İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK MÜHENDİSLİĞİ PROGRAMI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK MÜHENDİSLİĞİ PROGRAMI"

Transkript

1 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK MÜHENDİSLİĞİ PROGRAMI ADİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN CHEBYSHEV POLİNOMLARI İLE ÇÖZÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ Sema ERNEK Tez Daışmaı: Yad. Doç. D. Ahmet Kıış Mayıs 0

2 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK MÜHENDİSLİĞİ PROGRAMI ADİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN CHEBYSHEV POLİNOMLARI İLE ÇÖZÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ Sema ERNEK Teslim Taihi: Mayıs 0 Tez Daışmaı: Yad. Doç. D. Ahmet Kıış Mayıs 0

3 ii

4 ÖNSÖZ Bu çalışmaı hazılaışı sıasıda maevi desteği ve bilgisiyle he zama yaımda ola akadaşım Uğu KARAKAYA ya, yadımıı ve bilgisii hiçbi zama esigemeye Sayı Hocam Yad. Doç. D. Ahmet KIRIŞ a, hayatım boyuca baa tecübeleiyle yol göstee, sevgi, güve ve he tülü desteği vee ae baba ve kadeşime e içte teşekküleimi suaım. Mayıs, 0 Sema ERNEK iii

5 İÇİNDEKİLER ÖZET v. GİRİŞ. CHEBYSHEV POLİNOMLARI.. Taım.. Özellikle... T ( ) le Poliomdula... Chebyshev Poliomlaı Otogoaldile 3.3. Chebyshev Poliomlaıı Köklei ve Ekstemumlaı 4.4. Moic Chebyshev Poliomlaı 6 3. CHEBYSHEV POLİNOMLARININ KULLANIM ALANLARI Yaklaşım Poliomu Oluştuma Yaklaşım Poliomuu Deecesii Düşüme 3.3. Difeasiyel Deklem Çözümü İçi Kullaımı 4 4. BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Cleshaw Yötemi 5 KAYNAKLAR 3 iv

6 ÖZET Bu çalışmada Chebyshev poliomlaıı özelliklei ve kullaım alalaı icelemişti. Chebyshev poliomlaı sayısal aaliz koulaıa kolay adapte edilebilmesi ve bilgisaya pogamlamaya uyguluğu edeiyle yaklaşım poliomlaıı oluştuulmasıda, poliomlaı isteile hata seviyesi içide kalacak şekilde deeceleii düşüülmeside ve difeasiyel deklemlei başlagıç ve sıı değe poblemleii çözümüde kullaılmaktadı. Bu tez kapsamıda bu koulaa değiilmesii yaı sıa özellikle başlagıç değe poblemleii, Chebyshev poliomlaı kullaılaak sayısal çözümü icelemişti. v

7 . GİRİŞ Chebyshev poliomlaı ilk kez yaklaşık 00 yıl öce Rus matematikçi Chebyshev taafıda kullaılmıştı. Soasıda Laczos ve Cleshaw iki faklı yötemle Chebyshev poliomlaı yadımıyla yaklaşım poliomlaı oluştumuşladı. Chebyshev poliomlaı; poliomla ailesi içide, otogoal olmalaı, eküsif ilişkile elde edilebilmesi ve bilgisaya pogamlamaya yatkı olmalaı sebebiyle yaklaşım poliomu olaak kullaılmaya çok uygudula. Bu tez kapsamıda, Chebyshev poliomlaıı taımı, otogoal olmalaı, çeşitli eküsif ilişkilei ve "moic" Chebyshev poliomlaı ikici bölümde alatılmıştı. Üçücü bölümde ayı deeceli diğe poliomlaa göe maksimum hatayı miimum yapacak şekilde Lagage itepolasyouda düğüm oktalaıı yeleii belileeek yaklaşım poliomlaıı oluştuulması ve yaklaşım poliomuu deecesii yapıla toplam hata isteile hata aalığı içide kalacak şekilde düşüülmesi alatılmıştı. Chebyshev poliomlaı yaklaşım poliomu oluştuma gibi amaçlala kullaılabilmesie ağme, adi ve kısmi tüevli difeasiyel deklemlei başlagıç ve sıı değe poblemleii sayısal çözümlei temel kullaım alalaıdı. Dödücü bölümde Chebyshev poliomlaıı sadece başlagıç değe poblemleie uygulaması, Cleshaw algoitması alatılmış ve çeşitli öekle veilmişti.

8 . CHEBYSHEV POLİNOMLARI.. Taım T ( ). deecede bi poliom olmak üzee 0 içi (,) aalığıda T (.) ( ) cos( cos ) şeklide taımlaı []... Özellikle... T() le Poliomdula: (.) taımıda ve olduğu göülü. (.) de içi T ( ) cos0 (.) 0 T (.3) ( ) cos(cos ) cos ataması yapılısa T (.4) (cos ) cos( cos (cos )) cos( ) ifadesi elde edili. (.4) ifadeside yeie yazılısa, T (cos ) cos[( ) ] cos[ ] cos( )cossi( )si (.5) yazılısa, T (cos ) cos[( ) ] cos[ ] cos( )cos si( )si (.6) souçlaıa ulaşılı.

9 (.5) ve (.6) toplamıda T (cos ) T (cos ) cos( )cos (.7) eşitliği elde edili. (.7) deklemide cos döüşümü yapılısa T (cos(cos )) T (cos(cos )) cos( cos )cos(cos ) (.8) ve (.8) deklemi yeide düzeleise olduğu göülü ve eküsif bağıtısı elde edili. T ( ) ve T( ) 0 T ( ) T ( ) T ( ) (.9) T ( ) T ( ) T ( ) (.0) olduğua göe T ( ) de e büyük deeceli teimi katsayısı, T ( ) de 3 ve T ( ) de poliomdu. olduğu göülü. Dolayısıyla T ( ) le (.0) bağıtısı yadımı ile bulua Chebyshev poliomlaıı bazılaı; T T T ( ) ( ) 0( ) T T T 3 3( ) ( ) ( ) 4 3 T T T 4 4( ) 3( ) ( ) 8 8 şeklide elde edili [].... Chebyshev Poliomlaı Otogoaldile. Chebyshev poliomlaı w ( ) (.) ağılık foksiyoua göe (,) aalığıda otogoaldile. 3

10 İspat: m ike T T ( ) d m (.) itegali çözülüse (.) taımıda T ( ) cos( cos ) ve T m eşitliklei yazılaak ifadesi elde edili. cos cos.cos mcos d m ( ) cos( cos ) (.3) cos d d cos 0, cos (.4) döüşümlei yapılısa 0 cos tigoometik döüşüm fomülleide (.5) ifadesi şeklide yazılabili. Bu itegal çözülüse 0 cos m d (.5) [cos m cos m ] d (.6) si( m) si( m) 0 ( m) ( m) (.7) 0 buluu ki, bu souç T ( ) poliomlaıı (,) aalığıda otogoal olduğuu göstemektedi []..3. Chebyshev Poliomlaıı Köklei ve Ekstemumlaı Teoem: T ( ) poliomuu ike (,) aalığıda 4

