T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAGLEY-TORVİK DENKLEMİNİN KESİRLİ DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM METODU İLE ÇÖZÜMÜ VE DİĞER YÖNTEMLERLE KARŞILAŞTIRILMASI YÜCEL ÇENESİZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KONYA-7

2 ÖZET Yüse Lisas Tezi BAGLEY-TORVİK DENKLEMİNİN KESİRLİ DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM METODU İLE ÇÖZÜMÜ VE DİĞER YÖNTEMLERLE KARŞILAŞTIRILMASI Yücel ÇENESİZ Selçu Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matemati Aabilim Dalı Daışma: Yrd. Doç. Dr. Aydı KURNAZ 7, 49 Sayfa Jüri: Doç. Dr. Galip OTURANC Yrd. Doç. Dr. Aydı KURNAZ Doç. Ahmet BERKSOY Bu çalışmada, esirli mertebede diferasiyel delemleri çözümleri araştırılmış buu içi diferasiyel döüşüm yötemi ullaılmıştır. Özellile esirli mertebede diferasiyel delemlerde öemli yeri ola Bagley-Torvi delemi icelemiştir. Diferasiyel döüşüm yötemi ullaılara lieer ve lieer olmaya diferasiyel delemler cebirsel delemlere döüştürülebilir ve elde edile cebirsel delemler de bazı basit işlemlerle olaylıla sistemati bir şeilde çözülebilir. Aahtar Kelimeler: Kesirli Diferasiyel Delemler, Diferasiyel Döüşüm Yötemi, Bagley-Torvi delemi i

3 ABSTRACT Ms Thesis SOLUTION OF BAGLEY-TORVİK EQUATION BY DIFFERENTIAL TRANSFORM METHOD AND COMPARISON WITH OTHER METHODS Yücel ÇENESİZ Selçu Uiversity Graduate School of Natural ad Applied Scieces Departmet of Mathematics Supervisor: Asst. Prof. Dr. Aydı KURNAZ 7, 49 Page Jury: Assoc. Prof. Dr. Galip OTURANÇ Asst. Prof. Dr. Aydı KURNAZ Assoc. Prof. Ahmet BERKSOY I this study, the differetial trasform method is used for solvig fractioal differetial equatios. Especially Bagley-Torvi equatio which has a importat role i fractioal differetial equatios has bee aalysed by this method. Usig differetial trasform method, liear or oliear differetial equatios ca be tasformed ito simple algebraic equatios. The these equatios ca be easily dealt with ad solved systemically. Key words: Fractioal Differetial Equatios, Differetial Trasform Method, Bagley- Torvi equatio. ii

4 İÇİNDEKİLER.GİRİŞ..... Amaç ve apsam..... Literatür Özeti... TEMEL KAVRAMLAR 4.. Adi diferasiyel delem.4.. Kısmi diferasiyel delem.4.3. Kesirli itegrali sağladığı bazı özelliler BAGLEY-TORVİK DENKLEMİ. 3.. Bagley-Torvi delemii tarihçesi. 3.. Bagley-Torvi delemii elde edilmesi Bagley-Torvi delemiyle ilgili yapıla çalışmalar.5 4. DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ Kesirli Döüşüm Yötemi. 9 5.DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE KESİRLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ Kesirli Diferasiyel Delemlere Yötemi Uygulaması BAGLEY-TORVİK DİFERANSİYEL DENKLEMİNİN DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ VE DİĞER METODLARLA KARŞILAŞTIRILMASI..9 7.GENEL SONUÇ VE ÖNERİLER TABLO VE MAPLE KODLARI.37 KAYNAKLAR.46 iii

5 ÖNSÖZ Diferasiyel delemler, özellile lieer diferasiyel delemler ve esirli diferasiyel delemler teori ve prati baımda büyü öem taşımata ve bütü fe ve mühedisli bilim dallarıda ço geiş bir uygulama yeri bulmatadır. Bu çalışmaı il bölümüde bu tezi yapılma amacı belirtilmiş ve şimdiye adar yapıla çalışmalar haıda bilgi verilmiştir. Sorai bölümde ise diferasiyel delemler haıdai temel avramlar atarılmıştır. 3. bölümde esirli cebir literatürüde öemli bir yere sahip ola Bagley-Torvi delemii detaylı bir aalizi yapılmıştır. 4. ve 5. bölümlerde sırasıyla Diferasiyel Döüşüm yötemi ve bu yötemi esirli diferasiyel delemlere uygulaması haıda gereli taım ve teoremler verilmiş, ou haıda öreler çözülmüştür. 6. bölümde Bagley-Torvi delemii diferasiyel döüşüm metoduyla çözümü verilmiş diğer metotlarla yapıla çözümlerle arşılaştırmalı grafiği verilere metodu ullaışlılığı gösterilmiştir. So bölümde ise çalışmada elde edile souçlar verilmiş, temel bazı döüşümler tablo halide gösterilmiş ve bazı maple odları elemiştir. Tez ousuu seçimi ve yürütülmesi ousudai yardımları ve yaı ilgiside dolayı sayı hocam Yrd. Doç. Dr. Aydı KURNAZ a, tavsiyelerii hiçbir zama esi etmeye sayı hocam Doç.Dr. Galip Oturaç a, yardımlarıda dolayı Arş. Gör. Yıldıray Kesi e ve desteğii esirgemeye herese teşeürlerimi suarım. Yücel Çeesiz Koya, 7 iv

6 . GİRİŞ.. Amaç ve Kapsam Diferasiyel Döüşüm Yötemi ullaılara arşılaşıla armaşı ve yüse mertebede ısmi türevli diferasiyel delemler (ısı iletim delemi, dalga delemi, Poisso delemi gibi) ve diğer mühedisli problemlerii çözümüü elde etme mümüdür. Kullaıla yötem, ullaım açısıda elverişli ve çabu souca götüre bir yötemdir. Laplace ve Fourier döüşümleri gibi yötemlerle arşılaştırıldığıda, döüşüm yötemi daha prati ve daha zama azadırıcı ve bilgisayar programlamasıa uygudur. Bu yötem ullaılara ısmi türevli diferasiyel delemler cebirsel delemlere döüştürülebilir ve elde edile cebirsel delemler de bazı basit işlemlerle olaylıla sistemati bir şeilde çözülebilir. Ayrıca diferasiyel döüşüm metodu diğer yalaşı çözüm yötemleriyle arşılaştırıldığıda daha olay çözüme ulaştırır. Bua e olara diferasiyel döüşüm metoduu lieer ve lieer olmaya problemleri çözümüü yaı sıra, süreli olmaya sıır şartlarıa sahip problemleri çözümüde de çalıştığı da görülebilir.

7 .. Literatür Özeti Zhou (986) çalışmasıda il olara Diferasiyel Döüşüm Yötemii, eletri devre aalizleride otaya çıa lieer ve lieer olmaya başlagıç değer problemlerii çözme içi ortaya oymuştur. Che, C.K., Ho, S.H.( 996) ise çalışmasıda, diferasiyel döüşüm (DT) metoduu özdeğer problemlerie uygulamıştır. Özdeğerleri ve özfosiyoları bulumasıda ullaıla e ço bilie yötemler ola Ritz ve Galeri yötemleride, i içi i. özdeğeri buluması olduça güç olup Che ve Ho yaptıları çalışmada diferasiyel döüşüm (DT) metodu ile özdeğerleri ve özfosiyoları elde etmişlerdir. Daha sora Che, C.K., Ho, S.H.; (999) yalızca adi türevli diferasiyel delemler içi uygulaabile diferasiyel döüşüm metoduu, bu çalışmayla birlite il olara ısmi türevli diferasiyel delemlere geişletmiş olup buu içi ii boyutlu diferasiyel döüşümü taımlamıştır. Ayrıca Jag, M.J., Che, C.L., Liu, Y.C.;() çalışmalarıda, il olara lieer ve lieer olmaya başlagıç değer problemleri gridler yardımıyla diferasiyel döüşüm yötemi ullaara çözmüşlerdir. Nümeri yötemlerde sılıla gridlerde faydalaılmasıa rağme il olara bu çalışmada diate alımış olmala birlite hem daha iyi souçlar elde edilmiş hem de çözümü global hatası otrol altıa alımıştır. Bulara e olara Ayaz, F., (4). çalışmasıda lieer cebirsel-diferasiyel delemleri çözümüü DT metodu ile iceleyere ouyla ilgili örelerde elde edile souçlar aaliti çözümlerle arşılaştırmıştır.kuraz A., Oturaç, G. (5) çalışmalarıda ise ; DT metoduu çözümü aradığı aralıtai çözüm fosiyou gridlere bölere sistemlere uygulamış böylece çözüm fosiyou her bir alt aralı içi buluara çözüme yalaşılmıştır. Buula birlite hata otrolü yapılara hata içi sisteme girile üst sııra bağlı olara, alıması geree miimum grid sayısı tespit edilmiştir. Ertür V. S., Momai S., Odibat Z. (7) çalışmaları, Caputo alamıda türevlere sahip yüse mertebeli lieer ve lieer olmaya esirli diferasiyel delemleri sayısal çözümleri içi Diferasiyel döüşüm yötemii uygulamasıı ve ouyla ilgili çözülmüş öreleri içermetedir. Ayrıca Momai S., Odibat Z. (7) çalışmalarıda lieer esirli diferasiyel delemleri çözümleri içi esirli far yötemi, Adomia

