XIV. Ulusal Antalya Matematk Olmpyat Brnc A³ama Snav Sorular -2009

Transkript

1 XIV. Ulusal ntalya Matematk Olmpyat rnc ³ama Snav Sorular -009 c sbelianwordpress@gmail.com Soru 1. dar açl üçgeninde m() = 45 'dir. 'dan 'ye indirilmi³ dikmenin aya E ve 'den 'ye indirilmi³ dikmenin aya da D olsun. E er E = 4 ve E = 3 birim ise, DE uzunlu u kaç birimdir. Çözüm 1. Yukardaki ³ekilden D uzunlu unun 7 olaca açktr. urada, DE üç- D 45 o 3 E 4 45 o ekil 1: Çözüm 1 geninde cos teoremini uygularsak, istenilen DE uzunlu unu 5 olarak bulunur. Soru. 1'den 9'a kadar rakamlarn her birinin tam bir kez tüm dokuz basamakl saylar dü³ünelim. 1,, 3, 4, 5, 6 rakamlarnn artan srada bulunup da 1,, 3, 4, 5, 6, 7 rakamlarnn artan srada bulunmad saylara iyi saylar diyelim. Örne in, ve saylar birer iyi saylardr. Kaç tane iyi say vardr? Çözüm. Önce rakamlarn artan srada bulunduklar duruma bakalm, ise aralara bizim 7, 8, 9 saylarn yerle³tirmemiz gerekecektir. una göre dizilim says, olacaktr. Düzgün sralan³larn says 7 3! ! + } 7 {{ 6 5} = 504 Hepsi farkl yerde

2 saylarnn arasna 7, 8, 9 saylarn yerle³tiri imizde olacaktr. uda, 8! = 7 oldu una göre, soruda istenilen iyi saylarn says,504 7 = 43 olacaktr. Soru 3. üçgeninin kenar uzunluklar tamsaylar olup, = 117 birimdir. m() açsnn açortaynn kenar ile kesi³im noktas D olsun. E er = D ise, üçgenin kenarnn uzunlu unun rakamlar toplam kaçtr? Çözüm 3. ekilden, e er benzerli i kullanrsak, 117 a b ekil : Çözüm 3 olacaktr. uradan, 117 a = a b a = 13 3 b e³itli i elde edilir. u e³itlikte, b = 13 olabilir. ncak, bu durumda üçgen e³itsizli i sa lanamaz. b = 4 13 olarak alrsak a = 78 olacaktr ve üçgen e³itsizli i sa lanacaktr. una göre, soruda istenen cevap, = 15 olacaktr. Soru 4. 7x x = 1 denkleminin reel çözümlerinin toplam kaçtr? Çözüm 4. Soruda verilen e³itli i, ve 7x 8 = a olarak alrsak yeni e³itli imiz, 3 9 7x = 1 7x a = 1 a olacaktr. u e³itlikte, e³itli in iki tarafnnda kübünü alr ve çözüme gidersek a = 1, a = 0 ve a = 3 de erlerine ula³rz. una göre, 7x 8 ifadesi srasyla, 0, 1 ve 3 de erlerine e³itlenirse x de erleri x = 8 7, x = 9 7, x = 17 7 olaca ndan toplamlarda 34 7 bulunacaktr.

3 Soru 5. = { 1,, 3,, 97, 98} kümesinin, bo³ olmayan her alt kümesi için, bu alt kümenin elemanlarnn çarpmn hesaplayalm. Ortaya çkan tüm çarpmlarn toplam kaçtr? Çözüm 5. kümesinin alt kümelerini ikiye ayralm, bu kümelerden birincisi 1 elemann içerirken di eri 1 elemann içermesin, 1 elemann içeren bir alt küme içermeyenin negatiisi olaca ndan sürekli toplamlar sfra gidecektir. Tek elemanl bir altküme olan { 1}'in pozitiisi olmad içinde, sadece 1 kalacaktr. Not. Özel olarak kümesini 3 veya 4 elemanl bir küme olarak seçtikten sonrada soruda istenilen durumu uygulad nzda sürekli 1 bulursunuz. Soru 6. n pozitif tamsay olmak üzere, n(n + 1) a n = biçimindeki sayya bir üçgensel say denir. una göre, a b = 90 e³itli ini sa layan kaç tane (a, b) üçgensel say ikilisi vardr? Çözüm 6. a ve b birer üçgensel say oldu una ve farklar da 90 oldu una göre, n(n + 1) m(m + 1) = 90 n + n m m = 180 e³itli i elde edilecektir. E er son ifade düzenlenirse, (n m)(n m + 1) = 180 olaca ndan istenen ikililer (90, 89), (31, 8), (4, 0), (0, 15), (14, 5), (13, 1) olmak üzere toplam 6 tane olacaktr. Soru 7. ekilde, 6 satr ve 4 sütunu olan tablonun sol alt kö³esinden ( noktasndan) sa üst kö³esine (D noktasna), çizgiler üzerinde sa a veya yukarya hareket edilerek gidilecektir. ve noktalarnn en az birinden geçmek ko³uluyla, kaç farkl yol izlenebilir? D ekil 3: Soru 7 3

