KATEGORİK VERİLERİN TESTİ (ki-kare testi)

Transkript

1 KATEGORİK VERİLERİN TESTİ (k-kar tst).. K-kar dağılışı.. ağımsızlık tst... x tablolarda bağımsızlık (ora/homojt) tstlr... rxc tablolarda bağımsızlık (ora/homojt) tstlr..3. Yats s sürkllk düzltms.3. İy uyum tstlr.3.. Normal dağılışa uyum tst.3.. Tkdüz dağılışa uyum tst.3.3. om dağılışıa uyum tst.3.4. Posso dağılışıa uyum tst.3.5. İy uyum ç kullaıla dğr bazı tstlr Prof. Dr. Lvt ŞENYAY X - İSTATİSTİK II

2 KATEGORİK VERİLERİN TESTİ Örkt ld dl souçları çoğu kz olasılık kurallarıa gör tork bkl souçlar l ks br uyum çrsd olmadığı görülür. Örğ br mtal paraı kz atılışıda 5 tura 5 yazı glms tork olarak bklms rağm bu souç çok adr ld dlblr. ll br olayı mümkü souçlar st aşağıdak tablodak gb olsu E : olaaklı olay st-olay adı E E E 3 E k G : gözlml olay frkasları : bkl olay frkasları G G G 3 G k 3 k u vrlr dayalı olarak gözl (G) frkaslar l bkl () frkaslar arasıda mvcut tutarsızlığı br ölçüsü olarak k-kar dağılışı kullaılır ( G ) ( G ( G... k ) k k ) j ) k ( G N G j N yukarıdak k-kary şdğr başka br formüldür. ( N= j= G j ) j Ayı populasyou farklı k farklı özllğ arasıdak lşk clyorsa. Hpotslr aşağıdak şkld kurulur. H H : Populasyodak k özllk arasıda lşk yoktur : Populasyodak k özllk arasıda lşk vardır. Açıklama : s.d. = k--m = rc--(r-)-(c-) = rc--r+-c+ = rc-r-c+ = (r-)(c-) k = tablodak hücr sayısı m = vrlrd tahm dl bağımsız paramtr sayısı s gözl frkaslar l bkl frkaslar tamam ayıdır s gözl frkaslar l bkl frkaslar ayı dğldr. urada sözü dl vrlr, br vya daha fazla brbrd ayrık vya katgorlr ayrılmış şkld sııfladırılabl gözlmlr aalz l lgldr. İlgll dğşk hr katgor çrs gr gözlmlr sayısıdır. urada statstksl hpotz kou olarak tp problm söz kousudur.. Sııflama amaçlı kullaıla k ya da daha çok dğşk arasıdak bağımsızlığı vya lşk tst vya dğr br dyşl oraları karşılaştırılması. Gözlmlr blrl br olasılık dağılışıda glp glmdğ tst Prof. Dr. Lvt ŞENYAY X - İSTATİSTİK II

3 . CHI-SQUARE (K-Kar)DAĞILIMI K-kar dağılımı matmatksl olarak tk paramtrl (v, srbstlk drcl) br dağılımdır. K-kar dağılımıı özl br hal ola stadart ormal dağılışı kars(z ), v= srbstlk drcl br k-kar dağılışıdır. v= s.d v=5 s.d v= s.d. ( x ) Z Z x v K-kar sadc poztf dğrlr ç taımlıdır, tk modlu v sağa çarpık br dağılıştır. Srbstlk drcs (v) büyüdükç çarpıklık azalır, srbstlk drcs çok büyük dğrlr ç kkar (dağılışı v ortalamalı v stadart sapmalı) hm hm ormal dağılışa bzr. Acak uygulamada v büyük dğrlr almaz. f( ) H Rd bölgs =.5 Eğr örklm statstğ hsaplaırk populasyo paramtrs kullaılmada bkl frkaslar hsaplaablyorsa, srbstlk drcs v = k alıır Eğr örklm statstğ hsaplaırk (m) adt populasyo paramtrs l bkl frkaslar hsaplaablyorsa, srbstlk drcs v = k - m alıır Prof. Dr. Lvt ŞENYAY X - 3 İSTATİSTİK II

