İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YAPAY POTANSİYELLER VE YAPISAL GRAFLAR KULLANILARAK ÇOK ARAÇLI SİSTEMLERİN DİZİLİM KONTROLÜ

Transkript

1 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YAPAY POTANSİYELLER VE YAPISAL GRAFLAR KULLANILARAK ÇOK ARAÇLI SİSTEMLERİN DİZİLİM KONTROLÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Veysel ÖZDEMİR Anablm Dalı: Elektronk ve Haberleşme Mühendslğ Programı: Telekomünkasyon Mühendslğ OCAK 27

2 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YAPAY POTANSİYELLER VE YAPISAL GRAFLAR KULLANILARAK ÇOK ARAÇLI SİSTEMLERİN DİZİLİM KONTROLÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Veysel ÖZDEMİR ( ) Tezn Ensttüye Verldğ Tarh : 19 Aralık 26 Tezn Savunulduğu Tarh : 3 Ocak 27 Tez Danışmanı : Dğer Jür Üyeler Prof.Dr. Hakan TEMELTAŞ Prof.Dr. İbrahm EKSİN Prof.Dr. Tayfun GÜNEL OCAK 27

3 ÖNSÖZ Yüksek lsans eğtmm süresnce ve özellkle bu tez çalışması boyunca verdğ destek, kazandırdığı yen bakış açıları ve eşsz rehberlğ çn hocam sayın Prof. Dr. Hakan Temeltaş a sonsuz teşekkürü borç blrm. Ocak 27 Veysel Özdemr

4 İÇİNDEKİLER ŞEKİL LİSTESİ ÖZET SUMMARY v v 1. GİRİŞ Araçlar, ajanlar ve nsansız araçlar Merkez olan ve olmayan paradgma Geçmş çalışmaların özet Problem Tezn Organzasyonu 8 2. YAPAY POTANSİYEL YÖNTEMİ İLE DİZİLİM KONTROLÜ Potansyel Kavramı ve Yapay Potansyeller Elkam'n yöntem Bu yöntemde yapılan yleştrmeler YAPISAL GRAF YÖNTEMİ İLE DİZİLİM KONTROLÜ Graflar Yapısal Graflar Murray'nn Yöntem Bu yöntemde yapılan yleştrmeler UYGULAMALAR Yapay Potansyel Metodu Uygulamaları Yapısal Graf Metodu Uygulamaları Performans Karşılaştırması SONUÇLAR 46 KAYNAKLAR 47 ÖZGEÇMİŞ 5

5 ŞEKİL LİSTESİ Şekl 1.1 Şekl 1.2 Şekl 1.3 Şekl 2.1 Şekl 2.2 Şekl 2.3 Şekl 2.4 Şekl 2.5 Şekl 2.6 Şekl 3.1 Şekl 3.2 Şekl 3.3 Şekl 4.1 Şekl 4.2 Şekl 4.3 Şekl 4.4 Şekl 4.5 Şekl 4.6 Şekl 4.7 Şekl 4.8 Şekl 4.9 Şekl 4.1 Şekl 4.11 Şekl 4.12 Şekl 4.13 Şekl 4.14 Şekl 4.15 Şekl 4.16 Şekl 4.17 Şekl 4.18 Şekl 4.19 : Balonla hava saldırısı... : İnsansız araç örnekler... : Kuş sürüler ve otoyolda seyreden araçlar... : Genel dzlm kontrolü senaryosu... : Araç sanal lder etkleşm... : Br araca komşusundan dolayı olan etk... : Araç - engel arası etkleşm... : Br aracın üzerndek net etk... : Engelden gelen etknn ldere doğru döndürülmes... : Örnek br graf... : Örnek br yapısal graf... : Yapısal grafla dzlen araçların sanal lder yardımı le seyr... : 4 aracın yapay potansyel yöntem le sanal lder etrafında toplanması... : Toplanan araçlara uygulanan kontrol şaret... : Toplanan araçların sanal ldere olan yatay ve düşey uzaklıklarının zamanla değşmler... : Çft ntegratörlü hareket dnamğ le araçların toplanmaları... : Çft ntegratörlü hareket dnamğ le toplanan araçlara uygulanan kontrol şaret... : Çft ntegratörlü hareket dnamğ çn araçların sanal ldere olan yatay ve düşey uzaklıklarının zamanla değşmler... : Çzg dzlmnde toplanma... : Üçgen dzlmnde toplanma... : 1 araçlık br kümenn çember dzlm le engell ortamda seyredş... : Engel geçş sırasında örnek k araca etkyen net kuvvetlern yatay ve düşey bleşenler... : Engel geçş sırasında örnek k aracın sanal ldere olan yatay ve düşey uzaklıkları... : Çft ntegratör kullanıldığında, engel geçş sırasında örnek k aracın sanal ldere olan yatay ve düşey uzaklıkları... : Çft ntegratör kullanıldığında, engel geçş sırasında örnek k araca etkyen net kuvvetn yatay ve düşey bleşenler... : Araçların engele takılması... : Engel sakınma performansı yleştrldkten sonrak durum... : Daha fazla sayıda aracın rastgele engell br ortamdan geçş... : 4 araçlı br kümenn yapısal graf metodu le toplanması... : 4 araçlı küme çn graf... : Toplanan araçların konumlarının değşm... Sayfa No

6 Şekl 4.2 Şekl 4.21 Şekl 4.22 Şekl 4.23 : Yapısal graf yöntemnde araçların farklı lk konumları farklı noktalarda toplanmalarına sebep olmaktadır... : Sanal lder ve yapısal graf... : Yapısal graf yöntemne referans araç eklenmes le toplanma... : Yapısal graf yöntemne referans araç eklenmes le seyr v

7 YAPAY POTANSİYELLER VE YAPISAL GRAFLAR KULLANILARAK ÇOK ARAÇLI SİSTEMLERİN DİZİLİM KONTROLÜ ÖZET Brden fazla otonom aracın küme halnde yerne getrmes beklenen (aramakurtarma, mayın tarama, eşgüdümlü eşya taşıma gb) görevler sırasında kümey oluşturran araçlardan dare, üçgen, çzg gb dzlmlere grmeler ve bu dzlm koruyarak hareket etmeler beklenmekte ve bu araçların dzlmlernn kontrolü br problem olarak araştırılmaktadır. Lteratürde, çok araçlı sstemlern dzlm kontrolünü sağlamak çn merkez yöntemler ve merkez olmayan yöntemler bulunmaktadır. Merkez yöntemler tüm araçlar çn tek br noktadan yapılan br kontrol sstem önerrken, merkez olmayan yöntemler araçlar arası etkleşmler tanımlayarak her br aracın verlen amaç doğrultusunda kend kontrolünü sağlaması çn sstemler önermektedrler. Bu tez çalışmasında, çok araçlı sstemlern merkez olmayan yöntemlerle dzlmlernn kontrol edlmesne lşkn önerlen yöntemler araştırılmış ve ncelenen yöntemler arasından yaygın kullanıldığı tespt edlen k tanes smülasyon sevyesnde gerçeklenmştr. İlk yöntem araçları dzlme sokmak ve lerletmek çn sanal lderler ve yapay potansyeller kullanmaktadır. Yapay potansyeller araçlar arasında, araçlar ve lder(ler) arasında ve araçlarla engeller arasında tanımlanablen, varsayımsal br kuvvet etks oluşturan sanal etklerdr. İknc yöntem se araçları dzlme sokmak çn dzlm ve araçlar arasındak letşm graf le temsl etmekte, dzlmn sağlanmasını se her araç çn ayrı ayrı yapay potansyel tanımlamak yerne bu graf üzernden tanımlanan ve yne yne sanal olan toplam br potansyel, yapısal potansyel, üzernden sağlamaktadır. Gerçeklemeler sırasında değşk araç sayısı-dzlm-engel kombnasyonları çeren senaryolar çn başarılı sonuçlar elde edlmştr. Engel sakınma problem de ele alınmış ve ncelenen yöntemlern küme olarak engel sakınmada başarılı sonuçlar verdğ gözlenmştr. İncelenen yöntemlere dar çeştl yleştrmeler yapılmış, yapılan yleştrmeler ve elde edlen sonuçlar da lgl bölümlerde sunulmuştur. v

