BURULMA PROBLEMİNİN SONLU FARKLAR YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ

Transkript

1 BRLMA PROBLEMİNİN SONL FARKLAR YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ İM 6 AKIŞKANLAR DİNAMİĞİNDE SAYISAL YÖNTEMLER Doç D Lale Balas HAZIRLAYAN Bahadı Alavuz GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN

2 İÇİNDEKİLER GİRİŞ Buulma 3 Buulma Denklemi 4 Eliptik Difeansiel Denklemin Yaklaşık Olaak Çözümü 4 5 Nokta Fomülü ile Çözüm 4 9 Nokta Fomülü ile Çözüm 43 Dikdötgen Olmaan Bi Kesit için Sonlu Fakla Çözümü 43 Üçgen Kesitli Çubuk Elemanında Sonlu Fakla Çözümü 43 Daiesel Kesitli Çubuk Elemanında Sonlu Fakla Çözümü 433 Daie Kesitli Çubuk Elemanında Sonlu Fakla Çözümü SONL FARKLAR YÖNTEMLERİNİ KLLANAN MATLAB PROGRAMLARI 5 Nokta Fomülü İçin Matlab Pogamı Pogam Kodu Pogam Gafik Sonuçlaı 3 Sonuç Geilme Matisi 4 Geilme Fonksionundan Kama Geilmeleinin Elde Edilmesi 9 Nokta Fomülü İçin Matlab Pogamı Pogam Kodu Pogam Gafik Sonuçlaı 3 Üçgen Kesitli Pizmatik Çubuk İçin Matlab Pogamı 3 Pogam Kodu 3 Pogam Gafik Sonuçlaı 4 Yaım Daie Kesitli Çubuk İçin Matlab Pogamı 4 Pogam Kodu 4 Pogam Gafik Sonuçlaı 5 Daie Kesitli Çubuk İçin Matlab Pogamı 5 Pogam Kodu 5 Pogam Gafik Sonuçlaı

3 Giiş Pizmatik a da daiesel kesitli çubuk elemanlaın buulması sonucu oluşan kama geilmeleinin kesit içinde dağılımının aklaşık olaak elde edilmesi amacıla değişik sonlu fakla öntemlei kullanılmıştı Kae, dikdötgen ve üçgen kesit ile daiesel kesitli çubuk elemanlaı ele alınaak buulma poblemine ait olan paçasal difeansiel denklem saısal olaak çözüldü Buulma poblemine ait paçasal tüevin aklaşık olaak çözümünde, kullanılmıştı 5 nokta öntemi (dikdötgen kesit için) 9 nokta öntemi (dikdötgen kesit için) üçgen mesh e sahip kesit için öntem daiesel mesh e sahip kesit için öntem Çubuk elemanlaın buulmasında kullanılacak paçasal difeansiel denklemimiz şöledi : φ φ = Gθ Buada, φ : Geilme Fonksionu G : Malzemenin kama modülü θ : Dönme açısıdı Buulmuş bi çubuğun en kesiti üzeindeki geilme aılışının belilenmesi ukaıda veilen paçasal difeansiel denklemi sağlaan ve sınıda değei sıfı olan φ geilme fonksionunu bulmaktan ibaetti eksenine ve eksenine göe esel tüevle bize kama geilmeleini vemektedi

4 Buulma Daiesel kesitli buulmuş bi çubuk elemanın kesin çözümü en kesitleinin düzlem kaldığı ve biçimlei bozulmaksızın döndüğü kabulüle elde edilmektedi Ancak pizmatik çubuklaın (kae vea dikdötgen) buulma etkisi altında en kesitlei düzlem kalmamakta ve şekil değiştimelei çubuk eksenleine akın noktalada en büük olmaktadı Pizmatik çubuklaın buulması pobleminin çözümü Saint-Venant taafından veilmişti Saint-Venant buulmuş çubuğun şekil değiştimesi hakkında bazı kabulle apmış ve bu kabullele denge denklemleini ve sını koşullaını sağlatabildiğini göstemişti 3 Buulma Denklemi Daiesel kesitli bi çubuk elemanın iki ucundan ugulanmış kuvvet çifti etkisi altında buulması sonucu oluşacak edeğiştimele şöledi; u = θ v = θ z z z En kesit şekildeğiştimesi aşağıdaki fonksionla ifade edilebili; w = θ ϕ(, ) ε = ε = ε z = γ = γ z w u ϕ = = θ z

