ANAHTARLANMI DO RUSAL S STEMLERE G R
|
|
- Duygu Tiryaki
- 8 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 ANAHTARLANMI DO RUSAL S STEMLERE G R Ça da³ TOPÇU Ocak 2009 Proje Dan³man: Yrd.Doç.Dr. brahim Beklan KÜÇÜKDEM RAL YILDIZ TEKN K ÜN VERS TES ELEKTR K - ELEKTRON K FAKÜLTESi ELEKTR K MÜHEND SL BÖLÜMÜ PROJE I 1
2 Contents 1 Giri³ 3 2 Matematiksel Önbilgiler Supremum ve nmum Norm Hurwitz ve Schur Matris Kararllk ve Lyapunov Teoremi Anahtarlanm³ Sistemler Kararllk Problemleri Key Anahtarlama Problemi Uygun Anahtarlama ³aretleri Kümesini Bulma Problemi Kararlla³trma Problemi Kararlla³trma Problemi Periyodik ve Senkron Anahtarlama ³areti Dayankllk
3 1 Giri³ Anahtarlanm³ do rusal sistemler birden fazla do rusal altsistemden olu³mu³ ve bu altsistemlerden hangisinin aktif hale gelece inin bir anahtarlama i³areti ile belirlendi i sistemlerdir. Uzun yllar boyunca üzerinde durulmasna ra - men 1990'l yllardan itibaren çal³malarn hzland bir alandr. Bunun sebebi ise anahtarlanm³ do rusal sistemlerin do rusal sistemlerle karma³k sistemler 1 arasnda geçi³ olarak kullanlmalardr. Çok karma³k sistemler sanki do rusal sistemlerin birle³tirilmi³ haliymi³çesine tasarlanabilmektedir. Bu da kontrolcü tasarmnda do rusal sistem analizlerinden çok daha güçlü yöntemler elde edebilmemizi sa lamaktadr. Bu yöntemle oldukça zor olan lineer olmayan sistem analizini görece basit hale getirebiliriz. Bütün bunlarn d³nda geli³en bilgisayar sistemleri ve güç elektroni i elemanlar sayesinde elektrik mühendisli inin güç sistemleri ve güç elektroni i, uçak ve hava trak kontrolü ve haberle³me a lar gibi bir çok uygulamasnda kullanlmaktadr. Anahtarlanm³ do rusal sistemler, dayankl analiz ve kontrolü, adaptif kontrol, akll kontrol problemlerine farkl yakla³mlar getirilmesini sa lam³tr. Bu belgede ilk olarak matematiksel kavramlar açklanmaya çal³lm³tr. Ardndan ksaca anahtarlanm³ do rusal sistemler tantlm³, temel kararllk problemleri ve dayankllk üzerinde durulmu³tur. 1 uncertain systems olarak da geçmektedir 3
4 2 Matematiksel Önbilgiler Bu bölümde belgede kullanca mz temel tanmlar ve matematiksel altyap verilmeyi çal³lacaktr. Sistemlerin tanmlanmas ve sistemlerin kararll konularna yeni olanlar için ve belgenin bilgi bütünlü ünü korumas amaçlanm³tr. 2.1 Supremum ve nmum X ksmi sral bir küme ve A X olsun. A nn X deki alt snrlarnn kümesinin en büyük elemanna A nn en büyük alt snr veya inmumu denir ve infa ile gösterilir. E er infa A ise infa ya A nn minimum eleman denir ve mina ile gösterilir. A nn X deki üst snrlarnn kümesinin en küçük elemanna A nn en küçük üst snr veya supremumu denir ve supa ile gösterilir. E er supa A ise supa ya A nn maksimum eleman denir ve maxa ile gösterilir. Supremum ve inmum kavramlarn ilerde anahtarlama i³aretinin seçilimi srasnda i³aretin devreye girdi i an elde ederken kullanaca z. 2.2 Norm Normu kafamzda vektörlerin uzunlu u olarak canlandrabiliriz. Matematiksel olarak tanmlarsak: F bir komplex cisim, V de F de tanmlanm³ bir vektör uzay olsun. Norm V de tanml bir fonksiyon olsun öyle ki : V R ve a³a daki özellikleri sa lasn: (i) v 0 bütün v V için ve v = 0 ancak ve ancak v = 0 oldu unda (ii) λ v = λ v bütün v V ve λ F için (iii) v + w v bütün v, w V için Biz bu belgede ile öklit normunu kastedece iz. x, n boyutlu X vektör uzaynn eleman olsun, x in öklit normu x = x 1 + x x n olur. 2.3 Hurwitz ve Schur Matris Hurwiz matris bütün özde erlerinin reel ksm negatif olan komleks matristir yani Re[λ i ] < 0 olur. Yaknsak Hurwitz matris ise bütün özde erlerinin boyu 1 den küçük olan matristir. Sürekli dinamik sistemlerin jakobiyeni Hurwitz ise sistem asimptotik kararldr. Schur matris ise yaknsak matris anlamna gelmektedir. 4
5 2.4 Kararllk ve Lyapunov Teoremi En genel anlamda a³a daki vektörel diferansiyel denklemi ele alalm ẋ = f(x, t) x(0) = x 0 (1) burada x(t) R n, ve t 0 dr. Sistemin ba³langç ko³ulunda sabit kald noktalara dinamik sistemin denge noktalar denir. Bizim inceledi imiz zamanla de i³meyen do rusal sistemlerin e er varsa bir denge noktas olaca ndan bu denge noktasn orijin yani sfr noktasn seçebiliriz. Dinamik sistemleri bu denge noktasna yakn bir ba³langç durumunda ba³latrsak ve e er sistem dengeye oturmaya çal³rsa yani durumlar orijine yakla³maya çal³rsa sisteme kararl deriz. E er sistemin durumlar denge noktasndan uzakla³rsa kararszdr deriz. Sistem (1) in x(t 0 ) = x 0 ba³langç ko³ulu için çözümünü φ(t; t 0, x 0 ) olsun. Tanım 2.1 Denge noktas için a³a dakileri söyleyebiliriz: kararldr, her bir ɛ > 0 ve t 0 0 için bir δ = δ(ɛ, t 0 ) vardr öyle ki x 0 < δ(ɛ, t 0 ) = φ(t; t 0, x 0 ) < ɛ t t 0 düzenli kararldr, her bir ɛ > 0 için bir δ = δ(ɛ) vardr öyle ki x 0 < δ(ɛ) t 0 0 = φ(t; t 0, x 0 ) < ɛ t t 0 