OTOKORELASYONLU VERĐLERDE ĐSTATĐSTĐKSEL KALĐTE KONTROL ŞEMALARININ HAZIRLANMASI

Transkript

1 OTOKORELASYONLU VERĐLERDE ĐSTATĐSTĐKSEL KALĐTE KONTROL ŞEMALARININ HAZIRLANMASI Funda YILDIRIM Đlker KARTAL Çukurova Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü ÖZET Otokorelasyonlu verilerin nasıl kontrol edileceği son yıllarda çok sık tartışılmıştır. Bu çalışmada otokorelasyonlu verilerin kontrol şemalarına uygulandığında ortaya çıkan sorunlar açıklanmıştır. Meydana gelen sorunların en önemlisi proses kontrol altında olmasına rağmen yanlış sinyalleri artırmasıdır. Otokorelasyonlu veriler kontrol şemalarında yanlış sinyallere neden olmaması için öncelikle otokorelasyonun ortadan kaldırılması gerekmektedir. Bu çalışmada, otokorelasyonun kaldırılması için SPC-PI+ paket programı, kontrol şemalarının hazırlanmasında Statistica paket programı kullanılmıştır. Anahtar kelimeler: Otokorelasyonlu prosesler, Kontrol şemaları, Đstatistiksel proses kontrol. ABSTRACT The matter of how to monitor an autocorrelated data has been discussed frequently in recent years. In this article, problems arising in the application of control charts with autocorrelated data have been investigated. It has been observed that although the process is statistically in-control, false alarms might happen. Thus, for statistical process control to run sound and be less biased, the autocorrelation in data has to be removed. In this work, SPC-PI+ software is used to eliminate autocorrelation and Statistica software is used for control charting. Keywords: Autocorrelated process, Control charts, Statistical process control. GĐRĐŞ Geleneksel Đstatistiksel Proses Kontrol Yöntemleri istatistiksel olarak bağımsız olan proses verileri varsayımına dayalıdır. Buna rağmen proses verileri daima her biri diğerinden bağımsız olmazlar. Bu nedenle veriler otokorelasyonlu olmaktadır. Otokorelasyonlu veriler genellikle kimyasal proseste (sürekliliğin olduğu bir proses) meydana gelmektedir. Diğer bir durumda ise proses ortalaması deterministik fonksiyon olduğunda (Örneğin: Lineer ya da lineer olmayan trend) veriler otokorelasyonlu olacaktır. Otokorelasyonun varlığı kontrol şemalarına etki etmektedir. Đlk etki, meydana gelen yanlış sinyallerin sıklığının artmasıdır. Başka bir deyişle kontrol şemalarının kontrol içi ARL(Ortalama Koşum Uzunluğu)'leri

