T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ TAMAMLANMAMIġ TRĠBONACCĠ SAYILARI VE DETERMĠNANTLARI Nazmiye YILMAZ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Maemai Aabilim Dalı Temmuz-0 KONYA Her Haı Salıdır

2 TEZ KABUL VE ONAYI Nazmiye YILMAZ arafıda hazırlaa Tamamlamamış Triboacci Sayıları ve Deermiaları adlı ez çalışması 5/07/0 arihide aşağıdai jüri arafıda oy birliği ile Selçu Üiversiesi Fe Bilimleri Esiüsü Maemai Aabilim Dalı da YÜKSEK LİSANS TEZİ olara abul edilmişir. Yuarıdai soucu oaylarım. Prof. Dr. Bayram SADE FBE Müdürü

3 TEZ BĠLDĠRĠMĠ Bu ezdei büü bilgileri ei davraış ve aademi urallar çerçeveside elde edildiğii ve ez yazım urallarıa uygu olara hazırlaa bu çalışmada baa ai olmaya her ürlü ifade ve bilgii ayağıa esisiz aıf yapıldığıı bildiririm. DECLARATION PAGE I hereby declare ha all iformaio i his docume has bee obaied ad preseed i accordace wih academic rules ad ehical coduc. I also declare ha, as required by hese rules ad coduc, I have fully cied ad refereced all maerial ad resuls ha are o origial o his wor. Nazmiye YILMAZ Tarih:

4 ÖZET YÜKSEK LĠSANS TEZĠ TAMAMLANMAMIġ TRĠBONACCĠ SAYILARI VE DETERMĠNANTLARI Nazmiye YILMAZ Selçu Üiversiesi Fe Bilimleri Esiüsü Maemai Aabilim Dalı DaıĢma: Yrd. Doç. Dr. Necai TAġKARA 0, 46 Sayfa Jüri Yrd. Doç. Dr. Necai TAġKARA Prof. Dr. Ahme Sia ÇEVĠK Doç. Dr. Ahme TEKCAN Bu çalışmada, il olara Triboacci ve Triboacci-Lucas sayıları üçlü ba marisleri deermiaları yardımıyla elde edildi. Daha sora da, amamlamamış Triboacci ve amamlamamış Triboacci-Lucas sayıları aımladı. Triboacci ailesii geellemesi ola bu yei sayıları bazı özellileri iceleere üreeç fosiyoları buludu. Aahar Kelimeler: deermia, amamlamamış Triboacci sayıları, amamlamamış Triboacci-Lucas sayıları, üçlü ba maris, üreeç fosiyou. iv

5 ABSTRACT MS THESIS INCOMPLETE TRIBONACCI NUMBERS AND ITS DETERMINANTS Nazmiye YILMAZ THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY DEPARTMENT OF MATHEMATICS Advisor: Asisa Prof. Dr. Necai TAġKARA 0, 46 Pages Jury Ass. Prof. Dr. Necai TASKARA Prof. Dr. Ahme Sia CEVIK Assoc. Prof. Dr. Ahme TEKCAN I his sudy, Triboacci ad Triboacci-Lucas umbers obaied by meas of deermia of ridiagoal marices. The, icomplee Triboacci ad icomplee Triboacci-Lucas umbers defied ad geeraig fucios of icomplee Triboacci ad icomplee Triboacci-Lucas umbers derived. Keywords: deermia, geeraig fucio, icomplee Triboacci umbers, icomplee Triboacci-Lucas umbers, ridiagoal marix. v

6 ÖNSÖZ Bu çalışma, Selçu Üiversiesi Fe Faülesi Maemai Aa Bilim Dalı Öğreim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Necai TAŞKARA yöeimide yapılara Selçu Üiversiesi Fe Bilimleri Esiüsü e Yüse Lisas Tezi olara suulmuşur. Bu ez;. Bölüm Giriş bölümü,. Bölüm Kaya Araşırması, 3. Bölüm Temel Kavramlar, 4. Bölüm Triboacci Sayıları ve Üçlü Ba Marisler, 5. Bölüm Tamamlamamış Triboacci ve Tamamlamamış Triboacci-Lucas Sayıları, 6. Bölüm Souç ve Öeriler, 7. Bölüm Kayalar olma üzere oplam yedi bölümde oluşmaadır. Çalışmalarım boyuca bei yöledire ve deselerii esirgemeye daışma hocam Yrd. Doç. Dr. Necai TAŞKARA ya sosuz eşeürlerimi suarım. Nazmiye YILMAZ KONYA, 0 vi

7 ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET... iv ABSTRACT... v ÖNSÖZ... vi ĠÇĠNDEKĠLER... vii SĠMGELER VE KISALTMALAR... viii. GĠRĠġ..... Tezi Yapısı.... KAYNAK ARAġTIRMASI TEMEL KAVRAMLAR Fiboacci Sayıları Üçlü ba marisleri deermiaları yardımıyla Fiboacci sayıları Tamamlamamış (Icomplee) Fiboacci sayıları Lucas Sayıları Üçlü ba marisleri deermiaları yardımıyla Lucas sayıları Tamamlamamış Lucas sayıları Triboacci Sayıları Triboacci-Lucas Sayıları TRĠBONACCĠ SAYILARI VE ÜÇLÜ BANT MATRĠSLER Üçlü Ba Marisleri Deermiaları Yardımıyla Triboacci Sayıları Üçlü Ba Marisleri Deermiaları Yardımıyla Triboacci-Lucas Sayıları TAMAMLANMAMIġ TRĠBONACCĠ VE TAMAMLANMAMIġ TRĠBONACCĠ-LUCAS SAYILARI Tamamlamamış Triboacci Sayıları Tamamlamamış Triboacci-Lucas Sayıları SONUÇLAR VE ÖNERĠLER Souçlar Öeriler KAYNAKLAR ÖZGEÇMĠġ vii