5 γ z w v ϕ = = θ z Bu şekil değiştimelee kaşı gelen geilme denklemlei ise şöledi; σ = σ = σ z = τ = τ z ϕ = Gθ τ z ϕ = Gθ Buulma etkisi altında τ z ve τ z ile ifade edilen basit kama geilmelei bulunmaktadı En kesit çapılmasını taif eden ϕ (, ) fonksionu aşağıdaki denge denklemleini sağlaacak şekilde belilenecekti Bu denge denklemlei, σ τ τ z X = σ τ τ z z Y = σ z z τ z τ z Z = şeklindedi Bu denklemle momentumun kounumundan elde edilebili Buadaki X, Y, Z kütle kuvvetleini simgelemektedi Denge denklemleini kullanaak ϕ (, ) fonksionunun ϕ ϕ = difeansiel denklemini sağlaması geektiğini bulabiliiz Sını şatlaı kullanılaak denge denklemlei z τ z = τ z τ, =, z τ z = z olaak azılabili

6 z τ ve z τ geilmelei ise şöle ifade edilebili, z = φ τ, z = φ τ Buadaki φ ve nin geilme fonksionu adı veilen bi fonksiondu Bulduğumuz geilme geilme denklemini eniden şu şekilde azabiliiz; = G ϕ θ φ, = G ϕ θ φ Bu denklemleden biincisini e göe ikincisini de e göe tüevini alıp biincisinden ikincisini çıkaısak ϕ i ok edeiz ve sadece geilme fonksionunu bulunduan şu difeansiel denklemi elde edeiz; θ φ φ G = Bu denklem buulma pobleminin difeansiel denklemidi

7 4 Eliptik Difeansiel Denklemin Yaklaşık Olaak Çözümü 4 5 Nokta Fomülü ile Çözüm Dikdötgen bi ağa sahip olan poblemimizde, ( ) f, = şeklindeki zamandan bağımsız bi eliptik paçasal difeansiel denklem esel tüevlein metebeden mekezi sonlu fakla ile açılması ile çözülebili ( ) f j i j i j i j i j i j i,,,,,,, = Poblemin çözümünde iteatif öntemle kullanılabili Sonuca aklaşımı hızlandımak için oveelaation kullanılacaktı 4 9 Nokta Fomülü ile Çözüm 4 metebeden hassasiete sahip, esel tüevlein mekezi sonlu fakla ile açılmasıla elde edilen denklemin kullanımı ile poblem çözülebili ( ) f j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i, ,,,,,,,,,, =

8 43 Dikdötgen Olmaan Bi Kesit için Sonlu Fakla Çözümü 43 Üçgen Kesitli Çubuk Elemanında Sonlu Fakla Çözümü θ θ θ θ sin cos sin cos = a = 3 3 = b 3 3 = c Bu eşitliklei toplaaak, = 3 c b a o 6 o a b c a b c

9 p p Q c b a = 3 p p Q h h h = h ~ 6 3 =

10 43 Daie Kesitli Çubuk Elemanında Sonlu Fakla Çözümü Daiesel bi scheme için genel fomülümüz, = 4 3 u u u u u u θ θ θ 433 Yaım Daie Kesitli Çubuk Elemanında Sonlu Fakla Çözümü = 4 3 u u u u u u θ θ θ Daie kesitli poblem için çözümümüzde kullandığımız eşitliği, sını şatlaını modifie edeek aım daie için de kullanabiliiz 3 4

