Metin Yayınları

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları"

Transkript

1 LİMİT İÇ KAPAK

2 Bu kitbı bütü ı hklrı sklıdır. Tüm hklrı, zrlr ve METİN YAYINLARI ittir. Kısme de ols lıtı pılmz. Meti, biçim ve sorulr, ıml şirketi izi olmksızı, elektroik, mekik, fotokopi d herhgi bir kıt sistemile çoğltılmz, ımlmz. İSBN METİN YAYINLARI Tel: Meti Yılrı Yzrlr Gökh METİN Müjdt ERCAN Bisel İceleme Aşe KÜTAHYALIOĞLU Hifi YILDIRIM Hukuk Dışmı Hk DEMİRBAY Grfik Tsrım Merve ÖZBAY Dizgi Geel Dğıtım Meşrutiet Cddesi No: / Kızıl / ANKARA Tel: Fks : 9 Bskı Ad Yıcılık A.Ş. Akr

3 FASİKÜLE VERİMLİ ÇALIŞMA REHBERİ Sevgili öğreciler ve değerli meslektşlrım, Biresel Mtemtik Fsikülleri, mtemtik bilmeee keifli bir olculuk, mtemtik bilee htsız soru çözme kbilieti kzdırck şekilde tsrlmıştır. Her fsikül, e temelde dım dım mtemtiğiizi geliştirip güçledirecek tekiklerle oluşturulmuştur. Sf bşlıklrıl, her üite, lmı kollştırıcı lt bşlıklr rılmıştır. Kou Özeti : Kou özetleride kvrmlr mdde mdde vurgulmıştır. : Urı ikolrıl htırltmlr ve dikkt edilmesi gerekeler belirtilmiştir. (*) : Dipotlrl kou dışı kvrmlr çıklmıştır. ÖRNEK ve ÇÖZÜM : Örekler sf bşlığıı e ii çıklck şekilde özele kurulmuş ve çözümleri kolc lşılck şekilde düzelemiştir. : Her bşlıkl ilgili el lışklığı kzmızı sğlck bolc soru Sır Sede kısmıd, cevplrıızı kolc kotrol edebileceğiiz şekilde sorulmuştur. Ugulm Zmı : Belirli rlıklrl birikimleriizi değerledirme ugulmlrı koulmuştur. Tekrr Zmı : Üite solrıd öğredikleriizi test tekiğile pekiştireceğiiz ve çözümlerile uuttuklrıızı htırlcğıız testler suulmuştur. Ahtr kvrmlr ve çözümler rekledirilerek frk etmeiz sğlmıştır. Öğrecileri sık düştüğü htlr vurgulrk belirtilmiştir. Prtik ve eğleceli çözümlerle kıld klıcılık rttırılmıştır. Her kou, özele oluşturul Kou Testi ile pekiştirilirke, " çözümüü "SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ" kısmıd bulbilirsiiz. " ikoul belirtile sorulrı Souç olrk, şuu diebiliriz ki; mtemtik rıtılrd gizlidir. Bud dolı sbırl her fsikülü, üitei, bşlığı ve mddei lrk, her öreği ve soruu çözerek mtemtiği kolc öğreebilir, sıvlrdki mtemtik korkuuzd kurtulbilirsiiz. Bşrılı bir gelecek dileğile... METİN YAYINLARI

4 İÇİNDEKİLER LİMİT Limit Kvrmı... SoldSğd Yklşm / Bir Sı Civrıd İşlemler... Sold Sğd Limit ve Limiti Vrlığı... Grfikte Limiti Vrlığı... Sbit ve Poliom Foksiolrı Limiti... LİMİT ÖZELLİKLRİ Foksio İşlemleride Limit...6 Mutlk Değer ve Köklü İfdelerde Limit...7 Sıkıştırm Kurlı / SğdSold Limit Özellikleri... 8 Ugulm Zmı...9 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST... ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Prçlı Foksiolrd Limit... Mutlk Değer Foksiou Limiti... Üstel ve Logritmik Foksiolrı Limiti... 6 R de Limit I (Geişletilmiş Reel Sılrd İşlemler)... 7 R de Limit II (Sosuz, Tımsız ve Belirsiz)... 8 R de Limit III ( f () ± Limitler)... 9 " R de Limit IV ( f () Limitler)... " ± R de Limit V ( R de Limiti Grfik Yorumu)... Ugulm Zmı... Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST... ÇÖZÜMLÜ TEST... 6 Trigoometrik Foksiolrı Limitleri I... Trigoometrik Foksiolrı Limitleri II... Bileşke Foksiolrı Limiti... Geel Limit Alm Kurllrı... Limit Deklemleri... Ugulm Zmı... Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST... 7 BELİRSİZ LİMİTLER / Belirsizliği I (Poliomlu Kesirlerde / Belirsizliği).. / Belirsizliği II (Köklü Kesirlerde / Belirsizliği / Üstel İfdeli Kesirlerde / Belirsizliği)... Trigoometrik Foksiolrd / Belirsizliği I... Trigoometrik Foksiolrd / Belirsizliği II... Trigoometrik Foksiolrd / Belirsizliği III... Trigoometrik Foksiolrd / Belirsizliği IV... Ugulm Zmı... 6 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST... 8 ÇÖZÜMLÜ TEST... / Belirsizliği I (Poliomlu Kesirlirde / Belirsizliği... / Belirsizliği II (Köklü Kesirlerde / Belirsizliği... / Belirsizliği III (Üstel İfdeli Kesirlerde / Belirsizliği)... 6 / Belirsizliği IV (Sosuz Hızlı ilerlee Terimler... 7 Limitleri I (Köklü İfdelerde Belirsizliği)... 8 Limitleri II (Kesirli İfdelerde / Logritmik İfdelerde )... 9 Ugulm Zmı...6 Belirsizliği... 6 Belirsizliği... 6 Belirsiz Limit Deklemleri... 6 Limitte Değişke Döüşümleri I... 6 Limitte Değişke Döüşümleri II Limiti Geometrik Ugulmlrı Ugulm Zmı Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST... 7 ÇÖZÜMLÜ TEST... 7 SÜREKLİLİK Süreklilik Kvrmı ve Grfik Yorumu Süreksiz Noktlrı Özellikleri Bir Arlıkt ve Bu Arlığı Sıırlrıd Süreklilik Poliom ve Kesirli Foksiolrı Sürekliliği Tım Kümeside Süreklilik ve Prçlı Foksio Sürekliliği... 8 Foksiolrı Sürekli Olduğu Arlıklr... 8 Foksio İşlemleride Süreklilik... 8 Foksiolrd Süreksiz Nokt Problemleri... 8 Foksiolrı R de Sürekli Olbilmesi... 8 Sıırlı Foksio Kvrmı ve Limiti... 8 Kplı Arlıkt Sürekli Foksiolrı Özellikleri (E Büük, E Küçük Değeri / Bir Arlıkt Kök Vrlığı).. 86 Ugulm Zmı Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST DİZİLERDE LİMİT Dizi Kvrmı ve Bir Dizii Limiti... 9 Foksio Limitlerile Dizi Limiti Hesplm... 9 Toplm Formüllerile Dizi Limiti Hesplm... 9 Bsit Kesirlere Aırrk Dizi Limiti Hesplm... 9 Geometrik Dizi, İlk Terim Toplmı ve Limit İlişkisi Sosuz Terimli Geometrik Dizi Toplmı I Sosuz Terimli Geometrik Dizi Toplmı II (Kuvvet ve İşret Düzeleme) Sosuz Terimli Geometrik Dizi Toplmı III Sosuz Terimli Geometrik Dizi Toplmı IV (Hrfli İfdeler ve Deklemler)... Sosuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri I (Sosuz Toplmlr / Devrede Sılr)... Sosuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri II (Sosuz İlerlemeler)... Sosuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri III (Sıçr Top)... Sosuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri IV (Geometrik Yorum)... Geometrik Dizi Olm Sosuz Toplmlr... Ugulm Zmı Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST... 8 KONU TESTLERİ... SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ... 6

5 Limit Kvrmı LİMİT Kou Özeti ÖRNEK Limit, mtemtiksel olrk bir okt sıırlrı (itleri) zorlck kdr klşmk; ck o okt vrmmk olrk düşüülebilir. Limit kvrmıı grfik üzeride çıkllım ve elemlrıı belirte. f() foksiou içi f() K ike f ( ) L ise, " K f() L o v ; itleri zorl değişkedir, v ; itleri zorl oktdır, v ; değişkeii oktsı klşmsıdır, v f(); it ltıdki foksiodur, v L; civrıd f() foksiouu klştığı değerdir. O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre, f() foksiouu i,,, ve içi; ) Alcğı değerlerii buluuz. b) Limitlerii buluuz. ÇÖZÜM Bir foksiou herhgi bir oktsıdki değeri ile o oktsıdki iti ı d olbilir, frklı d olbilir. ) f( ), f( ), f(), f() ve f() dir. Limit bir oktdki değerlerde çok o okt civrıdki değerlerdir. oktsıdki değer f() K ike civrıdki değer f ( ) L dir. " b) f ( ), f ( ), f ( ), " " " f ( ) ve f ( ) dır. " " f: R {, } R, f() foksiouu grfiği şğıdki gibidir. 6 Aşğıdki tblod, psisleri verile oktlrd f() foksiouu grfiğie göre ldığı değerleri ve itlerii belirtiiz. f() f().... f(). O ) ; ) ; ) Tımsız; ) ; 8 8 ) ; 6) Tımsız; 7) ; 8) ; 9) ; ) ; ) ;

6 LİMİT SoldSğd Yklşm / Bir Sı Civrıd İşlemler Kou Özeti (Sold Sğd Yklşm) Kou Özeti (Bir Sı Civrıd İşlemler) R olmk üzere; Limit işlemlerii rhtç pılbilmesi içi bir sı v değişkei, d küçük değerlere klşı civrıdki işlemleri ii biesi gerekir. v ors, bu klşm sold klşm deir ve ile gösterilir. değişkei, d büük değerlerle klşıors bu klşm sğd klşm deir ve ile gösterilir. Bir sıı civrı bu sıı çok kııdki değerlerdir. v ; d çok z büük değer v ; d çok z küçük değer sold klşm sğd klşm olrk düşüülebilir. Öreği,,...,...,...,99...9,99...9,... ÖRNEK Aşğıd tblod belirtile değişkeleri hgi sı klştığıı tespit ediiz. ),,8,9,99, b),,8,99,99, ÇÖZÜM Değişkeleri sı doğrusudki görütülerii icelee., sold,8,9 sğd,9,8, değişkei e sold klşmktdır i dir. değişkei e sğd klşmktdır i dır. ÖRNEK Aşğıdki işlemleri soucuu ve şeklide buluuz. ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) ÇÖZÜM ),... (,...),... b),... ( ) (,...),...,.. c), ( ) (,99...9) 8, d),.. ( ) (,..) 6,.. 6 Aşğıdki değişkeleri klştığı sılrı klşm öüle birlikte belirtiiz. Aşğıdki işlemleri soucuu bir sı civrıd işlemler ile buluuz.. 9. ( ) 7. 6 : ),,8,9,99, ( ) 8. 8 : ),,,,,..... ( ) 9. 6 : ( ) ) z,6,7,9,99, ( ). ( ). : ) t,6,,,,.... ( ) 7.. : ) h,6,7,9,99, ( 7). ( ). 6) k 99,7 99,8 99,9 99,99 99, ( ) ( ). ( ). 9 : ( ) 7) l,6,,,, ( ) 6. 6 :. ( ) 8) m,7,8,9,9, ) ) ) ) ) 7 6) 7 7) 8) ) ) ) z ) t 9) ) ) ) ) ) ) 6) ) h 6) k 7) l 8) m 7) 8) 9) ) ) ) ) )

7 Sold Sğd Limit ve Limiti Vrlığı LİMİT Kou Özeti f: R {} R, f() fokisou içi v değişkei sold klşırke ( ), f() foksiou L sısı klşıors f i d sold iti L dir ve f() O f() L biçimide gösterilir. " v değişkei sğd klşırke ( ), f() foksiou L sısı klşıors f i d sğd iti L dir ve f() L biçimide gösterilir. " Limit r ve iti vrolduğu oktd foksio tımlı olmk zorud değildir. L L ÇÖZÜM f ( ) f ( ) " f(). f ( ) f ( ) " O. f ( ) f ( ) & f ( ) dir. " " " f() tımsız olmsı rğme f ( ) dir. " ÖRNEK (Bir Sı Civrıd Foksio Değeri) R de tımlı bir f foksiou içi f ( ) ve " f ( ) olduğu göre şğıdki it değerlerii " buluuz. Sol it, sğ ite eşit ise foksiou iti vrdır. v f() f() L ise f() L dir. " " " v f() f() ise f() oktur. " " " f ( ) vrs bu it bir tedir. " ) f( ) b) f( ) " " ÇÖZÜM. f ( ) & f( ) dir. " f ( ) & f( ) dir. " ÖRNEK f: R {} R, f() foksiouu oktsıdki itii buluuz. ) f( ) f( ) f( ) dir. " b) f( ) f( ) f( ) dir. ". Gerçek sılrd tımlı f() foksiou içi f ( ) olduğu göre şğıdki it değerlerii " buluuz. ) f ( ) ". Gerçek sılrd tımlı f foksiou içi şğıdki tblo verilmiştir.,8,9,99, , 6, 6, 6, f()...,999,99,9,8 Tblo göre şğıdki it değerlerii buluuz. b) f ( ) " ) f ( ) d) f( 8 ) " 6 ". Gerçek sılrd tımlı f foksiouu psisli oktdki iti 7 ike, f ( ) ve f( ) b olduğu göre " " b toplmıı değeri kçtır? b) f ( ) e) f( 6) " 6 " c) f ( ) " 6 f) 6 fc m f ( ) " ) ) b) ) 6 ) ) b) c) Yoktur d) e) f)