4 Çözüm 7. Önce ve noktasndan geçti i durumlar bulup toplayaca z sonrada, ikisinden birden geçti i durumlarn saysn bulup bu toplamdan çkaraca z. una göre, olarak cevap bulunacaktr. 4! 6!!!!4! + 6! 4! 3!3! 3! 4! 4!!! 3! = 1 Soru = ifadesinin e³iti kaçtr? Çözüm 8. Soruda verilen toplam düzenlemeye çal³alm, buna göre; 1 k=1 ((k 1)(k + 1) + 1) (k 1)(k + 1) = 1 k=1 (k 1)(k + 1) + 1 (k 1)(k + 1) 1 = 1 + = k=1 1 = = = 1, 48 1 (k 1)(k + 1) k=1 ( 1 k 1 1 ) ( k + 1 ) istenilen cevap olarak bulunacaktr. Soru 9. ekilde dik üçgeninde m() = 90, m() = 30 ve m(ed) = m(e)'dr. D E ve = 9 birim ise E uzunlu u kaç birimdir? x D x E 30 o ekil 4: Soru 9 Çözüm 9. Soruda E ve ED açlar α olarak verilmi³. uradan, m(e)+m(e) = α + 30 ise α = 30 oldu unu görmek zor de ildir. E er, E = a olarak alrsak, ED = a ve D = 3a olaca ndan E = 4a olacaktr. Soruda = 9 olarak verildi ine göre, 6a = 9 olaca ndan, E = 6 olarak bulunacaktr. 4

5 Soru 10. n says 3 ile, n + 1 says 7 ile ve n + says 11 ile tam bölünecek ³ekildeki en küçük n pozitif tamsaysnn rakamlar toplam kaçtr? Çözüm 10. Sorada verilen bilgilere göre, 3k = 7m + 6 = 11t + 9 ise saymzn 174 oldu unu görmek zor de ildir. una göre istenen cevap, = 1 olacaktr. Soru 11. p bir asal say ve x > 0, n 0 tamsaylar olmak üzere, n p < 1000 ise n x p denkleminin kaç tane (x, n, p) çözüm üçlüsü vardr? Çözüm 11. n x p p = (n + x) = n + nx + x = n + x uradan, p = ise 50 = n + x ve n = {0, 1,, 3,, } p = 5 ise 0 = n + x ve n = {0, 1,, 3,, 9} ise toplamda 33 tane üçlü vardr. Soru 1. a < b < c saylar için a + c = b olursa, (a, b, c) üçlüsüne aritmetik üçlü diyelim. = {1,, 3,, n} kümesinin elemanlaryla olu³turulabilen tüm aritmetik üçlüler saysnn 99'dan büyük olmas için n tek says en az kaç olmaldr? Çözüm 1. = {1,, 3,, n} kümesinde olu³abilecek üçlüler ³öyledir, (1, 1 + 1, 1 + ) (1, 1 +, 1 + 4) (1, 1 + n 1, n) olur. unlarn her birinin says srasyla n tane, n 4 tane,... ve n (n 1) tanedir. O zaman toplam üçlüler ( ) ( ) n + 1 n n = ise n ve n 397 oldu undan n tek say oldu u için 1 bulunur. 5

6 Soru 13. f : Z Z fonksiyonu her x, y Z için f (f(x) + y) f(y + 7) = x e³itli ini ve f() = 5 ko³ulunu sa lasn. u durumda, f(11) kaçtr? Çözüm 13. x = olarak alrsak, f(f() + y) f(y + 7) = ise f(5 + y) f(y + 7) = olacaktr. E er y + 5 = k olarak alrsak, f(k) f(k + ) = olacaktr. uradan f() = 5, f(4) = 3, f(6) = 1, f(8) = 1 oldu una göre, f(x) = x + 7 olacaktr. E er x = (x/) dönü³ümü yaparsak, f(x) = x + 7 olaca ndan soruda istenen f(11) = 7 11 = 4 olacaktr. Soru 14. n n ifadesini tam kare yapan en büyük n pozitif tamsaysnn rakamlar toplam kaçtr? ise Çözüm 14. n n n + n(mod9) ise (n + 1) 1(mod9) olacaktr. una göre, olacaktr. n + 1 ±1(mod9) n 0 veya (mod9) n = 9k 9k + 7 7(mod9) oldu undan istenilen saynn basamaklar toplam 7 olacaktr. Soru 15. [1, ) aral ndan alnm³ kaç tane x için e³itsizli i sa lanmaz? Çözüm x < x + x + 1 x + 1 < x + 1 x x < x x + 4 < x + 1 x + x + x < x + 1 x x + x 1 ( 0 < x 1 ) + x 0 < ( x 1 x ) 1 ( x 1 x 1 ) x 1 x 1 = 0 x x 1 = 0 6

