- PDF Ücretsiz indirin

Transkript

1

2

3

4

5

6

7 S IGELER D IZ IN I w N C c 0 l 1 c R C üzeinde tan l bütün dizile uzay Do¼gal say la cülesi Fa opeatöü Koples say la cülesi Koples teili s f dizilei uzay Koples teili s n l dizile uzay Koples teili ya nsa dizile uzay Reel say la cülesi v

8 1. G IR IŞ TEEL TANI VE KAVRALAR Tan 1.1. X6= ; bi cüle ve K oples say la n bi cisi olsun. E¼ge + : X X! X; : K X! X fonsiyonla aşa¼g dai özellilei sa¼gl yosa, X cülesine K cisi üzeinde bi linee (vetö) uzay ad veili.8; 2 K ve 8x; y; z 2 X için (L1) x+y = y+x; (L2) (x + y) + z = x + (y + z); (L3) x + = x olaca şeilde bi 2 X vad, (L4) He bi x 2 X için x + ( x) = olaca şeilde bi ( x) 2 X vad, (L5) 1:x = x; (L6) (x + y) = x + y; (L7) ( + )x = x + x; (L8) (x) = ()x: Tan 1.2. X6= ; X X üzeinde tan lan ş aşa¼g dai şatla sa¼glayan pozitif eel de¼geli d fonsiyonuna X cülesi üzeinde bi eti deni. 8x; y; z 2 X için, ( 1 ) x 6= y için d(x; y) > 0; ( 2 ) d(x; y) = 0 () x = y ( 1 ve 2 pozitif de¼gelili), ( 3 ) d(x; y) = d(y; x) (sieti özelli¼gi ), ( 4 ) d(x; y) d(x; z) + d(z; y) (üçgen eşitsizli¼gi ) Di¼ge bi ifade ile ( 1 ); ( 2 ); ( 3 ) ve ( 4 ) şatla n sa¼glayan d : X X! R + fonsiyonuna eti deni. Tan 1.3. Bi X cülesi üzeinde bi d eti¼gi veildi¼gi zaan (X; d) iilisine eti uzay deni. Tan 1.4. (X; d) bi eti uzay ve x = (x n ) X de bi dizi olsun. E¼ge he " > 0 için n > n 0 oldu¼gunda d(x n ; s) < " olaca şeilde bi n 0 2 N ve s 2 X vasa (x n ) dizisi X 0 de ya nsat deni ve x n! s veya li n!1 x n = s şelinde gösteili. Tan 1.5. X; K cisi üzeinde bi linee uzay olsun.; : X! R + dönüşüü 1

9 aşa¼g dai şatla sa¼gl yosa bu dönüşüe bi no, (X; ; ) iilisine de bi nolu uzay deni: 8x; y 2 X için (N1):x 0; (N2):x = 0 () x = 0; (N3):x = jj x ( sale ), (N4):x + y x + y : (N3) Şat x =jj p : x ( 2 K) şelinde olusa bu tadide X e bi p nolu uzay deni. Tan 1.6. E¼ge (N2) şat sadece x = 0 =) x = 0 şat sa¼glan yosa, X e K cisi üzeinde bi ya nolu uzay deni. Tan 1.7. Bi (X; ; ) nolu uzay nda he Cauchy dizisi bu uzay n bi notas na ya ns yosa bu nolu uzaya Banach uzay deni. Tan 1.8. (X; ; ) bi nolu uzay olsun X bi Banach uzay ve : X! C (x) = x = (1; 2; 3; :::) dönüşüü süeli ise X 0 e bi BK uzay deni. Tan 1.9. Bi X vetö uzay n n bi Y alt cülesi veilsin. E¼ge y 1 ; y 2 2 Y oldu¼gunda = fy 2 Y : y = y 1 + (1 )y 2 ; 0 < 1g Y oluyosa Y alt üesi onvesti deni. Tan Bi Olicz fonsiyonu süeli, azalayan, onves (0) = 0; x > 0 için (x) > 0 ve x! 1 ien (x)! 1 şatla n sa¼glayan [0; 1)! [0; 1) şelinde tan l fonsiyondu. Tan Bi Olicz fonsiyonu, e¼ge (2t) K(t) (t 0) olaca şeilde sabit bi K > 0 say s vasa, t nin tü de¼gelei için 2 şat n sa¼glayan bi fonsiyondu. Tan X linee topoloji uzay, g : X! R bi fonsiyon olsun. E¼ge g aşa¼g dai şatla sa¼gl yosa g 0 ye bi paano, (X; g) iilisine de bi paanolu uzay deni: (P 1 ) g() = 0; (P 2 ) g(x) = g( x); 2