4 . AĞIMSIZLIK (homojlk) TESTİ... x tablolarda bağımsızlık (homojt) tstlr urada amaç gözlm dğrlr kullaarak A v dğşklr bağımsız olduğu hpotz tstdr. Dğşk O j A. A Dğşk A... vya dğr br fadyl burada tst amacı, gözlm oraları karşılaştırılması yolu l A v dğşklr bağımsızlığı tstdır dğşk A dğşk p j A p p =(-p ) p j p. A p p =(-p ) p j p. p. = p p.= p lrl br α hata olasılığı svysd, H : A v brbrd bağımsız H : A v brbrd bağımsız dğl Eğr P(A )=P(A)P() s A v brbrd bağımsızdır bağıtısıda yararlaılarak, dğr br fadyl p olmalıdır. p H : p j Gözl hücr oraları p j=p.p.j =, j=, kl Hücr Frkası; E j=p j E. p E. p A özllğ bkl hücr oraları toplamları kl hücr oraı pˆ pˆ. pˆ.. pˆ... pˆ.. kl hücr frkası (olay sayısı) Eˆ p ˆ.... Prof. Dr. Lvt ŞENYAY X - 4 İSTATİSTİK II

5 Ê pˆ... Ê pˆ... O Eˆ Eˆ j Eˆ j j j j Eˆ j j j sd sd=k-m- m=örk hsaplaırk kullaıla paramtr sayısı k=tablodak hücr sayısı s H rd dlr. hsap tab Örk: Akcğr kasr l havada taşıabl asbstl şt çalışma arasıda br lşk olup olmadığı araştırılmak styor. H : Akcğr kasr l asbstl şt çalışma arasıda br lşk yoktur. H : Akcğr kasr l asbstl şt çalışma arasıda br lşk vardır. G j Asbstl Ortamda Dğl Asbstl Ortamda Toplam Akcğr Kasr Dğl 4 5 Akcğr Kasr Toplam Ê j (= j) 45*5 5 5=(5*5)/ Ê Ê.. 5(5).. 5(45) 5 Ê (5).. 495(45) 495 Ê ( G j ) j 5 = j j sd=(r-)(c-)=(-)(-)= ,.5, =5.6 Prof. Dr. Lvt ŞENYAY X - 5 İSTATİSTİK II

6 H rd dlmz H rd dlr. Prof. Dr. Lvt ŞENYAY X - 6 İSTATİSTİK II

7 Örk: yıl sür l radyoaktf artıkları buluduğu br bölgd yaşaya kşlr üzrd gözl vrlrd yola çıkılarak radyoaktf thlk l ka basıcı arasıdak lşk araştırılmak styor. O j Ka asıcı Düzszlğ(Tasyo) Gözl Gözlmy Radyoaktf thlky maruz kalmış Radyoaktf thlky maruz kalmamış E j (5) 6 H H :Radyoaktf maddy maruz kalmaı, tasyo problm üzrd br tks yoktur. :Radyoaktf maddy maruz kalmaı, tasyo problm üzrd br tks vardır. ( G j j ) j j = , s.d.=(-)(-)= H rd dlmz. Prof. Dr. Lvt ŞENYAY X - 7 İSTATİSTİK II

8 ... rxc tablolarda bağımsızlık (homojt) tstlr.. r c c c r r rc.. r.... c H : p p... j=,,...,c j j prj Dğşk A... r Dğşk c p p p p r p c p p c p r rc p = j Ê j Ê j, rc özllğ A özllğ * =3.3 = = =4.9.5<p<. arasıda s H o rd dlr. Prof. Dr. Lvt ŞENYAY X - 8 İSTATİSTİK II

