2 LAPLACE VE TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ... 6 LİNEER ZAMANLA DEĞİŞMEYEN SİSTEMLER (LİNEAR TİME INVARİANT SYSTEMS (LTI))...

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "2 LAPLACE VE TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ... 6 LİNEER ZAMANLA DEĞİŞMEYEN SİSTEMLER (LİNEAR TİME INVARİANT SYSTEMS (LTI))..."

Transkript

1 İçerik Tablosu KONTROL SİSTEMLERİNİN TEMELLERİ... 2 TEMELLERİ...2 LAPLACE VE TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ... 6 DÖNÜŞÜMÜ...6 LİNEER ZAMANLA DEĞİŞMEYEN SİSTEMLER (LİNEAR TİME INVARİANT SYSTEMS (LTI))... 8 (LTI))...8 SÜREKLİ ZAMAN TEK GİRİŞ TEK ÇIKIŞ SİSTEMLERİ (CONTİNUOUS TİME SİNGLE INPUT SİNGLE OUTPUT SYSTEMS (CT-SISO)) (CT-SISO))...10 AYRIK ZAMAN TEK GİRİŞ TEK ÇIKIŞ SİSTEMİ (DİSCREATE TİME SİNGLE INPUT SİNGLE OUTPUT SYSTEM (DT-SISO)) (DT-SISO))...11 TRANSFER FONKSİYONLARINA GECİKME EKLEME (TRANSFER FUNCTİONS WİTH TİME DELAY) DELAY)...12 KONTROL SİSTEMLERİNDE DURUM EŞİTLİKLERİNİN ANALİZİ ANALİZİ...12 BASAMAK VE DARBE TEPKİLERİ TEPKİLERİ...15 ASİMPTOTİK BODE GRAFİKLERİ GRAFİKLERİ...17 MATLAB LTI OBJELERİ OBJELERİ...19 MIMO VE SISO SİSTEMLERE GİRİŞ SİNYALİ UYGULAMA UYGULAMA...23 FİLTRE DEVRELERİ VE ÖZEL KONTROLÖRLER KONTROLÖRLER...27 YER KÖK EĞRİLERİ EĞRİLERİ...39 ROUTH HOURWİTZ KARARLILIK TESTİ TESTİ...49 NYQUİST KARARLILIK TESTİ VE GRAFİKLERİ GRAFİKLERİ...51 DOĞRUSAL İKİNCİ DERECEDEN DÜZENLEYİCİ KONTROLÖR (LİNEAR QUADRATİC REGULATOR (LQR)) (LQR))...55 DOĞRU AKIM MOTOR KONTROLÜ, MODELLEME VE MATLAB SİMÜLASYONU SİMULİNK ARACILIĞIYLA DOĞRU AKIM MOTOR MODELLEME VE SİMÜLASYON SORULAR SORULAR...77 SORU ÇÖZÜMLERİ ÇÖZÜMLERİ /115

2 Kontrol Sistemlerinin Temelleri Kısaca elde edilmek istenen veriyi yada verileri düzenlemek ve kumanda etmek amacıyla bir araya gelmiş elemanlar topluluğuna kontrol sistemi (plant) denilir. Kontrol sistemleri günümüzde yaygın olarak birçok alanda kullanılmaktadır. İlgili olduğumuz kontrol sistemi elektriksel, mekanik, biyolojik, vb. olabilir. Sıcaklık kontrolü, geçiş kontrolü, arabada bulunan birçok sistem (şekil3`e bakınız), ve otomatik pilot kontrolü bunlara örnek verilebilir. Günümüzde elektriksel kontrol sistemlerinin merkezinde bulunan kontrolörler mikroişlemci, mikrodenetleyici, ve PLC`lerden oluşmaktadır. Girişler Çıkışlar Sistem Kontrolör Şekil1 Donanımsal olarak kontrol sisteminde bulunan elemanlar: 1. Kontrolör: mikroişlemci, mikrodenetleyici, yada PLC 2. Sensörler: takometre, ısıl çift, ışık duyarlılıklı direnç (LDR), fiber optik sensör, vb. 3. Analog devre elemanları: amplifikatör, osilatör, potansiyometre, seramik rezonatör, 4. Görüntü modülü: LCD, yedi parçalı ekran, bilgisayar 5. Çıkış elemanları: akuatör, DC motor, vb. Kontrolör'ün elemanları: 1. Analog dijital dönüştürücü: X bit ADC 2. Zamanlayıcı: gerçek zaman saati (RTC), Y bit zamanlayıcı, bekçi köpeği zamanlayıcısı, 3. Giriş çıkış portları: Genel amaçlı giriş çıkış pinleri 4. Seri ve paralel ve kablosuz iletişim modülleri: seri iletişim modülleri UART, SPI, I 2C, CAN, LIN, USB, Capture Compare PWM, JTAG, RS232, ethernet, vb.; kablosuz RF IEEE802.11a,b,g, ve n 5. Hafıza modülü: Flash, SRAM, DRAM, DMA Kontrol sistemleri giriş çıkış sinyalleri türlerine göre açık ve kapalı çevrim kontrol sistemleri olarak ikiye ayrılır. Açık çevrim kontrol sistemlerinde giriş işareti çıkıştan bağımsızdır. Buna trafik sinyalizasyon sistemi (eğer trafik yoğunluğunu dikkate almıyorsa) örnek verilebilir. Kapalı çevrim 2/115

3 kontrol sistemlerinde ise giriş işareti, bir referans işaretin çıkış işaretiyle toplamından yada farkından oluşmaktadır (fark hatayı e(t) göstermektedir) ve bu sistemler geri beslemeli sistemler olarak adlandırılır (şekil2). Alternatif akım motor hız kontrolü buna örnek verilebilir. Şekil4'e bakıldığında, motorun hızı, triak iletim açısı kontrol edilerek P1 üzerinden ayarlanmaktadır. Bu devrede R2 P1 ve C3 üzerinden bir geri besleme mevcut olup, motor yüke bindiği zaman zıt elektromotor kuvvet (EMK Lenz Yasası) azalıp gerilim düşeceğinden R2, P1, ve C3 üzerindeki gerilim artıp triak iletim açısı artırılmaktadır ve bu nedenle motor hızı arttırılmaktadır. r (t ) R(s) + ± e (t ) E ( s) K G(s) V ( s) K G ( s ) = R( s) 1 K G ( s) H ( s) H(s) Şekil2 Şekil3 3/115 v (t) V (s)

4 Şekil4 En basit anlamda eğer iki olay birbirini etkiliyorsa, geri besleme mevcuttur ve bir süreç içerisinde olaylar birbirlerini neden-sonuç ilişkisi içerisinde etkilemesine geri besleme denir. Isıtma sistemi, osilatör, ve biyolojik döngüler geri beslemeye örnek verilebilir. Geri besleme negatif veya pozitif formdadır. Negatif besleme kendini dengeleyen (örneğin negatif direnç devresi OPAMP), pozitif beslemeyse kendini arttıran bir etkiye sahiptir. Bundan dolayı geribeslemeli sistemlerin kararlılığı ayrı bir öneme sahiptir (Nyquist kararlılık testi, ileride bu konu işlenecekdir [2]). Şekil5 deki tristörlü doğru akım motoru, negatif beslemeye bir örnek olarak verilmiştir. Kontrol mühendisleri hedeflenen kontrol sistemini ilk olarak matematiksel olarak ortaya koyarlar. Matematikte başlangıç yada sınır değerleri bilinen lineer diferansiyel denklemleri çözmede Laplace dönüşümünü kullanırız. Benzer şekilde, diferansiyel denklemlerle ortaya konan kontrol sistemlerinin çözümlenmesinde Laplace dönüşümü kullanılmaktadır. Kompleks zaman domeni işlemleri, Laplace domeninde (s=g+jw) kolaylıkla yapılabilir. Kontrol sistemlerinin modellenmesinde Laplace dönüşümü aracılığıyla transfer fonksiyonu ve buna ek olarak durum denklemleri en yaygın yöntemlerdir. Transfer fonksiyonu yöntemi sadece doğrusal sistemler için kullanılmaktadır (zamanla değişen yada değişmeyen), yani LTI sistemler için de geçerlidir. PID (partial integrator and derivative) kontrolör ve DC motorun modellenmesi buna örnek olarak verilebilir. (bu konular ileride işlenecekdir) Kontrol sistemlerinde, sistem cevabı göz önünde bulundurulduğunda, (tanımlamaları değişmekle beraber) bazı sınırlamalar mevcuttur; 1. Sıfır yada minimum kalıcı hal hatası (zero or minimum steady-state response) 2. Gecikme zamanı Td sistem cevabınnın ulaşacağı son değerin yarısına ulaşması gereken zaman olarak tanımlanır. 3. En büyük aşım (overshoot): Birim basamak tepkisine ait çıkışın en yüksek değerinin en son değerinden çıkarıldıktan sonra elde edilir, yada en son çıkış değerine göre yüzde olarak belirtilir Mp. 4/115

5 4. Maksimum yükselme zamanı Tr (Maximum rise time): Birim basamak tepkisine ait çıkışın son değerinin %10 dan %90 a ulaşana kadar geçen süre. 5. Maksimum yerleşme zamanı Ts (Maximum settling time): Birim basamak tepkisine ait çıkışın izin verilen tolerans aralığına ulaşması için geçen süredir. 6. Kazanç ve faz marjinleri (Gain and phase margins): Sistem kazancının 0dB olduğu nokta kazanç geçiş frekansı (gain crossover frequency) ve fazın -180 olduğu nokta faz geçiş frekansı (phase crossover frequency) olarak adlandırılmaktadır. Kazanç marjini, faz geçiş frekansında sistemi kararsız olması için ne kadar kazanç değişikliği gerekli olduğunu göstermektedir. (yada kapalı çevrim sistemin kararlılığını bozmadan, açık çevrim sistemin kazancının ne kadar arttırılabileceğini göstermektedir) Benzer şekilde faz marjini, kazanç geçiş frekansında sistemin kararsız olması için ne kadar faz değişikliği gerekli olduğunu göstermektedir. (yada kapalı çevrim sistemin kararlılığını bozmadan, açık çevrim sistemin fazının ne kadar arttırılabileceğini göstermektedir) Tüm bu işlemler için bode grafikleri kullanılmaktadır. Konuyu daha iyi anlayabilmek için Matlab komut satırında margin_gui komutu yazarak kapalı çevrim bir sisteme ait kazanç ve faz marjinleri analizi yapılabilir. Bode grafikleri kısmında bu konu daha detaylı incelenecekdir. Bu sınırlamalar birim basamak tepkisine ait, geçiş durumu (transient) ve kalıcı durum (steady-state) süreçlerine bakarak elde edilir çünkü sisteme ait basamak cevabı kolaylıkla elde edilir. Zaten bir sistemin birim basamak girişine olan cevabı biliniyorsa, diğer giriş sinyallerine olan cevabı kolaylıkla bulunabilmektedir. Dizayn esnasında tüm bu yukarıda bahsi geçen limitasyonlar dikkate alınır. Buna ek olarak kontrol sistemlerinin kararlı olması gereklidir ve bunun için Routh-Hurwitz yada Nyquist testini uygularız (ileride bu konu işlenecekdir [2]). 5/115

6 Şekil5 Laplace ve Ters Laplace Dönüşümü Laplace ve ters Laplace dönüşümü aşağıdaki şekilde yapılabilir. Daha fazla örneğe bu linkden [6] erişebilirsiniz. syms t s laplace(dirac(t - 3), t, s) laplace(heaviside(t - pi), t, s) ilaplace(1/s,s,t) >> laplace ans = exp(-3*s) ans = exp(-pi*s)/s ans = 1 pretty(laplace(function,t,s)) komutu sonucun MATLAB Commmand Window'da aşağıdaki formatta 6/115

7 gösterilmesini sağlar. syms t s a w f=dirac(t-3)+heaviside(t-pi)+a*cos(w*t) F=laplace(f) pretty(f) f= dirac(t - 3) + heaviside(t - pi) + a*cos(t*w) F= exp(-3*s) + exp(-pi*s)/s + (a*s)/(s^2 + w^2) exp(-pi s) a s exp(-3 s) s 2 2 s +w [r p k] = residue(pay,payda) bir fonksiyonun, kısmi kesirlere ait çarpanlarını, kutuplarını, ve kalanlarını bulunmasını sağlar. Bu fonksiyon için Kalan sıfırdır. pay=[10 4]; payda=[ ]; [r p k]= residue(pay,payda) r= i i p= i i k= 7/115

8 [] G s = 10 s i i = 12 s 40 s 50 s i s i 2 Diferansiyel ve integral formdaki bir fonkiyonun Laplace dönüşümü aşağıdaki şekilde bulunmaktadır. L f t =s F s f 0 L f t =s 2 F s s f 0 f 0 L f t =s 3 F s s 2 f 0 s f 0 f 0 L f t dt = F s s Lineer Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant Systems (LTI)) Bir sistemin LTI olabilmesi için lineerlik ve zamanla değişmeme özelliklerine sahip olması gereklidir. Lineerlik ve zamanla değişmeme özelliği aşağıdaki gibidir. a1 x 1 t a1 y1 t a2 x 2 t a2 y 2 t a1 x 1 t a2 x 2 t a1 y 1 t a2 y 2 t ; lineerlik x 1 t T y 1 t T ; zamanla değişmeme LTI sistemleri zaman ve frekans domeninde olmak üzere iki şekilde gösterebiliriz. Aşağıda zaman ve frekans domeni ilişkisi gösterilmektedir. Yukarıdaki işlemler her iki taraftaki ifadelerin Laplace transformu alınarak, frekans domenindede yapılabilir. h(t) sistemin darbe tepkisidir, H(s) sistemin transfer fonksiyonudur. 8/115