8 LİMİT Grfikte Limiti Vrlığı Kou Özeti f: (, e] {b} R olmk üzere;, v Tımsız okt b o k c d e ol b de sğ ve sol it eşit olduğu içi "it vrdır." f(b) tımsız ike f ( ), dir. " b m ÖRNEK f: [, ) {} R olmk üzere grfiği verile f() foksiouu i,, ve sılrı içi; ) Alcğı değerlerii buluuz. b) Limitlerii buluuz. f() o v Sıçrm oktsı ol c de sğ ve sol itler eşit olmdığı içi "it oktur." m f ( ) f ( ) & f ( ) oktur. " c " c " c v Kopm oktsı ol d de sğ ve sol itler eşit olduğu içi "it vrdır." f() f() m & f() m dir. " d " d " d v Tım rlığıı uç oktlrı o l v e e de it rştırılırke sdece tımlı olu trfıd ite bkılır. f ( ) f ( ) k ve f( ) f( ) " " " e " e ÇÖZÜM ) f( ), f(), f() tımsız ve f() dir. b) sğ trft tımlı sıır oktsıdır; f ( ) & f ( ) dir. " " d f ( ) ve f ( ) & f ( ) dir. " " " foksiou tımsız olduğu kopm oktsıdır; f ( ) ve f ( ) & f ( ) dır. " " " sıçrm oktsıdır; f ( ) ve f ( ) & f ( ) oktur. " " ". g() f() o o Şekilde f() ve g() foksiolrıı grfikleri verilmiştir. Bu göre şğıdki itleri değerlerii buluuz. ) f ( ) g ( ) " e) " b) f ( ) g ( " f) " ) c) f ( ) " g) g ( ) " d) f() h) g(). O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdki ifdeleri değerleri buluuz. ) f ( ) f) f( ) " " b) f ( ) g ( " g) " ) c) f ( ) h) f( ) " " d) f ( ) f ( " k) " ) e) f ( ) " l) f ( ) " ) ) b) c) d) e) f) g) Yoktur h) ) ) b) c) d) e) Yoktur f) g) h) k) Yoktur l)

9 Sbit ve Poliom Foksiolrı Limiti LİMİT Kou Özeti (Sbit Foksiou Limiti) c R olmk üzere; f() c sbit foksiou içi, c C f ( ) c c dir. " " Limit değişkei dışıdki değişkeler sbit kbul edilir. Kou Özeti (Poliom Foksiouu Limiti) N olmk üzere; f()... poliom foksiou içi, f() f() dır. " ÖRNEK f: R R, f() foksiou içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) f ( ) " b) f ( ) " ÇÖZÜM f() olduğu göre, c) f ( ) " ÖRNEK f: R R, f() foksiou içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) f ( ) " ) f ( ) tir. " " b) f ( ) tir. " " c) f ( ) tir. " " o f() b) f ( ) " ÇÖZÜM f() olduğu göre, ÖRNEK (Limit Değişkei) ) f ( ) f( ) dir. " h" itii eşitii buluuz. b) f ( ) f( ) dir. " ÇÖZÜM Limit değişkei "h" dir. O hlde tir. h". f: R R, f() foksiou içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) f ( ) " c) f ( ) " Aşğıdki itleri değerlerii buluuz.. ( ) " b) f ( ) " d) f ( ) ". ( ) ". Aşğıdki itleri eşitii buluuz.. ( ) " ) " c) ". ( ) " b) h" d) ". ( ) " ) ) b) c) d) ) ) b) c) d) ) ) ) ) 9 )

10 LİMİT ÖZELLİKLRİ Foksio İşlemleride Limit Kou Özeti f ve g, oktsıd itleri ol iki foksio olmk üzere; v [f()±g()] f() ± g() tir. " " " v [f() g()] f() g() tir. v " " " f() f() " > H tir. g( ) " g() g() " k " vv c R içi [c f()] c f()] tir. " " Limit ilişkisi olduğu foksiolrı her birie rı rı bir virüs gibi bulşır. ÖRNEK ÇÖZÜM f ( ) ( ) tür. " " g ( ) ( ) dir. " " H 678 ) [ f ( ) g ( )] f ( ) g ( ) 8 buluur. " " " H 678 b) [ f ( ) g ( )] f ( ) g ( ) 9 dur. " " " H 678 c) [() f g ( )] f ( ) g ( ) 6 buluur. " " " f, g: R R, f() ve g() foksiolrı içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) [ f( ) g( )] " c) [() f g( )] " b) 6 f( ) g( " d) f ( ) > H g ( ) ( ) " H F f ( ) f ( ) " " d) > H " g ( )( ) g ( ) ( ) " " buluur. " " ". f ( ), g ( ) ve h ( ) içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) 6 f( ) g( ". f ve g: R R, f() ve g() foksiolrı içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) 6 f ( ) g ( " b) f ( ) > H h ( ) " b) 6 f( ) g( " c) 6 f( ) g ( " c) 6 f( ) g( " d) f ( ) h ( ) > H g ( ) " g ( ) d) > H " f ( ) 6 ) ) b) c) d) ) ) b) c) 6 d) 8

11 Mutlk Değer ve Köklü İfdelerde Limit LİMİT ÖZELLİKLERİ Kou Özeti (Mutlk Değer İfdeleride Limit) Kou Özeti (Köklü İfdelerde Limit) f, oktsıd iti ol bir foksio olmk üzere, f() f() dir. " " Mutlk değeri içii sıfır p kritik oktlrd sğd sold it rştırılır. İleride detlı işleecektir. ÖRNEK f, oktsıd iti ol bir foksio olmk üzere, v tek doğl sı ise v f() f() tir. " " çift doğl sı ve i civrıdki tüm değerleri içi f() ise f() f() tir. " " çift doğl sı ike f() < ise f ( ) tımsızdır. R de tımlı f foksiou içi f ( ) ise " ÖRNEK f( ) " itii değerii buluuz. ^ 9 h itii değerii buluuz. " ÇÖZÜM f( ) ( f ( ) " " 8 H H f( ) 8 tir. " " ÇÖZÜM ^ 9 h 9 " " " ( ) ( 9) 9 8 " " 9 8 ( ) buluur. Aşğıdki itleri eşitii buluuz. Aşğıdki itleri eşitii buluuz.. ". ". ^ h ". 6 ". ". ^ h ". R de tımlı f foksiou içi f ( ) olduğu " " göre f( ) itii eşiti edir?. " ) ) 7 ) 8 ) 9 ) ) ) ) 8 7

12 LİMİT ÖZELLİKLERİ Sıkıştırm Kurlı / SğdSold Limit Özellikleri Kou Özeti (Sıkıştırm (Sdviç) Kurlı) Kou Özeti (Sğd Sold Limit Özellikleri) f ve g, oktsıd itleri ol bir foksio olmk üzere, i civrıdki tüm değerleri içi f() h() g() ike f ( ) g ( ) L " " & h() Ldir. " L g h f Limit özellikleri sğd sold itler içi de geçerlidir. Sğd sold it hesplırke bir sı civrıd ( ve ile) işlemlerde fdlıldığıı htırlıız. ÖRNEK ÖRNEK R {} içi f() olduğu göre f ( ) değerii buluuz. " ÇÖZÜM f( ) & ( f( ) ) " & ( ) f( ) ( ) " " " & f ( ) & f ( ) buluur. " " R de tımlı bir f foksiou içi f ( ) ve f ( ) ise " " 6 f( ) f( 7 itii değerii buluuz. " ÇÖZÜM f ( ) & f( ) ve f( ) & f( ) " " [( f ) f( 7 )] f( ) f( 7 ) " " " E E f( ) f( 7 ) f( )f( ) dir. " ". f ( ) ve g ( ) içi f() h() g() olduğu göre h( ) itii değeri edir? ". f ( ) 6 f ( ) " olduğu göre " 6 itii değeri edir?. f(), g() ve f() h() g() olduğu göre h( ) itii eşiti edir? ". f ( ) f( " olduğu göre " ) itii değeri edir? " ". f ( ) ve g ( ) içi f() h() g() olduğu göre 6 h( itii değeri edir? ". f ( ) 8 ve f ( ) olduğu göre " " f( ) f( ) > H itii değeri edir? " f ( ) 8 ) ) 9 ) ) 6 ) )

13 Ugulm Zmı Ugulm. Gerçek sılr kümeside tımlı f foksiou içi R ike f ( ) ise f ( ) f ( ) çrpımı kç eşittir? " " ". o f() o g().,,,,,999,99,9,7 f(),,7,99,997,,,, Yukrıd klşım değerleri verile f() foksiou içi şğıdki itleri değerii buluuz. ) f ( ) f ( " c) " ) b) f ( ) d) f( ) " " Şekilde f() ve g() foksiolrıı grfikleri verilmiştir. Bu göre şğıdki itlerii buluuz. ) f ( ) f) g ( ) " " b) f ( ) g) [() f g ( )] " " c) f ( ) h) 6 f ( ) g ( " " d) f ( ) k) " f ( ) > H " g ( ). Gerçek sılr kümeside tımlı f foksiouu içi iti gerçek sısı ike, e) g ( ) l) 6 f ( ) g ( " " f ( ) b ve f ( ) b olduğu göre " " b çrpımı kçtır? 6. f() o. f: [, ) R olrk tımlı şekildeki f() foksiou içi şğıdki ifdeleri değerlerii buluuz. o Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdki itleri eşitii buluuz. ) f( ) d) f ( ) g) f ( ) " " b) f ( ) " e) f ( ) " h) f ( ) " c) f ( ) f) f() ı) f() " ) f ( ) d) f( ) " " b) f ( ) e) f ( ) " " c) f ( ) f) f ( ) " " ) 9 ) ) b) c) Yoktur d) ) ) ) b) c) d) e) Yoktur f) g) h) ı) Tımsız ) ) b) c) d) e) f) g) h) k) l) 8 6) b) c) d) e) Yoktur f) 9

14 " " 7. f ( ) ve g ( ) olduğu göre şğıdki itleri eşitii buluuz. ) 6 f( ) g( c) f ( ) " g ( ) " 9. f, gerçek sılr kümeside tımlı bir foksio ve f( ) olduğu göre f ( ) itii " değeri kçtır? " b) 6 f( ) g( d) f( ) g( ) " ". f(), g() ve R içi 8. Aşğıdki it değerlerii eşitii buluuz. ) " g() h() f() olduğu göre (() f h( ) g( )) itii değeri kçtır? " b) ( ) " c) t t". R içi f ( ) olduğu göre f ( ) değeri edir? " d) " 7 e) ". 6 f( 8 olduğu göre 6 f ( " " itii değeri edir? f) ^ h " g) ( ) ( ) " ( ) ( ). f: R R olmk üzere f ( ) 6 ve f ( ) " " olduğu göre 6 f ( ) f( 6 itii " değeri edir? h) ^ eh " 99 7) ) b) c) d) 8) ) b) c) d) e) f) g) h) e 9) 9 ) ) ) )

15 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST. f ( ) ve g ( ) olduğu göre " " g ( ) f ( ) frkıı değeri kçtır? " " A) B) C) D) E). f() o Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdkilerde hgisi lıştır?. itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) A) f ( ) B) f ( ) " " C) f ( ) " E) f ( ) " D) f ( ) " 6.. i içi iti edir? A) B) C) D) E) o f() Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre f ( ) f ( ) f( ) f( ) " ( ) " ( ) ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). ^ h itii değeri kçtır? " A) 7 B) 6 C) D) E) 7. f( ) " ( ) olduğu göre f ( ) itii değeri kçtır? " A) 8 B) C) D) 7 E) 9

