ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ÜSTEL İNTEGRAL FONKSİYONLARIN. Çağla CAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2012

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEİ ÜSTEL İNTEGRAL FONKSİYONLARIN DÜGÜN YAKINSAKLIĞI Çağla CAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 0 Her hakkı saklıdır

2 ÖET Yüksek Lisans Tezi ÜSTEL INTEGRAL FONKS IYONLARIN DÜGÜN YAKINSAKLI ¼GI Ça¼gla CAN Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal Dan şman: Doç. Dr. Şeyhmus YARDIMCI Bu yüksek lisans tezi beş bölümden oluşmaktad r. Ilk bölüm giriş k sm na ayr lm şt r. Ikinci bölümde, tezin içeri¼ginde incelenecek olan fonksiyonlar tan t lm şt r. Temel teoremlere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, önce bir boyutlu, ard ndan da n-boyutlu uzayda parametreye ba¼gl genelleştirilmiş integrallerin düzgün yak nsakl k tan m ve kriterleri verilmiştir. Önem arz eden çeşitli parametrelerdeki bir ve iki boyutlu integral fonksiyonlar n verilen bölgelerde düzgün yak nsakl klar incelenmiştir. Dördüncü bölümde, bahsi geçen üstel integral fonksiyonlar n düzgün yak nsakl klar kullan larak özellikleri ve asimptotik davran şlar incelenmiştir. Son bölümde ise iki boyutlu " n (; ) üstel integral fonksiyonunun n = ; ; 3; 4 olmak üzere ve parametrelerinin farkl de¼gerleri için hesaplamalar yap lm şt r. Haziran 0, 5 sayfa Anahtar Kelimeler : integraller Üstel integraller, Düzgün yak nsakl k, Parametreye ba¼gl i

3 ABSTRACT Master Thesis UNIFORM CONVERGENCE OF THE EXPONENTIAL INTEGRAL FUNCTIONS Ça¼gla CAN Ankara University Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Doç. Dr. Şeyhmus YARDIMCI This thesis consists of ve chapters. The rst chapter is introduction. In the second chapter, some exponential integral functions investigated in thesis have been de ned. Moreover, fundamental theorems have been given. In the third chapter, rstly on one dimensional and then on n-dimensional space de nitions of uniform convergence and tests have been given for improper integrals depending on parameter. In the fourth chapter, using the uniform convergence of these integral functions, the properties and asymptotic behaviour have been investigated. In the last chapter, the computation has been performed for various values of " n (; ) s parameters and for n = ; ; 3; 4. June 0, 5 pages Key Words: Exponential functions, uniform convergence, integrals depending on a parameter ii

4 TEŞEKKÜR Bu konuda çal şmama imkan tan yan ve deste¼gini esirgemeyen dan şman hocam Say n Doç. Dr. Şeyhmus YARDIMCI ya (Ankara Üniversitesi), de¼gerli bilgi ve önerileriyle beni yönlendiren hocam Say n Prof. Dr. Elgiz BAYRAM a (Ankara Üniversitesi), haftal k tez çal şmalar kapsam nda birlikte oldu¼gum ve desteklerini hiç esirgemeyen de¼gerli hocalar m Araş. Gör. Yelda AYGAR, Yard. Doç. Dr. Murat OLGUN (Ankara Üniversitesi), de¼gerli arkadaşlar m Pembe IPEK, Ibrahim ERDAL ve tez çal şmalar na başlarken bana yol gösteren arkadaş m Ekin U ¼GURLU ya, bana her an destek olan çok sevgili arkadaş m Nilay ŞAH IN e ve tezin hiçbir aşamas nda yard m n esirgemeyen arkadaş m Sezgin SUCU ya en içten teşekkürlerimi sunar m. Ayr ca hayat m n her aşamas nda yan mda olup hiçbir fedakarl ktan kaç nmayan, her an desteklerini hissetti¼gim çok k ymetli ailem ve S. Selen YAGÜNO ¼GLU na sonsuz minnetlerimi ve teşekkürlerimi sunar m. Ça¼gla CAN Ankara, Haziran 0. iii

5 IÇ INDEK ILER ÖET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii S IMGELER D I IN I v. G IR IŞ GENEL B ILG ILER DÜGÜN YAKINSAKLIK (a; w] R Aral ¼g nda Tan ml Parametreye Ba¼gl Genelleştirilmiş Integrallerin Düzgün Yak nsakl ¼g Çok Boyutlu Uzaylarda Parametreye Ba¼gl Genelleştirilmiş Integrallerin Düzgün Yak nsakl ¼g ÜSTEL INTEGRAL FONKS IYONLARIN ÖELL IKLER I 3 4. G(x; y; z) ve E (x; y) Fonksiyonlar n n Özellikleri " n (; ) Fonksiyonlar n n Özellikleri 3 5. NÜMER IK TABLO KAYNAKLAR ÖGEÇM IŞ iv

6 S IMGELER D I IN I R n U [a;w) (w) L (R) o () R + D () ^f n- boyutlu Öklid Uzay w n n [a; w) aral ¼g ndaki komşulu¼gu Düzgün yak nsakl k Integrallenebilen fonksiyon uzay S f ra yak nsama Pozitif reel say lar D nin kapan ş Gama Fonksiyonu f fonksiyonunun Fourier Dönüşümü v

7 . G IR IŞ Üstel integral fonksiyonlar teorik ve uygulamal zi¼gin çeşitli alanlar nda, kuantum kimyas nda ş nlar n taş nmas nda, s v lar n yüksek ak şkanl k teorisinde ve çok boyutlu ortamda ş n msal aktar mda çok önemli rollere sahiptir. Bu fonksiyonlar çok boyutlu anizotropik ortamlarda saç l m teorisinin incelenmesinde ve astro zikte ş nlar n yay lma h z n n hesaplanmas nda da önem arz etmektedir. Bu fonksiyonlar n kuvvet seri gösterimlerini Breig ve Crosbie tek boyutlu üstel integral fonksiyonlar n nümerik hesaplamalar için yararl indirgeme ba¼g nt lar vermişlerdir (974). Amaç, genişleyen katsay larla farkl ba¼g nt lar kullanarak genelleştirilmiş integral fonksiyon ölçümü için do¼gru algoritmay bulmakt r. Anizotropik saç lmayla iki boyutlu düzlemsel ortamda ş n msal ak ştaki temel integral ba¼g nt Crosbie ve Dougherty taraf ndan geliştirildi (98). Iki boyutlu üstel integral fonksiyon bu integralin çekirde¼gini oluşturmaktad r. Yukar da ad geçen alanlarda yaz lm ş çok say da kitap ve makalede bu fonksiyonlar ö¼grenilmiştir. Ancak şimdiye kadarki çal şmalarda bu fonksiyonlar n matematiksel teorisi yeteri kadar ö¼grenilmemiştir. Bairamov ve Yard mc çeşitli parametrelerde üstel integral fonksiyonlar n düzgün yak nsakl ¼g n incelemiş ve bu fonksiyonlar n matematiksel özellikleri detayl bir biçimde ö¼grenilmiştir (00). Ayn zamanda üstel integral fonksiyonlara ait nümerik tablo da oluşturulmuştur (Özalp ve Bairamov 0). Ayr ca Aygar ve Bairamov ş n msal ak ştaki temel üstel integral fonksiyon olan " n fonksiyonunu n = ; ; 3 için ayr nt l bir biçimde incelemişlerdir ve bu fonksiyonlar n yaklaş k de¼gerleri hesaplanarak kimya, zik ve mühendislik alanlar nda çal şanlar n kullanaca¼g hale getirilmiştir (0). Bu tezde, çeşitli parametrelerdeki bir ve iki boyutlu üstel integral fonksiyonlar n düzgün yak nsakl ¼g ve düzgün yak nsakl k kullan larak da özellikleri ayr nt l bir biçimde incelenecektir.