8 SĠMGELER VE KISALTMALAR Simgeler : Poziif am sayılar : Doğal sayılar : Komples sayılar F :. Fiboacci sayısı L :. Lucas sayısı T :. Triboacci sayısı K :. Triboacci-Lucas sayısı F :. amamlamamış Fiboacci sayısı L :. amamlamamış Lucas sayısı R : Tamamlamamış Fiboacci sayılarıı üreeç fosiyou S : Tamamlamamış Lucas sayılarıı üreeç fosiyou T, :. amamlamamış Triboacci sayısı K, :. amamlamamış Triboacci-Lucas sayısı R x : Tamamlamamış Triboacci sayılarıı üreeç fosiyou, W x : Tamamlamamış Triboacci-Lucas sayılarıı üreeç fosiyou, viii

9 . GĠRĠġ Güümüzde Fiboacci sayı dizisi ve ou ürevleri, sayılar eoriside büyü öeme sahip olmasıı yaı sıra, maemaiği diğer dallarıda, fizi, mühedisli ve haa saa bilimii de birço dalıda sılıla ullaıla ve uygulama alaı bula dizilerdir. Fiboacci sayı dizisi sadece saa ve mimaride değil, ayı zamada Öli (Euclidea) algorimasıda e büyü ora böle hesaplaması, müziği ouu belirleme gibi diğer başa alalarda da arşımıza çımaadır. Fiboacci sayılarıı bilim düyasıda bu adar ilgi görmesi üç edele ifade edilebilir. Bularda ili, dizii bazı erimleri doğada belemedi şeillerde ve yerlerde arşımıza çımasıdır. Öreği papayadai yapraları sayıları, ayçiçeğidei sarmalları sayısı Fiboacci sayılarıdır. Yapıla çalışmalarda bu ür sıralamaı güeşi e verimli şeilde ullamayı sağladığı, pole aşıya böceleri bu ür bir düzei ercih eiği soucua varılmışır. İici olara ise, ardışı ii Fiboacci sayısıı oraıı alı ora diye bilie, isa vücudu da bulua, saa ve mimaride güzel souçlar vere,6803 sayısıa yaısamasıdır. Üçücüsü ise maemaie ve fiziei uygulamalarıdır. İalya maemaiçi Edouardo Lucas (84-89) Fiboacci sayı sisemide ullaıla ardışı ii erimi oplamı bir sorai erimi verir uralıı, başlagıç oşullarıı değişirere uygulamış ve Lucas sayı dizileri deile yei bir sayı sisemi aımlamışır. Bu sayı sisemi L, L şarları alıda L L L formülüyle de elde edilir. 0 Bu dizilere bezer olara aımlaa ve bilim düyasıı ilgisii çee başa sayı dizileri de vardır. Öreği ardışı üç erimi oplamı bir sorai erimi verir uralıyla ifade edile Triboacci sayılarıyla ilgili lieraürde bir ço çalışmalar vardır. Bu çalışmada, elemaları Triboacci ve Triboacci-Lucas sayıları ola üçlü ba marisler ele alıara bu marisleri deermiaları yardımıyla Triboacci ve Triboacci-Lucas sayıları elde edildi. Ayrıca, Triboacci sayıları ile ilgili yei aımlar yai amamlamamış Triboacci ve amamlamamış Triboacci-Lucas sayıları verilere, bu sayıları üreeç fosiyoları icelemişir.

10 .. Tezi Yapısı Bu ez;. Bölüm Giriş bölümü,. Bölüm Kaya Araşırması, 3. Bölüm Temel Kavramlar, 4. Bölüm Triboacci Sayıları ve Üçlü Ba Marisler, 5. Bölüm Tamamlamamış Triboacci ve Tamamlamamış Triboacci-Lucas Sayıları, 6. Bölüm Souç ve Öeriler, 7. Bölüm Kayalar olma üzere oplam yedi bölümde oluşmaadır.

11 3. KAYNAK ARAġTIRMASI Feiberg M. (963) Bu çalışmada, Triboacci dizisi içi verile reüras bağıısı üzeride çalışılara yei bir bağıı verilmişir ve gümüş orada bahsedilmişir. Philippou A.N., Muwafi A.A. (98) Bu çalışmada, Fiboacci ve Triboacci gibi dizileri geellemesi ola. merebede Fiboacci dizileri aımlaıp, bu diziler içi biomial eşililer verilmişir. Spicerma W.R. (98) Bu çalışmada, üreeç fosiyou yardımıyla Triboacci sayılarıı Bie bezeri formülü bulumuş ayrıca Triboacci dizisi içi 0, ve.8393 olma üzere u ısa formu elde edilmişir. Filippoi P. (996) Bu çalışmada yazar, amamlamamış Fiboacci sayılarıı, F j j j0 0,,, olma üzere, şelide aımlamış ve reüras bağıılarıı elde emişir. Bezer şeilde 0,,, olma üzere, amamlamamış Lucas sayıları, L j j j0 j şelide aımlamış ve özellileri icelemişir. Pier A., Srivasava H.M. (999) Bu çalışmada, amamlamamış Fiboacci ve Lucas sayılarıı üreeç fosiyoları sırasıyla aşağıdai gibi bulumuşur. j j0 R F j F F,

12 4 j j0 S L j L L. Cahill N.D., Naraya D.A. (004) Bu çalışmada, deermiaı Fiboacci sayılarıı vere üçlü ba marisler verilmişir. Tasci D., Firegiz M.C. (00) Bu çalışmada, amamlamamış Fiboacci ve Lucas p- sayıları aıılara çeşili özellileri ve reüras ilişileri araşırılmışır. Nalli A., Civciv H. (009) Bu çalışmada, elemaları egaif idisli Fiboacci ve Lucas sayıları ola üçlü ba marisleri deermialarıı hesaplamışlardır. Caalai M. (00) Yazar, Triboacci ve Triboacci-Lucas sayıları arasıdai ilişiyi bulara Triboacci-Lucas sayılarıı çarpımlarıı oplamıı ele almışır. Djordjevic G.B., Srivasava H.M. (005) Yazarlar bu çalışmada, amamlamamış geelleşirilmiş Jacobshal ve Jacobshal-Lucas sayılarıı aımlayara bu sayıları bazı özellilerii ve üreeç fosiyolarıı elde emişlerdir. Kilic E. (008) Bu çalışmada, Triboacci sayılarıı oplamlarıı ve idisli Triboacci dizisii üreeç marisleri çalışılmış ve idisli Triboacci dizisi içi yei reüras ilişileri elde edilmişir.

