Dinamik Ağ Yükleme Problemi ve Temel Modelleri

Transkript

1 Dnamk Ağ Yükleme Problem ve Temel Modeller Hlm Berk Çelkoğlu, Ergun Gedzloğlu İTÜ İnşaat Fakültes, İnşaat Mühendslğ Bölümü, Ulaştırma Anablm Dalı, 34469, Maslak, İstanbul. Tel: (212) Epostalar: Öz Br dnamk ağ yükleme problem; zaman-bağımlı güzergah talep akımları ve başarım fonksyonları yardımıyla, ağ üzerndek trafğe lşkn zaman-bağımlı akım hacm, yolculuk zamanı, yoğunluk ve hız gb değşkenlern göstermn fade eder. Dnamk ağ yükleme modeller; verlen br ağ üzerndek taşıtların, başlangıç düğüm noktasından varış düğüm noktasına olan zaman-bağımlı yol terchler şeklnde tanımlanan dnamk trafk ataması problemnn ayrılmaz br bleşendr. Geçmşte dnamk ağ yükleme problemne lşkn pek çok farklı yaklaşım gelştrlmştr. Bu yaklaşımlar temelde; trafk akımını, sürekl ya da ayrık olan temsl yöntemleryle tanımlamıştır. İlk kullanılmaya başlandığı zamandan bu yana modellern gerek kuramsal gerekse uygulanablr yapısındak çeştllğnn artması, dnamk ağ yükleme modellernn günümüzde farklı bçmlerde sınıflandırılıyor olmasına neden olmuştur. Bu çalışmada; dnamk ağ yükleme problemnn matematk formülasyonu le çözümü çn gerekl ayrıklaştırma olgusu rdelenmştr. Problemn çözümüne yönelk önerlen modeller ve bu modellern sınıflandırılması özetlenmştr. Anahtar kelmeler: Dnamk ağ yüklemes; trafk akım modeller Grş Br dnamk ağ yükleme (DAY) problem; zaman-bağımlı yol talep akımlarından, zaman-bağımlı akım hacm, yoğunluk ve hız değşkenlernn göstermn fade eder. Bu t modeller; verlen br ağ üzerndek taşıtların, başlangıç düğüm noktasından varış düğüm noktasına olan zaman-bağımlı yol terchler şeklnde tanımlanan dnamk trafk atama (DTA) problemnn ayrılmaz br bleşendr. Geçmşte DAY problemne lşkn pek çok farklı yaklaşımlar gelştrlmştr. Bu yaklaşımlar temelde; trafk akımını, sürekl ya da ayrık olan temsl yöntemleryle tanımlamıştır. Bu modeller çn sıkça kullanılan çözüm teknkler; yol ağının durumunun belrl (sabt) br uzunluğa at kısa zaman aralıklarına göre belrlendğ ayrık-zaman yöntemlerdr. Çoğu DAY modelnde, DTA problem döngüsel br yaklaşımla çözülmektedr. Burada öncelkle; zaman-bağımlı alternatf yol seçeneklernn oluşturduğu br lk küme seçlr, DAY model uygulanır, ve br sonrak döngü çn yol seçmler, elde edlen yolculuk zamanlarının br fonksyonu olarak 502

2 düzeltlr (Smth and Wsten, 1996). DTA na br dğer yaklaşım se; tek br terasyonda uygulanan DAY modelndek ger besleme mekanzması üzerne kurulmuştur. Bazı trafk benzetm yazılımlarınınca da kullanılan bu yaklaşım; var olan yol ağı durumunu, başlangıç noktalarındak yol seçmne br grd değer olarak tanımlar. İlk kullanılmaya başlandığı zamandan bu yana DAY modellern gerek kuramsal gerekse uygulanablr yapısındak çeştllğnn artması, dnamk ağ yükleme modellernn günümüzde farklı bçmlerde sınıflandırılıyor olmasına neden olmuştur. Bu çalışmada; dnamk ağ yükleme problemnn temel matematk formülasyonu verlmş ve problemn çözümüne yönelk önerlen modeller ve bu modellern sınıflandırılması özetlenmştr. Dnamk Ağ Yüklemes Problem DAY problem; verlen güzergah akımları ve bağ yolculuk zamanı fonksyonlarının kullanılarak, bağ yolculuk süres, bağ üzerndek toplam taşıt sayısı, bağa gren ve bağdan çıkan akım hacm gb zaman-bağımlı ağ akım özellklernn belrlenmesn çerr. Br DAY yaklaşımından