Rastgele Değişkenler ve Olasılık

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Rastgele Değişkenler ve Olasılık"

Transkript

1 Rastgele Değişkenler ve Olasılık Yrd. Doç. Dr. Ümit Deniz Uluşar Doğum Günü Problemi Rastgele seçilen n kişiden en az iki tanesinin doğum günleri aynı olma olasılığı. n 367 ise %100 n 57 ise %99 n 23 ise %50 1

2 Matlab: Doğum Günü Öğrenme Amaçlarınız Kesikli rastsal değişkenin dağılım fonksiyonundan ve sürekli değişkenlerin olasılık dağılım fonksiyonundan olasılıklarını belirleme. Birikimli dağılım fonksiyonunu kullanma. Kesikli ve sürekli rastsal değişkenlerin ortalamasını ve varyansını hesaplama. Çeşitli olasılık dağılım türlerinin varsayımlarını anlama. Bir uygulamada kullanılmak üzere uygun olasılık dağılımını seçmek. Normal dağılımı tablo ve ya yazılım yardımıyla kullanmak. İstatistiği ve merkezi limit teorisini anlamak. 2

3 Olasılık Teorisi ve İstatistik Olasılık teorisi ve istatistik, gerçekleşmesi kesin olmayan (belirsiz) olayların gerçekleşme olasılıklarının tahmin edilmesinde temel oluşturur. Bu sayede olası riskler kötü sonuçlar yaratabilecek riskler göz önünde bulundurularak rasyonel kararlar vermemize imkan sağlar. Olasılık teorisine göre bir mühendislik problemindeki risklerin olasılıklarını olasılık modelleriyle (rastgele değişkenler ve rastgele prosesler) modelleyebiliriz. Mühendislik ve İstatistik Karar vermede mühendisliğin görevi insan, maliyet ve çevre faktörlerini göz önünde bulundurarak verilecek karar için temel oluşturmaktır. Örnek olarak sel baskınını engellemek için yapılacak setin yüksekliği. Setin yüksekliği arttıkça sel baskınını önlemek mümkün olacaktır. Fakat suyun doğası gereği seviyesi beklenen yükseklikten daha fazla olabilir. Mühendislik istatistik en uygun yüksekliği belirlememiz için gerekli olan teoriyi bize öğretir. 3

4 Prairies, Kanada, 2011 Çaycuma,Zonguldak, Türkiye,

5 ABD'nin Oklahoma eyaleti meteorolojik felaketin hedefi oldu. Eyalet merkezini ve çevresini vuran hortumda ölenlerin sayısı 91'e ulaştı. Yaklaşık 800 metre çapında olan hortum saatte 320 kilometre hızla ilerlerken üzerinden geçtiği evleri yerle bir etti. 5

6 Rastgele Deneyler Aynı şekilde tekrarlansa bile farklı sonuçlar veren deneylere rastgele deneyler denir. Burada farklılığı yaratan rastgele bileşendir. Ör: Bir makine için: Titreşim, Sıcaklık, İşleten farklılığı, Kalibrasyon farklılığı, Kesim parçalarının zamanla aşınması, Saf maddedeki farklılıklar. Ör: Ohm Kanunu Voltaj (V) = Akım (I) x Direnç (R) Fiziksel Sistem Model Kontrol Edilen Değişkenler Girdi Fiziksel Sistem Çıktı Gürültü Değişkenleri 6

7 Rastgele Değişkenler Rastgele değişken gerçekleştirilen rastgele deneylerde ölçüm sonuçları değişebilen değişkendir. Genellikle büyük harflerle gösterilirler. Ör: X Deney gerçekleştirildiğinde elde edilen deney sonucu genellikle küçük harfle gösterilir Ör: x=70 mili amper Sürekli (Continuous) rastgele değişkenler bir aralıktaki herhangi bir değeri alabilen değişkenlerdir. Ör: Elektriksel akım, uzunluk, basınç, sıcaklık, zaman, voltaj, ağırlık Kesikli (Discrete) rastgele değişkenler sadece sınırlı sayıda bir reel sayı setinden değerleri alabilir. Ör: Bir yüzeydeki çizik sayısı, Gözlemlenen 1000 parçadan sorunlu parça sayısı, hatasız şekilde transfer edilen bit sayısı Olasılık Rastgele değişkenler bir olayın sonucunu tanımlamak için kullanılırlar. Olasılık bir olayın sonucunun belirli bir değer setinin içine düşme şansını belirten bir sayıdır. Ör: Üretilen bir parçanın uzunluğunun 10.8 ile 11.2 milimetre arasında olma olasılığı %25. Olasılık genellikle rastgele değişkenler kullanılarak gösterilir. P(Xϵ[10.8, 11.2])=0.25 yada P(10.8 X 11.2)=0.25 7

8 Olasılık Gerçekleşme İhtimalinin Artması Olasılık: Bu olayın gerçekleşme ihtimali düşük. Gerçekleşme ihtimali en az gerçekleşmeme ihtimali kadar. Gerçekleşme ihtimali neredeyse kesin. Sonuç Uzayı - Olayların Sonuçları Bir rastgele değişken için bütün olası sonuçların oluşturduğu sete sonuç uzayı denir. Para atışı: S : { Yazı, Tura } Zar atışı: S:{1,2,3,4,5,6} Yeni doğan bir çocuğun cinsiyeti: S:{erkek, kız} 3 defa atılan paranın sonuç uzayı: S:{YYY,YYT,YTY,YTT,TYY,TYT,TTY,TTT} 8

9 Özellikler - Ayrık Setler 1. P(XϵR)=1, R reel sayılar seti 2. 0 P(XϵE) 1 herhangi bir E seti için 3. Eğer E 1, E 2, E n ayrık setlerse, P(Xϵ E 1 E 2.. E k ) = P(Xϵ E 1 ) +. + P(Xϵ E k ) İlk özelliğe göre olasılığın maksimum değerinin 1. İkinci özelliğe göre olasılık hiçbir zaman negatif olamaz. E 1, E 2. E n setlerinin ölçümlerinin oranlarının toplamı eğer setler birbirinden ayrıksa setlerin birleştirilince elde edilecek orana eşittir. Özellikler 3. özelliği kullanarak alttaki durumu yazmak mümkündür. P(X 10) = P(X 0) + P(0<X 5) + P(5<X 10) Bir setin tersinin olasılığını bulmak içinde kullanılabilir. A C bir setin komplementi (tersi) olsun. A ve A C bağımsız olaylar olduğu için A U A C =R, 1=P(XϵR) = P(Xϵ A U A C )=1 ve sonuç olarak P(Xϵ A C )=1-P(Xϵ A) P(A) + P(A C ) = 1 9

10 Ör: P(X 5000) = 0.1, P(5000<X 6000) = 0.3, P(X > 8000) = 0.4 olduğuna göre P(X 6000) değeri nedir? 0.4 P(X > 6000) = 1 - P(X 6000) = = 0.6 Örnek Uzay: S={E1,E2,.,Ek} Örnek Uzay Bütün olası sonuçların listesi Basit Olaylar Tek olayları basit olay olarak kabul ediyoruz Bir şans deneyinden elde edilen olası sonuçların topluluğuna OLAY denir ve yalnızca tek bir sonuçtan oluşan olaya BASİT OLAY denir. 20 Olay Olay bir yada daha çok basit olayın toplamı. Amacımız P(A), A olayın, gerçekleşme ihtimalini belirlemek. 10

11 Ör: Örnek Uzay 3 defa atılan paranın sadece bir defa yazı gelmesi A:{YTT, TYT, TTY} 3 defa atılan paranın en az 1 defa yazı gelmesi A:{YYY,YYT,YTY,YTT,TYY,TYT,TTY} Olasılıkları Atamak P(A) A olayın gözlemlendiği olay sayısının oranı. P(A)= A daki toplam olaylar S deki toplam olaylar Ör: 52 kartlık desteden as çekme olasılığı nedir? 11

12 Bir Olayın Gerçekleşme Olasılığının Belirlenmesi Verilen bir örnek uzayında S={e 1, e 2, e n } altta P(e i ) için belirtilen özelliklerin bulunması gerekir: 0 P(e i ) 1 her i değeri için Σ P(e i ) = 1 Bir olayın olasılığı: Bir olayın gerçekleşme olasılığı P(A) olayı gerçekleştiren basit olayların toplamıdır. Kesişme A ve B olaylarının kesişmesi A ve B olayları gerçekleştiğinde olur. A ve B olaylarının kesişmesi A B şeklinde gösterilir. A ve B nin ortak (joint) olasılığı P(A ve B) yada P( A B) şeklinde gösterilir. 12