8 . GENEL B ILG ILER Bu bölümde, tezin içeri¼ginde kullan lacak olan baz önemli fonksiyonlar ve teoremler tan t lacakt r. ilk olarak kullanaca¼g m z baz önemli fonksiyonlar tan tal m. Tan m. (Gama Fonksiyonu) () = 0 x exp ( x) dx integraline Gama Fonksiyonu ya da ikinci çeşit Euler integrali denir. x = singüler noktas d r ve 0 < < için x = 0 noktas da bir di¼ger singüler noktas olur. Tan m. Genelleştirilmiş üstel integral fonksiyonu, (x; y; z) := (x; y; z) R 3 ; x [0; ); y ( ; ) ; z [0; ) olmak üzere; ile tan mlan r. G (x; y; z) = (z + ) exp ( xu) u y (ln u) z du (.) Tan m.3 (:) integralinde z = 0 al n rsa, (x; y)! := (x; y) R ; x [0; ); y ( ; ) olmak üzere aşa¼g daki üstel integral fonksiyonu elde edilir. E (x; y) = exp ( xu) u y du: (.)

9 Tan m.4 (; ) := (; ) R ; [0; ); ( ; ) olmak üzere, " (; ) = t + exp[ t + ]dt; (.3) " (; ) = t exp[ t + ]dt; (.4) " 3 (; ) = " t; t dt (.5) fonksiyonlar n tan mlans n. çal şmalar nda çok önemli rolleri vard r. Bu iki parametreli fonksiyonlar n ş n msal transfer Tan m.5 (; ) := (; ) R ; [0; ); ( ; ) ve r = x + y + olmak üzere " n (; ) = n [exp ( r) =r n+ ] exp ( ix) dxdy (.6) fonksiyonu iki boyutlu genelleştirilmiş üstel integral fonksiyonudur. (:3) (:4) integralleri bu fonksiyonun tek boyutlu analoglar d r. 3

10 Şimdi, kullanaca¼g m z teoremleri verelim. Teorem. ( Integraller Için Ikinci Ortalama De¼ger Teoremi) f (x) ve g (x) fonksiyonlar [a; b] aral ¼g nda integrallenebilir ve g (x) fonksiyonu ayn aral kta monoton ise öyle bir [a; b] vard r ki, b b f (x) g (x) dx = g (a) f (x) dx + g (b) f (x) dx a a eşitli¼gi gerçeklenir. G R m m -boyutlu bir uzayda ve D R n de n-boyutlu bir uzayda ölçülebilir kümeler olsun. G olmak üzere, F () = f (; ) d (.7) genelleştirilmiş integralini ele al p aşa¼g daki teoremleri verelim. D Teorem. f (; ) fonksiyonu, G D := f G; Dg ile tan mlanan küme üzerinde sürekli ve (:7) integrali ye göre G üzerinde düzgün yak nsak ise F () = f (; ) d fonksiyonu ye göre G üzerinde sürekli olur. Ayr ca her 0 G için D lim! 0 D f (; ) d = D lim f (; ) d! 0 sa¼glan r. 4

11 Teorem.3 Teorem. nin şartlar sa¼glan yor ise (:7) ile verilen F () fonksiyonu ye göre G üzerinde integrallenebilirdir ve F () d = d f (; ) d = d f (; ) d G G D D G gerçeklenir. Teorem.4 [a; b] olmak üzere f (; ) ve fonksiyonun k smi [a; üzerinde sürekli olsun. Ayr ca (:7) integrali yak nsak ve F () = f (; ) integrali ye göre düzgün yak nsak ise F 0 () = F () D f (; ) d = f (; ) sa¼glan r. 5

12 3. DÜGÜN YAKINSAKLIK 3. [a; w) R Aral ¼g nda Tan ml Parametreye Ba¼gl Genelleştirilmiş Integrallerin Düzgün Yak nsakl ¼g w F (y) = f (x; y) dx (3.) a genelleştirilmiş integrali her y Y için yak nsak olsun. (3:) integralinin yaln zca bir tek singülerli¼ginin oldu¼gunu kabul edelim. Bu singülerlik, integralin üst limit noktas n içersin. Yani w = ya da x in bir fonksiyonu olan f, w n n bir komşulu¼gunda s n rs zd r. Tan m 3.. Her " > 0 için [a; w) aral ¼g nda w n n öyle bir U [a;w) (w) komşulu¼gu bulunabilir ki, w b f (x; y) dx < " (3.) eşitsizli¼gi, her b U [a;w) (w) ve her y E Y için sa¼glan yor ise (3:) genelleştirilmiş integrali E kümesi üzerinde y ye göre düzgün yak nsakt r denir. (3:) genelleştirilmiş integraline yak nsayan klasik anlamdaki integral için, b F b (y) := f (x; y) dx (3.3) a notasyonunu tan mlarsak E Y kümesi üzerinde (3:) integralinin düzgün yak nsakl ¼g n şu şekilde verebiliriz. b [a; w) olmak üzere b! w iken F b (y) F (y) olmas d r. 6

13 Yani her b U [a;w) (w) ve her y Y için F (y) = oldu¼gunu görebiliriz. w a f (x; y) dx := b lim b!w b[a;w) a f (x; y) dx = lim F b (y) b!w b[a;w) Bu nedenle (3:) integralinin (3:) ile gösterilen düzgün yak nsak koşulunu her " > 0, her b U [a;w) (w) ve her y Y için jf (y) F b (y)j < " ile ifade edebiliriz. Şimdi, parametreye ba¼gl genelleştirilmiş integraller için düzgün yak nsakl k testlerini inceleyelim. Teorem 3.. (Cauchy Kriteri) (3:) genelleştirilmiş integralinin bir E Y kümesi üzerinde düzgün yak nsak olmas için gerek ve yeter koşul, her " > 0 için w n n öyle bir U [a;w) (w) komşulu¼gu vard r ki her b ; b U [a;w) (w) ve her y Y için, eşitsizli¼ginin sa¼glanmas d r. b b f (x; y) dx < " Ispat F (y) = w f (x; y) dx integrali E Y kümesi üzerinde düzgün yak nsak olsun. a 7

14 Bu durumda F b (y), (3:3) ile tan mlanmak üzere, her b U [a;w) (w), her y Y için, ifadesini yazabiliriz. F (y) = lim F b (y) b!w b[a;w) Bu durumda, F b (y) fonksiyonlar ailesi için tan ml Cauchy düzgün yak nsakl k kriterinden, her " > 0 için w n n öyle bir U [a;w) (w) komşulu¼gu vard r ki her b ; b U [a;w) (w) ve her y Y için jf b (y) F b (y)j < " gerçeklenir. Buradan, b a f (x; y) dx b a f (x; y) dx < " yazabiliriz. Böylece her b ; b U [a;w) (w) olmak üzere, b b f (x; y) dx < " gerçeklenmiş olur. Di¼ger taraftan, her " > 0, her b ; b U [a;w) (w) ve her y Y için, sa¼glans n.bu durumda, b b f (x; y) dx < " b a f (x; y) dx b a f (x; y) dx < " yazabiliriz. (3:3) ifadesinden, 8

15 jf b (y) F b (y)j < " sa¼glan r. Dolay s yla F b (y) fonksiyonlar ailesi için tan ml Cauchy düzgün yak nsakl k kriterinden her " > 0 için, her b U [a;w) (w) olmak üzere her y Y için F (y) = lim F b (y) b!w b[a;w) gerçeklenir. Bu da (3:) genelleştirilmiş integralinin bir E Y kümesi üzerinde düzgün yak nsak oldu¼gunu ispatlar. Teorem 3.. (Weierstrass Testi) f (x; y) ve ' (x; y) fonksiyonlar her bir y Y için [a; b] [a; w) kapal aral ¼g nda x e göre integrallenebilir olsun. E¼ger jf (x; y)j ' (x; y) (3.4) eşitsizli¼gi her y Y ve her x [a; w) için sa¼glan r ve w a ' (x; y) dx (3.5) integrali Y de düzgün yak nsak olur ise w a f (x; y) dx integrali Y de düzgün ve her bir y Y için mutlak yak nsak olur. 9