8 FORMATION CONTROL OF MULTI VEHICLE SYSTEMS USING ARTIFICIAL POTENTIALS AND STRUCTURAL GRAPHS SUMMARY Autonomous vehcles are used as groups n varous mssons lke search \& rescue operatons, mltary reconnassance flghts or cooperatve object carryng mssons. Durng these mssons vehcles are requred to form formatons lke crcle, lne or trangle and cruse whle keepng that formaton. As a consequence, formaton control problem s drawng ncreasng nterest of researchers. Centralzed and decentralzed approaches exsts as solutons to the problem. Centralzed approaches propose a central control mechanzm that calculates and transmts the control sgnal to each vehcle, whle decentralzed approaches propose that each vehcle produces ts own control sgnal locally n order to algn tself accordng to defned nteracton rules between neghborng vehcles. In ths study, proposed methods for decentralzed control of mult vehcle systems are examned and two most wdely used of them are mplemented n smulaton level. Frst method uses vrtual leader(s) and artfcal potentals n order to control formaton and navgaton. Artfcal potentals are vrtual effects defned n between the vehcles and leadser(s), other vehcles and obstacles n the envronment. These potentals are used n order to create hypothetcal forces, whch turns to be control sgnals for each vehcle. Second method descrbes ntervehcle communcaton va graphs and defnes a cumulatve structural potental nstead of seperate potentals for each vehcle n order to mantan formaton control. Durng smulatons successful results are reached for varous vehcle countformaton-obstacle combnatons. Obstacle avodance durng the formaton cruse s also taken as a problem and t s observed that the methods at hand provde mechansms for vehcles to avod obstacles as a team. Varous mprovements for these methods are also desgned and presented along wth ther respectve smulaton results. v

9 1. GİRİŞ İnsansız araçların kulllanımı hem asker hem de svl uygulamalarda gün geçtkçe yaygınlaşmaktadır. Her ne kadar mobl araç sstemlernn çoğu tek br aracın kontrolü üzerne yoğunlaşmış olsa da, çeştl görevlern yerne getrlmesnde çok araçlı sstemlern kullanılması son zamanlarda pek çok araştırmacının lgsn çeken br çalışma alanı olmuştur [1]. Çok araçlı sstemler, büyük objelern görüntülenmes, asker keşf ve tarama görevler, afet sonrası arama-kurtarma çalışmaları gb görevlerde tek araçlı sstemlere karşı daha yüksek görev performansı ve dayanıklılık göstermektedrler. Aynı zamanda tek araçlı sstemlere göre çok daha bast araçların braraya gelmesnden oluştuklarından malyetler daha azdır ve üretmler daha kolaydır. Brden fazla aracın kontrolü, tek araçlı sstemlerden farklı olarak araçların haberleşmeler [2], yol planlama [3,4], farklı sensörlern br arada kullanımı [5] gb yen problemlern çözümünü gerektrmektedr. Bunlar arasında belk de üzernde en çok çalışılan konu dzlm kontrolüdür. Br araç kümesnden standart olarak beklenen tarama, keşf ya da görüntüleme görevlernn çoğu, araçların stenen br dzlm sağlamasını ve seyr halnde de korumasını gerektrr [6]. Bu çalışmada amacımız, çok araçlı br sstemn stenlen dzlmlere geleblmesn ve o dzlm koruyarak seyredeblmesn sağlayacak yöntemler araştırmak ve genel yaklaşımları temslen seçeceğmz çalışmaları ncelemektr. 1.1 Araçlar, ajanlar ve nsansız araçlar Uzayda hareket etme yeteneğne sahp, kontrol edleblen her türlü nesneye araç adı verlr. Bu araçlar kara, hava, denz araçları olabldğ gb uzay araçları ya da robot kollar da olablrler. Hareket sırasında nsan kontrolüne htyaç duymayan araçlara se nsansız araç (İA) adı verlr. İA'lar çalışma ortamlarına göre nsansız kara aracı (İKA), nsansız hava aracı (İHA) ya da nsansız su ütsü/sualt aracı (İSA) olarak adlandırılırlar.

10 Blnen lk nsansız araç (İA) 1849'da Avusturyalıların İtalyanlara saldırırken kullandıkları patlayıcı yüklü balonlardır. Avusturya gemlernden havalandırılan nsansız balonlar Venedk üstüne geldklernde kıyıda bulunan elektro-manyetk mekanzma vasıtası le yakılmış ve bombalar yere çarprmalarıyla patlamışlardır [7]. Bu, taktk hava araçlarının nsansız uçurulup saldırı amaçlı kullanılmasının lk örneğdr. Şekl 1.1: Balonla hava saldırısı [7]. Günümüzdek İA'lara doğru yapılan öneml br lerleme 2. yy. başında ABD'de gelştrlp kullanılmaya başlanan otomatk plotlardır. Bugün br uçuşun kalma, yükselme, sevye koruma (seyr), alçalma, yaklaşma ve nme aşamalarını yapablen otomatk plotlar bulunmaktadır [8]. I. Dünya Savaşı'ndan kısa br süre sonra güdümlü füzeler olarak bldğmz araçlar gelştrlmştr. İnsansız araç dendğnde akla her ne kadar uçak, otomobl gb blnen anlamda br aracın nsansız hal gelse de güdümlü füzeler de bu kategordendrler. Kastettğmz anlamıyla lk nsansız araçlar se 193'lu yıllarda İngltere'de hava savunma takımlarının eğtm sırasında kullanılmak üzere uçurulan yerden kumanda edlen plotsuz uçaklardır [9]. Bunlara hedef uçak denlr. İHA'ların hedef uçak olarak kullanımı hala en yaygın kullanımıdır ve bu, otonom araç teknolojsnn gelşmesndek ana tc güçlerden brsdr, çünkü gelşen uçak teknolojsn takp etmek zorunda olan hedef uçak teknolojs de sürekl gelşmektedr. Başlarda kısa 2

11 mesafe uçablen bu uçakların zamanla uçuş mesafes arttıkça 196 ve 197'lerde ABD tarafından Vetnam ve Kuzey Kore'de keşf amaçlı kullanılmaya başlanmıştır [1]. 198'lerle brlkte muharebe yeteneğne sahp nsansız araçlar da gelştrlmeye başlanmıştır, ancak br muharebe aracında nsan kontrolü mekanzmasını devre dışı bırakmak hala çekncel bakılan br konudur [9]. (a) Keşf amaçlı br İHA: TAI yapımı Pelkan model [11]. (b) Mayın temzleme amaçlı kullanılan br İKA: ACER model mayın temzleme aracı [12]. Şekl 1.2: İnsansız araç örnekler. İnsansız araçlar svl uygulamalarda da kullanılmaktadır. Dünya yörüngesndek haberleşme uyduları nsansız araçlardır ve bu uyduların pozsyon kontrolü bu alandak problemlerden br tanesdr. Tarımda kullanılan nsansız traktör modeller nsansız olmalarından öte, hafflkleryle toprağı daha az ezdkler çn ürün kaltesn arttırmaktadırlar [13]. Uygulama alanları ve önem sürekl artan nsansız araçlar çn ayrılan araştırma kaynakları da artmakta 1 buna paralel olarak teknolojs lerleyen, malyetler gderek düşen ve kullanım alanları gderek artan nsansız araçlardan beklenen yetenekler ve görevler de gttkçe karmaşıklaşmaktadır [6]. Gttkçe karmaşıklaşan problemlern çözülmes çn son zamanlarda yoğunlukla araştırlan konulardan br de brden fazla aracı brarada kullanarak çözüme ulaşmaktır. Büyük objelern görüntülenmes, asker keşf görevler, mayın tarama görevler, afet sonrası arama-kurtarma operasyonları gb pek çok alan çok araçlı sstemlern tek araçlı sstemlere karşı üstün başarım gösterdğ ya da avantajlı olduğu alanlardır [14]. Br arama kurtarma görevnde tek 1 ABD'de savunma bakanlığı 21. yy.'ın lk çeyreğ çn nsansız araçların araştırmasına yaklaşık 1 mlyar dolar bütçe ayırmıştır [9]. 3