16 8. ( ) 9 olduğu göre " ( ) itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 7. R içi f() dir. Bu göre içi f() ifdesii değeri kçtır? A) B) C) D) E) 9. R de tımlı f foksiou içi f ( ) ise " " f( ) itii değeri kçtır? A) B) C) D) E). f ( ) ve g ( ) tür. " " Bu göre f ( ) g( ) " " eşiti şğıdkilerde hgısidir? ifdesii A) B) C) D) E) 6. f() o g() o Şekilde f() ve g() foksiolrıı grfikleri verilmiştir. Bu göre şğıdkilerde hgisi lıştır?. f ( ) 6 ve f ( ) olduğu göre " " f( ) > H itii değeri kçtır? " f ( ) A) B) C) D) E) A) [() f g ( )] " B) f ( ) g ( ) " " C) [() f g( )] 8 " D) [() f g ( )] " E) (( f ) g ( )) 7 ". f: R R tek foksio olmk üzere [() f ] olduğu göre " [() f ] değeri kçtır? " A) B) C) D) E). B. C. B. A. C 6. B 7. E 8. E 9. E. D. C. D. B. E

17 Tekrr Zmı Test Çözümü. g ( ) ise g( ) dir. " " 9. f( ) ise f( ) tür. " f ( ) ise f( ) dir. Burd " " f ( ) ^ h f^ h buluur. " g ( ) f ( ) tür. " " Cevp: B Cevp: E. " tür. Cevp: C. f ( ) ve g ( ) olduğud " " 6 f( ) g( dır. " Dolısıl D seçeeği lıştır. Cevp: D. buluur. " Cevp: B. ^ h ^ h ^ h " 7 7 buluur.. G f( ) G ise ^ G f ( ) G h " & G f( ) G ^ h " " " > Cevp: A & G f( ) G olduğud f( ) buluur. " " Cevp: C. f ( ) ve f ( ) olduğud f( ) oktur. " " Dolısıl C seçeeği lıştır. " Cevp: C 6. f ( ), f ( ) " ^ h " ^ h f( ) ve f() dir. Burd f ( ) f ( ) f( ) f( ) buluur. " ^ h " ^ h Cevp: B. f ( ) ve f ( ) dir. " " g ( ) ise g( ) tür. Burd " " f ( ) g ( ) & f ( ) g ( ) " " " " 9 buluur. Cevp: D 7. f( ) f( ) & " ^ h ^9 h & f( ) & f( ) & f( ) 6 & f( ) 9dur. Burd f( ) f( ) 9 buluur. " Cevp: E f^ h. > H " f^ h f^ h " f^ h " f^ h 6 buluur. f^ h Cevp: B 8. ^ h 9 & 9 & & dir. " Burd ^ h 7 buluur. " Cevp: E. f tek foksio ise f() f( ) dir. Yi f() f( ) tür. 6 f ( & f( ) & f( ) tir. " O hlde f() f( ) olduğud f( ) tir. Burd 6 f( f( ) 7 buluur. " Cevp: E

18 ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Prçlı Foksiolrd Limit Kou Özeti Prçlı foksiolrı prçlm oktlrı kritik oktlrıdır. Z g ( ), < ] fr : " R, f( ) [ c, ] h ( ), > \ prçlı foksiou içi it iceleirke; v kritik okt i prçlm oktsıd sold ve sğd ite bkılır. < olduğud f ( ) g ( ) dir. " " > olduğud f ( ) h ( ) dir. " " v Kritik olm oktlrd it lıırke, bu okt civrıd suul foksio prçsı göre it belirleir. b < içi f ( ) g ( ) dir. " b " b d > içi f ( ) h ( ) dir. " d " d ÖRNEK, < fr : " R, f( ) ', foksiouu şğıdki oktlrd itlerii rştırıız. ) b) c) ÇÖZÜM Foksiou prçlm oktsı ol kritik oktsıdır; o ) kritik okt değildir; < olduğud, C f ( ) ( ) buluur. " " b) kritik okt olduğu içi sold sğd ite bkılır; C < içi f ( ) ( ) dir. " " C > içi f ( ) ( ) dır. " " f ( ) f ( ) & f ( ) oktur. " " " c) kritik okt değildir. > olduğud, C f ( ) ( ) buluur. " " Z, < ]. f ( ) [, < ], \ foksiou içi şğıdki itleri değerlerii buluuz. ) f ( ) d) f ( ) " " Z ],. f ( ) [, < < ] \, foksiou verilior. Bu göre şğıdki itleri değerlerii buluuz. ) f ( ) d) f ( ) " " b) f ( ) e) f ( ) " " b) f ( ) " e) f ( ) " c) f ( ) " f) f ( ) " c) f ( ) " f) f ( ) " ) ) b) c) d) 8 e) f) Yoktur ) ) b) c) 7 d) e) f)

19 Mutlk Değer Foksiou Limiti ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Kou Özeti Mutlk değer foksiolrıı içii sıfır p oktlr kritik oktlrıdır. fr : " R, f( ) itii iceleirke v v " kritik okt i f() ise sold ve sğd ite bkılır. kritik okt değilse i f() ise f( ) f( ) dır. " ÖRNEK fr : ", " R, f( ) foksiouu ) b) c) oktlrıdki itlerii rştırıız. ÇÖZÜM kritik oktlrdır. ( ) ) kritik okt değildir; f ( ) f( ) buluur. " b) kritik okt olduğu içi sğd ve sold ite bkılır; < içi f ( ) ( ) " " " > içi f ( ) ( ) dir. " " " O hlde f ( ) f ( ) & f ( ) oktur. " " " c) kritik okt değildir; f ( ) f( ) buluur. " Grfikte de görüldüğü üzere f ( ), f ( ) oktur " " ve f ( ) dir. " f() o Aşğıdki itleri değerii buluuz.. ". ". ". ". f p " 9 6. " 7. " Z ] ], < [ 8. f ( ), ], > \ olmk üzere f ( ) itii değeri kçtır? " 9. 6 f ( olduğu göre f ( ) itii " değeri kçtır? " ) ) ) ) ) 6) Yoktur 7) Yoktur 8) 9)

20 ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Üstel ve Logritmik Foksiolrı Limiti Kou Özeti (Üstel Foksiolrı Limiti) c R {} olmk üzere f, oktsıd iti ol bir foksio ise c " f() c f() " tir. Çözüm pılırke d cevp verilirke gerekirse üstel düzelemeler pılbilir. ÖRNEK c " 7 m itii değerii buluuz. Kou Özeti (Logritmik Foksiolrı Limiti) f, oktsıd iti ol bir foksio ve civrıd f() > olmk üzere 6log log 9 f() C tir. " b b " f() < ise log b f() tımsızdır. Logritm özelliklerii htırlıız: v log v l log e v log b log b m v log log v b v log c m log blog c c log (b c) log b log c Çözüm pılırke d cevp verilirke gerekirse logritmik düzelemeler pılbilir. ÇÖZÜM 7 7 c m " " " ( ) ( 7 ) ( 7 ) " " ( ) buluur. üstel düzeleme ÖRNEK 6 log ( 6) itii değerii buluuz. ÇÖZÜM 6log ( 6) log ( 9 C " " G log ( 6) log 8 log log buluur. Aşğıdki itleri değerlerii buluuz. Aşğıdki itleri değerii buluuz.. " 8. 9log ^ hc ". 6 ". ". c " m. 6 log( ". 9log ^ h log ^ 8h 6 6 C " f (). e olduğu göre f ( ) itii değeri " kçtır? ". 9log ^ h log ^ hc " 6 ) ) ) 7 ) ) l ) ) ) )

21 R de Limit I ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Kou Özeti (Geişletilmiş Reel Sılrd İşlemler) Reel sılr kümesie (egtif sosuz) ve (pozitif sosuz) kvrmlrıı eklemesi ile oluş sı kümesie geişletilmiş reel sılr kümesi deir ve R ile gösterilir. R (,) & R [, ] dur. Sosuz kvrmı çok büük olmı ifde eder ve sı değildir. Sosuz sı değildir;... ve... _ b ck dki gibi,... b sılr olduklrı düşüülerek geişletil... ` b miş reel sılrd işlemleri pbilirsiiz.,... b... v () (), ( ) ( ) v () (), ( ) ( ), () ( ) vv N içi (),, ( ) ' çift, tek vv N içi, tek ise ÖRNEK Aşğıdki işlemleri dvrışıı R de tespit ediiz. ) b) c) d) e) ÇÖZÜM ) " " b),..,.. " " tımsız... c) " " " c m",.. d) "... " e) Her sı sosuzd dh küçüktür; " ÖRNEK (Kuvvetler) Aşğıdki işlemleri dvrışıı R de tespit ediiz. ) b) ( ) c) d) c m e) c m ÇÖZÜM u tek d çift olduğu tımlı değildir. )... b) ( ) mu mu olcğı tespit edilemez. c) d) c m " " " çok büük sı " " e) c m " " çok büük sı ifdesi dh hızlı sosuz ilerler, sı gibi dvrır. ifdesi dh hızlı sosuz ilerler sı gibi dvrır. Aşğıdki işlemleri dvrışıı geişletilmiş reel sılr kümeside tespit ediiz... c m e. 8. ( ) ( ) 6. e. c m ( ) 9. ( ) ( ). ( ) ().. ( ) ( ). c m. c m c m ^ h. ( ). ( ) c m 7 8.! ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) ) ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) Tespit Edilemez ) Yklşır ) ) ) ) ) Yklşır 6) 7) 8) 7

22 ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT R de Limit II Kou Özeti (Sosuz, Tımsız ve Belirsiz) Limitte sıkç krşılşcğıız sosuz, tımsız ve belirsiz ifdelerii birbirile krıştırmıız. v R {} içi ± ± dur ve ± dır. ÖRNEK (Kuvvetler) Aşğıdki işlemleri dvrışıı R de tespit ediiz. ) b) c) d) e) f) g) 9 h) 8 ı) k) log ( ) l) l m) tc m ) o) p) r) v v R {} içi " tımsızdır. " belirsizdir. ÇÖZÜM,,,,,, ifdeleri belirsiz durumlrdır. ) Belirsiz b) c) Tımsız d) " e) Belirsiz f) Belirsiz Sosuz, sıırsız büük ck reel sı olm durumlrdır; tımsız, mtemtiksel olrk tımsız kbul edile durumlrdır; belirsiz, tımlı ck tm belirleemee durumlrdır. g) 9 Tımsız h) 8 ı) Belirsiz k) log ( ) Tımsız l) l m) tc m Tımsız ) Belirsiz o) Belirsiz p) r) belirsiz Aşğıdki işlemleri dvrışıı geişletilmiş reel sılr kümeside tespit ediiz ( ). ( ) 8. log 9. log.... log cot. cot cot tc m log 6. tc m 8 ) ) ) ) ) 6) 7) Tımsız 8) 9) Belirsiz ) Tımsız ) ) ) ) ) Belirsiz 6) 7) 8) Tımsız 9) Tespit Edilemez ) Yklşıor ) Belirsiz ) ) Belirsiz ) Tımsız ) Belirsiz 6) Belirsiz 7) Tımsız 8) 9) Tımsız ) ) Belirsiz ) Tımsız ) ) ) 6

23 R de Limit III ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Kou Özeti ( f ( ) ± Limitler) " " f ( ) ± ifdesi ile gerçel sılr kümeside (R de) iti vr olduğu lşılmmlıdır. Çükü ± gerçel sı değildir i ± R dir. f ( ) ± iti ile civrıd f() i " sıırsız rtış d zlış dvrışı ifde edilir. R ve N olmk üzere; v > ike v < ike " b ( b ) " b ( b ), çift ise * oktur, tek ise *, çift ise oktur, tek ise Yukrıdki durumlrı ezberlemeize gerek oktur. Bir sı civrıd ve geişletilmiş reel sılrd işlemler ile souc ulşbiliriz. ÖRNEK (Kesirli Foksiolrd Limit) Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) b) " " c) " ( ) ÇÖZÜM Kesirli foksiolrı pdsıı sıfır p okt kritik oktlrdır ve sğd sold ite bkılır. Dvrış ) " (sıırsız rtış) o (sıırsız zlış) " ike f() krkteristik bir dvrış göstermediği içi, oktur deilir. " b) _ b " ` oktur. " b " c) _ " ( ) ( ) ( ) b ` ( " ) " ( ) ( ) ( ) b Aşğıdki itleri değerii buluuz.. ". ". ". ". " 6. " 7. " 8. " 9. ". ". " ( ). ". ". ". " 6. l( ) " ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) Yoktur ) Yoktur ) ) ) ) Yoktur ) 6) 9

24 ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT R de Limit IV Kou Özeti ( f ( ) Limitler) " ± ÖRNEK Aşğıdki it değerlerii buluuz. R olmk üzere dır. " ± o ) ( ) " d) ( ) " b) " c) e) ( e ) " " ( ) R ve N olmk üzere; " ± ( b )... poliomik ifdesi içi dır. (... ) ( ) dir. " ± " ± Nedei içi öreği d şıkkıı iceleiiz. ÇÖZÜM Formül ezberlemede bir sı civrıd ve geişletilmiş reel sılrd işlemler ile soucu ulşılbilir. ) ( ) o " / b) o " R olmk üzere f() foksiou içi, v > ise < ise o o dır. " " dır. " dur. dır. " c) " ( ) ( ) ( ) prtezie llım d) ( ) > f ph ike " " / ve / ; c me dur. " " e) e,7... > içi sıfır olur e e dır. " e. Aşğıdki itleri değerii buluuz. ) 6 " e) ^ h ". c " m itii değeri edir? b) " f) ". > H itii değeri edir? " c) " g) " d) c m h) c " " m. ; c m E itii değeri edir? " e ) ) 6 b) c) d) e) f) g) h) ) ) )