16 Ispat (3:5) integrali Y de düzgün yak nsak oldu¼gundan her " > 0; her y Y ve her b U [a;w) (w) için, w ' (x; y) dx < " (3.6) yazabiliriz. (3:4) ve (3:6) eşitsizliklerinden; w b f (x; y) dx b w w jf (x; y)j dx ' (x; y) dx < " b b gerçeklenir. Şimdi de g (x; y) ve (x; y) fonksiyonlar [a; b] [a; w) kapal aral ¼g nda her bir y Y için x e göre integrallenebilir olmak üzere Abel ve Dirichlet Testlerini inceleyelim. Teorem 3..3 (Abel Testi) w g (x; y) dx a integrali y Y ye göre düzgün yak nsak ve (x; y) fonksiyonu da her y Y için [a; w) aral ¼g nda x e göre monoton ve düzgün s n rl ise w a g (x; y) (x; y) dx integrali y ye göre düzgün yak nsak olur. Ispat g (x; y) ve (x; y) fonksiyonlar [b ; b ] [a; w) kapal aral ¼g nda her bir y Y için x e göre integrallenebilirdir. Ayr ca (x; y) fonksiyonu da her y Y için [a; w) aral ¼g nda x e göre monoton oldu¼gundan öyle bir [b ; b ] vard r ki, b b g (x; y) (x; y) dx = (b ; y) g (x; y) dx + (b ; y) b b 0 g (x; y) dx (3.7)

17 eşitli¼gi Teorem. den gerçeklenir. Di¼ger taraftan, w a g (x; y) dx integrali düzgün yak nsak oldu¼gundan Teorem 3.. den her " > 0 için her b,b U [a;w) (w) olmak üzere her y Y ve her M R + için, b b (x; y) dx < " M sa¼glan r. Buradan b b için b g (x; y) dx < " M ve b g (x; y) dx < " M (3.8) eşitsizliklerini yazabiliriz. Ayr ca (x; y) fonksiyonunun düzgün s n rl l ¼g ndan her x [a; w) ve her y Y için öyle bir M R + sabiti vard r ki, j (x; y)j < M (3.9) sa¼glan r. Şimdi (3:7) eşitli¼ginin her iki yan n n mutlak de¼gerini al p (3:8) ve (3:9) eşitsizliklerini burada dikkate alal m. b b g (x; y) (x; y) dx = (b ; y) b g (x; y) dx + (b ; y) b g (x; y) dx

18 j (b ; y)j b M " M + M " M = " f (x; y) dx + j (b ; y)j b g (x; y) dx elde ederiz. Böylece Teorem 3.. den her y Y için, w a g (x; y) (x; y) dx integrali düzgün yak nsak olur. Teorem 3..4 (Dirichlet Testi) b a g (x; y) dx (3.0) integrali b [a; w) olmak üzere her y Y için düzgün s n rl ve (x; y) fonksiyonu da [a; w) aral ¼g nda her y için x! w iken s f ra düzgün yak nsak ise w a g (x; y) (x; y) dx integrali y ye göre düzgün yak nsak olur. Ispat (3:0) integralinin düzgün s n rl l ¼g ndan her b [a; w), her y Y için öyle bir M > 0 sabiti vard r ki, eşitsizli¼gi sa¼glan r. b a g (x; y) dx < M

19 Dolay s yla her b ; a için, b g (x; y) dx = a a b g (x; y) dx g (x; y) dx a g (x; y) dx + b g (x; y) dx M + M a = M (3.) gerçeklenir. Ayn şekilde her b ; a için, b g (x; y) dx M (3.) yazabliriz. Her x [a; w) olmak üzere x! w iken (x; y) fonksiyonu s f ra düzgün yak nsak oldu¼gundan, her " > 0 için öyle bir x 0 vard r ki x x 0 koşulunu sa¼glayan her x için ve her M R + için eşitsizli¼gi sa¼glan r. Dolay s yla b ; b > x 0 için, j (x; y)j < " 4M j (b ; y)j < " 4M ve j (b ; y)j < " 4M (3.3) yazabiliriz. (3:7) eşitli¼ginin her iki taraf n n mutlak de¼gerini al p (3:)-(3:3) eşitsizliklerini burada dikkate alal m. Her b ; b > x 0 için, b b g (x; y) (x; y) dx = (b ; y) b g (x; y) dx + (b ; y) 3 b g (x; y) dx

20 j (b ; y)j b " 4M M + " 4M M = " g (x; y) dx + j (b ; y)j b g (x; y) dx sa¼glan r. Dolay s yla Teorem 3.. den her y Y için, w a g (x; y) (x; y) dx integrali düzgün yak nsak olur. Bu da ispat tamamlar.. bölümde tan t lan fonksiyonlar n düzgün yak nsakl ¼g n vermeden önce Teorem 3.., Teorem 3..3 ve Teorem 3..4 ü [; ) aral ¼g nda ve n parametreye genişleterek vermemiz yararl olacakt r. x [; ) ve y K R n olmak üzere, f (x; y) dx (3.4) genelleştirilmiş integralini tan mlayal m. Teorem 3..5 ' (x) fonksiyonu, [; ) aral ¼g nda integrallenebilen, negatif olmayan bir fonksiyon ve her x [; ), y K R n için jf (x; y)j ' (x) eşitsizli¼gi sa¼glan yor ise (3:4) integrali y ye göre K da düzgün yak nsak olur. 4

21 Teorem 3..6 g (x; y) dx integrali y K ye göre düzgün yak nsak ve (x; y) fonksiyonu da her y K için [; ) aral ¼g nda x e göre düzgün s n rl ve negatif olmayan bir fonksiyon ise g (x; y) (x; y) dx integrali y ye göre düzgün yak nsak olur. Teorem 3..7 t [; ) olmak üzere, t g (x; y) dx integrali her y K için düzgün s n rl ve (x; y) fonksiyonu da [; ) aral ¼g nda her y için x! iken s f ra düzgün yak nsak olsun. Ayn zamanda g; =@x fonksiyonlar [; ) aral ¼g nda x e göre sürekli ise integrali y ye göre düzgün yak nsak olur. g (x; y) (x; y) dx Şimdi de (:) ile verilen Genelleştirilmiş üstel integral fonksiyonunun ve (:) ile verilen Üstel integral fonksiyonunun verilen bölgelerde düzgün yak nsakl klar n inceleyelim. Her " > 0, > 0 ve a > 0 olmak üzere, ("; a) = f(x; y; z) ; x ["; ); y ( ; ) ; z [0; a]; y z g ; D (a; ) = f(x; y; z) ; x [0; ); y ( ; ) ; z [0; a]; y z + g tan m kümelerini verelim. 5

22 Teorem 3..8 (:) Genelleştirilmiş üstel integral fonksiyonu ("; a) ve D (a; ) bölgeleri üzerinde (x; y; z) ye göre düzgün yak nsakt r. Ispat I (x; y; z) = e xu u y (ln u) z du (3.5) ile tan mlanmak üzere genelleştirilmiş üstel integral fonksiyonunu, G (x; y; z) = I (x; y; z) (z + ) ile gösterelim. Öncelikle, (z + ) = t z e t dt (3.6) Gama Fonksiyonunun [0; a] üzerinde z ye göre düzgün yak nsak oldu¼gunu gösterelim. Fonksiyonu aşa¼g daki gibi yaz p ' ve ' fonksiyonlar n tan layal m. (z + ) = t z e t dt + t z e t dt = ' (z + ) + ' (z + ) : 0 0 z 0 sabitlenmiş key negatif olmayan bir say olmak üzere her z + z 0 + > 0 için, t z e t t z 0 (0 t ) ve t z 0 dt < sa¼gland ¼g ndan Weierstrass testinden ilk integral düzgün yak nsak olur. z 0 key bir say olmak üzere z z 0 için; 0 t z e t t z 0 e t ( t ) 6

23 ve t z 0 e t dt < sa¼glan r. Dolay s yla her z z 0 için ikinci integral de düzgün yak nsak olur. Şimdi de (3:5) ile verilen I (x; y; z) fonksiyonunun düzgün yak nsakl ¼g n inceleyelim. ln ( + v) v, v [0; ) eşitsizli¼gini kullanarak, ln u = ln [ + (u )] u < u; u [; ) (3.7) eşitsizli¼gini elde ederiz. (3:5) ve (3:7) den, olmak üzere, I 0 (x; y; z) = e xu u z y du (3.8) I (x; y; z) I 0 (x; y; z) (3.9) eşitsizli¼gi sa¼glan r. Şimdi (3:8) integralinin ("; a) ve D (a; ) bölgeleri üzerinde düzgün yak nsak oldu¼gunu gösterelim. i: (x; y; z) ("; a) olmak üzere, f (u; x; y; z) = e (x=)u u z y ve g (u; x; y; z) = e (x=)u fonksiyonlar n ele alal m. f; fonksiyonlar u ya göre [; ) aral ¼g nda sürekli fonksiyonlard r. 7