9 x 1 t * h t = y 1 t y a d a X 1 s H s =Y 1 s. * k o n v o lu syo n g ö s t e r m e k t e d ir. Örnek olarak orantısal operatör (P), türev operatörü (D), integral operatörü (I), ve RLC devresinin oluşturduğu lineer homojen diferansiyel denklem birer LTI sistemdir (soru3). Sıfır olmayan başlangıç değerleri ve DC offset bir sistemin doğrusallığını bozar ve doğrusal olmayan sistem olarak adlandırılır. Bundan dolayı ilgilendiğimiz sistemlerde başlangıç değerlerini yada DC offseti sıfır kabul ederiz. İleride göreceğimiz transfer fonksiyonu yöntemini sadece doğrusal sistemlere uygulayabilir, fakat durum eşitlikleri yöntemini başlangıç koşulları yada DC offset verildiğinde dahi uygulayabiliriz. Daha iyi kavrayabilmek açısından aşağıdaki örneklere bakalım. V out =V in V dc V dc =1V, V in1 =5V ve V in2 =3V için V out1 =V in1 1=5 1=6 3 V out1 3 V in V out1 =5 1=6 V out2=3 1=4 V out1, 2=5 3 1=9 V out1 V out2 =6 4=10 DC offset ' den dolayı Zamanla değişme ve doğrusallık özelliğini daha iyi anlayabilmek için aşağıdaki anahtarlama devresini örnek verebiliriz (RF mikser, teorik eşdeğeri şematik devresi aşağıda verilmişdir). Anahtar girişi Vin1(t) fonksiyonu tarafından sürülmektedir ve giriş sinyali Vin2(t) sinyalidir. Anahtarı süren sinyalin değeri sıfırdan büyük ise Vout(t)=Vin2(t) olur, aksi takdirde sıfırdır. V out t =V in2 t s t ; V in1 t =A 1 cos w1 t, V in2 t = A 2 cos w2 t, s t =u V in1 t Eğer ilgilendiğimiz giriş sinyali Vin1(t) yada s(t)=u(vin1(t)) ise sistem doğrusal değildir çünkü Vin1(t) genliği yada s(t)'nin genliğini değiştirmek sistem çıkışında hiçbir değişiklik yapmamakatdır ve bundan dolayı lineerlik şartının ölçekleme özelliğini taşımamaktadır. Bu sistem ayrıca zamanla değişmektedir çünkü Vin1(t) pozitif iken Vout(t)=Vin2(t), fakat Vin1(t) pozitif iken Vout(t)=0 dır yani Vout(tτ) Vin2(t-τ). (Basitçe Out(t)=t*in(t) gibi bir sistem zamanla değişmektedir.) Yani Vin1(t) yada s(t) referans alındığında sistem doğrusal değildir ve zamanla değişmektedir. Diğer tarafdan Vin2(t) dikkate alındığında, Vin2(t)'de genlik değişimi aynı şekilde çıkışa Vout(t) görülmektedir ve Vin2(t) ait iki sinyalin toplamı gene aynı şekilde çıkışda Vout(t)'da görülmektedir bundan dolayı ölçekleme ve süperpozisyon koşullarının tümünü sağlamaktadır ve sistem sistem doğrusaldır. Fakat sistem Vin2(t) dikkate alındığında da zamanla Vin1(t) etkisinden dolayı zamanla değişmektedir. Sonuç olarak aşağıdaki transfer fonksiyonu yazılabilir. Aynı durumu Vin1(t) için söylemek mümkün değildir çünkü doğrusal olmadığından dolayı transfer fonksiyonunu yazılamaz. v out t V out s =s t =S s v in2 t V in2 s Sonuç olarak transfer fonksiyonunu doğrusal sistemler için kullanmaktayız, zamanla değişip değişmemesi önemli değildir. Durum eşitlikleri yöntemi doğrusal yada doğrusal olmayan sistemlerin tümüne uygulanabilmektedir. 9/115

10 10/115

11 Sürekli ve ayrık zaman LTI sistemleri benzer özelliklere sahiptir. Ayrık zamanlı sistemler için gösterim () yerine [] şeklinde yapılmaktadır. Sürekli Zaman Tek Giriş Tek Çıkış Sistemleri (Continuous Time Single Input Single Output Systems (CT-SISO)) Matlab Polinom Formu; G s = N s s Laplacedeğişkeni, N s ve D s pay ve payda polinomu D s 11/115

12 s G=tf pay, payda sisteme ait transfer fonksiyonu s 2 s 1 s G s = 2 için G=tf [1 0],[1 21] ; yada s=tf ' s ' ; G=s s ^ 2 2 * s 1 ; s 2 s 1 Sıfır, Kutup, ve Kazanç Formu; G s = 2 s z 1 s z 2 s z n G s =k s Laplace değişkeni,k reel yada sanal değerli kazanç s p1 s p 2 s pn z 1 z n G s transfer fonksiyonuna ait reel yada sanal konjuge çifti olan sıfırlar, N s kökleri p1 pn G s transfer fonksiyonuna ait reel yada sanal konjuge çifti olan kutuplar, D s kökleri G=zpk sıfır, kutup, kazanç sisteme ait transfer fonksiyonu sıfır kutupkazanç formunda G s = s için G=zpk [0 ],[ 1 1],[1] ; yada s=zpk ' s ' ; G=s / s 1 2 ; 2 s 1 Ayrık Zaman Tek Giriş Tek Çıkış Sistemi (Discreate Time Single Input Single Output System (DT-SISO)) Matlab Polinom Formu; G z = N z z ayrık zaman değişkeni, N z ve D z pay ve payda polinomu D z G z = z G=tf pay, payda, örnekleme periyodu sisteme ait transfer fonksiyonu z 2 z 6 G z = z için G=tf [1 0 ],[1 2 6], 0.1 ; yada z=tf ' z ',0.1 ; G=z / z ^ 2 2 z 6 ; z 2 z Sıfır, Kutup, ve Kazanç Formu örneği; z G z = için G=zpk [0 ],[ 2 3],[1], 0.1 ; yada z=zpk ' z ', 0.1 ; G=z / z 2 z 6 ; z 2 z 3 Bunlara benzer şekilde ayrık zaman MIMO (Multiple Input Multiple Output) sistemlere ait transfer fonksiyonları oluşturulabilir. Detaylı bilgi için Matlab Help kısmına bakabilirisiniz. Biz sürekli zaman kontrol sistemleriyle ilgileneceğiz. 12/115

13 Transfer Fonksiyonlarına Gecikme Ekleme (Transfer Functions with Time Delay) Matlab'da bir transfer fonksiyonunu herbir giriş çıkış kanalı üzerinde gecikme belirleyerek gösterebilirsiniz. SISO sisteme ait saniye cinsinden gecikme: tf yada zpk objelerine ait iodelay özelliği değiştirilir. G=tf [1 1],[1 5 3] ; G.ioDelay=2 ; MIMO sisteme ait saniye cinsinden gecikme: tf yada zpk objelerine ait iodelay özelliği değiştirilir. s = tf('s'); sys=[2/s (s+1)/(s+10); 10 (s-1)/(s+5)]; tau=[ ; 0 0.2]; sys.iodelay=tau; Sonuç Transfer Fonksiyonu... Birinci giriş için #1: exp(-0.1*s) * 2/s #2: 10 İkinci giriş için #1: exp(-0.3*s) * (s+1)/(s+10) #2: exp(-0.2*s) * (s-1)/(s+5) Kontrol Sistemlerinde Durum Eşitliklerinin Analizi Herbir kontrol sistemi transfer fonksiyonu yada durum eşitlikleri şeklinde gösterilebilir. Tekrar hatırlamak gerekirse transfer fonksiyonu yöntemi sadece lineer sistemler için geçerlidir, LTI sistemler gibi. Durum eşitlikleriyse doğrusal yada doğrusal olmayan sistemlerin tümüne uygulanabilir. Sistem bu duruma indirgendiğinde sistem MATLAB'da ss (state space) objesi aracılığıyla kolaylıkla çözümlenebilir. x durum matrisi, u giriş matrisi ve y çıkış matrisidir. x = A x B u ; y=c x D u ; Aşağıda bu matrislerin büyüklükleri gösterilmiştir. Ayrıca Simulink den aşağıda gösterilen blok seçilerek aynı işlemler yapılabilir. 13/115

14 [ ] [ ][ ] [ ][ ] x 1 x u = x 2 x2 u2 [ ] [ ][ ] y= [2 0 ] x1 u x2 u2 A=[5 1;2 3]; B=[1 0;10 1]; C=[2 0]; D=[0 0]; ss(a,b,c,d) ans = a= x1 x2 x1 5 1 x2 2 3 b= u1 u2 x1 1 0 x c= x1 x2 y1 2 0 d= u1 u2 y1 0 0 Continuous-time model. State-space model with 1 outputs, 2 inputs, and 2 states. ss objesi herhangibir dinamik sisteme ait modeli durum eşitlikleri formuna dönüştürmektedir. Transfer fonksiyonuna ait pay ve paydadan durum eşitliklerine ait bilgiler elde edilebilir, ve bunun terside Matlab da yapılabilir. Aşağıda iki transfer fonksiyonu durum eşitlikleri kullanılarak bulunmuşdur. 14/115

15 A=[5 1;2 3]; B=[1 0;10 1]; C=[2 0]; D=[0 0]; [num1,den1]=ss2tf(a,b,c,d,1) [num2,den2]=ss2tf(a,b,c,d,2) num1 = den1 = num2 = den2 = G1 s = Y s 2 s 14 = U 1 s s 2 8 s 13 G 2 s = Y s 2 = U 2 s s 2 8 s 13 Ayrıca transfer fonksiyonu verilen bir MIMO sistemin state-space modeline ait bilgiler aşağıdaki şekilde elde edilebilir. G1 (s )= Y 1 (s) U (s) [ G2 (s )= Y 2 ( s) İki çıkış bir girişli sistem için verilmiş ise, U ( s) s+1 s +3 s 2+3 s +2 H ( s)= s 2 +3 s 2 +s +1 3 ] H = [tf([1 1],[ ]) ; tf([1 0 3],[1 1 1])]; sys = ss(h) % Noktalı virgül olmadığına dikkat ediniz. size(sys) Çıktı aşağıdaki gibidir. Ara işlemleri görmek için noktalı virgülü kaldırmak gerektiğine dikkat ediniz. a= x1 x1 x2 x3 x x5 0 15/115

16 x2 x3 x4 x b= u x1 x2 x3 x4 x5 c= y1 y2 x1 x2 x3 x x5 0 1 d= u1 y1 0 y2 1 Continuous-time model. State-space model with 2 outputs, 1 inputs, and 5 states. Basamak ve Darbe Tepkileri G(s) transfer fonksiyonuna ait, basamak fonksiyonun tepkisi aşağıdaki şekilde Matlab da bulunur. Step fonksiyonu sisteme birim basamak fonksiyonunu uygulamaktadır. Zaman domeninde konvolüsyon yerine, frekans domeninde bu işlemin yapıldığını ve bulunan sonucun zaman domenine dönüştürülerek fonksiyonun bulunduğunu ve grafiğinin çizildiğini düşünebilirsiniz. Sizde sisteme ait parametrelerin sınırlamaları karşılayıp karşılamadığını bulmak için grafiğin üzerinden herhangibir andaki genlik değerini seçerek bulabilirsiniz. 5 s G s = 2 s 2 s 5 clc 16/115

17 num=[0 0 5]; den=[1 2 5]; step(num,den) grid title('basamak Fonksiyonu Tepkisi') Şekil6 Darbe tepkisi için impulse(g(s)) fonksiyonu kullanılmaktadır. impulse(tf) fonksiyonu darbe tepkisine ait grafiği çizer, parametresi transfer fonksiyonu, yada LTI objesidir. clc num=[0 0 5]; den=[1 2 5]; figure; grid 17/115

18 title('darbe Fonksiyonu Tepkisi') impulse(num,den) Sistemin darbe tepkisi şekil7 deki gibi olur. Şekil7 Asimptotik Bode Grafikleri Bir LTI sisteme ait transfer fonksiyonunun frekansla değişimi (frequency sweep) nasıldır sorusunun cevabını bu grafikler vermektedir. Düşey eksende genlik db cinsinden ve faz açısını derece olarak (yada 0 360) arasında gösteren, ve yatay eksende frekansı temsil eden belirli bir değerden itibaren logaritmik olarak arttırılan iki grafik vardır. Daha yüksek ve düşük genliğin elde edildiği frekans bölgesinin yanında, bu grafiklerde asimptotlar ve genlik yada fazın arttığı yada azaldığı, gücünde iki katı arttığı yada azaldığı kesim yada kırılma frekansı olarak adlandırılan +yada-3 db noktaları önemlidir. 18/115

19 H ( s), s= j w H ( j w) ang( H ( j w)) H ( j w) db=20 log 10 ( H ( j w) ) s=jw için genlik ve faz değişimi elde edildiğinden bode grafiklerinde durağan hal tepkisi elde edilir. (Sönümleme sabiti 0 alınmıştır.) G s = 100 s2 50 s 5 s 2 2 s 5 % yuksek geciren filtre clc num=[ ]; den=[1 2 5]; bode(num,den); Şekil8 19/115

20 Matlab LTI Objeleri MATLAB'da Control System Toolbox LTI objelerini dinamik sistemlerle ilgili verileri saklamak için kullanmaktadır. Bu sistemleri göstermek için kullanılan dört ss, tf, zpk ve frd (frequency response data models, sisteme ait örneklenmiş frekans tepkilerinden oluşmaktadır) objeleri yaklaşık olarak aynı özelliklere sahipdir. Bu LTI objeleri aracılığıyla bir sisteme ait tüm veriler kolaylıkla manipüle edilebilmektedir. Bir LTI model objesine ait özelliği değiştirmek için, bir fonksiyonun parametresi gibi yazılıp virgül koyulduktan sonra değeri atanabilir yada set komutu aracılığıyla istenilen veri değiştirilir. Format aşağıdaki gibidir. 'PropertyName',PropertyValue sys = ss(a,b,c,d,'property1',value1,...,'propertyn',valuen) set(sys,'property1',value1,...,'propertyn',valuen) E x = A x B u ; y=c x D u ; ss objesinin bazı özellikleri aşağıda verilmiştir. a,b,c,d,e: Durum denklemlerine ait matrisler. E (implicit descriptor) default olarak [] dır. Daha önceden belirtildiği gibi A Nx Nx, B Nx Nu, C Ny Nx, D Ny Nu, ve E Nx Nx ölçülerde matrislerdir. sys = ss(a,b,c,d) Örneğin: A matrisine newmaris verisini atamak için; sys.a=newmaris Scaled: Nümerik doğruluğu sağlamak için sistemin ölçeklenip ölçeklenmediğini yazar, 1 yada 0 dır. StateName: Durumların isimleri atanır, string dizisidir. StateUnit: Durumların birimleri atanır, string dizisidir. InternalDelay: Sistemin iç kısımlarına ait gecikmelerin tutulduğu vektördür. Örneğin, sistemleri paralel, seri, yada kapalı döngüde bağlarken gecikme eklenmek istendiğinde kulanılır. InputDelay: Herbir giriş kanalına ait gecikmelerin tutulduğu vektördür (Nx by 1). OutputDelay: Herbir çıkış kanalına ait gecikmelerin tutulduğu vektördür (Ny by 1). Ts: Ayrık zamanlı sisemler için örnekleme periyodu, nümerik bir değerdir. Sürekli zaman için sıfırdır. sys = ss(a,b,c,d,ts) TimeUnit: Zaman değişkeninin birimini göstermektedir, stringdir. 'nanoseconds', 'hours', 'weeks', 'years' vb. InputName: Girişlere isim ataması yapılabilir, stringdir. Örnek kullanım; sys.inputname = 'controls'; InputUnit: Girişlere birim ataması yapılabilir, stringdir. InputGroup: MIMO sistemlerde girişler guruplandırılarak işlemler yapılabilir, struct dır. Örnek kullanım; 20/115

