ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ
|
|
- Emin Üçüncü
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GENELLEŞTİRİLMİŞ KESİRLİ İNTEGRAL OPERATÖRLERİNİN GENELLEŞTİRİLMİŞ MORREY UZAYLARINDA SINIRLILIĞI Abdulhami KÜÇÜKASLAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 205 He hakkı saklıdı
2 ET IK Ankaa Ünivesiesi Fen Bilimlei Ensiüsü ez yaz m kualla na uygun olaak haz lad ¼g m bu ez içindeki büün bilgilein do¼gu ve am oldu¼gunu, bilgilein üeilmesi aşamas nda bilimsel ei¼ge uygun davand ¼g m, yaaland ¼g m büün kaynakla a f yaaak belii¼gimi beyan edeim. 8/05/205 Abdulhami KÜÇÜKASLAN i
3 ÖZET Dokoa Tezi GENELLEŞT IR ILM IŞ KES IRL I INTEGRAL OPERATÖRLER IN IN GENELLEŞT IR ILM IŞ MORREY UZAYLARINDA SINIRLILI ¼GI Abdulhami KÜÇÜKASLAN Ankaa Ünivesiesi Fen Bilimlei Ensiüsü Maemaik Anabilim Dal Dan şman: Pof. D. Ayhan ŞERBETÇ I Bu ez beş bölümden oluşmakad. Biinci bölüm giiş k sm na ay lm ş. Ikinci bölümde, emel an m ve eoemle veilmişi. Ay ca, M ; Moey uzayla ve M ;' genelleşiilmiş Moey uzayla an laak emel özellikle ye alm ş. Bununla bilike, Riesz oansiyelinin ve genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin genelleşiilmiş Moey uzayla nda s n l l ¼g ile ilgili çal şmala incelenmişi. Üçüncü bölümde, fonksiyonu üzeine uygun koşulla konulaak I genelleşiilmiş kesili inegal oeaöünün Moey uzayla nda Sanne-Guliyev ii ve Adams- Guliyev ii s n l l ¼g isalanm ş. Dödüncü bölümde, ve ' fonksiyonla üzeine uygun koşulla konulaak I genelleşiilmiş kesili inegal oeaöünün genelleşiilmiş Moey uzayla nda Sanne-Guliyev ii ve Adams-Guliyev ii s n l l ¼g isalanm ş. Beşinci bölümde a şma ve sonuç ye almakad. May s 205, 64 sayfa Anaha Kelimele: Moey uzayla, genelleşiilmiş Moey uzayla, genelleşiilmiş kesili inegal oeaöle ii
4 ABSTRACT Ph. D. Thesis THE BOUNDEDNESS OF GENERALIZED FRACTIONAL INTEGRAL OPERATORS ON GENERALIZED MORREY SPACES Abdulhami KÜÇÜKASLAN Ankaa Univesiy Gaduae School of Naual and Alied Sciences Deamen of Mahemaics Sueviso: Pof. D. Ayhan ŞERBETÇ I This hesis consiss of ve chaes. The s chae is devoed o he inoducion. In he second chae, basic de niions and heoems ae given. Fuhe, M ; Moey saces and M ;' genealized Moey saces ae inoduced and hei fundamenal oeies ae given. Addiionally, he sudy on he boundedness of Riesz oenial and genealized facional inegal oeaos on genealized Moey saces ae invesigaed. In he hid chae, uing aoiae condiions on he funcion he Sanne-Guliyev ye and Adams-Guliyev ye boundedness of he genealized facional inegal oeao I on Moey saces ae oved. In he fouh chae, uing aoiae condiions on he funcions and ' he Sanne-Guliyev ye and Adams-Guliyev ye boundedness of he genealized facional inegal oeao on genealized Moey saces ae oved. The fh chae is devoed o he discussion and conclusion. May 205, 64 ages Key Wods: Moey saces, genealized Moey saces, genealized facional inegal oeaos iii
5 TEŞEKKÜR Bu çal şman n he aşamas nda beni bilgi, ki ve öneileiyle yönlendii bana he konuda yad mla n esigemeyeek desek olan hocam, Say n Pof. D. Ayhan ŞERBETÇ I ye (Ankaa Ünivesiesi Maemaik Anabilim Dal ), engin göüşleiyle bana ufuk veen Say n Pof. D. Vagif GUL IYEV e (Baku Sae Univesiy, Azebaijan; Ahi Evan Ünivesiesi Maemaik Anabilim Dal, K şehi), çal şmala m süesince desek ve anlay ş yla he an yan mda olan sevgili eşime en içen sayg ve eşekküleimi suna m. Abdulhami KÜÇÜKASLAN Ankaa, May s 205 iv
6 IÇ INDEK ILER ET IK i ÖZET ii ABSTRACT iii TEŞEKKÜR iv S IMGELER D IZ IN I vi. G IR IŞ KURAMSAL TEMELLER Temel Kavamla M ; Moey Uzayla M ;' Genelleşiilmiş Moey Uzayla M ;' Uzayla nda I Riesz Poansiyel Oeaöünün S n l l ¼g Sanne ii s n l l k Adams ii s n l l k M ;' Uzayla nda I Oeaöünün S n l l ¼g ile Ilgili Çal şmala I OPERATÖRÜNÜN M ; UZAYLARINDA SINIRLILI ¼GININ GUL IYEV METODU ILE ARAŞTIRILMASI Sanne-Guliyev Tii S n l l k Adams-Guliyev Tii S n l l k M ;' UZAYLARINDA I OPERATÖRÜNÜN SINIRLILI ¼GININ GUL IYEV METODU ILE ARAŞTIRILMASI Sanne-Guliyev Tii S n l l k Adams-Guliyev Tii S n l l k TARTIŞMA ve SONUÇ KAYNAKLAR ÖZGEÇM IŞ v
7 S IMGELER D IZ IN I R n B (x; ) jb (x; )j I f I M f M H w L L loc M ; M ;' WM ;' M(0; ) A,! B n boyulu Öklid uzay x mekezli ya çal yuva B (x; ) yuva n n Lebesgue ölçüsü Riesz oansiyeli Riesz oansiyel oeaöü Maksimal fonksiyon Maksimal oeaö A¼g l kl Hady oeaöü Lebesgue uzay : kuvveen lokal inegallenebili fonksiyonla uzay Moey uzay Genelleşiilmiş Moey uzay Genelleşiilmiş zay f Moey uzay (0; ) da an ml Lebesgue-ölçülebili fonksiyonla n kümesi A; B ye gömülüdü vi
8 . GİRİŞ Hamonik analizin klasik oeaöleinden maksimal oeaö, Riesz oansiyeli ve singüle inegal oeaöleinin Lebesgue ve Moey uzaylaındaki sınılılığıile ilgili bugüne kada biçok çalışma yaılmışı. Bu çalışmalaın kısmi üevli difeensiyel denklemle eoisinde biçok uygulamalaı vadı. f L loc (R n ) olmak üzee f M,λ = f M,λ (R n ) = su x R n >0 0 λ n, < ve λ f L(B(x,)) olacak biçimdeki üm fonksiyonlaın sınıfına Moey uzayıdeni ve bu fonksiyonlaın sınıfım,λ (R n ) ile göseili. Moey uzaylaı, 938 yılında Moey aafından ikinci deeceden eliik kısmi üevli difeensiyel denklemlein lokal davanışlaınıaaşımak ve lokal düzgünlüğün Lebesgue uzaylaından daha kesin olduğunu açıklamak amacıyla anımlanmışı. Moey uzaylaının Navie-Sokes denklemlei, Schödinge denklemlei ve oansiyel eoisinde de geniş uygulamalaıvadı. x R n ve > 0 olmak üzee B (x, ), x mekezli yaıçalı yuva olsun. f L loc (R n ) olmak üzee M α kesili maksimal oeaö ve I α Riesz oansiyeli sıasıyla M α f(x) = su B(x, ) + α n >0 f(y) dy, 0 α < n, I α f(x) = R n B(x,) f(y)dy x y n α, 0 < α < n olaak anımlanı. α = 0 alınısa M M 0 Hady-Lilewood maksimal oeaöü elde edili. Buada B(x, ), B(x, ) yuvaının Lebesgue ölçüsüdü. ρ : (0, ) (0, ) oziif ölçülebili bi fonksiyon olmak üzee R n de uygun f fonksiyonlaıiçin I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöü (genelleşiilmiş Riesz oansiyeli) ρ( x y ) I ρ f(x) = R x y f(y)dy n n olaak anımlanı. ρ() = α alınısa I α = I α Riesz oansiyel oeaöü elde edili. I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöü ilk olaak Guliyev (999, 200)
9 ve Nakai (200) aafından çalışılmışı. Son zamanlada özellikle Moey uzaylaında biçok maemaikçi aafından I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöü ile ilgili çalışmala yaılmakadı. Nakai, I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöünün M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzayından M,ψ ye sınılılığınıuygun ϕ ve ψ fonksiyonlaıalaak isalamışı. I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöünün M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzayından M,ψ ye sınılılığı ile ilgili Nakai (2002), Eidani (2002), Gunawan (2003), Eidani, Gunawan ve Nakai (2004), Gunawan ve Eidani (2009), Sawano (200), Eidani, Gunawan, Nakai ve Sawano (204) gibi biçok maemaikçi aafından çalışmala yaılmışı. Yukaıda bahsedilen çalışmalada ϕ ve ϕ 2 fonksiyonlaıüzeine çeşili monoonluk koşullaıkonulaak isala yaılmışı. Guliyev (2009) ϕ ve ϕ 2 fonksiyonlaının monoonluğu ile ilgili koşullaıkullanmadan lokal Guliyev eşisizliği I α f L(B(x,)) n n f L(B(x,)) d ve nokasal Guliyev eşisizliği I α f(x) α Mf (x) + α n f L(B(x,)) d adını vediğimiz eşisizliklei kullanaak I α Riesz oansiyel oeaöünün M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzayından M,ϕ2 genelleşiilmiş Moey uzayına Sanne ve Adams ii sınılılıklaınıisalamışı. Bu çalışmanın amacı, I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöünün M,λ Moey uzaylaında ve M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzaylaında Sanne ve Adams ii sınılılığınıguliyev meodu ile isalamakı. Bu amaçla, Sanne-Guliyev ii sınılılık için lokal Guliyev eşisizliği I ρ f L(B(x,)) f L (B(x,2)) + n 2 2 n ρ() f L(B(x,)) d
10 ve Adams-Guliyev ii sınılılık için nokasal Guliyev eşisizliği I ρ f(x) ρ()mf(x) + n ρ() f d L(B(x,)) genelleşiileek isalanmışı. ojinal sonuçla isalanmışı: Elde edilen bu eşisizlikle kullanılaak aşağıdaki i) (Sanne-Guliyev) < < <, olsun. Bu duumda I ρ oeaöü, > için M,λ Moey uzayından M,µ Moey uzayına ve = için M,λ Moey uzayından WM,µ zayıf Moey uzayına sınılıdı. ii) (Adams-Guliyev) < < olsun. Bu duumda I ρ oeaöü, > için M,λ Moey uzayından M,λ Moey uzayına ve = için M,λ Moey uzayından WM,λ zayıf Moey uzayına sınılıdı. iii) (Sanne-Guliyev) < olsun. Bu duumda I ρ oeaöü, > için M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzayından M,ϕ2 genelleşiilmiş Moey uzayına ve = için M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzayından WM,ϕ2 genelleşiilmiş zayıf Moey uzayına sınılıdı. iv) (Adams-Guliyev) <, > olsun. Bu duumda I ρ oeaöü, > için M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzayından M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzayına ve = için M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzayından WM,ϕ Moey uzayına sınılıdı. genelleşiilmiş zayıf Tezde elde edilen bu sonuçla, bu güne kada I α ve I ρ oeaölei için elde edilmiş olan sonuçlaıbie özel hal olaak kasamakadı. Dolayısıyla, bu ezde elde edilen sonuçla önceki üm sonuçlaın bi genelleşiilmesidi. Bu ez beş bölümden oluşmakadı. Biinci bölüm giiş kısmına ayılmışı. İkinci bölümün ilk kısmında, konu ile ilgili emel anım ve eoemle veilmişi. İkinci ve üçüncü kısmında Moey uzaylaıve genelleşiilmiş Moey uzaylaıanıılaak emel özelliklei incelenmişi. Daha sona, Riesz oansiyelinin ve genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin genelleşiilmiş Moey uzaylaında sınılılĭgıile ilgili çalışmalaa ye veilmişi. 3