çekicidir, her bir t 0 0 için bir δ = δ(t 0 ) vardr öyle ki x 0 < δ(ɛ, t 0 ) = φ(t; t 0, x 0 ) 0, t düzenli çekicidir, bir δ > 0 vardr öyle ki x 0 < δ, t 0 0 = φ(t 0 + t; t 0, x 0 ) 0, t kararl ve çekici ise asimptotik kararldr düzenli kararl ve düzenli çekici ise asimptotik kararldr üstel kararldr, r, α, β > 0 gerçel sabitlerdir öyle ki φ(t 0 + t; t 0, x 0 ) βe αt x 0 t, t 0 0 x 0 < r. Karall sistem durumlarnn hareketiyle kafamzda canlandrmaya devam edersek, asimptotik kararllk durumlarn denge durumuna yani sfra gelmesidir. Sradan kararllk veya Lyapunov kararll ise sfr noktasna ula³amasa bile durumlarn belirli bir alann içinde snrlanmasdr. Üstel kararllkta durumlar sfr noktasna üstel hzla yakla³rlar. Teorem 2.1(1) sisteminin x = 0 denge noktasn içeren bir O R n açk kümesi olsun. V : O R, V C ³eklinde bir fonksiyon V (0) = 0 ve V (x) > 0, x O {0} (2) 5
6 V (x) 0, x O (3) ko³ullarn sa lyorsa x = 0 denge noktasnda sistem kararldr. E er V (x) 0, x O {0} (4) ko³ulunu da sa lyorsa x = 0 denge noktasnda sistem asimptotoik kararldr. Buradaki V (x) fonksiyonu Lyapunov fonksiyonu olarak bilinir. Bu teoremin düzenli ve üstel kararl sistemler için geni³letilmi³ halleri bulunmaktadr. Ancak burada vermiyoruz. 6
7 3 Anahtarlanm³ Sistemler Anahtarlanm³ sistemler hibrit sistemlerin özel bir halidir. Hibrit sistemler sürekli ve ayrk dinamiklerin birle³imi olan sistemlerdir. Sürekli dinamiklerden kastmz diferansiyel denklemlerle modellenebilen sürekli zamanl dinamik sistemler olabilece i gibi zamann parçalara ayrlp fark denklemleriyle yazlabilen ayrk zamanl dinamik sistemler de olabilir. Ayrk dinamikler ise bir biri ile ba msz durumlarn ardarda geli³ti i olaylar dizisi olarak dü³ünülebilinir. Bu yüzden hibrit sistem kavram çok geni³ bir kavramdr. Anahtarlanm³ sistemlerde anahtarlama sürekli dinamiklerin bir anahtarlama kuralyla yani ayrk bir dinamikle kontrol edilmesi, seçilmesi anlamna gelir. Hibrit sistemlerden farkl olarak anahtarlanm³ sistemlerde önemli olan bütün anahtarlama i³aretlerinin tarad kontrol edilebilir uzayn kararll nn belirlenmesidir ve sürekli dinamiklerin kararll ön plandadr. ekil 3.1 de genel bir anahtarlanm³ kontrol sistemi ³emas verilmi³tir. Şekil 3.1 Anahtarlanmış sistem şeması Örnek 3.1. A³a da anahtarlama i³aretinin rastgele yapld ve seçici ile do rusal zamanla de i³meyen sistemlerden olu³mu³ bir anahtarlanm³ zamanla de i³meyen do rusal sistem örne i verilmi³tir. 7
8 Şekil 3.2 Keyf i anahtarlanmış bir sistemin Simulink modeli Örnek 3.2. Di er bir basit örnek de iki do rusal zamanla de i³meyen sistemle olu³turulan örnektir. Zamanla de i³meyen do rusal sistemleri diferansiyel denklem sistemleriyle tanmlayabiliriz. Bizim örne imizdeki sistemleri tanmlayalm. ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) (5) y(t) = Cx(t) + Du(t) (6) A 1 = A 2 = [ [ ] [ 1, B 1 = 0 ] [ 2, B 2 = 0 ], C 1 = [ 0 1 ], D 1 = 0 ], C 2 = [ 0 1 ], D 2 = 0 Sistemin x 0 = [1 3] T ba³langç durumu ve belirli bir t annda 1. sistemden 2. sisteme geçi³i kar³snda durum yörüngesi Şekil 3.3 deki gibi olur. Burada kesikli çizgiyle gösterilen t annda 2. sistemin devreye girmesiyle olu³an yörüngedir. 8
9 Şekil 3.3 Iki sistemin anahtarlanmasıyla elde edilen durum yörüngesi Burada iki kararl do rusal sistem anahtarlanm³tr ve sonuç yine kararldr. Kararsz iki sistemden kararlla³trc bir anahtarlama kuralyla kararl bir anahtarlanm³ sistem elde edilebilece i gibi kararl iki sistemden kararsz bir sistem olu³turulabir. Herhangi bir anahtanm³ sistem ³u ³ekilde gösterilebilir: δ(x) = f σ (7) burada f σ : R n R n ve f p : p P olan bir fonksiyon ailesidir. P herhangi bir indeks kümesi ve σ : [0, ) P i³aretleme sinyalidir. P kümesi sonlu boyutlu do rusal vektör uzaynn yo un alt kümesidir. Anahtarlanm³ do rusal otonom (giri³ i³aretinden ve gürültülerden arndrlm³) sistemi ³u ³ekilde tanmlayabiliriz: δx(t) = A σ x(t) (8) burada x(t) R n durum, σ M := {1,..., m} tasarlanan sabit i³aretleme sinyali, A k R n n, k M gerçel sabit matrisler ve δ sürekli zamanda türev, ayrk zamanda ise ileri kaydrma oparatörüdür. 3.1 Kararllk Problemleri Sistemlerin kararll onlarn kullanlabilirli i açsndan oldukça önemlidir. Endüstrideki uygulamalarda ve haberle³me ³ebekelerindeki veri güvenli inin sa lanmas açsndan üzerinde oldukça durulan bir konudur. Burada Liberzon ve Mors'un 1999 ylndaki yaynladklar baz temel kararllk problemlemlerine de inelim. 9