2 belirlenenden daha küçüktür. Bu durum, otokorelasyonun çok düşük seviyelerinde bile kontrol şemalarında çok kötü karışıklıklara neden olmaktadır. Bu karışıklıklar proses kontrol durumu hakkında yanlış kararlar ile sonuçlanır. Shewhart ve CUSUM kontrol şemaları genellikle otokorelasyon çok büyük olduğu zaman otokorelasyonlu verilere aşırı duyarlılık gösterebilirler. Birçok yanlış sinyal otokorelasyonun makul seviyelerinde dahi meydana gelebilir. Otokorelasyonlu veriler için literatürde farklı yaklaşımlar önerilmiştir. Đlk yaklaşım kontrol şeması limitlerinin değiştirilmesidir. Đkinci yaklaşım, otokorelasyonu ortadan kaldırmak ve artıklar olarak kontrol şemalarına uygulamaktır. Bu çalışmada, tahmin hatalarını minimum yapan λ ağırlık faktörünün bulunması, istatistiksel proses kontrol şemalarının hazırlanması, proses kontrolünün sağlanması ve otokorelasyonsuz durumda hazırlanan kontrol şemaları ile karşılaştırılması amaçlanmıştır. LĐTERATÜR Montgomery ve Mastrangelo (1991), orijinal verilerde otokorelatif yapı modellemesine ve artıkların kontrol şemalarına uygulanmasına dayanmaktadır. Yashchin (1993), temel veriler seri korelasyonun varlığını gösterdiği zaman CUSUM kontrol şemasının koşum uzunluğu karakteristikleri değerlendirmesi ile ilgilenmiştir. Zhang ve Pollard (199), otokorelasyonlu veriler için geleneksel zaman serileri otokorelasyonu modellemiştir. Reynolds, Arnold ve Baik (199), daha önce alınmış olan son gözlemde çok etkili olan VSI (Değişken Numune Aralığı) şemaları geliştirmişlerdir. VSI şemaları proses değişikliklerini FSI (Sabit Numune Aralığı) şemalarından daha hızlı bulduğunu göstermişlerdir. Hu ve Roan (199), literatürde önerilen en iyi yaklaşım otokorelasyonu yok etmek için zaman serileri modellerini kullanmak ve sonra artıklar ya da tahmin hatalarına kontrol şemalarını uygulamak olduğunu göstermiştir. Schmid ve Schöne (1997), Schmid otokorelasyonlu prosesler için klasik EWMA (Üstel Ağırlıklı Kayan Ortalama) kontrol şemasını genişletmiştir. Zhang (199), ortalama değişikler büyük olmadığı ve otokorelasyon çok güçlü olmadığı zaman yeni şema artık şemasından ve diğer şemalardan daha iyi performans göstermiştir. KONTROL ŞEMALARININ HAZIRLANMASI Kontrol şemalarının hazırlanmasında kullanılan limitler aşağıda verilmiştir. x Kontrol Şemaları için limitler: ÜKL = x + 3 R d n 3, OÇ = x, AKL = x - R d n d = sabit değer R = aralık ortalaması n= örneklem büyüklüğü R Kontrol Şemaları için kontrol limitleri: ÜKS = R + 3 σ R = R + 3d 3 d R, OÇ = R, AKS = R - 3 R σ R = R - 3d 3 d

3 R = aralık ortalaması, d ve d 3 = sabit değer, σ R = aralık tahmini standart sapma değeri EWMA Kontrol Şemaları için kontrol limitleri: ÜKS = X λ + 3 σ, AKS = ( λ)n X 3 σ λ ( λ)n λ = ağırlık faktörü, σ = standart sapma n = örneklem büyüklüğü CUSUM kontrol şeması istatistikleri: S 1 = (x 1 -k), S = (x 1 -k) + (x -k),...,s r = ( xi k) = Sr 1 + ( xr k) r i= 1 k = referans değeri, S r = birikimli toplam x, R ve EWMA kontrol şemalarında uyarı sınırları: ÜUS = 1,5 σ AUS = - 1,5 σ olarak alınmıştır. Bu çalışma için gerekli olan kimyasal prosesten alınan viskosite ölçüm değerleri (Montgomery, Johnson ve Gardiner (199)) aşağıda Tablo1 de verilmiştir. Viskosite kimyasal prosesin önemli bir kalite karakteristiği olduğu için bu değerler seçilmiştir. Tablo 1. Viskosite Ölçüm Değerleri Gözlem Ölçüm Gözlem Ölçüm Gözlem Ölçüm Gözlem Ölçüm No Değeri (X t ) No Değeri (X t ) No Değeri (X t ) No Değeri (X t ) 1 9,33 33, 51 7,99 7, 19,9 7 3,15 5,13 77,9 3 5,7 7, 53 9, 7, 9, 9 33, 5 3,3 79, 5 31,3 3 3,5 55,1,7 3, 31 9, 5,7 1, ,5 3, 57 1,,5 7,5 33 3, 5 1,71 3 3,7 9,75 3 9, ,7 3, 1 3, ,,71 5, 11,9 3 3,9 1 33,1 1,57 1,5 37,11 3,5 7 5,3 13, , ,7 31,79 1, ,71 33, 9 3,5 15 7,79, 5 9,9 9 3, 1 7,3 1 3,3 5,1 91,1 17 9,9 3, 7 7,3 9 19,3 1,1 3 9,39 3,1 93,3 19,5 3,5 9 9, 9 31,53 3,1 5 3, 7, 95 31,95 1 3,,1 71 3,1 9 31, 3,5 7 9,9 7 31,9 97 9,1 3 3,1 3, ,7 9 3,15 31, 9 3,3 7 9, 99,7 5 3,3 5 31, ,9 1 3, Viskosite verilerine göre statistica paket programında hazırlanan kontrol şemaları aşağıda gösterilmiştir.

