OLASILIK LASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık

Transkript

1 1-1 Click To Edit Master Title Style OLASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık Yrd.Doç.Dr Doç.Dr.. Pınar YILDIRIM Okan Üniversitesi Mühendislik ve Mimarlık Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

2 1-2 GİRİŞ Olasılık, günlük yaşamımızda sıkça kullandığımız, yararlandığımız bir kavramdır. Örneğin ; Meteoroloji uzmanı o gün %80 olasılıkla yağmur yağacağını Sağlık uzmanları sigara içenlerin içmeyenlere oranla kansere yakalanma riskinin daha yüksek olacağını söyler.

3 1-3 Herhangi bir olayın meydana gelme şansını ölçmeyle ilgilenen olasılık, istatistiğin önemli bir bölümünü oluşturmaktadır. Örneğin bir firmanın gelecek yıldaki satış kestirimleri, bir kısmı gerçekleşecek bir kısmı gerçekleşmeyecek bir çok varsayıma dayalıdır. Olasılık kuramı, bizlere belirsizlik altında ya da mevcut bilgilerin tam ve sağlıklı olmaması gibi durumlarda doğru ve sağlıklı kararlar verebilmede yardımcı olacaktır.

4 1-4 Olasılık: Belirli bir olayın olma ihtimalinin yada şansının ölçümü. 0 P(A) 1. 0 olasılık olayın kesinlikle olmayacağını; 1 olasılık ise olayın olacağını gösterir.

5 DENEY, SONUÇ VE ÖRNEKLEM UZAYI 1-5 Pek çok gözlemden sadece bir tanesinin gerçekleşmesi sürecine deney, bu gözlemlere ait deneylerin sonuçları ve bu sonuçların tümüneyse deneyin örneklem uzayı denir. Örneğin vida üreten bir firmada kalite kontrol uzmanı olarak görev yapan bir kişi rastgele bir vida alarak vidanın hatalı olup olmadığını inceler. Vidayı inceleme eylemi istatistiksel deneye bir örnektir. Bu inceleme sonucunda vida hatasız ya da hatalı biçimde değerlendirilecektir. Bu iki gözlem bilgisine deneyin sonucu, bu sonuçların birlikte alınmasına da deneyin örneklem uzayı denir.

6 1-6

7 1-7 Bir deneyin örneklem uzayı Venn ya da ağaç diyagramı çizilerek de oluşturulabilmektedir. Venn diyagramı, bir deneyin tüm olası sonuçlarının (kare, dikdörtgen ya da daire gibi) içinde gösterilmesidir. Ağaç diyagramında her bir sonuç, ağacın bir dalıyla ifade edilmektedir. Örnek: Paranın bir kez atılması deneyinin Venn ve ağaç diyagramını çizelim. S={ Y, T }

8 1-8 Paranın iki kez atılması deneyinin Venn ve ağaç diyagramını çizelim. S = {YY, YT, TY, TT} YY YT TY TT Venn diyagramı Ağaç diyagramı

9 1-9 Bir işyerinde çalışan personel arasında iki tanesinin seçildiği ve cinsiyetlerinin (E = Erkek, K = Kadın) kaydedilsin. Bu deneyin tüm sonuçlarını yazalım ve Venn ve ağaç diyagramını çizelim. S = {EE, EK, KE, KK} EE EK KE KK Venn Diyagramı Ağaç Diyagramı

10 1-10 Basit ve Bileşik Olaylar Olay: Bir olay, bir deneyin bir ya da daha çok sonucunun kümesidir. Olay, basit veya bileşik olabilmektedir. Basit Olay: Bir deneyin sadece ve sadece bir nihai sonucunu içeren olaya basit olay denilmekte ve Ei biçiminde gösterilmektedir. Örnek: Personel seçimi deneyinde elde edilen (EE, EK, KE, KK) sonucun her biri bu deneyin basit olaylarıdır ve sırasıyla E1, E2,E3 ve E4 olarak gösterililir. E1= {EE}, E2 = {EK}, E3 = {KE}, E4 = {KK}

11 1-11 Bileşik Olay: Bir deneyin birden çok sonucundan oluşan kümeye bileşik olay denilmektedir. Bir işyerinde çalışan personel arasından rastgele iki personelin seçilsin A olayı, en çok bir erkeğin seçilmiş olduğu durum olarak tanımlansın. A olayı hiç erkek olmaması ya da bir erkek olması durumunda gerçekleşecektir. S = {EK, KE, KK} A olayı birden çok sonuçlu olduğu için bir bileşik olaydır.