25 R de Limit V ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Kou Özeti ( R de Limiti Grfik Yorumu) f() f: R {, b} R k olmk üzere; O b v f ( ) k " v f ( ) ve f ( ) olduğud " " f ( ) oktur. " v f ( ) ve f ( ) olduğud " b " b f ( ) dur. " b v f ( ) dur. " sıırsız rtışı, sıırsız zlışı belirte foksio dvrışlrıdır. ve gerçek sılr kümeside er lmz. DİKKAT EDİNİZ! ÖRNEK Şekildeki f: R {, } R f() foksiouu grfiğie göre şğıdki it değerlerii buluuz. ) f ( ) " b) f ( ) " c) f ( ) " ÇÖZÜM Grfiği dikktli okuuuz. d) f ( ) " ) ike f() sıırsız zlır: f ( ) b) c) f ( ) " ( ) f ( ) f oktur. " " f ( ) " f ( ) f ( ) dur. " " d) f ( ) dir. " ".. f() f() O O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdki it değerlerii buluuz. Şekildeki f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdki it değerlerii buluuz. ) f ( ) d) f ( ) " " ) d) f ( ) " f ( ) " b) f ( ) e) f ( ) " " b) f ( ) e) " f ( ) " c) f ( ) " f) f() " c) 6 f ( f) f ( ) " " ) ) b) c) Yoktur d) e) f) ) ) b) c) d) e) f)

26 Ugulm Zmı Ugulm, >. f ( ) *, foksiou içi şğıdki itleri değerii buluuz.. Aşğıdki itleri değerlerii buluuz. ) " 9 e) " ) f ( ) " d) f ( ) " b) " f) " b) f ( ) " e) f ( ) " c) g) " " c) f ( ) " f) f ( ) " d) h) " " 8 Z ], <. f ( ) [, < ] \, foksiou içi şğıdki itleri değerii buluuz. ) f ( ) " e) f ( ) ". > H itii değeri edir? ". itii değeri edir? " b) f ( ) " f) f ( ) " 9 6. itii değeri edir? " 6 7. " itii değeri edir? c) f ( ) g) f ( ) " " 8. f( ) olduğu göre f ( ) itii " değeri edir? " d) f ( ) h) f ( ) " " 9. ^ 6 " h itii değeri edir? ) ) b) c) d) 8 e) 8 f) 8 ) ) b) c) 8 d) 8 e) 8 f) 8 g) h) Yoktur ) ) 8 b) c) d) e) 6 f) g) h) ) ) 6) 7) Yoktur 8) 9) 9

27 . 6 log ( ) log itii değeri edir?.. 9log ( ) log ( ) C itii değeri edir? " f(). 9log ( 6) log ( ) C itii değeri " edir? O. Aşğıdki itleri değerii buluuz. ) l) " " Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdki it değerlerii buluuz. ) f ( ) g) 6 f ( " " 6 b) m) " " c) ) 7 " " d) o) c m " " e) p) " " b) f ( ) " c) f ( ) " d) f ( ) " e) f ( ) " h) k) l) f ( ) " f ( ) " f ( ) " f ( ) m) " f) " r) c m " f) f ( ) ) " " f ( ) g) s) " ". f() fosiouu içi f ( ) " itii değeri edir? h) " k) " t) e " u) " 6. (, ] olduğu göre içi ifdesii iti edir? ) ) ) ) ) b) c) d) e) f) g) h) Yoktur k) l) m) ) o) p) r) s) t) u) ) ) b) Yoktur c) d) e) f) g) h) k) l) m) ) ) 6)

28 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST Z ], <. f ( ) [, < ] \, foksiou içi 6. ^ " h itii değeri kçtır? A) B) 8 C) D) E) 6 f ( ) f ( ) f ( ) " " " şğıdkilerde hgisidir? toplmıı eşiti A) B) C) D) E). 9log log C itii değeri kçtır? " A) B) C) 6 D) 8 E), 7. f ( ) *, < fosiou verilior. f() i tımlı olduğu her oktsıd iti olduğu göre " " f ( ) f ( ) toplmı şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 8. c m itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 8. " ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). itii eşiti edir? " A) B) C) D) E) 9. " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). f ( ) olduğu göre f ( ) f ( ) ifdesii eşiti şğıdkilede " " hgisidir?. > c m H itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) D) E) A) 8 B) 9 C) D) E)

29 " e. > c m c m H itii değeri şğıdki lerde hgisidir?. f() A) B) C) D) E) O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir.. ; c m E itii değeri şğıdkilerde " hgisidir? A) B) C) D) E) Bu göre şğıdkilerde hgisi lıştır? A) f ( ) " C) f ( ) " B) f ( ) " D) f ( ) " E) f ( ) oktur. ". 6. O f() Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. O " " Bu göre f ( ) f ( ) ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre I. f ( ) " IV. f ( ) ". " itii değeri edir? II. f ( ) V. f ( ) " " III. f ( ) " Öermeleride hgileri doğrudur? A) I, III ve V B) I, II ve IV C) II, III ve V A) B) C) D) E) D) II, III ve IV E) I, III ve IV. D. B. C. A. E 6. E 7. C 8. A 9. C. D. C. E. D. A. E 6. E

30 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST. f ( ) e foksiou verilior. l( ) ii f() değeri edir? A) B) C) D) E) 6. f p itii değeri şğı " dkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). f foksiou gerçek sılr kümeside tımlı ve olduğu göre f ( ) itii değeri " f () edir? " 7. " itii değeri kçtır? A) B) C) D) E) A) B) C) D) log E)log 8. f p itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) itii değeri şğıdkilerde hgisi. " dir? A) B) C) D) E) Z ]. f ( ) [, ], \ foksiou verilior. " Bu göre f ( ) ifdesii değeri şğıdkilede hgisidir? 9. " " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) Limiti Yoktur. > log c mh itii değeri şğd " kilerde hgisidir?. f: R {} R Z ], < f ( ) [ ], > \ foksiouu oktsıdki iti değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 6 A) B) C) D) E)

31 . " 7 iti değeri kçtır? A) B) C) D) E). f () O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir.. " e itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) Bu göre şğıdkilerde hgisi lıştır? A) f ( ) " C) f ( ) " E) f ( ) " B) f ( ) " D) f ( ) ".. f() O O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre I. f ( ) " IV. f ( ) " II. f ( ) V. f ( ) " " III. f ( ) VI. f ( ) " " İfdeleride hgileri doğrudur? A) I, II ve III B) I, III ve IV C) II, III ve IV Şekildeki f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre I. f ( ) III. " f ( ) " II. f ( ) " f ( ) IV. f ( ) " Yukrıd verilelerde kç tesi doğrudur? A) B) C) D) E) D) II, III ve VI E) II, III ve V. D. D. E. E. B 6. A 7. D 8. B 9. A. E. B. D. E. D. B 7

32 Tekrr Zmı Test Çözümü. f ( ) ^ h " " f ( ) ^ h " " f ( ) ^ h tür. Burd " " f ( ) f ( ) f ( ) buluur. " " " Cevp: D. > c m H c m " buluur. Cevp: D. 9log log C log k log k " " " 6 log log log log log log buluur. > > Cevp: B e. > c m c m H " e e c m c m c m buluur.. c m dır. " Cevp: C Cevp: C. buluur. " " Cevp: A. ; c m E c m ^ h buluur. " Cevp: E. f ( ) f p dir. " " " f ( ) c m 6 dir. " " Dolısıl 7 buluur. Cevp: E. Grfiğe göre f ( ) ve f ( ) dir. " " Dolısıl f ( ) f ( ) buluur. " " Cevp: D 6. ^ h 9 6 buluur. " Cevp: E. " buluur. 7. f ( ) ^ h " " ı. f ( ) ^ h dr " " Cevp: A Burd f ( ) f ( ) buluur. " " Cevp: C. f( ) dir. Dolısıl E seçeeği lıştır. " Cevp: E ^ h 8. " " ^ h^ h buluur. Cevp: A 6. f ( ), f ( ), f ( ) ve f ( ) dir. " " " " Burd I, III ve IV doğrudur. Cevp: E 9. " " " buluur. 8 Cevp: C

33 Tekrr Zmı Test Çözümü. e e " l l ^ h buluur. f (). f () f( ) " f ( ) " f ( ) & & log log & f( ) log dolısıl f ( ) f ( ) log " dir. Cevp: D Cevp: D. kritik okt olduğud içi sğdsold ite bkmlıız., dolısıl " " buluur. " Cevp: E 9. " " buluur. _. f ( ) b " " ` f ( ) b " " olduğud f( ) buluur. " Cevp: A Cevp: E. kritik okt olduğud sğdsold ite bkmlıız. _ b b " ` eşit olmdığıd b içi f() i iti oktur. " b Cevp: E. " buluur. Cevp: B. > log f ph " f p log log log buluur. Cevp: B. e " e buluur. e e Cevp: D 6. f p " ^ h ^ h 8 8 buluur. Cevp: A. f ( ), f ( ), f ( ) " " " f( ) Yoktur, f ( ) ve f ( ) dur. " " " Dolısıl II, III ve V doğrudur. Cevp: E 7. " buluur. Cevp: D. f ( ), f ( ), f ( ), f ( ) ve " " " " f ( ) dir. Dolısıl D seçeeği lıştır. " Cevp: D 8. f ^ h p " ^ h buluur. Cevp: B. f ( ), " " f ( ) f ( ), f ( ) f ( ) dur. " " Dolısıl tesi doğrudur. Cevp: B 9

34 ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Trigoometrik Foksiolrı Limitleri I Kou Özeti R olmk üzere, v si si v " cos cos " t t ^cos h " v cot cot ( si ) " Trigoometrik foksiolrı itleride geelde rd ciside çı ölçüsü kullılır. ± ike si ve cos foksiolrı [, ] rlığıd değişe periodik değerler olcğıd si ve cos itleri hesplmz. " ± " ± ÖRNEK Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) si " b) cos " c) t " d) cot " ÇÖZÜM ) si si " c) t t " ÖRNEK (Limitsiz Durumlr) b) cos cos " d) cot cot " Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) si " ± ÇÖZÜM b) cos " c) t " ) ike si ifdesi [, ] rlığıd periodik değerler lcğı içi si iti hesplmz. " b) ike cos ifdesi [, ] rlığıd periodik değerler lcğı içi cos iti hesplmz. " c) t içi kritik oktdır. t _ " c m b ` it oktur. t " c m b Aşğıdki itleri değerii buluuz.. cos " 6. " si. si ". cot " 8. ( si ) ". cos c m " si 7. cos 8. " ( ) cos > cosecc mh " 9. > cos t " si H. si ". cot " ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) ) ) Limit Yoktur

35 Trigoometrik Foksiolrı Limitleri II ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Kou Özeti (Trigoometrik Foksiolrı Sold ve Sğd Limitleri) Trigoometrik foksiolrı sold ve sğd itleri tespit edilirke grfikleri üzerideki sğd ve sold klşımlrı göz öüe lımlıdır v Trigoometrik bölge işretlerie ( * ) göre bir sı civrıdki değerler tespit edilir. cos si O Öreği, I. Bölgede II. Bölgede sic m ve sic m I. Bölgede II. Bölgede cosc m ve cosc m t ve cot i sğd itleride si cos t ve cot özdeşlikleride cos si fdlılır. Biliorsız grfiklerii de kullbilirsiiz. ÖRNEK Aşğıdki it değerlerii buluuz. cos si cos ) b) " cos " si ÇÖZÜM Pdı sıfır p kritik oktlrd ve değerleri kullılır. ) cos si cos si cos cos " b) cos cos ( ) si " si ÖRNEK (t ve cot i Kritik Noktlrı) ) t ) b) " c m ÇÖZÜM b) ( cot) " si^ h t tc m cos^ h " c m cos ( ) cot cot " si Aı durumu grfik üzeride de gözlemleebiliriz. t ve cot " ^ h " cot t Aşğıdki itleri değerii buluuz.. si " si. si ". cos ". " t cos si. cos " c m si cos 6. f p si cos " ) ) ) ( * ) I. bölgede hepsi, II. bölgede siüs, III. bölgede tjt ve cotjt, IV. bölgede cosiüs pozitiftir. ) ) 6)