faydalanablmenn en doğru yolu; DAY problemnn, bağ dnamklern, akım korunumunu, akım yayılımını ve sınır koşullarını fade eden sürekl-zaman doğrusal olmayan denklemler sstem le fade edlmesdr. Süreklzaman DAY problemnn çözülmes çn, uygun çözüm yöntemlernn yardımıyla modeln ayrık-zamanlı veyonu tasarlanır. Çözüm algortmaları, ayrık-zaman çözümünü olabldğnce sürekl-zaman çözümüne yakınsayablmeldr. DAY problem, kuramsal açıdan trafk akımının dnamk modeller çn öneml br bleşen olarak ele alındıysa da (Fresz et al., 1993; Wu et al., 1998; Xu et al., 1999), DTA sürecnde çözümüne yönelk br çözümlemel yaklaşım olarak yakın zaman çersnde rdelenmeye başlanmıştır. Pek çok çözümlemel DTA model, ayrıntıda ya da kabaca DAY problem formülasyonu (Merchant and Nemhauser, 1978; Carey, 1992; Smth, 1993; Fresz et al., 1993; Jayakrshnan et al., 1994; Astarta 1996) çermektedr. DAY problemne yönelk çözümlemel modellern ayrıntılı olarak rdelendğ çalışmalar; Fresz et al. (1993), Wu et al. (1998), Xu et al. (1999) ve Rubo-Ardanaz et al. (2003) ın çalışmalarını çermektedr. Fresz ve dğerlernn model (Fresz et al., 1993) bağ dnamklern, akım korunumunu, akım yayılımını ve sınır koşullarını fade eden br denklemler sstem olarak formülleştrlmştr. Bu modelde, yolculuk zamanı fonksyonunun doğrusal olduğu vaayılmıştır. Wu ve dğerlernn (Wu et al., 1998) model, Fresz ve dğerlernn modeln (Fresz et al., 1993), doğrusal olmayan yolculuk zamanı fonksyonu uyarlayarak gelştrmştr. Xu ve dğerler (Xu et al., 1999), Wu ve dğerlernn modeln, gren ve çıkan akım hacm fonksyonları le bağ çıkış zamanı fonksyonunun ayrıntılı olarak fonksyonel yapılarının rdelenmes yolu le gelştrd. Xu ve dğerler (Xu et al., 1998) se br öncek çalışmayı (Xu et al., 1999), kontrol değşkenlern azaltarak ve ayrıklaştırmadadan kaynaklanan hataları daha aza ndrerek gelştrmeye çalışmıştır. Rubo-Ardanaz ve dğerler (Rubo-Ardanaz et al. (2003) se, k farklı çözüm algortması gelştrerek DAY problemne lşkn çözümlemey, dğer çalışmalardaklere görel olarak daha büyük ağ yapısına uyguladılar. 503

3 Dnamk Ağ Yüklemes Model Formülasyonu Varolan br trafk ağı, N nn düğüm noktaları kümes ve I nın da yönlendrlmş bağlar kümes olduğu yönlendrlmş br ağ, Ω = (N, I), le temsl edleblr. Bu çalışmadak göstermlerde; r sayacı başlangıç düğüm noktasını, s sayacı varış düğüm noktasını, p de (r-s) başlangıç-son (B-S) çft arasındak br güzergahı temsl etmektedr. (r-s) B-S çft arasındak güzergahların altkümes P le gösterlmektedr. Değşkenler se, aşağıda sıralandığı gb; güzergah, bağ, bağ-güzergah ve zaman boyutunda gruplandırılmıştır. Değşken Gösterm Güzergah Değşkenler f p (t): (r-s) B-S çft arasındak p güzergahında t zamanında varolan ayrılan akım hacm. Bağ Değşkenler U (t): [0, t] zaman aralığında bağına gren eklenk akım hacm; W (t): [0, t] zaman aralığında bağından çıkan eklenk akım hacm; N (t): t anında bağı üzernde varolan toplam taşıt sayısı; D (y): y bağ üzerndek taşıt sayısı olmak üzere, I bağının yolculuk zamanı fonksyonu; τ (t): bağına t anında gren akım çn bağı üzerndek yolculuk süres (τ a (t)=d [N (t)]). Bağ-Güzergah Değşkenler (, p): br bağ-güzergah çft; (r, s): p güzergahının B-S çft; u (t): t anında p güzergahı üzerndek bağına gren akım hacm; w (t): t anında p güzergahı üzerndek bağından çıkan akım hacm; U (t): t anında p güzergahı