13 5 3. TEMEL KAVRAMLAR Adı ora çağı e büyü maemaiçileri arasıda geçe Fiboacci i hayaı ile ilgili pe fazla bilgi bulumamaadır. İalya ı Pisa şehride 70 li yıllarda doğduğu saılmaa, babasıı işi edeiyle Kuzey Afria ya ve Cezayir e giiği ve burada Arap hocalarda maemai dersleri aldığı bilimeedir. Hi-Arap sayılarıı öğreere, buları Avrupa ya aımışır. Bu baımda Fiboacci, maemaiği Araplarda alıp Avrupa ya aıa işi olara da aılır. Fiboacci sayıları ve özellile Alı Ora, maemaiçileri olduça ilgisii çemiş ve birço araşırmaya ou olmuş bulgulardır. Buu sebepleri; Fiboacci dizisidei ardışı sayıları oraı ola 0, sayısıı -i bua Alı Ora deilmeedir- arihe oyu arlarıda piramileri yapımıa adar birço alada ullaılmış olması, sayı eorileride oraya çıması ve doğada birço varlıa gözlemlemesidir. Fiboacci sayılarıa özellile doğada ço sı raslamaayız. Bu sayılar bii yapraları, bii ohumları, çiçe yapraları ve ozalalarda sıça arşımıza çımaadır. Daha da ilgici bu sayılara Pascal veya Biom üçgeide, Mimar Sia ı eserleride, Da Vici i resimleride de raslamaadır. 3.. Fiboacci Sayıları So yıllarda bilim düyasıı ilgisii çee, saa ve mimari gibi birço alada arşımıza çıa Fiboacci sayıları, İalya maemaiçi Leoardo Fiboacci (70-50) arafıda aşağıdai gibi aımlamışır. Daha sora bu sayılar üzerie birço çalışmalar yapılmış ve bu çalışmaları souçlarıda bazıları aşağıda verilmişir. Taım 3... F0 0, F ve içi F F F (3..) şelide aımlaa sayılara Fiboacci sayıları deir. Bazı Fiboacci sayıları,

14 F abloda görüldüğü gibidir. Fiboacci sayılarıı bazı özellileri aşağıda verilmişir. içi, ardışı Fiboacci sayılarıı solu oplamı, i F i F ve içi, ardışı Fiboacci sayılarıı areleri oplamı, i F F F i şelidedir. içi Fiboacci sayılarıı çarpımlarıı oplamı, F F F F F m m m ve içi ( 5) ve ( 5), x x 0 delemii öleri olma üzere, F olur. Böylece apalı form

15 7 ( 5) ( 5) 5 F olara verilir ve bu formül Bie Fiboacci formülü olara biliir. Negaif Fiboacci sayıları ise, F ( ) F eşiliği ile buluur. Buları yaı sıra Fiboacci sayıları ile ilgili Koshy (00) de birço çalışmalar yapılmış olup biz burada üçlü ba marislerde ve amamlamamış Fiboacci sayılarıda bahsedeceğiz Üçlü ba marisleri deermiaları yardımıyla Fiboacci sayıları Burada öcelile üçlü ba marisi aımı verilere, bu sayılar ve bazı özel üçlü ba marisleri ilişisi üzeride durulacaır. Taım 3... A a ij M marisii elemaları i j ie a ij 0 ise bu A, -are marisie üçlü ba maris deir. Yai, a a a a a A a a a, a, a marisi bir üçlü ba marisir (Srag, 988). Bilidiği gibi Fiboacci sayılarıyla ilgili birço alada çeşili çalışmalar yapılmışır. Bularda biri de Cahill ve ar. (00) ı çalışmaları olup, Fiboacci sayılarıı maris eoriye aşıyara aşağıdai üçlü ba marisi deermiaı yardımıyla bu sayıları elde emişlerdir.

16 8 H i i i i i i olma üzere de H F dir. Daha sora Cahill ve Naraya (004) ı başa bir çalışmalarıda, üçlü ba marisler içi deermia formülü elde edilmişir. Yai, herhagi bir üçlü ba marisi ola A a, a, a a a a a,,,3 3, 3,3 a a,, a, marisii deermiaıı, A a, A a,a, a,a,,,, de, de, de A a de( A ) a a de A, 3 (3...) olara bulmuşlardır. Ayrıca yazarlar, deermiaı Fiboacci sayılarıı her al dizisii vere yei bir üçlü ba maris ailesi aımışlardır. ve,, olma üzere, M, marisi ve deermiaı,

17 9 M, F m F F F m, F F F, L L ise de M F, dır. Nalli ve Civciv (009) ise çalışmalarıda, ve,, olma üzere, elemaları egaif idisli Fiboacci sayıları ola yei bir simeri üçlü ba maris M M, aımlayara bu marisi deermiaıı icelemişlerdir. Bu, marisi ayı zamada [3] de suula mariside bir geellemesi olup elemaları, m m,,,,, j, j F F F, j, j j, j, m m m F F m L, 3 j, m m, j, dır. Bu M, marisii deermiaı,, e ise, de M, F F, e,, çif e, çif ise, de M, çif ise, de, F F M F,,, e,, çif

18 0 çif, e ise, de M F, olara elde edilmişir TamamlamamıĢ (Icomplee) Fiboacci sayıları Filippoi (996), Fiboacci sayılarıı farlı bir alaa aşıyara amamlamamış Fiboacci sayılarıı aşağıdai gibi elde emiş ve bu yei sayıları özellilerii icelemişir. Taım ,,, olma üzere F j j j0 şelide aımlaa sayılara amamlamamış Fiboacci sayıları deir (Filippoi, 996). Bu sayıları homoje olmaya reüras bağıısı, 3 F F F, 3 ve homoje ola reüras bağıısı, F F F olara verilmişir. Ayrıca bu sayıları üreeç fosiyouu, j j0 R F j F F şelide olduğu Pier ve Srivasava (999) arafıda ispalamışır.

