ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ LORENTZ UZAYINDA UMBİLİK YÜZEYLER. Esma DEMİR MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2010

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ LORENTZ UZAYINDA UMBİLİK YÜZEYLER. Esma DEMİR MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2010"

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ LORENTZ UZAYINDA UMBİLİK YÜZEYLER Esma DEMİR MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2010 Her hakkı saklıdır

2 OZET Yuksek Lisans Tezi LORENTZ UZAYINDA UMB IL _ IK _ YUZEYLER Esma DEM IR _ Ankara Universitesi Fen Bilimleri Enstitusu Matematik Anabilim Dal Dansman: Prof. Dr. Yusuf YAYLI Es Dansman: Prof. Dr. Rafael LOPEZ Bu tez bes bolumden olusmaktadr. _Ilk bolum giris ksmna ayrlmstr. _Ikinci bolumde, 3 boyutlu Lorentz uzay tanmlanp, bu uzayda vektorel carpm, egriler ve yuzeylerden bahsedilmistir. Ucuncu bolumde,ilk once Lorentz uzaynda helikoidal yuzey tanmlanms, sonra da helikoidal hareket grubu altnda bir noktann yorungesinden bahsedilip donel yuzeylere ve helikoidal yuzeylere ornekler verilmistir. Dorduncu bolumde, Lorentz uzaynda bir yuzeyin egrilikleri ve umbilik yuzeyler tanmlanms daha sonra da umbilik yuzeylere ornekler verilmistir. Son olarak besinci bolumde sabit ortalama egrilige ve sabit Gauss egriligine sahip helikoidal yuzeyler icin baz teoremler verilmistir. 2010, 60 sayfa Anahtar Kelimeler : Lorentz uzay, Helikoidal yuzeyler, Umbilik yuzeyler, Sabit ortalama egrilik, Sabit Gauss egriligi. i

3 ABSTRACT Master Thesis UMBILICAL SURFACES IN LORENTZ 3-SPACE Esma DEM IR _ Ankara University Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Yusuf YAYLI Co Advisor: Prof. Dr. Rafael LOPEZ This thesis consists of ve chapters. The rst chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, Lorentz 3-space and its properties, are mentioned. Then vector product, curves and surfaces are given. In the third chapter, rstly helicoidal surfaces on Lorentz 3-space is dened. Then orbit of a point under a helicoidal motion group ise mentioned and some examples of the rotational surfaces and helicoidal surfaces are examined. In the forth chapter, curvatures of a surface on Lorentz 3-space are dened and some examples of umbilical surfaces are given. Finally in the fth chapter some theorems for surfaces with constant mean curvature and constant Gauss curvature are given. 2010, 60 pages Key Words: Lorentz 3-space, Helicoidal surfaces, Umbilical surfaces, Constant mean curvature, Constant Gauss curvature. ii

4 TESEKK UR Bu calsma konusunu bana vererek, bana arastrma olanag saglayan ve arastrmalarmn her asamasnda en yakn ilgi ve onerileriyle beni yonlendiren dansman hocam, Sayn Prof. Dr. Yusuf YAYLI (Ankara Universitesi Fen Fakultesi)'ya, tezimle ilgili kendisi ile calsma frsat buldugum es dansman hocam Sayn Prof. Dr. Rafael LOPEZ ( Universidad de Granada Deparmant of Geometry and Topology)'e, calsmalarm suresince desteklerini esirgemeyen Sayn Doc Dr. Hac AKTAS (Nevsehir Universitesi Fen Edebiyat Fakultesi)'a tesekkurlerimi sunarm. Ayrca calsmalarm suresince bircok fedakarlklar gostererek beni destekleyen aileme en derin duygularla tesekkur ederim. Esma DEM IR _ Ankara, 2010 iii

5 _IC _INDEK_ILER OZET i ABSTRACT ii TESEKK UR iii S_IMGELER D_IZ_IN_I v SEK_ILLER D_IZ_IN_I vi 1. G_IR_IS 1 2. LORENTZ-M_INKOWSKI UZAYI Temel Tanmlar Lorentz Vektorel C arpm E1 3 un Izometrileri _ E1 3 te Egriler ve Yuzeyler HEL_IKO_IDAL Y UZEYLER Tanmlar ve Parametrizasyonlar Bir Noktann Helikoidal Hareket Alt. Yorungesi E1 3 te Helikoidal Yuzey Ornekleri E1 3 te Y UZEYLER_IN E GR_IL_IKLER_I Non-dejenere Yuzeylerin Ortalama Egrilikleri ve Gauss Egrilikleri Umbilik Yuzeyler HEL_IKO_IDAL Y UZEYLER_IN ORT. VE GAUSS E GR_IL_IKLER_I Helikoidal Yuzeylerin Ort. ve Gauss Egriligi Egriliklerin Sabit Olma Durumu Polinomlar ve C emberler Tarafndan Uretilen Helikoidal Yuzeyler H 2 = K Sartn Saglayan Timelike Yuzeyler KAYNAKLAR 58 iv

6 S_IMGELER D_IZ_IN_I E boyutlu Lorentz-Minkowski uzay T p M p 2 M noktasndaki tanjant uzay H Ortalama egrilik K Gauss egriligi G L;h Ekseni L ve adm h olan helikoidal hareket grubu H 2 1 Hiperbolik yuzey S 2 1 De Sitter yuzeyi E; F; G Bir yuzey icin birinci esas formun katsaylar e; f; g Bir yuzey icin ikinci esas formun katsaylar W Birinci esas form C Light koni v

7 SEK_ILLER D_IZ_IN_I Sekil Light koni 4 Sekil Hiperbolik yuzey, light koni, De Sitter yuzeyi 14 Sekil Hiperbolik yuzey 18 Sekil De Sitter yuzeyi 19 Sekil E 3 1 te Lorentz cemberleri 21 Sekil Birinci cesit helikoid 24 Sekil _ Ikinci cesit helikoid 24 Sekil Ucuncu cesit helikoid 25 Sekil Cayley yuzeyi 25 Sekil Lorentz silindiri 26 Sekil Parabolik null silindir 27 Sekil K = 0 ve ekseni timelike olan helikoidal yuzey 44 vi

8 Sekil K = 0 ve ekseni lightlike olan helikoidal yuzey 45 Sekil H = K = 1 ve ekseni lightlike olan helikoidal yuzey 46 vii

9 1. G_IR_IS Bilindigi gibi Oklid uzaynda H 2 K > 0 sartn saglayan yuzeyler icin Weingarten donusumunun matrisi, pozitif tanml bir metrige gore self-adjoint oldugu icin kosegenlestirilebilirdir. Hatta H 2 K = 0 sartn saglayan noktalar yuzeyin umbilik noktalardr. Oklid uzaynda tum noktalar umbilik olan yuzeyler umbilik yuzeylerdir. E1 3 te H; K ve umbilik olma arasndaki iliski Oklid uzayndan farkldr. Oncelikle H ve K dan bahsedebilmek icin non-dejenere yuzeylere ihtiyac vardr. Bunun icin de yuzeyler uzerinde tanmlanan metrik non-dejenere olmaldr. E1 3 te iki cesit non-dejenere yuzey vardr. Birincisi metrigin pozitif tanml oldugu spacelike yuzeyler, ikincisi ise metrigin Lorentz metrigi (non-dejenere indeks 1) oldugu timelike yuzeylerdir. Bu iki durumda H ve K, Oklid uzayna benzer sekilde tanmlanr. A p bir p 2 M noktasndaki sekil operatoru olmak uzere H(p) = iz(a p ); K(p) = det(a p ) seklindedir. Burada eger yuzey spacelike ise = 1; timelike ise = 1 olarak alnacaktr. E 3 1 te spacelike bir yuzey icin H(p) 2 K(p) > 0 sart saglanr ve Weingarten donusumunun matrisi kosegenlestirilebilirdir. p noktas umbilik oldugunda H(p) 2 K(p) = 0 olur. Bu yuzden durum Oklid uzay ile ayndr. Timelike durumda ise (i) A p kosegenlestirilebilir ise H(p) 2 H(p) 2 K(p) = 0 olur. K(p) > 0 dr ve p noktas umbilik oldugunda (ii) A p kosegenlestirilemez ise bu durumda H(p) 2 K(p) 6 0 dr. Oklid uzaynda oldugu gibi E 3 1 te tum noktalar umbilik olan yuzeyler umbilik 1

10 yuzeylerdir. Bunlar duzlemler, hiperbolik yuzeyler ve pseudo kurelerdir. Bu yuzeylerin sekil operatorunun matrisi kosegenlestirilebilirdir. Bununla beraber0 sekil operatorunun 1 matrisi birim matrisin kat olmayan ancak a 2 R olmak a 0 A seklinde 1 a yazlabilen yuzeyler de vardr. Bunlara genellestirilmis umbilik yuzeyler denir. Hiperbolik yuzeyler spacelike yuzeylerdir ve negatif sabit egrilige sahiptirler. Pseudo kureler ise timelike yuzeylerdir ve pozitif sabit egrilige sahiptirler. Bu yuzden Oklid uzayndaki kurelerle benzerlerdir. Bu calsma cercevesinde,oncelikle 3 boyutlu Lorentz uzay ile ilgili temel tanmlar verilecektir. Ayrca E1 3 te vektorel carpm, izometriler, egriler, yuzeyler, donme hareket gruplar, helikoidal hareket gruplarndan bahsedilecektir. Bununla beraber E1 3 te helikoidal yuzeyler ve umbilik yuzeyler ele alnarak ornekler verilecektir ancak genellestirilmis umbilik yuzeyler ele alnmayacaktr. E1 3 te helikoidal yuzeylerin ortalama egrilikleri H ve Gauss egrilikleri K icin bu egriliklerin sabit olmas durumu gibi basit fonksiyonlar aranacaktr. 2

11 2. LORENTZ-M_INKOWSK_I UZAYI 2.1 Temel Tanmlar R 3, bilinen vektor yapsyla uc boyutlu reel vektor uzay ve E 1 = (1; 0; 0); E 2 = (0; 1; 0); E 3 = (0; 0; 1) iken B u = fe 1 ; E 2 ; E 3 g; R 3 un bilinen baz olmak uzere (x; y; z) bu baza gore bir vektorun koordinatlardr. Eger fe 1 ; :::; e m g vektor cumlesi ise he 1 ; :::; e m i = f P a i e i ; a i 2 R; 1 6 i 6 mg bu vektorlerin lineer kombinasyonlar tarafndan uretilen alt vektor uzaydr. Tanm 2.1.1: u = (u 1 ; u 2 ; u 3 ) ve v = (v 1 ; v 2 ; v 3 ) 2 E 3 olmak uzere Lorentz uzaynda ic carpm asagdaki sekilde tanmlanr: h; i : E 3 xe 3! E (u; v)! hu; vi = u 1 v 1 + u 2 v 2 u 3 v 3 E 3 uzerinde tanmlanan bu simetrik,bilineer ve nondejenere metrik tensore Lorentz metrigi denir (O'Neill 1983). Ayn zamanda hu; vi = u t B0 1 0 A v = ut Gv yazlabilir. Tanm 2.1.2: h; i ; E 3 de Lorentz metrigi olsun.fe 3 ; h; ig ikilisine 3 boyutlu Lorentz uzay denir ve E1 3 ile gosterilir. v = (v 1 ; v 2 ; v 3 ) 2 E1 3 olmak uzere v nin normu kvk = p jhv; vij seklinde tanmlanr. (O'Neill 1983). Tanm 2.1.3: v = (v 1 ; v 2 ; v 3 ) 2 E 3 1 olmak uzere 3

12 hv; vi < 0 ise v ye timelike vektor; hv; vi = 0 ve v 6= 0 ise v ye null ya da lightlike vektor; hv; vi > 0 ise v ye spacelike vektor denir (O'Neill 1983). E 3 1 te lightlike koni tum lightlike vektorlerin kumesidir ve asagdaki sekilde tanmlanr C = f(x; y; z) 2 E 3 1 : x 2 + y 2 z 2 = 0g f(0; 0; 0)g Sekil 2.1.1: Light koni Tanm 2.1.4: U E1 3 bir altvektor uzay olsun. U uzerinde tanmlanan metrik h; i ju pozitif tanmlysa U ya spacelike, nondejenere indeks 1 ise timelike, dejenere ve U 6= f0g ise lightlike denir. Bir vektorun ya da bir alt vektor uzaynn karakteri spacelike, timelike ya da lightlike olarak belirlidir. Bu durumda U bu uc durumdan birini saglar. Onerme 2.1.1: U, E 3 1 un bir alt vektor uzay olsun. (i) Eger U = hui ve u spacelike (srasyla timelike, lightlike) ise U da spacelike ( srasyla timelike, ligthlike) olur. (ii) U? timelike (srasyla spacelike, lightlike) ise U spacelike (srasyla timelike, lightlike) olur. 4