üzerndek bağına gren eklenk akım hacm; V (t): t anında p güzergahı üzerndek bağından çıkan eklenk akım hacm; N (t) = : t anında p güzergahı üzerndek bağında varolan toplam taşıt sayısıdır. Zaman Değşkenler t: sürekl zaman sayacı; [0,T]: B-S trafk taleb zaman aralığı; [0,T ]: ağa gren akımların, ağdan tamamen temzlenmesne kadar geçen çözümleme zaman aralığı; Δ: tüm bağlardak serbest akım yolculuk hızında harcanan sürenn en küçüğü; δ = Δ / M: M poztf br tamsayı; Temel Dnamk Ağ Yüklemes Bağıntıları Tüm ağ yüklemes problemlernde, çözümlemenn hem sayısal hem de trafk dnamkler açısından tutarlı olablmes çn aranan özellklerden en önemls lk gren lk çıkar (İGİÇ) düzenne uyumdur. Bu düzen genellkle, kullanılan yolculuk zamanı fonksyonunun, eğrsel yapısının türevleryle rdelenmes le aranır. Br DAY problemn bast bçmde formülleştreblmek çnse İGİÇ düzenne lşkn k tanımlama gerekr. 504

4 Bu tanımlamalar, ancak (1) ve (2) bağıntılarında verlen eştszlklern ayrı ayrı sağlanması durumunda, bağ üzernde İGİÇ düzenne uyulduğuna lşkndr. ( t, t ) [ 0, T] olmak uzere eger t t t + τ ( t ) t + τ ( ) (1) t 2 ( t, t ) [ 0, T] olmak uzere eger t < t t + τ ( t ) < t + τ ( ) (2) t 2 Verlen bağıntılardan lk, İGİÇ düzennn ancak yolculuk zamanı fonksyonunun azalan olmayan olması durumunda sağlanacağı anlamanı gelmektedr. (1) bağıntısı başka br deyşle, bağ üzernde sollama olamayacağını fade etmektedr. Verlen knc bağıntı se, ancak yolculuk zamanı fonksyonunun artan olması durumunda İGİÇ düzennn sağlanacağı anlamanı gelmektedr. (2) bağıntısı da başka br deyşle, br bağa belrl br anda gren akım hacmnn, o bağa daha önce gren br akım hacmn yakalayamayacağını fade etmektedr. Bağ Dnamğ Bağıntıları Bağ dnamğ bağıntıları; (3) bağıntısında da verldğ gb, br bağın Şekl 1 de gösterlen akım değşkenler arasındak lşky fade eden bağıntılardır. dn dt () t () t w () t, ( r,s), p P, p = u (3) - u p () t N p () t w p () t ( t) N w ( t) () t u U ( t) W () t Şekl 1 Akım değşkenler. Akım Korunum Bağıntıları, p güzergahı üzerndek lk bağ olmak üzere, trafk akımının ayrıldığı başlangıç düğüm noktaları çn korunum fades, (4) bağıntısında verldğ gbdr. u p () t f () t, ( r,s), p P = (4) p P güzergahı üzernde ardışık k, - ve (Şekl 1), bağına lşkn korunum fades se, (5) bağıntısında verldğ gbdr. 505

5 u - p () t w () t = (5) Akım Yayılım Bağıntıları Akım yayılımı bağıntıları, akımın zaman çersndek değşmn fade eder. Br bağına t anında gren akım, bu bağı [t+τ (t)] anında terkeder. Dolayısıyla, t anında bağından çıkan eklenk akım hacm, bu bağa daha önce br ω anında gr bağı t anında terkeden akımların tümünün ntegralne eşt olmalıdır. W, [ω: ω+τ (ω) t] olmak üzere, bu lşk (6) bağıntısı le fade edleblr. W () t u ( ω) dω, ( r,s), p P, p = ω W (6) Ağ üzernde t=0 anında trafk olmadığı vaayımına göre, (7) de verlen sınır koşullarının sağlanması gerekr. U ( 0) 0 W ( 0) = 0 N ( 0) = 0, ( r,s), p P, p = (7) DAY Modelnn Formülleştrlmes Özet olarak, br sürekl-zaman DAY problem, (3)-(7) arasında verlen bağıntılar sers le formülleştrleblr. Bu bağıntılar sstemnde blnen değşkenler, ayrılma akım hacmler f p (t) ve bağ başarım fonksyonlarıdır D ( ). Bağ üzerndek yolculuk zamanı τ (t), (8) bağıntısını sağlayacak şeklde br bağ başarım fonksyonu le hesaplanablr. Bağ başarım fonksyonu se bağ çıkış hacm fonksyonu