10 3.1.1 Key Anahtarlama Problemi Sistem (7) nin herhangi bir anahtarlama sinyali için asimptotik karall n garantileyecek ³artn ara³trlmas problemidir. Bilgisayar kontrollü sistemlerinin geli³mesi ve çok hzl anahtarlamann yaplabilmesiyle key anahtarlanan sistemler için kararllk testlerine ihtiyaç duyulmu³tur. Bütün anahtarlama sinyallerini gözönünde bulunduraca mz için bu problemin hemen görülebilir basit bir çözümü yoktur. Sistemimizdeki alt sistemlerin denge noktalar ortak ve orijin olsun, f p (0) = 0, p P. Key anahtarlanm³ sistemin kararl olabilmesi için anahtarlanan altsistemlerin herbirinin kararl olmas gerekti i a³ikardr. E er kararsz bir sistem varsa anahtarlama i³aretinin kararsz sistemi seçmesi ile sistem kararszla³abilir. Ancak bu da yeterli ko³ul de ildir çünkü altsistemleri kararl olan iki sistem anahtarlama i³aretiyle kararsz hale gelebilmektedir Uygun Anahtarlama ³aretleri Kümesini Bulma Problemi Bu problemde key anahtarlamadan farkl olarak sistemi asipmtotik kararl hale getirebilecek anahtarlama kümelerinin bulunmas amaçlanmaktadr. Önceki problemde oldu u gibi bu problemde de altsistemlerin kararl oldu u kabul edilir Kararlla³trma Problemi Bu problem ise yava³ anahtarlama yaplrken sistemi kararl hale getiren tek elemanl anahtarlama i³areti kümesinin bulunmasnn ara³trlmasdr. Biz bu problemi anahtarlanm³ do rusal otonom sistem (8) için inceleyece iz. 3.2 Kararlla³trma Problemi Tanım 3.1. Sistem (8) i iyi oturmu³ ve düzenli (asimptotik, üstel) kararl klan bir σ anahtarlama i³areti varsa sistem kararlla³trlabilir deriz. Anahtarlama sinyalini ba³langç de erlerine ba l olarak σ(t) = ϕ(t; t 0, x 0 ) ³eklinde gösterebiliriz. E er anahtarlama i³areti ba³langç durumundan ba mszsa yani σ(t) = ϕ(t; t 0, x 1 ) = ϕ(t; t 0, x 2 ) t t 0 x 1, x 2 R n ise anahtarlama i³aretimiz ba³langç durumuna göre turarldr. Tanım 3.2. E er sistem (8) i iyi oturmu³ ve düzenli kararl hale getirebilen bir tutatl i³aretleme sinyalimiz varsa sistemimiz tutarl kararlla³trlabilirdir. Tanım 3.3. Sistem (8) bütün ba³langç ko³ullarnda (x 0 R n ) sistem çözümünü sfra yaknsayan bir ba³langç anahtarlama i³aretimiz, σ x0, varsa anahtarlanm³ yaknsaktr. lim t φ(t; 0, x 0, σ x0 ) = 0. Teorem 3.1. Anahtarlanm³ do rusal sistem (A i ) M tutarl kararlysa, k M olsun, öyle ki 10
11 n λ i 0 i=1 burada λ i (A), 1 i n A matrisinin özde erleridir. Dahas sistem tutarl asimptotik kararl ise e³itsizlik do rudur. İspat. σ tutarl anahtarlama i³areti anahtarlama sistemini kararlla³trsn. Anahtarlama i³aretinin süreç dizisi DS σ = {(i 0, h 0 ), (i 1, h 1 ),...} olsun. E er dizi sonlu ise son aktienen sistem kararl olmaldr böylece teorem sa lanr. E er dizi sonlu de ilse l i=1 h i, l olur. Tanm 3.2 e göre ε = 1 seçelim ve bir δ > 0 says vardr öyle ki Yani, x 0 δ = φ(t; 0, x 0, σ) 1 t t 0. e Ais hs,..., e Ai 1 h1, e Ai 0 h0 x 0 1 x 0 B δ s = 0, 1,.... Sonuçta dizinin bütün elemanlar 1 δ e Ai 0 h0, e Ai 1 h1 e Ai 0 h0,..., e Ais hs..., e Ai 1 h1 e Ai 0 h0,... (9) ile snrlanmak zorundadr. Varsayalm ki { n } ϱ = min λ i (A k ) > 0. k M Ardndan, a³a daki durumu elde ederiz ( ) n det e Akh = exp h λ i (A k ) > e ϱh k M h > 0. Sonuç olarak, i=1 det e Ais hs... e Ai 1 h1 e Ai 0 h0 i=1 e ϱ s j=0 hj, s. Bu da matrisin elemanlarnn snrlandrlm³ olmasyla çeli³mektedir. Teoremin öbür parçasnn ispat da benzer ³ekilde yaplabilir. Teorem 3.2. A³a daki önermeler denktir: (i) anahtarlanm³ sistem asipmtotik kararlla³trlabilirdir; (ii) anahtarlanm³ sistem üstel kararlla³trlabilirdir; (iii) anahtarlanm³ sistem anahtarlanm³ yaknsaktr. 11
12 İspat. (ii) = (i) = (iii) oldu u a³ikardr. (iii) = (ii) oldu unu göstermemiz yeterlidir. Anahtarlanm³ yaknsakl ele alalm. Her x durumu birim yuvar yüzeyinde (S 1 ) yer almaktadr. Bir t x zaman ve anahtarlama yolu σ x = [0, t x ] M vardr, öyle ki sistemin çözümü 1/4 yarçapl yuvarn içinde yer alr φ(t x ; 0, x, σ x ) B 1 4. (10) σ x in zaman dizisi t 1,..., t k a³a daki gibi olsun t 0 = 0 < t 1 <... < t k < t k+1 := t x. x(t) = Φx(0) e³itli indeki ta³ma matrisi Φ(t, 0, σ x ) = e ij(t tj) e ij 1(tj tj 1)... e i0(t1 t0) t [t j, t j+1 ] ta³ma matrisini (9) denklemine koyarsak j = 0, 1,..., k Φ(t x ; 0, x, σ x )x B 1 4. Sonuç olarak, x in bir N x kom³ulu u olsun, öyle ki Φ(t x ; 0, x, σ x )y B 1 y N 2 x. x birim yuvar yüzeyi boyunca de i³sin, a³ikardr ki x S1 Nx S 1. Birim yuvar yüzeyi R n de yo un kümedir (snrl ve kapal), Finite Covering Teoremine göre belirli bir say l, ve birim yuvar yüzeyi üzerindeki durumlarn kümesi x 1,..., x n vardr, öyle ki ki l i=1nx S 1. Böylece birim yuvar yüzeyi l ayr parçaya, R 1,..., R l olarak ayrabiriz, öyle (a) l i=1 = S, R i R j = for i j; ve (b) her bir i için 1 i l, böylece a³a daki durumu elde ederiz. Φ(t x ; 0, x, σ x )y B 1 y R 2 i. Durum (b) ye göre her bir i = 1,..., l ve x R i için t x ve σ x i yeniden tanmlayalm t x = t xi ve σ x = σ xi. 12