12 br aracın tüm bölgey taramasındansa çok sayıda aracın bölgey paylaşarak aynı anda taramaları daha hızlı sonuç verecektr. Benzer şeklde, mayın taraması yaparken tek br araç kullanmak yerne br araç kümes kullanmak daha etkn br seçmdr. Vermllğ arttırmanın ötesnde, problemn yapısı gereğ brden fazla aracın br arada olmasını gerektren durumlar vardır: Haberleşme uydularının yerleşm ya da otonom trafk sstemlernn şleyşler bu türden problemlerdr. Çok araçlı br sstemn kontrolünün, tek araçlı br sstemde bulunmayan problemler çerdğn belrtmştk. Bunların arasında belk de en önemls eldek araç kümesnn dzlmnn yan her br aracın pozsyonun kontrolüdür. Kısım 1.4 dek genel senaryoyu hayata geçrrken karşılaştığımız problem yukarıdak bçmde, yan her br aracın pozsyonunun kontrolü bçmnde, fade ettğmzde sank problemn çözümü her br aracın hang konumda olması gerektğn sürekl hesaplayarak araçları bu konumlara çekmek ve orada tutmakmış gb görünmektedr, ancak bu tek yol değldr; araçların dzlmn sağlamak çn genel olarak k yaklaşım vardır: Merkez kontrol ve merkez olmayan kontrol. Bu k yaklaşımdan bahsetmeden önce arkaplandak fkrlere dar br temel sağlaması amacıyla merkez ve merkez olmayan kavramları aşağıda kısaca açıklanmıştır: 1.2 Merkez olan ve olmayan paradgma Merkez paradgma, nsanoğlunun dünyayı algılayışında ve kurduğu modellerde kendn sıklıkla gösterr. Br merkez şlemc tarafından yönetlen blgsayarlar, yönetm kurulları tarafından yönetlen şrketler, merkez devlet modeller ve merkez ekonomk modeller, ana br program parçası tarafından kullanılan alt program parçalarından oluşan programlama yapıları hep bu türden örneklerdr. Bununla brlkte, özellkle geçen yüzyılın knc yarısından tbaren doğa blmlernde, mühendslkte ve toplumblmde merkez olmayan modeller kurulmaya başlanmıştır [15]. Kısaca fade edersek, merkez olmayan bakış açısı, ele aldığı sstemn sonuçtak toplam davranısını, sstem oluşturan her br breyn/elemanın komşuları le grdğ etkleşmlern br sonucu olarak düşünür. Açıklayıcı br örnek olarak kuş sürülern vereblrz: Yakın zamana kadar kuş sürülernn br ldern öncülüğünde lerledğn düşünen byoloj çevreler [16] ve [17] gb çalışmalar ışığında farketmştr k kuş sürüler, hatta pek çok hayvan sürüsü lderszdr ve breyler kend kendlerne, komşuları ve çevreler le etkleşme grerek, organze olurlar. Benzer şeklde, otoyoldak araçların herhang br merkezden emr almadıkları halde bell dzlmlere grdğn her gün gözleyeblrz. bknz: Şekl

13 (a) (b) Şekl 1.3: Kuş sürüler ve otoyolda seyreden araçlar. Her k yapıda da sstem elemanlarının kend sınırlı çevreler le etkleşmlernden sstemn genel davranışı oluşmaktadır. Merkez modeller ne kadar yaygınsa, merkez olmayan modeller de aynı yaygınlıkta kurulmaktadır: Blgsayar mmarsndek paralel şlemcler, pskyatrdek blnçblnçaltı teors, şletmelerdek tabandan tavana yönetm modeller, matematğn kaos ve komplex sstem teorler, ekonomdek serbest pyasa model, yazılım mühendslğndek nesneye dayalı programlama yöntemler brbrleryle ne kadar lgsz gb görünseler de aynı ortak noktayı paylaşırlar: Merkez olmayan br paradgmayı [15]. Bu düşünüş bçm, eldek sstemde gözlenen sonucu oluşturan şey sstem oluşturan parçaların (çeştl şlemclern, blncn ve blnçaltının, mkroorganzasyonların, pyasadak şrketlern ve breylern, program nesnelernn) brbrler le etkleşm olarak alır. Sstem kontrolü çn, özellkle brbrler le eşgüdüm çnde hareket etmes beklenen parçalardan oluşan sstemlern kontrolü çn, bu, yen ve keşfedlmeye açık br bakış açısıdır [18]. Tab k tüm bunlar merkez bakış açısının yanlış olduğu anlamına gelmemektedr. Sadece bazı şeyler açıklamakta merkez olmayan bakış açısı daha başarılıdır [15]. Çok araçlı sstemlern kontrolünde de yukarıdakne benzer şeklde merkez ve merkez olmayan yaklaşımlar vardır, ancak son yıllarda araştırmaların yoğunluğu merkez olmayan kontrol yaklaşımlarına doğru kaymaktadır. Kısım 1.3 de geçmş çalışmaların br özet sunulmuştur. 5

14 1.3 Geçmş çalışmaların özet Çok araçlı sstemlern dzlm kontrolü çn yapılan çalışmalar öncelkle merkez ve merkez olmayan yöntemler üzernde yoğunlaşan çalışmalar olarak kye ayrılablr. Merkez yöntemler n adet aracın kontrolü çn optmzasyon yöntemler [19] ya da tamsayılı programlama [4,2] yöntemler kullanmışlardır. Merkez kontrol çalışmaları verlen sstem çn global olarak en y çözüme ulaşablmektedrler. Bu avantajlarına karşın araç sayısının artması hesap yükünü katlayarak arttırdığından merkez kontrol yöntemler gerçek zamanlı sstemlerde esnek br bçmde uygulanablr yöntemler değllerdr [21]. Merkez kontrol yaklaşımının bundan başka dezavantajları da vardır: Öncelkle yüklü ve uzun mesafe br haberleşme gerektrrler. Ayrıca ana kontrol noktasının çökmes le sstem de çökmüş olacağından bozulmalara karşı görece olarak daha dayanıksızdırlar [38]. Merkez olmayan kontrolün hayal edleblmes çn doğadan örnekler sunmuş olmaları açısından byomatematkçlern [16] ve [17] gb çalışmaları önemldr. Bu çalışmalarda hayvan sürülernn lderler yönetmnde değl, breylern etkleşm le hareket ettkler ve sonuca ulaştıklarına dar gözlemler sunulmuştur. Bu çalışmalara bağlantılı olarak gelşen sürü zekası araştırmaları yapay zekanın br alt dalı olup br grup brey arasında tanımlanan etkleşmn sonuçta nasıl br grup davranışı doğuracağını nceler. Çok araçlı sstemlere sürü zekasının uygulamasını [22] ve kararlılığını [23] nceleyen çalışmalar mevcuttur. Araç dzlmlernn kontrolü çn davranış temell yöntemler [24], yapay potansyel yöntem [25,26] ve graflar le yapısal potansyellern kullanıldığı yöntemler [27] vardır. Davranış temell yöntemler, araçlar arası etkleşm canlıların "yaklaşma", "sakınma", "kaçınma" gb davranışları le sağlamaya çalışırken dğer yöntemler araçla dğer araçlar ve ortam arasında olduğu varsayılan yapay br potansyel kullanırlar. Yapay potansyel fkrn [28] çalışması le öneren Khatb'den sonra Leonard ve Forell [26] çalışmaları le sanal lder kullanımını önermştr, ancak bu çalışmada önerlen yöntem araçların tekl br dzlme oturmalarını garant edememşlerdr. Bu soruna çözüm olarak Murray ve Saber [27] çalışmasında grafların ve yapısal potansyeln kullanımını önermş, [18] çalışmasında se her dzlmn kararlı olamayacağını, kararlılık çn aradak haberleşme yapısının öneml olduğunu belrtp, graf teors kullanılarak dzlmn kararlılığının hesaplanableceğn açıklamışlardır. Elkam ve ark. [25] çalışmalarında se yapay potansyel ve sanal lder yardımı le dzlm kontrolü çn hesap yükü haff br sstem önermştr. 6