10 (P 3 ) g(x + y) g(x) + g(y); (P 4 )! 0 ; x! x 0! x! 0 x 0: Bu çal şa boyunca aşa¼g dai eşitsizli s s ullan lacat. p = (p ); 0 < inf p = h p sup p = H < 1 olaca şeilde eel say la n bi pozitif dizisi ve K = ax(1; 2 H 1 ) olsun. Bu tatide 8 2 N için a ; b 2 C ola üzee, eşitsizli¼gi sa¼glan. ja + b j p K(ja j p + jb j p ) 3

11 1.2.FARK D IZ I UZAYLARI Fa dizi uzayla il ez 1981 y l nda K zaz, taaf ndan tan lan ş ve çeşitli topoloji özellilei incelenişti. Bu bölüde bu uzaylaa de¼ginece¼giz. l 1, c ve c 0 s as yla s n l dizile uzay,ya nsa dizile uzay ve s f a ya nsa dizile uzay ola üzee x = (x ) dizisinin bu uzayladai nou x 1 = sup jx j, 2 N ile Banach uzayla d. K zaz 1981 y l nda x = (x x +1 ) ola üzee l 1 () = fx = (x ) : x 2 l 1 g ; c() = fx = (x ) : x 2 cg ve c 0 () = fx = (x ) : x 2 c 0 g dizi uzayla n tan la şt. Şidi de bu fa dizi uzayla n n baz öneli teoeleini ispatla ile veeli. Teoe c 0 (); c() ve l 1 () fa dizi uzayla, oples say la cisi üzeinde bie linee uzayd. Ispat: X = l 1 için ispat yapal. x; y 2 l 1 () ve ; 2 C olsun. Bu tatide (x + y ) = (x + y ) (x +1 + y +1 ) = (x x +1 ) + (y y +1 ) = (x ) + (y ) oldu¼gundan (x + y ) 2 l 1 () elde edili. Dolay s yla l 1 () linee uzayd. Di¼gelei de benze şeilde ispatlanabili. Teoe c 0 (); c(); l 1 () fa dizi uzayla x = jx 1 j + x 1 nou ile bie nolu uzaylad. Ispat: Bu noun no özellileini aaşt al : (N1) x = jx 1 j + x 1 oldu¼gundan jx 1 j 0 ve x 1 0 oldu¼gundan toplala da s f dan büyütü. Dolay s yla x > 0 d. (N2) x = 0, x = 0 oldu¼gunu gösteeli. jx 1 j + x 1 = 0 oldu¼gundan jx 1 j = 0 ve x 1 = 0 olal d. jx 1 j = 0 ) x 1 = 0 d. x 1 = sup x ve x = (x x +1 ) oldu¼gundan x 1 x 2 = 0 oldu¼gundan x 2 = 0 d.x 2 x 3 = 0 oldu¼gundan x 3 = 0 d. Buna böyle deva edilise x 4 x +1 = x = 0: Böylece

