ÜSTEL DAĞILIM. üstel dağılımın parametresidir. Birikimli üstel dağılım fonksiyonu da, olarak bulunur. olduğu açık olarak görülmektedir.

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ÜSTEL DAĞILIM. üstel dağılımın parametresidir. Birikimli üstel dağılım fonksiyonu da, olarak bulunur. olduğu açık olarak görülmektedir."

Eser Halefoğlu
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 ÜSTL DAĞILIM Tanım : X > olma üzr sürli bir rasgl dğişn olsun. ğr a > için X rassal dğişni aşağıdai gibi bir dağılıma sahip olursa X rasgl dğişnin üsl dağılmış rassal dğişn v onsiyonuna da üsl dağılım dnir. icin digr durumlarda üsl dağılımın paramrsidir. Biriimli üsl dağılım onsiyonu da P X PX d olara bulunur. X X olduğu açı olara görülmdir. için için için 78 5 = = Örn : X Pr olan üsl dağılım sahip bir sadüi olsun. 5 X Pr X v PrX /X Çözüm : X in biriimli olasılı onsiyonunu bulalım. 5 /5 /5 d olasılılarını bulunuz. dir. Şu hald aranılan olasılılar;

dnir. icin digr durumlarda üsl dağılımın paramrsidir. Biriimli üsl dağılım onsiyonu da P X PX d olara bulunur.

2 Pr X 8 /5 Ya da aynı olasılı 5 Pr /5 d 5 /5. /5. dn d bulunabilir. Pr X / Pr Pr /5. /5. / olara bulunur. 67 Üsl Dağılımın Arimi Oralaması X μ d d şiir. T paramry sahip üsl dağılımın arimi oralaması b paramrnin rsin Üsl Dağılımın Varyansı a. Arimi Oralama Kavramı il; d d u v d dv olara l alındığında d d

3 olduğundan X X VX bulunur. b. Momn Çıaran onsiyon M M" X. M' X v X V bulunur. Üsl Dağılımın Momn Çıaran onsiyonu d M d lim Burada momn çıaran onsiyonun mvcu olabilmsi için lim dolayısıyla da < olması grir. Böylc M bulunur.

4 Örn : X rassal dğişni blirli bir müzi sinin ömrünü yıl olara gösrsin v aşağıdai gibi bir olasılı onsiyonuna sahip olsun. 6 /6 digr durumlarda a. Bu müzi sinin n az 6 yıl dayanma olasılığını bulunuz. b. Bu müzi sinin yıl dayandığı bilindiğin gör n az dayanma olasılığını bulunuz. c. Oralama dayanma sürsini bulunuz. Çözüm : a. P X 6 6 /6 d /6 67 b. PrX 6/ c. X 6 yıl 6 Pr X 6 v X Pr X Pr X 6 Pr X Örn : X mara vidoların oralama ullanım sürsinin yalaşı olara 5 yıl olan bir üsl dağılımla msil dcği bilindiğin gör bu vido cihazlarından bir an saın alan bir müşrinin cihazını 5 yıl ullanabilm olasılığını bulunuz. Çözüm : X=5 Üsl dağılımın blnn dğr anımından X dan olara bulunur. 5 olasılı yoğunlu onsiyonu is;

Çözüm : a. P X 6 6 /6 d /6 67 b. PrX 6/ c.

5 5 dir. 5 Pr d = - = Örn : İsanbul Aaür Havalimanında hr daiada oralama olara uçağın indiği bilinmdir. a. İniş gçn uçalar arasındai sürnin dağılım onsiyonunu bulunuz. b. daia içind hiç uçağın inmmsi c. Birbirini izlyr iniş gçn ii uça arasındai zamanın n azla 5 daia olması d. İi uça arasında gçn sürnin 5 daia vya daha azla olması olasılılarını bulunuz. Çözüm : a. Zaman birimi daia olara l alınırsa havalimanına daiada oralama olara P / = uça inmdir. O zaman in dağılımı.!... olur. daiada oralama uçağın iniş yapması bilindiğindn daiada oralama sayıda uça [] aralığında havalimanına incir. O zaman olasılı yoğunlu onsiyonu olur. b. PX= = 8! 5 P d vya c. T P T 5

İi uça arasında gçn sürnin 5 daia vya daha azla olması olasılılarını bulunuz. Çözüm : a.

6 = d. P T 5 5 GAMA DAĞILIMI Tanım : = - = 6 ld dilir. d şlind anımlanan onsiyona Gamma onsiyonu dnir. Yuarıdai ingral ısmi ingrasyon modu uygulanırsa d dv v u olma üzr; bulunur. d d pozii am sayı is;... ld dilir. Burada; d dir. Böylc;! olara bulunur. Gamma onsiyonunun şu özllilr sahipir : i. ii. 6

Yuarıdai ingral ısmi ingrasyon modu uygulanırsa d dv v u olma üzr; bulunur.

7 7 iii.! n n iv. v. n n n n vi. s du u u s s Tanım : X > için bir sürli rassal dğişn olsun. ğr X in olasılı onsiyonu aşağıdai gibi anımlanmış is X bir Gamma olasılı onsiyonu na sahipir. digr durumlarda icin X/ Gamma olasılı onsiyonu > v > olma üzr paramry sahipir. Biriimli Gamma Dağılım onsiyonu is şöyldir: d. X P d / Y = / olara anımlanırsa dy = d olur..dy y y y y y - dy y y - -! - -y! y

digr durumlarda icin X/ Gamma olasılı onsiyonu > v > olma üzr paramry sahipir.