11 Üçüncü ve dödüncü bölümle ezin ojinal kısımlaıdı. Üçüncü bölümde, I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin M,λ Moey uzaylaında Sanne ve Adams ii sınılılığıρ üzeine uygun koşulla konulaak Guliyev meodu ile isalanmışı. Dödüncü bölümde, ρ ve ϕ fonksiyonlaıüzeine uygun koşulla konulaak I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzaylaında Sanne ve Adams ii sınılılığıguliyev meodu ile isalanmışı. Beşinci bölümde, aışma ve sonuç ye almakadı. Çalışmamızda, C > 0 bi sabi olmak üzee A CB sağlanıyosa A B göseimi kullanılacakı. Ayıca A B ve B A sağlanıyosa A B ile göseileceki. 4
12 2. KURAMSAL TEMELLER 2. Temel Kavamla Tanım 2.. (Toolojik Vekö Uzayı) X bi oolojik Hausdoff uzayıolsun. X X ve C X oolojik çaım uzaylaından X uzayına olan (x, y) x + y ve (c, x) cx dönüşümlei süekli ise bu duumda X uzayına bi oolojik vekö uzayıdı deni. Buada C, Öklidyen meiği aafından belilenmiş olan alışılmış oolojiye sahii (Adams ve Founie 2003). Tanım 2..2 (Fonksiyonel) Bi X vekö uzayıüzeinde anımlanan skale değeli bi fonksiyona fonksiyonel adıveili. Eğe x, y X ve a, b C olmak üzee f (ax + by) = af (x) + bf (y) ise f lineedi deni. X bi oolojik vekö uzayı olsun. Eğe bi fonksiyonel X uzayından C ye süekli ise X üzeinde süeklidi deni (Gafakos 2008). Tanım 2..3 (Dual Uzay) Bi X oolojik vekö uzayıüzeindeki büün süekli, linee fonksiyonellein kümesi X in duali olaak adlandıılı ve X ile göseili. Nokasal olama ve skalele çama alında X bi vekö uzayıdı: f, g X, x X, c C olmak üzee (f + g) (x) = f (x) + g (x), (cf) (x) = cf (x) anımlanı (Gafakos 2008). X için uygun bi ooloji belilenise bu duumda X bi oolojik vekö uzayı yaılabili. Tanım 2..4 (Nomlu Uzay) X bi K cismi üzeinde bi vekö uzayıolsun. Eğe. : X R 5 x x
13 dönüşümü x, y X ve a K için (N) x 0 ve x = 0 x = θ, (N2) ax = a x, (N3) x + y x + y özellikleini sağlıyosa bu dönüşüme X üzeinde nom adıveili. (X,. ) ikilisine bi nomlu vekö uzayıdeni. (X,. ) nomlu uzayıkısaca X ile göseili. Tanım 2..5 (N3) eşisizliğinde x + y C ( x + y ), C > 0 olması duumunda bu dönüşüme uasi-nom adıveili. Tanım 2..6 (Banach Uzayı) Eğe X nomlu uzayındaki he Cauchy dizisi X e bi limie yakınsıyosa X uzayına bi Banach uzayıdı deni (Gafakos 2008). Tanım 2..7 (Pseudo-meik) ρ : X X [0, ) bi fonksiyon olsun. ρ fonksiyonu (i) ρ (x, y) = 0 x = y, (ii) ρ (x, y) = ρ (y, x), (iii) C > 0 öyle ki ρ (x, z) C (ρ (x, y) + ρ (y, z)) özellikleini sağlıyosa ρ ya seudo-meik deni. Tanım 2..8 (Oeaö) Fonksiyonla kümesini fonksiyonla kümesine dönüşüen bi dönüşüme oeaö deni. Tanım 2..9 Bi T oeaöü aşağıdaki özelliklei geçeklese T ye lineedi deni: (i) T nin D (T ) anım bölgesi bi vekö uzayıolu R (T ) değe bölgesi, aynıcisim üzeinde bi vekö uzayıdı. (ii) He x, y D (T ) ve α skalei için, T (x + y) = T x + T y T (αx) = αt x geçekleni. Tanım 2..0 X, Y nomlu uzayla ve D (T ) X olmak üzee, T : D (T ) Y linee oeaö olsun. Eğe he x D (T ) için, T x A x olacak şekilde bi A > 0 eel sayısıvasa, T oeaöüne sınılıdı deni. 6
14 Bi T oeaöünün nomu T = T x su x x D(T ) x 0 ile anımlanı (Keyszig 989). Tanım 2.. X, Y nomlu uzayla, D (T ) X olmak üzee, T : D (T ) Y bi oeaö ve x 0 D (T ) olsun. Eğe veilen he ε > 0 sayısına kaşılık, x x 0 < δ koşulunu geçekleyen he x D (T ) için, T x T x 0 < ε olacak şekilde bi δ > 0 sayısıvasa T ye x 0 da süeklidi deni. Teoem 2..2 X ve Y nomlu uzayla ve D (T ) X olmak üzee, T : D (T ) Y linee oeaö olsun. Bu duumda T nin süekli olmasıiçin geek ve yee koşul T nin sınılıolmasıdı (Keyszig 989). Tanım 2..3 (Cebi) X bi küme olsun. Eğe X in al kümeleinin bi Σ sınıfı için aşağıdaki özellikle sağlanıyosa bu duumda Σ sınıfına X üzeinde bi cebidi deni: (i) X Σ, (ii) He E Σ için E c = X\E Σ, (iii) k =, 2,..., n için E k Σ ise n E k Σ. k= Eğe (iii) şaıyeine He n N için E n Σ E n Σ şaıkonulusa Σ n= cebiine bi σ cebi adıveili. Tanım 2..4 (R n Öklid uzayı) x = (x,..., x n ) ve y = (y,..., y n ), R n de veköle olmak üzee R n, n boyulu Öklidyen uzayı (x, y) = ile donaılmış R n, n boyulu eel uzayıdı. ( ) 2 n x = ile anımlanı. x 2 j j= n j= x j y j iç çaımı Buada x veköünün mulak değei Tanım 2..5 (Ölçülebili uzay) X bi küme ve Σ, X üzeinde bi σ cebii olsun. Bu duumda (X, Σ) ikilisine bi ölçülebili uzay, Σ daki he bi kümeye de Σ-ölçülebili küme veya kısaca ölçülebili küme adıveili. Tanım 2..6 (Ölçü) (X, Σ) bi ölçülebili uzay olsun. genişleil-miş eel değeli bi µ fonksiyonu (i) µ ( ) = 0, (ii) He A Σ için µ (A) 0, 7 Σ üzeinde anımlı
15 ( ) (iii) He ayık (A n ) dizisi için µ A n = µ (A n ) n= n= özellikleini sağlıyosa bu fonksiyona ölçü deni. Eğe he A Σ için µ (A) < ise µ ye sonlu ölçü adıveili. Tanım 2..7 (Dış ölçü) X bi küme ve P (X) de X in kuvve kümesi olsun. P (X) üzeinde anımlı, genişleilmiş eel değeli bi µ fonksiyonu (i) µ ( ) = 0, (ii) He A P (X) için µ (A) 0, (iii) A B X için µ (A) µ (B), (iv) He bi n N için A n P (X) ise µ ( n= ) A n µ (A n ) şalaınısağlasa µ fonksiyonuna X üzeinde bi dış ölçüdü deni. Tanım 2..8 (I k ), R nin sınılıve açık al aalıklaının bi dizisi ve olsun. P (R) üzeinde olaak anımlanan m bi dış ölçüdü. τ A = {(I k ) : A } I k n= { } m (A) = inf l (I k ) : (I k ) τ A k= Bu dış ölçüye Lebesgue dış ölçüsü deni. Lebesgue dış ölçüsü R nin he bi al aalĭgına onun uzunluğunu kaşılık geii. n boyulu R n uzayında Lebesgue dış ölçüsünü anımlamak için I = {x : a i x i b i, i =,..., n} n boyulu kaalıaalıklaınıgöz önüne alalım. Bu aalıklaın hacimlei v (I) = n (b i a i ) biçimindedi. Keyfi bi E R n kümesinin Lebesgue dış ölçüsü { } m (E) = inf v (I k ) : E I k, I k bi aalık k= ile anımlanı. A R n için eğe i= k= m (A) = m (A E) + m (A (R n E)) 8
16 ise E kümesine Lebesgue ölçülebilidi deni. Tanım 2..9 M (R, m ), m dış ölçüsüne göe ölçülebilen R nin al kümeleinin sınıfıolsun. m Lebesgue dış ölçüsünün M (R, m ) sınıfına da B (R) Boel sınıfına olan kısılanmasına Lebesgue ölçüsü deni, m ile göseili. Tanım (Ölçülebili fonksiyon) (X, Σ) bi ölçülebili uzay ve f : X R bi fonksiyon olsun. Eğe α R için f (]α, + [) = {x X : f (x) > α} Σ oluyosa f ye ölçülebili fonksiyon deni. X üzeindeki ölçülebili fonksiyonlaın ailesi M (X, Σ) ile göseili. Ayıca (X, Σ) bi ölçülebili uzay olmak üzee X deki negaif olmayan ölçülebili fonksiyonlaın kümesi M + (X, Σ) ile göseili. Tanım 2..2 (X, Σ, µ) bi ölçü uzayıolsun. Eğe bi öneme ölçüsü sıfı olan bi küme dışında doğu ise, o öneme hemen he yede doğudu deni. Tanım (Desek) f (x) 0 şaınısağlayan x nokalaının kümesinin kaanışına f fonksiyonunun deseği deni ve ile göseili. suf = {x : f(x) 0} Tanım (Düzgün Fonksiyon) Bi bölge üzeinde he meebeden süekli üevlee sahi olan bi f fonksiyonuna düzgün fonksiyon deni. Tanım (Kaakeisik Fonksiyon) A R n olsun., x A χ A = 0, x / A ile anımlanan χ A fonksiyona A nın kaakeisik fonksiyonu deni (Gafakos 2008). Tanım (L Uzayı) (X, Σ, µ) bi ölçü uzayıolsun. 0 < < olmak üzee L = f M (X, Σ) : f dµ < 9 X
17 kümesine -inci kuvveen mulak inegallenebilen fonksiyonla sınıfına L uzayı deni. L uzayında bi f fonksiyonunun nomu ( f = X ile anımlanı (Gafakos 2008). ) f dµ, < ess su f (x), = x X Tanım üzeinde f ölçülebili bi fonksiyon olmak üzee he komak K kümesi f dµ < ise f fonksiyonuna lokal inegallenebilidi deni (Gafakos 2008). K Lemma (Hölde eşisizliği) > ve + = olmak üzee f L, g L olsun. Bu duumda fg L ve fg f g sağlanı. Bu eşisizliğe Hölde eşisizliği deni (Sadosky 979). Lemma (Minkowski eşisizliği) için eğe f, g L ise (f + g) L ve f + g f + g di. Bu eşisizliğe Minkowski eşisizliği deni (Sadosky 979). Lemma (Genelleşiilmiş Minkowski Eşisizliği) <, (X, µ) ve (Y, ν) ölçülebili uzayla olsun. f, (X, µ) (Y, ν) çaım uzayıüzeinde ölçülebili bi fonksiyon olmak üzee f(x, y) dµ(x) dν(y) f(x, y) dν(y) dµ(x) Y X X Y eşisizliği sağlanı (Gafakos 2008). 0
18 Teoem (Fubini) η 0, υ 0 olmak üzee (X, η) ve (Y, υ) ölçü uzaylaı ve η υ, X Y üzeinde anımlıçaım ölçüsü olsun. Bu duumda F (x, y), η υ- inegallenebili ise F (x, y)dη υ = F (x, y)dη dυ X Y = X Y F (x, y)dυ dη Y X eşiliği sağlanı. Buada X = Y = R ise η = υ Lebesgue ölçüsüdü. Bu duumda R 2 de η υ = dx dx 2 di (Sadosky 979). Tanım 2..3 (Konvolüsyon) f ile g ölçülebili fonksiyonla olsun. R n de f ile g nin konvolüsyonu (f g)(x) = f(y)g(x y)dy R n biçiminde anımlıdı (Nei 97). Teoem (Young) Eğe f, g L ise bu duumda h = f g hemen he yede vadı ve L e aii. Ayıca h f g sağlanı (Nei 97). Teoem (Young) olsun. Eğe f L ve g L ise bu duumda h = f g hemen he yede vadı ve L uzayına aii. Ayıca h f g eşisizliği geçekleni (Nei 97). Teoem (Young) f L ve g L olsun. Eğe h = f g ise bu duumda h L ve h f g sağlanı. Buada + ve = + di (Nei 97). R n üzeinde dx = dx...dx n ile Lebesgue ölçüsünü göseeceğiz. R n uzayıüzeinde bi f fonksiyonunun Lebesgue inegali f (x) dx = f (x,..., x n ) dx...dx n
