İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK MÜHENDİSLİĞİ PROGRAMI
|
|
|
- Deniz Sezen
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK MÜHENDİSLİĞİ PROGRAMI ADİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN CHEBYSHEV POLİNOMLARI İLE ÇÖZÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ Sema ERNEK Tez Daışmaı: Yad. Doç. D. Ahmet Kıış Mayıs 0
2 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK MÜHENDİSLİĞİ PROGRAMI ADİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN CHEBYSHEV POLİNOMLARI İLE ÇÖZÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ Sema ERNEK Teslim Taihi: Mayıs 0 Tez Daışmaı: Yad. Doç. D. Ahmet Kıış Mayıs 0
3 ii
4 ÖNSÖZ Bu çalışmaı hazılaışı sıasıda maevi desteği ve bilgisiyle he zama yaımda ola akadaşım Uğu KARAKAYA ya, yadımıı ve bilgisii hiçbi zama esigemeye Sayı Hocam Yad. Doç. D. Ahmet KIRIŞ a, hayatım boyuca baa tecübeleiyle yol göstee, sevgi, güve ve he tülü desteği vee ae baba ve kadeşime e içte teşekküleimi suaım. Mayıs, 0 Sema ERNEK iii
5 İÇİNDEKİLER ÖZET v. GİRİŞ. CHEBYSHEV POLİNOMLARI.. Taım.. Özellikle... T ( ) le Poliomdula... Chebyshev Poliomlaı Otogoaldile 3.3. Chebyshev Poliomlaıı Köklei ve Ekstemumlaı 4.4. Moic Chebyshev Poliomlaı 6 3. CHEBYSHEV POLİNOMLARININ KULLANIM ALANLARI Yaklaşım Poliomu Oluştuma Yaklaşım Poliomuu Deecesii Düşüme 3.3. Difeasiyel Deklem Çözümü İçi Kullaımı 4 4. BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Cleshaw Yötemi 5 KAYNAKLAR 3 iv
6 ÖZET Bu çalışmada Chebyshev poliomlaıı özelliklei ve kullaım alalaı icelemişti. Chebyshev poliomlaı sayısal aaliz koulaıa kolay adapte edilebilmesi ve bilgisaya pogamlamaya uyguluğu edeiyle yaklaşım poliomlaıı oluştuulmasıda, poliomlaı isteile hata seviyesi içide kalacak şekilde deeceleii düşüülmeside ve difeasiyel deklemlei başlagıç ve sıı değe poblemleii çözümüde kullaılmaktadı. Bu tez kapsamıda bu koulaa değiilmesii yaı sıa özellikle başlagıç değe poblemleii, Chebyshev poliomlaı kullaılaak sayısal çözümü icelemişti. v
7 . GİRİŞ Chebyshev poliomlaı ilk kez yaklaşık 00 yıl öce Rus matematikçi Chebyshev taafıda kullaılmıştı. Soasıda Laczos ve Cleshaw iki faklı yötemle Chebyshev poliomlaı yadımıyla yaklaşım poliomlaı oluştumuşladı. Chebyshev poliomlaı; poliomla ailesi içide, otogoal olmalaı, eküsif ilişkile elde edilebilmesi ve bilgisaya pogamlamaya yatkı olmalaı sebebiyle yaklaşım poliomu olaak kullaılmaya çok uygudula. Bu tez kapsamıda, Chebyshev poliomlaıı taımı, otogoal olmalaı, çeşitli eküsif ilişkilei ve "moic" Chebyshev poliomlaı ikici bölümde alatılmıştı. Üçücü bölümde ayı deeceli diğe poliomlaa göe maksimum hatayı miimum yapacak şekilde Lagage itepolasyouda düğüm oktalaıı yeleii belileeek yaklaşım poliomlaıı oluştuulması ve yaklaşım poliomuu deecesii yapıla toplam hata isteile hata aalığı içide kalacak şekilde düşüülmesi alatılmıştı. Chebyshev poliomlaı yaklaşım poliomu oluştuma gibi amaçlala kullaılabilmesie ağme, adi ve kısmi tüevli difeasiyel deklemlei başlagıç ve sıı değe poblemleii sayısal çözümlei temel kullaım alalaıdı. Dödücü bölümde Chebyshev poliomlaıı sadece başlagıç değe poblemleie uygulaması, Cleshaw algoitması alatılmış ve çeşitli öekle veilmişti.
8 . CHEBYSHEV POLİNOMLARI.. Taım T ( ). deecede bi poliom olmak üzee 0 içi (,) aalığıda T (.) ( ) cos( cos ) şeklide taımlaı []... Özellikle... T() le Poliomdula: (.) taımıda ve olduğu göülü. (.) de içi T ( ) cos0 (.) 0 T (.3) ( ) cos(cos ) cos ataması yapılısa T (.4) (cos ) cos( cos (cos )) cos( ) ifadesi elde edili. (.4) ifadeside yeie yazılısa, T (cos ) cos[( ) ] cos[ ] cos( )cossi( )si (.5) yazılısa, T (cos ) cos[( ) ] cos[ ] cos( )cos si( )si (.6) souçlaıa ulaşılı.
