s t s quiche quiche 3 3 Beer: Bira, Quiche: Börek, Don t: yapma, Duel: lo anlamındadır.

12 .9.9 Örnek Example Example (,-5) (,-5).. (4,4) (5,) (3,3) (4,4) (5,) (3,3) (,-5) (,-5) (-,4) (,) (-,3) (-,4) (,) (-,3).9.9 Example Example solved solved Örnek - Çözüm (,-5) (,-5).. (4,4) (5,) (3,3) (4,4) (5,) (3,3) (,-5) (,-5) (-,4) (,) (-,3) (-,4) (,) (-,3)

13 Ardaşık Pazarlık. periyotluk pazarlık - tip. periyotluk pazarlık - tip 3. periyotluk pazarlık - sürekli 4. periyotluk pazarlık - sürekli 3

14 Ardaşık Pazarlık -periyot Sequential bargaining -p seller S with valuation buyer B with valuation v; B knows v, S does not v = with probability = with probability - sets a price p ; either S p H Y N Y buys, yielding (p,v-p) p p or does not, yielding (,). -p -p L p N Bir satıcıs, değeri Bir aliçı B, değeri v; B v yi biliyor, S bilmiyor v=, π olasılıkla v=, π olasılıkla S fiyat bildirir p ; B ya satın alır, (p,v-p) kazanır ya da satın almaz, ve (,) kazanır 4

15 B buys iff v p; Solution. If p, both types buy: S gets p.. If < p, only H-type buys: S gets p.. If p >, no one buys. S offers if <!, if >!. U S (p) Çözüm. B satın alır ancak ve ancak v p; (a) Eğer p, her iki tip satın alır, S p kazanır. (b) Eğer < p, sadece H tipi satın alır, S πp kazanır. (c) Eğer p >, hiçbir tip satın almaz. p. S Sequential bargaining -period eğer π < /. At t =, S sets a price seller S with valuation eğer π > p / ;. B either teklifinde bulunur buyer B with valuation buys, yielding (p,v-p ) ; or does not, then B knows v, S does not 3. At t =, S sets another v = with probability price p ; = with probability - 4. B either buys, yielding ( p v-p )) or does not, yielding (,) 5 3

16 Ardaşık Pazarlık -periyot Bir satıcıs, değeri Bir aliçı B, değeri v; B v yi biliyor, S bilmiyor v=, π olasılıkla v=, π olasılıkla. t= da S fiyat belirler, p. B ya satın alır, (p, v p ) kazançları doğar ya da almaz, o zaman 3. t= de, S başka bir fiyat belirler, p 4. B ya satın alır, (δp, δ(v p )) kazançları doğar ya da almaz, (,) kazançları doğar 6

17 Çözüm, -periyot. Let µ = P r(v = t = gecmisinde).. t= de, satın al ancak ve ancak v p; 3. Eğer µ > /, p = 4. Eğer µ > /, p = Solution, -period Solution, -period. Let = Pr(v = history at t=).. At t =, buy iff v p; 3.. If Let > =!, Pr(v p = history at t=). 4.. If At t < =!,, buy p = iff. v p; If = >!, mix p = between and B If with <!, v= p buys =. at t= if p If p = >,!, mix = between Pr(v = p,t=) and.. 6. B with v= buys at t= if p. 7. If p >, = Pr(v = p,t=). 5. Eğer µ = /, ve arasında karma yap 6. B için v= ise, eğer p ise, t= da satın alır. 7. Eğer p > ise, µ = P r(v = p, t = ) π. Çözüm, devamı π < /. µ = P r(v = p, t = ) π < /.. t= anında, satın al ancak ve ancak v p 3. p = Solution, cont. </ = Pr(v = p,t=) </.. At t =, buy iff v p; 3. p = Pr(v. = p,t=) </. 4.. B At with t =, v= buy buys iff v at t= p; if 3. p = (-p. ) p pb with =: v= buys at t= if (-p ) p. 5. p =: 4. v= li B t= da satın alır eğer 5. p = : Solution, cont. </ 7 4 4

18 Çözüm, devamı π > / Eğer v=, p > δ da alıyorsa, o zaman µ = P r(v = p > δ, t = ) = p = v=, p > δ da almamalı. Eğer v=, > p > δ da almıyorsa, o zaman µ = P r(v = p > δ, t = ) = π > /; p = v=, > p > δ da almalı. Saf strateji dengesi yoktur. 8

19 = Pr(v = Pr(v = p = p >,t=) >,t=) = ; = ; p p = ; = ; v = v = should should buy not at buy > pat > p. >. No If pure-strategy v= is not buying equilibrium. at > p >, then = Pr(v = p >,t=) = ; Karma p = strateji ; dengesi, π > / v = should buy at > p >.. p > No δ icin, pure-strategy µ(p ) = /; equilibrium. Mixed-strategy equilibrium, >/. For p > (p ) =!;. (p ) = - Pr(v= buys at p ). β(p ) = P r(v =, p daalir) Mixed-strategy equilibrium, >/ ( p ). For p > (p ) ( = p!; ) ( p ). ( p ) ( ). (p ) = - Pr(v= buys at p ) Mixed-strategy equilibrium, >/ 3. v = ( is p indifferent ) towards buying at p : ( p ) ( p ). 3. v=, p ( da p ) - almak ( p = (p konusunda ) ) (p kayıtsızdır:. For p > (p ) = )!; = (- p )/ 3. where. v = (p (p is indifferent ) = Pr(p = p towards ). buying at p : ) = - Pr(v= buys at p ) - p( p = (p ) (p ) = (- p )/ ) ( p ) ( p ). where ( p ) (p ( ) = ) Pr(p = p ). öyle ki, 3. v = is indifferent towards buying at p : - p = (p ) (p ) = (- p )/ where (p ) = Pr(p = p ). 5 5 Ardaşık Pazarlık v [, ] 5 periyot B, p de alır ancak ve ancak v p; S, U(p) = pp r(v p) kazanır; v [, a] U(p) = p(a p)/a; p = a/. 9

20 Sequential bargaining, v in [,] v in [,a] => U(p) = p(a-p)/a; p = a/. period: B buys at p iff v p; Ardaşık Pazarlık v [, ] S gets U(p) = p Pr(v p); v in [,a] => U(p) = p(a-p)/a; periyot: p = a/. (p, p ) Sequential bargaining, v in [,] t= da, B, p de alır ancak ve ancak v a(p ); periods: (p,p ) p = a(p )/ At t =, B buys at p iff v a(p ); p a(p ) = tipi a(pkayıtsızdır: )/; Sequential bargaining, v in [,] periods: (p,p ) ype a(p ) is indifferent: At a(p t =, ) p B buys = (a(p at p ) p iff v ) = a(p a(p ); )/ p = a(p )/; a(p ) = p /(- /) S gets ype a(p ) is indifferent: p p p S a(p / ) p = (a(p ) p ) = a(p )/ FOC: a(p p p ) = p /(- /) At p / S t gets =, B buys at p iff v a(p ); / p p 3 p p /4 = a(p )/; / ype FOC: a(p ) is indifferent: p p p / a(p ) p kazanır. = (a(p / ) p ) = a(p )/ 3 /4 a(p ) = p /(- /) S gets birinci derece türevden p gelen koşul: p p / FOC: p p p / / 3 /4 Sequential bargaining, v in [,] periods: (p,p ) 6 6 6