24 Ayr ca (x; y; z) ("; a) için, lim g (u; x; y; z) = lim e (x=)u = 0 u! u! sa¼glan r. u! iken g (u; x; y; z) fonksiyonu düzgün olarak s f ra gider. t [; ); (x; y; z) ("; a) olmak üzere, t t F (t; x; y; z) := f (u; x; y; z) du = e (x=)u u z y du fonksiyonunu tan mlayal m. F (t; x; y; z) = t e (x=)u u z y du e (x=)u u z y du = " y z w z y e w dw = " y z (z y ) < x= sa¼gland ¼g ndan F (t; x; y; z) her t [; ); (x; y; z) ("; a) için düzgün s n rl olur. O halde Teorem 3::7 den I 0 (x; y; z) = f (u; x; y; z) g (u; x; y; z) du = e xu u z y du fonksiyonu (x; y; z) ye göre ("; a) bölgesi üzerinde düzgün yak nsak olur. ii: (x; y; z) D (a; ) olmak üzere, e xu u z y u + ve du < u+ sa¼glan r. Teorem 3..5 Weierstrass Testinden (3:8) integrali D (a; ) üzerinde (x; y; z) ye göre düzgün yak nsak olur. 8

25 Böylece (3:6) ve (3:9) dan genelleştirilmş üstel integral fonksiyonu (x; y; z) ye göre ("; a) ve D (a; ) bölgelerinde düzgün yak nsak olur. Ispat tamamlan r. Her a > 0 olmak üzere üzerinde aşa¼g daki bölgeyi tan mlayal m; (a) = f(x; y; z) ; x [0; ); y ( ; ) ; z [0; a]g Teorem 3..9 (:) Genelleştirilmiş üstel integral fonksiyonu (x; y; z) ye göre (a) bölgesinde düzgün yak nsak de¼gildir. Ispat (x; y; z) (a) olmak üzere, G (x; y; z) = G (x; y; z) = (z + ) (z + ) e e e xu u y (ln u) z du e xu u y (ln u) z du fonksiyonlar n tan mlarsak, G (x; y; z) = G (x; y; z) + G (x; y; z) eşitli¼gi sa¼glan r. G (x; y; z), Riemann integrali; G (x; y; z) ise genelleştirilmiş integralidir. G (x; y; z) integralinin düzgün yak nsakl ¼g n inceleyelim. G (x; y; z) = (z + ) e (ln e)z (z + ) e xu u y (ln u) z du e e xu u y du 9

26 = = (z + ) e x y (z + ) e xu u y du ex t y e t dt! ; x! 0 gerçeklenir. Dolay s yla G (x; y; z) integrali raksak oldu¼gundan (:) Genelleştiriliş üstel integral fonksiyonu, (a) bölgesi üzerinde (x; y; z) ye göre düzgün yak nsak de¼gildir. Böylece ispat tamamlan r. " > 0 ve > 0 için aşa¼g daki bölgeleri tan mlayal m;! (") = f(x; y)!; x ["; ); y ( ; )g ; d () = f(x; y)!; x [0; ); y [ + ; g : Teorem 3..0 (:) ile verilen üstel integral fonksiyonu! (") ve d () bölgeleri üzerinde (x; y) ye göre düzgün yak nsakt r. Ispat E (x; y) üstel integral fonksiyonunun öncelikle! (") bölgesinde düzgün yak nsakl ¼g n araşt ral m. g (u; x; y) = exp [ (x=) u] u y ve (u; x; y) = exp [ (x=) u] fonksiyonlar n ele al rsak E (x; y) fonksiyonunu şu şekilde yazabiliriz: E (x; y) = g (u; x; y) (u; x; y) du: g; =@u fonksiyonlar n n u ya göre sürekli oldu¼gu aç kt r. Ayr ca, lim u! (u; x; y) = lim exp [ (x=) u] = 0 u! gerçeklenir. Yani u! iken (u; x; y) fonksiyonu düzgün olarak s f ra gider. 0

27 t [; ) ve (x; y)! (") olmak üzere, t t G (u; x; y) := g (u; x; y) du = exp [ (x=) u] u y du fonksiyonunu tan mlayal m. G (u; x; y) = t exp [ (x=) u] u y du < exp [ (x=) u] u y du < " y w y exp ( w) dw < " y ( y) < x= gerçeklendi¼gi görülür. Bu da G (u; x; y) fonksiyonunun t [; ), (x; y)! (") için s n rl oldu¼gunu gösterir. Teorem 3..7 den E (x; y) fonksiyonu (x; y) ye göre! (") bölgesinde düzgün yak nsak olur. Şimdi de E (x; y) fonksiyonunun (x; y) ye göre d () bölgesinde düzgün yak nsakl l ¼g n inceleyelim. (x; y) d () ve u [; ) için, exp ( xu) u y u (+) ve u (+) du < gerçeklenir. Teorem 3..5 Weierstrass testinden E (x; y) fonksiyonunun (x; y) ye göre d () üzerinde düzgün yak nsak oldu¼gu görülür. Böylece ispat tamamlan r. = f(; ) R ; [0; ); ( ; )g olmak üzere, (") = f(; ) ; ["; ); ( ; )g bölgelerini tan mlayal m.

28 Teorem 3.. i) (:3) ile verilen iki parametreli üstel integral fonksiyon " (; ) ; (; ) ya göre (") bölgesi üzerinde düzgün yak nsakt r. ii) " (; ) ; (; ) ya göre bölgesi üzerinde düzgün yak nsak de¼gildir. Ispat i) g (t; ; ) = exp[ (t + ) ]; (t; ; ) = (t + ) fonksiyonlar n tan mlarsak, " (; ) = g (t; ; ) (; ; t) dt (3.0) sa¼glan r. g (t; ; ) exp ( "t) ; (; ) (") ; t [; ) ve her " > 0 için, exp ( "t) dt = " exp ( ") < oldu¼gu aç kt r. Dolay s yla, g (t; ; ) dt (3.) integrali Teorem 3..5 den (; ) ya göre (") üzerinde düzgün yak nsakt r. Ayr ca (; ) (") ; t [; ) için, j (t; ; )j = (t + ) (3.) sa¼gland ¼g ndan (t; ; ) fonksiyonu düzgün s n rl d r.(3:) ; (3:) ifadeleri Teorem 3..6 da düşünülürse (3:0) integralinin (; ) ya göre (") bölgesi üzerinde düzgün yak nsak oldu¼gu görülür.

29 i) Her (; ) için " (; ) integralinde t + = u de¼gişken de¼giştirmesi yap l rsa, " (; ) = u exp ( u) du (+ ) u exp ( u) du! ;! 0 (+ ) elde edilir. Dolay s yla " (; ) fonksiyonu, (; ) ya göre üzerinde düzgün yak nsak de¼gildir. Teorem 3.. (:4) ile verilen " (; ) fonksiyonu, (; ) ya göre bölgesi üzerinde düzgün yak nsakt r. Ispat (; ) olmak üzere aç kça görülebilir ki, t exp[ t + ] t ve t dt = sa¼glan r. Teorem 3..5 den " (; ) integralinin (; ) ya göre bölgesi üzerinde düzgün yak nsak oldu¼gu görülür. Teorem 3..3 i) (:5) ile verilen " 3 (; ) fonksiyonu, (; ) ya göre (") bölgesi üzerinde düzgün yak nsakt r. ii) " 3 (; ) ; (; ) ya göre bölgesi üzerinde düzgün yak nsak de¼gildir. Ispat i) J (; ) = s exp[ t s + dsdt (3.3) 3

30 ile tan mlanmak üzere, " 3 (; ) = " t; t dt = s exp[ t s + dsdt = J (; ) (3.4) oldu¼gu aç kça görülür. Ayr ca her (; ) (") için, s exp[ t s + s exp( "ts) (3.5) eşitsizli¼gi sa¼glan r. Buradan, s exp( "ts)dsdt = = s 8 < : exp( 9 = "ts)dt ; ds s 3 " exp( "s)ds " exp ( ") s 3 ds = " exp ( ") bulunur. (3:3)-(3:5) ve Weierstrass testinden " 3 (; ) fonksiyonunun (; ) ya göre (") üzerinde düzgün yak nsak oldu¼gu görülür. ii) (; ) olmak üzere, J (; ) = s exp[ t s + dsdt integralinde t s + = u de¼gişken de¼giştirmesi yap l rsa, J (; ) = s 8 >< >: (s + ) 9 >= s u u exp ( u) du ds >; 4