19 ile göseili. Çok kalıinegali kuusal koodinalada ifade emek çoğu kez kullanışlıolmakadı. = x olsun ve S n = {x : x = } ile biim küenin yüzeyini göseelim. R n f ( x ) dx inegalinin hesabıiçin; 0 <, 0 θ,..., θ n 2 π, 0 θ n 2π olmak üzee x = cos θ x 2 = sin θ cos θ 2 x 3 = sin θ sin θ 2 cos θ 3... x n = sin θ sin θ 2... sin θ n dönüşümü yaılı. Bu dönüşümün Jakobiyeni olaak hesalanı. Bu duumda R n f ( x ) dx = n J (, θ,..., θ n ) = n (sin θ j ) n j = π π = ω n π 0 n f () d 0 j= f () J (, θ) dθ...dθ n d π π 0 0 f () n d... 2π n 0 (sin θ j ) n j dθ...dθ n elde edili. Buada ω n, biim küenin yüzey alanıdı. Genel olaak R n f ( x ) dx = = 0 S n j= f ( sin θ,..., sin θ... sin θ n ) n ddθ...dθ n f (, θ) n dσd 0 S n olaak yazılı. dx hacim elemanı, dx = n ddσ di. Buada dσ, S n üzeinde dx aafından belilenen yüzey ölçüsüdü. Teoem E R n, E < olsun. Eğe < s ise bu duumda L s (E) L (E) sağlanı (Nei 97). 2
20 Tanım Bi s fonksiyonunun göünü kümesi sonlu elemandan meydana geliyosa s ye bi basi fonksiyondu deni. Teoem Eğe < ise L deki basi fonksiyonlaın kümesi L de yoğundu (Adams ve Founie 2003). Tanım 2..38, olmak üzee T : L (R n ) L (R n ) bi oeaö olsun. Eğe f L (R n ) için T f A f olacak biçimde f den bağımsız bi A > 0 sabii vasa T oeaöüne kuvveli (, ) iindendi deni. µ bi ölçü olmak üzee eğe α > 0 için ( ) A f µ {x : T f (x) > α}, < α olacak biçimde α ve f den bağımsız bi A sabii vasa T dönüşümüne zayıf (, ) iindendi deni (Sadosky 979). Teoem (Riesz-Thoin) 0,, 0, olmak üzee T, ( 0, 0 ) ve (, ) ili bi oeaö olsun. Bu duumda = θ + θ, 0 = θ + θ (0 < θ < ) 0 olmak üzee T, (, ) ili bi oeaödü (Sadosky 979). Teoem (Macinkiewicz) T alolamsal oeaö ve 0 < 0, ve 0 olsun. Ayıca T oeaöü zayıf ( 0, 0 ) ve zayıf (, ) ili oeaö olsun ve ile = θ + θ, 0 = θ + θ, (0 < θ < ) 0 biçiminde anımlansın. Bu duumda T oeaöü (, ) ili oeaödü (Sadosky 979). 3
21 Lemma 2..4 (Hady Eşisizliği), ν ve ω ölçülebili, (0, ) üzeinde oziif ve azalan iki fonksiyon olsun. Bu duumda C, ϕ fonksiyonundan bağımsız bi sabi olmak üzee ϕ (s) ds ω () d C ϕ () ν () d (2.) 0 0 eşisizliğinin sağlanmasıiçin geek ve yee koşul 0 K = su >0 ω () d 0 ν () d < (2.2) olmasıdı. Buada + = di. Ayıca (2.) i sağlayan en iyi C sabii biçimindedi. (2.3) deki k (, ) sabii K C k (, ) K (2.3) k (, ) = ( ), k (, ) = ( ) veya k (, ) = ( + ) gibi faklıbiçimlede veilebili (Mazya 985). ( + Lemma (Hady Eşisizliği), ν ve ω ölçülebili, (0, ) üzeinde oziif ve azalan iki fonksiyon olsun. Bu duumda C, ϕ fonksiyonundan bağımsız bi sabi olmak üzee ) ϕ (s) ds ω () d C ϕ () ν () d (2.4) 0 eşisizliğinin sağlanmasıiçin geek ve yee koşul 0 K = su >0 0 ω () d ν () d < olmasıdı. (2.4) ü sağlayan en iyi C sabii K C k (, ) K eşisizliğini sağla (Mazya 985). 4
22 Teoem (Lebesgue yakınsaklık) (X, Σ, µ) bi ölçü uzayı, g : X [0, ] inegallenebilen bi fonksiyon ve f, f, f 2... X üzeinde Σ ölçülebili eel değeli fonksiyonla olsun. Eğe h.h.x için lim f n (x) = f (x) n ve n Nicin f n (x) g (x) ise bu duumda f ve f n inegallenebilidi ve lim f n dµ = n X X fdµ dı (Gafakos 2008). Teoem (Monoon Yakınsaklık Teoemi) (X, Σ, µ) bi ölçü uzayı ve (f n ) de M + (X, Σ) daki fonksiyonlaın monoon aan bi dizisi olsun. (f n ) dizisi f fonksiyonuna yakınsa ise di (Gafakos 2008). X fdµ = lim X f n dµ Şimdi Moey uzaylaınıanıı bazıemel özellikleini veelim. 2.2 M,λ Moey Uzaylaı Bu kısımda, Moey uzaylaıanıılacak ve bu uzayın bazıcebisel özellikleine ye veileceki. Tanım λ n, < ve f L loc (R n ) olmak üzee f M,λ = f M,λ (R n ) = su λ f L(B(x,)) < x R n >0 olan üm f fonksiyonlaın sınıfına Moey uzayıdeni ve bu fonksiyonlaının sınıfı M,λ (R n ) ile göseili (Moey 938). Yukaıdaki koşullala anımlanan nom ile M,λ (R n ) uzayı bi Banach uzayıdı. M,λ (R n ) uzaylaının cebisel özelliklei hakkında bazıemel sonuçla aşağıda veilmişi. 5
23 (i) λ = 0 olduğunda bilinen Lebesgue uzayıdı. Geçeken, M,0 (R n ) = L (R n ) f M,0 (R n ) = su x R n >0 = su x R n >0 = f L(R n ) 0 f L(B(x,)) f L(B(x,)) elde edili. (ii) λ = n olduğunda M,n (R n ) = L (R n ) WL (R n ) zayıf L (R n ) uzayıdı ve f L = ω n f L,n eşiliği geçekleni. Geçeken, f L (R n ) olsun. Bu duumda, n B(x,) f (y) dy elde edili. Buadan f M,n (R n ) bulunu ve ω n f L f M,n ω n f L sağlanı. f M,n (R n ) olsun. Temel Lebesgue Teoemi ne göe lim o m (B (x, )) B(x,) f (y) dy = f (x) di. Bu duumda, f (x) = lim o m (B (x, )) B(x,) f (y) dy ω n f M,n elde edili. Böylece f L (R n ) di. 6
24 (iii) λ < 0 veya λ > n iken M,λ (R n ) = Θ olu buada Θ, R n de 0 a denk olan fonksiyonlaın kümesini belimekedi (Sein 970). Ayıca <, f WL loc (R n ) olmak üzee zayıf Moey uzayıwm,λ (R n ) f WM,λ f WM,λ (R n ) = su λ f WL(B(x,)) < olacak biçimdeki fonksiyonlaın kümesini belimekedi. Buada WM,λ (B (x, )), x R n >0 f WL(B(x,)) fχb(x,) WL (R n ) = su {y B (x, ) : f(y) > } x R n >0 koşulunu sağlayan zayıf L uzayında ölçülebili fonksiyonlaın uzayıdı. Ayıca, WL (R n ) = WM,0 (R n ) eşiliği de sağlanı. f WM,λ f M,λ ve böylece M,λ (R n ) WM,λ (R n ) sağlanı. Teoem < <, λ, µ 0 ve λ n µ n olsun. Bu duumda, gömülmesi geçekleni. M,µ M,λ İsa. ile eşlenik olmak üzee Hölde eşisizliğinden / / f (y) dy = dy f (y) dy B(x,) yazılabili. Ayıca, λ n B(x,) (v n n ) B(x,) (v n ) n( )+µ µ n ( d B(x,) f (y) dy µ B(x,) ( λ n ) + µ ( λ d) ) n( )+µ n( )+µ λ d n( )+µ λ 7 f (y) dy
25 elde edili. Bu ifadele yeine yazılısa λ B(x,) f (y) dy µ B(x,) f (y) dy bulunu. Böylece f M,λ f M,µ geçekleni. Bu çalışmanın emel eşisizlikleinden bii olan Hady-Lilewood-Sobolev eşisizliği (930) aşağıdaki eoemde veilmişi. Teoem < < < olsun. I α oeaöünün L (R n ) den L (R n ) ye sınılı olmasıiçin geek ve yee koşul α = n n olmasıdı. Ayıca, I α f L f L eşisizliği geçekleni. Bununla bilike = < < için I α oeaöü L (R n ) den W L (R n ) ye sınılıdı. Sanne ve Adams I α Riesz oansiyelinin M,λ Moey uzaylaında sınılılığınıisaladı. Bu sonuçlaıaşağıdaki gibi özeleyebiliiz: Teoem (Sanne) 0 < α < n, < < n, 0 < λ < n α olsun. Ayıca α α = n n, λ = µ ve f Lloc (R n ) olsun. Bu duumda, I α f M,µ f M,λ eşisizliği geçekleni, buna göe I α oeaöü M,λ den M,µ ye sınılıdı (Sanne 969). Teoem (Adams) 0 < α < n, < < n α, 0 < λ < n α ve α = n n olsun. Bu duumda f L loc (R n ) olmak üzee I α f M,λ f M,λ eşisizliği geçekleni, buna göe I α oeaöü M,λ den M,λ ye sınılıdı (Adams 975). Şimdi I α Riesz oansiyel oeaöü ile M α kesili maksimal oeaöü aasındaki ilişkiyi ifade eden aşağıdaki eoemi yazabiliiz. 8
26 Teoem < α < n olmak üzee M α f(x) v α n I α ( f ) (x) eşisizliği geçekleni. Buada v n, R n de biim yuvaın hacmini belimekedi. Teoem ve Teoem dan M α kesili maksimal oeaöün M,λ Moey uzaylaında sınılı olduğunu söyleyebiliiz. Şimdi M maksimal oeaöün ve I α oeaöünün Moey uzaylaında sınılılığı için daha güçlü bi sonucu ifade eden eoemi veelim. Teoem < <, 0 < λ < n ve f L loc (R n ) olmak üzee Mf M,λ f M,λ eşisizliği geçekleni. Yani M oeaöü M,λ Moey uzayında sınılıdı (Chiaenza ve Fasca 987). Teoem <, 0 λ < n α ve f L loc (R n ) olmak üzee I α f M,λ f M,λ eşisizliği geçekleni. Buna göe I α oeaöü M,λ den M,λ ye sınılıdı (Chiaenza ve Fasca 987). Şimdi, M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzaylaınıanıalım. 2.3 M,ϕ Genelleşiilmiş Moey Uzaylaı Tanım 2.3. < ve ϕ : R n (0, ) (0, ) de oziif ölçülebili bi fonksiyon olsun. f L loc (R n ) olmak üzee f M,ϕ = f M,ϕ(R n ) = su ϕ(x, ) B(x, ) f L(B(x,)) < x R n >0 olacak biçimde sonlu uasinomu ile anımlıf fonksiyonlaının sınıfına genelleşiilmiş Moey uzayıdeni ve M,ϕ (R n ) ile göseili (Guliyev ve Shukuov 203). 9
27 Ayıca f L loc (R n ) olmak üzee WM,ϕ (R n ) genelleşilimiş zayıf Moey uzayı f WM,ϕ = f WM,ϕ(R n ) = su ϕ(x, ) B(x, ) f WL(B(x,)) < x R n >0 olacak biçimde üm fonksiyonlaın uzayıdı. Bu anıma göe ϕ(x, ) = λ n seçilise M,λ = M,ϕ (R n ) ϕ(x,)= λ n WM,λ = WM,ϕ ϕ(x,)= λ n sıasıyla M,λ Moey uzayıve WM,λ zayıf Moey uzayıelde edili. Lemma ϕ : (0, ) (0, ) oziif ölçülebili bi fonksiyon olmak üzee aşağıdaki koşulla geçekleni: (i) ϕ h.h. azalandı, buna göe ϕ() C ϕ() di. 2 ϕ() (ii) ϕ h.h. azalan ise C 2 ϕ(2) d C 3 ϕ(); C 2, C 3 > 0 dı. (iii) n ϕ() h.h. aandı, buna göe n ϕ() C 4 n ϕ() di. (iv) ϕ() n h.h. azalandı, buna göe ϕ() n (v) ϕ fonksiyonu Dini koşulunu sağla, buna göe C 5 ϕ() 0 n di. ϕ() d < du. (vi) ϕ fonksiyonu doubling koşulunu sağla, buna göe 2 2 C 6 ü. (vii) ϕ fonksiyonu doubling koşulunu sağla ise ϕ() C 7 (viii) ϕ fonksiyonu doubling koşulunu sağla ise C 8 ϕ() (ix) ϕ fonksiyonu doubling koşulunu sağla ise 2 k+ (x) ϕ fonksiyonu inegal koşulunu sağla buna göe (xi) ϕ fonksiyonu inegal koşulunu sağla, buna göe 2 k 0 2 ϕ() ϕ() C 6 ϕ() d, > 0 dı. ϕ() d C 9 ϕ() dı. ϕ() d ϕ(2 k ), k Z di. ϕ() d C 0 ϕ(), > 0 dı. ϕ() d C ϕ() di. Çalışmamız boyunca, yukaıda ϕ fonksiyonu için sağlanan üm koşullaın negaif olmayan ölçülebili ρ fonksiyonu için de sağlandığınıkabul edeceğiz. Teoem < <, 2 olmak üzee ϕ(x, ) için C ϕ(x, ) ϕ(x, ) Cϕ(x, ) (2.5) 20