12 1-12 Bir grup insandan bir kısmı, genetik kopyalamayı, olumlu bulup desteklemekte, geri kalanı karşı çıkmaktadır. Bu gruptan rastgele iki kişi seçilmiştir ve genetik kopyalamaya ilişkin görüşleri sorulmuştur. Kaç farklı sonuç söz konusudur? Bu deneye ilişkin Venn ve ağaç diyagramlarını çizelim. a) Her iki kişi de genetik kopyalamayı destekliyor. b) En çok bir kişi genetik kopyalamaya karşıdır. c) Kesinlikle bir kişi genetik kopyalamayı destekliyor.

13 1-13 D = Genetik kopyalamayı destekliyor K = Genetik kopyalamaya karşı DD = Her iki kişi de genetik kopyalamayı destekliyor. DK = Birinci kişi genetik kopyalamayı desteklerken ikincisi karşıdır. KD = Birinci kişi genetik kopyalamaya karşıyken ikincisi destekliyor. KK = Her iki kişi de genetik kopyalamaya karşıdır.

14 1-14 a) Her iki kişi de genetik kopyalamayı destekliyor olayının gerçekleşmesi A = {DD} basit olaydır. b) En çok bir kişi genetik kopyalamaya karşı olayının gerçekleşmesi iki kişinin ya da iki kişiden birinin genetik kopyalamayı desteklemesi durumlarında söz konusudur. B = {DD, DK, KD} bileşik olaydır. c) Kesinlikle bir kişi genetik kopyalamayı destekliyor olayının gerçekleşmesi iki kişiden birisinin genetik kopyalamayı desteklerken, diğer kişinin karşı olduğu durumda söz konusudur. C = {DK, KD} bileşik olaydır.

15 1-15 OLASILIK: Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal bir ölçüsüdür ve P ile gösterilir. P(Ei) basit olay P(A) bileşik olay 1-Bir olayın olasılığı her zaman sıfır ve bir aralığında yer alır.

16 Bir deneydeki tüm basit olayların olasılıkları toplamı P(Ei) olarak gösterilir. Örneğin paranın bir kez atılması deneyi için: Paranın iki kez atılması deneyi için:

17 1-17 Olasılığa iki kavramsal yaklaşım: Klasik Olasılık Olasılığın göreli sıklık kavramı

18 1-18 Klasik Olasılık: İki ya da daha çok sonucun (ya da olayın) ortaya çıkma olasılığı aynıysa bunlara eşit olasılıklı sonuç denir. Klasik olasılık kuralı: Paranın bir kez atılması deneyinde bir yazı ve bir tura olmak üzere iki sonuç vardır.

19 1-19 Zarın bir kez atılması deneyinde çift sayı elde edilmesi olasılığını bulalım: Bu deneyde 1,2,3,4,5 ve 6 olmak üzere altı sonuç bulunmaktadır ve tüm sonuçlar eşit olasılıklı sonuçlardır. A = {2, 4, 6} P(A) =

20 1-20 Bir derneğin 60 ı erkek ve 40 ı kadın olmak üzere toplam 100 üyesi bulunmaktadır. Bu üyeler arasında bir tanesi dernek başkanı olarak rastgele seçilecektir. Bir kadın üyenin dernek başkanı seçilme olasılığı nedir? P=

21 1-21 Olasılığın Göreli Sıklık Kavramı: Bir otomobil fabrikasında bundan sonra üretilecek otomobilin kusurlu olma olasılığı Rastgele seçilmiş bir ailenin yıllık gelirinin YTL den fazla olma olasılığı Bir hastanede bundan sonra doğacak çocuğun cinsiyetinin kız olma olasılığı Bu deneylerdeki sonuçlar eşit olasılıklı olmadığı için, olasılıklar klasik olasılık hesaplama kuralıyla hesaplanamaz. Örneğin fabrikada bundan sonra üretilecek ilk araba kusurlu ya da kusursuz olabilir. Ancak burada kusurlu ya da kusursu sonuçlarının elde edilmesi olasılıkları eşit değildir.