8 3 Decompositio yötemi ve varyasyoel iterasyo teileri ullaılara farlı tip problemler içi çözümler elde etmiş ve aaliti souçlar arşılaştırmışlardır. Oturaç G., Kuraz A., Kesi Y.(7). çalışmalarıda esirli türevli diferasiyel delemleri çözümlerie yöeli yei bir yalaşı aaliti metod sumuşlardır. Bu yötemle ilgili taım ve teoremler verilip lieer veya lieer olmaya delemler içi çözümler icelemiştir. Ayrıca Kuraz A., Kesi Y., Oturaç G. (7) çalışmalarıda lieer olmaya esirli türevli diferasiyel delem sistemlerie ve lieer ço terimli diferasiyel delemleri çözümlerie yöeli yei bir yalaşı aaliti metoduu sumuşlar, verile teile ilgili problem çözümleri verilmiştir. S. Saha Ray, R.K. Bera, (5 çalışmalarıda ullaıla aaliz ile 3 mertebeli esirli diferasiyel delemlere ayrışma metodu uygulamıştır. Böylece 3 mertebeli lieer esirli diferasiyel delemleri çözümüe bu metodu uygu olduğu gösterilmiştir. Ayrıca bu çalışmada Bagley-Torvi delemii çözümüü elde etme içi aaliti bir düze ortaya oulmuştur.

9 4. TEMEL KAVRAMLAR Mühedislite, fizii bilimlerde, sosyal bilimlerde ve daha birço bilim dalıda ço sayıda problemi çözebilme içi öce bu problemleri matematisel ifadelerle formülleştirme ve sora da bularla ilgili bazı sıır şartları, başlagıç şartlarıı ullaara problemleri çözümleri oluştura fosiyoları bulup ortaya oyma gereir. Bilie bir problemi formülize ede bu matematisel ifadeler baze araa fosiyou e azıda birici mertebede veya daha yüse mertebede türevlerii içermetedir. İşte bu çeşit bir matematisel ifadeye diferasiyel delem deir... Adi Diferasiyel Delem Adi türevli diferasiyel delem, F(x, y, y, y,..., y () )= şelide yazılır. Bu diferasiyel delem. mertebede türevli diferasiyel delem olara adladırılır. Bir diferasiyel delemde bir veya daha fazla sayıda bağımlı değişe olmasıa arşı eğer yalız bir bağımsız değişe varsa bu deleme adi türevli diferasiyel delem deir... Kısmi Türevli Diferasiyel Delemler Bir diferasiyel delem, bir te bağımlı değişei ii veya daha fazla sayıda bağımsız değişe ciside türevlerii içeriyorsa bu deleme ısmi türevli diferasiyel delem deir A, B, C, D, E, F ve G, x ve y bağımsız değişelerii fosiyoları olma üzere, iici mertebede lieer ısmi türevli diferasiyel delem;

10 5 şelidedir. u u u u u A + B + C + D + E + Fu = G( x, y ) (..) x x y y x y G(x,y)= ise (..) delemi u u u u u = A B C D E Fu x x y y x y (..) şelie idirgeir. (..) ısmi türevli diferasiyel delemi paraboli elipti ve hiperboli olma üzere 3 farlı tipi vardır. A, B, C, D, E ve F atsayıları gerçel sabitler olma üzere x ve y değişelerie göre Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F= (..3) şelide iici derecede cebirsel delemi Δ sıa baılara tipi belirleebilir. Bu durumda; Δ = B 4AC gösterdiği bilimetedir. Δ < Δ = Δ > ise ise ise elipti paraboli hiperboli diferasiyel diferasiyel diferasiyel delem delem delem Taım.: > içi, ( ) Γ = x x e dx biçimide taımlaa fosiyo Gamma Fosiyou olara adladırılır. Bu itegral, > verilebilir. içi yaısa olup Gamma fosiyouu bazı özellileri aşağıdai gibi. Γ ( + ) = Γ( ) dir. Özel olara, sırasıyla =,,3, 4 içi, ( ) ( ) ( ) ( ) Γ =! =, Γ =! =, Γ 3 =! =., Γ 4 = 3! = 3.. elde edilebilir. Daha geel olara, tümevarımla,

11 6 ( ) Γ + =! buluur. Bu yüzde Gamma fosiyoua fatöriyel fosiyou da deir.. Γ =. içi π < ( ) 3. ( ) ( ) ( ) Γ + Γ = ile taımlaır. π Γ p Γ p =,< p< si pπ 4. Γ( x) Γ x+ = π Γ( x ) çoğalma formülü adı verilir. x Bu formüle Gamma fosiyou içi x 5. Γ () = e lxdx= γ burada γ ya Euler sabiti deir. x 6. Γ () = e lxdx= γ Taım..[Momai,7] x > ve f ( x ) reel fosiyou içi p f ( x) C[, ) olma üzere f ( x) = x f ( x) olaca şeilde bir p > μ, reel sayısı varsa f ( x ) reel fosiyoua C μ dedir deir. Eğer ve ise bu tatirde f ( x ) reel fosiyoua C μ dedir deir. f ( μ ) ( ) C μ Taım.3. Bir f, μ fosiyou içi mertebeli, Riema- C μ Liouville a I D t a t itegral operatörü, a D t f ( t) a I t f ( t) = Γ( ) t a ( t u) f ( u) du t a (..4) biçimide taımlaır. Özel olara = içi, Riema-Liouville itegral operatörü, olara buluur. a t ( ) I f() t = f t

12 7 türev Taım.4. <, olma üzere herhagi bir mertebede esirli mertebeli esirli itegrasyo yardımıyla biçimide taımlaır. Özel olara a D t d f ( t) = a Dt f ( t) dt t u f u du < < t d ( ) ( ) ( ), dt Γ( ) a ad* f() t adt ait f() t = = d f() t, = dt (..5) yazılabilir. a = içi,(..4) ve (..5) delemleri sırasıyla Riema-Liouville itegral ve türevleri olara biliir. Kesirli türev avramı içi Riema-Liouville taımıı dışıda bu taım üzeridei bazı değişililerle elde edile ve Caputo u verdiği ve Caputo türevi olara da bilie taımı diate alacağız. Çüü; başlagıç değer problemleri içi Caputo u taımı daha ullaışlıdır..3.kesirli itegrali sağladığı bazı özelliler. Lieerli özelliği. Birleşme (yada yarıgrup) özelliği 3. Sıfır elema 4. Alt üme olma özelliği 5. Difitegrasyo içi çarpım uralı q q q D ( x+ y) = D ( x) + D ( y) q q D ( ax) = ad ( x) a b a+ b DD( x) = D x D ( x) = x a a D ( x) = d ( x), adoğal sayısıiçi

13 8 şelide taımlaabilir. q q Dt x y D x D y j= j j ( + ) = q j t ( ) ( ) t Taım.5. Bir f (t) reel değerli fosiyouu Caputo alamıdai esirli türevi; ve f () t içi C t ( ) ( t u) f ( u) du, < <,, t > Γ ( ) a ad* f() t = a It adt f() t = d f() t, = dt biçimide taımlaır. Caputo alamıdai esirli türev taımıa ait bazı özelliler Jafari H., Daftardar-Gejji V tarafıda aşağıdai gibi sıralamıştır.. D* f() t I = D f() t D I f() t = D f() t,. a t a t a t a t a t x ( ) + D* f() t = a Dt f() t f ( ), =! 3. ( ( )) D f() t + g t = D f() t + D g(), λ, μ birer sabit. * λ μ λ * μ * t + D D f() t = D f() t, β,. β 4. + β * * * j 5. * ( ) { }, j ve j < D t = Γ ( j + ) j t, j ve j veya j ve j >, Γ ( j + ) 6. Herhagi bir C sabiti içi, DC * =, 7. D* I f() t = f() t, a t 8. a x ( ) + It D* f() t = f() t f ( ), <,,! = Taım.6. m, m< p< m+şartıı sağlaya bir tamsayı, f süreli bir fosiyo, f () t, ( =,,, m+ ) türevleri de [ at, ] apalı aralığıda süreli olsu. Bu tadirde f fosiyouu p. mertebede Grüwald-Letiov esirli türevi