36 ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Bileşke Foksiolrı Limiti Kou Özeti Sold ve sğd klşmlr bileşke foksio değerii l kdr kullılılır. DİKKAT EDİNİZ. Öreklerle çıkllım. ÖRNEK (Prçlı Foksio Yorumu) f, g: R R olmk üzere,, <, f ( ) ' ve g ( ) ',, > ÖRNEK (Grfik Yorumu) Şekilde grfiği verile f: R R foksiou içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) ( fof)( ) " b) ( fof)( ) " O ise ( fog)( ) itii değerii buluuz. " ÇÖZÜM Grfiği okurke dikkt ediiz. ÇÖZÜM ( fog)( ) ( g ( )) fg ( ( )) dir. " " G > olduğud fg ( ( )) f( ) f( ) dir. E < olduğud f ( ) 6 6 dır. E ) ( fof)( ) ff (()) ff (( )) f( ) dir. b) " " H ( fof)( ) ff (()) f f( ) k " " " f( ) buluur., >, <. f ( ) * ve g ( ) *,, foksiolrı verilior. Bu göre şğıdki it değerlerii buluuz.. ) ( gof)( ) " d) ( fog)( ) " O b) ( fof)( ) e) ( fog)( ) " " Şekilde grfiği verile f() foksiou içi şğıdki it değerlerii buluuz. ) ( fof)( ) " d) ( fof)( ) " c) ( gog)( ) f) ( gof)( ) " " b) ( fof)( ) " e) ( fof)( ) " c) ( fof)( ) " f) ( fof)( ) " ) ) 6 b) c) 6 d) 6 e) 6 f) ) ) b) c) d) e) f)

37 Geel Limit Alm Kurllrı ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Kou Özeti (Geel Limit Alm Kurllrı) Limit lm kurllrıı özetleecek olursk; R ike f() foksiou içi, v kritik okt değilse ve belirsizlik oluşturmuors f ( ) f ( ) dır. " ÖRNEK Z, < ], fr : " R, f( ) [ ], > \ foksiou içi şğıdki itleri buluuz. ) f ( ) " ÇÖZÜM b) f ( ) " c) f ( ) " v kritik okt ise sold ve sğd ite bkılır. f ( ) f ( ) L & f( ) L dir. " " " f ( ) f ( ) & f ( ) oktur. " " Foksiolrı kritik oktlrı v Prçlı foksiolrd prçlm oktsıdır. v Mutlk değer foksioud mutlk değeri içii sıfır p oktdır. v Kesirli foksiolrı pdsıı sıfır p oktdır. ) civrıd f() olduğud, & f ( ) dır. " " " b) f ( ) dir. " " f ( ) " " O hlde f ( ) dir. " dir. c) civrıd f ( ) olduğud ve " " O hlde f ( ) iti oktur. ". f ( ) foksiou verilior. Bu göre şğıdki itleri eşitii buluuz. ) f ( ) " e) f ( ) ". Gerçek sılr kümeside tımlı Z ], < f ( ) [ ], \ 9 foksiou içi şğıdki isteileleri buluuz. b) f ( ) " f) f ( ) " ) f ( ) " c) f ( ) " g) ( f ( ) f( )) " b) f ( ) " d) f( ) " h) ( fof)( ) " c) f() foksiouu kç oktd iti oktur? ) ) b) Yoktur c) d) e) f) g) h) ) ) Yoktur b) c)

38 ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Limit Deklemleri Kou Özeti Limiti vrlığı göre kurul deklemler çözülür. ÖRNEK ( ) deklemie göre gerçel " sısıı buluuz. ÇÖZÜM ( ) & ( ) ( ) " buluur. ÖRNEK Z ], < R de R e, f ( ) [, ] \ m 7, > ile tıml f foksiouu oktsıd itii olmsı içi m değeri kç olmlıdır? ÇÖZÜM oktsı f foksiou içi kritik oktdır. f ( ) ( ) " " f ( ) ( m 7) m 7 m 7 " " f() foksiouu oktsıd iti olduğu göre sold ve sğd itleri eşit olmlıdır. m f ( ) f ( ) & m 7 " " 7 m m 6 m buluur.. ( ) 6 olduğu göre kçtır? ". f ( ) *, <, foksiou oktsıd iti olduğu göre kçtır?. f() foksiou içi, f ( ) f ( ) olduğu göre f ( ) kçtır? " " ". ( m ) ( ) olduğu göre " " m toplmı kçtır?, <. f ( ) * b, foksiou içi f ( ) " değerlerii buluuz. olduğu göre ve b ) ) ) 6 ) ), b

39 Ugulm Zmı Ugulm. Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) si ",. f ( ) *, >, < g ( ) *, foksiolrı verilior. Bu göre şğıdki it değerlerii buluuz. b) ( si cos ) " ) ( fof)( ) " d) ( fog)( ) " si t c) cos t t " d) " cos si b) ( fog)( ) " e) ( gof)( ) " si e) cos si " c) ( gog)( ) " f) f; E " g ( 6 ) f) cosec " g) si " c m. f() ve g() içi ^fog " h^h itii değeri edir? h) " c m cot si k) cos si " ) ) b) c) d) e) f) g) h) k) ) ) b) 7 c) 9 d) 7 e) 7 f) )

40 . f: R {} R {} birebir örte f ( ) foksi ou verilior. 9. f() Bu gör içi f () itii değeri edir?. rct rc cot toplmıı değeri " " O kçtır? Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre şğıdki it değerlerii buluuz. Z ], 6. fr : " R, f( ) [ ], > \ 9 foksiouu kç oktd iti oktur? ) ( fof)( ) e) ( fof)( ) " " b) ( fof)( ) " f) ( fof)( ) " 7. ( k) olduğu göre k kçtır? " c) ( fof)( ) g) ( fof)( ) " " d) ( fof)( ) h) ( fof)( ) " " 8. ( m) 7 ve ( k) tir. " " Bu göre ( k k m) itii değeri kçtır? " m, <. f ( ) * b, foksiou içi f ( ) olduğu göre " b toplmı kçtır? 6 ) ) 6) 7) 8) 8 9) ) b) c) d) e) f) g) Yoktur h) )

41 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST. sec itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 6. " cos si itii değeri kçtır? cos A) B) C) D) E) t t. itii değeri kçtır? t " si t 8 A) B) C) D) E) 7. cos " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) cos( ). itii değeri kçtır? " log( ) A) B) C) D) log E) 8. rccosf " p itii değeri şğıdkiler de hgisidir? A) B) 6 C) D) E). itii değeri şğıdkilerde h si " gisidir? A) B) C) D) E) 9. " c m t itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). cos( ) " itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). f ( ) * sic m, < cos( ) b, foksiou verilior. " f ( ) olduğu göre b frkıı eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 7

42 . f ( ) ve g ( ) olduğu göre " " " ( fog)( ) ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir?. A) B) C) D) ) f() O Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir., <. f ( ) * foksiouu de iti b, vrs b kçtır? A) B) C) D) E) Bu göre ( fof)( ) ( fof)( ) " " değeri şğıdkilerde hgisidir? A) 6 B) C) D) E) ifdesii 6.. f() foksiou verilior. Bu göre ( fof)( ) itii değeri kçtır? " O f() A) B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 Şekilde f() foksiouu grfiği verilmiştir. Bu göre, <. f ( ) *,, < g ( ) *, foksiolrı verilior. Bu göre ( fog)( ) itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 6 I ( fof)( ) tür. " II ( fof)( ) dir " III ( fof)( ) " dir. IV ( fof)( ) " dir. Öermeleride hgileri doğrudur? A) I ve III B) I ve IV C) I, II ve III D) II, III ve IV E) III ve IV 8. D. C. B. A. E 6. C 7. C 8. D 9. B. E. A. A. B. E. B 6. A

43 Tekrr Zmı Test Çözümü. sec cos cos cos buluur. " " Cevp: D t t t 8. si t t " si 8 8 t buluur. si Cevp: C cos^h cos. buluur. " log ^ h log. f ( ) ise f ( ) f ( ) dir. " " " f ( ) ^cos bh cos b " " f ( ) csi si m " " & b & b b buluur. & & Cevp: E. f ( ) f( ) ve g( ) g( ) " " Burd ^fogh^h f^g ( ) h fg ^ ( ) h f( ) " " > buluur. Cevp: A. si buluur. " Cevp: B Cevp: A. f i de iti vrs f ( ) f ( ) dir. Burd " " f ( ) ( b) b " " b b f ( ) ( ) & buluur. " " Cevp: A. cos ^ h cos ^ h buluur. " Cevp: E. ^fofh^h f^f ( ) h ff ^ ^ hh " " f ( ) 6 9 buluur. Cevp: B 6. cos si cos si buluur. cos cos " Cevp: C. ^fogh^h fg ^ ^ hh f^g ^ hh. " g( ) " ^ h " " Burd f( ) ( ) 6 buluur. Cevp: E cos 7. G cos G & G G cos G G G " " " cos & G G olduğud cos dır. " " Cevp: C. f ( ), f ( ) dir. " " ^fofh^h f^f^ hh f^h > tür. " " ^fofh^h ff ^ ^ hh f^h > Burd " " ^fofh^h ^fofh^h buluur. " " Cevp: B 8. rccosf p rccosf " p 6. ^fofh^h ff ^ ^ hh f^h > tür. " " rccos buluur. t " 9. " " t si cos buluur. Cevp: D ^fofh^h ff ^ ^hh f^h tür. " " ^fofh^h ff ^ ^ hh f^h " " > tür. ^fofh^h ff ^ ^ hh f^ h > dir. " " Dolısıl I ve III doğrudur. Cevp: A Cevp: B 9

44 BELİRSİZ LİMİTLER Belirsizliği I Kou Özeti (Poliomlu Kesirlerde Belirsizliği) Limiti soucu belirsizlik olmz. Limit hesplırke krşılşıl belirsizlikler giderildikte sor souc ulşılır. Belirsizlikler:,,,,, ve dır. ve belirsizlikleri türev kousud değieceğimiz L'Hospitl ile kolc giderilebilir. f ve g poliom foksiolr olmk üzere f ( ) f ( ) belirsizliğii gidermek içi, " g ( ) g ( ) f() ve g() poliomlrı ( ) çrpı ship olduğud çrplrı ırm d poliom bölmesi ( * ) ile elde edile f() ( ) f () ve g() ( ) g () rdımıl f ( ) ( ) f ( ) f ( ) olur. " g ( ) " ( ) g ( ) " g ( ) Belirsizlik devm ettiği sürece ı işlemler tekrrlır. ÖRNEK Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) b) " " ÇÖZÜM ) belirsizliğii çrplrı " ırm ile gidere; ( )( ) ( ) " " ( ) " b) belirsizliğii mutlk değerde " kurtrıp çrplrı ırrk gidere; içi ( ) O hlde ( ) " " " ( ) ( ) buluur. " ( )( ) ( )( ) Aşğıdki it değerlerii buluuz.. " 9. " 9. " 8 6. ". " 7. ". " P() B() ( * ) Poliom bölmesi Q() K() ) 6 ) ) ) P() B() Q() K() dir. 7 ) 6) 6 7)

45 Belirsizliği II BELİRSİZ LİMİTLER Kou Özeti (Köklü Kesirlerde Belirsizliği) Kou Özeti (Üstel İfdeli Kesirlerde Belirsizliği) Köklü kesirleri itleride belirsizliğii gidermek Üstel ifde içere kesirli itlerde belirsizliğii gi içi kesir, köklü kısımı eşleiği ile geişletilir. dermek içi geellikle p ve pd çrplrı rılrk ı çrplr elde edilip sdeleştirilir. ÖRNEK ÖRNEK " itii değerii buluuz. 9 " itii değerii buluuz. ÇÖZÜM ^ h^ h " " ^h^ h ^ h 9 " ^ h^ h " ^h^ h ^ h^ h " ^ h ^ h 6 tür. 9 ÇÖZÜM " 9 belirsizliğii gidermek içi çrplrı ırıp sdeleştirme plım; 9 ( ) ( ) " " " ( ) ( ) ( )( ) " " ( ) ( ) ( ) ( ) buluur. " Aşğıdki it değerlerii buluuz. Aşğıdki it değerlerii buluuz.. ". 9 " t. t t". 9 " 9. ". " ) ) ) ) ) 6 )

46 BELİRSİZ LİMİTLER Trigoometrik Foksiolrd Belirsizliği I Kou Özeti f ( ) olmk üzere, " v v v ÖRNEK ( ( )) ( ) si b f b f b " c f ( ) " si ( c f( )) c ( ( )) ( ) t b f b f b " c f ( ) " t ( c f( )) c si( b f( )) t( b f( )) b " t ( c f( )) " si ( c f( )) c dir. belirsizliklerii türevde değieceğimiz dir. dir. L'Hospitl ile kolc çözülebileceğii uutmıız. Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) si " b) t " si6 t c) " ÇÖZÜM belirsizliğii görmede ilgili işlemleri ugulmıız. 6 7 ( ) ) si 8 si buluur. " f ( ) f() f ( ) b) " t " t f ( ) f() buluur. 6 c) si 7 t 8 6 si6 t c m " " & 6 & 6 7 si t 8 6 buluur. " " Aşğıdki it değerlerii buluuz. t 9. c m si ". si ". t " si t. ". si " 6. t " t si. c m si t ". si " 7. t ". si t " si. t " t 8. si " ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) ) ) 6 )