9 Örk: r şltmdk prsol çalıştığı pozsyo l csyt ortaya koya tablo aşağıdak gbdr. Prsol çalıştığı pozsyo l csyt arasıda br lşk olup olmadığıı %.5 alamlılık svysd tst dz. O j Erkk Kadı Toplam Müdür Şf Elma Toplam H : Prsol çalıştığı pozsyo l csyt arasıda br lşk yoktur. H : Prsol çalıştığı pozsyo l csyt arasıda br lşk vardır. Eˆj ( G j j ) j j 56 33, ,5 4 58,7 4 4,3 33,5 66 7,8 34 9, 7,8 olduğu ç H o rd dlr. 96,5 9, 6,8 58,7,5; 4,3,6,.5; r c,5; 3 x r = 3 c = s.d.= (3-)(-) = Prof. Dr. Lvt ŞENYAY X - 9 İSTATİSTİK II

10 ..3 Yats sürkllk düzltms ( G,5 ) ( G,5 ) ( Gk k,5) + k Örk : r mtal para kz havaya fırlatılıyor, 5 tura v 85 yazı gldğ gör. Mtal paraı hlsz olup olmadığıı,5 v. öm svylrd hpotz tst yapıız. (5 ) (85 ) 4,5,95, 3, 84 H rd dlr,99, 6,63 H rd dlmz Katgor vya sııf sayısı (yazı v tura) k=, s.d. v = k- = -= Yats s düzltms l (5,5) (85,5) corrctd 4, 5 Yukarıda ld dl souçlar gçrllğ korumaktadır. Cotgcy katsayısı r olasılık tablosu çrsd sııfları bağımsızlığı vya brlşm, lşk drcs göstr br ölçüdür. C N k= sıra + kolo sayısı max C = ( k ) / k Özllklr v sııflar arası korlasyo katsayısı r N( k ) Örk : Özllk I Özllk II Toplam Gözlml frkas NP N(-P) N kl frkas Np N(-p)=Nq N Prof. Dr. Lvt ŞENYAY X - İSTATİSTİK II

11 ( NP Np) Np ( N( P) N( p)) Nq N ( P p) Np N ( P p) Nq N(( P p)( ) p q N( P p) pq ( P p) pq / N u souçlar l Örk : N G j N spatlaablr. j j Gözlmlr İylşlr İylşmylar Toplam Srum kullaa grup 75 5 Srum kullamaya grup Toplam 4 6 kl frkaslar İylş İylşmy Toplam Srum kulaalar 7 3 Srum kullamayalar 7 3 Toplam 4 6 (75 7) 7 (5 3) 3 (65 7) 7 (35 3) 3,38,38 C,84,38 C ç max dğr kl dğrlr İylş İylşmy Toplam Srum kullaalar Srum kullamayalar Toplam ( 5) 5 ( 5) 5 ( 5) 5 ( 5) 5 C,77 ld dlr. Prof. Dr. Lvt ŞENYAY X - İSTATİSTİK II

12 Örk : r Mdl dyd 35 bzly sarı v yuvarlak, 8 yşl v yuvarlak, buruşuk v sarı, 3 buruşuk v yşl olarak gözlmlmştr =556 gözlm mvcuttur. Mdl kauua gör bkl oraları 9 : 3 : 3 : olması grkmktdr.. kl oraları toplam sayısı =6 dır. ua gör bkl frkaslar Yuvarlak sarı 556 (9/6) = 3,75 Yuvarlak yşl 556(3/6) =4,5 uruşuk sarı 556(3/6) = 4,5 uruşuk yşl 556(/6)= 34,75 dr (35 3,75) (8 4,5) (4,5) 3,75 4,5 4,5 k=4,99,3,3 sıfır hpotz rd dlmz. Örk : (3 34,75) 34,75,47 H H :Eğtm svys l söz kousu şt başarı arasıda br lşk yok : Eğtm svys l söz kousu şt başarı arasıda br lşk var Eğtm Svys Lsy Gtmmş Ls Trk Ls Mzuu Toplam G j aşarılı aşarılı Dğl Toplam 8 = N j (x4)/ G j j G j- j (G j- j) (G j- j) / j ( Gj j ) =5.3 j j 5.3 h.5, 5.99 H rd dlmz (r-)(c-)=(-)(3-)= dlmz Rd ölgs Prof. Dr. Lvt ŞENYAY X - İSTATİSTİK II