14 9 () = p+ t ( )( ) ( ) ( ) ( ) m p m+ ( ) p p m m p f a t a D f t = + t f d şelide taımlaabilir. Γ + + Γ + + a τ τ τ

15 3.BAGLEY TORVİK DENKLEMİ 3.. Bagley-Torvi delemii Tarihçesi 3 t t AD xt () + BD xt () + Cxt () = f() t (3..) şelidei Bagley-Torvi delemi Newto sıvısıa batırılmış atı plaaları hareetii modellemesi soucu ortaya çımıştır. Burada A veb, C Rolara alımıştır. Bu delem il olara Bagley (984) tarafıda telif edilmiş Podluby(999) ve Tris() tarafıda icelemiştir. İyi biliir i esirli diferesiyel delemler içi başlagıç şartlarıı işiye uygu seçimi özel bir meseledir. Lorezo ve Hartley problemi doğru olara formulize ettiği, çözümler içi öerile yalış başlagıç değerlerii etisii aaliz ettiği çalışmalarıda başlagıç değerlerii etisii ele almıştır. Podluby i(999) öceii taip ede çalışmasıda, şu ai aalizde, x () = ve Dxt () t = (3..) t= homoje başlagıç değerlerii diami süreçte arşılı geldiğii abul edeceğiz. Delemi bulalarda Peter Torvi lisas eğitimii Miesota Üiversiteside Hava aımları mühedisliği bölümüde yapmış yüse lisas eğitimii ayı üiversitede Meai ve Malzeme üzerie yapmıştır. Dotorasıı da bu üiversitede Mühedisli Meaiği üzerie yapa yazar 98 de Wright State Üiversiteside eğitme olara, 988 de Pesilvaya State Üiversiteside idareci olara göreve başlamıştır. Profesör Torvi eseli, dalga yayılımı, şo ve titreşim, uça sistemleride çarpışma etisi, lazer materyalleri etileşimi teorileride uzmadır. Öcelili araştırma ouları yapı diamiği çarpışma ve eti meaiği, süreli ve farlı sistemlerde titreşimi etisi, eerji dağılımı ve dağıla materyalleri dağılımı üzeriedir.

16 3.. Bagley-Torvi Delemii Elde Edilmesi icelere Bagley ve Torvi(984) Newto sıvısıa batırılmış plaaları hareetii 3 = mertebeli esirli diferesiyel delemi türevii almıştır. Şeil 3.. dei gibi gösterile yarı aladai Newto yapışa sıvısıı düşüelim. Bu yüzeydei hareetler sosuz yüzeydei geel eie hareetler sebebiyle meydaa gelmetedir. Yarı aladai sıvıı hareetii delemi difüzyo delemidir. Şeil 3.. Yarı aladai Newto sıvısı vzt ρ t (,) vzt (,) = μ z (3..) delemide, ρ sıvıı yoğuluğu, μ visozite ve vzt (,) de (3..) z ve t fosiyolarıı eie sıvı hızıı taımlamata ullaılmatadır. (3..) delemii Laplace döüşümüü alara ve zama türevlerii davraışları içi aşağıdai f() t L = sl[ f() t ] f( t = ) t (3..) uralıı ullaara ρsl v ( zt, ) ρv( zt, = ) = μ L v ( zt) z, (3..3)

17 eşitliğii elde ederiz. Bagley ve Torvi sıvıı içide başlagıç hız profilii sıfır olara varsayara (3..3) delemii ρsl v z t μ z (, ) = L v( z t), (3..4) delemie idirger. Sadece zama değişei baımıda Laplace döüşümü hesapladığı zama z i derilileri açısıda hız profili içi aşağıdai gösterim ullaılabilir. vzt (,) = vte () λz (3..5) λz (, ) = e L[ v( t) ] L v z t (3..6) λ L [ vzt (,)] = λ e Lvt [ () z z ] (3..7) (3..6) ve (3..7) delemii (3..4) delemie elemesiyleλ bilimeye parametresie bağlı () = e L v() t ρse L v t μλ, λ = (3..8) μ λz λz sρ delemii elde ederiz. Sıvıı z = otasıdai plaaı ögörüle hızıyla eşleşe sıır oşullarıda, v () p t, esisiz hız profili! μ vz ( =,) t = vt () = v() t vzt (,) = v() te (3..9) türevleebilirdir. Bir sorai adımda, aşağıdai eşitlite p vzt (, ) σ( zt, ) = μ z p sρ z (3..) Newto aışaıı ilişisii göstere esiti yuarıdai özellileri ullaara Laplace bölgesie döüştürülür. delemi sρ z μ sρ L σ ( z, t) = μ L v() t = μρ sl v( z, t) μ (3..) s L σ ( zt, ) = μρ L v( zt, ) (3..) s şelide yazılabilir. Aşağıdai ii döüşüm (3..) delemi içi taımlaabilir.

18 3 (, ) v z t sl v ( z, t) = L t = L s Γ t (3..3) ve (3..4) delemlerii ullaara (3..3) (3..4) L σ ( z, t) = μρl L v( z, t) Γ t (3..5) delemii elde ederiz. (3..5) dei ii döüşümü çarpımı ters döüşümü hesapladığımız zama t v( τ ) σ ( zt, ) = μρ dτ (3..6) ( ) Γ t τ delemie arşılı gelir. Başlagıç hız profili sıfır olduğu varsayıldığıda, (3..6) delemi t σ d v( z, t) ( zt, ) = μρ d Dvzt ( t dt τ = μρ, ) (3..7) Γ ( t τ ) şelide yeide yazılabilir. (3..7) delemide = mertebeli esirli bir türev Newto sıvısıı yarı aladai ala gerilimi-hız ilişisi şelide taımlaabilir. Bu yüzde m ütlesii atı bir plaası sosuz Newto sıvısıa aşağıdai şeilde gösterildiği gibi batırılmıştır. Plaa atılığıı sayeside sabit bir otada tutulabilir deilebilir. Varsayılabilir i ortaya çıa hareetler sıvıı hareetii etilemez ve plaaı A alaı ço büyütür, öyle i (3..6) delemidei gerilimhız ilişisi plaaı her ii tarafıda da geçerlidir. Plaaya eti ede bütü uvvetler degesi () () (, ) mu t + u t + A z = t = delemii verir. (3..7) delemii değiştirere,

19 4 () () μρ ( ) mu t + u t + A D v z =, t = t delemii elde ederiz. delemi ve () vz ( =, t) = ut 3 = mertebeli esirli diferasiyel delem sosuz Newto sıvısıa batırılmış atı plaaı yer değiştirmesii taip etme içidir. Burada belirtme gereir i yer değiştirmei esirli türevi yuarıdai basit fizisel sistemi hareetii taımlaması soucu meydaa gelir. Ayı yolla, 3 mertebeli esirli türev, güç-yer değiştirme ilişisii sosuz irişii ese temelii zamala ilgisi baımıda asimptoti parçası aşağıdai şeildei gibi taşııre elde edilir.[c. Tris, P. Ruge,] Şeil 3.. Asimptoti parçaı taşıması