13 Birleşim A ve B olaylarının birleşimi A ya da B olayının ya da ikisinin aynı anda oluşması anlamına gelir. En azından bir olayın olması gerekir. A yada B ya da AB şeklinde gösterilir. Ör: 52 kartlık desteden çekilen bir kartın as ya da papaz gelme olasılığı. 2/13 VENN DİYAGRAMI 1 A S 1 A 3 5 C 2 B 4 6 AB AB A 4 6 B B AC = A ve C ayrık setler 13

14 Ör: 6 seçenekli zar atıldığında gelen sonuç. Gelenin en fazla iki olma olasılığı. P(X 2)=2/6 Gelenin çift sayı olma olasılığı. P(X ϵ [2 4 6])=3/6 6 gelme olasılığı. P(X=6)=1/6 Toplama Kuralı Herhangi iki A ve B olayı için P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Ör: 52 lik oyun kartı destesinden çekilen kartın papaz, as, sinek valesi veya maça kızı olma olasılığı nedir? P(O1)=4/52 P(O2) = 4/52 P(O3)=1/52 P(O4) =1/52 P(O1 veya O2 veya O3 veya O4) = P(O1)+P(O2)+P(O3)+P(O4) =4/52+4/52+1/52+1/52=5/26 14

15 Ör: Hastaneye gelen hastaların dağılımı alttaki tabloda gösterilmektedir. A 1 numaralı hastaneyi ziyaret eden hastaları göstersin ve B muayene edilmeden ayrılan hastaları göstersin. A B =? A C =? A U B =? = =6050 Sürekli Olasılık Dağılım Rastgele değişkenler sürekli değişkenler ve kesikli değişkenler olarak iki gruba ayrılabilir. Olasılık dağılım fonksiyonu yada rastgele değişkenin dağılımı, rastgele değişken X in alabileceği değerlerin olasılık değerlerini gösterir. 15

16 Sürekli Olasılık Dağılım Fonksiyonu Genellikle matematiksel bir formülle gösterilir. Bütün Değerleri Gösterir Frekans x, ve frekanslar, f(x) (Değer, Frekans) f(x) olasılık değildir f(x) Özellikler f ( x) dx f ( x) 0, 1 a x b a Değer b x Sürekli Rastsal Değişken Olasılığı Genellikle soru olan konu bir değişkenin belirli bir aralıkta olma olasılığı yada belli bir değerden küçük olma olasılığıdır. Ör: x in c ile d arasında olma olasılığı. P ( c X d) f ( x) dx f(x) X c d d c 16

17 Ör: İnce bakır telden geçen akımın miliamper cinsinden ölçümünü gösteren rastsal değişken X olsun. X in değer aralığı [0, 20 ma] ve olasılık dağılım fonksiyonu f(x)=0.05. Bir akım ölçümünün 10 miliamperden az olma olasılığı nedir? Bir manyetik diskin başlangıcından ilk hataya kadar olan Ör: 3-2 mesafeyi gösteren rastsal değişken X olsun. Geçmişe dönük veriler X in olasılık dağılım fonksiyonu İlk hatanın 1000 mikrometreden daha uzun olduğu disklerin toplam disklere oranı nedir? İlk hatanın1000 ve 2000 mikrometre arasında olduğu disklerin oranı nedir? 17

18 Birikimli Dağılım Fonksiyonu Olasılık dağılımlarını göstermenin bir diğer yöntemi de birikimli dağılım fonksiyonudur. X rastsal değişkeninin olasılık dağılım fonksiyonu Sürekli rastsal değişken X için, tanım F(x)=P(X<x) Bir manyetik diskin başlangıcından ilk hataya kadar olan Ör: 3-3 mesafeyi gösteren rastsal değişken X olsun. Geçmişe dönük veriler X in olasılık dağılım fonksiyonu Bu durumda birikimli dağılım fonksiyonu P(X<1000) 18

19 Ortalama ve Varyans Değeri Olasılık dağılımlarının varyans ve ortalama değeri de bulunmaktadır. Örneklem verisi için ortalama değer Ortalama µ ve beklenen X değeri E(X) değeri Varyans Değeri Örneklemin varyans değeri Olasılık dağılım fonksiyonu için varyans değeri 19

20 Varyans İntegralin özellikleri kullanılarak formülü elde edilir Ör: Bakır telden geçen akım örneği için 20

21 Ör: Manyetik disk örneği için Önemli Sürekli Dağılımlar Düzgün Dağılım Normal Dağılım Lognormal Dağılım Gama Dağılımı Weibull Dağılımı Beta Dağılımı 21

22 Düzgün Dağılım Benzer sonuçların gözlendiği durumlarda kullanılır. Olasılık Dağılım Fonksiyonu f x 1 1 ( ) d c d c f(x) Ortalama & Standard Sapma c d x c d 2 d c 12 Ortalama Medyan Olasılık Dağılım Fonksiyonunun Ortalaması ve Standart Sapması f ( x) 1 d c 22

23 Ör: Düzgün Sürekli Dağılım Siz bir içecek kutulama firmasının üretim müdürüsünüz. 12 litre Doldurması gereken bir makinenin, gerçekte 11.5 ile 12.5 litre arasında dolum yaptığını görüyorsunuz. Bu dolumun dağılımının düzgün dağılım olduğunu farz edersek, 11.8 litreden düşük dolum olma olasılığı nedir? SODA Düzgün Dağılım Çözümü f(x) d c x P(11.5 X 11.8) = (Taban)(Tavan) = ( )(1) =

24 Normal Dağılım Birçok doğada gerçekleşen rastgele olayı tarif eder. Süreksiz Olasılık Dağılımı Tahmini İçin Kullanılır Örnek: Binomial Klasik İstatistiksel Sonuç İçin Temel Normal Dağılım Çan Eğrisi & Simetrik f(x) Ortalama,Medyan, Mod eşit Ortalama Yayılma 1.33 Ortalama Medyan Mod X 24

25 Normal Dağılımın Olasılık Dağılım Fonksiyonu 1 f ( x) e x, x f(x) = Olasılık dağılım fonksiyonu = Standard sapma = ; e = x = Rastgele değişken değeri (- < x < ) = Ortalama Parametrelerin ( & ) Değiştirilmesinin Etkisi 25

26 Matlab Normal Dağılım x=[-2:0.01:8]; % x in deger araligi -2 ile 8 arasinda 0.1 artan seklinde sigma=1; % normal dagilimin standart sapmasi 1 mu=2; % dagilimin ortalama degeri 2 y=1./(sigma.*sqrt(2*pi)).*exp(-((x-mu).^2)./(2.*sigma.^2)); plot(x,y,'k.') hold on YY = normpdf(x,mu,sigma) % Matlab in hazır fonksiyonunu kullanarak plot(x,yy,'g') mu=0; sigma=0.5; y=1./(sigma.*sqrt(2*pi)).*exp(-((x-mu).^2)./(2.*sigma.^2)); plot(x,y,'r') 26

27 1 f ( x) e x 2, x Normal Dağılımın Olasılığı Olasılık Eğrisinin Altındaki Bölge P( c X d) f ( x) dx c d f(x) c d x 27

28 Normal Dağılımda Standart Sapma P( µ - X µ + ) P( µ - 2 X µ + 2 ) P( µ - 3 X µ + 3 ) Standart Normal Dağılım Standart Normal Dağılım, normal dağılımı µ = 0 ve 1 durumudur. Standart Normal Dağılım değişkeni Z ile gösterilir. Eğer X normal rastgele değişkense ve E(X)= µ ve V(X)= 2 ise Z=( X- µ )/ rastsal normal değişkendir ve E(Z)=0 V(Z)=1 dir. Z X Normal Dağılım Standart Normal Dağılım = 1 X = 0 Z 28

29 Örnek Standartlaştırma Z X Normal Dağılım = 10 Standart Normal Dağılım = 1 = X = 0.12 Z Standart Normal Dağılım Tablosu z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0 0,5 0, , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , ,6293 0, , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , ,

30 Olasılığı Elde Etmek Standart Normal Dağılım z 0 0,01 0,02 0 0,5 0, , ,1 0, , , Örnek P(5 X 6.2) σ=10 μ = 5 Gölge Alan? = 10 = X 30

