Güç Spektral Yoğunluk (PSD) Fonksiyonu

Transkript

1 1 Güç Spektral Yoğunluk (PSD) Fonksiyonu Otokorelasyon fonksiyonunun Fourier dönüşümü j f ( ) FR ((τ) ) = R ( (τ ) ) e j π f τ S f R R e d dτ S ( f ) = F j ( f )e j π f ( ) ( ) f τ R S f e df R (τ ) = S Özellikler: R (0) = E[ (t )] = S ( f ) df S ( f ) gerçek ve çift simetriktir : S ( f ) = S ( f ) S ( f ) 0

2 Örnek: Genel bir ilintisiz rastgele süreç için (τ ) = C (τ ) + m = N N0 0 δ R( ) R( ) m ( ) m N N S f m m f R (τ) N o / δ(τ) m (τ ) + m 0 0 ( ) F ( ) ( ) τ S (f) m δ(f) N o / S (f) beyaz gürültü (m = 0) N o / f f

3 3 Example: (t ) = A cos (π f 0 t + φ ) + W(t ) W(t) beyaz, N 0 /; φ birbiçim [ π, π]; W, φ bağımsız A cos π f τ N f 0 δ (τ ) 0 A R (τ ( ) = cos ( ) S (( f ) = F F R ((τ ) = R ( (τ ) ) e j j fπ f τ S f R R e d dτ N 0 F δ (τ ) = A δ ( f f ) + A = A N A A N F[cos π f τ ] Fcos f0 F ( ) ( f f0) 0 ( f f0) 0 δ ( f + f ) + N 0 N ο / A 4 S (f) A 4 f 0 0 f 0 f

4 4 Kros-Güç Spektral Yoğunluk Fonksiyonu S Y ( f ) = F F R Y (τ ) S ( f ) R ( ) Y Y Örnek: (t ) = A cos (π f 0 t + φ ) + W (t ), Y (t ) = A cos (π f 0 t ) W(t) beyaz, N 0 /; φ birbiçim [ π, π]; W, φ bağımsız A (τ = π 0 τ RY ( ) cos f0 A S Y (f) A A A S (ω = F (τ = F[cos π τ Y ( ) FRY ( ) F f0 ] 4 4 A A = δ ( f f + δ + 0) ( f f0) 4 f 0 0 f 0 f

5 5 Benzetim Örneği: (t ) = 4 cos (10π t ) + W (t ) Gürültü W(t) beyaz, m = 0, N 0 / = 0.5 watt/hz Faz φ = 0.59 radyan (tek gerçekleme) Varsayım: φ birbiçim [ π, π]; W, φ bağımsız SNR db = 10 log 10 (Sinyal Gücü Gürültü Gücü ) Dalgaşekli süresi: 0 t < sn T S = 0.01 sn örnekleme peryoduyla 00 örnek üretin: Örnekleme frekansı: f S = 100 Hz Gürültü Gücü = 0.5 watt/hz 100 Hz =5 watt 4 4 SNR SNR= 10 db db 10log = db 5

6 6 Benzetim Örneği (devam) Korelasyonlar ve güç spektrumu: MATLAB xcorr komutu 399 örnek üretir Ortadaki 00 değerin fft sini alırsak: 00 fft katsayısı (0 to 100 Hz i kapsayan) bin genişliği 100/00 = 0.5 Hz ilk 60 fft katsayısını çizdirin Faz birbiçim benzetimlerinizi : [ π, π] arasındaki farklı değerler için koşturun. Sonuçların ortalamasını alın.

7 Otokorelasyon ve Spektral Yoğunluk Fonksiyonu: 7

8 Kros-Korelasyon and Kros -Spektrum: 8

9 9 Termal Gürültü İdeal olmayan iletim ortamındaki serbest elektronların ısıdan kaynaklı harektelerinin rastgeleliğinden ortaya çıkar. Serbest elektron hareketi dalgalanan voltajı arttırır. Toplam gürültü voltajı çok büyük sayıda çok kısa süreli voltaj darbelerinin (bağımsız olarak üretilmiş) toplamı şeklinde verilir. Merkezi limit teoreminden, toplam gürültü voltajı beyaz Gausyen süreç olur.

10 10 Termal gürültü ideal bir direnç ve bir gürültü kaynağının kombinasyonu şeklinde temsil edilebilir: R v n Eşdeğer gürültü üretecinin güç spektral yoğunluğu şu şekilde tanımlanır S W ( f ) = kt kt N = 0 0 SW ( f) watt/hz watts/hz burada T Kelvin cinsinden ortamın sıcaklığı ve k = Joule/ Kelvin Boltzmann sabiti.