11 oktalaıda tae kökü ve k k cos k,,..., (.8) k k cos k 0,,,..., (.9) oktalaıda tae ekstemumu vadı. İspat: (.) taımıda k oktalaı yazılısa elde edili. Buada olduğu göülü ve k T( k) cos[ cos (cos( ))] (.0) k T( k) cos( ) (.) T ( ) 0 (.) k olacağıda k oktalaı Chebyshev poliomlaıı kökleidi. Ekstemum oktala içi ise (.) taımıı tüevii alıısa T ( ) si( cos ) (.3) ifadesi elde edili. (.3) de k oktalaı yazılısa T( ) k k k [ cos ] si( cos cos ) (.4) elde edili ve ifade düzeleise 5

12 si( k ) T ( k) k si (.5) ve T( ) 0 (.6) k olduğu göülü. Yai ' k oktalaı ekstemum oktaladı. Bu ekstemum değele ise T ( k) cos[ cos (cos( ))] cos k k (.7) eşitliğide T ( ) ( ) k (.8) k buluu ve T ( ) poliomuu k tek sayı ise miimum, k çift sayı ise maksimum değe aldığı göülü [-]..4. Moic Chebyshev Poliomlaı T ( ) poliomuda e büyük deeceli teimi katsayısıı olduğu öceki bölümde gösteilmişti. Tüm poliomu bu katsayıya bölümesi ile elde edile, yai e büyük deeceli teimii katsayısı bi ola yei polioma moic Chebyshev poliomu dei ve T ( ) 0 T ( ) T ( ) (.9) şeklide taımlaı. (.9) ifadeside T ( ) poliomlaı içi yazılısa T ( ) T( ) T ( ) (.30) 0 elde edili. (.9) yadımı ile (.30) T ( ) T ( ) T ( ) (.3) 0 6

13 şeklie getiili ve katsayıla sadeleştiilise T ( ) T ( ) T 0( ) (.3) olduğu göülü. içi beze işlemle yapılısa (.0) ifadesi T ( ) T ( ) T ( ) (.33) şeklie geli. Buada T ( ) T ( ) T ( ) (.34) olu ve katsayıla sadeleştiilise T ( ) T ( ) T ( ) 4 (.35) bağıtısı elde edili. T ( ) ile T ( ) poliomlaı aasıda yalızca katsayı fakı olduğuda T ( ) poliomuu (.8) ifadesi ile veile köklei T ( ) poliomuu da köklei ve beze şekilde (.9) ifadesi ile veile ekstemumlaı da T ( ) poliomuu da ekstemumlaıdı []. 7

14 3. CHEBYSHEV POLİNOMLARININ KULLANIM ALANLARI 3.. Yaklaşım Poliomu Oluştuma Chebyshev poliomlaı Lagage itepolasyouda düğüm oktalaıı eşit aalıklala değil de, hatayı miimum yapacak şekilde seçileek yaklaşım poliomlaıı oluştuulmasıda kullaılabili. Böylece yaklaşım poliomuu veile aalıkta maksimum hatasıı ayı deecede diğe yaklaşım poliomlaıı tümüde daha küçük olması sağlaı ki, bu özellik Chebyshev poliomlaıı yaklaşım poliomlaı oluştuma da çok üstü kılmaktadı. Teoem: P ( ) Lagage itepolasyo poliomu ve poliomla kümesi olmak üzee. deecede tüm moic ma T ( ) ma P ( ), P ( ) (3.) [,] [,] di. Eşitlik acak P ( ) T ( ) (3.) olduğuda sağlaı. Bu teoem Lagage itepolasyouda, itepolasyo oktalaıı yeii belileeek hataı miimizasyouda kullaılabili. Yai; 0,,..., [,] aalığıda ayık oktala, aalığıda bi sayı olmak üzee hata f C [,] ve ( ) (,) f ( ( )) f ( ) P( ) ( 0)( )...( ) ( )! (3.3) ile veilebili. (3.3) ifadesii miimize etmek içi ( ) üzeide hiçbi kotol olmadığıa göe miimize edilmesi geeke büyüklük ( )( )...( ) (3.4) 0 olmalıdı. 8

15 ( )( )...( ) ifadesi ( ). deecede bi poliomdu ve teoem bu 0 poliom acak ve acak T ( ) olaak seçilise, (3.4) ifadesii miimum olacağıı söyle. Bua göe Lagage poliomuu köklei T ( ) poliomuu köklei yai k ( k ) cos ( ) k cos ( ) (3.5) olaak seçilmelidi. Bu tekik sadece [,] aalığıda değil ( ba ) a b (3.6) değişke döüşümü ile keyfi [ ab, ] aalığıa da geişletilebili [3]. Öek: f ( ) e foksiyoua [0,.5] aalığıda Lagage itepolasyou ve Chebyshev poliomlaı ile yaklaşım poliomlaı oluştuaak he iki yötemde yapıla hatayı kaşılaştııız. İlk olaak Chebyshev poliomlaı kullaılmada sadece Lagage itepolasyou yötemi ile h 0.5 eşit aalıklı oktalala (Tablo 3.) i i f ( ) e i i i i Tablo 3.. Noktala ve foksiyou o oktalada ki değelei yaklaşım foksiyou oluştuulmak isteise, L( ) i ( j ) (3.7) ( ) j0, ji i j ifadesi yadımı ile Lagage poliomlaı 9

16 ( 0.5)( )(.5) L (0 0.5)(0 )(0.5) 3 0( ) ( 0)( )(.5) 3 L ( ) (0.5 0)(0.5 )(0.5.5) ( 0)( 0.5)(.5) 3 L ( ) ( 0)( 0.5)(.5) ( 0)( 0.5)( ) 3 L3 ( ) (.5 0)(.5 0.5)(.5 ) şeklide elde edili ve P ( ) yaklaşım poliomu ifadeside P ( ) L( ) f ( ) (3.8) i i i0 P (3.9) 3 3 ( ) olaak elde edili. İkici olaak i oktalaı T ( ) T 3( ) T 4( ) poliomuu köklei olaak seçilise (3.5) bağıtısı yadımı ile oktala Tablo 3. de i i Tablo 3.. T ( ) 4 poliomuu köklei göüldüğü şekilde buluu. Acak bu oktala [,] aalığıda [0,.5] aalığıa taşımalıdı. (3.6) döüşümüde yaalaaak bu aalıktaki oktala ve foksiyou kaşı gele değelei Tablo 3.3 te veilmişti. 0

17 i i f ( ) e i i i i Tablo 3.3. Noktala ve foksiyou o oktalada ki değelei (3.7) yadımı ile Lagage poliomlaı L 3 o ( ) L 3 ( ) L 3 ( ) L 3 3 ( ) şeklide elde edili ve (3.8) taımıda yaklaşım poliomu P (3.0) 3 3 ( ) olaak elde edili. He iki foksiyo içi hataya bakılısa (Tablo 4), P 3 ( ) bazı oktalada P ( ) 3 e göe kötü souç vese de veile aalıkta maksimum hataya bakıldığıda Lagage poliomlaı ile elde edile yaklaşım poliomuda maksimum hata ve Chebyshev poliomlaı ile elde edile yaklaşım poliomuda ise maksimum hataı olduğu göülü ki, bu souç Chebyshev poliomlaı ile ayı deecede daha iyi yaklaşım poliomu elde edildiğii göstemektedi. i f ( ) P3 ( ) f 3 ( ) P ( ) i e ( ) P3 e P ( ) Tablo 3.4. Yaklaşım poliomlaıı kaşılaştıılması