21 sys.inputgroup.controls = [1 2]; sys.inputgroup.noise = [3 5]; 1 ve 2 girişler control olarak, 3 ve 5 girişler noise olarak adlandırılmıştır. sys(:,'controls') sistemin controls girişlerinden tüm çıkışlarına ait alt sistemin çıkarılması. OutputName: Çıkışlara isim ataması yapılabilir, string dir. OutputUnit: Çıkışlara birim ataması yapılabilir, string dir. OutputGroup: MIMO sistemlerde Çıkışlar guruplandırılarak işlemler yapılabilir, struct dır. Örnek kıllanım; sys.outputgroup.temperature=[1]; sys.outputgroup.measurement = [3 5]; sys('measurement',:) tüm girişlerden measurement çıkışlarına ait alt sistem çıkarılması Name: Sisteme isim ataması, string dir. Notes: Sistemle ilgili her türlü notlardır. UserData: Sistemle alakalı Matlab veri yapısıdır. Aşağıdaki pencerde dcm adlı ss objesine ait örnek verilmiştir. Matlab workspaceden objelere ait tüm veri yapılarına değerleriyle ulaşabilirsiniz. Ayrıca dcm(1,1) <1x1 ss> ss üzerine tıkladığınızda ss objesine ait tüm açıklama Matlab Help ekranından görülebilir. Ss objesine ait kullanım şekli aşağıdadır. - sys = ss(a,b,c,d,ltisys) sys objesi, ltisys objesine ait özellikleri miras edinmişdir. (aynı özelliklere sahipdir) - sys_ss = ss(sys) sys adlı dinamik sistem modelini sys_ss durum eşitlikleri modeline dönüştürmektedir. - sys_ss = ss(sys,'minimal') sys adlı dinamik sistem modelini sys_ss durum eşitlikleri modeline minimum durum desğişkeni olacak şekilde dönüştürmektedir. (Aşağıda örnek verilmişdir.) - sys_ss = ss(sys,'explicit') sys adlı dinamik sistem modelini E=I (idendity matris) durumnda iken durum eşitlikleri modeline dönüştürmektedir. (Aşağıda örnek verilmişdir.) y t =G u t H e t gibi bir lineer model u t ölçülmüş measured giriş kanalları, e t gürültü noise kanallarını temsil etmektedir - sys_ss = ss(sys, 'measured') sys adlı lineer modelin ölçülmüş (measured) bileşenlerini durum eşitlikleri haline dönüştürmektedir. sys_ss y(t) ile u(t) arasındaki ilişkiyi temsil etmektedir. - sys_ss = ss(sys, 'noise') sys adlı lineer modelin gürültü (noise) bileşenlerini durum eşitlikleri haline dönüştürmektedir. sys_ss 21/115

22 y(t) ile e(t) arasındaki ilişkiyi temsil etmektedir. - sys_ss = ss(sys, 'augmented') sys adlı lineer modelin ölçülmüş (measured) ve gürültü (noise) bileşenlerini durum eşitlikleri haline dönüştürmektedir. sys_ss y(t) ile u(t) ve e(t) arasındaki ilişkiyi temsil etmektedir. Aşağıda iki sistemin bode grafikleri aracığıyla aynı olduğu gösterilmiştir. ex'= ax+bu ve y=cx+du a = [2-4; 4 2]; b = [-1; 0.5]; c = [-0.5, -2]; d = [-1]; e = [1 0; ]; % Create a descriptor state-space model. sys1 = dss(a,b,c,d,e); % Compute an explicit realization. sys2 = ss(sys1,'explicit') bode(sys1,sys2) >> bode_plot sys2 = a= x1 x2 x1 2-4 x b= u1 x1-1 x2-5 c= x1 x2 y d= u1 y1-1 Continuous-time state-space model. State-space model with 1 outputs, 1 inputs, and 2 states. 22/115

23 Şekil9 G s = Y s =C s I A 1 B D x 0 =0 için X s tf, zpk, frd objeleri için MATLAb help browser'ında tf object, zpk object, frd object yazarak daha detaylı bilgi elde edebilirsiniz. ss objesi herhangibir dinamik sisteme ait modeli durum eşitlikleri formuna dönüştürdüğünü söylemiştik. 'min' parametresi kullanılarak sistemi mümkün olan en az durum değişkeniyle ortaya koyabiliriz. G1 s = Y 1 s U s [ G2 s = Y 2 s Daha önce verilen İki çıkış bir girişli sistem için U s s 1 s 3 s 2 3 s 2 H s = s 2 3 s2 s 1 3 ] H = [tf([1 1],[ ]); tf([1 0 3],[1 1 1])]; sys = ss(h,'min') 23/115

24 size(sys) sys = a= x1 x2 x3 x x x b= u1 x x x c= x1 x2 x3 y y d= u1 y1 0 y2 1 Continuous-time state-space model. State-space model with 2 outputs, 1 inputs, and 3 states. MIMO ve SISO Sistemlere Giriş Sinyali Uygulama Bir MIMO sistem'e, istenilen herhangi bir giriş sinyali uygulamak için lsimplot fonksiyonu kullanılır. Belirlenen zaman aralığında ve adımlarla giriş sinyali uygulanır. u matrisi, sistemin giriş sayısı x t matrisi sütun sayısı ölçülerindedir. ss objesi herhangi bir LTI objesidir. t matrisi istediğimiz zaman aralığını belirlenen adımlarla göstermektedir. Doğru akım motor örneğinde bu fonksiyonun daha detaylı uygulamasını göreceğiz. lsimplot() fonksiyonu default olarak durum değişkenlerini başlangıç koşulunda 0 kabul ederek grafikleri oluşturur 24/115

25 lsimplot(ltiobjesi, u, t); Daha önce bahsedildiği üzere transfer fonksiyonuna ait frekans cevabı (bode grafiği) belirli bir frekans aralığındaki, genlik (db) ve faz (derece) olarak elde edilir. Giriş sinyaline ait Laplace dönüşümü kolaylıkla yapılabiliyorsa, ilgili frekansda transfer fonksiyonuna ve giriş sinyaline ait Laplace dönüşümleri çarpıldıktan sonra çıkışa ait genlik db cinsinden ve faz da derece cinsinden bulunabilir. Yada Giriş sinyaline ve transfer fonksiyonuna ait db cinsinden genlikler ve derece cinsinden fazlar mevcutsa, çıkışa ait değerleri bulmak için toplamları alınarak Kalıcı durum tepkisine ait bilgiler elde edilir. Buradanda anlaşılacağı üzere bode grafikleri geçici durum cevabı hakkında bilgi vermemektedir. X (s) H ( s)=y (s ) s= j w X ( j w) H ( j w )=Y ( j w) Y ( j w)db=20 log 10 ( Y ( j w) ) ang (Y ( j w)) X s H s =Y s s= j w Y j w db=20 log 10 X j w 20 log 10 H j w ang Y j w =ang X j w ang H j w Bir sinyal için 4 önemli parametre vardır. Sinyalin türü (kare, testere, yada üçgen dalga gibi), genliği, frekansı, ve faz farkı. Eğer giriş sinyalini Laplace dönüşümüyle ortaya koymak zor ise, bu noktada Fourier dönüşümünü hatırlamak gereklidir. Bu teoreme göre, herhangi bir sinyal değişik frekanslarda sinüs sinyallerinin toplamı olarak ifade edilebilir. Sinyali oluşturan bileşenler bilindiğinde, yani herbir bileşene ait frekans ve genlik bilgileri bilindiğinde, bode grafiğine bakarak durağan haldeki çıkış sinyalini elde edebiliriz. Aslında bir sinyali oluşturmak için bir kaç tane sinüs bileşeni kullanmak yeterlidir. Şekil10'da kare dalga için bu durum ortaya konulmuş ve 4 sinüs sinyali kullanılmıştır. sin n wc 4 y= n Şekil10 25/115

26 MATLAB'da geçici hal ve durağan hal tepkisi arasındaki farkı kolayca görebiliriz. Durum eşitlikleriyle grafiği oluşturulan çıkış sinyali geçici durum tepkisini ortaya koymaktayken (yeşil çizgiler), bode grafiğiyle oluşturulan çıkış sinyali sadece durağan hal tepkisini ortaya koymaktadır (kırmızı noktalar). (şekil11 bakınız) clc; num=[1 5]; den=[1 2 3]; s=tf(num,den); t=[0:0.05:20]; u=5*cos(2*t+pi/6); y=lsim(num,den,u,t); [mag,phase]=bode(num,den,2) yss=5*mag*cos(2*t+(30+phase)*pi/180); plot(t,u,t,y,'--',t,yss,'.'); % t>1.8 civarinda duragan hal cevabina ulasir % ayni sonuc elde edilebilir figure(); lsimplot(s,u,t); 26/115

27 Şekil11 Birden fazla frekansa sahip giriş sinyali uygulandığında yukarıda anlatıldığı gibi herbir sinyal için sistem çıkışındaki sinyaller hesaplandıktan sonra net çıkış tüm sinyallerin toplamı olarak bulunur. % Alcak geciren filtre clc; num=[0.5 20]; den=[1 1]; s=tf(num,den); bode(num,den) fıgure(); t=[0:0.05:20]; u=sin(0.1*t)+cos(0.5*t+pi/4)-sin(13*t-pi/6); y=lsim(num,den,u,t); frekans=[ ]; 27/115

28 [mag,phase]=bode(num,den,frekans) yss=mag(1,1)*sin(0.1*t+phase(1,1)*pi/180)+mag(2,1)*cos(0.5*t+pi/4+phase(2,1)*pi/180)mag(3,1)*sin(13*t-pi/6+phase(3,1)*pi/180); figure(); plot(t,u,t,y,' ',t,yss,'.'); Şekil12 Daha önce bahsedildiği gibi bode grafiklerinden sistemin kararlılığı hakkında fikir edinebiliriz. Konuyu daha iyi anlayabilmek için Matlab komut satırında margin_gui komutu yazarak kapalı çevrim bir sisteme ait kazanç ve faz marjinleri analizi yapılabilir. Bir sisteme ait kazanç ve faz marjinleri [Gm, Pm, Wgm, Wpm]=Margin(sys) fonksiyonuyla elde edilebilir. Filtre Devreleri ve Özel Kontrolörler Pasif RLC elemanlarıyla gerçeklenebilen P, I, PD, PI, PID, faz ilerlemeli, faz gerilemeli kontrolör tasarımları, alçak geçiren, yüksek geçiren, band geçiren, ve çentik filtreleri tasarımları aktif eleman Opamp aşağıda verilmişdir. Devre şekli, birinci veya ikinci dereceden denklemler ve niçin kullanıldıkları bu kontrolörleri ortaya koyabilmek açısından yeterlidir ve elektriksel analizlerin tümü s domeninde kolaylıkla yapılabilir. Pasif RLC elemanlarıyla yapılan kontrolörler ve filtreler MATLAB Command Window kısmında rlc_gui yazılarak bulunabilir. P tipi kontrolör: Sistem kazancını ayarlar. Pasif elemanlarla gerilim bölücü yada 28/115

29 potansiyometre ile gerçeklenebilir. R R K= 4 2 =K p R3 R1 OPAMP'la P Tipi kontrölör I tipi kontrolör: Sisteme sıfırda bir kutup ekleyerek sürekli rejim hatasını azaltmaya çalışır. kazancını ayarlar. Kondansatör yada bobin ile gerçeklenebilir. R4 1 K Ki = = R3 R 1 C2 s s s OPAMP'la I Tipi kontrölör 29/115

30 PD tipi kontrolör: Sisteme bir sıfır ekleyerek geçici hal tepkisini geliştirir. Kondansatör yada bobin ve dirençle gerçeklenebilir. R4 R2 R C s 1=K s 1 =K p K d s R3 R OPAMP'la PD Tipi kontrölör PI tipi kontrolör: Sisteme sıfırda bir kutup ve sıfıra yakın bir sıfır ekleyerek kalıcı hal hatasını azaltmaya çalışır. Kondansatör yada bobin ve dirençle gerçeklenebilir. R 4 R 2 R2 C 2 s 1 K s 1 K = =K p i R3 R 1 R 2 C2 s s s 30/115

31 OPAMP'la PI Tipi kontrölör PID tipi kontrolör: Sisteme sıfırda bir kutup ve sıfıra yakın bir sıfır ekleyerek kalıcı hal hatasını azaltmaya çalışır ve iki sıfır ekleyerek geçici hal tepkisini geliştirir. Kondansatör yada bobin ve dirençle gerçeklenebilir. R 4 R 2 R1 C 1 s 1 R 2 C2 s 1 K i s 1 g s 1 K = =K p K d s i R3 R 1 R2 C 2 s s s OPAMP'la PID Tipi kontrölör Alçak Geçiren Filtre: 0 ile kesim frekansı (fh) arasında yüksek ve hemen hemen sabit bir kazanç vardır. Kesim frekansında, kazanç 3 db azalır. Birinci dereceden alçak geçiren filtrenin 31/115

32 transfer fonksiyonu verilmişdir. Wc kesim frekansıdır. 1 R2 C K = 1 s+w c s+ R1 C OPAMP'la Alçak Geçiren Filtre 32/115

33 R1 s R2 K s = 1 s +w c s+ R2 C Yüksek Geçiren Filtre: Kesim frekansından daha büyük frekanslardan kesim frekansı (fl) arasında yüksek ve hemen hemen sabit bir kazanç vardır. Kesim frekansında, kazanç 3 db azalır. Birinci dereceden yüksek geçiren filtrenin transfer fonksiyonu verilmişdir. Wc kesim frekansıdır. R s s 1 =K R2 1 s+w c s+ R 2 C OPAMP'la Yüksek Geçiren Filtre 33/115

34 Band Geçiren Filtre: Sadece belirli frekans aralığını geçirir, bu aralık kesim frekansları (fl,fh) arasıdır. Band genişliği β = fh -fl. Wc kesim frekansıdır. f0 merkez frekansdır. s R C [ ]= R2 C s s s2 R 2 C2 R 1 C1 R2 C 2 R1 C 1 R1 R2 C 1 C2 K s = 2 s s w f 0= = 2 R2 C 2 R1 C 1 2 R1 R2 C 1 C2 34/115

35 OPAMP'la Band Geçiren Filtre Faz İlerlemeli yada Gerilemeli Kontrolör: Eğer faz gerilemeli kontrolör kullanılırsa sisteme sıfıra yakın bir kutup ve kutbun soluna bir sıfır ekleyerek kalıcı hal hatasını yok etmeye çalışır, bundan dolayı I tipi kontrolöre benzer. Eğer faz ilerlemeli kontrolör kullanılırsa sisteme bir kutup ve kutbun sağına bir sıfır ekleyerek geçici hal cevabını geliştirir, bundan dolayı D tipi kontrolöre benzer. Bu tip kontrolörlerde sıfır ve kutupların yerleri ve aralarındaki mesafe sistem 35/115

36 tepkisi açısından önemtaşımaktadır. Pasif elemanlarla RLC devresiyle tasarlanabilir. Basitçe transfer fonksiyonu aşağıaki gibidir. s z z p fazilerlemeli kontrolör z p faz gerilemeli kontrolör s p R f R 4 R1 C s 1 1 s 1 =K faz ilerlemeli R3 R 1 R2 C s R1 R 2 2 s 1 Faz ilerlemeli Kontrolör R 5 R2 R3 C s R 2 R3 1 s 1 =K faz gerilemeli R 1 R4 R2 C s 1 2 s 1 Faz gerilemeli Kontrolör 36/115

37 Faz ilerlemeli-gerileme kontrolör yukarıdaki iki tip kontrolörün seri bağlanmasıyla oluşturulmaktadır. Tüm bu kontrolörlerde sıfır ve kutupların yerleri, aralarındaki mesafe, ve sanal eksene olan uzaklığı sistem tepkisi açısından önem taşımaktadır. İleride göreceğimiz yer kök eğrileri yöntemiyle değişik kutup ve sıfır değerleri için sistem tepkisini karşılaştırabilirsiniz. Pasif RLC elemanlarıyla yapılan kontrolörler ve filtreler MATLAB Command Window kısmında rlc_gui yazılarak bulunabilir. Aşağıda grafik arayüzler gösterilmişdir. Çıkarılan Sonuçlar 1. Geçici hal tepkisini geliştirmek için, faz ilerlemeli yada PD kontrolör kullanılır. 2. Kalıcı hal hatasını azaltmak için, faz gecikmeli yada PI kontrolör kullanılır. 3. Hem geçici hal cevabı ve kalıcı hal hatası azaltılmak istenirse PID yada faz ilerletici-geriletici (iki birlikde) kontrolör kullanılmalıdır. Kont. Etkileri Geçici hal tepkisi (Tr ve Ts) Kalıcı hal tepkisi En büyük aşım Mp Sönüm (σ) Band genişliği (β) PI PD Arttırır Azaltır PID İstenilen Hatayı Arttırır değerler katsayılarla Azaltır Azaltır ayarlanır. Hem kalıcı hal Azaltır Arttırır cevabı ve Azaltır Arttırır hemde geçici hal cevabı Yüksek Az sönümlü ve iyileştirlebilir frekans kararsız gürültüleri sistemlerde süzer etkisizdir Hatayı azaltır 37/115 Faz ilerlemeli Faz gerilemeli Azaltır Arttırır Hatayı Arttırır Hatayı azaltır azaltır Azaltır Arttırır Azaltır Arttırır Azaltır Sıfır kutup değerleri ve aralıkları öenmlidir Sıfır kutup değerleri ve aralıkları öenmlidir

