KOMPOZİT ÇERÇEVELERİN DOĞAL FREKANSLARININ YAPI BOYUTLARINA VE FİBER AÇILARINA GÖRE DEĞİŞİMİNİN İNCELENMESİ

Transkript

1 T.C. DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ KOMPOZİT ÇERÇEVELERİN DOĞAL FREKANSLARININ YAPI BOYUTLARINA VE FİBER AÇILARINA GÖRE DEĞİŞİMİNİN İNCELENMESİ BİTİRME PROJESİ Hasan GÜNAL Projeyi Yöneten Prof. Dr. Mstafa SABUNCU Haziran 7 İZMİR

2 TEZ SINAV SONUÇ FORMU B çalışma / /. günü toplanan jürimiz tarafından BİTİRME PROJESİ olarak kabl edilmiştir. Yarıyıl içi başarı not yüz tam not üzerinden.. dir. Başkan Üye Üye Makine Müendisliği Bölüm Başkanlığına,.. nmaralı jürimiz tarafından / /. günü saat da yapılan sınavda yüz tam not üzerinden. almıştır. Başkan Üye Üye ONAY

3 TEŞEKKÜR Bir kompozit çerçevenin titreşim analzini yaptığım b projede sonl elemanlar yönteminin ve titreşim teorisinin öğrenilmesinde katkılarını esirgemeyen Prof.Dr.Mstafa Sabnc ya teşekkürü bir borç bilirim. Projede Matlab kodlarının yazılmasında ve kaynak blmamda desteğini esirgemeyen Araş.Gör.Dr.Hasan Öztürk e ve Araş.Gör. Kemal Mazanoğl na sonsz teşekkür ederim Son olarak tüm öğrenim yaşamım boynca manevi desteklerinden dolayı aileme ve arkadaşlarıma teşekkürü bir borç bilirim. Hasan GÜNAL

4 ÖZET Teknikte çerçevelerin kllanımı oldkça yaygındır. Özellikle yük taşınmasında sıklıkla kllanılırlar. Malzeme tekniğinin gelişmiyle ve bnn sonc olarak kompozit malzemelerin kllanımının giderek artmasıyla çerçeve gibi ağır yüklerin etkisine marz kalabilecek elemanlarda bile kompozit malzemelerin kllanımı giderek yaygınlaşmaktadır. Frekans davranışı ise özellikle dinamik yüklemeye marz tüm elemanlarda oldkça önemlidir. Sonl elemanlar yöntemi ise özellikle titreşim problemlerinde yaygın olarak kllanılmaktadır. Projenin ikinci bölümünde sonl elemanlar yöntemi ile titreşim analizinin temelleri verilmiş, üçüncü bölümde ise teorik olarak basit bir çerçeve üzerindeki yglanması anlatılmaya çalışılmıştır. Projenin dördüncü bölümünde ise frekans davranışının em kompozit malzemelerin fiber açılarına göre değişimi em de çerçeve boytlarına göre değişimi incelenmiştir. Ayrıca frekans davranışı sabit kesitli olarak em iki em de üç bacaklı çerçevelerde araştırılmıştır. B inceleme için Matlab.5 de program yazılmış zv boytları etkisi incelenmiştir ayrıca yapı sonl elemanlar yöntemi ile makl sayıda elemana bölünerek kütle ve rijitlik matrisleri olştrlp matlab de çözümü yapılmıştır. Bradan blnan sonçlar ise ANSYS. ve SolidorksCosmosorks programları ile karşılaştırılmıştır. Ayrıca ANSYS programında ilk frekansın mod şekillleri incelenip yormlanmıştır.

5 İÇİNDEKİLER Sayfa İçindekiler 5 Şekil Listesi. 7 Tablo Listesi. 8 Grafik Listesi 8 Bölüm Bir GİRİŞ. Kompozit malzemelerin tanıtılması.. 9. Takviye elemanları..matriksler. Kompozit malzeme türleri ve sınıflandırılması.... Temel malzeme yönleri....5 Tabakalı kompozitler Özel tabakalar.. 8. Titreşimle ilgili temel kavramlar. 9 Bölüm İki SONLU ELEMANLAR METODU. Sonl elemanlar yönteminin tarisel gelişimi.. Sonl elemanlar yönteminin temel esasları.. Titreşim analizi için ön teori. Direkt yaklaşım ile eleman rijitlik matrisinin elde edilmesi.5 Enerji yaklaşımı ile rijitlik ve kütle matrislerinin çıkarılması. 9 5

6 Sayfa. Referans sistemler 5.7 Tabakalı kompozitler için efektif bir elastisite modülünün olştrlması... 7 Bölüm Üç ÇERÇEVE İÇİN SONLU ELEMANLAR MODELİNİN KURULMASI. Basit bir çerçeve için sonl elemanlar modelinin olştrlması.... Olştrlan sonl elemanlar modelinin çözümü 8 Bölüm Dört BİLGİSAYAR ORTAMINDA YAPILAN ANALİZLER VE SONUÇLARI. Bilgisayar Ortamında Sonl Elemanlar Yöntemi Kllanılarak Tireşim Analizi 5. Frekans değerleri ve değişimi. 5. Üç bacaklı çerçeve için titreşim analizi Frekans Analizleri Soncnda ortaya çıkan mod şekillerinin irdelenmesi.... SONUÇLAR..7 KAYNAKÇA 7

7 ŞEKİL LİSTESİ Sayfa Şekil.. Farklı tiplerdeki fiber takviyeli kompozit malzemeler Şekil.. Farklı fiber açılarına saip tabakalardan olşan leva Şekil.. Kompozit malzemelerin sınıflandırılması... Şekil.. Kompozit malzemelerde temel malzeme yönleri 7 Şekil.5. Birleştirilmemiş -5/5//9 fiber açılarındaki plakalar... 8 Şekil.5. İki Çapraz kat tabakalrının eksenel ve eğilme deformasyon. 8 Şekil.. Harmonik areket grafiği. Şekil.. Harmonik areket. Şekil.. Bir elemana ait deplasmanlar... Şekil.. Rijitlik matrisinin olştrlmasında temel eleman.. Şekil.. Eğilme titreşimi için temel eleman.. Şekil.. Şekilinterpolasyon fonksiyonları.. 8 Şekil.. Bir elemanda olşan yerdeğiştirmenin lokal ve global koordinat sisteminde gösterilmesi 5 Şekil.7. Kompozit malzemeden yapılmış bir çbk kesitinin şematik gösterimi... 9 Şekil.. Sonl elemanlar modelinin krldğ çok basit bir model Şekil.. Frekans analizi yapılan bacaklı çerçevenin boytları.. 5 Şekil.. İki bacaklı çerçevenin izometrik görünüşü 5 Şekil.. Çerçeve elemanı kesit ölçüleri... 5 Şekil.. Çözüm için gerekli olan doğal frekans mod şekli. 5 Şekil..5 Fiber açılarının gösterimi.. 5 Şekil.. Çerçevenin doğal frekansındaki mod şekli... 5 Şekil.. Üç bacaklı çerçeve modeli Şekil.. Üç bacaklı çerçevenin doğal frekansı sırasında ortaya çıkan mod şekli... Şekil.. İki bacaklı çerçeveye ait bir düzlem dışı mod şekli Şekil.. İki bacaklı çerçevenin 5. frekansındaki mod şekli... Şekil.. İki bacaklı çerçevenin. frekansındaki mod şekli... Şekil.. İki bacaklı çerçevenin 7. frekansındaki mod şekli... Şekil..5 İki bacaklı çerçevenin 8. frekansındaki mod şekli

8 Sayfa Şekil.. İki bacaklı çerçevenin 9. frekansındaki mod şekli... Şekil..7 Üç bacaklı çerçevenin 7. frekansındaki mod şekli. 7 Şekil..8 Üç bacaklı çerçevenin 8. frekansındaki mod şekli. 8 Şekil..9 Üç bacaklı çerçevenin 9. frekansındaki mod şekli... 9 Şekil.. Üç bacaklı çerçevenin. frekansındaki mod şekli... 7 TABLO LİSTESİ Sayfa Tablo.. Kompozit malzeme tipleri 5 Tablo.. Malzeme özellikleri.. 5 Tablo.. Farklı fiber açıları için farklı programlarda blnan doğal frekanslar.. 55 Tablo.. Üç bacaklı çerçeve doğal frekanslarının fiber açısına göre değişimi GRAFİK LİSTESİ Sayfa Grafik.. Çerçeve bacak znlklarının ve fiber açılarının doğal frekansa etkileri..57 Grafik.. Çerçeve bacak znlklarının ve fiber açılarının doğal frekansa etkileri.. 58 Grafik.. Orta parça znlğ ve fiber açısının doğal frekansa etkisi

9 BÖLÜM BİR GİRİŞ. Kompozit malzemelerin tanıtılması [] Kompozit malzemeler son zamanlarda çak ve otomobil parçalarında, raket vb. gibi spor malzemelerinde ve çoğ müendislik yglamalarında kllanım alanı blmştr. Kompozit malzemeler; farklı özelliklere saip birden fazla malzemenin bir araya gelmesiyle olşrlar. Farklı özelliklerdeki malzemelerin bir araya getirilmesindeki amaç kompozit malzemelere düşük ağırlık, yüksek mkavemet, yüksek korozyon dayanımı, ygn termal özellik, ygn aşınma ve yorlma dayanımı gibi özellikleri kazandırmaktır. Kompozit malzemeler; genel itibariyle matriks içerisinde fiber içeren lifli kompozitler, farklı malzemelere saip tabakalardan olşan tabakalı kompozitler ve matriks içerisinde partikül blnan partiküllü kompozitler olarak sınıflandırılabilirler. Kompozit malzemeler; ana faz ve tali faz olarak iki temel kısımdan olşr. Ana faz bağlayıcı vazifesi yapıp matriks olarak, tali faz ise taşıyıcı vazifesi yapıp fiber olarak adlandırılır. Matriks, yüksek gerilmelere karşı tabakaları kormakta iken tali faz ise gerilmeşekil değiştirme davranışını kontrol eder. Fiber takviyeli kompozit malzemelerde fiberler; tek yönlü, çift yönlü, sürekli, süreksiz, örgülü ve gelişi güzel dağılabilir Şekil... Levalar ise, farklı fiber açılarına saip tabakaların birleştirilmesi sonc olşrlar Şekil.. 9

