BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1"

Iskander Necmi
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

2 Kümeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2

3 Kümeler Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından biridir Sayma problemleri için önemli Programlama dillerinin kümelerle ilgili fonksiyonları bulunur Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 3

4 Kümeler Bir küme, nesnelerin sırasız bir topluluğudur sınıftaki öğrenciler odadaki sandalyeler Bir kümedeki nesnelere elemanlar ya da üyeler denir. Bu kümeye de bu elemanları içeriyor denir. a A gösterimi a nesnesinin A kümesinin bir elemanı olduğunu ifade eder. Eğer a nesnesi A kümesinin elemanı değilse a A yazılır Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 4

5 Kümeyi Tanımlama / Listeleme Yöntemi S = {a,b,c,d} Sıra önemli değil S = {a,b,c,d} = {b,c,a,d} Her bir ayrık nesne üyedir ya da değildir. Birden fazla yazmak birşeyi değiştirmez. S = {a,b,c,d} = {a,b,c,b,c,d} Eğer bir kümenin deseni biliniyorsa bazı elemanları göstermek için ( ) kullanılabilir S = {a,b,c,d,,z } Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 5

6 Listeleme Yöntemi İngiliz alfabesindeki sesli harflerin kümesi: V = {a,e,i,o,u} 10 dan küçük tek pozitif tamsayıların kümesi: O = {1,3,5,7,9} 100 den küçük bütün pozitif tamsayıların kümesi: S = {1,2,3,..,99} 0 dan küçük bütün tamsayıların kümesi: S = {., -3,-2,-1} Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 6

7 Bazı Önemli Kümeler N = doğal sayılar = {0,1,2,3.} Z = tamsayılar = {,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Z = pozitif tamsayılar = {1,2,3,..} R = gerçek sayılar kümesi R+ = pozitif gerçek sayılar kümesi C = karmaşık sayılar kümesi Q = rasyonel sayılar kümesi Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 7

8 Küme Kurma Gösterimi Her bir üyenin saplaması gereken özellikleri belirt: S = {x x 100 den küçük pozitifi tamsayıdır} O = {x x 10 dan küçük pozitif tek tamsayıdır} O = {x Z x tektir ve x < 10} Bir yüklem de kullanılabilir: S = {x P(x)} Örnek: S = {x Asal(x)} Pozitif rasyonel sayılar: Q+ = {x R x = p/q, bazı pozitif tamsayılar p,q için} Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 8

9 [a,b] = {x a x b} [a,b) = {x a x < b} (a,b] = {x a < x b} (a,b) = {x a < x < b} Kapalı aralık [a,b] Açık aralık (a,b) Aralık Gösterimi Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 9

10 Evrensel Küme ve Boş Küme Evrensel küme U, üzerinde çalışılan bütün nesneleri içeren kümedir. Hiçbir elemanı olmayan küme Boş kümedir. ile gösterilir, bazen {} kullanılır. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 10

11 Bilinmesi Gerekenler Kümeler bir başka kümenin elemanı olabilir {{1,2,3},a, {b,c}} {N,Z,Q,R} Boş küme, boş kümeyi içeren bir küme ile aynı şey değildir. { } Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 11

12 Küme Eşitliği Tanım: Ancak ve ancak iki küme aynı elemanlara sahipse eşittir. A ve B iki küme olsun, A ve B eşit kümelerse A = B yazılır. {1,3,5} = {3, 5, 1} {1,5,5,5,3,3,1} = {1,3,5} Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 12

13 Alt Küme Tanım: A kümesinin bütün elemanları B kümesinin de elemanıysa, A kümesi B kümesinin alt kümesidir. Gösterim A B ise A B gösterimi sağlanır. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 13

14 Alt Küme A kümesinin B kümesinin alt kümesi olması: A kümesinin bütün elemanlarının B kümesinin de elemanları olduğunu göstermek yeterli. A kümesinin B kümesinin alt kümesi olmaması : A kümesinin elemanı olup, B kümesinin elemanı olmayan en az bir eleman bulmak yeterli. (x A x B) önermesi için ters örnek bulmak gibi Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 14

15 Küme Eşitliğine Bakış İki kümenin eşitliğinin gösterimi A = B, eğer Mantıksal denklikleri kullanalım Sonuç: A B ve B A Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 15

16 Öz Alt Küme Tanım: Eğer A B ise, fakat A B ise A kümesi B kümesinin öz alt kümesidir denir ve A B ile gösterilir. A B ise ; Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 16

17 Küme Büyüklüğü Tanım: n, negatif olmayan tamsayı olmak üzere eğer S kümesinde n adet farklı eleman varsa S kümesi sonludur. Diğer durumda ise sonsuzdur. Tanım: Sonlu bir A kümesinin büyüklüğü, A, A kümesindeki farklı elemanların sayısıdır. Örneğin; 1. ø = 0 2. S kümesi İngiliz alfabesinin harflerinin kümesi olsun. S = {1,2,3} = 3 2. {ø} = 1 3. Tamsayılar kümesi sonsuzdur. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 17