22 1-22 Sonuçları eşit olasılıklı olmayan deneylerde, deney defalarca tekrar edilerek veri üretilmektedir. Olasılıkları hesaplamak için ya eski verilerden yararlanılmakta ya da deney çok kez tekrarlanmak suretiyle yeni veri üretilmektedir. Bu verilerden yararlanarak bir olaya ilişkin olasılık değeri için göreli sıklıklardan yararlanılmaktadır. Bu yönteme Olasılığın göreli sıklık kavramı denir.

23 1-23 Yaklaşık Olasılık İçin Göreli Sıklık: Eğer bir deney n kez tekrarlanmış ve f kez bir A olayı gözlenmiş ise olasılığın göreli sıklık kavramına göre olasılık: Bir otomobil fabrikasında üretilen otomobillerden rastgele 500 tanesi seçilmiş ve 10 tanesinin kusurlu olduğu görülmüştür. İlk üretilecek otomobilin kusurlu olma olasılığı nedir? P =

24 Otomobil örneğinin sıklık ve göreli sıklık dağılımları 1-24

25 1-25 Sayma Kuralı: Eğer bir deneyde, ilk aşamada m tane, ikinci aşamada n tane ve üçüncü aşamada k tane sonuç olmak üzere sonuç olmak üzere üç aşama bulunuyorsa, bu deneyin toplam sonuç sayısı = m.n.k dir. Örnek: Bir paranın üç kez atılması deneyini düşünelim. Bu deneyde üç aşama bulunmaktadır; ilk kez atış, ikinci kez atış ve üçüncü kez atış. Her aşamanın da yazı ve tura olarak iki sonucu olacaktır. Bu nedenle sayma kuralına göre toplam sonuç sayısı = = 8 olacaktır. Deney sonuçları açık olarak; YYY, YYT, YTY, YTT, TYY, TYT, TTY, TTT biçimde olacaktır.

26 1-26 Bileşen ve Koşullu Olasılıklar: Bir firmada çalışan 100 kişiye, üst düzey yöneticilere yüksek ücretler ödenmesini onaylayıp onaylamadıkları sorulmuş ve aşağıdaki tablo elde edilmiştir.

27 1-27 Çalışanlar arasında rastgele bir çalışan seçildiğinde, bu çalışan sadece cinsiyet ya da görüş karakteristiklerinden birine göre de sınıflanabilir. Eğer tek karakteristik dikkate alınacak olursa seçilen çalışan: erkek olabilir, kadın olabilir onaylıyor ya da onaylamıyor olabilir. Bu dört karakteristik ya da olayın olasılıklarına bileşen olasılık denir. Bu olasılıklara bileşen ya da basit olasılıklar denmesinin nedeni, bu olasılıkların satır ya da sütun toplamlarının genel toplama bölünmesiyle bulunmasıdır.

28 1-28 Bileşen olasılık: Basit olasılık olarak bilinen bileşen olasılık, herhangi başka olay dikkate alınmaksızın, sadece bir olaya ilişkin olasılıktır. P(Erkek) = Erkeklerin sayısı/tüm Çalışanların Sayısı P(Erkek) = 60/100 =0,6

29 1-29

30 1-30 Koşullu Olasılık: Bir olayın oluştuğunun bilinmesi durumunda diğer olayın olma olasılığıdır. Örneğin A ve B iki olay olmak üzere A olayının koşullu olasılığı : P( A / B) B olayı olduğunda A olayının olması olasılığı şeklinde okunur. Örnek: P(Onaylıyor/ Erkek) koşullu olasılığı P(Onaylıyor/Erkek) = Onaylayan Erkek Sayısı/Toplam Erkek Sayısı = 15/60 = 0,25

31 1-31

32 1-32 P(Kadın / Onaylıyor)=? P(Kadın / Onaylıyor) = Onaylayan kadın sayısı/toplam onaylayanlar sayısı = 4/19 = 0.211

33 1-33 Ayrık Olaylar: Birlikte ortaya çıkmayan olaylara, karşılıklı ayrık olaylar denir. Herhangi bir deney için, deneyin herhangi bir tekrarında ortaya çıkacak sadece bir sonuç olduğu için sonuçlar her zaman ayrıktır. Örneğin bir paranın iki kez atıldığı bir deneyde, YY, YT, TY ve TT biçiminde dört sonuç vardır ve sonuçlar ayrıktır. Çünkü bir para iki kez atıldığında, bu sonuçlardan sadece bir tanesi ortaya çıkacaktır.