28 doubling koşulu sağlanı. Buada C ;, ve x R n den bağımsızdı. Ayıca ϕ fonksiyonu için ve α ϕ(x, ) d Cα ϕ(x, ) (2.6) ϕ(x, ) d Cϕ(x, ) (2.7) eşisizliklei sağlanı. Buada C > 0;, ve x R n den bağımsızdı. 2.4 M,ϕ Uzaylaında I α Riesz Poansiyel Oeaöünün Sınılılĭgı Bu kısımda, I α Riesz oansiyel oeaöünün M,ϕ (R n ) genelleşiilmiş Moey uzaylaında Sanne ve Adams ii sınılılığıile ilgili yaılan çalışmala incelenmişi Sanne ii sınılılık Aşağıdaki eoemde, I α Riesz oansiyel oeaöünün M,ϕ (R n ) genelleşiilmiş Moey uzaylaında Sanne ii sınılılığınıgösemek için Guliyev aafından elde edilmiş eşisizlikle veilmekedi. Lemma (I α için lokal Guliyev eşisizlĭgi) <, 0 < α < n, α = n n ve f L loc (R n ) olsun. Bu duumda > için I α f L(B(x,)) n n f L(B(x,)) d (2.8) ve = için I α f WL(B(x,)) n n f L (B(x,)) d (2.9) eşisizliklei geçekleni (Guliyev 2009). İsa. < < olsun. f fonksiyonu f = f +f 2, f (y) = f (y) χ B(x,2) (y), f 2 (y) = f (y) χ B c (x,2) (y), > 0 olaak anımlanısa I α f (x) = I α f (x) + I α f 2 (x) yazılabili. 2
29 < <, 0 < α < n, = α n olmak üzee I α oeaöünün L den L ye sınılılığından I α f L(B(x,)) I α f L(R n ) C f L(R n ) = C f L(B(x,2)) elde edili. Buada C, f den bağımsız bi sabii. Ayıca f L(B(x,2)) C n n f L(B(x,)) d 2 olduğu göz önüne alınısa I α f L(B(x,)) C n n f L(B(x,)) d (2.0) olu. x z, z y 2 olduğundan x z z y 2 yazılabili. Dolayısıyla ve 2 x y = x z + z y x z + z y + z y 3 z y 2 elde edili. Sonuç olaak z y = z x + x y z x + x y + x y z y + x y 2 z y x y 2 2 z y x y 3 z y 2 22
30 yazılabili. Böylece I α f 2 L(B(x,)) B c (x,2) C B c (x,2) f (y) z y n α dy L(B(x,)) f (y) x y n α dy χ (B(x,)) L (R n ) bulunu. β > n seçileek, Hölde eşisizliğinin uygulanmasıyla B c (x,2) f (y) n α dy = β x y = β C = C = C C B c (x,2) s β x y α n+β f (y) {y R n :2 x y s} x y s β ds dy x y α n+β f (y) dy ds s β f L(B(x,s)) x y α n+β L(B(x,s)) ds s β f L(B(x,s)) s β f L(B(x,s)) s β f L(B(x,s)) 2 x y s S n s 2 ρ ( x y n α β) dy ρ n (n α β) dρdx ( s n (n α β) ) ds ds ds = C = C s β s n s α+β f L(B(x,s)) ds s α n f L(B(x,s)) ds (2.) elde edili. Diğe yandan = α ise n n 23 = n α dı. Bu değe (2.) de yeine
31 yazılısa I α f 2 L(B(x,)) C s α ( n +α) f ds L(B(x,s)) 2 = C s n f ds L(B(x,s)) 2 C n 2 s n f L(B(x,s)) ds (2.2) olu. Böylece (2.0) ve (2.2) nin gözönüne alınmasıyla (2.8) isalanmış olu. = ise > 0 olmak üzee he B(x, ) yuvaıiçin nom eşisizliğinden I α f WL(B(x,)) I α f WL(B(x,)) + I α f 2 WL(B(x,)) yazılabili. I α oeaöünün L (R n ) den WL (R n ) ye sınılılığından I α f WL(B(x,)) C f L(B(x,2)) (2.3) eşisizliği elde edili. Buada C, x ve den bağımsız bi sabii. Bu duumda (2.2) eşisizliği = için de geçekleni. Buadan (2.9) eşisizliği isalanmış olu. Şimdi, bu eşisizlik yadımıyla Sanne ii sınılılığıveelim. Teoem <, 0 < α < n, α = n n olsun ve ϕ (x, ), ϕ 2 (x, ) fonksiyonlaıiçin koşulu sağlansın. Bu duumda > için α ϕ (x, ) d Cϕ 2(x, ) (2.4) I α f M,ϕ2 C f M,ϕ ve = için I α f WM,ϕ2 C f M,ϕ eşisizlikleini sağlayan x ve den bağımsız bi C > 0 sabii vadı. Buna göe I α oeaöü > için M,ϕ (R n ) den M,ϕ2 (R n ) ye ve = için M,ϕ (R n ) den WM,ϕ2 (R n ) ye sınılıdı (Guliyev ve Shukuov 203). 24
32 İsa. < < olmak üzee f M,ϕ(R n ) olsun. Teoem ve (2.4) en I α f M,ϕ2 C su >0 ϕ 2 (x, ) x R n C f M,ϕ su >0 ϕ 2 (x, ) x R n C f M,ϕ su >0 x R n C f M,ϕ n f L(B(x,)) d ϕ 2 (x, ) ϕ 2(x, ) α ϕ (x, ) d yazılabili. Ayıca = olmak üzee f M,ϕ(R n ) olsun. Bu duumda Teoem den ve (2.0) dan I α f WM,ϕ2 = su >0 x R n ϕ 2 (x, ) C su >0 ϕ 2 (x, ) x R n n Iα f WL(B(x,)) C f M,ϕ su >0 ϕ 2 (x, ) x R n C f M,ϕ su >0 x R n C f M,ϕ n f L (B(x,)) d ϕ 2 (x, ) ϕ 2(x, ) α ϕ (x, ) d elde edili. Böylece isa amamlanmış olu. Nakai aşağıdaki eoemde M maksimal oeaöün M,ϕ uzaylaında sınılılığınıisalamışı. genelleşiilmiş Moey Teoem < < olmak üzee ϕ için (2.7) koşulu sağlansın. Bu duumda Mf M,ϕ C,ϕ f M,ϕ olacak şekilde bi C,ϕ > 0 vadı. Buna göe M maksimal oeaöü M,ϕ uzayında sınılıdı (Nakai 994). Nakai, Sanne ii sınılılığının bi sonucunu Teoem ü kullanaak I α Riesz oansiyel oeaöü için aşağıdaki eoemi elde emişi. 25
33 Teoem < < n α, 0 < α < n, α = n n (2.5) ve (2.6) koşullaısağlansın. Bu duumda olsun ve ϕ(x, ) fonksiyonu için I α f M,ϕ2 C f M,ϕ eşisizliği sağlanı. Buna göe I α oeaöü M,ϕ (R n ) den M,ϕ2 (R n ) e sınılıdı (Nakai 994). Buada 0 λ < n α, α = n n sonuç olaak elde edili. için ϕ () = λ n seçilise Sanne eoemi bi Aşağıdaki eoem I α oeaöü için Adams ve Chiaenza-Fasca nın bi genelleşiilmesidi. Teoem < < n α olmak üzee ϕ için (2.5) ve (2.7) koşullaısağlansın. Ayıca n β < α için ϕ() Cβ olsun. Bu duumda = β α+β için I α f M,ϕ C f M,ϕ eşisizliği sağlanı. Buna göe I α oeaöü M,ϕ(R n ) den M,ϕ (R n ) e sınılıdı (Gunawan ve Eidani 2009) Adams ii sınılılık Aşağıdaki eoem I α Riesz oansiyel oeaöünün M,ϕ (R n ) genelleşiilmiş Moey uzaylaında Adams ii sınılılığınıifade emekedi. Teoem <, 0 < α < n ve > olsun. ϕ(x, ) için doubling koşuluyla beabe ve su ϕ(x, ) Cϕ(x, ) (2.5) << α ϕ(x, ) d C α (2.6) koşullaısağlansın. Buada C, x R n ve > 0 dan bağımsızdı. Bu duumda > için I α f M,ϕ C f M,ϕ 26
34 ve = için I α f WM C f M,ϕ,ϕ eşisizliklei sağlanı. Buna göe > için I α oeaöü M,ϕ den M,ϕ ye ve = için M,ϕ den WM,ϕ ye sınılıdı (Guliyev ve Shukuov 203). İsa. < <, 0 < α < n, > olmak üzee f M,ϕ olsun. f fonksiyonu f = f +f 2, f (y) = f (y) χ B(x,2) (y), f 2 (y) = f (y) χ B c (x,2) (y), > 0 olaak alınısa I α f (x) = I α f (x) + I α f 2 (x) yazılabili. I α f (x) α Mf (x) eşisizliği Hedbeg (972) aafından göseilmişi. I α f 2 için Fubini eoemi ve Hölde eşisizliğinden I α f 2 (x) x y α n f (y) dy B c (x,2) f (y) dy α n d = = = B c (x,2) 2 2< x y < f L(B(x,)) f L(B(x,)) x y f (y) dy α n d < x y < S n dy ρ n dρdy f L(B(x,)) n( ) α n d α n d α n d α n f L(B(x,)) d (2.7) 27
35 elde edili. (2.6) ve (2.7) den I α f(x) α Mf (x) + α n f L(B(x,)) d α Mf (x) + f M,ϕ α Mf (x) + α f M,ϕ α ϕ(x, ) d yazılabili. Böylece he x R n için = ( M ) α,ϕ Mf(x) seçileek bulunu. oeaöün M,ϕ I α f(x) (Mf (x)) f M,ϕ Sonuç olaak eoemin ifadesi, (2.5) koşuluyla sağlanan M maksimal deki sınılılığıgöz önüne alındığında < < < için I α f M = su ϕ(x, ) n Iα f L(B(x,)),ϕ x R n,>0 ve < < ise f M = f M = f M su,ϕ x R n,>0,ϕ,ϕ f M,ϕ ( ϕ(x, ) n Mf L (B(x,)) su ϕ(x, ) n Mf L(B(x,)) x R n,>0 Mf M,ϕ ) I α f WM = su ϕ(x, ) n Iα f WL(B(x,)),ϕ x R n,>0 f M,ϕ ( = f M,ϕ su x R n,>0 su x R n,>0 = f M,ϕ Mf M,ϕ ϕ(x, ) n Mf WL (B(x,)) ϕ(x, ) n Mf L(B(x,)) ) f M,ϕ elde edili. Böylece eoem isalanmış olu. 28
36 Teoem de özel olaak 0 < λ < n olmak üzee ϕ(x, ) = λ n alınısa Teoem (Adams) elde edili. Aşağıdaki eoem Adams-Chiaenza-Fasca ii sınılılığının bi genelleşiilmesi olaak düşünülebili. Teoem < < n, n β < α olmak üzee ϕ fonksiyonu için (2.5) ve (2.7) koşullaıyla beabe ϕ() C β eşisizliği de sağlansın. Bu duumda = β α+β için I α f M,ϕ C,β f M,ϕ olacak şekilde C,β > 0 vadı. Buna göe I α oeaöü M,ϕ den M,ϕ ye sınılıdı (Gunawan ve Eidani 2009). 2.5 M,ϕ Uzaylaında I ρ Oeaöünün Sınılılĭgıile İlgili Çalışmala Bu kısımda, I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin M,ϕ (R n ) genelleşiilmiş Moey uzaylaında Sanne ve Adams ii sınılılığıile ilgili yaılan çalışmala incelenmişi. < < < olmak üzee I α oeaöünün L den L ye sınılıolmasıiçin geek ve yee koşul α = n n olmasıdı. Bu sonuç Hady-Lilewood-Sobolev eşisizliği olaak bilini. Sanne bu sonucu genelleşieek 0 λ n α, µ = λ için I α oeaöünün M,λ den M,µ ye sınılıolmasıiçin geek ve yee koşul olaak α = n n olduğunu gösemişi. Sanne olaak bilinen bu sonuç Adams aafından yeniden isalanmışı. Buna göe 0 < λ < n α için I α oeaöünün M,λ den M,λ ye sınılıolmasıiçin geek ve yee koşul α = n n olduğunu gösemişi. Chiaenza ve Fasca, Adams için daha güçlü bi sonuç elde emişi. Buna göe 0 < λ < n α için I α oeaöünün M,λ den M,λ ye sınılıolmasıiçin geek ve yee koşul α = n λ n λ olduğunu isalamışı. Sanne bunun bi sonucudu. Daha önceki ilgili eoemle ise λ = 0 duumu için elde edili. Çünkü L,0 = L di. 29
37 Yukaıdaki sonuçla ilk defa Nakai aafından M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzaylaında isalanmışı. Buna göe 0 λ < n α olmak üzee uygun ϕ, ψ fonksiyonlaıiçin I α oeaöünün M,ϕ den M,ψ ye sınılıolmasıiçin geek ve yee koşul ψ() = α ϕ() olmasıgeekiğini gösemişi. Buada 0 λ n ve α = n λ için ϕ() = λ n seçilise Sanne bi sonuç olaak elde edili. n λ Genelleşiilmiş kesili inegal oeaölele ilgili ilk çalışmala Guliyev (999) ve Nakai (200) aafından yaılmışı. Nakai uygun ϕ, ψ fonksiyonlaı ve he > 0 için ϕ() 0 ρ() d + ρ()ϕ() d Cψ() koşulu alında I ρ oeaöünün M,ϕ den M,ψ ye sınılıolduğunu gösemişi. Eidani (2002) < <, ρ, ϕ ve ψ için benze koşullala I ρ oeaöünün M,ϕ den M,ψ ye sınılılığınıisalamışı. Faka Nakai ve Eidani aafından I ρ oeaöü için bulunan bu sonuçla I α oeaöünün bi genelleşiilmesi olaak düşünüldüğünde I α oeaöü için bilinen sonuçlala öüşüğünü söyleyemeyiz. Son zamanlada Eidani ve Gunawan < < <, ρ ve ϕ için uygun koşulla alında I ρ oeaöünün M,ϕ den M,ϕ ye sınılılığınıisalamışı. Bu sonuçla Chiaenza ve Fasca nın bi genelleşiilmesidi. Aşağıdaki eoem Hady-Lilewood-Sobolev eşisizliğinin bi genelleşiilmesini vemekedi. Teoem 2.5. ϕ fonksiyonu öen olsun ve ϕ için (2.5) ve (2.7) koşullaısağlansın. Ayıca ρ fonksiyonu için doubling koşulu ve < < < için 0 ρ() d Cϕ() koşullaısağlansın. Bu duumda ve ρ()ϕ() d Cϕ() I ρ f M,ϕ C,ϕ f M,ϕ olacak şekilde C,ϕ > 0 vadı. Buna göe, I ρ oeaöü M,ϕ den M,ϕ (Gunawan 2003). 30 ye sınılıdı
