Türevlenebilir Manifoldlara Giri³

Transkript

1

2

3 Türevlenebilir Manifoldlara Giri³ Yldray Ozan Orta Do u Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü 2 ubat 2017

4

5 Sevgili anne ve babamn hatrasna

6

7 Duydu umu unuturum. Gördü ümü hatrlarm. Yapt m anlarm. -Konfüçyüs Önsöz E riler ve yüzeyler tarih boyunca insanlarn zihnini me³gul etmi³tir. Benzerleri Neolitik ça larda dahi bilinen Platonik cisimlerin snandrlmas Antik Yunan uygarl nda yaplm³t. E ri ve yüzeylerin modern anlamda tanmlanp temel özelliklerinin ortaya konmas ise Gauss ve Riemann gibi devleri bekledi. Riemann Gauss'un yüzey ve e riler üzerine yapt çal³malar mükemmelle³tirip yüksek boyutlara ta³yarak bugün artk diferansiyel geometri ve Riemann geometrisi olarak bilinen alanlarn temellerini att. Poincaré topolojik uzaylarn teorisine temel grup ve homoloji gibi cebirsel nesneleri katarak geometri ve topoloji çal³malarndaki matematiksel kesinlik düzeyini artrd. Homoloji teorisi yüzeyler için bilinen Euler formülünün çok daha genel bir özellik oldu unu ortaya koydu. Yüzeylerin cebirsel topolojik ve diferansiyel geometrik özellikleri arasndaki ili³ki, matematik tarihinin en güzel teoremlerinden biri olan Gauss-Bonnet Teoremi'yle taçlandrld. Günümüz modern geometri ve topolojisinin Riemann-Roch ve Endeks Teoremleri gibi en güzel ve kuvvetli sonuçlar Gauss-Bonnet Teoremi'nin derinle³mi³ genellemeleri olarak görülebilir. Bu kitabn yazm yazarn Gauss-Bonnet Teoremi'nin anla³labilir bir kantn fazlaca diferansiyel geometri kullanmadan sadece türevlenebilir manifoldlar teorisi dilinde yazma arzusu ile 2010 yl Haziran aynda ba³lam³tr. lk ba³ta sadece yazarn ODTÜ'de vermi³ oldu u Calculus on Manifolds ve Dierentiable Manifolds derslerine ait notlarn kapsaml bir ³ekilde elden geçirilerek yazlmas amaçlanm³t. Daha sonra ise Gauss-Bonnet Teoremi'nin genel hali ve bunu yapmak için gerekli teorilerin de kitaba dahil edilmesine karar verildi. Olu³turulan bu teorilerin di er birçok sonucunu da kitaba eklememek olmazd. Böylece kitap vektör demetlerinin karakteristik snar ve çe³itli uygulamalaryla son buldu. unu belirtelim ki Guillemin ve Pollack'n Dierential Topology ([16]) adl kitab yazarn model ald kaynaklarndan biridir. Bu kitap sadece içeri i bakmndan de il yazm üslubu açsndan da vazgeçilmez. Özellikle birçok önemli teoremin kantlarnn küçük parçalar halinde okuyucuya yaptrlmas e itsel açdan da çok do ru bir yakla³mdr. Birinci ünite bu kitab okuyabilmek için gerekli olan topoloji, analiz ve do rusal cebir konularnn bir özetini içermektedir. Her ne kadar bu konularn hemen hemen hepsi lisans derslerinde görülmü³ olsa da, ö rencilerin lisans üstü e itime birçok eksikle ba³lad göze çarpmaktadr. Örne in matematikteki en önemli iii

8 iv Önsöz yaplardan biri olan bölüm kümeleri, gruplar, uzaylar gibi çok temel konular doktora ö rencilerinin zihninde dahi tam oturmam³ olabiliyor. Bunun yannda lisans e itiminin ilk yllarnda görülen do rusal cebir konularnn hzlca gözden geçirilmesi yerinde olabilir. Kitabn bütünlü ünü korumak amacyla bu ünitede, Diferansiyel Denklemlerin Varlk ve Teklik Teoremi, Ters Fonksiyon Teoremi ve do rusal operatörlerin temel formlar kantlaryla verilmi³tir. Ünite içinde yer kalmad için bahsedemedi imiz baz önemli detaylar ise al³trmalarda kar³nza çkacaktr. kinci ünite ise kitabn temel unsurlar olan manifoldlarn tanm ile ba³lyor. Te et vektör ve te et vektör demetinin yaps verildikten sonra, manifoldlarn Öklit uzayna gömülmesi için hazrlk yapyoruz. Bu kapsamda sonraki ünitelerde de sürekli yararlanaca mz Sard Teoremi'ni kant ile verece iz. Tkz manifoldlarn gömülmesi konusunu bu ünite içinde i³lerken, tkz olmayanlarn gömülmesi konusunu al³trmalarda okuyucuya brakaca z. Bu i³lemler için gerekli olan Birimin Ayr³m Teoremi'ni de kantyla sunaca z. Daha sonra manifoldlar üzerinde türevlenebilir formlar ve Stokes' Teoremi'ni verece iz. Bunu yaparken vektör uzaylarnn ve manifoldlarn yönlendirilmesi konusunu son derece dikkatle yapmaya çal³aca z. Bu ba lamda karma³k manifoldlar üzerindeki do al yönlendirmeden bahsedecek ve bu do al yönlendirmenin çarpc sonuçlarndan bir iki örnek sunaca z. Öklit uzay içindeki disk ve kürelerin hacimlerini hesaplama i³ini de bu üniteye sk³traca z. Üçüncü ünite manifoldlarn Euler snfnn manifold üzerindeki herhangi bir Riemann metri inin e rili i cinsinden ifade edilebilmesi için gerekli alt yapy olu³turmak amacyla yazlm³tr. lk önce manifold üzerinde verilen bir vektör alannn integralinin varl n gösterdik. Daha sonra bunu kullanarak Lie türevini tanmladk ve Lie türevinin temel özelliklerini çkardk. Di er taraftan, manifold üzerine Riemann metri i koyduktan sonra jeodeziklerden bahsetmemek olmazd. Jeodezik e ri diferansiyel denkleminin Fourier Serileri yardmyla standart olmayan bir kantn da bu üniteye koyduk. Ayrca manifoldlar üzerinde jeodezikkonveks kom³uluklarn varl n Spivak'n kitabndaki sunumu ([36]) takip ederek yaptk. Daha sonra vektör demetlerini ve demetlerin cebirini tanmladk. Te et vektör demetinde oldu u gibi bu demetler üzerine de metrik koyarak demetlerin geometrisini ba lant ve e rilik formlar yardmyla anlamaya çal³tk. E rilik formunu altnc ünitede Euler snfn tanmlamak için kullanaca z. Bu ünite, Poincaré Yar Düzlemi'nin jeodeziklerinin belirlenmesi ve jeodeziklerin bir uygulamas olan Tüp Kom³uluk Teoremi ile sona erdi. Dördüncü ünite De Rham Kohomolojisinin tanm ile ba³lyor. Çemberin kohomolojisini do rudan hesapladktan sonra bunun uygulamas olarak sarlma, dönme ve geçi³me saylarn tanmlayp çe³itli hesaplamalar yapaca z. Daha sonra iki boyutlu kürenin kohomolojilerini do rudan hesaplayp burada kullanlan kirleri homolojik cebirle birle³tirerek Mayer-Vietoris dizisini olu³turaca z. Bu dizi yardmyla kürelerin ve baz di er manifoldlarn kohomoloji vektör uzaylarn

9 belirledik. Poincaré izomorzmasn kantlayabilmek için tkz destekli kohomolojiyi tanmlayaca z ve bu kohomoloji teorisini kullanarak manifoldlar arasndaki fonksiyonlarn derecesini tanmlayp hesaplamalar yapaca z. Bu hesaplamalardan birisi daha çok cebirsel topoloji kitaplarnda bulunan, bir küreden kendisine giden ve derecesi sfr olan fonksiyonlarn sabite homotopik oldu unun kantlanmasdr. Bu kant oldukça teknik oldu u için, bu sonucun çemberler için olan özel hali, ayn kirler yardmyla al³trmalarda kantlanmaktadr. Bu ünite Poincaré zomorzmas ve baz uygulamalar ile bitecektir. Be³inci ünite kesi³im teorisinin kurulu³u ile ba³layacaktr. Daha sonra alt manifoldlarn Poincaré dualini tanmlayp, bunu alt manifoldlarn kesi³imlerinden yararlanarak kohomoloji halkalarnn hesaplanmasnda kullanaca z. Ayrca alt manifoldlarn Poincaré dualini kullanarak Gysin Tam Dizisi'ni olu³turaca z. Bu diziyi ise Leray-Hirsch ve Künneth teoremlerini kantlamakta kullanaca z. Bu ünitede ayrca Poincaré-Hopf Teoremi'ni ve Lefschetz Sabit Nokta Teoremi'ni kantlayaca z. Temel baz örneklerde alt manifoldlarn kesi³imlerini do rudan hesaplayaca z. Bunlarn içinde karma³k projektif uzay içindeki alt manifoldlarn kesi³imleri ve gerçel projektif düzlemin karma³k düzlem içinde kendisi ile kesi³imi yer alacaktr. Cebirsel e riler teorisinin en temel sonuçlarndan olan Bezout Teoremi, Riemann-Hurwitz Teoremi ve Hurwitz Teoremi'nin kantlar ile bu üniteyi bitirece iz. Cebirsel e riler ve yüzeyler cebirsel geometrinin yan sra diferansiyel geometri ve topoloji açsndan da çok zengin bir örnek kayna dr. Bu ünitenin al³trmalar kuadratik formlarn Arf de i³mezinin ve bunun uygulamas olan topolojik Arf de i³mezinin bir sunumunu da içermektedir. Altnc ve son ünite Euler karakteristik snfnn kurulu³u ile ba³layacak. Gauss- Bonnet Teoremi'nin kantn verdikten sonra karma³k vektör demetlerinin Chern karakteristik snarn tanmlayaca z. Chern snarnn bir uygulamas olarak yan yana gelme e³itli ini verece iz. Buradan da Derece-Cins formülünü elde edece iz. Aslnda de i³ik kirler içerdi i için Derece-Cins formülünün Chern karakteristik snarn kullanmayan bir ba³ka kantn da sunaca z. Bu yakla³m ayn dereceye sahip tüm cebirsel e rilerin olu³turdu u uzayn (bir çe³it Moduli Uzay) incelenmesine dayanr ve e riler d³ndaki di er cebirsel (yüzeyler veya yüksek boyutlu) nesnelere de uygulanabilir. Son olarak türevlenebilir manifoldlarn Pontryagin karakteristik snarn ve saylarn tanmlayp bu saylarn baz topolojik uygulamalarn görece iz. Bu uygulamalardan en dikkat çekici olan Milnor'un 1962 ylnda kendisine Fields Madalyas kazandran çal³malarndan biri olan 7-boyutlu egzotik küreler ile ilgili 1956 tarihli çal³masdr ([28]). Annals of Mathematics dergisinde yaynlanan 6 sayfalk makale son derece anla³labilir olmakla beraber tekil homoloji dilini kulland için kitaba do rudan konulamad. Milnor'un makalesini takip ederken tekil homoloji içeren bölümlerini kitabn bütünlü ünü korumak adna De Rham Kohomolojisi ile de i³tirece iz. Dikkatli okuyucularmz Gauss-Bonnet Teoremi'nin yaygn olarak bilinen ve Gauss'un jeodezik üçgenlerle ilgili sonucunu kullanan kantn vermedi imizi fark v