12 istenen sa¼glan. (N3 ) jx 1 j + x 1 = jj jx 1 j + jj x 1 oldu¼gundan jj ( jx 1 j + x 1 ) = jj x : O halde x = jj x elde edili. (N4) jx 1 + y 1 j jx 1 j + jy 1 j (x + y 1 x 1 + y 1 oldu¼gundan jx 1 + y 1 j + (x + y 1 jx 1 j + x 1 + jy 1 j + y 1 oldu¼gundan x + y x +y elde edili. Bu da istenen üçgen eşitsizli¼gi özelli¼gidi. Teoe l 1 (); c(); c 0 () dizi uzayla Teoe1.2.2 dei no ile bilite bie Banach uzay d la. Ispat: (x n ); l 1 () da bi Cauchy dizisi olsun. x n = (x n 1; x n 2; :::) 2 l 1 () ola üzee 8n 2 N için x n x = jx n 1 x 1 j + x n x 1! 0 (n;! 1)...(*) yaz l. Böylece 8 2 N için jx n 1 x 1 j! 0, n;! 1 elde edili. Buadan x n = (x1 ; x2 ; :::) dizisinin oples say lada Cauchy dizisi oldu¼gu göülü. C ta oldu¼gundan bu dizi bi x notas na ya nsa. O halde li n x n = x ; (8 2 N) yazal. O halde (*) den dolay 8" > 0; 9N = N(") vad, böylece bütün n; N ve 8 2 N için jx n 1 x 1 j < "; x n +1 x +1 (x n x ) < " ve li jx n 1 x 1 j = jx n 1 x 1 j " li x n +1 x +1 (x n x ) = x n +1 x +1 (x n x ) " sup x n +1 x +1 (x n x ) " 5

13 yazabiliiz.sonuç olaa he n N için x n x 2" elde edeiz. Böylece x n! x (n! 1) olaca şeilde bi l 1 () dizi uzay nda x = (x ) dizisi vad. Şidi x 2 l 1 () oldu¼gunu gösteeli. jx j = jx x +1 j = x x N + x N x N +1 + x N +1 x +1 x N x N +1 + x N x = O(1) olu i bu da x = (x ) 2 l 1 () oldu¼gunu göstei. Lea: sup jxj < 1 olas (i) sup 1 jx j < 1, (ii) sup jx ( + 1) 1 x +1 j < 1 olas n geetii. Ispat: sup jxj < 1, yani sup jx x +1 j < 1 olsun. ve P jx 1 x +1 j = (x v x v+1 ) P jx v v=1 v=1 x v+1 j = O(); oldu¼gundan bu göstei i, jx j jx 1 j + jx 1 x +1 j + jx x +1 j olup (i) sa¼glan. sup 1 jx j < 1; x ( + 1) 1 x +1 = ( + 1) 1 (x x +1 ) + ( + 1) 1 x = O(1): ifadesinden (ii) elde edili.şidi de (i) ve (ii) nin sa¼gland ¼g n gösteeli. x ( + 1) 1 x +1 ( + 1) 1 jx x +1 j ( + 1) 1 jx j : sup jxj < 1 oldu¼gunu göstei. 6

14 2. GENELLEŞT IR IL IŞ FARK D IZ I UZAYLARI Genelleştiiliş fa dizi uzayla biço aaşt ac taaf ndan çal ş l şt. Bu aaşt alaa Et ve Çola (1990), Et ve Esi (2000), Esi ve Tipathy (2007), Esi ve Tipathy (2008), Esi (2009) öne olaa veilebili. Şidi de fa dizi uzayla n n genelleştielei olan genelleştiiliş fa dizi uzayla na baal. x = (x x +1 ) ve v = (v ) oples say la n s f dan fal bi dizisi ola üzee ( v x ) = (v x v +1 x +1 ) ve X hehangi bi dizi uzay ola üzee v (x) = fx = (x ) : v x 2 Xg dizi uzay n n baz topoloji özellilei 1989 y l nda Çola taaf ndan incelendi. Daha sona Et ve Çola (1990) 2 N; 0 x = (x ); x = (x x +1 ) ve ola üzee x = P i=0( 1) i i x +i x = ( x ) = ( 1 x 1 x +1 ) l 1 ( ) = fx = (x ) : x 2 l 1 g ; ve c( ) = fx = (x ) : x 2 cg c o ( ) = fx = (x ) : x 2 c o g dizi uzayla n tan lad la ve bu uzayla n 7