13 T = max l i=1 t x, ve η = max i M A i. A³ikardr ki Φ(t, 0, σ x ) e ηt x S 1 t t x. Ardndan x 0 0 d³nda bir durum için bir θ x0 : [0, ) M anahtarlama yolu düzenleyelim. Durum dizisini özyinemeli olarak tanmlayalm z 0 = x 0 z k+1 = φ(t z k ; 0, z k, σ z k ) k = 0, 1,.... z k z k Bu ³ekilde her σ z k (t) belirli bir zaman aral yla e³le³tirilebilinir. Yani z k her duruma kar³lk gelen i³aret belirli bir zaman aral nda tanmlanmaktadr. Buna göre x 0 = 0 için herhangi bir θ x0 : [0, ) M anahtarlama yolu genel olarak a³a daki gibi gösterilebilir. θ x0 (t) = σ z k (t k 1 Z k i=0 t z i ) t [ k 1 z i i=0 t z i, k z i i=0 t z i ). z i Sonunda her durum yörüngesinin anahtarlama yoluyla üstel yaknsak oldu unu gösterebiliriz. α = ln 2/T ve β = 2e ηt olsun. α ve β de erlerine göre sistem üstel yaknsaksa a³a daki e³itsizli i elde ederiz. z k+1 z k k = 0, 1, Di er taraftan, bütün x S 1 ler için t x T dir ve buradan a³a daki e³itsizli i elde ederiz. φ(t; 0, x 0, θ x0 ) e ηt φ( k 1 i=0 t z i ; 0, x 0, θ x0 ) z i t [ k 1 i=0 t z i, k z i i=0 t z i ) k = 0, 1,.... z i Yukardaki sonuçlardan a³a daki e³itsizli i elde ederiz φ(t; 0, x 0, θ x0 ) β exp( αt) x 0 x 0 R n t 0. (11) α ve β sabitleri x 0 ve θ x0 dan ba mszdr. E³itsizlik (10) anahtarlanm³ sistemin üstel kararlla³trlabilir oldu unu gösterir. Bu teorem esasen do rusal sistemlerdeki denklik teoreminin anahtarlanm³ sistemlere uygulamasdr. Oldukça önemli olan teoremin ispatnda kullanlan yöntemler ve teoremin sonuçlar ilerde kullanlacaktr. 13
14 3.2.1 Periyodik ve Senkron Anahtarlama ³areti Pozitif bir T zaman olsun. Anahtarlama yolu θ [0, ) a³a daki ³art sa lyorsa periyodiktir. θ(t + T ) = θ(t) t 0. Anahtarlama zamanlar dizisi, {0, µ 1, µ 2,...} do al saylaryla a³a daki gibi yazlabiliyorsa anahtarlama yolu σ senkrondur. {0, µ 1 ω, µ 2 ω,...} Teorem 3.3. E er anahtarlama sistemi tutarl asimptotik kararlla³trlabilirse bu sistemi asimptotik kararl klabilecek bir periyodik ve senkron anahtarlama i³areti vardr. İspat. E er altsistemlerden biri A k asimptotik kararlysa sabit anahtarlama i³aretini σ = k seçebiliriz. Onun d³nda σ y bir süreç dizisi olarak dü³ünelim DS σ = {(i 0, h 0 ), (i 1, h 1 ),...} sistemi asimptotik kararl klsn. A³ikardr ki bu anahtarlama i³areti sonsuz anahtarlamay içermelidir. Teorem 3.1 e göre (9) dizisi sfr matrisine yaknsar. N sonlu bir say olsun öyle ki e Ai N h N... e Ai 1 h1, e Ai 0 h0 1. (12) bir g : R N+1 R + fonksiyonu tanmlayalm g(s 0, s 1,... s N ) = e Ai N s N... e Ai 1 s1, e Ai 0 s0. g fonksiyonunun sürekli oldu u görülmektedir. g(h 0, h 1,... h N ) < 1 ise (h 0, h 1,... h n ) T un R N+1 deki kom³ulu u Λ vardr öyle ki g(z) < 1 z Λ. Λ de bir z 0 = (r 0, r 1,..., r N ) T seçelim, burada her j = 0, 1,..., N için r j rasyonel saydr. Böylece periyodik ve senkron anahtarlama yolu θ nn süreç dizisinin DS θ = {(i 0, r 1 ),..., (i N, r N ), (i 0, r 0 ),..., (i N, r N ),...} (13) sistemi asimptotik kararl kld do rulanr. (12) e³itsizli i sistemlerin yaknsakl n incelerken i³imize yaramaktadr Bir anahtarlanm³ do rusal sistem için a³a daki yaplar denk- Sonuç tir: (i) sistem tutarl asimptotik kararlla³trlabilir; 14
15 (ii) sistem tutarl üstel kararlla³trlabilirdir; (iii) sistem periyodik ve senkron asimptotik kararlla³trlabilirdir; (iv) bir l do al says, i 1,..., i l indeks dizise ve pozitif reel say dizisi h 1,..., h l vardr, öyle ki e Ai l h l... e Ai 1 h1 matrisi Schur dur; (v) s (0, 1) gerçel says için, bir l = l(s) do al says ve pozitif reel say dizisi h 1,..., h l vardr öyle ki e Ai l h l... e Ai 1 h1 s. (14) İspat. Teorem 3.3 ün ispatna göre (i) bize gösterir ki, bir N do al says vardr ve öyle ki l = kn olsun, buna göre Görülebilir ki e Ai N h N... e Ai 1 h1, e Ai 0 h0 γ < 1 i j+µn = i j ve h j+µn = h j j = 1,..., N µ = 1,..., k 1. e Ai l h l... e Ai 1 h1 e Ai 1 h1 = ( e Ai N h N... e Ai 1 h1 e Ai 1 h1 ) k = γ k. Herhangi bir s (0, 1) için k ln s ln γ oldu undan (14) e³itsizli i korunur. Yani (i) = (v) olur. Ayn mantkla (iv) = (v) ispatlanabilir. Teorem 3.2 de (iv) = (iii) elde edilmi³ti. Di erleri de a³ikardr. 3.3 Dayankllk Sistemlerde dayankllk sistemin d³ etkilere direnç gösterebilmesidir. Sistem (8) küçük gürültülerle ³u ³ekilde gösterilebilir: ẋ(t) = (A σ + ɛ σ B σ ) (15) burada B k R n n, k M sabit olarak verilmi³tir ve ε k (k M) reel saylardr. Teorem 3.4. Sistem (8) asimptotik kararlla³trlabilir olsun. κ 1,..., κ m reel saylar olsun öyle ki gürültülü sistem (15) a³a daki ³art sa lyorsa kararlla³trlabilirdir: ε k κ k k M. İspat. Teorem 3.2 nin ispatnda birim yuvar yüzeyini sonlu sayda R 1,... R l kümelerine bölebilmi³tik, öyle ki (a) l i=1 = S, R i R j = for i j; 15