9 (.5) ve (.6) toplamıda T (cos ) T (cos ) cos( )cos (.7) eşitliği elde edili. (.7) deklemide cos döüşümü yapılısa T (cos(cos )) T (cos(cos )) cos( cos )cos(cos ) (.8) ve (.8) deklemi yeide düzeleise olduğu göülü ve eküsif bağıtısı elde edili. T ( ) ve T( ) 0 T ( ) T ( ) T ( ) (.9) T ( ) T ( ) T ( ) (.0) olduğua göe T ( ) de e büyük deeceli teimi katsayısı, T ( ) de 3 ve T ( ) de poliomdu. olduğu göülü. Dolayısıyla T ( ) le (.0) bağıtısı yadımı ile bulua Chebyshev poliomlaıı bazılaı; T T T ( ) ( ) 0( ) T T T 3 3( ) ( ) ( ) 4 3 T T T 4 4( ) 3( ) ( ) 8 8 şeklide elde edili [].... Chebyshev Poliomlaı Otogoaldile. Chebyshev poliomlaı w ( ) (.) ağılık foksiyoua göe (,) aalığıda otogoaldile. 3
10 İspat: m ike T T ( ) d m (.) itegali çözülüse (.) taımıda T ( ) cos( cos ) ve T m eşitliklei yazılaak ifadesi elde edili. cos cos.cos mcos d m ( ) cos( cos ) (.3) cos d d cos 0, cos (.4) döüşümlei yapılısa 0 cos tigoometik döüşüm fomülleide (.5) ifadesi şeklide yazılabili. Bu itegal çözülüse 0 cos m d (.5) [cos m cos m ] d (.6) si( m) si( m) 0 ( m) ( m) (.7) 0 buluu ki, bu souç T ( ) poliomlaıı (,) aalığıda otogoal olduğuu göstemektedi []..3. Chebyshev Poliomlaıı Köklei ve Ekstemumlaı Teoem: T ( ) poliomuu ike (,) aalığıda 4
11 oktalaıda tae kökü ve k k cos k,,..., (.8) k k cos k 0,,,..., (.9) oktalaıda tae ekstemumu vadı. İspat: (.) taımıda k oktalaı yazılısa elde edili. Buada olduğu göülü ve k T( k) cos[ cos (cos( ))] (.0) k T( k) cos( ) (.) T ( ) 0 (.) k olacağıda k oktalaı Chebyshev poliomlaıı kökleidi. Ekstemum oktala içi ise (.) taımıı tüevii alıısa T ( ) si( cos ) (.3) ifadesi elde edili. (.3) de k oktalaı yazılısa T( ) k k k [ cos ] si( cos cos ) (.4) elde edili ve ifade düzeleise 5
12 si( k ) T ( k) k si (.5) ve T( ) 0 (.6) k olduğu göülü. Yai ' k oktalaı ekstemum oktaladı. Bu ekstemum değele ise T ( k) cos[ cos (cos( ))] cos k k (.7) eşitliğide T ( ) ( ) k (.8) k buluu ve T ( ) poliomuu k tek sayı ise miimum, k çift sayı ise maksimum değe aldığı göülü [-]..4. Moic Chebyshev Poliomlaı T ( ) poliomuda e büyük deeceli teimi katsayısıı olduğu öceki bölümde gösteilmişti. Tüm poliomu bu katsayıya bölümesi ile elde edile, yai e büyük deeceli teimii katsayısı bi ola yei polioma moic Chebyshev poliomu dei ve T ( ) 0 T ( ) T ( ) (.9) şeklide taımlaı. (.9) ifadeside T ( ) poliomlaı içi yazılısa T ( ) T( ) T ( ) (.30) 0 elde edili. (.9) yadımı ile (.30) T ( ) T ( ) T ( ) (.3) 0 6
13 şeklie getiili ve katsayıla sadeleştiilise T ( ) T ( ) T 0( ) (.3) olduğu göülü. içi beze işlemle yapılısa (.0) ifadesi T ( ) T ( ) T ( ) (.33) şeklie geli. Buada T ( ) T ( ) T ( ) (.34) olu ve katsayıla sadeleştiilise T ( ) T ( ) T ( ) 4 (.35) bağıtısı elde edili. T ( ) ile T ( ) poliomlaı aasıda yalızca katsayı fakı olduğuda T ( ) poliomuu (.8) ifadesi ile veile köklei T ( ) poliomuu da köklei ve beze şekilde (.9) ifadesi ile veile ekstemumlaı da T ( ) poliomuu da ekstemumlaıdı []. 7
14 3. CHEBYSHEV POLİNOMLARININ KULLANIM ALANLARI 3.. Yaklaşım Poliomu Oluştuma Chebyshev poliomlaı Lagage itepolasyouda düğüm oktalaıı eşit aalıklala değil de, hatayı miimum yapacak şekilde seçileek yaklaşım poliomlaıı oluştuulmasıda kullaılabili. Böylece yaklaşım poliomuu veile aalıkta maksimum hatasıı ayı deecede diğe yaklaşım poliomlaıı tümüde daha küçük olması sağlaı ki, bu özellik Chebyshev poliomlaıı yaklaşım poliomlaı oluştuma da çok üstü kılmaktadı. Teoem: P ( ) Lagage itepolasyo poliomu ve poliomla kümesi olmak üzee. deecede tüm moic ma T ( ) ma P ( ), P ( ) (3.) [,] [,] di. Eşitlik acak P ( ) T ( ) (3.) olduğuda sağlaı. Bu teoem Lagage itepolasyouda, itepolasyo oktalaıı yeii belileeek hataı miimizasyouda kullaılabili. Yai; 0,,..., [,] aalığıda ayık oktala, aalığıda bi sayı olmak üzee hata f C [,] ve ( ) (,) f ( ( )) f ( ) P( ) ( 0)( )...( ) ( )! (3.3) ile veilebili. (3.3) ifadesii miimize etmek içi ( ) üzeide hiçbi kotol olmadığıa göe miimize edilmesi geeke büyüklük ( )( )...( ) (3.4) 0 olmalıdı. 8
15 ( )( )...( ) ifadesi ( ). deecede bi poliomdu ve teoem bu 0 poliom acak ve acak T ( ) olaak seçilise, (3.4) ifadesii miimum olacağıı söyle. Bua göe Lagage poliomuu köklei T ( ) poliomuu köklei yai k ( k ) cos ( ) k cos ( ) (3.5) olaak seçilmelidi. Bu tekik sadece [,] aalığıda değil ( ba ) a b (3.6) değişke döüşümü ile keyfi [ ab, ] aalığıa da geişletilebili [3]. Öek: f ( ) e foksiyoua [0,.5] aalığıda Lagage itepolasyou ve Chebyshev poliomlaı ile yaklaşım poliomlaı oluştuaak he iki yötemde yapıla hatayı kaşılaştııız. İlk olaak Chebyshev poliomlaı kullaılmada sadece Lagage itepolasyou yötemi ile h 0.5 eşit aalıklı oktalala (Tablo 3.) i i f ( ) e i i i i Tablo 3.. Noktala ve foksiyou o oktalada ki değelei yaklaşım foksiyou oluştuulmak isteise, L( ) i ( j ) (3.7) ( ) j0, ji i j ifadesi yadımı ile Lagage poliomlaı 9