47 Trigoometrik Foksiolrd Belirsizliği II BELİRSİZ LİMİTLER Kou Özeti belirsizliği ol trigoometrik itlerde kuvvet ve foksio düzelemesi pılrk siüslü ve tjtlı belirsizliği ugulmlrı ile it tespit edilebilir. 6 si si dir. DİKKAT EDİNİZ! ) b) ÖRNEK (Foksio Düzeleme) t ( ) 6 " 9 si ( ) " ÖRNEK (Kuvvetli İfdeler) Aşğıdki it değerlerii buluuz. ) si " b) si " ÇÖZÜM 6 ( ) ) t 7 8 t( ( )) 6 ( ) " " f() ( ) ÇÖZÜM ( siα) si α si α dir ( ) ) si si 7 8 f tür. " " f ( ) f() b) si si c m " " & c si m c m 9 dur. " t f ( ) buluur. f ( ) 67 8 ( )( ) b) 9 si ( ) si ( ) " " f() f ( )( ) f ( ) ( ) 6 dır. si f ( ) si f ( ) " " " Aşğıdki it değerlerii buluuz.. t ( ) ". si ". 8 si ( 6) " 6. si ". ( ) si " si c m 7. " t c m. t " ( ) 6 8. si cos " " 8 8 ) ) ) ) 8 8 ) 6) 7) 7 8) 6

48 BELİRSİZ LİMİTLER Trigoometrik Foksiolrd Belirsizliği III Kou Özeti belirsizliğii görmede ve siüs d tjtı elde etmede trigoometrik foksiolrı belirsizliği ile ilgili işlemleri ugulmıız. ÖRNEK (Prteze Alm Geişletme) Aşğıdki it değerlerii buluuz. si t( si ) ) b) t " si cos c) " t cos " ÇÖZÜM H si c m ) si " t " t c m > tür t( si ) ( ) b) t si si si " " f () si g () t( si ) si 8 si " " 6 ( ) ( ) t 78 6 f si 78 g buluur. f ( ) g( ) " " c) belirsizliğii görmede ilgili işlemleri ugulmıız. E F C si cos si cos " t cos t cos ; < 9 buluur. BELİRSİZLİK YOKTUR. Aşğıdki it değerlerii buluuz. si. t " si t. t 6 6 " si t. t si " si t. ". si( t ) " 6. t( ) " si ( 6) ) ) ) ) ) 6)

49 Trigoometrik Foksiolrd Belirsizliği IV BELİRSİZ LİMİTLER Kou Özeti Trigoometrik özdeşlikler, döüşüm formülleri, toplmfrk ve rımçı çılımlrıl siüs ve tjt içere belirsizlikleri elde edilebilir. Öreklerle çıkllım ÖRNEK Aşğıdki itleri buluuz. ) cos cos b) " " c m ÇÖZÜM Siüs ve tjt olmd belirsizlik formüllerii ugulmıız. ) cos sic m " buluur. si( f ( )) f ( ) f ( ) cos cosc m cos ( si ( )) b) " " si si ^ h ^ h " " f() 678 si ^ h f p c m buluur. " Aşğıdki it değerlerii buluuz. cos. ". si " si. " cos cos 6. " cos cos cos. cos cos " 7. ( cos ) t " cos. cos si " si si 8. cos cos " ) ) ) ) ) 6) 7) 8)

50 Ugulm Zmı Ugulm Aşğıd verile it değerlerii buluuz. 6. " 9. " 6. " 9. " 7. ". " 8. " 6. " 9. " 8. " 6 6. " 7. 9 ". " 6 8. " " 6 ) 8 ) 6 ) 6 7 ) ) 6) 7) 6 7 8) 9) ) 6 ) ) ) ) )

51 6. si c m si ". si " 7. t c m t " si t. " t 8. si " si t si. " si t si si t 9. " si cos 6. ". si ( ) " 7. " cos si si ( ). t " 9 cos 8. cot ". si ( ) " 9. ( t 6 cot ) " 6) 7 7) 8) 9) ) ) 6 ) ) ) 6 ) 6) 7) 8) 9) 7

52 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST 6. " itii değeri kçtır? 9 6. > H itii değeri kçtır? " 6 A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 6. itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 7. ( ) " ( ) itii değeri kçtır? A) B) C) D) E). " 9 itii değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) 9 9 E) 8. " A) B) itii eşiti şğıdkilede hgisidir? C) D) E). f() ve g ( ) olduğu göre ( fog)( ) itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 9. " A) itii değeri kçtır? B) C) D) E) 8. " 8 A) B) itii değeri kçtır? C) D) E) itii değeri şğıdkilerde hgi. " sidir? A) B) C) D) E) 8

53 . > H itii değeri kçtır? " 7 A) B) C) 9 9 D) E) 8. itii değeri kçtır? " 6 A) B) C) D) E) itii değeri şğıdkilerde hgi 9. " sidir? A) B) C) D) E) 6. " 9 A) itii değeri kçtır? B) C) 6 D) E) 8. " A) 6 D) 8 itii değeri kçtır? B) C) E) 7. itii değeri şğıdkilerde 9 " hgisidir? A) B) C) D) E) 6. R içi iti eşiti şğıdkiler de hgisidir? A) B) " C) D) E) 8. " A) itii değeri kçtır? B) C) D) E). E. A. C. D. E 6. E 7. D 8. D 9. A. D. E. D. D. D. B 6. A 7. D 8. C 9

54 Tekrr Zmı ÇÖZÜMLÜ TEST. si itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) 6. t ( ) " itii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). f() 6 cot foksiouu içi iti kçtır? A) B) C) D) E) 6 7. si t " hgisidir? itii değeri şğıdkilerde A) B) C) D) E) itii değeri şğıdkilerde hgisi t. " si dir? 8. si ( ) " itii değeri kçtır? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) ". si t t ; E ifdesii eşiti şğıdki si lerde hgisidir? t si 9. t " A) B) itii değeri kçtır? C) D) E) A) B) C) D) E). si itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) cos cos. itii değeri kçtır? si si " A) B) C) D) E)

55 . 6 si ( ) " hgisidir? itii değeri şğıdkilerde cos6 cos. itii değeri şğıdkilerde " si 8 hgisidir? A) B) C) D) E) 8 A) B) C) D) E). si( ) t ( ) " itii değeri kçtır? si cos si 6. itii değeri şğıdkiler " cos de hgisidir? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) si. itii değeri kçtır? " A) B) C) cos 7. itii değeri kçtır? " A) B) C) D) E) D) E) si si. " hgisidir? itii değeri şğıdkilerde A) B) C) D) 7 E) 6 8. " si( si ) itii değeri şğıdkilerde h gisidir? A) B) C) D) E). E. C. D. E. C 6. B 7. A 8. D 9.C. C. D. E. D. B. C 6. C 7. A 8. B

56 Tekrr Zmı Test Çözümü 6 ^ h^ h. buluur. " " ^ h^ h " Cevp: E 6 ^ h^ h. buluur. " " ^ h^ h " Cevp: A ^ h^ h ^ h^ h. > H " ^ h ^ h^ h ^ h^ h & > ^ h H " ^ h 6 ^ h ^ 8 " buluur. Cevp: E. buluur. " ^fogh^h fg ^ ^ hh c m 6 & ^fogh^h dir. Burd ^fogh^h 6 ^h^h " " ^ h " ^ h & " buluur. 8 ^ h^ h. " 8 " ^ h^ h " & buluur. ^ h ^ h^ h 6. > H " ^ h^ h ^ h & ; E buluur. " ^ h 6 ^ 7. " ^ h " ^ h ^ h & " ^ h buluur. Cevp: C Cevp: D Cevp: E Cevp: E Cevp: D 9 ^ h^ h. " " ^ h ^ h buluur. " Cevp: D ^ h. " " ^ h^ h " ^ h^ h^ h " ^ h^ h ^ h^ h. " " 8 buluur. Cevp: D ^ h^ h & buluur. " ^ h Cevp: D ^h^ h. " 6 " ^ h ^ h^h ^ h ^ h & & " ^ h " ^ h " buluur. ^ h^ h 6. " 9 " ^ h^ h^ h ^ h & " ^ h^ h^ h buluur. Cevp: E ^ h^ h 8. " " ^ h^ h ^ h " ^ h buluur. Cevp: D ^ h 9. " " ^ h^ h " buluur. Cevp: A ^ h. " " ^ h^ h " ^ h buluur. Cevp: D ^ 9 h 7. " ^ 9 h " ^ 9 h^ 9 h ^ & 9 " h 9 buluur. Cevp: A Cevp: D ^ h^ h 8. " " ^ h & ^ h ^ h ^ h " " buluur. " Cevp: C

57 Tekrr Zmı Test Çözümü. si buluur. " Cevp: E. si^ si h ^ h^ h " t ^ h " ^ h t^ h cot 6 & buluur. t t " " " Cevp: C si ^ h ^ h > ^ hh buluur. " ^ h t^ h > Cevp: E t. si " buluur. Cevp: D si. buluur. " Cevp: D. si t t ; E buluur. si " Cevp:E. si si si si > H " ". si si si c m c m buluur. " " " Cevp: C si si si si & > c m H & c m " " " buluur. 6. t buluur. ^ h t [( )] " " Cevp: B cos6 cos si 8 si. " si 8 " si 8 Cevp: B 7. buluur. " si t " si t Cevp: A si & buluur. " si 8 Cevp: C ^ h ^ h^ h 8. " si^ h " si^ h ^ h & ^ h buluur. " si ^ h " Cevp: D si cos si si^cos si h 6. " cos " ^ cos si h^ cos si h buluur. Cevp: C t si 9. t si buluur. " t " t Cevp: C cos cos cos cos cos. " si si " cos si " si 7. cos ^ si h si " " " si si " " buluur. Cevp: A buluur. Cevp: C 8. si ^ si h si^si hsi si " " 6 ^ h ^ h. si ^ h si ^ h si ^ h " " " buluur. Cevp: D si^si h si f p buluur. " si ; Cevp: B

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti...

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel

Detaylı

LİMİT VE SÜREKLİLİK ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

LİMİT VE SÜREKLİLİK ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT LİMİT VE SÜREKLİLİK ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Limit. Kzım : Bir bğımsız değişkei verile bir sı klşmsıı öreklerle çıklr.. Kzım : Bir foksiou bir oktdki iti, sold iti ve sğd iti kvrmlrıı öreklerle

Detaylı

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm LOGARİTMA Üstel Fonksion >0 ve olmk üzere f:r R +, f() = şeklindeki fonksionlr üstel fonksion denir. Üstel fonksionlr birebir ve örtendir. f:r R +, f()=( ) bğıntısının üstel fonksion olup olmdığını inceleiniz.

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı., b olduğun göre, b. b ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir?,,,9 8... b b ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir?.. Bun göre, verilior. ifdesinin değeri kçtır? 8. b b c 8 c d

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı.,, z rdışık pozitif tmsılr ve z olmk üzere; z olduğun göre, kçtır? C). olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir? C) 8 6., b, c Z olmk üzere; b c bc c b olduğun göre,,

Detaylı

LYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur.

LYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur. Mtemtik SAĞDAN VE SOLDAN YAKLAŞMA Yndki tblod bir değişkeninin 4 sısın sğdn ve soldn klşımı ifde edilmiştir. u durumu genellemek gerekirse; değişkeni re el s ı sın, dn kü çük de ğer ler le k l şı or s,

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı 8. sısının pozitif tek tmsı bölenlerinin sısı kçtır? 8. olmk üzere; kesrinin değeri şğıdkilerden hngisi olmz?. (8!) sısının sondn kç bsmğı sıfırdır? 8. ifdesinin sonucu kçtır? (

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?

Detaylı

( ) ( ) ( ) Üslü Sayılar (32) 2. ( ) ( 2 (2) 3. ( ) ( ) 3 4. ( 4 9 ) eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? (0) 0,6 0,4 : 4,9 =?

( ) ( ) ( ) Üslü Sayılar (32) 2. ( ) ( 2 (2) 3. ( ) ( ) 3 4. ( 4 9 ) eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? (0) 0,6 0,4 : 4,9 =? Üslü Sılr. +.4 8 (8) 4. ( ) (. ). ( ) 4 6 ( ) :( ) () + + 5..4. ( ) ( ) () 4. 5 5 ( 4 9 ) 5. 9 + + 9 = + eşitliğini sğln değeri kçtır (0) 6. ( ) ( ) ( ) 0,6 0,4 : 4,9 (-6) 4 8.. c 7. 4.. c ( c ) 8. 6 8

Detaylı

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu Fonksionlr Konu Özeti. Köklü fonksionlrın en geniş tnım kümesi: f( f( n f( g( fonksionun en geniş tnım kümesi, g( koşulunu sğln noktlr kümesidir. f( f( n f( g( tüm reel sılrd tnımlıdır. fonksionu g( in

Detaylı

İNTEGRAL 6 RİEMANN TOPLAMI : ALT TOPLAM,ÜST TOPLAM VE RİEMANN ALT TOPLAM ÜST TOPLAM. [a, b] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI

İNTEGRAL 6 RİEMANN TOPLAMI : ALT TOPLAM,ÜST TOPLAM VE RİEMANN ALT TOPLAM ÜST TOPLAM. [a, b] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI [, ] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI f : [, ] R sürekli ir foksio olsu. Bu [,] kplı rlığı = <

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 1 BÖLÜM 1 KÜMELER VE SAYILAR 1.1 KÜMELER 1.1.1. TEMEL TANIMLAR Kesi ir tımı ypılmmkl erer,sezgisel olrk,kümeye iyi tımlmış iri iride frklı eseler topluluğudur diyeiliriz. Kümeyi meyd getire eselere kümei

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

1. ÜNİTE. Sayılar ve Cebir 9.2 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER

1. ÜNİTE. Sayılar ve Cebir 9.2 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER . ÜNİTE Sılr ve Cebir 9. DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Trihte ilk ölçme tekikleri prmk klılığı, el geişliği, krış, k gibi ort bodki bir isı vücududki prç ve mesfelerde ol çıkılrk oluşturulmuştur. Fkt ticret

Detaylı

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler Ünite ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR f() g() log.. Üstel Fonksion / / / /.. Logritm Fonksionu.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR KAZANIM ve İÇERİK.