19 3.. Lucas Sayıları İalya maemaiçi Edouardo Lucas (84-89), Fiboacci sayı sisemide ullaıla so ii erimi oplamı bir sorai erimi verir uralıı, başlagıç oşullarıı değişirere uygulamış ve yei bir sayı sisemii aşağıdai gibi aımlamışır. Taım 3... L0, L ve içi L L L (3..) şelide aımlaa sayılara Lucas sayıları deir. Bazı Lucas sayıları, L şelide verlir. Lucas sayılarıı bazı özellileri aşağıda verilmişir. içi, ardışı Lucas sayılarıı oplamı, i0 L i L içi, ardışı Lucas sayılarıı areleri oplamı, i0 L L L i şelidedir. içi, Lucas sayılarıı ardışı erimlerii çarpımlarıı oplamı, L L L L F m m 5 m

20 ve içi, ( 5) ve ( 5), x x 0 delemii öleri olma üzere, L dir. Böylece apalı form L 5 5 ( ) ( ) olara verilir. Negaif Lucas sayıları, L ( ) L eşiliği ile buluur. Şimdi de Lucas sayılarıı farlı alalardai çalışmalarıda bahsedilece ve bu sayıları maris eoridei uygulamalarıı ele alıacaır Üçlü ba marisleri deermiaları yardımıyla Lucas sayıları Fiboacci sayılarıa bezer olara Lucas sayıları da üçlü ba marisleri deermiaları yardımıyla elde edilmişir. Öreği, üzere, A are maris olma A 3 i i i i i i marisii deermiaı de A L olur (Byrd, 963). Ayrıca Cahill ve Naraya (004) deermiaı Lucas sayılarıı her al dizisii vere yei bir üçlü ba maris ailesi vermişlerdir. ve,, olma üzere, bu maris şu şeildedir:

21 3 T, L L L L,L L L, L L ise de T L., Nalli ve Civciv (009) ise çalışmalarıda elemaları egaif idisli Lucas sayıları ola yei bir simeri üçlü ba maris, ve,, olma üzere, T, aımlayara bu marisi deermiaıı,, ve göre icelemişlerdir. Bu T geellemesi olup elemaları şu şeilde alımışır: ı durumua, marisi ayı zamada [3] de suula mariside bir,,,,, j, j L L L, j, j j, j, L L L, 3 j,, j., Bu T, marisii deermiaı,, e ise, de T, L L, e,, çif e, çif ise, de T, çif ise, de, L L T L,,, e,, çif

22 4 çif, e ise, de T L, olara elde edilmişir TamamlamamıĢ Lucas sayıları Filippoi (996), Fiboacci sayılarıa bezer şeilde Lucas sayılarıı da farlı bir alaa aşıyara amamlamamış Lucas sayılarıı aşağıdai gibi elde emiş ve bu yei sayıları özellilerii icelemişir. Taım ,,, olma üzere, L j j j0 j şelide aımlaa sayılara amamlamamış Lucas sayıları deir (Filippoi, 996). Bu sayıları homoje olmaya reüras bağıısı, L L L, ve homoje ola reüras bağıısı, L L L olara elde edilmişir. Ayrıca bu sayıları üreeç fosiyouu, j j0 S L j L L şelide olduğu Pier ve Srivasava (999) arafıda ispalamışır. Bu sayılarla ilgili yapıla çalışmalar bularla sıırlı olmayıp daha birço çalışma vardır. Öreği, Tasci ve Firegiz (00) amamlamamış Fiboacci ve Lucas p-sayılarıı aımlayara üreeç

23 5 fosiyolarıı, reüras bağıılarıı ve biomial oplamlarıı icelemişlerdir. Ayrıca Djordjevic ve Srivasava (005) amamlamamış geelleşirilmiş Jacobshal ve Jacobshal-Lucas sayıları üzerie çalışmalar yapmışlardır. Koshy (00) ise Fiboacci, Lucas, Triboacci ve Triboacci-Lucas sayılarıı uygulamaları içi geiş apsamlı bir ayaır Triboacci Sayıları Triboacci sayıları ise il olara Feiberg (963) arafıda çalışılmışır. Bu çalışmada yazar Triboacci sayılarıı ele almış ve ardışı ii Triboacci sayısıı oraıa Gümüş Ora adıı vermişir. Taım T0 0, T T ve içi T T T T (3.3.) şelide aımlaa sayılara Triboacci sayıları deir. Bazı Triboacci sayıları 0,,,, 4, 7, 3, 4, 44, 8 dir. Triboacci sayılarıı bazı özellileri aşağıda verilmişir w w ,, w w i 3, w 3 olma üzere, Bie bezeri formülü, T ( )( ) ( )( ) ( )( ) (3.3.) ve biomial oplamı,

24 6 T i 3 i0 j0 i j i j i i j (3.3.3) şelidedir (Spicerma, 98; Phillippou ve Muwafi, 98)., ve olma üzere Triboacci sayılarıı farlı bir biomial oplamıı da, i i i 3 i i T T T T T T rm r r r r im i0 0 şelide olduğu yazarlar arafıda aılamışır (Yılmaz, Yazlı ve Taşara, 0). Ayrıca Kilic (008) çalışmasıda Triboacci sayılarıı oplamları ve üreeç marisleri elde emişir ve üzere, reüras bağıısıı 4 T 4 dizisi içi T dizisii T0 0, T4 4, T8 44 ve olma T T 5T T şelide ve lasi Triboacci sayılarıı oplamıı T S T 0 T şelide olduğuu gösermişir. Bu bilgilere e olara egaif idisli Triboacci sayıları da olma üzere, B, B0 B 0 başlagıç oşulları alıda B B B B 3 reüras bağıısı ile aımlaır. Burada T B dir. Daha sorai yıllarda ise iyi bilie Lucas sayılarıı bir üs sııfı ola Triboacci-Lucas sayıları ele alımış ve çeşili özellileri icelemişir.