38 Teoem ρ fonksiyonu öen olsun ve bu fonksiyon için doubling koşulu sağlansın. Ayıca ϕ fonksiyonu için he > 0 için (2.7) ve 0 ρ() d + ρ() ρ()ϕ() d Cρ() koşullaısağlansın. Bu duumda < < < için I ρ f M,ϕ C, f M,ϕ olacak şekilde C, > 0 vadı. Buna göe, I ρ oeaöü M,ϕ den M,ϕ ye sınılıdı (Gunawan ve Eidani 2009). Aşağıdaki eoem Adams-Chiaenza-Fasca nın bi genelleşiilmesini ifade emekedi. Teoem < α < n için ρ() C α olsun ve ρ fonksiyonu için (2.5) ve (2.7) koşullaısağlansın. < < n α, n β α olmak üzee ϕ() Cβ olsun. Bu duumda = β α+β için I ρ f M,ϕ C,ϕ f M,ϕ olacak şekilde C,ϕ > 0 vadı. Buna göe, I ρ oeaöü M,ϕ den M,ϕ ye sınılıdı (Gunawan ve Eidani 2009). Aşağıdaki eoem Nakai ile Eidani ve Gunawan ın elde eiği sonuçla aasındaki ilişkiyi ifade emekedi. Teoem ρ ve ϕ fonksiyonlaıiçin doubling koşulu sağlansın. Ayıca ϕ öen olsun ve bu fonksiyon için, he > 0 için (2.7) ve ϕ() 0 ρ() d + ρ()ϕ() d Cϕ() koşullaısağlansın. Bu duumda < < < olmak üzee I ρ f M,ϕ C, f M,ϕ olacak şekilde C, > 0 vadı. Buna göe, I ρ oeaöü M,ϕ den M,ϕ ye sınılıdı (Gunawan ve Eidani 2009). 3
39 Teoem ü aşağıdaki lemma yadımıyla isalayacağız. Lemma ρ fonksiyonu için doubling koşulu sağlansın. amsayısıve > 0 için 2 k+ 2 k ρ() d ρ(2 k ) Bu duumda he k iki yönlü eşisizliği sağlanı ve doubling koşulundan ρ için, he > 0 için ρ() C 0 ρ() d eşisizliği geçelidi (Gunawan vd. 204). Teoem ün isaı. He x R n ve > 0 için I ρ f (x) = x y < ρ( x y ) x y n f(y)dy + yazılabili. I (x) için Lemma en I (x) x y < x y ρ( x y ) x y n f(y)dy k= 2 k x y <2 k+ C k= CMf(x) CMf(x) ρ(2 k ) (2 k ) n = CMf(x) k= ρ( x y ) x y n f(y)dy = I (x) + I 2 (x) x y <2 k+ ρ(2 k ) 2 k+ k= 2 k 0 ρ() d CMf(x)ϕ() 32 ρ( x y ) x y n f (y) dy ρ() d f(y) dy
40 elde edili. Benze şekilde I 2 (x) için Lemma en ρ( x y ) I 2 (x) x y n f(y)dy x y k=0 2 k x y <2 k+ C C k=0 ρ(2 k ) (2 k ) n ρ(2 k ) (2 k ) n k=0 x y <2 k+ ρ( x y ) x y n f(y) dy x y <2 k+ f(y) dy f(y) dy C f M,ϕ ρ(2 k+ )ϕ(2 k+ ) k=0 C f M,ϕ = C f M,ϕ k=0 C f M,ϕ ϕ() 2 k+ 2 k ρ()ϕ() d ρ()ϕ() d bulunu. He iki ifade aaf aafa olanısa I ρ f (x) = C [Mf(x)ϕ() + f M,ϕ ϕ() ] elde edili. f nin özdeş olaak 0 olmadığını ve M f nin he yede sonlu olduğunu vasayaak, ϕ fonksiyonu öen olduğundan he > 0 için ϕ() = Mf(x) f M,ϕ olaak seçebiliiz. Böylece he x R n için M maksimal oeaöün M,ϕ uzayında sınılılığından I ρ f (x) CMf(x) f M,ϕ C f M,ϕ f M,ϕ = C f M,ϕ elde edili. Böylece isa amamlanmış olu. Önek < < <, ρ() = α l() β olsun. Buada α = n n, β > 0 ve ρ fonksiyonunun doubling koşulunu sağlamasıiçin küçük le için l() = log ve 33
41 büyük le için l() = log seçelim. Bu duumda 0 ϕ() = n l() β seçelim. Bu duumda ϕ() ρ() d ρ() elde edeiz. Şimdi = ρ() olu ve ρ ile ϕ fonksiyonlaının eoemdeki koşullaısağladığınıgöüüz. Böylece I ρ oeaöü M,ϕ den M,ϕ ye sınılıdı. Teoem < < < olmak üzee ϕ fonksiyonu h.h azalan olsun. Ayıca C > 0 için eşisizliği sağlansın. Bu duumda, ρ()ϕ() d Cρ()ϕ(), > 0 I ρ f M,ϕ C f M,ϕ olacak şekilde bi C > 0 sabii vadı. Buna göe, I ρ oeaöünün M,ϕ den M,ϕ ye sınılıolmasıiçin geek ve yee koşul ρ() Cϕ() olmasıdı. Buada ρ() := 0 ρ() d di (Sawano 200). Teoem < < < olmak üzee ϕ fonksiyonu h.h azalan ve ϕ() n fonksiyonu h.h. aan olsun. Ayıca C > 0 için eşisizliği sağlansın. Bu duumda, ϕ() n d Cϕ() n, > 0 I ρ f M,ϕ C f M,ϕ olacak şekilde bi C > 0 sabii vadı. Buna göe I ρ oeaöünün M,ϕ den M,ϕ ye sınılıolmasıiçin geek ve yee koşul ϕ() 0 ρ() d + ρ()ϕ() d Cϕ() olmasıdı (Sawano 200). 34
42 Teoem ϕ, ψ fonksiyonlaıh.h azalan ve ϕ() n fonksiyonu h.h. aan olsun. Ayıca C > 0 için 0 eşisizliği sağlansın. Bu duumda, ϕ() n d Cϕ() n, > 0 I ρ f M,ψ C f M,ϕ olacak şekilde bi C > 0 sabii vadı. Buna göe, I ρ oeaöü M,ϕ den M,ψ ye sınılıolmasıiçin geek ve yee koşul olmasıdı (Sawano 200). ϕ() 0 ρ() d + ρ()ϕ() d Cψ() 35
43 3. M P,λ UZAYLARINDA I ρ OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞININ GULİYEV METODU İLE ARAŞTIRILMASI Bu bölümde, Moey uzaylaında I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin Sanne ve Adams ii sınılılığı ρ fonksiyonu üzeine uygun koşulla konulaak Guliyev meodu ile isalanmışı. ρ : (0, ) (0, ) fonksiyonu lim ρ() = 0, lim o ρ() = koşullaınısağlayan oziif ölçülebili bi fonksiyon olmak üzee I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöü I ρ f (x) = R n ρ( x y ) x y n f(y)dy biçiminde anımlıdı. Yukaıda ϕ fonksiyonu için veilen üm koşulla ρ fonksiyonu için de geçelidi. Aşağıdaki eoem, I ρ oeaöünün L (R n ) uzaylaında sınılılığınıifade eden emel bi eşisizliki. Teoem 3. (i) < < < olsun. Bu duumda I ρ oeaöünün L (R n ) den L (R n ) e sınılıolmasıiçin geek ve yee koşul he > 0 için ρ() C n n eşisizliğini sağlayan bi C > 0 sabiinin olmasıdı. (ii) < < olsun. Bu duumda I ρ oeaöü L (R n ) den WL (R n ) ye sınılı olmasıiçin geek ve yee koşul he > 0 için ρ() C n n. koşulunu sağlayan bi C > 0 sabiinin olmasıdı (Nakai vd. 204). Aşağıdaki lemma geçelidi. 36
44 Lemma 3.2 He > 0 için ρ fonksiyonu eşisizliğini sağla. ρ() su (,2) n ρ() d n < Bu koşul ρ() n fonksiyonu için bilinen doubling koşulundan daha genel bi koşuldu. 3. Sanne-Guliyev Tii Sınılılık Bu kısımda, I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin M,λ Moey uzaylaında Sanne ii sınılılığıguliyev meodu ile isalanacakı. Aşağıdaki eoem I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaölein Moey uzaylaında Sanne ii sınılılığınıguliyev meodu ile isalamak için elde eiğimiz genelleşiilmiş lokal Guliyev eşisizliğidi. Teoem 3.. (I ρ için lokal Guliyev eşisizlĭgi) < < < olmak üzee ρ fonksiyonu için ve ρ() su (,2) n ρ() n n (3.) ρ() d n (3.2) koşullaısağlansın. Bu duumda, > 0 olmak üzee > ise he f L loc (R n ) için I ρ f L(B(x,)) f L (B(x,2)) + n n ρ() f L(B(x,)) d 2 ve = ise he f L loc (R n ) için I ρ f WL(B(x,)) f L (B(x,2)) + n eşisizliklei sağlanı. 2 n ρ() f L (B(x,)) d (3.3) İsa. < < olsun. f fonksiyonu f = f +f 2, f (y) = f (y) χ B(x,2) (y), f 2 (y) = f (y) χ B c (x,2) (y), > 0 olaak alınısa I ρ f (x) = I ρ f (x) + I ρ f 2 (x) 37
45 için nom eşisizliğinden I ρ f (x) I ρ f (x) + I ρ f 2 (x) yazılabili. < <, 0 < α < n, α = n n olmak üzee Teoem en I ρf için I ρ f L(B(x,)) I ρ f L(R n ) f L(R n ) = f L(B(x,2)) (3.4) elde edili. Diğe aafan z B(x, ) x z < y B c (x, 2) x y 2 < + y z x y < y z 2 x y x y 2 x y x y y z 2 x y y z 2 y z x z + x z + x y x y + x y 2 = 3 x y 2 olu ve buadan elde edili. Buna göe 2 x y y z 3 x y
46 yazılabili. Ayıca I ρ f 2 için I ρ f 2 L(B(x,)) = = B c (x,2) B(x,) B(x,) B(x,) ρ( y z ) y z n f (y)dy B c (x,2) B c (x,2) B c (x,2) L(B(x,)) ρ( y z ) y z n f (y)dy dz ρ( y z ) y z n f (y) dy ρ( x y ) x y n f (y) dy dz dz bulunu. Genelleşiilmiş Minkowski eşisizliğini uygulayaak ve Lemma 3.2 den = B(x,) B c (x,2) B c (x,2) = B(x, ) = n n B c (x,2) B c (x,2) B c (x,2) ρ( x y ) x y n f (y) dy dz ρ( x y ) x y n f (y) dz dy B(x,) ρ( x y ) x y n f (y) dz dy B c (x,2) B(x,) ρ( x y ) x y n f (y) dy ρ( x y ) x y n f (y) dy f (y) x y 39 ρ() n d dy
47 yazılabili ve Hölde eşisizliğinden elde edili. = n n n = n = n = n ρ() n+ d 2 x y < ρ() n+ f L (B(x,)) d f (y) dy ρ() n+ f L (B(x,)) L (B(x,)) d ρ() n+ f L (B(x,)) n d ρ() n( )+ f L (B(x,)) d, + = n ρ() f L(B(x,)) d (3.5) = olsun. I ρ oeaöün zayıf (, ) sınılılığından ve Teoem 3. den I ρ f WL(B(x,)) I ρf WL(R n ) f L (R n ) = f L (B(x,2)) (3.6) bulunu. Böylece (3.5) ve (3.6) en (3.3) elde edili. Şimdi aşağıdaki eoemde Guliyev meodunu kullanaak I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin M,λ Moey uzaylaında Sanne ii sınılılığınıifade edelim. Teoem 3..2 (Sanne-Guliyev ii sınılılık) < < <, λ 0, µ = λ f L loc (R n ) olmak üzee ρ fonksiyonu için olsun. ρ() n λ n µ (3.7) ve ρ() su (,2) n 40 ρ() d n (3.8)
48 koşullaısağlansın. Bu duumda he > 0 için I ρ f M,µ f M,λ (3.9) eşisizliği sağlanı. Buna göe I ρ oeaöü M,λ den M,µ ye sınılıdı. İsa. < < olsun. Bu duumda, (3.8) ve (3.9) koşullaıyla beabe Teoem 3.. den I ρ f L,µ = su µ Iρ f L(B(x,)) >0 x R n su µ >0 x R n su µ >0 x R n su µ >0 x R n f L(B(x,2)) + n n ρ () n su µ n >0 x R n n µ su f M,λ >0 x R n n µ su >0 x R n n µ su >0 x R n = f M,λ 2 n ρ () f L(B(x,)) d n ρ () f L(B(x,)) d + n n ρ () f L(B(x,)) d + n n ρ () f L(B(x,)) d 2 f M,λ λ n ρ () f M,λ λ n n λ ρ () d n λ n µ 2 2 n ρ () f L(B(x,)) d n ρ () f L(B(x,)) d elde edili. = olsun. Bu duumda I ρ oeaöün zayıf (, ) sınılılığından ve Teoem 3. den bulunu. Böylece isa amamlanı. I ρ f WL(B(x,)) I ρf WL(R n ) f L (R n ) Teoem 3..2 de 0 < α < n, < < n α için ρ() = α seçilise Sanne eoemi bi sonuç olaak elde edili. 4