15 P x = jx i j + x 1 i=1 nou ile bi Banach uzay oldu¼gunu göstedile. Daha sona v = (v ) s f dan fal bi oples teili hehangi bi dizi ola üzee yua dai dizi uzayla Et ve Esi (2000) taaf ndan v (l 1 ) = fx = (x ) : v x 2 l 1 g ; ve v (c) = fx = (x ) : v x 2 cg ; v (c o ) = fx = (x ) : v x 2 c o g dizi uzayla na genelleştiildi. Buada 2 N; ve 0 vx = (v x ); v x = ( 1 v x 1 v x +1 ) v x = (v x v +1 x +1 ) P v x = ( 1) i v+i x i +i i=0 şelinde tan l d. Şidi bu dizi uzayla n n sa¼glad ¼g baz özellilee baal. Aşa¼g da veece¼giiz teoelede Z ile l 1 ; c ve c o dan biini tesil edeceti. Teoe 2.1. Z bi vetö uzay ise v (Z) de bi vetö uzay d. Ispat: x; y 2 v (Z) ve bi sale olsun. Koples veya eel teili tü dizilein uzay w bi vetö uzay ve v (Z) w oldu¼gundan x; y 2 v (Z) ve 2 K için x + y 2 v (Z) ve x 2 v (Z) oldu¼gunu göstee yetelidi. x; y 2 v (Z) olsun. Bu tadide v x ; v y 2 Z di. Z bi linee uzay oldu¼gundan v x + v y 2 Z di. linee opeatö oldu¼gundan v x + v y = v (x +y ) 2 Z x + y 2 v (Z) elde edili. x 2 v (Z) ise v x 2 Z di. Z line uzay oldu¼gundan v x 2 Z olup x 2 Z 8

16 ve x 2 v (Z) di. Teoe 2.2. Z; : ile nolu uzay ise v (Z) de x v P = jx i v i j + v (x) i=1 nou ile nolu uzaylad. Ispat: N 1 ) oldu¼gu aşiad. x v P = jx i v i j + v (x) > 0 i=1 P N 2 ) x v = 0 =) jx i v i j + v (x) = 0 i=1 olsun. Bu tadide x 1 = x 2 = ::: = x = 0 ve 8 2 N için x v x +1 v +1 + :::( 1) x + v + = = 1 için x 1 v 1 x 2 v 2 + ::: + ( 0 1 1) x +1 v +1 = 0 x+1 v +1 = 0 d. Buadan he 2 N için v 6= 0 oldu¼gundan x +1 = 0 elde edili. Böyle deva edilise he 2 N için x = 0 olu i buadan x = d. Tesine x = =) x v = 0 d. N 3 ) = jj x v P = jx i v i j + v x i=1! P P jx i v i j + 1) j=0( j x +j v +j j i=0 = jj v x N 4 ) x + y v P = jx i v i + y i v i j + v (x + y) i=1 9

17 P 6 P jx i v i j + v (x) + jy i v i j + v y i=1 i=1 6 x v + y v : Teoe 2.3. (Z; ; ) bi Banach uzay olsun. Bu tadide v (Z) de P x v = jx i v i j + v (x) de nou ile bi Banach uzay d. i=1 Ispat: x s = (x s 1; x s 2:::) 2 v (Z) ola üzee (x s ); v (Z) de bi Cauchy dizisi olsun. Buada s; t! 1 için x s x t v! 0 d. O halde x s x t P v = x s i i=1 x t i + v (x s ) v (x t )! 0 (s; t! 1) olu. Böylece (x 1 i ; x 2 i ; :::); (i 6 ) ve ( v (x 1 ); v (x 2 ); :::) s as yla C ve Z de Cauchy dizisidi. C ve Z ta oldula ndan bu dizi C ve Z de ya nsat. C de x s i! x i ; (i 6 ) ve Z de v (x s )! (y ); (s; t! 1) olsun. x = v 1 = v 1 P i=1 i 1 ( 1) 1 P + i 1 ( 1) 1 i=1 ola üzee y = v x diyeli. Buada y 1 = y 2 = ::: = y o = 0 olaa al n şt. E¼ge x 2 D v (Z) ise yetei ada büyü 0 la için öne¼gin > 2 için, sa¼glanaca şeilde bi te y = y 2 Z vad. Buada D v (Z) = fx = (x ) : x 2 v (Z); x 1 = x 2 = ::: = x = 0g d. Di¼ge taaftan x 2 v (Z) ise x 0 = (x 0 ) 2 D v (Z) ola üzee y i y i x = x x 0 ise > ise yaz labili. O halde v (x s ) = ( v (x 1 ); v (x 2 ); :::) 10