25 Triboacci-Lucas Sayıları Taım K0 3, K, K 3 ve içi K K K K (3.4.) şelide aımlaa sayılara Triboacci-Lucas sayıları deir. Bazı Triboacci-Lucas sayıları 3,, 3, 7,,, 39, 7, 3, 4 dir. Bu sayıları Bie bezeri formülü ise K (3.4.) olara elde edilmişir, burada w w ,, w w i 3, w 3 şelidedir (Caalai, 00; Elia, 00). Ayrıca, ve r olma üzere, Triboacci-Lucas sayılarıı biomial oplamı i i i i i K T T T T K rm r r r3 r im i0 0 şelide formülüze edilmişir (Yılmaz, Yazlı ve Taşara, 0). Bu bilgilere e olara egaif idisli Triboacci sayılarıa bezer şeilde ve C, C 0 3, C olma üzere egaif idisli Triboacci-Lucas sayıları da C C C C3 reüras bağıısı ile aımlaır. Burada K C dir. (Caalai, 00).

26 8 4.TRĠBONACCĠ SAYILARI VE ÜÇLÜ BANT MATRĠSLER Bu bölüm ezi esas ısmıı oluşura il bölüm olup, ii al başlı alıda oplamışır. İl olara Triboacci sayılarıı maris eoriye aşıyara, üçlü ba marisleri deermiaları yardımıyla bu sayılar elde edilmişir. Daha sora da bezer meod Triboacci-Lucas sayıları içi uygulamışır. 4.. Üçlü Ba Marisleri Deermiaları Yardımıyla Triboacci Sayıları Bu ısımda, deermiaı Triboacci sayılarıı vere ii değişi üçlü ba maris verileceir. Bu çalışma yapılıre Cahill, Naraya (004) ı ve Nalli, Civciv (009) i Fiboacci sayıları ve üçlü ba marisleri deermiaları ile ilgili ola çalışmalarıda yararlaılmışır. Esas souça marisi deermiaı bulabilme içi aşağıdai lemmaya ihiyaç duyulmaadır. Lemma 4... ve C olma üzere, Triboacci sayıları aşağıdai eşiliği sağlar: T T K T C T. Ġspa Eşiliğimizi ispalama içi (3.3.) ve (3.4.) eşilileride,, P R S alara eşiliği sağ arafıı yeide yazarsa, T K T C T P R S P R S P R S olur. (3.3.) eşiliğii ullaara

27 9 T K T C T T P R S P R S yazabiliriz. So eşiliği erar düzelerse, T K T C T T P R S P R S elde edilir ve olduğuda, T K T C T T olur. Teorem 4... olma üzere, T r, s üçlü ba maris olsu. Yai, T T K, 3 j, rs, rs,,, Tr s j, j r T T,,, rs rs T j rs j, j j, j Cr, j, T, j rs ise de Tr, s Tr s olur.

28 0 Ġspa İspa içi üzeride ümevarım ullaalım. ve içi, r, s de T T, rs Tr s,tr s T rs de Tr, s de T T r s, rs,tr s T rs T rs olur. Eşiliğimizi m içi doğru olduğuu abul edelim. Yai, de Tr, s m Tmr s olsu. Şimdi de m içi doğru olduğuu göserelim. Delem (3...) de, de T m de T m de T m r, s m, m r, s m, m m, m r, s yazabiliriz ve abulümüzde T m rs de T m K T C T K T C T T r, s r mrs r m rs T m rs r mrs r m rs m rs olur. O halde lemma 4.. de,, de T m T rs m r s elde edilir.

29 Teorem 4... T üçlü ba marisi, T i i i i i TT T i olma üzere, de T T olur. Ġspa üzeride ümevarımla göserelim. içi açı olup 3 içi de T de i T i Tm abul edelim. Yai de T m göserelim. Delem (3...) de, olur. Şimdi T T de ve m içi doğru olduğuu olsu. O halde m içi doğru olduğuu de T m de T m de T m m, m m, m m, m yazabiliriz. Kabulümüzde, Tm T m de T m Tm T Tm T T T T m m m m+ m elde edilir i bu da ispaı amamlar.

30 Uygulama 4... Teorem 4... de r s içi, 0 0 i i T T, i T T i T ise de T, T. r, s içi, T, 4 3 i 3 i 3 T T 5 i 3 3 T T 5 3 i ise de T, T. r, s 0 içi, i i 3 T T 6,0 i T 4 T 6 i 3 T 4 ise de T T.,0

31 3 Uygulama 4... Teorem 4... de, içi, T i i marisii deermiaı 3 içi, T T3 de, i 0 T 3 i i 0 i marisii deermiaı 4 içi, T T4 de 3 4, T i 0 0 i i i 3i 0 0 i marisii deermiaı 5 içi, T T5 de 4 7, T i i i 3 i i 5 i i 3 i marisii deermiaı içi öreler çoğalılabilir. T T6 de 5 3 olur. Bezer şeilde, i farlı değerleri

32 4 4.. Üçlü Ba Marisleri Deermiaları Yardımıyla Triboacci-Lucas Sayıları Bu ısımda ise deermiaı Triboacci-Lucas sayılarıı vere ii ae değişi üçlü ba maris verileceir. Yuarıdai ısma bezer şeilde, bu çalışma yapılıre Cahill, Naraya (004) ı ve Nalli, Civciv (009) i çalışmalarıda yararlaılmışır. Esas souça marisi deermiaı bulabilme içi aşağıdai lemmaya ihiyaç duyulmaadır. Lemma 4... [4], C ve sayısı olma üzere, Triboacci-Lucas sayıları aşağıdai eşiliği sağlar: K. Triboacci-Lucas K K K K C C. Teorem 4... olma üzere, K r, s üçlü ba marisi, K K K, 3 j, rs, rs,,, Krs j, j r K K,,, rs rs C j rs j, j j, j Cr, j, K j rs, olsu. O halde de Kr, s Kr s olur. Ġspa İspa içi üzeride ümevarım ullaalım. içi r, s de K de Kr s de, Kr s K K K K K K rs, rs rs K, rs rs, rs rs K rs,

33 5 olup açıır. Eşiliğimizi m içi doğru olduğuu abul edelim. Yai, de Kr, s m Kmr s olsu. Şimdi de m içi doğru olduğuu göserelim. Delem (3...) de, de K m de K m de K m r, s m, m r, s m, m m, m r, s yazabiliriz ve abulümüzde C m rs de K m K K C K K K C K C r, s r mrs r m rs K m rs r mrs r m rs m rs olur. O halde lemma 4... de,, de K m K rs m r s elde edilir. Teorem 4... K üçlü ba marisi K 3 4i i i i 4 3 i KK K i olma üzere, de K K olur.

34 6 Ġspa üzeride ümevarımla göserelim. içi açı olup 3 içi de K 3 4 de 7 i K i abul edelim. Yai de K m Km göserelim. Delem (3...) de, olur. Şimdi K K de 3 ve m içi doğru olduğuu olsu. O halde m içi doğru olduğuu de K m de K m de K m m, m m, m m, m yazabiliriz. Kabulümüzde, Km K m de K m Km K Km K K K K m m m m m elde edilir i bu da ispaı amamlar. Uygulama 4... Teorem 4... de r s içi, 3 i i i i K C, i K C i K ise de K, K.

35 7 r, s içi, K, i 7 8 i 7 3 C K 5 i 3 3 C K 5 3 i ise de K, K. r, s 0 içi, 3 4 i i 3 K 6,0 C i K 4 C 6 i 3 K 4 ise de K K.,0 Uygulama 4... Teorem 4... de, içi, K 3 4 i i marisii deermiaı 3 içi, K K3 de 7, K 3 4i 0 3 i 4 i 3 0 i

36 8 marisii deermiaı 4 içi, K K4 de 3, K 4 3 4i 0 0 i 4i i 0i i marisii deermiaı 5 içi, K K5 de 4, K 3 4i i 4i 5 i 3 0 i 7 i i 8i marisii deermiaı K K6 de 5 39 olara elde edilir.

37 9 5.TAMAMLANMAMIġ TRĠBONACCĠ VE TAMAMLANMAMIġ TRĠBONACCĠ-LUCAS SAYILARI Bu bölüm ezi esas ısmıı oluşura iici bölüm olma üzere yie ii ısımda oluşmaadır. İl ısımda farlı bir baış açısıyla Triboacci sayılarıı gelişirme içi amamlamamış Triboacci sayıları aımlaara bu yei sayıları üreeç fosiyou elde edilmişir. İici ısmıda ise bezer şeilde amamlamamış Triboacci-Lucas sayılarıı aımlaara üreeç fosiyou çalışılmışır. 5.. TamamlamamıĢ Triboacci Sayıları Bu ısımda, Filippoi (996), Pier-Srivasava (999), Djordjevic-Srivasava (005) ve Tasci-Firegiz (00) i çalışmalarıda yararlaılmışır. İl olara, Triboacci sayılarıı biomial oplamıı ullaara amamlamamış Triboacci sayılarıı aımıı verelim. Taım , 0 i 3 amamlamamış Triboacci sayıları, T, i j i j i i j i0 j0 T, ve,,3,. olma üzere, (5..) ile aımlaır. i T, T 3 T 0,0 alıırsa, T, T 3i 3i 3i olur i burada T. Triboacci sayısıdır.

38 30 Lemma , 0 i 3 içi, i) Tamamlamamış Triboacci sayılarıı homoje reüras bağıısı, T, T, T, T,, ii) Tamamlamamış Triboacci sayılarıı homoje olmaya reüras bağıısı,,,,, T T T T 3 j 3 j i 4 i j i j0 i0 şelidedir. Ġspa A i) A T, T, T, olsu. (5..) eşiliğii ullaara, i j i j i j i j i i j i i j i0 j0 i0 j0 i j 3 i j i i j i0 j0 i j i j i j i j i i j i i j i0 j0 i j0 i j i j i i j i0 j i j i j i j i j i i j i i j i0 j0 i0 j0 i j i j j j i i j j i0 j0 j0 i i, i i i0 yazılabilir. r r r ve j i i 0 olduğu göz öüe alıırsa,

39 3 A i j i j i j i j i i j i i j i j i j i i j i0 j0 i0 j0 i0 j0 T, elde edilir. B ii) B T, T, T, T, ele alalım. (5..) eşiliğii 3 ullaara, i j i j i j i j i i j i i j i0 j0 i0 j0 i j 3 i j i j 4 i j i i j i i j i0 j0 i0 j0 i j i j i j i j i j i i j i j i i j i0 j0 i j0 i j i j i i j i0 j i j i j i j i j i i j i i j i0 j0 i j0 j 3 j i j i j j i i j j0 i0 j i 4 i j i i i0 yazabiliriz. r r r ve j i i 0 olduğu göz öüe alıırsa,

40 3 B i j i j i j i j i i j i i j i0 j0 i0 j0 j j j 3 j j j j0 j0 i j i j i i i i j i 0 j 0 i i i0 i 4 i i i i0 i j i j i i j i j i j i0 j0 i i j i j0 j 3 j i 4 i j i i j0 i0 j 3 j i 4 i j j i i j0 i0 olur. Dolayısıyla,,,,, T T T T 3 j 3 j i 4 i j i j0 i0 soucua ulaşılır. Aşağıdai lemmaya amamlamamış Triboacci sayılarıı üreeç fosiyouu ispaıda ihiyaç duyulacaır. Lemma 5..., 3 omples dizisii, ve içi, homoje olmaya S 0 S as bs cs r 3, üreeç fosiyou U( x), U x S r x S as r x S as bs r G x ax bx cx

41 33 şelidedir. Gx ise r i üreeç fosiyoudur. Ġspa U( x) ve Gx ( ) sırasıyla S omples dizisii ve r i üreeç fosiyoları olsu. Böylece, U( x) S S x S x S x S x, (5..) G x r r x r x r x r x, (5..3) yazılabilir. (5..) eşiliğii sırasıyla ax, bx ve 3 cx ifadeleriyle çarparsa, 3 4 axu x as x as x as x as x as x (5..4) 0 3, bx U x bs x bs x bs x bs x bs x (5..5) , cx U x cs x cs x cs x cs x cs x, (5..6) olur. Souç olara, (5..) eşiliğide (5..3), (5..4), (5..5) ve (5..6) eşilileri çıarılırsa, U x S r x S as r x S as bs r G x ax bx cx elde edilir. verir. Aşağıdai eorem amamlamamış Triboacci sayılarıı üreeç fosiyouu Teorem 5... Tamamlamamış Triboacci sayılarıı üreeç fosiyou, R x, r 3i R x T r x x U x,,, r0 şelidedir.