16 ( 0.5)( )(.5) L (0 0.5)(0 )(0.5) 3 0( ) ( 0)( )(.5) 3 L ( ) (0.5 0)(0.5 )(0.5.5) ( 0)( 0.5)(.5) 3 L ( ) ( 0)( 0.5)(.5) ( 0)( 0.5)( ) 3 L3 ( ) (.5 0)(.5 0.5)(.5 ) şeklide elde edili ve P ( ) yaklaşım poliomu ifadeside P ( ) L( ) f ( ) (3.8) i i i0 P (3.9) 3 3 ( ) olaak elde edili. İkici olaak i oktalaı T ( ) T 3( ) T 4( ) poliomuu köklei olaak seçilise (3.5) bağıtısı yadımı ile oktala Tablo 3. de i i Tablo 3.. T ( ) 4 poliomuu köklei göüldüğü şekilde buluu. Acak bu oktala [,] aalığıda [0,.5] aalığıa taşımalıdı. (3.6) döüşümüde yaalaaak bu aalıktaki oktala ve foksiyou kaşı gele değelei Tablo 3.3 te veilmişti. 0
17 i i f ( ) e i i i i Tablo 3.3. Noktala ve foksiyou o oktalada ki değelei (3.7) yadımı ile Lagage poliomlaı L 3 o ( ) L 3 ( ) L 3 ( ) L 3 3 ( ) şeklide elde edili ve (3.8) taımıda yaklaşım poliomu P (3.0) 3 3 ( ) olaak elde edili. He iki foksiyo içi hataya bakılısa (Tablo 4), P 3 ( ) bazı oktalada P ( ) 3 e göe kötü souç vese de veile aalıkta maksimum hataya bakıldığıda Lagage poliomlaı ile elde edile yaklaşım poliomuda maksimum hata ve Chebyshev poliomlaı ile elde edile yaklaşım poliomuda ise maksimum hataı olduğu göülü ki, bu souç Chebyshev poliomlaı ile ayı deecede daha iyi yaklaşım poliomu elde edildiğii göstemektedi. i f ( ) P3 ( ) f 3 ( ) P ( ) i e ( ) P3 e P ( ) Tablo 3.4. Yaklaşım poliomlaıı kaşılaştıılması
18 3.. Yaklaşım Poliomuu Deecesii Düşüme Chebyshev poliomlaı yaklaşım poliomuu deecesii yapıla toplam hata isteile hata seviyesi içide kalacak şekilde düşümek amacıyla da kullaılabili. [,] aalığıda. deece keyfi poliom P ( ) a a... a (3.) 0 ile taımlası. Amaç ma P ( ) P ( ) (3.) [,] ifadesi miimum olacak şekilde P ( ) poliomuu seçmekti. P( ) P ( ) a ifadesi. deece "moic" bi poliomdu. Teoemde P ( ) P ( ) T ) (3.3) ma ( [ ], a elde edili. Eşitliği acak P( ) P ( ) T ( ) (3.4) a ile sağladığı öceki bölümde gösteilmişti. Dolayısıyla buada; P ( ) ( ) ( ) P at (3.5) şeklide seçilebili ve P ( ) P ( ) a ma P ( ) P ( ) a ma (3.6) [,] [,] a eşitliği sağlaı [-]. Öek: f ( ) e foksiyoua [,] aalığıda Maclaui seisi 3 4 ( ) P4 (3.7) 6 4
19 ile yaklaşılabili ve kesme hatası olaak buluu f ( ( )) e R4 ( ) 0.03 (3.8) 0 0 hataı kabul edilebili olduğu vasayılısa, hata isteile aalıkta kalacak şekilde yaklaşım poliomuu deecesi e kada düşüülebili? (3.5) ifadesi kullaılaak P( ) poliomu P3( ) P4( ) a4t4( ) T 4( ) (3.9) şeklide elde edilebili. (.35) ifadeside T ( ) 4 poliomu (3.9) deklemide kullaılısa P( ) poliomu 3 4 T 4( ) (3.0) P3 ( ) (3.) olaak buluu. P( ) ile 4 P ( ) 3 aasıdaki hata P4( ) P3( ) a4t 4( ) (3.) elde edili. Bu hata ile P( ) hatası toplaısa 4 P ( ) 3 içi toplam hata buluu ki, bu da kabul edilebili hata ola 0.05 te küçüktü. Beze şekilde P ( ) poliomu oluştuulusa P ( ) P( ) at ( ) (3.3) 3
20 elde edili. P( ) ile 3 P ( ) aasıdaki hata P3( ) P( ) at 3 3( ) 0.04 (3.4) Bu hata P ( ) 3 poliomuu hatası ile toplaısa elde edili ki bu hata kabul edilebili hatada büyük olduğu içi yaklaşım poliomu olaak P( ) kaldığıda P( ) 3 poliomu kullaılamaz acak yapıla hata isteile hata aalığı içide poliomu yaklaşım poliomu olaak güvele kullaılabili Difeasiyel Deklem Çözümü İçi Kullaımı Chebyshev poliomlaı difeasiyel deklemlei başlagıç ve sıı değe poblemleii sayısal çözümü içi de kullaılabili. Adi difeasiyel deklemlei başlagıç değe poblemleii çözümü 4. bölümde ayıtılı olaak iceleecekti. 4
21 4. BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ 4.. Cleshaw Yötemi ( k f ) ( ) k. deecede tüev ve p ( ) poliom olmak üzee k m ( k ) ( ) k ( ) ( ) k0 h p f (4.) şeklide taımlaa difeasiyel deklemi Cleshaw yötemi ile çözümü aşağıdaki gibi buluabili. h ( ) difeasiyel deklemi Chebyshev poliomlaıa açılaak f ( ) çözümü f ( ) ' C T ( ) (4.) 0 şeklide hesaplaabili. Cleshaw yötemi içi geekli adımla aşağıda açıklamıştı. f ( ) foksiyouu s. deecede tüevi ( s) ( s) ( s) ( s) ( s) ( s) ( s) f ( ) C0 C T( ) C T( )... C T( ) C T( ) C T( )... (4.3) şeklide taımlaı. s 0 içi (4.3) taımı f( ) C0 CT ( ) CT( )... C T( ) CT( ) C T( )... (4.4) ve s içi () () () () () () f( ) C0 C T( ) C T( )... C T( ) C T( ) C T( )...(4.5) olaak elde edili. Chebyshev poliomlaıı tüevlei aasıdaki ilişki, T ( ) T( ) 0 T( ) T ( ) 4 T T T ( ) (4.6) 5