15 Önerlen sstemlern sınıflandırılması çn Dudek [1] çalışmasında br sstematk önermştr. Daha sonra [29]'da, tasarlanmış br sstem bu sınıflandırma kullanılarak ncelenmştr. Çok araçlı sstemler hakkında yapılan araştırmaların lerlemesn sağlayan en lgnç uygulama alanlarından br tanes de futbol oynayan robotlardır. Bu alanda, [3] ve [31] gb örnekler verebleceğmz pek çok çalışma yapılmakta, her yıl da dünya çapında yüksek katılımlı br turnuva düzenlenmektedr [32]. 1.4 Problem Elmzdek problemn senaryosu genel olarak şöyledr. 2 (ya da 3) boyutlu uzayda hareket edeblen, özellkler eş araçların uzayın değşk noktalarından harekete başlayıp görev gereğ bell br dzlme gelmeler stenmektedr. Bu dzlm dare, üçgen, çzg, baklava dlm, kama ya da herhang başka br dzlm olablr. Bu, problemn lk aşamasını oluşturmaktadır. Problemn knc aşaması dzlm sağlamış araçların engell br ortamda br yolu takp etmes, ya da br noktadan başka br noktaya güvenl br yol bulmasıdır. Bu türden durumlara örnek olarak br arama - kurtarma çalışmasında çzg ya da ızgara halnde dzlen br araç kümesnn belrtlen alanın br ucundan dğer ucuna katetmes verleblr. Benzer şeklde büyük br objenn 3-boyutlu görüntülenmes sırasında araçlardan obje etrafında halka oluşturmaları bekleneblr. Bu tez çerçevesnde br [25] dğer de [27] olmak üzere seçlen k çalışma yakından ncelenmştr. [25] yapay potansyel ve sanal lder yaklaşımının br temslcs olarak uygulamada hesap yükü haff ve smülasyon sevyesnde başarılı br örnek olduğu çn, [27] se hem yaygın kullanılan graf teors yöntemnn çok atıfta bulunulan öneml br temslcs olduğu çn, hem de dzlm kararlılığının kanıtlandığı matematksel temeller net fade edlmş br yayın olduğu çn seçlmştr. Bu tez çalışması sürecnde her k yöntemde ayrı ayrı farkedlen çeştl eksklklern ve problemlern gderlmes çn bazı gelştrmeler yapılmıştır. [25] çalışmasında eksk olan hareket dnamğ eklenmş ve pek çok durumda zayıf olan engel sakınma performansı arttırılmıştır. [27] dek yönteme de br lder eklenerek toplanma yernn belrlenmes başarılmış, yne bu lder sayesnde araçarın dzlmlern koruyarak seyretmeler sağlanmıştır. 7

16 1.5 Tezn Organzasyonu İlk bölümde bazı temel kavramlar ve bunların tarhsel gelşm anlatılmıştır. Aynı zamanda çok araçlı sstemlern kontrolü çn öneml olan merkez ve merkez olmauan bakış açıları tanıtılmış ve geçmş çalışmaların özet verlmştr. İknc bölümde kısımda potansyel ve yapay potansyel kavramları tanıtılmış, yapay potansyeller yöntem le dzlm kontrolü açıklanmıştır. Graflar ve yapısal graflar hakkında blgler ve yapısal grafların kullanılması le dzlm kontrolü hakkında blgler de üçüncü bölümde verlmştr. Dördüncü bölüm yaptığımız smülasyonların sunumuna ve sonuçların yorumlarına ayrılmıştır. Beşnc bölüm se bu tezn özetnn ve lerk çalışmaların sunulduğu kapanış bölümüdür. 8

17 2. YAPAY POTANSİYEL YÖNTEMİ İLE DİZİLİM KONTROLÜ Bu yöntemde araçları dzlme oturtmak ve hareket ettrmek çn sahp oldukları varsayılan yapay potansyel enerjlerden yararlanılır. Yapay potansyel enerj fkrn lk kez Khatb önermştr [28]. Br robot manpülatörün engellere çarpmadan stenen noktaya gdeblmes çn önerlmş olan bu yöntem çalışmalarıyla Leonard ve Forell çok araçlı sstemlere uygulanablr hale getrmşler ve sanal lderlern de kulllanılması le çeştl dzlmlern sağlanableceğn göstermşlerdr [26]. Kısım 2.1'de yapay potansyel kavramı ve bu yöntemn kullanıldığı anahtar çalışmalar tanıtılmıştır. Elkam ve ark. [25] çalışmalarında yapay potansyel ve sanal lder kullanarak çok araçlı br sstemn stenen yolda stenen dzlmde engellerden sakınarak gtmesn sağlayacak br yapı tasarlamışlardır. Kısım 2.2'de anlatılanlar da bu çalışma temel alınarak hazırlanmıştır. Bu çalışmada stenen senaryo şekl 2.1-a'da gösterldğ gb ortamda dağılmış olan bu araçların sanal lder etrafında şekl 2.1-b'de gösterldğ gb stenen br dzlme gelmeler ve şekl 2.1-c ve d'de gösterldğ gb herhang br engell ortamda lerleyen sanal lder engellere çarpmadan takp edeblmelerdr. 2.1 Potansyel Kavramı ve Yapay Potansyeller [26] ve [28]'de ncelenen ve detayları verlen yapay potansyel yöntem araç dzlmlernn sağlanması çn kontrol şaretnn elde edlmesnde sık kullanılan yöntemlerden brsdr [3,25,27]. Yapay potansyel yaklaşımının arkasındak anafkr aracı uzayda olduğu varsayılan br potansyel alanının etksnde kalan br parçacık olarak düşünmektr. Araç böyle br kuvvet alanında hareket ederken ulaşılacak nokta br çekm kutbu, engeller se araç çn tc yüzeylerdr. Toplam potansyel değer olan U ten ve çeken bleşenlern toplamına eşt olur. 9

18 (a) Araçlar başlangıçta rastgele konumlardadırlar (b) Lder etrafında dzlme otururlar (c) Lder takp ederler. (d) Engellerden sakınırlar. Şekl 2.1: Genel dzlm kontrolü senaryosu. Tek br araç çn yöntem şöyledr: Tek br O engelnn olduğu br ortamda br aracın kontrolünü düşünelm. varılmak stenen pozsyon olmak üzere araç (2.1) x d eştlğndek gb br yapay potansyele maruz bırakılır. U art = U x ( x) + U O ( x) (2.1) d Bu durumda araca uygulanacak kontrol şaret (komut vektörü) aracı bu potansyel etknn global mnmumuna çekecek şeklde olmalıdır. Bunu bulmanın en kolay yöntemlernden br de türevn azalma yönünü bulmaktır. Komut vektörü (2.2) eştlğnde görüldüğü gb potansyeln yola göre türevnden (burada gradyennden) elde edlr ve kuvvet cnsndendr. F F = F x + F (2.2) F O x d d O = U (2.3) x d = U ( x) (2.4) O 1

19 Burada F x noktasında bulunan br aracın noktasına ulaşmasını sağlayacak br x d çekme etks, F se U potansyellnden doğan ve aracın O engelnden kaçınmasını sağlayacak tme etksdr. Aracın noktasına gtmesn sağlayacak potansyel etks x noktasında olmalı, araç x 'den uzaklaştıkça da monoton olarak artmalıdır. Bu kısıtı sağlayan ve O d O x d noktasında türevl olan br potansyel fades (2.5) eştlğndek gb seçleblr. Burada çekme etks çn katsayıdır. 1 2 k c x d d x d 2 U x = kc x xd (2.5) d (2.5) eştlğ araç stenen nokta cvarındayken kararlı br şeklde potansyele varmasını sağlarken, araç stenen noktadan çok uzaksa başlangıçta çok çok büyük çekm kuvvetlerne ve dolayısı le kararsızlıklara sebep olablr. Bu durumun önüne geçmek çn (2.6) eştlğndek gb br potansyel tanımı kullanılablr. U x d = dk 1 2 c k c x x x x d d 2 1 kcd 2 2 ; x x ; x x d d d > d (2.6) (2.2) ve (2.6) eştlkler brlkte alındıklarında çekme kuvvetnn fades (2.7) eştlğndek gb olur. kc ( x xd ) ; x xd d F x x x = ( d ) (2.7) d dkc ; x xd > d x xd Aracın engellerden sakınmasını sağlayacak potansyel etks araç engele yaklaştıkça aracı engelden tecek yönde kuvvetl etk göstermel, araç engelden uzaklaştıkca da etks azalmalı, gttkçe yok olmalıdır. x aracın engele olan uzaklığı, x de engeln araca etk edebldğ en fazla uzaklık olarak tanımlanırsa belrtlen koşulları sağlayan br potansyel fades (2.8) eştlğndek gb olacaktır. Burada tme etks çn katsayıdır. o k os U O k ; xo xos = 2 xo xos (2.8) ; xo > xos (2.2) ve (2.8) eştlkler brlkte alındıklarında teme kuvvetnn fades (2.9) eştlğndek gb olur. Burada engel dışbükey br bölgedr ve x noktasındak araca engeln en yakın noktası b 'dr. x fades b 'den x 'e doğru olan brm vektördür. o 11