31 Örnek P(5 X 6.2) σ=10 μ = 5 z 0 0,01 0,02 0 0,5 0, , ,1 0, , , Gölge Alan? = 10 = = X = 0.12 Z Örnek P(3.8 X 5) σ=10 μ = 5 = 10 X Z 10 Normal Dağılım Gölge Alan?.12 = = 5 X -.12 = 0 Z 31

32 Örnek P(2.9 X 7.1) σ=10 μ = 5 Normal Dağılım Z Z X X = 10 = X Gölgeli Alan Z Örnek P(X 8) σ=10 μ = 5 Z X Normal Dağılım = 10 = = 5 8 X = 0.30 Z Gölgeli Alan 32

33 Örnek P(7.1 X 8) σ=10 μ = 5 Z Z X X Normal Dağılım = 10 = 1 = X Gölgeli Alan = Z Örnek: Bir işletmede üretilen vidaların çaplarının uzunluğunun ortalaması 10 mm ve standart sapması 2 mm olan normal dağılıma uygun olduğu bilinmektedir. Buna göre rastgele seçilen bir vidanın uzunluğunun 8,9mm den az olmasının olasılığını hesaplayınız. X ~ N ( 10, 4 ) P( X 8,9)? x 8,9 10 P( X 8,9) P P( z 0,55) 2 f(z ) P( z 0,55) 0,5 0,2088 0,2912-0,55 0 z 33

34 Ör: Depolama sürücüsündeki şaftın yarıçaplarının ortalaması inç ve standart sapması inç olan normal dağılıma uygun olduğu bilinmektedir. Şaftın üstündeki spesifikasyonlar inç olarak belirtilmektedir. Üretilen şaftların nekadarlık kısmı spesifikasyonda belirtilen standartları sağlamaktadır? Bilinen Olasılıklar için Z Değerleri Bulunması Z kaçtır P(Z) =.1217?.1217 = 1 Standart Normal Dağılım Tablosu z 0 0,01 0,02 0 0,5000 0,5040 0,5080 = 0? 0,3 1 Z 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,3 0,6179 0, ,6255 0,4 0,6554 0,6591 0,

35 Bilinen Olasılıklar için X Değerleri Bulunması Normal Dağılım = 10 Standart Normal Dağılım = = 5? X = 0.31 Z Bilinen Olasılıklar için X Değerleri Bulunması Normal Dağılım = 10 Standart Normal Dağılım = = 5? X = 0.31 Z X Z * *

36 Vize Konuları Buraya Kadar Log-Normal Dağılım Olasılık teorisinde log-normal dağılım logaritması alındığında normal dağılım gösteren X rastsal değişkeninin dağılımıdır. X in ortalama değeri ve varyansı 36

37 x=[0.001:0.0001:3]; % x in deger araligi mu=0; % dagilimin ortalama degeri 2 figure sigma=0.125; y=1./(x.*sigma.*sqrt(2*pi)).*exp(-((log(x)-mu).^2)./(2.*sigma.^2)); plot(x,y,'k') hold on sigma=0.25; y=1./(x.*sigma.*sqrt(2*pi)).*exp(-((log(x)-mu).^2)./(2.*sigma.^2)); hold on plot(x,y,'r ) sigma=0.5; y=1./(x.*sigma.*sqrt(2*pi)).*exp(-((log(x)-mu).^2)./(2.*sigma.^2)); hold on plot(x,y,'b') sigma=1; y=1./(x.*sigma.*sqrt(2*pi)).*exp(-((log(x)-mu).^2)./(2.*sigma.^2)); hold on plot(x,y,'g') sigma=1.5; y=1./(x.*sigma.*sqrt(2*pi)).*exp(-((log(x)-mu).^2)./(2.*sigma.^2)); hold on plot(x,y,'y') legend('0.125','0.25','0.5','1','1.5') xlabel('x') ylabel('f(x) ) 37

38 Log-Normal Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Ör: Log-Normal Dağılım Yarıiletken lazerin ömrü θ=10 ve ω=1.5 saat olan lognormal dağılım şeklindedir. Ömrünün saati geçme olasılığı nedir. Hangi yaşam süresi lazerlerin %99 tarafından geçilir. saat 38

39 Ortalama değerinin ve standart sapmasını hesaplayınız. X in standart sapması 197,661.5 saat. Gama Dağılımı 39

40 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5/26/2014 Üstel Dağılım Olasılık teorisinde üssel dağılım meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin dağılışıdır. Örnek: Bir bankada veznede yapılan işlemler arasındaki geçen süre, Bir taksi durağına gelen müşteriler arasındaki süre, Bir hastanenin acil servisine gelen hastaların arasındaki geçen süre, Bir kumaşta iki adet dokuma hatası arasındaki uzunluk (metre). Üstel Dağılım Olasılık Dağılım Fonksiyonu x e, x 0 f x) 0 diger durumlarda Birikimli Dağılım Fonksiyonu: = 2.0 F(x) =1e x, x0 λ birim zamanda olayın gerçekleşme sayısı 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 = 0.5 Üstsel Dağılım Lamda 2 Üstsel Dağılım Lamda =0,5 40

41 Üstel Dağılım Üstel dağılımın olasılık : P(X > a) = e a. P(X < a) = 1 e a P(a< X < b) = e a) e b) Hafızasız olma özelliği!!!!!!!!!! 0 veya daha büyük tüm s ve t değerleri için: P(X > s+t X > s) = P(X > t) ispatı Ör: Üstel Dağılım Bir bilgisayar sisteminin saniye cinsinden cevap verme süresi λ = 1/3 parametreli üssel dağılıma uygun şekilde gerçekleşmekte olduğu gözlemlenmiştir. (Ortalama üç saniyede 1 cevap verme söz konusu). Ortalama süreden daha uzun cevap verme olasılığı: P(X > 3) = 1-(1-e -3/3 ) = e -1 = ile 3 saniye arasında olma olasılığı: P(2 <= X <= 3) = F(3) F(2) = saniye geçmiş olduğu halde 1 saniye daha cevap vermeme olasılığı: P(X > 3.5 X > 2.5) = P(X > 1) = e -1/3 =

42 Ör: (Üstel Dağılım): Bir taksi durağına bir saatlik zaman dilimi içerisinde gelen taksilerin geliş sayısı Poisson dağılışına uygun bir şekilde gerçekleşmektedir. Durağa saatte ortalama 24 adet taksinin geldiği bilindiğine göre durağa gelen bir yolcunun en çok 5 dakika beklemesi olasılığı nedir? Saatte ( 60 dakikada ) 24 adet taksi geliyorsa, 1 dakikada 24/60 adet taksi gelir (yani λ=1/2.5). P ( x 5 ) =? f x) x e, x 0 diger durumlarda HESAPLAMA KOLAYLIĞI P( x a) a e x dx e a P( X 5) ,5 e 1 2,5 x dx ,5 e 1 2,5 x dx 1 e 5 2,5 1 e 2 Ör: Büyük bir şirketin bilgisayar ağında bilgisayara girişler (log-on) Poisson dağılışına uygun bir şekilde gerçekleşmektedir. Ortalama saatte 25 giriş gerçekleştiğine göre 6 dakikalık bir aralıkta hiç giriş olmama olasılığı nedir. X ilk giriş için gereken zamanın saat cinsinden gösterimi olsun. Soru P(X>0.1) =? ve λ=25 giriş/saat. 25x ( X 0.1) 25e dx *0.1 e P Bir sonraki girişin gerçekleşmesi ortalama olarak E(X)=1/25=0.04 saat yani 2.4 dakikadır. Aynı şekilde standart sapması da 2.4 dakika olur. 42

43 Üssel Dağılımın Ortalama ve Varyansı Eğer X bir üssel rastsal değişken ve λ paremetresiyse. Ortalama ve Standart Sapma E( X ), 1 1 Kesikli Olasılık Dağılımları 43

44 Kesikli Rastsal Değişkenler Eğer bir rastgele değişken olan X sadece sonlu sayıda değerler alırsa (x 1,x 2. x n ) X kesikli rastsal değişkendir ve kesikli bir dağılımı vardır. Ör: Bir sesli iletişim terminalinin 48 dış hattı vardır. Belirli bir zamanda bu hatların kaç adetinin kullanıldığı gözlemlenmiştir. Rastgele değişken X kaç hattın kullanıldığını belirsin. X in alabileceği değerler 0 ile 48 arasında bir tamsayıdır. Olasılık Dağılımı Kesikli rastgele değişken X in olasılık yoğunluk fonksiyonu X in alabileceği bütün değerlerin gerçekleşme olasılığını gösterir ve alttaki gibi tanımlanır. f x (x) = P(X=x) Eğer {x 1,x 2,.} X in muhtemel değerlerinin kümesi ise, o zaman herhangi bir xϵ {x 1,x 2,.} için olasılık yoğunluk fonksiyonu f x (x) 0 dır. Ör: Para için P(X=tura) = 1/2 44