10 vi Önsöz edeceklerdir. Bunun önemli bir nedeni bu kantn tkz yüzeylerin bir üçgenleme kabul etti i gerçe ini kullanmasdr. Bu sonuç ilk olarak 1925 ylnda Radó [32] tarafndan kantlanm³tr. Fakat Radó'nun vermi³ oldu u kant oldukça zordur ve içerik olarak bu kitabn alannn d³nda kalr. Bu kitabn ele ald tüm konular klasik saylabilir. Bu nedenle kitabn içindeki muhtemel matematiksel hatalar ve yazm yanl³lar d³ndaki hiçbir ifadenin özgünlü ü iddia edilmemektedir. Kitab okumak isteyen veya derslerinde kullanmak isteyen akademisyenlere faydal olabilecek birkaç noktay belirtmek istiyorum: Birinci ünite kitab rahat ³ekilde takip edebilmek için gerekli alt yapy olu³turmak için yazlm³tr. Dolaysyla, gerekli alt yapya sahip okuyucular do rudan bir sonraki üniteye geçebilirler. Di er taraftan lisans derslerinde pek zaman ayrlamayan Ters Fonksiyon Teoremi ile Diferansiyel Denklemlerin Varlk ve Teklik Teoremi'ni kantlaryla sunuyoruz. Ayrca boyutu sonlu olan vektör uzaylar üzerinde tanml do rusal operatörlerin temel formlar detaylaryla okuyucuya sunulmu³tur. Bir dönemlik türevlenebilir manifoldlar dersi için ³öyle bir yol izlenebilir: Birinci ünitenin gerekli görülen yerleri hzlca yapldktan sonra ikinci ünite detaylaryla yaplmaldr. Üçüncü üniteden sadece 3.1 yaplarak yola devam edilebilir. Dördüncü üniteden ise sadece 4.1, 4.2 ve i³lenerek ders bitirilebilir. Diferansiyel geometri derslerinden Gauss e rili ini görmü³ bir ö renci grubuna Sonuç (Gauss-Bonnet Teoremi) ve bunu takip eden kant da verilebilir. E er iki dönemlik bir plan yaplmak isteniyorsa tüm kitap okunabilir. Yine ö rencilerin di er derslerde görmü³ olduklar konular hzl bir ³ekilde hatrlatlarak geçilebilir. Bu kitab çal³an bir ö renci türevlenebilir manifoldlarn temel özelliklerinin yan sra vektör demetleri ve karakteristik snar konusunda da temel bilgilere kavu³mu³ olacaklardr. Ayrca cebirsel topolojinin konular olan tkz destekli kohomoloji, derece teorisi, Leray-Hirsch ve Künneth teoremlerini de görmü³ olacaklardr. Di er taraftan, cebirsel topoloji derslerinde önemli bir yer tutan Temel Grup ve Örtü Uzaylar ise kitabmzda yer almamaktadr. Ülkemizdeki bir çok lisans üstü program cebir ve diferansiyel geometri alanlarnda oldukça kuvvetlidir. Di er taraftan, diferansiyel topoloji, cebirsel topoloji ve cebirsel geometri konularnda büyük eksiklikler vardr. Bu nedenle ilk üç ünite birçok okulda hzl bir ³ekilde i³lenebilecekken kitabn geri kalannda daha yava³ ve dikkatli olunmaldr. Muhtemel zaman darlklarndan dolay baz teoremlerin kantlar ö rencilere braklabilir. Ayrca al³trmalar ö rencilerin en fazla zaman harcamas gereken yerlerdir. Al³trmalar ö renci tarafndan konular özümsemek adna birer frsat olarak görülmelidir. Problem çözmeden matematik ö renmeyi beklemek, yüzmeyi veya bisiklete binmeyi iyi bilen birini seyrederek bunlar ö renmeyi beklemeye benzer. Bunun ise pek mümkün olmad tecrübelerimizle sabittir. Kapak Sayfalar Hakknda Arka kapaktaki resimde yer alan heykel ODTÜ Mimarlk Fakültesi önünde

11 vii bulunmaktadr. ` simsiz Heykel' olarak bilinen bu heykel 1982 ylnda Rolf Westphall tarafndan yaplm³tr. Heykel uzayda herhangi ikisi aykr olan üç do rudan olu³maktadr. Uzayda herhangi ikisi aykr olan n do runun durumlar (kongürasyonlar) önemli ve zor bir problemdir. Problemin ancak n 7 oldu u durumlarda çözümü vardr. Bu konuyla ilgili kapsaml bir makale [42] nolu referansta bulunmaktadr. Kapaklar grak tasarmcs dil Ayçe Aba tarafndan hazrlanm³tr. Te³ekkür Matematik ö renme sürecinde ve akademik hayatmda çok büyük desteklerini gördü üm Turgut Önder'e ve doktora tez dan³manm Selman Akbulut'a minnettarm. Matematik okumay, yazmay, resmini çizmeyi ve yapmay bana gösteren O.D.T.Ü. ve Michigan State Üniversitesi Matematik Bölümü'ndeki hocalarma te³ekkürü bir borç bilirim. Michigan State Üniversitesi doktora programna kabul edilmemdeki katklarndan dolay Charles L. Seebeck'e ayrca te³ekkür ederim. Yirmi yl a³kn bir süredir görev yapmaktan zevk ald m O.D.T.Ü. Matematik Bölümü'ndeki tüm çal³ma arkada³larma ve ö rencilerimize bu güzel çal³ma ortam için te³ekkür ediyorum. Kitabn yazm srasnda ihtiyaç duydu umda yardmlarn esirgemeyen, do rudan veya dolayl olarak katk sa layan dil Ayçe Aba, Haydar Alc, Hüseyin Altunda, Nurömür Hülya Argüz, Rek nanç Baykur, Seda Bar³, Hayati Bennun, Mehmet Büge, Baran Çetin, Mehmet Da l, Engin Kaya, Yasir Kzmaz, Belgin Korkmaz, Mustafa Korkmaz, Lale Özgenel, Ferit Öztürk, Ayla Ross, Süleyman Kaan Samurka³, Sinan Sertöz, Bayram Tekin, Andreas Tiefenbach, Bülent Tosun, Muhiddin U uz, Ça lar Uyank, Üstün Yldrm ve Burak Yldz'a te³ekkür ediyorum. Kitabn hakemli ini yapm³ olan meslekta³larma harcadklar zaman ve emek için te³ekkür ederim. Katklar sayesinde kitap çok daha rahat okunur ve anla³lr bir hale geldi. Ayrca bilimle tan³mama yardm eden Faruk Ekiz, Rahmi Önkibar ile Zeki Yldrm' ve beni her zaman destekleyen anne ve babam ³ükranla anyorum. Varlklarndan her zaman güç ald m karde³lerime de sonsuz te³ekkürler. Son olarak, sürekli destek olmann yan sra kitabn ilk halini detayl bir ³ekilde okuyan sevgili e³im Ferihe Atalan'a, ilham kaynaklarm olan o lum ve kzma, yakla³k otuz yldr mensubu olmaktan gurur duydu um ve bana kattklar için kendimi hep borçlu hissetti im Orta Do u Teknik Üniversitesi'ne minnettarm. Yldray Ozan O.D.T.Ü. Ankara