34 1-34 Zarın bir kez atılması deneyine ilişkin olaylar: A- çift sayı elde edilmesi = {2,4,6} B- tek sayı elde edilmesi = {1,3,5} C- 5 den küçük sayı elde edilmesi = {1,2,3,4} A ve B ayrık olaylardır. A ve C ayrık olaylar değildir.

35 1-35 Örnek: Büyük bir firmada çalışanlardan rastgele bir kişi seçilmiş ve aşağıdaki iki olay tanımlanmış olsun. D = seçilen kişi üniversite mezunudur N = seçilen kişi üniversite mezunu değildir Bu iki olay ayrık mıdır? İki olayın ortak sonucu olmadığı için ayrıktır.

36 1-36 Bağımsız ve Bağımlı Olaylar: Bağımsız Olaylar: Eğer bir olayın ortaya çıkması öteki olayın ortaya çıkma olasılığını etkilemiyorsa, bu iki olaya bağımsız olaylar denir. Örnek: 100 çalışana ilişkin örnekte kadın (K) ve onaylıyor (O) olayları tanımlanmış olsun. Bu olaylar bağımsız mıdır?

37 Bu iki olasılık aynı olmadığı için bu olaylar bağımsız olaylar değildir. 1-37

38 1-38 Bir kutuda, I. Makinede üretilmiş 60, II. Makinede üretilmiş 40 olmak üzere toplam 100 kaset bulunmaktadır. I. Makinede üretilen 60 kasetin 9 tanesi, tüm kasetlerinde 15 tanesi bozuktur. Bu durumda rastgele seçilen bir kasetin bozuk olması D ve bu kasetin I. Makinede üretilmiş olması A olayını göstermektedir. A ve D olayları bağımsız mıdır? P(D) =P(D/A) olduğu için, A ve D olayları bağımsız olaylardır.

39 1-39 Tamamlayıcı(Bütünleyici) Olaylar: A olayının tamamlayıcısı ile gösterilmekte ve A tamamlayanı denilmektedir.

40 1-40 Örnek: Beş çamaşır makinesinden iki tanesi bozuktur. Bu makinelerden bir tanesinin rastgele seçilmesi deneyinde tamamlayıcı olaylar ve bunların olasılıkları nedir?

41 Olayların Ara Kesiti: Bir örneklem uzayında A ve B olayları tanımlanmış olsun. A ve B nin ara kesiti, hem A hem de B de yer alan sonuçları ifade eder, A ve B biçiminde gösterilir. 1-41

42 1-42 Çarpma Kuralı: A ve B gibi birlikte ortaya çıkan olayların olasılığına bileşik olasılık adı verilir ve P (A ve B) biçiminde gösterilir. A ve B olaylarının ara kesitinin olasılığı ; Örnek: P(A ve B) = P(A) P(B/A) Kadın (K) ve Üniversite mezunu(m) olaylarının ara kesiti:

43 1-43

44 Erkek(E) ve Üniversite mezunu değil olayları incelenirse: 1-44

45 1-45 Örnek: Bir kutuda 4 tanesi bozuk, toplam 20 kaset bulunmaktadır. Bu kasetlerden (seçilen yerine konulmaksızın) iki tanesi rastgele seçilmiştir. Seçilen iki kasetin de bozuk olma olasılığı nedir? Toplam 20 kasetin 4 tanesi bozuk olduğu için ilk seçilen kasetin bozuk olma olasılığı P(B1) = 4/10 dir. İlk seçilen kasetin bozuk olduğu bilindiğine göre, kutuda 3 tanesi bozuk 19 tane kaset kalmıştır ve ikinci seçilen kasetin de bozuk olma olasılığı P(B2/B1) = 3/19 dur.

