YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-II

Transkript

1 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINI NO: 2899 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINI NO: 1856 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-II Yazarlar Prof.Dr. Müjgan SAĞIR (Ünite 1, 2, 7) Prof.Dr. Ahmet ÖZTÜRK (Ünite 3-6) Yrd.Doç.Dr. Öznur ÖZTÜRK (Ünite 8) Editör Prof.Dr. Ahmet ÖZMEN ANADOLU ÜNİVERSİTESİ i

2 Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Anadolu Üniversitesine aittir. Uzaktan Öğretim tekniğine uygun olarak hazırlanan bu kitabın bütün hakları saklıdır. İlgili kuruluştan izin almadan kitabın tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt veya başka şekillerde çoğaltılamaz, basılamaz ve dağıtılamaz. Copyright 2013 by Anadolu University All rights reserved No part of this book may be reproduced or stored in a retrieval system, or transmitted in any form or by any means mechanical, electronic, photocopy, magnetic tape or otherwise, without permission in writing from the University. UZAKTAN ÖĞRETİM TASARIM BİRİMİ Genel Koordinatör Doç.Dr. Müjgan Bozkaya Genel Koordinatör Yardımcısı Doç.Dr. Hasan Çalışkan Öğretim Tasarımcıları Yrd.Doç.Dr. Seçil Banar Öğr.Gör.Dr. Mediha Tezcan Grafik Tasarım Yönetmenleri Prof. Tevfik Fikret Uçar Öğr.Gör. Cemalettin Yıldız Öğr.Gör. Nilgün Salur Kitap Koordinasyon Birimi Uzm. Nermin Özgür Kapak Düzeni Prof. Tevfik Fikret Uçar Öğr.Gör. Cemalettin Yıldız Grafiker Gülşah Karabulut Dizgi Açıköğretim Fakültesi Dizgi Ekibi Yöneylem Araştırması-II ISBN Baskı Bu kitap ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Web-Ofset Tesislerinde adet basılmıştır. ESKİŞEHİR, Ocak 2013 ii

3 İçindekiler Önsöz... iv 1. Doğrusal Olmayan Programlama 2 2. Tamsayılı Programlama Envanter Modelleri Karar Analizi Markov Zinciri ve Karar Alma Şebeke Modelleri Analitik Hiyerarşi Süreci Bekleme Hattı (Kuyruk) Modelleri 172 iii

4 Önsöz Karar vermek, yaşımız ve mesleğimiz ne olursa olsun hayatın her aşamasında, sayamayacağımız kadar çok defa karşı karşıya kaldığımız bir işlemdir. Ne giyeceğiniz, neye yatırım yapacağınız, çocuğunuzun hangi okula devam edeceği, kariyerinizi nasıl planlayacağınız, hangi tedarikçi ile çalışacağınız, hangi kargo ile iletilerinizi göndereceğiniz, hangi servis sağlayıcısı ile çalışacağınız, hangi lisansüstü programa kayıt olacağınız, hangi marka buzdolabı alacağınız, yemeğinizle hangi içeceği sipariş edeceğiniz, ödemenizi kredi kartı ile mi? peşin mi? yapacağınız Meslek yaşantılarında da insanlar hemen her an aşağıda belirtilenlere benzer türden kararlar vermektedirler: Şu marka hammaddeyi mi? kullansak, yoksa bunu mu? On tane mi üretsek, sekiz mi? yoksa oniki mi? Kaç tane satış şubesi açsak? Bu şubeleri hangi şehirlerin hangi semtinde açsak daha iyi olur? İşletmelerin ölçeği büyüdükçe, seçenek sayısı arttıkça, işlemler karmaşıklaştıkça; karardan etkilenen kişi ve kurum sayısı da bağlı olarak artar ve yanlış kararların maddi manevi bedeli daha da ağırlaşır. Bu sebeple böylesi karmaşık karar problemleri ile karşı karşıya gelindiğinde, deneyim ve sezgiler hala çok önemli olmakla beraber, en doğru kararı verme sürecinde, yetersiz kalabilmektedirler. Yöneylem Araştırması, karar vericilerin bu tür süreçlerde, kendi deneyimlerinin yanısıra, ihtiyaç duyabilecekleri bilimsel yöntem ve teknikleri sunan ve uygulama olanağı veren bir bilim dalıdır. Bu kitap, Yöneylem Araştırması na belirli bir ölçüde giriş sağlamak amacıyla hazırlanmıştır. Konunun kuramsal yönünden çok, kapsadığı problem türleri ve çözüm yaklaşımları örneklerle tanıtılmıştır. Örneklerin olabildiğince, dersin hedef kitlesine ve gelecekteki çalışma alanına uygun olmasına özen gösterilmiştir. Ünitelerde yer verilen örneklerin dikkatlice incelenmesi, karşılaşılan sorulara yanıt vermeye çalışılması ve ünite sonlarında yer alan yanıt anahtarlarıyla karşılaştırılması, konuların daha iyi kavranmasına katkı sağlayacaktır. Ünitelerin anlatımı ve sunumu konusunda türlü isteklerimizi karşılamak için çaba gösteren tüm yazarlarımıza teşekkür etmeyi zevkli bir görev sayıyorum. Editör Prof.Dr. Ahmet ÖZMEN iv

5

6 1 Amaçlarımız Bu üniteyi tamamladıktan sonra; Doğrusal olmayan programlama ve temel kavramları açıklayabilecek, Doğrusal olmayan programlama sınıfına giren bazı problem türleri ve çözüm yaklaşımları açıklayabilecek, Bu dersin izleyen ünitelerinde incelenecek bazı özel problemlerin kısa tanıtımlarını yapabilecek bilgi ve becerilere sahip olabilirsiniz. Anahtar Kavramlar Yöneylem Araştırması Türev, Kısmi Türev, Gradiyent Vektör, Hessian Matrisi Komşuluk Kareli Biçim Tanım ve Değer kümesi Yerel ve Bütünsel Eniyi İçbükey ve Dışbükey Fonksiyonlar Doğrusal Olmayan Programlama Problemleri ve Çözüm Yöntemleri Yöneylem Araştırması Kapsamında Bazı Özel Problemler İçindekiler Giriş Yöneylem Araştırması ve Karar Modelleri Doğrusal Olmayan Programlama ve Temel Kavramlar Doğrusal Olmayan Programlama Problemleri ve Çözüm Yaklaşımları Yöneylem Araştırması Kapsamında Yer Alan Bazı Özel Problemler 2

7 Doğrusal Olmayan Programlama GİRİŞ Bu ünite, Yöneylem Araştırması kapsamında yer alan doğrusal olmayan modeller ile ilgilidir. Yöneylem Araştırması I dersinin bazı temel bilgilerinin ve özellikle giriş ünitesinde yer alan tanımların bu başlık altında da bilinmesinde yarar vardır. Çünkü doğrusal olmayan programlamayı kavrayabilmek için önce Yöneylem Araştırması I dersinde işlenen doğrusal programlama konusunu iyi bilmek ve hatırlamak gerekmektedir. Bu amaçla bu ünitede, doğrusal programlama konusunda önceden verilen temel bilgilere kısaca tekrar yer verilmiştir. Yöneylem Araştırması nın doğuşu II. Dünya Savaşı yıllarındaki askeri uygulamalara dayandırılmakla birlikte, 1911 lerde Frederick Taylor un yayınladığı Bilimsel Yöntemin İlkeleri çalışmasının da aslında bu bilim dalının köklerini oluşturduğu söylenebilir. II. Dünya Savaşı yıllarında, İngiliz askeri birimlerinde radarların etkili kullanımı, denizaltıların yerlerinin belirlenmesi gibi problemlerin çözümünde farklı bilim dallarından oluşan ekiplerle çalışılmıştır. Bu çalışmaların Yöneylem Araştırması nın günümüzde geldiği noktanın temellerini oluşturduğu bilinmektedir. Yıllar içerisinde Yöneylem Araştırması, örgütlerin ve/veya sistemlerin tasarımında, kuruluşunda ve işletilmesinde karşılaşılan planlama, yürütme ve kontrol faaliyetlerine bilimsel yöntemlerle katkıda bulunan ve bu alanlardaki problemlere çözüm arayan bir bilim dalı olarak yerini almıştır. Matematik, bu türden problemlerin çözüm tekniklerinin altında yatan temel bilimdir. Çözüm sürecinde kullanılan yaklaşım; problemi ve ardından çözüm seçeneklerini ortaya koyma, daha sonrada eniyi seçeneği uygun yöntemle belirleme aşamalarından oluşur. Doğrusal olmayan programlama kapsamında ileriki bölümlerde yer verilecek olan tamsayılı programlama, karar değişkenlerinin tümüyle veya bir kısmının tamsayı olmasının gerektiği problemleri temsil eder. Ayrıca 0-1 tamsayılı değişkenlerin yer aldığı problemler de, bu grupta özel bir yapıdırlar. Bu ünitede Yöneylem Araştırması nın; iki temel alanından birisi olan doğrusal olmayan programlama konusuna yer verilecek, bu başlıktaki problem türleri ve çözüm yöntemlerine değinilecektir. Ayrıca ileriki ünitelerde ayrıntılı yer verilecek olan ve Yöneylem Araştırması kapsamına giren bazı özel problemler de bu ünitede, kısaca tanıtılacaktır. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI VE KARAR MODELLERİ Bilindiği gibi Yöneylem Araştırması, problemleri yukarıda belirtildiği gibi disiplinlerarası bir ekiple, bilimsel bir yöntemi izleyerek ve sistemi bütünüyle ele alarak çözerken; aynı zamanda Yöneylem Araştırması Yaklaşımı da denen aşağıda verilen adımları izlemektedir: 1. Problemin belirlenmesi 2. Gerekli verilerin elde edilmesi ve sistemin analiz edilmesi 3. Modelin geliştirilmesi 4. Modelden çözüm elde edilmesi, modelin geçerliliğinin sınanması 5. Modelin uygulanması ve karar. 3

8 Model, bir sistemin kendisi yerine onun gibi davranan eşdeğerine denir. Modeller farklı şekillerde gruplanabilir ve yapılarına göre de; uyuşum, benzeşim ve matematiksel olarak üçe ayrılırlar. Uçak simulatörleri, maket inşaat projeleri uyuşum modellerine birer örnektir. Bu tür modeller gerçek sistemin küçültülmüş birer örneğidirler. Çeşitli diyagramlar, grafikler benzeşim modelleri arasındadırlar. Gerçek sistem görünümünde olmayıp, sistemdeki ilişkileri temsil ederler. Bu örnekler üzerinde düşünüldüğünde, bir uçak simulatörü yardımıyla, sözkonusu uçağın, belirli koşullarda hangi davranış biçimlerini ortaya koyacağı test edilebilir. Bu sayede insan hayatını tehlikeye atmadan ve doğabilecek büyük bir maliyeti de önceden engelleyerek simulatör üzerinde istenen testler yapılır. Benzer düşünceyle, bir bilgisayar programı da bir çeşit model sayılır. Matematiksel model ise bir sistemin veya problemin matematiksel ifadelerle temsil edilmesidir. f = ma denklemi bu anlamda bir matematiksel modeldir. m kütlesine sahip bir cismin belirli bir a ivmesine maruz kaldığında oluşacak olan f büyüklüğündeki kuvvetin ifadesidir. m ve a biliniyorken, f değeri bu ilişki ile bulunabilir. Yöneylem Araştırması kapsamında daha çok matematiksel modellere başvurulur. Bu yapıda değişkenlerarası ilişkilerin gösterildiği fonksiyonlara kısıt, kısıtları sağlayan çözümlerin eniyisinin seçimi için kullanılan fonksiyona ise amaç fonksiyonu denir. Kısıtlar ve amaç fonksiyonundan oluşan bu tür matematiksel modellere karar modeli denir. Karar modelleri doğrusal veya doğrusal olmayan özelliklerde olabilirler. İzleyen bölüm doğrusal olmayan programlama konusundadır. DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA VE TEMEL KAVRAMLAR Pratik olarak tüm kısıtların ve amaç fonksiyonunun, her birinin doğrusal birer fonksiyon olduğu, bir başka deyişle tüm fonksiyonlarda yer alan her terimin birinci dereceden ifadelerden oluştuğu, iki değişkenin çarpımı veya bir değişkenin üssünün olduğu terimlerin yer almadığı karar modeli doğrusal dır. Doğrusal ve doğrusal olmayan karar modellerinin çözümleri için farklı yaklaşımlar vardır. Fakat doğrusal karar problemlerinin, tüm kısıtlarını sağlayan noktaların bulunduğu uygun çözüm alanının 4 Örnek bir doğrusal karar modeli aşağıdaki gibi verilebilir: kısıtları altında Doğrusal karar modeli geliştirilebilmesi için gereken özelliklerin; belirlilik, oranlılık, toplanabilirlik ve bölünebilirlik olduğunu hatırlayalım. Yukarıdaki özellikleri taşımayan modellere ise doğrusal olmayan modeller denir. Bir modelin tüm fonksiyonlarının en az bir teriminde üslü ifadenin (x 2, x 5 vb.) veya iki değişkenin çarpımının (2x 1 * x 2 vb.) olması bu durum için yeterlidir. Örnek bir doğrusal olmayan karar modeli aşağıdaki gibi verilebilir: kısıtları altında Aynı zamanda diğer tüm fonksiyonlar doğrusal görünümde ve fakat karar değişkenlerinin sürekli değişken değil de tam sayılı olması durumunda da doğrusallık bozulur.

9 dışbükey bir küme olması ve bu küme içerisinde eniyi çözümün de bir uç noktada olması, bu tip modellerin çözümlerinin, doğrusal olmayan modellere göre daha kolay bulunabilmesini sağlamaktadır. Örneğin Simpleks Algoritması, doğrusal karar problemlerinin çözümü için geliştirilmiş olup pek çok problemin çözümünde kullanılabilmektedir. Doğrusal olmayan karar problemlerinin çözümü için ise, doğrusal programlamadaki Simpleks Algoritması gibi genel bir çözüm yöntemi bulunmamaktadır. Bunun yerine, farklı gruplarda yer alan problemler için farklı çözüm yaklaşımlarından bahsedilmektedir. Öte yandan hemen tüm yöntemler, temel olarak, türev ve ikinci türev işlemlerine gereksinim duyarlar. İzleyen bölüm bu kapsamda gerekebilecek temel kavramlara yer vermektedir. Temel Kavramlar Tanım kümesi, değer kümesi Doğrusal olmayan karar problemlerinin temel özelliği nedir? Bir fonksiyonun tanımlı olduğu, bir başka deyişle, fonksiyonda karşılığının hesaplanabildiği noktaları kümesine tanım kümesi denir. olsun. Buna göre, örneğin, için = 10 veya için = -5 değerleri elde edilir. Yukarıda verilen örneğe benzer şekilde verilen bir fonksiyonda yerine konduğunda karşılığı hesaplanabilen ve o fonksiyon için değeri anlamlı, tanımlı olan, tüm x değerlerinin kümesine tanım kümesi, tanım kümesindeki x lere f (x) fonksiyonunda karşı gelen değerlerin kümesine ise değer kümesi denir. Buna göre yukarıdaki örnekte, 2 ve -3 tanım kümesinin, 10 ve -5 ise değer kümesinin elemanlarıdır. Bir fonksiyonun ancak tanım kümesinde yer alan noktalar için bir değeri vardır. Örneğin, ln (x) fonksiyonu negatif değerler için tanımlı değildir. ÖRNEK 1.1: Bir işletme; bir, iki veya üç yeni depo açmayı düşünsün. Her bir duruma karşı gelecek beklenen karlar ise, x, açılacak depo sayısı olmak üzere, ÇÖZÜM 1.1: fonksiyonu ile ifade edilsin.tanım ve değer kümelerini bulalım. Bu durumda, ancak üç ayrı durumla ilgilenildiğinden, bu fonksiyon sadece xx değerleri için tanımlı olacaktır. fonksiyonunun değer kümesi ise sadece tanım kümesi değerleri için hesaplanıp; = 2 = 16-4 = 12 = 36 6 = 30 olarak elde edilecektir. Bu sonuçlara göre ve D, değer kümesi olarak tanımlanırsa, olmaktadır. 5

10 En büyük ve en küçük değerler Bir fonksiyonun tanım kümesi içerisinde, fonksiyonun en büyük değerinin elde edildiği noktaya enbüyük nokta (Enb), fonksiyonun en küçük değerinin elde edildiği noktaya ise en küçük nokta (Enk) denir. Buna göre yukarıdaki fonksiyonun = 1 değeri için 2 olarak en küçük değeri elde edilmiş olup, = 1 de fonksiyonun en küçük noktası vardır denir. Benzer şekilde, = 3 değeri için de 30 olarak elde edilmiştir ve = 3 için fonksiyonun en büyük noktası vardır denir. Buna göre değer kümesinin bu örnekteki 2 ve 30 değerleri ise, sırasıyla, enküçük ve en büyük değerler olmaktadır. Fonksiyonların bazen en küçük bazen en büyük bazen de hem en küçük hem enbüyük değerleri aranabilir. Genel olarak eniyi kavramı kullanıldığında, olası en büyük veya en küçük değerler anlamına gelmektedir. Örneğin yukarıdaki gibi bir kar fonksiyonunun hangi değer için en büyükleneceği veya bir maliyet fonksiyonunun hangi değer için en küçükleneceği şeklindeki sorulara matematiksel modellerle yanıt aranabilir. Komuluk kümesinde tanımlı bir fonksiyon olsun. = olarak tanımlandığında, A kümesine ın S kümesindeki Buna göre, bir noktası verildiğinde, bu noktadan tüm yönlerde, en fazla mesafede bulunan noktaların kümesi, ın komşuluğu olarak tanımlanır. ÖRNEK 1.2: Reel sayılar kümesinde, tanım aralığı olan fonksiyonu için = 10 noktasının ÇÖZÜM 1.2: = kümesi belirtilen komşuluktur. Şekil 1.1, bu fonksiyonun tanım kümesini (S) ve bu küme içerisinde tanımlanan A komşuluğunu göstermektedir. Şekilde görüldüğü gibi olmaktadır. Şekil 1.1: un S kümesindeki A kümesi) Yerel ve bütünsel enküçük ve enbüyükler Bir fonksiyonun belirli bir komşulukta (tanım aralığının bir alt aralığında) bir enküçük değeri varsa, bu değeri veren noktasına yerel en küçük nokta; belirli bir komşulukta en büyük değeri varsa, bu değeri veren noktasına ise yerel en büyük nokta denir. Öte yandan, en küçük değeri veren nokta, fonksiyonun belirli bir komşuluğu için değil, tanım aralığındaki tüm noktalar için geçerli ise, bu noktaya bütünsel en küçük nokta, tersi durumda ise bütünsel enbüyük nokta adı verilir. Doğrusal karar problemlerinde olduğu gibi, doğrusal olmayan problemlerde de, varsa yerel ve bütünsel en iyi noktaların bulunması amaçlanmaktadır. Bir lojistik firmasının, toplam taşıma kapasitesini enbüyükleyecek şekilde, taşıma filosunda bulundurması gereken eniyi araç sayısının belirlenmesi için kurulan bir modelde, taşıma kapasitesi araç sayısının bir fonksiyonu olarak ifade edildiğinde, bu fonksiyonu enbüyükleyecek şekilde araç sayısının kaç olması gerektiğinin araştırılması örnek olarak gösterilebilir. Şimdi yerel enküçük, yerel enbüyük ve bütünsel enküçük, bütünsel enbüyük kavramlarını komşuluk tanımı ile ilişkilendirerek açıklayalım: 6

11 kümesinde tanımlı bir fonksiyon olsun., in elemanı olup, komşuluğuna da A diyelim ve yukarıda olduğu gibi, = olarak gösterilsin. 1. daki tüm x ler için ise,, da yerel en küçük, 2. deki tüm x ler için ise,, da bütünsel en küçük, 3. A daki tüm x ler için ise,, da yerel en büyük, 4. deki tüm x ler için ise,, da bütünsel en büyük değer almaktadır. Türev Doğrusal olmayan karar problemlerinin, yerel en küçük ve en büyük noktalarının bulunabilmesi için türev işleminin hatırlanması gerekmektedir. Temel türev işlemleri, basit birkaç fonksiyon için aşağıdaki gibi verilmiştir: ve birer reel sayıdır. Kural Örnek Fonksiyon Türevi Fonksiyon Türevi 0 Gradiyent vektör Çok değişkenli modellerde türev işlemi, birden fazla değişken söz konusu olduğundan kısmi türev alarak gerçekleşmektedir. Bir fonksiyonun birinci dereceden kısmi (sadece bir değişkene göre) türevlerinin yer aldığı vektöre Gradiyent Vektör, gradiyent vektör kullanılarak bulunan ve ikinci dereceden kısmi türevlerin yer aldığı matrise ise Hessian Matrisi denir. Buna göre, in ye göre kısmi türevi, şeklinde gösterilir ve n değişkenli bir fonksiyonun tüm değişkenlere göre kısmi türevlerinden oluşan gradiyent vektörü de aşağıdaki gibi elde edilir: ÖRNEK 1.3: fonksiyonunun sırasıyla ve ye göre kısmi türevlerini bulalım. ÇÖZÜM 1.3: 7