20 Bagley-Torvi Delemiyle İlgili Yapıla Çalışmalar Bagley-Torvi delemi üzerie şimdiye adar değişi çözüm metotları uygulamış, diğer çözüm metotlarıyla arşılaştırmalar yapılmıştır. Podluby(999) yılıdai çalışmasıda, 3 t t AD xt () + BD xt () + Cxt () = f() t Bagley-Torvi delemide atsayıları A=, B=.5, C =.5, başlagıç şartları 8, t y( ) =, y ( ) = ve f () t fosiyouu da f () t = şelide alara, t > ümeri olara çözmüştür. Ray ve Bera(5) yaptıları çalışmada Bagley-Torvi delemii Podluby ile ayı başlagıç oşullarıı ve ayı A,B,C ve f(t) değerleriyle Adomia Ayrışma Metoduu ullaara çözmüştür. Ayrıca bu çalışmada ii çözümü arşılaştırmalı bir grafiği de mevcuttur. Gejji ve Jafari[4] yaptıları çalışmada Bagley-Torvi delemii bir sistem halie getirdite sora Adomia Ayrışma Metoduu ullaara çözmüşlerdir. Sayed, Mesiry ve El-Saa[4] çalışmalarıda çeşitli A, BCveftdeğerleri, ( ) içi Bagley-Torvi delemii ümeri çözümüü elde etmişlerdir. Edwards, Ford ve Simpso[] yaptıları çalışmada Bagley-Torvi delemii sistem halie getirmişler ve ümeri olara çözümüü elde etmişlerdir. Diethelm ve Ford[] Bagley-Torvi delemii sistem halie getirmiş ve Adams tipi yalaşımı ullaara ümeri olara çözmüştür. Arıoğlu ve Özol[6] çalışmalarıda A=, B=, C = almış, sıır ( ) ( ) = ( ) oşullarıı x =, x olara belirlemiş ve f () t = C( + t) alara diferasiyel döüşüm metoduyla çözmüşlerdir. f t fosiyouu da

21 6 Hu, Luo ve Lu[7] yaptıları çalışmada başlagıç şartları ( ), ( ) y = y = olma üzere Bagley-Torvi delemii Adomia Ayrışma Metoduu ullaara çözmüşlerdir. Ertür, Momai ve Odibat[7] çalışmalarıda Bagley-Torvi delemii μ β β d y d y d y a b dt μ β β dt dt = olara ifade etmiştir. Başlagıç oşullarıı y() =, y () = olara abul etmişler, < β < β < μ, μ < μ m, l < β l, s < β s, m, l, s Ν ve μ =, β =, a= b= abul edere geelleştirilmiş döüşüm metoduyla delemi çözümüü elde etmişlerdir.

22 7 4.DİFERENSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İl olara 986 yılıda Zhou tarafıda taıtıla bu metot ile diferasiyel delemler cebirsel delemlere döüştürülebilir ve elde edile cebirsel delemler de bazı basit işlemlerle olaylıla sistemati bir şeilde çözülebilir. Ayrıca diferasiyel döüşüm metodu diğer yalaşı çözüm yötemleriyle arşılaştırıldığıda daha olay çözüme ulaştırır. Souçta bu yötem ile lieer ve lieer olmaya problemleri çözümüü yaı sıra, süreli olmaya sıır şartlarıa sahip problemleri çözümüde de çalıştığıı görebiliriz. Taım 4...[Che, 996] Te bileşeli w(x) fosiyouu diferasiyel döüşüm fosiyou W() olma üzere, w(x) i te boyutlu diferasiyel döüşümü d W( ) = w( x)! dx x = (4..) olara taımlaır. Taım 4... [Che, 996] W() döüşüm fosiyouu ters diferasiyel döüşüm fosiyou, = w ( x) W ( ) x (4..) = biçimde taımlaır. (4..) ve (4..) eşitlileri diate alıara aşağıdai (4..3) eşitliği elde edilir.

23 8 d w ( x) = x (4..3) w( x) =! dx x= (4..) ve (4..) delemleri ullaılara temel matematisel operasyolar yardımıyla te boyutlu diferasiyel döüşüm içi tablo 8. dei özelliler ispat edilebilir.

24 9 4.. Kesirli Diferasiyel Döüşüm Yötemi Teorem 4... (Geelleştirilmiş Taylor Formülü) Kabul edelim i, < ve =,,, + içi olma üzere ( ] ( ) D f a * () t C a, b olsu. Bu tatirde, ( ) ( + t a ) ( ) ( ) ( + ) () R ta, = [ ad* f t] t= ξ, ξ [ at, ], t ( ab, ] (4..) Γ + + i ( t a) ( i ) i * t= a R t a i= Γ + () ( ) f () t = [ D f t ] +, (4..) olur. Burada, D* = D* D* D* ( defa) olara diate alımıştır. Taım 4...[Ertür, 7] Bir y( t ) fosiyouu esirli diferasiyel döüşümü, D = D D D ( defa) olma üzere * * * * olara taımlaır. Y( ) = [ D* y() t ] t= t, <, =,, (4..3) Γ + ( ) Taım 4...[Ertür, 7] { Y ( )} = dizisii ters esirli diferasiyel döüşümü (4..4) = () = ( )( ) y t Y t t olara taımlaır. (4..3) ve (4..4) delemleri birlite düşüüldüğüde, y t = D y t () [ * ()] t= t( t t ) (4..5) = Γ ( + ) elde edilebilir. Burada (4..5) eşitliğide, esirli diferasiyel döüşüm avramıı esirli uvvet serileri açılımıda elde edildiği açıtır.

25 Teorem 4...[Oturaç(I Press), Arioğlu, 6] Bir fosiyouu esirli diferasiyel döüşümü, biçimidedir. ( ) ( ) ( ) Y( ) olma üzere, y ( t) = u( t) ± v( t) Y = U ± V (4..6) İspat. Kesirli diferasiyel döüşüm taımıda ve türev operatörüü lieerliğide, olara souç elde edilir. Y( ) = D* [ u() t + v() t ] Γ + ( ) ( ) () U( ) V( ) t= t = D [ u t ] + D [ v() t ] Γ + Γ + = ± * t= t * t= t ( ) Souç 4... Bir döüşümü, biçimidedir. Y ( ) y ( t) = cu( t) olma üzere,, (c bir sabit) fosiyouu esirli diferasiyel ( ) = c U( ) Y Teorem 4..3.[Arioğlu, 6] Bir diferasiyel döüşümü, biçimidedir. Y ( ) olma üzere, ( ) = ( + ) Y U () yt = D ut (), fosiyouu esirli * ( ) Γ ( + ) Γ + + İspat. Kesirli diferasiyel döüşüm taımıda, ( + ) Y( ) = D D [ u() t ] = D [ u() t ] Γ + Γ + ( ) * * t= t * t= t ( ) yazılabilir. Buula birlite, u( t ) i diferasiyel döüşümü U ( ) (4..7) olma üzere,

26 olup, U( ) = D [ u() t ] Γ + * t= t ( ) ( + ) U( + ) = D* [ u() t ] Γ + + D ( ( ) ) ( + ) * () [ u t ] t= t ( ( ) ) U( ) =Γ yazılabilir. Elde edile bu ifade (4..7) de yerie yazılırsa, elde edilir i bu da ispatı tamamlar. ( ) = ( + ) Y U ( ) Γ ( + ) Γ + + t= t Souç 4... Bir Y ( ) biçimidedir. olma üzere, yt () = Dut (), fosiyouu esirli diferasiyel döüşümü, * ( ) = U( + ) Y ( ) Γ ( + ) Γ + + Souç Bir y ( t) = u( t) v( t), fosiyouu esirli diferasiyel döüşümü, Y( ) olma üzere, biçimidedir. ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) Y U r V r U r V r r= Souç Bir y( t) olma üzere, p = t, fosiyouu esirli diferasiyel döüşümü, Y( ), = p/, Y( ) = δ ( p) = diger biçimidedir.

27 5. DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE KESİRLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ Tam değerli olmaya türev ve itegral, teoride ço eside beri bilimesie arşılı fizi, imya ve mühedisli gibi bilimlerdei uygulamalarıa so döemlerde rastlamatadır. Bir ço fizisel olgu esirli diferasiyel delemlerle ço başarılı bir şeilde açılaabildiğide esirli diferasiyel delemleri çözümleri içi yapıla çalışmalarda bir ço gelişmeler meydaa gelmiştir. Kesirli diferasiyel delemleri çözümleride özellile Laplace ve Fourier döüşümleri gibi bir ço aaliti yalaşımlar ortaya oulmuş, aca bu yötemler esirli diferasiyel delemleri lieerli, sabit atsayılı olup olmadığı gibi özel hallerii çözümleride işe yarayabilmiştir. Açıtır i, bir ço esirli diferasiyel delem lieer veya sabit atsayılı olamayacağı gibi tam çözümlerii de buluamaması doğaldır. Bu tip durumlarda yalaşı veya ümeri çözümler açıılmaz hale gelir. Bu yüzde so döemlerdei çalışmalarda farlı iteratif yötemler ve Adomia ayrışma metodu gibi yalaşı yötemlere ağırlı verilmiştir. Bu bölümde de diferasiyel döüşüm yötemi esirli diferasiyel delemlere uygulaara, esirli diferasiyel döüşüm olara adladırılacatır. Bu yötem; hem lieer hem de lieer olmaya delemlere uygulaabildiğide ve buula birlite adi ve ısmi türevli diferasiyel delemlerde de olduğu gibi bir esirli diferasiyel delemi bir cebirsel deleme çevirere çözdüğü içi olduça iyi ve ullaışlı bir yötem olara arşımıza çımatadır.