ya da yolculuk zamanı fonksyonu olablr. τ ( ) () t D N () t = (8) Temel formülasyondak blnmeyen değşkenler u (t), w (t), U (t), V (t) ve N (t) dr. Bu değşkenler belrlendkten sonra, bağ üzerndek taşıt sayısı (9) bağıntısında verldğ gb hesaplanablr. () t = N ( t) N (9) p p P Dnamk Ağ Yüklemes Problemne Yönelk Çözümler Öncek bölümde matematk yapısı verlen DAY modeln çözeblmek çn genelde yapılan k vaayım: bağ yolculuk zamanlarının poztf br sayı le alttan sınırlandırıldığı ve br bağ üzerndek yolculuk zamanının, bağın yalnızca geçmştek ya da gelecektek trafk yapısına bağlı olduğudur. Herbr bağın fzksel br uzunluğu ve yolculuk hızının sonlu olması ve br bağa gren kullanıcının yolculuk zamanının genellkle bağa kendsnden önce gren kullanıcıların 506

6 oluşturduğu kompozsyona bağlı olmasından dolayı, DAY problem çözümü çn yukarıda sıralanan vaayımların gerekç olduğu söyleneblr. Δ, tüm bağlar dkkate alındığında var olan en küçük yolculuk zamanı olmak üzere, çözümleme zaman aralığı [0, T], Δ boyutundak zaman aralıklarına bölüneblr. Bu aralıklar 0, 1, 2,... şeklnde numaralandırılablr. m nc zaman aralığı [m Δ, (m+1)δ] ya karşılık gelr. Modele lşkn çözüm, bu zaman aralıklarının kronolojk sırayla endüksyonu yolu le elde edleblr. m=0 ve t [0, Δ] ken, τ (t) Δ olacağından, çıkan akım hacm yoktur. Dolayısıyla, I çn W (t)=w (t)=0 dır.. Gren akım hacm u (t), (4) le verlen akım korunumu bağıntısıyla belrleneblr ve U (t) de (10) bağıntısında verldğ gb hesaplanablr. U t () t u () t dt, ( r,s), p P, p = (10) 0 U (t) ve W (t) belrlendkten sonra, N (t) (11) bağıntısında verldğ gb hesaplanablr. N () t U () t W () t, ( r,s), p P, p = (11) Dolayısıyla, m=0 çn tüm blnmeyen değşkenlern değerler bulunablr. m>0 çn se 0, 1,, m zaman aralıklarında tüm blnmeyen değşkenlern çözümü olduğu vaayımı yapılır. m+1 aralığı çn tüm blnmeyen değşkenlern çözümü elde edlr. m+1 aralığı ve t [(m+1)δ, (m+2)δ] çn, tüm bağların çıkan akım hacmler, (6) le verlen akım yayılımı bağıntısı le hesaplanablr. τ (t) Δ olduğu çn, ω, (m+1)δ dan küçük olmak zorundadır. Tümevarım vaayımı le tüm ω<(+1)δ çn u (ω) blnr. Dolayısıyla, her I çn W (t) ve w (t) belrleneblr. Akım korunumu ve bağ dnamğ bağıntıları le de u (t), U (t) ve N (t) belrleneblr. Dolayısıyla, m+1 aralığı çn tüm blnmeyen değşkenlere at br çözüm bulunablr. Tümevarım le, her m aralığında tüm blnmeyen değşkenler çn br çözümün varlığından söz edleblr. Bu yöntem, herhangbr DAY modelne çözüm üretmeye yol gösterdğ gb, tam olarak br çözüm algortması oluşturmada da kullanılır. DAY problem çn oluşturulacak çözüm algortmalarının, sürekl-zaman çözümüne yakınsayacak br ayrık-zaman çözümü bulması gerekr. Ayrık-zaman çözümler, sürekl olan zamanın enazından serbest akımda yolculuk süresne eşt olacak zaman aralıklarına bölünmes le elde edleblr. Genellkle, daha küçük br zaman aralığı boyutunda yapılan ayrıklaştırma, ayrıklaştırma boyutu sıfıra yaklaştıkça model sürekl halne yaklaşacağından dolayı daha doğru br sonuç verr. Fakat aynı zamanda, ayrıklaştırma boyutu küçüldükçe elde edlen zaman aralığı sayısı artacağından, hesaplama yükü artacaktır. Dolayısıyla, ayrıklaştırma boyutu belrlenrken, sonucun doğruluğu ve çözüm algortmasının etknlğ arasında y br ödünleşm yapılması gerekr. 507