10 Kompozit malzemelerde fiber yönü çok dayanıklı olp fiber yönüne dik yönde ve kayma yönünde dayanıklılık oldkça düşüktür. B nedenle kllanım alanına ve amacına göre ygn özelliklerde kompozit malzemeler üretilmelidir. Kompozit malzemeler üretilirken de malzemelerin mekanik özelliklerini etkileyen iç boşlk, asarlı fiber, ygn olmayan açıda fiber yerleşimi ve kalınlık değişimi gibi drmlar söz kons olabilir. Tüm b üretim ksrlarını bertaraf etmek olanaksızdır. Şekil.. Farklı tiplerdeki fiber takviyeli kompozit malzemeler

11 Şekil.. Farklı fiber açılarına saip tabakalardan olşan leva Tabakalı kompozit malzemelerde; asar analizi açısından elastik, plastik ve artık gerilmeler önemli bir yer ttmaktadır. Malzemelerde kalıcı deformasyon ve artık gerilmeler akma gerilmesini aştıktan sonra olşmaya başlar ve gerilmeyle orantılı olarak artar. Kompozit malzemeler; çoğ doğal ve biyolojik yapıda blnabilir. En çok rastlanan doğal kompozit malzeme odndr. Eski Ynan ve Mısır ygarlıklarında; odnn ısıl büyüme ve nem ttma özellikleri kllanılarak daa kaliteli ürün elde etmek amacıyla kontrplak üretilmiştir. Vücdmzda blnan kas ve kemikler iskelet sistemimizin taşıyıcı vazifesi yapan fiberleridir. Modern kompozit malzemeler daa yüksek katılık/ağırlık oranlarında kllanılmaktadır.

12 En çok kllanılan kompozit malzeme türü olan fiber camlar 95 li yıllarda tekne yapımında ve otomobil karoserlerinde kllanılmıştır. Uçak yapımında da yglama alanı blan cam fiberler ilk olarak Boeing 77 de ağırlık olarak % oranında, daa sonra Boeing 777 de % oranında kllanılmıştır. B oran daa özel tasarımlarda %5 değerine kadar artmıştır. Yüksek ız çaklarında aerodinamik etkiye ve yüksek sıcaklıklara dayanabilecek karoserler yine kompozit malzemelerden yapılmıştır. Kompozit malzemelerin kllanım alanları sadece avacılıkla sınırlandırılamaz. Spor ve elektronik malzemelerin yapımında, gemi ve otomobil tasarımlarında ve protez gibi tıbbi malzeme yapımında da kompozit malzemelere rastlanılmaktadır. Şimdi kompozit malzemeyi olştran temel yapılar üzerinde dralım.. Takviye Elemanları [] Kompozit malzemelerde takviye elemanı olarak fiberler kllanılmaktadır. Fiberler mkavemet ve rijitlik sağlarlar. En çok kllanılan fiber türleri aşağıda anlatıldığı gibidir. Cam Fiberler: Cam fiberler orta maliyette olmasına karşın mekanik, kimyasal ve elektriksel özellikleri oldkça iyidir. Daa çok çak panelleri, roket motorları, elikopter rotor pervaneleri, basınçlı kaplar ve spor malzemeleri yapımında kllanılırlar. Karbon Fiberler: Karbon fiberler yüksek performanslı kompozit yapılarda en çok kllanılan takviye elemanlarıdır. Daa çok sni ipek ve poliakrilonitrilden PAN yapılırlar. Karbon fiber takviyeli kompozit malzemelerin mkavemet ve rijitlikleri cam fiber takviyeli kompozitlere oranla büyük olması nedeniyle günümüzde kllanımları gittikçe artmaktadır. Uçaklarda roket lülelerinin ve türbin kanatçıklarının imalinde kllanılmaktadırlar. Aramid Fiberler: Aramid fiberler mkavemetlerinin yüksek olması nedeniyle çoğ yglamada yer almaktadır. Bnnla birlikte nemi ttabilme özellikleri ve matrikse iyi yapışamama gibi dezavantajları da vardır. Cam fiberden daa afif fakat daa paalıdırlar. Özellikle otomobil lastiklerinin imalinde kllanılırlar. Basma dayanımları düşük korozyon dayanımları yüksektir. Boron Fiberler: boron fiberler ilk olarak 9 larda kllanılmaya başlanmıştır. Yüksek modül ve yüksek mkavemete saip olmalarına rağmen işleme zorlğ nedeniyle

13 paalıdırlar. Birleşmiş Milletler Hava Kvvetlerinde F-5 ve Deniz Kvvetlerinde F-5 çaklarının er ikisinde de takviye elemanı olarak boron fiberler kllanılmaktadır... Matriksler [] Matriksler kompozit yapı içerisinde fiberleri bağlayıcı görevi yaparlar. Uyglanan yükün tüm fiberler üzerinden taşınmasını sağlayan elemanlardır. Matriks tipik olarak fiberden daa düşük yoğnlk, rijitlik ve mkavemete saiptir. Matriksler kllanılan matriks türüne göre gevrek, sünek, elastik veya plastik olabilirler. Dolayısıyla lineer veya lineer olmayan gerilme-şekil değiştirme davranışı gösterebilirler. En çok kllanılan matriks türleri karbon, seramik, cam, metal ve polimerdir. Karbon Matriksler: Karbon matriksler birim ağırlıklarına göre yüksek sıcaklık kapasitesine saiptirler. Roket lülelerinde, çak kavrama ve fren yastıklarında kllanılırlar. Seramik Matriksler: Genel itibariyle gevrektirler. Yüksek sıcaklık istenen yglamalarda karbon, seramik, metal ve cam fiberlerle birlikte kllanılırlar. Cam Matriksler: cam ve cam-seramik kompozitler kendilerine taşıyıcı görevi yapan fiberlerden daa düşük elastisite modülüne saiptirler. Karbon ve metal oksit fiberler genellikle cam matriksli kompozitlere taşıyıcı görevi yaparlar. Cam ve seramik matriksli kompozit malzemelerin en önemli özellikleri mkavemetleri ve yüksek servis sıcaklıklarıdır. Cam matriksli kompozit malzemelerin ilk kllanım alanları ısıl direnç gerektiren makine parçaları ve elektriksel bileşenlerdir. Metal Matriks: Metal matriksli kompozitlerin oksitlenebilecek çevre şartlarında dai yüksek sıcaklıklarda kllanılabilmeleri en önemli avantajlarıdır. En çok kllanılan metal matriksler demir, nikel, tngsten, titanym, magnezym ve alüminymdr. Polimer Matriksler: Ucz oldklarından en çok kllanılan matriks türüdür. Doğal olarak keribar, zift ve reçine şeklinde blnrlar. Polimerlerin proses kolaylığı ve iyi nem ttabilme gibi avantajları vardır. Düşük yoğnlkl malzemeler olp tipik polimer matriksler zaman, sıcaklık ve nem etkisine bağlı olarak viskoelastik ve viskoplastik davranış gösterirler.

14 . Kompozit Malzeme Türleri ve Sınıflandırılması[] Kompozit malzemeler kendisini olştran iki fazın matriks ve fiber tipine, geometrisine ve fiber oryantasyonna bağlı olarak üç genel kategoriye ayrılırlar şekil.. Kompozit malzemeler matriksin ve fiberin drmna göre aşağıdaki gibidir. Şekil.. Kompozit malzemelerin sınıflandırılması Parçacıklı Kompozitler: Parçacıklı kompozitler, matriks içerisine gelişi güzel dağılmış çeşitli şekil ve boytlardaki parçacıkları içerirler Şekil... Parçacıklı kompozitler; metal olmayan parçacıkların metal olmayan matris içerisinde yer alması beton, cam takviyeli mika, polimer takviyeli kaçk gibi, metalik parçacıkların metal olmayan matris içerisinde yer alması alüminym takviyeli poliüretan kaçk gibi, metalik parçacıkların metal matris içerisinde yer alması bakır alaşımları gibi ve metal parçacıklarının metal matris içerisinde

15 yer alması silikon karpit parçacıklarının alüminym matriks içerisinde yer alması gibi ile meydana gelirler. Süreksiz veya Kısa Fiberli Kompozitler: B kompozitler takviye elemanı olarak bünyelerinde kısa veya kırpılmış fiber blndrrlar. Kısa fiberler çaplarına nazaran oldkça zndrlar ve matriks içerisinde tek yönde blnabilecekleri gibi gelişi güzel yerleşmiş de olabilirler. B tür kompozitler öncelikle anizotropik veya ortotropik yapı eğiliminde olp yarı izotropik yapıda da olabilirler Şekil... Sürekli Fiber Kompozitler: B tür kompozitler kesiksiz sürekli fiber içermektedirler. Mkavemetleri ve rijitlikleri oldkça yüksektir. Sürekli fiberler devamlı tek yönde yerleşebilecekleri gibi tek yönlü sürekli fiber kompozitler birbirlerine dik iki ana yönde çapraz kat veya örgü tipi ve birkaç farklı yönde yerleşebilirler çok yönlü sürekli fiber kompozitler Şekil... Fiber takviyeli kompozitler kllanılan matrikse ygn olarak da polimer, metal, seramik ve karbon matriksli kompozitler şeklinde sınıflandırılabilirler tablo-... Polimer Matriksli Kompozitler: B tür kompozitler termoset epoksi, poiamit, polyester veya termoplastik polieter, keton, polisülfon reçinelerin cam, karbon grafit, aramid kevlar veya boron fiberlerle bir araya gelmesiyle olşrlar. Genel olarak düşük sıcaklık gerektiren yglamalarda kllanılırlar. Tablo.. Kompozit malzeme tipleri Matriks Tipi Fiber Matriks Polimer E-camı S-camı Karbon grafit Aramid kevlar Boron Epoksi Poliamid Polyester Termoplastik PEEK Seramik Silikon karpit Alümina Silikon nitrat Silikon karpit Alümina Cam-seramik Silikon nitrat 5