12 viii Önsöz

13 çindekiler i Önsöz iii 1 Yardmc Bilgiler Genel Topoloji Kümeler Topolojik Uzaylar Tkz, Ba lantl Uzaylar Metriklenebilir Uzaylar Analiz Türevlenebilme Ters Fonksiyon Teoremi Diferansiyel Denklemlerin Varlk ve Teklik Teoremi Do rusal Cebir Determinant Fonksiyonu Tensörler Temel Formlar ve Baz Uygulamalar Örnek Kantlar Al³trmalar Türevlenebilir Manifoldlar Türevlenebilir Manifoldlar Temel Tanmlar Te et Uzay Te et Demeti Bölüm Manifoldlar Rank Teoremleri Manifoldlarn Gömülmesi Birimin Ayr³m Sard Teoremi Manifoldlarn Gömülmesi Türevlenebilir Formlar ve Stokes Teoremi ix

14 x Ç NDEK LER Türevlenebilir Formlar Geri Çekme Manifoldlar Üzerinde Türevlenebilir Formlar D³ Türev Manifoldlarn Yönlendirilmesi Stokes Teoremi Disk ve Kürenin Hacimleri Karma³k Manifoldlar Üzerinde Özel Formlar Al³trmalar Vektör Alanlar ve Demetleri Vektör Alanlarnn ntegralleri ve Lie Türevleri Vektör Alanlarnn ntegralleri Lie Türevi Jeodezikler Jeodezik Denklemi Hacim Eleman ve Yldz Operatörü Vektör Demetleri Temel Tanmlar Vektör Demetleri Üzerinde ³lemler Vektör Demetleri Üzerinde Ba lantlar Poincaré Yar Düzlemi Normal Demet ve Tüp Kom³uluk Teoremi Al³trmalar De Rham Kohomoloji De Rham Kohomoloji De Rham Kohomolojisinin Tanm Poincaré Yardmc Teoremi Hesaplamalar ve Uygulamalar Sarlma, Dönme ve Geçi³me Saylar Mayer-Vietoris Dizisi Tkz Destekli Kohomoloji Poincaré zomorzmas Al³trmalar Kesi³im Teorisi Çapraz Kesi³im Alt Manifoldlarn Kesi³imi ve Poincaré Duali Vektör Demetleri ve Poincaré-Hopf Teoremi Vektör Demetlerinin Euler Karakteristi i Gysin Tam Dizisi

15 5.3.3 Leray-Hirsch ve Künneth Teoremleri Poincaré-Hopf Teoremi Lefschetz Sabit Nokta Teoremi Riemann-Hurwitz Teoremi Al³trmalar Karakteristik Snar Euler Karakteristik Snf Chern Karakteristik Snar Chern Snarnn Özellikleri Uygulamalar Pontryagin Karakteristik Snar Boyutlu Egzotik Küreler Al³trmalar Kaynakça 381 Semboller 385 Dizin 389 Kitabn Yazm ile lgili Notlar 399

16 xii çindekiler