4 Viskosite Verileri X-Ortalama Kontrol Semasi: Ortalama:.57 Sigma:.1 ÜKL: ÜUS: 3. OÇ:.57 AUS:.9 AKL:.9 1 Xi Şekil 1. Viskosite Verileri Đçin x Kontrol Şeması R Kontrol Semasi: Ortalama: Sigma:. ÜKL: 1.9 ÜUS:.559 OÇ: AKL:. 1 Viskosite Verileri Şekil. Viskosite Verileri Đçin R Kontrol Şeması

5 5 CUSUM KONTROL SEMASI (Viskosite verileri için) Ortalama:.57 Sigma: Şekil 3. Viskosite Verileri Đçin CUSUM Kontrol Şeması EWMA KONTROL SEMASI: Ortalama:.57 Sigma: ÜKL: ÜUS: OÇ:.57 AUS:7.17 AKL: Viskosite Şekil. Viskosite Verileri Đçin EWMA Kontrol Şeması (λ =,1)

6 EWMA KONTROL SEMASI: Ortalama:.57 Sigma: ÜKL: 3.71 ÜUS: 3.35 OÇ:.57 AUS:.53 AKL: Viskosite Şekil 5. Viskosite Verileri Đçin EWMA Kontrol Şeması (λ =,) 5 EWMA KONTROL SEMASI: Ortalama:.57 Sigma:.1333 ÜKL: ÜUS: OÇ:.57 AUS:.371 AKL: Viskosite Verileri Şekil. Viskosite Verileri Đçin EWMA Kontrol Şeması (λ = 1) Bu kontrol şemalarından elde edilen sonuçlar aşağıda gösterilmiştir. x Şeması : Şekil 1'deki Şemada, tane kontrol dışına (ÜKL: 37,115, AKL:,9) çıkan değer vardır. Uyarı sınırlarının (ÜUS: 3,, AUS:,9) dışına çıkan değer sayısı 5 tanedir.