38 38/115

39 Yer Kök Eğrileri R ( s) K H(s) V ( s) B(s) V s K H s = R s 1 K H s Şekil13 B s =1için Kapalı çevrim sistemin kutupları 1+KH(s)=0 özyapısal denkleminden elde edilir. H s = b s a s a s K b s =0 a s b s =0 K n a(s) polinomunun en büyük derecesi ve m b(s) polinomunun en büyük derecesidir. K sıfıra doğru yaklaştıkca a(s)=0'dır kapalı çevrim sistemin kutupları H(s)'in kutuplarıdır, benzer şekilde K sonsuza doğru yaklaştıkca b(s)=0'dır kapalı çevrim sistemin kutupları H(s)'in sıfırlarıdır. Kapalı çevrim sistem n kutba sahiptir. Bundan dolayı köklerin yer eğrisi yada yer kök eğrisi n kola sahiptir. Her kol üzerinde kazanç 0'dan büyükdür, kollar dışında kazanç 0'dan küçükdür (bu kısımla ilgilenmeyiz). Her kol, gerçel eksene göre bir açıyla (çıkış açısı), H(s)'in kutuplarıyla başlar ve, gerçel eksene göre bir açıyla (varış açısı), H(s) sıfırlarına doğru gider. Eğer H(s)'in kutup sayısı sıfır sayısından fazla ise H(s) sonsuzda nm sıfıra sahipdir, bundan dolayı H(s)'in limiti sıfırdır. Bu durumda yer kök eğrisinin asimptotlarının (sonsuza giden kol) sayısı kutup sayısından sıfır sayısı çıkarılarak bulunur. Rlocus() fonksiyonuyla yer kök eğrisi MATLAB'da çizilebilir. Parametre olarak transfer fonksonuna ait pay ve payda katsayıları, durum eşitliklerine ait A,B,C,D matrisleri, LTI objesi girilebilir. Yer kök eğrisi gerçel eksene göre simetrikdir. Yer kök yer eğrilerinin gerçel eksene göre simetrik olmalarından dolayı varış ve çıkış noktaları ya gerçel eksen üzerinde yada sanal çift halinde s (konjuge) düzlemi üzerinde bulunurlar. Eğer kök yer eğrisi gerçel eksen üzerinde yer alan iki kutup arasında yer alıyorsa bu iki kutup arasında en azından 1 çıkış noktası vardır. Benzer şekilde kök yer eğrisi gerçel eksen üzerinde yer alan iki sıfır arasında yer alıyorsa bu iki kutup arasında en azından 1 varış noktası vardır. Sanal eksene yakın olan kutuplar (yada kollar) kapalı çevrim dinamik sistemin kararlılığı ve dinamik 39/115

40 davranışı üzerinde, en büyük aşım artacağından ve sönümleme azalacağından dolayı, daha büyük etkiye sahipdir ve baskın kol olarak adlandırılırlar. Bundan dolayı kutupların konumuna göre sistem 1. veya 2. dereceden sistem gibi davranabilir. Bu noktada n. dereceden sistemlere ait tepkileri hatırlamak gereklidir. Birinci dereceden sistemin basamak tepkisinde birinci terim zorlanmış tepki (kararlı halde) ve ikinci terim doğal tepki (geçici halde) olarak iki kısımdan oluşmaktadır. Sistem sınırlamaları c(t) üzerinde belirtilir. K C s K G s = = R s =u t için C s = c t =K 1 e t / u t R s 1 s s s 1/ İkinci dereceden sistemin transfer fonksiyonu wn doğal frekans ve ζ sönümleme parametrelerini içermektedir. Sistem üzerinde olan tasarım ölçütleri dikkate alındığında aşağıdaki denklemler elde edilir. w 2n C s 2 G s = = 2 s= wn ± j wn 1 kutuplar R s s 2 w n s w2n 1, aşırı sönümleme,iki reel ayrık kutup 1, sönümlenmemiş durum, konjuge kutuplar =1, kritik sönümleme, aynı yerde iki kutup 1 Basamak tepkisi R s = s s w n w n wn 1 1 C s = C s = 2 2 s s s 2 wn s w n s wn 2 w2n L 1 c t =1 e w t cos wn 1 2 t, =arctan / 1 2 =arccos 2 1 n 1 Basamak tepkisi R s = ve c 0 =0 başlangıç koşulları s 2 wn wn w t 1 2 s C s = L c t = e sin w n 1 t s wn w n 1 1 T p= en büyük aşım zamanı, c t ' nin zamana göretürevi sıfıra eşitlenerek bulunur w n 1 2 n M p=1 e / 1 =1 e /tan M p en büyük aşım =arctan / 1 2 =arccos en büyük aşım zamanı T p, c t ' de yerine koyulduğunda bulunur. yani c T p 2 40/115

41 / 1 %±2 hataiçin yerleşme zamanı 1.02=1 e 2 ln k T s= T s= k=4 w n w n wn c t ' nin son değerinin 10 değerinden 90 değerine ulaşdığı zamandır Yükselme zamanı T r= W n 1.8 Tr ln M p ln M p 2 T r yükselme zamanı, M p % olarak en büyük aşım 2 Bandgenişiği w BW =wn =w BW = T s Şekil14 Örneğin verilen sistem için %5 den az aşım ve 1 s yükselme zamanı, kutuplar taralı bölgede olacak şekilde K orantısal kazanç değerini değiştirerek elde edilebilir. ζ sönümleme oranı ve wn doğal frekansdır. Şekil14'de verilen S düzlemi en büyük aşım, yerleşme ve yükselme zamanı sınırlamalarını 41/115

42 karşılamaktadır. clc; num=[1 5]; denum=[ ]; tf(num,denum) [z,p,k]=tf2zpk(num,denum) rlocus(num,denum); %grid on; axis('equal'); axis([ ]) hold on; x=-22:1:3; y1=tan(pi/3)*x+11.7*tan(pi/3); y2=-tan(pi/3)*x-11.7*tan(pi/3); plot(x,y2,x,y1) text(-10,-3,'\leftarrow asimptot2','horizontalalignment','left') text(-10,+3,'\leftarrow asimptot1','horizontalalignment','left') zeta=0.7; wn=1.8; sgrid(zeta,wn) [kd,poles]=rlocfind(num,denum) title('kok Yer Egrisi') ylabel('sanal Eksen') xlabel('gercel Eksen') grid on; [num2, den2]=cloop((kd)*num,denum); figure(); step(num2,den2) >> z= p= i i i k= 1 42/115

43 Select a point in the graphics window selected_point = i kd = poles = i i i i Şekil15 43/115

44 Şekil16 (1 dereceden sisteme benzer cevap) Şekil17 (2 dereceden sisteme benzer cevap) 44/115

45 1.8 W n Tr ln M p ln M p 2 T r yükselme zamanı, M p % olarak en büyük aşım 2 Yukarıdaki denklemden, %5 den az aşım ve 1 s yükselme zamanı için, ζ sönümleme oranının 0.7'den daha büyük olması ve doğal frekansın 1.8 den büyük olması gereklidir. Şekil29'daki 45 derecelik zeta=0.7 karşılık gelen kesikli iki çizginin arasında ζ>0.7 ve kesikli yarım çember wn=1.8 dışında wn>1.8. Bu iki bölgenin kesişimi dizaynla ilgili sınırlamaları karşılayan kutup değerlerini vermektedir ve MATLAB'da sgrid(zeta,wn) şeklinde bulunmaktadır. Bu bölgeden istediğiniz değeri tıklayarak seçebilirsiniz. Şekil30'da birim basamak tepkisine olan cevabın sınırlamaları karşıladığı gösterilmiştir. Verilen yer kök eğrisi için i, i, 0 ve açık çevrim kutuplarından başlayan 4 adet kol vardır. Kollardan biri -5'de olan açık çevrim sıfırında son bulur. Diğer üç kol K sonsuza giderken (3 adet sıfır burada bulunmaktadır) sonsuza gider. K=0 iken Açık çevrim kutuplarının toplamı -40 dır. Kutup sayısı sıfır sayısından daha fazla olduğundan K değişirken kutupların toplamı sabit kalır. (rlocfind() ile seçilen noktaya göre tüm kutupların toplamının -40 olarak sabit kaldığı görülmektedir). Yine aynı şekilde kutıpların sağ yarı düzleme geçdiği değerler rlocfind() komutu ile istenilen noktanın üzerine tıklanarak MATLAB'da bulunabilir. Kolların yönleri kutupların toplamının sabit kalmasını sağlayacak şekildedir. z i = r i z i açık çevrim kutupları r i öz yapısal denklemin kökleri Gerçek eksen üzerindeki kolları bulmak için açık çevrim kutup ve sıfırlarına bakılır. Gerçel eksen üzerindeki en solda yer alan sıfır yada kutup'un sağında yer alan kutup ve sıfır sayısı tek ise o bölgeden yer kök eğrisi geçmektedir, eğer çiftse o bölgeden yer kök eğrisi geçmemektedir. Bu işlem en sağdaki sıfır yada kutup'a kadar devam eder ve bu işleme sanal kutup yada sıfırlar dahil edilmez. Örneğe baktığımızda -5 deki sıfırın sağında 3 tane kutup bulunmaktadır, bundan dolayı gerçel eksen üzerindeki -5'in solundaki bu bölgeden yer kök eğrisi geçmektedir. Diğer durumlar benzer şekilde bulunabilir k 1 yer kök eğrisine ait asimptot açıları k=0,1,2,, n m 1 n m kutupi sıfır i asimptotların gerçel eksenden geçdiği noktalar = n m = G=[( )-(-5)]/(4-1)=-35/3=-11.7 noktasında yer kök eğrisine ait asimptotlar 45/115

46 kesişirler. Asimptot açıları 60(2k+1)=60,180,300(-60) derecedir. Yer kök eğrisinin gerçel eksenden ayrılma noktası 1+KH(s)=0 özyapısal denklem eşitliğinden K elde edildikten sonra, türevi sıfıra eşitlenerek s değerleri bulunur. 1 K H s =0 K = K H / H 1 = =0 =0 ' lar bulunur 2 H H % gercel ekseni kesen noktalar bulunur clc syms x g=((x+5)/(x.^4+40*x.^3+500*x.^2+x.*1500)); a=diff(g); t=double(solve(diff(g))) %g=[ ]; %roots(g) %get(0,'format') %format short e %s0=[-50 10] %t=fzero(fun,s0) [(s+5)/(s^4+40*s^3+500*s^2+1500*s)]'= i -2.93, -17.1, i, Gerçel ekseni ayrılma noktaları ve dir. Kutupların yada sıfırların (varış) çıkış açıları, yer kök eğrisi üzerinde bulunan herhangi bir s noktasına açı koşulu uygulanarak bulunabilir. Test edilen nokta için sıfırların açılarından kutupların ang s 5 ang s i ang s i ang s ang s 4.34 =180, k =0 s=0 yakınındakibir noktatest edildiğinde 0 =180 yada 180 s= 4.34 yakınındaki bir noktatest edildiğinde 4.34= =0 s= 5 yakınındaki bir nokta test edildiğinde 5= = 180 yada 180 s= i yakınındaki bir nokta test edildiğinde i = s= i yakınındaki bir nokta test edildiğinde i =74.69 clc % eslenik kutuplari icin acilarin bulunmasi % diger kutup ve sifirlara ait acilar benzer sekilde bulunabilir. c= i 46/115

47 teta1=(angle(c+5)-angle(c i)-angle(c)-angle(c+4.34))*180/pi-180; teta1=mod(teta1,360)-360 c= i teta2=(angle(c+5)-angle(c i)-angle(c)-angle(c+4.34))*180/pi-180 % Routh-Hourwitz testinde s'e ait denklemin kokleri g=[ ]; roots(g) % Routh-Hourwitz testinde s^2'e ait denklemin kokleri k=[ ]; roots(k) açıları çıkarılarak istenilen kutup'a yada sıfıra ait ayrılama açısı bulunabilir. Eşlenik kutupların açıları ters işaretlidir. z p = 2 k i i 0 kutup'undan sol tarafa doğru K değeri artmaktadır ve çıkış açısı gerçel eksene göre 180 derecedir kutup'undan sağ tarafa doğru K değeri artmaktadır ve çıkış açısı gerçel eksene göre 0 derecedir. -5 sıfır'ından sol tarafa doğru K değeri artmaktadır ve çıkış açısı gerçel eksene göre 180 derecedir i kutup'undan güneydoğu yönünde K değeri artmaktadır ve çıkış açısı gerçel eksene göre derecedir i kutup'undan kuzeydoğu yönünde K değeri artmaktadır ve çıkış açısı gerçel eksene göre derecedir. Gene bu durumları MATLAB'da yer kök eğrisi üzerine tıklayarak ve ilgili renkli yer kök eğrisini takip ederek teyid edebilirsiniz. Kök yer eğrisinin sanal ekseni kesdiği noktaları bulmak için Routh-Hourwitz kararlılık koşulu uygulanır. 1+KH(s)=0 den kararlılık sınırındaki k değeri ve buradan s'in sanal ekseni kesdiği noktalar bulunur. s4 40 s s k s 5 K =0 s4 s3 s2 s k K K 5 K K 1500 K K 5 K /115

48 8000 K K s=0 0= K 9000 K K=11428, 2428 K 0 olmalı K Örneğin tabloya ait üçüncü satır (40x500-(1500+K)x1)/40 şeklinde yazılır K 2 2 s 5 K=0 K =11428 için 0=7072 s s= i, i 40 s satırına ait denklem çözüldüğünde, yer kök eğrisi sanal ekseni K=11428 iken keser, ve s^2 satırına ait denklem çözüldüğünde, yer kök eğrisi sanal ekseni i, i noktalarında keser. Farklı sayıda gerçel yada sanal kutup ve sıfır olması durumunda, benzer şekilde yer kök eğrisi bulunabilir. Sisteme bir kutup ilavesi baskın kutup'u sağ yarı düzleme doğru ve sıfır ilavesi baskın kutup'u sol yarı düzleme doğru hareket ettirir. Grafiklerden de anlaşılacağı gibi yer kök eğrileri geçici ve durağan hal tepkilerine ait bilgileri ortaya koyar. Diğer tarafda bode grafikleri sadece durağan tepkisiyle ilgilenmektedir. Bundan dolayı yer kök eğrileri daha iyi analiz sağlamaktadır. Simülasyon dosyaları eklerdedir. Sonuçlar 1. Tüm kutupların gerçel olması durumunda sistem tepkisi aşırı sönümlüdür. 2. Sistem yanıtı, s süzleminde sanal eksene yakın olan kutuplar tarafından belirlenir. 3. Baskın kutuplar s düzleminde sola doğru gittikçe geçici hal tepkisi iyileşir sönüm artar aşım azalır, sistemin band genişliği artar. 4. Yükselme zamanı ve band genişliği ters orantılıdır. 5. Bir sıfırın bir kutbun yanında bulunmasından dolayı, kutup sistem yanıtını çok az etkiler, ve bu durum sıfır-kutup silmesi olarak adlandırılır. Routh Hourwitz Kararlılık Testi Bu test karakteristik denkleme ait köklerin sağ yarı düzlemde yer alıp almadığını belirler ve sanal eksen üzerinde bulunan ve sağ yarı düzlemde bulunan köklerin sayısını verir. H(s) polinomuna ait köklerin sol yarı düzlemde bulunabilmesi için polinomdaki tüm katsayılar aynı işaretli olmalıdır ve hiçbir katsayı sıfır olmamalıdır. Bu yeterli koşul değildir ve kararlılık testi için Routh-Hourwitz testi uygulanmaktadır H s =a 4 s a3 s a2 s a1 s a0 48/115

