ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Abdullah KOPUZLU İÇİNDEKİLER HEDEFLER LOGARİTMİK VE ÜSTEL FONKSİYONLARIN İKTİSADİ UYGULAMALARI

Transkript

1 HEDEFLER İÇİNDEKİLER LOGARİTMİK VE ÜSTEL FONKSİYONLARIN İKTİSADİ UYGULAMALARI Logaritmik ve Üstel Fonksiyonların İktisadi Uygulamaları Bileşik Faiz Problemleri Nüfus Problemleri MATEMATİK-1 ProfDrAbdullah KOPUZLU Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Logaritmik ve üstel fonksiyonlarının uygulama alanlarını kavrayabilecek, Bileşik faizle mevduat hesabı yapabilecek, Nüfus artışı hesaplayabileceksiniz ÜNİTE 8

2 GİRİŞ Üstel ve logaritmik fonksiyonlar bir önceki ünitede tanımlanmış ve özellikleri verilmişti Bu fonksiyonlarla, elektronik, radyoaktivite, mühendislik, sosyoloji, iktisat ve istatistik gibi bir çok alanda ortaya çıkan çeşitli problemlerde karşılaşılır Üstel ve logaritmik fonksiyonlar, bu problemlerin matematik modellemesi yapılırken veya çözümünde kullanılır LOGARİTMİK VE ÜSTEL FONKSİYONLARIN İKTİSADİ UYGULAMALARI İktisatta özellikle bileşik faiz hesaplamalarında kullanılan üstel fonksiyonun ilk uygulamasını aşağıdaki örnekle verelim 81 Bir firmanın aylık satış geliri değişkeni ile aylık reklam harcamaları ise değişkeni ile gösterilmek üzere, aylık gelir ile reklam harcamaları arasında, fonksiyonunun bulunduğu düşünülmüştür Reklam için ayda 3000 TL harcandığı taktirde satış geliri ne olur? Bu harcamanın 4000 TL na çıkarılması halinde firmanın kazancı ne olur? Çözüm: Verilen fonksiyonda alınırsa, olarak satış gelirini elde ederiz Reklam harcaması 1000 TL artıralarak 4000 TL ye çıkarılırsa satış geliri, olur Bu durumda satıştan sağlanan gelir 300 TL olup reklam ödemesindeki 1000 TL artıştan daha azdır Dolayısı ile reklam harcamasının 4000 TL ye çıkarılması firma için uygun değildir Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 2

3 Bileşik Faiz Problemleri Bileşik faiz, faize yatırılan para veya sermayeden belli bir zaman diliminde elde edilen faizin tekrar para veya sermaye üzerine eklenip bir sonraki zaman dilimindeki faiz hesabının bu tutar üzerinden hesaplanarak bulunan faizdir Yani faiz üzerinden faiz söz konusudur Bileşik faiz formülünü vermeden önce bu işlemin nasıl yapıldığını aşağıdaki Örnek 82 de adım adım görelim 82 Bir bankaya yıllık %12 bileşik faizle 2000 TL yatırılıyor 5 yıl sonunda bankadaki para ne kadar olacaktır? Çözüm: 1Adım: 1 yılın sonunda oluşan faiz, olacağından bankadaki para, olarak bulunacaktır 2Adım: 2 yılın sonunda oluşan faiz, olacağından bankadaki para, olarak bulunacaktır 3Adım: 3 Yılın sonunda oluşan faiz, olacağından bankadaki para, olarak bulunacaktır Adımlar böyle devam ettirilirse, 5 Yılın sonunda bankadaki para, olacaktır TL Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 3

4 Yıl Elde Edilen Faiz Bankadaki Para 1 Yılın sonunda 2 Yılın sonunda TL 3 Yılın sonunda 4 Yılın sonunda 5 Yılın sonunda Yukardaki örneği ve onunla ilgili tabloyu göz önüne aldığımızda, aşağıdaki bileşik faiz formülünü verebiliriz Burada, ana parayı, zaman dilimini( gün, ay veya yıl), yıllık faiz oranını, bileşik faiz dönem sayısını ve de zaman dilimi sonundaki bankadaki parayı gösterir (yukardaki örnekte verilen problemde bileşik faiz dönem sayısının 1 olduğuna dikkat edilmelidir) Burada bileşik faizi gösterir Yukardaki problemi tekrar ele aldığımızda 5 yıl sonunda bankadaki parayı, şeklinde doğrudan formülle buluruz Yukarda verilen bileşik faiz formülünü kullanarak birkaç örnek çözelim TL para, yıllık %12 faiz oranıyla 1 er aylık zaman dilimleriyle bir bankaya yatırılıyor 2 yıl sonunda bankadaki para ne kadar olacaktır? Çözüm: Bir yılda 12 ay olduğuna göre 5 yıldaki zaman dilimi sayısı Yıllık faiz oranı bileşik faiz dönem sayısı, olduğundan formülünden, olduğuna göre, 2 yıl sonundaki bankadaki parayı, Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 4