18 dizisi Z de v (x) e ya nsa. Buadan s! 1 için x s x v! 0 Böylece v (Z) Banach uzay olu. P Teoe 2.4. (Z; :) nolu bi BK uzay ise v (Z) de x v = jx i v i j + v (x) nou ile ile bi BK uzay d. Ispat: Z Banach uzay ise v (Z) de bi öncei teoeden dolay bi Banach uzay d. Şidi 8 2 N ve n! 1 için x n x v! 0 olsun. Bu tadide için jx n x j! 0; (n! 1) 8 2 N için v (x n x )! 0; (n! 1) buadan 8 2 N için jx n x j! 0; elde edili. Bu nedenle v (Z) bi BK uzay d. i=1 Teoe 2.4. X Y ise v (X) v (Y ) di. E¼ge X Y esin ise v (X) v (Y ) de esindi. Ispat: x 2 v (X) olsun. Bu tatide v (x ) 2 Y di.bu apsaan n esin oldu¼gunu göstee için X = c; Y = l 1 olsun ve x = (1; 0; 1; 0; :::); v = (1; 1; 1; :::) seçeli. Böylece v (x ) = ( 1) x 2 v (l 1 ) v (c) 0 di: 11

19 3. ORLICZ FONKS IYONU YARDIIYLA TANILANIŞ SE I- NORLU GENELLEŞT IR IL IŞ FARK D IZ I UZAYLARI Bu s da yüse lisans çal şa z n ojinal s olan ve öncei bölüde vedi¼giiz fa dizi uzayla n daha genel duuda veen yeni genelleştiiliş fa dizi uzayla n tan layaca¼g z. Bi p = (p ) dizisi pozitif eel say la n esin s n l bi dizisi ve s > 0 bi eel say olsun. X de C oples say la cisi üzeinde ya nouyla veiliş bi ya nolu uzay olsun. w(x), X üzeinde tan lan ş bütün dizilein uzay olsun. v = (v ) oples say la n s f dan fal hehangi bi sabit dizisi olsun. Olicz fonsiyonu ola üzee aşa¼g dai yeni dizi uzayla n tan layal : 8 < x = (x c [ ) 2 w(x) : li h s v ; ; p; ; s] = : = 0; l 2 X; ve 9 > 0 i ( p v x l) 9 = ; ; 8 < x = (x c o [ ) 2 w(x) : li h s v ; ; p; ; s] = : = 0; 9 > 0 i ( p v x ) 9 = ; ve 8 < x = (x l 1 [ ) 2 w(x) : sup h s v ; ; p; ; s] = : < 1 ve 9 > 0 i ( p v x ) 9 = ; : Baz iyi bilinen uzayla ; v; ; p; ve s nin özelleştiilesiyle aşa¼g dai şeilde elde edilebili. a) E¼ge (x) = x; = 1; v = (v ) = (1; 1; :::); (x) = jxj, ve he 2 N için p = 1 s = 0 ise K zaz, (1989) taaf ndan tan lanan ve çal ş lan c(); c o (); l 1 () uzayla elde edili. b) E¼ge (x) = x; = 0; v = (v ) = (1; 1; :::); (x) = jxj ve s = 0 ise addox (1970) taaf ndan tan lanan ve çal ş lan c(p); c o (p); l 1 (p) uzayla elde edili. c) E¼ge (x) = x; (x) = jxj ; s = 0 ve p = N ise Et ve Esi, (2000) 12