45 Ör: Ör: Transfer edilen 4 sinyalde hata olma olasılığı Ör: Çubuk üstündeki yükün dağılımı Ör: Zar Rastsal değişken X bir adil zarın yüzündeki sayı olsun bu durumda bütün tam sayılar 1, 2,, 6 gelme şansı eşittir. Bu durumda dağılım kesikli düzğün dağılımdır. Olasılık yoğunluk fonksiyonu (pmf) f(x) f x) 1 k 0, x x, x 1 2,... x diger durumlarda k 45

46 Birikimli Dağılım Fonksiyonu Kesikli rastsal değişkenin birikimli olasılık yoğunluk fonksiyonu Ör: Transfer edilen 4 sinyalde hata olma olasılığı için birikimli dağılım fonksiyonu. Ortalama ve Varyan Değeri X kesikli rastsal değişkeninin olası değerleri {x 1,x 2, x n } olsun. Dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x)=p(x=x) olsun. Olasılık dağılımının ortalama µ ve beklenen X değeri E(X) değeri Ve varyans değeri 46

47 Ör: Ör: Transfer edilen 4 sinyalde hata olma olasılığı Bernoulli Olayı Bir deneyde iki olası sonuç varsa bu Binom dağılımının altyapısını oluşturur ve bu tür deneylere Bernoulli denemesi denir. Genellikle burada her denemenin birbirinden bağımsız olduğu varsayılır. Ayrıca her denemede başarılı olma olasılığı sabit olduğu varsayılır. Ör: 4 şıklı bir test sorusunun cevabını atarak doğru tahmin etme. Cevabı doğru bilme olasılığı 1/4 olacaktır. 47

48 Binom Dağılım Sadece iki sonuç (0,1 veya başarı, başarısızlık) alabilen deneyin, n farklı denemede x kere başarılı olma olasılığını verir. Denemeler bağımsızdır. Her denemede sadece iki olası sonuç bulunur, başarılı ve başarısız. Burada p başarılı olma olasılığını göstermektedir. Olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x): f ( x) n! p x!( n x)! x (1 p) ( nx) Ör: Binom Dağılımı Bir makine 1% bozuk parça üretmektedir. X=üretilen 25 parçadan 1 tanesinin bozuk olma olasılığıysa X nedir. Örnek alınan bir havanın 10% olasılıkla özel bir molekül içerme olasılığı vardır. X = analizi yapılan 18 hava örneğinde ilgili molekülün görülme olasılığı nedir. Hastanede gerçekleşecek olan 20 doğumda X=kız çocuk sayısını gösteren rastsal değişken olsun. X in 5 olma olasılığı nedir. 48

49 Binom Dağılımı Ör: 20 defa atılan paranın n defa (yatay eksen) tura gelme olasılığı (düşey eksen) 0,2 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,

50 Binom Dağılımının Ortalama Değeri ve Varyansı Eğer X bir binomial rastsal değişken ve n ve p paremetreleriyse. Ortalama E( X ) np Varyans 2 V( X ) np(1 p) Matlab prob = binocdf(3,25,0.2); prob2 = sum(binopdf(0:3,25,0.2)); 50

51 Poisson Dağılımı Kesikli olasılık dağılımı olup bir olayın belli bir sabit zaman birim aralığında meydana gelme sayısının olasığını ifade eder. Ör: Elektronik posta servisi veren bir sisteme gelen elektronik postaların belirli bir zaman aralığında gelişleri rastgelelik taşır. Olayın gerçekleşme sayısı (gelen posta) kesikli bir olasılık dağılımı gösterir ve genellikle Poisson dağılımıyla modellenir. Aralık Olay Poisson Dağılımı Poisson dağılımının, λ > 0 için, olasılık yoğunluk ve birikimli dağılım fonksiyonları: E(X)=V(X)=λ x e f ( x) x! 0, x 0,1,2,..., diger durumda e F( x) x! x 51

52 Örnek: Poisson Dağılımı Bilgisayar tamir elemanının saatteki çağrı sayısının yaklaşık 2 olduğu verilmişse (saatte λ = 2). Önümüzdeki saat içinde elemanın 3 çağrı alma olasılığı: p(3) = e /3! = 0.18 veya, p(3) = F(3) F(2) = = saatlik periyotta 2 veya daha fazla çağrı alma olasılığı: p(2 veya üstü) = 1 p(0) p(1) = 1 F(1) = ,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,

53 Ör: Matlab λ = 2 ve x = 0 için p = poisspdf(0,2) p = Ör: Kalite kontrol departmanı harddiskler üstünde rasgele testler uygulamaktadır. Politikalarına göre üretim bandını harddiskte 4 bozuk kısımdan daha fazla bozuk kısım gözlemlerlerse kapatmaları gerekmektedir. Ortalamada 2 bozuk kısım gözlemlediklerine göre üretim bandını kapatma olasılıkları nedir? olasilik= 1-poisscdf(4,2) olasilik = Yaklaşık olarak 5% gözlemde normal üretim bandı 4 den fazla hatalı harddisk üretmektedir. Ör: Matlab Ortalama hata sayısı (λ) 4 e çıkarsa bir harddiskte 5 den az hata bulma olasılığımız nedir? olasilik= poisscdf(4,4) olasilik =

54 Birden Çok Rastsal Değişken ve Bağımsızlık Birleşik Olasılık Dağılımı Genellikle, X ve Y rastsal iki değişken, bu iki değişkenin birlikte gerçekleştirdikleri davranışın olasılık dağılım fonksiyonuna birleşik olasılık dağılımı denir. Ör: X: {Antalya da derece cinsinden hava sıcaklığı}, Y:{ Antalya da cm cinsinden yağış miktarı}. Biz : P(X<25 ve 1<Y<10) 54

55 Birleşik Olasılık Dağılım Fonksiyonu İki rastsal değişkenin birleşik olasılık dağılım fonksiyonu Birleşik olasılık dağılım fonksiyonunun altında kalan alan 1dir. Ör: Altta yatay eksen çapı düşey eksen kalınlığı göstersin. Serpilme Diyagramı Birleşik Olasılık Dağılım Fonksiyonu Kalınlık Çap Olasılığın Değeri Birleşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonu iki olayın aynı anda gerçekleşme olasılığını gösterir ve P(X=x, Y=y) şeklinde belirtilir. X ve Y rastsal değişkeninin birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonu alttaki özellikleri sağlar 55

56 Matlab %İkili standart normal dağılımı gösteren grafiği oluşturmak için ilk olarak bir grid yaratırız [x,y] = meshgrid(-3:.1:3,-3:.1:3); % Gridde bulunan her değer için olasılık değerini alttaki formülle hesaplarız. z = (1/(2*pi))*exp(-0.5*(x.^2+y.^2)); % sonucu ekrana yüzey olarak gösteririz. surf(x,y,z) 56

57 Bağımsızlık Eğer iki ve daha çok değişken birbirinden bağımsız rastsal değişkense: P(X 1 =x 1, X 2 =x 2,.. X n =x n )= P(X 1 =x 1 ) P(X 2 =x 2 ).. P(X n =x n ) Ör: Z standart normal değişken olsun P(-3.2 < Z < 3.2)P(-2.5 < Z < 2.5)P(-1.25 < Z < 1.25) değeri nedir? ( )( )( ) = Seri Sistemler Birden çok bağımsız parçadan oluşan sistemlerde eğer sistemin çalışıyor olması için bir yolla belirtilen güzergah üstündeki her parçanın çalışıyor olması gerekiyorsa bu sistemler seri sistemlerdir. Ör: Alttaki örnekte C1 parçasının çalışır durumda olma olasılığı 0.9 C2 parçasının çalışıyor durumda olma olasılığı 0.95 ise sistemin çalışıyor olma olasılığı nedir? 57