13 (iii) Eger U lightlike bir duzlem ise bu durumda boy(u \ U? ) = 1 dir. (iv) boy(u) = 2 olsun. Bu durumda U iki tane lineer bagmsz lightlike vektor iceriyor ise kendisi timeliketr. Diger yandan U bir lightlike vektor iceriyor ancak timelike vektor icermiyorsa kendisi lightliketr. Onerme 2.1.2: (i) u ve v iki timelike vektor ve hu; vi 6= 0 olmak uzere hju; vji > p hu; ui p hv; vi dir. hu; vi < 0 ve u ile v arasndaki hiperbolik ac ' olmak uzere hu; vi = dir. juj jvj cosh ' (ii) u ve v iki lightlike vektor olmak uzere hu; vi = 0 ise bu vektorler lineer bagmldr. (iii) u ve v iki timelike ya da lightlike vektor olmak uzere hu; vi = 0 ise bu durumda bu vektorlerin ikisi de lightliketr. ; E1 3 te tum timelike vektorlerin kumesi olsun. u; v 2 olmak uzere yukardaki onermeden hu; vi > 0 veya hu; vi < 0 oldugunu biliyoruz. u 2 olmak uzere C(u) = fv 2 ; hu; vi < 0g kumesine u ya ait timelike koni denir. Tanm 2.1.5: E 3 = (0; 0; 1) ve u bir timelike vektor olmak uzere u 2 C(E 3 ) ise u ya gelecek yonlu denir. Onerme 2.1.3: P; E 3 1 te bir duzlem olsun. N e de Oklid metrigi ile bu duzleme ortogonal vektor olmak uzere N e timelike (srasyla spacelike, lightlike) ise P spacelike (srasyla timelike, lightlike) olur. 5

14 2.2 Lorentz Vektorel C arpm Tanm 2.2.1: u; v 2 E 3 1 esitlikleri saglar. olmak uzere u ve v nin vektorel carpm uxv asagdaki huxv; wi = det(u; v; w) uxv = i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 Eger Oklid uzayndaki vektorel carpma ux e v dersek, uxv, ux e v nin z = 0 duzlemine gore yansmasdr. Onerme 2.2.1: Lorentz vektorel carpm asagdaki ozellikleri saglar. (i) uxv = vxu dir. (ii) uxv vektoru u ve v ye diktir. (iii) uxv = 0 olmas icin gerek ve yeter sart bu vektorlerin bagml olmamalardr. (iv) uxv 6= 0 olmak uzere bu vektorun P = hu; vi duzleminde olmas icin P lightlike olmaldr. Tanm 2.2.2: E 3 1, 3 boyutlu Lorentz uzay ve u; v 2 E 3 1 olsun. hu; vi = 0 ise u ve v vektorleri E 3 1 de birbirine ortogonaldir denir (O'Neill 1983) E 3 1 un _Izometrileri Tanm 2.3.1: E 3 1 un bir izometrisi A : E 3 1! E 3 1, Lorentz metrigini koruyan 6

15 bir izomorizmdir. Oyle ki hau; Avi = hu; vi ; u; v 2 E 3 1 dir. E1 3 un butun izometrilerinin cumlesi O 1 (3) ile gosterilir. O 1 (3) un bir eleman iki ortonormal baz arasndaki gecis matrisi olarak alnabilir. C unku E1 3 un bir izomorzmi A olmak uzere eger A ortonormal baz olmay koruyorsa bir izometridir. Lemma 2.3.1: A 2 O 1 (3) olsun. (i) det A = 1 ise A yonlendirmeyi korur. (ii) A = (a ij ) olmak uzere det A = 1 ve a 33 korur. > 0 ise A timelike yonlendirmeyi Teorem 2.3.1: O 1 (3) un baglantl elemanlar O ++ 1 (3) = fa 2 O 1 (3); det A = 1; a 33 > 0g O + 1 (3) = fa 2 O 1 (3); det A = 1; a 33 < 0g O + 1 (3) = fa 2 O 1 (3); det A = 1; a 33 > 0g O 1 (3) = fa 2 O 1 (3); det A = 1; a 33 < 0g olarak tanmlanr ve O ++ 1 (3) kumesine ortocrone grup denir. Tanm 2.3.2: E 3 1 te donme, bir vektoru, L dogrusu uzerinde bir nokta etrafnda hareket ettiren izometridir. L dogrusuna donmenin ekseni denir. E 3 1 te eksenin spacelike, timelike veya lightlike olmasna gore uc cesit donme hareketi vardr. Bu durumda L, srasyla z-ekseni, x-ekseni veya (1,0,1) vektoru tarafndan 7

16 uretilen dogru alnabilir. Donme hareketinin matrisi de yine L nin karakterine bagl olarak degisir. 1. L = h(0; 0; 1)i seklinde timelike ise donme matrisi A 0 1 cos sin 0 A = Bsin cos A, R 2. L = h(1; 0; 0)i seklinde spacelike ise donme matrisi A A = B0 cosh sinh A, 0 sinh cosh 2 R 3. L = h(1; 0; 1)i seklinde lightlike ise donme matrisi A 0 1 A = C 2 A, R olur. Tanm 2.3.3: Lorentz hareketi : E 3 1 Oyle ki! E 3 1 uzaklg koruyan bir donusumdur. j(p) (q)j 2 = jp qj 2 dir. v 2 E 3 1 vektorunun otelemesi T v (p) = p + v donusumudur. Her Lorentz hareketi E 3 1 un bir izometrisi A ve otelemesi T v nin bileskesidir. Ksaca = T v oa dr. 8

17 Teorem 2.3.2: Lorentz hareket grubu Lorentz hareketlerinin asikar olmayan bir grubudur. Her helikoidal hareket grubu bir L ekseni ve h 2 R admyla kesin olarak tanmlanr. Bu grubu G L;h ile gosterecegiz. 1. L = h(0; 0; 1)i seklinde timelike ise cos t sin t 0 a 0 t (a; b; c) = Bsin t cos t 0C A + h A c t (2.1) 2. L = h(1; 0; 0)i seklinde spacelike ise a t t (a; b; c) = B0 cosh t sinh tc A + h A 0 sinh t cosh t c 0 (2.2) 3. L = h(0; 0; 1)i seklinde lightlike ise 0 1 t (a; b; c) = t 2 t t 3 1 t 2 2 a t t 1 t C BbC t 2 A + h 3 B t 2 t 1 + t2 c t 3 A t (2.3) olarak tanmlanr. Eger h = 0 alnrsa bu durumda L ekseni etrafnda bir donme grubu elde edilir. Helikoidal hareket gruplarnda otelemenin ekseni, donme ekseninin karakterine bagl olarak degisiklik gosterir. (i)eger donme ekseni timelike ya da spacelike ise oteleme de bu eksen uzerinde olur. 9

18 (ii) Eger donme ekseni lightlike ise oteleme bu eksen uzerinde degildir. Bu eksene paralel olan bir dogru uzerindedir. Ornek fe 1 ; e 2 ; e 3 g, E 3 1 un ortonormal baz, t 2 R ve A lightlike eksen uzerinde bir donme, v = (1; 0; 1) olmak uzere helikoidal hareket = T v oa 0 1 t (a; b; c) = t 2 t t 2 2 a 1 t 1 t C BbC t 2 A + A t 1 + t2 c dir. Burada nin yeni ekseni L ye paralel olan R = (0; Baz yazarlar buna kubik vida hareketi de demektedir. 1; 0)+h(1; 0; 1)i dogrusudur E 3 1 te Egriler ve Yuzeyler I; R nin bir ack aralg olmak uzere E1 3 te bir egri : I! E1 3 seklinde tanml diferensiyellenebilir bir fonksiyondur. Eger bir t 0 2 I noktasnda 0 (t 0 ) 6= 0 ise ya bu noktada regulerdir denir. E1 3 te vektorlerin karakterleri asagdaki gibi ifade edilir. Tanm 2.4.1: ; E 3 1 te bir egri olsun. Eger bir t 2 I noktas icin 0 (t) spacelike (srasyla timelike, lightlike) ise (t) spacelike (srasyla timelike, lightlike) tr. Genel olarak, E1 3 te bir egrinin karakteri I nn butun noktalarnda ayn degildir. Yani nn spacelike, timelike, lightlike oldugu noktalar olabilir. Bununla beraber nn spacelike ve timelike oldugu noktalar arasnda, lightlike oldugu bir nokta da vardr. Eger ; bir t 0 2 I noktasnda spacelike ya da timelike ise nn ayn karaktere sahip oldugu bir (t 0 ; t 0 + ) ack aralg vardr. Lemma 2.4.1: Her spacelike ya da timelike egri yay parametresi ile parametrelendirilebilir. Bir : I! E 3 1 egrisi icin bir : J! I dieomorzmi vardr oyle 10

19 ki = o bir egri olmak uzere her s 2 j icin spacelike ise h 0 (s); 0 (s)i = 1 ve her s 2 J icin timelike ise h 0 (s); 0 (s)i = 1 dir. M; baglantl bir yuzey ve x : M! R 3 bir immersiyon oyle ki T p M, p 2 M noktasndaki teget duzlem olmak uzere x in p noktasndaki diferensiyeli (dx) p : T p M! R 3 olsun. Bu durumda (dx) p (T p M); R 3 te T p M (dx) p T p M seklinde bir duzlem olur. g p (u; v) = hdx p (u); dx p (v)i metrigi icin x : (M; g p )! E 3 1, M nin bir izometrik immersiyonudur. Bununla beraber M ye x ile beraber E 3 1 te bir yuzey denir. Tanm 2.4.2: Bir x : M! E 3 1 immersiyonu icin p noktasndaki birinci esas form g p : T p MxT p M! R metrigidir. T p M uzerindeki metrik uc sekilde olabilir. (i) T p M, spacelike bir duzlem ise g p pozitif tanmldr. (ii) T p M, timelike bir duzlem ise g p indeks 1 tipinde bir metriktir. (iii) T p M, lightlike bir duzlem ise g p dejenere bir metriktir. Tanm 2.4.3: Eger bir M yuzeyi ve her p 2 M icin T p M spacelike (srasyla timelike, lightlike) ise M nin immersiyonu x : M! E1 3 de spacelike (srasyla timelike, lightlike) tr. Bununla beraber M de spacelike (srasyla timelike ya da lightlike) tr. _Immersiyon timelike ya da spacelike ise non-dejeneredir. Bundan sonra g p yerine h; i ifadesi kullanlacaktr. Tanm 2.4.4: X : U! M, M nin bir parametrizasyonu olsun. Birinci esas 11

20 formun katsaylar E; F; G : U! R olmak uzere E = hx u ; X u i, F = hx u ; X v i ; G = hx v ; X v i dir. Bununla beraber W = EG F 2 olarak tanmlanr. Onerme 2.4.1: X : U! M, M nin bir parametrizasyonu olsun. Eger M non-dejenere ise N(u; v) = X uxx v jx u xx v j olarak tanmlanr. Asagdaki onermeler birbirine denktir. (i) M yuzeyi spacelike (ya da timelike) tr. (ii) W pozitif (ya da negatif) tanmldr. (iii) N timelike (ya da spacelike) tr. Bunun yannda W = 0 ya da X u xx v vektoru lightlike ise M, lightliketr. Onerme 2.4.2: x : M! E 3 1, M yuzeyinin spacelike bir immersiyonu olsun. Bu durumda M yonlendirilebilir bir yuzeydir. _Ispat: Her p 2 M icin, T p M spacelike bir duzlemdir. O halde T p M? timeliketr. T p M? uzerinde iki timelike vektor arasnda hn(p); E 3 i < 0 olacak sekilde bir N(p) 2 C(E 3 ) olsun. M nin yonlendirilmesini saglayan bu N : M! E1 3 fonksiyonunun diferensiyellenebilir olmas gerekmektedir. Bunun icin U ack, baglantl bir kume, X : U R 2! M koordinat fonksiyonu ve X = X(u; v) olmak uzere U uzerinde tanmlanan N(u; v) = X uxx v jx u xx v j fonksiyonu T X(u;v) M ye ortogonal olan bir birim vektor tanmlar. D E N; N = 1 veya 12