5 şeklinde elde ederiz Yukardaki problemi aşağıdaki tabloyla gösterelim Bileşik Faiz Dönemi Elde Edilen Faiz Bankadaki Para 1 Ayın sonunda 2 Ayın sonunda TL 3 Ayın sonunda 24 Ayın sonunda 84 Bir tasarruf sahibi bir bankaya yıllık %10 faizle bir miktar para yatırıyor Bu para bileşik faizle 5 yıl sonra TL ye ulaşıyor Bankaya yatırılan para ne kadardır? Çözüm: Bankaya yatırılan para, 5 yıl sonundaki bankadaki para, Yıllık faiz oranı Bileşik faiz dönem sayısı yatırıldığını bulalım olmak üzere bankaya ne kadar para bileşik faiz formülünde verilenleri yerine yazdığımızda, Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 5

6 elde edilir Buradan bankaya yatırılan para yaklaşık olarak, olarak bulunur TL para yıllık %12 faiz oranıyla 1 er aylık zaman dilimiyle bir bankaya yatırılıyor Kaç yıl sonra bankadaki para 2000 TL ye ulaşır? Çözüm: Önce bir zaman diliminde gerçekleşen faiz oranını bulalım: bir zaman diliminde gerçekleşen faiz olduğuna göre, bileşik faiz formülünde yerine yazdığımızda elde ederiz Bir yılda 12 ay olduğundan burada zaman dilimini kullandık İşleme devam edersek, olarak buluruz Eşitliğin her iki tarafının doğal logaritması alınırsa, olarak bulunur Burada logaritmanın tabanı olan yıl olarak alınmıştır 86 Bir bankaya yıllık bileşik faizle 4000 TL yatırılıyor Bankadaki para 5 yıl sonra TL ye ulaşıyor Bankanın uyguladığı yıllık faiz oranı nedir? Çözüm: Bileşik faiz formülü, olduğuna göre bu formülde,, Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 6

7 ve değerlerini yerine yazdığımızda, buluruz Böylece yıllık faiz oranının %200 olduğu görülür 87 Bir miktar para bir bankaya yıllık %80 faiz oranıyla üçer aylık zaman dilimleriyle yatırılıyor Yıl sonunda gerçekleşecek bileşik faiz oranı nedir? Çözüm: bileşik faiz formülünde olmak üzere yazarsak, şeklinde buluruz Böylece birinci yıl sonunda, bankaya yatırılan paranın 2,0736 katına ulaşılıyor O halde bileşik faiz oranı yaklaşık %107 dir NÜFUS PROBLEMLERİ Ekonomideki büyüme gibi nüfusta da bir büyüme söz konusu olursa bu durumda, nüfus problemlerinde bileşik faiz problemlerindeki gibi, Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 7

8 üstel fonksiyon (artan) formülünü kullanacağız Şekil 81 deki eğri nüfustaki belli zaman aralığındaki nüfus artışını temsil eder Eğer belli sebeplerden dolayı nüfusta bir azalma oluyorsa, bu durumda nüfustaki bu küçülmeyi azalan bir fonksiyon olan, ifadesiyle hesaplayacağız Burada,, başlangıçtaki nüfusu, yıllık nüfus artış oranını, zamanı, zaman dilimi sonunda ortaya çıkan nüfusu göstermektedir yılında yapılan nüfus sayımına gore, Türkiye nin nüfusunun yaklaşık olduğu tespit edilmiştir Yıllık nüfus artış oranı %2 olarak alınırsa 2014 yılında Türkiye nin nüfusu yaklaşık olarak ne kadar olacaktır Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 8

9 Logaritmik Ve Üstel Fonksiyonların İktisadi Uygulamaları Çözüm: Burada,, ve olduğu gözönüne alınırsa, 2014 deki Türkiye nin nüfusunu, olarak buluruz 89 Göçten dolayı bir şehirin nüfusu yıllık %1,5 azalma eğilimi göstermektedir Başlangıçtaki nüfus ise üç yıl sonra nüfus yaklaşık olarak ne olur? Çözüm: Bu soruda nüfusta bir azalma olduğundan, formülünü kullanacağız Burada,, ve olduğundan, bu değerleri yukarıdaki formülde yerine yazdığımızda, şeklinde buluruz 810 kişilik bir nüfusa sahip bir beldede nüfus yıllık %2 oranında artmaktadır Yaklaşık olarak kaç yıl sonra nüfus üç katına çıkar? Çözüm: Nüfusta her geçen yıl bir artış olacağından, P formülünü kullanacağız Bu formülde, ve olduğu gözönüne alınırsa, Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 9