11 SONL FARKLAR YÖNTEMLERİNİ KLLANAN MATLAB PROGRAMLARI 5 Nokta Fomülü İçin Matlab Pogamı Pogam Kodu function [F] = fivepoint(b,h) % Buulma pobleminin 5 nokta fomülü kullanilaak aklasik olaak çözümü % ve önündeki aalikla esit alinaak apilacak delta = ; % scheme aaliklai lamda = 4; teta = ; % adan dönüş G = 8; % ton cinsinden t/cm^ mtol = ; = b/delta; = h/delta; % bc : F = zeos(,); % Geilme Fonksionu Fass = zeos(b/delta,h/delta); Fass(:-,:-)= ; (h/delta); while (mtol > ) fo i=:(h/delta) fo j=:(b/delta) F(i,j)=(F(i-,j)Fass(i,j)F(i,j-)Fass(i,j)*G*teta*delta^)/4; %oveelaation: F(i,j)=lamda*F(i,j)(-lamda)*Fass(i,j); tol(i,j) = abs((f(i,j)-fass(i,j)) /(F(i,j)e-))*; Fass(i,j)=F(i,j); mtol = ma(tol); mtol = ma(mtol); suf ([::b],[::h],f)

12 Pogam Gafik Sonuçlaı Aşağıda bi kena uzunluğu 5 cm olan bi kae kesitli çubuk eleman için hesaplanmış Geilme fonksionunun dağılımı göülmektedi cm ve önleinde eşit alınmış adımla ile çözüm apılaak gafikle elde edilmişti Şekil Kesite Ait Scheme Şekil Geilme fonksionunun kesit içeisindeki değişimi

13 3 Sonuç Geilme Fonksionu Matisi e3 * Columns though Columns 4 though

14 4 Geilme Fonksionundan Kama Geilmeleinin Elde Edilmesi Geilme fonksionunun tanımı geeği kesitteki Kama Geilmelei geilme fonksionunun esel tüevine eşit olacaktı τ z = φ, τ z φ = esel tüevlei elde edebilmek için izlenecek ol elde ettiğimiz geilme fonksionu değeleinden geçen bi eği bulup bu eğinin esel tüevini almak olacaktı Noktalaımızdan geçen bi eği udumak için kullanacağımız MATLAB kodu şu şekildedi; % Cuve Fitting fo i=:n(); p = polfit(,f(i,:),); = polval(p,); _ = p()*^p()*p(3); d = diff(_)/diff(); % _ fonksionunun tüevi d(n())=d(n()-); T(i,:) = d; %kama geilmesi vektöü T(i,:) = T(i,:); plot(,f(i,:),'o',,); figue plot ((:n()),d); gid on Buadaki pogam kodu deeceden bi eği udumakta ve hebi aalık için bu işlemi geçekleştimektedi Sonuç olaak elimizde deeceden _ fonksionlaı ve bununlaın gafiklei olmaktadı

15 Şekil 3 adım sona oluşan eği Şekil 4 4 adım sona oluşan eği Şekil 5 6 adım sona oluşan eği Şekil 6 8 adım sona oluşan eği Bulunan eğilein tüevlei alınaak ve eksenleinde oluşacak kama geilmelei bulunabili Tüev aldıma için MATLAB pogamı içindeki diff komutu kullanılmıştı Bu komut ile aklaşık olaak tüev hesaplanabili deece polinom fonksionlaımızın tüevlei kesit bounca linee olaak değişecekti Öneğin -ekseni doğultusunda kesit bounca tüev alısak aşağıdaki şekilde değişen tüev üzeini elde edebiliiz

16 Buadaki üze sadece bi öndeki tüevlei (ani kama geilmeleini) göstemektedi Sonuç olaak he iki doğultuda geilme gafiği istesek ok simgelei kullanmalıız

17 9 Nokta Fomülü İçin Matlab Pogamı Pogam Kodu function [F] = ninepoint(b,h) % to solve tosion poblem using ninepoint fda % ve önündeki aalikla esit alinaak apilacak delta_ = b/; % scheme aaliklai delta_ = h/; % scheme aaliklai lamda = 4; % oveelaation faktöü teta = ; % adan döndüdük G = 8; % ton cinsinden t/cm^ mtol = ; % baslangic teloansi = b/delta_; = h/delta_; %bounda conditions : F = zeos(,);%this is the stess function Fass = F; Fass(3:,3:)= ; while (mtol > ) fo i=3: fo j=3: F(i,j)=((6*F(i-,j)6*Fass(i,j)-F(i-,j)- Fass(i,j))*delta_^(6*F(i,j-)6*Fass(i,j)-F(i,j-)- Fass(i,j))*delta_^*G*teta**delta_^*delta_^)/(3*(delta_^delta _^)); %oveelaation: F(i,j)=lamda*F(i,j)(-lamda)*Fass(i,j); tol(i,j) = abs((f(i,j)-fass(i,j)) /(F(i,j)e-))*; Fass(i,j)=F(i,j); mtol = ma(tol); mtol = ma(mtol); suf ([:delta_:b*delta_],[:delta_:h*delta_],f);