21 D E N; N = 1 dir. O halde N; N veya N ile uyusur. Bu da diferensiyellenebilir oldugunu gostermektedir. Spacelike yuzeylerde bir N yonlendirmesi alndgnda her zaman hn; E 3 i < 0 ve M nin yonlendirmesi gelecek yonlu kabul edilecektir. Oklid uzaynn tersine, Lorentz-Minkowski uzaynda kure tanm yoktur. yerine asagdaki kuadrikler tanmlanr. r > 0 ve p 0 2 E 3 1 olmak uzere : Bunun 1. Yarcap r ve merkezi p 0 olan hiperbolik yuzey H 2 1(r; p 0 ) = fp 2 E 3 1; hp p 0 ; p p 0 i = r 2 g 2. Yarcap r ve merkezi p 0 olan psuedo-kure S 2 1(r; p 0 ) = fp 2 E 3 1; hp p 0 ; p p 0 i = r 2 g 3. Merkezi p o olan lightlike koni C(p 0 ) = fp 2 E 3 1; hp p 0 ; p p 0 i = 0g Eger p 0 orijin ise ilk iki durum icin H 2 1(r) ve S 2 1(r) de yazlr. Tanm 2.4.5: Hiperbolik yuzey H 2 1(1) seklinde tanml yuzeydir ve H 2 1 ile gosterilir. De Sitter Yuzeyi ise S 2 1 = S 2 1(1) olarak tanmlanr. M non-dejenere bir yuzey ve N(p) de her p noktasnda T p M ye ortogonal olan birim vektor olmak uzere M spacelike ise N(p) 2 H 2 1(1) ve M timelike ise N(p) 2 S 2 1(1) dir. Teorem 2.4.1: Hiperbolik yuzey H 2 1 spacelike bir yuzey ve De Sitter yuzeyi S 2 1 timelike bir yuzeydir. Bununla beraber lightlike koni, lightlike bir yuzeydir. 13

22 Tanm 2.4.6: Nondejenere bir M yuzeyi uzerindeki yonlendirme N : M! E1 3 seklindeki diferensiyellenebilir fonksiyondur. Oyle ki her p 2 M icin jn(p)j, Tp M ye ortogonaldir ve jn(p)j = 1 dir. Hatta eger M spacelike bir yuzey ise gelecek yonlu bir yonlendirmeye sahiptir. Bu da N : M! H1 2 seklinde bir donusum tanmlar. Sekil 2.4.1: Hiperbolik yuzey, light koni, De Sitter yuzeyi Sekilde srasyla hiperbolik yuzey, light koni ve De Sitter yuzeyi gorulmektedir. 14

23 3. HEL_IKO_IDAL Y UZEYLER 3.1 Tanmlar ve Parametrizasyonlar Tanm ( Birinci Tanm): E1 3 te duzlemsel bir egrinin bir paramatreli helikoidal hareket grubu altnda cizdigi yorungeye helikoidal yuzey denir. Eger hareketin ekseni L ve adm h ise helikoidal hareket grubu G L;h ile gosterilir. Donel yuzeyler h = 0 olan helikoidal yuzeylerdir. Duzlemsel egri (s) ve helikoidal hareket grubu G L;h = f(t); t 2 Rg ise yuzeyin parametrizasyonu X(s; t) = (t)((s)) dir. Tanm (_Ikinci Tanm): E1 3 te bir helikoidal yuzey helikoidal hareketlerin bir parametreli grubu G L;h altnda invaryant olan yuzeydir. Burada yuzey, M 2-boyutlu bir manifold olmak uzere, X : M! E1 3 seklinde bir immersiyondur. Eger 8t 2 R icin (t)(x(m)) X(M) ise yuzeye invaryant denir. Lemma 3.1.1: L timelike bir eksen olmak uzere M, helikoidal hareket grubu G L;h altnda invaryant bir yuzey olsun. Ekseni iceren bir P duzlemi alnrsa bu durumda P \ M reguler egrilerin baglantl elemanlarndan olusur. boyle bir eleman ise M = t ( ) dir. _Ispat: L = h(0; 0; 1)i ve P de y = 0 duzlemi olmak uzere verilen bir p 2 E 3 1, p =2 L noktas icin p nin yorungesi = G L;h (p), P duzlemini belli noktalarda keser. Eger p = (a; b; c) ise G L;h (p), (t) = (a cos t b sin t; a sin t + b cos t; c + ht) seklinde parametrize edilir. O halde a sin t + b cos t = 0 olmas durumunda ; P ile kesisir. a = 0 ise t = ; a 6= 0 ise 2 sin t = b= p a 2 + b 2 ve cos t = a= p a 2 + b 2 olur. ft + 2n; n 2 Zg kumesi alnarak aranan noktalar bulunur. Oteleme grubu, Tv tarafndan v = (0; 0; h) ile uretilir. 1 ve 2, M \ P nin t ( 1 ) \ 2 6=? sartn saglayan iki eleman olsun. Eger (a 0 ; 0; c 0 ) 2 1 ve t (a 0 ; 0; c 0 ) 2 2 P ise bu durumda a 0 sin t = 0 olur. a 0 6= 0 ise 15

24 sin t = 0 olmaldr. O halde i P ise t ( i ) P olur. Buradan da t ( 1 ) 2 olur. Benzer sekilde t ile beraber 1 \ t ( 2 ) 6=? alarak t ( 1 ) = 2 elde edilir. Sonuc olarak eger 1; G L;h ( 1 ) \ 2 =? sartn saglyor ise G L;h ( 1 ), S de kapal bir kumedir ve bu da bir celiskidir. Eger helikoidal hareketin ekseni timelike degilse bu sonuc gecerli degildir. Ornek 3.1.1: De sitter yuzeyi S1; 2 L = h(1; 0; 0)i ile G L;0 n donme hareket grubu altnda invaryanttr. p = (x; y; z) 2 S1 2 ise x 2 + y 2 z 2 = 1 dir ve t (p) = (x; y cosh t+z sinh t; y sinh t+z cosh t) olur. Bu da yukardaki esitligi saglar. Ancak S1, 2 y = 0 duzlemi ile kesistiginde 1 (s) = (cosh s; 0; sinh s) ve 2 (s) = ( cosh s; 0; sinh s) egrileri elde edilir. Bu egrilere donme hareketi uygulanrsa S1 2 f(0; y; z); y 2 z 2 g bulunur. Lemma 3.1.2: M, E1 3 te h 6= 0 olmak uzere helikoidal hareket grubu G L;h altnda invaryant bir yuzey olsun. L, spacelike (veya lightlike) ve P de L ye ortogonal bir duzlem (ya da L yi iceren lightlike duzlem) olmak uzere M \P, M = G L;h () sartn saglayan egrisidir. _Ispat: p 2 M \ P noktas alnrsa bu noktann yorungesi G L;h (p), P duzlemini tek noktada keser. (i) Eksen L = h(1; 0; 0)i spacelike ve P de x = 0 duzlemi olsun. Bu durumda p noktasnn yorungesi (t) = (a + ht; b cosh t c sinh t; b sinh t + c cosh t) olur. Eger a + ht = 0 ise ; P duzlemini keser. Buradan t = a olarak bulunur. h (ii) Eksen L = h(1; 0; 1)i lightlike ve duzlem de P = h(1; 0; 1); (0; 1; 0)i olmak uzere (t) 2 P olmas icin t = a c 2h olmaldr. O halde M \ P nin tek bir elemana sahip oldugu gosterilmis oldu. 16

25 Teorem 3.1.1: M; E1 3 te helikoidal hareket grubu G L;h altnda invaryant bir yuzey olsun. Eger L timelike ya da h 6= 0 olmak uzere timelike olmayan bir eksen ise G L;h ( ) = M olacak sekilde duzlemsel bir egrisi vardr. Bu egriye M nin uretec egrisi denir. (i) L timelike ise bu durumda, L yi iceren bir duzlemin elemandr. L = h(0; 0; 1)i ise bu egri (s) = (f(s); 0; g(s)) seklinde parametrize edilir ve t (2.1) ile verilen helikoidal hareket, M yuzeyi de X(s; t) = t ((s)) olmak uzere X(s; t) = (f(s) cos t; f(s) sin t; ht + g(s)) (3.1) olur. (ii) L spacelike ise bu durumda, L ye ortogonal bir duzlem ile M nin kesisimidir.. L = h(1; 0; 0)i ise bu egri (s) = (0; f(s); g(s)) seklinde parametrize edilir ve t (2.2) ile verilen helikoidal hareket, M yuzeyi de X(s; t) = t ((s)) olmak uzere X(s; t) = (ht; f(s) cosh t + g(s) sinh t; f(s) sinh t + g(s) cosh t) (3.2) olur. (iii) L lightlike ise bu durumda, L yi iceren dejenere duzlem ile M nin kesisimidir. L = h(1; 0; 1)i ise bu egri (s) = (f(s); g(s); f(s)) seklinde parametrize edilir ve t (2.3) ile verilen helikoidal hareket, M yuzeyi de X(s; t) = t ((s)) olmak uzere X(s; t) = (f(s) + tg(s) + h( t3 3 t); g(s) + ht 2 ; f(s) + tg(s) + h( t3 3 + t)) (3.3) olur. Ornek 3.1.2: E 3 1 un her P duzlemi donel yuzeydir. P nin karakterine bagl olarak uc farkl durum vardr. (i) P, z = 0 spacelike duzlemi olsun. Bu durumda P; (s) = (s; 0; 0) dogrusunun 17

26 timelike z ekseni etrafnda dondurulmesiyle elde edilen donel yuzeydir ve X(s; t) = (s cos t; s sin t; 0); s; t 2 R dir. (ii) P, x = 0 timelike duzlemi olsun. Bu durumda P; (s) = (0; s; 0) dogrusunun spacelike x ekseni etrafnda dondurulmesiyle elde edilen donel yuzeydir ve X(s; t) = (0; s cosh t; s sinh t); s; t 2 R dir. (iii) P, x z = 0 spacelike duzlemi olsun. Bu durumda P; (s) = (0; s; 0) dogrusunun lightlike eksen etrafnda dondurulmesiyle elde edilen donel yuzeydir ve X(s; t) = (st; s; st); s; t 2 R dir. Ornek 3.1.3: Hiperbolik yuzeyler uretec egrileri spacelike, eksenleri timelike olan donel yuzeylerdir. L; timelike z ekseni, P, y = 0 duzlemi ve uretec egri x 2 z 2 = r 2 esitligiyle beraber olarak alnrsa bu durumda (s) = (r sinh s; 0; r cosh s) ve yuzeyin parametrizasyonu da X(s; t) = (r sinh s cos t; r sinh s sin t; r cosh s) olur. Bu yuzey x 2 + y 2 z 2 = r 2 ; z > 0 esitligini saglar ve H1 2 yuzeyidir. Sekil 3.1.1: Hiperbolik yuzey 18

27 Ornek 3.1.4: Pseudo kureler uretec egrileri ve eksenleri timelike olan donel yuzeylerdir. Yine timelike L ekseni, bu ekseni iceren P duzlemi ve uretec egri x 2 z 2 = r 2 esitligiyle beraber olarak alnrsa bu durumda (s) = (r cosh s; 0; r sinh s) olur. Bu egrinin z ekseni etrafnda dondurulmesiyle X(s; t) = (r cosh s cos t; r cosh s sin t; r sinh s) elde edilir. Bu yuzey x 2 + y 2 z 2 = r 2 ; z > 0 esitligiyle beraber S 2 1 yuzeyidir. Sekil 3.1.2: De Sitter yuzeyi 3.2 Bir Noktann Helikoidal Hareket Altndaki Yorungesi Onerme 3.2.1: Bir yorungenin karakteri sabittir. _Ispat: p = (a; b; c) noktasnn yorungesi icin uc farkl durum soz konusudur. (i) L timelike ise p nin yorungesi (t) = (a cos t b sin t; a sin t + b cos t; c + ht) 19