10 Bireysel Etkinlik Logaritmik Ve Üstel Fonksiyonların İktisadi Uygulamaları Şimdi de günlük hayatımızda sıkça karşılaştığımız bir örnek verelim Alınan bir ürünün zaman içindeki değer kaybını hesaplamak için yukardaki Örnek 89 da olduğu gibi azalan üstel fonksiyonumuzu kullanalım 811 TL değerindeki bir aracın değeri yıllık ortalama %12 olarak azaldığına göre 3 yıl sonra bu aracın değeri yaklaşık olarak ne kadar olur? Çözüm: Aracın değerinde her geçen yıl bir azalma olacağından P formülünü kullanacağız Bu formülde, ve aldığımızda, buluruz Böylece aracın değer kaybı üç yıl sonunda TL olur Yıllık nüfus artış oranını %2 alarak bulunduğunuz ilin 10 yıl sonraki nüfusunu hesaplayınız Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 10

11 Özet Logaritmik Ve Üstel Fonksiyonların İktisadi Uygulamaları Bu ünitede, bazı iktisadi problemlerin çöümünde üstel ve logaritmik fonksiyonların nasıl kullanılabileceği anlatılmıştır İlk olarak, bileşik faiz tanıtılarak bu kavramla ilgili birçok problem çözümleriyle açıklanmıştır Ayrıca, nüfus artışı ve azalışıyla ilgili çeşitli örnekler verilmiştir Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 11

12 DEĞERLENDİRME SORULARI Değerlendirme sorularını sistemde ilgili ünite başlığı altında yer alan bölüm sonu testi bölümünde etkileşimli olarak cevaplayabilirsiniz TL sı olan biri bu parayı yıllık %10 faizle bir finans kurumuna yatırıyor 5 yıl sonra bu finans kurumunda yaklaşık olarak ne kadar parası olur? a) 3200 b) 3210 c) 3221 d) 2321 e) Bir bankaya yıllık bileşik faizle 1000 TL yatırılıyor Bankadaki para 4 yıl sonra TL ye ulaşıyor Bankanın uyguladığı yıllık faiz oranı nedir? a) %100 b) %200 c) %300 d) %150 e) %110 3 Bir mevduat sahibi 3000 TL sini, yıllık %30 faiz oranıyla 4 er aylık zaman dilimleriyle bir bankaya yatırıyor 2 yıl sonunda bankadaki para yaklaşık ne kadar olur? a) 5305 TL b) 5310 TL c) 5300 TL d) 5315 TL e) 5320 TL 4 Bir şehrin nüfusu, 2011 yılı itibarıyla yaklaşık dir Yıllık nüfus artışı ortalama olarak %2 olduğu düşünülürse 5 yıl sonra şehrin nüfusu yaklaşık olarak ne olur? a) b) c) d) e) Bir firmada 100 kişi çalışmaktadır Her yıl %5 oranında personel artışına gidilirse 5 yıl sonra bu firmada yaklaşık kaç kişi çalışmakta olacaktır? a) 128 b) 126 c) 130 d) 138 e) 148 Cevap Anahtarı 1C, 2C, 3D, 4E, 5A Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 12

13 YARARLANILAN VE BAŞVURULABİLECEK DİĞER KAYNAKLAR Chiang, AC, Matematiksel İstatistiğin Temel Yöntemleri çev kip, E, Sarımeşeli, M ve Aydoğuş, Ankara : O Teori Yayınları Çakıcı, M ve Yılmaz, C, (2005) İktisadi ve İdari Bilimler İçin Matematik Manisa Haeussler, EF, Paul, RS and Wood, R, (2010)Temel Matematiksel Analiz Çev Demir,S, Uzun, Ö, Balce, O ve Çağlar, A, Ankara: Akademi Yayıncılık Özer, O, (2009) Genel Matematik Eskişehir: Anadolu Üniversitesi Yayını ISBN: Ağlı, E, (1994) İktisat ve İşletme Uygulamalı Genel Matematik I-II Ankara: Atilla Kitabevi Kadıoğlu, E ve Kamali, M, (2009) Genel Matematik Erzurum: Kültür Eğitim Vakfı Yayınevi ISBN: Kobu, B, (1997) İşletme Matematiği, İstanbul: Avcıol Yayıncılık ISBN: Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 13