22 ve (4.7) ( ) T( ) [ T( ) T ( )] [ T ( ) T( )] bağıtılaı ile veili. (4.5) ifadesi (4.6) yadımı ile itege edilise () () f( ) c0 c0 T( ) c T( )... 4 () T( ) T ( ) c () T( ) T ( ) c () T ( ) T( ) c... (4.8) elde edili. Buada dikkat edilmesi geeke okta (4.8) deklemideki c 0 ile (4.4) deklemideki c 0 katsayısıı faklı sayıla olduğudu. (4.8) ile (4.4) deklemlei eşitleise C C C (4.9) ( ) ( ) ( ) eşitliği elde edili. s 0 içi (4.9) ifadesii (4.0) C C C olduğu göülü. g( ) ile veile bi poliomu Chebyshev açılımıda, T ( ) poliomuu katsayısı C g( ), 0 C g( ) /, 0 (4.) olaak gösteilise, (4.) difeasiyel deklemide ki teimlei Chebyshev açılımı içi geel yapı p p ( s) p ( s) C ( f ) p Cp j j0 j (4.) 6
23 şeklide veilmişti. Dolayısıyla (4.) difeasiyel deklemi (4.) yadımıyla Chebyshev poliomlaıa açılıp, eşitliği he iki taafıda ayı deecede Chebyshev poliomlaıı katsayılaı eşitleeek (4.) çözümüü Chebyshev poliomlaı ciside yazmak içi geekli katsayıla elde edilebili. Bu amaçla aşağıda alatıla eküsif yötem kullaılı []. Reküsif Yötem:. N sayısı çözümü doğuluğu isteile hata aalığıda kalacak şekilde yeteice büyük olmak üzee, C keyfi N ( s) N C 0 N ( s) (4.3) şeklide keyfi N ve C değelei seçili. ( s ) N. N sayısıda başlaaak ile hesaplaı. C katsayılaı, s,..., m içi (4.9) ifadesi ( s) N 3. Bi öceki adımda ki ifadele ve (4.) ile veile difeasiyel deklemde (4.) yadımıyla elde edile eküsif ilişkilede ise C C hesaplaı. 0 N N 4. () ve (3) işlemlei 0 olucaya kada devam ettiili []. Öek: y y 6y 0, 0, y(0), y(0) 0 (4.4) deklemii çözümüü ve y () değeii Chebyshev poliomlaı yadımıyla buluuz. Çözüm: Cleshaw yötemi kullaabilmek içi deklem C ( y) C ( y) 6 C ( y) 0,,3,... (4.5) şeklide yazılı. (4.) ifadesi kullaılaak () () () C ( y) C C C C C, j j0 j () C( y) C C, 0 0 j j0 j C y C C C (0) (0) (0) ( ) j j0 j 0 C C (4.6) 7
24 katsayılaı elde edili. Bu katsayıla (4.5) deklemide yazılısa ifadesi elde edili. C C C 8 C C 0,,3,... (4.7) (4.7) ifadeside yeie yazılısa, yazılısa ifadelei elde edili. C C C 8 C C 0,3, 4,... (4.8) C C C 8 C C 0 0,,,3,... (4.9) (4.9) ifadeside (4.8) ifadesi çıkaılısa soucua ulaşılı. C C C C 8 C C 0,3, 4,... (4.0) (4.0) ifadesii basitleştimek içi (4.9) ifadeside yeie yazılısa ( ) C C C (4.) ( s) ( s) ( s) yazılısa ( ) C C C (4.) ( s) ( s) ( s) ifadelei elde edili ve (4.) ile (4.) ifadelei toplaısa elde edili. s içi (4.3) ifadesii ( ) C ( ) C C C (4.3) ( ) ( ) ( ) ( ) C C ( ) C ( ) C (4.4) şeklie geli. (4.0) ifadeside (4.4) kullaılısa ( ) C ( ) C ( C C ) 8( C C ) 0 C ( C ) 8( C C ) 0 (4.5) elde edili ve düzeleise 8
25 C C ( C ) C (4.6) 8 ifadesie ulaşılı. (4.3) ifadeside N 0 ve C 0 olaak seçili ve daha büyük deeceli katsayıla sıfı olaak belileise, (4.0) ve (4.6) ifadelei ile katsayıla C C C C Tablo 4.: C ve C değelei Tablo 4. de göüldüğü gibi hesaplaı. T i Ti (0) ( ) (0) 0 i (4.7) olduğua göe y(0) C 0 C C 4... C (4.8) olaak buluu. Poblemde veile y(0) başlagıç koşuluu sağlaması içi bu değe kedisie yai y(0) değeie bölümelidi. Bu duumda (4.) geçek C değelei 9
26 C C (4.9) y(0) ifadesi kullaılaak hesaplaı. C C Tablo 4. C değelei Tablo 4. de elde edile y olaak hesaplaı []. Öek: C C değelei ile y () 0 0 () CT i i() i (4.30) 3 (5 3 y ) y, y( ) deklemii çözümü içi dödücü deecede bi yaklaşım poliomu oluştuuuz. Çözüm: Bi öceki öeğe beze şekilde deklem 3 5 C( y) 3 C( y) C( y) (4.3) 0
27 şeklide yazılı. (4.) ifadesi kullaılaak 0 0 () C( y) 0 C C, 0 j j0 j 0 () C( y) C C C, j j0 j 0 0 () C( y) C C 0 0 j j0 j (4.3) değelei buluu. Bu değele (4.3) ifadeside yeie yazılısa 5C 3 3 C C C (4.33) olu. (4.0) ifadesi yadımı ile (4.33) ifadesi basitleştiilmek isteise (3 6 C ) 0C 6C (4.34) ifadesi elde edili. (4.3) ifadeside N 7 olaak seçili C 7 0 ve daha büyük deeceli katsayıla sıfı olaak belileise (4.0) ve (4.34) ifadeleide katsayıla C C Tablo 4.3. C ve C değelei olaak belilei. Bulua değele e yakı tamsayıya yuvalamıştı. olduğua göe T ( ) ( ) i i (4.35)
28 y( ) C 0 C C... C (4.36) olaak buluu. Bu değei veile geçek y( ) değeie yai ye eşit olması içi tüm C katsayılaı C Tablo 4.4. şeklide buluu. Souç olaak çözüm sayısı ile çapılmalıdı. Buada C değelei 3436 C değelei y 3 4( ) ( ) (4 3 ) (8 8 ) (4.37) olaak elde edili [3].
29 KAYNAKLAR [] Fo L., 968. Chebyshev Polyomials i Numeical Aalysis, Ofod Uivesity Pess, Lodo. [] Gill A., Segua J., Temme N. M., 007. Numeical Methods fo Special Fuctios, Siam, Philadelphia. [3] Cleshaw C. W., 956. The Numeical Solutio of Liea Diffeatial Equatios i Chebyshev Seies, Poceedigs of the Cambidge Philosophical Society, 53:
ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK
ÖABT ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK DENEME SINAVI ÇÖZÜMLERİ ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ DENEME SINAVI / çözümlei. DENEME. Veile öemelede yalız III kesi olaak doğudu. Bu edele doğu cevap seçeeği B di..