18 3.. Yaklaşım Poliomuu Deecesii Düşüme Chebyshev poliomlaı yaklaşım poliomuu deecesii yapıla toplam hata isteile hata seviyesi içide kalacak şekilde düşümek amacıyla da kullaılabili. [,] aalığıda. deece keyfi poliom P ( ) a a... a (3.) 0 ile taımlası. Amaç ma P ( ) P ( ) (3.) [,] ifadesi miimum olacak şekilde P ( ) poliomuu seçmekti. P( ) P ( ) a ifadesi. deece "moic" bi poliomdu. Teoemde P ( ) P ( ) T ) (3.3) ma ( [ ], a elde edili. Eşitliği acak P( ) P ( ) T ( ) (3.4) a ile sağladığı öceki bölümde gösteilmişti. Dolayısıyla buada; P ( ) ( ) ( ) P at (3.5) şeklide seçilebili ve P ( ) P ( ) a ma P ( ) P ( ) a ma (3.6) [,] [,] a eşitliği sağlaı [-]. Öek: f ( ) e foksiyoua [,] aalığıda Maclaui seisi 3 4 ( ) P4 (3.7) 6 4

19 ile yaklaşılabili ve kesme hatası olaak buluu f ( ( )) e R4 ( ) 0.03 (3.8) 0 0 hataı kabul edilebili olduğu vasayılısa, hata isteile aalıkta kalacak şekilde yaklaşım poliomuu deecesi e kada düşüülebili? (3.5) ifadesi kullaılaak P( ) poliomu P3( ) P4( ) a4t4( ) T 4( ) (3.9) şeklide elde edilebili. (.35) ifadeside T ( ) 4 poliomu (3.9) deklemide kullaılısa P( ) poliomu 3 4 T 4( ) (3.0) P3 ( ) (3.) olaak buluu. P( ) ile 4 P ( ) 3 aasıdaki hata P4( ) P3( ) a4t 4( ) (3.) elde edili. Bu hata ile P( ) hatası toplaısa 4 P ( ) 3 içi toplam hata buluu ki, bu da kabul edilebili hata ola 0.05 te küçüktü. Beze şekilde P ( ) poliomu oluştuulusa P ( ) P( ) at ( ) (3.3) 3

20 elde edili. P( ) ile 3 P ( ) aasıdaki hata P3( ) P( ) at 3 3( ) 0.04 (3.4) Bu hata P ( ) 3 poliomuu hatası ile toplaısa elde edili ki bu hata kabul edilebili hatada büyük olduğu içi yaklaşım poliomu olaak P( ) kaldığıda P( ) 3 poliomu kullaılamaz acak yapıla hata isteile hata aalığı içide poliomu yaklaşım poliomu olaak güvele kullaılabili Difeasiyel Deklem Çözümü İçi Kullaımı Chebyshev poliomlaı difeasiyel deklemlei başlagıç ve sıı değe poblemleii sayısal çözümü içi de kullaılabili. Adi difeasiyel deklemlei başlagıç değe poblemleii çözümü 4. bölümde ayıtılı olaak iceleecekti. 4

21 4. BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ 4.. Cleshaw Yötemi ( k f ) ( ) k. deecede tüev ve p ( ) poliom olmak üzee k m ( k ) ( ) k ( ) ( ) k0 h p f (4.) şeklide taımlaa difeasiyel deklemi Cleshaw yötemi ile çözümü aşağıdaki gibi buluabili. h ( ) difeasiyel deklemi Chebyshev poliomlaıa açılaak f ( ) çözümü f ( ) ' C T ( ) (4.) 0 şeklide hesaplaabili. Cleshaw yötemi içi geekli adımla aşağıda açıklamıştı. f ( ) foksiyouu s. deecede tüevi ( s) ( s) ( s) ( s) ( s) ( s) ( s) f ( ) C0 C T( ) C T( )... C T( ) C T( ) C T( )... (4.3) şeklide taımlaı. s 0 içi (4.3) taımı f( ) C0 CT ( ) CT( )... C T( ) CT( ) C T( )... (4.4) ve s içi () () () () () () f( ) C0 C T( ) C T( )... C T( ) C T( ) C T( )...(4.5) olaak elde edili. Chebyshev poliomlaıı tüevlei aasıdaki ilişki, T ( ) T( ) 0 T( ) T ( ) 4 T T T ( ) (4.6) 5

22 ve (4.7) ( ) T( ) [ T( ) T ( )] [ T ( ) T( )] bağıtılaı ile veili. (4.5) ifadesi (4.6) yadımı ile itege edilise () () f( ) c0 c0 T( ) c T( )... 4 () T( ) T ( ) c () T( ) T ( ) c () T ( ) T( ) c... (4.8) elde edili. Buada dikkat edilmesi geeke okta (4.8) deklemideki c 0 ile (4.4) deklemideki c 0 katsayısıı faklı sayıla olduğudu. (4.8) ile (4.4) deklemlei eşitleise C C C (4.9) ( ) ( ) ( ) eşitliği elde edili. s 0 içi (4.9) ifadesii (4.0) C C C olduğu göülü. g( ) ile veile bi poliomu Chebyshev açılımıda, T ( ) poliomuu katsayısı C g( ), 0 C g( ) /, 0 (4.) olaak gösteilise, (4.) difeasiyel deklemide ki teimlei Chebyshev açılımı içi geel yapı p p ( s) p ( s) C ( f ) p Cp j j0 j (4.) 6

23 şeklide veilmişti. Dolayısıyla (4.) difeasiyel deklemi (4.) yadımıyla Chebyshev poliomlaıa açılıp, eşitliği he iki taafıda ayı deecede Chebyshev poliomlaıı katsayılaı eşitleeek (4.) çözümüü Chebyshev poliomlaı ciside yazmak içi geekli katsayıla elde edilebili. Bu amaçla aşağıda alatıla eküsif yötem kullaılı []. Reküsif Yötem:. N sayısı çözümü doğuluğu isteile hata aalığıda kalacak şekilde yeteice büyük olmak üzee, C keyfi N ( s) N C 0 N ( s) (4.3) şeklide keyfi N ve C değelei seçili. ( s ) N. N sayısıda başlaaak ile hesaplaı. C katsayılaı, s,..., m içi (4.9) ifadesi ( s) N 3. Bi öceki adımda ki ifadele ve (4.) ile veile difeasiyel deklemde (4.) yadımıyla elde edile eküsif ilişkilede ise C C hesaplaı. 0 N N 4. () ve (3) işlemlei 0 olucaya kada devam ettiili []. Öek: y y 6y 0, 0, y(0), y(0) 0 (4.4) deklemii çözümüü ve y () değeii Chebyshev poliomlaı yadımıyla buluuz. Çözüm: Cleshaw yötemi kullaabilmek içi deklem C ( y) C ( y) 6 C ( y) 0,,3,... (4.5) şeklide yazılı. (4.) ifadesi kullaılaak () () () C ( y) C C C C C, j j0 j () C( y) C C, 0 0 j j0 j C y C C C (0) (0) (0) ( ) j j0 j 0 C C (4.6) 7