20 F O = x ( τ ) o 1 k xo τ = x = 1 1 x 2 x os xo x b x b o (2.9) 2.2 Elkam'n yöntem Bu kısımda Gabrel Hugh Elkam'n [25] çalışması ncelenmştr. Sözügeçen çalışmada sunulan sstemn aktörler araçlar, sanal lder ve engellerdr. Araçlar, dğer araçlarla, engellerle ve sanal lderle etkleşrler bu etkleşmler de yapay potansyeller bçmnde gösterlr. Genellğ bozmadan, 2 boyuttu uzayda hareket eden ve konumları q = ( x, y ); = {1,.., n} le gösterlen n adet araç olsun. Bu araçlara referans olan ve konumu olsun. q VL le gösterlen br sanal lder ve ortamda çeştl engeller Br aracın sanal lderle etkleşm temsl olarak şekl 2.2 de gösterlmştr.. aracının stenen dzlme geldğnde ldere göre alması stenen konum d, herhang br anda ldere olan mesafes de olsun. k araç-lder arası çekm katsayısı olmak d VL, üzere araç-lder etkleşm (2.11) eştlğnde verldğ gbdr. Br araca, sanal ldere olan uzaklığı le orantılı br kuvvet etk eder. VL VL, q VL lder d VL,2 q2 d VL,1 F VL 2 F VL1 q1 Şekl 2.2: Araç sanal lder etkleşm. F d VL VL, = = k VL q ( d VL VL, q d VL, ) (2.11) Araçların kend aralarında olan etkleşmler temsl olarak şekl 2.3 de gösterlmştr. aracının komşusu j aracı olsun ve konumları sırasıyla q ve q olsun. İstenen dzlm çn aracının tüm komşularının kümes J j, aracının j'ye göre alması 12

21 stenen konum d, herhang br anda sahp olduğu konum se d olsun. k araçlar o j arası çekm katsayısı olmak üzere komşusundan dolayı br aracın maruz kaldığı etk (2.12) eştlğndek gbdr. Br araca her br komsuşuna olan uzaklığı le orantılı kuvvetler etk eder. j IV F IV d 12 q 2 - (q 1 + d 12 ) 1 2 q 1 q 1 + d 12 q 2 Şekl 2.3: Br q aracına komşusu 2 1 q 'den dolayı olan etk. F d IV j = kiv ( dj d j j J = q j q ) (2.12) Engellerden sakınmayı sağlamak çn de araç-engel arası etkleşmler tanımlanmıştır. Bu etkleşmler temsl olarak şekl 2.4 de gösterldğ gbdr. Yne aynı şeklde konumu q olan araç, kendsne en yakın noktası q olan br engelle karşılaşmış olsun. k OB araç engel arası tme katsayısı, n aracın etkleşme grdğ engel sayısı olmak üzere engelden gelen etk (2.13) eştlğndek gbdr: Br engel le etkleşme gren araca o engele dk ve engelden dışa doğru br kuvvet etk eder. OB F OB d OB q Şekl 2.4 Araç engel arası etkleşm. 13

22 F d OB OB = = n kob = 1 d (2.13) k OB k q q OB Tüm bu saydığımız etkler br arada düşünüldüğünde br araca etk eden net sanal kuvvet (2.14) eştlğnde gösterldğ gbdr. F = F + F + F (2.14) NET OB IV VL F IV 1 FOB F VL F NET F IV 2 Şekl 2.5: Br aracın üzerndek net etk. Bu çalışmada önerlen hareket dnamğ se doğrudan pozsyon kontrolüdür. İfades ve kontrol şaret (2.15) eştlğndek gbdr. q u = = u F NET (2.15) Araçların her brnn yukarıda fadesn verdğmz kontrol şaretn elde etmek çn komşularına, engellere ve ldere olan uzaklığını ölçeblmeler yeterldr. Bu durumda her br adımda üzerlerne etkyen net sanal kuvvet hesaplayıp, bunu kontrol şaret olarak kullanırlar. Dzlmn Şekl Dzlmn şekl araçların sanal ldere olması stenen uzaklıklarının belrtlmes le sağlanmaktadır. Kartezyen koordnat sstem çn her br aracın dzlmdek yer sanal ldere göre yatayda ve düşeyde sahp olması beklenen d = ( x, y ) noktasıdır. Bu da aracın sanal ldere yataydak ve düşeydek uzaklığıdır. Bu yöntemle herhang br dzlm çn gerekl kısıtlar verleblr. Bu çalışma çn yapılan smülasyonların hemen hepsnde çember dzlm kullanılmışsa da örnek çeştllğ d o VL olması çn üçgen ve çzg dzlmler de sunulmuştur (bknz: 4. bölüm). Bu yöntemn smülasyonlarını gerçeklerken bazı durumlarda eksk kaldığı noktalar olduğu farkedlmştr: Öncelkle hareket dnamğ gerçekç olmayan bu yöntem, o VL, 14

23 engel sakınma performansı açısından da engel köşelern dönerken zayıf kalmaktadır. Bu yönteme lşkn smülasyon çalışmaları 4. bölümde sunulmakla brlkte bu yönteme dar yapılan yleştrmeler aşağıda anlatılmıştır: 2.3 Bu yöntemde yapılan yleştrmeler Bu yöntemn ana eksğ araçlar çn kullandığı hareket dnamğnn uygunsuz olmasıdır. (2.15) eştlğnde verlen hareket dnamğne göre araçlara doğrudan pozsyon kontrolü yapılmakta, yan smülasyonun her br adımında araçlara anlık yer değştrmeler uygulanmaktadır. Fzksel olarak mkansız olan bu yaklaşımın yerne daha yaygın olarak kullanılan, (2.16) eştlğndek gb br çft ntegratörlü hareket dnamğ kullanılmıştır. q p = = p u (2.16) İvme kontrolü olarak blnen bu yöntem Newton mekanğ açısından da uygun br modeldr. Burada q pozsyonu gösterdğne göre, p aracın hızını göstermektedr. Kontrol şaret olan u se vme türünden br büyüklük olup araca etkyen sanal kuvvetle orantılıdır 2. Bu sanal kuvvet de (2.2) eştlğnde fade edldğ gb aracın çnde olduğunu varsaydığımız sanal potansyel alanın pozsyona göre gradyendr. (2.16) eştlğndek sstemn kontrol şaret u (2.17) eştlğndek gbdr. Çft ntegratör kullanıldığında kontrol şaretn doğrudan kuvvet olarak almak yerne, (2.18) eştlğnde fades verlen, hızın ters yönde etkyen br sönüm fades de + eklenerek kararlı br toplanma sağlanmıştır. Burada R sönüm katsayısıdır. k f u = F NET F D (2.17) F D p = k f (2.18) 1+ p Yöntemde yapılan dğer yleştrme araçların engel sakınma yeteneklern arttırmak çndr. Şekl 4.14'de sunulduğu gb araçlar keskn köşelern dönülmes sırasında engel aşamamaktadırlar. Bu durumda kalan araçlar genellkle kümenn arkasındak araçlardır ve lder, engeln keskn br köşesn döndükten sonra, ldere doğru olan 2 Orantı katsayısı olan araç kütles smülasyonda noktasal kütlel araçlar çn brm kütle olarak alınmıştır. 15

24 çekme kuvvet le engelden gelen tme kuvvet zıt yönlere doğru olduğunda engeln etksnde kalıp lder takp edememektedrler. Araçların lder takp etme yeteneklern arttırmak çn, engelden gelen etk ldern olduğu tarafa doğru k kuvvetn açıortayı kadar döndürülür. Bu şlem genellğ bozmaksızın 2 boyutlu uzay çn şöyle fade edeblrz. θ VL ldere doğru olan F VL kuvvetnn yatayla yaptığı açı, θ engelden etkyen kuvvetnn yatayla yaptığı OB açı olmak üzere, aralarındak açının fades (2.19) eştlğnde verldğ gbdr. θ = θ OB θ VL (2.19) F OB ' Bu durumda 'nn sahp olması gereken yen doğrultu (2.2) eştlğndek ' gbdr. Döndürülmüş engel etks se şekl 2.6'da gösterldğ gbdr ve (2.21) F OB eştlğndek gb hesaplanır. ' θ = θ θ OB OB (2.2) 2 F OB θ OB F NET F VL X vrtual leader v Şekl 2.6: Engelden gelen etknn ldere doğru döndürülmes. F ' OB = F OB ' cos( θ ) + F OB OB ' sn( θ OB ) (2.21) Burada anlatılanlara lşkn uygulamalar 4.1. kısımda verlmştr, ancak bundan önce bölüm 3'de, bu tez kapsamında ncelenen dğer yöntem olan yapısal graf yöntem anlatılmıştır. 16