12 İzleyen kısımlarda, gösterim kolaylığı olması açısından, yerine ifadesi kullanılacaktır. Hessian matrisi İkinci dereceden kısmi türevlerin oluşturduğu matrise ise Hessian Matrisi denir. Buna göre, in ye göre ikinci kısmi türevi (birinci türev de ye göre alınmış ise), şeklinde gösterilir. Birinci türev ye, ikinci türev ye göre alınmış ise de ikinci kısmi türev, şeklinde gösterilir. Buna göre, in Hessian Matrisi aşağıdaki gibi ifade edilir: ÖRNEK 1.4: Örnek 1.3 teki gradiyent vektörü (birinci dereceden kısmi türevleri) bulunan fonksiyon için Hessian Matrisini bulalım: ÇÖZÜM 1.4: Gradiyent vektör iken Hessian Matrisi, sırasıyla (,, ) e göre birinci türevlerin yer aldığı gradiyent vektörünün her bir terimi için yine sırasıyla (,, ) göre bu defa ikinci türev ifadelerinden oluşur. Örneğin Hessian matrisinin ilk satırı, gradiyent vektörün ilk terimi olan fonksiyonunun sırasıyla önce e göre türevinden (6) sonra ye göre türevinden (-7) oluşur. Buna göre yukarıdaki fonksiyon için Hessian Matrisi = olarak bulunur. İzleyen kısımlarda, gösterim kolaylığı olması açısından, yerine ifadesi kullanılacaktır. Bir noktadaki Gradiyent Vektör ve Hessian Matrisi Yukarıdaki örneği kullanarak örneğin ( ve ) = (3, 1) noktasındaki gradiyent vektörü 8

13 iken aynı noktadaki Hessian Matrisi, olarak elde edilir. = = Doğrusal olmayan programlama ile ilgili; belirlilik, dışbükeylik, kareli biçim gibi diğer önemli temel kavramlar, gerektikçe, kullanıldıkları alt bölümlerde açıklanacaktır. DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ VE ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI Doğrusal olmayan karar problemleri, farklı şekillerde sınıflanabilmektedirler. Bu bölüm basit sayılabilecek birkaç problem türünü ve çözüm yöntemlerini örnekleyerek ele almaktadır. Doğrusal olmayan problemlerin enbüyük veya enküçük noktalarının bulunmasında temel operatör türev alma işlemidir. Çözüm süreci sırasıyla 1) birinci türev (f ) yardımıyla, önce çözüm olabilecek nokta veya noktaların olup olmadığının araştırılması 2) ikinci türev (f ) yardımıyla varsa, birinci türev ile bulunan bu nokta(lar)ın bir yerel enküçük veya enbüyük nokta olup olamayacağının sınanması 3) bulunan nokta, önceki bölümde açıklanan tanıma göre, bir yerel nokta ise bu noktanın ilgilenilen fonksiyon için bir bütünsel eniyi nokta olup olmadığının sınanmasıdır. Bütünselliğe karar verebilmek için yerel eniyi noktası bulunan fonksiyonun içbükey veya dışbükey bir yapıya sahip olup olmadığı bilinmelidir. Yukarıda basitce özetlenen adımlar, tek veya çok değişkenli doğrusal olmayan fonksiyonların eniyi noktalarını araştırmak için uygulanan temel işlem adımlarıdır. Bu ünite, yoğun matematiksel işlemlere girmeden, gerekmesi halinde, karşılaşılan problemleri temsilen kurulan tek veya çok değişkenli basit matematiksel modelleri çözebilmek için, bazı temel çözüm yöntemleri konusunda bilgi edindirmeyi amaçlamaktadır. İzleyen kısımda önce tek değişkenli sonra çok değişkenli doğrusal olmayan modellerin çözüm yöntemleri açıklanmaktadır. Tek Değişkenli Modellerin Eniyi Çözümlerinin Bulunması fonksiyonunun enbüyük ve enküçük noktaları araştırılmak istensin. İzlenmesi gereken yol, şu adımlardan oluşmaktadır:, varsa yerel veya bütünsel eniyi noktası bulunmak istenen fonksiyon olmak üzere, 1. = 0 denklemini çözen (birinci türevi sıfıra eşitleyen) nokta,, araştırılır. ise 2) ye geçilir. Değilse, fonksiyonu, verilen aralıkta, en büyükleyen veya enküçükleyen nokta yoktur. 2. in sırasıyla 2., 3.,, n. mertebeden türevleri, 0 elde edilene kadar alınır. n çift bir sayı ise, 0 ise da yerel enküçük, 0 ise da yerel enbüyük vardır. 3. ın aynı zamanda bütünsel enbüyük veya enküçük olup olmadığını belirlemek için fonksiyonun yapısının bilinmesi gerekmektedir., dışbükey bir fonksiyon ise yerel en küçük nokta aynı zamanda bütünsel enküçük,, içbükey bir fonksiyon ise yerel enbüyük nokta aynı zamanda bütünsel enbüyüktür. Birinci adımda = 0 denkleminin analitik yolla çözümü bulunamıyorsa, diğer bazı kök bulma yöntemleriyle de çözüm araştırılabilir. 9

14 Dışbükey ve içbükey fonksiyonlar Dışbükey ve içbükey fonksiyonlar, genel olarak Şekil 1.2 de belirtildiği gibidir. Fonksiyonların enküçük ve enbüyük noktalarının belirlenmesinde, fonksiyon yapısı önemli rol oynamaktadır. Şekil 1.2: Dışbükey ve İçbükey Fonksiyonlar şeklindeki bir fonksiyon 0 ise dışbükey, 0 ise içbükeydir. Örneğin, fonksiyonu 0 olduğundan dışbükey, fonksiyonu ise 0 olduğundan içbükeydir. Eğer fonksiyon kareli ise fonksiyonların içbükey veya dışbükey olup olmadığını belirlemek kolaydır. Kareli fonksiyonlara izleyen kısımlarda yer verilecektir. Bu durumun dışında fonksiyonun içbükeyliği veya dışbükeyliği doğrudan söylenemeyebilir. Yerel enküçük, bütünsel enküçük ve dışbükey fonksiyon konusunda şu ana kadar verilen bilgiler birlikte değerlendirildiğinde; yerel enüçük noktası bulunan bir fonksiyon, eğer dışbükey ise, yerel enküçük noktanın aynı zamanda bütünsel enküçük nokta olduğu söylenebilir. Tersi durumda da, yerel enbüyük noktası bulunan bir fonksiyon, içbükey ise, yerel en büyük nokta aynı zamanda bütünsel en büyük nokta olmaktadır. ÖRNEK 1.5: Aşağıda verilen fonksiyonunun, enbüyük, enküçük noktalarını araştırınız. ÇÖZÜM 1.5: = 6,, noktasında yerel enküçük vardır. fonksiyonu 3 0 olduğu için dışbükeydir. O halde noktasında bütünsel enküçük vardır. Verilen tek değişkenli fonksiyonun, tanım aralığı sözkonusu değilse, için enbüyük ve enküçük noktaları araştırılmak istenirse, bu durumda fonksiyonun birinci türevini sıfıra eşitleyen noktanın, verilen özel tanım aralığında olmasına gerek kalmamaktadır. Fonksiyon tüm için tanımlıdır. Bu durumda, adımlar; 1. = 0 denklemini çözen (birinci türevi sıfıra eşitleyen) nokta,, araştırılır. 2. in sırasıyla 2., 3.,, n. mertebeden türevleri, 0 elde edilene kadar alınır. n çift bir sayı ise 0 ise da yerel enküçük, 0 ise da yerel enbüyük vardır. 10

15 3. ın aynı zamanda bütünsel enbüyük veya enküçük olup olmadığını belirlemek için fonksiyonun yapısının bilinmesi gerekmektedir., dışbükey bir fonksiyon ise yerel en küçük nokta aynı zamanda bütünsel enküçük,, içbükey bir fonksiyon ise yerel enbüyük nokta aynı zamanda bütünsel enbüyüktür, şeklinde olmaktadır. ÖRNEK 1.6: fonksiyonunun; enbüyük, enküçük noktalarını araştırınız. ÇÖZÜM 1.6: =,, noktasında yerel enbüyük vardır.,, noktasında yerel enküçük vardır. Fonksiyonun bir kesitinin (yerel enküçük ve en büyük noktaların bulunduğu) grafiği Şekil 1.3 teki gibidir. Tanım aralığı şeklindedir. Görüldüğü gibi fonksiyonun tümünün içbükeyliği veya dışbükeyliği konusunda bir şey söylenemez. Fonksiyon belirli bölgelerde içbükey belirli bölgelerde ise dışbükeydir. Şekil 1.3: Örnek 1.6 da, verilen fonksiyonun şeklinde olması durumunda eniyi noktalarını araştırınız. Çok Değişkenli Modellerin Eniyi Çözümlerinin Bulunması En iyi noktası araştırılan fonksiyon birden fazla değişken içerebilir. Bu durumdaki modeller, kısıtsız ve kısıtlı olarak ikiye ayrılır. Ayrıca kendi içinde kısıtlı modeller de, kısıtları eşitlik halinde olan ve olmayan şeklinde gruplanabilmektedirler. Bu ünitede, çok değişkenli modellerden sadece kısıtsız olanlarına ve çözüm yöntemine yer verilecektir. Aşağıda çok değişkenli ve kısıtsız bir model verilmiştir. Bu modelin eniyi noktaları bulunmak istensin. Tek değişkenli fonksiyonlarda olduğu gibi çok değişkenli fonksiyonlarda da, fonksiyonu enbüyükleyen veya enküçükleyen noktaların bulunabilmesi için türev alma işlemine başvurulmaktadır. Birden fazla değişkenli fonksiyonlarda, kısmi türev almak gerekmektedir. İzlenmesi gereken adımlar şu şekildedir: 11

16 , varsa eniyi noktası bulunmak istenen fonksiyon olmak üzere, 1. = 0 denklemini çözen (birinci türevi sıfıra eşitleyen) nokta,, araştırılır. Birinci türevi sıfıra eşitleyen nokta varsa, adım b) ye geçilir. Analitik olarak çözülemiyorsa yaklaşık çözüm veren ve bu ünitede yer verilmeyecek diğer yöntemlere başvurulabilir. 2. ve bulunur. 3. Fonksiyonun a) da bulunan noktada bir yerel eniyi değeri olup olmadığının belirlenebilmesi, bu noktada fonksiyonun dışbükey veya içbükey olup olmadığının bilinmesini gerektirmektedir. Fonksiyon bulunan nokta civarında dışbükey ise,, da yerel enküçük, içbükey ise, da yerel enbüyük değerini almaktadır. 4. ın aynı zamanda bütünsel enküçük veya enbüyük olup olmadığını belirlemek için fonksiyonun yapısının bilinmesi gerekmektedir., dışbükey bir fonksiyon ise yerel en küçük nokta aynı zamanda bütünsel enküçük,, içbükey bir fonksiyon ise yerel enbüyük nokta aynı zamanda bütünsel enbüyüktür. Yukarıdaki adımlarla ilgili izleyen açıklamalara ihtiyaç vardır. b) adımında, fonksiyonların noktasında içbükey veya dışbükey olduğunun belirlenmesi asal minör denen ve Hessian Matrisi yardımıyla bulunan bir dizi parametrenin hesabı ile mümkün olur. Asal minörler, aynı zamanda, yerel eniyi nokta, varsa bulunduktan sonra, bütünsel eniyi olup olmadığının fonksiyonun dışbükey veya içbükey olup olmadığının belirlendiği aşamada da kullanılırlar. Ancak bu işlem genellikle kareli fonksiyonlar için yapılabilmektedir. ile gösterilen asal minörler, eğer -, +, -, +, şeklinde değer aldıysa, fonksiyon içbükey; +, +, +, + şeklinde değer aldıysa da, dışbükey demektir. İzleyen tanımda, kareli biçim başlığı içerisinde asal minörler örneklenmektedir. Kareli biçim biçimindeki fonksiyonlara kareli biçim denir. Kareli biçimlerde her terim ya bir değişkenin karesi ya da iki değişkenin çarpımı şeklindedir. Kareli biçimlere örnek olarak aşağıdaki fonksiyonlar verilebilir: -3 Enbüyük veya enküçük noktası araştırılan fonksiyon, kareli biçimdeyse, içbükey veya dışbükey olup olmadığı, bir başka deyişle varsa, yerel eniyi noktasının aynı zamanda da bütünsel eniyi nokta olup olmadığı daha kolay belirlenebilir. Bu işlem için ise asal minör denen ve aşağıda hesaplanma şekli örneklenen parametrelerin bulunması yeterli olacaktır: Yukarıda kareli biçimlere örnek olarak verilen bazı fonksiyonların içbükey veya dışbükey olup olmama durumları aşağıdaki gibi incelenebilir: fonksiyonunun katsayılar matrisi, simetrik olarak aşağıda verilen A matrisinde gösterilmiştir. r ij, matriste i sıra, j sütun elemanını gösterdiğine göre A matrisinin birinci satır birinci sütundaki ilk elemanı r 11, fonksiyonda nin katsayısını, ikinci satır ikinci sütundaki elemanı r 22 ise teriminin katsayısını içermektedir. Bu durumda = 2, = 3 olmaktadır. Matrisin ve hücrelerine ise varsa ve terimlerinin katsayıları yerleştirilir. Öte yandan son iki ifade, aynı terim anlamına gelmektedir. Bu sebeple, fonksiyonda veya terimlerinden herhangi birisi varsa, A matrisinin ve hücrelerine ikisinin katsayılarının toplamının yarısı, iki terimin sadece birisi varsa bu değişkenin 12

17 katsayısının yarısı, iki terim de yoksa 0 değeri yerleştirilir. Verilen fonksiyonda, terimi yer aldığından, ve, her ikisi de, -1/2 değerini almıştır. Buna göre A matrisi, şeklinde oluşturulur. Bu matrisin sırasıyla önce sol üst köşegen değerinin (1x1 lik kare matrisin) determinantı, sonra boyutu bir arttırarak 2x2 lik kare matrisin determinantı bulunur. Her determinant değerine asal minör denir ve simgesiyle gösterilir. Bu durumda, sol üst köşegen değerinin determinantı 1 ; = 2 = 2 sonra, (2x2) lik matrisin determinantı 2, = = 6 ¼ = 23/4 olarak elde edilir. Bu sonuçlara göre;, olup işaretleri +, + şeklindedir. O halde, fonksiyonu dışbükey bir fonksiyondur. Benzer şekilde, fonksiyonunun da belirlilik durumunu inceleyelim. Fonksiyonun katsayılar matrisi olmak üzere matrisinin asal minörleri, = -5 = -5 = = 15 9/4 = 51/4 olarak elde edilir.bu sonuçlara göre;, olup işaretleri -, + şeklindedir. Bu durumda fonksiyonu içbükey bir fonksiyon olmaktadır. Aşağıda konuyla ilgili bazı yararlı özellikler verilmiştir. Özellik 1: Doğrusal fonksiyonlar hem içbükey hem de dışbükeydirler. Özellik 2: Dışbükey fonksiyonların toplamı da dışbükey, içbükey fonksiyonların toplamı da içbükeydir. Özellik 1 ve 2 ye göre, eğer bir fonksiyonun bir kısmı doğrusal bir yapıdan diğer bir kısmı kareli bir yapıdan oluşmakta ise, fonksiyonun içbükeylik veya dışbükeylik durumunun kareli kısımın yapısına göre belirlenebildiği anlaşılmaktadır. ÖRNEK 1.7: Aşağıdaki fonksiyonun içbükey veya dışbükey olup olmadığını araştırınız. 13

18 ÇÖZÜM 1.7: Verilen fonksiyon ve = şeklinde iki parçaya ayrılsın. Bu fonksiyonların ilki, verilen fonksiyonun kareli, ikincisi ise doğrusal kısmına karşılık gelir, böylece verilen f fonksiyonu iki fonksiyonun toplamı şeklinde ifade edilebilir. Böyle durumlarda, fonksiyonunun dışbükey veya içbükeyliği, sadece kareli fonksiyona göre incelenebilir, doğrusal fonksiyon ise hem içbükey hem dışbükey olmaktadır. fonksiyonunun katsayılar matrisi = şeklinde oluşturulur. Buradan, = 6 = 6 = = 30 olarak elde edilir., olup asal minörlerin işaretleri +, + şeklindedir. Bu durum, şeklinde verilen kareli fonksiyonun dışbükey olduğunu göstermektedir. = fonksiyonu ise, hem dışbükey hem içbükeydir. Dışbükey fonksiyonların toplamı da dışbükey, içbükey fonksiyonların toplamı da içbükey olduğundan, fonksiyonu da iki dışbükey fonksiyonun toplamı olarak, dışbükey olmaktadır. fonksiyonunun asal minörlerini ve içbükey veya dışbükey olma durumunu araştırınız. Şimdi aşağıda verilen çok değişkenli kısıtsız modelin, yukarıdaki temel bilgiler ve adımlar doğrultusunda eniyi noktalarını araştıralım. ÖRNEK 1.8: Bir havayolu şirketi, iki yeni model uçak alımı ile araç filosunu genişletmeyi amaçlamaktadır. Talepte beklenen artış, alınacak uçak adedinin bir fonksiyonu olarak belirlenmiştir. Buna göre, : i. tip uçaktan alınacak adet olmak üzere, 1. tip yeni uçaklar, tane birinci tip uçak alınması halinde, talepte - adet artışa sebep olacaktır. Benzer şekilde, 2.tip yeni uçaklar ise, tane ikinci tip uçak alınması halinde talepte - adetlik artışa sebep olacaktır. Talepteki bir birimlik artış, ortalama 30 para birimi kazanç sağlamaktadır. 1. tip uçağın maliyeti 2100, 2. tip uçağın maliyeti ise 1400 para birimidir. Toplam kar artışını enbüyükleyecek şekilde, hangi uçaktan kaç adet alınması gerektiğini bulalım. 14

19 ÇÖZÜM 1.8: Talepteki toplam artış, - birimdir. Birim başına 30 para birimi kazanç elde edileceğinden, uçak satın alma maliyeti elde edilecek kazançtan çıkartılırsa, toplam kar artışı ve nin bir fonksiyonu olarak aşağıdaki gibi elde edilecektir. Fonksiyon düzenlenirse, elde edilir. Yukarıdaki model, çok değişkenli ve kısıtsız yapıya uymaktadır. Sayfa 12 ve 13 de çok değişkenli modellerin eniyi çözümlerinin bulunması konusunda verilen adımlar hatırlanırsa, sırasıyla Gradiyent Vektörü ve Hessian Matrisi incelenmelidir. = 0, iken aynı noktadaki Hessian Matrisi, = Gradiyent Vektörü ve Hessian Matrisi, vektörüne bağlı olarak elde edilmemiştir. Bu sebeple, matrisinin ( ) noktasındaki değeri de aynıdır. Bu noktada bir yerel eniyi değer olup olmadığını belirleyebilmek için, Hessian Matrisi nden elde edilecek olan asal minörler aşağıdaki gibi bulunabilir: = -30 = -30 = = 1400, olup asal minörlerin işaretleri -, + şeklindedir. Bu durum, fonksiyonun verilen noktada yerel en büyüğü olduğu anlamına gelmektedir. Bu noktanın aynı zamanda bütünsel enbüyük olup olmadığının belirlenebilmesi için fonksiyonun yapısı incelenmelidir. Örnek 1.7 de olduğu gibi burada da fonksiyon kareli ve doğrusal olmak üzere iki parçadan oluşmaktadır. şeklinde oluşturulan kar fonksiyonu ve = 300 = şeklinde ifade edilebilir. kareli fonksiyonunun katsayılar matrisi = şeklindedir. Asal minörleri ise, = -15 = -15 = 15

20 olarak bulunur., olup asal minörlerin işaretleri -, + şeklindedir. O halde, şeklinde verilen kareli fonksiyon içbükeydir. = fonksiyonu ise Özellik 1 e göre, hem dışbükey hem içbükeydir. Yine Özellik 2 ye göre de, içbükey fonksiyonların toplamı da içbükey olduğundan, karın enbüyüklenmesinin istendiği fonksiyonu da içbükey olmaktadır. (5 ) noktasında fonksiyonun bütünsel enbüyük değeri vardır. İki model uçaktan sırasıyla, 50 ve 40 ar tane alınması halinde, toplam kar enbüyüklenecektir. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI KAPSAMINDA YER ALAN BAZI ÖZEL PROBLEMLER İzleyen ünitelerde, Yöneylem Araştırması kapsamında yer alan bazı özel problemlere yer verilecektir. Bu kısımda, ilgili başlıklara birer giriş olması açısından bu problem türleri kısaca tanıtılmaktadır. Bunlar arasında yer alan dinamik programlama, biri diğerini izleyen ardışık kararların alındığı problemlerin çözümü için kullanılan bir tekniktir. Bir kademede alınan kararın, izleyen kademelerde alınacak kararları etkilediği durumlarda kullanılmaktadır. Bu etkileşim, alınan bir kararın izleyen kademeye yansımasını temsil eden bir çeşit geçiş fonksiyonu ile tanımlanır. Bir dönemin üretim miktarının, o dönemin dönem başı stoğu ile talebine bağlı olarak değişeceği, ayrıca gelecek döneme bırakılacak stok miktarının da, bulunulan dönemin talebi karşılandıktan sonra elde kalacak ürün miktarı kadar olacağı temel ilişkiler arasındadır. Bir diğer konu ise, bekleme hattı sistemleri ile ilgili kuyruk modelleridir. Hizmet sektöründe daha çok karşılaşılan ve hizmetin eniyi düzeyini belirleyebilmek amacıyla kullanılan modellerdir. Hizmet almak üzere banka, market, bilet gişesi gibi servis noktalarına gelen bir müşterinin; kuyrukta ortalama bekleme süresi, kuyruk büyüklüğü, kanal sayısı, kuyruk disiplini gibi kavramları içerir. Serim modelleri, çeşitli düğümlerin ayrıtlarla birbirine bağlandığı bir çeşit ağ yapısı ile karakterize edilirler. Gerçek hayatta düğümler, örneğin bir kargo şirketinin uğraması gereken şehirler, ayrıtlar ise şehirler arası yollar (mesafeler) olabilir. Bir başka örnek olarak düğümler, elektrik bağlanacak olan köyler, ayrıtlar ise köyler arası kablo bağlantıları, yine düğümler doğalgaz bağlantısı yapılması gereken semtler, ayrıtlar ise döşenen boru hatları olarak düşünülebilir. Toplam ayrıt uzunluğunu en kısa yapacak şekilde, hangi düğümlerin birbirleri ile bağlı olması gerektiğinin bulunması amaç olabilir. Bu gruba giren diğer bir problem türü, düğümler ve ayrıtlar belirli iken, bir noktadan (düğümden) verilen bir diğer noktaya en kısa hangi yollardan (ayrıtlardan) geçerek gidileceğinin bulunması şeklinde tanımlanabilir. Bu problem türleri kapsamında geliştirilen çözüm yöntemleri de bulunmaktadır. Markov süreçleri, bir sistemin karşılaşılabilir durumlarının birinden diğerine geçiş olasılıkları bilindiğinde sistemin analizi ile ilgili bir araştırma alanıdır. Başlangıç durumu verildiğinde, izleyen aşamada hangi olasılıkla hangi durumda olunacağını ve buna karşılık oluşacak olan katkıyı ölçmek ve eniyi stratejiyi belirlemek için başvurulan analizlerdir. Örneğin bir çiftçinin ekim yaptığı arazisinin bu sene içinde bulunduğu duruma göre, gelecek sene hangi durumda olacağı ya da ekonomik göstergeler açısından içinde bulunulan duruma göre bir sonraki devrede veya iki devre sonra hangi aşamada olunacağı konularındaki araştırmalar markov süreçleri kapsamında yer almaktadır. Yöneylem Araştırması kapsamında tanıtılabilecek bir diğer konu da, belirsizlik ve risk altında karar vermedir. Gerek Yöneylem Araştırması I, gerekse Yöneylem Araştırması II konularında, markov süreçleri konusu dışında, değinilen hemen tüm problemler, belirlilik ortamında karar verildiğini varsaymaktadır. Oysa gerçek hayatta çoğu karar problemi ile belirsizlik veya risk ortamında karşılaşılmaktadır. Belirsizlik, karşılaşılabilecek durumların olasılıklarının dahi bilinmediği karar ortamıdır. Risk altında karar verme ise, ortaya çıkabilir durumların olasılıklarının bilinmesi halidir. Her iki durumda da karar verirken kullanılabilecek yöntemler vardır. İzleyen ünitelerde bu konuya da ver verilmektedir. Yöneylem Araştırması kapsamında, gerek doğrusal gerekse doğrusal olmayan yapılar, problemlerin çözümünde genellikle tek bir amaç fonksiyonunu ele almıştır. Oysa gerçek hayatta, çoğu birbiriyle çelişen birden fazla amaç ve/veya ölçüt bulunmaktadır. Aynı anda hem toplam maliyeti enküçüklemek hem de toplam süreyi en küçüklemek gibi. Birden fazla amacın olduğu durumlar için kullanılabilecek bir çözüm yaklaşımı olan hedef programlama konusuna Yöneylem Araştırması I başlığında yer verilmişti. 16