31 = s 3 8 >< >: (s + ) 9 >= exp ( u) du ds >; s 3 exp[ s + ]ds = s 3 exp[ s + ]ds! ;! 0 bulunur. Bu da ispat tamamlar. 3. Çok Boyutlu Uzaylarda Parametreye Ba¼gl Genelleştirilmiş Integrallerin Düzgün Yak nsakl ¼g Çok boyutlu uzaylarda düzgün yak nsakl ¼g incelemeden önce (:7) ile verilen parametreye ba¼gl genelleştirilmiş integrali tan yal m. G R m m -boyutlu bir uzayda ve D R n de n-boyutlu bir uzayda ölçülebilir kümeler olsun. G olmak üzere, F () = f (; ) d (3.9) D genelleştirilmiş integralinin tek singülerli¼gi 0 noktas nda olsun.! ; merkezi 0 D noktas ve yar çap olan bir aç k yuvar olarak tan mlanmak üzere, n n bir fonksiyonu olan f (; ) D bölgesinde s n rs z; > 0 olmak üzere D! bölgesinde de s n rl ve integrallenebilirdir. Tan m 3.. E¼ger (:7) integrali her G için yak nsak ve e¼ger D! = D \! olmak üzere her " > 0 için öyle bir 0 > 0 vard r ki 0 < < 0 koşulunu sa¼glayan her için f (; ) d < " (3.6) D! 5

32 eşitsizli¼gi sa¼glan yorsa, (:7) integrali ye göre düzgün yak nsakt r denir. > 0 olmak üzere singülerli¼gi olmayan F () = f (; ) d D! integralini alal m. Buradan (3:6) eşitsizli¼gini şu şekilde yazabiliriz: jf () F ()j = f (; ) d < " D! Böylece görüyoruz ki her " > 0 için öyle bir 0 vard r ki 0 < < 0 eşitsizli¼gini sa¼glayan her ve her G için jf () F ()j < " eşitsizli¼gi sa¼glan r. Yani son eşitsizlikten F () fonksiyonunu G de F () fonksiyonuna düzgün bir şekilde yak nsamas n ile gösterebiliriz. lim F () = F () (3.7)!0 O halde (3:7) ifadesi (3:6) y içerdi¼ginden, (:7) integralinin düzgün yak nsakl k tan m na karş l k verilebilir. Teorem 3.. (Weierstrass Testi) Her G için (:7) integralinin tek singülerli¼gi 0 D noktas nda olsun. ' () negatif olmayan bir fonksiyon olmak üzere (; ) G D için, jf (; )j ' () (3.8) 6

33 eşitsizli¼gi sa¼glans n Ayr ca 0 da singülerli¼gi olan ' () d (3.9) D genelleştirilmiş integrali yak nsak olsun. Bu durumda (:7) genelleştirilmiş integrali ye göre düzgün yak nsak olur. Ispat (3:9) integrali yak nsak oldu¼gundan her " > 0 için 0 < < 0 eşitsizli¼gini sa¼glayan öyle bir 0 > 0 vard r ki, ' () d < " (3.30) D! eşitsizli¼gi sa¼glan r. Böylece (3:8) ve (3:30) ifadelerinden, f (; ) d D! sa¼glan r. Bu da ispat tamamlar. D! jf (; )j dy ' () d < " D! Şimdi de çok boyutlu uzayda, s n rs z bölge üzerinde tan ml parametreye ba¼gl genelleştirilmiş integraller için düzgün yak nsakl ¼g inceleyelim. S n rs z D bölgesi üzerinde al nan genelleştirilmiş integrali F () = f (; ) d (3.3) D ile gösterelim. Her G için (3:3) integralinin tek singülerli¼gi sonsuzlukta olsun. Tan m 3..! R ; merkezi orijin; yar çap R olan yuvar olarak tan mlans n. (3:3) integrali her G için yak nsak ise ve her " > 0 için öyle bir R 0 say s vard r ki 7

34 R > R 0 eşitsizli¼gini sa¼glayan her R için, f (; ) d < " D! R eşitsizli¼gi sa¼glan yorsa (3:3) integrali G ye göre düzgün yak nsakt r denir. Teorem 3.. (Weierstrass Testi) ' (y), her (; ) G D için jf (; )j ' () (3.3) eşitsizli¼gini sa¼glayan negatif olmayan bir fonksiyon olsun. Ayr ca ' () d (3.33) D genelleştirilmiş integrali yak nsak ise (3:3) integrali her ye göre düzgün yak nsak olur. Ispat! R ; merkezi orijin, yar çap R olan yuvar olmak üzere (3:33) integralinin yak nsakl ¼g ndan her " > 0 için öyle bir R 0 say s vard r ki R > R 0 eşitsizli¼gini sa¼glayan her R için, ' () d < " (3.34) D! R sa¼glan r. Böylece (3:3) ve (3:34) ifadelerinden, D f (; ) dy < jf (; )j d < ' () d < "! R D! R D! R elde edilir. Bu da (3:3) integralinin düzgün yak nsakl ¼g n verir. 8

35 = (; ) R ; [0; ); ( ; ) ; olmak üzere, (") = f(; ) ; ["; ); ( ; )g : bölgelerini tekrar tan mlayal m. Teorem 3..3 i) (:6) ile verilen " n (; ) fonksiyonu (") bölgesi üzerinde düzgün yak nsakt r. ii) " n (; ) fonksiyonu bölgesi üzerinde düzgün yak nsak de¼gildir. Ispat i) g (x; y; ; ) = exp p p n+ x + y + = x + y + exp ( ix) fonksiyonunu tan mlarsak, " n (; ) = n oldu¼gunu görürüz. Her " > 0 için, g (x; y; ; ) dxdy jg (x; y; ; )j exp p x + y + " =" np x + y + " (3.35) sa¼glan r. " n exp p x + y + " = p x + y + " dxdy integralinde x + y = r alarak kutupsal koordinatlara geçelim. 9

36 Böylece, " n 0 0 exp p r + " r = p r + " dr d = " n exp ( ") < (3.36) elde edilir. (3:35) ve (3:36) y Teorem 3.. de düşünürsek " n (; ) fonksiyonunun (") bölgesi üzerinde düzgün yak nsak oldu¼gunu görürüz. ii) Her (; ) için, " n (; ) = n > n [exp ( r) =r n+ ] exp ( ix) dxdy exp ( r) =r n+ dxdy sa¼glan r. exp ( r) =r n+ dxdy integralini ele alal m. ' (x; y; ) = exp ( r) ; r = x + y + olmak üzere, ' (x; y; ) =r n+ dxdy yazabiliriz. Orijin etraf nda j' (x; y; )j > j'(0;0;)j = bir! diski vard r ki, exp( ) > 0 eşitsizli¼gini sa¼glayan öyle küçük 30

37 ! ' (x; y; ) =r n+ dxdy = >! j' (x; y; )j =r n+ dxdy exp ( )! =r n+ dxdy!,! 0 sa¼glan r. Dolay s yla " n (; ) ; üzerinde düzgün yak nsak de¼gildir. 3

38 4. ÜSTEL INTEGRAL FONKS IYONLARIN ÖELL IKLER I 4. G (x; y; z) ve E (x; y) Fonksiyonlar n n Özellikleri Teorem 3..8, Teorem 3..0 ve Teorem. den aşa¼g daki sonuç elde edilir. Sonuç 4.. i) G (x; y; z) fonksiyonu (x; y; z) ye göre ("; a) ve D (a; ) bölgelerinde süreklidir. ii) E (x; y) fonksiyonu (x; y) ye göre! (") ve d () bölgeleri üzerinde süreklidir. Teorem 4.. G (x; y; z) fonksiyonu aşa¼g daki asimptotik eşitlikleri sa¼glar. G (x; y; z) = o () ; (x; y; z) ("; a) ; x! : (4.) G (x; y; z) = o () ; (x; y; z) D (a; ) ; x! : (4.) G (x; y; z) = o () ; (x; y; z) D (a; ) ; y! : (4.3) Ispat (x; y; z) ("; a) için, lim G (x; y; z) = lim x! x! (z + ) e xu u y (ln u) z du yararlanarak, Teorem 3..8 ve Teorem. den, lim G (x; y; z) = x! (z + ) elde edilir. Böylece (4:) gerçeklenmiş olur. Buradan (4:) ve (4:3) eşitlikleri de aç kça görülebilir. lim e xu u y (ln u) z du = 0 x! 3

39 Teorem 4..3 E (x; y) fonksiyonu aşa¼g daki asimptotik eşitlikleri sa¼glar. E (x; y) = o () ; (x; y)! (") ; x! : (4.4) E (x; y) = o () ; (x; y) d () ; x! : (4.5) E (x; y) = o () ; (x; y) d () ; y! : (4.6) Ispat (x; y)! (") için Teorem 3..0 ve Teorem. den yararlanarak, lim E (x; y) = lim x! x! oldu¼gu görülür. (x; y)! (") için (4:4) gerçeklenir. = e xu u y du lim e xu u y du = 0 x! (x; y) d () için (4:5) ve (4:6) eşitlikleri de benzer şekilde aç kça görülebilir. 4. " n (; ) Fonksiyonlar n n Özellikleri Teorem 3.., Teorem 3.., Teorem 3..3 ve Teorem. den aşa¼g daki sonuç elde edilir. Sonuç 4.. i) " (; ) ve " 3 (; ) fonksiyonlar (; ) ya göre (") bölgesi üzerinde süreklidir. ii) " (; ) fonksiyonu (; ) ya göre bölgesi üzerinde süreklidir. Teorem 4.. " (; ), " (; ) ve " 3 (; ) fonksiyonlar aşa¼g daki asimptotik eşitlikleri sa¼glar. " (; ) = o () ; (; ) (") ;! : () " (; ) = o () ; (; ) (") ;! : (4.8) " (; ) = E () + o () ; (; ) (") ;! 0: (4.9) 33

40 " (; ) = o () ; (; ) ;! : " (; ) = o () ; (; ) ;! : " (; ) = E () + o () ; (; ) ;! 0: " (; ) = + o () ; (; ) ;! 0: " 3 (; ) = o () ; (; ) (") ;! : " 3 (; ) = o () ; (; ) (") ;! : " 3 (; ) = E 3 () + o () ; (; ) (") ;! 0: Ispat i) Teorem 3.. ve Teorem. den yararlanarak, lim " (; ) = lim!! = t + exp[ t + gerçeklenir. Dolay s yla (4:7) gerçeklenir. t + ]dt lim exp[ t + ]dt = 0! Benzer şekilde (4:8) eşitli¼gini de gerçekleyebiliriz. Teorem 3.. ve Teorem. den yararlanarak, elde edilir. lim " (; ) = lim!! = Şimdi (4:9) eşitli¼gini ispatlayal m. t + exp[ t + ]dt lim! t + exp[ t + ]dt = 0 34

41 " (; ) E () = t + exp[ t + ]dt t exp ( t) dt = h t + i h t exp t + i dt + h t nexp t + i exp ( o t) dt = I (; ) + I (; ) (4.0) olsun. I (; ) = h t + i h t exp t + i dt = g (t; ; ) dt (4.) I (; ) = h t nexp t + i exp ( o t) dt = g (t; ; ) dt (4.) olmak üzere g (t; ; ) ve g (t; ; ) fonksiyonlar n tan mlayal m. Her (; ) (") için, jg (t; ; )j = t + h t exp h t + t i exp ( "t) t + i exp ( "t) 35

42 ve jg (t; ; )j = t exp h t + i exp ( t) exp ( "t) + exp ( "t) = exp ( "t) sa¼glan r. Böylece Teorem 3..5 den (4:) ve (4:) integralleri (; ) ye göre (") üzerinde düzgün yak nsak olur. (4:0) ve Teorem. den, lim [" (; ) E ()] = lim [I (; ) + I (; )]!0!0 = lim!0 = + lim!0 h lim!0 + = 0 h t + i h t exp h t nexp t + i t + i h t exp n t lim exp!0 h t + i t + i dt exp ( o t) dt t + i dt exp ( o t) dt gerçeklenir. Bu da ispat tamamlar. Şimdi (:6) ile verilen " n (; ) fonksiyonunun özelliklerini verelim. Teorem 4.. " n (; ) fonksiyonu (; ) ya göre (") üzerinde süreklidir. Ispat (") bölgesinden key ( 0 ; 0 ) noktas n alal m.teorem 3..3 ve Teorem. den, lim "! n (; ) = lim 0! 0 n! 0! 0 [exp ( r) =r n+ ] exp ( ix) dxdy 36

43 = n 0 = n 0 = " n ( 0 ; 0 ) lim! 0! 0 [exp ( r) =r n+ ] exp ( ix) dxdy exp p x + y + 0 p x + y + 0 n+ exp ( i 0 x) dxdy elde edilir. Bu da ispat tamamlar. Teorem 4..3 " n (; ) fonksiyonu aşa¼g daki asimptotik eşitlikleri sa¼glar. " n (; ) = o () ; (; ) (") ;! : (4.3) " n (; ) = o () ; (; ) (") ;! : (4.4) " n (; ) = E n () + o () ; (; ) (") ;! 0: (4.5) Ispat Her (; ) (") için Teorem 3..3 ve Teorem. den yararlan rsak, lim " n n (; ) = lim!! n = lim! n = lim! n < lim! n = = 0 [exp ( r) =r n+ ] exp ( ix) dxdy p exp x + y + p n+ exp ( ix) dxdy x + y + p exp x + y + p n exp ( x + y + (x + y + ) h p i exp x + y + = exp ( h p i lim exp x + y + = exp (! ix) dxdy ix) dxdy ix) dxdy bulunur. Dolay s yla (4:3) ifadesinin gerçeklendi¼gi görülür. 37

44 (4:4) eşitli¼gini ispatlamadan önce aşa¼g daki tan m ve teoremi vermemiz yararl olacakt r. Tan m 4.. f : R! C lokal integrallenebilen bir fonksiyon olsun. ^f () := p f (x) exp ( ix) dx R ile tan mlanan fonksiyona f fonksiyonunun Fourier Dönüşümü denir. Teorem 4..4 f L = L (R) sa¼glan yor ise lim jj! ^f () = 0 gerçeklenir. Şimdi (4:4) eşitli¼gini ispatlayal m. " n (; ) = n [exp ( r) =r n+ ] exp ( ix) dxdy 8 < n < p p exp : p p n+ x + = x + exp ( 9 = ix) dx ; dy ve buradan, f (x; ) = exp p p n+ x + = x + fonksiyonunu tan mlay p Tan m 4.. i kullan rsak, " n (; ) = n p 8 < p f (x; ) exp ( : 9 = ix) dx ; dy = n p ^f (; ) dy (4.6) 38

45 ifadesinin gerçeklendi¼gini görürüz. Ayr ca, jf (x; )j dx = exp p x + = p x + n+ dx < exp ( ) =u np u du < sa¼glan r. Buradan f L (R) diyebiliriz ve Teorem 4..4 den, lim jj! ^f (; ) = 0 (4.7) sa¼glan r. Teorem 3..3, Teorem. ve (4:6), (4:7) ifadelerinden, lim " n (; ) = n p jj! = 0 lim jj! ^f (; ) dy gerçeklenir. Bu da ispat tamamlar. (4:5) ifadesini ispatlayal m. Teorem 3..3 ve Teorem. yi dikkate al rsak, lim " n n (; ) = lim!0!0 = n = n = n exp ( exp ( [exp ( r) =r n+ ] exp ( ix) dxdy r) =r n+ lim!0 exp ( ix) dxdy r) =r n+ dxdy exp ( tr) =r n dtdxdy (4.8) 39