49 s4 s3 a4 a2 a0 a3 a1 0 a a a a a a a 0 A= B= =a0 0 a3 a3 A a1 a 3 B C= 0 0 A C B a 4 0 D= =B 0 0 C s2 s 1 Eğer ilk sütundaki elemanların tümü aynı işaretiyse köklerin tümü sol yarı düzlemdedir. Eğer ilk sütundaki elemanların işaretleri değişiyorsa, işaret değişimi kadar sağ yarı düzlemde kök vardır. Herhangi bir satırın ilk elemanı 0 olması durumunda diğer elemanların sonsuz olaması durumu ortaya çıkmaktadır. Bu sorunu aşmak için 0 yerine e gibi sembolik bir sayı yazılır ve diğer işlemlere devam edilir. Tüm satır sıfır ise sanal eksen üzerinde kök vardır. Bu durumda teste devam edebilmek için ilgili satırın bir üst satırındaki katsayılarla yardımcı denklem oluşturulur A(s) ve A'(s)=0 işlemlerinden sonra katsayılar ilgili satıra yazılarak işleme devam edilir. P s =s5 4 s 4 8 s3 8 s2 7 s 4 İşaret değişimi yok, sistem kararlı ve sanal eksen üzerinde iki katlı kök var. 2 4 s 4=0 s=± j s5 s4 s3 s2 s1 s s /115

50 Nyquist Kararlılık Testi ve Grafikleri Nyquist grafiği, pozitif yada negatif herhangi bir frekansa karşılık G(jw) değeri gerçel ve sanal olarak x-y düzleminde gösterilerek oluşturulur (polar grafik olarakda düşünülebilir). Bu grafikde w 0 ve sonsuz iken G(jw) değeri ve grafiğin gerçel (Im(G(jw))=0, Re(G(jw))) ve sanal (Re(G(jw))=0, Im(G(jw))) eksenle kesişimleri önemlidir. clc; tau1=1; tau2=1/10; num=[1]; denum=conv([tau1*1 1],[tau2*1 1]); tf(num,denum) nyquist(num,denum) Şekil18 Matlab'da sağ tıklayarak grafiğin (-1,0) noktasına zoom yapabilirsiniz yada grid opsiyonunu aktif hale getirebilirsiniz. 50/115

51 Nyquist kararlılık testi, kapalı çevrim bir sistemin kararlılığını grafiksel olarak gerçel ve sanal eksen üzerinde, w 0 dan sonsuza artarken (yada -sonsuza) açık çevrim transfer fonksiyonunu G(jw)H(jw) (1,0) noktasına karşı inceleyerek ortaya koymaktadır, şekil19 sağdaki grafik bu durumu özetlemektedir. (Benzer şekilde açık çevrim transfer fonksiyonunun kararlılığını, G(jw)H(jw) (0,0) noktasına karşı inceleyerek ortaya koymaktadır, şekil19 soldaki grafik durumu özetlemektedir). Kararlılık testinde oluşturulan grafiklerde Nyquist kapalı çevresi sağ yarı s düzlemi G(jw)H(jw) kutuplarının üzerinden geçmeden çevresini dolaşacak şekilde kapsar. Şekil19 Basitleştirilmiş Nyquist kararlılık testi ω 0 dan a giderken, açık-döngü frekans tepkisi G(jω)H(jω) yer eğrisi, -1 noktasını kapasamayan kapalı-döngü sistemler, kararlıdır, -1 noktasını kapsayan sistemler kararsızdır ve -1 noktasından geçen sistemler marjinal kararlıdır.(şekil34) Noktayı kapsamak, noktanın soluna geçmek olarak alınabilir. Bu durum açık döngüsü kararlı sistemler için geçerlidir. (s düzleminin sağ tarafında kutup'u olmayan açık döngü sistemler için geçerlidir) 51/115

52 Şekil20 Açık çevrim G s H s için kararlılık N 0=Z 0 P0 P0=0 ile N 0 ; G s H s Nyquist grafiğinin 0,0 etrafındaki çevrim sayısı, saat yönünün tersiise pozitif Z 0 ; Nyquist çevrimiyle çevrelenen G s H s sıfırlarının sayısı P0 ; Nyquist çevrimiyle çevrelenen G s H s kutuplarının sayısı Kapalıçevrim G s /1 G s H s için kararlılık N 1=Z 1 P 1 Z 1=0 ile N 1 ;G s H s Nyquist grafiğinin 1,0 etrafındaki çevrim sayısı, saat yönünün tersi ise pozitif Z 1 ; Nyquist çevrimiyle çevrelenen 1 G s H s sıfırların sayısı P 1 ; Nyquist çevrimiyle çevrelenen 1 G s H s kutupların sayısı Açık ve kapalı çevrim kutupları aynıdır P 1=P0 Açık çevrim sistemin G(s)H(s) kararlı olması için, G(s)H(s) Nyquist grafiğinin (0,0) noktasını çevrim sayısı ile sağ yarı düzlemdeki G(s)H(s) sıfırların sayısına eşit olmalıdır. N 0=Z 0 olmalıdır. Kapalı çevrim sistemin G(s)H(s) kararlı olması için, G(s)H(s) Nyquist grafiğinin (-1,0) noktasını saat 52/115

53 yönünde çevrim sayısı ile sağ yarı düzlemdeki kapsanan G(s)H(s) kutuplarının sayısına eşit olmalıdır. N 1= P 1= P 0 Kazanç geçiş frekansı G(jWgm)H(jWgm) =1 koşulundaki Wgm frekansıdır, ve faz geçiş frekansı ang(g(jwpm)h(jwpm))=180 dereceye eşit olduğu durumdaki Wpm frekansıdır. Kazanç marjini Gm=20log(1/ G(jWgm)H(jWgm) ) db, faz marjini Pm=180+ang(G(jWpm)H(jWpm)). clc; num=[1]; denum=conv(conv([1 1],[1 1]),[1 1]) isstable(tf(num,denum)) % w={wmin,wmax} % [re,im]=nyquist(num,denum,w) % belirli bir aralik icin nyquist(num,denum) [Gm,Pm,Wgm,Wpm]=margin(num,denum) ans=1 Gm= Pm=-180 Wgm= Wpm=0 53/115

54 Şekil21 Doğrusal İkinci Dereceden Düzenleyici Kontrolör (Linear Quadratic Regulator (LQR)) LQR bir dinamik sistemin optimum kontrolü konusunda karşımıza çıkan bir problemdir. Bir sistemin optimum kontrol için ikinci dereceden bir maliyet fonksiyonuyla tanımlanması ve lineer diferansiyel denklemlerle ortaya konması, LQ problem olarak adlandırılmıştır. Kontrol teorisinde temel problemlerden biri olan LQ, geribeslemeli bir sistemi durum değişkenlerini kullanarak ve sistem sınırlamalarını göz önünde bulundurarak en efektif şekilde ortaya koyan düzenleyici bir kontrol sistemidir. Maliyet fonksiyonu, durum değişkenleriyle oluşturulan fonksiyonlardan ve bunların toplamlardan oluşur. İşlem karmaşıklığını önlemek için dizaynı yapan kişi maliyeti azaltan algoritmaya ihtiyaç duyulan verileri, yani ağırlık katsayılarını atayarak sistemi oluşturmaya çalışmaktadır. Bu maliyet fonksiyonu sistemde istenilen değerlerin değişimini en aza indirmektedir (bizim örneğimizde açısal hız). Bunun yanında, dizaynı yapan kişiye düşen ağırlık katsayılarını değiştirip, bir kaç iterasyon yaparak, sisteme ait tüm sınırlamalar açısından en efektif çözümü bulmakdır. Bulduğumuz F (geribesleme) için, J maliyet fonksiyonunun minimum olması istenir. Q ve R ağırlık katsayılarını göstermektedir. Q nxn simetrik pozitif yarıtanımlı (symmetric positive semidefinite), R mxm simetrik pozitif tanımlı (symmetric positive definite) birer matrisdir. 54/115

55 x = A x B u ; u=f x ; F geribesleme ; J = [ x T t Q x t u T t R u t ] dt ve Q=M T M. 0 Q yukarıda belirtildiği gibi yazılabilir. M pxn p<=n matisdir. Doğal olarak LQR kontrolörün kararlı (Stabilizable) olması istenir, bunun için (A,B) çiftinin kararlı olması gereklidir. (A,M) çifti de tespit edilebilir (detectable) olmalıdır. ARE (Algebric Ricatti Equation) çözümü W simetrik pozitif yarıtanımlı (symmetric positive definite) bir matrisdir. W bulunduğunda F de bulunmuş olur. (Daha fazla ayrıntılı matmatiksel bilgi ve altyapı için başka kaynaklara bakınız.) 1 T T 1 T F= R B W ; W A A W Q W B R R W =0 ARE ; DC motor kontrolünde kullanılan maliyet fonksiyonunu incelemek burada yararlı olacakdır. Bu fonksiyon uygulanan torka karşı açısal hızdaki değişimi (disturbance rejection) minimuma indirmektedir (integral hatası olarak da düşünülebilir). Dikkat edileceği üzere akım i(t) ve açısal hız w(t) katsayıları Va(t) ait olanlardan dan daha büyükdür. Daha büyük katsayılar daha iyi sonuç verecekdir. Lqry() fonksiyonu bize optimum geribesleme kazanç değerlerini vermektedir. Sizde değişik maliyet fonksiyonlarıyla sistemler elde etmek için değişik katsayı matrisleri uygulayınız. w t J = [20 i 2 t w2 t 0.01 V 2A t ] dt V A t =K 1 w t K 2 K 3 i t s 0 [ ] [] Q= 1 0 ; R=[ 0.01 ] x = w ; u=[ V A ] ; 0 20 i Doğru Akım Motor Kontrolü, Modelleme ve Matlab Simülasyonu Doğrusal yada doğrusal olmayan dinamik sistemlerin tümü Matlab ve Simulink aracılığıyla modellenip simülasyonu yapılabilir. Bu ksımda bir doğru akım motoruna ait bir lineer model geliştirilip Matlab'da ve Simulink'de simülasyonu yapılacaktır. Uygulamanın sonunda transfer fonksiyonları, bunlara ait sıfır, kutup, ve kazanç değerlerinin bulunması, geçici hal tepkisi (transient response), durağan hal tepkisi (steady-state response), kapalı çevrim ve açık çevrim sistemler, yer kök eğrileri öğrenilecektir, ve sistem üzerindeki sınırlamalar hakkında bilgi edinilecektir. Grafiklerdeki verilerin üzerine tıklayarak değerlerini okuyabilirsiniz. Ara işlemleri Matlab da Command Window kısmında görebilmek için komutların sonundaki ";" kaldırabilirsiniz. Genel Matlab çalışma ortamı şekil22'de gözükmektedir. Sağ tarafda bulunan Workspace kısmından oluşturduğunuz değişkenlere ait datalara, objelere, ve bunlara ait maksimum minimum değerlerine ve boyutlarına ulaşabilirsiniz. Sol tarafda, bulunduğunuz konumda ihtiva edilen dosyalar, ve sağ alt kısımda Command History kullandığınız komutlara ait liste bulunmaktadır. Kodlarınızı bir script dosyasına 55/115

56 yazarak (*.m file) komut satırında tekrar yazmak zorunda kalmazsınız ve sekmeler kısmında bulunan kısa yollar aracılığıyla istediğiniz şekilde debug edebilirsiniz, ve çalıştırabilirsiniz. Şekil22 Komutlarınızı bir script dosyasına kaydetmek için NewScript icon'na tıklayın yada File -> new -> script tıkladığınızda şekil23'deki editör karşınıza çıkacaktır, burada komutları yazdıktan sonra save icon'a tıklayarak dosyayı kaydedebilirsiniz. Kodlarınızı yazdıktan sonra kırmızı kutu içinde bulunan kısayollar aracılığıyla çalıştırabilir (run) ve satırlara durdurma noktaları koyabilirsiniz (breakpoints). Ayrıca ihtiyaç duyacağınız fonksiyonları bulabilmek için, yada fonksiyonların kullanım bilgilerine ulaşmak için (syntax) mavi kutu içindeki fx kısayoluna tıklayınız; ek olarak bu kısımdan kodu anlaşılabilir kılmak için işaretler ekleyebilirsiniz. 56/115

57 Şekil23 T =K m i V emf =K b w J w K f w=t =K m i mekanik kısma ait denklem ; L i R i=v K b w elektriksel kısma ait denklem ; L i R i=v K b w ; J s K f w s =K m I s =T s ; L s R I s =V s K b w s ; G s = Km w s rad /sec = [ ] V s J s K f L s R K m K b V 57/115

58 [ ] K f w = J K b i L [] KM 0 J w V 1 R i L L [][ ] [] y=[1 0] w i Km T s w s 1 = = V s K b w s L s R T s J s K b Yukarıda bir doğru akım motoruna ait elektriksel ve mekanik denklemler, sisteme ait transfer fonksiyonu, elektriksel ve mekanik kısımlara ait transfer fonksiyonları, ve sisteme ait durum eşitlikleri verilmiştir. Şekil24 ve şekil25'e bakıldığında modelleme daha iyi anlaşılacaktır. Matlab kodu aşağıdadır. Simülasyon grafikleri sırasıyla verilmiştir. Veriler hakkında daha detaylı bilgi için MATLAB'da kodu çalıştırdıktan sonra oluşturulan grafikler üzerine tıklayınız. Kendi tasarladığınız sistem sınırlamaları mevcutsa bunların karşılanıp karşılanmadığı görebilirsiniz. Matlab Kodu: % % % % % % % % % % % % % Tüm dosyalar ayni klasörde olmalidir. ÖNEMLi NOKTALAR: ***Tork akimla dogru ve gerilimle ters orantilidir.*** ***Açisal hiz gerilimle dogru orantilidir.*** ***Bundan dolayida tork açisal hizla ters orantilidir.*** ***Güç (akim x gerilim) tork x açisal hizla dogru orantilidir. Transfer fonksiyonlariyla ilgili ayrintili bilgi için dokumanlara bak. Matlab Help kismindan ilgili fonksiyonun nasil kullanildigina ait bilgilere erisebilirsiniz. Sisteme ait sinirlamalar: ***sifir yada minimum durgan hal hatasi*** zero or minimum steady-state response error ***En buyuk asim*** outrise ***maximum yukselme zamani*** maximum rise t. ***maximum yerlesme zamani*** maximum settling time ***kazanc ve faz marjinleri*** Gain and phase margins % Yeni bir pencere açar figure; imshow('dcdemofigures_01.png'); figure; imshow('dcdemofigures_02.png'); 58/115

59 Şekil24 Şekil25 59/115

60 R = 2.0; % Direnç Ohm cinsinden L = 0.5; % Bobin Henry cinsinden Km = 0.1; Kb = 0.1; % Tork ve ters EMK sabitleri ayni degerdedir. Kf = 0.2; % Nms J = 0.02; % Eylemsizlik momenti kg.m^2/s^2 h1 = tf(km,[l R]); % Armatür kismi transfer fonksiyonu h2 = tf(1,[j Kf]); % Yük kismi transfer fonksiyonu % size(ss(h2)) % ss(h2) % ss() fonksiyon state-space matrislerini oluuturur ve size(ss(h2)) % boyutlarini gösterir. % ss(h2) state space matrislerini ve boyutlarini görebilirisiniz. % x'=ax+bu y=cx+du; A Nx e Nx boyutlarinda, B Nx e Nu boyutlarinda, % C Ny e Nx boyutlarinda, D Ny e Nu boyutlarinda matrislerdir. % [h1, 1] iki giris tek cikis sistem olur MIMO. Birinci giristen cikisa % transfer fonksiyonu h1, ikincisi 1 dir. [h1, 1] yazdiginizda % gorebilirsiniz. dcm = ss(h2) * [h1, 1]; % Td torkdaki degisimi gostermektedir. dcm (bu adimda) = w = h2*(h1*va + % Td) Td tork degisikligi girisi eklendi, [h1, 1] bundan dolayi dcm adli % obje 1x2 ss objesidir. dcm = feedback(dcm,kb,1,1); % size(ss(dcm)) iki giris bir cikis iki durum elemani vardir. Kapali döngü % ters EMK, geri besleme olarak Matlab default olarak negatif geribesleme % kabul eder. eger iki 1 den sonra +1 yazilirsa pozitif geribeslemenin % isareti pozitif olur. Yukarida iki transfer fonksiyonu oldugunu % soylemistik. Bunlari Td kismindan sonra paralel olan iki blok ve sonra % cikista toplam olarak dusune bilirsiniz yada iki girisli bir sistem. % Bundan dolayi dcm 2x1 giris gerektiriir. Yani bir girisi Va olan diger % girisi Td olan cikisysa w olan bir blok diyagram olusturduk. kapali dongu % fonksiyonunda paremetre olarak index degerlerini yazdik, ilk 1 iki tane % olan giristen sadece 1 si yani Va, mesela 2 yazsaydik geribesleme Td % girisine baglanirdi; ikinci 1 cikisimizi gostermektedir zaten 1 tane onun % indexini yazdik oda w dir. bu olusturlan dcm ss objesi ileride % kullanilacaktir. figure; stepplot(dcm(1)); % sistemin birim basamak tepkisiyle (step response) açisal hizin degisimi % görülür. cikisin ilk girise olan degisimi gosterilmistir % stepplot(dcm(1,1)); ile aynidir. Td icin yani 2. girise uygulanan birim % basamak fonksiyonunun tepkisi gorulmek isteniyorsa stepplot(dcm(1,2)); % kullanilir. stepplot(dcm(1,:)); her iki cikisida gostermektedir. % unutmayin Td torkdaki degisimi gosermektedir. Yani motor yuke % bineceginden negatif degerler almasi gereklidir. 60/115

61 Şekil26 ylabel('\fontsize{16} Acisal Hiz (rad/s)'); xlabel('\fontsize{16} Zaman (s)'); title('\fontsize{16} Acisal hizin birim basamak tepkisiyle olan degisimi'); % ileri besleme dizaynina ait simülasyon figure; imshow('dcdemofigures_03.png'); 61/115

62 Şekil27 % kazanç degerinin belirlenmesi icin 1/birim basamak tepkisinin sonsuzdaki % degeri alindi. bunu acik cevrim sistemin cikisinin w duragan halde 1 % olmasi icin. yaptik Kff = 1/dcgain(dcm(1)); % Kff=4.1 dcgain(dcm(1))~0.24 yani w(s)/v(s) dc gain transfer fonksiyonun % s=0 iken degeridir. eger dcgain(dcm(1,2)) bulunmak istenseydi W(s)/T(s) % s=0 iken degerini bulurduk oda t = 0:0.1:15; % 0-15 s arasinda 0.1 adimla simülasyon icin noktalar belirledik. % Yükdeki degisiklik (tork) 5s ile 10s arasinda, -0.1 Nm tork degisikligi Td = -0.1 * (t>5 & t<10); % u giris matrisi 2x150 matrisdir. Cunku dcm 2x1 giris gerktiriyordu. Simdi % 150 tane deger icin u = [ones(size(t)) ; Td]; % w_ref=1 ve Td ne oldugunu yukarida belirttik % diag([kff,1]) diagonal matris olusturur Kff 1x1, ve 1 2x2 elamanlaridir. cl_ff = dcm * diag([kff,1]); % ileri beslemeli sistemin duragan halde (steady state) de degerinin 1 % olmasi icin Kff ile carpildi. Sistemin Td ile olan girisi eskisiyle ayni % ss objesine sahip, ve tum degerleri eskisiyle ayni. Fakat Va ile olan % girisi cl_ff ss objesine ait yeni ozellikler atandi, yeni obje eskisinin 62/115

63 % Kff katidir (yani amplifikator uygulanmistir). set(cl_ff,'inputname',{'w_ref','td'},'outputname','w'); % burada cl_ff ss objesine ait ozellikler atanmistir. % o ile 15 saniye arasinda 5s ile 10s arasinda -0.1Nm tork degisikligi için % sistemin tepksi gösterilir. figure; h = lsimplot(cl_ff,u,t); % cl_ff ileri besleme sistemine ait transfer fonksiyonu % lsimplot u giris matrisine ait t zaman araliginda sistemin cevabidir. % wref 1 olarak atanmistir. title('\fontsize{16} Acisal hizin acik cevrim sistemde basamak tepkisiyle olan degisimi'); legend('cl\_ff'); ylabel('\fontsize{16} Acisal Hiz (rad/s)'); % Grafikte belirtilen -0.1 Nm tork degisikliginin grafikde gösterilmesi line([5,5],[.2,.3]); line([10,10],[.2,.3]); text(7.5,.25,{'tork degisikligi','t_d = -0.1Nm'},... 'vertic','middle','horiz','center','color','r'); Şekil28 63/115

64 % Geri beslemeli sistemin sifir duragan hal hatasi icin, root locus yer kok % yontemi kullanarak K kazanç degerini bulma figure; h = rlocusplot(tf(1,[1 0]) * dcm(1)); setoptions(h,'frequnits','rad/s'); set(gca,'xlim',[-15 5],'Ylim',[-15 15]); % eksen limitleri Şekil29 64/115

65 Şekil30 % Geri beslemeli sistemle ileri beslemeli sistemin karsilastirilmasi K = 5; C = tf(k,[1 0]); % K/s kismina ait transfer fonksiyonu % append(c,1) 5/s, Sistemin Td ile olan girisi eskisiyle ayni ss objesine % sahip, ve tum degerleri eskisiyle ayni. Fakat Va ile olan girisi cl_rloc % ss objesine ait yeni ozellikler atandi, yeni obje eskisinin 5/s katidir % (yani amplifikator uygulanmistir). Bu islemler dcm * append(c,1) sonucuda % olusmustur. cl_rloc = feedback(dcm * append(c,1),1,1,1); % sisteme geribesleme için gerekli olan kisimlar eklendi. ilk bir % geribeslemenin degerinin 1 oldugunu gosterir. Birinci giris yani wref'e % geribesleme yapilmistir, ikinci 1 bunu gosterir. ucuncu 1 geribeslemein % alindigi cikis yani w gostermektedir. default olarak Matlab'da % geribesleme katsayisi negatif kabul edildiginden sistem girisi wref-w dir figure; h = lsimplot(cl_ff,cl_rloc,u,t); set(cl_rloc,'inputname',{'w_ref','td'},'outputname','w'); title('ileri besleme ve geri beslemeli sistemlerin acisal hizinin tork degisimine olan tepkisi') legend('ileribesleme','geribesleme (rlocus)','location','northwest') 65/115

66 Şekil31 % daha iyi geribesleme performansi elde etmek için Lineer Quadratic % Regulator Modeli (LQR) Va = K1 * w + K2 * w/s + K3 * i kullanildi. Bu % modelde Va girisine uygulanacak sinyal w cikis ve i akim dan elde edilir. % bunlarin sisteme ait durum vektorunun elemanlari olduguna dikkat edin. % x=(w,i) boylece sistemdeki degisim hakkinda daha fazla veri elde edilmis % olunur. q(s)=w(s)/s dir. figure; imshow('dcdemofigures_05.png'); 66/115

67 Şekil32 % [1 ; tf(1,[1 0])] birinci transfer fonksiyonu 1 ikinci transfer % fonksiyonu 1/s dir. dc_aug = [1 ; tf(1,[1 0])] * dcm(1); % size(ss(dc_aug)) dc_aug iki cikisli bir girisli uc durum elemani olan bir % ss objesidir. w/s olan bir cikis daha modele, birinci girise uygulanacak % sekilde DC motor modeline eklendi. daha once bahsettigimiz gibi % w(s)/s cikisni kullanacagimizdan bu cikisa ihtiyac duyduk. lqry % lineer quadratik durum geribesleme regülatörü dizayn eder. kullanim % [K,S,e] = lqry(ss,q,r,n) seklindedir. Daha iyi tork degisikligini yok % etmek icin (disturbance rejection) cost fonksiyonu su sekilde % hesaplanmistir. cost J= integral 0->sonsuz % (20i^2(t)+w^2(t)+0.01Va^2(t))dt K_lqr = lqry(dc_aug,[1 0;0 20],0.01); % K_lqr geribeslemeye ait K, S, ve e (F geribesleme ve W bizim % notasyonumuzda) degerlerini verir. e burada kapali cevrim eigenvalue % lardir e=eign(a-b*k). K yeni bloklardaki katsayilara sahip. P = augstate(dcm); % durum vektörünü çikis vektörüne ekler x'=ax+bu y=cx+du; % y = C x+ D u tek bir esitlik haline gelir. % x = I /115

68 % sistem 3 cikisli 2 durumlu 2 girisli oldu % girisler:va,td çikislar:w,x(w,i); x burada i ve w gostermektedir C = K_lqr * append(tf(1,[1 0]),1,1); % 44.72, 36.97, K_lqr katsayilarla 1/s 1 1 carpildi C = 44.72/s, % 36.97, oldu. OL = P * append(c,1); % Açik çevrim dizayn Va=44.72*w/s+36.97*w+15.18*i su anda geribesleme % eklenmedi OL 3 cikis 4 giris 3 durumlu bir objedir. 3 giris Va icin % yukaridaki denklemde verilmistir. diger giris Td icindir CL = feedback(ol,eye(3),1:3,1:3); % kapali çevrim dizayn. eye(3) 3x3 birim matrisdir. ilk 1:3 1 den 3 kadar % tum girisler ve ikinci 1:3 1 den 3 kadar tum cikislari temsil eder. % bunlar sirasiyla birbirine baglanir. default olarak negatif geribesleme % var. cl_lqr = CL(1,[1 4]); % Elimizde sistem 4 giris 3 cikisli, bizim ihtiyacimiz olan LQR sisteme % ait sistem (w_ref,td)->w iki giris 1 cikisli olmali 1 cikis w ve 1 ve 4 % giris wref ve Td secildi. figure; h=bodeplot(cl_ff,cl_rloc,cl_lqr); Şekil33 68/115

69 % Grafikle ilgili eksenleri isimlendirmede problem oldugu icin yeniden % isimlendirme yaptik. Frekans birimini Hz degistirdik, karisiklik % olmamasi acisindan. Bu LTI objeleri anlamak acisindan iyi bir uygulamadir P=getoptions(h); P.FreqUnits = 'Hz'; P.Title.String='Transfer Fonksiyonlarina Ait Bode Grafigi'; P.XLabel.String='Frekans (acisal frekans degil)'; P.YLabel.String={'Faz Farki (derece)','genlik (db)'}; setoptions(h,p); legend('ileribesleme','geribesleme (rlocus)','geribesleme (LQR)','Location','NorthEastOutside') % üç sisteme ait asimptotik bode grafigi burada frekansa (not açisal % frekans degil) göre üç sistemin degisimi gozlenmektedir. Bundan dolayi x % ekseninin birimini Hz olarak kullanacagiz ust satir genligi alt satir faz % farkini göstermektedir. Sol tarafdaki grafiklerde I/O wref to w, sag % tarafdaki grafiklerde I/O Td to w transfer fonksiyonlari bunlara gore % ayarlandi. figure; h = lsimplot(cl_ff,cl_rloc,cl_lqr,u,t); title('ileri besleme ve geri beslemeli sistemlerin acisal hizinin tork degisimine olan tepkisi') legend('ileribesleme','geribesleme (rlocus)','geribesleme (LQR)','Location','NorthWest') 69/115

70 Şekil34 Simulink Aracılığıyla Doğru Akım Motor Modelleme ve Simülasyon Doğru akım motorunu ait Matlab'da yapılan modelleme ve simülasyon aynı şekilde Simulink aracılığıyla da yapılabilir. Simulink Library Browser'ı açmak için Şekil22'de görünen Matlab ekranında, Simulink Library kısayoluna tıklayınız. Aynı şekilde, Matlab Command Line kısmında >>simulink komutunu yazılınca Simulink açılır. Açılan pencerede File -> New seçerek kendi modelinizi oluşturmak için boş bir çalışma sayfası açabilirsiniz. Şekil36'de görünen Simulink Library Browser aracılığıyla istediğiniz model bloğunu seçerek çalışma sayfanıza sürükleyiniz. Daha sonra seçilen modellere ait giriş çıkış pinleri birbirine bağlayınız ve bloklara ait parametreleri atayınız. Bağlantıları yaparken dikkat edilmesi gereken bir husus modellerin bazıları giriş, bazıları çıkış, ve diğer kısmıda hem giriş hem çıkış özelliğine sahip olmasıdır. Bundan sonra oluşturduğunuz çalışmanın simülasyonunu yapabilirsiniz. Oluşturduğunuz modelin üzerine tıklayarak alt modelleri görebilirsiniz. Şekil36'da bir doğru akım motoruna ait oluşturulan dizayn ve Library browser gösterilmiştir. 70/115

71 Simülasyonu çalıştırmak için modellere atanan değişkenlere ait değerler View-> Model Explorer -> Base Workspace den ayarlanabilir, şekil37'de değişkenlere atanan değerler gösterilmiştir. Simulation-> Configuration Parameters kısmından uzun süre beklememek için simülasyon süresi stop time 0.2s ve solver ode15 ayarlanabilir (şekil38). Simulink modeline ait denklemler aşağıda verilmiştir. Simülasyonu yapmadan önce blok diyagramın girişine step, çıkışına scope, şekil39'daki gibi bağlanır ve step için step time 0, initial value 0 ve final value 1'e ayarlanır. Run tuşuna basılarak simülasyon çalıştırılır ve scope üzerinde tıklanarak sistemin tepkisi görülebilir, daha net görüntü için autoscale tuşuna basınız. Şekil40'da sistemin tepkisi görülmektedir, bununla birlikte Simulink Profile Summary Report'da gözükmektedir. Ayrıca bağlantıların üzerine çift tıklayarak çalışmanızı anlaşılabilir kılmak açısından isimlendirme yapabilirsiniz. Şekil36 71/115