16 Karbon Karbon Karbon Metal Boron Borsik Karbon grafit Silikon karpit,alümina Alüminym Magnezym Titanym Bakır Metal Matriksli Kompozitler: Metal matriksli kompozitler metal veya metal alaşımlarının alüminym, magnezym, titanym, bakır boron karbon veya seramik fiberler gibi takviye elemanlarıyla birleşerek meydana gelirler. Maksimm kllanma sıcaklıkları metal matrikslerin erime noktalarıdır. Seramik Matriksli Kompozitler: Seramik matrikslerin silikon, karpit, alüminym oksit, cam-seramik, silikon nitrat içerisinde seramik fiberler blndrmasıyla olşrlar. Çok yüksek sıcaklık gerektiren yglamalarda kllanılabilirler. Karbon/Karbon Kompozitler: Grafit veya karbon fiberlerin, grafit veya karbon matrikse takviye yapılması ile olşrlar. Düşük yoğnlk, yüksek ve düşük sıcaklıklara dayanabilme gibi özelliklere saiptir. Ayrıca; tabakalı kompozitlerde mevcttr. Bnlar farklı malzemelerdeki ince tabakaların birleştirilmesiyle olşrlar. Örnek olarak bimetaller, kaplanmış metaller, kontrplaklar ve formika verilebilir.. Temel Malzeme Yönleri [] Şekil.. de matriks içerisine tek yönde yerleşmiş fiberlerle takviyeli kompozit malzemenin temel yönleri görülmektedir. Şekilden de görülebileceği gibi fiber yönünde fiberin takviye elemanı özelliğinden malzeme daa mkavemetli ve daa rijittir. Fakat fiber yönüne dik yönde yük matriks tarafından taşındığından mkavemet daa düşük ve rijitlik zayıftır. Çift yönde fiber takviyeli örgü tipi kompozit malzemelerde er iki yönde de rijitlik ve mkavemet aynıdır. Tüm doğrltlara yerleşmiş fiber takviyeli kompozit malzemelerde b özellikler değerini yitirir. Yani daa zayıftır.

17 Şekil.. Kompozit malzemelerde temel malzeme yönleri Kompozit malzemeler analiz edilirken ana yön olan yönü fiber yönünü, ve yönleri fibere dik yönleri belirtmektedir. B koordinat sistemi malzeme koordinat sistemi olarak adlandırılır ve fiberin oryantasyonna bağlıdır. Tabakalı kompozit malzemelerde birden fazla tabaka olacağından fiber yönlerini belirlemek için ikinci bir eksen takımı tanımlanmalıdır. B koordinat sistemi yz ile gösterilip lokal koordinat sistemi olarak adlandırılır. Lokal koordinat sisteminin belirli bir açıyla döndürülmesiyle yeni bir eksen takımı olşr ki b da y z ile gösterilip global koordinat sistemi olarak adlandırılır. Tabakalı kompozitlerde temel malzeme ekseni, er bir tabak k, eksenine göre fiber açıları θ k ve lokal eksen yz şeklinde karşımıza çıkar. Saat ibresinin ters yönü pozitif açı iken θ k ters yönü eksi açıdadır -θ k..5 Tabakalı kompozitler [] Tabakalı kompozitler fiber takviyeli levaların istiflenmesi sonc olşrlar. Levalar istiflendikten sonra sıcaklık ve basınç altında preslenirler. Bir çok tabakalı kompozit mevcttr. Bnlardan bazıları; karbon matriks-karbon fiber kompozit KKK, metal-matriks kompozit MMK, seramik matriksli kompozit SMK, titanym matriksli kompozit TMK vb. Şekil.5. te birleştirilmemiş farklı fiber açılarındaki -5/5//9 plakalar görülmektedir. 7

18 Şekil.5. Birleştirilmemiş -5/5//9 fiber açılarındaki plakalar Şekil.5. te iki adet tabaka görülmektedir. Bnlardan biri /9/9/ veya basitçe /9 s, ikincisi ise 9///9 veya basitçe 9/ s şeklindedir. B tabakalı kompozitlerin er ikisinin de geometrileri, tabaka sayıları, kalınlıkları, etkiyen eksenel yük N ve momentleri M aynıdır. Aynı eksenel çekme yükü yglandığında aynı miktarda zama olacaktır. /9/9/ olan tabakanın rijitliği 9///9 olan tabakadan daa yüksektir. Dolayısıyla istenen rijitlik ve mkavemette kompozit tabaka elde etmek tamamen er bir tabakanın fiber açısına bağlıdır. Şekil.5. İki çapraz kat tabakanın eksenel ve eğilme deformasyon.5. Özel Tabakalar [] Kllanım yerlerine göre önem kazanan çeşitli kompozitler vardır. Bnlar aşağıda anlatılan kompozit tabakalardır. 8

19 Simetrik: Bir tabakanın simetrik olabilmesi için o tabakanın er iki kenarının orta noktaya olan znlklarının aynı kalınlıkta olması gerekir. Simetrik tabakaya 5/- 5//9/9//-5/5 veya basitçe 5/-5//9 s örnek verilebilir. Balans Denge: Bir tabakanın balans drmnda olabilmesi için belirli bir kalınlığa, malzeme özelliğine ve fiber yönüne saip plaka ile, o kompozit tabaka içerisinde kalınlık ve malzeme özellikleri aynı, fakat fiber yönü ters başka bir plakanın blnması gerekir. θ ve θ9 fiber açılarının ters açıları sırasıyla θ9ve θ derecelerdir. Örneğin; /5/9/-5 ve /-///9/-. Açı Kat: Eğer bir kompozit tabakanın er katındaki fiberler θ ve -θ açılarında yerleşmiş ise b kompozit tabaka açılı kat olarak adlandırılır. Örneğin; /-//- veya basitçe /- Çapraz Kat: Eğer bir kompozit tabakanın er katmanı θ ve θ9 ise b kompozit tabaka çapraz kat olarak adlandırılır. Örneğin; /9//9 veya basitçe /9 Yarı İzotropik: Bir kompozit tabaka simetrik ve kendisini olştran katmanların fiber açıları θ, 5, -5, 9 açılarında ise b kompozit tabakaya yarı izotropik denir. Yarı izotropik tabakalar aynı zamanda simetrik ve balanstır. Örneğin; 5/-5//9 s, 5//- 5/9 s ve 5/9/-5/ s.. Titreşim İle İlgili Temel Kavramlar [] Eleastik deformasyonlar altında periyodik bir areket yapan cisme titreşim yapan cisim denir. Doğal frekans ise bir cisme ya da sisteme tek bir kvvetle impls girdi verilmesi ve dış kvvetlerin, sönümün etkisinin olmadığı drmda ortaya çıkan frekansdır. Periyodik areketten belirli bir zaman sonra bütün özellikleri ile birlikte tekrarlanan bir areket anlaşılır. 9

20 Q P ω O Ф Şekil.. Harmonik areket grafiği Şekil.. Harmonik areket Ykarıda sözü geçen aralığa periyot denirşekil.. de T ile gösterilmiştir.periyodn birimi saniyedir. Periyodik areketin en basit şekli armonik arekettir. Harmonik areket, düzgün bir ızla bir daire boynca areket eden P noktasının çap üzerindeki Q izdüşümünün areketi olarak tanımlanabilir. Şekilde OP ile gösterildiğinden; OQ cosφ Çıkarılabilir. P noktası O etrafında sabit bir ızla döndüğüne göre, φ ωt ve böylece; yazılır. cosωt Her armonik areket periyodik bir arekettir ancak bnn tersi geçerli değildir. Şekil.. de a ile gösterilen değer maksimm yerdeğiştirmesi olp bna genlik denir. Bir titreşimin periyod örneğin T, sn olsn. B bir saniyede 5 titreşimin meydana geldiğini gösterir. f T Saniyedeki çevrim sayısına frekans denir. Frekansın birim /sn dir. B da genelde Hertz Hz olarak adlandırılır. Ykarıdaki şekli tekrar gözönüne alırsak; OP yarıçapı dönen bir vektör gibi düşünülebilir. B vektör örneğin saniyede tam devir yaparsa P noktasın Q izdüşümü de devir yapacaktır. B yüzden ω ya genelde dairesel frekans denir, zira b gösteriliş tarzında ω büyüklüğü bir dönen vektörün açısal ızıdır. Böyle bir vektör T zamanında π açısını katettiğnden ω π dir. T

21 BÖLÜM İKİ SONLU ELEMANLAR METODU. Sonl Elemanlar Yöntemini Tarisel Gelişimi [] Sonl elamanlar metod ilk olarak yapı analizlerinde kllanılmaya başlandı. İlk çalışmalar Hrennikoff9 ve Mc Henry 9 tarafından geliştirilen yarı analitik analiz metodlarıdır. Argyis ve Kelsey 9 sanal iş prensibini kllanarak bir direkt yaklaşım metod geliştirmişlerdir. Trner ve diğerleri 95 bir üçgen eleman rijitlik matrisini olştrmşlardır. Sonl elamanlar terimi ilk defa Clog 9 tarafından çalışmasında telafz edilmiştir. Metodn üç boyıtl problemlere yglanması iki boytl teoriden sonra kolayca gerçekleşmiştir.örneğin Argyis9 İlk gerçek kabk elemanlar eksenel simetrik elemanlar olp Grafton ve Strome9,bnları silindirik ve diğer kabk elemanlar izlemiştir.gallager 99.Araştırmacılar 9 lı yılların başında non-lineer problemlerle ilgilenmeye başladılar. Trner ve diğerleri9 geometrik olarak non-lineer problemler için bir çözüm tekniği geliştirdi. Sonl elemanlar metod ile stabilite analizi ise ilk Martin95 tarafından tartışılmıştır. Statik problemlerin yanısıra dinamik problemler de sonl elemanlar yöntemiyle incelenmeye başlandı Zienkieicz ve diğerleri 9 ve Koening ve Davids99.9 yılında Corant bölgesel sürekli lineer yaklaşım kllanarak bir brlma problemi için çözüm üretmiştir. Yapı alanı dışında problemlerin sonl elemalarla çözümü 9 lı yıllarda başlamıştır. Örneğin Zienkieicz ve Ceng95 sonl elemanlar yöntemi ile Poisson denklemini çözmüştür. Doctors 97 ise metod potansiyel akışa yglamıştır. Sonl elemanlar metod geliştirilerek ısı transferi, yeraltı slarının akışı, manyetik alan ve diğer birçok alana yglanmaktadır.

