TALEBİ ZAMANA VE FİYATA BAĞLI ÜRÜNLER İÇİN OPTİMAL SATIŞ FİYATLARININ BELİRLENMESİ

Transkript

1 İtanbul icaret Üniveritei Fen Bilimleri Dergii Yıl: 6 Sayı: Güz 7/ ALEBİ ZAMANA VE FİYAA BAĞLI ÜRÜNLER İÇİN OPİMAL SAIŞ FİYALARININ BELİRLENMESİ Necmettin ANRIÖVER, Öyü EREN ÖZE Bu çalışmada, aynı anda birbirine bağlı olara atılan ve taleleri; birbirinin fiyatlarına doğrual olara, zamana ie ütel olara bağlı ii üründen belirli bir atış ezonu onunda elde edilebilece tolam ârı maimum yaan atış fiyatları araştırılmıştır. Bu fiyatlar; matematiel olara; ımi türevler, integraller ve diferaniyel denlem çözümleri ullanılara, tale foniyonlarındai atayılara bağlı olara healanmıştır. Bulunan formüllerin otimal fiyatları veren gerçe ifadeler olduğu iatlanmıştır. Ayrıca, bu formüller, farlı atış eriyotlarında değişen fiyatlarda olayca ullanılabilmei için, bir bilgiayar rogramına uyarlanmıştır. Anahtar Kelimeler: olam Maliyet, olam Gelir, Sto Maliyeti, olam Kâr Foniyonu, Maimum Kâr HE DEERMINAION OF HE SALE PRICES FOR HE PRODUCS WHOSE DEMAND DEPENDS ON IME AND PRICE ABSRAC hi aer invetigate the rice that maximize the total rofit from the ale of two roduct old imultaneouly during a given eriod of time, whoe demand deend on time exonentially, and on each other rice linearly. hee rice have been exreed mathematically in term of the coefficient of the demand function by a roce involving artial derivative, integral and olution of certain differential equation. And in addition, the formula obtained for the otimal rice whoe accuracy alo confirmed by other mean are adated to a comuter rogram in order to be ued for variable ale rice. Keyword: otal Cot, otal Income, Stoc Cot, otal Profit Function, Maximum Profit Başent Üniveritei, Mühendili Faültei, Bilgiayar Mühendiliği Bölümü, Bağlıca-Anara Başent Üniveritei, Mühendili Faültei, Bilgiayar Mühendiliği Bölümü, Bağlıca-Anara

2 Necmettin ANRIÖVER, Öyü EREN. GİRİŞ Ürünlerin e çoğu ınırlı bir atış ezonuna ahitir. Özellile modaı geçen veya tenolojii eiyen ürünler, belli bir tarihten onra atış dışı alır ve atıştan aldırılır. Ürünler iyaaya çıtıtan onra atış fiyatları değişebilir, atış eriyodu onuna doğru fiyat düşebilir. Çünü daha geliştirilmiş yeni modeller iyaaya ürülmüş olabilir. Bu nedenlerden dolayı bir ürünün, atış eriyodunda üretim mitarını, talebini, iarişini, mal oluş fiyatını, tolama maliyetini, atış fiyatını, aynı anda, yani eş zamanlı, dinami olara belirleme ve ona göre üretim-atış çalışmalarını organize etme, üretim ve to lanlamaı yama, maimum âr için ço önemlidir (Leo, 4; Heizer ve Render, 6; aha, 987; Varma ve Vetta, ). ale tahminleri için eonomide itatitiel anetler, deneme atışları, regreyon analizi, trend analizi gibi yöntemler ullanılmata ve matematiten yararlanılmatadır (ecer, 98; Ki, 997). Fiyatlandırmalar da, maliyete yöneli fiyatlandırma, reabete yöneli fiyatlandırma, talebe yöneli fiyatlandırma gibi bir ço yöntemle yaılmatadır (Mucu, 994). Anca, bu alanlarda ein formüller bulunmuş değildir. Çünü bir ürünün talebi ve fiyatı; maliyet, zaman, relam, rai ürünler, ara ürünler, iame (yerine geçen) ürünler, tamamlayıcı ürünler, ea ürünler, gelir, oyal olaylar ve doğa olayları gibi bir ço arametreye (etene) bağlıdır. Özellile oyal olayların (riz, avaş) ve doğa olaylarının (uralı, derem) zamanı, şiddeti ve etii tam ve ein olara bilinmemetedir. Bu nedenle tale ve fiyat onuu üzerinde araştırmalar, çeşitli bilim alanlarında günümüzde de devam etmetedir. You (5), yatığı Inventory Policy for Product with Price and ime-deendent Demand adlı çalışmaında, talebi, zamana ve fiyata bağlı te bir ürün için at d = α e β olara almış, ârı maimum yaan uygun atış fiyatını ve iariş mitarını belirlemiştir. ale foniyonları böyle ütel ve doğrual olabilirler (ecer, 98; Paraız, 994; Liey vd., 99). Bu çalışmada; talebi, zamana ve atış fiyatlarına bağlı, birbiriyle bağlantılı, çoğunlula aynı anda atılan ii ayrı ürün için, bu roblem matematiel olara çözülmeye çalışılmıştır. Birbirine bağlı olara, aynı anda atılan ii ayrı ürünün üretiminde ve atışında maimum ârı veren otimum fiyatlar matematiel formülleriyle belirlenmiştir. Karar vericiler bu formülleri uygulama alanlarında ullanı, fayda ağlayabilirler. 54