21 Hedef programlama kapsamında, birden çok amacın tek bir amaç fonksiyonunda tanımlanması ve problemin doğrusal karar modeli yardımıyla çözülmesi mümkündür. Bir diğer benzer karar problemi fakat sonlu sayıda seçeneğin ve birden fazla ölçütün yer aldığı durumlara örnek problemler ise çok ölçütlü karar verme başlığında yer alabilir. Bu kapsamda kullanılabilecek tekniklerden birisi olan Analitik Hiyerarşi Süreci ne ileriki ünitelerde kısaca yer verilmektedir. Bu gruptaki problemlere örnek olarak; bir işletmenin; reklam maliyeti, ulaşılabilen kullanıcı sayısı, reklamın sıklığı gibi farklı ölçütleri gözönünde bulundurarak en iyi reklam ortamını (örneğin, TV, radyo, reklam panosu) belirlemesi konusundaki karar problemi verilebilir. Yöneylem Araştırması bilim dalı; kapsadığı, oldukça geniş bir yelpazeye ulaşan problem çeşitliliği ve sunduğu çözüm yöntemleri ile, günümüzde pek çok gerçek hayat problemine çözüm bulacak ve sistemlerin verimliliğini arttırma, kaynakları eniyi şekilde kullanma konusunda ortaya çıkabilecek sorunlarla rekabet edebilecek üstünlüktedir. Yöneylem Araştırması kapsamındaki matematiksel modellerin çözümü için geliştirilmiş yazılımlar bulunmaktadır. LINGO, GAMS gibi örnek olarak verilebilecek ve en yaygın kullanılan bu tür yazılımların yanısıra, hemen her bilgisayarda bulunan Microsoft Excel programının çözücü (solver) özelliği ile de basit düzeyde karar modelleri çözülebilmektedir. 17

22 Özet Doğrusal olmayan programlama problemleri için, doğrusal programlama problemlerinde olduğu gibi, uygun çözüm alanının dışbükey olması ve eniyi çözümün bir uç noktada olması özellikleri geçerli olmadığından, genel bir çözüm yöntemi bulunmamaktadır. Farklı problem türleri için farklı yaklaşımlar geliştirilmiştir. Bununla birlikte, problemin varsa yerel eniyi noktasının, verilen fonksiyonun birinci türevini sıfıra eşitleyen nokta olması gerekmektedir. Varsa, böyle bir noktanın, bir yerel nokta olup olmadığı da, fonksiyonun o noktada ikinci ve diğer türevlerine bakılarak belirlenebilir. Bu ünitede, gerçek hayatta karşılaşılabilecek bazı doğrusal olmayan programlama problemlerinin tanıtılması ve çözüm yöntemlerinin açıklanması amaçlanmıştır. Karşılaşılabilecek çeşitli model türlerinden; tek değişkenli modellerin kısıtsız ve kısıtlı halleri, çok değişkenli modellerin ise sadece kısıtsız hali ele alınmıştır. Bu tür modellerle karşılaşıldığında, eniyi noktanın bulunabilmesi için, bilinmesi gereken bazı temel kavramlara ve ardından çözüm yöntemlerine, örneklerle yer verilmiştir. Bir fonksiyonun, fonksiyonda karşılığı olan, geçerli değerleri kümesine tanım kümesi (tanım aralığı); tanım aralığında yer alan noktalar için karşı gelen fonksiyon değerlerinin oluşturduğu kümeye de değer kümesi denir. Tanım aralığında yer alan tüm noktalar için, karşı gelen fonksiyon değerlerinin en büyüğüne (değer kümesinin en büyük değerini verene), enbüyük nokta, en küçüğüne ise enküçük nokta denir. Tanım aralığı içerisinde, verilen bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktalardan oluşan bir alt aralığa komşuluk denmektedir. Bu komşulukta fonksiyonun, komşuluktaki diğer tüm değerlerden daha küçük bir fonksiyon değeri veren bir noktası var ise, bu noktaya yerel en küçük, diğer tüm değerlerden daha büyük bir fonksiyon değeri veren noktası var ise bu noktaya da yerel enbüyük denmektedir. Yerel enbüyük değeri veren nokta, fonksiyonun sadece belirtilen komşuluğunda değil tüm tanım aralığında yer alan noktalar içerisinde en büyük amaç fonksiyonu değerini veren ise, aynı zamanda bütünsel enbüyük nokta olmaktadır. Benzer şekilde tersi durumda da, yerel en küçük nokta aynı zamanda bütünsel en küçük nokta olmaktadır. Doğrusal olmayan programlama problemlerinin çözümünde amaç, problemin varsa bütünsel eniyi noktalarını bulmaktır. Bu problemler farklı yapılarda olabilmektedir. Tek değişkenli problemlerde de çok değişkenli problemlerde de, birinci ve ikinci gerekliyse de diğer mertebeli türevler ile yerel noktalar araştırılır. Varsa yerel noktaların bütünsel nokta 18 olup olmadıklarını belirlemek ise fonksiyonun yapısına bağlıdır. Yerel enküçük noktası bulunan bir fonksiyon dışbükey ise, bulunan nokta aynı zamanda bütünsel enküçük nokta; yerel en büyük noktası bulunan bir fonksiyon içbükey ise, bulunan yerel en büyük nokta aynı zamanda bütünsel en büyük nokta olmaktadır. Giriş ünitesi olması sebebiyle, bu ünitede, izleyen ünitelerde yer verilecek konulara da kısaca değinilmektedir. İzleyen üniteler, Yöneylem Araştırması kapsamına giren bazı özel problemlere yer vermektedir. Bunlar arasında yer alan dinamik programlama, kademeli karar problemleri ile ilgilidir. Bir kademede alınan kararın diğer kademeleri etkilediği durumlar için kullanılmaktadır. Bir başka konu olan markov süreçlerine, bir sistemin bulunulan dönemde ve gelecek dönemlerde içinde bulunacağı durumlar arasındaki geçişlerin olasılıkları söz konusu olduğunda, gelecek durumların analizi için başvurulabilir. İki nokta arasında en kısa yolun, güzergahın belirlenmesi veya bir kasabanın tüm köylerine elektrik bağlantısı yapılmak istendiğinde, toplam bağlantı maliyetini enazlayacak şekilde, hangi köylerle hangi köylerin bağlanacağının belirlendiği problem türleri serim modelleri kapsamında yer alan örnek problemlerdendir. Yöneylem Araştırması I ve II kapsamında ele alınan problem türleri ve çözüm yaklaşımları, genellikle, problem parametrelerinin bilindiği varsayımı üzerine geliştirilmiştir. Gerçek hayatta ise belirsizlik veya risk ortamları sözkonusudur. Belirsizlik ile, parametrelerin alacağı değerlerin tahmin de edilemediği, risk ortamı ile ise, bu değerlerin gerçekleşme olasılıklarının bilindiği durumdan bahsedilmektedir. Bir konuda ortaya çıkabilecek farklı durumlar ve bu durumlar karşısında izlenebilecek stratejiler bilinmekte iken, hangi stratejinin seçilmesinin en uygun olacağı konusunda kullanılabilecek teknikler bulunmaktadır. Çok ölçütlü karar verme konusunda, belirli sayıda seçeneğin, birden fazla ve birbiriyle çelişen ölçütler çerçevesinde değerlendirilmesi için bir yöntem olan Analitik Hiyerarşi Süreci konusu ele alınmaktadır. Yöneylem Araştırması tekniklerinin; günümüzde, pek çok stratejik, politik, teknik ve ekonomik karar problemlerinin çözümü için kullanılabileceği görülmektedir. Bu tekniklerin bir kısmına, Yöneylem Araştırması I konusunda da değinilmiş olduğunun hatırlanması yerinde olacaktır.

23 Kendimizi Sınayalım 1. fonksiyonunun 1. türevi hangi ifadeye karşı gelmektedir? b. c. d. e. 2. Tanım kümesi = şeklinde verilen fonksiyonunun değer kümesi aşağıdakilerden hangisidir? a. = b. c. d. e. 3. Hangisi dışbükey bir fonksiyondur? a. b. c. d. e. 4. Tek değişkenli fonksiyonların enküçük ve en büyük noktalarının bulunması ile ilgili olarak hangisi doğrudur? a. Önce varsa yerel eniyi nokta bulunur daha sonra bütünsel olup olmadığı araştırılır. b. Önce varsa bütünsel eniyi nokta bulunur. c. Yerel eniyi nokta varsa bu nokta aynı zamanda bütünsel eniyi nokta demektir. d. Enbüyükleme problemlerinde önce yerel eniyi nokta, enküçükleme problemlerinde ise önce bütünsel eniyi nokta araştırılır. e. Fonksiyon dışbükey ise, bütünsel enbüyük nokta var demektir. 5. Aşağıda verilen ifadelerden hangisi doğrudur? a. Yerel enküçük noktası bulunan fonksiyon, dışbükey ise, yerel enküçük nokta aynı zamanda bütünsel enküçüktür. b. Yerel enküçük noktası bulunan fonksiyon, içbükey ise, yerel enküçük nokta aynı zamanda bütünsel enküçüktür. c. Yerel enbüyük noktası bulunan fonksiyon, dışbükey ise, yerel enbüyük nokta aynı zamanda bütünsel enbüyüktür. d. Yerel enbüyük noktası bulunan fonksiyon, içbükey ise, yerel enbüyük nokta aynı zamanda bütünsel enküçüktür. e. Yerel enküçük noktası bulunan fonksiyon, içbükey ise, yerel enküçük nokta aynı zamanda bütünsel enbüyüktür. 6. Hangisi kareli biçiminin A katsayılar matrisidir? a. b. c. d. e. 19

24 7. Hangisi aşağıda verilen katsayılar matrisine karşı gelen asal minörlerdir? a., b.,, c., d., e., ve 10. soruları aşağıdaki fonksiyona göre yanıtlayınız Hangisi verilen fonksiyonun gradiyent vektörüdür? a. b. c. d. e. ) 9. Hangisi verilen fonksiyonun Hessian Matrisi dir? a. b. c. d. e. 10. Hangisi verilen fonksiyonun (1,3) noktasındaki gradiyent vektörüdür? a. b. c. d. e. Kendimizi Sınayalım Yanıt Anahtarı 1. c Yanıtınız yanlış ise Doğrusal Olmayan Programlama ve Temel Kavramlar başlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 2. a Yanıtınız yanlış ise Doğrusal Olmayan Programlama ve Temel Kavramlar başlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 3. d Yanıtınız yanlış ise Doğrusal Olmayan Programlama Türleri ve Çözüm Yaklaşımları başlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 4. a Yanıtınız yanlış ise Tek Değişkenli Modellerin Eniyi Çözümlerinin Bulunması başlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 5. a Yanıtınız yanlış ise Doğrusal Olmayan Programlama Türleri ve Çözüm Yaklaşımları başlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 6. b Yanıtınız yanlış ise Çok Değişkenli Modellerin Eniyi Çözümlerinin Bulunması başlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 7. a Yanıtınız yanlış ise Çok Değişkenli Modellerin Eniyi Çözümlerinin Bulunması başlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 8. a Yanıtınız yanlış ise Doğrusal Olmayan Programlama ve Temel Kavramlar başlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 9. e Yanıtınız yanlış ise Doğrusal Olmayan Programlama ve Temel Kavramlar başlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 10. b Yanıtınız yanlış ise Doğrusal Olmayan Programlama ve Temel Kavramlar başlıklı konuları yeniden gözden geçiriniz. 20

25 Sıra Sizde Yanıt Anahtarı Sıra Sizde 1 Doğrusal olmayan karar problemlerinin temel özellikleri, kısıtlar ve/veya amaç fonksiyonunda doğrusal olmayan yapıların yer almasıdır. Bir terimde iki değişkenin çarpımı veya kareli vb. ifadelerin olması bu duruma örnek olarak verilebilir. Modelde yer alan karar değişkenlerinin tamsayılı olduğu durumlarda da doğrusal olmayan programlamadan bahsedilebilir. Sıra Sizde 2 Yararlanılan Kaynaklar Taha, H, (2003), Yöneylem Araştırması, 3. Basım, (Baray Ş. A., Esnaf Ş. tarafından çeviri), Literatür Yayıncılık, İstanbul. = = 0 noktasında yerel enbüyük vardır. fonksiyonu -30 olduğundan içbükeydir, o halde noktasında bütünsel enbüyük vardır. Sıra Sizde 3 = -3 = -3 = = -3 25/4 = -37/4, olup işaretleri -, - şeklindedir. Buna göre, fonksiyonu içbükey bir fonksiyondur. 21

26 2 Amaçlarımız Bu üniteyi tamamladıktan sonra; Tamsayılı programlama, bütünüyle, karma ve 0-1 tamsayılı modelleri tanımlayabilecek, Tamsayılı programlama problemlerinin çözüm yöntemleri açıklayabilecek, Karar modeli geliştirmede tamsayılı değişken kullanımını belirleyebilecek bilgi ve becerilere sahip olabilirsiniz Anahtar Kavramlar Doğrusal Olmayan Programlama Tamsayılı Karar Modeli Bütünüyle Tamsayılı Karar Modeli Yuvarlama Sayımlama Dal Sınır Algoritması Karma Tamsayılı Karar Modeli 0-1 Tamsayılı Karar Modeli İçindekiler Giriş Tamsayılı Programlama Problemleri ve Türleri Tamsayılı Programlama Problemlerinin Çözüm Yöntemleri Karar Modeli Geliştirmede Tamsayılı Değişken Kullanımı 22

27 Tamsayılı Programlama GİRİŞ Bu ünite, Yöneylem Araştırması kapsamında bir problem alanı olan doğrusal olmayan programlama çerçevesinde yer alan tamsayılı programlama konusuna yer vermektedir. Yöneylem Araştırması problemlerinin çözüm sürecinde modelleme aşamasının önemi açıktır. Modelden elde edilen sonuçların uygulanabilirliği ise modelin ne kadar doğru kurulduğuna ve gerçek sistemi ne derece temsil edebildiğine bağlıdır. Karar modeli geliştirirken değişkenlerin alacağı değerlerin tamsayı olmasını gerektiren durumlar sözkonusudur. Beyaz eşya üretimi yapan bir işletmenin haftalık üretim programını hazırlarken, gözönünde bulundurduğu; eldeki kaynakların aşılmaması, taleplerin karşılanması vb. kısıtların yanısıra değişkenlerin de tamsayı olması gerektiği koşuluna modelde yer verilmelidir. Bazı durumlarda da modelde yer alan değişkenlerin bir kısmının tamsayı olması gerekirken bir diğer kısmı sürekli değişken olarak tanımlanabilir. Örneğin kesme şeker ve toz şeker üreten bir işletmenin haftalık üretim planı yapılırken, kesme şeker miktarının adet (3 milyon adet gibi) veya kutu (1000 kutu gibi) şeklinde tamsayı değer alması gerekirken toz şeker miktarının kesirli değer (2.4 ton, kg. gibi) alabilmesi mümkündür. Yine bir lojistik işletmesinin; çimento üretimi yapan ve buzdolabı kompresörü üreten iki farklı müşterisinin, taşınmasını talep ettikleri toplam ürünlerinin hafta içine dağıtımında, ilk müşteri için farklı partilerde dağıtılacak eniyi miktarlar kesirli değer alabilirken (2.4 ton, 3 ton, 3.1 ton vb.) ikinci müşterinin ürünlerinin mutlaka tamsayılı miktarlarda (2000 adet, 3500 adet, 7000 adet) olması gerekebilir. Bu durumda toplam maliyeti en küçükleyecek şekilde haftalık dağıtılması gereken miktarları belirlerken çimento dağıtım miktarını temsil eden değişken sürekli, kompresör dağıtım miktarını temsil eden değişken ise tamsayı (kesikli) değişken şeklinde tanımlanmalıdır. Yukarıdaki örneklerde, tüm değişkenlerin tamsayı olması gereken durumlar bütünüyle tamsayılı, bazı değişkenlerin tamsayı bazılarının sürekli olabildiği durumlarda karma tamsayılı programlama sözkonusudur. Ayrıca değişkenlerin 0 veya 1 değerini alabildiği; bir yatırımın gerçekleşip gerçekleşmemesi, bir deponun açılıp açılmaması, bir tezgahın kullanımına bir işçinin atanıp atanmaması gibi bir kararın verilip verilmemesi durumlarının sözkonusu olduğu problemlerde de 0-1 tamsayılı değişken kullanılmaktadır. Doğrusal olmayan karar modellerinde tamsayılı değişkenler bazı durumlarda modelleme kolaylığı açısından da kullanılmaktadırlar. İki grup kısıtttan sadece birisinin modelde geçerli olmasının gerektiği fakat hangi grubun amaca daha çok hizmet edeceğinin bilinmediği durumlarda, tamsayılı karar değişkenleri yardımıyla sözkonusu farklı durumlar modele dahil edilebilmektedir. Tamsayılı değişkenlerin bu şekilde örnek verilebilecek pek çok farklı kullanımı da sözkonusudur. Karar problemlerinde tamsayılı değişkenlerin yer alması durumunda, doğrusallık bozulmaktadır. Modelde yer alan diğer tüm kısıtlar doğrusal görünümde fakat değişkenlerin tamsayılı olduğu durumda, uygun çözüm alanının, boş küme değilse, aslında kesikli noktalardan oluştuğu bir çözüm uzayı ortaya çıkacaktır. Tamsayılı değişkenler olduğunda, uygun çözüm alanı artık dışbükey bir küme değildir ve eniyi çözümün bir uç noktada olduğu teoremi de bu sebeple geçersiz olmaktadır. Bağlı olarak Doğrusal Programlama problemleri için açıklanan çözüm yöntemleri geçersiz olup çeşitli yeni yöntemler geliştirilmiştir. Bu ünitede, önce tamsayılı karar modellerine yer verilecek, daha sonra bazı pratik çözüm yöntemleri örneklenecektir. Yukarıda belirtilen, karar modeli geliştirmede tamsayılı değişken kullanımı konusu ise ayrı bir bölümde açıklanmaktadır 23

28 TAMSAYILI PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ VE TÜRLERİ Karar değişkenlerinin tümüyle tamsayı olmasının öngörüldüğü problemler bütünüyle tamsayılı (P1), bir kısmının tamsayılı olmasının öngörüldüğü problemler karma tamsayılı (P2), karar değişkenlerinin 0-1 tamsayılı değer almasının öngörüldüğü tamsayılı problemler ise 0-1 tamsayılı (P3) programlama problemleri olarak tanımlanmaktadırlar. Her problem türüne ilişkin örnek model aşağıda verilmiştir: 8 6 ve tamsayı kısıtları altında (P1) Bütünüyle tamsayılı 6 6 tamsayı kısıtları altında (P2) Karma tamsayılı 4 3 4, 1 kısıtları altında (P3) 0-1 tamsayılı ÖRNEK 2.1: Mobilya imalatı yapan bir atölyede, gelecek ayın üretim programında; oturma grubu, koltuk takımı ve çekyat üretimi yer almaktadır. Sırasıyla her bir ürün çeşidinin gereksinim duyduğu ahşap malzeme miktarları; bir adet oturma grubu için 11, bir takım koltuk için 16 ve bir adet çekyat için 5 şeklindedir. Mobilyalar için gereken bazı parçalar seri imalat ile elde edilmekte, montaj ve kontrol işleminde oturma grubu, koltuk takımı ve çekyat için sırasıyla, 4, 6 ve 1 saat gerekmektedir. 360 kullanılabilir ahşap malzeme, 130 saat de işçilik kapasitesi bulunmaktadır. Ürünlerin birim satış karları, 300, 450 ve 80 para birimidir. Oturma grubu ve çekyat toplam üretiminin aylık 30 adedi (takımı) geçmemesi, ayrıca üretilen koltuk takımı adedinin de oturma grubu takım adedinin en fazla yarısı kadar olması öngörülmektedir. Aylık toplam satış karını enbüyükleyecek şekilde, ürünlerden kaçar takım üretilmesi gerektiğini belirleyecek karar modelini geliştiriniz. ÇÖZÜM 2.1: : ürünün üretim adedi (takım) ( = 1, 2, 3 oturma grubu, koltuk takımı, çekyat) olarak tanımlanır. kısıtları altında 24