22 Genel amaçlı sonl elemanlar paket programları 97 li yıllardan itibaren ortaya çıkmaya başlamıştır. 98 li yılların sonna doğr ise artık paket programlar mikro bilgisayarlarda kllanılmaya başlandı. 99 yıllarının ortaları itibari ile sonl elemanlar metod ve yglamalarıyla ilgili yaklaşık olarak. makale ve kitap yayınlanmıştır.. Sonl Elemanlar Yönteminin Temel Esasları [] Yapıların karmaşıklığının giderek artması ve dijital bilgisayarların giderek daa karmaşık ale gelmesi sonc sonl elemanlar metod ile yeni analiz yöntemleri geliştirilmesini beraberinde getirdi. Sonl elemanlar yönteminin arkasındaki düşünce düzensiz yöntemler için bir formülasyon yaratıp bn bilgisayara aktarmaktır. Sonçta, b metodla karmaşık, sürekli yapıların sonl elemanlardan olştğ kabl ediliyor. Yerdeğiştirmelerin birbiriyle yml olması ve iç kvvetlerin birkaç eleman tarafından paylaşılan düğüm noktalarında dengede olmasıyla tüm yapı bir bütün olarak areket etmeye zorlanır. Sonl elemanlar yönteminin sürekli, küçük elemanlardan olştğ kabl edilse de, özünde bir ayırma işlemidir. B şn ifade eder sürekli elemanların erangibir noktasındaki bir yerdeğiştirme sonl elemanın düğüm noktasındaki deplasmanların bir interpolasyon fonksiyon ile çarpılmasıdır. Bn örneklemek için aşağıdaki şekil.. incelenebilir.sistem erbirinin genişliği olan N parçaya bölünmüştür.brada NL ve sistemin areketi düğüm noktalarının deplasmanı j tj,,,n olarak tanımlanır. Sonl elemanlar yöntemini diğer tüm yöntemlere göre avantajı ilk olarak bir eleman için areket denklemlerinin olştrlp daa sonra bütün elemanlar için bnn birleştirilmesidir. Bir elemanın içindeki erangibir noktadaki areket interpolasyon fonksiyon ile belirlenir. Brada, interpolasyon fonksiyonları genelde düşük dereceli ve tüm elemanlar için aynı olan polinomlardır. U t U t U t U N t NL Şekil.. Bir elemana ait deplasmanlar

23 Sonl elemanlar metod günümüzde yapısal analizlerde direk rijitlik metod ile ilgili olarak kllanılmaktadır. B direk yaklaşım statik problemler için yeterli olabilir ancak titreşim gibi dinamik problemleri ele almada pekçok zorlğ vardır. Aslında sonl elemanlar metod Rayleig-Ritz metodnn özel bir drm olarak değerlendirilir. Başlangıcından beri metod bağımsız olarak elde edilmekle birlikte, b sayede orijinal yapısal yglamaların önüne geçmiştir.. Titreşim Analizi İçin Ön Teori [5] Çok serbestlik dereceli sistemlerin titreşim davranışları tek serbestlik dereceli sistemlerinkinden farklıdır. N serbestlik derecesine saip böyle bir sistemin tanımlanabilmesi için n tane diferansiyel denklem tanımlamak gerekir. Bndan dolayı sistem n tane doğal frekansa saiptir. B diferansiyel denklemlerin çözümleri omojen çözüm ve özel çözümün toplamından olşr. Homojen çözüm sistemin serbest titreşim özelliklerini gösterirken; özel çözüm sistemin zorlanmış titreşim özelliklerini gösterir. Homojen çözüm ile sistemin doğal frekansları, b sistemin zorlanmış tireşim özelliklerini belirlemek için özel çözüm için kllanılır. Zorlanmış titreşimin belirlenebilmesi için kllanılan modal analiz yönteminde, sistemin doğal frekanslarının ve mod şekillerinin belirlenmesi gerekir. N serbestlik dereceli sönümsüz serbest titreşimlerin omojen çözümü için genel diferansiyel denklem; M K Şeklindedir. Bradaki M ve K, simetrik n n boytlarındaki kütle ve rijitlik matrisleri ve ise n boytnda genel koordinatların kolon vektörüdür. Eğer diferansiyel denklemler olştrlrken enerji yöntemi kllanılırsa M ve K matrisleri kesinlikle simetrik olr. Simetri serbest titreşim analizi için gerekli değildir fakat zorlanmış titreşimlerin çözümü için b matrisler mtlaka simetrik olmalıdır. Bizim b çalışmada kllandığımız elemanlardaki erbir düğüm noktasının serbestlik derecesi vardır. Bnlar boyna titreşim, enine titreşim ve eğilme serbestlik dereceleridir. B yüzden analizlerimizde kllanacağımız bir tek eleman için olşacak olana em kütle em de rijitlik matrisinin * boytlarında olması gereklidir.. Direkt Yaklaşım İle Eleman Rijitlik Matrisini Elde Edilmesi [] Rijitlik matrisinin elemanları sağlam statik bir konsepti tanımlayan rijitlik etki katsayıları olarak tanımlanabilir. Rijitlik matrisini elde ederken düğümlerin deplasman vektörlerini ve

24 kvvet vektörlerini kllanacağız. Bnn için şekil.. de verildiği gibi bir eleman alalım. B elemanın boyna titreşim yaptığını düşünelim; B işlemi adımda yapacağız;. Eleman üzerindeki rastgele bir noktanın eksenel yerdeğiştirmesi için bir ifade türeteceğiz.. B ifadede düğüm noktalarındaki deplasmanı kvvetle ilişkilendirmeye çalışacağız. U t U,t U t f t m,ea f t Şekil.. Rijitlik matrisinin olştrlmasında temel eleman Titreşim zamanla değişen bir büyüklük olmasına rağmen rijitlik matrisini olştrabilmek için zaman boynca sabit kabl edilir. Eksenel rijitlik de eleman boynca sabit kabl edilir ve eksenel yerdeğiştirme için diferansiyel denklem ş şekildedir; d EA d << denklem.. Denlem.. i iki defa integre edersek; c c denklem.. Brada c ve c integral sabitleridir. Fakat şekil.. den yerdeğiştirme in noktasında eksenel düğüm noktasının yerdeğiştirmesi olan e ve noktasında ise ye eşit oldğ görülüyor. B yüzden denklem.. yi kllanarak şn yazabiliriz; c c c Denklem.. ün çözümü ise ş şekildedir; c denklem.. c denklem.. Şimdi bradan elde ettiğimiz c ve c sabitlerini denklem.. de yerine koyarsak, eksenel yerdeğiştirme için bir ifade elde ederiz;

25 denklem..5 yerdeğiştirmesi sınır şartlarındaki düğüm noktaları kvvetiyle ilişkilidir; d EA d f d EA d Denklem..5 i kllanarak, aşağıdaki ifadeleri elde edebiliriz; EA f EA Denklem..7 matris formnda ş şekilde yazılır; Brada; []{} { f } k denklem..8 {} { } f f denklem.. denklem..7 f f denklem..9 f Düğüm noktalarının sırasıyla deplasman vektörleri ve kvvet vektörleridir. Sonçta eleman rijitlik matrisi k ş şekilde elde edilir; EA [] k denklem.. Bir çbk için diğer bir drm da eğilme titreşimidir. Eğilme için rijitlik matrisi olştrmakda yine benzer yaklaşımı kllanacağız. Çbğn b areketi şekil.. de gösterilmiştir. Uniform eğilme rijitliğinde yer değiştirme için diferansiyel denklem ş şekildedir; d EI denklem.. d Denklem.. i dört defa integre edersek şna laşırız; c c c c denklem.. Brada c i i,,, integral sabitleridir. B sabitleri belirlemek için şekil.. den şnları yazabiliriz; d d θ d d θ denklem.. Brada ve düğüm notalarının yerdeğiştirmeleriseğim θ ve θ düğüm noktalarının dönmesieğim ya da açısal yerdeğiştirmedir. Denklem.. ve.. ü birlikte değerlendirirsek, şn elde ederiz; 5

26 d d d d c c θ c c c c c c c θ denklem.. Sonçta çözüm olarak elde edeceğimiz aşağıdaki ifade olr; c θ θ c θ θ c θ c denklem..5 f f θ f θ f ξ Şekil.. Eğilme titreşimi için temel eleman Bradan denklem..5 i.. ile birlikte değerlendirirsek, eğilme yerdeğiştirmesi için bir ifade elde ederiz;

27 7 θ θ denklem.. Düğüm noktalarındaki yer değiştirmelerin b noktalardaki kvvetlerle f,f,f ve f ile ilişkisi ise ş şekildedir: f d d EI f d d EI denklem..7 f d d EI f d d EI Ve b da sonçta ş ifadeyi verir; θ θ θ θ θ θ θ θ EI f EI f EI f EI f denklem..8 Denklem..8 matris formnda ş şekilde yazılır: []{ } { } f k denklem..9 Brada; { } { } f f f f f / / denklem..