7 R Şeması CUSUM Şeması EWMA Şeması (λ=,1) EWMA Şeması (λ=,) EWMA Şeması (λ=1) : Şekil 'deki şemada, ÜUS:,559 dışına çıkan 1 değer vardır. : Şekil 3'teki şemada, tane kontrol dışı değer vardır. : Şekil 'teki şemada, Uyarı sınırları (ÜUS: 9,991 ve AUS: 7,17) dışında 17 değer vardır. : Şekil 5'teki şemada, Uyarı sınırları (ÜUS: 3,35 ve AUS:,53) dışında 1 değer vardır. : Şekil 'daki şemada, Uyarı sınırları (ÜUS: 3,77 ve AUS:,371) dışında 13 değer vardır. Şekil, Şekil, Şekil 5 ve Şekil 'da gösterilen kontrol şemalarında kontrol sınırları dışına çıkan değer olmamasına rağmen R Kontrol Şemasında art arda gelen 9 gözlem, EWMA (λ=.1) kontrol şemasında art arda gelen gözlemin 1 tanesi, EWMA (λ=.) kontrol şemasında art arda gelen gözlemin 17 tanesi ve EWMA (λ= 1) kontrol şemasında art arda gelen gözlem merkez değerine (OÇ) göre aynı tarafta kalmaktadır. Bu sonuçlar prosesin her an kontrol dışına çıkabileceği anlamına gelmektedir. Verilerde otokorelasyon olup olmadığı zaman serileri analizi ile belirlenir. Otokorelasyonun Đncelenmesi Veriler arasındaki ilişkinin büyüklüğü, OTOKORELASYONUN BELĐRLENMESĐ n k ( xt x)( xt+ k x) t= 1 rk =, k =,1,..., K n ( x x) t= 1 t K n-1'dir. Değişik örneklerin otokorelasyon değerleri "r k ", ile 1 arasında bir değer alır. Eğer "r k " değeri; r k,5 ise zayıf otokorelasyon,5 r k,7 ise orta derecede otokorelasyon r k >,7 ise güçlü otokorelasyon vardır. Statistica paket programı ile elde edilen otokorelasyon fonksiyonu grafiği Şekil 7'de gösterilmiştir. Viskosite verileri için otokorelasyon fonksiyonu değerlerine bakıldığı zaman pozitif bir otokorelasyon olduğu görülmektedir. Verilerde pozitif otokorelasyonun olması kontrol şemalarında yanlış sinyalleri arttırır. Bu nedenle otokorelasyonun ortadan kaldırılması gerekmektedir. Bu çalışmada otokorelasyonlu veriler için SPC-PI+ paket programı kullanılacaktır. Bu paket programında mantık otokorelasyonu ortadan kaldırmak için zaman serileri analizi yardımı ile tahmin hatalarını minimum yapan λ ağırlık faktörünü bularak tahmini değerleri ve artıkları bulmaktadır.

8 Otokorelasyon Fonksiyonu Viskosite rk kore. S.E Q p Şekil 7. Viskosite Verilerinin Otokorelasyon Fonksiyonu SPC-PI+ PAKET PROGRAMI YARDIMI ile TAHMĐN HATALARINI MĐNĐMUM YAPAN λ DEĞERĐNĐN BULUNMASI SPC-PI+ paket programı yardımı ile tahmin hatalarını minimum yapan ağırlık faktörü hesaplanarak tahmini değerler ve artıkları elde edilir. Paket program yardımı ile elde edilen ağırlık faktörü aşağıda verilmiştir. EWMA Tahmini λ-değeri =.97, Tahmin hatalarının kareleri toplamı = Yukarıda hesaplanan λ değeri SPC-PI+ paket programı yardımı ile 9 adımda hesaplanan değerdir. Tahmin hatalarının minimumu olmaktadır. Bu değeri veren λ değeri de.97 olmaktadır. Literatürde tahmini değerlerin artıkları için kontrol şemalarının hazırlanması önerilmektedir. Çünkü elde edilen tahmini değerlerin artıkları korelasyonsuzdur. Korelasyonun ortadan kaldırılması veriler arasındaki ilişkinin olmadığı anlamına gelir ve kontrol şemaları iyi sonuç verir. EWMA tahmini değerlerinin bulunmasında kullanılan formül aşağıda gösterilmiştir. Z i = λx i+(1-λ)z i-1 i=1,,...,n Artıkların elde edilmesinde kullanılan formül : e i = X i - Z i Elde edilen tahmini değerlerin artıkları için hazırlanan kontrol şemaları aşağıda gösterilmiştir.