24 katsayılaı elde edili. Bu katsayıla (4.5) deklemide yazılısa ifadesi elde edili. C C C 8 C C 0,,3,... (4.7) (4.7) ifadeside yeie yazılısa, yazılısa ifadelei elde edili. C C C 8 C C 0,3, 4,... (4.8) C C C 8 C C 0 0,,,3,... (4.9) (4.9) ifadeside (4.8) ifadesi çıkaılısa soucua ulaşılı. C C C C 8 C C 0,3, 4,... (4.0) (4.0) ifadesii basitleştimek içi (4.9) ifadeside yeie yazılısa ( ) C C C (4.) ( s) ( s) ( s) yazılısa ( ) C C C (4.) ( s) ( s) ( s) ifadelei elde edili ve (4.) ile (4.) ifadelei toplaısa elde edili. s içi (4.3) ifadesii ( ) C ( ) C C C (4.3) ( ) ( ) ( ) ( ) C C ( ) C ( ) C (4.4) şeklie geli. (4.0) ifadeside (4.4) kullaılısa ( ) C ( ) C ( C C ) 8( C C ) 0 C ( C ) 8( C C ) 0 (4.5) elde edili ve düzeleise 8

25 C C ( C ) C (4.6) 8 ifadesie ulaşılı. (4.3) ifadeside N 0 ve C 0 olaak seçili ve daha büyük deeceli katsayıla sıfı olaak belileise, (4.0) ve (4.6) ifadelei ile katsayıla C C C C Tablo 4.: C ve C değelei Tablo 4. de göüldüğü gibi hesaplaı. T i Ti (0) ( ) (0) 0 i (4.7) olduğua göe y(0) C 0 C C 4... C (4.8) olaak buluu. Poblemde veile y(0) başlagıç koşuluu sağlaması içi bu değe kedisie yai y(0) değeie bölümelidi. Bu duumda (4.) geçek C değelei 9

26 C C (4.9) y(0) ifadesi kullaılaak hesaplaı. C C Tablo 4. C değelei Tablo 4. de elde edile y olaak hesaplaı []. Öek: C C değelei ile y () 0 0 () CT i i() i (4.30) 3 (5 3 y ) y, y( ) deklemii çözümü içi dödücü deecede bi yaklaşım poliomu oluştuuuz. Çözüm: Bi öceki öeğe beze şekilde deklem 3 5 C( y) 3 C( y) C( y) (4.3) 0

27 şeklide yazılı. (4.) ifadesi kullaılaak 0 0 () C( y) 0 C C, 0 j j0 j 0 () C( y) C C C, j j0 j 0 0 () C( y) C C 0 0 j j0 j (4.3) değelei buluu. Bu değele (4.3) ifadeside yeie yazılısa 5C 3 3 C C C (4.33) olu. (4.0) ifadesi yadımı ile (4.33) ifadesi basitleştiilmek isteise (3 6 C ) 0C 6C (4.34) ifadesi elde edili. (4.3) ifadeside N 7 olaak seçili C 7 0 ve daha büyük deeceli katsayıla sıfı olaak belileise (4.0) ve (4.34) ifadeleide katsayıla C C Tablo 4.3. C ve C değelei olaak belilei. Bulua değele e yakı tamsayıya yuvalamıştı. olduğua göe T ( ) ( ) i i (4.35)

28 y( ) C 0 C C... C (4.36) olaak buluu. Bu değei veile geçek y( ) değeie yai ye eşit olması içi tüm C katsayılaı C Tablo 4.4. şeklide buluu. Souç olaak çözüm sayısı ile çapılmalıdı. Buada C değelei 3436 C değelei y 3 4( ) ( ) (4 3 ) (8 8 ) (4.37) olaak elde edili [3].

29 KAYNAKLAR [] Fo L., 968. Chebyshev Polyomials i Numeical Aalysis, Ofod Uivesity Pess, Lodo. [] Gill A., Segua J., Temme N. M., 007. Numeical Methods fo Special Fuctios, Siam, Philadelphia. [3] Cleshaw C. W., 956. The Numeical Solutio of Liea Diffeatial Equatios i Chebyshev Seies, Poceedigs of the Cambidge Philosophical Society, 53:

ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK

ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK ÖABT ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK DENEME SINAVI ÇÖZÜMLERİ ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ DENEME SINAVI / çözümlei. DENEME. Veile öemelede yalız III kesi olaak doğudu. Bu edele doğu cevap seçeeği B di..

Detaylı

MEKANİK TİTREŞİMLER. (Dynamics of Machinery, Farazdak Haideri, 2007)

MEKANİK TİTREŞİMLER. (Dynamics of Machinery, Farazdak Haideri, 2007) MEKANİK TİTREŞİMLER TİTREŞİM ÖLÇÜMÜ: Titeşim ölçümü oldukça kapsamlı bi koudu ve mekaik, elektik ve elektoik bilgisi içeiklidi. Titeşim ölçümleide titeşim geliği (ye değiştime-displacemet, hız-velocity

Detaylı

8. f( x) 9. Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerin

8. f( x) 9. Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerin . MAEMAİK çapıldığıda, çapım olu? 6 ifadesi aşağıdakilede hagisi ile ) 6 + ifadesie eşit ) D) 6 + 8. f( ) ile taımlı f foksiouu e geiş taım kümesi aşağıdaki sg( ) lede hagisidi? 6,@ ) 6,@ ) ^, h, ^, +

Detaylı

Kutu Poblemlei (Tekalı Kombiasyo) c) faklı dağıtılabili! Özdeş üç kutuya pay, pay, pay dağıtımı yapılısa; pay ala kutuu diğeleiyle ola özdeşliği bozul

Kutu Poblemlei (Tekalı Kombiasyo) c) faklı dağıtılabili! Özdeş üç kutuya pay, pay, pay dağıtımı yapılısa; pay ala kutuu diğeleiyle ola özdeşliği bozul Kutu Poblemlei (Tekalı Kombiasyo) KUTU PROBLEMLERİ Bu kouyu öekle üzeide iceleyeek geellemele elde edelim Öek a) faklı ese, kutuya pay, kutuya pay ve kutuya pay olacak şekilde kaç faklı dağıtılabili? b)

Detaylı

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Doç.D. Suat ŞAHİNLE Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Olasılık: Eşit saşla meydaa gele tae olayda A taesi A olayı olsu. Bu duumda A olayıı meydaa gelme olasılığı;

Detaylı

TG 2 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK

TG 2 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlei he hakkı saklıdı. Hagi amaçla olusa olsu, testlei tamamıı veya bi kısmıı

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI FİBONACCİ SAYILARI VE ÜÇGENSEL GRAFLAR

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI FİBONACCİ SAYILARI VE ÜÇGENSEL GRAFLAR T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI İBONACCİ SAYILARI VE ÜÇGENSEL GRALAR YÜKSEK LİSANS TEZİ HURİYE KORKMAZ BALIKESİR, OCAK - 06 T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ

Detaylı

RADYAL EPİTÜREVLERİN BAZI ÖZELLİKLERİ ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA

RADYAL EPİTÜREVLERİN BAZI ÖZELLİKLERİ ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA ISSN:306-3 e-joual of New Wold Scieces Academ 009 Volume: 4 Numbe: 4 Aticle Numbe: 3A006 PHSIAL SIENES eceived: abua 009 Accepted: Septembe 009 Seies : 3A ISSN : 308-7304 009 www.ewwsa.com Goca İceoğlu

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

NÜKLEER FİZİĞİN BORSAYA UYGULANMASI: OPSİYON FİYATLARININ MESH FREE YÖNTEM ile MODELLENMESİ

NÜKLEER FİZİĞİN BORSAYA UYGULANMASI: OPSİYON FİYATLARININ MESH FREE YÖNTEM ile MODELLENMESİ NÜKLEER FİZİĞİN BORAYA UYGULANMAI: OPİYON FİYATLARININ MEH FREE YÖNTEM ile MODELLENMEİ M. Bilge KOÇ ve İsmail BOZTOUN Eciyes Üi. Fe-Ed. Fak. Fizik Bölümü 38039 Kaysei ÖZET Bu çalışmada eoik üklee fiziği

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

REEL ANALĐZ UYGULAMALARI

REEL ANALĐZ UYGULAMALARI www.uukcevik.com REE NĐZ UYGUMRI Sou : (, Α, µ ) ölçü uzayı olsu. = N, Α= ( N ) ve µ ( E) olduğuu östeiiz. N üzeide alması içi eek ve yete koşul < di. Gösteiiz. µ oksiyouu veile taımıı uyulayalım; µ (

Detaylı

5 ÖABT / MTL ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG. 678 ( sin + cos )( sin- cos )( sin+ cos ) lim sin- cos " = lim ( sin+ cos ) = bulunu. ". # # I = sin d = sin sin d sin = u sin d = dv du = sin : cos

Detaylı

OLASILIK SAYMA PROBLEMLERİ:

OLASILIK SAYMA PROBLEMLERİ: OLASILIK SAYMA PROBLEMLERİ: TOPLAMA YÖNTEMİ: Bi E olayı E veya E olaylaıda biii geçekleşmesiyle oluşuyo, E olayı içi seçeek, E olayı içi m seçeek vasa, E olayı içi +m seçeek vadı. E=E E ve E E =Ø içi:

Detaylı

İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK

İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK Kostadi Teçevski Aeta Gatsovska Naditsa İvaovska Yovaka Teçeva Smileski İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK DÖRT YILLIK MESLEKİ OKULLARA AİT SINIF IV İKTİSAT - HUKUK MESLEĞİ EKONOMİ TEKNİSYENİ Deetleyele: D. Bilyaa

Detaylı

LYS TÜREV KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

LYS TÜREV KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI LYS TÜREV KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Tüev... Sağdan Ve Soldan Tüev... Tüev Alma Kuallaı...7 f n () in Tüevi... Tigonometik Fonksionlaın Tüevi... 6 Bileşke Fonksionun Tüevi... Logaitma

Detaylı

Çözüm Kitapçığı Deneme-3

Çözüm Kitapçığı Deneme-3 KAMU PESONEL SEÇME SINAVI ÖĞETMENLİK ALAN İLGİSİ TESTİ İLKÖĞETİM MATEMATİK ÖĞETMENLİĞİ - OCAK 7 Çözüm Kitapçığı Deeme- u testlei he hakkı saklıdı. Hagi amaçla olusa olsu, testlei tamamıı vea i kısmıı Mekezimizi

Detaylı

BÖLÜM 2 D YOT MODELLER

BÖLÜM 2 D YOT MODELLER BÖLÜM YOT MOELLER.1. Bi diyodu liee olmaya davaıı lei yöde kutulamı bi joksiyouu akım-geilim kaakteistii gei bi bölgede ekil-.1 deki gibi üstel bi deiim göstei. cak, geek küçük geekse büyük akımlaa dou

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır

Detaylı

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları LYS LYS MATEMATİK Soulaı. LYS 5. LYS ( + a ) = 8 < < olmak üzee, olduğuna öe, a kaçtı? I. A) D) II. + III. (.) ifadeleinden hanileinin değei neatifti? A) Yalnız I Yalnız II Yalnız III D) I ve III II ve

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

5. ( 8! ) 2 ( 6! ) 2 = ( 8! 6! ). ( 8! + 6! ) Cevap E. 6. Büyük boy kutu = 8 tane. Cevap A dakika = 3 saat 15 dakika olup Göksu, ilk 3 saatte

5. ( 8! ) 2 ( 6! ) 2 = ( 8! 6! ). ( 8! + 6! ) Cevap E. 6. Büyük boy kutu = 8 tane. Cevap A dakika = 3 saat 15 dakika olup Göksu, ilk 3 saatte Deneme - / Mat MTEMTİK DENEMESİ Çözümle. 7 7 7, 0, 7, + + = + + 03, 00,, 3 0 0 7 0 0 7 =. +. +. 3 = + + = 0 bulunu.. Pa ve padaa eklenecek saı olsun. a- b+ b =- a+ b+ a & a - ab+ a =-ab-b -b & a + b =

Detaylı

T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. TRAKYA ÜNİVRSİTSİ FN BİLİMLRİ NSTİTÜSÜ HİDROSTATİK BASINÇ LKTRİK ALAN V MANYTİK ALANIN DÜŞÜK BOYUTLU YAPILARA TKİSİ Sema MİNZ DOKTORA TZİ TRAKYA ÜNİVRSİTSİ FİZİK ANABİLİM DALI Daışma 1) Pof. D. Hasa

Detaylı

2. TEMEL İSTATİSTİK KAVRAMLARI

2. TEMEL İSTATİSTİK KAVRAMLARI TEMEL İSTATİSTİK KAVRAMLARI İstatistik Kavamı İstatistik bi olaya (eve, aa kütle,toplu, kolektif ve yığı şeklideki) ait veilei (aket, deey ve gözlem vb) toplaaak sayısal olaak ifade edilmesii ve bu veilei

Detaylı

DENEY 1-A MÜHENDĐSLĐKTE ĐSTATĐSTĐKSEL YÖNTEMLER

DENEY 1-A MÜHENDĐSLĐKTE ĐSTATĐSTĐKSEL YÖNTEMLER ühedislikte Đstatistiksel Yötele /. AAÇ DENEY -A ÜHENDĐSLĐKTE ĐSTATĐSTĐKSEL YÖNTELER Deeyi aacı, istatistiksel yötelei düzesiz davaış göstee oluşulaa uygulaasıı gösteekti. Çap ve oto devi sayısı ölçüleek

Detaylı

YX = b X +b X +b X X. YX = b X +b X X +b X. katsayıları elde edilir. İlk olarak denklem1 ve denklem2 yi ele alalım ve b

YX = b X +b X +b X X. YX = b X +b X X +b X. katsayıları elde edilir. İlk olarak denklem1 ve denklem2 yi ele alalım ve b Kadelen Bisküvi şiketinin on şehideki eklam statejisi Radyo-TV ve Gazete eklamı olaak iki şekilde geçekleşmişti. Bu şehiledeki satış, Radyo-TV ve Gazete eklam veilei izleyen tabloda veilmişti. Şehi No

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir?