42 34 Ġspa, poziif am sayılar olup aım 5... de, T, 0, 3 i, 3 i T3 i, T3 i, 3i T3 i, T3 i, 3i T3 i3, T3 i3, yazılabilir ve lemma 5... de, 3 3 j, 4 i 3 olma üzere,,,,, T T T T 3 j 3 j i 4 i 3 3 j 4 i 3 j0 i0, olur. S0 T3 i,, S T3 i,, S T 3 i, olsu. r 0 r r 0 abul edelim ve r j 3 i j i 3 i 3 i 3 j 3 j0 i0 r r olsu. Bilidiği üzere x r0 r x fosiyou, dir. O halde r dizisii üreeç

43 35 3 j i j i 3 i 3 3 i j 3 0 j0 0 i0 = j 3 i j i 3 i 3 3 x 3 x i j j0 0 i0 0 (3i 3 j) 3 x = j x i j i j0 x i 0 x G x x x elde edilir. O halde lemma 5... ü ullaara S dizisii üreeç fosiyou, U x, 3 U x x x x G x T x( T T ), 3i 3i 3i 3 x T3 i3 T3 i T3 i U x x x x G x T x( T T ), 3i 3i 3i x T 3i olup, amamlamamış Triboacci sayılarıı üreeç fosiyou, 3i,, R x x U x olur. 5.. TamamlamamıĢ Triboacci-Lucas Sayıları Bu so ısımda ise öcei bölüme bezer şeilde Filippoi (996), Pier- Srivasava (999), Djordjevic-Srivasava (005) ve Tasci-Firegiz (00) i çalışmalarıda yararlaılmışır. Öcelile, Triboacci-Lucas sayılarıı biomial oplamıı ve bu biomial oplamı yardımıyla amamlamamış Triboacci-Lucas sayılarıı aımıı verdi. Ayrıca bu sayıları üreeç fosiyouu elde ei. Lemma içi, Triboacci-Lucas sayıları, K i 3 i0 j0 i i j i j i j i j

44 36 şelide biomial oplam olara ifade edilebilir. Taım 5...,,3, ve 0, 0 i 3 Triboacci-Lucas sayıları, K, olma üzere amamlamamış K, i j i j i i j i0 j0 i j ile aımlaır. i K, 3 K K 0,0 K, K 3i 3i 3i, olur. Burada K. Triboacci-Lucas sayısıdır. Lemma , 0 i 3 içi, i) Tamamlamamış Triboacci-Lucas sayılarıı homoje reüras bağıısı, K, K, K, K,, ii) Tamamlamamış Triboacci-Lucas sayılarıı homoje olmaya reüras bağıısı,,,,, K K K K 3 j0 i0 j i j j j i 3 i 3 i şelidedir.

45 37 Ġspa i) C K, K, K, olsu ve aım 5... yardımıyla, C C i j i j i j i j 0 0 i j i i j 0 0 i i j i j i j i j i 0 j 0 i j i i j i j i j i j i j 0 0 i j i i j 0 i j i i j i j i j i i j i j i j i j i j i0 j i j i j i j i j i j i i j i i j i j i j j j i i j j i i i0 j0 i0 j0 i0 j0 j0 i0 i j i j i j j i i i yazılabilir. Ayrıca j i i 0 olduğu göz öüe alıırsa, C C i0 j0 i0 j0 i j i j i i j i j i j i j i j i i i j i j i j i j i j i j i j i 0 j 0 i j i i j 0 0 i i j i j i j i j i j i j i j i 0 j 0 i j i i j i 0 j 0 i j i i j i j i j i j i j i 0 j 0 i j i i j i0 j0 i j i i j i j i j i i j i0 j0 i j

46 38 olur ve r r r olduğu düşüülürse, C i j i j i j i j i j i j i i j i ji j i i j i j i j i j i j i i j i j i0 j0 i0 j0 i0 j0 i j i j i ji j i i j i j i j i0 j0 i0 j0 K, i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i i j i0 j0 i j i j i j i i j elde edilir. ii) i) de yararlaara, D K, K, K, K, 0 yazabiliriz ve j0 i0 D 0 K, K, K, K, + j j i i j j j i 4 i 4 i şelide geişleilere yerie, yerie ve yerie yazılırsa,

47 39,,,, K K K K 3 j0 i0 j j i i j j j i 3 i 3 i elde edilir. Aşağıdai eorem amamlamamış Triboacci-Lucas sayıları içi üreeç fosiyouu verir. Teorem 5... Tamamlamamış Triboacci-Lucas sayılarıı üreeç fosiyou, W x, r 3i W x K r x x U x,,, r0 ile verilir. Ġspa, poziif amsayılar olup, aım 5... de,, 0, 3 K i 3 i K3i, K3i K3 i, K3 i 3i 3 i K3 i, K3 i yazılabilir ve lemma 5... de, 3 j, 3 i 3 olma üzere,,,,, K K K K 3 j0 i0 3 j 3 i 3 j j j i 3 i 3 i

48 40 olur. S K 0 3 i, 3i, S K S K 3 i, olsu. Ayrıca r 0 r r 0 ve r j0 i0 3 i 3 j 3 3 i j 3 i j 3 i j 3 i i 3 i 3 i olsu. r üzeride düzelemeler yapılırsa, r j0 i0 3 i 3 j 3 j j 3 i j 3 i j i i 3 i 3 i burada 3 i j E deilirse, r j j E j j j E E E j j E 3 i i i i 3 i 3 3 j0 0 i0 i0 3 i yazılabilir. r i ii ısma ayıralım ve il ii oplamı üreeç fosiyouu ii oplamı üreeç fosiyouu fosiyou g x g x g x g x ile göserelim. Böylece, g x, so r dizisii üreeç r r olur. Ayrıca iyi bilie x r r0 x