9 EWMA TAHMiNi ARTIKLARI X-Ortalama KONT ROL SEMASI: Ortalama:.3 Sigma: 3.77 ÜKL: ÜUS: OÇ:.3 AUS:-5.7 AKL: Şekil. EWMA Tahmini Artık Değerleri Đçin x Kontrol Şeması 1 1 R KONT ROL SEMASI: Ortalama:.9515 Sigma: 3.11 ÜKL: EWMA TAHMiNi ARTIKLARI 1 1 ÜUS: 9.13 OÇ:.9515 AKL:. Şekil 9. EWMA Tahmini Artık Değerleri Đçin R Kontrol Şeması

10 15 CUSUM KONTROL SEMASI: Ortalama:.9 Sigma: Şekil 1. EWMA Tahmini Artık Değerleri Đçin CUSUM Kontrol Şeması EWMA KONT ROL SEMASI: Ortalama:.9 Sigma:.139 ÜKL:.919 ÜUS: 1.7 OÇ:.9 AUS: AKL: Şekil 11. EWMA Tahmini Artık Değerleri Đçin EWMA Kontrol Şeması (l=,1)

11 EWMA KONT ROL SEMASI: Ortalama:.9 Sigma:.139 ÜKL: ÜUS:.131 OÇ:.9 AUS: -.3 AKL: -.75 Şekil 1. EWMA Tahmini Artık Değerleri Đçin EWMA Kontrol Şeması (l=,) 15 1 EWMA KONT ROL SEMASI: Ortalama:.9 Sigma:.139 ÜKL: ÜUS:. OÇ:.9-5 AUS: AKL: Şekil 13. EWMA Tahmini Artık Değerleri Đçin EWMA Kontrol Şeması (l=1) EWMA tahmini değerlerinin artıkları için hazırlanan kontrol şemalarından elde edilen sonuçlar aşağıda gösterilmiştir. x Kontrol Şeması : Şekil 'de uyarı sınırları (ÜUS:5,773 ve AUS:-5,7)dışına çıkan 19 değer vardır. R Kontrol Şeması : Şekil 9'da uyarı sınırı (ÜUS:9,13) dışına çıkan 1 değer vardır. CUSUM Kontrol Şeması : Şekil 1'da kontrol dışına çıkan değer yoktur. EWMA Kontrol Şeması (λ=,1) : Şekil 11'de kontrol ve uyarı sınırları dışına çıkan değer yoktur. EWMA Kontrol Şeması(λ=,) : Şekil 1'de uyarı sınırları (ÜUS:,131 ve AUS:-,3) dışına çıkan 1 değer vardır.

12 EWMA Kontrol Şeması(λ=1) : Şekil 13'te uyarı sınırları (ÜUS:, ve AUS:-,137) dışına çıkan 13 değer vardır. EWMA tahmini artıkları için hazırlanan kontrol şemalarını incelediğimiz zaman proses kontrol altında olduğu halde her an kontrol dışına çıkabileceği durumlar aşağıda gösterilmiştir. x kontrol şemasında, sürekli azalış gösteren nokta bulunmaktadır. R kontrol şemasında, art arda gelen ve 11 gözlem merkez değere göre aynı tarafta kalmaktadır. EWMA (λ=,1) kontrol şemasında, merkez değer etrafında toplanma görülmektedir. EWMA (λ=,) kontrol şemasında, art arda gelen gözlem sürekli artış göstermektedir. EWMA (λ=1) kontrol şemasında, art arda gelen nokta sürekli azalış göstermektedir. BĐR BAŞKA YAKLAŞIM Zaman Serileri Analizi ile Uygun Modelin Belirlenmesi Uygun modelin belirlenmesi için zaman serileri modellemesinden yararlanılmıştır. Zaman serisi modellemesi yapılırken Statistica paket programından yararlanılmıştır. Modelin belirlenmesinde kısmi otokorelasyon grafiğine bakılarak karar verilir. rk korr KISMi OTOKORELASYON FONKSiYONU Viskosite S.E Şekil 1. Viskosite Verileri Đçin Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu Otokorelasyon grafiği sinüs eğrisi eğilimi gösterdiği için modelimiz otoregresif (AR) bir model olması gerekmektedir. Bu model belirlendikten sonra modelimizin derecesinin ne olacağına karar verilir. Model derecesi kısmi otokorelasyon fonksiyonunda değerlerin hangi gecikmeden sonra sıfıra doğru düşme eğilimi gösterdiğine bakılarak belirlenir. Viskosite değerlerinin kısmi otokorelasyon grafiğinde değerler ikinci gecikmeden sonra sıfıra doğru düşme eğilimi gösterdiğinden model derecemiz olmalıdır. O halde, bu veriler