29 Yukarıdaki karar modeli bütünüyle tamsayılı programlamaya örnektir. Bu örnekte, karar değişkenlerinin tümünün tamsayı değer alması gerekmektedir. Aşağıdaki model ise 0-1 tamsayılı değişken kullanımını örneklemektedir. ÖRNEK 2.2: Bir kasabaya, büyük yerleşim birimlerine, uzaklık ve coğrafi koşullardaki engeller sebebiyle, acil durumlarda sağlık hizmeti götürülmesinde sıkıntı yaşanmaktadır. Bu sebeple kasabanın 6 ayrı köyünün ihtiyacını karşılamak için, yeni 112 Acil Servis Ambulans Birimleri kurulması düşünülmektedir. Ambulans talep edildiğinde, en geç 8 dk. içerisinde talep noktasına gidilmesi istenmektedir. Aşağıdaki tablo, köyler arası uzaklıkları vermektedir. Enaz sayıda yeni ambulans noktası açarak ve fakat köylere ihtiyaç halinde en geç 8 dk. içerisinde ulaşmayı da sağlayacak şekilde, hangi köylere yeni ambulans birimi kurulması gerektiğine karar verecek modeli geliştiriniz. Köyler arası mesafeler (dk) Köy K1 K2 K3 K4 K5 K6 K K K K K K ÇÖZÜM 2.2: Karar değişkeni, bir köye ambulans noktası kurulup kurulmayacağı ile ilgili olmalıdır. Buna göre, i= 1,, 6 şeklinde tanımlanır. Amaç, her köye istenen sürede hizmet verecek yakınlıkta, bir ambulans noktası sunabilmektir. Buna göre örneğin birinci köye, 8 dk mesafeden daha yakın olan köyler, kendisi dışında, K3 ve K5 olmaktadır. Birinci köyün ihtiyacı olması durumunda, ambulans 8 dk. da ancak, varsa K3 ve K5 den gelebilir veya birinci köyde ambulans olmalıdır. O halde ilgili kısıt, şeklinde olmaktadır. Birinci köyün ihtiyacını istenen sürede karşılamak için bu üç köyün birisinde mutlaka ambulans istasyonu olmalıdır. Benzer şekilde diğer kısıtlarla birlikte, problemin, toplam açılacak istasyon sayısını enazlayacak şekilde kurulan matematiksel modeli aşağıdaki gibidir: kısıtları altında 25

30 Tamsayılı programlama problemlerinin türleri nelerdir? Tamsayılı programlama problemlerine örnekler Literatürde, bazı özel problemler, klasik tamsayılı programlama problemi sınıfına girmektedirler ve pek çok çalışmaya konu olmuşlardır. Bu bölümde bunlara kavramsal birkaç örnek verilecektir. Küme Örtme Problemi Küme örtme, verilen herhangi bir kümenin her üyesinin, diğer bir kümenin kabul edilebilir bir üyesince örtülmesi (kapsanması) problemidir. Amaç, kapsanan kümenin, kapsayan kümenin olabildiğince az elemanıyla örtülmesidir. ÖRNEK 2.2 de verilen problem bir küme örtme problemidir. Bir kasabanın tüm köylerine, ihtiyaç duyulması halinde, en geç 8 dk. da ambulansın ulaşabilmesi için, hangi köylere ambulans birimi kurulması gerektiğine karar verilmek istenmektedir. Altı ayrı köyden (kapsayacak küme) olabildiğince azına (kapsayacak kümenin olabildiğince az elemanını kullanarak), istasyon açarak yine bu altı köyün tümünün (hepsinin kapsanarak) ambulans ihtiyacını karşılamak istenmektedir. Küme örtme probleminin kullanımına başka bir örnek olarak, örneğin, bir havayolu işletmesinde, hafta sonuna çizelgelenen uçuşlara, pilotların atanması problemini düşünelim. Tüm uçuşlara mutlaka en az bir pilotun atanması gerekmektedir. Öte yandan, mümkünse tüm pilotlara hafta sonu uçuşu atamadan uçuşların kapsanması tercih edilmektedir. Bu durumda problem, tüm uçuşların enaz sayıda pilot görevlendirerek çizelgelenmesi şeklinde bir küme örtme problemidir. Gezgin Satıcı Problemi Bulunduğu noktadan başlayarak, belirli sayıda noktaya birer defa uğrayan, sonunda başladığı noktaya dönen ve bu güzergah boyunca katettiği toplam mesafeyi enküçüklemek isteyen bir gezginin uğrayacağı noktaların sırasının belirlenmesi problemi gezgin satıcı problemi olarak tanımlanır. Problemin basit anlamda kısıtları; her noktaya sadece bir noktadan gelinebileceği, gelinen her noktadan ise sadece tek bir başka noktaya geçilebileceği şeklindedir. Ayrıca bir yere, gidilen yerden tekrar gelinmesini önleyici kısıta da ihtiyaç vardır. Bu örnekten de anlaşıldığı gibi, bu problemde karar değişkeninin tek değil çift indisli tanımlanması gerekmektedir, karar değişkeni bir noktadan bir noktaya geçilip geçilmeyeceğine yöneliktir ve şeklinde tanımlanır. Lojistik faaliyetlerinde, ürünlerin dağıtımında, uğranması gereken boşaltım noktalarının sırasına karar verirken karşılaşılan problem, bir çeşit gezgin satıcı problemi gibi düşünülebilir. En Kısa Yol Problemi En kısa yol problemi, bir noktadan diğerine gidebilmek için izlenmesi gereken en kısa yolun belirlenmesi problemidir. Bir noktadan diğerine geçilebilecek alternatif noktalar bulunduğunda, başlangıç noktasından bitiş noktasına farklı güzergahlar oluşabilir. Toplamda katedilen mesafeyi enküçüklemek istenebilir. Bu problemde de gezgin satıcı probleminde olduğu gibi karar değişkeni bir i noktasından bir j noktasına geçilip geçilmeyeceği kararına dönüktür. En kısa yol problemi de, lojistik faaliyetlerinin planlanmasında önemli rol oynayabilir. Bazen de problem fiziki anlamda iki nokta arasındaki en kısa yolu bulmaya dönük olmamakla birlikte, çeşitli problemler en kısa yol problemine benzetilebilir. Örneğin bir işletmenin makinalarını, en küçük toplam maliyetle yenileyebilmesi için, zaman içerisindeki yenileme ve bakım planını oluşturma problemi bir en kısa yol problemine benzetilebilir. Sırt Çantası Problemi Birim kapasite kullanım miktarları ve seçilmeleri halinde ortaya çıkacak birim katkıları bilinen belirli sayıda nesneden hangilerinin, eldeki kapasiteyi aşmadan ve toplam katkıyı enbüyükleyecek şekilde, seçilmeleri gerektiğine dönük problemler, sırt çantası problemleri olarak bilinirler. Bir çantaya, çanta kapasitesini aşmadan, en çok getiriyi sağlayacak şekilde, satışa sunulabilecek ürünlerden, ağırlıklarını ve 26

31 birim karlarını da düşünerek, hangilerinin konulmasının eniyi karar olacağı benzetmesi sebebiyle sırt çantası problemi olarak adlandırılmaktadır. Farklı problemler de sırt çantası problemine benzetilebilmektedir. Örneğin, bir işletmenin, ilgilendiği belirli sayıda yatırım aracı olsun. Her bir yatırımın birim getirisi ayrıca yatırım maliyeti bilinmektedir. Yatırıma ayrılabilecek belirli bir sermaye sözkonusu iken, toplam yatırım harcamasının sermayeyi aşmamasına dikkat ederek, gerçekleştirilecek yatırımlara ve miktarlarına karar vermek bir sırt çantası problemi olarak tanımlanabilir. Problemin, birden fazla kapasite kısıtının yer aldığı, çok boyutlu sırt çantası türleri de bulunmaktadır. TAMSAYILI PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ Doğrusal ve doğrusal olmayan karar modellerinin çözümleri için farklı yaklaşımlar vardır. Fakat doğrusal karar problemlerinin, tüm kısıtlarını sağlayan noktaların bulunduğu uygun çözüm alanının dışbükey bir küme olması ve bu küme içerisinde eniyi çözümün de bir uç noktada olması, bu tip modellerin çözümlerinin doğrusal olmayan modellere göre daha kolay bulunabilmesini sağlamaktadır. Örneğin Simpleks Algoritması, doğrusal karar problemlerinin çözümü için geliştirilmiş olup pek çok problemin çözümünde kullanılabilmektedir. Doğrusal olmayan karar problemlerinin çözümü için ise, genel bir çözüm yöntemi bulunmamakta, bunun yerine, farklı problemler için farklı çözüm yaklaşımları kullanılmaktadır. Bu ünitede, tamsayılı programlama problemlerinin çözümü için geliştirilen yöntemlerden yuvarlama, sayımlama ve bir çeşit sayımlama algoritması olan dal-sınır algoritmasına yüzeysel olarak yer verilecektir. Ayrıca burada yer verilmeyen, diğer çözüm algoritmaları da vardır. Winston, W., 2003, Operations Research: Application and Algorithms, Duxbury Press. Yuvarlama Yöntemi Tamsayılı programlama problemlerinin çözüm yöntemlerinden biri yuvarlama yöntemidir. Bu yöntemde problem, tamsayı koşulu yokmuş gibi çözülür. Elde edilen çözümün tamsayı olmaması durumunda, değişkenlerin aldığı değerler en yakın iki (alt ve üst) tamsayıya yuvarlanır. Tüm değişkenlerin tamsayılı değerlerinden elde edilebilecek olası tüm kombinasyonlar için, bir uygun çözüm olup olamayacakları araştırılır. Varsa, elde edilen uygun çözümlerin en iyisi amaç fonksiyonu değerleri karşılaştırılarak seçilir. Yöntemin sakıncası, yuvarlama işlemi sonucunda, değişkenlerin aldığı değerlerin, problemin kısıtlarını sağlamayabileceği bir başka deyişle elde edilen çözümün uygun çözüm alanının içinde olmayabileceğidir. ÖRNEK 2.3: Aşağıdaki tamsayılı karar problemi verilmiş olsun.yuvarlama yöntemi ile çözümü araştıralım. ve tamsayı ÇÖZÜM 2.3: Tamsayı koşulu olmadığı durumda eniyi çözüm, grafik yöntemle, K (3.75, 1.25) noktasında ve amaç fonksiyonu değeri Z = olarak elde edilmiştir. değişkeni için en yakın tamsayılar, 3 ve 4; değişkeni için en yakın tamsayılar ise 1 ve 2 değerleridir. Bu değerlerin olası kombinasyonları belirlendiğinde, aşağıdaki noktalar elde edilir. 27

32 Tablo 2.1: Yuvarlama ile Elde Edilen Noktalar ve Uygunluk Durumları No Çözüm Kısıt 1 Kısıt Uygun çözüm Amaç fonksiyonu değeri Evet Evet X Hayır X X Hayır - Tablo 2.1 e göre, yuvarlama yöntemi ile elde edilen çözümlerden, 1. ve 2. noktalar, kısıtları sağlarken, 3. ve 4. noktalar sağlamamaktadır. 3. nokta ( = 4 ve = 1) için, olup birinci kısıt sağlanmakta, fakat, kısıtı sağlanmamaktadır Bu şekilde, ilgili nokta, kısıtlarda yerine konduğunda, ilk iki nokta kısıtları sağlamakta, 3. ve 4. noktalar ise sağlamamaktadır. Kısıtları sağlayan noktaların amaç fonksiyonu değerlerine bakıldığında, (3,2) noktası en iyi çözüm olmaktadır. Görüldüğü gibi, yuvarlama; pratik, fakat uygun çözümü garanti etmeyen bir yöntemdir. Sayımlama Yöntemi Diğer bir yöntem, olası tüm çözüm seçeneklerinin türetilmesi, içlerinden, varsa, uygun çözüm olanlarının belirlenmesi ve daha sonra amaç fonksiyonu değerini eniyileyen çözümün seçilmesidir. Bu yöntem özellikle, problemde yer alan değişkenlerin 0-1 tamsayılı olduğu durumda kullanılmakta fakat işlem yükü sebebiyle çok pratik bulunmamaktadır. Uygun çözüm olmadığı halde, pek çok noktanın türetilmesi gerekmektedir. ÖRNEK 2.4: kısıtları altında modelinin çözümünü sayımlama yöntemi ile araştıralım. ÇÖZÜM 2.4: Değişkenler 0-1 tamsayılı değişken olduğuna göre, aşağıda verilen, toplam 8 farklı durum sözkonusudur. 28

33 Tablo 2.2: Sayımlama ile Elde Edilen Noktalar ve Uygunluk Durumları No Çözüm Kısıt 1 Kısıt 2 Uygun çözüm Amaç fonksiyonu değeri Evet X Hayır Evet Evet Evet X X Hayır X Hayır X X Hayır - Tablo 2.2 ye göre, 1, 3, 4 ve 5 numaralı çözümler uygun çözüm olup kısıtları sağlamaktadırlar. Bu çözümlerin içerisinden ise (1, 1, 0) noktasına karşı gelen çözüm, enbüyük amaç fonksiyonu değerini (6) vermekte olup, eniyi çözümdür. Örneğin ve gibi sadece iki değişkenin olduğu durumda incelenecek noktalar, tüm durumlar gözönüne alındığında, (0,0), (1,0), (0,1) ve (1,1) şeklinde olup, varsa tüm kısıtları sağlayan çözümlerin amaç fonksiyonu değerini eniyileyeni, eniyi çözüm olarak seçilmelidir. Sayımlama yöntemi, yukarıda görüldüğü gibi, az sayıda değişken için bile iş yükü getirmekte, yanısıra, uygun çözüm olmadığı halde, bazı noktaların bulunmasını ve kısıtları sağlayıp sağlamadığının incelenmesini gerektirmektedir. Çok sayıda değişkenin olduğu durumlarda oldukça yoğun bir iş yükü getireceğinden, kesin çözümü vermekle birlikte, önerilen bir yöntem değildir. araştırınız. Aşağıda verilen modelin çözümünü sayımlama yöntemi ile Dal Sınır Algoritması kısıtları altında Dal sınır algoritması, tamsayılı programlama problemlerinin çözümü için kullanılan, sayımlama temelinde bir yöntemdir. Algoritmanın işleyiş prensibine geçmeden önce önemli bir noktayı belirtmek gerekmektedir. Eğer bir tamsayılı doğrusal karar problemi (kısıtlar ve amaç fonksiyonu doğrusal yapıda, sadece değişkenlerin tamsayı olma koşulu olan), değişkenlerin tamsayı olma koşulu gözardı edilerek (esnetilerek) çözüldüğünde, tüm değişkenlerin tamsayı olarak elde edildiği bir eniyi çözüm bulunursa, bu çözüm aynı zamanda tamsayılı problemin de eniyi çözümüdür. Çünkü, tamsayılı problemin uygun çözüm alanı (istenen), tamsayı koşulu olmadığı durumdaki uygun çözüm alanının (esnetilmiş problemin) bir alt kümesidir. Bu sebeple tamsayılı problemin tüm uygun çözümleri (ve en iyi çözümü) zaten diğer problemin uygun çözüm kümesi içerisinde tümüyle yer almaktadır. Dal-sınır algoritması da, yukarıda belirtilen yaklaşımla, problemi önce değişkenlerin tamsayı koşulu olmadan çözmektedir. Eğer elde edilen eniyi çözüm zaten tamsayılı bir çözüm ise, aynı zamanda tamsayılı problemin de çözümü bulunan bu çözümdür. Elde edilen çözüm tamsayılı değil ise, tamsayılı olmayan değişkenin (birden fazla ise herhangi birisinin) en yakınındaki iki değer kullanılarak yeni ek kısıtlarla uygun çözüm alanı daraltılır. Daraltılmış alanların çözümleri araştırılır. 29

34 Aşağıda bir örnek üzerinde dal sınır algoritması ile ilgili işlemler açıklanmaktadır. ÖRNEK 2.5: bulalım. ÖRNEK 2.3 de verilen aşağıdaki problemin çözümünü dal sınır algoritması ile ve tamsayı ÇÖZÜM 2.5: Şekil 2.1, P0 probleminin grafik yöntemle çözümüne karşı gelen ve ACKG ile belirtilen uygun çözüm alanını temsil etmektedir. Görüldüğü gibi bu alanda, tamsayı çözümler noktalarla belirtilmiştir, bu noktalar ve ACKG alanında noktalar arasında kalan diğer tüm noktalar da tamsayı koşulu olmayan problemin uygun çözüm alanını oluşturmaktadır. Probleme değişkenlerin tamsayılı olma koşulunun eklenmesi, tamsayı olsun olmasın tüm çözümlerin yer aldığı bu alanda, sadece noktalarla belirtilen çözümlerin elde edilmesi anlamına gelmektedir. Problemin tamsayı koşulu gözardı edildiğinde bulunacak olan eniyi çözümü, eğer tamsayı bir çözüm olarak elde edilirse, bu eniyi çözüm tamsayı olsun olmasın tüm çözümlerin de eniyisi olacağından, tamsayılı probleme karşı gelen alt çözüm uzayının da eniyi değerini yada ondan büyük bir çözümü verecek demektir. Tamsayı koşulu gözardı edildiğinde, problemin eniyi çözümü, iki değişkenin olması sebebiyle, Doğrusal Programlam konusunda yer alan grafik yöntemle elde edilmiştir. Eniyi çözüm, Şekil 2.1 de görüldüğü gibi, düzlemde, problemin iki kısıtına karşı gelen fonksiyonların kesişim noktası olan K (3.75, 1.25) noktasındadır. Amaç fonksiyonu değeri ise Z = olarak gerçekleşmiştir. Doğrusal karar problemlerinde grafik yöntem ile çözümün, her kısıta karşı gelen doğruların çizilmesi, tüm doğrular için kısıtları sağlayan yarı düzlemin belirlenmesi ve eğer varsa tüm kısıtları sağlayan ortak alanın (uygun çözüm alanı) uç noktalarından, eniyi amaç fonksiyonu değerini veren noktanın bulunması şeklinde olduğunu hatırlayalım Görüldüğü gibi ve değişkenleri tamsayı değer almamışlardır. Öte yandan, elde edilen değeri tamsayılı çözüm için bir üst sınır değeri olmaktadır (Züst = 23.75). Problem için uygun çözüm alanı içerisinden alınabilecek, kısıtları sağlayan bir çözüme karşı gelen bir nokta da alt sınır değeri olarak kabul edilebilir. Örneğin burada C (0, 0) noktasına karşılık gelen değer, Zalt = 0, bir alt sınır olarak alınabilir. Amaç, tamsayı çözümler buldukça Zalt değerini güncellemek ve olabildiğince yukarı çıkararak, üst sınıra yaklaştırmaktır. Şekil 2.1: Problemin Tamsayılı Değişkenlere Karşı Gelen Uygun Çözüm Alanı 30

35 İzleyen aşamada değişkenlerin herhangi birisi alınarak uygun çözüm alanı parçalara ayrılır ve her bir alt parçanın, tamsayı koşulu yine gözardı edilerek eniyi çözümü araştırılır. değişkeni seçilmiş olsun. = 3.75 olarak elde edildiğine göre, bu değişken, bölgesinde tamsayı değer alamayacaktır. O halde uygun çözüm alanından bu bölge çıkarılabilir. Şekil 2.2 bu duruma karşı gelmektedir. Şekil 2.2: Dallandırma Sonrası Elde Edilen P1 ve P2 Problemlerinin Uygun Çözüm Alanları Yukarıdaki dallandırma ile aslında verilen problem, P1 ve P2 olmak üzere, iki alt probleme parçalanmış olmaktadır. P1 problemi, verilen P0 problemine kısıtının, P2 problemi ise verilen P0 problemine kısıtının eklenmesi ile elde edilir. P1 probleminin uygun çözüm alanı Şekil 2.2 de ABCD ile belirlenen çok kenarlı, P2 probleminin uygun çözüm alanı ise EFG üçgeni ile belirlenen alandır. İki problemin tamsayılı çözümler kümelerinin birleşiminin, orijinal problem olan P0 probleminin tamsayılı çözümler kümesi ile aynı noktaları içerdiğine dikkat edilmelidir. Yeni kısıtları eklerken, ve olan noktaların incelenmeye devam edilecek bölgelere dahil edilmesi gerektiğine dikkat edilmelidir. Çözüm alanından çıkartılacak olan noktalar aralığındadır. P1 P2 Her iki yeni uygun çözüm alanının içerdiği en iyi çözümleri bulmak, P1 ve P2 alt problemlerini ayrı ayrı grafik yöntemle çözmek ile mümkündür. İlk adımda da olduğu gibi, yine tamsayı koşulu gözardı edilir. P1 ya da P2 probleminin birisi ile başlanabilir. İzleyen kısımda her iki durum da örneklenmektedir. Fakat çözüm için birisinin yeterli olduğu bilinmelidir. 31