25 3. YAPISAL GRAF YÖNTEMİ İLE DİZİLİM KONTROLÜ Bu bölümde, lk kısımda ncelenen çalışmaların gerektrdğ kadarıyla graf teorsnn temel kavramları ve notasyonu, knc kısımda se yapısal grafların dzlm kontrolünde kullanılması anlatılmıştır Graflar Br G = ( V, E) yönlü grafı, V { v,.., v } le gösterlen br köşe kümesnden ve E le 2 gösterlen br kenar kümesnden oluştur. Burada E V dr ve e ( v, v ) ve v, v j V şeklnde gösterlen elemanlardan oluşur. E'nn lk elemanı ( v ) kuyruğu, knc elemanı ( v ) se başı olarak anılır. Bu durumda e, v 'den v 'ye yönlüdür denlr. Şekl 3.1'de br graf örneğ görülmektedr. Bu tez kapsamında nceledğmz çalışma v durumlarnı göz önüne alan, dğer br deyşle döngü çermeyen v j grafları ncelemektedr. j = 1 N j j = j ( v, v ) E ( v, v ) E gerektrmesnn doğru olduğu j durumlarda G yönsüz br graftır, ters durumlar çn G yönlü br graftır denr. Yönlü graflarda kenarlar gösterlrken uç kısmını gösteren br ok çzlr. Yönsüz graflar çn kenara at br yön olmadığından ok çzlmez. Yönlü graflar nglzcedek adları olan drected graph deymnden dolayı dgraf olarak da anılırlar. Br köşesnn grş dereces, başı v olan kenar sayısıdır. Aynı şeklde br v köşesnn çıkışı dereces de kuyruğu v j j j olan kenar sayısı olarak tanımlanır. Yönsüz graflar çn grş ve çıkış dereceler eşttr. Eğer tüm köşelern grş ve çıkış sayıları eştse graf çn grş çıkışı dengel denr. j v j j 3 Graf teors üzerne daha kapsamlı ve ayrıntılı blg çn [33] ya da [34] gb kaynaklara başvurulablr. Burada anlatılanlar çoğunlukla bu kaynaklar ve [35] temel alınarak yazılmıştır. 17

26 v 2 v 1 v 3 v 4 v 5 Şekl 3.1: Örnek br graf. v dan başlayıp v de bten v, v,.., v } şeklndek N uzunluklu ve N { N ( v 1, v ) E, [1, N] şeklndek sıralı br kenar kümesne yol denr. Başka br deyşle yol, br köşey başka br köşeye bağlayan kenarların sıralı br kümesdr. Eğer v = v N se, yan yolun başlangıcı le btş aynı se, buna döngü denr. Hç döngüsü olmayan graflara döngüsüz (acyclc) graf denr. Döngüsüz graflarda grş dereces ya da çıkış dereces olan köşeler bulunur. Bu köşeler sırası le başlangıç ve btş köşeler olarak anılırlar. Eğer v den v ye br yol varsa bu durumda v v ye ulaşablr'' denr. Her köşenn tüm dğer köşelere ulaşabldğ grafa bağlı graf denr. Bunun ters durumlarda, yan br grafta brbrlerne erşm bulunmayan kenar kümeler bulunduğunda, bu grafa bağsız graf denr. j Grafların yapısını ve özellklern cebrsel olarak ncelemek çn çeştl matrsler halnde temsl etmek mümkündür. nds değşken olmak üzere her br köşes le gösterlen br grafta A komşuluk matrs, elemanı (3.1) eştlğndek gb tanımlanır: V j boyunda br kare matrstr ve her br v A j 1 = ( v, v ) A ( v, v ) A j j (3.1) Benzer şeklde, br grafın derece matrs D her br satırında o ndsl köşenn çıkış derecesn tutan br köşegen matrstr ve (3.2) eştlğndek gb tanımlanır. D j deg( v ) = = j j (3.2) Br A matrs br grafı bütünüyle tanımlamak çn yeterldr. Ancak A matrsnn kends köşelern, yan V kümesnn, dzlmne bağlı olduğu çn graf çn değşk A matrsler yazılablr. Açıktır k bu matrsler brbrlernn permütasyonu olacaktır. 18

27 Permütasyon matrslern özdeğerler tek olduğundan G grafı A matrsnn özdeğerler le tam olarak fade edleblr [35]. D ve A matrslernn tanımı yukarıdak gb olmak üzere, grafın Laplasyen aşağıdak gb tanımlanablr 4 : 1 L = I D A (3.3) Bu durumda şekl 3.1 dek grafa at L matrs eştlk (3.4) dek gb olur (3.4) L matrsnn özdeğerler le grafın çeştl özellkler arasında lşk vardır 5 : Tanımı gereğ L matrsnn her br satırının toplamı olduğu çn, L'nn br özdeğerdr. Bu durumda 1 L'nn br özvektörü olur. L'nn tüm özdeğerler, komplex düzlemde yarıçapı 1, merkez 1+ j olan br dsk çnde yer alırlar. Eğer G yönsüz br graf se bu grafın laplasyen olan L'nn tüm özdeğerler gerçektr. Bu özellklerden hareketle Murray ve ark yılları arası yayınladıkları [18,27,36] çalışmalarında L matrsnn özdeğerlernn, G grafı le gösterlen br dzlm çn Nyqust anlamında br kararlılık krter verdğn ortaya koymuşlardır. 3.2 Yapısal Graflar Br G grafının köşe setne sonsuzda bulunan br v köşes de eklenerek V e V { v } set tanımlanmış olsun. G = ( V, C, D) üçlüsü le fade edlen graf br = yapısal graftır. G grafının dereces deg G) = max( deg( v )) olmak e ( 4 Laplasyen çn L = D A ya da L T = D A gb tanımlar da vardır. 5 Ayrıntılı ncelemeler ve kanıtları çn bknz: [35] 19

28 ve N := { v V e E}, köşesnn komşularının kümes olmak üzere, br C bağlantı j j matrs, her br elemanı br kenarı belrten br matrstr ve (3.5) eştlğndek gb tanımlanır: c k = N ( k) v ;1 k deg( v ) ; deg( v ) < k deg( G ) (3.5) Bu durumda C matrsnn. satırının lk n deg( v ) elemanı v 'nn komşusu olan köşelere, ger kalanı se v = 'a eşttr. Yapısal grafı oluşturan son küme olan D durum matrs se her br elemanı C'nn br elemanına karşı düşen ve lgl köşelern brbrlerne göre durumunu gösteren br matrstr ve (3.6) eştlgndek gb tanımlanır. d j q j q = ;1 j deg( v ) ; dger (3.6) Burada q, uzayda v 'nn pozsyonunu 6,. L2 normu yan k köşe arasındak uzaklığı göstermektedr. Örnek br graf şekl 3.2'de gösterlmş, bu grafa at, C ve D matrsler (3.7) eştlğnde verlmştr. V e v 1 a a v 2 a a 3 v 3 a a v 4 Şekl 3.2: Örnek br yapısal graf. V e = { v1, v2, v3, v4, v } (3.7) 6 Her ne kadar nceledğmz çalışmalarda pozsyonlar üzernden tanımlar yapılmışsa da, kontrol açısından araçlar arasında görecel olarak tanımlanablecek herhang br kontrol değşken kullanılablr. Örneğn araçların hızlarının kullanıldığı br uygulama çn bknz: [35] 2