46 elde ederiz. Şimdi, (x; y; ) = exp ( tr) =r n dt ile tan mlanan fonksiyonunun (x; y; ) ya göre f(x; y) R ; ["; )g kümesi üzerinde düzgün yak nsak oldu¼gunu gösterelim. (x; y; ) = exp t p x + y + p n dt 0 x + y + = p exp x + y + p n x + y + bulunur. Buradan, (x; y; ) < exp ( ") " n gerçeklenir. Weierstrass testinden (x; y; ) fonksiyonu (x; y; ) ya göre f(x; y) R ; ["; )g kümesi üzerinde düzgün yak nsak olur. Dolay s yla Teorem.3 ü (4:8) ifadesinde uygulayabiliriz. lim " n (; ) = n!0 (4:9) integralinde k smi integrasyon uygulayal m. exp ( tr) =r n dxdydt: (4.9) exp ( tr) =r n dxdy = u; (t ) n n dt = dv alal @t 0 exp ( tr) =r n dxdya = @t 0 exp ( tr) =r n dxdy exp ( tr) =r n dxdya dt = du (4.0) 40

47 ve (t ) n (n ) = v olur. Şimdi (4:0) nin nas l gerçeklendi¼gini görelim. H (") = f(t; ) ; t [; ); ["; )g olmak üzere, H (t; ) = exp ( tr) =r n dxdy H (t; ) 0 exp ( tr) =r n dxdy exp ( tr) =r n dxdy fonksiyonlar n tan mlayal m. H (t; ) fonksiyonunun (t; ) ya göre H (") üzerinde düzgün yak nsak oldu¼gunu gösterelim. (x; y) R ve (t; ) H (") olmak üzere, exp ( tr) =r n = exp t p x + y + p n x + y + < exp p x + y + " " n p x + y + " (4.) elde edilir. fonksiyonunu tan mlayal m. K (x; y) = K (x; y) dxdy = " n exp p x + y + " " n p x + y + " exp p x + y + " p x + y + " dxdy integralinde x + y = r alarak kutupsal koordinatlara geçelim. Her " > 0 için, 4

48 K (x; y) dxdy = = " n 0 0 p exp r + " p rdrd r + " exp ( ") " n < (4.) sa¼glan r.(4:), (4:) ve Weierstrass testinden, H (t; ) fonksiyonu (t; ) ya göre H (") üzerinde düzgün yak nsak olur. H (t; ) fonksiyonunun da (t; ) ya göre H (") üzerinde yak nsak oldu¼gu benzer şekilde kolayca görülebilir. Dolay s yla Teorem.4 den (4:0) ifadesinin gerçeklendi¼gini görürüz. Şimdi (4:9) integraline k smi integrasyon uygulayabiliriz. n exp ( tr) =r n dxdydt = n n (n ) (t ) exp ( tr) =r n dxdydt elde ederiz. Elde edilen integralde art arda (n ) kez k smi integrasyon uygulan rsa, lim " n (; ) = n!0 (n )! (t ) n exp ( tr) =rdxdydt elde edilir. exp ( tr) =rdxdy = exp ( t) oldu¼gu kolayca görülür.dolay s yla, lim " n (; ) = n!0 (n )! gerçeklenir. (4:3) integralini aşa¼g daki gibi ifade edelim. (t ) n exp ( t) =tdt (4.3) 4

49 (t ) n exp ( t) =tdt = (t ) n exp ( t) dt + (t ) n 4 exp ( t) dt (t ) n 3 exp ( t) dt ::: + ( ) n+ (t ) exp ( t) dt + ( ) n (t ) exp ( t) =tdt: (4.4) Eşitli¼gin sa¼g taraf ndaki ilk integrali alal m ve (t ) n = u exp ( t) dt = dv (n ) (t ) n 3 = du exp ( t) = v olmak üzere k smi integrasyon uygulayal m. (t ) n exp ( t) dt = n (t ) n 3 exp ( t) dt elde ederiz. Integrale art arda (n ) kez k smi integrasyon uygulad ktan sonra, (t ) n exp ( t) dt = (n )! n exp ( ) elde edilir. Bu şekilde (4:4) ifadesinde her integrale k smi integrasyon uygulan rsa, (t ) n (n )! (n 3)! (n 4)! exp ( t) =tdt = [ + n n n 3 ::: + ( ) n! + ( 3 )n! + ( 0! )n ] exp ( ) + ( ) n exp ( t) =tdt (4.5) 43

50 bulunur. (4:5) ifadesinde son integrele k smi integrasyon uygulayal m. ( ) n exp ( t) =tdt = ( ) n [ 0!! +! ::: + ( ) n (n 4)! 3 n 3 + ( ) n (n 3)! + ( ) n (n )! ] exp ( ) n n + (n )! n elde edilir. (4:6) ü (4:5) de düşünürsek, exp ( t) =t n dt (4.6) (t ) n exp ( t) =tdt = (n )! n exp ( t) =t n dt (4.7) bulunur. (4:7) yi (4:3) de düşünürsek, lim " n (; ) =!0 exp ( = E n () t) =t n dt eşitli¼gini elde ederiz. Böylece (4:5) de ispatlanm ş olur. 44

51 5. NÜMER IK TABLO Bu bölümde iki boyutlu üstel fonksiyonlar n düzgün yak nsakl k bölgesinde bulunan ve de¼gerleri için nümerik hesaplama yap lm şt r. Tablodan görüldü¼gü gibi n = ; ; 3; 4 al nmak üzere " n (; ) fonksiyonunun de¼gerleri ve n n çok geniş bölgedeki de¼gerleri için bulunmuştur. Nümerik hesaplamalarda Pentium 4.0 uyumlu MATHEMATICA program kullan lm şt r. Ayr ca tablolardaki A de¼gerleri bizim taraf m zdan, B de¼gerleri ise Breig ve Crosbie taraf ndan hesaplanm şt r. 45

52 Çizelge 5. " (; ) fonksiyonunun de¼gerleri = = = 5 = 0 = 0 A = 6: A = 5: A = 5: A = 4: A = 3: :000 +ie i9: e 0 i6: e 7 +i4: e 8 +i9: e 7 B = 6:433 B = 5:8503 B = 5:66 B = 4:64 B = 3:9795 A = 4: A = 4: A = 3: A = 3: A = : :005 +i: e 7 +ie i: e 0 +i9: e 7 +i: e 7 B = 4:5379 B = 4:450 B = 3:68 B = 3:093 B = :388 A = 3: A = 3: A = : A = : A = : :0 i3: e i4: e 3 i: e i: e i3: e 7 B = 3:8498 B = 3:557 B = :953 B = :3368 B = :78 A = : A = : A = : A = : A = 8: E 0:05 +i: e 0 +i: e 9: E i: e i5: e 7 B = :9488 B = :6574 B = :037 B = :4638 B = 8:94E A = : A = : A = : A = 8: E A = 4: E 0:05 i5: e 7 +i: e 0 i: e i4: e i: e B = :85 B = :9933 B = :3870 B = 8:639E B = 4:065E A = : A = : A = 8: E A = 3: E A = : E 0: +ie +i7: e i: e +i8: e 7 +i6: e B = :640 B = :368 B = 8:0430E B = 3:8436E B = :074E A = 4: E A = : E A = 4: E A = 3: E 3 A = : E 5 0:5 +ie +ie +ie +i: e 6 +ie B = 4:37E B = :5067E B = 4:6303E B = 3:040E 3 B = :550E 5 A = : E A = 5: E A = : E 3 A = : E 5 A = 4: E 0 +ie +ie +ie +i7: e 8 i9: e 6 B = :3555E B = 5:355E B = :395E 3 B = :33E 5 B = 4:796E 0 46