3 İtanbul icaret Üniveritei Fen Bilimleri Dergii Güz 7/. KULLANILAN SEMBOLLER VE VARSAYIMLAR Birbirine bağlı A ve B ürünlerinin belirli bir [,] üretim-atış eriyodunda, ırayla, birim maliyet fiyatları: a,b atış fiyatları:, net ârları: -a, -b iarişleri: q, q taleleri: d = c( ) e t () d = d c f e t () ve c, d, f,, R, f>c olun. t [,] zaman arametreidir. Pozitif c,d,f,, abitleri, ilişili ürünlerin tale analizlerinden bulunaca belirli, değişmez abitlerdir. t zaman arametrei değişendir., fiyatları ie bilinmeyen ve değişebilir arametrelerdir. Bu tale foniyonları, regreyon ve trend analizi göz önüne alınara düşünülmüştür. Bu foniyonlar üç değişenli foniyonlar oldularından, grafileri 4-boyutlu Euclidian uzayda birer hieryüzeydir. Bu nedenle, bu foniyonlara tale yüzeyleri, (hieryüzeyleri) denebilir. Grafileri reel olara çizilemez, anca anal olara düşünülebilir. 3. OPİMİZASYON HESAPLARI Satış ezonu [,] zaman aralığı olara alının. Bu aralıta, atışların aışından elde edilen atışlar tolamı integralle healanır (Neteine, 6; Nahaetyan ve Pardalo, 6). Buna göre () denleminden t A nın atışlar tolamı: S = d dt = [ c( ) e ] dt t = t S = [ c( ) t e ] t = S = c( ) e (3) olara () denleminden de B nin atışlar tolamı: 55

4 Necmettin ANRIÖVER, Öyü EREN S t = d dt = [ d c f e ] dt t = S = [ d. t c t t f e t ] t = S = d. c e f (4) Bu eriyotta A nın to eviyei I, B nin to eviyei de I olun. di dt =d olacağından, () denleminden di t =c( ) e dt t I = [ c( ) e ] dt [ ( ) et I =c t ] C (5) elde edilir. Satış ezonu başında, yani başlangıç anındai A nın to mitarı: I () = q - S olacağından, t= için, () ( ) e I = C = q c C q c( ) e = çıar. Bu değer (5) denleminde yerine onulduğunda; ( ) et I c t q c( ) e = (6) di Bu atış ezonunda B nin to eviyei I ie, dt =d olacağından, () denleminden 56

5 İtanbul icaret Üniveritei Fen Bilimleri Dergii Güz 7/ di t dt =d c f e t I = ( d c f e ) dt (. et I = dt ct f t ) C (7) çıar. Başlangıçta B nin to mitarı:i ()=q S olduğundan, t= için; I () = C e = q d c f e C = q d c f çıar. Bu, (7) denleminde yerine onulduğunda, I. et =dt ct f t q d c f e (8) A nın birim to maliyeti h, B nin birim to maliyeti h olun. [,] zaman aralığında (atış ezonunda, eriyodunda), maliyet biriimleri nait çıışı (aışı) olduğundan, A nın tolam to maliyeti : H = Ihdt t = B nin tolam to maliyeti: H = I h dt t = integralleri ile healanır. A nın tolam geliri : R = S B nin tolam geliri : R = S A nın tolam maliyeti : M = q. a 57

6 Necmettin ANRIÖVER, Öyü EREN B nin tolam maliyeti : M = q. b dir. Sabit tolam gider c ie tolam net âr : K = R R H H M M c (9) dir. Bunların değerleri yerlerine yazıldığında K = S S I h dt I h dt q a q b c olur. (7) ve (8) denlemlerinden [ ( ) e K = c ] [ e d c f ] [ ( ) et c t q t c( ) e ] h dt t [ dt c e t f t q d c et f ] h dt q a q b c A nın tolam to maliyeti H, (7) denleminden 58