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................

Detaylı

a bir reel (gerçel) sayı ve n bir pozitif tam sayı olsun. 1 dir. n a ye üslü ifade

a bir reel (gerçel) sayı ve n bir pozitif tam sayı olsun. 1 dir. n a ye üslü ifade ÜSLÜ İFADELER A. Tı bir reel (gerçel syı ve bir pozitif t syı olsu.... te olck şekilde, te ı çrpıı ol deir. ye üslü ifde Kurl. sıfırd frklı bir reel syı olk üzere,. 0 0 0 ifdesi tısızdır.. ( R... 0 7..

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI ., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8

Detaylı

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( )

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( ) . BÖÜM. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {,,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı DETERMINNTR sırlmlrıı düzelemesie permütsyo deir. Örek: {,, 3} tm syılr kümesii ltı frklı permütsyou vrdır: (,, 3), (,,

Detaylı

7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER 7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Bir V ektör uzyıı bir bşk W ektör uzyı döüştüre foksiyolr şu şekilde gösterilir: : V W Burd kullıl termioloji foksiyolrl yıdır. Öreği, V ektör uzyı foksiyouu

Detaylı

YILLAR ÖSS-YGS ) a 0 ve b 0 olmak üzere; 8) Üslü Denklemler: a -1, a 0, a 1

YILLAR ÖSS-YGS ) a 0 ve b 0 olmak üzere; 8) Üslü Denklemler: a -1, a 0, a 1 YILLAR 00 00 00 00 00 00 008 009 00 0 ÖSS-YGS Böle: i,( 0 ÜSLÜ İFADELER R ve Z olk üzere te ı çrpıı deir. ii, (b 0 b b... te Not:.... dır. te... 0 ve... 0. 0 te 0 te ÜSLÜ ÇOKLUKLARLA İLGİLİ ÖZELLİKLER

Detaylı

BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1

BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1 SD 1 2. BÖLÜM DETERMINANTLAR 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 1. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {1, 2,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı sırlmlrıı düzelemesie

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir. LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.

Detaylı

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır:

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır: 1 Üstel Fonksiyon: >o, 1 ve herhngi bir reel syı olmk üzere f: fonksiyon denir. R fonksiyonun üstel R, f()= 1 2, f()= ve f()= f()= gibi tbnı sbit syı (pozitif ve 1 den frklı) ve üssü 4 değişken oln bu

Detaylı

TG 6 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK

TG 6 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 6 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testleri her hkkı sklıdır. Hgi mçl olurs olsu, testleri tmmıı ve ir kısmıı

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM YILLAR 00 003 004 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - ASAL SAYILAR ve kendisinden bşk pozitif böleni olmyn den büyük tmsyılr sl syı denir Negtif ve ondlıklı syılr sl olmz Asl syılrı veren bir

Detaylı

DERS 3. Matrislerde İşlemler, Ters Matris

DERS 3. Matrislerde İşlemler, Ters Matris DES Mrislerde İşleler, Ters Mris Mrisler Mrislerle ilgili eel ılrııı ıslı e sır ve e süu oluşurk içide diiliş e sıı oluşurduğu lo ir ris deir ir ris geellikle şğıdki gii göserilir ve [ ij ], i ; j risii

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır.

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır. gösterilir. MUTLAK DEĞER Syı doğrusu üzerinde syısının sıfır oln uzklığın in mutlk değeri denir ve ile B O A 0 OA = OB =, 0 =, < 0 olrk tnımlnır. < 0 < y için y = y işleminin eşitini bulunuz. < 0 için

Detaylı

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı,

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı, Rsyonel Syılr. Sınıf Mtemtik Soru Bnksı TEST. Aşğıdki bilgilerden hngisi ynlıştır? A) Rsyonel syılr Q sembolü ile gösterilir. B) Her tm syı bir rsyonel syıdır. şeklinde yzıln bütün syılr rsyoneldir. b

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :, b, R ve 0 olmk üzere denklem denir. b = 0 denklemine, ikini dereeden bir bilinmeyenli Bu denklemde, b, gerçel syılrın

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS Rsonel Sılr YILLAR 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 ÖSS-YGS RASYONEL SAYILAR KESĐR: Z ve 0 olmk üzere şeklindeki ifdelere kesir denir p pd kesirçizgisi KESĐR ÇEŞĐTLERĐ: kesri için i) < ise kesir sit kesirdir

Detaylı

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır.

YILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır. YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS /LYS - - - 0/ 0/ ĐŞLEM ( ) ( ) (+ ) ( ) 7 6 76+ bulunur ve e bğlı bütün tnımlı fonksionlr bir işlem belirtir i göstermek için +,,*, gibi işretler kullnılır

Detaylı

1. x 1 x. Çözüm : (x 1 x. (x 1 x )2 = 3 2 x 2 2x = 1 x + 1 x2 = 9. x x2 = 9 x2 + 1 x2. 2. x + 1 x = 8 ise x 1 x

1. x 1 x. Çözüm : (x 1 x. (x 1 x )2 = 3 2 x 2 2x = 1 x + 1 x2 = 9. x x2 = 9 x2 + 1 x2. 2. x + 1 x = 8 ise x 1 x MC www.mtemtikclub.com, 006 Cebir Notlrı Çrpnlr Ayırm Gökhn DEMĐR, gdemir3@yhoo.com.tr Đki ifdenin çrpımı ypılırken, sonuc çbuk ulşmk için, bzı özel çrpımlrın eşitini klımızd tutr ve bundn yrrlnırız. Bu

Detaylı

DİZİLER... 213. Dizilerde İşlemler... 213. Dizilerin Eşitliği... 214. Monoton Diziler... 215. Alt Dizi... 216. Konu Testleri (1 6)...

DİZİLER... 213. Dizilerde İşlemler... 213. Dizilerin Eşitliği... 214. Monoton Diziler... 215. Alt Dizi... 216. Konu Testleri (1 6)... ÜNİTE GERÇEK TOPLAM SAYI ÇARPIM DİZİLERİ ARİTMETİK SEMBOLÜ DİZİ Böüm Dizier GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ GEOMETRİK DİZİ SERİLER DİZİLER..................................................................

Detaylı

2. BELİRLİ İNTEGRALİN TANIMI ve TEMEL ÖZELLİKLERİ

2. BELİRLİ İNTEGRALİN TANIMI ve TEMEL ÖZELLİKLERİ DERS: MATEMATİK II MAT II () ÜNİTE: BELİRLİ İNTEGRALLER KONU:. ARALIKLARIN PARÇALANMASI. BELİRLİ İNTEGRALİN TANIMI ve TEMEL ÖZELLİKLERİ GEREKLİ ÖN BİLGİLER. semolü ve temel toplm ormülleri. Limiti temel

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =?

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =? Lisns Yerleştirme Sınvı (Ls ) 6 Hirn Mtemtik Sorulrının Çöümleri 8 sı tnınd verilen ( ) 8 sısının sı tnınd ılışı? Bu durumd ( ) 8 sısı önce tnın çevrilir Sonr tnınd ılır ( ) 8 8 8 8 Bun göre ( ) 8 ( )

Detaylı

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi DERS Determitlr eotief Girdi - Çıktı lizi.. ir Kre Mtrisi Determitı. Determit kvrmıı tümevrıml tımlycğız. mtrisleri determitıı tımlyrk şlylım. Tım. tımlır. mtrisiidetermitı olrk Örek. mtrisii determitı

Detaylı

1982 ÖSS =3p olduğuna göre p kaçtır? A) 79 B) 119 C) 237 E) A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 160

1982 ÖSS =3p olduğuna göre p kaçtır? A) 79 B) 119 C) 237 E) A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 160 8 ÖSS. Bir çiftlikte 800 koun 00 inek ve 600 mnd vrdır. Bu hvnlrın tümü bir dire grfikle gösterilirse ineklerle ilgili dilimin merkez çısı kç derece olur? A) 60 B) 0 C) 0 D) 0 E) 60 6. 0 - =p olduğun göre

Detaylı

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır.

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır. LYS- MTEMTİK MTEMTİK TESTİ. u testte Mtemtik lnın it toplm 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için yrıln kısmın işretleyiniz.. = 5! +! olduğun göre,! syısının türünden eşiti şğıdkilerden

Detaylı

MERAKLISINA MATEMATİK

MERAKLISINA MATEMATİK TRİGONOMETRİ : Siüs i b c R si si y si z İsptı : m(ëo).m(ëa) m(ëo).m(ëb) m(ëo).m(ëc) m(ëo) m(ëo) y m(ëo) z b c b c & si & si y & si y R R R R R R si si y b si z c & & & R R R & R.si & b R.siy & c R.siz

Detaylı

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları İNTEGRAL İÇ KAPAK B kitın ütün ın hklrı sklıdır. Tüm hklrı, zrlr ve METİN YAYINLARI n ittir. Kısmen de ols lıntı pılmz. Metin, içim ve sorlr, ımln şirketin izni olmksızın, elektronik, meknik, fotokopi

Detaylı

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER Belirli bir kurl göre düzenli bir şekilde tekrr eden şekil vey syı dizisine örüntü denir. ÖRNEK: Aşğıdki syı dizilerinin kurlını bulunuz. 9, 16, 23, 30, 37 5, 10, 15, 20 bir syı

Detaylı

Çözüm Kitapçığı Deneme-1

Çözüm Kitapçığı Deneme-1 KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ 5-7 KASIM 6 Çözüm Kitpçğ Deeme- Bu testleri her hkk skldr. Hgi mçl olurs olsu, testleri tmm vey bir ksm Merkezimizi

Detaylı

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - LYS - - - - - - - - FONKSĐYONLAR A ve B oşn frklı iki küme olsun A dn B ye tnımlı f fonksiyonu f : A B ile gösterilir A y tnım kümesi, B ye

Detaylı

Cebir Notları. Diziler Mustafa YAĞCI,

Cebir Notları. Diziler Mustafa YAĞCI, www.mustfygci.com, 006 Cebir Notlrı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoo.com Diziler Mtemtiği e zevkli ve sürükleyici koulrıd birie geldik. Pek zorlcğımı thmi etmiyorum, çükü yei esil diziler e oldukç merklı. Kurtlr

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek

Detaylı

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü, 005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.

Detaylı

LİMİT ve SÜREKLİLİK LİMİT 12. BÖLÜM. Fonksiyonun Grafiğinden Yararlanarak Limit Bulma ve Sağdan- soldan Limit. Örneğin Şekildeki f(x) fonksiyonun

LİMİT ve SÜREKLİLİK LİMİT 12. BÖLÜM. Fonksiyonun Grafiğinden Yararlanarak Limit Bulma ve Sağdan- soldan Limit. Örneğin Şekildeki f(x) fonksiyonun . BÖLÜM LİMİT ve SÜREKLİLİK LİMİT Acip muhbbet bi konu. Limit bir klşm olıdır. Bir sğdn klşıorsunuz. Bir de soldn. Eğer klştığınız şe(değer) nı ise problem ok. Am sğdn ve soldn klşırken hedef şşmış ve

Detaylı

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ BÖLÜM : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ (Rndom Vribles Giriş: Bölüm de olsılık fonksionu, denein örneklem uzını oluşurn sonuçlrın erimleri ile belirleniordu. Örneğin; iki zr ıldığınd, P gelen 6 olsı sırlı ikilinin

Detaylı

ÖRNEK - 1 ÖRNEK x 3 4x 2 + 6x. 2x 3 4x 2 + 6x ifadesinde her terimdeki ortak çarpan 2x tir. 2x(x 2 2x + 3) ÖRNEK - 3.

ÖRNEK - 1 ÖRNEK x 3 4x 2 + 6x. 2x 3 4x 2 + 6x ifadesinde her terimdeki ortak çarpan 2x tir. 2x(x 2 2x + 3) ÖRNEK - 3. ÇARPANLARA AYIRMA çerisinde bilinmeen bulunn ve bilinmeenlerin her de eri için dim do ru oln eflitliklere özdefllik denir. Örne in; ÖRNEK - Afl dki ifdeleri ortk çrpn prntezlerine lrk çrpnlr r n z. ) +

Detaylı

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır?