7 Dnamk Ağ Yüklemes Modellernn Sınıflandırılması İlk kullanılmaya başlandığı zamandan bu yana modellern gerek kuramsal gerekse uygulanablr yapısındak çeştllğnn artması, DAY modellernn farklı bçmlerde sınıflandırılmasına neden olmuştur. Sınıflandırma, önceler; trafk akımının akışkan sıvı davranışına benzerlğ le oluşturulan kaba boyuttak (makroskopk) modeller ve tek taşıt boyutunda trafk dnamklernn rdelenmes le oluşturulan nce boyuttak (mkroskopk) modeller olmak üzere k grupta yapılmıştır. Yapılan çalışmalarda; taşıtların belrl ölçütlere göre gruplandırılması le taşıt kümes yaklaşımı gelştrlerek, karma boyuttak (mezoskopk) model grubu da, DAY modellernn br sınıfı halne gelmştr. Trafk dnamklern gerçekç bçmde fade edeblme steğnn yanısıra, önerlen modellern çözümlerne ulaşma çabası, günümüzde DAY modellernn artık daha ayrıntılı bçmde sınıflandırılıyor olmasına neden olmuştur. Sınıflandırmalar; modeln çözülmes çn gereken ayrıklaştırma boyutu ve büyüklüğünden, modelde vaayımı yapılan kuyruk olgusuna dek farklı etkenler varlığında yapılmıştır. Dolayısıyla, gerek bazı yaklaşımların karışık modelleme yöntemlern esas almaları, gerekse de çok benzer yaklaşımlarda yapılan farklı kabuller dkkate alındığında, trafk akımını modelleme yaklaşımlarına at çok kesn sınıflandırmalar yapılamamaktadır. Sınıflandırmalar temelde; akım hacm-yol-zaman boyutlarında yapılan ayrıklaştırmaya, modelleme yaklaşımına (kaba-boyut, nce-boyut ve karma-boyut) ve yapılan kuyruklanma vaayımına (nokta-kuyruk ve fzkselkuyruk) göre kümelendrleblr. Bu çalışmada; zaman, yol ve talep (akım hacm) boyutunda ayrıklaştırmalar yapılmasıyla farklılaşan DAY modellerne lşkn sınıflandırma rdelenmştr. Ayrıklaştırma Olgusuna Göre Dnamk Ağ Yüklemesnde Kullanılan Akım Modeller Yol, zaman ve akım hacm değşkenlernn ayrıklaştırılmaları yardımıyla br sınıflandırma yapılacak olurasa, akım modeller aşağıdak gb ele alınablr: İnce-benzetm modeller, Sürekl-zaman bağ modeller, Ayrık-zaman bağ modeller, Taşıt kümes yaklaşımı le oluşturulan modeler ve Kaba-benzetm modeller (zaman ve yol sürekl modeller). İncebenzetm modeller, tek taşıtı temel alan modeller olarak tanımlanmıştır. Bu modeller le yalnız br sürücü davranışı etks göz önüne alınarak, park etme, sollama, şert değştrme ve benzer gb bazı özgül trafk hareketlernn benzetm yapılablmektedr. Bu modellern kullanıldığı uygulamalara örnek olarak; Barcelo (1996), Rllet ve dğ. (1994) ve Van Aerde ve dğ. (1987) nn çalışmaları gösterleblr. Kavşaklar ve kordorlar gb özel trafk kontrolü gerektren durumlar çn, uygulamaya yönelk çok sayıda ncebenzetm yazılımı (örnek olarak: CORSIM, HUTSIM, INTEGRATION, NETSIM, SIMNET, SIMIR) oluşturulmuştur. Ayrıca kababenzetm bağ karakterstkler kullanılarak, nce-benzetm modellernden karma yapıdak yarınce-boyut modeller oluşturulmuştur (Mahmassan and Chen, 1993). 508

8 Fresz ve dğ. (1989), We ve dğ. (1990) ve Boyce ve dğ. (1991) nnklere benzer pek çok çalışmada, yol boyutu ayrıklaştırmasına dayalı sürekl-zaman modeller gelştrlmştr. Bu çalışmalarda ağ olgusu; kullanıcıların güzergahlarının, bağlar le fade edlmes le tanımlanmıştır. Sürekl-zaman bağ modeller le, bağ üzerndek İGİÇ düzenn rdeleyen pek çok çalışma yapılmıştır (örnek olarak: Astarta, 1996; Wu et al., 1998; Xu et al., 1999). Bu modellern bazıları, zamanın da ayrıklaştırılması le sayısal olarak çözülmüştür. Bazı