53 Çizelge 5. " (; ) fonksiyonunun de¼gerleri = = = 5 = 0 = 0 A = 9: E A = 9: E A = 9: E A = 9: E A = 9: E 0:00 +i: e 9 +ie i4: e 0 +i: e 9 +i6: e B = 9:944E B = 9:99E B = 9:8970E B = 9:8538E B = 9:769E A = 9: E A = 9: E A = 9: E A = 9: E A = 8: E 0:005 +i: e 0 +i: e 8 +i7: e 7: E 3: E 8 B = 9:706E B = 9:6766E B = 9:5677E B = 9:3590E B = 8:98E A = 9: E A = 9: E A = 9: E A = 8: E A = 8: E 0:0 i4: e 5 +i3: e 8 +i3: e +i: e 8 i: e B = 9:4746E B = 9:43E B = 9:04E B = 8:80E B = 8:04E A = 8: E A = 8: E A = 8: E A = 7: E A = 5: E 0:05 +i4: e 9 +i3: e 3 +i: e i: e 3 +i: e B = 8:954E B = 8:790E B = 8:950E B = 7:44E B = 5:8380E A = 8: E A = 7: E A = 7: E A = 5: E A = 3: E 0:05 +i: e 3 +i: e 8 i8: e 8 +i4: e 7 i: e 7 B = 8:766E B = 7:9455E B = 7:0560E B = 5:68E B = 3:479E A = 7: E A = 6: E A = 5: E A = 3: E A = : E 0: i7: e 3 i3: e +i: e 7 +i: e 7 +ie B = 7:04E B = 6:6345E B = 5:0E B = 3:76E B = :48E A = : E A = : E A = 5: E A = 5: E 3 A = 3: E 5 0:5 +ie +ie +ie i3: e 5 +ie B = :8E B = :059E B = 5:4968E B = 5:0600E 3 B = 3:7076E 5 A = : E A = 5: E A = 3: E 3 A = : E 5 A = : E 9 +ie +ie +ie i5: e 9 i: e 8 B = :0757E B = 5:3363E B = 3:7075E 3 B = :9869E 5 B = :5383E 9 47

54 Çizelge 5.3 "3 (; ) fonksiyonunun de¼gerleri = = = 5 = 0 = 0 A = 4: E A = 4: E A = 4: E A = 4: E A = 4: E 0:00 i: e i: e i: e 9 i: e 9 +i5: e 9 B = 4:9900E B = 4:9900E B = 4:9897E B = 4:9888E B = 4:9857E A = 4: E A = 4: E A = 4: E A = 4: E A = 4: E 0:005 i: e 9 i: e 3 +i: e 9 i: e 3 i7: e 8 B = 4:9505E B = 4:9498E B = 4:9450E B = 4:930E B = 4:880E A = 4: E A = 4: E A = 4: E A = 4: E A = 4: E 0:0 +i4: e 5 +i8: e 5 +i: e 8 +ie i: e B = 4:909E B = 4:8994E B = 4:8838E B = 4:8376E B = 4:6950E A = 4: E A = 4: E A = 4: E A = 4: E A = 3: E 0:05 +i8: e 0 i6: e 9 +i: e 8 i3: e 8 +: E B = 4:7604E B = 4:7489E B = 4:6805E B = 4:4938E B = 3:993E A = 4: " "E A = 4: E A = 4: E A = 3: E A = : E 0:05 +i4: e i8: e +i6: e 3 +i: e 3 +i: e B = 4:5369E B = 4:5030E B = 4:330E B = 3:849E B = :8308E A = 4: E A = 4: E A = 3: E A = : E A = : E 0: +i: e i: e +ie +ie +ie B = 4:9E B = 4:038E B = 3:5788E B = :66E B = :689E A = : E A = : E A = 5: E A = 7: E 3 A = 7: E 5 0:5 +ie +ie +ie i5: e 5 +ie B = :070E B = :66E B = 5:8435E B = 7:760E 3 B = 7:67E 5 A = 8: E A = 5: E A = 4: E 3 A = 5: E 5 A = 4: E 9 +ie +ie +i: e 8 i3: e 9 +ie B = 8:764E B = 5:0593E B = 4:997E 3 B = 5:598E 5 B = 4:098E 9 48

55 Çizelge 5.4 "4 (; ) fonksiyonunun de¼gerleri = = = 5 = 0 = 0 3: E 3: E 3: E 3: E 3: E 0:00 +4: E i: e 0 +i3: e 0 i5: e 4 +i: e 9 3: E 3: E 3: E 3: E 3: E 0:005 i6: e 0 +i6: e 4 +ie +i3: e 0 +i6: e 3 3: E 3: E 3: E 3: E 3: E 0:0 +i: e 4 i4: e 4 +i7: e 9 i7: e i5: e 7 3: E 3: E 3: E 3: E : E 0:05 +i: e i: e 8 i: e 8 i: e +i4: e 3: E 3: E 3: E : E : E 0:05 +i: e 9 +i3: e 3 +i: e 8 +i6: e 3 i9: e 3 : E : E : E : E : E 0: +i3: e 3 +i7: e 0 i: e i5: e 8 +ie : E : E 5: " "E 9: E 3 : E 4 0:5 +ie +ie +ie i: e 8 +ie 7: E 4: E 6: E 3 9: E 5 9: E 9 +ie +ie i5: e 9 +i9: e 8 i: e 49

56 KAYNAKLAR Breig, W.F. and Crosbie, A.L Two-dimensional radiative equilibrium semiin nite medium subjected to cosine varying radiation. J. Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. Vol. 3, ;pp Breig, W.F. and Crosbie, A.L Numerical computation of a generalized exponential integral function, Math. Comput. Vol. 8; pp Busbridge, I.W The mathematics of radiative transfer, University Press, 43 p., Cambridge. Chandrasekhar, S Radiative Transfer. Dover Publications, 393 p., New York. Chapman, S. 93. The absorption and dissociative or ionizing e ect of monochromatic radiation in an atmosphere on a rotating earts. Proc. Phys. Soc. Vol. 43; pp Crosbie, A.L. and Dougherty, R.L. 98. Two-dimensional in a cylindrical geometry with anisotropic scattering. J. Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. Vol. 5; pp Crosbie, A.L. and, Koewing, J.W Two-dimensional isotropic scattering. J. Math. Anal. Appl. Vol. 57; pp Crosbie, A.L. and Lee, L.C Relation between multidimensional radiative transfer in cylindrical and rectangular coordinates with anisotropic scattering. J. Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. Vol. 38; pp Crosbie, A.L. and Lee, L.C Multidimensional radiative transfer: a single integral represantation of anisotropic scattering kernels. J. Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. Vol. 4; pp Gradshteyn, I.S. and Ryzhik, I.M Table of integrals, series and products. Academic Press, 7 p., NewYork. Guseinov, I.I. and Mamedov, B.A. 00. Evalution of overlap integrals with integer 50

57 and noninteger n Slater type orbitals using auxiliary functions. J. Mol. Model. Vol. 8; pp Guseinov, I.I. and Mamedov, B.A Use of analytical relations in evalution of exponential integral functions. J. Math. Chem. Vol. 38; pp Guseinov, I.I. and Mamedov, B.A On the evalution of generalized exponential integral functions. J. Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. Vol. 0; pp Kourgano, V Basic Methods in Transfer Problems. Dover Publications, 8 p., New York. Mamedov, B.A., Merdan,. and. Askerov, I.M Evalution of exponential integrals using multinomial expansion theorems. J. Math. Chem. Vol. 38; pp Nikolsky, S.M Course of Mathematical Analysis. Vol., Mir Publishers, 43 p., Moscow. Prabha, R.H. and Yadav, R.D.S Polynomial expressions for Bickley and exponential integral functions. Ann. Nucl. Energy. Vol. 3; pp Prudnikov, A.P., Brychkov, Y.A. and, Marichev, O.I Integrals and Series. Vol. 3, Gordon and Breach, New York. Sobelev, V.V A Treatise on Radiative Transfer. Princeton, 39 p., New York. orich, V.A Mathematical Analysis. Vol., Springer, 68 p., New York. Aygar, Y. and Bairamov, E. 0. Properties of the two-dimensional exponential integral functions. Journal of Mathematical Chemistry. Vol. 49; pp Bairamov, E. and Yardimci, S. 00. Uniform convergence and the properties of the exponential and generalized exponential integral functions. J. Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. Vol. ; pp Ergun, E. and Bairamov, E. 0. On the eigenvalues of a 3 by 3 non-hermitian Hamiltonian. Journal of Mathematical Chemistry. Vol. 49; pp Ozalp, N. and Bairamov, E. 0. Uniform convergence and computation of the generalized exponential integrals. Journal of Mathematical Chemistry. Vol. 49; pp

58 ÖGEÇM IŞ Ad Soyad : Ça¼gla CAN Do¼gum Yeri : Mersin Do¼gum Tarihi : Medeni Hali : Bekar Yabanc Dili : Ingilizce E¼gitim Durumu (Kurum ve Y l) Lise : Abdulkerim Bengi Anadolu Lisesi (004) Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (009) Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilimdal Şubat 00-Haziran 0 5