58 Örnek: Bir kişisel bilgisayar bir ekran, bir sabit disk ve bir kasadan oluşuyor. E1 =satın alınan ekranın arızasız olma olasılığı E2=satın alınan sabit diskin arızasız olma olasılığı E3=satın alınan kasanın arızasız olma olasılığı Olsun. Bu üç olay birbirinden bağımsızsa ve P(E1)=0.99, P(E2)=0.90 ve P(E3)=0.95 ise bilgisayarın sorunsuz olma olasılığı nedir. Paralel Sistemler Birden çok bağımsız parçadan oluşan sistemlerde eğer sistemin çalışıyor olması için bir yolla belirtilen güzergah üstündeki herhangi parçanın çalışıyor olması yeterliyse bu sistemler paralel sistemlerdir. Ör: Alttaki örnekte C1 parçasının çalışır durumda olma olasılığı 0.9 C2 parçasının çalışıyor durumda olma olasılığı 0.95 ise sistemin çalışıyor olma olasılığı nedir? Burada sistemin çalışmaması için iki parçanın da aynı anda çalışmaması gerekmektedir. Bir parçanın çalışmama olasılığı 1-çalışma olasılığıdır. Bu durumda sistemin çalışma olasılığı P(C1 veya C2) = 1 - P(C1, C2 ) = 1- P(C1 )P(C2 ) = 1 - (0.1)(0.05) =

59 Ör: Sistem altta belirtilen şekilde modellendiğine göre sistemin çalışma olasılığı nedir? Çözüm: Sistemi iki kısımda çözebiliriz. İlk bloğun olasılığı 1- (0.1)(0.2)(0.1) =0.998 İkinci bloğun olasılığı 1- (0.1)(0.05)=0.995 Bütün sistemin güvenilirliği (çalışma olasılığı) (0.998)(0.995)(0.99) = Rastgele Değişkenlerin Fonksiyonları Çoğu zaman bir rastsal değişken başka rastsal değişkenlerin bir fonksiyonu olarak tanımlanabilir. Y= X + c Burada X bir rastgele değişken be c sabit bir değer olsun. Yeni tanımlanan Y rastsal değişkeninin beklenen değeri ve varyansı E(Y)= E(X) + c = µ+c V(Y) = V(X) + 0 = σ 2 59

60 Rastgele Değişkenlerin Fonksiyonları Eğer bir sabit değer eklemek yerine bir sabitle çarparsak Y=cX Bu durumda yeni tanımlanan Y rastsal değişkeninin beklenen değeri ve varyansı olur. E(Y)= E(cX) = cµ V(Y) = V(cX) = c 2 σ 2 Rastgele Değişkenlerin Lineer Fonksiyonları Eğer X 1, X 2,.. X n rastgele değişkenlerse, E(X i )= µ i ve V(X i ) = σ 2 i ise ve rastgele değişken Y Y c X c X... c X n n ise E Y) c c... dir. V ( Eğer X 1, X 2,.. X n ve bağımsız normal rastgele değişkenlerse Y de bağımsız normal rastgele değişken olur. c n ( Y) c1 1 c c n n n 60

61 Ör: X 1 ve X 2 nin üretilen bir çerçevenin enini ve boyunu belirttiğini varsayalım. E(X 1 )= 2 cm ve X 1 in standart sapması 0.1 cm, E(X 2 )= 5 cm ve X 2 nin standart sapması 0.2 cm. X 1 ve X 2 bağımsız ve normal dağılıma uygun değişkenlerse üretilen parçanın çevre uzunluğunun 14,5 cm yi geçme olasılığını belirleyin. X 1 Y=2X 1 +2X 2 -> E(Y)=14 cm X 2 X 2 V(Y)=2 2 (0.1) (0.2) 2 =0.2 ve σ=0.447 X 1 P(Y>14,5)=P(Z>1.12)=0.13 Ör: U Şeklinde Parça Bir U şeklinde parça üç farklı borudan yapılmaktadır. Borulara A,B,C dersek, A nın uzunluk ortalaması 10 mm standart sapması 0.1 mm, B ve C nin ortalama uzunluğu 2mm ve standart sapması 0.05 mm dir. Bütün parçaların dağılımının bağımsız ve normal dağılıma uygun olduğunu varsayarsak. A) Aradaki D boşluğunun ortalama değerini ve standart sapmasını belirleyin. B) Bu boşluğun 5.9mm den küçük olma olasılığını hesaplayın. B D A C Y=1X 1 +(-1) X 2 +(-1) X 3 -> E(Y)=6 mm V(Y)=1 2 (0.1) 2 +(-1) 2 (0.05) 2 +(-1) 2 (0.05) 2 =0.015 ve σ= P(Y<5,9)=P(Z< )=

62 Ör: 1. Galvanizleme işlemi sırasında yüzey bitirme işlemi hatası ortalaması 40 saat olan üssel dağılıma uygun şekilde gerçekleşmektedir. Bir fabrika 3 adet birbirinden bağımsız galvanizleme hattı bulundurmaktadır. 40 saatlik çalışma süresinde hiçbir hattın yüzey bitirme işlemi hatası yaşamama olasılığı nedir? İşleme başladıktan 20 ve 40 saatleri arasında bütün bu üç hattın hepsinin de iki yüzey bitirme işlemi hatası yaşama olasılığı nedir? Rastgele Örnekler, İstatistik ve Merkezi Limit Teoremi 62

63 Rastgele Örnekler, İstatistik ve Merkezi Limit Teoremi Rastgele Örneklem : Aynı anakütleden elde edilen x 1, x 2, x 3,... x n rastsal değişkenlerin oluşturduğu kümedir. İstatistik : bu örneklemin bir fonksiyonudur. Ör: Ortalama Eğer ana kütlenin ortalaması µ ise, örneklemin ortalamasının da µ olması beklenir. (Rastsal değişkenlerin lineer fonksiyonu) Bir istatistiğin olasılık dağılım fonksiyonu örneklemin dağılımıdır. Ör: Normal dağılıma sahip bir ana kütleden n tane örnek alıp bir örneklem oluşturduk. Bu örneklemin ortalaması x ve varyansı V( ) olsun. ve x X1 X1... X n 1 X V ( X ) 2 n 2 n 63

64 Ör: Kutu içecek doldurma makinesinin ortalama doldurma miktarı 12.1 cl ve standart sapması 0.05 cl ise10 kutudan oluşan bir rastgele örneklemin ortalama doluluk miktarının 12 cl den az olma ihtimali nedir E( X ) 12.1 V ( X ) Sonuçta P( X 12) P( Z 6.32) 0 2 Merkezi Limit Teorisi X rastsal değişkenlerin ortalaması, varyansı 2 olsun. Bu kitleden örneklem büyüklüğü n olan örneklemler çekilsin. n arttıkça, bu örneklemlerin ortalamalarının dağılımı, ortalaması, varyansı 2 /n olan bir normal dağılıma yakınsar. Başka bir gösterim ile lim f ( X ) ~ N( ; n 2 n dir (Genelde, n30 olması nın dağılımının normal kabul edilmesi için yeterlidir). ) 64

65 Örneklem Dağılımı İçin Z Değeri (x μ) Z σ n burada: µ= kitle ortalaması x = örneklem ortalaması σ= kitlenin standart sapması n = örneklem büyüklüğüdür. Örnek Bilgisayar gereçleri üreten bir şirkette üretim oranları iki yıl takip edilmiştir. Bu üretimde artış yüzdesinin ortalaması %12,2 ve standart sapması %3,6 olan normal dağılıma uyduğu görülmektedir. Bu kitleden yerine iade edilerek 9 gözlemlik örneklem seçilmiştir. Örneklem ortalamasının %10 dan düşük olma olasılığı kaçtır? µ=12,2 σ=3.6 n=9 P X 10 12,2 X 10) P P Z1,83) x P(Z<0)-P(-1,83<Z<0)= 3,6 9 0,0336 0,50-0,4664=0,

66 Frekans 5/26/2014 Örneklem No 1. Zar 2. Zar 3. Zar 4. Zar 5. Zar 6. Zar 7. Zar 8. Zar Topla 2 Topla 4 Topla 6 Toplam ,75 3, , ,5 3, , ,5 4 4, , ,5 4,5 5 5, ,25 3, , ,5 4, ,5 Aralıklar 0 Aralık Birikimli Frekans 0,5 0, STD 1, , , , Ortalama 3, , , , ,5 1, ,5 2, ,5 3, ,5 4, ,5 5, Diğer Histogram 8 Li 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 8 Li 2 Li Koşullu Olasılık Ve Bağımsızlık Bir satış yerinin deposunda 25 elektrik ampulü var. Bu ampuller altta belirtilen iki farklı üreticiden gelmiş durumda ve bazıları kusurlu. Kusursuz Kusurlu Toplam Üretici Üretici Total P(E) =?, P(F)=?, P(E ve F) =? Kontrol amacıyla rastlantısal olarak bir ampul seçilmekte ve buna göre E=seçilen ampulün üretici 1 den olma olasılığı F=seçilen ampulün kusurlu olma olasılığı Olsun. Kontrol sonucunda kusurlu olduğu saptanan bir ampulün üretici 1 den gelmiş olma olasılığı nedir? P (E F) =? P (E F) = P(E ve F)/P(F) = 5/7 P(E) = 15/25, P(F)=7/25, P(E ve F) = 5/25 66