72 Şekil37 72/115

73 Şekil38 73/115

74 Şekil39 74/115

75 Şekil40 Tüm bunlara ek olarak Matlab'da kodladığınız bir fonksiyonu Simulink'e aktarıp bir model halinde ihtiyaç duyduğunuz yerlerde kullanabilirsiniz. Fonksiyon için yazılan script dosyası %#eml başında olacak şekilde derlenir. Bu kodu Simulink ortamında kullanabilmek için Embedded Matlab Function modelini çalışmanıza eklemeniz gerekmektedir. Embedded Matlab Function modeli için açılan alanda yazdığınız bu fonksiyonu kullanabilirsiniz. MATLAB üzerinde kullanılan tüm bu fonksiyonların kullanımlarına script editor üzrinde Fx ikonu üzerinden bakabilirsiniz. 75/115

76 Sorular 1- Şekil41'de bulunan mekanik kütle yay sisteme ait modelin (a) seçeneğini Matlab'da ve (b) seçeneğini Simulink'de simülasyonunu yapınız. a) m=1, b=0.3, k= 0.2, x(0)=0.1, x'(0)=0.05, F=0 (sönümlemede) b) m=1, b=0.7, k=1, x(0)=0, x'(0)=0, F=1 Şekil41 2- Basit bir osilatör (wien köprü, ring yada kristal osilatör gibi) devresini teorik olarak ortaya koyup, blok diyagramını çiziniz. 3- Paralel RLC devresini teorik olarak ortaya koyup, Matlab ve Simulink'de aşağıdaki değerler için simülasyonunu yapınız. R=800 ohm, C=50 uf, L=50 mh, i(t)= 50*exp(-200*t)*sin(120*pi*t), sin(1.1*t), sin(0.9*t). 4- Şekil42'deki PID geribesleme kontrolörünü doğru akım motorunun hızını kontrol etmek amacıyla dizayn ediniz ve Matlab ve Simulink'de simülasyonunu yapınız. Şekil42 5- Herhangi bir ikinci dereceden aktif geribeslemli lowpass filtrenin devresini çiziniz, transfer 76/115

77 fonksiyonunu bulunuz, ve simülasyonunu yapınız. 6- Matlab'da simülasyonu yapılan doğru akım motoruna ait modellemeleri ve simülasyonu, transfer fonksiyonunu ve toplayıcıyı kullanarak Simulink'de yapınız. 7- İki eksenli hareket edebilen bir robot kola ait kontrol sistemini teorik olarak ortaya koyunuz, blok diyagramında gösteriniz ve Simulink'de simülasyonunu yapınız. 8- Tek fazlı asenkron motora ait açısal hız ve giriş gerilimi arasındaki transfer fonksiyonunu bulunuz. Doğru akım motoru için yapılan modellemenin ve simülasyonun benzerini tek fazlı bir asenkron motor için yapınız. Modelin Bode grafiğini oluşturup, bu grafiği yorumlayarak motor hız kontrolüne ait alternatif yöntemler öneriniz. Ek Okuma Çalışmaları Genel olarak konuların daha iyi anlaşılabilmesi açısından, aşağıda verilen akademik yayınlardan birini yada benzerini okuyunuz. 1- SERVO SİSTEMLERİN MATLAB ÜZERİNDEN GÖMÜLÜ SİSTEMLER ile PID KONTROLÜ. Aydın GÜLLÜ*, Mustafa ARDA*, Hilmi KUŞÇU***Trakya Üniversitesi, İpsala MYO, Elektronik ve Otomasyon Bölümü, Edirne**Trakya Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, Makina Mühendisliği Bölümü, Edirne 2- Güneş Pili Modülünün Matlab/Simulink ile Modellenmesi ve Simülasyonu Modeling and Simulation of Solar Cell Module in Matlab/Simulink.Mustafa Ergin Şahin, Halil İbrahim Okumuş Fizik Bölümü, Fen Edebiyat Fakültesi RTE Üniversitesi, RİZE Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü, KTÜ Mühendislik Mimarlık Fakültesi, TRABZON Bunlara ek olarak dokümanlar içerisinde okuyabileceğiniz akademik yayınlar bulunmaktadır. MATLAB'a alternatif olarak free-share GNU Octave ve Scilab programları kullanılabilir. Ayrıca, MATLAB ortamında sistem tasarımı için embedded MATLAB dökümanı eklerde bulunmaktadır. Yararlanılan ve faydalı olabilecek linkler: [1] [2] [3] [4] 77/115

78 [5] MATLAB ve SIMULINK'le Modelleme Kontrol I ve II, Zafer Birgül ISBN; [6] [7] [8] [9] %20Simulink/Introduction%20to%20Simulink.pdf [10] [11] [12] 78/115

79 Soru Çözümleri 1- Dinamik kütle yay sistemi: 1 F=m x +b x +k x x = [F b x k x ]F kuvvetiicin m m [ s2 X (s ) s x (0) x (0)]+b [s X ( s)+x (0)]+k X (s)=f (s) 2 m [ s X ( s ) s x (0) x ( 0)]+b [ s X ( s)+ x (0)]+k X (s)=0 (m s 2+b s+k ) X ( s )=m x( 0) s+m x ( 0)+b x(0) X ( s )= m x (0) s+m x (0)+b x (0) m s 2 +b s+k m=1, b=0.3, k=0.2, x 0 =0.1, ve x 0 =0.05 ve toplam kuvvetler icin X s = F s =s F s f 0 F s =s 2 F s s f 0 f s 0.08 s 0.3 s Yukarıdaki kütle yay sistemine ait Simulink dizaynlarını kullanarak aynı simülasyonları yapabilirsiz. X=tf([ ],[ ]); % 1/s ile carpanina ayrildi, cunku sadece X(s) var. assagidaki birim % basamak tepkisi konumun degisimini gostermektedir. step(x); 79/115

80 Konumun zamana göre değişimi 80/115

81 2- Kapalı Çevrim Osilatör Devresi: g (t )gürültü çıkısv A(s) B(s) Basit bir kapalı çevrim sisteme ait blok diyagramlarıyla bir osilatör devresini modelleyebiliriz. A amplifikatör, B geri besleme kısmını göstermektedir. (S=jw) Devre ilk anda gürültü g(t) aracılığıyla çalışmaya başlar. Kapalı çevrim lineer bir devrenin, çevrim kazancı A(s)B(s) 1'e eşitse ve faz farkı 0 veya 2 pi nin katları ise osilasyonu sürdürecekdir. V s A s = G s 1 A s B s 3- Paralel RLC devresi: Zaman domeni: 1. Direnç v t =i t R 2. Bobin v t = L i t t 3. Kondansatör V t i t =C C t s-domeni: 1. Direnç 81/115

82 V s =I s R 2. Bobin - V s =L [s I s i 0 ]=s L I s L I 0 I s = V s L I 0 V s I 0 = s L s L s 3. Kondansatör I s =C [ s V s v 0- ]=s C V s C V 0 V s = I s V 0 s C s Direnç için zaman domeni ve Laplace domeni Kondansatör için zaman domeni ve seri ve paralel Laplace domeni 82/115

83 Bobin için zaman domeni ve seri ve paralel Laplace domeni Paralel RLC Devresi Laplace domeninde, aynı zaman domeninde olduğu gibi süperpozisyon teoremi, kaynak dönüşümleri, seri ve paralel empedans dönüşümleri, göz akımları yöntemi, düğüm gerilimleri yöntemi, KVL, ve KCL geçerlidir. Giriş sinyali t=0 dan itibaren uygulandığında, aşağıdaki denklem elde edilir. s C V s V s V s I s = R s L s V s G s = = I s 1 C s s R C L C Yukarıdaki denklemde pasif elemanlara ait başlangıç değerlerinin t=0 0 olduğuna dikkat ediniz. Herhangi bir elemanın, Laplace domenine ait ifadeleri yazılırken ya toplam akıma yada toplam gerilime göre uygun modeli kullanmaktayız. Aşağıda, paralel bir RLC devresine ait transfer fonksiyonu verilmiştir. Daha önceden belirttiğimiz gibi transfer fonksiyonu doğrusal sistemler için kullanılmaktadır (zamanla değişip yada değişmemesi önemli değil), LTI sistemler gibi. Blok diyagram gösterimini alıştırma olarak yapabilirsiniz. (transfer fonksiyonundan bulabilirsiniz) 83/115

84 R=800 ohm, C=50uF, ve L=50mH değerleri için çıkış gerilimini bulalım. Giriş sinyali t=0 anından itibaren uygulandığında yukarıdaki transfer fonksiyonu yazılırdı. Normal koşullarda aşağıdaki transfer fonksiyonu geçerlidir. V s G s = = I s s C s2 1 1 s R C L C Not; Bu devre için DC yada step fonksiyonu uygulandığında çıkış gerilimi çok kısa sürede 0 olur. (Bobin sonsuzda kısa devredir) Bundan dolayı farklı sinyaller uygulayınız. clc R=800; C=50*10^(-6); L=50*10^(-3); G=tf([1/C 0],[1 1/(R*C) 1/(L*C)]) T=ss(G) % Durum denklemleri ss objesiyle verilmektedir. diferansiyel denklemlere % buradan ulasilabilir. u(t) siz figure; bodeplot(t); % akima ait bir giris fonksiyonu olusturalim. t=0:0.01e-3:40e-3; akim=50*exp(-200*t).*sin(120*pi*t).*1; % u(t) hali hazirda eklendi % Matlab'da her islem matrisler uzerinden yapilmaktadir. Bundan dolayi. % parantezin sonuna eklenmistir t=0 giris fonksiyonu sifirdir. t=t*1000; figure; h=plot(t,akim,'b'); set(h,'linewidth',1.2); xlim([0 max(t)]); box off; xlabel('time (ms)'); ylabel('(amper)'); subplot(312), lsim(t,sin(1.1*t),t), title('w = 1.1') subplot(313), lsim(t,sin(0.9*t),t), title('w = 0.9') figure; k=lsimplot(t,akim,t); xlabel('time (ms)'); % P=getoptions(k,'InputVisible') % P.InputVisible={'off'}; % P.OutputVisible={'on'}; 84/115

85 % setoptions(k,p); % setoptions(k,'inputvisible','off'); % lsimplot(g,akim,t); ayni sonucu verir xlim([0 max(t)]); isstable(g) % sistemin kararli olup olmadigini gosterir. yada isstable(g*inputtf) G= s s^ s + 4e05 Continuous-time transfer function. T= a= x1 x2 x x b= u1 x1 128 x2 0 c= x1 x2 y d= u1 y1 0 Continuous-time state-space model. ans = 1 >> 85/115

86 Bode Grafiği Sisteme ait faz marjinleri 86/115

87 Verilen bir giriş fonksiyonu (zaman ekseni ms cinsinden) Verilen giriş fonksiyonu ve sistemin tepkisi (ms cinsinden x ekseni) 87/115

88 Sistem kazancının 0db olduğu nokta kazanç geçiş frekansı (gain crossover frequency) ve fazın -180 olduğu nokta faz geçiş frekansı (phase crossover frequency) olarak adlandırılmaktadır. Kazanç marjini, faz geçiş frekansında sistemi kararsız olması için ne kadar kazanç değişikliği gerekli olduğunu göstermektedir. (yada kapalı çevrim sistemin kararlılığını bozmadan, açık çevrim sistemin kazancının ne kadar arttırılabileceğini göstermektedir) Benzer şekilde faz marjini, kazanç geçiş frekansında sistemin kararsız olması için ne kadar faz değişikliği gerekli olduğunu göstermektedir. (yada kapalı çevrim sistemin kararlılığını bozmadan, açık çevrim sistemin fazının ne kadar arttırılabileceğini göstermektedir) Tüm bu işlemler için bode grafikleri kullanılmaktadır. Konuyu daha iyi anlayabilmek için Matlab komut satırında margin_gui komutu yazarak kapalı çevrim bir sisteme ait kazanç ve faz marjinleri analizi yapılabilir. Bode grafiği üzerinde Characteristics -> Minimum Stability Margins bu kısmından kazanç ve faz marjinlerine ulaşabilirsiniz. Sizde RLC değerlerini değiştirerek sistemin kararlılığını bozmadan istenilen frekansda ve fazda devre sinyallerini elde edebilirsiniz. Eğer sisteme ait başlangıç değerleri sıfırdan farklı olarak verilmiş olsaydı, yüksek bir ihtimalle transfer fonksiyonu yöntemini uygulayamayacakdık. Bundan dolayı devreye ait elektriksel denklemleri kullanarak durum eşitlikleri yöntemini kullanmamız gerekecekdi. Ayrıca, durum denklemleri yöntemi kullanıldığında lsimplot() fonksiyonu default olarak durum değişkenlerini başlangıç koşulunda 0 kabul ederek grafikleri oluşturur, ve bundan dolayı grafikleri oluştururken bu durumu da göz önüne almamız gerekirdi. lsimplot(sys,u,t,x0) x0 durum değişkenlerine ait başlangıç koşullarını göstermektedir, kondansatörun başlangıçdaki gerilim değeri veya bobinin başlangıçdaki akımı gibi. Paralel RLC devresinin, Simulink modeline transfer fonksiyonu yöntemiyle yapılmış dizayn ektedir. Buna ek olarak rlc_gui Matlab komut satırında yazıldığında, istenilen frekansı geçiren seri yada paralel RLC devresinin oluşturduğu sisteme ait bode diyagramı, sıfır kutup noktaları, nyquist diyagramı, basamak tepkisi elde edilebilir. Aşağıda alçak geçiren seri ve paralel RLC devresine ait grafik arayüz gösterilmişdir. Daha önceden PID kontrölör kısmında belirtildiği gibi direnç değeri statik durumu geliştirmekde, bobin değeri kalıcı hal hatasını azaltır ve kondansatör değeriyse geçici hal cevabını düzenlemektedir. RLC Değerleri değiştirilerek bu etkiler daha iyi gözlemlenebilir. Simulink'i Normal modda simülasyon yapacak şekilde çalıştırıldığında simulasyon daha kısa sürecekdir. Giriş sinyalini oluşturabilmek için çeşitli bloklardan faydalandık. Simulink'de, darbe yada kısa süreli pulse diyebiliriz (dirac delta) fonksiyonu iki basamak fonksiyonunun çok kısa bir zaman aralığında uygulanmasıyla oluşturulmaktadır. Kullanılan bloklarla ilgili parametrelere bakarak işlemler daha iyi anlaşılacakdır. Benzer şekilde seri RLC devresine ait diferansiyel denklemler, transfer fonksiyonu, ve blok diyagramları bulunabilir. 88/115