28 dir. Bu durumda h 0 (t); 0 (t)i = a 2 + b 2 h 2 olur. (ii) L spacelike ise p nin yorungesi G L;h (p) (t) = (a + ht; b cosh t + c sinh t; b sinh t + c cosh t) dir. Bu durumda h 0 (t); 0 (t)i = b 2 + c 2 + h 2 olur. (iii) L lightlike ise p nin yorungesi (t) = (a + (b h)t + c a 2 t2 + h t3 3 ; b + (c a)t + ht2 ; a + (b + h)t + c a 2 t2 + h t3 3 ) dir. Bu durumda h 0 (t); 0 (t)i = (a c) 2 4bh olur. Tanm 3.2.1: E 3 1 te bir noktann donme grubu altndaki yorungesi Lorentz cemberidir. p = (a; b; c); E 3 1 te bir nokta ve G L = f t : t 2 Rg de L eksenine gore donme grubu olsun. p nin G L altndaki yorungesi (t) = t (p); t 2 R olmak uzere p =2 L alnrsa yine L nin karakterine bagl olarak uc farkl durum soz konusudur. (i) Eksen timelike z ekseni ise (t) = (a cos t b sin t; b cos t + a sin t; c) egrisi olur. Bu egri z = c duzleminde yarcap p a 2 + b 2 olan spacelike cemberdir. (ii) Eksen spacelike x ekseni ise (t) = (a; b cosh t + c sinh t; c cosh t + b sinh t) egrisi olur. Bu egri icin j 0 (t)j 2 = b 2 + c 2 olarak hesaplanr. Bu durumda b ve c nin alacag degerlere gore uc farkl durum soz konusudur. (a) b 2 < c 2 ise spacelike bir egridir ve z-eksenini tek noktada keser. Eger p = (0; 0; c) olarak alnrsa (t) = (0; c sinh t; c cosh t) olur. Bu egri x = 0 duzleminde z 2 y 2 = c 2 hiperboludur. (b) b 2 = c 2 ise lightlike bir egridir ve (t) = (a; + c(cosh t+sinh t); c(cosh t+sinh t)) 20

29 olur. Buradan, x = a duzlemindeki y = + z dogrularndan biridir (c) b 2 > c 2 ise timelike bir egridir ve y-eksenini tek noktada keser. Eger p = (0; b; 0) olarak alnrsa (t) = (0; b cosh t; b sinh t) olur. Bu egri x = 0 duzleminde y 2 z 2 = b 2 hiperboludur. (iii) Eksen L = h(1; 0; 1)i yani lightlike ise ve p = (a; 0; c) ise j 0 (t)j 2 = (a c) 2 ve p =2 L oldugundan spacelike bir egridir ve (t) = (a; 0; c) + (c a)t(0; 1; 0) + (c a)(t 2 =2)(1; 0; 1) seklinde ifade edilir. Bu egri x z = a c duzleminde yatar ve ekseni (1; 0; 1) e paralel olan bir paraboldur. Sekil 3.2.1: E 3 1 te Lorentz cemberleri E 3 te bir helis, her noktasndaki tegeti sabit bir v vektoruyle sabit ac yapan egridir. Ya da baska bir ifadeyle egrilik ve da torsiyon olmak uzere = sabit olan bir egridir. Eger ve sabitse bu durumda bu egri dairesel helis olarak adlandrlr. Diger yandan E 3 te bir noktann bir helikoidal hareket grubu altndaki yorungesi, ve sabit olan egridir ve bu da dairesel helistir. Lorentz uzaynda ise durum biraz farkldr. Lorentzde acdan bahsetmek sadece timelike vektorler soz konusu oldugunda mumkundur. 21

30 Bir : I R! E1 3 nondejenere egrisi icin h( 0 (s); 0 (s)i = olmak uzere eger spacelike ise = 1 ve timelike ise = 1 dir. Bununla beraber 00 (s); 0 (s) ye ortogonal oldugundan h 00 (s); 0 (s)i = 0 olur. Eger timelike ise her s icin 00 (s) spaceliketr. Ancak spacelike ise 00 (s) spacelike, timelike ya da lightlike olabilir. 00 (s) lightlike degilse ve 00 (s) 6= 0 ise bu durumda bir Frenet egrisidir. t(s) = 0 (s) tanjant vektor olmak uzere nn egriligi (s) = j 00 (s)j, normali n(s) = 00 (s)=(s); binormali b(s) = t(s)xn(s) olur. b(s); n(s) ve t(s) ye ortogonaldir. hn(s); n(s)i = olmak uzere = 1 ise n(s) spacelike, = 1 ise n(s) timeliketr. hb(s); b(s)i = dir. ft(s); n(s); b(s)g bazna Frenet cats denir. Bu uc vektorun turevleri Frenet esitlikleri olarak adlandrlr ve asagdaki gibidir. t 0 (s) = (s)n(s) n 0 (s) = (s)t(s) + b(s) b 0 (s) = (s)n(s) fonksiyonuna egrisinin torsiyonu denir ve ikinci esitlikten = elde edilir. hn 0 (s); b(s)i Frenet egrileri icin egrilik ve torsiyon sabittir. (i) L timelike ve p 2 L ise (t) = (0; 0; c + ht); L eksenini tanmlar. p =2 L ise h 0 (t); 0 (t)i = a 2 + b 2 h 2 olarak hesaplanr ve bu durumda 'nn karakteri sabittir. p = (a; 0; 0) ve a 6= 0 ise (t) = (a cos t; a sin t; ht) olur ve h 0 (t); 0 (t)i = a 2 h 2 bulunur. Buradan eger a 2 > h 2 ise spacelike, a 2 < h 2 ise timelike olur. (t) = (a cos t p (a 2 h 2 ) ; a sin t p (a 2 h 2 ) ; h t p (a 2 h 2 ) ) ve jaj (s) = a 2 h ;, = h 2 a 2 h 2 olarak bulunur. 22

31 (ii) L spacelike ise (a) p = (0; a; 0) ise (t) = (ht; a cosh t; a sinh t) ve yay paramatresi ile t (t) = (hp ( a2 + h 2 ) ; a cosh t p ( a2 + h 2 ) ; a sinh t p ( a2 + h 2 ) ) ve (s) = jaj ( a 2 + h 2 ) ;, = h a 2 h 2 dir. (b) p = (0; 0; a) ise (t) = (ht; a sinh t; a cosh t) ve h 0 (t); 0 (t)i = a 2 + h 2 olur. Buradan t (t) = (hp a2 + h ; a cosh 2 t p a2 + h 2 ; a sinh t p a2 + h 2 ) ve (s) = jaj a 2 + h ;, = h 2 a 2 + h 2 elde edilir. (iii) L lightlike ve p = (a; 0; c) ise (t) = (a + ht ve h 0 (t); 0 (t)i = (a a c 2 t2 + h t3 3 ; t( a + c + ht); c + ht a c 2 t2 + h t3 3 ) c) 2 olmak uzere (s) = 2 jhj 2h ;, = a2 a 2 olur. Teorem 3.2.1: G L;h helikoidal hareket grubu ve p 2 E1 3 olmak uzere G L;h (p) bir Frenet egrisi olsun. G L;h (p) icin egrilik ve torsiyon sabittir. O halde G L;h (p) Lorentz uzaynda dairesel helistir. 23

32 3.3 E 3 1 te Helikoidal Yuzey Ornekleri Ornek 3.3.1: Helikoidler (i) L timelike bir eksen olsun. (s) = (s; 0; 0) dogrusu icin X(s; t) = (s cos t; s sin t; ht) elde edilir. Bu yuzey birinci cesit helikoid tir. Sekil 3.3.1: Birinci cesit helikoid (ii) L spacelike bir eksen olsun. _ Iki farkl durum soz konusudur. (a) (s) = (0; s; 0) olmak uzere X(s; t) = (ht; s cosh t; s sinh t) yuzeyi ikinci cesit helikoid tir. Sekil 3.3.2: _ Ikinci cesit helikoid 24

33 (b) (s) = (0; 0; s) olmak uzere X(s; t) = (ht; s sinh t; s cosh t) yuzeyi ucuncu cesit helikoid tir. Sekil 3.3.3: Ucuncu cesit helikoid Ornek 3.3.2: (Cayley Yuzeyi) Lightlike L = h(1; 0; 1i ekseni etrafnda (s) = (0; s; 0) dogrusu ile uretilen helikoidal yuzeyin parametrizasyonu X(s; t) = (st ht + ht3 3 ; s + ht2 ; st + ht + ht3 3 ) olur. Bu yuzeye Cayley yuzeyi denir. Sekil 3.3.4: Cayley yuzeyi Ornek 3.3.3: L = h(0; 0; 1)i timelike ekseni etrafnda (s) = (r; 0; s); r > 0 dogrusu ile uretilen helikoidal yuzeyin parametrizasyonu X(s; t) = (r cos t; r sin t; s + ht) dir 25

34 ve x 2 + y 2 = r 2 olmak uzere bu yuzey Lorentz silindiri dir. Bu yuzey farkl bir sekilde de ifade edilebilir. z = 0 duzleminde (s) = (r cos s; r sin s; 0) egrisine L ekseni yonunde helikoidal hareket grubu uygulanrsa elde edilen parametrizasyon X(s; t) = (r cos(s + t); r sin(s + t); ht) olur. (s; t)! (s + t; t) degisimi yaplrsa X(s; t) = (r cos t; r sin t; ht) elde edilir. Sekil 3.3.5: Lorentz silindiri Ornek 3.3.4: Ligthlike dogrular tarafndan uretilen helikoidal yuzeyler (i) L = h(0; 0; 1)i timelike eksen etrafnda (s) = (s; 0; s + a 0 ); a 0 2 R tarafndan uretilen helikoidal yuzey X(s; t) = (s cos t; s sin t; s + a 0 + ht) seklinde parametrize edilir. (ii) L = h(1; 0; 0)i spacelike eksen etrafnda (s) = (0; s; s + a 0 ); a 0 6= 0 ile uretilen helikoidal yuzeyin parametrizasyonu X(s; t) = (ht; (s + a 0 ) sinh t + s cosh t; (s + a 0 ) cosh t + s sinh t) 26

35 seklindedir. Burada birinci esas form a 2 0 oldugundan a 0 6= 0 olarak alnmaldr. (iii) L = h(1; 0; 1)i lightlike eksen ve (s) = (s; 0; s) ise elde edilen helikoidal yuzey X(s; t) = (s + h( t + t3 3 ); ht2 ; s + h(t + t3 3 ) olur. Bu yuzeye parabolik null silindir denir. (z x) 2 = 4hy esitligini saglar. Sekil 3.3.6: Parabolik null silindir Yukardaki orneklerin bir cogu regle yuzeylerdir. Bilindigi gibi bir egrisi ve bu egriyle beraber dogrular ailesi tarafndan uretilen yuzeyler regle yuzeylerdir. tanm R 3 un an yapsyla gecerlidir. : I! R 3 ; = (t) ve! w (t) 2 R 3 ;! w (t) 6= 0 olmak uzere egrisi ve! w vektor alan tarafndan uretilen regle yuzey X(s; t) = (t) + s! w (t) seklinde tanmlanr. Bu Onerme 3.3.1: E 3 1 te uretec egrisi bir dogru olan helikoidal yuzey regle yuzeydir. _Ispat: p 0 2 E 3 1,! v 6= 0 olmak uzere (s) = p 0 + s! v dogrusu ile uretilen G L;h () yuzeyi ele alnrsa G L;h grubunun elemanlar t (p) = A(t)p +! b (t); A(t) 2 O 1 (3); 27

36 ! b (t) 2 E 3 1 ise t ((s)) = A(t)p 0 + sa(t)! v +! b (t) = (t) + s! w (t) olur. Burada dir. (t) = A(t)p 0 +! b (t);! w (t) = A(t)! v Ornek 3.3.5: y 2 parametrizasyonu z 2 = r 2 esitligiyle verilen yuzey regle yuzeydir ve bu yuzeyin X(s; t) = (0; r cosh s; r sinh s) + t(h; 0; 0) dir. Bu yuzey L = h(1; 0; 0)i ekseniyle beraber helikoidal bir yuzeydir. Uretec egri x = 0 duzleminde yatar ve yuzeyin bu duzlemle kesisimi (s) = (0; r cosh s; r sinh s) egrisidir. Ancak bu bir dogru degildir. Ornek 3.3.6: L = h(0; 0; 1)i timelike eksen olmak uzere uretec egri y = 0 timelike duzleminde yatar. Bu durumda iki farkl durum soz konusudur. (i) (s) = (r sinh s; 0; r cosh s) egrisi spaceliketr ve elde edilen yuzey X(s; t) = (r sinh s cos t; r sinh s sin t; ht + r cosh s) olur. (ii) (s) = (r cosh s; 0; r sinh s) egrisi timeliketr ve elde edilen yuzey X(s; t) = (r cosh s cos t; r cosh s sin t; ht + r sinh s) dir. 28