13 .3 İYİ UYUM TESTLERİ dr. İy uyum tstlr, örk vrlr dayaarak populasyo dağılımı hakkıdak varsayımı tst Örk : 3 bzr mşrubat sçlrk, trchlr gözl dğrlr Toplam Örk(çck markası) p E p O ( -E ) ( E ) 8 /3 (8-) 9/ /3 (-) / 3 5 /3 (5-) 6/ = /.364 H : p = p O = p 3 H : mşrubat trchlrd marka ömsz (üform dağılış) H : mşrubat trchlrd marka öml h =,364 <, = 4,6 (tkdüz dağılışta m=) sd=k-m- m=örk hsaplaırk kullaıla paramtr sayısı k=tablodak hücr sayısı rd dlmz. =, svysd H h E f H rd bölgs = İYİ UYUM TESTİ:TEK DÜZEN DAĞILIŞI İÇİN f (x) p= N N f o toplam gözlm sayısı N N Prof. Dr. Lvt ŞENYAY X - 3 İSTATİSTİK II

14 Örk : r lotary d kazaa umara 4 dgttr. (446, 83 gb) kazaa umaralardak dgtlr şasa bağlıdır. Kazaa dgt populasyouu tk düz olduğu varsayılıyor. N=,,,3,4,5,6,7,8,9. Dgtlr hr br ayı olasılıklı (/N=/) A sml kş bu oyuu düzl oyuyor v kazaa umaraları br yr yazıyor v gçmşt sık kazaa /karşılaşıla 4 dgt sayıyı kullaarak düzl br şkld oyu oyuyor. 4 kazaa dgt br şas örğ olarak tst ç kullaıldı. =.5 svysd örk dağılımıı tk düz olup olmadığıı tst dz.( gözlm var) H H : Örk dağılımı tkdüz : Örk dağılımı tkdüz dğl Dgt Gözlmlr( f ) kl( ) f f f f f 4 4 / / / / / / / / / /4 o =4 66/ h 4 4, N =, sd= g =--=9,.5, h 6.55 H rd dlmz. (uform dağılışta g=).3. İYİ UYUM TESTİ: İNOM DAĞILIŞI İÇİN :örk büyüklüğü (dm sayısı) p:br dm başarı olasılığı x x P( x) p q x,,..., ; p q x Prof. Dr. Lvt ŞENYAY X - 4 İSTATİSTİK II

15 Örk : Hr kutuda ta sldr satılıyor. Kutularda kusurlu sldrlr olablyor. lk kutulardak kusurlu sayıları bom dağılışı göstrdğ bldğ =.5 svysd tst dlck. Şasa bağlı kutu alııyor; ()= sldr clyor. Toplam sldr kusurlu buluuyor. E( x) P( x) x x P( x) p q x Örk kusurlu oraı pˆ. 5 Kutulardak kusurlu sayıları aşağıdak gb kayıt dlmştr. lk kutulardak kusurlu sldr sayıları H : = bom dağılışı göstryor. H : = bom dağılışı göstrmyor. Kutulardak Kusurlu Sayısı Gözl Kutu Sayısı E(x)= (x) P(x) vya daha fazla TOPLAM x P( x) p q x x P(x=)= P(x=)= P(x=)= ( x) P( x). N () () ().3585() () () 8.87 f P( x) =p(x) Prof. Dr. Lvt ŞENYAY X - 5 İSTATİSTİK II