13 için hipotezimiz verilere ARIMA(,,) bir başka deyişle AR() modeli uygundur hipotezidir. Bu model için katsayılar Yule-Walker denklemi olarak bilinen formülden hesaplanır. Bu formül aşağıda gösterilmiştir. φ 1 = r 1 (1-r ) / (1-r 1 ) ve φ = (r - r 1 ) / (1-r 1 ) Buradaki r 1 ve r 'ler otokorelasyon fonksiyonunun birinci ve ikinci gecikmeleridir. Bu gecikmeler grafikten alınarak aşağıda gösterilmiştir. r 1 =.9 ve r = -.95 bu değerlerden faydalanarak φ 1 ve φ Yule-Walker denklemi kullanılarak ve Statistica Programı kullanılarak aşağıdaki gibi bulunur. φ 1 =.717, φ = -.35 AR() modeli için: -1 < φ < 1, φ + φ 1 < 1, φ - φ 1 < 1 koşulları da sağlamaktadır. Bu koşulları sağladıktan sonra ξ sabitini bulmak için aşağıdaki formül kullanılır. ξ µ = E(x t ) = 1 φ1 φ bu formülden ξ sabiti çekilirse, ξ = E(x t )(1- φ 1 - φ ) formülü elde edilir. Bu formülde değerler yerine koyulursa; ξ =.75( ) =.15 Bu sonuçlara göre modelimiz aşağıdaki gibi olacaktır; x t = x t x t- + ε t şeklinde olacaktır. Şekil 15 Statistica paket programı yardımı ile zaman serisi modellemesi yapılarak elde edilen model artıkları için otokorelasyon fonksiyonu ve Şekil 1 Kısmi otokorelasyon fonksiyonu grafiklerini göstermektedir. Otokorelasyon Fonksiyon grafiğine bakıldığı zaman verilerde otokorelasyon değerleri kontrol limitleri arasında kaldığı için veriler otokorelasyonlu değildir. Aşağıda verilen grafiklere göre verilere AR() diğer bir adıyla ARIMA(,,) modeli uygun olabilir. Bu modelin uygun olup olmadığını anlamak için uygunluk testi yapılması gerekmektedir.

14 Otokorelasyon Fonksiyonu Viskosite : ARIMA (,,) ARTIKLARI; rkkorr. S.E Q p Şekil 15. ARIMA (..) Artıklarının Otokorelasyon Fonksiyonu Grafiği rk Korr KISMi OTOKORELASYON FONKSiYONU Viskosite : ARIMA (,,) ARTIKLARI; S.E Şekil 1. ARIMA (..) Artıkları Đçin Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu Grafiği Uygunluk Testi Seçilen modelin uygun olup olmadığı χ testi ile aşağıda test edilmiştir, Artıkların χ değeri, Q = n Σ r k () κ=1,,3,...,m formülü ile hesaplanır. χ değeri Şekil 1 teki Q değeridir. Bu değer Q = 1,5 dir. χ κ-p-q değerinde κ=5 (genellikle n/ alınır), p= ve q= dır. χ.5, değeri χ tablosuna bakıldığı zaman χ.5, = 33.9 değeri bulunur. Bu değere göre bizim bulduğumuz Q değeri şekildeki değerden küçük olduğu için seçilen model uygundur hipotezini kabul ederiz. Bir başka deyişle değerler AR() veya ARIMA(,,) modeline uygundur.