MEKANİK TİTREŞİMLER. (Dynamics of Machinery, Farazdak Haideri, 2007)
MEKANİK TİTREŞİMLER TİTREŞİM ÖLÇÜMÜ: Titeşim ölçümü oldukça kapsamlı bi koudu ve mekaik, elektik ve elektoik bilgisi içeiklidi. Titeşim ölçümleide titeşim geliği (ye değiştime-displacemet, hız-velocity
8. f( x) 9. Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerin
. MAEMAİK çapıldığıda, çapım olu? 6 ifadesi aşağıdakilede hagisi ile ) 6 + ifadesie eşit ) D) 6 + 8. f( ) ile taımlı f foksiouu e geiş taım kümesi aşağıdaki sg( ) lede hagisidi? 6,@ ) 6,@ ) ^, h, ^, +
Kutu Poblemlei (Tekalı Kombiasyo) c) faklı dağıtılabili! Özdeş üç kutuya pay, pay, pay dağıtımı yapılısa; pay ala kutuu diğeleiyle ola özdeşliği bozul
Kutu Poblemlei (Tekalı Kombiasyo) KUTU PROBLEMLERİ Bu kouyu öekle üzeide iceleyeek geellemele elde edelim Öek a) faklı ese, kutuya pay, kutuya pay ve kutuya pay olacak şekilde kaç faklı dağıtılabili? b)
Öğr. Elemanı: Dr. Mustafa Cumhur AKBULUT
Üite 9: Koelasyo Öğ. Elemaı: D. Mustafa Cumhu AKBULUT 9.Üite Koelasyo 2 Üitede Ele Alıa Koula 9. Koelasyo 9.1. Değişkele Aasıdaki İlişkile 9.2. Koelasyo katsayısı 9.Üite Koelasyo 3 Koelasyo Buda öceki
Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER
Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Doç.D. Suat ŞAHİNLE Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Olasılık: Eşit saşla meydaa gele tae olayda A taesi A olayı olsu. Bu duumda A olayıı meydaa gelme olasılığı;
RADYAL EPİTÜREVLERİN BAZI ÖZELLİKLERİ ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA
ISSN:306-3 e-joual of New Wold Scieces Academ 009 Volume: 4 Numbe: 4 Aticle Numbe: 3A006 PHSIAL SIENES eceived: abua 009 Accepted: Septembe 009 Seies : 3A ISSN : 308-7304 009 www.ewwsa.com Goca İceoğlu
T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI FİBONACCİ SAYILARI VE ÜÇGENSEL GRAFLAR
T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI İBONACCİ SAYILARI VE ÜÇGENSEL GRALAR YÜKSEK LİSANS TEZİ HURİYE KORKMAZ BALIKESİR, OCAK - 06 T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ
POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,
POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x
TG 2 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlei he hakkı saklıdı. Hagi amaçla olusa olsu, testlei tamamıı veya bi kısmıı
NÜKLEER FİZİĞİN BORSAYA UYGULANMASI: OPSİYON FİYATLARININ MESH FREE YÖNTEM ile MODELLENMESİ
NÜKLEER FİZİĞİN BORAYA UYGULANMAI: OPİYON FİYATLARININ MEH FREE YÖNTEM ile MODELLENMEİ M. Bilge KOÇ ve İsmail BOZTOUN Eciyes Üi. Fe-Ed. Fak. Fizik Bölümü 38039 Kaysei ÖZET Bu çalışmada eoik üklee fiziği
REEL ANALĐZ UYGULAMALARI
www.uukcevik.com REE NĐZ UYGUMRI Sou : (, Α, µ ) ölçü uzayı olsu. = N, Α= ( N ) ve µ ( E) olduğuu östeiiz. N üzeide alması içi eek ve yete koşul < di. Gösteiiz. µ oksiyouu veile taımıı uyulayalım; µ (
POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ
POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı
5 ÖABT / MTL ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG. 678 ( sin + cos )( sin- cos )( sin+ cos ) lim sin- cos " = lim ( sin+ cos ) = bulunu. ". # # I = sin d = sin sin d sin = u sin d = dv du = sin : cos
Cevap D 6. P ( 1 ) = 2, P ( 2 ) = 1. x = 1 P ( P ( 1 ) ) = a + b. Cevap E. x = 2 P ( P ( 2 ) ) = 2a + b. a + b = 1 2a + b = 2
eeme - / YT / MT MTEMTİK ENEMESİ Çözümle. - a a + a - a+ a - - ^- ah. ^+ ah ^a- h. ^a+ h =. ^a-h. ^a-h a + =- ^a+ h =-a-. (! ) (! ) =. (!! ). (! +! ) =.!..!. =. tae tae tae = + + = 0 buluu.. =.. alıısa
OLASILIK SAYMA PROBLEMLERİ:
OLASILIK SAYMA PROBLEMLERİ: TOPLAMA YÖNTEMİ: Bi E olayı E veya E olaylaıda biii geçekleşmesiyle oluşuyo, E olayı içi seçeek, E olayı içi m seçeek vasa, E olayı içi +m seçeek vadı. E=E E ve E E =Ø içi:
İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK
Kostadi Teçevski Aeta Gatsovska Naditsa İvaovska Yovaka Teçeva Smileski İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK DÖRT YILLIK MESLEKİ OKULLARA AİT SINIF IV İKTİSAT - HUKUK MESLEĞİ EKONOMİ TEKNİSYENİ Deetleyele: D. Bilyaa
Çözüm Kitapçığı Deneme-3
KAMU PESONEL SEÇME SINAVI ÖĞETMENLİK ALAN İLGİSİ TESTİ İLKÖĞETİM MATEMATİK ÖĞETMENLİĞİ - OCAK 7 Çözüm Kitapçığı Deeme- u testlei he hakkı saklıdı. Hagi amaçla olusa olsu, testlei tamamıı vea i kısmıı Mekezimizi
BÖLÜM 2 D YOT MODELLER
BÖLÜM YOT MOELLER.1. Bi diyodu liee olmaya davaıı lei yöde kutulamı bi joksiyouu akım-geilim kaakteistii gei bi bölgede ekil-.1 deki gibi üstel bi deiim göstei. cak, geek küçük geekse büyük akımlaa dou
LYS TÜREV KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
LYS TÜREV KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Tüev... Sağdan Ve Soldan Tüev... Tüev Alma Kuallaı...7 f n () in Tüevi... Tigonometik Fonksionlaın Tüevi... 6 Bileşke Fonksionun Tüevi... Logaitma
LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2
LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.
POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS
YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır
SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme
SAYISAL ÇÖZÜMLEME Saısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME 8. Hafta İNTERPOLASYON Saısal Çözümleme 2 İÇİNDEKİLER Ara Değer Hesabı İterpolaso Doğrusal Ara Değer Hesabı MATLAB ta İterpolaso Komutuu Kullaımı Lagrace
2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları
LYS LYS MATEMATİK Soulaı. LYS 5. LYS ( + a ) = 8 < < olmak üzee, olduğuna öe, a kaçtı? I. A) D) II. + III. (.) ifadeleinden hanileinin değei neatifti? A) Yalnız I Yalnız II Yalnız III D) I ve III II ve
BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI
Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei
DENEY 1-A MÜHENDĐSLĐKTE ĐSTATĐSTĐKSEL YÖNTEMLER
ühedislikte Đstatistiksel Yötele /. AAÇ DENEY -A ÜHENDĐSLĐKTE ĐSTATĐSTĐKSEL YÖNTELER Deeyi aacı, istatistiksel yötelei düzesiz davaış göstee oluşulaa uygulaasıı gösteekti. Çap ve oto devi sayısı ölçüleek
DOĞRUSAL OLMAYAN GEMİNİN SALLANMA HAREKETİ İÇİN MAKSİMUM GENLİKLERİN HESAPLANMASI ÖZET
Politekik Degisi Joual of Polytechic Cilt: 6 Sayı: 4 s. 69-6, 00 Vol: 6 No: 4 pp. 69-6, 00 DOĞRUSAL OLMAYAN GEMİNİN SALLANMA HAREKETİ İÇİN MAKSİMUM GENLİKLERİN HESAPLANMASI İlyas ÇANKAYA Sakaya Üivesitesi,
Analiz II Çalışma Soruları-2
Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II
5. ( 8! ) 2 ( 6! ) 2 = ( 8! 6! ). ( 8! + 6! ) Cevap E. 6. Büyük boy kutu = 8 tane. Cevap A dakika = 3 saat 15 dakika olup Göksu, ilk 3 saatte
Deneme - / Mat MTEMTİK DENEMESİ Çözümle. 7 7 7, 0, 7, + + = + + 03, 00,, 3 0 0 7 0 0 7 =. +. +. 3 = + + = 0 bulunu.. Pa ve padaa eklenecek saı olsun. a- b+ b =- a+ b+ a & a - ab+ a =-ab-b -b & a + b =
T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
T.C. TRAKYA ÜNİVRSİTSİ FN BİLİMLRİ NSTİTÜSÜ HİDROSTATİK BASINÇ LKTRİK ALAN V MANYTİK ALANIN DÜŞÜK BOYUTLU YAPILARA TKİSİ Sema MİNZ DOKTORA TZİ TRAKYA ÜNİVRSİTSİ FİZİK ANABİLİM DALI Daışma 1) Pof. D. Hasa
2. TEMEL İSTATİSTİK KAVRAMLARI
TEMEL İSTATİSTİK KAVRAMLARI İstatistik Kavamı İstatistik bi olaya (eve, aa kütle,toplu, kolektif ve yığı şeklideki) ait veilei (aket, deey ve gözlem vb) toplaaak sayısal olaak ifade edilmesii ve bu veilei
YX = b X +b X +b X X. YX = b X +b X X +b X. katsayıları elde edilir. İlk olarak denklem1 ve denklem2 yi ele alalım ve b
Kadelen Bisküvi şiketinin on şehideki eklam statejisi Radyo-TV ve Gazete eklamı olaak iki şekilde geçekleşmişti. Bu şehiledeki satış, Radyo-TV ve Gazete eklam veilei izleyen tabloda veilmişti. Şehi No
0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322
Bölüm 3. İkici Mertebede Lieer ve Sabit Katsaılı Diferesiel Deklemler 4 3. Geel Taımlar ( ) ( ) ( ) a ( ) + a ( ) + a ( ) +... + a ( ) + a ( ) = f ( ) () 0 şeklideki bir deklem. mertebede lieer deklem
OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)
OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza
A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir?
ÖRNEK 1 : A= {1,,}, B={1,,5,7}kümeleri veriliyor. A da B ye taımlaa aşağıdaki bağıtılarda hagisi foksiyo değildir? A) {(1,), (,5), (,7)} B) {(1,), (1,5), (,1)} C) {(1,1), (,1), (,1)} D) {(1,5), (,1), (,7)}
PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları
PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?
ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014
YÖRÜNGE MEKANİĞİ Yöüngeden Hız Hesabı Küçük bi cismin yöüngesi üzeinde veilen hehangi bi noktadaki hızı ve bu hızın doğultusu nedi? Uydu ve çekim etkisinde bulunan cisim (Ye, gezegen, vs) ikili bi sistem
Fresnel Denklemleri. 2008 HSarı 1
Feel Deklemle 8 HSaı 1 De İçeğ Aa Yüzeyde Mawell Deklemle Feel şlkle Yaıma Kıılma 8 HSaı Kayak(la Oc ugee Hech, Alfed Zajac Addo-Weley,199 Kuaum leko-diamğ (KDİ, Rchad Feyma, (Çev. Ömü Akyuz, NAR Yayılaı,
SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ
SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ.Gup: Vize sou önekleindeki son gup (Routh-Huwitz testi) soula dahildi. Bunla PID soulaıyla bilikte de soulabili..) Tansfe fonksiyonu
LYS MATEMATİK DENEME - 2
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI
T.C. FIRAT ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI Muammed ÇINAR TEZ YÖNETİCİSİ Pof. D. Miail ET YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ELAZIĞ-2007
ZAMAN DOMENİNDE SONLU FARKLAR METODU İLETEK BOYUTLU YAPILARDA ELEKTROMANYETİK DALGA YAYILIMININ SİMÜLASYONU
UBMK :. ULUSAL BİLİŞİM-MULTİMDYA KONFRANSI 76 ZAMAN DOMNİND SONLU FARKLAR MTODU İLTK BOYUTLU YAPILARDA LKTROMANYTİK DALGA YAYILIMININ SİMÜLASYONU Yavu ROL asa. BALIK eol@fia.edu. balik@fia.edu. Fıa Üivesiesi
DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMPLEKTİK GEOMETRİ E. ATA
DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMLEKTİK GEOMETRİ E. ATA Özet Bu maalede dual uateyola üzede smlet gu, smlet etö uzayı e smlet
T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ FARKLI POTANSİYELLERDE SINIRLANDIRILMIŞ ÇOK ELEKTRONLU KUANTUM NOKTA YAPILARIN ELEKTRONİK ÖZELLİKLERİ SUDE KART YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANABİLİM DALI Koya,
A A A A A A A A A A A
LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 sou vadı.. Cevaplaınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için aılan kısmına işaetleiniz.. Veilen, ve z tamsaılaı için. =. z =. =f() olduğuna göe, + + z toplamı en çok kaçtı?
Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...
MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız
( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri
V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı
ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE
AADOLU ÜİERSİTESİ BİLİM E TEKOLOJİ DERGİSİ AADOLU UIERSIT JOURAL OF SIEE AD TEHOLOG ilt/ol.:0-saı/o: : 549-556 (009) ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARH ARTILE KAIP GÖZLEM OLDUĞUDA KİTLE ORTALAMASII TAHMİİ Esa
T.C SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
.C SELÇUK ÜNİVERSİESİ FEN BİLİMLERİ ENSİÜSÜ CHEBYSHEV POLİNOMLARI VE BAZI UYGULAMALARI NEJLA ÇALIK YÜKSEK LİSANS EZİ İLKÖĞREİM ANABİLİM DALI KONYA, 00 ÖZE YÜKSEK LİSANS EZİ CHEBYSHEV POLİNOMLARI VE BAZI
EGM96 JEOPOTANSİYEL MODELİ,TG99 TÜRKİYE JEOİDİ VE GPS/NİVELMAN İLE ELDE EDİLEN JEOİT ONDÜLASYONLARININ KARŞILAŞTIRILMASI
Selçuk Üivesitesi Jeodezi ve Fotogameti Müedisliği Öğetimide 30. Yõl Semozyumu16-18 Ekim 00 Koya SUNULMUŞ BİLDİRİ EGM96 JEOPOTANSİYEL MODELİTG99 TÜRKİYE JEOİDİ VE GPS/NİVELMAN İLE ELDE EDİLEN JEOİT ONDÜLASYONLARININ
1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.
Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )
DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh Ocak 2004
DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh. 129-138 Ocak 2004 CEBİRSEL KATSAYILI HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN FARK DENKLEMLERİ İLE ÇÖZÜMÜ (SOLUTION OF HOMEGENEOUS DIFFERANTIAL
Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri
6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme
f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi
4.2. Pozitif Foksiyoları İtegrali SOU : f ), M +, A) kümeside bulua foksiyoları mooto arta dizisi ve h.h.h. f = f ise f dµ = f dµ gerçekleir. Gösteriiz Bu teorem Mooto yakısaklık teoremide yakısaklık yerie
(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.
Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..
SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Ders Notları. Prof. Dr.
SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER - Döemi Ders Notları Pro. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri
SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Karma Eğitim Ders Notları. Doç. Dr.
SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9- Döemi Karma Eğitim Ders Notları Doç. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri
r r r r
997 ÖYS. + 0,00 0,00 = k 0,00 olduğuna göe, k kaçtı? B) C). [(0 ) + ( 0) ] [(9 0) (0 ) ] işleminin sonucu kaçtı? B) C) 9 6. Bi a doğal sayısının ile bölündüğünde bölüm b, kalan ; b sayısı ile bölündüğünde
ATOM MODELLER THOMSON ATOM MODEL. -parçacığının sapma açısı, ( ) ; tan θ = k. q α.q ç 1. 2 2.E k b
ATOM MODLLR THOMSON ATOM MODL TOR ; Bu modele göe atom yaklaşık 10 10 mete çaplı bi küe şeklidedi. Pozitif yükle bu küe içie düzgü olaak Dağıtılmıştı. Negatif yüklü elektola ise küe içide atomu leyecek
BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU
BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU Linee İmpuls-Momentum Denklemi Haeket halinde bulunan bi cismin hehangi bi andaki doğusal hızı, kütlesi m olsun. Eğe dt zaman aalığında cismin hızı değişiyosa,
GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI
T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İLÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ ANABİLİM DALI GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI Şerife TUNÇEZ YÜKSEK LİSANS TEZİ Daışma
5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ
5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii
FZM450 Elektro-Optik. 7.Hafta. Fresnel Eşitlikleri
FZM45 leko-ok 7.Hafa Feel şlkle 28 HSaı 1 7. Hafa De İçeğ Feel şlkle Yaıma Kıılma lekomayek dalgaı dalga özellkle kullaaak ışığı faklı kıılma de ah yüzeydek davaışı celeecek 28 HSaı 2 Feel şlkle-1 Şekldek
ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI
µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları
ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI
ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim
T.C. ĐNÖNÜ ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ BARIŞ BAYKANT ALAGÖZ
T.C. ĐNÖNÜ ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ DEĞĐŞKEN GRADYANLI ELEKTRĐKSEL ALANDA MEYDANA GELEN UZAY YÜKLERĐNĐN MODELLENMESĐ VE BENZETĐMĐ BARIŞ BAYKANT ALAGÖZ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ ELEKTRĐK-ELEKTRONĐK
BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER
BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii
4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR
4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR Tım 4.1. M, bi G gubuu bi lt kümei olu. M yi kpy, G i bütü lt guplıı keitie M i üettiği (doğuduğu) lt gup dei ve M ile göteili. M i elemlı d M gubuu üeteçlei (doğuylı) dei. Öeme
TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR
TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.
Örnek 1. Çözüm: Örnek 2. Çözüm: 60 30000 300 60 = = = 540
Önek 1 1.8 kn yük altında 175 dev/dak dönen bi mil yatağında çalışacak bilyeli ulman için, 5 saat ömü ve %9 güvenililik istemekteyiz. Öneğin SKF kataloğundan seçmemiz geeken inamik yük sayısı (C 1 ) nedi?
MATLAB GUI TABANLI ELEKTROMIKNATIS DEVRE TASARIMI VE ANALİZİ
PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİ SLİ K B İ L İ MLERİ DERGİ S İ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 005 : 11 : 1 : 13-19
TG 2 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlei he hkkı sklıdı. Hgi mçl olus olsu, testlei tmmıı ve bi kısmıı İhtiç Yıcılık
T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CEBİRSEL RICCATI DENKLEMLERİNİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ A.BURCU ÖZYURT SERİM
TC YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CEBİRSEL RICCATI DENKLEMLERİNİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ ABURCU ÖZYURT SERİM DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN PROF DR MUSTAFA BAYRAM İSTANBUL,
SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ
SAYSAL ANALİZ Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ SAYSAL ANALİZ LİNEE DENKLEM SİSTEMİ ÇÖZÜMLEİ (Klasik Yöntemle) Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ İÇEİK Doğusal Denklem Takımlaının Çözümü Came Yöntemi Matisin
TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi
Matematik Olimpiyatları İçin
KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,
TG 8 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN İLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖAT İLKÖĞRETİM MATEMATİK u testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının veya bi
BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İLE ALÇAK GEÇİREN FİLTRE TASARIMI
BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İE AÇAK GEÇİREN FİTRE TASARIMI Adnan SAVUN 1 Tugut AAR Aif DOMA 3 1,,3 KOÜ Mühendislik Fakültesi, Elektonik ve abeleşme Müh. Bölümü 41100 Kocaeli 1 e-posta: adnansavun@hotmail.com
Belirsizliği Belirsizliği Belirsizliği Belirsizliği Bir Dizinin Limiti...