36 P1 probleminin ilk sırada çözülmesi durumu P1 probleminin eniyi çözümü B(3,2) noktasındadır. Amaç fonksiyonu değeri ise Z=23 olmaktadır. Problemin çözümü için üst sınır Z=23.75 olarak elde edilmişti. P1 problemi için tamsayı çözüm elde edilmiştir. Amaç fonksiyonundaki tüm katsayılar tamsayı olduğundan, P2 probleminin daha iyi bir çözüm vermesi mümkün değildir. Bu yüzden P2 probleminin incelenmesine gerek yoktur. En iyi çözüm B(3,2) noktasında elde edilmiştir. Z=23 tür. Öte yandan yöntemle ilgili iki soruyu yanıtlamak gerekmektedir. İlki, P1 yerine P2 problemi ile çözüme başlanmış olsaydı işlemlerin nasıl devam edeceği, diğeri ise başlangıçta dallanma yaparken yerine ile başlanıp başlanamayacağıdır. İkinci soruyu önce açıklarsak; dallandırmaya hangi değişkenden başlanacağının çözüme bir yansıması yoktur. Uygun çözüm alanı düşey çizgilerle ve şu an örneklendiği gibi ekseni boyunca değil, yatay çizgilerle ve ekseni boyunca, ikiye parçalanmış olur fakat sonuçta tamsayı çözüm aranan alan aynı kalacaktır. P1 yerine P2 probleminin çözümünü önce araştırmak konusunu ise uygulayarak açıklamakta yarar vardır. Fakat hangi alt problem ile başlanırsa başlansın eniyi çözümün değişmeyeceği yine belirtilmelidir. Önce çözümlenen dala bağlı olarak, varsa, eniyi çözüme ulaşma süresi değişebilir. P2 probleminin ilk sırada çözülmesi durumu P2 problemi için eniyi çözüm F(4, 0.83) noktasında Z=23.32 ile bulunmuştur. Z=23.32 Züst = ve tamsayı çözüm elde edilmediği için ( tamsayı değil) dallandırmaya devam edilecektir. Tamsayı olmayan değişkeni için, en yakın tamsayılar olan 0 ve 1 e göre dallandırma yapılmalıdır. P2 problemi EFG üçgeni ile belirlenen alana karşı gelmekteydi. Ayrıca bu problem, başlangıçta verilen P0 modeline, dallandırma sonucu 4 kısıtının eklenmesi ile aşağıdaki gibi bulunmuştu P2 Yeni durumda, yukarıda verilen probleme, ve kısıtlarının eklenmesi ile, yeni P3 ve P4 problemleri sırasıyla aşağıdaki gibi elde edilir. P3 P4 Şimdi P3 ve P4 problemlerinin çözümleri araştırılacaktır. P3 problemine karşı gelen uygun çözüm alanı Şekil 2.3 de EG doğru parçası ile gösterilen kısımdır. Görüldüğü gibi dal sınır algoritmasında her seferinde, yeni kısıt eklentisiyle daraltılmış olan uygun çözüm alanı dikkate alınmakta ve bu alandaki en iyi çözüm araştırılmaktadır. 32

37 Şekil 2.3: P2 Probleminin Dallandırılması Sonrası Elde Edilen P3 ve P4 Problemlerinin Uygun Çözüm Alanları P4 probleminin uygun çözüm alanı ise P2 problemine kısıtının eklenmesi ile elde edilen ve EFG üçgeni ile kısıtını sağlayan noktaları aynı anda kapsayan ortak alana karşı gelecektir. Öte yandan bu ortak alan boş kümedir. Şekil 2.3 ten de görüldüğü gibi EFG üçgenine karşı gelen alan ile kısıtını sağlayan noktaların ortak kümesi bulunmamaktadır. Bu sebeple bu yönde dallandırma sona ermiştir. P3 probleminin uygun çözüm alanı olan ve EG doğru parçasına karşı gelen uygun çözüm alanının E ve G olmak üzere iki uç noktası bulunmaktadır. Bu noktalardan G(4.5, 0) noktası P3 probleminin en iyi çözümüdür. Z=22.75 olarak elde edilmiştir. Tamsayı çözüm elde edilmediği için, alt sınırın güncellenmesi veya dalla ilgili işlemin sonlandırılması sözkonusu değildir. Önceki aşamalarda olduğu gibi, şimdi de P3 problemi için iki ek kısıt ile P3 probleminin uygun çözüm alanı dallandırılacaktır. = 4.5 olarak elde edildiğine göre, aralığında tamsayı değer alamayacaktır. O halde uygun çözüm alanından bu bölge çıkarılabilir. En iyi çözüm bu alt problem için ancak veya kısıtlarının eklendiği ve sırasıyla P5 ve P6 olarak ifade edilen problemlere karşı gelen uygun çözüm alanlarından birinde olabilir. Şekil 4, P5 ve P6 problemlerine karşı gelen alanları göstermektedir. Şekil 2.4: P3 Probleminin Dallandırılması Sonrası Elde Edilen P5 ve P6 Problemlerinin Uygun Çözüm Alanları 33

38 P3 bölgesine, kısıtının eklenmesi ile elde edilen P5 probleminin uygun çözüm alanının tek noktası E(4,0) noktasıdır. Bu noktaya karşı gelen amaç fonksiyonu değeri olan Z=20 dir. Bu değer önceki alt sınırdan (Zalt=0) daha büyük olduğundan alt sınırın güncellenmesi gerekir. Zalt=20 olarak belirlenir. Son olarak P3 bölgesine, kısıtının eklenmesi ile elde edilen P6 probleminin de uygun çözüm alanının boş olduğu görülmektedir. Bu durumda başlangıçta verilen P0 probleminin çözümüne kısıtı eklenerek elde edilen P2 probleminin çözümü ve izleyen gerekli işlemlerin bu dal için tamamlanması sonucu E(4,0) noktası elde edilmiştir. Zalt değeri ise 20 dir. Şimdi ise dallandırmanın diğer tarafında yer alan ve işleminin tamamlanması gereken P1 probleminin çözümü araştırılmalıdır. P1 probleminin uygun çözüm alanı Şekil 2 de ABCD ile belirlenen çok kenarlı olup eniyi çözümü B(3,2) noktasındadır ve amaç fonksiyonu değeri ise Z=23 tür. Tamsayı çözüm elde edildiğine göre, bu dalla ilgili işlem de sona ermiştir. Daha büyük ve üst sınıra daha yakın bir amaç fonksiyonu değeri (23 elde edildiğinden yeni alt sınır Zalt=23 olarak güncellenmelidir. Görüldüğü gibi P2 probleminin ilk sırada çözüldüğü bu durumda da eniyi çözüm elde edilmiştir. Fakat son işlem olarak P1 probleminin çözümüne geçildiğinde elde edilen (3, 2) noktası eniyi çözümü vermiştir. Burada dal sınır algoritmasının zayıf noktalarından birisi olarak değişik bir duruma dikkat çekilmelidir. Çözüme P1 probleminden başlanırsa, mevcut üst sınıra olabildiğince yakın alt sınır olarak Zalt=23 için, B(3,2) değeri hemen elde edilmekte, problem için üst sınır olduğundan P2 problemi için işlem yapmaya gerek olmadığı sonucuna ulaşılmaktadır. B(3,2) noktası en iyi çözüm, 23 eniyi değer olmaktadır. Fakat çözüme P2 problemi ile başlanırsa, yukarıda bu durum için açıklanan işlemleri ilk sırada yapmak kaçınılmazdır. Eniyi çözümün P1 probleminin çözümüyle elde edileceği, ancak P1 problemiyle ilgili işlemleri de tamamlayınca ortaya çıkabilmektedir. Fakat her durumda eniyi çözüm, aynı noktada elde edilmektedir. Değişken sayısının ikiden fazla olduğu durumlar Dal-sınır algoritmasında esas olan, problemi, her seferinde yeni bir kısıt ekleyerek ve tamsayı koşulu gözardı edilerek, doğrusal bir karar modeli olarak çözmektir. Algoritma, yukarıdaki problemde, iki değişkenli durumda kolay uygulanabildiğinden, grafik yöntem ile örneklenmiştir. İkiden fazla sayıda değişken olduğu durumlarda ise her aşamada Simpleks Algoritması ile çözüm araştırılır, tamsayılı çözümün elde edilip edilmeme durumuna göre dallandırma yapılarak, yine Simpleks Algoritması ile yeni alt problemler çözülür. Amaç fonksiyonunun enküçükleme olduğu durum Bu durumda, eğer varsa, tamsayı koşulu gözardı edildiğinde bulunan çözümün amaç fonksiyonu değeri, tamsayılı problem için alt sınır olarak kabul edilir. Uygun çözüm alanından, alt sınırdan daha büyük bir amaç fonksiyonu değeri veren bir nokta için amaç fonksiyonu değeri ise üst sınır kabul edilir. Tamsayılı çözüm elde edildikçe, mevcut üst sınırdan daha küçük bir amaç fonksiyonu değeri de varsa, üst sınır güncellenir. Üst sınırın, sabit değere sahip olan alt sınıra olabildiğince yaklaşması istenir. Bu aşamada, Dal Sınır Algoritması nın ayrıntılarına daha fazla girilmeyecektir. Yöntem, tamsayılı değişkenlerin çözüm yöntemlerine bir örnek olarak bu ünitede basit düzeyde yer almıştır. Karmaşık olmayan küçük problemlerde, özellikle iki değişken olduğu durumlarda eniyi çözüme pratik olarak grafik yöntem aracılığıyla ulaşılabilir. Tamsayılı karar problemlerinin, bu ünitede yer almayan başka çözüm yöntemleri de bulunmaktadır. Kesme düzlemi, Balas Algoritması bu diğer yöntemler arasındadır. İki değişkenli bir tamsayılı karar probleminin, dal sınır algoritması ile çözümünde, grafik yöntemle (2.4, 4.6) noktasında eniyi çözüm elde edilmiştir. Problem enbüyüklemedir. Bu çözüme karşı gelen amaç fonksiyonu değeri ise 24,6 olarak bulunmuştur. değişkenine göre problem dallandırıldığında, 2 için en iyi çözüm bulunmuş ve amaç fonksiyonu değeri 20 olarak elde edilmiştir. Diğer dal olan 3 için de çözüm aramaya gerek var mıdır? Neden? 34

39 KARAR MODELİ GELİŞTİRMEDE TAMSAYILI DEĞİŞKEN KULLANIMI Tamsayılı karar değişkenlerinin, model geliştirmede farklı amaçlarla kullanımı da sözkonusudur. Sadece tamsayı değer alması gereken karar değişkenlerinin tanımlanması için değil, bazı durumlarda, iki grup kısıttan birisinin sağlanması, belirli sayıda projenin, uygulamaya alınacak olan ve olmayanlarına karar verilmesi gibi çeşitli amaçlarla da tamsayılı değişkenler kullanılabilir. Aşağıda çeşitli örnekler verilmektedir. Örneklerin kimisi bütünüyle bir matematiksel modele, kimisi ise özel durumlara ve bu durumlarda istenen bazı koşulların nasıl bir değişken kullanımı ile sağlanabileceğine dönüktür. ÖRNEK 2.6: Bir lojistik firmasının, faaliyet gösterdiği bölgede yeni depolar açması sözkonusudur. Depo açılabilecek 7 farklı yer belirlenmiş olup, toplam 3 yeni depo açılacaktır. Karar verici, 4. veya 5. aday yerlerin birisine mutlaka depo açılmasını istemektedir. Öte yandan, 2. noktaya depo açılırsa, bulunacağı bölgedeki talebi karşılamada yetersiz kalabileceğinden yakınında yer alacak olan 6. noktaya da mutlaka depo açılması gerekmektedir. Aday noktalarda depo açmanın maliyeti sırasıyla, 3, 2, 5, 6, 8, 9, 6 bin para birimidir. Toplam maliyeti enküçükleyecek şekilde, hangi depoların açılması gerektiğine karar verilmek istenmektedir. ÇÖZÜM 2.6: Karar değişkeni, bir deponun açılıp açılmamasına yönelik olmalıdır. 0-1 tamsayılı değişken tanımlaması gerekmektedir. ÖRNEK 2.7: Bir işletme, tekstil sektöründe faaliyet göstermekte ve üç ayrı kumaş üretmektedir. Üretim sürecinde yer alan kesme işlemi için iki yeni makinenin kullanımı sözkonusu olmuştur. Eğer 1. makine kullanılırsa, kumaşların metresi sırasıyla 3, 2 ve 4 dk. da; 2. makine kullanılırsa da kumaşların metresi sırasıyla 1, 3 ve 5 dk. da kesilebilecektir. Birinci makine toplam 420 dk., ikinci makine ise günde toplam 360 dk. çalışabilecektir. İki makine de, kiralanarak kullanılabilecek olup, makine kiraları günlük 35 olarak tanımlanırsa, karar modeli aşağıdaki şekilde geliştirilir. (1) (2) (3) kısıtları altında Enküçük 3 1.nolu kısıt toplam 7 aday yerin yalnızca 3 tanesine depo açılmasını sağlayacak kısıttır. = 1 ise depo açılacak anlamına gelmektedir. 2.nolu kısıt 4. ve 5. aday depoların yalnızca ve mutlaka birisine depo açılmasını sağlamak içindir. İki değişkenin birisi mutlaka 1 değerini alacaktır. 3.nolu kısıt ise 2. depo açılırsa 6. deponun da açılmasını sağlamak içindir., 1 değerini alırsa, bu durum 2. noktaya depo açılması anlamına gelecek olup bu durumda, öngörüldüğü gibi 6. noktaya da depo açılmasını sağlamak, değişkeninin de 1 değerini almasını gerektirmektedir. (3) nolu kısıt bu durumda matematiksel yapısıyla = 1 iken = 1 olmaya zorlamaktadır. Öte yandan,, 0 değerini alırsa, bu durum 2. noktaya depo açılmaması anlamına gelmektedir. Bu durumda 6. noktaya deponun açılıp açılmamasının bir önemi olmayacak olup, = 1 değeri için de = 0 değeri için de (3) nolu kısıt sağlanacaktır. Bir başka deyişle 2. depo açılırsa 6. depoda mutlaka açılacak fakat 2. deponun açılmaması halinde 6. deponun açılmasıyla açılmamasının önemi olmayacaktır. 6. depo, 2. depo açılmadan da açılabilmektedir. Fakat her deponun açılışı için bir maliyet sözkonusudur. Bu sebeple, amaç fonksiyonunun enküçük değeri istendiğinden, bu iki durumdan, her zaman, amaç fonksiyonunu daha da küçültecek olan ve = 0 a karşı gelen çözüm seçilecektir. İki durumdan birisinin sağlanması konusuna ise aşağıdaki problem örnek verilecektir.

40 sırasıyla 700 ve 580 para birimidir. Kumaş üretiminden metre başına elde edilen karlar ise sırasıyla 5, 3 ve 7 para birimidir. Üretimde iki makinenin sadece birisi kullanılacaktır. Bir makineye karar verildiğinde tüm ürünler, seçilen (kiralanacak) bu makinede üretilecektir. Toplam günlük karı enbüyükleyecek şekilde hangi kumaştan kaç metre ve hangi makinada üretilmesi gerektiğini bulacak karar modelini geliştirelim. Üretim sürecinde iki alternatif makine sözkonusu olmasaydı problem makine kapasitesini aşmayacak şekilde, toplam günlük karı enbüyükleyecek kumaş üretim miktarlarını bulmak olarak tanımlanacaktı. Aynı tanım yine geçerli olmakla birlikte, bu defa iki ayrı makinenin sadece birisinde üretim yapılacağından bu duruma uygun düzenlemelerin yapılması gerekmektedir. Karar değişkenleri olarak tanımlansın. Tanımlanan probleme göre, ya 1. ya 2. makine işleme alınacak, bu sebeple de ya birisinin ya diğerinin birim üretim süreleri kullanılarak kapasite kısıtı işleme alınacaktır. Kurulacak matematiksel model, bu iki durumu da içermelidir. 1. makine kiralandığında, bir başka deyişle 1. makine ile ilgili kısıt geçerli ise, 2. makine ile ilgili kısıt işlem dışı kalmalı, 2. makine ile ilgili kısıt geçerli olduğunda ise 1. makine ile ilgili kısıt işlem dışı kalmalıdır. Problemin bu durumu dikkate alan matematiksel modeli aşağıdaki gibidir: M (1) M (2) 5 (3) Modelimizi alışılan karar problemlerinden ayıran, M skaleri ve y karar değişkenini açıklayalım. M çok büyük pozitif bir sayı olarak kabul edilir. = 1 olması durumunda M öyle büyük bir pozitif sayı olacaktır ki, tüm değerleri için M kısıtı daima sağlanacaktır, bu durum (1) nolu denklemin kısıt olmaktan çıkması ve (2) nolu kısıtın sağlanması anlamına gelmektedir. Nitekim = 1 iken M olmaktadır ve (2) nolu kısıt durumuna gelmektedir. Bu haliyle 2. makinanın kiralanması durumunda geçerli olacak kapasite parametreleri dikkate alınmış olacaktır. Öte yandan tersi durumda ise, = 0 olması halinde, 1. kısıt normal parametreleri ile kalacaktır, yine benzer şekilde bu kısıt her durumda değil ancak 1. makine kiralanırsa geçerli olacak ve işleme girecektir. Bu durumda (1) nolu kısıt şeklinde olacaktır. = 0 olması halinde, (2) nolu kısıt ise M olup bu kez de bu kısıt her durumda sağlanacak ve kısıt olmaktan çıkacaktır. Kısıt olmaktan çıkması, ilgili matematiksel fonksiyonun lerin alacağı değerde yönlendirici olamaması şeklinde düşünülmelidir. Fakat, kısıt olmaktan çıkan ifade, modelde yer almaya devam etmektedir. Çünkü diğer durumda da tersi olacağından, örneğin (2) nolu kısıt = 1 için normal kısıtlayıcılığına devam edecek bu durumda da (1) nolu kısıt kısıt olmaktan çıkacaktır. Model her iki durumu da içermelidir. Görüldüğü gibi, karar değişkeni, kısıtlarda, şeklinde yer aldığında, kısıtların ya biri ya diğeri ve mutlaka birisi sağlanmaktadır. Bu sayede istenen yapıda bir model kurulmuş olmaktadır. 36

41 Yukarıdaki model, M M 3. 5 şeklinde de geliştirilebilirdi. Bu durumda karar değişkeni, şeklinde tanımlanır. Sonuç olarak, bu gibi kısıtlar farklı şekillerde işleme alınabilir. Önemli olan mantıksal ilişkiyi doğru kurmaktır. Kısıt şeklinde ise, kısıt olmaktan çıkması, alt sınırın çok aşağıya çekilmesi ile mümkün olur. Bu durumda, kısıtın sağ tarafına M ifadesi, negatif katsayı ile eklenir. Örnek olarak kısıtının, gerektiğinde kısıt olmaktan çıkması dönüşümü ile mümkündür. için kısıt geçerli olurken, için, alt sınır çok düşük bir değer alacak ve kısıt her zaman sağlanacak yani kısıt olmaktan çıkacaktır. ÖRNEK 2.8: 4 ayrı tedarikçinin sadece birisiyle çalışmak isteyen bir işletmeci için, karar değişkeni tedarikçi ile çalışılırsa 1, diğer durumda 0 şeklinde tanımlandığında, ilgili kısıt olarak ifade edilir. ÖRNEK 2.9: Örnek 2.8 de, 2. tedarikçi ile çalışılacaksa 3. tedarikçi ile de çalışılacak; 2. tedarikçi ile çalışılmayacaksa, 3. tedarikçi ile de çalışılmayacak olsun. Bu durumda karar değişkeni aynı kalmak üzere, bu duruma karşı gelen kısıt şeklinde olmalıdır. 37