16 Kutu sayısı Kutudak kusurlu sayısı - ( f ) / f vya daha fazla. f Toplam sd = g 4 4 (kutudak kusurlu sayısıı sııf sayısı) g = kullaıla paramtr sayısı (bom paramtrs p=.5) x.5, 5.99 P( x) p q x x f h H rd dlmz. Örk: r rapty kz atılmış v svr ucu yukarıya gllr sayıları br frkas tablosu olarak aşağıda vrlmştr. a) Raptylr svr ucu yukarıya glck şkld düşms olasılığıı hsaplayıız. b) Svr ucu yukarıya glck şkld düş rapty sayısıı om Dağılımı göstrp göstrmdğ.5 öm svysd tst dz. Svr ucu yukarıya gl Frkas (O rapty sayısı ) N= a) pˆ = (toplam svr ucu yukarıya gl rapty sayısı)/(toplam dm) Prof. Dr. Lvt ŞENYAY X - 6 İSTATİSTİK II

17 5 p ˆ b) H : Svr ucu yukarıya glck şkld düş rapty sayısı =5 ola om dağılımıa uygudur. H : Svr ucu yukarıya glck şkld düş rapty sayısı =5 ola om uymamaktadır. dağılımıa P x x x x p p P P P P P P E = N. p P(x) E,5 3,4,996 9,9,69 5,8,347 68,34,37 44,74,586,7 3.4 < 5 olduğuda dolayı alttak satır l brlştrlr. NOT: Hrhag br bkl dğr ( E ) fads 5 t küçük s o dğr kds yakı br gözlm klr. Svr ucu yukarıya gl rapty sayısı Frkas (O ) kl Frkas ( E ) O E E v d az 3,96 3, ,8, ,34, ,74, ,7,3787 h 8,47 Prof. Dr. Lvt ŞENYAY X - 7 İSTATİSTİK II

18 t, v v = m--a m: grup sayısı a: tahm dl parmtr sayısı v = 5--=3 h 8, olduğuda H o rd dlr. t.5,3 Souç yorumu : Svr ucu yukarıya glck şkld düşü rapty sayısı =5 ola bom dağılışıa uymamaktadır..3.3 İYİ UYUM TESTİ: NORMAL DAĞILIŞ İÇİN H o :Populasyo ortalamalı, stadart sapmalı ormal dağılımdır. hsap f o f f,v tablo dğr (krtk dğr) kullaılır. v= g : Örk d kullaıla f dğrlr sayısı g : Örkt tahml populasyo paramtr sayısı (ormal dağılışta g=; µ v σ ) H doğru k H doğru k Örk Gözl frkas olasılık bkl p E p E k k Toplam H : p l, l p,..., pk lk p k E =.p =.p k =.p k k O p h p = k ( E ) > g, s H rd. E (ormal dağılış ç g=) Prof. Dr. Lvt ŞENYAY X - 8 İSTATİSTİK II

19 Örk : r kmyasal şltmdk satışları ormal dağılış göstrdğ düşüülüyor. gülük satışlar şasa bağlı olarak alııyor. Satış Mktarı Gü Sayısı ( ltr) < < < < < < < < < x 4( ltr) S x =.5( ltr) =.5 svysd satışları ormal dağılış göstrdğ tst dz. Satış Sııfları f Olasılığı P f f P f - f f < < < < < < , f 45 =< f = P = RED -α α 34 µ=4 Z x P(-.4<x<) = P(<x<.4) =.498 Prof. Dr. Lvt ŞENYAY X - 9 İSTATİSTİK II