20 taaf ndan tan lanan c( v ); c o ( v ); l 1 ( v ) uzayla elde edili. d) E¼ge (x) = x; = s = 0; v = (v ) = (1; 1; :::); (x) = jxj ve he 2 N için p = 1 için ise c; c o ; l 1 lasi dizi uzayla elde edili. Teel Sonuçla Aşa¼g dai teoelei ispatlayal : Teoe 3.1. p = (p ) pozitif eel say la n s n l bi dizisi olsun. c [ v ; ; p; ; s] ; c o [ v ; ; p; ; s] ve l 1 [ v ; ; p; ; s], C üzeinde linee uzaylad. Ispat: Ispat sadece c o [ v ; ; p; ; s] için veeli di¼gelei de benze şeilde ispatlanabili. x; y 2 c o [ v ; ; p; ; s] olsun, ; 2 C ola üzee ve s s ( p v x )! 0 (! 1) 1 ( p v y )! 0 (! 1) 2 olaca şeilde 1 ; 2 pozitif say la vad. Şidi 3 = ax(2 jj 1 ; 2 jj 2 ): azalayan onves fonsiyon ve ya no oldu¼gundan s v (x + y ) 3 p s K s! 0 (! 1) v (x ) p + v (y ) 3 3 p ( v x ) + K s elde edili. Dolay s yla (x + y ) 2 c o [ v ; ; p; ; s] elde edeiz. O halde c o [ v ; ; p; ; s] lineedi. Teoe 3.2. c [ v ; ; p; ; s] ; c o [ v ; ; p; ; s] ve l 1 [ v ; ; p; ; s] dizi uzayla ( h(x) = inf pn=h > 0 : sup s v x ) 1 1; s > 0; 9 > 0; n 2 N p ( v y ) 2 ile paanolu uzayla olup, buada H = ax(1; sup p < 1) d. Ispat: Ispat sadece c o [ v ; ; p; ; s] için veeli. Di¼geleinin ispat da ayn yolla yap l. He x 2 c o [ v ; ; p; ; s] için h(x) = h( x; y 2 c o [ v ; ; p; ; s] olsun. Dolay s yla 13 x) ve h() = 0 oldu¼gu aç t.

21 ve sup s sup s v x 1 1 v y 1 olaca şeilde 1 ve 2 say la n bulabiliiz. = olsun sup s 2 sup s 1 v x v (x + y ) v y 2 1 sup s : v x + 2 sup s v y 2 elde edili. O halde h(x + y) = inf pn=h : sup s v (x + y ) 1; > 0; n 2 N inf pn=h 1 : sup s v (x ) 1; s > 0; 1 > 0; n 2 N 1 + inf pn=h 2 : sup s v (y ) 1; s 0; 2 > 0; n 2 N 2 = h(x) + h(y) oldu¼gu göülü. Sale çap n süelili¼gi için 6= 0 hehangi bi oples say olsun. h (x) = inf pn=h : sup s v x 14 1; s 0; > 0; n 2 N

22 = inf (t jj) pn=h : sup s v x Buada t = jj di. jj pn ax(1; jj H ) olas n ullanaa jj pn=h (ax(1; jj H )) 1=H elde edili. Dolay s yla t 1; s 0; t > 0; n 2 N h(x) (ax(1; jj H ) 1=H : inf t pn=h : sup s v x t 1; s 0; t > 0; n 2 N = (ax(1; jj H )) 1=H :h(x) elde edili. Bundan dolay h(x) s f a ya nsad ¼g zaan h(x) de s f a ya nsa. O halde c o [ v ; ; p; ; s] uzay paanolu uzayd. Teoe 3.3. (X; ) ya nolu ta uzay olsun. Teoe 3.2 de tan lanan h paanouyla c [ v ; ; p; ; s] ; c o [ v ; ; p; ; s] ve l 1 [ v ; ; p; ; s] uzayla ta uzaylad. Ispat: Ispat c 0 [ v ; ; p; ; s] için yapal. Di¼geleinin ispat da benze şeilde yap labili. (x i ); c 0 [ v ; ; p; ; s] da bi Cauchy dizisi olsun. x 0 > 0 sabit ve veilen bi 0 < " < 1 için " tx 0 h(x i x j )! 0 i; j! 1 Bu tatide > 0 ve x 0 t 1 olaca şeilde bi t > 0 say s n seçeli h(x i x j ) < " x 0 t ; i; j n 0 olaca şeilde bi n 0 tasay s vad. O halde h n n tan ndan ve inf ( pn=h : sup s " sup s "!# ) v (x i x j ) 1; s 0; > 0; n 2 N < " x 0 t!# v (x i x j ) 1; 8 i; j n h(x i x j 0 ) 15