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir? ÖRNEK 1 : A= {1,,}, B={1,,5,7}kümeleri veriliyor. A da B ye taımlaa aşağıdaki bağıtılarda hagisi foksiyo değildir? A) {(1,), (,5), (,7)} B) {(1,), (1,5), (,1)} C) {(1,1), (,1), (,1)} D) {(1,5), (,1), (,7)}

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014

ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014 YÖRÜNGE MEKANİĞİ Yöüngeden Hız Hesabı Küçük bi cismin yöüngesi üzeinde veilen hehangi bi noktadaki hızı ve bu hızın doğultusu nedi? Uydu ve çekim etkisinde bulunan cisim (Ye, gezegen, vs) ikili bi sistem

Detaylı

SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ

SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ.Gup: Vize sou önekleindeki son gup (Routh-Huwitz testi) soula dahildi. Bunla PID soulaıyla bilikte de soulabili..) Tansfe fonksiyonu

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 2

LYS MATEMATİK DENEME - 2 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI

BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI T.C. FIRAT ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI Muammed ÇINAR TEZ YÖNETİCİSİ Pof. D. Miail ET YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ELAZIĞ-2007

Detaylı

ZAMAN DOMENİNDE SONLU FARKLAR METODU İLETEK BOYUTLU YAPILARDA ELEKTROMANYETİK DALGA YAYILIMININ SİMÜLASYONU

ZAMAN DOMENİNDE SONLU FARKLAR METODU İLETEK BOYUTLU YAPILARDA ELEKTROMANYETİK DALGA YAYILIMININ SİMÜLASYONU UBMK :. ULUSAL BİLİŞİM-MULTİMDYA KONFRANSI 76 ZAMAN DOMNİND SONLU FARKLAR MTODU İLTK BOYUTLU YAPILARDA LKTROMANYTİK DALGA YAYILIMININ SİMÜLASYONU Yavu ROL asa. BALIK eol@fia.edu. balik@fia.edu. Fıa Üivesiesi

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

Fresnel Denklemleri. 2008 HSarı 1

Fresnel Denklemleri. 2008 HSarı 1 Feel Deklemle 8 HSaı 1 De İçeğ Aa Yüzeyde Mawell Deklemle Feel şlkle Yaıma Kıılma 8 HSaı Kayak(la Oc ugee Hech, Alfed Zajac Addo-Weley,199 Kuaum leko-diamğ (KDİ, Rchad Feyma, (Çev. Ömü Akyuz, NAR Yayılaı,

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ FARKLI POTANSİYELLERDE SINIRLANDIRILMIŞ ÇOK ELEKTRONLU KUANTUM NOKTA YAPILARIN ELEKTRONİK ÖZELLİKLERİ SUDE KART YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANABİLİM DALI Koya,

Detaylı

T.C SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ .C SELÇUK ÜNİVERSİESİ FEN BİLİMLERİ ENSİÜSÜ CHEBYSHEV POLİNOMLARI VE BAZI UYGULAMALARI NEJLA ÇALIK YÜKSEK LİSANS EZİ İLKÖĞREİM ANABİLİM DALI KONYA, 00 ÖZE YÜKSEK LİSANS EZİ CHEBYSHEV POLİNOMLARI VE BAZI

Detaylı

DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMPLEKTİK GEOMETRİ E. ATA

DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMPLEKTİK GEOMETRİ E. ATA DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMLEKTİK GEOMETRİ E. ATA Özet Bu maalede dual uateyola üzede smlet gu, smlet etö uzayı e smlet

Detaylı

EGM96 JEOPOTANSİYEL MODELİ,TG99 TÜRKİYE JEOİDİ VE GPS/NİVELMAN İLE ELDE EDİLEN JEOİT ONDÜLASYONLARININ KARŞILAŞTIRILMASI

EGM96 JEOPOTANSİYEL MODELİ,TG99 TÜRKİYE JEOİDİ VE GPS/NİVELMAN İLE ELDE EDİLEN JEOİT ONDÜLASYONLARININ KARŞILAŞTIRILMASI Selçuk Üivesitesi Jeodezi ve Fotogameti Müedisliği Öğetimide 30. Yõl Semozyumu16-18 Ekim 00 Koya SUNULMUŞ BİLDİRİ EGM96 JEOPOTANSİYEL MODELİTG99 TÜRKİYE JEOİDİ VE GPS/NİVELMAN İLE ELDE EDİLEN JEOİT ONDÜLASYONLARININ

Detaylı

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh Ocak 2004

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh Ocak 2004 DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh. 129-138 Ocak 2004 CEBİRSEL KATSAYILI HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN FARK DENKLEMLERİ İLE ÇÖZÜMÜ (SOLUTION OF HOMEGENEOUS DIFFERANTIAL

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

ATOM MODELLER THOMSON ATOM MODEL. -parçacığının sapma açısı, ( ) ; tan θ = k. q α.q ç 1. 2 2.E k b

ATOM MODELLER THOMSON ATOM MODEL. -parçacığının sapma açısı, ( ) ; tan θ = k. q α.q ç 1. 2 2.E k b ATOM MODLLR THOMSON ATOM MODL TOR ; Bu modele göe atom yaklaşık 10 10 mete çaplı bi küe şeklidedi. Pozitif yükle bu küe içie düzgü olaak Dağıtılmıştı. Negatif yüklü elektola ise küe içide atomu leyecek

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

r r r r

r r r r 997 ÖYS. + 0,00 0,00 = k 0,00 olduğuna göe, k kaçtı? B) C). [(0 ) + ( 0) ] [(9 0) (0 ) ] işleminin sonucu kaçtı? B) C) 9 6. Bi a doğal sayısının ile bölündüğünde bölüm b, kalan ; b sayısı ile bölündüğünde

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU

BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU Linee İmpuls-Momentum Denklemi Haeket halinde bulunan bi cismin hehangi bi andaki doğusal hızı, kütlesi m olsun. Eğe dt zaman aalığında cismin hızı değişiyosa,

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

T.C. ĐNÖNÜ ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ BARIŞ BAYKANT ALAGÖZ

T.C. ĐNÖNÜ ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ BARIŞ BAYKANT ALAGÖZ T.C. ĐNÖNÜ ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ DEĞĐŞKEN GRADYANLI ELEKTRĐKSEL ALANDA MEYDANA GELEN UZAY YÜKLERĐNĐN MODELLENMESĐ VE BENZETĐMĐ BARIŞ BAYKANT ALAGÖZ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ ELEKTRĐK-ELEKTRONĐK

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

Örnek 1. Çözüm: Örnek 2. Çözüm: 60 30000 300 60 = = = 540

Örnek 1. Çözüm: Örnek 2. Çözüm: 60 30000 300 60 = = = 540 Önek 1 1.8 kn yük altında 175 dev/dak dönen bi mil yatağında çalışacak bilyeli ulman için, 5 saat ömü ve %9 güvenililik istemekteyiz. Öneğin SKF kataloğundan seçmemiz geeken inamik yük sayısı (C 1 ) nedi?