37 Ornek 3.3.7: L = h(1; 0; 0)i spacelike eksen olmak uzere L'ye ortogonal olan duzlem uzerinde iki cesit egri vardr. Bu egrilerle elde edilen yuzeylere hiperbolik silindir denir. (i) (s) = (0; r sinh s; r cosh s) egrisi ile uretilen yuzey X(s; t) = (ht; r sinh(s + t); r cosh(s + t)) olur ve (s; t)! (s + t; t) degisimi yaplrsa X(s; t) = (ht; r sinh s; r cosh s) elde edilir. (ii) (s) = (0; r cosh s; r sinh s) egrisi tarafndan uretilen yuzey X(s; t) = (ht; r cosh(s + t); r sinh(s + t)) dir ve (s; t)! (s + t; t) degisimi yaplrsa X(s; t) = (ht; r cosh; r sinh s) olur. 29

38 4. E 3 1 te Y UZEYLER_IN E GR_IL_IKLER_I 4.1 Non-dejenere Yuzeylerin Ortalama Egrilikleri ve Gauss Egrilikleri x : M! E1 3 bir M yuzeyinin immersiyonu olmak uzere, eger immersiyon spacelike ise M yuzeyi yonlendirilebilirdir ve gelecek yonlu Gauss donusumu N alnr. hn; Ni = olmak uzere eger immersiyon spacelike ise = 1 ve timelike ise = 1 dir. Iki _ durumda da yuzey nondejeneredir. (M); M nin teget vektor alanlarnn cumlesi olsun. r 0 ; E 3 1 un Levi-Civitta konneksiyonu olmak uzere X; Y 2 (M) ise bu durumda r 0 XY = (r 0 XY ) > + (r 0 XY )? dir. Burada > ve? srasyla r 0 XY vektor alannn teger ksmn ve normal ksmn gostermektedir.r, M uzerinde x immersiyonunun konneksiyonu olmak uzere r X Y = (r 0 XY ) > dir. x in ikinci esas formu : (M)x(M)! ((M))? olmak uzere (X; Y ) = (r 0 XY )? olur. O halde r 0 XY = r X Y + (X; Y ) (4.1) elde edilir. Bu esitlige Gauss formulu denir. Simdi normal vektor alan olmak uzere r 0 X nn teget vektor alan A (X) = (r 0 X) > icin (4.1) den ha (X); Y i = h(x; Y ); i (4.2) olur. A : (M)! (M) donusumune ye bagl Weingarten endomorzmi denir. 30

39 simetrik oldugundan (4.2) den ha (X); Y i = hx; A (Y )i (4.3) dir. Bu da A donusumunun M uzerinde tanmlanan metrige gore lineer ve selfadjoint oldugunu gosterir. = N alnrsa hn; Ni = oldugundan r 0 XN; N = 0 olur. O halde (r X N)? = 0 ve r 0 XN = A N (X) (4.4) bulunur. Tanm 4.1.1: p 2 M noktasndaki Weingarten endomorzmi A p : T p M! T p M; A p = A N(p) olarak tanmlanr. v 2 T p M ve X 2 (M) de v yi genisleten teget vektor alan olmak uzere A p (v) = (A(X)) p ve (4.4) ten A p (v) = (dn) p (v); v 2 T p M olur. Burada (dn) p, E 3 1 te N nin p noktasndaki diferensiyelidir. Eger X; Y 2 (M) ise (4.1) ve (4.2) den (X; Y ) = h(x; Y ); Ni N = ha(x); Y i N (4.5) olur ve (4.1) r 0 XY = r X Y + ha(x); Y i N olarak yazlabilir. Tanm 4.1.2: Bir nondejenere immersiyon icin ortalama egrilik H = 1 2 _ Iz() 31

40 ve Gauss egriligi K = det() dir. Ortalama egrilik fonksiyonu H,! D!H! E H = HN ve H = ; N dr. Bu hesaplamalar B = fe 1; e 2 g ortonormal bazna gore yaplmstr ve M nin spacelike ya da timelike olmasna gore srasyla he 1 ; e 1 i = ve he 2 ; e 2 i = dir. Bu durumda! H = 1 2 ((e 1; e 1 ) (e 2 ; e 2 ) (4.6) H = 2 (hae 1; e 1 i hae 2 ; e 2 i) (4.7) K = (hae 1 ; e 1 i hae 2 ; e 2 i hae 1 ; e 2 i 2 (4.8) _Iddia: Bu tanmlar secilen bazlardan bagmszdr. _Ispat: 0 B 0 1= fv 1 ; v 2 g ortonormal baz icin B ve B 0 bazlar arasnda gecis matrisi C a c A olmak uzere b d v 1 = ae 1 + be 2 ; v 2 = ce 1 + de 2 ve = 1 ise 0 C cos sin 1 sin A (4.9) cos ve = 1 ise 0 C cosh sinh 1 sinh A (4.10) cosh Buradan (4.9) ve (4.10) kullanlarak (v 1 ; v 1 ) (v 2 ; v 2 ) = (a 2 c 2 )(e 1 ; e 1 ) + (b 2 d 2 )(e 2 ; e 2 ) + 2(ab cd)(e 1 ; e 2 ) ve = (e 1 ; e 1 ) (e 2 ; e 2 ) 32

41 hav 1 ; v 1 i hav 2 ; v 2 i hav 1 ; v 2 i 2 = (ad bc)(hae 1 ; e 1 i hae 2 ; e 2 i hae 1 ; e 2 i 2 ) (ad bc = 1 oldugundan) elde edilir. = hae 1 ; e 1 i hae 2 ; e 2 i hae 1 ; e 2 i 2 Onerme 4.1.1: Bir nondejenere yuzeyin Weingarten donusumunun matrisi A olmak uzere H = 2 _ Iz(A) ve K = det(a) dr. _Ispat: T p M nin bir ortonormal baz fe 1 ; e 2 g icin daha once verilen tanmlardan! hae 1 ; e 1 i hae 2 ; e 2 i H = N (4.11) 2 H = hae 1; e 1 i hae 2 ; e 2 i 2 O halde H = (=2) _ Iz(A) olur. Diger yandan det(a) = (hae 1 ; e 1 i hae 2 ; e 2 i hae 1 ; e 2 i 2 )oldugundan K = det(a) olur. (4.12) Ornek 4.1.1: p 0 merkezli, r yarcapl H1(r; 2 p 0 ) hiperbolik duzlemi ve her v 2 T p M teget vektoru icin normal vektor N(p) = (p p 0) ve A p (v) = v r r olur. O halde I 2 teget duzlemde birim matris olmak uzere A p = 1 r I 2 olur ve buradan H = r ve K = r 2 Ornek 4.1.2: p 0 merkezli, r yarcapl S1(r; 2 p 0 ) psuedo-kure icin A p = 1 r I 2 ve H = r ; K = r tir. 2 33

42 Onerme 4.1.2: T p M nin fe 1 ; e 2 g baz icin H = je 1 j 2 hae 2 ; e 2 i 2 2 he 1 ; e 2 i hae 1 ; e 2 i + je 2 j 2 hae 1 ; e 1 i je 1 j 2 je 2 j 2 he 1 ; e 2 i 2 (4.13) ve X = X(u; v) yuzeyi icin K = hae 1; e 1 i hae 2 ; e 2 i hae 1 ; e 2 i 2 je 1 j 2 je 2 j 2 he 1 ; e 2 i 2 (4.14) X u v), X dir ve birinci ve ikinci esas formun katsaylar srasyla fe; F; Gg ve fe; f; gg olmak uzere E = hx u ; X u i ; F = hx u ; X v i ; G = hx v ; X v i e = hn u ; X u i ; f = hn u ; X v i ; g = hn v ; X v i olur. O halde H = 1 eg 2fF + ge ; K = eg f 2 (4.15) 2 EG F 2 EG F 2 bulunur ve burada N = X u xx v p (EG F 2 ) dir. W = EG F 2 ; eger M spacelike ise pozitif, M timelike ise negatiftir. Her u; v; w 2 E 3 1 icin huxv; wi = det(u; v; w) oldugundan (4.15) ten H = 1 G det(x u ; X v ; X {{u ) 2F det(x u ; X v ; X uv ) + E(X u ; X v ; X vv ) 2 ( (EG F 2 )) 3=2 H 1 = 1 (4.16) 2 ( W ) 3=2 olur. Ayrca K = det(x u; X v ; X {{u ) det(x u ; X v ; X vv ) det(x u ; X v ; X {{v ) 2 (EG F 2 ) 2 34

43 = K 1 W 2 (4.17) elde edilir. Ornek 4.1.3: f; R 2 de bir donusum ve M de f nin gragi olsun. X(x; y) = (x; y; f(x; y)) seklinde verilen X :! E1 3 immersiyonu icin X x = (1; 0; f x ) ve X y = (0; 1; f y ) olmak uzere EG F 2 = 1 fx 2 fy 2 =1 jdfj 2 dir. M nondejenere ve M spacelike ise jdfj 2 < 1; M timelike ise jdfj 2 > 1 dir. O halde H = (1 f y) 2 f xx + 2f x f y f xy + (1 fx)f 2 yy 2 1 f 2 x + fy 2 3=2 K = f xx f yy fxy 2 (1 fx 2 fy 2 ) 2 olarak hesaplanr. 4.2 Umbilik Yuzeyler Oklid uzay ve Lorentz uzay arasnda Weingarten donusumunun kosegenlestirilebilmesi konusunda farkllklar vardr. E 3 te Weingarten endomorzminin matrisi kosegenlestirilebilirdir. Ancak E1 3 te kosegenlestirmeden bahsetmek sadece metrigin pozitif tanml oldugu spacelike yuzeylerde mumkundur. Timelike yuzeyler icin ise Weingarten donusumunun matrisinin kosegenlestirilemedigi ornekler vardr. Bu bolumde E1 3 te butun timelike ve spacelike umbilik yuzeyler bulunacaktr. Tanm 4.2.1: Bir p 2 M noktas ve x : M! E 3 1 nondejenere immersiyonu icin eger A p endomorzmi kosegenlestirilebilir ise A p nin eigen degerlerine p noktasndaki esas egrilikler denir ve 1 (p) ve 2 (p) ile gosterilir. Eger immersiyon spacelike ise (4.3) ten A p ; M uzerindeki metrige gore self-adjointtir ve metrik pozitif tanml oldugundan A p kosegenlestirilebilirdir. 35

44 Onerme 4.2.1: A p ; E 3 1 Bu durumda ve un non-dejenere bir yuzeyinde kosegenlestirilebilir olsun. H(p) = 1(p) + 2 (p) 2 K(p) = 1 (p) 2 (p) dir. Tanm 4.2.2: Eger bir p 2 M noktasnda ikinci esas form metrik ile orantlysa, yani p (u; v) = (p)(u; v) ise p noktas umbilik noktadr. Eger her p 2 M icin bu sart saglanyorsa bu durumda M umbilik yuzeydir. Ozel olarak umbilik bir noktada Weingarten donusumunun matrisi kosegenlestirilebilirdir ve 1 (p) = 2 (p) dir. Simdi baz ornekler verelim. 1. Spacelike ya da timelike duzlemler umbilik yuzeylerdir. Bu yuzeyler icin her p noktasnda A p = 0 ve 1 = 2 = 0 dr. 2. Yarcap r; merkezi p 0 olan hiperbolik duzlem H 2 1(r; p 0 ) olmak uzere bu yuzey icin A p = 1 r I 2 dir. Buradan 1 = 2 = 1 r olur. 3. Benzer sekilde pseudo-kure S 2 1(r; p 0 ) icin A p = 1 r I 2 dir. Buradan 1 = 2 = 1 r olur. 4. y 2 z 2 = 1 silindiri spacelike bir yuzeydir. X(s; t) = (ht; sinh s; cosh s) parametri- 36