23 elde edeiz. Buadan "!# v (x i x j ) 1; 8 i; j n h(x i x j 0 ) bulunu. t > 0 için ( tx 0 ) 1 ile şunu elde edeiz: 2 Olicz fonsiyonu süeli oldu¼gundan "!# v (x i x j ) ( tx 0 h(x i x j ) 2 ) v x i v x j < tx 0 2 : " tx 0 = " 2 : elde edili. Bu ise ( v x i ) dizisinin (X; ) da bi Cauchy dizisi oldu¼gunu göstei. (X; ) nun tal ¼g ndan bu dizi X de ya nsat. Fazedeli i he 2 N ve i! 1 için v x i! x olsun. Bundan dolay he " (0 < " < 1) için n 0 gibi pozitif tasay vad öyle i 8i; j N 0 için v x i v x j < " olu. nin süelili¼gini ullanaa sup s v x i li j!1 v x j!! 1 elde edeiz. Böylece sup s v x i v x j olu. lein in uunu al p 8i n 0 ve j! 1 olusa!! 1 h(x i x) = inf pn=h : sup s v x i x 1; s 0; > 0; n 2 N < " olu. Böylece x i! x di. Şidi (x i ) 2 c 0 [ v ; ; p; ; s] ve (x ) = (x x i ) + (xi ) oldu¼gundan uzay n lineeli¼gini ullanaa (x ) 2 c 0 [ v ; ; p; ; s] elde edeiz. Teoe 3.4 Z; l 1 ; c veya c 0 uzayla ndan hehangi bii ola üzee, 1 ve 2 ; ii Olicz fonsiyonu olsun. Aşa¼g dai apsaala sa¼glan. (a) Z [ v ; 1 ; p; ; s] Z [ v ; 2 o 1 ; p; ; s] (b) Z [ v ; 1 ; p; ; s] \ Z [ v ; 2 ; p; ; s] Z [ v ; ; p; ; s]. 16

24 Ispat: (a) Ispat sadece Z = c o için yapal di¼gelei benze şeilde yap labili. x = (x ) 2 c o [ v ; 1 ; p; ; s] olsun. 0 < " < 1 ve > 0 say s veilsin. b = ax 1; sup h 2 A = 1 ( s ) 1=p i p ola üzee, 2 N : s 1 v x p < " b olaca şeilde N nin bi A alt cülesini seçeli. al n sa y p y = ( s ) 1=p 1 v x < " < 1 oldu¼gundan y b < 1 di. Böylece 2 nin onvesli¼gini ullanaa ( 2 o 1 ) v x y = 2 ( s ) 1=p Dolay s yla y 2 1 ( s ) 1=p s [ 2 (y )] p s 2 y ( s ) 1=p p s by p byp < " elde edili. O halde ( 2 o 1 )( ( v x ) < " olu. Buadan x = (x ) 2 c o [ v ; 2 o 1 ; p; ; s] elde edili. (b) Istenen apsaa aşa¼g dai eşitsizliten olayca elde edili. ( s ) p v x K s 1 v x p + K s 2 17 p v x :

25 Teoe 3.5. bi Olicz fonsiyonu olsun, c o [ v ; ; p; ; s] c [ v ; ; p; ; s] l 1 [ v ; ; p; ; s] di ve bu apsaala esindi. Ispat: Il apsa aç t. Iinci apsaay ispatlayaca¼g z. x = (x ) 2 c [ v ; ; p; ; s] olsun. azalayan onves bi fonsiyon ve bi ya no oldu¼gundan ( s p v x ) ( K s v x l p + K s p l yazabiliiz. bi ya no oldu¼gundan bi K l tasay s vad öyle i (l) K l di. Böylece ( s p v x ) ( K s v x l p + K s Kl p : elde edili. Teoedei apsaa esinli¼gini göstee için aşa¼g dai öne¼gi veeli. Öne 3.1. Z = C; x = (x ) 2 l 1 [ v ; ; p; ; s] ; (x) = x; (x) = jxj ; s = 0; v = (v ) = (1; 1; :::) ve he 2 N için p = 1 olsun. x = ( ) 2 l 1 [ v ; ; p; ; s] faat v = ( 1)! oldu¼gundan x = ( ) =2 c o [ v ; ; p; ; s] di. Bu s tlaala alt nda x = ( 1) dizisini düşünüse x 2 l 1 [ v ; ; p; ; s] faat x =2 c [ v ; ; p; ; s] di. Teoe 3.6. Z; l 1 ; c veye c 0 uzayla ndan hehangi bii ola üzee, Z [ v 1 ; ; p; ; s] Z [ v ; ; p; ; s] ve ay ca genel olaa i = 1; 2; :::; Z [ v ; ; p; ; s] di. Bu apsaa ba¼g nt la esindi. 1 için Z [ i v; ; p; ; s] Ispat: Ispat Z = l 1 için veeli. Di¼gelei de benze yolla ispatlanabili. x = (x ) 2 l 1 [ v ; ; p; ; s] olsun. O halde sup s ( p v x ) < 1: azalayan onves bi fonsiyon, ya no ve v linee oldu¼gundan ( s p v x ) ( = s 1 v x 1 p v x +1 ) < 1: 18