7 İtanbul icaret Üniveritei Fen Bilimleri Dergii Güz 7/ H = I h dt = h [ c( ) t t = t e q c( ) e ] dt t H = h [( ) t e q t c( ). t e t t] t= H = h [( ) e q c( ). e ] B nin tolam to maliyeti H, (8) denleminden t H = ( e I h dt = h dt c t f t q t= d. c e f ) dt t H = h ( d t c t f t e q t dt.. ct e f t t t) t= H = h ( d c f e q d. c f e ) 59

8 Necmettin ANRIÖVER, Öyü EREN Bu değerler (9) da yerine onura, tolam âr foniyonu, K = R R H H M M c dan K = [ c( ) e ] [ d c f e ] h [( ) e q c( ) e ] h ( d c e f q d c e f ) qa qb c () olara elde edilir. Bu, tolam âr foniyonu K nın zamanına ve, fiyatlarına bağlı ifadeidir. Diğer arametreler, ürüne göre değişen, anca belli abitlerdir. 4. OPİMUM FİYALAR olam âr foniyonu K yı maimum yaan, fiyatlarının belirlenmei için, K nın, ye göre ımi türevleri alınır ve a eşitlenir (hore, 979; Wilfred, 993; aha, 987). K R R H H = ( M M c ) = c [ c( ) e ] c h c h h c h c = () K R R H H = ( M M c ) = 6

9 İtanbul icaret Üniveritei Fen Bilimleri Dergii Güz 7/ c f [ d. c e f ] ( h ch ) ( h f h f ) = () () ve () den, fiyatları healanır. Bunun için bu denlemler ve ye göre düzenlenir. () denlemi, 3 e c c = h c h h c (3) şelini alır. () denlemi de, 3 c f = e h ch h f d (4) şelini alır. (3) ve (4) denlemleri taraf tarafa tolanıra, c ler ıalır. t (c f ) e = d = e d ( e ) d = (5) ( c f ) f > c f c > c f < t ve e < olduğundan < olur. Bu da belenen bir onuçtur. Bu değer (4) denleminde yerine onur ve c yalnız bıraılıra, c = f. e d e h ch c f 3 h f d 6

10 Necmettin ANRIÖVER, Öyü EREN fe f fd c = e h ch c f 3 h f d çıar. İi taraf c ile bölünüre fe f fd h h 3h f = e d c c 4c 4c c c cf elde edilir. Bu ifade düzenlenire fiyatı, ( c f) [ e ] ( c f) [d 3 fh (c ) h] f( d) = (6) 4 c ( c f ) olara c,d,f,,, IR idi. t t f > c c f < ve e < e < dır. Dolayııyla ay ve ayda negatiftir. O halde, > dır. Bu da belenen bir diğer onuçtur. Bu fiyatların âr foniyonunu maimum yaan fiyat değerleri olduğu göterilmelidir. = c, = c, = f ve Δ=. ( ) =.[4cf 4 c ] = 4 c( f c) olur. f > c olduğundan Δ> dır. c, f, R olduğundan <, < dır. O halde bu, fiyatlarında tolam âr foniyonu K maimum olur (Arya ve Lardner, 993; Wilfred, 993). olam âr foniyonu K nın maimum değeri; (5) ve (6) fiyat değerleri, () denlemindei tolam âr foniyonunda yerlerine onara d, d tale foniyonlarında geçen c,,, d, f atayıları ürüne göre değişecetir. Birlite atılan belirli ii ürünün üretili atılmaında bu atayılar, itiatta, 6

11 İtanbul icaret Üniveritei Fen Bilimleri Dergii Güz 7/ işletmede verilen tale belirleme yöntemlerine göre, matemati ve itatiti ullanılara healanabilir (ecer, 98; Paraız, 994; Leo, 4). Otimum ve fiyatlarını belirten (5) ve (6) formüllerinin uzun olmaından dolayı, ve değerlerinin dinami olara, olayca healanmaı işlemi için, (6) ve (5) de verilen formüller bilgiayar rogramına uyarlanmıştır. Denlemler değişenler aracılığı ile odlama içeriinde tanımlanmış ve Viiual Studio.NE 5 latformu ullanılara, C# rogramlama dili aracılığı ile ve değerleri healanmıştır (Şeil ). Şeil. Program Arayüzü Healanmaı itenen değer için verilerin altında yer alan butonlara baılara healama işlemleri yaılır. Buna göre; =, e=.7, =, d=3, =36, c=3, f=5 değerleri için = 8,694, h =. ve h =.3 değerleri için = olara rogram aracılığı ile healanmıştır. Anca bu değerler, ratgele değil, tale araştırmalarına göre belirlenmiş gerçeçi değerler olmalıdır. 5. SONUÇ VE DEĞERLENDİRME İşletmelerin, müşterileri beletmeden taleleri arşılamaları ve touz çalışabilmeleri; verimlili, ârlılı ve büyüme açıından on derece önemlidir. aleler; zamana, ürünlerin atış fiyatlarına, oyal olaylara ve doğal olaylara bağlıdır. Bu nedenle, taleleri ein olara etirebilme mümün değildir. Anca, yalaşı tale tahminleri yaı ona göre üretim lanlamaı yama, dinami otimum (en uygun) fiyatları healama, atış olitiaı belirleme ve işleri organize etme ço önemlidir. İtiat, işletme ve endütri mühendiliği bilimlerinde tale tahminleri üzerinde çalışmalar, araştırmalar gerçeleştirilmetedir. ale Program; lininden indirilebilir. 63