Detaylı

FZM450 Elektro-Optik. 7.Hafta. Fresnel Eşitlikleri

FZM450 Elektro-Optik. 7.Hafta. Fresnel Eşitlikleri FZM45 leko-ok 7.Hafa Feel şlkle 28 HSaı 1 7. Hafa De İçeğ Feel şlkle Yaıma Kıılma lekomayek dalgaı dalga özellkle kullaaak ışığı faklı kıılma de ah yüzeydek davaışı celeecek 28 HSaı 2 Feel şlkle-1 Şekldek

Detaylı

TG 2 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 2 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlei he hkkı sklıdı. Hgi mçl olus olsu, testlei tmmıı ve bi kısmıı İhtiç Yıcılık

Detaylı

MATLAB GUI TABANLI ELEKTROMIKNATIS DEVRE TASARIMI VE ANALİZİ

MATLAB GUI TABANLI ELEKTROMIKNATIS DEVRE TASARIMI VE ANALİZİ PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİ SLİ K B İ L İ MLERİ DERGİ S İ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 005 : 11 : 1 : 13-19

Detaylı

4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR

4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR 4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR Tım 4.1. M, bi G gubuu bi lt kümei olu. M yi kpy, G i bütü lt guplıı keitie M i üettiği (doğuduğu) lt gup dei ve M ile göteili. M i elemlı d M gubuu üeteçlei (doğuylı) dei. Öeme

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CEBİRSEL RICCATI DENKLEMLERİNİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ A.BURCU ÖZYURT SERİM

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CEBİRSEL RICCATI DENKLEMLERİNİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ A.BURCU ÖZYURT SERİM TC YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CEBİRSEL RICCATI DENKLEMLERİNİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ ABURCU ÖZYURT SERİM DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN PROF DR MUSTAFA BAYRAM İSTANBUL,

Detaylı

İKİ BOYUTLU DİREKT DİNAMİK PROBLEMİN ANALİTİK ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI

İKİ BOYUTLU DİREKT DİNAMİK PROBLEMİN ANALİTİK ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI Uludağ Ünivesitesi Mühendislik-Mimalık akültesi Degisi, Cilt 17, Sayı, 1 ARAŞTIRMA İKİ BOYUTLU DİREKT DİNAMİK PROBLEMİN ANALİTİK ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI Gökhan SEVİLGEN Özet: Bu çalışmada, m kütleli paçacığın

Detaylı

BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İLE ALÇAK GEÇİREN FİLTRE TASARIMI

BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İLE ALÇAK GEÇİREN FİLTRE TASARIMI BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İE AÇAK GEÇİREN FİTRE TASARIMI Adnan SAVUN 1 Tugut AAR Aif DOMA 3 1,,3 KOÜ Mühendislik Fakültesi, Elektonik ve abeleşme Müh. Bölümü 41100 Kocaeli 1 e-posta: adnansavun@hotmail.com

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

SAE 10, 20, 30 ve 40 d = 200 mm l = 100 mm W = 32 kn N = 900 d/dk c = mm T = 70 C = 2. SAE 10 için

SAE 10, 20, 30 ve 40 d = 200 mm l = 100 mm W = 32 kn N = 900 d/dk c = mm T = 70 C = 2. SAE 10 için ÖRNEK mm çapında, mm uzunluğundaki bi kaymalı yatakta, muylu 9 d/dk hızla dönmekte ve kn bi adyal yükle zolanmaktadı. Radyal boşluğu. mm alaak SAE,, ve yağlaı için güç kayıplaını hesaplayınız. Çalışma

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl

Detaylı

TG 8 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 8 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN İLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖAT İLKÖĞRETİM MATEMATİK u testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının veya bi

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir.

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir. 1 Taı: pozitif doğal saı olak üzere kuvvette kökü deir. KÖKLÜ İFADELER = a dekleii sağlaa saısıa a ı ici = a dekleide = a, tek ise a 0 ; = ± a, çift ise Uarı: = ise, a = a olarak gösterilir. a ifadesie

Detaylı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı Öğreci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı SORU 1. a) Ekoomii taımıı yapıız, amaçlarıı yazıız. Tam istihdam ile ekoomik büyüme arasıdaki ilişkiyi açıklayıız. b) Arz-talep kauu edir? Arz ve talep asıl artar

Detaylı

TG Haziran 2013 KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI LİSANS ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI

TG Haziran 2013 KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI LİSANS ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI KAMU PERSNEL SEÇME SINAVI LİSANS ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ RTAÖĞRETİM MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI T.C. KİMLİK NUMARASI : ADI : SYADI : TG 9 Hazian DİKKAT! ÇÖZÜMLERLE İLGİLİ AŞAĞIDA VERİLEN UYARILARI

Detaylı

Ankara Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankara Aysuhan OZANSOY

Ankara Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankara Aysuhan OZANSOY FİZ11 FİZİK Ankaa Üniesitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankaa Aysuhan OZANSOY Bölüm-III : Doğusal (Bi boyutta) Haeket 1. Ye değiştime e Haeketin Tanımı 1.1. 1 Mekanik Nedi? 1.. Refeans çeçeesi, Konum, Ye

Detaylı

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme 5.0.06 DP i Düzeleiş Şekilleri DP i Formları SİMPLEX YÖNTEMİ ) Primal (özgü) form ) Kaoik form 3) Stadart form 4) Dual (ikiz) form Ayrı bir kou olarak işleecek Stadart formlar Simplex Yötemi içi daha elverişli

Detaylı

VOLTERRA-WİENER SERİSİ KULLANILARAK OPTİK GERİBESLEMELİ YARIİLETKEN LAZER DİYODUN ANALİZİ

VOLTERRA-WİENER SERİSİ KULLANILARAK OPTİK GERİBESLEMELİ YARIİLETKEN LAZER DİYODUN ANALİZİ PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ YIL PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE CİLT MÜHENDİ SLİ K B İ L İ MLERİ DERGİ S İ SAYI JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES SAYFA : 998 : 4 : -2 : 675-683

Detaylı

TEBLİĞ. Enerji Piyasası Düzenleme Kurumundan: PERAKENDE SATIŞ HİZMET GELİRİ İLE PERAKENDE ENERJİ SATIŞ FİYATLARININ DÜZENLENMESİ HAKKINDA TEBLİĞ

TEBLİĞ. Enerji Piyasası Düzenleme Kurumundan: PERAKENDE SATIŞ HİZMET GELİRİ İLE PERAKENDE ENERJİ SATIŞ FİYATLARININ DÜZENLENMESİ HAKKINDA TEBLİĞ 30 Aalık 2012 PAZAR Resmî Gazee Sayı : 28513 (2. Mükee) TEBLİĞ Eeji Piyasası Düzeleme Kmda: PERAKENDE SATIŞ HİZMET GELİRİ İLE PERAKENDE ENERJİ SATIŞ FİYATLARININ DÜZENLENMESİ HAKKINDA TEBLİĞ BİRİNCİ BÖLÜM