42 Özet Bir sistemin kendisi yerine onun gibi davranan eşdeğeri olarak tanımlanan model kavramının türleri arasında yer alan matematiksel modellerin doğrusal veya doğrusal olmayan formlarda olabileceği Doğrusal Programlama kapsamında ele alınmış ve doğrusal karar modeli geliştirilebilmesi için gereken özellikler belirtilmişti. Bu özellikleri sağlamayan, bir başka deyişle, kısıtlarında veya amaç fonksiyonunda doğrusal olmayan yapıların (değişkenlerin üslü ifadesi veya iki değişkenin çarpımı) yer aldığı ya da fonksiyonların doğrusal formda olup değişkenlerin kesikli olarak tanımlandığı problemlere doğrusal olmayan karar problemleri denir. Doğrusal olmayan karar problemlerine, Ünite 1 de yer verilmiş olup bu problemler doğrusal programlamada olduğu gibi genel bir yöntem ile çözülememektedirler. Doğrusal karar problemlerinin uygun çözüm alanları bilindiği gibi dışbükey küme, eniyi çözümleri ise bu kümede bir uç noktadadır. Fakat doğrusal olmayan problemler için bu özellikler geçerli değildir. Bu ünitede, doğrusal olmayan problem türlerinden olan tamsayılı programlama konusu ele alınmıştır. Tamsayılı programlamada, modeller üç sınıfta toplanmaktadırlar: Bütünüyle tamsayılı, karma tamsayılı ve 0-1 tamsayılı programlama problemleri. Bütünüyle tamsayılı programlama problemleri, tüm değişkenlerin tamsayılı olmasının istendiği, karma tamsayılı programlama problemleri bazı değişkenlerin tamsayılı bazı değişkenlerin sürekli değişken olmasının istendiği, 0-1 tamsayılı programlama problemleri ise, modelde yer alan tüm değişkenlerin 0-1 tamsayılı olmasının istendiği problemlerdir. Tamsayılı programlama problemlerinin çözümü için geliştirilmiş çeşitli yöntemler bulunmaktadır. Bu ünitede bunlardan pratik kullanımlı birkaç tanesine yer verilmektedir. Yuvarlama yöntemi, problemin tamsayı koşulu yokmuş gibi eniyi çözümünün bulunmasına ve daha sonra bu çözümün tamsayı olarak elde edilememesi halinde, tamsayı değeri elde edilmeyen değişkenlerin değerlerinin en yakın tamsayılara yuvarlanmasına ve diğer değişkenlerle birlikte olası tüm kombinasyonların bu şekilde aday birer çözüm gibi irdelenmeleri yaklaşımına dayanmaktadır. Yöntem kolay ve pratik olmakla birlikte, yuvarlama yöntemi ile elde edilen noktaların uygun çözüm alanının dışına çıkma ve kısıtları sağlamama olasılığı bulunmaktadır. Sayımlama yöntemi, kesin çözümü veren fakat işlem yükü olan bir yöntemdir. Genellikle 0-1 tamsayılı değişkenlerin olduğu durumlarda kullanılır. Problemde yer alan tüm değişkenlerin alabileceği 0 ve 1 değerleri düşünülerek, olası tüm çözüm kombinasyonları belirlenir, her birinin kısıtları sağlayıp sağlamadığı araştırılır ve varsa problemin kısıtlarını sağlayan uygun çözümler içerisinden amaç fonksiyonu değerini eniyileyen nokta çözüm olarak seçilir. Dal sınır algoritması ise, problemin, yine tamsayı koşulu gözardı edilerek çözümünün ardından tamsayı olması istenen fakat tamsayı olarak elde edilemeyen değişkenler için uygun çözüm alanının parçalanması ve alt parçalarda eniyi tamsayı çözümün aranması yaklaşımını benimsemektedir. Alt problemlerin en iyileri arasından, tüm problemin eniyi noktasının seçilmesi için ise, verilen amaç fonksiyonunun durumuna göre, önceden belirlenen bir üst sınır veya alt sınır değeri referans kabul edilir. Örnek olarak enbüyükleme problemi için, tamsayı koşulu olmadığı durumda elde edilen çözümün amaç fonksiyonu değeri üst sınır, problemin uygun çözüm alanından alınan bir başka değer alt sınır kabul edilerek işlemlere başlanır, izleyen adımlarda tamsayılı bir çözüm bulundukça, mevcut alt sınır değerinden büyükse alt sınır güncellenerek, üst sınıra yaklaşmaya çalışılır. Bir dalla ilgili işlemler; tamsayı çözüm bulunduğunda, o alt dalın tanımladığı problemin uygun çözüm alanı boş ise ve önceden tamsayı çözümün bulunduğu başka bir dalın karşı gelen amaç fonksiyonu değerinden daha küçük bir amaç fonksiyonu değeri elde edildiyse (enbüyükleme için), biter. Dal sınır algoritması, bu ünitede grafik yöntem ile örneklenmiştir. Yukarıda da belirtildiği gibi, esas olan problemin tamsayı koşulu yokmuş gibi çözülmesidir. Çözüm yaklaşımı problemin niteliğine göre değişir. İkiden daha fazla değişken sözkonusu ise Simpleks Algoritması na başvurulması gerekebilir. Tamsayılı karar değişkenlerinin, karar problemlerinde farklı kullanım amaçları da olabilmektedir. Örneğin iki grup kısıttan sadece birisinin gerçekleşmesi istendiğinde, belirli projelerin bazılarının destekleneceği bazılarının desteklenmeyeceği gbi durumlar sözkonusu olduğunda, olumlu-olumsuz, evet-hayır, gerçekleşsin-gerçekleşmesin gibi, karar değişkenleri için sadece iki durumun bulunduğu problemlerde tamsayılı karar değişkenleri farklı şekillerde problemlerde yer alabilir. Ünitede, bu konuda örnekler yer almaktadır. 38

43 Kendimizi Sınayalım 1. değişkenlerinin yer aldığı bir tamsayılı programlama probleminin, tamsayı koşulu gözardı edildiğinde, eniyi çözümü, (4, 3.5) noktasında elde edilmiştir. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a. Dallandırma yapmaya gerek yoktur. Bulunan çözüm eniyi çözümdür. b. Tamsayılı çözüm elde edilememiştir. değişkenine göre, 4 ve 5 şeklinde dallandırma yapılmalıdır. c. Tamsayılı çözüm elde edilememiştir. değişkenine göre, 3 ve 4 şeklinde dallandırma yapılmalıdır. d. Tamsayılı çözüm elde edilememiştir. değişkenine göre, 4 ve 5 şeklinde dallandırma yapılmalıdır. e. Tamsayılı çözüm elde edilememiştir. veya değişkenlerinden herhangi birisine göre dallandırma yapılabilir. 2. değişkenlerinin yer aldığı ve amaç fonksiyonu enbüyükleme şeklinde olan bir tamsayılı programlama probleminin, tamsayı koşulu gözardı edildiğinde, eniyi çözümü, (3.2, 4.5) noktasında ve amaç fonksiyonu değeri ile elde edilmiştir. Hangisi doğru değildir? a. Tamsayılı çözüm elde edilememiştir. değişkenine göre, 4 ve 5 şeklinde dallandırma yapılabilir. b. Tamsayılı çözüm elde edilememiştir. değişkenine göre, 3 ve 4 şeklinde dallandırma yapılabilir. c. Amaç fonksiyonunun üst sınır değeri dir. d. veya değişkenlerinden herhangi birisi için dallandırma yapılabilir. e. değişkenine göre, 3 ve 4 şeklinde dallandırma yapılırsa, iki dala karşı gelen problemlerin sadece birisini çözmek yeterlidir. 3. Hangisi tamsayılı karar problemlerinin çözüm yaklaşımlarından değildir? a. Yuvarlama b. Sayımlama c. Dallandırma d. Dal-Sınır Algoritması e. Kesme Düzlemi Algoritması 4. Hangisi tamsayılı karar problemlerinin türlerinden değildir? a. Tüm değişkenlerin tamsayılı olduğu b. Bazı değişkenlerin tamsayılı bazılarının sürekli ( ) olduğu c. Tüm değişkenlerin 0-1 tamsayılı olduğu d. Tüm değişkenlerin sürekli olduğu e. Bazı değişkenlerin sürekli bazılarının 0-1 tamsayılı olduğu 5. Bir karar probleminde, değişkenlerinin tamsayı olma koşulu olup, bu koşul kaldırıldığında eniyi çözüm A(1.3, 3.4) olarak elde edilmiş olsun. Aşağıdakilerden hangisi yuvarlama yöntemi ile belirlenecek noktalardan değildir? a. B (1,3) b. C (1,4) c. E (2,3) d. F (0,2) e. G (2,4) ve 8. soruları aşağıdaki bilgilere göre yanıtlayınız. Bir işletmenin toplam 6 ayrı tedarikçinin hangileriyle çalışacağına karar vermesi gerekmektedir. şeklinde tanımlanan bir karar değişkeni iken, izleyen soruları yanıtlayınız. 39

44 6. Toplam 6 tedarikçinin 3 tanesinin seçilmesi gerekliyse, aşağıdaki ifadelerden hangisi ilgili kısıta karşılık gelir? a. b. c. d. e tedarikçi ile çalışılırsa, 5. tedarikçi ile de çalışılması istendiği durumda, aşağıdaki ifadelerden hangisi ilgili kısıta karşılık gelir? a. b. c. d. e ve 3. tedarikçilerin en çok birisiyle çalışılması istendiği durumda, aşağıdaki ifadelerden hangisi ilgili kısıta karşılık gelir? a. 1 b. c. d. 2 e. 9. ( ), 0-1 tamsayılı değişkenler olarak tanımlanmış olsun. Aşağıdaki noktalardan hangisi sayımlama yöntemi ile çözümde dikkate alınmaz? a. (1, 0, 1) b. (1, 1, 1) c. (0, 0, 1) d. (1, 2, 0) e. (0, 0, 0) 10. Aşağıdaki kısıtların sağlanması konusunda hangisi doğrudur? M a. için 1. kısıt sağlanır. b. için 1. kısıt sağlanır. c için 2. kısıt sağlanır. d. için 2. kısıt sağlanır. e. için 1. ve 2. kısıt sağlanır. Kendimizi Sınayalım Yanıt Anahtarı 1. c Yanıtınız yanlış ise Dal Sınır Algoritması başlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 2. e Yanıtınız yanlış ise Dal Sınır Algoritması başlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 3. c Yanıtınız yanlış ise Tamsayılı Programlama Problemlerinin Çözüm Yöntemleri başlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 4. d Yanıtınız yanlış ise Tamsayılı Programlama Problemlerinin Türleri başlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 5. d Yanıtınız yanlış ise Yuvarlama Yöntemi başlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 6. a Yanıtınız yanlış ise Karar Modeli Geliştirmede Tamsayılı Değişken Kullanımı başlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 7. c Yanıtınız yanlış ise Karar Modeli Geliştirmede Tamsayılı Değişken Kullanımı başlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 8. b Yanıtınız yanlış ise Karar Modeli Geliştirmede Tamsayılı Değişken Kullanımı başlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 9. d Yanıtınız yanlış ise Sayımlama Yöntemi başlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 10. a Yanıtınız yanlış ise Karar Modeli Geliştirmede Tamsayılı Değişken Kullanımı başlıklı konuları yeniden gözden geçiriniz. 40

45 Sıra Sizde Yanıt Anahtarı Sıra Sizde 1 Tamsayılı programlama problemleri; bütünüyle tamsayılı, karma tamsayılı ve 0-1 tamsayılı olmak üzere üç grupta toplanmaktadır. Bütünüyle tamsayılı problemler, tüm değişkenlerin tamsayı olmasının gerektiği; karma tamsayılı problemler, bazı değişkenlerin tamsayı bazılarının sürekli olarak tanımlandığı problemler; 0-1 tamsayılı problemler ise problemde yer alan tüm değişkenlerin 0-1 tamsayı olmasının gerektiği problemlerdir. Sıra Sizde 2 kısıtları altında Yararlanılan Kaynaklar Öztürk, A. (2009), Yöneylem Araştırması, Ekin Yayınevi, Bursa. Taha, H, (2003), Yöneylem Araştırması, 3. Basım, (Baray Ş. A., Esnaf Ş. tarafından çeviri), Literatür Yayıncılık, İstanbul. Kara, İ., (2000), Doğrusal Olmayan Programlama, Bilim Teknik Yayınevi, İstanbul. No Çözüm Kısıt 1 Kısıt 2 Uygun çözüm X Hayır X Hayır X Hayır Evet Yukarıdaki tabloya göre, ancak 4. sırada yer alan (1, 1) noktası kısıtları sağlamaktadır. Tek uygun çözüm elde edildiğinden seçilecek çözüm de bu nokta olmaktadır. Sıra Sizde 3 Elde edilen tamsayılı çözümün amaç fonksiyonu değeri 20 dir. Üst sınır değeri 24,6 olduğundan, 3 dallandırması için, üst sınıra daha yakın (20 ile 24.6 arasında) amaç fonksiyonu değeri veren bir tamsayılı çözüm elde etme olasılığı bulunmaktadır. Bu sebeple 3 kısıtının eklendiği dalla ilgili problemin de eniyi çözümü araştırılmalıdır. 41

46 3 Amaçlarımız Bu üniteyi tamamladıktan sonra; Envanter yönetiminde ele alınan envanter türleri ve maliyetlerini tanımlayabilecek, Envanter bulundurma nedenlerini açıklayabilecek, Envanter modellerinin yanıtlaması gereken iki temel soruyu açıklayabilecek, Toplam envanter maliyetini minimum kılan sipariş ve üretim miktarlarını belirleyebilecek, Siparişin ne zaman ve ne sıklıkla yapılması gerektiği sorusunu yanıtlayabilecek, Planlı stoksuzluk için izlenecek optimal envanter politikasını tanımlayabilecek, Miktar indirimini içeren envanter sipariş problemlerinde optimal sipariş miktarını hesaplayabilecek, Talebin belirsiz ve tedarik süresinin değişken olduğunda en iyi servis düzeyi ve emniyet stokunu ifade edebilecek bilgi ve becerilere sahip olabilirsiniz. Anahtar Kavramlar Envanter Maliyetleri Envanter Türleri Ekonomik Sipariş Miktarı Yeniden Sipariş Noktası Sipariş Sıklığı Ekonomik Üretim Miktarı Planlı Stoksuzluk Ekonomik Miktarı Miktar İndirimi Envanter Modeli Emniyet Stoku En Uygun Servis Düzeyi Stoksuzluk Düzeyi İçindekiler Giriş Envanter Modeli İçin Temel Kavramsal Açıklamalar Envanter Türleri Envanter Bulundurmayı Özendiren Nedenler Envanter Maliyetleri Envanter Modelleri Temel Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli Ekonomik Üretim Miktarı Modeli Planlı Stoksuzluk Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli Miktar İndirimi Envanter Modeli En Uygun Servis Düzeyi Modeli 42

47 Envanter Modelleri GİRİŞ Şirketler kendi ihtiyaçları veya müşterilerinin taleplerini karşılamak için ellerinde envanter bulundururlar. İşte şirketlerin gelecekteki üretim ve satışlar için elde tuttukları mallara envanter veya stok denir. Uygulamada, şirketleri stok bulundurmaya isteklendiren nedenlerin başında; ölçek ekonomileri, belirsizlikler, spekülasyon, değişkenliği azaltma, ulaşım, lojistik ve kontrol maliyetlerinin geldiği görülmektedir. Eldeki envanter düzeyinin yüksek veya çok az olmasının yarar ve zararları vardır. Bir kere eldeki envanter az olursa şirket her zaman stok tükenmesi ile karşı karşıya gelebilir. Stok tükenmesinin getireceği olumsuzluk; stok tükenme maliyeti yanında müşteri memnuniyetsizliği ve satış gelirlerinde azalmadır. Stoklar elde bulundurulmasında, satın alma maliyeti, sipariş maliyeti, elde bulundurma maliyeti ile karşılaşılır. Ayrıca, envanterin bulundurulması ise beklenilmeyen müşteri taleplerinin karşılanması, üretimin aksamaması ve dar boğazların giderilmesi, çatışan amaçlar arasında bir dengenin kurulması, en uygun hizmet düzeyinin belirlenmesi konularında şirketlere bir sürü yararlar sağlar. İşte envanter yönetiminin başlıca amacı, elde tutulan envanterler ile onlara ilişkin maliyetler arasında optimum dengeyi sağlayacak envanter düzeyine ilişkin kararları üretmektir. Dolayısıyla bir optimizasyon kriteri belirlenmelidir. Tüm envanter modellerinde optimizasyon kriteri olarak maliyet minimizasyonu kullanılır. Envanter yönetimi için kullanılan modellerde genellikle, sipariş veya üretime hazırlık maliyeti, stok bulundurma maliyeti, stoksuzluk maliyeti ve satın alınan malların maliyetleri söz konusudur. Amaç bu maliyetlerden bir veya birkaçının minimum olması değil bunların toplamı olan maliyetin minimum kılınmasıdır. Envanter yönetiminde asıl problem az ve öz iki soruyla tanımlanabilir: 1) Sipariş ne zaman verilmeli? 2) Ne miktarda verilmeli? Bu ünitede deterministik envanter modellerinden ekonomik sipariş miktarı modeli, ekonomik üretim miktarı modeli, planlı stoksuzluk ekonomik sipariş miktarı modeli, miktar indirimi modeli yukarıda ele alınarak belirtilen bu iki temel soruyu çeşitli envanter problemleri ele alınarak açıklanmaya çalışılacaktır. Günümüzde, talep değişken ve tedarik süresi de değişken olabilmektedir. Dolayısıyla beklenmeyen teslimat gecikmeleri ve tedarik süresi müddetinde şirketler, beklenenden fazla talep ile karşılaşarak stoksuzlukla yüz yüze kalabilir. Bu durumlarda stoksuzluğa önlemek için emniyet stoku tutulur. Tedarik süresinde beklen talebi karşılayacak stok bulunsa dahi bazı dalgalanmaları önlemek için yine emniyet stoğu sipariş edilir. Bir bakıma müşteri memnuniyeti stoktan karşılanmaya çalışılır. İşte bu durum da problem, stoksuz kalmama yüzdesi veya olasılığı ne olmalıdır ki müşteri memnuniyeti sağlansın. Bu stoksuz kalmama veya memnun edilen müşteri talep yüzdesine servis düzeyi denir ve amaçlanan en uygun servis düzeyinin sağlanmasıdır. En uygun servis düzeyini belirleyen stokastik envanter modellerinden birisi olan en uygun servis düzeyi modelidir. Bu model çalışmamızda ayrıntılı olarak en uygun servis düzeyinin, en uygun servis düzeyine karşılık gelen talep düzeyinin ve optimal emniyet stokunun nasıl belirlendiği bir örnek problem ele alınarak açıklanmaya çalışılacaktır. 43

48 ENVANTER MODELİ İÇİN TEMEL KAVRAMSAL AÇIKLAMALAR Bu kısımda envanter modellerinin önemini ortaya çıkaran ve bilinmesi gereken kavramlar açıklanacaktır. Envanter Türleri Envanter türlerini imalat ve dağıtıma sağladığı katma değer yönünden ele aldığımızda dört guruba ayırabiliriz. 1. Hammaddeler: Şirketin genellikle dışarıdan satın aldığı doğrudan nihai üretimde kullandığı nesneler, mallar, elemanlar ve kalemlerdir. 2. Bileşenler: Bileşenler üretim sürecinde henüz tamamlanmamış kalemlere karşılık gelir. Makine parçalarını, doğrudan nihai ürünün parçası olmayan malların üretim veya hizmetinde kullanılan stok kalemlerini (paketleme malzemeleri, kırtasiye) ve depolanan hammadde ve malzemeleri bu grupta düşünebiliriz. Bazı bileşenler doğrudan şirket dışından satın alınarak hammadde envanterinde stoklanır. Şirketin hammadde kullanarak ürettiği diğer bileşenler ise nihai üretim ihtiyacı için stoklanır. 3. Süreç içi malzemeler: Üretim sisteminde işlenen veya işlem için bekleyen malzemeler, parçalar ve bir araya getirilen fakat nihai ürüne dönüşmemiş hammaddeler, süreç içi envanterini oluşturur. Süreç içi envanter düzeyi üretim programlama sisteminin etkinlik ölçüsü olarak sıkça kullanılır. Yalın üretim veya tam zamanında üretim yaklaşımında bu envanterin minimum düzeyde olması amaçlanır. 4. Nihai mallar: Nihai mallar envanteri tamamlanmış ürünlerin stokudur. Bu envanter türü bir bakıma üretim sürecinin nihai ürünüdür. Envanter Bulundurmayı Özendiren Nedenler Şirketleri ellerinde stok bulundurmaya yönelten nedenlerin başında; ölçek ekonomileri, belirsizlikler, spekülasyon, ulaşım, lojistik ve kontrol maliyetleri gelir. Şimdi sırasıyla bunları kısaca açıklamaya çalışalım. Ölçek ekonomileri: Ölçek ekonomileri kavramı uzun döneme ilişkin olup üretim kapasitesi ölçeği ve diğer girdilerin kullanım miktarı artarken ortalama birim maliyetlerinde azalmaya neden olur. Ölçek ekonomilerinde üretilen malların miktarı artarken üretim verimliliği de artar. Artan ürün miktarı sabit maliyetleri paylaştığı için üretim artışı ortalama birim maliyeti düşürür. İşlemsel verimlilik içinde ölçek ekonomisi, üretim artışı ile sağladığından her ek birim üretimin maliyetini düşürür. İşte ölçek ekonomilerinin sağladığı bu avantajdan yararlanmak isteyen şirketler daha fazla üretim için daha fazla stok bulundurmaya yönelirler. Belirsizlikler: Belirsizlik bir şirketi envanter depolamaya yöneltmede önemli bir rol oynar. Dışsal talebin belirsizliği çok önemlidir. Çünkü müşteri tercihlerine uygun farklı perakende ürünlerin stokta tutulması gerekir. Şöyle ki, bir müşterinin istediği kalem hemen karşılanmaz ise o müşteri başka bir yere gider ve en kötüsü asla geri gelmeyebilir. Envanter, talep belirsizliğine karşın bir güven (tampon) sağlar. Tedarik süresinin belirsizliği de şirketleri envanter tutmaya yöneltir. Tedarik süresi siparişin verildiği zaman ile siparişin geldiği zaman arasında geçen süre miktarıdır. Üretim planlamasında tedarik süresi, ürünü üretmek için gerekli olan süredir. Gelecekteki talep doğru şekilde tahmin edilse bile, üretim akışının düzgün gitmesi için şirket güven stoklarını bulundurma ihtiyacındadır. Ayrıca süreli satışları için yenilenen tedarik süresinin belirsizliği, kriz beklentileri, kaynakların fiyatı, sermaye maliyeti, emek arzındaki belirsizlikler de bir şirketi envanter depolamaya özendirir.. Spekülasyon: Bir kalemin ve doğal kaynağın değerinin artacağı beklenirse, gelecekte daha yüksek fiyat ödeyerek onları kullanmak yerine, cari fiyatla büyük miktarda onları satın alarak depolamak daha ekonomik olabilir. Fiyat dalgalanmasında önemli deneyimi olan şirketler büyük miktarlarda mal stoklamayı isteyebilir. 44