49 4 eşiliği göz öüe alıırsa, il ısmı üreeç fosiyou g x, j j E j j j E E E 0 j0 0 j0 j E j j E j j j E x E E g x x x j0 0 j0 0 j E j j E j j j j E E E j0 0 j0 0 j E j E j j E j j j E x x E E j0 0 j0 0 j E j j j E x E j0 0 j E j j E j j E E E j0 0 j0 0 j j j E x E g x x x g x x x g j0 0 j j x j 3i 3 j 3i 3 j x j 0 j j x j0 x 3i 3 j j x j j j0 j x j x x j x j0 x x j x 3i 3 j j x x j 3 x j j0 3i 3 j 3i 3 j 3i 3 j x j j j jx x şelide olur. g x ise, 3 i i i i 3 3 i 3 0 i 0 0 i 0 3 i 3 i i i i 3 x 3 i 3 g x x x i0 0 i0 0 3 i x

50 4 i 3 i i i 3 i i i i 3 i i x i i 3 i 3 i i 4 i 3 x 3 x i0 0 i0 0 i 3 i 3 x i0 0 i i x x x i i i i0 i 0 i x i x i0 i x i x x x i i i i0 x x i x 3 i x 3 x i x i g x x x i0 ix olur. Böylece g x, j g x i i 3i3 j 3 x x j 3 x x i x 3 x j i j0 0 j x i x elde edilir. O halde lemma 5... de, U x,, S omples dizisii üreeç fosiyou 3 U x x x x g x K x K K, 3i 3i 3i x K3 i K3 i K3i olur. Souç olara, amamlamamış Triboacci-Lucas sayılarıı üreeç fosiyou, 3i,, W x x U x olara elde edilir.

51 43 6. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER 6.. Souçlar Bu çalışmada, il olara üçlü ba marisleri deermiaları yardımıyla Triboacci ve Triboacci-Lucas sayıları elde edildi. Daha sora amamlamamış Triboacci ve amamlamamış Triboacci-Lucas sayıları aımlaara bu sayıları üreeç fosiyoları bulumuşur. 6.. Öeriler Bezer şeilde bu yei aımlaa, amamlamamış Triboacci ve amamlamamış Triboacci-Lucas sayılarıı oplamları, biomial eşilileri iceleere formülize edilebilir. Ayrıca Triboacci sayıları içi bulua üçlü ba marisleri permaeleri çalışılabilir ve egaif idisli Triboacci sayıları içi bezer çalışmalar yapılabilir.

52 44 KAYNAKLAR Byrd P.F., 963, Problem B-: A Lucas deermia, The Fiboacci Quarerly, (4), 78. Cahill N.D., D Errico J.R., Naraya D.A. ad Naraya J.Y., 00, Fiboacci deermias, College Mahemaics Joural, 3 (3), -5. Cahill N.D. ad Naraya D.A., 004, Fiboacci ad Lucas umbers as ridiagoal marix deermias, The Fiboacci Quarerly, 4 (3), 6-. Caalai M., 00, Ideiies for Triboacci-relaed sequeces, Corell Uiversiy Library, avaliable a hp://hp://arxiv.org/abs/mah/00979v Djordjevic G.B. ad Srivasava H.M., 005, Icomplee geeralized Jacobshal ad Jacobshal-Lucas umbers, Mahemaical ad Compuer Modellig, 4, Elia M., 00, Derived sequeces, he Triboacci recurrece ad cubic forms, The Fiboacci Quarerly, 39(), Feiberg M., 963, Fiboacci-Triboacci, The Fiboacci Quarerly, (3), Filippoi P., 996, Icomplee Fiboacci ad Lucas umbers, Red. Circ. Ma. Palermo (Serie II) 45, Kilic E., 008, Triboacci sequeces wih cerai idices ad heir sums, Ars Combiaoria 86, 3-. Koshy T., 00, Fiboacci ad Lucas umbers wih applicaios, Joh Wiley ad Sos Ic, NY. Nalli A. ad Civciv H., 009, A geeralizaio of ridiagoal marix deermias, Fiboacci ad Lucas umbers, Chaos, Solios ad Fracals, 40, Philippou A.N. ad Muwafi A.A., 98, Waiig for he Kh cosecuive success ad he Fiboacci sequece of order K, The Fiboacci Quarerly, 0 (), 8-3. Pier A. ad Srivasava H.M., 999, Geeraig fucios of he icomplee Fiboacci ad Lucas umbers, Red. Circ. Ma. Palermo (Serie II) 48, Spicerma W.R., 98, Bie's formula for he Triboacci sequece, The Fiboacci Quarerly, 0 (), 8-0. Srag G., 988, Liear Algebra ad is Applicaios, Thomso Learig Press, USA.

53 45 Tasci D., Firegiz M. C., 00, Icomplee Fiboacci ad Lucas p-umbers, Mahemaical ad Compuer Modellig, 5 (9-0), Yılmaz N., Yazlı Y., Taşara N., 0, Triboacci ve Triboacci-Lucas sayıları, 3. Ulusal Ereğli Kemal Ama M.Y.O. Tebliğ Güleri, Ereğli-Koya.

54 46 ÖZGEÇMĠġ KĠġĠSEL BĠLGĠLER Adı Soyadı : Nazmiye YILMAZ Uyruğu : T.C. Doğum Yeri ve Tarihi : Meram Telefo : +90 (033) , (+90) Fas : zyilmaz@selcu.edu.r EĞĠTĠM Derece Adı, Ġlçe, Ġl Biirme Yılı Lise : Zei Özdemir Lisesi, Meram, Koya 005 Üiversie : Selçu Üiversiesi, Selçulu, Koya 009 Yüse Lisas : Selçu Üiversiesi, Selçulu, Koya Doora : Ġġ DENEYĠMLERĠ Yıl Kurum Görevi 00-Hale Selçu Üiversiesi Araşırma Görevlisi UZMANLIK ALANI YABANCI DĠLLER İgilizce YAYINLAR*