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

Latex 3000 Yazıcı serisi. Kurulum Yerini Hazırlama Denetim Listesi

Latex 3000 Yazıcı serisi. Kurulum Yerini Hazırlama Denetim Listesi Latex 3000 Yazıcı seisi Kuulum Yeini Hazılama Denetim Listesi Telif Hakkı 2015 HP Development Company, L.P. 2 Yasal bildiimle Bu belgede ye alan bilgile önceden habe veilmeksizin değiştiilebili. HP üün

Detaylı

Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kullanılan Temel Matematiksel Fonksiyonlar:

Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kullanılan Temel Matematiksel Fonksiyonlar: Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kllanılan Temel Matematiksel Fonksiyonla: Unit Step fonksiyon, Implse fonksiyon: Unit Step Fonksiyon: Tanim: Unit Step fonksiyon aşağıdaki gibi iki şekilde tanımlanabili

Detaylı

SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TRİBOLOJİ LABORATUARI DENEY FÖYÜ

SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TRİBOLOJİ LABORATUARI DENEY FÖYÜ SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TRİBOLOJİ LABORATUARI DENEY FÖYÜ DENEY ADI RADYAL KAYMALI YATAKLARDA SÜRTÜNME KUVVETİNİN ÖLÇÜLMESİ DERSİN ÖĞRETİM ÜYESİ YRD.DOÇ.DR.

Detaylı

Kimyasal Reaksiyon Mühendisliği. Hız Kanunları

Kimyasal Reaksiyon Mühendisliği. Hız Kanunları Kimyasal Reasiyon Mühendisliği Hız Kanunlaı 1 Tanımla Homojen Reasiyon Te fazlıdı. Heteojen Reasiyon Ço fazlıdı, easiyon genel olaa fazla aasındai aaesitlede meydana geli. Tesinmez (Te yönlü) Reasiyon

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

Otomatik Depolama Sistemlerinde Kullanılan Mekik Kaldırma Mekanizmasının Analizi

Otomatik Depolama Sistemlerinde Kullanılan Mekik Kaldırma Mekanizmasının Analizi Uluslaaası Katılımlı 17. Makina Teoisi Sempozyumu, İzmi, 14-17 Hazian 21 Otomatik Depolama Sistemleinde Kullanılan Mekik Kaldıma Mekanizmasının Analizi S.Telli Çetin * A.E.Öcal O.Kopmaz Uludağ Ünivesitesi

Detaylı

Atatürk Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt: 26, Sayı: 2, 2012 237

Atatürk Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt: 26, Sayı: 2, 2012 237 Atatük Üiesitesi İktisadi e İdai Bilile Degisi Cilt: 6 Sayı: 0 7 AR-GE PROJELERİNİN SEÇİİNDE GRUP ARARINA DAYALI BULANI ARAR VERE YALAŞII Tuba YAICI AYAN ) Selçuk PERÇİN ) Özet: Güüüzde A-Ge poeleii seçii

Detaylı

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER 4 TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER 4.. Mekez Eğlm Ölçüle 4... Atmetk Otalama 4... Ağılıklı Atmetk Otalama 4... Geometk Otalama 4..4. Hamok Otalama 4..5 Kuadatk Otalama 4..6. Medya 4..7. Katlle 4..8. Decle ve

Detaylı

Parçacıkların Kinetiği Impuls-Momentum Yöntemi: Çarpışma

Parçacıkların Kinetiği Impuls-Momentum Yöntemi: Çarpışma Paçacıklaın Kinetiği Impuls-Momentum Yöntemi: Çapışma İki kütle bibii ile kısa süe içeisinde büyük impulsif kuvvetlee yol açacak şekilde temas edese buna çapışma (impact) deni. Çapışma 1. Diekt mekezcil

Detaylı

Tümevarım ve Özyineleme

Tümevarım ve Özyineleme Tümevaım ve Özyieleme CSC-59 Ayı Yapıla Kostati Busch - LSU Tümevaım Tümevaım ço ullaışlı bi ispat teiğidi. Bilgisaya bilimleide, tümevaım algoitmalaıı özellileii aıtlama içi ullaılı. Tümevaım ve öz yieleme

Detaylı

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY

Detaylı

MONTE CARLO BENZETİMİ

MONTE CARLO BENZETİMİ MONTE CARLO BENZETİMİ U(0,) rassal değişkeler kullaılarak (zamaı öemli bir rolü olmadığı) stokastik ya da determiistik problemleri çözümüde kullaıla bir tekiktir. Mote Carlo simülasyou, geellikle statik

Detaylı

ÖĞRENME ETKİLİ ÇİZELGELEME PROBLEMİNDE MAKSİMUM GECİKMENİN ENKÜÇÜKLENMESİ İÇİN ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI

ÖĞRENME ETKİLİ ÇİZELGELEME PROBLEMİNDE MAKSİMUM GECİKMENİN ENKÜÇÜKLENMESİ İÇİN ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI V. Ulusl Üetim Aştımlı Sempozyumu, İstbul Ticet Üivesitesi, 25-27 Ksım 2005 ÖĞRENME ETKİLİ ÇİZELGELEME PROBLEMİNDE MAKSİMUM GECİKMENİN ENKÜÇÜKLENMESİ İÇİN ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI Tme EREN Kııkkle Üivesitesi

Detaylı

AB YE ÜYE ÜLKELERİN VE TÜRKİYE NİN EKONOMİK PERFORMANSLARINA GÖRE VIKOR YÖNTEMİ İLE SIRALANMASI

AB YE ÜYE ÜLKELERİN VE TÜRKİYE NİN EKONOMİK PERFORMANSLARINA GÖRE VIKOR YÖNTEMİ İLE SIRALANMASI İstabul Tcaet Üvestes Sosyal Blmle Degs Yıl: Sayı: Baha 0 / s.455-468 AB YE ÜYE ÜLKELERİN VE TÜRKİYE NİN EKONOMİK PERFORMANSLARINA GÖRE VIKOR YÖNTEMİ İLE SIRALANMASI Üal H. ÖZDEN 6 ÖZET Çalışmada, AB ye

Detaylı

EMEKLILIK SİSTEMLERİ SINAV SORULARI WEB-ARALIK 2015. Bireysel emeklilik sistemine ilişkin olarak aşağıdakilerden hangisi(leri) yanlıştır?

EMEKLILIK SİSTEMLERİ SINAV SORULARI WEB-ARALIK 2015. Bireysel emeklilik sistemine ilişkin olarak aşağıdakilerden hangisi(leri) yanlıştır? EMEKLILIK SİSTEMLERİ SINAV SORULARI WEB-ARALIK 2015 Sou-1 Bieysel emeklilik sistemine ilişkin olaak aşağıdakileden hangisi(lei) yanlıştı? I. Bieysel emeklilik sistemindeki biikimle Sosyal Güvenlik Sistemine

Detaylı

TG 9 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK

TG 9 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERONEL EÇME INAVI ÖĞREMENLİK ALAN BİLGİİ Eİ ORAÖĞREİM MAEMAİK ÖĞREMENLİĞİ G ÖAB ORAÖĞREİM MAEMAİK Bu testlei he hkkı sklıdı. Hgi mçl olus olsu, testlei tmmıı ve bi kısmıı İhtiç Yıcılık ı zılı izi

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı