1. BÖLÜM DÜZLEM GEOMETRİNİN TEMEL KAVRAMLARI İÇİNDEKİLER
|
|
- Meryem Birsen
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 1. BÖLÜM DÜZLEM GEOMETRİNİN TEMEL KAVRAMLARI İÇİNDEKİLER 1. TANIMSIZ KAVRAM, AKSİYOM, TEOREM VE İSPAT NE DEMEKTİR? 2. NOKTA, DOĞRU, DÜZLEM VE UZAY KAVRAMLARI * Nokta, Doğru ve Düzlem * Doğru Parçası * Işın KONUNUN ÖZETİ ARAŞTIRMALAR 3. DOĞRU PARÇALARININ EŞLİĞİ, İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK VE ARADA OLMA * Doğru Parçalarının Eşliği * İki Nokta Arasındaki Uzaklık ve Arada Olma KONUNUN ÖZETİ 4. NOKTA, DOĞRU VE DÜZLEM ARASINDAKİ İLİŞKİLER * Kesişen Doğrular * Paralel Doğrular * Bir Doğru ile Bir Düzlemin Birbirine Göre Durumları * İki Düzlemin Birbirine Göre Durumları KONUNUN ÖZETİ ARAŞTIRMALAR DEĞERLENDİRME SORULARI
2 GEOMETRİ 1 BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI Bu bölümü çalıştığınızda ; * Tanımsız kavram, aksiyom, teorem ve ispat terimlerini kavrayacak, * Nokta, doğru, düzlem ve uzayı kavrayacak, * Doğrusal ve düzlemsel noktaları, düzlemsel ve uzaysal doğru demetlerini öğrenecek, * Doğru parçası ve ışını tanımlayıp, sembolik gösterimlerini öğrenecek, * Doğru parçalarının eşliğini tanımlayacak, * Sayı doğrusunda verilen farklı üç noktadan arada olanı bulabilecek, * İki nokta arasındaki uzaklığı bulabilecek, *Verilen bir doğru parçasını istenen bir oranda bölen noktanın koordinatlarını bulabilecek, * Bir doğru ile bir düzlemin durumlarını belirtebilecek, * Kesişen ve paralel doğruları, bunların düzlemle olan ilişkilerini, ilgili aksiyom ve teoremleri öğrenecek, * İki düzlemin durumlarını belirtebileceksiniz. NASIL ÇALIŞMALIYIZ? * Geometrik kavramlarla, çevrenizdeki eşyalar arasında ilişki kurmaya çalışınız. * Konunun işlenişinde verilen örnekleri siz de çözüp tekrar ediniz. * Konu işlenişinde ve sonunda verilen araştırma ve değerlendirme sorularını yanıtlayınız. *Çalışırken takıldığınız noktalarda, ilgili konuyu yeniden gözden geçiriniz. 8
3 1. TANIMSIZ KAVRAM AKSİYOM, TEOREM VE İSPAT NE DEMEKTİR? Bir konuyu anlatırken kullandığımız sözcük ve terimler birer kavramdır. Örneğin; ağaç, yeşil, kuş, bulut, tabiat,... sizce belli anlamlarda kullanılan kavramlardır. Bu sözcüklerden birini, örneğin ağaç sözcüğünü ele alalım. Ağaç nedir? sorusuna verilebilecek uygun yanıtlardan birisi Yaprakları ve meyvesi olan bir bitki çeşididir. olabilir. Verilen bu yanıtta geçen kavramlarla ilgili olarak Yaprak nedir?, Meyve nedir?, Bitki nedir? sorularına verilebilecek yanıtlar içinde de açıklanması gereken yeni kavramlar bulunur. Bu şekilde kavramları açıklamaya devam edersek bir yere gelir, açıklayamayacağımız bir kavramla karşılaşırız. Anlamı en azından sezgisel olarak bilinen veya kabullenebilen kavramlar, tanımlanmaya ihtiyaç duyulmadan alınır. İşte ilk dayanak olarak alınan böyle kavramlara tanımsız kavramlar denir. Şimdiye kadar geometrik kavramlardan açıları, çokgenleri, çemberi, uzayda cisimleri ve bunlara ilişkin alan ve hacim bağıntılarını öğrendiniz. Şimdi bu kitapta bazı önerme ve bağıntıların varlığı ile ilgili ispatlara da yer vereceğiz. Bu nedenle teorem, ispat ve aksiyom kelimeleri ile sık sık karşılaşacağız. Doğruluğu ispatlanan önermelere teorem denir. p ve q birer önerme olmak üzere bir teorem sembolik olarak p q biçiminde ifade edilebilir. Burada p önermesine hipotez, q önermesine hüküm denir. Bir teoremi ispatlarken, yani bir önermenin doğruluğunu gösterirken, önceki teoremlerden yararlanacağız. Önceki teoremlerin ispatı da daha önceki teoremlere dayanacağından tıpkı tanımsız kavramlarda olduğu gibi ilk önermeleri ispatsız olarak kabul edeceğiz. Doğruluğu ilk baştan kabul edilen böyle önermelere aksiyom diyeceğiz. Aksiyom, doğruluğu sezgisel olarak bilinen ve ispatsız olarak kabul edilmiş olan temel gerçeklerdir. Rastgele bir önerme aksiyom olarak alınamaz. Genel olarak aksiyomlar: * Basit ve anlaşılır olmalıdır. * Olabildiğince az sayıda olmalıdır. * Fazlalık içermemelidir. 9
4 * Birbirlerinden bağımsız olmalı, biri diğerinden elde edilmemelidir. * Doğurdukları sonuçlar birbirleriyle çelişmemelidir. * Birbirini tamamlayıcı olmalı ve ele alınan sistemi tam olarak incelemeye yetmelidir. 2. NOKTA, DOĞRU, DÜZLEM VE UZAY KAVRAMLARI Nokta, Doğru ve Düzlem Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramları sizlere ilköğretim sıralarından yabancı olmayan kavramlardır. Bu kavramlarla ilgili olarak aşağıda verilen şekilleri ve bunların farklı ifade ediliş biçimlerini inceleyelim:. Ạ B A d.. nokta A noktası doğru d doğrusu AB doğrusu. d. A B k d doğrusu A noktasından geçer. A noktası d doğrusu üzerindedir. A d B noktası k doğrusu üzerinde değildir. B noktası k doğrusunun dışındadır. k doğrusu B noktasından geçmez. B k Yandaki şekle göre: A noktası, d ve k doğruları üzerindedir. A noktası d ve k doğrularının kesişim noktasıdır. d ve k doğruları A noktasından geçer. d ve k doğruları A noktasında kesişir. d ve k doğrularının ortak noktası Adır. 10
5 Verilen bu ifade biçimlerini, anlatımlarda yeri geldikçe kullanacağız. Nokta, doğru ve üzerinde olma kavramları birer tanımsız kavramdır. Bir doğru, üzerinde bulunan noktalardan oluşur. Benzer olarak; düzlem, üzerinde bulunan nokta ve doğrulardan oluşmuştur, diyebiliriz. Şimdi doğru ve nokta ile ilgili bir aksiyom verelim. Bundan böyle aksiyom ve teorem ifadelerini Aksiyom 1.1, Aksiyom 1.4 ve Teorem 1.2 gibi belirteceğiz. Burada ilk sayı bölüm numarasını, ikinci sayı ise aksiyom ya da teorem sıra numarasını göstermektedir. Aksiyom 1.1 Farklı iki noktayı üzerinde bulunduran bir tek doğru vardır. Aksiyom 1.1 in ifadesini Farklı iki noktadan bir tek doğru geçer. veya Farklı iki nokta bir tek doğru belirtir. ya da Farklı iki noktadan geçen bir tek doğru vardır. biçiminde de ifade edebiliriz. Aşağıdaki şekilde; A d ve B d dir. Bu şekle göre A ve B noktaları d doğrusu üzerindedir. veya d doğrusu A ve B noktalarından geçer. ifadeleri yazılır. d doğrusunu AB doğrusu olarak da adlandırabiliriz. Bir doğru iki noktası ile belirlidir. Şimdi bu anlatılanlar ışığında aşağıdaki aksiyomu verelim: Aksiyom 1.2 Her doğrunun; üzerinde en az iki nokta, dışında ise en az bir nokta vardır. Doğrusal Noktalar Bir doğru üzerinde bulunan noktalara doğrusal noktalar denir. Yandaki şekilde belirtilen noktalardan K, L ve P doğrusal noktalardır. 11
6 ? Yanda verilen şekle göre; a. A, B, C noktaları doğrusal mıdır? b. A, C, D noktaları doğrusal mıdır? c. B noktası AC doğrusu üzerinde midir? Düzlemsel Noktalar Aynı düzlem üzerindeki noktalara düzlemsel noktalar denir. Yandaki şekilde A, B, C, D noktaları düzlemsel noktalardır. A, C, D, K noktaları düzlemsel değildir. Farklı üç nokta daima düzlemseldir.? Örneğin, şekildeki A, D, K noktaları düzlemseldir. Ancak A, D, K noktalarını üzerinde bulunduran düzlem, yukarıdaki düzlemden farklı bir düzlemdir. D, C, K noktaları düzlemsel midir? Yandaki şekilde görüldüğü gibi, aynı bir düzlem içinde olup bir noktadan geçen doğrulara düzlemsel doğru demeti denir. Doğru Parçası Bir doğru üzerinde olan farklı iki nokta A ve B olsun. A ve B noktaları ile bunlar arasında kalan doğruya ait noktaların kümesine AB doğru parçası denir. AB doğru parçası, [AB] ya da [BA] biçiminde sembolle gösterilir. A ve B noktalarına AB doğru parçasının uç noktaları, diğer noktalarına ise iç noktaları ya da kısaca noktaları denir. 12
7 AB doğru parçasının iç noktalarının kümesi (AB) ya da (BA) sembolleri ile gösterilir. Bu küme de doğru parçası olarak adlandırılır. Ancak bu doğru parçasına A ve B uç noktaları dahil değildir. Işın Yanda şekilde görüldüğü gibi bir d doğrusu üzerinde, A ile B noktaları arasında olacak, fakat A ile K arasında olmayacak şekilde bir O noktası belirleyelim. Şekildeki bu düzenlemeye göre A ve K noktaları, O noktasının aynı tarafında, A ve B noktaları ise O noktasının farklı taraflarındadır. Bir doğru üzerinde alınan bir O noktası ile bu noktanın aynı tarafındaki noktaların oluşturduğu kümeye, başlangıç noktası O olan bir ışın denir. Aşağıdaki şekli inceleyiniz. Sıra ile A, K,B bir doğru üzerindeki farklı üç nokta olmak üzere (doğrusal noktalar), [AK ve [KB ışınlarına ters ışınlar denir.? Yukarıdaki şekilde P, O, T noktaları doğrusal noktalardır. [OP ve [OT ışınları ters ışınlar mıdır? 13
8 Taraf kavramı, düzlem üzerinde alınan bir doğruya göre şöyle açıklanır: Bir düzlem üzerinde yandaki şekilde olduğu gibi bir d doğrusu ile bu doğru üzerinde olmayan farklı üç nokta işaretlensin. Bu noktalardan herhangi ikisini birleştiren bir doğru parçası çizildiğinde; a. d doğrusu kesilmiyorsa, noktalara d doğrusunun aynı tarafındaki noktalar denir. Şekilde A ve A noktaları d doğrusunun aynı tarafındadır. b. d doğrusu kesiliyorsa, noktalara d doğrusunun farklı tarafındaki noktalar denir. Şekilde A ve B noktaları d doğrusunun farklı taraflarındadır.? Şekilde başka hangi noktalar d doğrusunun farklı taraflarındadır? Düzlemde, bir doğrunun aynı tarafında bulunan noktaların kümesine yarı düzlem denir. Bir doğru, üzerinde bulunduğu bir düzlemi iki yarı düzleme ayırır. Yandaki şekilde d doğrusu ne I nolu yarı düzleme ne de II nolu yarı düzleme aittir. T noktası d doğrusuna, P noktası I nolu yarı düzleme, K noktası ise II nolu yarı düzleme aittir. 14
9 KONUNUN ÖZETİ *Nokta, doğru, düzlem ve uzay tanımsız kavramlardır. *Doğru, düzlem ve uzay noktalardan oluşmuştur. *Farklı iki noktayı üzerinde bulunduran bir tek doğru vardır. Her doğrunun üzerinde en az iki nokta, dışında ise en az bir nokta vardır. Yani, doğru en az iki noktası ile belirlidir. *Aynı doğru üzerinde olan noktalar, doğrusal noktalar; aynı düzlem üzerinde olan noktalar, düzlemsel noktalardır. *Düzlemde, yalnız bir ortak noktası olan ikiden fazla doğru düzlemsel doğru demeti oluşturur. *Bir doğrunun farklı iki noktası ile bunların arasında kalan noktalarının kümesi, doğru parçası adını alır. Doğru parçası uç noktaları ile adlandırılır. *Doğru üzerinde alınan bir nokta ile bunun aynı tarafında bulunan noktalar kümesine ışın adı verilir. *Bir doğru, üzerinde bulunduğu bir düzlemi iki yarı düzleme ayırır. ARAŞTIRMALAR 1. Herhangi iki nokta daima doğrusal mıdır? 2. Doğrusal olmayan 3 noktadan geçen kaç farklı doğru çizilebilir? 3. Şekilde verilen noktalardan en çok kaç tanesi doğrusaldır? A B E K C D F 15
10 3. DOĞRU PARÇALARININ EŞLİĞİ, İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAK- LIK VE ARADA OLMA Doğru Parçalarının Eşliği İki doğru parçasının eşliğini, birer uç noktaları üst üste getirildiğinde, diğer uç noktalarının da üst üste gelebilmesi (çakışması) şeklinde düşüneceğiz. Fiilen bu işlemin yapılması mümkün değildir, ancak bunu sezgimizle kavramaya çalışacağız. Örneğin, aşağıdaki [AB] ve [CD] doğru parçalarının eşliği, A noktasını C noktası ile çakıştırdığımızda B nin de D ile çakışmasıyla mümkün olur. Matematiksel olarak iki doğru parçasının eşliğini şöyle tanımlayabiliriz: Uzunlukları eşit olan doğru parçalarına, eş doğru parçaları denir. Eşlik, sembolü ile belirtilir.? AB MN ve PR KL Grafikler (şekiller) üzerindeki doğru parçalarının eşliği farklı işaretlerle belirtilmiştir. Yukarıdaki [MN] ile [PR] doğru parçalarının uzunlukları için ne söyleyebilirsiniz? Bu doğru parçaları eş midir? Bir [AB] nın uzunluğu AB biçiminde gösterilir. Sembolik olarak; [AB] ve [CD] doğru parçaları için, AB = CD ise AB CD yazılır. 16
11 Her doğru parçası kendisine eştir. Yani AB AB dir. [AB] ve [BA] aynı doğru parçasını tanımladığından bunu, AB BA biçiminde de yazabiliriz. Doğru parçasının uzunluğu seçilen bir birim yardımıyla ölçülür. Yukarıdaki AB doğru parçasının uzunluğu, seçilen birim cinsinden 4 birimdir. AB = 4 birim Her doğru parçasına pozitif bir gerçek (reel) sayı karşılık gelir. Bu gerçek sayıya doğru parçasının uzunluğu denir. Uzunlukları eşit olan doğru parçalarının eş olduğunu söylemiştik. Yani, Karşıt olarak; AB = CD ise dir. Eş doğru parçalarının uzunlukları eşittir. Yani, AB CD ise AB = CD dir. Bu iki önermeyi birlikte aşağıdaki gibi sembolle belirtebiliriz: AB CD AB CD AB = CD? Geometrik şekillerden karenin herhangi iki kenarı eş midir? İki Nokta Arasındaki Uzaklık ve Arada Olma Düzlemde A ve B gibi farklı iki nokta alınsın. Bu iki noktayı birleştiren bir tek doğru parçası vardır. Bu doğru parçası [AB] dır. ([AB] ile [BA] nın aynı doğru parçasını belirttiğini hatırlayınız.) AB doğru parçasının uzunluğu, A ve B noktaları arasındaki uzaklığı ifade eder. İki nokta arasındaki uzaklık, bu noktaları birleştiren doğru parçasının uzunluğudur. 17
12 Yandaki şekilde, M ve N noktaları arasındaki uzaklık MN biçiminde belirtilir. Uzaklık ve arada olma ile ilgili aşağıdaki tanımları inceleyiniz: 1. A ve B farklı iki nokta ise, AB > 0 dır. 2. A, N ve B doğrusal noktalar ve N, A ile B arasında ise, AN + NB = AB dir. 3. Sayı ekseninde A ve B noktalarıyla eşlenen sayılar a ve b ise, AB = b-a dir. (Sayı ekseninde A noktası ile eşleşen gerçek sayı a ise, A noktası A (a) biçiminde belirtilir.) 4. AB doğru parçası üzerinde, AK = KB olacak biçimde bir tek K noktası vardır. Bu K noktasına AB doğru parçasının orta noktası denir. A(a), B(b), K(k) noktaları aynı bir sayı doğrusu üzerinde ve K noktası AB doğru parçasının orta noktası ise, k = a+b 2 dir. Teorem 1.1 Sayı doğrusunda; A(a), B(b), C(c) farklı üç nokta ve a < b < c ise B noktası A ile C arasındadır. 18
13 ÖRNEKLER 1. A (7) ve B (15) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? ÇÖZÜM AB = BA = 15-7 = +8 = 8 birimdir. 2. P (9) ile T (-2) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? ÇÖZÜM PT = -2-9 = -11 = 11 birimdir. 3. Sayı ekseni üzerinde başlangıç noktasına olan uzaklıkları 3 birim olan noktaların koordinatlarını bulunuz. ÇÖZÜM Aradığımız noktaları P(x) olarak adlandıralım. Başlangıç noktasının koordinatı O (0) dır. OP = x-0 = 3 olur. Buradan, x-0 = 3 ve x = 3 x 1 = 3 ve x 2 = -3 tür. P 1 (3) ve P 2 (-3) noktaları başlangıç noktasına 3 birim uzaklıktadır. 4. Uç noktalarının koordinatları A(-5) ve B(3) olan [AB] nın, orta noktasının koordinatı kaçtır? ÇÖZÜM [AB] nın orta noktası K(x) olsun. x = a+b 2 x = olduğundan, x = -2 2 x = -1 bulunur. 19
14 5. Orta noktası P(4) olan [MN] nın uç noktalarından biri M(-2) olduğuna göre diğer uç noktasının koordinatı kaçtır? ÇÖZÜM N noktasının koordinatı x olsun. Orta nokta bağıntısından, -2+x 2-2+x 2 = 4 yazılır. Bu eşitlikten, = 4-2+x = 8 x = 8+2 x = 10 bulunur. 6. A (6), B(-3) olmak üzere; [AB] üzerinde olan ve AP = 1 koşulunu sağlayan P noktasının koordinatını bulunuz. 3 AB ÇÖZÜM P noktasının koordinatı x olsun. AP = 1 3 AB x-6 = x-6 = x-6 = 9 3 = 3 buradan, x-6 = 3 ve x-6 = -3 x = 9 ve x = 3 bulunur. Sayı doğrusundan da görüldüğü gibi koordinatı 9 olan nokta [AB] üzerinde değildir. Bu nedenle çözüm olarak, x=3 alınır. P noktasının koordinatı 3 tür. 20
15 7. Sayı doğrusu üzerinde; K(-2), L(3), M(-1) noktalarından hangisi diğer ikisi arasındadır? ÇÖZÜM 1 L noktası K ile M arasında ise KL + LM = KM olmalıdır. Araştıralım: 3-(-2) = -1- (-2) = = dir. O hâlde, L noktası arada değildir. Şimdi de KM + ML = KL midir? Araştıralım: -1-(-2) + 3-(-1) = 3-(-2) = = 5 5 = 5 tir. O hâlde, M noktası K ile L noktaları arasındadır. ÇÖZÜM 2 Teorem 1.1 e göre noktaların koordinatları sıralanırsa, -2 < -1 < 3 olur. Buna göre -1 koordinatlı nokta (yani M noktası) diğer ikisi arasında olur. Bu yolla çözüme ulaşmanın daha kolay olduğunu görünüz. Sayı doğrusu üzerinde verilen A, B, C gibi farklı üç nokta için arada olma bağıntısı 6 değişik biçimde yazılabilir. Ancak bu bağıntılardan yalnız biri doğrudur. 21
16 KONUNUN ÖZETİ *İki doğru parçasının eşliği, uç noktalarının karşılıklı olarak çakışmasıyla mümkündür. *Uzunlukları eşit olan doğru parçaları eştir. *Her doğru parçası kendisine eştir. *A, B, C doğrusal üç nokta olmak üzere; AB + BC = AC ise, B noktası A ile C arasındadır. *A(a) ve B(b) olmak üzere; AB = b-a dır. *A(a), B(b) ve [AB] nın orta noktası K(x) ise, x = a+b dir. 2 *A(a), B(b) ve C(c) sayı doğrusu üzerinde herhangi üç nokta olmak üzere; a < b < c ise, B(b) noktası A(a) ile C (c) arasındadır. 22
17 4. NOKTA, DOĞRU VE DÜZLEM ARASINDAKİ İLİŞKİLER Aksiyom 1.3 Doğrusal olmayan farklı üç noktadan bir tek düzlem geçer. Aksiyomun ifadesindeki bir tek sözcüğü ile; sadece bir düzlemin geçtiği, ikinci bir düzlemin geçemeyeceği ifade edilmektedir. Bir doğruya ait noktaların tamamı bir düzlem içinde ise, doğru da düzlemin içindedir. Kesişen Doğrular Teorem 1.2 Düzlemde farklı iki doğruya ait en çok bir ortak nokta vardır. Farklı iki doğrunun, yalnız bir ortak noktası varsa bu noktaya kesişme noktası, doğrulara da kesişen doğrular adı verilir. Yandaki şekilde d ve k kesişen doğrular, A da kesişme noktasıdır. Doğrular arasındaki bu ilişki d k = {A} biçiminde belirtilir. 23
18 Teorem 1.3 : Bir doğru ile dışında alınan bir nokta bir tek düzlem belirtir. İspat : Doğrunun farklı iki noktası A ve B, doğru dışında alınan nokta da P olsun. Aksiyom 1.3 e göre farklı A, B ve P noktalarından bir tek düzlem geçer. O hâlde, d doğrusu ile dışındaki P noktası bir düzlem belirtir. Teorem 1.4 : Kesişen iki doğru bir tek düzlem belirtir. İspat : t ve b doğrularının kesişimi K noktası olsun. K noktası hem t doğrusunun, hem de b doğrusunun üzerindedir. b doğrusunun verilmiş olması demek, K dan farklı A gibi bir noktasının da verilmesi demektir. Aynı düşünceyle t doğrusunun K dan farklı A gibi bir noktasının verilmiş olması demektir. l A, K, B doğrusal olmayan farklı üç nokta olduğundan Aksiyom 1.3 e göre bir tek düzlem belirtir. t ve b doğrularının bütün noktaları bu düzlem içindedir. Paralel Doğrular Düzlemde kesişmeyen, yani ortak bir noktaya sahip olmayan doğrulara paralel doğrular denir. d ve k doğruları paralel ise d // k biçiminde ifade edilirler. d ve t doğruları paralel değil ise d // t gösterimi kullanılır. 24
19 Düzlemde doğruların paralelliği ile ilgili olarak aşağıdaki aksiyomu verelim. Bir doğru ile dışında bir nokta verildiğinde; verilen bu nokta- dan geçen ve verilen bu doğruya paralel olan bir tek doğru vardır. Öklid paralellik aksiyomu 1.4 Açıklama : Yandaki şekilde görüldüğü gibi, düzlemde bir c doğrusu ile bu doğruya ait olmayan K noktası verilsin. K noktasından geçen ve c doğrusuna paralel olan b gibi bir tek doğru vardır. K c ve b//c dir. Teorem 1.5 : Düzlemde paralel olmayan farklı iki doğru bir tek noktada kesişir. İspat : m ve n birbirine paralel olmayan farklı iki doğru olsun. Bu doğruların en az A gibi bir ortak noktaları vardır. Teorem 1.2 ye göre de bu doğruların A dan başka ortak noktaları yoktur. O hâlde m ve n bir tek noktada kesişirler. Teorem 1.6 : Düzlemde paralel iki doğrudan biriyle kesişen bir doğru diğeriyle de keşisir. İspat : a ve b birbirine paralel olan iki doğru olsun. c de a ve b den farklı ve a yı A noktasında kesen bir doğru olsun. A noktası, b ye paralel olan a doğrusu üzerinde olduğundan, b nin dışında (b ye ait olmayan) bir noktadır. c doğrusunun b ile kesişmediğini varsayarsak c//b olur. Bu durumda a ve c, A noktasından geçen ve b ye paralel olan iki doğru olur. Aksiyom 1.4 e göre bir doğruya dışındaki bir noktadan birden fazla paralel doğru çizilemez. Yani a = c olur. Bu ise c doğrusunun seçimi ile çelişkilidir. Öyleyse varsayımımız hatalıdır. Yani, b ile c doğruları kesişir. 25
20 SONUÇ Düzlemde paralel iki doğrudan birine paralel olan herhangi bir doğru, diğerine de paraleldir. Bu sonucu, Aynı doğruya paralel olan farklı iki doğru birbirine paraleldir. biçiminde de ifade edebiliriz. Aksiyom1.2 ye göre her doğru, en az iki nokta kapsar. Doğru, noktalardan oluşur ve üzerinde boşluk bulunmaz. Bir doğru üzerinde verilen farklı iki nokta arasında, sayılamaz çoklukta nokta vardır.? Verilen farklı iki nokta arasında olmayan, fakat bu noktaların belirttiği doğru üzerinde bulunan başka noktalar var mıdır? Kaç tanedir? Bir Doğru ile Bir Düzlemin Birbirine Göre Durumları Uzayda bir doğru ile bir düzlem aşağıdaki konumlarda bulunur. 1. Doğru ile düzlemin hiçbir ortak noktası olmayabilir: Bu durumda a doğrusu E düzlemine paraleldir. a E = Ø ise a // E dir. 2. Doğru ile düzlemin bir tek noktası ortak olabilir: Bu durumda şekilde görüldüğü gibi b doğrusu E düzlemini K gibi bir tek noktada keser. l b E = {K} 26
21 3. Doğru ile düzlemin farklı iki noktası ortak olabilir: Şekilde görüldüğü gibi t doğrusu ile E düzleminin K ve P gibi iki noktası ortaktır. Bu durumda t doğrusu düzlemin içindedir. K t, K E, P t, P E ve t E = t dir. Bir noktadan geçen ve aynı düzlem içerisinde bulunmayan doğrulara uzaysal doğru demeti denir. Doğru ve düzlemin belirlenmesi ile ilgili şunları söyleyebiliriz: * Bir doğru farklı iki noktası ile bellidir. * Bir düzlem farklı üç noktası ile bellidir. İki Düzlemin Birbirine Göre Durumları Şimdi de uzayda iki düzlemin birbirine göre konumlarını araştıralım. 1. İki düzlemin hiç bir ortak noktası olmayabilir: Yandaki E ve F düzlemleri gibi. Ortak noktası bulunmayan iki düzleme paralel düzlemler denir. 27
22 2. İki düzlemin bir tek doğruları ortak olabilir: Yandaki şekilde; AB doğrusu, E ve F düzlemlerinin ortak doğrusudur. Sadece bir doğruları ortak olan düzlemlere kesişen düzlemler denir. Açılmış bir kitabın iki sayfası kesişen düzlemlere örnek verilebilir. İki düzlem bir doğru boyunca kesişir. Bu doğruya kesişen düzlemlerin arakesit doğrusu adı verilir. 28
23 KONUNUN ÖZETİ *Aynı doğru üzerinde olmayan farklı üç nokta bir düzlem belirtir. *Bir doğrunun bütün noktaları düzlem içinde ise, doğru da o düzlem içindedir. *Bir düzlemin farklı iki doğrusu en çok bir noktada kesişir. Bir tek ortak noktası olan iki doğruya kesişen doğrular adı verilir. *Bir doğru ile dışındaki bir nokta bir tek düzlem belirtir. Kesişen iki doğru bir tek düzlem belirtir. *Aynı bir düzlemde hiçbir ortak noktası olmayan iki doğruya paralel doğrular denir. *Düzlemde paralel olmayan farklı iki doğru bir tek noktada kesişir. *Bir doğru ile bir düzlem birbirine göre üç farklı konumda bulunur: a. Doğru, düzlemi kesmeyebilir. b. Doğru, düzlemi bir tek noktada kesebilir. Bu durumda doğru ile düzlemin bir noktaları ortaktır. c. Doğru, düzlemin içinde olabilir. Bu durumda doğrunun bütün noktaları, düzlemin de noktalarıdır. *Bir doğru, farklı iki noktası ile; bir düzlem, doğrusal olmayan farklı üç noktası ile bellidir. *Farklı iki düzlem birbirine göre iki durumda bulunur: a. İki düzlem hiçbir ortak noktaya sahip olmayabilir. Bu durumdaki düzlemlere paralel düzlemler denir. b. İki düzlem bir doğru boyunca kesişebilir. Bu durumdaki düzlemlere kesişen düzlemler denir. ARAŞTIRMALAR 1. Paralel iki doğru kaç düzlem belirtir? (Yol gösterme: Paralel iki doğrunun kaç nokta ile belirtilebileceğini düşününüz.) 2. Bir kapının kapatılmasında neden iki menteşe ile bir kilit yeterli olur? 3. 3 ayaklı tabureler, dört ayaklı taburelere göre neden daha kullanışlıdır? 29
24 1. BÖLÜMÜN DEĞERLENDİRME SORULARI 1. Üçü doğrusal olmayan 4 farklı noktayı ikişer ikişer üzerinde bulunduran en fazla kaç doğru çizilebilir? A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 2. A(-11), B(x) ve AB = 14 ise x aşağıda verilenlerden hangisi olabilir? A) -25 B) -3 C) 11 D) A(-1), B(x), C(-5) sayı doğrusunda üç nokta ve C, [AB] nın orta noktası ise x kaçtır? A) 4 B) 3 C) -6 D) A(-7), B(3) ve CA olmak üzere; [AB] üzerindeki C noktasının koordinatı CB = 1 5 kaçtır? A) B) C) 3 2 D) Düzlemde birbirinden farklı üç nokta veriliyor. Bu üç noktayı ikişer ikişer üzerinde bulunduran en çok kaç doğru çizilebilir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 6. Yandaki şekle göre aşağıda verilen ifadelerden hangisi yanlıştır? A) P noktası hem k, hem de t doğrusunun elemanıdır. B) k ve t doğrularına kesişen doğrular denir. C) A, P, B noktaları doğrusal noktalardır. D) N noktası t doğrusuna ait değildir. 30
25 7. Aşağıdaki ifadelerden hangisi diğerlerinden farklıdır? A) Farklı iki noktadan geçen bir tek doğru vardır.. B) Farklı iki noktadan bir tek doğru geçer. C) Farklı iki doğrunun en çok bir ortak noktası vardır. D) Farklı iki noktayı birleştiren bir tek doğru vardır. 8. Aşağıdaki şekle göre verilenlerden hangisi yanlıştır? A) AB AB B) [AB AB C) (AB) AB D) [BA AB 9. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? A) Bir doğru ile dışındaki bir nokta bir tek düzlem belirtir. B) Kesişen iki doğru bir tek düzlem belirtir. C) Paralel iki doğruyu üzerinde bulunduran bir tek düzlem vardır. D) Bir doğru ile bir düzlemin bir tek noktası ortak ise, doğru düzlem içindedir. 10. Şekle göre aşağıdaki hangi ışınlar zıt ışınlardır? A) [KL ile [LM B) [KM ile [KL C) [LM ile [LK D) [KM ile [MK 31
26
GEOMETRİ. Tüm geometrik şekiller, elemanları noktalar olan kümeler olduğundan, biz de noktadan başlayarak gezimize çıkalım.
GEOMETRİ Geometriyi seven veya sevmeyenler için farklı bir bakış açısı. Gerçeğin kilidini açacak anahtarın Aritmetik ve Geometri olduğunu söyleyen ve Tanrının da bir Matematikçi olduğuna inanan ünlü düşünür
DetaylıDOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ
Koordinatlar DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen
DetaylıÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT
ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar 1. Kazanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği.
DetaylıDik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.
ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da
Detaylı9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme
DetaylıTEMEL BAZI KAVRAMLAR. Uzay: İçinde yaşadığımız sonsuz boşluktur. Uzay, bir noktalar kümesidir. Uzay, bütün varlıkları içine alır.