8 Örn : = - / şlind anımlanan in bir olasılı yoğunlu onsiyonu gösriniz Çözüm : > v > v > olduğunda > olur. ; d olmalıdır. - / d y diylim = y olur. d = dy y - y dy O hald ; bir olasılı yoğunlu onsiyonudur. y - y y - dy y dy Gamma Dağılımının Arimi Oralaması X / - d. / d 8

9 = v / d dv dönüşümü yapıldığında - -/ /. d d = y v d = dy dönüşümü il y X - y.dy y dy. bulunur. Gamma Dağılımının Varyansı X - / d / d u v / d dv dönüşümü yapılırsa y / y d dy y y y -!! bulunur. VX X X 9

10 VX olara ld dilir. Momn Çıaran onsiyonu is; M. - d - / d y / dönüşümü yapılırsa -. y y y dy dy bulunur. y - y olur. - dy d Şimdi d M aracılığıyla X v VX i bulalım - X M' - -. " -- X M VX X X = bulunur. Örn : X sadüi dğişni aşağıdai biçimd gamma dağılım gösriyorsa; X in = = v = = için - / icin

11 a. Pr{ } b. Pr{ > } olasılılarını bulunuz. Çözüm : a. = = için gamma onsiyonu Şu hald / / olur. / / Pr d / Şu hald isnn olasılı Pr{ } Pr{ } b. = = için Pr bulunur. / / olur / d / d v / d dv dönüşümü il d= du / v 8 / 8 / d

689 599 Şu hald isnn olasılı Pr{ } Pr{ } 599 5 b.

12 bulunur d / / / Buradan; bulunur..8 P 8 r.886}.585 { } 6 { } { 8 bulunur P r 8. } { ÖRNK : Aşağıdai gamma onsiyonunun onsiyonunu bulunuz. dağağıl b dğğrlri V a için dğğrl v / ÇÖZÜM: onsiyonu gamma için dğğrl v bulunur. V d d bulunur. d { d { d d olur. / ] [ } } b- için o { { d P r } } } {

13 Kİ-KAR DAĞILIMI Tanım: gamma dağılmış bir rassal dğişn in > v amsayı olma üzr =/ v =/ is özl olara Ki-Kar dağılmış rassal dğişn dnir. Ki-Kar dağılmış bir rassal dğişn is bunun yoğunlu onsiyonu gamma dağılımında =/ v =/ için yada ş şal olur. Gamma dağılımının özl bir durumu olan Ki-ar dağılımının il gösriln v pozii amsayı dğr alabiln paramrsi vardır. Dağılımın bu paramrsin srbsli drcsi K dnir. X paramrsi olan Ki-ar dağılmış bir rassal dğişn in şlind yazılır v srbsli drcsi olan Ki-ar dağılmış bir rassal dğişn olara ounur. ÖRNK : 5 İKN P.6 P>. P.5< 5.9 olasılılarıyla 8 in P = 95 şiliğini grçlyn dğrini bulunuz. ÇÖZÜM : P.6 = P>. = - P. = = 8 P.5< 5.9 = 99 5 = 9 olara bulunur. 8 in P = 95 şiliğini sağlayan dğri; = 7 dir. in Arimi Oralama v Varyansı v olduğldgörülür. 8 in Momn Çıaran onsiyonu

Gamma dağılımının özl bir durumu olan Ki-ar dağılımının il gösriln v pozii amsayı dğr alabiln paramrsi vardır. Dağılımın bu paramrsin srbsli drcsi K dnir.

14 M M yada olur. Örn : X rassal dğişninin olasılı yoğunlu onsiyonu ; 6 / şlind is; v M yi bulunuz Çözüm : şiliğindn = 6 olup / 8 v! / dir. / 6 /. olduğundan X ~ X 6 dır. Böylc / = = 6 = = v M is Örn : X rassal dğişninin dir. X 5 olduğu bilindiğin gör bunun olasılı yoğunlu onsiyonunu yazıp arimi oralama varyans v momn çıaran onsiyonunu bulunuz. / 5/ Çözüm : = 5 in özlliğiyl 5.. olduğundan X in yoğunlu onsiyonu Π digr durumlarda olara bulunur. = 5 olduğuna gör X in arimi oralama v varyansı; = 5 = olup momn çıaran onsiyonu; M 5 z>/ şlinddir.

X 5 olduğu bilindiğin gör bunun olasılı yoğunlu onsiyonunu yazıp arimi oralama varyans v momn çıaran onsiyonunu bulunuz.

Benzer belgeler

Makine Öğrenmesi 4. hafta

Makine Öğrenmesi 4. hafta ain Öğrnmsi 4. hafta Olasılı v Koşullu Olasılı ays Tormi Naïv ays Sınıflayıcı Olasılı Olasılı ifadsinin birço ullanım şli vardır. Rasgl bir A olayının hrhangi bir olaydan bağımsız olara grçlşm ihtimalini