49 Sonuç < α < n, < < n α, 0 < λ < n α olsun. Ayıca α = n n, λ = µ ve f L loc (R n ) olsun. Bu duumda, I α f M,µ f M,λ eşisizliği geçekleni, buna göe I α oeaöü M,λ den M,µ ye sınılıdı. 3.2 Adams-Guliyev Tii Sınılılık Bu kısımda, I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin M,λ Moey uzaylaında Adams ii sınılılığıguliyev meodu ile isalanacakı. Aşağıdaki eoem, I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaölein Moey uzaylaında Adams ii sınılılığınıguliyev meodu ile isalamak için elde eiğimiz genelleşiilmiş lokal Guliyev eşisizliğidi. Teoem 3.2. (I ρ için nokasal Guliyev eşisizlĭgi) < <, 0 < 2k < k 2 < olmak üzee f L loc (R n ) olsun. ρ fonksiyonu için ve 0 ρ() d n ρ() n ρ() = k 2 k koşullaısağlansın. Bu duumda > 0 için eşisizliği geçekleni. I ρ f(x) ρ()mf(x) + ρ() d n n ρ() f L(B(x,)) d İsa. < < olsun. f fonksiyonu f = f +f 2, f (y) = f (y) χ B(x,2) (y), f 2 (y) = f (y) χ B c (x,2) (y), > 0 olaak alınısa I ρ f (x) = I ρ f (x) + I ρ f 2 (x) için mulak değe eşisizliğinden I ρ f(x) I ρ f (x) + I ρ f 2 (x) 42
50 yazılabili. Diğe aafan I ρ f (x) B(x,2) 0 k= 0 k= ρ( x y ) x y n f(y) dy {y R n :2 k k < x y 2 k k 2 } ρ(2 k k 2 ) (2 k k 2 ) n ρ()mf(x) ρ( x y ) x y n f(y) dy {y R n : x y 2 k k 2 } elde edili. Ayıca Fubini eoemi ve Hölde eşisizliğinden ρ( x y ) I ρ f 2 (x) x y n f(y) dy B c (x,2) f(y) dy n ρ()d f(y) dy = B c (x,2) 2 2< x y < f L(B(x,)) x y f(y) dy n ρ()d < x y < dy f L(B(x,)) n( ) n ρ()d n ρ() f L(B(x,)) d n ρ()d bulunu. Böylece isa amamlanmış olu. Şimdi, aşağıdaki eoemde Guliyev meodunu kullanaak I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin M,λ Moey uzaylaında Adams ii sınılılığınıifade edelim. Teoem (Adams-Guliyev ii sınılılık) < < <, 0 λ < n olmak üzee f L loc (R n ) olsun. ρ fonksiyonu için ρ() n λ n λ = 43 ) ( λ n (3.0)
51 ve ρ() su (,2) n ρ(s) ds s n s (3.) koşullaısağlansın. Bu duumda he > 0 için I ρ f M,λ f M,λ eşisizliği sağlanı. Buna göe, I ρ oeaöü M,λ den M,λ ye sınılıdı. İsa. ρ() λ n ) ( λ n ve B (x, ), x mekezli yaıçalıaçık yuva olmak üzee 44
52 λ n = Mf(x) f M,λ seçilise (3.0), (3.), Teoem 3.2. ve Teoem den I ρ f,λ = su λ >0 x R n su λ >0 x R n su λ >0 x R n su λ >0 x R n su λ >0 x R n = su λ >0 x R n = su λ >0 x R n B(x,) B(x,) B(x,) B(x,) B(x,) B(x,) B(x,) I ρ f (y) dy ρ()mf (y) + ρ()mf (y) + f M,λ (ρ()mf(y) + λ n ( ( ) n λ Mf(y) + ( Mf (y) f M,λ = f M,λ su λ Mf >0 x R n = f M,λ Mf f M,λ f = f M,λ n ρ() f d L(B(x,)) λ n ρ()d ) ρ() f M,λ dy ) ( n λ dy dy ) f M,λ dy ) ( ) Mf (y) Mf(y) + f M,λ ( ) (Mf (y)) f M,λ dy M,λ M,λ L (B(x,)) f M,λ dy elde edili. = olsun. Bu duumda I ρ oeaöün zayıf (, ) sınılılığından ve Teoem 3. den I ρ f WL(B(x,)) I ρf WL(R n ) f L (R n ) bulunu. Böylece isa amamlanmış olu. 45
53 Teoem de 0 < α < n, < < n α, 0 < λ < n α için ρ() = α seçilise Adams eoemi bi sonuç olaak elde edili. Sonuç < α < n, < < n α, 0 < λ < n α ve α = n n duumda f L loc (R n ) olmak üzee olsun. Bu I α f M,λ f M,λ eşisizliği geçekleni, buna göe I α oeaöü M,λ den M,λ ye sınılıdı. 46
54 4. M P,ϕ UZAYLARINDA I ρ OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞININ GULİYEV METODU İLE ARAŞTIRILMASI Bu bölümde, M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzaylaında I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin Sanne ve Adams ii sınılılığıρ ve ϕ fonksiyonlaıüzeine uygun koşulla konulaak Guliyev meodu ile isalanmışı. I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöünün iyi anımlıolmasıiçin olmak üzee f(x) = χ R n \B(0,)(x) x 2n ρ() d n <, (4.) koşulunun sağlandığınıkabul edelim. Ayıca, ρ fonksiyonu için, C > 0 sabilei ve 0 < 2k < k 2 < için ρ(s) su <s 2 s n C k2 k ρ() d n, > 0 (4.2) büyüme koşulu sağlansın. Bu koşul ρ()/ n fonksiyonu için bilinen doublign koşulundan daha zayıf (genel) bi koşuldu. Geçeken,, > 0 ve /2 / 2 koşulunu sağlayan hehangi, le için ρ() C n eşisizliğini sağlayan sabi bi C vadı. ρ() n C ρ() n, Bundan sona I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöü için ρ nun (4.2) koşulunu daima sağladığınıkabul edeceğiz. Böylece G 0 ile bu koşulu sağlayan üm fonksiyonlaın sınıfınıanımlayacağız ve ρ G 0 olduğunda yazacağız. ρ() := C n Uyaı. 0 < α < n olmak üzee ρ fonksiyonu için ρ() n d { α log(e/), ρ() 0 <, α log(e) <, 47
55 ve { ρ() α, 0 <, e c e c2, <. öneklei alınabili. Buada c > 0 bi sabi sayıdı. İkinci önek Bessel oansiyeli için kullanılı (Sawano 202). 4. Sanne-Guliyev Tii Sınılılık Bu kısımda, bi fonksiyonun daki davanışıincelendiken sona I ρ genelleşiilmiş kesili inegal oeaöleinin M,ϕ genelleşiilmiş Moey uzaylaında Sanne ii sınılılığıguliyev meodu ile isalanacakı. L,v (0, ) uzayı, > 0 için g L,v(0, ) = su v()g() >0 sonlu nomu ile üm g fonksiyonlaının uzayıolaak anımlıdı. Ayıca, L (0, ) L, (0, ) dı. M(0, ), (0, ) aalığında anımlılebesgue-ölçülebili üm fonksiyonlaın kümesi ve M + (0, ), (0, ) aalığında anımlınegaif olmayan fonksiyonlaı kasayan alkümesi olsun. M + (0, ; ), (0, ) aalığında anımlı azalmayan M + (0, ) uzayındaki üm fonksiyonlaın konisi olsun ve { } A = ϕ M + (0, ; ) : lim ϕ() = 0 0+ kümesini göz önüne alalım. Bu duumda aşağıdaki eoem yazılabili. Teoem 4.. He > 0 için v ve v 2, 0 < v L (, ) < koşulunu sağlayan negaif olmayan ölçülebili fonksiyonla olsun. Bu duumda A konisi üzeinde I özdeşlik oeaöünün L,v (0, ) dan L,v2 (0, ) ye sınılı olması için geek ve yee koşul olmasıdı. v 2 ( v L (, )) L (0, ) < (4.3) İsa. Eğe F, G (0, ) aalığında negaif olmayan ve F azalmayan fonksiyonla ise bu duumda ess su (0, ) F ()G() = ess su (0, ) F ()ess su s (, ) G(s), (0, ) 48
SCHRODINGER OPERATÖRÜNE KAR ILIK GELEN MORREY UZAYLARINDA SINIRLILI I
AH EVRAN ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ SCHRODINGER OPERATÖRÜNE KARILIK GELEN MARCINKIEWICZ NTAGRAL OPERATÖRÜNÜN MORREY UZAYLARINDA SINIRLILII TEZ MATEMATK ANABLM DALI KIREHR 204 AH EVRANÜNVERSTES FEN BLMLER
DetaylıJournal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi
Jounal of Engineeing and Naual Sciences Mühendislik ve Fen Bilimlei Degisi Sigma 5/4 ENERGY DECAY FOR KIRCHHOFF EQUATION Müge MEYVACI Mima Sinan Güzel Sanala Ünivesiesi, Fen-Edebiya Fakülesi, Maemaik Bölümü,Beşikaş-İSTANBUL
DetaylıAfyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi
Afyon Kocatee Ünivesitesi Fen ve Mühendislik Bilimlei Degisi Afyon Kocatee Univesity Jounal of Science and Engineeing AKÜ FEMÜBİD 7 (207) 0330 (899-905) AKU J. Sci. Eng. 7 (207) 0330 (899-905) DOI: 0.5578/fmbd.66209
DetaylıT.C. UZAYLARI VE İNTEGRAL OPERATÖRLERİ
T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HARMONİK ANALİZDE LEBESGUE UZAYLARI VE İNTEGRAL OPERATÖRLERİ Süleyman ÇELİK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR 206 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ
DetaylıSPANNE-GULİYEV VE ADAMS-GULİYEV
T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ RİESZ POTANSİYELİNİN SINIRLILIĞI İÇİN SPANNE-GULİYEV VE ADAMS-GULİYEV TİPLİ SONUÇLAR Ramazan AKILLI YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİKANABİLİM DALI KIRŞEHİR
DetaylıBANACH FONKSİYON UZAYLARI
T.C. AHİ EVAN ÜNİVESİTESİ FEN BİLİMLEİ ENSTİTÜSÜ BANACH FONKSİYON UZAYLAI Kasım Emre AKSOY YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIŞEHİ 216 T.C. AHİ EVAN ÜNİVESİTESİ FEN BİLİMLEİ ENSTİTÜSÜ BANACH
DetaylıEğrisel harekette çok sık kullanılan tanımlardan biri de yörünge değişkenlerini içerir. Bunlar, hareketin her bir anı için ele alınan biri yörüngeye
Eğisel haekee çok sık kullanılan anımladan bii de yöünge değişkenleini içei. Bunla, haekein he bi anı için ele alınan bii yöüngeye eğe, diğei ona dik iki koodina eksenidi. Eğisel haekein doğal bi anımıdıla
DetaylıANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ B-KONVOLÜSYONLAR İÇİN O'NEIL TİPİ EŞİTSİZLİK VE BAZI UYGULAMALARI
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEİ B-KONVOLÜSYONLAR İÇİN O'NEIL TİPİ EŞİTSİLİK VE BAI UYGULAMALARI Abdulhami KÜÇÜKASLAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 29 Her hakkı saklıdır ÖET
DetaylıBÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU
BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU Linee İmpuls-Momentum Denklemi Haeket halinde bulunan bi cismin hehangi bi andaki doğusal hızı, kütlesi m olsun. Eğe dt zaman aalığında cismin hızı değişiyosa,
DetaylıANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ -LORENTZ UZAYLARINDA B-MAKSİMAL VE KESİRLİ B-MAKSİMAL FONKSİYONLAR.
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEİ L n ( Rk ),,, γ + -LORENT UAYLARINDA B-MAKSİMAL VE KESİRLİ B-MAKSİMAL FONKSİYONLAR Canay AYKOL MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 8 Her hakkı saklıdır
DetaylıREEL ANALĐZ UYGULAMALARI
www.uukcevik.com REE NĐZ UYGUMRI Sou : (, Α, µ ) ölçü uzayı olsu. = N, Α= ( N ) ve µ ( E) olduğuu östeiiz. N üzeide alması içi eek ve yete koşul < di. Gösteiiz. µ oksiyouu veile taımıı uyulayalım; µ (
DetaylıELASTİK DALGA YAYINIMI
ELASTİK DALGA YAYINIMI Pof.D. Eşef YALÇINKAYA ( 06-4. des Geçiğimiz des; Zouna ieşimle Rezonans Sismomee eoisi Bu dese; Dalga haekei Yayılan dalgala Tek boyulu dalga denklemi Geçen hafanın ödevi; ω 0 ω
DetaylıSORU 1: Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde. ÇÖZÜM 1: B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) = 0 gerçeklenir.