18 Pogam Gafik Sonuçlaı Aşağıdaki ağ dikdötgen kesitli bi çubuk eleman içindi Kesit 5 cm cm boutlaında ve he iki doğultuda adım kullanılmıştı Şekil7 Kesite Ait Scheme Şekil8 Geilme fonksionunun kesit içeisindeki değişimi

19 3 Üçgen Kesitli Pizmatik Çubuk İçin Matlab Pogamı 3 Pogam Kodu clea % IM 6 Tem Poject % = -GT % üçken kesitli çubuk eleman için buulma pobleminin sonlu fakla ile aklaşık olaak % çözümü L = ; G = 8; T = ; Q = -*G*T; n = 5;%paça saisi n nokta va a = (n-)/; % numaali denklem: C(,) = -6; C(,) = ; C(,a) = ; % numaali denklem; fo i=:a- C(i,i) = -6; C(i,i-) = ; C(i,i) = ; C(i,ia) = ; C(i,ia-) = ; % 3 numaali denklem; C(a,a) = -6; C(a,a-) = ; C(a,*a-) = ; last_p = a; fo i=::n-5; a = a-; last_p = last_p; %4 nolu denklem C(last_p,last_p) = -6; C(last_p,last_p) = ; C(last_p,last_pa) = ; C(last_p,last_p-a) = ; C(last_p,last_p-a-) = ;

20 % 5 nolu denklem fo j=:a- last_p = last_p; C(last_p,last_p) = -6; C(last_p,last_p) = ; C(last_p,last_p-) = ; C(last_p,last_pa) = ; C(last_p,last_pa-) = ; C(last_p,last_p-a) = ; C(last_p,last_p-a-) = ; % 6 nolu denklem last_p = last_p; C(last_p,last_p) = -5; C(last_p,last_p-) = ; C(last_p,last_pa) = ; C(last_p,last_pa-) = ; C(last_p,last_p-a) = ; C(last_p,last_p-a-) = ; last_p = last_p; %4 nolu denklem C(last_p,last_p) = -6; C(last_p,last_p) = ; C(last_p,last_pa) = ; C(last_p,last_p-a) = ; C(last_p,last_p-a) = ; % 5 nolu denklem fo j=:a- last_p = last_p; C(last_p,last_p) = -6; C(last_p,last_p) = ; C(last_p,last_p-) = ; C(last_p,last_pa) = ; C(last_p,last_pa-) = ; C(last_p,last_p-a) = ; C(last_p,last_p-a) = ;

21 % 7 nolu denklem last_p = last_p; C(last_p,last_p) = -6; C(last_p,last_p-) = ; C(last_p,last_p-a) = ; C(last_p,last_pa-) = ; % 8 numaali denklem; last_p = last_p; C(last_p,last_p) = -5; C(last_p,last_p) = ; C(last_p,last_p-) = ; C(last_p,last_p-) = ; % 9 numaali denklem; last_p = last_p; C(last_p,last_p) = -6; C(last_p,last_p-) = ; B = ones(last_p,)*q*3/*(l/n)^; A = C\B; % plot aa=n; bb=; fo i=:n; fo j=:aa; X(i,j)=(bbj-)*(L/n); Y(i,j)=(i-)*(L/n)*sqt(3)/; bb=bb/; fo ii=aa:n; X(i,ii)=X(i,aa); Y(i,ii)=Y(i,aa); aa=aa-; a=(n-)/; aa=; fo i=::n-;