7 ise tane reel kök vardr. ncak köklerden biri 1'den küçük ile sadece tek kök vardr. Soru 16. Yükseklikleri, h a 3, h b 4 ve h c 6 e³itizliklerini sa layan üçgenler içinde alan en küçük olan üçgenin alan kaçtr? Çözüm 16. üçgeninde h a > 6 ise b ve c kenarda 6'dan büyük olacaktr. b veya c kenarna indirilen dikmelerden biride 4'ten büyük olacaktr. una göre istenen alan, 6 4 = 1 olacaktr. Soru 17. ekilde,,, 1, 1 ve 1 noktalar bir çember üzerinde olup, M noktas 1, 1, 1 do ru parçalarnn kesi³im noktasdr. E er m(ĉ 1 ) = 64, m(â 1 ) = 16 ve m(â 1 ) = m(ĉ 1 ) = 3 ise, m(âp M) açs kaç derecedir? 3 64 P 16 3 M ekil 5: Soru 17 Çözüm 17. E er ³eklimizde, 1 ve 1 do ru parçalarn çizimlerini yaparsak, çem P M ekil 6: Çözüm 17 berde çevre aç kuralndan, 1 1 = 16 ve 1 1 = 3 olacaktr. una göre, 1 üçgeninde 1 ve 1 do rular açortay olacaktr. una göre, 1 do rusuda bir açortaydr. una göre istenen aç de eri, 74 olacaktr. 7

8 Soru 18. x > 0 ve y > 0 olmak üzere, ifadesinin alabilece i en küçük de er kaçtr? 9x + 64y + 1 x y Çözüm 18. ritmetik Orta - Geometrik Orta e³itsizli ini kullanrsak, 9x + 9x + 64y + 1 x y 4 81 x 4 64y x y 3 4 = 4 Soru 19. 4x 4 0x x + x = 0 denkleminin köklerinden ikisinin çarpm ise, bu iki kökün kareleri toplam kaçtr? Çözüm 19. Temel Viete's denklem kökleri toplam ve çarpm kurallarn kullanmamz isteyen bir sorudur. una göre, varsayalm köklerimiz x 1, x, x 3, x 4 olsun. una göre, x 1 x = x 1 x x 3 x 4 = 1 olacaktr. uradan, oldu una göre, bu e³itli i düzenlersek, e³itli ini elde ederiz. yrca, x 3 x 4 = 1 4 x 1 x x 3 + x 1 x 3 x 4 + x 3 x 4 x 1 + x 1 x x 4 = 11 x 1 x (x 3 + x }{{} 4 ) + x 3 x 4 (x 1 + x ) = 11 }{{} a b a + b = 5 oldu undan, a = 3 ve b = olacaktr. Soruda bizden istenen, (x 1 + x ) = x 1 + x + x 1 x = 4 ise olarak bulunur. x 1 + x = 8 Soru 0. b ve c pozitif tamsaylar olmak üzere, kaç (b, c) ikilisi için x bx c = 0 denkleminin kökleri 5'ten küçüktür 1? Çözüm 0. x ax b = 0 denkleminin kökleri için, x 1, = a ± a + 4b 1 u soru snav komitesi tarafndan, do ru cevap ³klar arasnda verimesi unutuldu undan iptal edilmi³tir. yrca bu sorunun ayns, Ulusal Matematik Olimpiyat Snav'nda da sorulmu³tur. 8 5

9 olmas isteniyor. (a, b) pozitif ve δ = a + 4b > 0 oldu undan denklemin gerçel kökleri vardr. E er, a ± a + 4b 5 e³itsizli i çözülürse 5a + b 5 bulunur. u e³itli i sa layan a tamsaylar 1,, 3, 4'tür. una göre, a = 1 ise 1 b 0, a = ise 1 b 15, a = 3 ise 1 b 10, a = 4 ise 1 b 5 olur. u durumda = 50 tane (a, b) tamsay ikilisi için denklemin kökleri 5'ten büyük de ildir. 9