28 3 5.. Kesirli Difreasiyel Delemlere Yötemi Uygulaması Bu başlı altıda esirli diferasiyel delemleri çözümleri geelleştirilmiş Taylor formülü ullaılara iceleecetir. Bu yötem so derece ullaışlı olup birço tiptei öemli esirli diferasiyel delemleri çözümüe uygulaabilirdir. Problem 5... D y + f ( t) y = g( t), t >, m < m başlagıç değer problemi; f (t) ve g t) C olma üzere, ( D y + f ( t) y = g( t), t >, m < m (5..) ( j y ) () = c j, j=,,,(m-) (5..) başlagıç değer problemi içi, öcelile (5..) eşitliğii döüşümü alıırsa, p = içi diferasiyel q Y + q + p Γ q + + q r= Γ q ( p) + F () r Y ( r) G () q q q = olara buluabilir. Burada, Yq ( ), Fq ( r) ve ( ) q (5..3) G q sırasıyla y ( t), f ( t) ve g(t) fosiyolarıı döüşüm fosiyolarıdır. (5..) başlagıç oşuluu diferasiyel döüşümü yapıldığıda q ( ), j=,,,(m-) Y qj = c (5..4) j elde edilir. (5..4) şartıı ve =... içi Y q ( ) = eşitliğii (5..3) te yerie yazara gereli tüm Y q () atsayıları elde edilir. Böylece ters diferasiyel döüşüm yardımıyla problemi çözümü elde edilebilir. Öre 5...[Oldham 969] Şimdi eletrot geişlemeleridei voltaj teoriside ullaıla t d dx / / w y + t y = (5..5) y () = π (5..6)

29 4 başlagıç değer problemii diate alalım. Burada w, w = μ biçimide olacağı diate alıırsa, (5..5) delemi düzeleere d dx / / μ y + t y = t / dır. Bu durumda yazılabilir. Bu durumda (5..7) delemii diferasiyel döüşümü alıdığıda Y elde edilir. Burada, + 3 Γ + + r= Γ ( ) + δ ( r (μ ) Y ( r) = δ ( ) + ( ) (5..7) ) (5..8) döüşüm fosiyou ve δ ( ) da Dirac fosiyoudur. Y (5..6)başlagıç oşuluu diferasiyel döüşümü alıırsa, Y () = π = Γ elde edilir. Böylece, =... içi Y ( ) olacağıda, Y ( ) = Y ( ) =... = Y ( ) = = bulumuş olur. =- içi (5..7) de bu değerler yerie yazılırsa, + 3 Γ + Γ δ r= Y () + δ ( r (μ ) ) Y ( r) = ( ) yazılabilir. Böylece Y () elde edilir. = i ( i =...μ ) içi (5..7) = Y buluur. Bu durumda = μ delemide ( ) = Y ( 3) =... = Y ( μ ) içi, = Y ( μ ) elde edilir. = μ + içi, = Y μ Γ + () = μ Γ + μ Γ + π μ Γ +

30 5 Y μ + Γ + μ + Γ + ( μ + ) = Y () = buluur. Bu elde edileler (5..8) de yazılırsa Y μ + r Γ + Γ + lw j j + = Y = ( ) ( r) μ + r l= Γ( + lw) Γ + ( μ r) elde edilir. Ters diferasiyel döüşüm ullaılara, w ( ) yt () = Y () t = ( ) x = = l= Γ + lw Γ + ( lw) for r = jμ, for r jμ. elde edilir i bu çözüm [Oldham, 974] de de uvvet serisi yötemiyle elde edilmiştir. Problem 5... D m y + ad y + by = g( t) t >, m < m başlagıç değer problemi; g ( t) C olma üzere, D m y + ad y + by = g( t) t >, m < m (5..9) başlagıç değer problemi içi, (5..9)eşitliğii ( j y ) () = c j, j=,,,(m-) (5..) p = içi diferasiyel döüşümü q alıırsa, yt () ve (t) fosiyolarıı döüşüm fosiyoları sırasıyla G q ( ) olma üzere, Y g Y ( ) + q + mq Γ q + q Γ q + q + p Γ q + q Γ q ( + mq) + ay ( + p) + by ( ) G ( ) q q q = q q ve (5..) buluur. Burada, (5..) başlagıç oşuluu diferasiyel döüşümü yapıldığıda q ( ), j=,,,(m-) Y qj = c (5..) j

31 6 elde edilir. (5..) şartıı ve =... içi Y q ( ) = eşitliğii (5..3) te yerie yazara gereli tüm Y q () atsayıları elde edilir. Böylece ters diferasiyel döüşüm yardımıyla problemi çözümü elde edilebilir. Öre 5..: Şimdi m = içi d y d y wy 8, t, dt delemii diate alalım ve + + = > (5..3) dt y()=, y '() = (5..4) p = = olduğuu abul edelim. Gereli temel q işlemlerde sora (5..3)delemii diferasiyel döüşümü, + 3 Γ + 3 Γ Y 4 δ + Γ Γ + elde edilir. Bu ifade düzeleirse, ( ) ( ) + + Y + + w Y ( ) = 8 Y ( + 4) = 4 8δ Y + 3 Γ + Γ ( + 4)( + ) ( + ) w Y ( ) yazılabilir. (5..4) başlagıç şartıı döüşümü alıdığıda da Y () =, Y () =. (5..5) (5..6) elde edilir. Böylece, (4.6) şartıı ve =... içi Y ( ) = şartıı (5..5) de yerie yazarsa,

32 7 Y () = w Y (8) = 3 Y (9) = Y (3) = Y (4) = 4 Y (5) = Y (6) = Y (7) = Y () =.6667 Y () =.5558w Y () =.w 4 for = 3, for =, for =, for =, for =, for = 3, for = 4, for = 5, for = 6, for = 7, for = 8, değerleri elde edilir. Souç olara { } ( ) = Y serisii diferasiyel ters döüşümü ve w = olduğu diate alıara. mertebede yalaşı çözüm / 7 / 4 5 / y( t) = Y ( ) t = 4t.68778t.33333t t t +.t = olara elde edilmiş olur. 6. Öre / dy d y + y / dx dx = (5..7) y ( ) = ((5..8) lieer olmaya başlagıç değer problemii göz öüe alalım. p = = içi q (5..7) ve (5..8) delemlerii sırasıyla diferasiyel döüşümleri alıdığıda ve Γ Γ Y( + ) + Y( + ) Y( ) Y + + ( ) = (5..9) Γ Γ Y () (5..) = elde edilir. Bu durumda (5..9) delemi (5..8) de yerie yazıldığıda, = içi

33 8 Y ( ) =. 8 elde edilir. Daha sora sırasıyla =,,, içi Y Y Y Y Y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 3, = 3 = 5.65, = 4 =.773, = 5 =.34, = 3 6 = , = 4 buluabilir. Bu şeilde (5..7)- (5..8) problemii çözümü içi 6 terimli esirli diferasiyel döüşüm yalaşımı 6 y( t) = Y = ( ) t =.8t / / + 3t 5.65t 3/ +.773t.34t 5/ t olara elde edilmiş olur. Aşağıdai tabloda ise sırasıyla 6, 8 ve terimli esirli diferasiyel döüşüm yalaşımları 6., 8. ve. mertebeli döüşümler olara ifade edilere elde edile souçlar verilmiştir. 3 y (t) t 6. mertebe FDT metodu 8. mertebe FDT metodu. mertebe FDT metodu Tablo.5..

34 9 6. BAGLEY TORVİK DİFERENSİYEL DENKLEMİNİN DİFERANSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ VE DİĞER METODLARLA KARŞILAŞTIRILMASI () () () Ay t + BD y t + Cy t = t t > ; (6..) t3, geel Bagley-Torvi delemide başlagıç şartları ( ), ( ) y = y = (6..) şelide verilsi. Zama adımıı h olara alalım. Problemi birici mertebe yalaşımı 3 m 3 ( m m m ) j m j m j= Ah y y + y + Bh w y + Cy = f( m) (6..3) halide verilsi.burada m =,3, içi ve y y h = = (6..4) y, m =,,, içi y = y( mh), f = f ( mh) şelide alıacatır. (6..3), (6..4) m m yaısamasıı ullaara, ümeri çözümü elde etme içi y y m m 3 ( m m ) + ( m m ) j m j j= h f Cy A y y B h w y =, m=,3, (6..5) A+ B h =, y = algoritmasıı türetebiliriz. (6..5) algoritmasıa göre yapıla hesaplamalarda elde edile souçlar, sabit atsayılı esirli diferasiyel delemler içi verile Gree fosiyouu yardımıyla elde edile aaliti souçlarla örtüşmetedir (Podluby[999]). (6..) ve (6..) başlagıç değer problemlerii aaliti çözümü t 3 (6..6) () ( ) ( ) y t = G t τ f τ dτ ( ) C + B G t = t E 3 t (6..7) A A A 3(),! + = j= j ( j+ )! y ( λ λ μ) d Eλμ, ( y) E, ( y),,,, λμ = = dy j! Γ j + +

35 3 delemleri şelide elde edilir. (Podluby[999]). Bu çözümde 8, t f () t = f* () t =, t > ve A=, B=.5, C =.5 şelide alıara aşağıdai h =.5, h =., h =. ve h =.5 içi sırasıyla aşağıdai grafiler çizilmiştir. Bu çözümleri yapıldığı Maple Program odları E.a bölümüde verilmiştir. Şeil 6.. h=.5 içi ümeri çözüm Şeil 6.. h=. içi ümeri çözüm

36 3 Şeil 6..3 h=. içi ümeri çözüm Şeil 6..4 h=.5 içi ümeri çözüm Diferasiyel döüşüm metoduu bir başa uygulaış şeli de verile aralığı gridlere ayırara adım adım gitmetir. Bu yötemde verile dy f ( t, y), a t b dt = (6..8) şelide verile bir delemi [ ab, ] aralığıda { t t t },,, N gibi sabit otalar yardımıyla aralılara bölüere çözüme başlaır. Burada her ( b a) h = içi ti = a+ ih şelide alıacatır. N i=,,, N ve

37 3 Alıa [ ab, ] bölgesi N tae alt bölgeye ayrılır ve i =,,, N içi her alt bölgedei yaısa fosiyolar aşağıdai şeilde gösterile yi () t fosiyolarıdır. (6..8) delemie diferasiyel döüşüm yötemi uyguladığıda, döüştürülmüş fosiyo ve y( t) fosiyou arasıdai spetrum ( ) Y( ) F( Y( ) ) şelide gösterilir. Burada F (.), (, ( )) göstermetedir. ( ) y elde edilir. İl alt bölgede, + + = (6..9) = başlagıç oşulu altıda Y ( ) f t y t fosiyouu döüşmüş halii = (6..) yt () fosiyou y () t şelide taımlaabilir. (6..9) ve (6..) eşitlileride, y () t fosiyou a otasıda. mertebede Taylor poliomlarıı elemaları olara y ( t) = Y ( ) + Y ( )( t a) + Y ( )( t a) + + Y ( )( t a) (6..) şelide ifade edilebilir. Burada ifadesi Taylor poliomouu civarıda açıldığıı göstermetedir. Taylor açılımı elde edildiğide, ( ) ( ) y t y t t = aotası y( t ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = Y + Y t a + Y t a + + Y t a = Y + Y h+ Y h + + Y h (6..) j Y ( j) h j= = şelide gösterilebilir.

38 33 İl alt bölgedei y( t ) i so değeri iici alt bölgei başlagıç değeri olacatır, yai y ( t ) Y ( ) y ( t ) Böylece = = olacatır. Ayı yol izleere ( ) ( ) y t y t ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = Y + Y t t + Y t t + + Y t t = Y + Y h+ Y h + + Y h j Y ( j) h j= = ( t i + ) otasıdai çözüm y( ti+ ) yi( ti+ ) = Yi( ) + Yi( )( ti+ ti) + Yi( )( ti+ ti) + + Yi( )( ti+ ti) = Y ( ) + Y ( ) h+ Y ( ) h + + Y ( ) h i i i i j Yi ( j) h j= = olara elde edilecetir.(jag[]) Bagley -Torvi delemii 3 (6..3) (6..4) d y d y A + B + Cy = f( x ) (6..5) 3 dx dx şelide alalım. Başlagıç oşulları da ( ), ( ) y = y = olara verilsi. Delemi atsayıları A=, B=.5, C =.5 ve f ( x ) fosiyou da 8, < x < f( x) =, x > şelide verilsi.bu durumda (6..5) delemi 3 * * * * D* y( x ) + D* y( x ) + y( x ) = f ( x ) (6..6) halie gelir. Yuarıdai eşitliğe diferasiyel döüşüm metodu uyguladığı zama ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Γ Γ Y Y( + 4) + Y( + 3) + = F Γ + Γ + eşitliğii elde ederiz. = ve * x = x x i yazıldığı zama ( )

39 Γ Γ Y( ) Y( + 4) + Y( + 3) + = F + + Γ Γ elde edilir. N = ve h =. seçilirse x.aralığıda ( ) Γ Y ( ) Γ Y ( + 4) = 8δ Y ( 3 + ) Γ Γ delemi elde edilir. Başlagıç oşulları ele alıdığıda elde edilir.ayrıca ( ), ( ), ( ), ( 3) Y = Y = Y = Y = Y 3 Γ Γ() 8 Γ() Γ( 3) 4 = 8, Y ( 5) = Γ( 3) Γ( 3) 3 7 Γ Γ ( ) yazılara bu atsayılarda buluur.burada ters döüşüm yapıldığı zama yazılır. Böylece 5 ( ) = ( ) + ( ) + + ( 4) + ( 5) Y x Y Y x Y x Y x (.) ( ) ( ) y = Y = y iici seçile başlagıç şartları elde edilmiş olur ve bu alt aralı içide ayı prosedür uygulaır. Yuarıdai işlemler uyguladığı zama elde edile verilerle çizile grafiler aşağıda verilmiştir. Bu çözümde ullaıla Maple Program odu E.b de verilmiştir.

40 35 Şeil 6..5 h=. içi FDT metodu Şeil 6..6 h=.5 içi FDT metodu Değişi h değerleri içi çizile grafilerde elde edile souçlarda da alaşıldığı üzere Diferasiyel Döüşüm Yötemi esirli diferasiyel delemleri çözümü içi uygu ve elde edile souçlar göz öüe alıdığıda ullaışlı bir yötemdir.

41 36 7.GENEL SONUÇ VE ÖNERİLER Bu çalışmada diferasiyel döüşüm yötemi ve bu yötemi esirli diferasiyel delemlere uygulaması haıda bilgi verilmiştir. Ayrıca yöteme ilişi mevcut formüllere yei formüller ifade ve ispat edilere geiş bir döüşüm tablosu hazırlamıştır. Ayrıca esirli türev ve atlarıı ihtiva ede, literatürde öemli bir yere sahip ola Bagley-Torvi delemii de bu yötemle çözümü yapılmış elde edile souçları alitesi daha öce yapıla souçlarla arşılaştırara belirtilmiştir. Diğer tarafta çalışmaı souda döüşüm fosiyoları ouyucuu olayca ullaımı açısıda tablo şelide verilmiş, ayrıca çalışmaı içide geçe problemleri çözümüde ulladığımız bazı Maple programları yazılmıştır. Diferasiyel döüşüm yötemi ullaım açısıda ve bilgisayara uygulaabilirliğide dolayı diğer yalaşı çözüm yötemleriyle ıyaslama yapıldığıda söz ousu yötem daha olay bir yötemdir. Diğer yötemlerde arşılaşıla armaşı itegralleri yerie bu yötemde cebirsel delemler elde edilir ve bu cebirsel delemler ile delem olayca bilgisayara taıtılıp çözümler hesaplaabilir.