16 (b) her bir i için 1 i l, bir t x zaman ve σ x anahtarlama yolu elde etmi³tik, öyle ki Φ(t x ; 0, x, σ x )y B 1 2 y R i (c) bütün i = 1,..., l ler için t xi T olan bir T zamanmz vardr. [0, t xi ) aral nda σ xi için bir anahtarlama süreç dizisi olsun: {(j i1, h i1 ),..., (j iki, h iki )} Ardndan a³a daki e³itsizli i elde ederiz e Aj ik i h iki... e Aj i1 hi1 y 1 2 Bir g i fonksiyonunu tanmlayalm, y R i. g i (ε 1,..., ε m ) = sup y R i e (Ajik i +ε jik i B jik i )h iki... e (Aj i1 +εj i1 Bj i1 )hi1 y. g i fonksiyonunun sürekli oldu u açktr. Madem g i (0,..., 0) 1 2 κ i1,..., κ im pozitif saylardr ve öyle ki i yi dönü³türelim, g i (ε 1,..., ε m ) 2 3 ε i κ ij j M. κ k = min {κ 11,..., κ lm k M}. Gürültülü sistem (15) i a³a daki e³itsizlikle inceleyelim, ε k κ k k M. Φ sistem (15) in ta³ma matrisi olsun açktr ki, Φ (t xi, 0, σ xi )y B 2 y R 3 i i = 1,..., l. Bu Teorem 3.2 nin ispatyla beraber gürültülü sistemin asimptotik kararl oldu unu gösterir. 16
17 Kaynaklar Karabacak, Ö., Anahtarlanm³ do rusal sistemlerin kararll nn incelenmesi, TÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, stanbul. Bayraktar, M., Fonksiyonel Analiz, Gazi Kitabevi, Ankara. Liberzon, D. and Morse, S., Basic problems in stability analysis of switched systems, IEEE Control Systems Magezine. Sun, Z., and Ge S.S., Switched Linear Systems: Control and Design, Springer-Verlag London, USA. Khalil, H.K., Nonlinear Systems 3. ed., Prentice Hall, New Jersey. 17
BÖLÜM 1. Matematiksel ndüksiyon Prensibi
BÖLÜM 1 Matematiksel ndüksiyon Prensibi Matematiksel indüksiyon prensibini kullanarak a³a daki e³it(siz)liklerin her n N için gerçeklendi ini ispatlaynz. 1. 1 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2 = n(n+1)(2n+1) 6 2.
DetaylıARA SINAV II. (1) (x k ) k N, R n içinde yaknsak ve limiti x olan bir dizi olsun. {x} = oldu unu gösteriniz.
MC 411/ANAL Z IV ARA SINAV II ÇÖZÜMLER 1 x k k N, R n içinde yaknsak iti x olan bir dizi olsun. {x} = {x m m k} k=1 Çözüm. Her k N için A k := {x m m k} olsun. x k k N dizisinin iti x oldu undan, A k =
DetaylıTOPOLOJ TEST A. 1. A³a dakilerden hangisi topoloji tanmlama yöntemi de ildir?
1 TOPOLOJ TEST A 1. A³a dakilerden hangisi topoloji tanmlama yöntemi de ildir? (a) Açk kümeleri belirleme (b) Kapal kümeleri belirleme (c) Alt-kümeleri belirleme (d) Kaplamlar belirleme (e) çlemleri belirleme
DetaylıTOPOLOJ TEST B. (d) Dizinin limiti yoktur; y lma noktas yoktur. 4. Dizisel süreklilik hangi uzaylarda süreklili e denktir?
1 TOPOLOJ TEST B 1. {( 1) n 1 n : n > 0} dizisi için a³a dakilerden hangisi do rudur? (a) Dizinin limiti 1 ve +1 dir; y lma noktas 1 ve +1 dir. (b) Dizinin limiti 1 ve +1 dir; y lma noktas yoktur. (c)
Detaylıf 1 (H ) T f 1 (H ) = T
Bölüm 15 TIKIZLIK 15.1 TIKIZ UZAYLAR 15.1.1 Problemler 1. Her sonlu topolojik uzay tkzdr. 2. Ayrk bir topolojik uzayn tkz olmas için gerekli ve yeterli ko³ul sonlu olmasdr. 3. Ayn bir küme üzerinde S T
Detaylı(i) (0,2], (ii) (0,1], (iii) [1,2), (iv) (1,2]
Bölüm 5 KOM ULUKLAR 5.1 KOM ULUKLAR Tanm 5.1.1. (X, T ) bir topolojik uzay ve A ile N kümeleri X uzaynn iki alt-kümesi olsun. E er A T N olacak ³ekilde her hangi bir T T varsa, N kümesine A nn bir kom³ulu
DetaylıA = i IA i = i I A = A = i IA i = {x α((α I) (x A α ))} (7.7) A = (α,β I) (α β) A α A β = (7.8) A A
Bölüm 7 KÜME A LELER 7.1 DAMGALANMI KÜMELER E er inceledi imiz kümelerin says, alfabenin harerinden daha çok de ilse, onlara,b,...,w gibi harerle temsil edebiliriz. E er elimizde albenin harerinden daha
DetaylıSoyut Matematik Test A
1 Soyut Matematik Test A 1. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) * A B C(C B) A C) (b) A B C(C B) A C) (c) A B C(B C) A C) (d) A B C(B C) A C) (e) A B C(B C) (A C) 2. Her hangi bir A kümeler ailesi üzerinde
DetaylıSoyut Matematik Test B
1 Soyut Matematik Test B 1. Hangisi tümel (tam, linear) sralama ba ntsdr? (a) Yansmal, antisimetrik, geçi³ken ve örgün olan ba ntdr. (b) Yansmal, simetrik, geçi³ken ve örgün olan ba ntdr. (c) Yansmaz,
DetaylıMC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER
MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER (1) A³a daki her bir önermenin do ru mu yanl³ m oldu unu belirleyiniz. Do ruysa, gerekçe gösteriniz; yanl³sa, bir kar³-örnek veriniz. (a) (a n ) n N dizisi yaknsak
DetaylıTOPOLOGY TEST A³a dakilerden hangisi bir süzgeç de ildir? 3. A³a dakilerden hangisi a³kn bir süzgeç de ildir?
1 TOPOLOGY TEST 02 1. S ailesi X kümesi üzerinde bir süzgeç ise, a³a dakilerden hangisi sa lanmaz? (a) / S (b) * S (c) X S (d) A, B S A B S (e) (V S ) (V W ) W S 2. A³a dakilerden hangisi bir süzgeç de
Detaylı18.702 Cebir II 2008 Bahar
MIT Açk Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.702 Cebir II 2008 Bahar Bu materyallerden alnt yapmak veya Kullanm artlar hakknda bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
DetaylıBÖLÜM 1. stanbul Kültür Üniversitesi. Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram. ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir.