26 K s ( ( v 1 x ) p + K s ( ( 1 v x +1 Böylece Z [ 1 v ; ; p; ; s] Z [ v ; ; p; ; s] di. Bu şeilde deva edese i = 1; 2; :::; 1 için l 1 [ i v; ; p; ; s] l 1 [ v ; ; p; ; s] elde edeiz. Şidi bu apsaala n esin oldu¼gunu önele gösteeli. Öne 3.2. Z = C; (x) = x; (x) = x; s = 0; 8 2 N için ve v = 1 olsun. x = ( ) dizisini düşüneli, öne¼gin X = c veya l 1 için, Z [ v ; ; p; ; s] e ait olsun aa Z [ 1 v ; ; p; ; s] e ait olas n. Yua dai saltala alt nda x = (x ) = ( 1 ) dizisini düşüneli. O halde x = 0 ve 1 = ( 1) 1 ( 1)! oldu¼gundan x = ( 1 ) 2 c o [ v ; ; p; ; s] faat x = (x ) = ( 1 ) =2 c o [ v 1 ; ; p; ; s] d. Teoe 3.7.Z; l 1 ; c veya c 0 uzayla ndan hehangi bii ve bi Olicz fonsiyonu olsun. O halde (a) 1 ve 2 ii ya nou için, e¼ge 1 ya nou 2 ya noundan uvvetli ise Z [ v ; ; p; 1 ; s] Z [ v ; ; p; 2 ; s] di. (b) 1 inf p p 1 olsun. O halde Z [ v ; ; p; ; s] Z [ v ; ; ; s] ; (c) 1 p sup p 1 olsun. O halde Z [ v ; ; ; s] Z [ v ; ; p; ; s] ; (d) s 1 s 2 olsun. O halde Z = c o ; c; l 1 için Z [ v ; ; p; ; s 1 ] Z [ v ; ; p; ; s 2 ] di. Ispat: Teoein ispat ouyucu taaf ndan olayl la yap labili. p 19

27 KAYNAKLAR Çola, R On soe genealized seuences spaces, Coun Fac. Sci., Univ. An. Seies A 1, V. 38, Çola, R On invaiant seuence spaces, Eciyes Univ.Jounal of Sci., 5, Esi, A Stongly genealized di eence V ; ; p suable seuence spaces de n ed by a seuence of oduli, Nihonai atheatical Jounal Vol: Esi, A. and Tipathy, B.C On Soe Genealized new type di eence seuence spaced de ned by a odulus function in a seinoed space, Fasciuli atheatici, Fasc. ath., 40, Esi, A. and Tipathy, B.C Stongly Alost Convegent Genealized Di eence Seuences Associated with ultiplie Seuences. ath. Slovaca, 57, Et,. ve Çola, R On soe genealized di eence spaces, Soochow Jounal of atheatics, Vol 21(4) Et,. and Esi, A. On Kothe Teoplitz Duals of genealized di eence seuences spaces 2000 Bull. alaysian ath Sci. Soc.(Second Seies) 23, 1-8 K zaz, H.1981 On cetain seuence spaces, Canad. ath. Bull. Vol 24(2) Lindenstauss, J. and Tzafii, L.1967 On seuences spaces, Isael J. ath., 18, 2, addox. I.J. Eleents of Functional Analysis. Cabidge Univesity Pees (1970). 20

28