11 11 Örnek: 5 C de 1 MΩ luk direnç üzerindeki termal gürültü kaynaklı güç spektrum yoğunluğu şu şekilde hesaplanır: T = = ( Kelvin) 3 S W ( f ) = = = 10 3 kt N = S ( ) watt/hz watts/hz W f Eğer sistemin bant genişliği 10 MHz ise dirençten kaynaklanan toplam gürültü gücü watt tır.

12 1 Nicemleme Gürültüsü Nicemleme gürültüsü sürekli bir genlik kesikli hale getirildiğinde oluşur. Nicemleme yuvarlama veya kesme (truncation) ile elde edilir. Nicemleme adım büyüklüğü: = A/N x - A A -3-4 x c

13 13 N = b nicemleme seviyelerinin sayısı olsun; b bit sayısıdır. Nicemleme hatası: e = x c x, ± / = ± A/N aralığında. Yuvarlamadan dolayı, e birbiçim dağılmıştır: [ /, /] 1 f E (e) = 1 fe () e 1 e e nin ortalaması sıfırdır; varyans: /1 =4A /1N. - A 4 3 / Sinusoidal giriş varsayımıyla, SNR şöyle hesaplanır: x -1 - / + A -3-4 Signal Power A db = 10 Noise Power = log Sinyal gücü A SNR 10 1 N db 10log10 10log10 gürültü gücü 4 A 1N = 10 (1.5 b b 10 log ) = b bdb 10 x c

14 14 Lineer Sistemlerin Rastgele Sinyallere Tepkesi w.s.s. LTI System (t) h(t) Y(t) Sistem çıkışının ortalaması: Y ((t t) = h (u( ) ) (t( u ) du ) = h (t( )* ) ((t h u t u du h t t) E Y ((t t) = E h( u) ( t u) du h( u) E ( t u) du h (u ) (t u ) du = h (u ) E (t u ) du ( ) ( ) h u m du m h u du = h (u ) m du = m x h (u ) du m m h( u) du Y m Y = m x h (u ) du

15 15 Kros-korelasyon fonksiyonu: RY ( ) E Y ( t) ( t ) E h( u) ( t u) du ( t ) R Y (τ ) = E Y (t ) (t τ ) = E ( h (u ) (t u ) du ) (t τ ) = h (u ) E (t u ) (t τ ) du = h (u ) R (τ u ) du ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R Y (τ ) = h (τ )* R (τ ) R ( ) h( ) R ( ) Y h u E t u t du h u R u du

16 16 Çıkışın otokorelasyon Fonksiyonu: R Y (τ ) = E Y (t )Y (t τ ) = E ( Y h (u ) (t u ) du ) Y (t τ ) R ( ) E Y ( t) Y ( t ) E h( u) ( t u) du Y ( t ) = h (u ) (t )Y (t τ ) du = (u ) R Y (τ u ) du h( u) E ( t u) Y( t ) du h( u) RY ( u) du then: R Y (τ ) = h (τ )* R Y buradan: RY ( ) h( ) RY ( ) = h (τ )* h( ) R ( ) h( ) h( ) R ( ) Y h( ) h( ) R ( ) R ( ) h( ) h( ) R ( ) Y

17 17 Frekans Bölgesi Analizi R (τ ) S ( f ) R Y (τ ) S Y ( f ) R Y (τ ) S Y ( f ) R Y (τ ) S Y ( f ) h (τ ) H ( f ) h ( τ ) H * ( f ) Kros-spektral yoğunluk fonksiyonu: R Y (τ ) = h (τ )* R (τ ) S Y ( f ) = H ( f ) S ( f ) Çıkış güç spektral yoğunluk fonksiyonu R (τ ) = h (τ )* h ( τ )* R (τ ) S ( f ) = H ( f ) S ( f ) R ( ) h( ) h( ) R ( ) S ( f ) H( f ) S ( f ) Y Y

18 18 Uygulama: Sistem Tanıma (Identification) Sistemin dürtü tepkisi h(t) bilinmiyor. Beyaz (t) LTI, nedensel h(t) Y(t) Sistem girişi beyaz gürültü olsun R (τ ) = δ (τ ); S ( f ) = 1 Sistem tepkesi girişle çıkışın kros korelasyonun hesaplanmasıyla tanımlanır. Zaman (gecikme) bölgesi: R Y ( τ ) = h (τ )* R (τ ) = h (τ )*δ (τ ) = h (τ ) R ( ) h( ) R ( ) h( ) ( ) h( ) Y Frekans bölgesi: S Y ( f ) = H ( f ) S ( f ) = H ( f ) 1 = H ( f ) S ( f ) H( f ) S ( f ) H( f ) 1 H( f ) Y

19 19 Benzetim Örneği: beyaz LTI, nedensel (t) h(t) Y(t)