1 TEMEL ZI KVRMLR Nokta: Kalemin kâğıda, tebeşirin tahtaya bıraktığı ize nokta denir. Nokta boyutsuzdur. Yani; noktanın eni, boyu ve yüksekliği yoktur. ütün geometrik şekiller noktalardan oluşur. Noktalar
DetaylıÖrnek: Eş doğru parçalarının uzunlukları eşittir. Örnek:
ĐFL GEOMETRĐK KAVRAMLAR VE ÇALIŞMA SORULARI (Eylül-011) Terim, Geometrik Terim, Tanımsız Terim, Önerme, Aksiyom (Postülat), Teorem (Hipotez ve Hüküm), Đspat: Bir bilim dalında özel anlamı olana kelimelere
Detaylı1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77
UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir
DetaylıUZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR
UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR Cisimlerin kapladığı yer ve içinde bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik söz konusudur. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında
DetaylıİÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48
İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri
DetaylıÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT
ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar. azanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 80, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği. azanım
DetaylıYAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM
YAYIN KURULU Hazırlayanlar Filiz SOYUÇETİN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK & Ezgi Güler & Meltem Temel
Detaylı1. Analitik düzlemde P(-4,3) noktasının eksenlerden ve O başlangıç noktasından uzaklığı kaç birimdir?
HAZİNE- HAZİNE-2 O başlangıç noktasında dik kesişen iki sayı ekseninin oluşturduğu sisteme koordinat sistemi denir. Bir noktanın x-eksenindeki dik izdüşümüne karşılık gelen x sayısına noktanın apsis i
Detaylı11. SINIF. No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ TRİGONOMETRİ Yönlü Açılar Trigonometrik Fonksiyonlar
11. SINIF No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ Ders Saati Ağırlık (%) 11.1. TRİGONOMETRİ 7 56 26 11.1.1. Yönlü Açılar 2 10 5 11.1.2. Trigonometrik Fonksiyonlar 5 46 21 11.2. ANALİTİK GEOMETRİ 4 24 11 11.2.1.
DetaylıCebirsel Fonksiyonlar
Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş
DetaylıGEOMETRİK KAVRAMLAR. 1. Nokta: Geometrinin en temel terimidir.. biçiminde gösterilir. Boyutu yoktur.
GEOMETRİK KAVRAMLAR Geometrinin temelini oluşturan bazı kavramları bir sıraya koymalıyız ki daha anlaşılabilir olsun. Geometride özel anlamı olan ifadelere geometrik terim denir. Nokta, doğru, açı, kare,
Detaylı1- Matematik ve Geometri
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ 1- Matematik ve Geometri Matematik ve Geometri Bir çok matematikçi ve matematik eğitimcisi matematiği «cisimler, şekiller ve sembollerle ilişkiler ve desenler inşa etme etkinliği» olarak
DetaylıOLİMPİK GEOMETRİ ALTIN NOKTA YAYINEVİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK ÖMER GÜRLÜ KONU ANLATIMLI - ÖRNEK ÇÖZÜMLÜ
OLİMPİK GEOMETRİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK KONU ANLATIMLI - ÖRNEK ÇÖZÜMLÜ ÖMER GÜRLÜ ALTIN NOKTA YAYINEVİ İZMİR - 2014 İÇİNDEKİLER 1. TEMEL ÇİZİMLER... 7 2. ÜÇGENLER... 21 (Üçgende Açılar, Üçgende
Detaylı1- Geometri ve Öklid
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ 1- Geometri ve Öklid Matematik ve Geometri Bir çok matematikçi ve matematik eğitimcisi matematiği «cisimler, şekiller ve sembollerle ilişkiler ve desenler inşa etme etkinliği» olarak
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
DetaylıMatematik Ders Föyü. Uygulayalım. Terim. Önerme. Doğruluk Değeri. Ortaöğretim Alanı MF - 01 NOT NOT. 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız
Ortaöğretim Alanı MF - 01 Matematik Ders Föyü Terim Bir sözcüğün bilim, spor, sanat, meslek vb. içerisinde kazandığı özel anlama terim denir. NOT Küp Matematik Ova Coğrafya Asit Kimya Mercek Fizik Sol
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Geometride Kombinatorik 11. Bölüm Doç. Dr. Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2011 2012 Güz Dönemi Köşegenlerin Arakesiti Geometride Kombinatorik
Detaylı[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;
. Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Geometride Kombinatorik 11. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Köşegenlerin Arakesiti Geometride Kombinatorik
DetaylıKÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,
DetaylıMAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI
MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI SORU 1. Köşeleri (1,4) (3,0) (7,2) noktaları olan ABC üçgeninin bir ikizkenar dik üçgen (İpucu:, ve vektörlerinden yararlanın) SORU 2. Bir ABC üçgeninin
DetaylıUzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi
Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse
DetaylıParametrik doğru denklemleri 1
Parametrik doğru denklemleri 1 A noktasından geçen, doğrultman (doğrultu) vektörü w olan d doğrusunun, k parametresine göre parametrik denklemi: AP k w P A k w P A k w P A k W (P değişken nokta) A w P
Detaylı1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4)
HAZİNE-1 Düzlemde sabit M(a,b) noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, M merkezli R yarıçaplı çemberdir. HAZİNE-2 O(0,0) merkezli, R yarıçaplı çemberin denklemi; x 2 +y 2 =R 2 dir.
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 11 CONTENTS 5 0.1 Kartezyen Çarpım 0.2 Sıralı İkililer Şimdiye kadar sıra ya da
DetaylıÖrnek...1 : Şekildek i kare piramitte paralel, a yk ır ı k esişen doğru parçalar ına örnek ler verini z. UZAYIN ANALİTİĞİ UZAY
UZYIN NİİĞİ 1 M KVRMR UZY ümü düzlemsel olmayan bütün noktaların kümesine uza y denir. UZY NOK, OĞRU, ÜZM V UNR RSINKİ İİŞKİR 1)Uzayda farklı iki noktadan bir tek doğru geçer. UZY OĞRURIN URUMU 1.Uzayda
DetaylıSunum ve Sistematik 1. ÜNİTE: TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ
Sunum ve Sistematik 1. ÜNİT: TML GOMTRİK KVRMLR V KOORİNT GOMTRİY GİRİŞ KONU ÖZTİ u başlık altında, ünitenin en can alıcı bilgileri, kazanım sırasına göre en alt başlıklara ayrılarak hap bilgi niteliğinde
DetaylıKUTUPSAL KOORDİNATLAR
KUTUPSAL KOORDİNATLAR Geometride, bir noktanın konumunu belirtmek için değişik yöntemler uygulanır. Örnek olarak çok kullanılan Kartezyen (Dik ) Koordinat sistemini anımsatarak çalışmamıza başlayalım.