42 37 8 TABLO VE MAPLE KODLARI Tablo 8. 3 Fosiyo Diferasiyel Döüşüm Fosiyou w(x) d W()= w( x)! dx w(x)=u(x)± v(x) x= W()=U() ± V() w(x)=c u(x) (c R ) W()=c U() (c R ) 4 d w(x)= u(x) dx ( + )! W()=(+)U(+)= U(+)! r d ( + r)! w(x)= u(x) W()=(+)(+)...(+r)U(+r)= U(+r) r dx! d r q ( ) = u( x) W ( ) = U ( + r ) w x dx r q w(x)=u(x)v(x) W()=U() V()= q q + q+ r Γ q + q Γ q r= U ( r) V ( r) 8 9 r q d w x u x v x r dx q ( ) = ( ) ( ) w(x)=u(x)v(x)s(x) w(x)=u(x) d dx v ( x ) =u(x)v (x) w(x)=u (x)v (x) ( ) = ( + ) ( + ) W U s r V s q q q s= W()=U() V() r S()= U ( r) V ( t) S( r + t) r= t= s+ q+ Γ q s+ q Γ q W()= ( r + )( r + ) U ( r) V ( r + ) r= W()= ( r + )( r + ) U ( r + ) V ( r + ) r=

43 38 d w(x)=u(x)v(x) s( x) dx W()=U() V() (+)(+)S(+) 3 4 m 5 w(x)=x m, = m W()= δ (-m)=, asi halde w(x)=x Wq ( ) w(x)=a, a R m, = mq. / = δ = q, diğer W()=aδ () 6 7 w(x)=ax, a R W()=aδ(-) w(x)=ax, a R W()=aδ (-) 8 w(x)=ax 3 +bx +cx, a,b,c R 9 w(x)=(+x) m W()=aδ (-3)+bδ (-)+cδ () W()= m( m )( m )...( m + ), m ve m >!, m = a π w(x)=si(ax+b) W()= si + b)! w(x)=cos(ax+b) w(x)= ax W()= a π cos + b)! a W()= (l)! w(x)= e ax a W()=! w(x)= e ax+b a W()= e b! w(x)=l(ax+b), a>, b> W()= + ( ) a b, >

44 39 6 w(x)=sih(ax+b) a W()= e! b,, te çift ise ise 7 w(x)=cosh(ax+b) W()= a e! b, te ise, çift ise w(x)= x x w(x)=v(x) w(x)= w(x)= w(x)= x x x x x U ( ) ( )! u( t) dt W()= = U(-)! x x ( )! U ( r ) u( t) dt W()= V() U(-)= V ( r)! r r = ( )! u( t) v( t) dt W() = ( U(-) V(-) )! x x x x x ( )! u( t) dt W() = U(-)! x x x ( )!... u( t) dt W() = U(-)! w(x,y) w(x,y)=u(x,y)± v(x,y) x W(,h)=! h! x + h w x, y) h h (,) ( W(,h)=U(,h) ± V(,h) w(x,y)=c u(x,y) (c R ) W(,h)=c U(,h) (c R ) ( + )! w(x,y)= u(x,y) W(,h)=(+)U(+,h)= U(+,h) x! w(x,y)= r x r u(x,y) w(x,y)= u(x,y) y w(x,y)= s y s u(x,y) w(x,y)=u(x,y)v(x,y) ( + r)! W(,h)=(+)(+)...(+r)U(+r,h)= U(+! h) ( h + )! W(,h)=(h+)U(,h+)= U(,h+) h! ( h + s)! W(,h)=(h+)(h+)...(h+s)U(,h+s)= U(,h h! +) h W()=U(,h) V(,h)= V( r, h s) U ( r, s) r= s=

45 4 4 w(x,y)=x m y, = m veh = ise W(,h)=δ (-m,h-)=, asi halde 4 43 w(x,y)=axy, a R w(x,y)=ax 5 y 7, a R W(,h)=aδ (-,h-) W(,h)=aδ (-5,h-7) 44 w(x,y)=axy+bxy 6 +cy 5, a,b,c R 45 w(x,y)=u(x,y)v(x,y)s(x) W(,h)=aδ (-,h-)+ bδ(-,h-6)+ cδ(,h-5) W()=( U(,h) V(,h) ) S(,h) 46 w(x,y)=u(x,y) x h W(,h)= ( r + )( r + ) U(r,h-s)V(- r= s= w(x,y)= u(x,y) x W(,h)= ( r + )( r + ) U(r+,h-s)V(- r= s= h w(x,y)= u(x,y) W(,h)= y ( s + )( h s + ) U(r,h-s+)V(- w(x,y)= u(x,y) x h r= s= W(,h)= ( r + )( h s + ) U(- r= s= w(x,y)=e ax+by+c a b h W(,h)= e c! h! w(x,y)= ax+by+c a b h W(,h)= l( ) +h! h! a b h π w(x,y)=si(ax+by+c) W()= si ( + h) + c! h! w(x,y)=cos(ax+by+c) w(x)=sih(ax+by+c) W()= h a b h π cos ( + h) + c! h! h a b W()= e! h! c,, te çift ise ise 55 w(x)=cosh(ax+by+c) W()= a! h b e h! c,, te ise çift ise

46 w(x,y,t) w(x,y,t)=u(x,y,t) ± v(x,y,t) w(x,y,t)=c u(x,y,t), c R + h+ m W(,h,m)=!!! h h m x y t m w( x, y, t) W(,h,m)=U(,h,m) ± V(,h,m) W(,h,m)= c U(,h,m) (,,) ( + )! 59 w(x,y,t)= u(x,y,t) W(,h,m)=(+)U(+,h,m)= x! U(+,h,m) 6 w(x,y,t)= u(x,y,t) y ( h + )! W(,h,m)=(h+)U(,h+,m)= h! U(,h+,m) ( m + )! 6 w(x,y,t)= u(x,y,t) W(,h,m)=(m+)U(,h,m+)= t m! U(,h,m+) r+ s+ p 6 w(x,y,t)= r s p x y t ( + r)! W(,h,m=! ( h + s)! h! ( m + p)! m! U(+r,h+s,m+p) 63 w(x,y)=u(x,y,t)v(x,y,t) W(,h,m)= W(,h,m)= U(,h,m) V(,h,m) h m r= s= p= U(r,h-s,m-p)V(-r,s,p) 64 w(x,y,t)= h m x W(,h,m)= (-r+)(h-s+)u(r+,s,p)v(r,s+,m-p) r= s= p= u(x,y,t) v(x,y,t) y 65 w(x,x,...,x ) x x W(,,..., )=... x w( x, x!!...,..., x )! x = x = x = 66 w(x,x,...,x )= u(x,x,...,x )± v(x,x,...,x ) W(,,..., )= U(,,..., )± V(,,..., )

47 4 67 w(x,x,...,x )=c u(x,x,...,x ),c R W(,,..., )= c U(,,..., )

48 43 KULLANILAN MAPLE KODLARI EK.a Bagley-Torvi delemii ümeri olara elde edilmesi içi yazıla Maple programı > restart: h:=.:a:=:b:=.5:c:=.5: y[]:=:y[]:=: for from to do f[]:=8: od: for m from to do t[m]:=: for j from to m do t[m]:=t[m]+(-)^j*biomial(3/,j)*y[m-j]: od: y[m]:=(h^*(f[m]-c*y[m-])+a*(*y[m-]-y[m-])- B*sqrt(h)*t[m])/(A+B*sqrt(h)): prit(m*h,y[m]): od: for from to 5 do f[]:=: od: for m from to 5 do t[m]:=: for j from to m do t[m]:=t[m]+(-)^j*biomial(3/,j)*y[m-j]: od: y[m]:=(h^*(f[m]-c*y[m-])+a*(*y[m-]-y[m-])- B*sqrt(h)*t[m])/(A+B*sqrt(h)): prit(m*h,y[m]): od: >

49 44 E.b Bagley-Torvi delemii Diferasiyel Döüşüm yötemiyle çözümüe ilişi Maple Programı > restart: Digits:=: y[,]:=:y[,]:=:y[,]:=: for from to do v[]:=coeftayl(8,x=,): od: for from to do l:=*: f[(l)]:=v[]: f[((l+))]:=: od: f[-]:=: for j from to. by. do y[j,3]:=y[j,]*gamma(.)/gamma(5/.)/.: for from to do y[j,+4]:=(f[]-y[j,]/.- GAMMA((+5)/.)*y[j,+3]/GAMMA((+)/.)/.)*GAMMA((+)/.)/GAMMA( (+6)/.): od: t[j]:=: for from to do t[j]:=t[j]+y[j,]*(x-j)^(/.): od: prit(t[j],t[j]): y[j,]:=subs(x=j,t[j]): y[j+.,]:=subs(x=j+.,t[j]): y[j+.,]:=-y[j,]/4: y[j+.,]:=subs(x=j+.,diff(t[j],x)): prit("ocei ota",j,y[j,]): prit("ileri ota",j+.,y[j+.,]): prit("turev",j+.,y[j+.,]): od: for j from. to by. do y[j,-]:=: for from - to do y[j,+4]:=(-y[j,]/- GAMMA((+5)/.)*y[j,+3]/GAMMA((+)/.)/)*GAMMA((+)/.)/GAMMA(( +6)/.): od: t[j]:=: for from to do t[j]:=t[j]+y[j,]*(x-j)^(/): od: prit(t[j],t[j]): y[j,]:=subs(x=j,t[j]):