sürekl-zaman modellernde zamanın ayrıklaştırılması, yapısını lk olarak Merchant ve Nemhauser (1978) n önerdğ ayrık-zaman bağ modellernde (Carey, 1987; We et al., 1994) olduğu gb yapılmıştır. Aslında kababoyut modeller olan, yol boyutunda ayrıklaştırma gerektrmeyen ve bağ-temell modeller olarak da blnen ayrık-zaman bağ modeller; tüm-bağ modeller ve dalga modeller olarak k alt gruba bölüneblr. Bağ başarımları, yol boyutuna lşkn br değşkene dayalı olarak değerlendrlmek durumunda olduğu çn, tüm-bağ modeller, bağ boyunca akım yayılımı durumunu rdelemezler (Ran et al., 1997). Ayrıca bağ boyu arttıkça, bu modellern, yolculuk zamanlarını doğru olarak fade edeblmeler güçleşr (Daganzo, 1995b). Fakat bu modeller; bast yapıda olmalarından dolayı sıkça kullanılmaktadır (Fresz et al., 1993; Tong and Wong, 2000). LWR kuramı (Lghthll and Whtham, 1955; Rchards, 1956) üzernde gelştrlmş dalga modeller; br bağ üzerndek akım yayılımını değerlendrrler. Bağ başarımlarını, bağ üzerndek trafk dnamklernn br fonksyonu olarak ele alırlar. Şşeboynu kesmlern daha y fade edeblen bu modellerde, kapaste kısıtı ve serbest akım hızı le kuyruk oluşumu hızı değerlendrlr (Newell, 1993). Burada verlen örneklerden anlaşılableceğ gb, ayrık-zaman bağ modellernn br kısmı kaba boyut modellerne, br kısmı da karma-boyut modellerne dahldr. Taşıt kümes yaklaşımında, kullanıcılar taşıt kümes oluşturacak şeklde br arada gruplanır. Böylece, herbr B-S çft arasındak talep ayrıklaştırılarak ağ boyunca hareket sağlanablr. Taşıt kümes yaklaşımı da k şeklde ele alınablr. İlk, kullanıcılar grubunun tek br noktada toplaştığı vaıyılan nokta taşıt kümes yaklaşımıdır (Leonard et al., 1978). Dğer se; kullanıcıların taşıt kümes boyunca zaman ya da yol çersnde ünform dağıldığını vaayan sürekl taşıt kümes yaklaşımıdır (D Gang and Astarta, 1994; Smth and Wsten, 1993). Zaman ve yol boyutunda sürekl DAY modellernde (kaba-benzetm modeller) taşıtlar, akışkan akımına benzer şeklde; hacm ve yoğunluk değşkenlernn, zaman ve yol çersnde parçalı sürekl fonksyonları le modellenmştr. Matematk temel, anlık tekboyutlu akışkan dnamklerne dayanan, yol ve zaman boyutu çersndek dferansyel denklemler le fade edlen bu modellern çözümü çn sonlu fark yöntemlernn kullanılması gerekr (örnek: Lebacque, 1996; Mesmer and Papageorgou, 1990; Daganzo, 1994 ve 1995a). Korunum yasalarına ve dengede br hız-yoğunluk lşksne sah olduğu vaayımına göre gelştrlen lk knematk dalga kuramını Lghthll ve Whtham le Rchards (Lghthll and Whtham, 1955; Rchards, 1956) önermştr. Lteratürde LWR kuramı olarak da blnen bu kaba yaklaşım; denge hızının anlık olarak uyarlanması gb gerçek dışı br vaayım le oluşturulduğu çn, karmaşık trafk akımı yapılarını tanımlamada başarısız olmuştur. Denge olmayan durum modeller se, sürekllk denklem ve vmelenme davranışını temsl eden br denklemn de eklenmes le gelştrlmştr (Payne, 1971; Daganzo, 1995a; Zhang, 1998). Akım hacm-yoğunluk lşksnn de kullanılması le bu modeller, ağır hesaplama yükü oluşturmalarına karşın gerçekç sonuçlar üreteblmştr. En bast kaba-benzetm trafk modeller, sürekl yol- 509