DetaylıTEOREMLER İSPATLAR SONUÇLAR
TEOREMLER İSPATLAR SONUÇLAR TANIM: Birer kenarları ortak ve iç bölgeleri ayrık iki açıya KOMŞU AÇILAR denir. TANIM: Komşu iki açının ortak olmayan kenarları zıt ışınlar ise bu iki açıya DOĞRUSAL AÇI ÇİFTİ
DetaylıÖrnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER
Terim: Bir bilim dalı içerisinde konuşma dilinden farklı anlamı olan sözcüklerden her birine o bilim dalının bir terimi denir. Önermeler belirtilirler. p,q,r,s gibi harflerle Örneğin açı bir geometri terimi,
Detaylı1990 ÖYS. 1. si 13 olan si kaçtır? A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 65 B) 63 C) 56 D) 54 E) 45
990 ÖYS. si olan si kaçtır? A) 9 B) 8 C) D) 60 E) 5. Ağırlıkça %0 si şeker olan 0 kg lık un-şeker karışımına 8 kg daha un eklendiğine göre, yeni şeker (kg) karışımın oranı kaçtır? un (kg) A) B) C) D) E)
DetaylıNOKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ NOKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ
NKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ NKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ Başlangıç noktasında birbirine dik olan iki saı doğrusunun oluşturduğu sisteme "Dik Koordinat Sistemi" denir. Dik Koordinat Sisteminin belirttiği
DetaylıÖrnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER
MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI
DetaylıBuna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.
TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }
Detaylı1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler
ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...
DetaylıLineer Denklem Sistemleri
Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin
Detaylı13. 2x y + z = 3 E) 1. (Cevap B) 14. Dikdörtgen biçimindeki bir tarlanın boyu 10 metre, eni 5 metre. Çözüm Yayınları
Doğrusal Denklem Sistemlerinin Çözümleri BÖLÜM 04 Test 0. y = y = 6 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {(, 4)} B) {(, )} C) {(, 4)} D) {( 4, )} E) {(, )}./ y = / y = 6 5 = 5 = = için y
DetaylıMATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni
Detaylıİç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
DetaylıVEKTÖRLER. DOĞRU PARÇASI: Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir.
VEKTÖRLER DOĞRU PRÇSI: Doğrunun ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [B] DOĞRU PRÇSI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25
İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70
DetaylıGeometri; uzayın ve uzayda tasarlanabilen şekillerin,
Geometri ve Gelişimi Geometri; uzayın ve uzayda tasarlanabilen şekillerin, kurallara uyularak incelenmesini konu alan matematik dalıdır. ntik Yunan döneminde matematik günlük kullanımın ötesine giderek
DetaylıÜç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi
Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.
DetaylıMatematik Ders Föyü. Uygulayalım. Terim. Önerme. Doğruluk Değeri. Ortaöğretim Alanı MF - 01 NOT NOT. 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız
Ortaöğretim Alanı MF - 01 Matematik Ders Föyü Terim Bir sözcüğün bilim, spor, sanat, meslek vb. içerisinde kazandığı özel anlama terim denir. NOT Küp Matematik Ova Coğrafya Asit Kimya Mercek Fizik Sol
Detaylı12-B. Polinomlar - 1 TEST. olduğuna göre P(x - 2, y + 4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? olduğuna göre A B kaçtır? A) 78 B) 73 C) 62 D 58 E) 33
-B TEST Polinomlar -. Py _, i= y- y + 5y- olduğuna göre P( -, y + ) polinomunun katsayılar toplamı. - 6 = A - 5 + - + B - olduğuna göre A B 78 B) 7 6 D 58 E) B) D) - E) -. -a- b = _ + -5i_ -ci eşitliğine
Detaylı7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR
7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR KONULAR 1. DOĞRUDA AÇILAR 2. Açı 3. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler 4. Açı Ölçü Birimleri 5. Ölçülerine Göre Açılar 6. Açıortay 7. Tümler Açı 8. Bütünler Açı 9. Ters
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L
T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L 1 Denklemler 1.1 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz.
Detaylı12. SINIF. Uzayda Vektörler-1 TEST. 1. Uzaydaki doğru parçaları için aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?
1. SINIF Uada Vektörler-1 1. Uadaki doğru parçaları için aşağıdaki önermelerden hangisi anlıştır? Akırı doğru parçaları farklı dülemlerdedir. Akırı doğru parçaları farklı doğrultudadır. İki doğru parçasının
Detaylı3. Düzlem: Her yönde sonsuza uzandığı kabul edilir. Sayılmaz çoğunlukta doğru ve noktalardan oluşmuştur.
DERS : GEOMETRİ KONU : GEOMETRİK KAVRAMLAR Geometrinin temelinde her soruda karşılaşacağımız terimler kavramlar vardır bu derste onları işleyeceğiz. Geometride özel anlamı olan ifadelere geometrik terim
Detaylı1977 ÜSS. 2 y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 x. 2 y. 1 y. 1 y. 1 x. 2 x. 2 x. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y 2 C) 4 E)
77 ÜSS. ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?. C) 4 E). Şekilde a+b+c+d açılarının toplamı kaç dik açıdır? (açılar pozitif önlüdür.) 4 C) 6 7 E) 8 Verilen şekilde açıların ölçüleri verilmiştir. En
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
Detaylı1994 ÖYS. 6. x, y, z sıfırdan büyük birer tam sayı ve 2x+3y-z=94 olduğuna göre, x in en küçük değeri kaçtır?
99 ÖYS. Üç basamaklı abc sayısının birler basamağı tür. Birler basamağı ile yüzler basamağı değiştirildiğinde oluşan yeni sayı, abc sayısından 97 küçüktür. Buna göre, abc sayısının yüzler basamağı kaçtır?.,
Detaylı5. ÜNİTE İZDÜŞÜMÜ VE GÖRÜNÜŞ ÇIKARMA
5. ÜNİTE İZDÜŞÜMÜ VE GÖRÜNÜŞ ÇIKARMA KONULAR 1. İzdüşüm Metodları 2. Temel İzdüşüm Düzlemleri 3. Cisimlerin İzdüşümleri 4. Görünüş Çıkarma BU ÜNİTEYE NEDEN ÇALIŞMALIYIZ? İz düşümü yöntemlerini, Görünüş
DetaylıÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-1
ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-1 PRİZMA 1. Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları 3,5,7 ile orantılıdır. Bu prizmanın tüm alanı 568 cm 2 olduğuna göre hacmi kaç cm 3 dür? A) 440 B) 540 C) 840 D) 740 E) 640 6. Bir
Detaylı7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;
İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit
DetaylıPARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu
PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği
Detaylı0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c
0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade
Detaylı2017 YGS MATEMATİK. 4. a sayısı iki farklı asal sayının çarpımıdır. OBEB (a,15) + OBEB(a,22)=2
SORULARI 1. 4. a sayısı iki farklı asal sayının çarpımıdır. OBEB (a,15) + OBEB(a,22)=2 işleminin sonucu kaçtır? A) 2 B) 1 C) 1 D) 2 E) 3 olduğuna göre, a nın en küçük değerinin rakamları çarpımı? A)6 B)7
Detaylı(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
DetaylıKüme Temel Kavramları
Kümeler Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa
Detaylı1995 ÖSS. 6. Toplamları 621 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 16, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı kaçtır?