LİMİT VE SÜREKLİLİK Limit ve Süeklilik...8 Bi Foksiou Limiti... 9 Özel Tımlı Foksiolı Limiti... Pçlı Foksiolı Limiti... Mutlk Değe Foksiouu Limiti... 7 Limit Özelliklei... Geişletilmiş Geçel Sıl Kümeside
Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ
PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar
Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla
Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya
Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı
Öğreci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı SORU 1. a) Ekoomii taımıı yapıız, amaçlarıı yazıız. Tam istihdam ile ekoomik büyüme arasıdaki ilişkiyi açıklayıız. b) Arz-talep kauu edir? Arz ve talep asıl artar
SAE 10, 20, 30 ve 40 d = 200 mm l = 100 mm W = 32 kn N = 900 d/dk c = mm T = 70 C = 2. SAE 10 için
ÖRNEK mm çapında, mm uzunluğundaki bi kaymalı yatakta, muylu 9 d/dk hızla dönmekte ve kn bi adyal yükle zolanmaktadı. Radyal boşluğu. mm alaak SAE,, ve yağlaı için güç kayıplaını hesaplayınız. Çalışma
4. 89 / 5 ( mod p ) 84 / 0 ( mod p ) 60 / 4 ( mod p ) 56 / 0 ( mod p ) Cevap E. Cevap C. 6. x 0 f ( 0 ) = 1, f ( 1 ) = 2,...
eneme - / YT / MT MTMTİK NMSİ Çözümle. O ( b, c ) d ise b dm, c dk O ( a, b ) d ise b dm, a dn I. d tek saı iken a çift ise m ve n nin otak böleni olu. O ( a, b ) d olmaz. d tek ise a tek saıdı. ( oğu
VOLTERRA-WİENER SERİSİ KULLANILARAK OPTİK GERİBESLEMELİ YARIİLETKEN LAZER DİYODUN ANALİZİ
PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ YIL PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE CİLT MÜHENDİ SLİ K B İ L İ MLERİ DERGİ S İ SAYI JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES SAYFA : 998 : 4 : -2 : 675-683
BAĞINTI VE FONKSİYON
BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı
İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...
İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı
Latex 3000 Yazıcı serisi. Kurulum Yerini Hazırlama Denetim Listesi
Latex 3000 Yazıcı seisi Kuulum Yeini Hazılama Denetim Listesi Telif Hakkı 2015 HP Development Company, L.P. 2 Yasal bildiimle Bu belgede ye alan bilgile önceden habe veilmeksizin değiştiilebili. HP üün
KÜTLE ROTORLU ASENKRON MOTORUN ELEKTROMAGNETİK ALAN İNCELEMESİ VE BAŞARIM ÖZELLİKLERİ
Gazi Üiv. Müh. Mim. Fak. De. J. Fac. Eg. Ach. Gazi Uiv. Cilt 26, No 2, 447-454, 2011 Vol 26, No 2, 447-454, 2011 KÜTLE ROTORLU ASENKRON MOTORUN ELEKTROMAGNETİK ALAN İNCELEMESİ VE BAŞARIM ÖZELLİKLERİ İfa
KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir.
1 Taı: pozitif doğal saı olak üzere kuvvette kökü deir. KÖKLÜ İFADELER = a dekleii sağlaa saısıa a ı ici = a dekleide = a, tek ise a 0 ; = ± a, çift ise Uarı: = ise, a = a olarak gösterilir. a ifadesie
Ankara Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankara Aysuhan OZANSOY
FİZ11 FİZİK Ankaa Üniesitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankaa Aysuhan OZANSOY Bölüm-III : Doğusal (Bi boyutta) Haeket 1. Ye değiştime e Haeketin Tanımı 1.1. 1 Mekanik Nedi? 1.. Refeans çeçeesi, Konum, Ye
TG Haziran 2013 KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI LİSANS ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI
KAMU PERSNEL SEÇME SINAVI LİSANS ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ RTAÖĞRETİM MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI T.C. KİMLİK NUMARASI : ADI : SYADI : TG 9 Hazian DİKKAT! ÇÖZÜMLERLE İLGİLİ AŞAĞIDA VERİLEN UYARILARI
Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme
5.0.06 DP i Düzeleiş Şekilleri DP i Formları SİMPLEX YÖNTEMİ ) Primal (özgü) form ) Kaoik form 3) Stadart form 4) Dual (ikiz) form Ayrı bir kou olarak işleecek Stadart formlar Simplex Yötemi içi daha elverişli
İKİ BOYUTLU DİREKT DİNAMİK PROBLEMİN ANALİTİK ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI
Uludağ Ünivesitesi Mühendislik-Mimalık akültesi Degisi, Cilt 17, Sayı, 1 ARAŞTIRMA İKİ BOYUTLU DİREKT DİNAMİK PROBLEMİN ANALİTİK ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI Gökhan SEVİLGEN Özet: Bu çalışmada, m kütleli paçacığın
TEBLİĞ. Enerji Piyasası Düzenleme Kurumundan: PERAKENDE SATIŞ HİZMET GELİRİ İLE PERAKENDE ENERJİ SATIŞ FİYATLARININ DÜZENLENMESİ HAKKINDA TEBLİĞ
30 Aalık 2012 PAZAR Resmî Gazee Sayı : 28513 (2. Mükee) TEBLİĞ Eeji Piyasası Düzeleme Kmda: PERAKENDE SATIŞ HİZMET GELİRİ İLE PERAKENDE ENERJİ SATIŞ FİYATLARININ DÜZENLENMESİ HAKKINDA TEBLİĞ BİRİNCİ BÖLÜM
4. f ( x ) = x m x + m. Cevap C. m açılımındaki bir terim, x. 5. cx 3 + Cevap D. 6. x 2 + ( a + 4 ) x + 3a + 3 ifadesinin tam kare olması için
Deneme - / YT / MT MTMTİ DNMSİ Çözümle. < n < 0. f ( ) m + m p ve q asal saıla olmak üzee, n p. q vea p şeklinde olmalıdı. n {.,.,. 7,.,.,. 7,. 9,.,. 9,.,. 7,.,.,. 7,. 9,. 7,.,, } 9 tane bulunu.. { 7,,,
(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.
Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit
n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,
KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide
Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kullanılan Temel Matematiksel Fonksiyonlar:
Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kllanılan Temel Matematiksel Fonksiyonla: Unit Step fonksiyon, Implse fonksiyon: Unit Step Fonksiyon: Tanim: Unit Step fonksiyon aşağıdaki gibi iki şekilde tanımlanabili