15 Uygun ARIMA modeline göre bulunan yeni değerlerin artıkları için kontrol şemalarının hazırlanması: X-Ortalama KONT ROL SEMASI: Ortalama:.31 Sigma: MODEL ARTIKLARI ÜKL: ÜUS:.9 OÇ:.31 AUS: -.5 AKL: Şekil 17. ARIMA (..) Model Artıkları için X Kontrol Şeması R KONT ROL SEMASI: Ortalama: 3.53 Sigma: ÜKL: MODEL ARTIKLARI ÜUS: 7.37 OÇ: 3.53 AKL:. Şekil 1. ARIMA (..) Model artıkları için R Kontrol Şeması

16 MODEL ARTIKLARI CUSUM KONT ROL SEMASI: Ortalama:.31 Sigma: Şekil 19. ARIMA (..) Model Artıkları için CUSUM Kontrol Şeması 1 EWMA KONT ROL SEMASI: Ortalama:.31 Sigma: ÜKL:.511 ÜUS: 1.17 OÇ:.31 AUS: -1. AKL: Şekil. ARIMA (..) Model Artıkları için EWMA (λ =,1) Kontrol Şeması

17 1 EWMA KONT ROL SEMASI: Ortalama:.31 Sigma: ÜKL: ÜUS: 1.7 OÇ:.31 AUS: AKL: Şekil 1. ARIMA (..) Model Artıkları Đçin EWMA (λ =,) Kontrol Şeması EWMA KONT ROL SEMASI: Ortalama:.31 Sigma: ÜKL: ÜUS:.13 OÇ:.31 AUS: -.75 AKL: Şekil. ARIMA (..) Model Artıkları Đçin EWMA (λ = 1) Kontrol Şeması ARIMA (..) artıkları için hazırlanan kontrol şemalarından elde edilen sonuçlar aşağıda gösterilmiştir. X kontrol Şeması R Kontrol Şeması CUSUM Kontrol Şeması EWMA Kontrol Şeması ( λ : Şekil 17'de uyarı sınırları (ÜUS:,9 ve AUS:-,5) dışına çıkan 1 değer vardır. : Şekil 1'de kontrol dışına (ÜKL:11,379) çıkan 1 değer, uyarı sınırı (ÜUS:7,37) dışına çıkan değer vardır. : Şekil 19'da kontrol Dışına çıkan değer vardır. : Şekil 'de uyarı sınırları (ÜUS:1,17 ve AUS:-1,) dışına çıkan 1 değer vardır.

18 =, 1 ) EWMA Kontrol : Şekil 1'de uyarı sınırları (ÜUS:1,77 ve AUS:-1,55) dışına çıkan 11 değer Ş vardır. e m a sı ( λ =. ) EWMA Kontrol Şeması : Şekil 'de uyarı sınırları (ÜUS:,13 ve AUS:-,75) dışına çıkan 1 değer ( vardır. λ = 1 ) ARIMA (..) model artıkları için hazırlanan kontrol şemalarını incelediğimiz zaman proses kontrol altında olduğu halde her an kontrol dışına çıkabileceği durumlar aşağıda gösterilmiştir. R kontrol şemasında kontrol dışına çıkan bir gözlem vardır ayrıca art arda gelen 7, ve 13 gözlem merkez değere göre aynı tarafta kalmaktadır. EWMA (λ=,1) kontrol şemasında art arda gelen 1,1,15 ve 1 gözlem EWMA (λ=,) kontrol şemasında art arda gelen 7,1,13,15 ve 17 gözlem merkezi değere göre aynı tarafta kalmaktadır. SONUÇ Otokorelasyonlu veriler için hazırlanan kontrol şemalarında, SPC-PI+ paket programı ile elde edilen EWMA Tahmini artıkları için hazırlanan R, CUSUM, EWMA (λ=,1), EWMA (λ =,) ve EWMA (λ = 1) kontrol şemaları daha iyi sonuç vermektedir. EWMA (λ =,) ARIMA (..) model artıkları için hazırlandığında uyarı sınırları dışına çıkan değer daha az olmasına rağmen bu şemada daha çok gözlem merkez değerine göre (OÇ) aynı tarafta kalmaktadır. Viskosite verileri için hazırlanan EWMA (λ =,) kontrol şeması ile EWMA tahmini değerleri için hazırlanan EWMA (λ =,) kontrol şemasında aynı sayıda uyarı sınırları dışına çıkan değer olmasına rağmen EWMA tahmini değerlerine göre hazırlanan şemada daha az gözlem merkez değerine göre aynı tarafta kaldığı için daha iyi sonuç vermektedir. Bu sonuç prosesin her an kontrol dışına çıkabileceğini göstermektedir. X-ortalama kontrol şeması otokorelasyonlu verilerde etkili bir sonuç çıkarmamaktadır. Bunun