9 zaman boyutu çersnde verlen br noktadak trafğn, yalnızca bu noktaya komşu olan yerel trafklerden etklendğ vaayımı le oluşturulmuştur (Daganzo, 1995b ve c). Bu modellere temel olan akım hacm-yoğunluk lşks, hacm ve yoğunluğa lşkn yapılan bast ölçümlern lşklendrlmes yolu le elde edlmektedr. Bu modellern çözümlernn sayısal açıdan çok karmaşık olması, modellern uygulanablrlğn blhassa uygulama çalışmalarında kısıtlamaktadır. Özet Bu çalışmada; ağ atama sürecnn br bleşen olan dnamk ağ yükleme problemnn temel matematk formülasyonu verlmştr. Sürekl olan problemn etkn bçmde çözüleblmes çn; gerekl olan ayrıklaştırma olgusu ve çözüme yönelk önerlen modeller rdelenmştr. Dnamk ağ yüklemes çözümlemelernde kullanılan trafk akım modeller ve bu modellern sınıflandırılması, bu konuda çalışacak araştırmacılara yol göstermes amacıyla özetlenmştr. Kaynaklar Astarta, V. (1996) A contnuous tme lnk model for dynamc network loadng based on travel tme functon. Proceedngs of the 13 th Internatonal Symposum on Transportaton and Traffc Theory (ISTTT), Lyon, July 24-26, pp Barcelo, J. (1996) The parallelzaton of AIMSUN2 mcroscopc traffc smulator for ITS applcatons. The 3 rd World Conference on Intellgent Transport Systems, Orlando, USA, October Boyce, D. E., Ran, B. and L. J. LeBlanc (1991) Dynamc user-optmal traffc assgnment model: a new model and soluton technque. Ft Trennal Symposum on Transportaton Analyss, Montreal, Canada, June Carey, M. (1987) Optmal tme-varyng flows on congested network. Operatons Research, Vol. 35, No. 1, pp Carey, M. (1992) Nonconvexty of the dynamc traffc assgnment problem. Transportaton Research, Vol. 26B, No. 2, pp Daganzo, C. F. (1994) The cell transmsson model: a smple dynamc representaton of hghway traffc. Transportaton Research, Vol. 28B, No. 4, pp Daganzo, C. F. (1995a) Requem for second-order approxmatons of traffc flow. Transportaton Research, Vol. 29B, No. 4, pp Daganzo, C. F. (1995b) The cell transmsson model, part II: network traffc. Transportaton Research, Vol. 29B, No. 2, pp Daganzo, C. F. (1995c) Propertes of lnk travel tme functons under dynamc loads. Transportaton Research, Vol. 29B, No. 2, pp

10 D Gang, M. and V. Astarta (1994). Structure of a dynamc loadng model for the evaluaton of control strateges. In TRISTAN Second Trennal Internatonal Symposum on Transportaton Analyss, Capr, June Fresz, T. L., Luque, J., Tobn, R. L. and B. W. We (1989) Dynamc network traffc assgnment consdered as a contnuous tme optmal control problem. Operatons Research, Vol. 37, No. 6, pp Fresz, T. L., Bernsten, D. H., Smth, T. E., Tobn, R. L. and B. W. We (1993) A varatonal nequalty formulaton of the dynamc network user equlbrum problem. Operatons Research, Vol. 41, No. 1, pp Jayakrshnan, R., Mahmassan H. S. and T. Y. Hu (1994) An evaluaton tool for advanced nformaton and management systems n urban networks. Transportaton Research, Vol. 2C, No. 3, pp Lebacque, J. P. (1996) The Godunov scheme and what t means for ft order traffc flow models. Proceedngs of the 13 th Internatonal Symposum on Transportaton and Traffc Theory (ISTTT), Lyon, July 24-26, pp Leonard, D. R., Tough, J. B. and P. C. Baguley (1978). CONTRAM: A traffc assgnment model for predctng flows and queues durng peak perods. TRRL Report, 841, Crowthorne. Lghthll, M. J. and J. B. Whtham (1955) On knematc waves. I Flow movement n long rve. II. A theory of traffc flow on long crowded road. Proceedngs of Royal Socety A 229, Mahmassan, H. S. and P. Chen (1993) Dynamc nteractve