67 Koşullu Olasılık Gelen yeni bilgileri kullanarak olasılık tahminlerini güncellemenin temellerini oluşturdukları için koşullu olasılıklar mühendislik uygulamalarında özel olarak önem verilmesi gereken konulardır. B olayı gerçekleştiğinde A olayının olma olasılığı P( A B) P( A B), P( B) 0 PB ( ) Ör: 52 kartlık desteden çekilen bir kartın yüz kartlarından bir olduğu bilindiğine göre vale olma olası kaçtır. Bağımsızlık İki olay E ve F bağımsız demek P(E F) = P(E) E ve F olayları birbirinden bağımsızsa P(E ve F) = P(E) P(F) 67

68 Çarpma Kuralı P( A B) P( A B), P( B) 0 PB ( ) veya 135 Bayes Kuralı Bir önceki slayttaki iki kuralı birleştirirsek P( B P( A B) P( B) A) P( A) 68

69 Örnek: Tıbbi Uygulama Bir doktor beyin zarı iltihabının %50 ihtimalle boyun tutulmasına neden olduğunu biliyor. Bunun yanında yapılan çalışmalar sonucunda elde edilen verilere göre beyin zarı iltihabının olma olasılığı 1/ ve boyun tutulmasının görülme olasılığı 1/20. Gelen bir hastada boyun tutulması gözlemlendiğine göre hastada beyin zarı iltihabının olma olasılığı nedir? P(b z) = 0.5, P(b) = 1/20 ve P(z)=1/ ise P(z b) =? (0.5x1/50.000)/(1/20)=1/5000 Örnek 2: Tıbbi testler bazen yanlış-pozitif yada yanlış-negatif sonuçlar verebilir. Bir testin altta belirtilen şekilde davranıyor: Doğru şekilde Pozitif %94 oranında buluyor. Doğru şekilde Negatif %98 oranında buluyor. Nüfusun %4 ü belirtilen hastalığa yakalanıyor. Test sonucu pozitifken bu hastalığa sahip olma olasılığı nedir. 69

70 Çözüm Alttaki olayları tanımlayalım. H Hastalık var. H c Hastalık yok. PT Pozitif test sonucu. NT Negatif test sonucu. Çözüm Verilen olasılıkları yazarsak: P(H) =.04 P(H C ) =.96 P(PT H) =.94 P(NT H)=.06 P(PT H C ) =.02 P(NT H C ) =.98 Ve hesaplamak istediğimiz olasılık test sonucunun pozitif geldiği bir durumda hasta olma olasılığımız P(H PT) =? 70

71 Bayes in Formülü P(H ve PT) =.0376 ( H P( H vept ) + P PT ) P( PT ) P(H C ve PT) = P(PT) =.0568 Bayes in Kanunu İlk olasılıklar Koşullu Olasılıklar Sonuçta oluşan olasılıklar.0376 P( H PT )

72 FİNAL BURAYA KADAR 72

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin

Detaylı

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Detaylı

Dr. Mehmet AKSARAYLI

Dr. Mehmet AKSARAYLI Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli

Detaylı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı 1 Bernoulli Dağılımı Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli

Detaylı

Simülasyonda İstatiksel Modeller

Simülasyonda İstatiksel Modeller Simülasyonda İstatiksel Modeller Amaç Model-geliştirici dünyaya deterministik değil olasıksal olarak bakar. İstatiksel modeller değişimleri iyi tanımlayabilir. İlgilenilen olayın örneklenmesi ile uygun

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Örnekleme Planlar ve Dağılımları Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım İncelenen olayın ait olduğu anakütlenin bütünüyle dikkate alınması zaman, para, ekipman ve bunun gibi nedenlerden dolayı

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.

Detaylı

WEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

WEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ SÜREKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 WEIBULL DAĞILIMI Weibull dağılımı, pek çok farklı sistemlerin bozulana kadar geçen süreleri ile ilgilenir. Dağılımın

Detaylı

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...

1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... 1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar

Detaylı

İçindekiler. Ön Söz... xiii

İçindekiler. Ön Söz... xiii İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1

Detaylı

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının

Detaylı

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları

Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları KAVRAMLAR Olasılık Kuramı ve Bazı Olasılık Dağılımları Deney: belirli koşullar altında tekrarlanabilen ve her tekrarda farklı sonuçlar elde edilebilen işlemdir. Örneklem uzayı: bir denemenin tüm olası

Detaylı

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2 Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S

Detaylı

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM Eğer X kesikli rassal değişkeninin alabileceği değerler (,,..., ) eşit olasılığa sahip ise, kesikli düzgün dağılım söz konusudur. p(x) =, X=,,..., şeklinde gösterilir. Bir kutuda

Detaylı

Simülasyonda İstatiksel Modeller. Banks, Carson, Nelson & Nicol Discrete-Event System Simulation

Simülasyonda İstatiksel Modeller. Banks, Carson, Nelson & Nicol Discrete-Event System Simulation Simülasyonda İstatiksel Modeller Banks, Carson, Nelson & Nicol Discrete-Event System Simulation Amaç Model-geliştirici dünyaya deterministik değil olasıksal olarak bakar. İstatiksel modeller değişimleri

Detaylı

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI Sayı ekseni üzerindeki tüm noktalarda değer alabilen değişkenler, sürekli değişkenler olarak tanımlanmaktadır. Bu bölümde, sürekli değişkenlere uygun olasılık dağılımları üzerinde

Detaylı

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01

Tablo (2): Atıştırma Sayısı ve Günlük Sınav Sayısı Atıştırma Sınav Sayısı (X) 0 0.07 0.09 0.06 0.01 Ortak Varyans ve İstatistiksel Bağımsızlık Bir rassal değişken çifti istatistiksel olarak bağımsız ise aralarındaki ortak varyansın değeri 0 dır. Ancak ortak varyans değerinin 0 olması, iki rassal değişkenin

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Rastgele değişken kavramı Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler İki boyutlu rastgele değişkenler Beklenen değer Varyans Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 5: Rastgele Değişkenlerin Dağılımları II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Sık Kullanılan Dağılımlar Frekans tablolarına dayalı histogram ve frekans poligonları, verilerin dağılımı hakkında

Detaylı

19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar.

19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar. 9..03 EME 305 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller-II Ders 5 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Normal Dağılım Üstel (Exponential)

Detaylı

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir, 14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk

Detaylı

0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart

Detaylı

Sürekli Rastsal Değişkenler

Sürekli Rastsal Değişkenler Sürekli Rastsal Değişkenler Normal Dağılım: Giriş Normal Dağılım: Tamamen ortalaması ve standart sapması ile tanımlanan bir rastsal değişken, X, için oluşturulan sürekli olasılık dağılımına normal dağılım

Detaylı

Parametrik Olmayan İstatistik. Prof. Dr. Cenk ÖZLER

Parametrik Olmayan İstatistik. Prof. Dr. Cenk ÖZLER Parametrik Olmayan İstatistik Prof. Dr. Cenk ÖZLER Not: Beklenen Frekansı 5 in altında olan gruplar varsa, bu gruplar bir önceki veya bir sonraki grupla birleştirilir. Hipotezler χ 2 Dağılışa Uyum Testi

Detaylı

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran

Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran Matematik Ders Notları Doç. Dr. Murat Donduran Mart 18, 28 2 İçindekiler 1 Tanımlı Integral Uygulamaları 5 1.1 Olasılık.............................. 5 3 4 İÇINDEKILER Bölüm 1 Tanımlı Integral Uygulamaları

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları Koşullu Olasılık

Detaylı

MAT 208 İSTATİSTİK ve OLASILIK II ALIŞTIRMALAR-1

MAT 208 İSTATİSTİK ve OLASILIK II ALIŞTIRMALAR-1 MAT 208 İSTATİSTİK ve OLASILIK II ALIŞTIRMALAR-1 şeklinde tanımlanan dağılımın a) Ortalama ve varyans değerlerini bulunuz b) Moment yaratma fonksiyonunu bularak a-şıkkını tekrar çözünüz. Bir tezgahta üretilen