19 için otokorelasyonlu verilerde genellikle CUSUM ve EWMA kontrol şemasının kullanılması önerilir. Otokorelasyonlu veriler için kontrol şemalarının hazırlanmasında artıklar otokorelasyonsuz olmasından dolayı daha iyi sonuç verir. Arındırma sırasında yanlış model seçilmesi durumunda kontrol şemalarında kontrol dışına çıkan değer çıkma olasılığı yüksek olacak ve seçilen yanlış model prosesi tam olarak temsil etmediğinden proses kontrol altında olmayacaktır. KAYNAKÇA 1. AMIN, R. W. and ETHRIDGE, R. A., A Note Individual and Moving Range Control Charts, Journal Of Quality Technology, Vol:3, No:1, pp:7-75, January FALTIN, F. W. and MASTRANGELO, C. M., and RUNGER, G. C., Considerations in the Monitoring Of Autocorrelated and Independet Data, Journal Of Quality Technology, Vol:9, No:, pp:131-13, April GRANT, L. E. and LEAVENWORTH, S. R., Statistical Quality Control, The McGraw - Hıll Companies, Inc.,199.. HU, S. J. and ROAN, C., Change Patterns Of Time Series-Based Control Charts,Journal Of Quality Technology, Vol:, No:3, pp:3-31, July KAYIM, H., Đstatistiksel Ön tahmin Yöntemleri, Hacettepe Üniversitesi ĐĐBF Yayınları, No:11, Ankara MONTGOMERY, D. C., Introduction to Statistical Quality Control, Arizona State University, MONTGOMERY, D. C. and MASTRANGELO, C. M., Some Statistical Process Control Methods For Autocorrelated Data, Journal Of Quality Technology, Vol:3, No:3, pp: , July MONTGOMERY, D. C., JOHNSON, L. A. and GARDINER, J. S., Forecasting & Time Series Analysis, Second Edition, McGraw - Hill Inc., MURDOCH, J., Control Charts, The Mac Millian Press LTD., OKTAY, E., Kalite Kontrol Grafikleri, Atatürk Üniversitesi ĐĐBF, REYNOLDS, M. R. and ARNOLD, J. C.and BAIK, J. W., Variable Sampling Interval Charts in The Presence Of Correlation, Journal Of Quality Technology, Vol:, No:1, pp:1-3, January SCHMID, W. and SCHÖNE, A., Some Properties Of The EWMA Control Chart in The Presence Of Autocorrelation, The Annals Of Statistics, Vol:5, No:3, pp:177-13, WADSWORTH, H., M., and GODFREY, B., A., and STEPHENS, K., S., Modern Methods For Quality Control and Improvement, J. Wiley & Sons, N.Y., WIEL, S. A. W., Monitoring Processes That Wander Using Integrated Moving Average Models, Technometrics, Vol:3, No:, pp: , May YASHCHIN, E., Performans Of CUSUM Control Schemes For Serially Correlated Observations, Technometrics, Vol:35, No:1, pp:37-59, February ZHANG, N. F., A Statistical Control Chart For Stationary Process Data, Technometrics, Vol:, No:1, pp:-3, February ZHANG, N. F. and POLLARD, J. F., Analysis Of Autocorrelations in Dynamic Processes, Technometrics, Vol:3, No:, pp:35-3, November 199.