BÖLÜM 1 0, Q 1. f() = 1, R/Q, Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir. Buna göre a³a da verilen tanm bölgeleri altnda görüntü cümlelerini
DetaylıXIV. Ulusal Antalya Matematk Olmpyat Brnc A³ama Snav Sorular -2009
XIV. Ulusal ntalya Matematk Olmpyat rnc ³ama Snav Sorular -009 c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com Soru 1. dar açl üçgeninde m() = 45 'dir. 'dan 'ye indirilmi³ dikmenin aya E ve 'den
DetaylıS = {T Y, X S T T, S S} (9.1)
Bölüm 9 ÇARPIM UZAYLARI 9.1 ÇARPIM TOPOLOJ S Bo³ olmayan kümelerden olu³an bo³ olmayan bir ailenin kartezyen çarpmnn da bo³ olmad n, Seçme Aksiyomu [13],[20], [8] ile kabul ediyoruz. imdi verilen aileye
Detaylıf( F) f(f) K = K F f 1 f( F) f 1 (K) = F F f 1 (S ) = [f 1 (S)] f(x) S V
Bölüm 6 SÜREKL FONKS YONLAR 6.1 YEREL SÜREKL L K Tanm 6.1.1. (X, T ) ve (Y, S) topolojik uzaylar ile f : X Y fonksiyonu verilsin. E er f(x 0 ) ö esinin her V kom³ulu una kar³lk f(u) V olacak ³ekilde x
DetaylıA = i I{B i : B i S} A = x A{B x A : B x S}
Bölüm 4 TOPOLOJ TABANI 4.1 TOPOLOJ TABANI Tanm 4.1.1. Bir S P(X) ailesi verilsin. S ye ait kümelerin her hangi bir bile³imine e³it olan bütün kümelerin olu³turdu u aileye S nin üretti i (do urdu u) aile
DetaylıÇarpm ve Bölüm Uzaylar
1 Ksm I Çarpm ve Bölüm Uzaylar ÇARPIM UZAYLARI 1 ÇARPIM TOPOLOJ S 2 KARMA P R O B E M L E R 1. A ile B, srasyla, (X, T )X ile (Y, S ) topolojik uzaylarnn birer alt-kümesi olsunlar. (a) (A B) = A B (b)
DetaylıSoyut Matematik Test 01
1 Soyut Matematik Test 01 1. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) * A B C(C B) A C) (b) A B C(C B) A C) (c) A B C(B C) A C) (d) A B C(B C) A C) (e) A B C(B C) (A C) 2. A³a dakilerden hangisi do rudur?
DetaylıB A. A = B [(A B) (B A)] (2)
Bölüm 5 KÜMELER CEB R Do a olaylarnn ya da sosyal olaylarn açklanmas için, bazan, matematiksel modelleme yaplr. Bunu yapmak demek, incelenecek olaya etki eden etmenleri içine alan matematiksel formülleri
DetaylıSoru Toplam Puanlama Alnan Puan
26.11.2013 No: Ad-Soyad: mza: Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Toplam Puanlama 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 105 Alnan Puan 405024142006.1 CEB RSEL TOPOLOJ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI SORULARI (ÖRGÜN Ö
Detaylı0 = ρ(x,x) ρ(x,y)+ρ(y,x) = 2ρ(x,y) 0, x = y δ(x,y) = κ(z 1,z 2 ) = z 1 z 2, (z 1,z 2 C) (17.27)
230 BÖLÜM 17. METR K UZAYLAR 17.2 METR K METR K UZAY KAVRAMI Normlanm³ bir uzay, her³eyden önce bir vektör uzaydr, yani (X, ) normlanm³ bir uzay ise, X kümesi üzerinde bir vektör uzay yaps vardr. Oysa,
Detaylı19.8. PROBLEMLER 0.1 PROBLEMLER 0.1. PROBLEMLER a herhangi bir nicelik says ise
0.1. PROBLEMLER 1 19.8. PROBLEMLER // 0.1 PROBLEMLER // 1. a herhangi bir nicelik says ise (i) a + 0 = a, a0 = 0, a 0 = 1 oldu unu gösteriniz. A³a daki kümelerin e³güçlülü ünden nicelik saylar için istenen
Detaylı2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k
2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k 2.1. Ba¼glant l Topolojik Uzaylar Tan m 2.1.1. (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k iki aç ktan oluşan bir örtüsü yok ise, (X; ) topolojik
DetaylıSoru Toplam Puanlama Alnan Puan
..04 No: Ad-Soyad: mza: Soru.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Toplam Puanlama 0 0 0 5 0 0 0 0 00 Alnan Puan 04043006. CEB RSEL TOPOLOJ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI ( K NC Ö RET M) Not: Süre 90 Dakika. stedi iniz 7 soruyu
DetaylıTOPOLOJ SORULARI. Ksm I. 1 Topological Notions. 1. Her açk aralk salt topolojiye göre R uzaynda açktr. Gösteriniz.
1 Ksm I TOPOLOJ SORULARI 1 Topological Notions 1. Her açk aralk salt topolojiye göre R uzaynda açktr. Gösteriniz. 2. n Z olmak üzere (n, n + 1) aralklarnn bile³imi açktr. Gösteriniz. 3. {0} = ( 1 n, 1
Detaylı(sf) F C = [(s,f) sf] x [0,1] = (sf)(x) = sf(x)
Bölüm 13 MATEMAT KSEL YAPILAR 13.1 YAPI KAVRAMI Ça da³ Matematik kümeleri, kümeler üzerindeki yaplar, yaplar arasndaki dönü³ümleri inceler. Buraya dek ö e, küme, i³lem, fonksiyon kavramlarn kullandk. Bunlar
DetaylıL SANS YERLE T RME SINAVI 1
LSANS YERLETRME SINAVI MATEMATK TEST SORU KTAPÇII 9 HAZRAN 00. ( )( + ) + ( )( ) = 0 eitliini salayan gerçel saylarnn toplam kaçtr?. ( )( ) < 0 eitsizliinin gerçel saylardaki çözüm kümesi aadaki açk aralklarn
Detaylı2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı
1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna
DetaylıSOYUT MATEMAT K DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç
SOYUT MATEMAT K DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç Kahramanmara³ Sütçü mam Üniversitesi FenEdebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Eylül 2010 çindekiler 1 Önermeler ve spat Yöntemleri 1 2 Kümeler 13
Detaylındrgemel Dzler Ders Notlar
ndrgemel Dzler Ders Notlar c wwww.sbelian.wordpress.com Bu ders notunda diziler konusunun bir alt konusu olan First Order Recursions ve Second Order Recursions konular anlatlm³ ve bu konularla alakal örnekler
Detaylı3 1 x 2 ( ) 2 = E) f( x) ... Bir sigorta portföyünde, t poliçe yln göstermek üzere, sigortal saysnn
SORU : Aada tanm verilen f fonksiyonlarndan hangisi denklemini her R için salar? f + = f t dt integral e A) f = e B) f = e C) f D) f = E) f = e ( ) = e ( ) SORU : Bir sigorta portföyünde, t poliçe yln
DetaylıP = {x A (y A y x) f(y) x} (22.6) M p = {m A m p f(p) m} (22.8)
Bölüm 22 SEÇME AKS YOMU SEÇME AKS YOMU VE E DE ERLER 22.1 G R Bir X kümesi dü³ünelim. Bu küme ya bo³tur ya de ildir. De ilse, X kümesine ait bir ö e seçilebilir. imdi ba³ka bir Y kümesi daha dü³ünelim.
DetaylıDO U ÜN VERS TES 9.Liseleraras Matematik Yar³mas Sorular. (n + 1) n n n + 1 = n(n + 1)
DO U ÜN VERS TES 9.Liseleraras Matematik Yar³mas Sorular 1 1) a n = (n + 1) n + n n + 1 olmak üzere, a 1 + a + a 3 +... + a 99 toplamn bulunuz. 9 evap: 10 a n = (n + 1) n n n + 1 n(n + 1) n (n + 1) oldu
DetaylıOyun Teorisi IENG 456 Karar Vermede Analitik Yaklaşımlar
Oyun Teorisi IENG 456 Karar Vermede Analitik Yaklaşımlar Bu ders notlarının hazırlanmasında Doç. Dr. İbrahim Çil in ders notlarından faydalanılmıştır. Yrd. Doç. Dr. Hacer GÜNER GÖREN Pamukkale Üniversitesi
DetaylıÖRNEK KİTAP. x ax 12. x.sinx dx. 1 cos x. x x mx 1. 4 (a b ) ise a çifttir. 4. x+y=14 ise x 2.y 5 çarpımının değeri en fazla kaça eşittir?
1. lim a 1 üzere a+b toplam kaçtr? A)-8 B)-5 C)- C)1 E)4 b, a,b R olmak 4. +y=14 ise.y 5 çarpmnn değeri en fazla kaça eşittir? A)4 6.10 B)10.4 5 C)10 5. D) 5.10 7 E)16.10 5. bir cisim için hareket denklemi
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıT. C. NÖNÜ ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ
T. C. NÖNÜ ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ Ç FT D Z LER N I-YAKINSAKLI I ÜZER NE Erdinç DÜNDAR DOKTORA TEZ MATEMAT K ANAB L M DALI MALATYA 2010 Tezin Ba³l : Çift Dizilerin I-Yaknsakl Üzerine Tezi Hazrlayan
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
DetaylıİSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ
İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ Deneyde dolu alan tarama dönüşümünün nasıl yapıldığı anlatılacaktır. Dolu alan tarama
DetaylıŞimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak
10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıNÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu
DetaylıNÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 3 7! Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme 1 / 23 Sabit Nokta
DetaylıBİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM
ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.
DetaylıÇ NDEK LER. Bölüm 4: Üslü Say lar...44 Üslü fadeler...44 Al t rmalar...47 Test Sorular...49
Ç NDEK LER Bölüm1: Say Sistemleri...1 Say Sistemi...2 Desimal (Onluk) Say Sistemi...2 Say Basamaklar ve Taban...4 Binary ( kilik) Say Sistemi...4 Oktal (Sekizlik) Say Sistemi...7 Heksadesimal (Onalt l
DetaylıCHAPTER 1. Vektörler
iv CHAPTER 1 Vektörler Vektör kavram, ziksel kavram olarak ortaya çkm³ olsa da matematiksel sistemlerin temel kavram olmu³tur. Gerçekten vektör kavramn geli³imi matematikçilerden çok zikçiler ve kimyaclar
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
DetaylıKPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1
SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Detaylıx = [x] = [x] β = {y (x,y) β} (8.5) X = {x x X}. x,y X [(x = y) (x y = )]. b(b [x]) b [y] [x] [y] (8.8)
Bölüm 8 DENKL K BA INTILARI 8.1 DENKL K BA INTISI 8.1.1 E³itlik Kavramnn Genelle³mesi Matematikte ve ba³ka bilim dallarnda, birbirlerine e³it olmayan, ama e³itli e benzer niteliklere sahip nesnelerle sk
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
DetaylıTürevlenebilir Manifoldlara Giri³
Türevlenebilir Manifoldlara Giri³ Yldray Ozan Orta Do u Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü 2 Temmuz 2015 Sevgili anne ve babamn hatrasna Duydu umu unuturum. Gördü ümü hatrlarm. Yapt m anlarm. -Konfüçyüs
DetaylıDOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr.
MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin TİN MATEMATİK I DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin
DetaylıBĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ
tasarım BĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ Nihat GEMALMAYAN Y. Doç. Dr., Gazi Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölümü Hüseyin ĐNCEÇAM Gazi Üniversitesi,
Detaylı8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
DetaylıII. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI
Bölüm II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI Bu kesimde R 3 e ri kavram tanmlanacak ve geometrik özellikleri tart³lacaktr.. D FERENS YELLENEB L R E R VE PARAMETR K TEMS L I notasyonu ile R nin a
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
Detaylı28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31
SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.
Detaylıç- çe Tasarmlar Birdal eno lu ükrü Acta³ eno lu & Acta³ statistiksel Deney Tasarm Giri³ ki A³amal ç- çe Üç A³amal ç- çe l A³amal ç- çe
lar Birdal eno lu ükrü çindekiler 1 2 3 4 5 A³amal tasarmlar (hierarchical designs) olarak da bilinen iç-içe tasarmlarda (nested designs), ³u ana kadar gördü ümüz tasarmlardan farkl olarak iki veya ikiden
DetaylıSÜREKLİLİK. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları
SÜREKLİLİK Bu bölümde süreklilik kavramı, süreksizlik, sürekli fonksiyonların özellikleri ile buna ilişkin teoremler örnekler ve grafiklerle açıklanmaktadır. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları Tanım
DetaylıTemel Bilgisayar Programlama
BÖLÜM 9: Fonksiyonlara dizi aktarma Fonksiyonlara dizi aktarmak değişken aktarmaya benzer. Örnek olarak verilen öğrenci notlarını ekrana yazan bir program kodlayalım. Fonksiyon prototipi yazılırken, dizinin
DetaylıOlas l k Hesaplar (II)
Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele
Detaylı4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır.