Detaylı

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Mühendislikte İstatistik Yöntemler Ayrık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin dağılışı ve dağılış fonksiyonu her seferinde

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN Tanımlayıcı İstatistikler Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 Tanımlayıcı İstatistikler Yer Gösteren Ölçüler Yaygınlık Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum Ölçüleri 2 3 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama,

Detaylı

İSTATİSTİĞE GİRİŞ VE OLASILIK

İSTATİSTİĞE GİRİŞ VE OLASILIK 1. 52 iskambil kağıdı ile oynanan bir kağıt oyununda çekilen kart vale ya da kız ise 3$, papaz ya da as ise 5$ kazanılmaktadır. Başka herhangi bir kartın çekilmesi durumunda oyun kaybedilmektedir. Oyunun

Detaylı

İSTATİSTİK DERS NOTLARI

İSTATİSTİK DERS NOTLARI Balıkesir Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü umutokkan@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN Hidrolik Anabilim Dalı Balıkesir Üniversitesi Balıkesir Üniversitesi İnşaat

Detaylı

3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları

3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ÖRNEK: GEOMETRİK DAĞILIM

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ÖRNEK: GEOMETRİK DAĞILIM ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ KESİKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 GEOMETRİK DAĞILIM Bir Bernoulli deneyi ilk olumlu sonuç elde edilmesine kadar tekrarlansın. X: ilk olumlu sonucun

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

Yapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( )

Yapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( ) İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK Rassal bir deneme yapılmakta ve farklı iki olay ile ilgilenilmektedir. A 1, A 2,,A i olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır. B 1, B 2,,B j olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır.

Detaylı

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5 Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan

Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan 1 Ders Planı 1. Karar Problemleri i. Karar problemlerinin bileşenleri ii. Değerler, amaçlar, bağlam iii. Etki diagramları 2. Model Girdilerinde Belirsizlik

Detaylı

Olasılık Kavramı. Recep YURTAL. Mühendislikte İstatistik Metotlar. Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Olasılık Kavramı. Recep YURTAL. Mühendislikte İstatistik Metotlar. Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Olasılık Kavramı Mühendislikte İstatistik Metotlar Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği ölümü OLSILIK KVRMI KÜME KVRMI irlikte ele alınan belirli nesneler topluluğuna küme, Kümede içerilen nesnelere

Detaylı

NORMAL DAĞILIM. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa,

NORMAL DAĞILIM. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa, NORMAL DAĞILIM TEORİK 1., ortalaması, standart sapması olan bir normal dağılıma uyan rassal bir değişkense, bir sabitken nin beklem üreten fonksiyonunu bulun. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına

Detaylı

IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R

IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R Geçen Ders Envanter yonetımı: Gazetecı problemı Rastsal Rakamlar Üret Talebi hesapla Geliri hesapla Toplam maliyeti hesapla Günlük ve aylık

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 GİRİŞ Olasılık Teorisi: Matematiğin belirsizlik taşıyan

Detaylı

Rassal Değişken Üretimi

Rassal Değişken Üretimi Rassal Değişken Üretimi Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI GİRİŞ Yaşadığımız ya da karşılaştığımız olayların sonuçları farlılık göstermektedir. Sonuçları farklılık gösteren bu olaylar, tesadüfü olaylar olarak adlandırılır.

Detaylı

Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür.

Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 1 Olasılık Örnekler 1. Bir çantada 4 beyaz 8 siyah top vardır. Bir siyah top çekilmesi olasılığı nedir? Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 2.

Detaylı

Başarı olasılığı olan bir Bernoulli denemesinin aynı şartlar altında (bağımsız olarak) n kez tekrarlanması ile oluşan deneye binom deneyi denir.

Başarı olasılığı olan bir Bernoulli denemesinin aynı şartlar altında (bağımsız olarak) n kez tekrarlanması ile oluşan deneye binom deneyi denir. 3.5. Bazı Kesikli Dağılımlar 3.5.1. Bernoulli Dağılımı Bir deneyde başarı ve başarısızlık diye nitelendirilen iki sonuçla ilgilenildiğinde bu deneye (iki sonuçlu) Bernoulli deneyi ya da Bernoulli denemesi

Detaylı

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6

Detaylı

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler BÖLÜM 7 TAHMİNLER Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU 1 Tahmin (kestirim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmaktır.

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ...

İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... v GİRİŞ... 1 1. İSTATİSTİK İN TARİHÇESİ... 1 2. İSTATİSTİK NEDİR?... 3 3. SAYISAL BİLGİDEN ANLAM ÇIKARILMASI... 4 4. BELİRSİZLİĞİN ELE ALINMASI... 4 5. ÖRNEKLEME... 5 6. İLİŞKİLERİN

Detaylı

SÜREKSİZ(DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI

SÜREKSİZ(DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI SÜREKSİZ(DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç.Dr. İrfan Yolcubal Kocaeli Üni. Jeoloji Müh. Random Değişken: Nümerik olarak ifade edilen bir deneyin sonuçları Süreksiz(Discrete) Random Değişken: Randomdeğişken

Detaylı

VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME

VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME BETİMLEYİCİ İSTATİSTİK VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME Bir amaç için derlenen verilerin tamamının olduğu, veri kümesindeki birimlerin sayısal değerlerinden faydalanarak açık ve net bir şekilde ilgilenilen özellik

Detaylı

altında ilerde ele alınacaktır.

altında ilerde ele alınacaktır. YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmin Yöntemleri 1 NOKTA TAHMİN YÖNTEMLERİ Şimdiye kadar verilmiş tahmin edicilerin sonlu örneklem ve asimptotik özelliklerini inceledik. Acaba bilinmeyen anakütle parametrelerini

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = BEKLENEN DEĞER Belli bir malzeme taşınan kolilerin ağırlıkları

Detaylı

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir.

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 4.SUNUM Genel olarak test istatistikleri Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 2 Ranj Çeyrek Kayma Çeyrekler Arası Açıklık Standart Sapma Varyans

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLSILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ. Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r

OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ. Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r Yrd. Doç. Dr. Hüseyin Demir OLASILIK VE İSTATİSTİĞE GİRİŞ ISBN 978-605-318-470-6 DOI 10.14527/9786053184706 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına

Detaylı

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

12. Hafta Ders Notları GENEL TEKRAR

12. Hafta Ders Notları GENEL TEKRAR 12. Hafta Ders Notları GENEL TEKRAR A Veri Türleri Anakütle bir bütünü temsil ederken; örneklem, bir bütünün sadece bir kısmını temsil etmektedir. Anakütledeki gözlem sayısı N ile temsil edilirken; örneklemdeki

Detaylı

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37 İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar

Detaylı

Rastlantı Değişkenleri

Rastlantı Değişkenleri Rastlantı Değişkenleri Olasılık Kütle Fonk. Example: A shipment of 8 similar microcomputers to a retail outlet contains 3 that are defective. If a school makes a random purchase of 2 of these computers,

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

OLASILIK OLASILIK. Bireysel belirsizlik ve uzun dönemdeki düzenlilik deneysel bilimlerde de sık sık ortaya çıkar

OLASILIK OLASILIK. Bireysel belirsizlik ve uzun dönemdeki düzenlilik deneysel bilimlerde de sık sık ortaya çıkar OLASILIK OLASILIK İstatistiğin temel araçlarından biri olasılıktır 17. yy daşans oyunları ile başlamıştır Her bir denemenin çıktısı belirsizdir Fakat uzun dönemde çıktı kestirimlenebilir Bireysel belirsizlik

Detaylı

GAZİ ÜNİVERSİTESİ, İ.İ.B.F, İSTATİSTİK VE OLASILIĞA GİRİŞ I, UYGULAMA SORULARI. Prof. Dr. Nezir KÖSE

GAZİ ÜNİVERSİTESİ, İ.İ.B.F, İSTATİSTİK VE OLASILIĞA GİRİŞ I, UYGULAMA SORULARI. Prof. Dr. Nezir KÖSE GAZİ ÜNİVERSİTESİ, İ.İ.B.F, İSTATİSTİK VE OLASILIĞA GİRİŞ I, UYGULAMA SORULARI Prof. Dr. Nezir KÖSE 30.12.2013 S-1) Ankara ilinde satın alınan televizyonların %40 ı A-firması tarafından üretilmektedir.