99 ÖSS.. 0, 0, 0,44. işleminin sonucu A) 0, B) 0,4 C) D) 4 E) 0 6. Toplamları 6 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 6, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı A) 70 B) 7 C) 80
Detaylı2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı
1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna
DetaylıSAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR
1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği
DetaylıMatematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: A Kümesinden B nin Farkı: A Kümesinden B ye Fonksiyon: Açı: Açık Önerme: Açıortay: Açısal Bölge: Aksiyom:
Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: Birinci bileşeni A dan, ikinci bileşeni B den alınarak elde edilen ikililerin kümesidir. A Kümesinden B nin Farkı: A kümesinin B kümesi ile ortak olmayan elemanlarından
Detaylı9SINIF MATEMATİK. Denklemler ve Eşitsizlikler
9SINIF MATEMATİK Denklemler ve Eşitsizlikler YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ Eğer bir gün sözlerim bilim ile
DetaylıTASARI GEOMETRİ SINAV SORULARI
TASARI GEOMETRİ SINAV SORULARI 1. Alın iz düşümüne parelel veya çakışık olan doğrular profilde hangi ı verir? 9. Doğrunun düzlemi deldiği noktayı düzlem geçirme metodu ile bulunuz. A) Profil ve alınla
DetaylıDenklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,
Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli
DetaylıEĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 8 6 6.. Yönlü Açılar
DetaylıGeometride Nokta, Doğru, Düzlem gibi kavramlar tanımsız olarak kabul edilir. E düzlemi yandaki gibi gösterilir.
GEOMETRĐK KAVRAMLAR Geometride Nokta, Doğru, Düzlem gibi kavramlar tanımsız olarak kabul edilir. 1. Nokta:. biçiminde gösterilir. Boyutu yoktur. 2. Doğru: Đki uçtan sınırsız noktalar kümesidir. 3. Düzlem:
DetaylıÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)
Detaylı25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?
. f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )
DetaylıTMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi
YGS MATEMATĠK DENEMESĠ-1 Muharrem ġahġn TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi Eyüp Kamil YEġĠLYURT Gökhan KEÇECĠ Saygın DĠNÇER Mustafa YAĞCI Ġ:K Ve TMÖZ üyesi 14 100 matematik ve geometri sevdalısı
DetaylıMustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü
* Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q
DetaylıUZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM
UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM. ir küpün ayrıtlarını taşıyan doğrular kaç farklı doğrultu oluşturur? ) ) ) D) 7 E) 8. ir düzgün altıgenin en uzun köşegeni ile aynı doğrultuda kaç farklı kenar vardır?. şağıdaki
DetaylıEĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 7 6 6.. Yönlü
Detaylı1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1
1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,
DetaylıUZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM
(a, b, c) r x = a y = b u a b UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM ÜN TE y y y y y y Uzay Uzayda Dik Koordinat Sistemi Uzayda Vektörler Uzayda İki Vektörün Skaler (İç) Çarpımı Uzayda İki Vektörün Vektörel (Dış)
DetaylıAB yönlü doğru parçası belirtilmiş olur. Doğrultusu, uzunluğu ve yönünden söz edilebilir.
HAZİNE-1 HAZİNE-2 Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.
Detaylı4. y=-2 doğrusundan 5 birim uzaklıkta. 5. O(0,0) başlangıç noktasından 3 birim. 6. A(1,2) ve B(5,8) noktalarından eşit. 7. x=-2 doğrusundan ve A(2,0)
GEOMETRİK YER HAZİNE-1 Analitik düzlemde, verilen bir ortak özelliği sağlayan P(x,y) noktalarının apsis ve ordinatı arasındaki bağıntıya Geometrik yer denklemi denir. Geometrik yer üzerindeki noktalar
DetaylıÖrnek...1 : mx+3y+12=0 ve 2x 5y+3=0 doğruları para - lelse m kaçtır?
İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMU DURUM 1 PARALEL DOĞRULAR ve doğruları paralel doğrular ise eğimleri eşittir. Yani / / m 1 =m 2 Ayr ıca : a 1 x+b 1 y+c 1 =0 =0} / / a 1 a 2 = b 1 c 1 c 2 Örnek...1 :
DetaylıÖSYM M TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS / MAT. Diğer sayfaya geçiniz. 1. Bu testte 40 soru vardır.
TEMEL MATEMATİK TESTİ 2011 - YGS / MAT M9991.01001 1. Bu testte 40 soru vardır. 1. 2. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. işleminin sonucu kaçtır?
DetaylıBÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ
BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini
DetaylıKazanım 12. Geometrik şekilleri tanır. Açıklamaları:
GEOMETRİ Uzaysal Algı Bireyin çevresini ve çevresindeki nesneleri sezgileriyle anlamlandırması uzaysal algı olarak tanımlanır. Geometriyi yorumlama, anlama ve sevmenin temeli uzaysal ilişkileri anlamakta
Detaylı7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1.
Bölüm 7 Karmaşık Sayılar Karmaşık sayılar gerçel sayıların genişlemesiyle elde edilen daha büyük bir kümedier. Genişleme şu gereksemeden doğmuştur: x 2 = +1 denklemimin çözümü +1, 1 sayılarıdır ve R içindedir.
Detaylı= e DIŞ MERKEZLİK HAZİNE-1 HAZİNE-2
HAZİNE-1 HAZİNE-2 Bir eksen üzerinde verilen noktadan geçen ve eksen ile belirli açı yaparak dönen doğrunun oluşturduğu yüzeye konik yüzey denir. Konik yüzeyin değişik düzlemler ile arakesit kümeleri çember,
DetaylıKONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I
KONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I 4.1. Dışbükeylik ve Uç Nokta Bir d.p.p. de model kısıtlarını aynı anda sağlayan X X X karar değişkenleri... n vektörüne çözüm denir. Eğer bu
Detaylıçemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1
. merkezli R yarıçaplı Ç çemberi ile merkezli R yarıçaplı ve noktasından geçen Ç çemberi veriliyor. Ç üzerinde, T Ç K T Ç, ve K K T K olacak şekilde bir T noktası alınıyor. Buna göre, uzunluklarından birinin
DetaylıÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK
Ünite 4 ÜÇNLR ŞLİ V NZRLİ ölüm 4.3. u ölümde Neler Öğreneceğiz? çıortay ve üçgenin açıortaylarının özelliklerini Üçgenin kenarortaylarının özelliklerini Orta dikme ve üçgenin kenar orta dikmelerinin özelliklerini
Detaylı7 Mayıs 2006 Pazar,
TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 14. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2006 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 7 Mayıs 2006 Pazar, 13.00-15.30
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
DetaylıT.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ
T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN
DetaylıOlasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları
Olasılık Kuramı ve İstatistik Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları OLASILIK Olasılık teorisi, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Raslantı
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler
Detaylısayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye
KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile
Detaylı