2.4 Lebesgue Dış Ölçüsü ve Lebesgue Ölçüsü SORU : Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde G R kümesinin varlığınıgösteriniz? ÇÖZÜM : B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) =
DetaylıT.C. UZAYLARINDA SINIRLILIĞI
T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HARMONİK ANALİZİN İNTEGRAL OPERATÖRLERİNİN ORLICZ UZAYLARINDA SINIRLILIĞI Koray ŞANTAŞ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİKANABİLİM DALI KIRŞEHİR 25 T.C. AHİ
Detaylı2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları
LYS LYS MATEMATİK Soulaı. LYS 5. LYS ( + a ) = 8 < < olmak üzee, olduğuna öe, a kaçtı? I. A) D) II. + III. (.) ifadeleinden hanileinin değei neatifti? A) Yalnız I Yalnız II Yalnız III D) I ve III II ve
DetaylıAnkara Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankara Aysuhan OZANSOY
FİZ11 FİZİK Ankaa Üniesitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankaa Aysuhan OZANSOY Bölüm-III : Doğusal (Bi boyutta) Haeket 1. Ye değiştime e Haeketin Tanımı 1.1. 1 Mekanik Nedi? 1.. Refeans çeçeesi, Konum, Ye
DetaylıBölüm 11: Doğrusal Olmayan Optik Alıştırmalar
Bölüm : Dğusal Olmayan Optik Alıştımala. (a Şiddeti I (W/m laak veilen ışığın, dğusal kıılma indisi n lan madde tamı içinde elektik alanının (E laak veilebileceğini gösteiniz. 7, 4 I E = (b I=,5 W/cm laze
Detaylı5 ÖABT / MTL ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG. 678 ( sin + cos )( sin- cos )( sin+ cos ) lim sin- cos " = lim ( sin+ cos ) = bulunu. ". # # I = sin d = sin sin d sin = u sin d = dv du = sin : cos
DetaylıBÖLÜM 2 GAUSS KANUNU
BÖLÜM GAUSS KANUNU.1. ELEKTRİK AKISI Elektik akısı, bi yüzeyden geçen elektik alan çizgileinin sayısının bi ölçüsüdü. Kapalı yüzey içinde net bi yük bulunduğunda, yüzeyden geçen alan çizgileinin net sayısı
Detaylır r r r
997 ÖYS. + 0,00 0,00 = k 0,00 olduğuna göe, k kaçtı? B) C). [(0 ) + ( 0) ] [(9 0) (0 ) ] işleminin sonucu kaçtı? B) C) 9 6. Bi a doğal sayısının ile bölündüğünde bölüm b, kalan ; b sayısı ile bölündüğünde
DetaylıDoç. Dr. Ali AKBULUT
T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GENELLEŞTİRİLMİŞ MORREY UZAYLARINDA HARMONİK ANALİZİN İNTEGRAL OPERATÖRLERİNİN SINIRLILIĞI Niha TÜYSÜZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİKANABİLİM DALI KIRŞEHİR
DetaylıSORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A
2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A
DetaylıSİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ
SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ.Gup: Vize sou önekleindeki son gup (Routh-Huwitz testi) soula dahildi. Bunla PID soulaıyla bilikte de soulabili..) Tansfe fonksiyonu
DetaylıA A A A A A A A A A A
LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 sou vadı.. Cevaplaınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için aılan kısmına işaetleiniz.. Veilen, ve z tamsaılaı için. =. z =. =f() olduğuna göe, + + z toplamı en çok kaçtı?
Detaylı4. f ( x ) = x m x + m. Cevap C. m açılımındaki bir terim, x. 5. cx 3 + Cevap D. 6. x 2 + ( a + 4 ) x + 3a + 3 ifadesinin tam kare olması için
Deneme - / YT / MT MTMTİ DNMSİ Çözümle. < n < 0. f ( ) m + m p ve q asal saıla olmak üzee, n p. q vea p şeklinde olmalıdı. n {.,.,. 7,.,.,. 7,. 9,.,. 9,.,. 7,.,.,. 7,. 9,. 7,.,, } 9 tane bulunu.. { 7,,,
DetaylıFİZ101 FİZİK-I. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Grubu 3. Bölüm (Doğrusal Hareket) Özet
FİZ11 FİZİK-I Ankaa Üniesitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Gubu 3. Bölüm (Doğusal Haeket) Özet.1.14 Aysuhan Ozansoy Haeket Nedi? Mekanik; kuetlei e onlaın cisimle üzeine etkileini inceleyen fizik dalıdı
DetaylıKesirli Türevde Son Gelişmeler
Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı
DetaylıBÖLÜM 2 KORUNUM DENKLEMLERİ
BÖLÜM KORUNUM DENKLEMLERİ.-Uzayda sabit konumlu sonlu kontol hacmi.- Debi.3- Haeketi takiben alınmış tüev.4- üeklilik denklemi.5- Momentum denklemi.6- Eneji Denklemi.7- Denklemlein bilançosu Kounum Denklemlei
DetaylıASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014
YÖRÜNGE MEKANİĞİ Yöüngeden Hız Hesabı Küçük bi cismin yöüngesi üzeinde veilen hehangi bi noktadaki hızı ve bu hızın doğultusu nedi? Uydu ve çekim etkisinde bulunan cisim (Ye, gezegen, vs) ikili bi sistem
DetaylıBTZ Kara Deliği ve Grafen
BTZ Kaa Deliği ve Gafen Ankaa YEF Günlei 015 1-14 Şubat 015, ODTÜ Ümit Etem ve B. S. Kandemi BTZ Kaa Deliği Gafen ve Eği Uzay-zamanla Beltami Tompeti ve Diac Hamiltonyeni Eneji Değelei ve Gafen Paametelei
DetaylıTG Haziran 2013 KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI LİSANS ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI
KAMU PERSNEL SEÇME SINAVI LİSANS ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ RTAÖĞRETİM MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI T.C. KİMLİK NUMARASI : ADI : SYADI : TG 9 Hazian DİKKAT! ÇÖZÜMLERLE İLGİLİ AŞAĞIDA VERİLEN UYARILARI
DetaylıDiferansiyel denklemler uygulama soruları
. Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,
DetaylıTG 8 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN İLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖAT İLKÖĞRETİM MATEMATİK u testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının veya bi
DetaylıÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK
ÖABT ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK DENEME SINAVI ÇÖZÜMLERİ ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ DENEME SINAVI / çözümlei. DENEME. Veile öemelede yalız III kesi olaak doğudu. Bu edele doğu cevap seçeeği B di..
DetaylıMekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büyüklükler:
VEKTÖRLER KT 1 Mekanik olaylaı ölçmekte ya da değelendimekte kullanılan matematiksel büyüklükle: Skale büyüklük: sadece bi sayısal değei tanımlamakta kullanılı, pozitif veya negatif olabili. Kütle, hacim
DetaylıARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
Detaylı4. 89 / 5 ( mod p ) 84 / 0 ( mod p ) 60 / 4 ( mod p ) 56 / 0 ( mod p ) Cevap E. Cevap C. 6. x 0 f ( 0 ) = 1, f ( 1 ) = 2,...
eneme - / YT / MT MTMTİK NMSİ Çözümle. O ( b, c ) d ise b dm, c dk O ( a, b ) d ise b dm, a dn I. d tek saı iken a çift ise m ve n nin otak böleni olu. O ( a, b ) d olmaz. d tek ise a tek saıdı. ( oğu
DetaylıDÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I
DÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I MATEMAT IK BÖLÜMÜ 203-204 BAHAR YARIYILI D IFERANS IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 2 Nisan 204 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. (5p) Belirsiz katsay lar yöntemini
DetaylıINVESTIGATION OF A CLASS OF NONLINEAR DIFFUSION EQUATIONS
BİR SINIF DOĞRUSAL OLMAYAN DİFÜZYON DENKLEMLERİNİN İNCELENMESİ INVESTIGATION OF A CLASS OF NONLINEAR DIFFUSION EQUATIONS FATMA GAMZE DÜZGÜN PROF. DR. KAMAL SOLTANOV Tez Danışmanı Hacettepe Üniversitesi
DetaylıZnX (X=S, Se, Te) FOTONİK KRİSTALLERİNİN ÖZFREKANS KONTURLARI * Eigenfrequency Contours of ZnX (X=S, Se, Te) Photonic Crystals
Ç.Ü Fen e Mühendislik Bilimlei Deisi Yıl:0 Cilt:8-3 ZnX (X=S, Se, Te) FOTONİK KRİSTALLERİNİN ÖZFREKANS KONTURLARI * Eienfequency Contous of ZnX (X=S, Se, Te) Photonic Cystals Utku ERDİVEN, Fizik Anabilim
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıTG 3 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ 9 Mat TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun testlein tamamının
Detaylı1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
DetaylıFİZ102 FİZİK-II. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B-Grubu Bahar Yarıyılı Bölüm-III Ankara. A.
FİZ12 FİZİK-II Ankaa Ünivesitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B-Gubu 214-215 Baha Yaıyılı Bölüm-III Ankaa A. Ozansoy Bölüm-III: Gauss Kanunu 1. lektik Akısı 2. Gauss Kanunu 3. Gauss Kanununun Uygulamalaı
DetaylıDÝFERANSÝYEL DENKLEMLER ( Genel Tekrar Testi-1) KPSS MATEMATÝK
DÝFERANSÝYEL DENKLEMLER ( Genel Teka Testi-). Aşağıdaki difeansiel denklemlein hangisinin mete - besi (basamağı, sıası) tü?. Aşağıdaki difeansiel denklemlein hangisinin mete - besi (basamağı, sıası) ve
DetaylıT.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HELMHOLTZ DENKLEMİ VE ONBİR KOORDİNAT SİSTEMİNDE ÇÖZÜMÜ OĞUZ BAĞRAN YÜKSEK LİSANS TEZİ
T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HELMHOLTZ DENKLEMİ VE ONBİR KOORDİNAT SİSTEMİNDE ÇÖZÜMÜ OĞUZ BAĞRAN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANA BİLİM DALI DANIŞMAN YRD. DOÇ. DR. CENGİZ DANE Edine
DetaylıBASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İLE ALÇAK GEÇİREN FİLTRE TASARIMI
BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İE AÇAK GEÇİREN FİTRE TASARIMI Adnan SAVUN 1 Tugut AAR Aif DOMA 3 1,,3 KOÜ Mühendislik Fakültesi, Elektonik ve abeleşme Müh. Bölümü 41100 Kocaeli 1 e-posta: adnansavun@hotmail.com
Detaylı1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması
1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0
DetaylıParçacıkların Kinetiği Impuls-Momentum Yöntemi: Çarpışma
Paçacıklaın Kinetiği Impuls-Momentum Yöntemi: Çapışma İki kütle bibii ile kısa süe içeisinde büyük impulsif kuvvetlee yol açacak şekilde temas edese buna çapışma (impact) deni. Çapışma 1. Diekt mekezcil
DetaylıKAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının veya
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
DetaylıÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Öncelikle çembein tanımını hatılayalım. Neydi çembe? Çembe, düzlemde bi noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktala kümesiydi. O halde çembein analitik incelenmesinde en önemli
DetaylıElektromanyetik Teori Bahar Dönemi MANYETİK ALAN (2)
Elektomanyetik Teoi Baha -6 Dönemi MANYETİK ALAN () Buaya kada manyetikte kuvvetten hiç bahsetmedik. Hehangi bi yük manyetik alan içeisine u hızıyla gidiğinde manyetik alandan dolayı bi sapmaya uğa. Bu
DetaylıBİR SINIF DOĞRUSAL OLMAYAN INVESTIGATION OF A CLASS OF NONLINEAR DIFFUSION-REACTION EQUATIONS
BİR SINIF DOĞRUSAL OLMAYAN DİFÜZYON-REAKSİYON DENKLEMLERİNİN İNCELENMESİ INVESTIGATION OF A CLASS OF NONLINEAR DIFFUSION-REACTION EQUATIONS EYLEM ÖZTÜRK PROF. DR. KAMAL SOLTANOV Tez Danışmanı Hacettepe
DetaylıBölüm 5 Manyetizma. Prof. Dr. Bahadır BOYACIOĞLU
ölüm 5 Manyetizma Pof. D. ahadı OYACOĞLU Manyetizma Manyetik Alanın Tanımı Akım Taşıyan İletkene Etkiyen Kuvvet Düzgün Manyetik Alandaki Akım İlmeğine etkiyen Tok Yüklü bi Paçacığın Manyetik Alan içeisindeki
DetaylıAnkara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu
Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve
DetaylıTG 9 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 9 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının veya
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
DetaylıANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ POZİTİF ÇEKİRDEKLİ İNTEGRAL OPERATÖR AİLESİNİN L (, UZAYINDA YAKINSAKLIK HIZI
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ POZİTİF ÇEKİRDEKLİ İNTEGRAL OPERATÖR AİLESİNİN L (, ) UZAYINDA YAKINSAKLIK HIZI Sevilay KIRCI SERENBAY MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 28 Her hakkı
DetaylıRastgele Süreçler. Rastgele süreç konsepti (Ensemble) Örnek Fonksiyonlar. deney. Zaman (sürekli veya kesikli) Ensemble.