28 ve f sırasıyla düğümnoktalarındaki deplasman ve kvvet vektörleridir. Bradan eğilme titreşimi için rijitlik matrisi: EI k denklem.. [] Olarak elde edilir. Denklem..5 ise ş şekilde yazılabilir L denklem.. L l L L l Şekil.. Şekil interpolasyon fonksiyonları Brada L L denklem.. Denklem.. deki ifadeler şekil fonksiyonları ya da interpolasyon fonksiyonları olarak bilinirler. B fonksiyonlar şekil.. de çizilmiştir. İnterpolasyon fonksiyonları L ve L in bir fonksiyon olarak düğüm noktalarının ve deplasmanları arasında sol tarafdan zaklığı için esaplanabilir. Denklem.. ya benzer olarak: L θ denklem.. L θ L L Brada interpolasyon fonksiyonları ise şöyledir: 8

29 9 L L L L denklem..5 Ykarıdaki ifadeler Hermite kübikleri olarak bilinirler. İnterpolasyon fonksiyonları ve rijitlik matrisleri düğüm noktalarındaki kvvetlerin etkisinde statik deformasyon şekli temellerine dayanır. İnterpolasyon fonksiyonları tek değildir ve başka seçenekler de söz konsdr.5 Enerji Yaklaşımı İle Rijitlik Ve Kütle Matrislerinin Çıkarılması [] Bir önceki bölümde direkt yaklaşım ile bir elemana ait em boyna titreşim için em de eğilme titreşimi için rijitlik matrislerini çıkarmıştık. Aslında kütle matrisi rijitlik matrisi ile aynı yaklaşım ile türetilir. B yüzden kütle matrisi rijitlik matrisi ile ttarlıdır. Eleman areket denklemlerinin en tatmin edici türetilmesi değişken yaklaşım ile mümkündür. B ise kritik enerji, potansiyel enerji ve sanal iş ifadelerinin düğüm noktaları koordinatlarıyla yazılmasıyla blnr. Brada eleman areket denklemlerini. ve. derece sistemlerden türeteceğiz. Eleman areket denklemleri kütle matrisi, rijitlik matrisi ve kvvet vektörü çıkarıldığında türetilir. Şekil.. de tanımlanan ikinci dereceden sistemin eksenel yerdeğiştirmesinin ş şekilde yazıldığını düşünelim: { } { }, t L t L t L t T denklem.5. Brada { } L iki boytl interpolasyon fonksiyonlarının vektörü { } t ise düğüm noktalarının karşılayan vektörüdür. Denklem.5. i kllanarak kinetik enerji ş şekilde yazılır:

30 d t t m t T, { }{ } [ ].... t m t d t L L t m T T T denklem.5. Brada; [ ] { }{ } d L L m m T denklem.5. iki boytl eleman kütle matrisidir. Benzer olarak potansiyel enerji: d t EA t V, { } { }{ } { } { } []{ } ' ' t k t d t L L t EA T T T denklem.5. Brada [] { }{ } T d L L EA k ' ' denklem.5.5 eleman rijitlik matrisidir. B asıl olarak e bağlı diferansiyeli ifade eder. Düğüm noktalarındaki kvvet vektörünü elde etmek için sanal iş prensibine dönmemiz gerekir. Elemanın düzgün dağılmış kornmsz eksenel, t f kvvetine marz kaldığını varsayalım. Denklem.5. i dikkate alarak şn yazabiliriz: { } { } T d t L t f d t t f t W,,, δ δ δ denklem.5. { } { } t t f T δ Brada

31 { f t } f, t { L } d denklem.5.7 Düğüm noktalarındaki kornmsz kvvet vektörüdür. Brada şn belirtelim yoğn kvvetler Dirac fonksiyonları yarınca dağılmış f, t kvvetlerine eklenebilirler. B drmda şekil.. deki. dereceden sisteme ait eğilme yerdeğiştirmesi ş şekilde yazılabilir: T { L } { }, t t denklem.5.8 Bradaki { L } dört boytl interpolasyon fonksiyonlarının vektörüdür ve { t} düğüm noktalarının yerdeğiştirmelerini gösteren dört boytl vektördür. Kinetik enerji bradan ş forma gelir:, t.. T t m d t [ m] t t Brada * lük eleman kütle matrisi: T denklem.5.9 T [ m] m { L }{ L } d denklem.5. Benzer olarak potansiyel enerji şöyle yazılabilir:, t T V t EI d { t } []{ k t } denklem.5. Bradan * lük eleman rijitlik matrisi şöyle bir ifade olr: [] k EI { L'' }{ L' ' } T d denklem.5. Bradaki notasyon oldkça açıktır. Düğüm noktalarındaki kvvet vektörü denklem.5.7 ile aynı genel forma saiptir. Ancak b vektör ş anda kvvet ve momentleri de içeren lük bir vektör aline gelmiştir. Brada şimdi şekil.. deki eksenel titreşimi ve denklem.. deki interpolasyon fonksiyonlarını kllanarak boyna titreşimler için kütle ve rijitlik matrislerini elde edelim. Denklem.. ü.5. de yerine yazarsak:

32 [ ] d m m T m d m İle elemanın boyna titreşimler için kütle matrisi elde edilir. Şimdi bn daa basit indirisek: [ ] A m boyna ρ {} Olarak elde edilir. Brada ρ malzemenin yoğnlğ eleman boy ve A ise kesit alanıdır. { } ise boyna titreşim yabancı saa vektörüdür. Şimdi de rijitlik matrisi için { } ' L ifadesine itiyacımız var. Bnn için denklem.. den şn yazabiliriz: { } { } ' d d L d d L Ykarıdaki denklemi denklem.5.5 de yerine yazarsak eleman rijitlik matrisine laşmış olrz. [] EA d EA k T boyna Olarak tekrar blnr. Şimdi de eğilme titreşimi için boytlarındaki rijitlik ve kütle matrislerini elde edeceğiz: Kütle matrisini elde etmek için daa önceden bldğmz denklem..5 i denklem.5. de yerine yazarsak:

33 [ ] d m m T Bradaki işlemler yapılıp lük matrisin tüm elemanları ayrı ayrı blnrsa sonçta bir eleman için eğilme titreşimindeki kütle matrisi aşağıdaki ifadeye eşit olr: [ ] m m egilme Son olarak brada; m ρa ifadesi yerine yazılırsa, Eğilme titreşimi için kütle matrisinin en genel ali; [ ] m egilme ρa ve { } olr. Bradaki { } vektörü eğilme titreşimleri için yerdeğiştirme vektörüdür. En son olarak eğilme titreşimlerindeki rijitlik matrisini tekrar esaplayalım: Bnn için yine denklem..5 den yararlanmamız gerkiyor. { } { } L d d L " B denklemi denklem.5. de yerine taşırsak:

34 [] d EI k T Yine brada da tüm işlemler yapılıp matrisin tüm elemanları ayrı ayrı blnrsa; [] EI k egilme ve { } Elde edilir. Dikkat edilecek olrsa son elde ettiğimiz matris daa önce elde ettiğimiz denklem.. deki matris ile aynıdır. Son olarak elde ettiğimiz matrislerin tümünü birarada yazarsak. [ ] A m boyna ρ [] EA k boyna [ ] m egilme ρa [] EI k egilme Dikkat edilecek olrsa ykarıdaki dört matrisin tamamı köşegen simetriktir. B da daa önceden değindiğimiz matrislerin simetrik olması gerektiği şartına ygndr.

35 . Referans Sistemler [] Sonl elemanlar yönteminin küçük elemanların sınır şartlarının sürekliliğini sağlayacak şekilde birleştirilmesinden olşan dinamik bir sistem oldğndan daa önce basetmiştik. Birleşme noktalarındaki elemanların yerdeğiştirme bileşenleri elemanın yapısına bağlı olarak seçilen yöne bağlıdır. Örneğin a ve b noktalarından işaretlenmiş ince bir elemanda çbğn erangibir cndaki eksenel yerdeğiştirmeyi yönü olarak kabl edip diğer iki dik yönü de y ve z olarak almak alışagelmiştir. B elemanın a ve b noktalarındaki yer değiştirmeler sırasıyla,, ve, 5, olarak verilir. Fakat b küçük elemanlar bir bütünün parçalarıdır ve bnlar daa karmaşık bir yapının örneğin bir kafes ya da çerçevenin elemanı da olabilirler. B yapılar belirli sayıda sonl elemana bölünmesine rağmen yapının tamamının birtek eleman tipinden olştğn düşünelim. Eğer b küçük elemanların yönleri birbirinden farklı iseler yer değiştirmeleri ilönce erbir elemanın koordinat sisitemine göre ifade etmek gerekliliği açıktır. B koordinat sistemi lokal koordinat sistemidir ve düğüm noktalarındaki yerdeğiştirmeleri birleştirmekte bazı zorlklar ortaya çıkarır. B yüzden yerdeğiştirme bileşenlerini birtek koordinat sistemine göre düzenlemek gerekir. Bnn için biz,y,z ile gösterdiğimiz global koordinat sistemini kllanacağız. Bna göre a ve b noktalarındaki yerdeğiştirmeler sırasıyla,, ve, 5, olacaktır. Sonçta basit bir koordinat dönüşümü lokal koordinatları global koordinatlara çevirmemizi sağlar. U 5 U 5 - b U U - U - U U - U y y U a U - z z U - U Şekil.. Bir elemanda olşan yerdeğiştirmelerin lokal ve global koordinat sisteminde gösterilmesi 5

36 B amaçla yön doğrltlarının cosünülerinden olşan matris: l ' ly' lz' l l y' l yy' l yz' denklem.. lz' l zy' l zz' [] Brada l ' ve eksenleri arasındaki açının cos. ünü ifade eder. B bizim koordinat dönüşümü yapmamıza olanak sağlar. y z [] l ' y' z' denklem.. Brada [] l transformasyon matrisi rolünü oynamaktadır. Aynı koordinat çevrimi yerdeğiştirme bileşenlerine şöyle yglanır: [] l denklem.. Denklem.. tüm eleman için yglanabilir. Brada {} ve denklem.. {} [ L] kolon matrisleridir ve i i,, elemanlarından olşr,aynı şekilde j j, dır.sonç olarak transformasyon matrisi [ L ] şöyle tanımlanır. [ L] [ l] [ ] [] [] l denklem..5 Bradaki [ L ] matrisi için [ L] - [ L] T şartı vardır. Çünkü [ l ] iki dik koordinat sistemi arasında çevrimi sağlar. Düzlem yapıların bazı özel drmlarında tüm lokal koordinat sistemlerinin bir ekseni global koordinat sisteminin bir eksenine paraleldir. Şekil.. de gösterildiği gibi rastgele koordinat sisteminin z ekseni ile global koordinat sisteminin z ekseni birbirine paraleldir. B drmda [ l ] matrisi ş şekili alır.