12 Necmettin ANRIÖVER, Öyü EREN foniyonları doğrual, ütel, logaritmi, areel ve übi foniyonlar veya bunların ombinayonları olabilmetedir. Uygulamalarda, genellile talelerin önceden görünen trendlerine göre hareet edilmetedir. Anca, değişi fatörlerle, taleler her an da değişebilmetedir. Bu durumda tolam ârı maimum yaan atış fiyatlarının hemen belirleni ona göre ürünleri atışa unma gereir. Bu da dinami bir olaydır. Dolayııyla otimal çözümleri tüm ilgililerin hemen görebilmei ço yararlı olur. Bu çalışmada, healamalar onucunda bulunan formüller, uygulama ile tam uyuşma götermeyebilir. Anca, bunlardan yalaşı olara yararlanma mümündür. Önerilen yöntemin uygulamaya atıı, iyaadai durum inceleni, arşılaştırmalar yaılara belirlenebilir. Örneğin; geçmiş yıllarda, mazot fiyatlarının düşülüğü dizel otomobillere olan talebi, dolayııyla onların fiyatlarını arttırmıştır. Günümüzde, mazot fiyatlarının yüeliği, bu otomobillere olan talebi düşürmüştür. Otomobil ve yaıtı araındai ilişiler, burada verilen yönteme benzer bir yöntemle incelenebilir. Ayrıca, taleler, ürünün aliteine, rai ürünlerin fiyatlarına ve alitelerine, fiyatların değişim hızına (türev, ivme) da bağlıdır. ale foniyonlarına bu etenler de elenere yeni araştırmalar yaılabilir. Bu durumlarda, tale foniyonlarındai atayılar ve değişenler çoğalacatır. Otimal fiyatlar bu atayılara ve değişenlere bağlı olacatır. Katayıların ve değişenlerin çoğalmaı formülleri büyütecetir, anca uygulamada, gerçeğe daha yaın değerler verecetir. 6. KAYNAKÇA Arya, J. C. ve Lardner, R., (993), Mathematical Analyi for Buine, Economic, and the Life and Social Science, Londra, Ingiltere, Prentice Hall International Limited. Heizer, J. ve Render, B., (6), Oeration Management, New Jerey, A.B.D., Prentice Hall. Ki, E., (997), Eonometri Yöntemler, Gazi Üniveritei, İtiadi ve İdari Bilimler Faültei, Anara, 9-7. Leo, S., (4), Mathematical Method for Agricultural and Reource Economit, htt://are.bereley.edu/coure/are/fall4. Liey, R. G., Steiner, P. O., Purvi, D. D. ve Courant, P. N., (99), Economic, Harer and Row, New Yor, 8-3. Mucu, İ., (994), Pazarlama İleleri, Der Yayınları, İtanbul,

13 İtanbul icaret Üniveritei Fen Bilimleri Dergii Güz 7/ Nahaetyan, A. G. ve Pardalo, P. M., (6), A Bilinear Reduction Baed Algorithm for Solving Caacitated Multi-Item Dynamic Pricing Problem, Comuter and Oeration Reearch, 35, 5, 6-6. Neteine, S., (6), Dynamic Pricing of Inventory/Caacity with Infrequent Price Change, Euroean Journal of Oerational Reearch, 74,, Paraız, İ., (994), Miro Eonomi, Modern Miroeonomi Analize Giriş, Ezgi Kitabevi, Bura, 9. aha, H. A., (987), Oeration Reearch- An Introduction, New Yor, A.B.D., Mac Millan Publihing Comany, ecer, M., (98), İşletme Eonomii,, 9, Eonomit Yayınevi, Anara. hore, J. A., (979), Elementary oic in Differential Geometry, Sringer-Verlag, New Yor, A.B.D., 95-. Varma, G. D. ve Vetta, N., (), Otimal Dynamic Pricing with Inventorie, Economic Letter, 7, 3, Wilfred, K., (993), Advanced Calculu, Addion-Weley Publihing Comany Inc., You, P. S., (5), Inventory Policy for Product with Price and ime-deendent Demand, Journal of the Oerational Reearch Society, 56, 7,