1 Rastgele Süreçler Olasılık taması Rastgele Deney Çıktı Örnek Uzay, S (s) Zamanın Fonksiy onu (t, s) Olayları Tanımla Rastgele süreç konsepti (Ensemble) deney (t,s 1 ) 1 t Örnek Fonksiyonlar (t,s ) t
DetaylıKUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ ÖRNEKLER BİR KUYRUK SİSTEMİNİN ÖRNEKLER
KUYRUK SİSTEMİ VE SİSTEM SİMULASYONU 5. KUYRUK SİSTEMLERİ Bi kuyuk sistemi; hizmet veen bi veya biden fazla sevise sahipti. Sisteme gelen müşteile tüm sevislei dolu bulusa, sevisin önündeki kuyuğa ya da
DetaylıANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KONGRÜANSLARIN DİFERENSİYEL GEOMETRİSİ. Ufuk ÖZTÜRK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2011
ANKARA ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KONGRÜANSLARIN DİERENSİYEL GEOMETRİSİ Ufuk ÖZTÜRK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 0 He hakkı saklıdı ÖZET Doktoa Tezi KONGRÜANSLARIN DİERENSİYEL GEOMETRİSİ
DetaylıBölüm 30. Biot-Savart Yasası Giriş. Biot-Savart Yasası Gözlemler. Biot-Savart Yasası Kurulum. Serbest Uzayın Geçirgenliği. Biot-Savart Yasası Denklem
it-savat Yasası Giiş ölüm 30 Manyetik Alan Kaynaklaı it ve Savat, elektik akımının yakındaki bi mıknatısa uyguladığı kuvvet hakkında deneyle yaptı Uzaydaki bi nktada akımdan ilei gelen manyetik alanı veen
DetaylıSAE 10, 20, 30 ve 40 d = 200 mm l = 100 mm W = 32 kn N = 900 d/dk c = mm T = 70 C = 2. SAE 10 için
ÖRNEK mm çapında, mm uzunluğundaki bi kaymalı yatakta, muylu 9 d/dk hızla dönmekte ve kn bi adyal yükle zolanmaktadı. Radyal boşluğu. mm alaak SAE,, ve yağlaı için güç kayıplaını hesaplayınız. Çalışma
DetaylıLORENTZ UZAYLARINDA BESSEL DİFERENSİYEL OPERATÖRÜNE KARŞILIK GELEN MAKSİMAL ve KESİRLİ MAKSİMAL OPERATÖRLERİN SINIRLILIĞI
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEİ LORENT UAYLARINDA BESSEL DİFERENSİYEL OPERATÖRÜNE KARŞILIK GELEN MAKSİMAL ve KESİRLİ MAKSİMAL OPERATÖRLERİN SINIRLILIĞI Cuma BOLAT MATEMATİK ANABİLİM
DetaylıCevap C. 400 / 0 ( mod 8 ) A harfi. 500 / 4 ( mod 8 ) D harfi. Cevap C. 6. I. n tam sayı ise. n 2 = 4k 2 4k + 1 veya n 2 = 4k 2
MTMTİ NMSİ. 8 h + + h. ( a, b ) 0 h. + h h+ h h. + h + bulunu. 0... 7 sayısında asal çapanladan bie tane olduğundan pozitif bölen sayısı kada ( a, b ) sıalı ikilisi vadı. ( + ). ( + ). ( + ). ( + ) tane
Detaylı11 SINIF MATEMATİK. Trigonometri Doğrunun Analitik İncelenmesi
11 SINIF MATEMATİK Tigonometi Doğunun Analitik İncelenmesi 1 YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğucan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgü OFLAZ Eğe bi gün sözleim
DetaylıDUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMPLEKTİK GEOMETRİ E. ATA
DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMLEKTİK GEOMETRİ E. ATA Özet Bu maalede dual uateyola üzede smlet gu, smlet etö uzayı e smlet
DetaylıÜNİFORM OLMAYAN İÇ ISI ÜRETİMİ ETKİSİNDE UÇLARI SABİT BİR SİLİNDİRDE ELASTİK-PLASTİK GERİLME ANALİZİ
Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. J. Fac. Eng. Ach. Gazi Univ. Cilt 8, No 4, 33-44, 003 Vol 8, No 4, 33-44, 003 ÜNİFORM OLMAYAN İÇ ISI ÜRETİMİ ETKİSİNDE UÇLARI SABİT BİR SİLİNDİRDE ELASTİK-PLASTİK GERİLME
DetaylıTMMOB ELEKTRİK MÜHENDİSLERİ ODASI ELEKTRİK TESİSLERİNDE TOPRAKLAMA ÖLÇÜMLERİ VE ÖLÇÜM SONUÇLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ
TMMOB ELEKTİK MÜHENDİSLEİ ODASI ELEKTİK TESİSLEİNDE TOPAKLAMA ÖLÇÜMLEİ VE ÖLÇÜM SONUÇLAININ DEĞELENDİİLMESİ Not : Bu çalışma Elk.Y.Müh. Tane İİZ ve Elk.Elo.Müh. Ali Fuat AYDIN taafından Elektik Mühendislei
DetaylıBAZI FONKSİYON UZAYLARI ANKARA
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FOURIER-BESSEL (HANKEL) DÖNÜŞÜMÜNE KARŞILIK GELEN BAZI FONKSİYON UZAYLARI Fatih DERİNGÖZ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 211 Her hakkı saklıdır
DetaylıVEKTÖRLER DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU
VEKTÖRLER DOÇ.DR. KMİLE TOSUN ELEKOĞLU 1 Mekanik olaylaı ölçmekte ya da değelendimekte kullanılan matematiksel büyüklükle: Skale büyüklük: sadece bi sayısal değei tanımlamakta kullanılı, pozitif veya negatif
DetaylıVIII ) E-M DALGA OLUŞUMU
94 VIII ) E-M DALGA OLUŞUMU A. HELMHOLTZ DENKLEMİNE GEÇİŞ B. F k : YAPI ÇARPANI 4-VEKTÖRÜ C. RADYASYON ALANLARI D. ELEKTRİK DİPOL RADYASYONU E. MAGNETİK DİPOL RADYASYONU 95 A) HELMHOLTZ DENKLEMİNE GEÇİŞ
DetaylıDiferensiyel Denklemler I Uygulama Notları
2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4
Detaylıe e ex α := e α α +1,
s t a n b u l K ü l t ü r Ü n i v e r s i t e s i Matematik - Bilgisayar Bölümü MC 886 ntegral Denklemler... Yßliçi Sßnavß CEVAPLAR Talimatlar: Sßnav süresi 9 dakikadßr. lk dakika sßnav salonunu terk etmeyiniz.
DetaylıANAL IZ III Aras nav Sorular
Ad ve Soyad : Numaras : ANAL IZ III Aras nav Sorular 26.11.27 1. x 1 = p 3 ve x n+1 = p 3 + x n ; n = 1; 2; ::: biçiminde tan mlanan (x n ) dizisinin yak nsak oldu¼gunu gösteriniz ve limitini bulunuz.(2)
DetaylıT.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI KÜME-DEĞERLİ FONKSİYON UZAYLARI VE BU UZAYLAR ARASINDAKİ OPERATÖRLERİN ANALİZİ ÜZERİNE Fatih TEMİZSU YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MALATYA
DetaylıLYS MATEMATİK DENEME - 2
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
DetaylıBasit Makineler. Test 1 in Çözümleri
Basit Makinele BASİ MAİNELER est in Çözümlei. Şekil üzeindeki bilgilee göe dinamomete değeini göstei. Cevap D di.. Makaa ve palanga sistemleinde kuvvetten kazanç sayısı kada yoldan kayıp vadı. uvvet kazancı
DetaylıÖğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur.
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri x, x. f(x) x ise fonksiyonu için,, x olduğuna göre, a b kaçtır? lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için
DetaylıVECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS
Seventh Edition VECTOR MECHANICS OR ENGINEERS: STATICS edinand P. Bee E. Russell Johnston, J. Des Notu: Hai ACAR İstanbul Teknik Üniveistesi Tel: 285 31 46 / 116 E-mail: acah@itu.edu.t Web: http://atlas.cc.itu.edu.t/~acah
DetaylıİÇİNDEKİLER. 1. DÖNEL YÜZEYLER a Üreteç Eğrisi Parametrik Değilse b Üreteç Eğrisi Parametrik Olarak Verilmişse... 4
İÇİNDEKİLER 1. DÖNEL YÜZEYLER... 1 1.a Üreeç Eğrisi Paramerik Değilse... 1 1.b Üreeç Eğrisi Paramerik Olarak Verilmişse.... DÖNEL YÜZEYLERLE İLGİLİ ÖRNEKLER... 5.a α f,,0 Eğrisinin Dönel Yüzeyleri... 5.b
Detaylıaçılara bölünmüş kutupsal ızgara sisteminde gösteriniz. KOORDİNATLAR Düzlemde seçilen bir O başlangıç noktası ve bir yarı doğrudan oluşan sistemdir.
KUTUPSAL KOORDİNATLAR (POLAR Düzlemde seçilen bi O başlangıç noktası ve bi yaı doğudan oluşan sistemdi. açılaa bölünmüş kutupsal ızgaa sisteminde gösteiniz. Not: Kolaylık olması açısından Katezyen Koodinat
DetaylıFİZK Ders 6. Gauss Kanunu. Dr. Ali ÖVGÜN. DAÜ Fizik Bölümü.
FİZK 14- Des 6 Gauss Kanunu D. Ali ÖVGÜN DAÜ Fizik Bölümü Kaynakla: -Fizik. Cilt (SWAY) -Fiziğin Temellei.Kitap (HALLIDAY & SNIK) -Ünivesite Fiziği (Cilt ) (SAS ve ZMANSKY) http://fizk14.aovgun.com www.aovgun.com
DetaylıSİNGÜLER İNTEGRAL OPERATÖRLERİNİN AĞIRLIKLI L p UZAYINDA SINIRLILIĞI
T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SİNGÜLER İNTEGRAL OPERATÖRLERİNİN AĞIRLIKLI L p UZAYINDA SINIRLILIĞI Hayrullah ASLAN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİKANABİLİM DALI KIRŞEHİR - 203 T.C. AHİ
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
DetaylıHamel Taban ve Boyut Teoremi
Hamel Taban ve Boyut Teoremi Mert ÇAĞLAR 1 VE Zafer ERCAN 2 1 Amaç Baştan söyleyelim: vektör uzay, vektör altuzay, doğrusal dönüşüm, izomorfik (eş yapılı) vektör uzaylar kavramlarına başlangıç seviyesinde
Detaylı2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.
ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var
DetaylıKominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kullanılan Temel Matematiksel Fonksiyonlar:
Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kllanılan Temel Matematiksel Fonksiyonla: Unit Step fonksiyon, Implse fonksiyon: Unit Step Fonksiyon: Tanim: Unit Step fonksiyon aşağıdaki gibi iki şekilde tanımlanabili
DetaylıKuantum Grupları. Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara. Münevver Çelik. Feza Gürsey Enstitüsü, İstanbul 10 Şubat, 2010
Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara Feza Gürsey Enstitüsü, İstanbul 10 Şubat, 2010 Kuantum grubu örgülü bir Hopf cebridir. Cebir Tanım Bir k-vektör uzayı A için, µ : A A A ve η : k A birer k-doğrusal
Detaylı2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?
017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin
DetaylıKARADENİZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Bilgisayar Grafikleri Laboratuarı TERS PERSPEKTİF DÖNÜŞÜM İLE YÜZEY DOKUSU ÜRETİMİ
KRDENİZ EKNİK ÜNİERİEİ Bilgisaya Mühendisliği Bölümü Bilgisaya Gafiklei Laboauaı ER PERPEKİF DÖNÜŞÜM İLE ÜZE DOKUU ÜREİMİ Bu deneyde, genel halaı ile hehangi bi yüzeye bi dokunun kopyalanması üzeinde duulacakı.
DetaylıSİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ
SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMLERİ KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ Bi kuyuk sistemi; hizmet veen bi veya biden fazla sevise sahipti. Sisteme gelen müşteile tüm sevislei dolu bulusa, sevisin önündeki kuyuğa
DetaylıVECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS
Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Fedinand P. Bee E. Russell Johnston, J. Des Notu: Hayi ACAR İstanbul Teknik Üniveistesi Tel: 285 31 46 / 116 E-mail: acah@itu.edu.t Web: http://atlas.cc.itu.edu.t/~acah
DetaylıEgzersizler MATH 111
Egzersizler MATH 111 29 Aralık, 1998 Ali Nesin 1. x ve y iki küme olsun. x = y ancak ve ancak z (x z y z) olduğunu gösterin. 2. Eğer X aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa X e ilişkisi tarafından yarısıralı
DetaylıMATLAB GUI TABANLI ELEKTROMIKNATIS DEVRE TASARIMI VE ANALİZİ
PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİ SLİ K B İ L İ MLERİ DERGİ S İ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 005 : 11 : 1 : 13-19
DetaylıMat Matematik II / Calculus II
Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x
DetaylıS4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun
Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
Detaylı0 = ρ(x,x) ρ(x,y)+ρ(y,x) = 2ρ(x,y) 0, x = y δ(x,y) = κ(z 1,z 2 ) = z 1 z 2, (z 1,z 2 C) (17.27)
230 BÖLÜM 17. METR K UZAYLAR 17.2 METR K METR K UZAY KAVRAMI Normlanm³ bir uzay, her³eyden önce bir vektör uzaydr, yani (X, ) normlanm³ bir uzay ise, X kümesi üzerinde bir vektör uzay yaps vardr. Oysa,
Detaylı