Detaylı

OLASILIK LASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık

OLASILIK LASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık 1-1 Click To Edit Master Title Style OLASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık Yrd.Doç.Dr Doç.Dr.. Pınar YILDIRIM Okan Üniversitesi Mühendislik ve Mimarlık Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü 1-2 GİRİŞ Olasılık,

Detaylı

BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ

BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ SAKARYA ÜNİVERSİTESİ BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ Hafta 7 Yrd. Doç. Dr. Halil İbrahim CEBECİ Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir. "Uzaktan

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN 1 Tek Örneklem İşaret Testi İşaret Testi parametrik olmayan prosedürler içinde en eski olanıdır. Analiz yapılırken serideki verileri artı ve

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık -II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ İki Ortalama Farkının Güven Aralığı Anakütle Varyansı Biliniyorsa İki ortalama arasındaki farkın dağılımına ilişkin Z değişkeni: Güven aralığı ifadesinde

Detaylı

Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler.

Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Bölüm 2 OLASILIK TEORİSİ Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Rasgele değişken, gelecekteki bir gözlemde alacağı

Detaylı

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME SORU 1: Bir hasar sıklığı dağılımının rassal değişken olan ortalaması (0,8) aralığında tekdüze dağılmaktadır. Hasar sıklığı dağılımının Poisson karma dağılıma uyduğu bilindiğine göre 1 ya da daha fazla

Detaylı

Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Mühendislikte İstatistik Yöntemler .0.0 Mühendislikte İstatistik Yöntemler İstatistik Parametreler Tarih Qma.3.98 4..98 0.3.983 45 7..984 37.3.985 48 0.4.986 67.4.987 5 0.3.988 45.5.989 34.3.990 59.4.99 3 4 34 5 37 6 45 7 45 8 48 9 5 0

Detaylı

Olasılık: Klasik Yaklaşım

Olasılık: Klasik Yaklaşım Olasılık Teorisi Olasılık: Klasik Yaklaşım Olasılık Bir olayın meydana gelme şansına olasılık denir. Örnek Türkiye nin kazanma olasılığı Hava durumu Loto Olayların Olasılığını Belirleme Rastsal (gelişigüzel)

Detaylı

Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler

Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Testler İÇERİK o Giriş ovaryansı Bilinen Bir Normal Dağılım Ortalaması İçin Hipotez Testler P-değerleri: II. Çeşit hata ve Örnekleme Büyüklüğü Seçimi Örnekleme Büyüklüğü

Detaylı

SÜREKLİ( CONTINUOUS) OLASILIK

SÜREKLİ( CONTINUOUS) OLASILIK SÜREKLİ( CONTINUOUS) OLASILIK DAĞILIMLARI Sürekli bir random değişken (a,b) aralığındaki her değeri alabiliyorsa bu değişkene ait olasılık dağılım fonksiyonunun grafiğinde eğri altında kalan alan bize

Detaylı

Şartlı Olasılık. Pr[A A ] Pr A A Pr[A ] Bir olayın (A 1 ) olma olsılığı, başka bir olayın (A 2 ) gerçekleştiğinin bilinmesine bağlıysa;

Şartlı Olasılık. Pr[A A ] Pr A A Pr[A ] Bir olayın (A 1 ) olma olsılığı, başka bir olayın (A 2 ) gerçekleştiğinin bilinmesine bağlıysa; Şartlı Olasılık Bir olayın (A ) olma olsılığı, başka bir olayın (A 2 ) gerçekleştiğinin bilinmesine bağlıysa; Pr[A A 2 Pr A A Pr A A = Pr[A A 2 2 2 Pr[A Pr[A 2 2 A A 2 S Pr[A A 2 A 2 verildiğinde (gerçekleştiğinde)

Detaylı

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma 2 13.1 Normal Dağılımın Standartlaştırılması Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma değerleriyle normal

Detaylı

Bekleme Hattı Teorisi

Bekleme Hattı Teorisi Bekleme Hattı Teorisi Sürekli Parametreli Markov Zincirleri Tanım 1. * +, durum uzayı * +olan sürekli parametreli bir süreç olsun. Aşağıdaki özellik geçerli olduğunda bu sürece sürekli parametreli Markov

Detaylı

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir.

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir. OLASILIK Olasılık belirli bir olayın olabilirliğinin sayısal ölçüsüdür. Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 17 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya

Detaylı

EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9

EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9 EME 3105 1 Girdi Analizi Prosedürü SİSTEM SİMÜLASYONU Modellenecek sistemi (prosesi) dokümante et Veri toplamak için bir plan geliştir Veri topla Verilerin grafiksel ve istatistiksel analizini yap Girdi

Detaylı

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım 2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması

Detaylı

IE 303T Sistem Benzetimi

IE 303T Sistem Benzetimi IE 303T Sistem Benzetimi 1 L E C T U R E 5 : O L A S I L I K T E K R A R 2 Review of the Last Lecture Random Variables Beklenen Değer ve Varyans Moment Kesikli Dağılımlar Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL İSTATİSTİKSEL TAHMİN Örnekten anakütle parametrelerinin tahmin edilmesidir. İki tür tahminleme yöntemi vardır:

Detaylı

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION):

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION): YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmini I 1 ARALIK TAHMİNİ INTERVAL ESTIMATION): Nokta tahmininde ilgilenilen anakütle parametresine ilişkin örneklem bilgisinden hareketle tek bir sayı üretilir. Bir nokta

Detaylı

8. Uygulama. Bazı Sürekli Dağılımlar

8. Uygulama. Bazı Sürekli Dağılımlar 8. Uygulama Bazı Sürekli Dağılımlar : Bir tür böcek 6 gün yaşadıktan sonra iki gün içinde aynı miktarlarda azalıp ölmektedir. X rasgele değişkeni bu türden bir böceğin ömrü olmak üzere, X U (6,8) dır.

Detaylı

Değer Frekans

Değer Frekans Veri Rasgelelik içeren olgulardan elde edilen ölçüm (gözlem) değerlerine istatistiksel veri veya kısaca veri (data) diyelim. Verilerin deneyler sonucu veya doğal şartlarda olguları gözlemekle elde edildiğini

Detaylı

Probability Density Function (PDF, Sürekli fonksiyon)

Probability Density Function (PDF, Sürekli fonksiyon) Varyans Bir serideki her elemanın ortalamadan farklarının karelerinin toplamının, serideki eleman sayısına bölümü ile elde edilir. Standart Sapma Varyansın kareköküdür. Eğer birçok veri ortalamaya yakın

Detaylı

3)Aşağıdaki tabloda gruplandırılmış bir veri kümesi bulunmaktadır. Bu veri kümesinin mutlak ortalamadan sapması aşağıdakilerden hangisidir?

3)Aşağıdaki tabloda gruplandırılmış bir veri kümesi bulunmaktadır. Bu veri kümesinin mutlak ortalamadan sapması aşağıdakilerden hangisidir? İSTATİSTİK SORU VE CEVAPLARI 1)Tabloda 500 kişinin sahip oldukları akıllı telefon markalarını gösteren bilgiler verilmiştir.bu tabloda ki bilgileri yansıtan daire grafiği aşağıdakilerden hangisidir? TELEFON

Detaylı

8.Hafta. Değişkenlik Ölçüleri. Öğr.Gör.Muhsin ÇELİK. Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek,

8.Hafta. Değişkenlik Ölçüleri. Öğr.Gör.Muhsin ÇELİK. Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek, İSTATİSTİK 8.Hafta Değişkenlik Ölçüleri Hedefler Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek, Serilerin birbirlerine değişkenliklerini yorumlayabileceksiniz. 2

Detaylı

Örneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi

Örneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi Örneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi Çıkarımsal İstatistik (Inferential Statistics) : Örneklemden yola çıkarak ana kütleyle (popülasyonla) ilgili çıkarımlarda bulunmak (Smidt, 2001) İstatistiksel

Detaylı

ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları

ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları. 9 + = 6. A dan B ye 5 farklı şekilde gidebilir. B den C ye 3 farklı şekilde gidebilir. 5.3 = 5. 4.5 = 0 7. 5.3.3.5 5 3. kişi için iki durum

Detaylı

Rastgele değişken nedir?

Rastgele değişken nedir? Rastgele değişken nedir? Şİmdiye kadar hep, kümelerden ve bu kümelerin alt kümelerinden (yani olaylar)dan bahsettik Bu kümelerin elemanları sayısal olmak zorunda değildi. Örneğin, yazı tura, kız erkek

Detaylı