45 zasyonu icin fx s ; X t g bazna bagl olarak Weingarten donusumunun matrisi A 0 0 olur. O halde bu yuzey uzerinde umbilik nokta yoktur. Onerme 4.2.2: M; E 3 1 te non-dejenere bir yuzey ve p 2 M olmak uzere A p kosegenlestirilebilir ise H(p) 2 K(p) > 0 (4.18) dr. Eger yuzey umbilik bir yuzey ise H(p) 2 K(p) = 0 olur. _Ispat: Onerme den 0 6 ( 1(p) 2 (p) 2 ) 2 = ( 1(p) + 2 (p) ) 2 1 (p) 2 (p) = H 2 (p) K(p) 2 olur. H 2 (p) K(p) = 0 olmas icin 1 (p) = 2 (p); yani p noktas umbilik olmaldr. Simdi timelike ve spacelike durum arasndaki fark gormek icin Weingarten donusumunun matrisi kosegenlestirilemeyen bir yuzey ornegi verelim. Ornek 4.2.1: _ Ikinci cesit helikoid yuzeyi icin yuzeyin parametrizasyonu X(s; t) = (ht; s cosh t; s sinh t) ve h > 0; s 2 (h; 1) olmak uzere birinci esas form EG F 2 = h 2 s 2 < 0 olur. Bu durumda yuzey timelike bir yuzeydir ve bu yuzey icin H = 0; K = h 2 (h 2 s 2 ) 2 dir. O halde H 2 K < 0 olur ve bu da Weingarten donusumunun matrisinin kosegenlestirilemeyecegi anlamna gelir. Burada 0 A 0 h (s 2 h 2 ) 3=2 p h s 0 2 h 2 1 A 37

46 dr. Karakteristik polinom P A (x) = det(a xi 2 ) = x 2 + kosegenlestirilemez. h 2 olur ve A (s 2 h 2 ) 2 Ornek 4.2.2: X(s; t) = (s + h( t + t3 3 ); ht2 ; s + h(t + t3 )) parametrizasyonu ile 3 belirlenen parabolik null silindir icin EG F 2 = 4h 2 ; H = K = 0 dr. O halde H 2 K = 0 olur. h > 0 olmak uzere Weingarten donusumunun matrisi 0 1 A 0 0 A 1 0 bulunur. Karakteristik polinom P A (x) = x 2 dir ve A kosegenlestirilemez. Teorem 4.2.1: yuzeyler ve pseudo-kurelerdir. Lorentz uzaynda umbilik yuzeyler sadece duzlemler, hiperbolik _Ispat: M bir yuzey olmak uzere her p 2 M ve w 2 T p M icin oldugu biliniyor. dn p (w) = (p)w _Iddia:, M uzerinde sabit bir fonksiyondur. X : U! M yuzeyin parametrizasyonu ve f = ox ise (NoX) u = (dn) X(u;v) X u = fx u (NoX) v = (dn) X(u;v) X v = fx v olmak uzere birinci esitlikte v ye gore diferensiyel, ikinci esitlikte u ya gore diferensiyel alnrsa (NoX) uv = f v X u + fx uv (NoX) vu = f u X v + fx vu olur. O halde f v X u = f u X v dir. Bu da f nin U uzerinde sabit bir fonksiyon oldugu anlamna gelir. Bu durumda da X(U) uzerinde sabit bir fonksiyondur. M, baglantl bir yuzey oldugundan, M uzerinde de sabittir. 38

47 Sabit fonksiyonu icin iki durum soz konusudur. (i) Eger = 0 ise dn p = 0 olur ve bu durumda N sabittir. N =! a olsun. h(p) = h! a ; pi fonksiyonu her v 2 T p M icin dh p (v) = h! a ; vi = 0 esitligini saglar. O halde h sabittir. Buradan M fp 2 E1 3 : h! a ; pi = hg olur. ve M;! a ya ortogonaldir. (ii) Eger 6= 0 ise h : M! E1; 3 h(p) = p + 1 N(p) seklinde bir fonksiyon ol- sun. Bu durumda dh p (v) = 0 dr ve h sabittir. h(p) = p 0 olacak sekilde bir p 0 2 E1 3 vardr. Buradan p + 1 N(p) = p 0; 8p 2 M ve buradan hp p 0 ; p p 0 i = 1 2 ve hn(p); N(p)i = olur. O halde M yuzeyi = 1 ise hiperbolik yuzey H 2 1( 1 jj ; p 0), = 1 ise pseudo-kure S 2 1( 1 jj ; p 0) dir. Bu da ispat tamamlar. 39

48 5. HEL_IKO_IDAL Y UZEYLER_IN ORTALAMA E GR_IL_IKLER_I VE GAUSS E GR_IL_IKLER_I Bu bolumde helikoidal yuzeylerin ortalama egrilikleri ve Gauss egrilikleri icin basit fonksiyonlar aranacaktr. Daha sonra ise H 2 = K esitligini saglayan yuzeyler arastrlacaktr. 5.1 Helikoidal Yuzeylerin Ortalama Egriligi ve Gauss Egriligi E 3 1 te helikoidal yuzeylerin ortalama egriligi ve Gauss egriligi eksenin karakterine gore hesaplanr. (i) Eksen L = h(0; 0; 1)i yani timelike eksen ise uretec egri y = 0 duzleminde yatar. Bu egri (s) = (s; 0; f(s)) olsun. O halde elde edilen yuzey X(s; t) = (s cos t; s sin t; ht + f(s)) olur. Bu yuzey icin birinci esas form W = h 2 + s 2 (1 f 02 ) ve ortalama egrilik ile Gauss egriligi de olarak hesaplanr. H = 1 ( 2h 2 + s 2 )f 0 s 2 f 03 + s(s 2 h 2 )f 00 (5.1) 2 ( ( h 2 + s 2 (1 f 02 ))) 3=2 K = h 2 s 3 f 0 f 00 (h 2 s 2 (1 f 02 )) 2 (5.2) (ii) Eksen L = h(1; 0; 0)i yani spacelike eksen ise (s) = (0; s; f(s)) alnrsa elde edilen yuzeyin parametrizasyonu X(s; t) = (ht; s cosh t + f(s) sinh t; f(s) cosh t + s sinh t) 40

49 olur. Bu yuzey icin birinci esas form W = h 2 (1 f 02 ) (s ff 0 ) 2 olmak uzere olur. H = 1 h( sf 0 + sf 03 + f(1 f 02 ) + (s 2 h 2 )f 00 f 2 f 00 ) (5.3) 2 ( (h 2 (1 f 02 ) (s ff 0 ) 2 )) 3=2 K = h 2 (f 02 1) 2 + f 00 (sf 0 f) (h 2 (1 f 02 ) (s ff 0 ) 2 ) 2 (5.4) (iii) Eksen L = h(1; 0; 1)i yani lightlike eksen ise uretec egri (s) = (f(s); s; f(s)) olarak alnrsa elde edilen yuzeyin parametrizasyonu X(s; t) = (f(s) + ts ht + ht3 3 ; s + ht2 ; f(s) + ts + ht + ht3 3 ve birinci esas form da W = 4h(s + hf 02 ) olur. Buradan H = 1 f 0 2sf 00 (5.5) 4h ( (s + hf 02 )) 3=2 K = 1 + 2hf 0 f 00 4(s + hf 02 ) 2 (5.6) olarak hesaplanr. Ornek 5.1.1: (a) Birinci, ikinci ve ucuncu cesit helikoidler icin H = 0 dr. (b) Cayley yuzeyinin ortalama egriligi sfrdr. (c) Lorentz silindiri x 2 + y 2 = r 2 icin jhj = 1 2r ve K = 0 dr. (d) Parabolik null silindir icin K = H = 0 dr. (e) y 2 z 2 = +r 2 hiperbolik silindirleri icin jhj = 1 2r ve K = 0 dr. 41

50 5.2 Egriliklerin Sabit Olma Durumu (i) Eksen timelike olmak uzere H sabit ise (5.1) den 2Hs =! 0 s 2 f 0 p ( h2 + s 2 (1 f 02 )) ve buradan integral alnrsa bir 2 R icin s 2 f 0 p ( h2 + s 2 (1 f 02 )) = Hs2 + olur. Bununla beraber K sabit ise (5.2) den s 2 f 02 + h 2 0 = h 2 + s 2 (1 f 02 ) 2Ks ve integral alnrsa s 2 f 02 + h 2 h 2 + s 2 (1 f 02 ) = Ks2 + olarak bulunur. (ii) Eksen spacelike ve H sabit ise (5.3) ten 2H(s ff 0 ) = h! 0 f sf 0 p (h2 (1 f 02 ) (s ff 0 ) 2 buradan integral alnrsa bir 2 R icin h(f sf 0 ) p (h2 (1 f 02 ) (s ff 0 ) 2 = H(s2 f 2 ) + olur. Bununla beraber K sabit ise (5.4) ten h 2 f = h 2 (1 f 02 ) (s ff 0 ) 2 2K(s ff 0 ) 42

51 ve integral alnrsa h 2 1 f 02 h 2 (1 f 02 ) (s ff 0 ) 2 = K(s2 f 2 ) + olarak hesaplanr. (iii) Eksen lightlike ve H sabit ise (5.5) ten! 0 f 0 p = 2H h(s + hf 02 ) h ve integral alnrsa bir 2 R icin p f 0 h(s + hf 02 ) = 2H h s + olur. K sabit ise (5.6) dan 0 1 = 4K s + hf 02 ve integral alnrsa 1 = 4Ks + s + hf 02 bulunur. Teorem 5.2.1: M; E 3 1 te helikoidal hareket grubu altnda invaryant olan bir yuzey olsun. Eger K = 0 ise (i) Eksen timelike ise yuzeyin parametrizasyonu h X(s; t) = (s cos t; s sin t; ht + h arctan( p ) + 2 s 2 h 2 p 2 s 2 h 2 ) dir. (ii) Eksen lightlike ise yuzey, teorem deki sekilde parametrize edilir ve f(s) = 2 3 p h (h s)3=2 43

52 dir. _Ispat: (i) Eksen timelike ise K = 0 oldugundan s 3 f 0 f 00 = h 2 dir. Buradan (f 02 ) 0 = ( h2 s 2 )0 olur ve bir 6= 0 icin f 0 (s) 2 = h2 s ve olur. h > 0 kabul edilirse f 0 (s) = p 2 s 2 h 2 s R p s 2 1 s 1 ds = arctan( p s 2 1 ) + p s 2 1 oldugundan h f(s) = h arctan( p ) + 2 s 2 h 2 p 2 s 2 h 2 + ; 2 R olur. Sekil 5.2.1: K = 0; h = = 1 olmak uzere ekseni timelike olan helikoidal yuzey (ii) Eksen lightlike ve K = 0 ise 1 + 2hf 0 f 00 = 0 olur ve h > 0 iken integral 44

53 alnrsa elde edilir. f(s) = 2 3 p h (h s)3=2 + ; 2 R Sekil 5.2.2: f(s) = 2(1 s) 3=2 =3 ve K = 0 olmak uzere ekseni lightlike olan helikoidal yuzey Ornek 5.2.1: Timelike eksenle beraber bir helikoidal yuzey icin K = 1; h = 1 ve = 1 olarak alnrsa ilk integral 2 s 2 (1 f 02 ) = 0 olur ve bu denklemin cozumu f(s) = p p 2 2 arctan( p s 2 2 ) + p s 2 2; jsj > p 2 olur. Burada yuzey spacelike ve W = 1 dir. Ornek 5.2.2: Eksen lightlike olmak uzere K = 1; = 4; h = 1 secilirse 1 = 4(s 1) s f 02 olur. Buradan jsj > 1 alnrsa f 02 = (2s 1)2 4(s 1) =) f 0 = 2s 1 2 p s 1 45

54 elde edilir. Bu denklemin cozumu f(s) = 1 3 (2s + 1)p s 1 dir. Bu yuzey icin K = 1 ve jhj = 1 dir. O halde H 2 W = 1 < 0 oldugundan timelike bir yuzeydir. 1 s K = 0 bulunur. Sekil 5.2.3: H = K = 1 ve f(s) = (2s 1) p s 1=3 olmak uzere ekseni lightlike olan helikoidal yuzey 5.3 Polinomlar ve C emberler Tarafndan Uretilen Helikoidal Yuzeyler P Teorem 5.3.1: E1 3 te ortalama egriligi sabit ve uretec egrisi f(s) = m a n s n polinomunun gragi olan bir helikoidal yuzey icin m 6 1 ise uretec egrisi bir dogrudur. Hatta bir Lorentz hareketinden sonra : n=0 (i) Eger eksen L = h(0; 0; 1)i timelike eksen ise elde edilen yuzey H = 0 olmak uzere birinci cesit helikoid, a 0 2 R olmak uzere X(s; t) = (s cos t; s sin t; +s + a 0 + ht); parametrizasyonu ile birlikte jhj = 1 h olan yuzey ya da x2 + y 2 = r 2 ve jhj = 1 2r olan Lorentz silindiridir. 46

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10 Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık

Detaylı

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI.