BÖLME, BÖLÜNEBİLME A. Bölme İşlemi A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, Bölünen A 75, bölen B 9, bölüm C 8 ve kalan K tür. Yukarıdaki bölme işlemine göre, 1. 9 yani, K B dir. işlemine bölme denir.
DetaylıBir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -
Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıkili ve Çoklu Kar³la³trmalar
kili ve Çoklu Kar³la³trmalar Birdal eno lu ükrü Acta³ çindekiler 1 Giri³ 2 3 4 5 6 7 Bu bölümde, (2.1) modelinde, H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ a = µ (1) ³eklinde ifade edilen sfr hipotezinin reddedilmesi durumunda,
Detaylı1.1 FET Çal³ma Bölgeleri. Elektronik-I Laboratuvar 6. Deney. Ad-Soyad: mza: Grup No: JFET; jonksiyon FET. MOSFET; metal-oksit yar iletken FET
Elektronik-I Laboratuvar 6. eney Ad-oyad: mza: rup No: 1 FET ve FET Çal³ma Bölgeleri Alan etkili transistorlar ksaca FET (Field-Eect Transistor) olarak bilinmektedir. Aktif devre eleman olan alan etkili
DetaylıBu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.
Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel
DetaylıMonopol. (Tekel) Piyasası
Monopol (Tekel) Piyasası Sonsuz sayıda alıcı karşısında tek satıcının olduğu piyasa yapısına tekel diyoruz. Tekelci firmanın sattığı malın ikamesi yoktur ya da tanım gereği piyasaya giriş engellenmiştir.
DetaylıT.C. ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MEKATRONİK LABORATUVARI 1. BASINÇ, AKIŞ ve SEVİYE KONTROL DENEYLERİ
T.C. ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MEKATRONİK LABORATUVARI 1 BASINÇ, AKIŞ ve SEVİYE KONTROL DENEYLERİ DENEY SORUMLUSU Arş.Gör. Şaban ULUS Haziran 2012 KAYSERİ
DetaylıÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler
ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir
DetaylıMATEMAT K. Doç. Dr. Ergün ERO LU stanbul Üniversitesi letme Fakültesi
LETME, KT SAT ve SOSYAL B L MLER Ç N MATEMAT K Doç. Dr. Ergün ERO LU stanbul Üniversitesi letme Fakültesi DORA STANBUL 2013 DORA Bas m Yay n Da t m Ltd. ti. letme, ktisat ve Sosyal Bilimler çin Matematik
Detaylıfonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L
Limit Bu bölümde, matematik analizde temel bir görevi olan it kavram incelenecektir. Analizdeki bir çok problemin çözümünde it kavram na gereksinim duyulmaktad r. Bunlardan baz lar ; bir noktada bir e¼griye
DetaylıAkademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri
Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / Nisan 007 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. 3,15 sayısının aşağıdaki sayılardan hangisiyle çarpımının sonucu bir tam
DetaylıA = {x Φ(x) p(x)} = {x (x E φ ) p(x)}
Bölüm 3 KÜME KAVRAMI Okuma Parças Bu derste, Kümeler Kuramn belitsel (aksiyomatik) incelemeyi amaçlamyoruz. Burada, küme kavramn, sezgiye dayal olarak belirli nesnelerin bir toplulu u diye tanmlayacak
DetaylıFizik ve Ölçme. Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır
Fizik ve Ölçme Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır Fizik kanunları temel büyüklükler(nicelikler) cinsinden ifade edilir. Mekanikte üç temel büyüklük vardır; bunlar uzunluk(l), zaman(t)
DetaylıBu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:
Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak
DetaylıNÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi, Gazi Kitabevi 2012
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi, Gazi Kitabevi 0 Nuri ÖZALP L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6 7! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ / 9 . LU ve Cholesky
DetaylıBÖLÜM 7 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 1
1 BÖLÜM 7 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 1 Belli bir özelliğe yönelik yapılandırılmış gözlemlerle elde edilen ölçme sonuçları üzerinde bir çok istatistiksel işlem yapılabilmektedir. Bu işlemlerin bir kısmı
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
DetaylıÇözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Doç. Dr. Erhan Pişkin
Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Doç. Dr. Erhan Pişkin Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ ISBN 978-605-38-45-5 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 06, Pegem Akademi
Detaylıiv ÇINDEKILER 4 Açk Önermeler ÖNERME FONKS YONLARI Evrensel Belirteç Varlk Belirtec
çindekiler Önsöz................................. ix 1 MANTIK ve MATEMAT K 1 1.1 ÇA LARI A AN MATEMAT K.................. 1 1.1.1 Mantk tarihine ksa bir bak³................ 1 1.1.2 Matematiksel Mantk....................
DetaylıAfla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n
Seçim Beliti Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n herbiri bir teoremdir, kan tlanm fllard r. Ancak bu olgular, matematikte çok özel bir yeri olan Seçme Beliti kullan larak kan tlanm
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıTemel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b
Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri
Detaylı2013-2014 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR.
EYLÜL 2013-201 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI TED KDZ EREĞLİ KOLEJİ ORTAOKULU MATEMATİK 8.SINIF ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANDIR. 9-13 Örüntü ve Süslemeler Dönüşüm Geometrisi 1. Doğru, çokgen ve çember modellerinden
DetaylıFEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS
Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,
DetaylıÜZER NDE TANIMLI HER NORM-SINIRLI OPERATÖRÜN REGÜLER OLDU U BANACH ÖRGÜLER YÜKSEK L SANS TEZ. Nazl DO AN
STANBUL KÜLTÜR ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ ÜZER NDE TANIMLI HER NORM-SINIRLI OPERATÖRÜN REGÜLER OLDU U BANACH ÖRGÜLER YÜKSEK L SANS TEZ Nazl DO AN 1109041005 Anabilim Dal: Matematik-Bilgisayar Program:
DetaylıÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI
ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI 1 Rassal Değişken Bir deney ya da gözlemin şansa bağlı sonucu bir değişkenin aldığı değer olarak düşünülürse, olasılık ve istatistikte böyle bir
Detaylı1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI
Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,
Detaylı7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;
İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit
DetaylıDİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ
ALES İlkbahar 007 SAY DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL- TESTİ Sınavın bu testinden alacağınız standart puan, Sayısal Ağırlıklı
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.112 Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms http://tuba.acikders.org.tr
DetaylıTG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
Detaylıx 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)
ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme
DetaylıPERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR
2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve
DetaylıDers 9: Bézout teoremi
Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak
DetaylıFath Ünverstes Matematk Olmpyatlar
Fath Ünverstes Matematk Olmpyatlar - 007 www.sbelian.wordpress.com Fatih Üniversitesi Matematik Bölümü tarafndan ilki düzenlenen Liseleraras Matematik Olimpiyat'nn ilk snav 0 Ekim 007 tarihinde üniversite
Detaylı