22 fo j=:a; aa=aa; AA(i,j)=A(aa,); bb=aa-; fo j=a:*a; AA(i,j)=A(bb,); bb=bb-; % fo j=:a-; aa=aa; AA(i,j)=A(aa,); bb=aa; fo j=a:*a; AA(i,j)=A(bb,); bb=bb-; AA(i,j)=; a=a-; ads=size(a); AA(n-,)=A(ads(,),); AA(n,n)=; AA(n,n)=; mesh(x,y,aa) Açıklama : Öncelikli olaak mesh içinde değeini aadığımız noktala için kaakteistik denklemle elde edilmiş ve C olaak adlandıılan matisimiz elde edilmişti Bu kaakteistik denklemle, denklemde kullanılan noktalaın sını üzeinde olup olmadığına, simetiğinin olup olmadığına bağlı olaak elde edilmişti Üçgen kesitimiz için 9 faklı kaakteistik denklem matisimizi oluştumuştu

23 3 Pogam Gafik Sonuçlaı Şekil9 Kesite Ait Scheme Şekil Geilme fonksionunun kesit içeisindeki değişimi

24 4 Yaım Daie Kesitli Çubuk İçin Matlab Pogamı 4 Pogam Kodu clea = ; Q = -*8* ; n = ; % aıçapın kaça bölüneceği d = / n ; m = 35 ; % çeek çembedeki açının kaça bölüneceği do = pi / / m ; % çeek daiedeki bi paçanın açısı % Hesaplada kullanılacak değişkenle cc = Q * d^ ; aa = d / ; bb = d / do ; % - At fist point A(,)=*(bb/(-d))^;A(,)=--A(,); A(,m)=-aa/(-d);C(,)=cc; % - At fist column fo a=:(n-3); b=a*m; a=-(a)*d; A(b,bm)=-aa/a; A(b,b-m)=aa/a; A(b,b)=*(bb/a)^; A(b,b)=--A(b,b); C(b,)=cc; % 3 - At point (m(n-)) b=m*(n-); A(b,b)=/do^; A(b,b-m)=5; A(b,b)=--A(b,b); C(b,)=cc; % 4 - At points k ; k=,,3,,(m-) fo a=:(m-); a=-d; a=(bb/a)^; A(a,am)=-aa/a; A(a,a-)=a; A(a,a)=a; A(a,a)=--*a; C(a,)=cc; % 5 - At points kml;k=,,,(n-3);l=,3,,(m-) fo a=:(n-3); a=aa/(-(a)*d);a=(bb/(-(a)*d))^; fo b=:(m-); c=a*mb; A(c,cm)=-a; A(c,c-m)=a; A(c,c-)=a; A(c,c)=a; A(c,c)=--*a; C(c,)=cc; % 6 - At points m(n-)k

25 % k=,3,,(m-) fo a=:(m-); b=m*(n-)a; a=/do^; A(b,b-m)=5; A(b,b-)=a; A(b,b)=a; A(b,b)=--*a; C(b,)=cc; %At 7 - point m b=m; A(b,bm)=-aa/(-d); A(b,b-)=(bb/(-d))^; A(b,b)=--*A(b,b-); C(b,)=cc; % % 8 - At points km k=,3,,(n-) % fo a=:(n-); b=a*m;a=/(-a*d); a=(bb*a)^; A(b,bm)=-aa*a; A(b,b-)=a; A(b,b-m)=aa*a; A(b,b)=--*a; C(b,)=cc; % 9 - At point (n-)m b=(n-)*m; A(b,b-)=/do^; A(b,b-m)=5; A(b,b)=--*A(b,b-); C(b,)=cc; % B=A\C; % plotting % X Y fo a = : m ; o = ( a - ) * do ; a = d * sin (o); a = d * cos (o); = sin(o) * ; = cos(o) * ; X(a,) = ; Y(a,) = ; fo b = : n ; X(a,b) = X(a,b-) - a ; Y(a,b) = Y(a,b-) - a ; %X(a,:)=X(,:); %Y(a,:)=Y(,:)*-; fo a = : m; fo b = : n - ; BB(a,b)=B(a(b-)*m,);

26 fo a = : m-; BB(ma,:)=BB(a,:); X(ma,:)=X(a,:)*-; Y(ma,:)=Y(a,:); X(*m,:)=-*X(m,:); Y(*m,:)=Y(m,:); BB(*m,n)=; mesh(y,x,bb)

27 4 Pogam Gafik Sonuçlaı Şekil Kesite Ait Scheme Şekil Geilme Fonksionu Dağılımı