29 C = v v v v v v v v v v v v3 (3.8) D a a a a = (3.9) a a 3a a a 3.3 Murray'nn Yöntem Bu kısımda Rchard M. Murray'nn [27] çalışması ncelenmştr. Sözügeçen çalışmada sunulan yöntemde, araçların dzlmn sağlamak çn o dzlm gösteren br yapısal graf 7 tanımlanır ve kontrol şaret bu grafın özellkler üzernden elde edlr 8. Tanımlanan grafın köşeler, dzlm oluşturması stenen araçlardan oluşur ve le gösterlr. Genellğ bozmadan, 2 boyutlu uzayda ve kartezyen koordnat v sstemnde çalıştığımızı düşünürsek, her br aracın pozsyonu fade edlr ve bu pozsyonlar zamana bağlıdırlar. q ( x, y ) = şeklnde Şekl 3.2 örneğnde görüldüğü gb, eldek graf yönlü br graftır. Bundan başka, C'nn. satırı, aracı çn komşuları gösteren br kümedr ve D'de buna karşı düşen. satır da v v aracı le komşuları arasında olması stenen ökld uzaklıklarını gösteren kümedr. Bu çalışma çerçevesnde C'nn ve D'nn elemanları zamanla değşmemektedr. Dkkat edlrse şekl 3.2'dek dzlmde le v 'ün yer değştrmes dzlmn şekln değştrmemektedr. Benzer şeklde v2 3 v arası ve v arası bağları 1 v 4 2 v 3 v2 3 kaldırdığımızda grafın gerektrdğ D matrsn sağlamak çn le v arası uzaklık [,2a] arası herhang br değer alablr. Bu durumda grafın temsl ettğ dzlmn şekl belrsz olacaktır. Yukarıda saydığımız k durumun lk grafın katlanılablrlğ, kncs se grafın katılığı le lgldr. Bu özellkler kısaca tanımlayalım: 7 Yapısal graflar hakkında detaylı blg çn bknz: Bölüm Bu yöntem [27] numaralı referansta gösterlen çalışmada sunulmuştur ve bu çalışma bu bölümde anlattıklarımızın temeln oluşturmaktadır. Daha ayrıntılı br anlatım çn bknz: [27]. 21

30 N adet köşes olan br G yapısal grafını ele alalım ve k köşe arası yönlü ya da yönsüz tüm kenarları tek br bağlantı olarak kabul edelm. Kaldırıldığında, grafın serbestlk derecesn br azaltan bağlantıya krtk bağlantı denr. Br G grafının 2n-3 adet krtk bağlantısı varsa bu graf katıdır denr. Br G grafında, v, v V olan k köşenn tüm komşuları, v ya da v üzernden geçmeyen düz br çzg üzernde bulunuyorlarsa G grafı katlanablr br graftır ve çft de katlanablr br çfttr denr. Katı olan ve katlanablr olmayan tüm graflar kesn belrl br dzlm temsl ederler. j ( v, v j ) Bu yöntemde de araçların kontrol şaret brbrler arasında tanımlanan etkleşmden elde edlr. Burada yne br potansyel fonksyonundan yararlanılır ancak bu kez yazılan potansyel her br aracın değl, tüm kümenn toplam potansyeldr. Araçlar bu toplam potansyel azaltacak şeklde br etkleşme grerler. Kontrol şaretnn elde edlş aşağıdak gbdr. Graf le dzlm sağlamak üzere grafın D matrsnden yararlanılarak, kenarların sağlaması gereken φ q, q ) kısıt fonksyonları yazılır. Bu fonksyonların sayısı, s l ( j adet kenarı olan br graf çn s tanedr. φ ( q, q ) := q q dj ; e = ( v, v ) E, l = {1,.., s} (3.1) l j j (3.1) eştlğnde gösterlen kümeye yapısal kısıt kümes adı verlr. Her br aracın pozsyonu q ken tüm araçların pozsyon vektörünü q { q,.., q } olarak gösterelm. Bu durumda elmzdek graf çn yapısal kısıt fonksyonu l j = 1 n j Φ (q) le gösterlr ve (3.11) eştlğnde gösterldğ gb tanımlanır. Φ (q) fonksyonu araçların dönme ve ötelenmelernden bağımsızdır [27]. Φ q) = { φ,.., φ } (3.11) ( 1 s Bu noktada, çok araçlı br sstem çn yapısal kısıt fonksyonları kullanılarak (3.12) eştlğnde gösterldğ gb br yapısal potansyel fonksyonu tanımlanır. araç pozsyonlarını göstermek üzere bu araç kümesnn hareket dnamğ de (3.13) eştlğnde gösterldğ gbdr. V ( q) := Φ ( q), Φ( q) (3.12) q q ' p ' = = p u (3.13) Bu sstemn kararlılığının ncelenmes çn Lagrange ve Hamlton denklemler yazılır. Eğer koordnatlar zamanla değşmyorsa se Knetk enerjs T, potansyel 22

31 enerjs V le gösterlen br sstem çn denklemler olarak da blnen Lagrange fades (3.14), Hamlon fades se (3.15) eştlğndek gbdr. L = T V (3.14) H = T + V (3.15) Her br aracın kütles m olmak üzere kütle matrs M dag( m,.., m ) şeklnde = 1 n tanımlanırsa, stenen dzlmn Lagrange fonksyonu (3.16) eştlğgndek gb olur. Kümedek tüm araçların kütlelernn brbrne eşt ve brm kütle olduğu durumda M=I olacaktır. Bu durumda Hamlton fonksyonu da (3.17) eştlğndek gbdr. L ( q, p) 1 = 2 p T Mp Φ( q), Φ( q) (3.16) H ( q, p) 1 2 = p 2 + Φ( q), Φ( q) (3.17) Yukarıdak tanımlar ışığında aşağıdak teoremler geçerldr [27]: Teorem 1 : Elmzde, hareket dnamkler (3.13) eştlğndek gb olan araçlardan oluşan ve (3.12) eştlğndek yapısal potansyele sahp br küme ve katlanamayan ve kesn belrl br G grafı le gösterlen br dzlm olsun. D( q, p), (3.18) eştlğndek özellkler sağlayan br söndürme term olmak üzere, (3.19) eştlğnde verlen durum gerbeslemel kontrol şaret bu araçların asmptotk olarak stenen dzlme oturmalarını sağlar ve (3.17) eştlğndek H( q, p) fonksyonu bu sstem çn geçerl br Lyapunov fonksyonudur. D( q, p), p >, p ved( q,) = (3.18) u( q, p) = V ( q) D( q, p) (3.19) Teorem 2 : Teorem 1'dek tüm koşullar ve tanımlar geçerl olsun. J, v aracının komşularının kümes, λ λ (,1), λ + = 1 olarak tanımlanan k reel sayı, 1, 2 1 λ2 + u R kontrol şaretnn üst sınırı, σ (3.21) eştlğndek gb tanımlı br fonksyon olsun. Yapısal potansyel fonskyonu olarak (3.2) eştlğşndek fonksyon kullanıldığında (3.22) eştlğnde gösterlen u kontrol şaret u le üstten sınırlıdır ve G = ( V, C, D) grafı le gösterlen araç dzlmn asmptotk kararlı olarak sağlar. Burada e d j, D matrsnn. satır j. sütun elemanıdır. V s 1 1 uλ = [1+ ( q q j dj ) ] 2 J j J 1 (3.2) 23

32 y σ ( y) = (3.21) 2 1+ y u = u λ1σ ( q q j dj ) u j uλ σ ( p ) 2 (3.22) J j J q j q u j = (3.23) q q Özetlemek gerekrse, (3.22) eştlğnde verlen u kontrol şaret, (3.13) eştlğndek fade edlen hareket dnamğne sahp araçlar çn verlen br yapısal grafın gösterdğ dzlm asmptotk kararlı olarak sağlar. j 3.4 Bu yöntemde yapılan yleştrmeler Bu yöntem araçları bell ve kararlı br dzlme oturtmayı başarmakla brlkte toplanma noktasını belrleyememektedr; araçlar başlangıçta bulundukları koordnatların orta noktasında toplanmaktadırlar. Araçların bell br noktada toplanmasına htyaç duyulan uygulamalarda kullanılmak üzere yapısal grafa referans görev görecek br araç eklenr. Bu araç, gerçek ya da sanal olablr. Aracın özellğ çıkış derecesnn olması, yan kend konumunu ayarlarken dzlmdek dğer araçları referans almamasıdır. Br G grafında böyle br araç varken, C ve D matrslernn lgl satırları (3.24) eştlğndek gb olacaktır. C D ref ref = = [ v, v, v, K] [,,, L] (3.24) Toplanma noktasının verlmesnden başka kümenn seyr de bu yöntemde ele alınmamış br problemdr. Seyr sağlamak çn yne yukarıdak referans araçtan yararlanılablr. Grafın gösterdğ dzlm kararlı br dzlm olduğundan, bu aracın bell br hedefe doğru hareket etmes le yapısal potansyel artacak, dğer araçlar da yapısal potansyel azaltma yönünde hareket edecek yan bu araçla aynı yönde lerleyeceklerdr. Şekl 3.3'de bu durumun br örneğ görülmektedr. Bu şeklde açık renkle gösterlen araç referans araç, koyu renkl araçlar da kümey oluşturan araçlardır. Referans aracın uzayda hareket ettrlmes le dğer araçların seyr sağlanmış olur. 24