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E -BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI Hasibe ŞENOL 16104210046 Danışman: Yrd. Doç. Dr. Murat BABAARSLAN YOZGAT 201 ÖZET

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GENELLEŞTİRİLMİŞ KANAL YÜZEYLERİ. Fatih DOĞAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2012

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GENELLEŞTİRİLMİŞ KANAL YÜZEYLERİ. Fatih DOĞAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2012 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GENELLEŞTİRİLMİŞ KANAL YÜZEYLERİ Fatih DOĞAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 01 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi GENELLEŞT IR ILM IŞ KANAL YÜZEYLER

Detaylı

İNVOLÜT B-SCROLL ÜZERİNE YENİ BİR BAKIŞ. Süleyman ŞENYURT * Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi,Matematik Bölümü, Ordu

İNVOLÜT B-SCROLL ÜZERİNE YENİ BİR BAKIŞ. Süleyman ŞENYURT * Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi,Matematik Bölümü, Ordu Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg.,Cilt:4,Sayı:1,014,59-74/Ordu Univ. J. Sci. Tech.,Vol:4,No:1,014,59-74 İNVOLÜT B-SCROLL ÜZERİNE YENİ BİR BAKIŞ ÖZET Süleyman ŞENYURT * Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi,Matematik

Detaylı

Darboux Ani Dönme Vektörleri ile. SPACELIKE ve TIMELIKE YÜZEYLER GEOMETRİSİ. Celal Bayar Üniversitesi Yayınları Yayın No: 0006

Darboux Ani Dönme Vektörleri ile. SPACELIKE ve TIMELIKE YÜZEYLER GEOMETRİSİ. Celal Bayar Üniversitesi Yayınları Yayın No: 0006 Darboux Ani Dönme Vektörleri ile SPACELIKE ve TIMELIKE YÜZEYLER GEOMETRİSİ Prof. Dr. H. Hüseyin UĞURLU Prof. Dr. Ali ÇALIŞKAN Celal Bayar Üniversitesi Yayınları Yayın No: 0006 0 Celal Bayar Üniversitesi

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ FRENET HAREKETLERİ VE YÜZEYLER Naser MASROURİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 0 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi FRENET HAREKETLERİ VE YÜZEYLER

Detaylı

LİNEER VEKTÖR ALANLARI VE GEOMETRİK UYGULAMALARI. Türkan YAYLACI ANKARA Her hakkı saklıdır

LİNEER VEKTÖR ALANLARI VE GEOMETRİK UYGULAMALARI. Türkan YAYLACI ANKARA Her hakkı saklıdır ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ LİNEER VEKTÖR ALANLARI VE GEOMETRİK UYGULAMALARI Türkan YAYLACI MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006 Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lisans

Detaylı

T.C. TEKİRDAĞ NAMIK KEMAL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ MİNKOWSKİ 3-UZAYINDA SABİT AÇILI YÜZEYLER. Gülüzar TÜRKMENOĞLU

T.C. TEKİRDAĞ NAMIK KEMAL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ MİNKOWSKİ 3-UZAYINDA SABİT AÇILI YÜZEYLER. Gülüzar TÜRKMENOĞLU T.C. TEKİRDAĞ NAMIK KEMAL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ MİNKOWSKİ 3-UZAYINDA SABİT AÇILI YÜZEYLER Gülüzar TÜRKMENOĞLU MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN: PROF. DR. MAHMUT ERGÜT

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70

Detaylı

T.C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI ÜÇ BOYUTLU ÖKLİDYEN VE MİNKOWSKİ UZAYINDA YÜZEYLER

T.C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI ÜÇ BOYUTLU ÖKLİDYEN VE MİNKOWSKİ UZAYINDA YÜZEYLER YÜKSEK LİSANS TEZİ V.ÇİÇEK,05 T.C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI ÜÇ BOYUTLU ÖKLİDYEN VE MİNKOWSKİ UZAYINDA YÜZEYLER NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ VEYSİ

Detaylı

ANKARA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ DUAL DÖNÜŞÜMLER VE GEOMETRĐK UYGULAMALARI. Gülsüm BĐÇER MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI

ANKARA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ DUAL DÖNÜŞÜMLER VE GEOMETRĐK UYGULAMALARI. Gülsüm BĐÇER MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI ANKARA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ DUAL DÖNÜŞÜMLER VE GEOMETRĐK UYGULAMALARI Gülsüm BĐÇER MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI ANKARA 011 Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lisans Tezi DUAL

Detaylı

1. Hafta Uygulama Soruları

1. Hafta Uygulama Soruları . Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında

Detaylı

f fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır.

f fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır. Çok Değişkenli Fonksiyonlar Tanım 1. D düzlemin bir bölgesi, f de D nin her bir (x, y) noktasına bir f(x, y) reel sayısı karşılık getiren bir fonksiyon ise f fonksiyonuna bir iki değişkenli fonksiyon adı

Detaylı

II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI

II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI Bölüm II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI Bu kesimde R 3 e ri kavram tanmlanacak ve geometrik özellikleri tart³lacaktr.. D FERENS YELLENEB L R E R VE PARAMETR K TEMS L I notasyonu ile R nin a

Detaylı

Name: Diferensiyel Geometri Spring 2014

Name: Diferensiyel Geometri Spring 2014 Çalışma soruları Tanim [Basit egri] α : (a, b) R 3 egrisi verilsin. Farkli t 1, t 2 (a, b) noktalari icin α(t 1 ) α(t 2 ) oluyorsa α egrisine basit egri adi verilir (kendisini kesmeyen egriye basit egri

Detaylı

SMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT BİR UYGULAMA. Süleyman ŞENYURT 1* Selin SİVAS 1

SMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT BİR UYGULAMA. Süleyman ŞENYURT 1* Selin SİVAS 1 Ordu Üniv. il. Tek. Derg. Cilt: Sayı: 046-60/Ordu Univ. J. Sci. Tech. Vol: No:046-60 SMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT İR UYGULAMA Süleyman ŞENYURT * Selin SİVAS Ordu Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu

KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.

Detaylı

SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (2009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK

SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (2009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI L DE TIMELIKE MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK Saarya Üniversitesi, Fen-Edebiyat Faültesi Matemati Bölümü, 5487, SAKARYA apirdal@saarya.edu.tr

Detaylı

T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DEJENERE HELİSLER ÜZERİNE

T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DEJENERE HELİSLER ÜZERİNE T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DEJENERE HELİSLER ÜZERİNE Zafer ŞANLI Danışman: Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ISPARTA-2009 Fen Bilimleri

Detaylı

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav

Detaylı

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.

Detaylı

ÖKLİD UZAYINDA MANNHEIM EĞRİLERİ ÜZERİNE

ÖKLİD UZAYINDA MANNHEIM EĞRİLERİ ÜZERİNE T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÖKLİD UZAYINDA MANNHEIM EĞRİLERİ ÜZERİNE Funda KAYMAZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR HAZİRAN 206 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

LYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) MTEMTİ TESTİ (Mat ). u testte srasyla, Matematik ( ) Geometri ( 0) ile ilgili 0 soru vardr.. evaplarnz, cevap kâğdnn Matematik Testi için ayrlan ksmna işaretleyiniz.. armaşk saylar kümesi üzerinde işlemi,

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

Chapter 1 İçindekiler

Chapter 1 İçindekiler Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

TEZ ONAYI Erhan GÜLE tarafından hazırlanan -BOYUTLU MINKOWSKI UZAYINDA LIGT-LIKE ÜETEÇ EĞİLİ TIME-LIKE ELİSOİDAL VE DÖNEL YÜZEYLE adlı tez çalışması /

TEZ ONAYI Erhan GÜLE tarafından hazırlanan -BOYUTLU MINKOWSKI UZAYINDA LIGT-LIKE ÜETEÇ EĞİLİ TIME-LIKE ELİSOİDAL VE DÖNEL YÜZEYLE adlı tez çalışması / ANKAA ÜNİVESİTESİ FEN BİLİMLEİ ENSTİTÜSÜ DOKTOA TEZİ -BOYUTLU MINKOWSKI UZAYINDA LIGT-LIKE ÜETEÇ EĞİLİ TIME-LIKE ELİSOİDAL VE DÖNEL YÜZEYLE Erhan GÜLE MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKAA 00 er hakkı saklıdır

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz. ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var

Detaylı

18.702 Cebir II 2008 Bahar

18.702 Cebir II 2008 Bahar MIT Açk Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.702 Cebir II 2008 Bahar Bu materyallerden alnt yapmak veya Kullanm artlar hakknda bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Konik Kesitler ve Formülleri

Konik Kesitler ve Formülleri Konik Kesitler ve Formülleri Konik Kesitler ve Formülleri B 1 (0, b) P (x, y) A 2 ( a, 0) F 2 ( c, 0) F 1 (c, 0) A 1 (a, 0) B 2 (0, b) Şekil 1: Elips x2 a 2 + y2 b 2 = 1. Konik Kesitler ve Formülleri B

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

BÖLÜM 1. Matematiksel ndüksiyon Prensibi

BÖLÜM 1. Matematiksel ndüksiyon Prensibi BÖLÜM 1 Matematiksel ndüksiyon Prensibi Matematiksel indüksiyon prensibini kullanarak a³a daki e³it(siz)liklerin her n N için gerçeklendi ini ispatlaynz. 1. 1 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2 = n(n+1)(2n+1) 6 2.

Detaylı

Içindekiler. Karşk Örnekler 87. TÜBITAK SORULARI (Fonksiyonlar) 55 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 64

Içindekiler. Karşk Örnekler 87. TÜBITAK SORULARI (Fonksiyonlar) 55 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 64 Içindekiler BIRINCI BÖLÜM Fonksiyonlar Bagnt Fonksiyon 2 Fonksiyonel Denklemlere Giriş 4 Fonksiyonun Gragi 7 Fonksiyon Çeşitleri 8 Bir Fonksiyonun Tersi 20 Bileşke Fonksiyon 23 Tek ve Çift Fonksiyon 25

Detaylı

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31 SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.