37 cosα sinα l sinα cosα denklem.. [] Son olarak ilerki bölümlerde kllanacağımız boytlarındaki transformasyon matrisini olştralım. B matris.. denkleminin..5 denkleminde yerine yazılmasıyla ş şekilde olşr: [ L ] cosα sinα sinα cosα cosα sinα sinα cosα B matrisin kllanılmasıyla global koordinat sisteminde elemanların kütle ve rijitlik matrisleri ş şekilde blnr; T [ k] [ L] [ k] [ L] cevrilmis T [ m] [ L] [ m] [ L] cevrilmis B matrisleri daa sonraki bölümlerde çerçeve için sonl eleman modeli krlmasında kllanacağız..7 Tabakalı Kompozit Kirişler İçin Efektif Bir Elastisite Modülü Olştrlması [] Üzerinde çalıştığımız çerçeve elastoplastik bir malzemeden yapılmamıştır. Söz kons çerçeve kompozit malzemeden yapıldığı ve b malzemeler için elastisite modülü fiber açısına göre farklılık gösterdiği için b kompozit malzemeyi elastoplastik bir malzeme gibi düşünebilmek için yaklaşık bir elastisite modülü esaplamamız gerekir. Brada esaplanacak olan elastisite modülü ilerki bölümlerde verilecek olan Matlab programında kod yazılırken kllanılmıştır. ANSYS programı için b sözkon değildir. Ele aldığımız çerçeveyi olştran elemanların klasik tabakalı plaka teorisine göre tabaka yapılarının simetrik oldğn düşünüyorz.simetrik tabakalarda eğilme son olşan dönme 7

38 boyna yerdeğiştirmelere göre simetrik değildir.düzlem içi kvvetler ise sadece küçük deformasyonlarda dır. Tabakalı kiriş teorisinde kirişin er noktasında ; M M denklem.7. yy oldğn varsayıyorz. y Klasik tabakalı plaka teorisinde denklemler simetrik tabakalar için krlr. Düzlem içi kvvetlerin yoklğnda; M M M yy y D D D D D D Denklem.7. nin tersi alınırsa; Brada D ij * D y D D y * * * D D D * * * D D D y y D D D * * * M M M yy y denklem.7. denklem.7. D ij matrisinin tersinin elemanlarını belirtir..7. denkleminde yaptığımız kable göre.7. denkeleminden şnları elde ederiz: D * * M *, D * M y *, D * M y denklem.7. Denklem.7. enine eğilmenindönmenin Poisson etkisi D ve anizotropik kayma eşlenmesi D nedeni ile y koordinatından bağımsız olabileceğini gösterir. Enine eğilme * için gerekli olan znlk-genişlik oranı y den bağımsız olarak kabl edilir. * Bir sonraki aşamada, tabakalı kirişin Poisson ve kayma eşlenmesi drmn önemsenmeyecek boyta getirecek kadar zn oldğn varsayalım.ince çbk teorisi Eler Bernolli kiriş Enine eğilme sadece ve t nin fonksiyon olarak yazılabilir:, denklem.7.5 t Ve bradan ş yazılabilir: 8

39 * DM denklem.7. Denklem.7. yı klasik Eller-Bernolli kiriş teorisinde kllanılacak forma getirirsek, efektif elastisite modülü: b M bm E denklem.7.7 D * Şekil.7. de gösterildiği gibi tabakalar aynı kalınlıktadırlar ve simetri eksenidir. Dij eğilme rijitliği olarak bilinir ve şekildeki erbir tabaka için denklem.7.8 deki gibi esaplanır. Bradaki k Q ij ise şöyle blnr: c cosθ s sinθ Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q c s Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q D Q Q s ij s c sc Q s c Q c Q s c N k Q s c Q Q s Q k ij s Q Q s z c Q k Q Q s z k s c sc c z / Z k Z k / Z Z Şekil.7. Kompozit malzemeden yapılmış bir çbk kesitinin şematik gösterimi 9

40 BÖLÜM ÜÇ ÇERÇEVE İÇİN SONLU ELEMANLAR MODELİNİN KURULMASI. Çerçeve İçin Sonl Eleman Modelinin Olştrlması B bölüme kadar, sonl elemanlarla frekans analizinde kllanılan kütle ve rijitlik matrislerini boyna titreşimler ve eğilme titreşimleri için ayrı ayrı çıkarmıştık. Daa sonra elemanın belli bir açı ile pozisyonlanması drmnda kllanılacak olan transformasyon matrislerini de çıkardık. B bölümde ise önce boyna titreşimler ve eğilme titreşimler için çıkardığımız kütle ve rijitlik matrislerini birleştirip daa sonra b tek eleman için olştracağımız modelden areketle tüm çerçeve için sonl elemanlar modelini olştrp çözüme laşmaya çalışacağız. İlk olarak * boytndaki eğilme rijitlik matrisi ve boytndaki boyna rijitlik matrisini birleştirelim; Daa önceden bldğmz matrisler ş şekilde idi; EA [] k boyna ve {} EI [] k egilme ve { } B matrisleri birleştirirken dikkat etmemiz gereken nokta { } ve { } ile gösterdiğimiz yerdeğiştirme vektörlerinin nasıl sıralanacağıdır. Biz brada önce eğilme titreşimlerine ait

41 daa sonra da boyna titreşimlere ait yerdeğiştirme vektör bileşenlerini kllanacağız. Yani birleştirme sonnda elde edeceğimiz matrislerde yerdeğiştirme vektörleri ş şekilde sıralanmalılar: {} {} { } y topl dir; {} y topl Şeklinde olr ; Bna göre rijitlik matrisi ise ş şekildedir; [ ] [ ] [ ] enine boyna topl k k k [] EI EA k topl Ykarıdaki iki matris birbiri ile toplanırsa: [] topl k I A I A I A I A EI Şeklinde olşr. B matris em boyna em eğilme titreşimlerini içeren boytnda simetrik bir matristir. Matrislerin simetrik olması gerekliliği önceki bölümlerde açıklanmıştı.

42 Şimdi rijitlik matrisi için yaptıklarımızın aynısını yaparak toplam kütle matrisini elde etmeye çalışacağız: [ ] [ ] [ ] enine boyna topl m m m [ ] A A m topl ρ ρ Ykarıdaki iki matris birbiri ile toplanırsa: [ ] topl m ρa Şeklinde olşr. Toplam kütle matrisi de yine rijitlik matrisi ile aynı özellikleri gösterir. Yani b matris de em simetriktir em de boyna ve eğilme titreşim bileşenlerini içinde barındırır. Şimdi basit bir şekil üzerinde sonl elemanlar modelini olştrmaya çalışalım.

43 .düğüm noktası.eleman E,A,I.düğüm noktası -9-8.eleman.eleman y E,A,I.düğüm noktası E,A,I.düğüm noktası ankastre ankastre Şekil.. Sonl elemanlar modelinin krldğ çok basit bir model Ykarıda şekil.. de gösterilen çerçeve modeli çok basit olarak adet sonl elemana bölünmüş ve tüm elemanların dolayısıyla tüm zvların znlları kadar kabl edilmiştir. Ayrıca tüm zvların kesit alanları ve atalet momentleri eşittir. Brada. eleman için olştrlacak kütle ve rijitlik matrislerinde erangi bir zorlk yoktr. B matrisler daa önce elde edilen matrislerle aynıdır. Nol eleman için b matrisleri tekrar yazarsak: [] k topl EI A I A I A I A I ve

44 [ m ] topl ρa idi. Brada esas sorn ve nmaralı elemanların kütle ve rijitlik matrislerinin olştrlmasıdır. Görüldüğü gibi b elemanların lokal koordinat sistemleri global koordinat sistemleri ile aynı değildir ve birer koordinat sistemi değişimi geçirmeleri gerekir.. Bölümünde b işlemin nasıl yapılacağı anlatılmıştı. Bn tekrar atırlatmak gerekirse: T [ k] [ L] [ k] [ L] cevrilmis T [ m] [ L] [ m] [ L] cevrilmis idi. Şekil.. de gösterildiği gibi nol elaman global koordinat ekseninne göre -9 nol eleman ise -8 dönmüştür. Yani b elemanlar için. bölümünde tanımlanan transformasyon matrislerinde [ L ] kllanılacak olan α değeri sırasıyla -9 ve -8 Ykarıda tanımlanan işlemler yapılarak ve nol elemanlar için kütle ve rijitlik matrisleri elde edilir. B işlemler yapılırsa; nol eleman için kütle ve rijitlik matrisleri; dir.

45 5 [ ] [ ] I A I A I A I A EI k A m el topl el topl ρ Şeklinde olşr. Aynı şekilde nol eleman için toplam kütle ve rijitlik matrisleri:

46 [ ] [] I A I A I A I A EI k A m el topl el topl ρ Şeklinde olştrlr. Brada matrislerin yine simetrik oldğna dikkat edilmeli. Ayrıca er elemanın yerdeğiştirme vektörleri elemanın ilişkili blndğ iki düğüm noktasına aittir. B da önemli bir ayrıntıdır. Örneğin nol elemanın yerdeğiştirme vektörü ve nol düğüm noktalarıyla ilişkili iken nol elemanın yerdeğiştirme vektörü, nol elemanla ortak olarak kllandığı nol düğüm noktası ve nol elemanla ortak olarak kllanığı nol düğüm noktası ile ilişkilidir. Şimdi de ykarıda açıkladığımız ortak düğüm noktalarına göre global rijitlik ve kütle matrislerini olştrarak çerçeve için niai sonl elemanlar modelini olştracağız. Brada dikkat edilecek nokta; Aynı düğüm noktalarının eğilme titreşimi ve boyna titreşim bileşenlerinin birleştirilmesi gerekliliğidir. Birleştirme işlemi ş şekilde yapılır:

47 7 [ ] m global ρa ve rijitlik matrisi: [] I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A EI k global

48 8 Ykarıdaki eriki matris için de yerdeğiştirme vektörü ş şekildedir: [ ] y global B matrisleri olştrken dikkat edilecek iki noktadan birincisi global matrisin de diğer eleman matrisleri gibi köşegen simetrik olması gerekliliği diğeri ise matrislerin kare matris ve boytlarının da düğüm sayısı ile düğümlerin serbestlik derecelerinin çarpımı kadar olamasıdır. Örneğin brada düğüm sayısı,erbir düğümün serbestlik derecesi ise tür, dolayısıyla global matris boyt olmak zorndadır. Bradaki örnekte matris boytlarının çok fazla büyümemesi için eleman boytları çok büyük ttlmş, dolayısıyla eleman sayısı azaltılmıştır. Fakat gerçekte sonl eleman yönteminin doğr sonç verebilmesi için eleman sayısı mümkün oldğ kadar arttırılmaktadır. Projede bilgisayar yardımıyla çözüm yaptırılırken b etken de göz önüne alınmıştır.. Olştrlan Sonl Eleman Modelinin Çözümü Önceki bölümlerde basedildiği gibi sonl eleman formülasyon diferansiyel denklemler yardımıyla çıkarılır. Bilindiği gibi diferansiyel denklemlerin çözümü ancak belirli sınır şartları altında mümkündür. Yani modelde yerdeğiştirme değeri bilinen noktalar modelin sınır şartlarını olştrr.

49 Ykarıda. bölümünde global matrisleri verilen şekil.. deki örneğin sınır şartları ve nol düğüm noktalarındadır. Şekilden de görüldüğü gibi çerçeve b noktalardan zemine ankastre edilmiştir. Dolayısıyla em em de noktasında içbir yönde deplasman yoktr. B sınır şartı model üzerinde şöyle yglanır: Deplasmanın oldğ bileşenlere karşılık gelen satır ve sütnlar silinir. Sonçta yine kare ve simetrik bir matris kalmalıdır. Örneğimizde ise ve nol düğüm noktaları ile ilişkili olan satır ve sütnlar silinmelidir. B da er iki global matrisde ilk üç satır ve sütn ile.düğüm noktasından dolayıson üç satır ve sütn.düğüm noktasından dolayı silinmelidir. Elimizde sonçta * boytnda bir matris kalacaktır. B matrisler ise şnlardır: ρa m sıını [ ] [] k sıını EI A I A I A I A I B elde edilen matrisler son olarak : [[] k p [ m] ]{ y} sıını sıını denklemi yarınca çözülür. Çözüm soncnda b örnek için adet kök çıkar ve bnlardan en küçüğü sistemin temel doğal frekansı olarak tanımlanır. 9

50 BÖLÜM DÖRT BİLGİSAYAR ORTAMINDA YAPILAN ANALİZLER VE SONUÇLARI. Bilgisayar Ortamında Sonl Elemanlar Yöntemi Kllanılarak Tireşim Analizi Braya kadar olan bölümlerde önce sonl elemanlar yöntemini tanıttık, daa sonra kompozit malzemelerin sonl elemanlar yönteminde rijitlik matrisi içinde kllanılabilmesi için efektif bir elastisite modülü blnmasını açıkladık ve son olarak sonl elemanlar yönteminin basit bir çerçeve üzerinde yglanmasını gördük. Üçüncü bölümde açıkladığımız sonl elemanlar çözümü er zv bir eleman olarak kabl ettiğimiz için çok kaba bir çözümdür. Daa önce açıklandığı gibi sonl elemanlar yönteminde kllanılan eleman sayısı ve elde edilen sonçların doğrlğ, assasiyeti doğr orantılı olarak değişir. Yani ne kadar çok eleman kllanırsak blacağımız sonçlar da o kadar doğr ve assas olacaktır. B bölümde temel olarak bir tek çerçeve için analiz sonçları ayrıntılı olarak incelenecektir. B temel çerçevede kompozit malzemenin fiber açısının çerçevenin doğal frekansına etkileri açıklanacaktır. Ayrıca karşılaştırma yapılabilmesi için çerçeve elemanlarının kesitleri aynı kalmak üzere çerçevenin yapı boytlarındaki değişimin doğal frekansa etkileri de araştırılmıştır. Son olarak çerçeve modeli üç bacaklı olarak krlmş ve bnn da doğal frekansları incelenmiştir. Teorik olarak sonl elemanlar modelinin yüksek eleman sayılarında olştrlması oldkça güç oldğ için, model Matlab programında yazılan kod ve döngülerle olştrlp doğal frekansları blnmştr, ayrıca elle toplam eleman için olştrlan sonl elemanlar modeli kütle ve rijitlik matrisleri, sınır şartları yine Matlab programında çözdürülmüştür. Son olarak bize en assas ve doğr sonc verecek olan ANSYS paket programı kllanılmış ve b üç şekilde blnan sonçlar karşılaştırılmıştır. 5

51 Bizim temel olarak ilgileneceğimiz çerçeve aşağıda şekil.. de verildiği gibidir. AREAS TYPE NUM mm Çerçeve bacağı 8 mm Orta parça Genişlik tüm elemanlar için mm MAY 5 7 :8:5 Y Z X Tüm çerçeve için kalınlık sayfa düzlemine dik doğrltda mm dir Şekil.. Frekans analizi yapılan bacaklı çerçevenin boytları AREAS TYPE NUM MAY 5 7 ::9 Y Z X Şekil.. İki bacaklı çerçevenin izometrik görünüşü Brada sonl elemanlar yöntemi ve özellikle Matlab programı ile çözülmesi sırasında dikkat edilecek en önemli nokta şekil.. den de görüleceği gibi çerçeveyi olştran 5

52 elemanların dikdörtgen kesitli ve oldkça narin olmalarıdır. İkinci bölümün sonnda elde ettiğimiz rijitlik matrisi incelenirse brada elemanın atalet momentinini matris önünde bir çarpan olarak yer aldığı görülecektir. Kesit ise dikdörtgen oldğndan atalet momenti iki farklı eksen için farklı değerler alacaktır. Biz brada elemanlar oldkça narin oldğ için elemanın kolay deformasyona ğrayabileceği eksendeki atalet momentini alıyorz. B aslında 5. bölümde açıklanacak olan mod şekli kavramıyla ilişkilidir. Elemanların kesitleri aşağıdaki gibidir; X Y mm mm Şekil.. Çerçeve elemanı kesit ölçüleri Ykarıdaki şekil.. de verilen çerçeve kesitine göre kütle ve rijitlik matrislerinde kllanılacak olan alan ve atalet momenti değerleri ise şöyledir; dir. b * I,7mm A b * mm denklem.. Daa sonraki bölümde verilecek, ancak daa açıklayıcı olması bakımından b modelde çerçevenin doğal frekansında aşağıda şekil.. de verildiği biçimde titreşim yaptığı kabl edilirse alan ve atalet momenti değerleri denklem.. de verildiği gibi olacaktır. B yapılan aslında bir kabl değil çerçevenin gerçek olması gereken davranışıdır. 5

53 DISPLACEMENT STEP SUB FREQ8.5 DMX.5 MAY 5 7 :8:8 Y Z X Şekil.. Çözüm için gerekli olan doğal frekans mod şekli B noktayı açıkladıktan sonra diğer faktörlerimiz olan malzeme değerlerine geçebiliriz. Kllanılan kompozit malzemenin özellikleri aşağıda tablo.. de verildiği gibidir. Tablo.. Malzeme özellikleri Malzeme Özelliği Değeri E E E 9,7 GPa 9,5 GPa 9,5 GPa ν, ν, ν, G G G 5,558Gpa,5 Gpa,5 GPa ρ 55, kg/m 5

54 Son olarak. bölümde de değindiğimiz ve ileride karşımıza çıkacak olan fiber açısı kavramını da şekillerle gösternek gerekirse, kllandığımız dört tabakalı kompozit malzeme için fiber açıları ş şekilde gösterilir. LAYER STACKING ELEM 77 TYPE REAL LAYERS : TOTAL SHOWN : FROM TO MAY 5 7 ::7 Layer# Material# Teta 9 Şekil..5 Fiber açılarının gösterimi Ykarıda şekil..5 de gösterildiği gibi fiber açısından kastedilen kompozit malzemelerin içerisindeki liflerin yatayla yaptığı açıdır. B bilgileri de verdikten sonra artık bilgisayar ile elde edilen çözümlerden elde edilen değerlere geçebiliriz.. Fekans Değerleri ve Değişimi Ykarıda açıklanan prensipler yglandığında bilgisayar yardımıyla blnan değerler ş şekildedir. 5

55 Tablo.. Farklı fiber açıları için farklı programlarda blnan temel doğal frekanslar Çerçeve bacağı fiber Orta parça fiber açıları Farklı programlarda blnan doğal frekans değerlerihz açıları ANSYS Matlab Matlab Cosmosorks [ ] [ ] 79,8 8,7 8,78 9, [ ] [ ] 79,88 8,7 8, 8,9 [ ] [ ],98,5,8 5,9 [ ] [ ],97,,95, [ 9 9 ] [9 9] 7,9 7,7 75,99 8, [ 5-5 ] [ 5-5 ] 7,7 77, 7,5 8, [ - ] [ - ] 7,85 7,7 7, 9,8 Ykarıda tablo.. de Matlab sütnnda verilen değerler çeçevenin erbir bacağının ve orta parçanın ikişer elemana bölünmesiyle yani toplam altı eleman ile kâğıt üzerinde olştrlan kütle ve rijitlik matrislerinin Matlab programında çözdürülmesiyle blnan değerlerdir. Matlab sütnnda verilen değerler ise programın matrisleri döngülerle olştrması alinde elde edilen değerlerdir. İki sütndaki değerler arsındaki küçük farkın nedeni; eleman sayısının arttırılmasıyla olşan büyük boytl matrislerin birleştirilmesinde ve çarpılmasında ortaya çıkan sayı yvarlamalarında ortaya çıkan ataların artmasıdır. Cosmosorks sütnnda verilen değerler ise Cosmosorks programında efektif elastisite modülü ile yapılan analizde elde edilen sonçlardır. B sütndaki sonçlar çerçeve rijitleştikçe yani frekans düştükçe gerçeğe daa çok yaklaşmaktadır. Bnn sebebi ise efektif elastise modülündeki yaklaşık değerin çerçeve narinleştikçe yaptığı atanın kllanılan eleman sayısının çok fazla olması nedeniyle giderek daa fazla büyümesidir. Ykarıdaki tabloda görüldüğü gibi son iki satırdaki değerler aricinde er üç programın da verdiği değerler birbirine oldkça yakındır. Son iki satırdaki değerlerde ise programlar arasındaki ata miktarının fazla olması ikinci bölümde anlatılan efektif elastisite modülü blnmasındaki simetri prensibi ile ilgilidir. 55