33 Şekl 3.3: Yapısal graf yöntemyle dzlmş araçların sanal lder yardımı le seyr. Bu ve öncek bölümlerde ncelenen k yönteme lşkn uygulamalar ve çeştl senaryolar br sonrak bölümde sunulmuştur. 25

34 4. UYGULAMALAR Bu bölümde, 2. ve 3. bölümlerde bahsettğmz yöntemlern smülasyon sonuçları sunulmuştur. Buradak smülasyonlar çalışmaların asıllarında verlen smülasyonların tekrarı ve bunlara ek olarak ncelenen çeştl senaryolardır. Kullanılan sstem Pentum şlemc ve 512 MB RAM'e sahp üzernde MS Wndows XP şletm sstem çalşıan br kşsel blgsayardır. Smülasyonların tamamı Matlab v.6 R12 versyonu le kodlanmış grafkler yne Matlab le çzdrlmştr. Tüm smülasyonlar sırasında kümeler oluşturan araçların brbrne özdeş ve noktasal kütlel olduğu varsayılmıştır. 4.1 Yapay Potansyel Metodu Uygulamaları 4 aracın rastgele başlangıç noktalarından başlayarak lder etrafında toplanması şekl 4.1'de gösterlmştr. İç çarpılı yuvarlaklar araçların başlangıçtak konumlarını göstermektedr ve bu konumlar rastgele seçlmştr. Kare sanal ldern konumu, ç boş yuvarlaklar se araçların lder etrafında toplanmış haldek konumlarıdır. Çzgler, araçların zledkler yolu göstermektedr. Şekl (4.1)'de başlangıç konumları q = (33,87), q = 27,54, = (62,58) ve q = (74,47) olan araçların (44.75) 4 1 noktasında bulunan lder etrafında çember dzlmnde toplanmaları gösterlmştr. Dkkat edlrse, ldern konumu hep sabt kalmasına rağmen araçların son konumlarına doğru zledkler yol düz br çzg değldr. Bunun sebeb araçların ldere ek olarak komşularının da etksnde hareket etmelerdr. 2 q 3 26

35 Şekl 4.1: 4 aracın yapay potansyel yöntem le sanal br lder etrafında toplanması. Bu toplanmaya lşkn araçlara etkyen net kuvvetn şaretnn yatay ve düşey bleşenler şekl 4.2'de gösterlmştr. (Bu kuvvetn fades çn bknz: eştlk (2.14)) Her satırda br araca at grafkler, solda kuvvetn yatay bleşen ve sağda kuvvetn düşey bleşen olmak üzere çzdrlmştr. Görüldüğü gb kuvvetlern büyüklüğü zaman çnde azalmaktadır. Bunun sebeb, araçların en uygun konumlarına yaklaşmaları ve mnmum potansyel noktalarına erşmelerdr. Üzerndek kuvvet 'a ulaşmaşan araçlar kararlı oldukları noktaya oturmuşlardır. 27

36 1 (a) 1 (b) F NET x 1 F NET y 1 F NET x 2 F NET x 3 F NET x (c) (e) (g) F NET y 2 F NET y 3 F NET y (d) (f) (h) Şekl 4.2: Toplanan araçlara uygulanan kontrol şaret. (Etkyen net kuvvet) Her br satır br araca at yatay ve düşey kuvvet bleşenlern göstermektedr. 2 (a) 2 (b) d VL x 1 d VL x (c) 1 d VL y 1 d VL y (d) 2 d VL x (e) (g) d VL y (f) (h) d VL x d VL y Şekl 4.3: Toplanan araçların sanal ldere olan yatay ve düşey uzaklıklarının zamanla değşmler. 28

37 Şekl 4.1'de gösterlen araçların yatayda ve düşeyde sanal ldere olan uzaklıklarının zamanla değşm şekl 4.3'de çzdrlmştr. Görüldüğü gb her br farklı noktadan başlayan araçlar yaklaşık 4. adımda sanal ldere göre olmak stedkler konumlara geleblmekte ve daha sonra da dışarıdan bozucu br etk gelmedğ çn bu konumlarını korumaktadırlar. Örneğn 2 numaralı araç, sanal ldere yatayda, düşeyde 1 brm uzaklığa gelmş ve oradak konumunu korumuştur. Kuvvet ve pozsyon grafkler dkkatl ncelendğnde grafkte kırılma noktaları göze çarpmaktadır. Bunun sebeb, modelde önerlen hareket dnamğnn pozsyon kontrolü olmasıdır. Kısım 2.3'de sunulan değşklk devreye alındıktan sonra araçların toplanmaları şekl 4.4'dek gb olmuştur Şekl 4.4: Çft ntegratörlü hareket dnamğ le araçların toplanmaları. Burada araçlar yne aynı lk konumlardan başlamışlar ve aynı konuma gelmşlerdr. k =.1, k =.5 ve =.2 değerler kullanılmıştır. k parametreler sstemn VL IV k f yerleşm performansını da belrleyeceğnden uygun bçmde seçlmeldr. Buradak net kuvvetn fades (2.17) eştlğnde verldğ gbdr. Şekl 4.5 ve 4.6'da, şekl 4.4'de gösterlen toplanma sırasında araçlara uygulanan kontrol şaretnn ve araçların sanal ldere olan uzaklıklarını değşmler verlmştr. Bu şekllern de her br satırı br araç çn solda yatay, sağda düşey bleşen olmak üzere belrtlen değern değşmn göstermektedr. Grafkler ncelendğnde değşmlern şekl 4.2 ve 4.3'deklere göre daha yumuşak olduğu ve kırılma noktaları olmadığı gözlenr. 29

38 .5 a.5 b F NET x 1 F NET x 2 F NET x c e g F NET x F NET y 1 F NET y 3 F NET y d F NET y f h Şekl 4.5: Çft ntegratörlü hareket dnamğ kullanıldığında toplanan araçlara uygulanan kontrol şaret. (Etkyen net kuvvet) 2 a 2 b d VL x 1 d VL y 1 1 d VL x c e d VL y d f d VL x 3 d VL y g h d VL x 4 2 d VL y Şekl 4.6: Çft ntegratörlü hareket dnamğ kullanıldığında toplanan araçların sanal ldere olan yatay ve düşey uzaklıklarının zamanla değşmler. 3

39 Çok araçlı br sstem başka şekllerde de toplanablr. Örneğn br çzg dzlm elde etmek çn (2.11) ve (2.12) eştlklerndek değerlern çzg dzlmn sağlayacak bçmde değştrmek yeterldr. Şekl 4.7'de çzg dzlmnde toplanma gösterlmştr. İç çarpılı yuvarlaklarla gösterlen rastgele seçlmş noktalardan başlayan araçlar (54,19) noktasındak lder etrafında çzg dzlmne kararlı br bçmde oturmaktadırlar. Bu dzlm çn örneğn 2. aracın kısıtları sırası le aşağıdak gbdr. d VL,2 d 2,1 = = d [15,] [1,] (4.1) (4.2) d = [ 1,] (4.3) 2,3 Benzer br şeklde şekl 4.8'de de üçgen dzlmne oturma şlem gösterlmştr. Genel olarak denleblr k; araçların sahp olmaları stenen herhang br dzlm uygun d değerler yardımı le sağlanablr, hatta sstemn çalışması sırasında htyaç duyulduğunda breylern lgl d değerler değştrlerek dzlmler arası geçş (üçtenden çzgye, çzgden dareye, dareden kamaya gb) sağlanablr Şekl 4.7: Çzg dzlmne toplanma. 31