Detaylı

S4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun

S4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel

Detaylı

Soru Toplam Puanlama Alnan Puan

Soru Toplam Puanlama Alnan Puan ..04 No: Ad-Soyad: mza: Soru.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Toplam Puanlama 0 0 0 5 0 0 0 0 00 Alnan Puan 04043006. CEB RSEL TOPOLOJ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI ( K NC Ö RET M) Not: Süre 90 Dakika. stedi iniz 7 soruyu

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

Baki Karl ¼ga. Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ankara/Türkiye

Baki Karl ¼ga. Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ankara/Türkiye H IPERBOL IK VE KÜRESEL ÜÇGENLERIN KENAR UZUNLUKLARINA BA ¼GLI ALAN FORMÜLLER I Baki Karl ¼ga karliaga@gazi.edu.tr Murat Savaş msavas@gazi.edu.tr Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

Içindekiler. Karşk Örnekler 87. TÜBITAK SORULARI (Fonksiyonlar) 55 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 64

Içindekiler. Karşk Örnekler 87. TÜBITAK SORULARI (Fonksiyonlar) 55 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 64 Içindekiler BIRINCI BÖLÜM Fonksiyonlar Bagnt 11 Fonksiyon 12 Fonksiyonel Denklemlere Giriş 14 Fonksiyonun Gragi 17 Fonksiyon Çeşitleri 18 Bir Fonksiyonun Tersi 20 Bileşke Fonksiyon 23 Tek ve Çift Fonksiyon

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ. n - BOYUTLU LORENTZ UZAYINDA B - SCROLLAR. Şeyda KILIÇOĞLU MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ. n - BOYUTLU LORENTZ UZAYINDA B - SCROLLAR. Şeyda KILIÇOĞLU MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ n - BOYUTLU LORENTZ UZAYINDA B - SCROLLAR Şeyda KILIÇOĞLU MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006 Her hakkı saklıdır ProfDr HHilmi HACISALİHOĞLU danışmanlığında,

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

SORULAR. 1. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim. 1 n sin. lim. q 1 x 1+x

SORULAR. 1. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim. 1 n sin. lim. q 1 x 1+x SOULA. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim! lim sin(t )dt sin 4 np n! i= n sin i n. q + arcsin belirli integralini hesalay n z. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 3. 4

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın,

Detaylı

Mat Matematik II / Calculus II

Mat Matematik II / Calculus II Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x

Detaylı

f( F) f(f) K = K F f 1 f( F) f 1 (K) = F F f 1 (S ) = [f 1 (S)] f(x) S V

f( F) f(f) K = K F f 1 f( F) f 1 (K) = F F f 1 (S ) = [f 1 (S)] f(x) S V Bölüm 6 SÜREKL FONKS YONLAR 6.1 YEREL SÜREKL L K Tanm 6.1.1. (X, T ) ve (Y, S) topolojik uzaylar ile f : X Y fonksiyonu verilsin. E er f(x 0 ) ö esinin her V kom³ulu una kar³lk f(u) V olacak ³ekilde x

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Küresel Koordinatlar Silindirik Koordinatları Dönel Yüzeylerin Elde Edilmesi

Detaylı

ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI MAT-YL

ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI MAT-YL ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI MAT-YL-0-000 LİMİT ROTASYONLAR TARAFINDAN ÜRETİLEN GRUPLAR VE BÖLÜM YÜZEYLERİ Eren GÜMÜŞALAN Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Adnan

Detaylı

Para-Kenmotsu Manifoldların Warped Çarpım Hemislant Alt Manifoldlarının Varlık Problemi

Para-Kenmotsu Manifoldların Warped Çarpım Hemislant Alt Manifoldlarının Varlık Problemi Erciyes Ünirsitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Derisi Cilt 33, Sayı, 07 0 Erciyes Unirsity Journal of atural and Applied Sciences Volume 33, Issue, 07 Para-Kenmotsu Manifoldların Warped Çarpım Hemislant Alt

Detaylı

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır? . f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )

Detaylı

Alıştırmalara yanıtlar

Alıştırmalara yanıtlar Alıştırmalara yanıtlar Alıştırma 7. Derste tanımlanan yama kürenin yalnızca {z S 2 : z > 0} kısmını parametrize etmekte. Yapmamız gereken şey bütün küreyi böyle yamalarla örtmek. Önce ϕ : D 2 S 2, (x 1,

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ FERMI-WALKER TÜREVİ VE GEOMETRİK UYGULAMALARI. Fatma KARAKUŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ FERMI-WALKER TÜREVİ VE GEOMETRİK UYGULAMALARI. Fatma KARAKUŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ FERMI-WALKER TÜREVİ VE GEOMETRİK UYGULAMALARI Fatma KARAKUŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 202 Her Hakkı Saklıdır ÖZET Doktora Tezi FERMI-WALKER

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe Ünirsitesi Fen Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe Unirsity Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 18 (018) 01101 (468-476) AKU J. Sci.Eng.18 (018) 01101 (468-476) Dİ: 10.5578/fmbd.677

Detaylı

Uzayda Simetri. A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır.

Uzayda Simetri. A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır. Uzayda Simetri Hazırlayan Halit Çelik Matematik Öğretmeni Noktaya Göre Simetri: A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır. Buna göre şeklinde

Detaylı

Soru Toplam Puanlama Alnan Puan

Soru Toplam Puanlama Alnan Puan 26.11.2013 No: Ad-Soyad: mza: Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Toplam Puanlama 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 105 Alnan Puan 405024142006.1 CEB RSEL TOPOLOJ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI SORULARI (ÖRGÜN Ö

Detaylı

BÖLÜM 1. stanbul Kültür Üniversitesi. Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram. ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir.

BÖLÜM 1. stanbul Kültür Üniversitesi. Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram. ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir. BÖLÜM 1 0, Q 1. f() = 1, R/Q, Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir. Buna göre a³a da verilen tanm bölgeleri altnda görüntü cümlelerini

Detaylı

III. DERS DİFERENSİYELLENEBİLİR YÜZEYLER

III. DERS DİFERENSİYELLENEBİLİR YÜZEYLER Bölüm 1 III. DERS DİFERENSİYELLENEBİLİR YÜZEYLER 1.1 YÜZEYLER:TANIM VE ÖRNEKLER Bu kesimin amacı R 3 de yüzeyler teorisini incelemek ve bunun içinde manifoldlar teorisinin gerekli kısmını aktarmaktır.

Detaylı

ÖRNEK KİTAP. x ax 12. x.sinx dx. 1 cos x. x x mx 1. 4 (a b ) ise a çifttir. 4. x+y=14 ise x 2.y 5 çarpımının değeri en fazla kaça eşittir?

ÖRNEK KİTAP. x ax 12. x.sinx dx. 1 cos x. x x mx 1. 4 (a b ) ise a çifttir. 4. x+y=14 ise x 2.y 5 çarpımının değeri en fazla kaça eşittir? 1. lim a 1 üzere a+b toplam kaçtr? A)-8 B)-5 C)- C)1 E)4 b, a,b R olmak 4. +y=14 ise.y 5 çarpmnn değeri en fazla kaça eşittir? A)4 6.10 B)10.4 5 C)10 5. D) 5.10 7 E)16.10 5. bir cisim için hareket denklemi

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI LATİSLERDE TÜREVLER YÜKSEK LİSANS TEZİ UTKU PEHLİVAN DENİZLİ, OCAK - 2015 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4

Detaylı

Jeodezi

Jeodezi 1 Jeodezi 5 2 Jeodezik Eğri Elipsoid Üstünde Düşey Kesitler Elipsoid yüzünde P 1 noktasındaki normalle P 2 noktasından geçen düşey düzlem, P 2 deki yüzey normalini içermez ve aynı şekilde P 2 de yüzey

Detaylı

Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri

Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

LYS Y ĞRU MTMTİK TSTİ. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.., y reel sayılar

Detaylı

L SANS YERLE T RME SINAVI 1

L SANS YERLE T RME SINAVI 1 LSANS YERLETRME SINAVI MATEMATK TEST SORU KTAPÇII 9 HAZRAN 00. ( )( + ) + ( )( ) = 0 eitliini salayan gerçel saylarnn toplam kaçtr?. ( )( ) < 0 eitsizliinin gerçel saylardaki çözüm kümesi aadaki açk aralklarn

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

ARA SINAV II. (1) (x k ) k N, R n içinde yaknsak ve limiti x olan bir dizi olsun. {x} = oldu unu gösteriniz.

ARA SINAV II. (1) (x k ) k N, R n içinde yaknsak ve limiti x olan bir dizi olsun. {x} = oldu unu gösteriniz. MC 411/ANAL Z IV ARA SINAV II ÇÖZÜMLER 1 x k k N, R n içinde yaknsak iti x olan bir dizi olsun. {x} = {x m m k} k=1 Çözüm. Her k N için A k := {x m m k} olsun. x k k N dizisinin iti x oldu undan, A k =

Detaylı

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için,

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için, Ritz Yöntemi Kullan larak Integral Operatörlerin Özde¼gerlerinin Yaklaş k Hesab Yüksel SOYKAN, Erkan TAŞDEM IR, Melih GÖCEN Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 6700

Detaylı

( ) ( ) ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. Cevap D. Cevap C. noktası y ekseni üzerinde ise, a + 4 = 0 A 0, 5 = 1+

( ) ( ) ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. Cevap D. Cevap C. noktası y ekseni üzerinde ise, a + 4 = 0 A 0, 5 = 1+ ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. a+ = b 4. a = b 0+ a b a b = b a+ b = 0. A ( a + 4, a) noktası y ekseni üzerinde ise, ( + ) a + 4 = 0 A 0, 5 a = 4 B b, b 0 noktası x ekseni

Detaylı

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları 2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ MEUSNIER TEOREMİNİN 3 BOYUTLU ÇİZGİLER UZAYINDAKİ KARŞILIĞI.

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ MEUSNIER TEOREMİNİN 3 BOYUTLU ÇİZGİLER UZAYINDAKİ KARŞILIĞI. ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ MEUSNIER TEOREMİNİN 3 BOYUTLU ÇİZGİLER UZAYINDAKİ KARŞILIĞI Fatma KARAKUŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2008 Her Hakkı Saklıdır ÖZET Yüksek

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

(i) (0,2], (ii) (0,1], (iii) [1,2), (iv) (1,2]

(i) (0,2], (ii) (0,1], (iii) [1,2), (iv) (1,2] Bölüm 5 KOM ULUKLAR 5.1 KOM ULUKLAR Tanm 5.1.1. (X, T ) bir topolojik uzay ve A ile N kümeleri X uzaynn iki alt-kümesi olsun. E er A T N olacak ³ekilde her hangi bir T T varsa, N kümesine A nn bir kom³ulu

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS

A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS . Sayı Mayıs 6 A COMMTATIVE MLTIPLICATION OF DAL NMBER TRIPLETS L.KLA * & Y.YAYLI * *Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Matematik Bölümü 6 Tandoğan-Ankara, Türkiye ABSTRACT Pfaff [] using quaternion product

Detaylı

1996 ÖYS. 2 nin 2 fazlası kız. 1. Bir sınıftaki örencilerin 5. örencidir. Sınıfta 22 erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır?

1996 ÖYS. 2 nin 2 fazlası kız. 1. Bir sınıftaki örencilerin 5. örencidir. Sınıfta 22 erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? 996 ÖYS. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin saısı kaçtır? 8 C) 6 D) E) 6. Saatteki hızı V olan bir hareketti A ve B arasındaki olu

Detaylı

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DÜZLEMSEL HOMOTETİK HAREKETLER ALTINDA KAPALI YÖRÜNGE EĞRİSİNİN KUTUPSAL ATALET MOMENTİ İÇİN HOLDITCH-TİPİ TEOREMLER MUTLU AKAR DOKTORA TEZİ MATEMATİK

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/

1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Vektör Uzayları Lineer Cebir David Pierce 5 Mayıs 2017 Matematik Bölümü, MSGSÜ dpierce@msgsu.edu.tr mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu notlarda, alıştırma olarak her teorem, sonuç, ve örnek kanıtlanabilir;

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI BİHARMONİK EĞRİLER

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI BİHARMONİK EĞRİLER .C. BALIKESİR ÜNİVERSİESİ FEN BİLİMLERİ ENSİÜSÜ MAEMAİK ANABİLİM DALI BİHARMONİK EĞRİLER YÜKSEK LİSANS EZİ ESİN KESEN BALIKESİR, OCAK - 03 .C. BALIKESİR ÜNİVERSİESİ FEN BİLİMLERİ ENSİÜSÜ MAEMAİK ANABİLİM

Detaylı

Parametrik doğru denklemleri 1

Parametrik doğru denklemleri 1 Parametrik doğru denklemleri 1 A noktasından geçen, doğrultman (doğrultu) vektörü w olan d doğrusunun, k parametresine göre parametrik denklemi: AP k w P A k w P A k w P A k W (P değişken nokta) A w P

Detaylı

(sf) F C = [(s,f) sf] x [0,1] = (sf)(x) = sf(x)

(sf) F C = [(s,f) sf] x [0,1] = (sf)(x) = sf(x) Bölüm 13 MATEMAT KSEL YAPILAR 13.1 YAPI KAVRAMI Ça da³ Matematik kümeleri, kümeler üzerindeki yaplar, yaplar arasndaki dönü³ümleri inceler. Buraya dek ö e, küme, i³lem, fonksiyon kavramlarn kullandk. Bunlar

Detaylı

LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULLARDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA. (YGS ve LYS na) HAZIRLIK İÇİN. Örnek çözümlü. Deneme sınavlı GEOMETRİ-2.

LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULLARDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA. (YGS ve LYS na) HAZIRLIK İÇİN. Örnek çözümlü. Deneme sınavlı GEOMETRİ-2. LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULLARDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA (YGS ve LYS na) HAZIRLIK İÇİN Konu anlatımlı Örnek çözümlü Test çözümlü Test sorulu Deneme sınavlı GEOMETRİ-2 Hazırlayan Erol GEDİKLİ Matematik

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı