KOMPLEKS SAYILARIN ALTERNATİF AKIM DEVRELERİNE UYGULANMASI

Transkript

1 BÖÜM 5 KOMPEKS SAYAN AENAİF AKM DEVEEİNE YGANMAS 5. - (DİENÇ BOBİN SEİ DEVESİ 5. - (DİENÇ KONDANSAÖ SEİ DEVESİ (DİENÇ BOBİN KONDANSAÖ SEİ DEVESİ (DİENÇ BOBİN PAAE DEVESİ (DİENÇ KONDANSAÖ PAAE DEVESİ (DİENÇ BOBİN KONDANSAÖ PAAE DEVESİ 06

2 AENAİF AKM DEVE ANAİİ pak GİİŞ Sinüzidal emk leri ve sinüzidal akımları dönen vektörlerle gösterilmişti. Kmpleks sayılarla vektörlerin tplanması, çıkarılması, çarpılması ve bölünmesi işlemlerini çabuk ve dğru larak klayca yapılabildiği matematik de incelendiğinde görülür. Burada kmpleks sayıların nasıl lduğu anlatılmayacaktır. Bu herhangi bir matematik kitabından incelendiğinde anlaşılacağını umarım. Kmpleks sayılar bize vektörlerin herhangi bir dereceden kuvvetlerini ve köklerini klayca bulunabilme lanağı da sağlamaktadır. Alternatif akım devrelerinin çözümlerinde büyük klaylıklar sağlayan bu sayıları devrelerin çözümlerinde sıkça kullanacağız. Vektörlerin tplanmasında ve çıkarılmaları için dik bileşen vektörleri halinde bulunmaları gerekir. Dik bileşen vektörlerini çarpmak, bölmek ve bir kuvvete yükseltmek mümkündür. Fakat uzun ve zrdur bu işlemleri kutupsal veya üslü vektörlerle yapmak daha klay ve kısadır. Yalnız kutupsal ve üslü vektörlerle kök alma işlemi yapılabilir. Herhangi bir vektörün üç şekilde gösterilir. Dik bileşenli vektör gösterilişi A Ax + jay rignmetrik gösterilişi A A(csα + j sin α Kutupsal gösterilişi A A α Bu hatırlatmalardan snra önceki knularda incelenen devre bağlantı çeşitlerinin analizlerini kmpleks sayılarla analizi yapılacaktır (DİENÇ BOBİN SEİ DEVESİ Şekil5. de seri bağlanmış lan devresi kirşfun gerilimler kanunundan, kaynağın gerilimi elemanlar üzerinde düşen gerilimlerin tplamına eşittir. Bu kmpleks sayılarla ilk incelediğimiz alternatif akım devresi lduğundan açıklamalı larak işlemleri ve frmülleri çıkartalım. Şekil5. Seri devresi elemanı uçlarına bir alternatif bir gerilimi uygulandığında bu kaynaktan bir akım çekilecektir. Devre seri lduğundan bu akım değeri devre elemanları 07

3 AENAİF AKM DEVE ANAİİ pak üzerinden aynen geçecektir. Fakat uçlarındaki gerilimle bu akım arasında elemanına göre bir faz farklılığı luşturacaktır. Bunu önceki knularda elemanları devrede tek larak bağladığımızdaki akımla gerilim arasındaki faz farklıklarını açıklamıştık. Direnç elemanı üzerinden geçen akım ve uçlarındaki gerilimle herhangi bir faz farkı luşturmamakta fakat bbin üzerinden geçen akımla uçlarındaki gerilim düşümü ile 90 faz fakı luşturmakta, akım gerilimden 90 geri fazda kalmakta lduğu önceki knulardan biliniyr. Seri devrede akım değişmediği için baz larak veya başlangıç ekseni larak akım alınır. Bu açıklamalarla gerilim ve empedans üçgenlerini luşturalım. Sanal eksen (+j Sanal eksen (+j j +j j +j 0 eel eksen eel eksen Şekil5. seri devresinin gerilim ve empedans üçgeni Akım seri elemanlardan aynı aktığı için başlangıç ekseninde alınmış, direnç akımla gerilim arasında faz farkı luşturmadığı için gerilimi de genliği kadar akımla aynı eksende çizilmiştir. Bbin elemanı üzerinden bir akım geçtiğinde uçlarındaki gerilim, akımdan 90 ilerde lduğundan sanal eksende j larak şekil5. de gösterilmiştir. Devre geriliminin dik bileşenler ve kutupsal gösterilişi aşağıdaki gibi lur. + j + tan ( seri devresinin eşdeğer empedansı ise şekil5. deki empedans üçgeninden dik bileşen ve kutupsal şeklinde gösterimi aşağıdaki şekildedir. + j + tan ( Empedans üçgenine biraz matematiksel işlemler yapıldığında devrenin akımı ile gerilimi arasındaki faz farkı açısını, devrenin empedansı ve faz açısı bilindiğinde devre eleman değerlerinin bulunması gibi frmüller rtaya çıkarılabilir. ϕ sin ϕ cs ϕ tan

4 AENAİF AKM DEVE ANAİİ pak.sin ϕ.cs ϕ.tan ϕ Örnek5. Alternatif akım devresinde hm direnç ile 0,0 H değerlerindeki iki eleman seri bağlanarak uçlarına 00 V, 50 Hz lik bir gerilim uygulandığında kaynaktan çekilen akımı bulunuz. Çözüm5. Devrenin empedansının bulunabilmesi için endüktif reaktansın aşağıdaki şekilde bulunur, bulunan bu değer devrenin empedansında kullanılır. πf π.(50 Hz.(0,0H 3,4 Ω + j + j3,4 3,73 57,5 Ω 00 V ( 3,73 57,5 Ω 53,7 57,5 A Örnek5. 50 V,50 Hz lik bir gerilimle beslenen endüktif devreden 0 A geçmekte ve 750 W harcanmaktadır. ve değerleri ile sistemde görünen, harcanan ve reaktif güçleri bulunuz. Çözüm5.: 50V P 750W 5Ω 7,5Ω aktif güç direnç elemanı 0A 0 üzerinde harcandığı için buradan direnç değeri bulunur. (5Ω (7,5Ω 3,85 7,54 Ω bulunur. Akımla gerilim arasındaki faz farkı açısı ϕ 7,54 cs ϕ 0,3 (geri ω 34 rad/s 3,85 0, 076 H 76 mh ω 34 09

5 AENAİF AKM DEVE ANAİİ pak S. 50V.0 7,54 A 500 7, j385va buradan reel değer aktif gücü, sanal değer de reaktif gücü vereceğinden P750 W, Q385 VAr 5. - (DİENÇ KONDANSAÖ SEİ DEVESİ Şekil5.3 de görülen devrede direnç elemanı ile kndansatör elemanı seri bağlanıp uçlarına bir alternatif gerilim uygulandığında bu gerilimin devre elemanları üzerinde iki bileşeni vardır. Direnç elemanı üzerindeki gerilim düşümü akımla aynı fazda, kndansatör uçlarındaki gerilim düşümü ise akımdan 90 geri fazdadır. Şekil5.3 Bu açıklamalar dğrultusunda seri devre lduğundan akım referans ekseninde alınarak devre vektörü aşağıda şekil5.4 deki gibi çizilir. +j +j -j -j -j -j -j -j Gerilim üçgeni Empedans üçgeni Şekil5.4 Şekil5.4 deki gerilim üçgeninden devrenin gerilim reel eksende lan gerilimi ile sanal eksende lan geriliminin tplamına eşit lacaktır. 0

6 AENAİF AKM DEVE ANAİİ pak j + tan ( gerilim değeri ve faz açısı buradan bulunur ve devrenin empedansı da şekil5.4 deki empedans üçgeninden dik bileşenler ve kutupsal gösterim şeklindeki frmülü bulunur. tan c j + ( Empedans frmülü dikkat edilirse vektörel larak bulduğumuz frmülün aynısıdır. Burada reel değer direnç elemanını, sanal kısmını da kapasitif reaktans luşturmaktadır. Kapasitif reaktansın nin önüne j getirilmiştir. Bu da (-90 ifade eder. Empedans üçgeninden devre ile ilgili aşağıdaki frmüller çıkartılabilir. Empedans değeri ve faz açısı bilindiği durumda devre elemanlarının değerleri bulunabilir..sinϕ.csϕ.tanϕ ϕ sin cs tan Örnek5.3 Saf bir direnci ile bir kndansatör seri bağlanmıştır. Sisteme 0 vlt, 00 Hz uygulandığı zaman devredeki akım,5 amper ve sistemde harcanan güç 40 W tır. direnci ile kapasitesinin değerini hesaplayınız. Çözüm5.3 Direnç elemanının değerini devrede harcanan aktif güç bu eleman üzerinde harcandığı için güç frmülünden direnç değeri bulunabilir. P 40W P. 38, 4 Ω,5 A Devre akım ve devre gerilimi bilindiğine göre devrenin empedansı hm kanunundan faydalanılarak bulunur.

7 AENAİF AKM DEVE ANAİİ pak 0V,5A 48 Ω Empedans frmülü kullanılarak, bu frmülden kapasitif reaktans çekilirse kndansatörün kapasitif reaktansının değeri hesaplanabilir ,4 8, 8 Ω kapasitif reaktans frmülünden kapasite çekilirse, buradan devreye bağlı lan kndansatörün değeri bulunur. 55,9 µ F πf. π.00. π.00.8,8 bulunur (DİENÇ BOBİN KONDANSAÖ SEİ DEVESİ Alternatif akım devrelerinin çözümünde devrede direnç, bbin ve kndansatör seri veya paralel şekil5.4 de bağlandıklarında devre elemanları üzerlerinden geçirdikleri akımlarla bir faz farkı meydana getirdikleri bu ana kadar defalarca ifade edilmişti. Bunun açık larak elemanların özelliklerine göre; direnç akımla gerilim arasında faz farkı sıfır, bbin elemanı uçlarındaki gerilim akımdan 90 ileri fazda ve kndansatör uçlarındaki gerilim akımdan 90 geri fazdadır. Buda kmpleks sayılarla ifadesi biliniyr ki +j, 90 yi ve j de (-90 ile gösterilmektedir. Bu durumda kapasitif reaktans değerinin önüne (-j, endüktif reaktansın önüne ise (+j knulacaktır. Bu gösterimde j lur. Şekil5.5 de bu durum gösterimi yapılarak bu devrenin kmpleks çözüm frmülleri çıkartılmıştır. Şekil5.5 seri devresi

8 AENAİF AKM DEVE ANAİİ pak Yukarıdaki açıklamalar dğrultusunda devrenin gerilim üçgeni ve empedans üçgenini çizerek devresinin frmülleri çıkartılır. seri devresinde kapasitif reaktansın endüktif reaktansa eşit, büyük ve küçük lduğu durumlar mevcuttur. Bu önceki knularda açık bir şekilde incelemesi yapılmıştı. Bu hatırlatmalar ışığında < durumunun empedans ve gerilim üçgeni şekil5.6daki gibi lur. +j +j -j( - -j( - -j( - -j( - -j -j Gerilim üçgeninin elde edilmesi Empedans üçgenin elde Edilmesi Şekil5.6 seri devresinde < durumu Devre gerilimi, gerilim üçgeninden; j( + ( tan ( bulunur. devrenin empedansı, empedans üçgeninden bulunur. j( + ( c tan (( c ϕ tan bu dik üçgenden matematik kurallar dğrultusunda güç katsayısı ve akımla gerilim arasındaki faz farkı açıları da bulunabilir. Bu vektörel çözümde ayrıntılı bir şekilde açıklanmıştı. Ayrıca devre elemanları uçlarındaki gerilim düşümlerinin değerleri de aşağıdaki gibi bulunur...( j.( j dikkat edilirse < durumu devrenin seri devre özelliği taşıdığını ve > durumu ise devre seri devre özelliği taşır. 3

9 AENAİF AKM DEVE ANAİİ pak Örnek5.4: Şekil5.7 deki alternatif akım devresinde değerleri verilen elemanları seri bağlanarak bu devreye alternatif bir gerilim uygulanmıştır. Bu devrede kaynaktan çekilen akımı, devrenin güç katsayısını, eleman üzerlerindeki gerilim düşümlerini bulunuz. 0 hm 0, H 50 mikr F 0V 50 Hz Şekil5.7 Çözüm5.4: πf π.50.0, j3,4 Ω j,3 Ω 6 πf. π j( 0 + j0,7 4,6 45, ,48 4,6 45,48 A , ,48 V j. 3, , ,5 V j., ,48 97, 35,48 V 4

10 AENAİF AKM DEVE ANAİİ pak (DİENÇ BOBİN PAAE DEVESİ Seri devrelerde karmaşık sayıların alternatif akıma nasıl uygulandığı vektörel gösterimlerle açıklanmıştı. Paralel devrede de aynı kurallarla kmpleks sayılar paralel devrede de uygulanarak devre çözümü yapılabilir. Paralel devre özellikleri kullanılarak paralel devrenin çözümü, elemanların bağlantılarına göre çözümü kmpleks sayılarla yapalım. Şekil5.8 deki paralel devresinin devre empedans, kaynaktan çekilen akım, eleman üzerlerinden geçen akımların frmüllerini çıkartalım. + j Şekil5.8 paralel devresi Devre elemanlarının tplam empedansının bulunması için, eleman değerlerinin tersi alınıp tplandığın da bulunur. Karışık devrelerde işlemlerin basit lması için devre elemanlarının isimlerini (, ( j gibi isim verilerek eşdeğer empedans frmülü aşağıdaki gibi lur n devresi için devre empedansı bu genel frmülde yerine knularak aşağıdaki gibi lur..( j j Kaynaktan çekilen akım ve kl akımları hm kanunundan faydalanılarak bulunur. j 90 5

11 AENAİF AKM DEVE ANAİİ pak w w 0 0 G Y -j -j -jb YG-jB -j -j Şekil5.9 paralel devresinin akım ve admidans üçgeni Paralel devrede şekil5.9daki paralel devresi akımının dik bileşenler ve kutupsal gösterim larak aşağıdaki gibi lur. j + tan ( Örnek5.5: Şekil5.0 da verilen paralel devresinin; - Devrenin admidansını - Devrenin empedansını 3- Kaynaktan çekilen akımı ve kl akımlarını hesaplayınız. + 0 V 0 hm j j H 4 H Şekil5.0 Çözüm5.5 Devreye bağlı lan elemanları 0 hm, j H ve 3 j larak tanımlayalım. 6

12 AENAİF AKM DEVE ANAİİ pak Y Y Y 3 a Y + Y 3 + Y 0, 756 8, 4 0, S 0Ω j 3 j , S + ( j0, 5 + ( j0, 5 0, S Y j 0, 5 90 j 90 j0, 5S j0, 75S 0, 5 90 ( 0, S j0, 5S + ( 0, 75 tan 0, 75 ( 0, Y b Y 0, 756 8, 4 S 3, 8, 4 c Y. 0V.( 0, 756 8, 4 S 5, 8, 4 A Y. 0V.( 0, S A Y. 0V.( 0, 5 90 S 0 90 A j Y. 3 0V.( j0, 5S j5a 5 90 A j (DİENÇ KONDANSAÖ PAAE DEVESİ Şimdiye kadar direnç elemanının devre gerilimi ile bir faz farkı luşturmadığı sadece alternatif akımın genliğini değiştirdiğini gördük. Fakat devrede bbin veya kndansatör seri veya paralel bağlansınlar bu akımla gerilim arasında bir faz farkı getirdiği bu faz farkından dlayı da kmpleks sayıların sanal ekseninde yer aldığı görülmüş ldu. Artık şu açıklamayı yapmakta hiçbir sakınca yktur. Eğer devrenin çözümü kmpleks sayılarla çözülecekse endüktif reaktans değerinin önüne +j (+90 yi ifade eder, kapasitif reaktan önüne ise j (-90 yi ifade eder kyarak devrenin istenen değerleri kmpleks çözümlerle bulunabilir. Şekil5.deki paralel devresinin bu açıklamalarla çözümünü yapalım. 7