18 Kuvvet Kümeleri Tanım: Bir A kümesinin bütün alt kümelerini içeren küme. P(A) ile gösterilir ve A nın kuvvet kümesi olarak okunur. Örnek: A = {a,b} P(A) = {ø, {a},{b},{a,b}} Eğer bir küme n elamana sahipse kuvvet kümesinin büyüklüğü 2ⁿ olur. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 18

19 Demetler (Tuples) Sıralı n-demet (a1,a2,..,an) a1 in ilk eleman olduğu, a2 nin ikinci eleman olduğu ve an in n. eleman olduğu sıralı bir yapıdır. İki n-demet ancak ve ancak ilgili bütün elemanları eşitse birbirine eşittir. 2-demet sıralı çift olarak anılır. Sıralı çiftler(a,b) ve (c,d) ancak ve ancak a = c ve b = d ise eşittir. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 19

20 Kartezyen Çarpım Tanım: A ve B kümelerinin kartezyen çarpımı A B ile gösterilir ve (a,b) sıralı çiftlerinin kümesidir. Burada a A ve b B. Örnek: A = {a,b} B = {1,2,3} A B = {(a,1),(a,2),(a,3), (b,1),(b,2),(b,3)} Tanım: A B kartezyen çarpımının bir alt kümesi olan R, A kümesinden B kümesine bir ilişki olarak Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 20 tanımlanır.

21 Kartezyen Çarpım Tanım: A1,A2,,An kümelerinin kartezyen çarpımı A1 A2 An şeklinde gösterilir ve sıralı (a1,a2,,an) n-demetlerin bir kümesidir. Burada ai nesnesi i = 1, n için Ai kümesinin bir elemanıdır Örnek: A B C kartezyen çarpımını bulunuz. A = {0,1}, B = {1,2} ve C = {0,1,2} Çözüm: A B C = {(0,1,0), (0,1,1), (0,1,2),(0,2,0), (0,2,1), (0,2,2),(1,1,0), (1,1,1), (1,1,2), (1,2,0), (1,2,1), Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 21 (1,1,2)}

22 Doğruluk Kümeleri ve Niceleyiciler P yüklemi ve D alanı için, P nin doğruluk kümesi D nin içinde P(x) in doğru olduğu x elemanlarının kümesi olarak tanımlanır. P(x) in doğruluk kümesi şu şekilde gösterilir. Örnek: D alanı bütün tamsayılarsa ve P(x) x = 1 ise P(x) in doğruluk kümesi {-1,1} olur. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 22

23 Doğruluk Kümeleri ve Niceleyiciler P yüklemi ve D alanı için, P nin doğruluk kümesi D nin içinde P(x) in doğru olduğu x elemanlarının kümesi olarak tanımlanır. P(x) in doğruluk kümesi şu şekilde gösterilir. Örnek: D alanı bütün tamsayılarsa ve P(x) x = 1 ise P(x) in doğruluk kümesi {-1,1} olur. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 23

24 Küme İşlemleri Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 24

25 Birleşim Tanım: A ve B iki küme olsun. A ve B kümelerinin birleşimi A B ile gösterilir. Örnek: {1,2,3} {3, 4, 5}? Çözüm: {1,2,3,4,5} Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 25

26 Kesişim Tanım: A veb, kümelerinin kesişimi A B ile gösterilir Örnek: {1,2,3} {3,4,5}? Çözüm: {3} Örnek: {1,2,3} {4,5,6}? Çözüm : Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 26

27 Tümleyen Tanım: A bir küme ise, A kümesinin tümleyeni (U ya göre), Ā ile gösterilir ve U A ya eşittir. Ā = {x U x A} Örnek: Eğer U 100 den küçük pozitif tam sayılar ise, {x x > 70} kümesinin tümleyeni nedir? Çözüm: {x x 70} Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 27

28 Fark Tanım: Bir kümede olup diğerinde olmayan elemanlar iki kümenin fark kümesini oluşturur. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 28

29 Birleşim Kümesinin Büyüklüğü A B = A + B - A B Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 29

30 Sorular Örnek: U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {1,2,3,4,5}, B ={4,5,6,7,8} 1. A B Çözüm: 2. A B Çözüm : 3.Ā Çözüm : 4. Çözüm : 5.A B Çözüm : 6.B A Çözüm : Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 30

31 Sorular Örnek: U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {1,2,3,4,5}, B ={4,5,6,7,8} 1. A B Çözüm: {1,2,3,4,5,6,7,8} 2. A B Çözüm : {4,5} 3.Ā Çözüm : {0,6,7,8,9,10} 4. Çözüm : {0,1,2,3,9,10} 5.A B Çözüm : {1,2,3} 6.B A Çözüm : {6,7,8} Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 31

32 Simetrik Fark Örnek: U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {1,2,3,4,5} B ={4,5,6,7,8} Çözüm: {1,2,3,6,7,8} Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 32

33 Eşdeğerlikler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 33

34 Eşdeğerlikler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 34

35 De Morgan Kuralı Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 35

36 Üyelik Tablosu Olduğunu üyelik tablosu ile ispatlayınız? Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 36

37 Genelleştirilmiş Birleşim ve Kesişim Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 37

Benzer belgeler

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a