50 y[j+.,]:=subs(x=j+.,t[j]): y[j+.,]:=-y[j,]/4: y[j+.,]:=subs(x=j+.,diff(t[j],x)): prit("ocei ota",j,y[j,]): prit("ileri ota",j+.,y[j+.,]): prit("turev",j+.,y[j+.,]): od: for from to by. do f[]:=piecewise(x<+. ad x>,t[],x=+.,t[+.]): od: g:=: for from to by. do g:=g+f[]: od: plot(g,x=..); 45

51 46 Kayalar Abdel-Halim Hassa, I.H. O solvig eigevalue problems by usig a differetial trasformatio, Applied Mathematics ad Computatio; 7, -,. Abdel- Halim Hassa, I.H. Differet Applicatios for the differetial trasformatio i differetial equatios, Applied Mathematics ad Computatio; 9, 83-,. Abdel- Halim Hassa, I.H. Differetial Trasformatio techique for solvig higher-order iitial value problems, Applied Mathematics ad Computatio; 54, 99-3, 4. A.M.A. El-Sayed, A.E.M. El-Mesiry, H.A.A. El-Saa Numerical solutio for multiterm fractioal (arbitrary) orders differetial equatios Computatioal ad Applied Mathematics, 3, 33-54, 4 Arioğlu, A., Özol I. Solutio of boudry value problems for itegrodifferetial equatios by usig differetial trasform method, Applied Mathematics ad Computatio, 4. Arioğlu, A., Özol I. Solutio of differetial differece equatios by usig differetial trasform method, Applied Mathematics ad Computatio, 8,, 6, C. Tris, P. Ruge, Treatmet of dyamic systems with fractioal derivatives without evaluatig memory-itegrals, Computatioal Mechaics, 9,, Che, C.K., Ho, S.H. Applicatio of differetial trasformatio to eigevalue problems, Applied Mathematics ad Computatio; 79, 79-88, 996. Che, C.L., Liu, Y.C. Differetial trasformatio techique for steady oliear heat coductio problems, Applied Mathematics ad Computatio; 95, 55-64, 998.

52 47 Daftardar-Gejji V., Babahai A. Aalysis of a system of fractioal differetial equatios Joural of Mathematical Aalysis ad Applicatios, Volume 93, Issue, 5 May 4, Pages 5-5. El-Sayed A.M.A. O the fractioal differetial equatios, Applied. Mathematics ad Computatio., 49 99, 5 3. El-Sayed A.M.A. Liear differetial equatios of fractioal orders, Applied Mathematics ad Computatio, 55, 993, -. Ertür V. S., Momai S., Odibat Z. Applicatio of geeralized differetial trasform method to multi-order fractioal differetial equatios Commuicatios i Noliear Sciece ad Numerical Simulatio, I Press, Corrected Proof, Available olie 4 February 7. Ertür V. S., Momai S., Odibat Z. Geeralized differetial trasform method: Applicatio to differetial equatios of fractiaal order Appl. Math. Comput., Submitted. Goreflo R., Maiardi F. Fractioal Calculus: Itegral ad Differetial Equatios of Fractioal Order, ISBN X. Volume No. 378 of the series CISM Lecture Notes, Iteratioal Cetre fort he Mechaical Sciece Palazzo del Torso, Piazza Garibaldi, Udie, İtaly. Jafari H., Daftardar-Gejji V. Solvig a system of oliear fractioal differetial equatios usig Adomia decompositio Joural of Computatioal ad Applied Mathematics, Volume 96, Issue, 5 November 6, Pages Jafari H., Daftardar-Gejji V. Aalysis of a system of oautoomous fractioal differetial equatios ivolvig Caputo derivatives Joural of Mathematical Aalysis ad Applicatios, Volume 38, Issue, 5 April 7, Pages Jafari H., Daftardar-Gejji V. Revised Adomia decompositio method for solvig systems of ordiary ad fractioal differetial equatios Applied Mathematics ad Computatio, Volume 8, Issue, October 6, Pages

53 48 Jafari H., Daftardar-Gejji V. Solvig a multi-order fractioal differetial equatio usig adomia decompositio Applied Mathematics ad Computatio, 89, 7, Jafari H., Daftardar-Gejji V. Adomia decompositio: a tool for solvig a system of fractioal differetial equatios Joural of Mathematical Aalysis ad Applicatios, Volume 3, Issue, 5 Jauary 5, Pages Jag, M.J., Che, C.L., Liu, Y.C. O the solvig iitial value problems usig the differetial trasform method, Applied Mathematics ad Computatio; 5, 45-6,. Joh T. Edwards, Neville J.Ford, A. Charles Simpso, The umerical solutio of liear multiterm fractioal differetial equatios Joural of Computatioal ad Applied Mathematics, 48,(), 4-48 Kesi Y., Kuraz A., Kiriş, M.E., Oturaç, G. Approximate solutio of Geeralized Patograph Equatios by the differetial trasform method, Iteratioal Joural of Noliear Scieces ad Numerical Simulatio, 8,, 7. Kuraz A., Oturaç, G. The differetial trasform approximatio for the system of ordiary differetial equuatio, Iteratioal Joural of Computer Mathematics, 8 5, Lu J. G., Che G. A ote o the fractioal-order Che system. Chaos, Solitos & Fractals, 7, 6, 3, Lucho Y., Srivastava H.M. The exact solutio of certai differetial equatios of fractioal order by usig operatioal calculus, Comput. Math. Appl. 9, 995, Lucho Y., Goreflo R. The iitial value problem for some fractioal differetial equatios with the Caputo derivative, Preprit Series A8-98, Fachbereich Mathemati ud Iformatic, Freie Uiversitat Berli, 998. Momai S. ad Odibat Z. Numerical compariso of methods for solvig liear differetial equatios of fractioal order Chaos, Solitos & Fractals, Volume 3, Issue 5, March 7, Pages

54 49 Momai S., Shawagfeh N. Decompositio Method for solvig fractioal Riccati differetial equatios Applied Mathematics ad Computatio, 8, 7, Pages Momai S., Noor M. A. Numerical methods for fourth-order fractioal itegro- differetial equatios Applied Mathematics ad Computatio, 8, 6, Pages Momai S. ad Odibat Z. Numerical methods for oliear partial differetial equatios of fractioal order Applied Mathematics ad Computatio,***, 6,***-*** Odibat Z., Shawagfeh N. T. Geeralized Taylor s Formula Applied Mathematics ad Computatio, Volume 86, Issue, March 7, Pages Odibat Z., Momai S. Applicatio of variatioal iteratio method to oliear differetial equatios of fractioal order, Iteratioaal Joural of Noliear Scieces ad Numerical Simulatio, 7, 6,, Ocedo J.R., Tayler A.B. The dyamics of a curret collectio system for a electic locomotive Proc. Royal Soc. Lodo Ser. A 3 (97), Oldham K.B., Spaier J. The Fractioal Calculus, Academic Press, New Yor, 974. Oturaç G., Kuraz A., Kesi Y. A ew Aalytical Approximate Method for the Solutio of Fractioal Differetial Equatio teratioal Joural of Computer Mathematics 7.(I Press). Ray S.S., Bera R.K. A approximate solutio of a oliear fractioal differetial equatio by Adomia decompositio method, Applied Mathematics ad Computatio, 67, 5,, Shawagfeh N.T. Aalytical approximate solutios for oliear fractioal differetial equatios, Applied Mathematics ad Computatio, 3,, -3, Ertür V.S., S. Moami, Z. Obidat, Applicatio of geerelized differetial trasform method to multi order fractioal differetial equatios, Commuicatios i Noliear Sciece ad Numerical Simulatio, ***, (7), ***