smulator for the study of commuter behavor under real-tme traffc nformaton supply strateges. Transportaton Research Record, Vol. 1413, pp Merchant, D. K. and G. L. Nemhauser (1978) A model and an algorthm for the dynamc traffc assgnment problem. Transportaton Scence, Vol. 12, No. 3, pp Messmer, A. and M. Papageorgou (1990) METANET: a macroscopc smulaton program for motorway networks. Traffc Engneerng & Control, Vol. 31, pp Newell, G. F. (1993) A smplfed theory of knematc waves n hghway traffc, part II: Queuenng at freeway bottlenecks. Transportaton Research, Vol. 27B, No. 4, pp Payne, H. J. (1971) Models of Freeway Traffc and Control, n Mathematcal Models of Publc Systems, Smulaton Councl, La Jolla, CA, 1971, pp Ran, B., Rouphal, N. M., Tarko, A. D. E. Boyce (1997) Toward a class of lnk travel tme functons for dynamc assgnment models on sgnalsed networks, Transportaton Research, Vol. 31B, No. 4, pp

11 Rchards, P. I. (1956) Shockwaves on the hghway. Operatons Research, Vol. 4, pp Rlett, L., Benedek, C., Rakha, H. and M. VanAerde (1994) Evaluaton of IVHS optons usng CONTRAM and INTEGRATION. Ft World Congress on Applcatons Transport Telematcs and Intellgent Vehcle Hghway Systems, Pars, France, November 30 December 3. Rubo-Ardanaz, J. M., Wu, J. H. and M. Floran (2003) Two mproved numercal algorthms for the dynamc network loadng problems. Transportaton Research, Vol. 37B, No. 2, pp Smth, M. J. (1993) A new dynamc traffc model and the exstence and calculaton of dynamc user equlbra on congested capacty-constrant road networks. Transportaton Research, Vol. 27B, No. 1, pp Smth, M. J. and M. B. Wsten (1993) Parallel dynamc traffc equlbrum assgnment. Traffc Engneerng & Control, Vol. 34, No. 12, pp Smth, M. J. and J. B. Wsten (1996) A dstrbuted algorthm for the dynamc traffc equlbrum assgnment problem, Transportaton and Traffc Flow Theory. Proceedngs of the 13 th Internatonal Symposum on Transportaton and Traffc Theory (ISTTT). Lyon, July 1996, pp Tong, C. O. and S. C. Wong (2000) A predctve dynamc traffc assgnment model n congested capacty-constraned road networks. Transportaton Research, Vol. 34B, No. 8, pp Van Aerde, M., Yagar, S., Ugge, A. and E. R. Case (1987) A revew of canddate freeway arteral corrdor traffc models. Transportaton Research Record, Vol. 1132, pp We, B. W., Fresz, T. L. and R. L. Tobn (1990) Dynamc user optmal traffc assgnment on congested multdestnaton networks. Transportaton Research, Vol. 24B, 6, pp We, B. W., Tobn R. L. and T. L. Fresz (1994). The augmented lagrangan method for solvng dynamc network traffc assgnment models n dscrete tme. Transportaton Scence, Vol. 28, No. 3, pp Wu, J. H., Chen, Y. and M. Floran (1998) The contnuous dynamc network loadng problem: A mathematcal formulaton and soluton method. Transportaton Research, Vol. 32B, No. 3, pp Xu, Y. W., Wu, J. H., and M. Floran (1998) An effcent algorthm for the contnuous network loadng problem: A DYNALOAD mplementaton. Transportaton Networks: Recent Methodologcal Advances, Bell MGH (ed),

12 Xu, Y., Wu, J. H., Floran, M., Marcotte, P. and D. L. Zhu (1999) Advances n the contnuous dynamc network loadng problem. Transportaton Scence, Vol. 33, No. 4, pp Zhang, H. M. (1998) A theory of nonequlbrum traffc flow. Transportaton Research, Vol. 32B, No. 7, pp