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır? RAKAM Syılrı ifde etmek için kullndığımız 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 sembollerine rkm denir. Örnek... :, b ve c birbirlerinden frklı birer rkmdır..b+9.b c en çok kçtır? DOĞAL SAYILAR N={0,,2,3...,n,...} kümesine

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ LYS / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ Deneme -. A) - - + B) - 7 - + C) 5-5 - 5 +. + m ; + me + > H + D) - 5 - + E) 7- - + Sılrın plrı eşit olduğun göre, pdsı en üük oln sı en küçüktür. Bun göre A seçeneğindeki

Detaylı

Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Eşitsizlikler

Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Eşitsizlikler www.mustfygci.com.tr, 4 Cebir Notlrı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoo.com Eşitsizlikler S yılr dersinin sonund bu dersin bşını görmüştük. O zmnlr dın sdece birinci dereceden denklemleri içeren mnsınd Bsit Eşitsizlikler

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

İntegral Uygulamaları

İntegral Uygulamaları İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim

Detaylı

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7 ÖYS. 0,00 0,00 k 0,00 olduğun göre, k kçtır? 6. Bir ust günde çift ykkbı, bir klf ise günde çift ykkbı ypmktdır. İkisi birlikte, 8 çift ykkbıyı kç günde yprlr? 0 C) 0 D) 0 C) D). (0 ) ( 0) işleminin

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran Matematik I Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran Matematik I Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınvı (Öss) / 7 Hzirn 007 Mtemtik I Sorulrı ve Çözümleri.. 7 işleminin sonucu kçtır? A) B) 9 C) D) E) Çözüm. 7..9.. + işleminin sonucu kçtır? 4 8 A) 8 B) 8 C) 8 D) 4 E) 4 Çözüm + 4 8 8 4+

Detaylı

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7.

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7. MC. + + +.. Rsyonel Syılr TEST I sonsuz kesrinin eşiti kçtır? A) B) C) D) E) 4 www.mtemtikclu.com, 006 Ceir Notlrı. 8. Gökhn DEMĐR, gdemir@yhoo.com.tr 0;0 0;0008 = 0; x ise x kçtır? A) 0,0 B) 0,000 C)

Detaylı

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi Kesir.. Trlı lnı gösteren kesri bulunuz. kesrini ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri bulunuz.. Yndki şekilde bir bütün 8 eş prçy bölünmüş ve bu prçlrdn tnesi trnmıştır. Trlı lnı gösteren kesir syısı

Detaylı

ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Fırat Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik - Elektronik Mühendisliği Bölümü

ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Fırat Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik - Elektronik Mühendisliği Bölümü Fırt Üiversitesi Mühedislik Fkültesi Elektrik - Elektroik Mühedisliği Bölümü ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Hzırly: Arş. Gör. Göky BAYRAK ELAZIĞ-008 İletim Htlrıı Elektriksel Ypısı ) Sürekli Durum:Nomil

Detaylı

= + + = ETKİNLİK: ( n ) ( ) ETKİNLİK:

= + + = ETKİNLİK: ( n ) ( ) ETKİNLİK: ERİLER Cebir kurllrı ile ck olu te yıyı toplybiliriz. Bu krşılık mtemtik de ouz yıd yıı toplmı ile de ık ık krşılşmktyız. Öreği; 3 yııı odlık çılımı; 3 3 3 = 0,333... = + + +... gibi bir ouz toplmdır.

Detaylı

7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ

7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ Prof. Dr. Özc Klederli SAYISAL YÖNTEMLER 7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ Syısl itegrsyo vey itegrl lm işlemi, litik olrk ir itegrli lımsıı çok zor vey olksız olduğu durumlrd vey ir işlevi değerlerii sdece

Detaylı

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir.

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir. FONKSİYONLAR Boş kümeden frklı oln A ve B kümeleri verildiğinde, A kümesindeki her elemnı B kümesindeki ir elemn krşı getiren ğıntıy A dn B ye fonksiyon denir. y=f(x) ile gösterilir. Bir diğer ifdeyle

Detaylı

ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI

ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI ÜÇGN ÇI-NR ĞINTILRI ir üçgende üük çı krşısınd üük kenr, küçük çı krşısınd küçük kenr ulunur. 3 Şekildeki verilere göre, en uzun kenr şğıdkilerden hngisidir? 3 3 üçgeninde, kenrlr rsınd > > ğıntısı vrs,

Detaylı

Her hakkı Millî Eğitim Bakanlığı na aittir. Kitabın metin, soru ve şekilleri kısmen de olsa hiçbir surette alınıp yayımlanamaz.

Her hakkı Millî Eğitim Bakanlığı na aittir. Kitabın metin, soru ve şekilleri kısmen de olsa hiçbir surette alınıp yayımlanamaz. MİÎ EĞİTİM BAKANĞ YAYNAR... 4 DERS KİTAPAR DİZİSİ... 68.4.Y..8 Her hkkı Millî Eğitim Bklığı ittir. Kitbı meti, soru ve şekilleri kısme de ols hiçbir surette lııp yyımlm. GENE KRDİNATÖR Yurdgül GÜNEŞ İNCEEME

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) 009 - ÖSS / MT- MTEMTİK TESTİ (Mt ). u testte sırsıl, Mtemtik ( 8) Geometri (9 7) nlitik Geometri (8 0) lnlrın it 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için rıln kısmın işretleiniz..

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır. LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;

Detaylı

b göz önünde tutularak, a,

b göz önünde tutularak, a, 3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi

Detaylı

KARŞI AKIŞLI SU SOĞUTMA KULESİ BOYUTLANIDIRILMASI

KARŞI AKIŞLI SU SOĞUTMA KULESİ BOYUTLANIDIRILMASI KARŞI AKIŞI SU SOĞUTMA KUESİ BOYUTANIDIRIMASI Yrd. Doç. Dr. M. Turh Çob Ege Üiversitesi, Mühedislik Fkultesi Mkie Mühedisliği Bölümü turh.cob@ege.edu.tr Özet Bu yzımızd ters kışlı soğutm kulelerii boyut

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VEKTÖRLER. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. YÖNLÜ

Detaylı

İkinci Dereceden Denklemler

İkinci Dereceden Denklemler İkini Dereeden Denkleler İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :,, R ve olk üzere + + denkleine, ikini dereeden ir ilineyenli denkle denir Bu denkledeki,, gerçel syılrın ktsyılr, e ilineyen

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı

Detaylı

1992 ÖYS. 1. Bir öğrenci, harçlığının 7. liralık otobüs biletinden 20 adet almıştır. Buna göre öğrencinin harçlığı kaç liradır?

1992 ÖYS. 1. Bir öğrenci, harçlığının 7. liralık otobüs biletinden 20 adet almıştır. Buna göre öğrencinin harçlığı kaç liradır? 99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000 6. Bir lstik çekilip uztıldığınd

Detaylı

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0)

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0) BÖLÜM TRİGONOMETRİ.. TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR... BİRİM ÇEMBER Tnım : Merkezi orijin ve yrıçpı birim oln çembere trigonometrik çember vey birim çember denir. Trigonometrik çemberin denklemi + y dir.yni

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1 IAAOJ, Scietific Sciece, 23,(2), 22-25 GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE Adullh AKKURT, Hüseyi YILDIRIM Khrmmrş Sütçü İmm Üirsitesi, Fe-Edeiyt Fkültesi

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. a ise b 2006 b 2005 =? A) 1330 B) 1995 C) 1024 D) 1201 E) 1200

OLİMPİYAT SINAVI. a ise b 2006 b 2005 =? A) 1330 B) 1995 C) 1024 D) 1201 E) 1200 ., b, c, d Z olmk üzere / + /b + /c + /d = ½ ve ( + b + c + d) =.b + c.d + ( + b ).(c +d) + dekliklerii sğly kç (, b, c, d) dörtlüsü vrdır? A) 48 B) 4 C) D) 6 E) 5. Alı 40 birim kre ol bir ABC üçgeii AB,

Detaylı

Trigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız.

Trigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız. Isınm Hreketleri şğıd verilenleri inceleyiniz. Yönlü çı: Trigonometrik irim Çember: Merkezi orjin, yrıçpı br oln çemberdir. O + yön éo Pozitif yönlü (Stin tersi) O yön éo Negtif yönlü (St yönü) O y x Denklemi:

Detaylı

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır?

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır? 988 ÖYS. Toplmlrı 4 oln gerçel iki syıdn üyüğü küçüğüne ölündüğünde ölüm 4, kln dir. Küçük syı kçtır? A) 56 B) 5 C) 48 D) 44 E) 40. 0,5 6 devirli (peryodik) ondlık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir?

Detaylı

8.sınıf matematik üslü sayılar

8.sınıf matematik üslü sayılar .sııf tetik üslü syılr bir tsyı, sy syısı olk üere te ı ÖĞETEN MİNİ ETİNLİ- çrpıı şeklide gösterilir ve ı. kuvveti y d üssü olrk okuur. Üs (kuvvet)....= Tb 0 0 0 0 00 0 0 ) Her syıı. kuvveti kedisie eşittir.

Detaylı

... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere

... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere SERİLER Tım: bir reel syı dizisi olm üzere...... 3 toplmı SERİ deir. gerçel syısı serii geel terimi deir. S 3... toplmı SERİNİN N. KISMİ (PARÇA) TOPLAMI deir. S dizisie SERİNİN N. KISMİ TOPLAMLAR DİZİSİ

Detaylı

1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır?

1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır? 987 ÖSS. Yukrıdki çıkrm işlemine göre, K+L+M toplmı şğıdkilerden hngisine dim eşittir? A) M B) L C) K M K 5. 4 işleminin sonucu kçtır? A) 0 B) C) 5 4 5. Aşğıdki toplm işleminde her hrf sıfırın dışınd fklı

Detaylı

UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1

UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1 UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-. A(,, ) ve B(,, ) noktlrı rsındki uklık kç birimdir? 6. A e e e B e e e AB vektörü ile nı doğrultud ıt öndeki birim vektör şğıdkilerden ( e e e ). A(, b, ) B(,, ) noktlrı ve U

Detaylı

Sayı Kümeleri ve Koordinatlar

Sayı Kümeleri ve Koordinatlar DERS 1 Sı Kümeleri ve Koordintlr 1.1 Kümeler. Mtemtiğin temel kvrmlrındn biri küme kvrmıdır. Okuucunun küme kvrmın bncı olmıp kümelerle ilgili temel işlemleri bildiğini kbul edioruz. Bununl berber kümelerle

Detaylı

a R, n tek ve Örneğin, a, b R + ve m, n Z + olmak üzere; 1. n a b a b dir. 2. n m n m a a n n n 5. m n m 6. 0 a b n a n b dir. Örnek 4.

a R, n tek ve Örneğin, a, b R + ve m, n Z + olmak üzere; 1. n a b a b dir. 2. n m n m a a n n n 5. m n m 6. 0 a b n a n b dir. Örnek 4. Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi. Köklü Syılr.. Köklü Syılrı Tıı Bu bölüde, kök dediğiiz sebollerle gösterile gerçek syılrı köklü syılr olrk tıtck ve bulrı gerçek syılrı rsyoel kuvvetleri olduğuu göstereceğiz.

Detaylı

Mtemtik Öğretmeni: Mhmut BAĞMANCI www.zevklimtemtik.com LOGARİTMA ÇALIŞMA SORULARI.) Aşğıdkı ifdelerde x i veren ifdeyi yzınız x ) x b) 7 x c) 0 7 d) +x.) 7 7 7 ise x... ise x... ise x... ise x....) Aşğıdki

Detaylı

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-364-027-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-364-027-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 0 DENEME SINAVI ISBN 97-0--07- Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem Akdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem Akdemi Yy. Eğt. Dn. Hizm. Tic. Ltd. Şti

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

YÜZDE VE FAĐZ PROBLEMLERĐ

YÜZDE VE FAĐZ PROBLEMLERĐ YILLAR 00 003 00 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS 3 1 1 1 3 YÜZDE VE FAĐZ PROBLEMLERĐ YÜZDE: Bir syının yüzde sı= dır ÖRNEK(1) % i 0 oln syıyı bullım syımız olsun 1 = 0 = 0 ÖRNEK() 800 ün % ini bullım

Detaylı

ANALİZ III DERS NOTLARI. Prof. Dr. Nurettin ERGUN

ANALİZ III DERS NOTLARI. Prof. Dr. Nurettin ERGUN ANALİZ III DERS NOTLARI Prof. Dr. Nuretti ERGUN İ Ç İ N D E K İ L E R Syf No BÖLÜM Foksiyo Dizi ve Serileri... BÖLÜM Fourier Serileri... BÖLÜM 3 Özge Olmy Tümlevler...48 BÖLÜM 4 Dik Poliom Serileri...7

Detaylı