56 Tablo daa dikkatle incelenirse ş sonçlar ortaya konlabilir;. Orta elemanın fiber açısındaki değişmeler temel doğal frekansda önemli farklılaşmalar yaratmaz. Örneğin tüm fiber açıları iken doğal frekansın gerçek değeri 79,8 Hz iken, orta parçanın fiber açısı 9 yapılırsa doğal frekans 79,88 Hz olmaktadır. Bnn sebebi yine çerçevenin doğal frekansındaki mod şekli ile alakalıdır. Aşağıda şekil.. de görüldüğü gibi çerçevenin doğal frekansındaki mod şeklinde orta eleman içbir deformasyona ğramaz dolayısıyla katı cisim areketi yapar. Şekil.. Çerçevenin doğal frekansındaki mod şekli. Çerçevenin doğal frekansı fiber açısı arttıkça azalır. Yani en rijit çerçeve lik fiber açısında elde edilirken en narin çerçeve 9 de elde edilir. B prensibi zaten. bölümde açıklamıştık fiber doğrltsnn en rijit kompozisyon vereceğinden basetmiştik. Aslında b daa ayrıntılı olarak ş şekilde ifade edilebilir; çerçevenin elemanlarının yaptığı mod şekli ile fiberler 5

57 birbirine paralel oldkça frekans artar ve dolayısıyla çerçeve daa rijit bir ale gelir.. Birinci maddede açıklanan ve şekil.. de gösterilen orta elemanın katı cisim areketinden dolayı aslında çerçevenin doğal frekansı çerçeve bacaklarının doğal frekansı ile yaklaşık aynıdır. Yani çerçeve yerine tüm özellikleri çerçevenin bacakları ile aynı olan ankastre bir çbk analiz edilseydi blnacak değer yaklaşık aynı olacaktı. Örneğin; lik fiber açısında böyle bir çbğn doğal frekansı 7,7 Hz dir ve b değer tablodaki 79,8 Hz lik değere atırı sayılır derecede yakındır. B iki değerin aynı olmamasının sebebi ise orta parçanın bacaklar üzerindeki kütle etkisidir. B çalışmada ykarıda açıklandığı gibi sadece fiber açısının değil çerçevenin temel znlk ölçülerinin de doğal frekansa etkileri araştırılmıştır. B amaçla öncelikle çerçeve elemanlarının kesiti sabit ttlarak sadece çerçeve bacaklarının boytlarını değiştirerek doğal frekanslar incelenmiştir. Çerçevenin bacak znlkları ila 5 mm arasında değiştirlmiş sonçta doğal frekanslar ş şekilde değişim göstermiştir. Doğal frekanshz Çerçeve bacak znlğ ve fiber açısı değişimne göre doğal frekanslar 5 Çerçeve bacağı znlğmm [ ],[ ] [ ],[ ] [ ],[ ] [ ],[ ] [ 9 9 ],[9 9] [ 5-5 ],[ 5-5 ] [ - ],[ - ] Grafik.. Çerçeve bacak znlklarının ve fiber açılarının doğal frekansa etkileri 57

58 Ykarıda grafik.. de verilen fiber açıları ile tablo.. de verilen fiber açıları aynıdır. Daa önceden de açıklandığı gibi orta parçanın fiber açısı değişimi doğal frekans değerine çok az etki ettiği için bazı fiber açılarındaki doğal frekans değişimini gösteren eğriler çakışmıştır. Doğal frekans ekseninin ölçeğini büyütmek için frekansları rad/sn cinsinden gösterirsek olşacak grafik aşağıdaki gibi olacaktır. Doğal frekansrad/sn Çerçeve bacak znlğ ve fiber açısı değişimine göre doğal frekanslar 5 Çerçeve bacak znlğmm [ ],[ ] [ ],[ ] [ ],[ ] [ ],[ ] [ 9 9 ],[9 9] [ 5-5 ],[ 5-5 ] [ - ],[ - ] Grafik.. Çerçeve bacak znlklarının ve fiber açılarının doğal frekansa etkileri Her iki grafikde de görüldüğü gibi çerçevenin bacak znlğ azaldıkça çerçeve daa rijit ale gelmektedir. Sonç olarak doğal frekans artmaktadır. Grafiklerdeki değerler birbirleriyle karşılaştırmalı olarak incelenirse ş sonçlara varılır;. Aynı fiber açısı için bacak boy arttırıldıkça doğal frekansdaki azalma ızı giderek düşmektedir. Örneğin - mm arasında bacak boynn birim değişimine karşılık doğal frekans yaklaşık,5 katlık bir düşüş gösterirken b değer -5 mm arasında, ye düşer.. Uznlk angi değere çıkarılırsa çıkarılsın fiber açılarının rijitlikleri ep aynı sıralamada olmaktadır. Örneğin tüm znlk değerleri için fiber açısı 9 58

59 ye göre daa rijittir. Yani fiber açısının değişimi çerçevenin mod şeklini değiştirmemektedir. B incelemenin dışında şimdi son olarak orta parçadaki znlk ve fiber açısı değişiminin doğal frekansa etkilerini görelim. Doğal frekanshz Orta parça znlğna ve fiber açısı değişimine göre doğal frekans 8 Orta parça znlğmm [ ],[ ] [ ],[ ] [ ],[ ] [ ],[ ] [ 9 9 ],[9 9] [ 5-5 ],[ 5-5 ] [ - ],[ - ] Grafik.. Orta parça znlğ ve fiber açısının doğal frekansa etkisi Ykarıda grafik.. de görüldüğü gibi orta parçanın znlğnn değiştirilmesi doğal frekansda, bacak znlğ değişimi kadar büyük değişmeler yaratmaz. Bnn sebebi daa önce de açıklanan çerçevenin doğal frekansında meydana gelen mod şeklinde orta parçanın yaptığı katı cisim areketidir. Grafikden de oknacağı gibi örneğin orta parça znlğnn iki katına çıkarılması drmnda doğal frekans kütle etkisinden dolayı ancak, kat azalmaktadır âlbki b değer bacak znlğ iki katına çıkarıldığında grafik.. ve.. den de oknabileceği gibi yaklaşık dür.. Üç bacaklı çerçeve için titreşim analizi Bir önceki bölümde sadece iki bacaklı çeçevelerle ilgilendik. B bölümde ise çerçevenin bacak sayısını ikiden üçe çıkaracağız. Yani bir önceki bölümde anlatılan iki bacaklı çerçevenin yanyana iki tanesinin birleştirerek bir çerçeve olştracağız. B model için sadece ANSYS programında çözüm yapılmıştır. Ancak daa önceki bölümde verildiği gibi ANSYS sonçları ile Mattlab programının verdiği değerler birbirine çok yakın olacaktır. 59

60 Çerçeve modeli aşağıdaki gibidir: ELEMENTS MAY 7 9:9:5 Y Z X Şekil.. Üç bacaklı çerçeve modeli Ykarıdaki şekilde gösterilen çerçeve modelininin kesiti ve ana ölçüleri daa önceki bölümde anlatılan iki bacaklı çerçeçeve ile aynıdır. Yine b model üzerinde de fiber açısı değişiminin doğal frekansı araştırılmıştır. Yapılan analzler sonc elde edilen değerler ş şekildedir: Tablo.. Üç bacaklı çerçeve doğal frekanslarının fiber açısına göre değişimi Çerçeve bacaklarının fiber Orta parçaların fiber Doğal frekanshz açıları açıları [ ] [ ] 77,85 [ ] [ ] 7,5 [ ] [ ],8 [ ] [ ],97 [ 9 9 ] [9 9],5 [ 5-5 ] [ 5-5 ],5 [ - ] [ - ],9

61 Görüldüğü gibi bradaki değerler daa önce iki bacaklı çerçeve için blnan ve tablo.. de verilen değerlere oldkça yakındır. Ancak çok küçük miktarlarda düşmeler gözelenmektedir. Bnn sebebi üç bacaklı olmasıyla çerçevenin daa narin bir yapıya gelmiş olmasıdır. Doğal frekansda elde edilen değerlerin yaklaşık olarak aynı olmasının sebebi ise daa önce de anlatıldığı gibi orta parçanın katı cisim areketi yapmasıdır. Şekil.. Üç bacaklı çerçevenin doğal frekansı sırasında ortaya çıkan mod şekli Daa önce iki bacaklı çerçevede yapıldığı gibi çerçeve boytlarının doğal frekansa etkileri de araştırılmıştır. Tamin edilebileceği gibi elde edilen değerler daa önce iki bacaklı çerçeve için blnan değerlerle yaklaşık olarak aynı çıkmıştır. B yüzden b araştırmaya brada yer verilmemiştir.

62 . Frekans Analizleri Soncnda ortaya çıkan mod şekillerinin irdelenmesi Daa önceki bölümlerde çerçevenin sadece doğal freansı ile ve b frekans için meydana gelen mod şekli ile ilgilenmiştik. B bölümde ise daa yüksek frekanslardaki mod şekillerinin incelenmesi ile ilgilenenceğiz. Bnn için ilk frekansın mod şekilleri incelenmiş ve bazı sonçlar ortaya çıkmıştır. Sonçlara geçmeden önce açıklanması gereken önemli bir kon, incelenen mod şekillerinin tamamının düzlem içinde olşmş olmasıdır. B amaçla daa önceki modellerden farklı olarak ANSYS programında model iki boytl olarak olştrlmştr. Düzlem dışı bir mod şekli örneği ise aşağıda şekil.. de verilmiştir. Şekil.. İki bacaklı çerçeveye ait bir düzlem dışı mod şekli Ykarıdaki şekilden de anlaşılacağı gibi düzlem dışı mod şekilllerinde çeçeve ve y yöündeki deformasyonn yanında z yönünde de ciddi bir deformasyona ğramaktadır. Oysa biz çerçevenin sadece -y düzlemi içindeki deformasyon ile ilgileniyorz.