20 .5 - P(-.4<x<) =.8 =.8()=.64 H : dağılış ormal :dağılış ormal dğl H v= g 8 5 8, g= (paramtr sayısı).5,5.7 owma- Shlto ormallk tst u tst d oldukça güçlü br ormallk sıamadır. X,X,...X gb gözlm olsu. u vrlr ormal dağılıma at k özllğ araştırılmasıa dayaır.. özllk : smtr ( x x) Çarpıklık Katsayısı: Ç 3 s Dağılı sağa çarpık s dağılımı 3. Momt artı dğr alır c Ç> olur.. özllk : basıklık ( x x) asıklık katsayısı: 3 4 s 3 4 u özllk olasılık yoğuluk foksyouu kuyruk kalılığıı ölçr. Normal dağılımda populasyo basıklık katsayısı 3 tür. Dolayısı l owma-shlto ormallk tst, çarpıklık katsayısıı a v basıklık katsayısıı 3 yakılığı l tst dlr. u statstk aşapıda tablo olarak vrl şk dğrlr l karşılaştırılır. Ç 6 ( 3) 4 Örk sayısı arttıkça, populasyo dağılımıı ormal olduğu varsayımı doğru s bu statstk srbstlk drcl k-kar dağılımıa yaklaşır. Nu statstğ büyük dğrlr tst rdd yol açar. Örk: =78 Ç =.433 = Prof. Dr. Lvt ŞENYAY X - İSTATİSTİK II

21 (.433) 78 6 (.5553) 4.36 OWMAN-SHELDON statstğ sıır (şk) dğrlr Örk hacm(). sıırı.5 sıırı İYİ UYUM TESTİ: POISSON DAĞILIŞI İÇİN P( x) x! x x : hsaplaa brm zamada olay sayısı : hr brm zamada ortalama olay oraı br bra dolum şltmsd br bra şşs kırılıca dolum sstm durduruluyor; kırıla cam şş sstmd alııp atılıyor. Ürtmdk bu duruşları ( =3) güd ortalama 3 duruş ola posso dağılışı göstrdğ düşüülüyor. gülük şas örğ alııyor. =.5 svysd hpotz tst styor. r güdk duruş sayısı Gözl gü sayısı x f vya daha fazla 3 Prof. Dr. Lvt ŞENYAY X - İSTATİSTİK II

22 H H : : yukarıdak vrlr yukarıdak vrlr 3 paramtrl posso dağılışı göstryor. 3 paramtrl posso dağılışı göstrmz. x f P( x) x! x * P x f f - f f f vya daha fazla P x 3 3 x! 3 3! 3 3! x P.498() P.494() P(6 )=-P()-P()-...-P(5)= =.84 H güd =3 duruş ola posso dağılışı göstryor h.5;6.59 h olduğu ç H rd dlmz. sd = v g 7 6, Posso dağılışıda g= (λ), acak urada g= çükü paramtrs örkt tahmlmd. Prof. Dr. Lvt ŞENYAY X - İSTATİSTİK II

23 .3.5 İy uyum tstlrd kullaıla dğr bazı ttlr I.tst H : p + p u tp hpotzlr gllrsk H : l p +l p p Kullaıla tst statstğ ; ( l l... lo ) = ( l p l p... l p ) 3 = p + p 4 vya şdğr olarak H +...+l v l srbstlk drcl = yazılablr.,l : p -p + p şkld hsaplaır. l karşılaştırılarak tst dlr. 3 -p 4 = Örk: 4 laboratı bll br sür çd kırmış oldukları cam malzm sayıları aşağıdak gb gözlmştr. Laborat kırıla cam malzm bkl dğr 3,5 45,5 3 8,5 4 57,5 E Toplam 3 II. Tst H : P P4 P P3 (.5) H :. Laborat l 4. Laborat,. v 3. Laboratlara gör daha az dkkatldr. H : P P P P H rd dlr. 4 ( ) 3 ( ) ( ) 3 4,89.5.5, 3.84 Prof. Dr. Lvt ŞENYAY X - 3 İSTATİSTİK II