13 AENAİF AKM DEVE ANAİİ pak Örnek5.6 Şekil5. deki devrenin kaynaktan çekilen akımı, elemanlar üzerinden geçen akımları ve devrenin empedansını hesaplayınız. + 40V 5 hm - J4 hm Şekil5. Çözüm5.6 Paralel bağlı lduğundan, paralel devre özellikleri hatırlanırsa devre gerilimi eleman üzerlerinde aynen görülür. Bu duruma göre hm kanunundan devreden çekilen akım ve kl akımları bulunur. 40V 0V 0V 4A 5 90 A j5a 5Ω j j4ω 4 90 Ω paralel devrede kirşfun akımlar kanunu uygulanırsa devrenin kaynaktan çektiği akımı bulunur A + j5a tan 6, 4 53, A , 5 5, 3 6, 4 53, Ω (DİENÇ BOBİN KONDANSAÖ PAAE DEVESİ, paralel devresindeki yapmış lduğumuz açıklamalar devresinde de geçerlidir. devresinde sanal değer larak her iki eleman bağlı lduğu için bu elemanlar arasında 80 faz farkı luşturmaktadır. Kmpleks eksenin bbin ve kndansatör sanal değerin birisi pzitif diğeri ise aynı eksen üzerinde negatif de lmaktadır. Örnek5.7de paralel devresini açıklamalı çözümünü yapalım. 8

14 AENAİF AKM DEVE ANAİİ pak Örnek5.7 Şekil5.deki paralel devresine 5sinwt gerilimi uygulanmaktadır. Kl akımlarını, devrede harcanan gücü ve direnç üzerinden geçen akımı ampermetre ile ölçüldüğünde göstereceği değeri bulunuz. + 5sinwt V hm 0 hm 5 hm Şekil5. paralel devresi Çözüm5.7 Kmpleks sayılarla çözüm yapılacak lmasından dlayı kaynağın gerilimi dikkat edilirse u5sinwt larak verilmiştir. Bu kmpleks gösterimde eşiti tepe değeri ve açı değeri larak yazılır. 5 0 V Burada eğer gerilim değeri u0sin(wt+45 verilmiş lsaydı bu durumda aşağıdaki şekilde yazılırdı V bu açıklamalardan snra örnekte çözümü istenen kl akımları hm kanunundan çözülür. 5V 5V, 5A j0, 5A 0, 5 90 A Ω j j0ω j 5V j5ω ja 90 A Güç, kaynaktan çekilen akım ile gerilimin çarpımı devrede harcanan gücü verdiği güç knusunda açıklanmıştı. Buna göre bu devrenin harcadığı gücü bulmak için kaynaktan çekilen akımı bulmak gerekir. Bu akımı da kirşfun akımlar kanunundan faydalanılarak bulabiliriz. 0, 5 + +, 5A + ( j0, 5 + ( ja, 5A + j0, 5A (, 5A + ( 0, 5A tan, 5, 55 3, A 9

15 AENAİF AKM DEVE ANAİİ pak Devrenin görünür güç bulunarak, devre harcanan aktif ve reaktif güç bulunur. S. 5V., 55 3,, 75( 0, 98 + j096,, 5 + A, 75 3, VA, 75(cs3, j, 5VA + j sin3, Görünür gücün kmpleks sayıların dik bileşen şeklideki gösteriminde reel değer aktif (P, wattlı gücü, sanal değer ise reaktif (Q, VAr gücü verir. Bu açıklamalardan snra P,5W ve Q,5 VAr bulunur. Aktif güç direnç elemanı üzerinde harcanan güçtür. Direnç üzerindeki akımın ölçü aleti ile ölçüldüğünde, ampermetre efektif akımı ölçeceğinden bulunan akımı maksimum akımdır. Onun için bulunan akımın efektif değeri 0,707 ile çarpılması gerekir. Ölçü aletinin göstermesi gereken akımı aşağıdaki bulunan değer lması gerekir., 5A bu değer maksimum değer 0, 707.(, 5A, 76A ölçü aletinin göstermesi gereken değer,76 A dir. 0