28 5 Daie Kesitli Çubuk İçin Matlab Pogamı 5 Pogam Kodu clea = ; Q = -*8* ; n = ; % aıçapın kaça bölüneceği d = / n ; m = 35 ; % çeek çembedeki açının kaça bölüneceği do = pi / / m ; % çeek daiedeki bi paçanın açısı % Hesaplada kullanılacak değişkenle cc = Q * d^ ; aa = d / ; bb = d / do ; m = m ; % Nokta saısı paça saısından bi fazla % - At fist point A(, ) = * ( bb / (-d))^ ; A(, ) = - - A(,) ; A(,m) = - aa/(-d) ; C(,) = cc ; % - At fist column fo a=:(n-); b = a * m ; % nokta saısı a = - (a) * d ; % fomüldeki A(b,bm) = - aa/a ; A(b,b-m) = aa/a ; A(b,b) = * (bb/a)^ ; A(b,b) = - - A(b,b) ; C(b,) = cc; % 3 - At point (m(n-)) % At cente point b = m * (n-) ; % nokta saısı A(b,b-) = ; A(b,b-m) = ; A(b,b) = -4 ; C(b,) = cc ; % 4 - At points k ; k=,,3,,(m-) fo a=:(m-); a = - d ; % fomüldeki a = ( bb / a )^ ; % fomülde kullanılan değişken A(a,am) = - aa/a ; A(a,a-) = a ; A(a,a) = a ; A(a,a) = - - *a ; C(a,) = cc ; % 5 - At points kml;k=,,,(n-3);l=,3,,(m-) fo a=:(n-3); a = aa / ( - (a)*d ) ; % fomüldeki a = ( bb / ( - (a)*d ) )^ ; % fomülde kullanılan değişken fo b=:(m-); c = a*m b ; % nokta saısı A(c,cm) = - a ; A(c,c-m) = a ; A(c,c-) = a ; A(c,c) = a ;

29 A(c,c) = - - *a ; C(c,) = cc ; % 6 - At points m(n-)k % k=,3,,(m-) mk = m ; fo a=:(m-); mk = mk - ; b = m*(n-) a ; % nokta saısı a = / do^ ; % fomülde kullanılan değişken A(b,b-m) = 5 ; A(b,bmk) = 5 ; A(b,b-) = a ; A(b,b) = a ; A(b,b) = - - *a ; C(b,) = cc ; %At 7 - point m b = m ; % nokta saısı A(b,bm) = - aa / (-d) ; A(b,b-) = * ( bb / (-d) )^ ; A(b,b) = - - A(b,b-) ; C(b,) = cc ; % 8 - At points km k=,3,,(n-) fo a=:(n-); b = a * m ; % nokta saısı a = / ( -a*d ) ; % fomüldeki a = ( bb*a )^ ; % fomülde kullanılan değişken A(b,bm) = - aa*a ; A(b,b-) = * a ; A(b,b-m) = aa*a ; A(b,b) = - - * a ; C(b,) = cc ; % 9 - At point (n-)m b = ( n- ) * m ; A(b,b-) = /do^ ; A(b,b) = 5 ; A(b,b-m) = 5 ; A(b,b) = - - A(b,b-) ; C(b,) = cc ; B = A \ C ; % plotting ma = * (m - ) ; % X Y fo a = : ma ; o = ( a - ) * do ; a = d * sin (o) ; a = d * cos (o) ; = sin(o) * ; = cos(o) * ; X(a,) = ; Y(a,) = ; fo b = : *n ; X(a,b) = X(a,b-) - a ; Y(a,b) = Y(a,b-) - a ;

30 fo a = : m; fo b = : n - ; BB(a,b)=B(a(b-)*m,); BB(a,n)=B(m*(n-),) ; fo b = : n; BB(a,nb)=BB(a,n-b) ; fo a = : m-; BB(ma,:)=BB(m-a,:); mesh(x,y,bb);

31 5 Pogam Gafik Sonuçlaı Şekil3 Kesite Ait Scheme Şekil4 Geilme Fonksionu Dağılımı

32 KAYNAKLAR Timoshsnko, S ve Goodie, JN 969 Theo of Elasticiti