49 Ulaştırma: Transit veya petrol-doğalgaz boru hattı envanterleri ulaştırma süresi pozitif olduğunda bulunur. Ulaşım süresi fazla olduğunda veya beklenmeyen durumlar için petrol boru hattı envanter yatırımı önemli olmaktadır. Değişkenliği Azaltma: Bir ürünün talep yapısındaki değişmeler deterministik veya rassal olabilir. Ekonomik koşullardaki beklenmeyen değişmeler rassal değişkenlikle sonuçlanırken mevsimlik değişimler ise deterministik olma özelliğini taşır. En yüksek talep beklentisiyle üretimin ve envanterin depolanması, üretim hızı ve işgücü düzeyinde oluşabilecek değişmelerin getirdiği aksaklıkları yani değişkenlikleri gidermede yardımcı olabilir. Bir bakıma beklenmeyen koşulların ve yüksek talebin getirdiği değişkenliği azaltmak için şirketler ellerinde stok tutmak ister. Lojistik: Malların satın alımı, üretimi ve dağıtımında ortaya çıkabilen belirli kısıtlar, sistemi envanter bulundurmaya zorlar. Bazı durumlarda her kalemin minimum miktarlarda satın alınması gerekli olabilir. Envanter bulundurmayı özendiren diğer neden imalat lojistiğidir. Çünkü tüm stokları sıfıra indirmek olanaksız olduğu gibi imalat sürecinin sürekliliği için her zaman yeterli düzeyde stok bulundurmalıdır. Kontrol Maliyetleri: Çoğu kez göz ardı edilen önemli bir konu da envanter kontrol sistemini sağlama maliyetidir. Daha fazla envanter bulundurma ile minimum düzeyde envanter bulundurma, aynı düzeyde bir kontrolü gerektirmez. Uzun dönemde ucuz envanter kalemlerinin tedariki ve bu kalemlerin ayrıntılı kayıtlarını tutmak için işçilik maliyeti daha az olabilir. Kontrol maliyetlerinin, özel bir teknik veya sistemin belirlenmesinde majör bir faktör olduğu da unutulmamalıdır. Envanter Maliyetleri Envanter sisteminin başlıca amacı, elde tutulan envanterler ve onlara ilişkin maliyetler arasında optimum dengede sonuçlanacak envanter düzeyini belirleyen kararları üretmektir. Bir bakıma, envanter sistemi optimizasyon ile ilgilenmekte ve dolayısıyla bir optimizasyon kriteri belirlenmelidir. Gerçekte, tüm envanter modelleri optimizasyon kriteri olarak maliyet minimizasyonunu kullanır. Envanter sistemi kararlarına ilişkin yaygınca kullanılan dört maliyet türü vardır. Şimdi bunları sırasıyla kısaca açıklamaya çalışalım. Sipariş veya Üretim Hazırlık Maliyeti Sipariş maliyetleri malzemelerin işletme dışından tedarik edilmesine ilişkin maliyetlerdir. Sipariş maliyetleri, siparişin yazılması, tedarikçinin seçimi, postalama, haberleşme, faturalama, satın alınan malzemelerin testi, denetlenmesi ve taşıma gibi maliyetleri içerir. Üretim hazırlık maliyeti, malzeme parçalarının işletme içinde üretilmesi veya tedarik edilmesine ilişkin maliyetlerdir. İçsel üretim sistemi için siparişin yazılması, yeni üretime hazırlık için makinenin aylak kalma maliyeti, hazırlık ve üretim sırasında parçanın bozulma maliyeti, üretim hazırlığının işçilik maliyeti, üretilen ürünlerin kalite kontrol maliyeti ve işçiliğin yeni üretimi öğrenirken verim düşüklüğü ve üretim hataları nedeniyle verdiği maliyetler üretim hazırlık maliyetleridir. Sipariş maliyeti, sipariş edilen veya üretilen envanter miktarına bağlıdır. Çoğu uygulamalarda, sipariş maliyeti sabit ve değişken iki bileşeni bulundurur. Elde Bulundurma Maliyeti Elde bulundurma maliyeti zamanın herhangi bir noktasında eldeki fiziki envanter miktarına bağlı tüm maliyetlerin toplamıdır. Elde bulundurma maliyeti birbirine benzemeyen bileşenleri içerir. Bu bileşenlerin en önemlileri, sermaye maliyetleri, depolama maliyetleri ve risk maliyetleridir. Sermaye maliyetleri, envantere, arsaya, binaya ve envanteri koruma ve tutmada gerekli olan teçhizata yatırılan paranın faizini içerir. Eğer bu yatırımlar yapılmasaydı şirket bu sermayeyi başka bir alternatife yatırarak belirli bir getiri elde edecekti. Şirket sermayesini stoklara yatırdığından başka alanlardaki daha gelir getirici yatırımlardan yararlanamaz. İşte buna fırsat maliyeti denir. Bir bakıma fırsat maliyeti mevcut çeşitli seçenekler arasından sadece birini seçerek öteki seçeneklerin vazgeçilmesi ile uğranılan kayıptır. 45

50 Depolama maliyeti, kira, vergiler, bina sigortası, binaların yıpranması, bakım ve tamir masrafı, ısıtma, soğutma, enerji, aydınlanma, güvenlik personelinin maaşı, stok vergileri, envanteri düzenleme işçilik maliyeti, envanter kayıtlarını tutma maliyeti, teçhizatın vergi ve sigortası, teçhizatın amortismanı, tamir ve bakım masrafları, teçhizatın yağ ve enerji maliyetlerini içerir. Bu maliyetlerin bazıları değişken, bazısı sabit ve bazısı da yarı sabittir. Envanter risk maliyeti de envanterlerin modasının geçmesi, envanterin sigortası, envanterin fiziki bozulması ve çalıntı nedeniyle uğranılan kayıplardır. Bu maliyetlerin bazısı nispeten küçük iken envanteri elde bulundurma maliyeti ise oldukça büyüktür. İmalat firmalarında bu maliyet, toplam stok kalemleri maliyetinin %35ini oluşturduğu görülmüştür. Bu maliyetlerin büyük bir kısmı da yatırılan sermaye maliyetidir. Stok Tükenme Maliyeti Müşteri istediğinde envanter hazır değilse veya üretim için gerekli olduğunda envanter yok ise stok tükenmesi (stoksuzluk) meydana gelir. Her iki stoksuzluk türüne ilişkin maliyetler vardır. Müşterinin talebi olan kalemin stoksuzluğu satış kaybına ve müşteri memnuniyetsizliğine neden olur. Müşteri talep ettiği malı beklediğinde de malın tekrar siparişi için yazışmaların hızlandırılması ile yüksek yükleme maliyetleriyle karşılaşılır. Üretim için ihtiyaç duyulan kalem stokta olmadığında, üretimin yeniden programlama maliyeti, stoksuzluk nedeniyle makinelerin durması, ihtiyaç duyulan parçaların acil taşıma maliyeti ve daha pahalı parçaların ihtiyaç duyulan parça yerine kullanma maliyeti ortaya çıkar. Stok tükenme maliyetini belirlemek güç olduğunda, birim envanter değerinin %15-20 arasında bir değeri bu maliyet için kullanması yeterli olabilir. Satın Alma Maliyeti Satın alınan mallar için ödeme yapılması zorunludur. Mallar erken veya geç olarak tedarik edilse de onların satın alma fiyatından ödeme yapılır. İşletme içinde üretilen mallar için birim satın alma maliyeti doğrudan işçilik, hammadde ve işletme yönetim giderleri toplanarak elde edilir. Satın alma maliyeti genelde sabit olmasına karşın bazı şirketler, satın alma miktarını göz önüne alarak fiyat indirimi uygular. hesaplarsınız. Bir şirketin envanter maliyetini belirlemek için hangi maliyetleri ENVANTER MODELLERİ Temel Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli Temel envanter formülasyonu, 1915 yılında tanıtılan ekonomik sipariş miktarı (ESM) modeli olarak bilinir. Bu modelde sadece elde bulundurma maliyeti ile sipariş maliyeti ele alınır. ESM modeli aşağıdaki varsayımları içerir: Talep bilinmekte ve sabittir. Envanterden çekilen kalem miktarı aynı olacaktır. Birim maliyetler ( satın alma, sipariş ve elde bulundurma) bilinmekte ve sabittir. Siparişler stoksuzluğu önlemek için sabit miktarda ve doğru zamanda verilecektir. Sipariş için gerekli süre ve sipariş edilecek envanter bilinmekte ve sabittir. Elde bulundurma maliyeti belirlenirken, ortalama stok miktarı göz önünde bulundurulur. Sipariş edilen miktar her sipariş için aynı olmakta ve hiç değişmemektedir. Sipariş edilen malların ulaşımı bir anda olmaktadır. 46

51 ESM modeli basit ve fazla varsayım içermesine rağmen 1915 yılından günümüze kadar envanter teorisinde temel model olarak kullanılmaktadır. Bunun nedeni de, envanter yönetiminin birbiriyle çakışan kavramlarını çok iyi ortaya koymasıdır. ESM modelinin varsayımlardan sonra ortaya çıkan envanter sisteminin işleyişi, Şekil 3.1 de gösterilmiştir. Şekil 3.1: Ekonomik Sipariş Miktarı Modelinin Envanter Yapısı Şekil 3.1 de görülen envanter işleyiş sistemini açıklayalım. Şekilde görüldüğü gibi envanter sisteminde (sıfır) dönemlik ve birbirini tekrar eden bir yapı vardır. Tedarikçiden siparişler 0 zamanında geldiğinde işletme maksimum envantere (sipariş miktarı Q ya) sahip olacaktır. Yönetim aynı sabit oranda stoktan müşteri taleplerini, envanter T 0 zamanında tükeninceye kadar karşılayacaktır. Talep ve stok tükenmesi aynı sabit oranda meydana geldiğinden dönem içi ortalama envanter Q birime eşit olacaktır.t 0 zamanında şirket diğer Q birim ürünü satın alarak derhal envanter düzeyini maksimum düzeye çıkaracaktır. Dolayısıyla yapı böylece kendi kendine tekrar ederek sürer. Şimdi yönetim için yanıtlanması gereken sorular şunlardır: Ne kadar sipariş verilmeli? Siparişler ne zaman ve hangi sıklıkla verilmelidir? Ne kadar sipariş verilmeli sorusunun yanıtı şirketin toplam maliyetini minimum kılan ekonomik sipariş miktarını belirlemekten geçer. Ekonomik Sipariş Miktarı En az maliyetli sipariş miktarını yani yeni ekonomik sipariş miktarını bulmak (Q değeri) için satın alma, sipariş ve elde bulundurma maliyet toplamı minimum kılınmalıdır. ESM modelinde dönem başına (gün, hafta, ay ve yıl) toplam envanter masrafları (TM), satın alma, sipariş verme ve elde bulundurma maliyetlerinin toplamını eşit olacaktır. TM = kd + vd Q + c Q TM denkleminde yer alan maliyet bileşenlerini ve parametreleri açıklayalım: kd=dönem başında satın alınan malların maliyeti k=satın alınan malın birim fiyatı D=Talep miktarıdır. ESM modelinde satın alma maliyeti (k) ve toplam talep (D) bilindiğinden ve sabit olduğundan kd aynı kalır. vd =Dönem başına sipariş maliyeti Q 47

52 v=sipariş miktarı dikkate alınmadan sipariş maliyeti D =Dönem başına sipariş sayısıdır. Q ESM modelinde sipariş başına maliyet (v) bilindiği ve sabit sayıldığından dönem başına sipariş maliyeti cd, sipariş miktarı Q artarken azalır. Q c Q=Dönem başına elde bulundurma maliyetini c=belirlenen dönem için birim kalemin elde bulundurma maliyetini Q=Ortalama envanter düzeyini gösterir. ESM modelinde kalem başına elde bulundurma maliyeti sabit ve bilindiği varsayılır. Dolayısıyla envanter elde bulundurma maliyeti (1/2 c Q), ortalama envanter düzeyi yükselirken artar. Belirsiz sayıda olanaklı sipariş miktarından sonuçlanan bu üç maliyet bileşeni ve toplam maliyetin yapısı aşağıda Şekil 3.2 de verilmiştir. Şekil 3.2: ESM Modelinde Envanter Maliyetleri Şekil 3.2 de görüldüğü gibi ekonomik sipariş miktarı, sipariş maliyeti ile elde bulundurma maliyetini dengeler. Bir anlamda, v Q D =1/2cQ Dengelenen noktaya kadar, sipariş maliyeti elde bulundurma maliyet artışının üzerinde azalma göstermekte ve dolayısıyla da toplam maliyet düşmektedir. Ekonomik sipariş miktarının ötesinde ise sipariş maliyetindeki azalmadan daha fazla elde bulundurma maliyeti artmaktadır. Bu yüzdende toplam maliyet yükselmektedir. Yönetimin problemi ekonomik sipariş miktarını bulmaktır. Diferansiyel hesabını kullanmadan v Q D =1/2cQ eşitliğinden yararlanarak ekonomik sipariş miktarını bulabiliriz. Bu eşitliğin her iki tarafını Q ile çarparsak; vd=1/2cq 2 eşitliğini elde ederiz. Her iki tarafı (). c ile bölerek Q 2 = 2vD c eşitliğini, ve her iki tarafın karekökünü alarak ekonomik sipariş miktarı (Q*) buluruz. Q*= 2vD c 48

53 Diferansiyel hesabı ile de Q* yu bulabiliriz. Şöyle ki TM denklemini Q ye göre birinci türevini alır ve sıfıra eşitleriz. TM= kd+ Q vd +1/2 c Q dtm = - 2 dq Q vd +1/2 c 0= - vd 2 +1/2 c Q vd 2 =1/2 c Q vd=q 2 1/2 c 2vD =Q 2 c Q * = 2vD c İkinci türev, d 2 TM/ dq 2 miktarıdır. = 2c D /Q 3 > 0 olacağından Q * toplam maliyeti minimum kılan sipariş neyi ifade eder. Toplam envanter maliyetinin birinci türevi ekonomik değer olarak ÖRNEK 3.1: Bir hazır giyim mağaza yöneticisi belirli bir ürüne olan müşteri talebinin aylık 600 birim olacağını öngörmektedir. Bu ürünün satın alma fiyatı 120 ve yıllık elde bulundurma maliyeti de yaklaşık 20 dir. Mağaza yöneticisi ürünü sipariş ettiğinde 80 masraf yapmakta ve tecrübesine göre her sipariş miktarı da 400 üründür. a. Mağaza sahibinin şu anda izlediği envanter yönetimine göre yıllık toplam maliyetini bulunuz? b. ESM modelini uygulayarak mağaza için sipariş miktarını belirleyiniz ve mağaza yöneticisine neyi önerirsiniz? ÇÖZÜM 3.1: Problemin parametreleri; D=600x12=7200 birim k= 120 v= 80 c= 20 a. Mağaza yöneticisinin uyguladığı envanter politikasında Q=400 birimdir. Buna göre; TM=kD+ vd Q +1/2cQ TM=120x x400 2 TM= =

54 b. ESM modeli uygulandığında ekonomik sipariş miktarı (Q * ); Q*= 2vD c = =240 birimdir. TM= 120x x240 2 TM= = Mağaza yöneticisi her defasında 400 birim ürün sipariş etmek yerine 240 birim ürün sipariş etseydi toplam maliyetinde veya stoklama maliyetinde ( = 640) 640 lik bir tasarruf sağlayacaktır. Dolayısıyla mağaza yöneticisi bu üründen her defasında 240 birim sipariş vermelidir. Siparişin Zamanlanması ve Sıklığı Ekonomik sipariş miktarı yöneticilere ne miktarda sipariş vermesi gerektiğini belirlerken, siparişin ne zaman ve ne sıklıkla yapılması gerektiğine yönelik soruyu yanıtlamaz. Bu sorunun yanıtı için yeniden sipariş noktasının analizi gereklidir. Yeniden Sipariş Noktası: Bir siparişin verildiği zaman ile malların teslim alındığı zaman arasında geçen bir süre vardır. Bu süreye tedarik süresi dendiğini daha önce ifade etmiştik. L simgesi ile gösterilir ve genellikle gün sayısını ifade eder. L=12 gün bize, sipariş ettiğimiz malları Nisan ayının 20 sinde teslim almak istiyorsak, siparişimizin Nisan ayının 8 inde verilmesi gerektiğini belirtir. Tedarik süresi müddetinde müşteriler ürünleri satın almak isteyecektir. Hazır giyim mağazası örneğine dönersek müşterilerin yıllık talebi 7200 birimdi. Mağaza Pazar günleri dışında çalıştığını düşündüğümüzde yılda mağazanın çalışma günü 312 gündür. Çalışan gün başına satılan ürün sayısı =7200/312=23 ürün olacaktır. Tedarik süresini 12 gün olarak kabul edildiğinde, mağaza yöneticisi tedarik süresi boyunca 23x12=276 birim ürün satmayı bekleyebilir. Yöneticisi müşteri talebini tamamen karşılamak istediğinden, envanter düzeyi 276 birime düştüğünde siparişini verir. Bu miktar yeni siparişin ne zaman verileceğini işaret eden envanter düzeyini belirtir ve buna yeniden sipariş noktası denir. Aşağıdaki formül ile hesaplanır. R=dL Burada, R= Yeniden sipariş noktasını d= Talep oranını (genellikle gün başına ürün sayısı) L= Tedarik süresini (gün sayısı) gösterir. Bu formül siparişin ne zaman verilmesini gösteren bir karar kuralıdır. ESM modelinde tedarik süresi L ve talep oranı d sabit ve bilindiği varsayılır. Sonuç olarak yeniden sipariş noktası tedarik süresi müddetindeki talebe karşılık gelir. Sipariş Sıklığı: Örnek1 e dönersek, mağaza yöneticisi her siparişinde Q*=240 birim ürün sipariş edecektir. Yıllık talep D=7200 birim olduğuna göre yıllık sipariş sayısı aşağıda görüldüğü üzere 30 olacaktır. D/Q*=7200/240=30 sipariş / yıl Mağaza yöneticisi yıllık çalıştığı 312 günde siparişlerini yaklaşık 312/30=10,4 günde bir verecektir. Bu 10.4 gün dönemi birbirini izleyen iki sipariş arasındaki zaman uzunluğunu ölçer ve buna envanter döngü (devir) süresi adı verilir. 50

55 Envanter döngü süresi aşağıdaki formülle hesaplanır: Burada; N NQ * * D / Q D T=Envanter döngü süresi(gün) N=Yıllık çalışma günüdür. Bu formül bir siparişin hangi sıklıkla verileceğini gösteren bir karar kuralıdır. Buraya kadar açıklamaya çalıştığımız siparişin zamanlama ve sıklığı sürecini gösteren şekli çizelim: Şekil 3.3: ESM Modelinde Sipariş Zamanlaması ve Sıklığı 0 zamanında mağaza yöneticisi elinde ekonomik sipariş miktarı (Q * ) kadar envantere sahip olacak ve ürün stoku, yeniden sipariş noktasına düşünceye kadar müşterilerine satışlarını sürdürecektir. Bu noktada, yönetici Q* miktarında diğer siparişini verir. Yeni sipariş ise tedarik süresi boyunca müşteri talebinin (dl) envanteri tüketince verir ve derhal ekonomik sipariş miktarı düzeyine kadar envanterini tamamlar. T =10.4 gün sonra diğer 240 birim olan Q* miktarını sipariş eder. Bu yapı zaman ilerlerken kendi kendine tekrar eder ve bir bakıma mağaza yöneticisi, her 10.4 çalışma gününde 240 birim ürünü sipariş edecektir. Ekonomik Üretim Miktarı Modeli Çoğu şirketler, bir ürünü dışarıdan satın almak yerine şirketinde stoku için üretir. Ayrıca bütün bir partinin üretimini beklemekten ziyade üretilen ürünlerin ayrı ayrı veya kademeli olarak kullanılması sıkça karşılaşılan bir durumdur. Şirket Q birimlik partiyi üretmeye başlar fakat ürettikçe de stoklar. Aynı zamanda parti üretimi sürerken gelen talepler stoklardan karşılanır. Parti üretimi tamamlanınca, stoklar sadece taleple tüketilir. Stoklar bitince yeni bir partinin üretimine başlanır. İşte böyle durumda ekonomik üretim miktarı(eüm) veya ekonomik parti büyüklüğü(epb) modeli en uygun envanter politikasını belirlemek için kullanılır. EÜM modelinde amaç, toplam envanter maliyetlerini minimum kılan üretim miktarı Q* yu bulmaktır. Minimum maliyetli üretim miktarına da ekonomik üretim miktarı veya ekonomik parti büyüklüğü denir. ESM modelinde siparişlerin tümü aynı anda teslim edildiği varsayılırken, EÜM modelinde ise siparişlerin veya üretimin kademeli olarak teslim edildiği varsayılır. EÜM modelinde stok döngüsü Şekil 3.4 de gösterilmiştir. 0(sıfır) zamanında üretim döngüsü başladığında şirketin stoku yoktur. Şirket üretim aşaması süresinde sabit oranda ürün üretecek ve üretilen ürünün bir kısmını müşteri talebini karşılamak için kullanacaktır. Şekil 3.4 de stok döngüsünün iki aşamadan oluştuğu görülmektedir. Üretim aşamasında hem üretim hem de talep vardır. Bu aşamada P oranı ile üretim yapılırken, D oranı ile de talep karşılandığından stokların birikim oranı P-D olacaktır. Üretimin olmadığı aşamada Q birimlik partinin üretimi tamamlanmış sadece stoklardaki ürün, D oranı ile tüketilmektedir. 51

56 Şekil 3.4: Ekonomik Üretim Miktarı Modeli İçin Envanter Dönemi Bir üretim döngüsünü tamamlama süresi(gün sayısı) Şekil 3.4 de t ile gösterilmiştir. Ayrıca parti üretim miktarı Q birim olmasına karşın, stok düzeyi hiçbir zaman bu miktarda olmayacaktır. Çünkü üretim aşamasında Q birimin bir kısmı tüketilmekte ve dolayısıyla üretimin olmadığı aşamanın başlangıcında stokların ulaşacağı maksimum düzey I m olacaktır. Bu nedenle EÜM modelinde toplam elde bulundurma maliyeti, ESM modelinden daha düşük olacaktır. Ortalama stok düzeyi ise maksimum stok düzeyinin yarısıdır. Elde bulundurma maliyeti: Yıllık (dönemlik) elde bulundurma maliyeti birim ürünün stokta bulundurma maliyeti ile ortalama stok düzeyinin çarpılmasıyla belirlenir. Hazırlık maliyeti: Hazırlık maliyeti makinenin temizleme, hazırlama ve düzenleme masrafları veya bir üretim hattını üretime hazırlamadan doğan masraflardır. Yıllık hazırlık maliyeti de üretilen parti sayısı ile bir partinin hazırlık maliyetinin (v) çarpılmasıyla elde edilir. Yıllık hazırlık maliyeti = Q D v İmalat maliyeti: Bir birimin üretim maliyeti ile yıllık talebin çarpılmasıyla bulunur. Yıllık İmalat maliyeti = kd Toplam maliyet: Dönem başına(yıllık) envanter masrafı, imalat, hazırlık ve elde bulundurma masraflarının toplamıdır. TM = kd+ vd D + (1- Q P )Qc TM denkleminde; k, D, v, P ve c sabittir. Diferansiyel(türev alma) kuralını uygulayarak ekonomik üretim miktarını( Q* ) bulabiliriz. 52