46 1-46

47 1-47 Koşullu Olasılık: Eğer A ve B, durumunda iki olay ise bunlara ilişkin koşullu olasılıklar:

48 1-48 Bağımsız Olaylar için Çarpma Kuralı: Örnek:Bir işhanında iki tane yangın detektörü bulunmaktadır. Bir yangın sırasında bu detektörlerden herhangi birinin çalışmaması olasılığı 0.02 dir. Bir yangın sırasında her iki detektörün de çalışmama olasılığını bulunuz. A = İlk detektörün çalışmaması B = İkinci detektörün çalışmaması A ve B olayları bağımsız olduklarından, bunların bileşik olasılığı,

49 1-49 Örnek:Penisilinin hastada alerji yapması olasılığı 0.20 dir. Bu ilacın üç hastaya verildiği bir durumda; a) Üç hastaya da alerji yapması b) En az bir hastaya alerji yapmaması olasılıklarını bulalım Çözüm: a)

50 1-50

51 1-51 b) G = Üç hasta da alerjiktir H = En az bir hasta alerjik değildir Tanımlanan G ve H olayları tamamlayıcı olaylardır.

52 1-52 Ayrık Olayların Bileşik Olasılığı: İki ayrık olayın bileşik olasılığı her zaman sıfırdır ve bu durum, A ve B ayrık olaylarsa P(A ve B) = 0 şeklinde gösterilir. Örnek: Otomobil kredisi almak için gerekli başvuru formunun doldurulmasına ilişkin iki olay verilsin: O = Kredi başvurusu onaylandı R = Kredi başvurusu reddedildi O ve R nin bileşik olasılığı nedir? O ve R olayları ayrık olaylar olduğu için bileşik olasılığı sıfırdır. P(O ve R) = 0

53 1-53 Olayların Bileşimi ve Toplama Kuralı: Olayların Bileşimi: Aynı örneklem uzayında tanımlı A ve B olaylarının bileşimi A da ya da B de ya da A ve B de birlikte yer alan tüm olayların bileşkesi olup A ya da B şeklinde gösterilir.

54 1-54 Örnek:ABD üniversitelerinde milyon öğrenci öğrenim görmektedir. Bunlardan milyonu kız öğrenci, milyonu tam zamanlı öğrenci ve milyonu kız ve tam zamanlı öğrencilerdir. Kız ve Tam zamanlı öğrenci olaylarının bileşimini tanımlayalım.

55 Toplama Kuralı: A ve B olaylarının bileşiminin olasılığı, 1-55

56 1-56 Örnek: Bir üniversite rektörü, tüm öğrencilerin etik konusunda bir dersi (zorunlu) almasının yararlı olacağını düşünmektedir. Bu konuda öğretim elemanı ve öğrencilerden oluşan toplam 300 kişiye düşüncesini sormuş ve elde edilen sonuçlardan bu tablo oluşturulmuştur. Bu gruptan rastgele seçilen birinin öğretim elemanı ya da katılıyor olma olasılığı nedir?

57 1-57 A = Seçilen kişi öğretim elemanı B = Seçilen kişi düşünceye katılmakta

58 1-58 Örnek: Yapılan bir araştırmadan 7225 kişinin birden çok işi olduğu bulunmuştur. Bu kişilerden 4115 tanesi erkek, 1742 tanesi bekar ve 905 tanesiyse erkek ve bekardır. Rastgele seçilen birinin erkek ya da bekar olma olasılığını bulunuz. E = Rastgele seçilen kişi erkek B = Rastgele seçilen kişi bekar

59 1-59

60 Ayrık Olaylar İçin Toplama Kuralı: A ve B ayrık olaylarının bileşiminin olasılığı 1-60

61 1-61 Örnek:Kamuoyunun ırk ayrımına karşı düşüncesinin ortaya konmasını amaçlayan bir araştırmada; erkek ve kadınlardan oluşan 300 kişi ile görüşülmüştür. Görüşlerin ırk ayrımına karşı, destekliyor ve çekimser olarak kaydedilmesi sonucunda bu tablo oluşturulmuştur. Rastgele seçilen bir kişinin ırk ayrımına karşı ya da çekimser olma olasılığı nedir?

62 1-62 K = Çekilen kişi ırk ayrımına karşı C = Çekilen kişi ırk ayrımı konusunda çekimser

63 1-63 Kaynaklar İstatistik Yöntemleri, Doç.Dr.Murat Karagöz,7.Baskı,Ekin Basın Yayın Dağıtım,2009 Anadolu Üniversitesi, Olasılık ve İstatistik Ders Notları