57 TM nin Q ya göre birinci türevi yani marjinal maliyeti ; dtm =0 dq 2vD Q 2 = c(1 D / P) ve Q*= 2vD c(1 D / P) İkinci türev; olacağından Q* miktarı minimum maliyetli üretim miktarıdır. Parti üretimi arasında geçen süre (T) = N / (D/Q * ) T= NQ * D dir. ÖRNEK 3.2: Bir imalat şirketi makine üretiminde kullandığı dişli parçalarının bir kısmını kendi fabrikasında üretmektedir. Bu ürünün yıllık talebi parça ve bir parçanın üretim maliyeti 4 dir. Her parti üretimin hazırlanması için de 300 lik bir maliyetle karşılaşılmaktadır. Bir dişli parçasının 1 yıl stokta tutma maliyeti üretim maliyetinin %20 sidir. Şirket üretim hazırlıklarına başladıktan 5 gün sonra parti üretimine başlayabilmektedir. Günde ortalama 400 parça üretebilen bu şirket yılda 250 gün çalışmaktadır. Bu şirketin: a. Optimum üretim miktarını bulunuz. b. Yeniden üretime başlama noktası ve her parti üretimi arasında geçen süreyi bulunuz. c. Maksimum ve ortalama stok düzeyini bulunuz. d. Yıllık envanter maliyetini bulunuz. ÇÖZÜM 3.2: Problemin parametreleri; D= birim k= 4 P=400x250= parça v= 300 c= 0,20x4= 0,8 L= 5 gün a. Q*= 2vD c(1 D = P ) 2(300)(50.000) 0.8( =8860 birim ) 53

58 b. Yeniden üretime başlama noktası = Günlük talep oranı x üretime hazırlık süresi Yeniden üretime başlama noktası = x5 = 1000 parça 250 Parti üretimi arasında geçen süre ( T ) = c. I m = (1- D P ).Q = (1- )x8860= 4430 parça Ortalama stok miktarı = 4430/2 = 2215 parça = 44,3 iş günü TM = 4(50.000) /2( ) 0,8x8860 TM = = Planlı Stoksuzluk Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli Bazı durumlarda bir şirket satış kaybına uğramadan stok eksikliği çekebilir. Özellikle talep yoğun sektörlerde, yönetici müşteri kaybetmeyeceğine inanırsa, zaman zaman planlı bir şekilde stoksuz çalışarak, talebi bir süre geciktirebilir. Şöyle ki, müşteri kısa bir dönem beklerse, mallar gelir gelmez veya üretilir üretilmez hemen kendisine öncelik verilerek ulaştırılacağı sözü verilir. Bu tür müşteri siparişlerinin giderilmesinde karşılaşılan stoksuzluk durumuna birikmiş sipariş de denir. Yönetim müşterilerini belirli bir süre beklemeye ikna ederse, onları tamamen tatmin edecek stoku daha fazla süre elinde bulundurmaz. Bir bakıma, yönetim tatmin olmayan müşteri talebini, gelecek satın alımlarla hızlı şekilde kendisine ulaşan mallar ile karşılayacaktır. Bu yeni politika müşteri hizmeti ve kayıtları tutmak için ek işçilik maliyetlerinin yanında teslimat ve nakliye masrafları da getirecektir. ESM modeli ile bu model arasında tek fark yönetimin stoksuzluğu planlamasıdır. Stoksuzluk olanağı olduğunda yönetim Q miktarında malı sipariş ettiğinde S miktarında malı hemen bekleyen müşteriye teslim edecektir. Geriye kalan (Q-S) miktarındaki malda şirketin stokuna girecektir. Burada S simgesi stoksuzluk veya stok tükenme miktarını gösterir. Dolayısıyla da maksimum stok miktarı Q-S olacaktır. Bir sipariş veya stok döngüsü incelendiğinde iki süre (dönem) vardır. Bunlar; t 1 = Talebin stoktan karşılanma süresi t 2 = Stoksuzluk süresidir. Şimdi açıklamalarımızı Şekil 3.5 de görebiliriz. Şekil 3.5: Planlı Stoksuzluk ESM Modeli İçin Envanter Yapısı 54

59 Stok tükeninceye kadar günlük müşteri talebi sabit bir oranda (d), stoktan karşılanacağından, t 1 = Q S d gün olur. Toplam talep d= Yıllık çalışma günü = D N Her sipariş veya stok döngüsünde, Q miktarı sipariş edileceğinden ve diğer nakliye ulaşmadan, T= d Q gün olacaktır. Sonuç olarak, t 2 süresinde şirketin stoku olmayacak fakat bu stoksuzluk döneminde hala talep vardır. Bir bakıma yeni nakliye ulaşmadan önce stoksuzluk, maksimum S birim olacaktır. Bu yapı zaman ilerlerken bu şekilde tekrar eder. Bu modelde, amaç envantere ilişkin maliyetleri minimum kılan Q * ve S * miktarlarını belirlemektir. Satın alma ve sipariş maliyeti diğer ele aldığımız iki envanter modelindeki gibi aynı kalmaktadır. Stoksuzluk ihtimali büyük ölçüde stok bulundurma maliyetini değiştirir.. Elde bulundurma maliyeti: Yıllık stok elde bulundurma maliyeti, ortalama stok miktarı ile stoktaki birim kalemin elde bulundurma maliyetinin çarpımıyla bulunur. Şekil 3.5 de görüldüğü üzere üretim fazlası dönemi t 1 de, maksimum stok Q-S birim olacaktır. Stok tükeninceye kadar müşteri talebi bu maksimum stokla karşılanacaktır. Böylece, t 1 döneminde ortalama stok miktarı =1/2 (Q-S) olur. Stoksuzluk dönemi t 2 de şirketin stoku olmayacağından sipariş dönemi, T= t 1 + t 2 de T= Q d ve t 1 = Q S d olduğunu biliyoruz ve yukarıdaki formülde yerlerine koyarsak; Ortalama stok miktarı= (Q S) (Q S). 2 d = Q (Q S)2 2Q birim/gün d Yıllık stok bulundurma maliyeti= c.(q S)2 2Q birim/gün olur. Stoksuzluk maliyeti: Stoksuzluk durumu, stoksuzluk maliyetini içerdiğinden ESM modeline benzemez. Bu modelde stoksuzluk maliyeti hesaplanırken t 1 ve t 2 dönemleri ayrı ayrı ele alınır. Şekil 3.5 de görüldüğü üzere t 1 döneminde stoksuzluk söz konusu değildir. t 2 döneminde ise stoksuzluk miktarı maksimum S düzeyine çıkacak ve ortalama stoksuzluk miktarı da S olacaktır. Bir sipariş devresinde (T = t 1 +t 2 ), Günlük talep oranı(d), t 2 = d S gün ve T= Q/d olduğundan ve bunları ortalama stoksuzluk miktarı formülünde yerine koyduğumuzda, 55

60 Yıllık stoksuzluk maliyeti, r ile gösterilen birim ürünün yok satma veya stok tükenme maliyeti ile ortalama stoksuzluk miktarı çarpılarak elde edilir. Bir anlamda, Yıllık stoksuzluk maliyeti= 2 r. S 2Q dur. Optimal envanter politikası: Toplam maliyet ( TM ), satın alma, sipariş, elde bulundurma ve stoksuzluk maliyetlerinin toplamına eşittir. Yani, 2 2 TM=kD+ vd + c ( Q ) + r S Q 2QS 2Q TM fonksiyonunun Q ve S ye göre kısmi türevini alır ve sıfıra eşitlersek Q* ve S* değerlerini buluruz. TM Q TM S = vd Q 2 = ( c + r ) Q C+r s 2 c - 2Q S - c ve = 0 ve Olduğunda, TM S = 0 Burada, Q* =Toplam maliyeti minimum kılan sipariş miktarı S* =Toplam maliyeti minimum kılan optimal stoksuzluk miktarıdır. olmalıdır. Yöneticinin stoksuzluk için en uygun olan envanter politikası ne ÖRNEK 3.3: Bir şirketin ürettiği ürünlere olan yıllık talep birimdir. Bu ürünün birim satın alma maliyeti 2 ve birim ürünün bir yıl boyunca elde bulundurma maliyeti satın alma maliyetinin %30 dur. Planlı stoksuzluğa izin verilen bu ürünün stoksuzluk maliyeti 0,40 ve şirket her siparişi için 5 masraf yapmaktadır. Şirketin yılda 250 gün çalıştığı düşünülmektedir. Buna göre; a. Şirketin optimal sipariş miktarını b. Optimal planlanan stoksuzluk miktarını c. Toplam maliyetini d. Maksimum stok düzeyini e. Siparişini kaç günde bir vermesi gerektiğini bulunuz. 56

61 ÇÖZÜM 3.3: a. Problemin parametreleri D= birim /yıl k= 2 v= 5/sipariş c=2x0.30 = 0.6 r= 0.40 N=250 gün Q* = 2 vd ( c + r) = cr 2 (5)(80.000)( ) = 1826 birim (0.6)(0.4) b. S*= Q* ( c ) =1826 ( c + r ) 1096 birim c. TM=kD+ vd Q + c(q S)2 2Q + rs2 2Q 2 2 TM=2(80.000)+ 5 (80.000) + 0.6( ) (1096) (1826) 2(1826) = ,05+88,27+131,56 = ,88 d. Maksimum stok düzeyi = Q-S = =730 birim e. T= NQ * 250(1826) = = 5,7 çalışma günü D Miktar İndirimi Envanter Modeli Çoğu kez, farklı iş ve ekonomik nedenler ile tedarikçiler, büyük miktarlarda mal satmak ister. Bu durumda tedarikçiler fiyat indirimi yaparak müşterilerini özendirir veya cesaretlendirir. Miktar indirimi, tedarikçinin satış miktarlarını arttırmak için ürün fiyatlarında sattığı miktara göre uyguladığı indirimlerdir. Ekonomik sipariş miktarı modelinde satın alma maliyetinin (k) sipariş miktarından bağımsız olduğunu varsaymıştık. Miktar indirimi modelinin, ESM modeli varsayımlarından farklı olarak ele aldığı varsayımlar şunlardır: Satın alma maliyeti veya fiyat bilinmekle birlikte, satın alınan ürün miktarına göre değişmektedir. Elde bulundurma maliyeti de genellikle satın alma maliyetinin belli bir yüzdesi olarak alındığından miktara bağlı olarak değişecektir. Miktar indirimi uygulaması, şirketin satın alma maliyetini ve sipariş verme maliyetini düşürürken stok bulundurma maliyetini arttırır. Dolayısıyla şirketler bu maliyetlerin toplamını minimum kılan optimal sipariş miktarını belirlemelidir. Optimal sipariş miktarını belirlemede izlenecek adımlar şunlardır. 1. Satın alma maliyeti için farklı indirim gruplarının belirlenmesi 2. Her grup için ekonomik sipariş miktarının Q = 2vD c belirlenmesi 57

62 Beklenen Q miktarı hesaplanan aralık değerleri arasında ise bu grup için optimal Q * değeri olur. Bulunan Q miktarı sipariş aralığının alt sınırından daha düşük olduğunda ise bu grup için aralığın alt sınır değeri optimal Q * değeri olur. Eğer bulunan Q miktarı aralığın üst sınır değerinden daha büyük ise bu kez bu grup için aralığın üst sınır değeri optimal Q * değeri olur. 3. Adım 2 de elde edilen optimal sipariş miktarına (Q * ) göre her indirim grubunun toplam maliyeti * = + vd cq TM kd * + denklemine göre hesaplanması Q 2 4. Her indirim grubunun toplam maliyeti kıyaslanarak en küçük toplam maliyeti veren ekonomik sipariş miktarının seçilmesi Şimdi örnek problemlerle miktar indirimi modelini açıklamaya çalışalım. ÖRNEK 3.4: Bir şirket satışlarını arttırmak için A müşterisine aşağıdaki indirim programını sunmuştur. Grup Sipariş Miktarı İndirim Birim fiyat() % ve üzeri 8% 18.4 A müşterisinin yıllık talebi 8000 birim ve bir birim ürünü bir yıl boyunca stokta tutma maliyeti yıllık faiz oranı olan %20 dir. A müşterisi her siparişinde 40 masraf yapmaktadır. A müşterisi ne miktarda sipariş vermelidir? ÇÖZÜM 3.4: D=8000 birim/yıl faiz oranı(i)=0.20 v = 40 Elde bulundurma maliyeti (c)= Faiz oranı x satın alma maliyeti Satın alma maliyeti veya fiyat, her grup için değiştiğinden her grup için ayrı ayrı elde bulundurma maliyeti hesaplanmalıdır. Grup 1 için c 1 =0.20 x 20 = 4 Grup 2 için c 2 =0.20 x 19 = 3.8 Grup 3 için c 3 =0.20 x 18.4 = 3.68 Şimdi her indirim grubu için ekonomik sipariş miktarını belirleyelim. Q * 1 = Q * 2 = Q * 3 = 2(8000)40 4 2(8000) (8000) = 400 birim = birim = 417 birim Grup 1 için hesaplanan Q 1 =400 birim değeri bu sipariş aralığının üst sınır değerinden daha büyük olduğu için bu aralığın üst sınır değeri 299 birim optimal Q * değeri olur. Yani Q 1 * =299 birimdir. 58

63 Grup 2 için hesaplanan Q 2 =410 birim bu aralık sınırlarında yer aldığı için bu değer optimal Q * 2 olur. Grup 3 için hesaplanan Q 3 =417 birim kendi indirim grubunun alt sınırından küçüktür. Dolayısıyla bu grubun alt sınırı olan 500 birim Grup 3 için optimal sipariş miktarı (Q * 3 =500) olur. Her grubun toplam maliyetlerini hesaplayalım. TM vd = k 1 D + * Q * 1 c 1 Q 2 TM vd D + Q 2 = k 2 + * 2 c 2 Q 2 * 2 TM vd D + Q 3 = k 3 + * 3 c 3 Q 2 * 3 İndirim grubu 3 minimum toplam maliyeti verdiği için A müşterisi her seferinde 500 birim sipariş vermelidir. Bu problemin indirimlerini içeren toplam maliyetler ve sipariş miktarları aşağıda Şekil 3.6 da gösterilmiştir. Şekil 3.6: Miktar İndirimli Toplam Maliyet Eğrileri Miktar indirim politikası aynı zamanda sipariş döngü süresinin değişmesinide önerir. Şöyle ki, ESM modelinde fiyat indirimi olmadığı için Q * = 250 gün çalıştığını düşündüğümüzde, 2vD = c NQ * 250(400) T = = = çalışma günü D ( 8000)40 = 400 birimdir. A müşterisinin yılda 4

64 Miktar indirimi envanter modelinde optimal Q * =500 birim olduğundan her sipariş aşağıda görüldüğü üzere 12.5 çalışma günü yerine 15.6 çalışma günü geçtikten sonra verilmektedir. T= 250x 500 = çalışma günü. ÖRNEK 3.5: Koray spor şuandaki tedarikçisinden minimum 450 çift spor ayakkabı satın alındığında bir çiftine 60 ödenektedir. Koray sporun bu ayakkabıya yıllık talebi 9000 çift ve sipariş maliyeti de 80 dir. Bir çift ayakkabının yıllık stok bulundurma maliyeti satın aldığı fiyatın %20 sidir. Yeni bir tedarikçi Koray Spor a 3600 çift ayakkabı satın alırsa çiftini 50 den satmayı teklif etmektedir. Koray spor talebini hangi tedarikçiden temin etmelidir? ÇÖZÜM 3.5: Koray Spor her iki tedarikçiden talebini karşılamanın toplam maliyetini hesaplamalıdır. TM 1 = Şuandaki tedarikçiden talebini karşıladığındaki toplam maliyeti TM 2 = Yeni tedarikçiden talebini karşıladığındaki toplam maliyeti göstersin. TM vd = k 1 D + Q 1 + c 1Q 2 k 1 = 60 v= 80 c 1 =0.20(60) = 12 D=9000çift/yıl, Q=450 çift ayakkabı TM 80(9000) = 60(9000) (450) 2 TM vd D + Q 2 = k 2 + c 2 2 Q k 2 = 50 v= 80 c 2 =0.20(50)= 10 D=9000çift/yıl, Q=3600 çift ayakkabı TM 80(9000) = 50(9000) (3600) 2 Koray Spor, spor ayakkabılarını yeni tedarikçiden satın alırsa ( ) lik bir tasarrufu olacaktır. Dolayısıyla Koray Spor talebini yeni tedarikçiden karşılamalıdır. En Uygun Servis Düzeyi Modeli Önceki kısımlarda ele aldığımız modellerde, talebin bilindiği ve sabit olduğu varsayılmıştı. Günümüzde talep rassal ve tedarik süresi de değişken olabilmektedir. Şirketler beklenmeyen teslimat gecikmeleri ve tedarik süresi boyunca beklenenden fazla talep ile karşılaşarak stoksuzlukla yüz yüze kalabilmektedir. Bununla birlikte çoğu şirketler rekabetin farklı boyutları ile yüz yüze geldiğinde, stoksuzluk satış kayıplarına neden olur. Stoksuzluk sipariş verildikten sonra bu siparişin şirkete ulaşıncaya kadar geçen süre yani tedarik süresi esnasında ortaya çıkabilir. Yönetim bu dönemdeki stoksuzluğa karşın beklenenden fazla olan talebi eritmek için stok tutabilir. Stoksuzluğu önlemek için elde tutulan fazla stoka emniyet stoku denir. Elde emniyet stoku tutmanın amacı, normal koşullar altında meydana gelebilecek dalgalanmaları karşılamak ve stoksuzluk maliyetini en aza indirmektir. Dolayısıyla yönetim tedarik süresinde beklenen talebi karşılayacak envanter yeterli düzeye ulaşsa da yine emniyet stoku için sipariş vermek isteyecektir. Bir bakıma müşteri talebi veya müşteri memnuniyeti stoktan karşılama yaklaşımı benimsenir. 60

65 İşte stoktan memnun edilen müşteri talep yüzdesine servis düzeyi denir. Bir bakıma servis düzeyi, tedarik süresi esnasında müşteri talebinin stoktan karşılanabilme olasılığıdır. Örneğin %99 luk servis düzeyi emniyet stokunu gerektirir. Tedarik süresi boyunca %1 lik stoksuzluk olasılığını önlemek için de yeniden sipariş noktası belirlenmelidir. Yüzde yüz bir servis düzeyi sağlama politikası stoksuzluğu önleyebilir. Yüzde yüz servis düzeyi ise aşırı emniyet stoku ve yüksek stok bulundurma maliyeti yaratır. Bu yüzden şirket yönetimleri genellikle belirli dönemler için bazı sınırlı miktarda stoksuzluğa izin veren en uygun servis düzeyini belirleme yoluna gider. En Uygun Servis Düzeyi Günlük talep değişimi ve beklenmeyen teslimat gecikmeleri tedarik süresi esnasındaki talep hakkında büyük ölçüde belirsizlik yaratır. Yönetim, geçmişteki verileri ve öngörülerini kullanarak satışlarını olasılık terimlerinde ifade eder ve bu belirsizliği gidermeye çalışır. Yönetimin tedarik süresi talep ortalamasını ( μ ) ve standart sapmasını verilerin normal dağılım izlediğini varsayarak hesaplar. Ayrıca yönetim stoksuzluğa karşı, önlem olarak emniyet stoku tutmayı planlar. Tedarik süresi talebi için normal olasılık dağılımı aşağıdaki Şekil 3.7 de gösterilmiştir. Şekil 3.7: Servis Düzeyi ve Yeniden Sipariş Noktası Arasındaki İlişki Yeniden sipariş noktasının( R ) solundaki koyu alan, servis düzeyi veya stoksuz kalmama olasılığını verir. Matematiksel analizi kullanarak z = ( R μ )/ σ formülünden yeniden sipariş noktasını hesaplayabiliriz. R = μ + z σ dir. Formüldeki z simgesi, Tablo 3.1 de gösterilen normal dağılım için birikimli olasılık dağılım değeridir. R μ emniyet stokunu ifade eder. Yeniden sipariş noktası da ortalama Şekil 3.7 de görüldüğü gibi tedarik süresi talebi ile emniyet stokunun toplamına eşittir. Bir anlamda B ile gösterilen emniyet stoku istenen servis düzeyini elde etmek için gerekli olmakta ve yeniden sipariş noktası zamanda normal dağılım için emniyet stoku B = z σ dır.. R = μ + B dir. Aynı Servis Düzeyi Maliyetleri: Bu model ekonomik sipariş miktarında sonuçlanan satın alma maliyeti, sipariş maliyeti ve elde bulundurma maliyetinin yanı sıra emniyet stoku maliyeti ile sınırlı sayıdaki stok tükenme maliyetini de içermektedir. Emniyet stoku maliyeti = cb dir. Stoksuzluk miktarı = μ + z σ R dir. Ortalama stoksuzluk miktarı, (1-servis düzeyi) D/Q yıllık sipariş sayısında beklenir. Stok tükenme olasılığını ( P s ) = (1-servis düzeyi) olarak ifade edersek, 61

66 Beklenen yıllık stoksuzluk veya stok tükenme maliyeti = rsp s (D/Q) olur. Toplam Envanter Maliyeti: Toplam maliyet; satın alma, sipariş, stok bulundurma, emniyet stoku tutma ve stoksuzluk maliyetinin toplamına eşittir. TM = kd + vd Q cq + + cb + rsps 2 D Q TM vd cq Q = kd c( B + ) + rsps Q 2 2 D Q Stoksuzluk olasılığı (P s ) bilindiği ve sabit olduğu varsayılır. Stoksuz kalma ve kalmama olasıkları toplamı nedir ve stoksuzluk olasılığı %2 olan bir şirketin stoksuz kalmama oranı kaçtır. 62

67 Tablo 3.1: Normal Dağılım için Birikimli Olasılıklar 63