89 89/115

90 90/115

91 4- PID kontrolörle doğru akım motorunun modellenmesi: PID kontrolöre ait transfer fonksiyonu aşağıda verilmiştir. C(s) PID transfer fonksiyonunu, sabitler sırasıyla türev, orantı, ve integral kontrolör kazançlarını göstermektedir. (derivative, proportional, and integrator) Daha önceden 2 C s = K d s K p s K i s PID kontrolör sisteme ait sınırlamaları ayarlamaktadır. Daha önceden Root Locus yönteminde bahsedildiği gibi, açık çevrim kazancı sistemin kararlılığını ayarlamaktadır. PID kontrolörde orantı kontrolör kazancı sistemin stattik olarak geliştirmektedir. Fakat orantı kontrolör kazancıyla en yüksek aşım ve yükselme zamanı artmaktadır. Türev kontrolör kazancı en büyük aşımı ve integral kontrolör kazancı kalıcı durum hatasını azaltmaktadır. Bundan dolayı PID kontrolörü kullanırız. Modele ait parametreleri Step(ss1,ss2,ss3) şeklinde değiştirerek bu durumu teyid edebilirsiniz. Yada sisotool(sys_cl) SISO design tool açıldıktan sonra analysis plots parametrelerini atayarak yapabilirsiniz. Aynı şekilde Simulink'de aşağıdaki sisteme ait simülasyonlar yapılabilir. DC motor PID kontrolörle modellenmesi % PID controller design J=0.01; b=0.1; K=0.01; R=1; L=0.5; feedforward = tf(k,[l R])*tf(1,[J b]); Gv = feedback(feedforward,k); % s = tf('s'); % Gv = K/((L*s + R)*(J*s + b) + Kˆ2); Ga = Gv*tf([1],[1 0]); % Aciya ait transfer fonksiyonu Kp = 1; Ki = 0.8; Kd = 0.3; % Kp = 1; Ki = 0.8; Kd = 0.3; degerleriyle deneyiniz. % C = tf([kd Kp Ki],[1 0]); % PID yontemiyle C = pid(kp,ki,kd); sys_cl = feedback(c*ga,1); 91/115

92 step(sys_cl,[0:1:200]) % Ki ve Kd degerleri kucuk secildi title('dusuk degerli Ki Kd PID Kontrolor birim basamak tepkisi') % Root locus yontemiyle kazancin atanmasi grafik uzerine tiklayiniz. D = tf([kd Kp Ki],[1 0]); figure; rlocus(ga*d); Kp = rlocfind(ga*d); Gc = feedback(ga*d*kp,1); figure; step(gc,0:1:200) 92/115

93 Kazancının Kp Root Locus diyagramından seçimi Basamak tepkisi 93/115

94 5- Alçak geçiren OPAMP'a ait açık çevrim ve kapalı çevrim ikinci dereceden transfer fonksiyonları. filtreye ait şema kontrolörler kısmında verilmişdir. Açık çevrim OPAMP 94/115

95 Kapalı Çevrim OPAMP Kapalı çevrim sisteme ait blok diyagram 95/115

96 a0 = 1e5; w1 = 1e4; w2 = 1e6; s = tf('s'); a = a0/(1+s/w1)/(1+s/w2) % OPAMP acik cevrim transfer fonksiyonu, iki adet kutup w1 ve w2 ve a0 dc % kazanc h = bodeplot(a,'r'); setoptions(h,'frequnits','rad/s','magunits','db','phaseunits','deg',... 'YLimMode','Manual','YLim',{[0,110],[-180,0]}); a_norm = a / dcgain(a); % birim transfer fonksiyonu, birim basamak tepkisi 1 yaklasacak figure; stepplot(a_norm,'r') title('birim acik cevrim basamak tepkisi'); ylabel('birim Genlik'); A0 = 10; b = 1 / A0; % resistive geribesleme eklendi R1 ve R2 % A=V0/Vp=a/(1+ab) kapali cevrim transfer fonksiyonu, yaklasim ab>>1 A=1/b. % b=r1/(r1+r2), ve kazancin 10 (A0) olmasini istedik R1 = 10000; R2 = R1 * (1/b - 1) A = feedback(a,b); bodemag(a,'r',a,'b'); legend('acik cevrim kazanc (a)','kapali cevrim kazanc (A)') set(gca,'ylim',[0,110]) % Annotations opampdemo_annotate(1) 96/115

97 97/115

98 6- Matlab'da simülasyonu yapılan doğru akım motoruna ait modellemeleri ve simülasyonu, transfer fonksiyonunu ve toplayıcıyı kullanarak Simulink'de yapılışı 4 dosyada mevcuttur. İki kanallı scope görebilmek için scope ekranında parameters kısmına tıklayarak Number of Axeses kısmını 2 olarak değiştiriniz. (4. simülasyona ait lqr kontrolör güncellenecekdir) Simulink'de, darbe yada kısa süreli pulse diyebiliriz (dirac delta) fonksiyonu iki basamak fonksiyonunun çok kısa bir zaman aralığında uygulanmasıyla oluşturulmaktadır. Kullanılan bloklarla ilgili parametrelere bakarak işlemler daha iyi anlaşılacakdır. Doğrusal ikinci dereceden kontrölör tasarımında Control System Toolbox'ın dabulunan LTI system blokları ve State-space bloğu kullanılmışdır. 98/115

99 99/115

100 100/115

101 101/115

102 102/115

103 103/115

104 104/115

105 7- İki ayrı konum kontrolü sağlayan doğru akım motoruna ait sistem ortaya çıkmaktadır (sadece dc motor hız kontrolü sisteminin sonuna integral alıcı kontrolör eklenmiştir). Sisteme faklı giriş sinyalleri ekleyerek farklı koordinatlar elde edebilirsiniz. Giriş sinyalleri uygulandığı sürece konum artmaktadır. 105/115

106 Giriş Sinyali 106/115

107 Çıkış Sinyali (konum) 107/115

108 8- Tek fazlı asenkron motora ait açısal hız ve giriş gerilimi arasındaki transfer fonksiyonunu doğru akım motoruna benzer bir model uygulandığında aynı transfer fonksiyonu bulunur. Aynı şekilde Simülasyon benzer sonuç verecekdir. Bode grafiğine bakıldığında giriş sinyali genliği arttığında hız artmakda ve frekans arttıkça hız azalmaktadır. Bundan dolayı hız kontrolü için genlik dönüşümü (iletim açısı kontrolü, gerilim ayarı gibi) yada frekans dönüşümü (frekans invertörü gibi) yöntemleri kullanılmaktadır. 108/115

H(s) B(s) V (s) Yer Kök Eğrileri. Şekil13. V s R s = K H s. B s =1için. 1 K H s

H(s) B(s) V (s) Yer Kök Eğrileri. Şekil13. V s R s = K H s. B s =1için. 1 K H s Yer Kök Eğrileri R(s) K H(s) V (s) V s R s = K H s 1 K H s B s =1için B(s) Şekil13 Kapalı çevrim sistemin kutupları 1+KH(s)=0 özyapısal denkleminden elde edilir. b s H s = a s a s K b s =0 a s K b s =0

Detaylı

Dumlupınar Üniversitesi Kontrol Sistemlerinin Temelleri Hazırlayan: Kazım EVECAN Kontrol Sistemleri. Şekil1

Dumlupınar Üniversitesi Kontrol Sistemlerinin Temelleri Hazırlayan: Kazım EVECAN Kontrol Sistemleri. Şekil1 Kontrol Sistemleri Kısaca elde edilmek istenen veriyi yada verileri düzenlemek ve kumanda etmek amacıyla bir araya gelmiş elemanlar topluluğuna kontrol sistemi denilir. Kontrol sistemleri günümüzde yaygın

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI İşaret akış diyagramları blok diyagramlara bir alternatiftir. Fonksiyonel bloklar, işaretler, toplama noktaları

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ. DİNAMİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ ve ANALİZİ

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ. DİNAMİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ ve ANALİZİ OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ DİNAMİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ ve ANALİZİ 1) İdeal Sönümleme Elemanı : a) Öteleme Sönümleyici : Mekanik Elemanların Matematiksel Modeli Basit mekanik elemanlar, öteleme hareketinde;

Detaylı

ELN3052 OTOMATİK KONTROL MATLAB ÖRNEKLERİ - 2 TRANSFER FONKSİYONU, BLOK ŞEMA VE SİSTEM BENZETİMİ UYGULAMALARI:

ELN3052 OTOMATİK KONTROL MATLAB ÖRNEKLERİ - 2 TRANSFER FONKSİYONU, BLOK ŞEMA VE SİSTEM BENZETİMİ UYGULAMALARI: ELN35 OTOMATİK KONTROL MATLAB ÖRNEKLERİ - TRANSFER FONKSİYONU, BLOK ŞEMA VE SİSTEM BENZETİMİ UYGULAMALARI: Control System Toolbox içinde dinamik sistemlerin transfer fonksiyonlarını tanımlamak için tf,

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Contents. Doğrusal sistemler için kontrol tasarım yaklaşımları

Contents. Doğrusal sistemler için kontrol tasarım yaklaşımları Contents Doğrusal sistemler için kontrol tasarım yaklaşımları DC motor modelinin matematiksel temelleri DC motor modelinin durum uzayı olarak gerçeklenmesi Kontrolcü tasarımı ve değerlendirilmesi Oransal

Detaylı

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ 6.2. Laplace Dönüşümü Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) ya da L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s; ÇÖZÜM: a) b) c) ÇÖZÜM: 6.3.

Detaylı

Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ

Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Kapalı-döngü denetim sisteminin geçici-durum davranışının temel özellikleri kapalı-döngü kutuplarından belirlenir. Dolayısıyla problemlerin çözümlenmesinde, kapalı-döngü

Detaylı

Kontrol Sistemlerinin Analizi

Kontrol Sistemlerinin Analizi Sistemlerin analizi Kontrol Sistemlerinin Analizi Otomatik kontrol mühendisinin görevi sisteme uygun kontrolör tasarlamaktır. Bunun için öncelikle sistemin analiz edilmesi gerekir. Bunun için test sinyalleri

Detaylı

KST Lab. Shake Table Deney Föyü

KST Lab. Shake Table Deney Föyü KST Lab. Shake Table Deney Föyü 1. Shake Table Deney Düzeneği Quanser Shake Table, yapısal dinamikler, titreşim yalıtımı, geri-beslemeli kontrol gibi çeşitli konularda eğitici bir deney düzeneğidir. Üzerine

Detaylı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 301 Kontrol Sistemleri I.

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 301 Kontrol Sistemleri I. TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 3 Kontrol Sistemleri I Ara Sınav 8 Haziran 4 Adı ve Soyadı: Bölüm: No: Sınav süresi dakikadır.

Detaylı

BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme MATLAB SIMULINK. İlhan AYDIN

BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme MATLAB SIMULINK. İlhan AYDIN BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme MATLAB SIMULINK İlhan AYDIN SIMULINK ORTAMI Simulink bize karmaşık sistemleri tasarlama ve simülasyon yapma olanağı vermektedir. Mühendislik sistemlerinde simülasyonun önemi

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

MATLAB'dan doğrusal sistemlerin matematiksel modellemesi için transfer fonksiyonu, sıfırkutup-kazanç, durum uzayı vs. gösterimler kullanılabilir.

MATLAB'dan doğrusal sistemlerin matematiksel modellemesi için transfer fonksiyonu, sıfırkutup-kazanç, durum uzayı vs. gösterimler kullanılabilir. Contents MATLAB'da doğrusal sistem modelleri Transfer fonksiyonu gösterimi Transfer fonksiyonu ile ilgili bazı faydalı komutlar Transfer fonksiyonunun sıfırlar, kutuplar ve kazanç (zpk) olarak ifadesi

Detaylı

ANALOG ELEKTRONİK - II. Opampla gerçekleştirilen bir türev alıcı (differantiator) çalışmasını ve özellikleri incelenecektir.

ANALOG ELEKTRONİK - II. Opampla gerçekleştirilen bir türev alıcı (differantiator) çalışmasını ve özellikleri incelenecektir. BÖLÜM 6 TÜREV ALICI DEVRE KONU: Opampla gerçekleştirilen bir türev alıcı (differantiator) çalışmasını ve özellikleri incelenecektir. GEREKLİ DONANIM: Multimetre (Sayısal veya Analog) Güç Kaynağı: ±12V

Detaylı

MEB YÖK MESLEK YÜKSEKOKULLARI PROGRAM GELĐŞTĐRME PROJESĐ. 1. Endüstride kullanılan Otomatik Kontrolun temel kavramlarını açıklayabilme.

MEB YÖK MESLEK YÜKSEKOKULLARI PROGRAM GELĐŞTĐRME PROJESĐ. 1. Endüstride kullanılan Otomatik Kontrolun temel kavramlarını açıklayabilme. PROGRAMIN ADI DERSĐN ADI DERSĐN ĐŞLENECEĞĐ YARIYIL HAFTALIK DERS SAATĐ DERSĐN SÜRESĐ ENDÜSTRĐYEL OTOMASYON SÜREÇ KONTROL 2. Yıl III. Yarıyıl 4 (Teori: 3, Uygulama: 1, Kredi:4) 56 Saat AMAÇLAR 1. Endüstride

Detaylı

SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER

SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER Bu bölümde aşağıdaki başlıklar ele alınacaktır. Sonsuz dürtü yanıtlı filtre yapıları: Direkt Şekil-1, Direkt Şekil-II, Kaskad

Detaylı

Ders #9. Otomatik Kontrol. Kararlılık (Stability) Prof.Dr.Galip Cansever. 26 February 2007 Otomatik Kontrol. Prof.Dr.

Ders #9. Otomatik Kontrol. Kararlılık (Stability) Prof.Dr.Galip Cansever. 26 February 2007 Otomatik Kontrol. Prof.Dr. Der #9 Otomatik Kontrol Kararlılık (Stability) 1 Kararlılık, geçici rejim cevabı ve ürekli hal hataı gibi kontrol taarımcıının üç temel unurundan en önemli olanıdır. Lineer zamanla değişmeyen itemlerin

Detaylı

FIRAT ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EMÜ-419 OTOMATİK KONTROL LABORATUARI DENEY 8

FIRAT ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EMÜ-419 OTOMATİK KONTROL LABORATUARI DENEY 8 FIRAT ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EMÜ-419 OTOMATİK KONTROL LABORATUARI DENEY 8 DC MOTORUN TÜM DURUM GERİ BESLEMELİ HIZ KONTROLÜ VE CE120 CONTROLLER SETİN

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

(Mekanik Sistemlerde PID Kontrol Uygulaması - 3) HAVA KÜTLE AKIŞ SİSTEMLERİNDE PID İLE SICAKLIK KONTROLÜ. DENEY SORUMLUSU Arş.Gör.

(Mekanik Sistemlerde PID Kontrol Uygulaması - 3) HAVA KÜTLE AKIŞ SİSTEMLERİNDE PID İLE SICAKLIK KONTROLÜ. DENEY SORUMLUSU Arş.Gör. T.C. ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MEKATRONİK LABORATUVARI 1 (Mekanik Sistemlerde PID Kontrol Uygulaması - 3) HAVA KÜTLE AKIŞ SİSTEMLERİNDE PID İLE SICAKLIK

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

SAYISAL KONTROL 2 PROJESİ

SAYISAL KONTROL 2 PROJESİ SAYISAL KONTROL 2 PROJESİ AUTOMATIC CONTROL TELELAB (ACT) ile UZAKTAN KONTROL DENEYLERİ Automatic Control Telelab (ACT), kontrol deneylerinin uzaktan yapılmasını sağlayan web tabanlı bir sistemdir. Web

Detaylı

TIBBİ ENSTRUMANTASYON TASARIM VE UYGULAMALARI SAYISAL FİLTRELER

TIBBİ ENSTRUMANTASYON TASARIM VE UYGULAMALARI SAYISAL FİLTRELER TIBBİ ENSTRUMANTASYON TASARIM VE UYGULAMALARI SAYISAL FİLTRELER SUNU PLANI Analog sayısal çevirici FIR Filtreler IIR Filtreler Adaptif Filtreler Pan-Tompkins Algoritması Araş. Gör. Berat Doğan 08/04/2015

Detaylı

Sensörlerin ölçümlerinde bir miktar hata payı olması. Ölçümlere gürültü karışması.

Sensörlerin ölçümlerinde bir miktar hata payı olması. Ölçümlere gürültü karışması. Contents Kalman filtresi uygulamaları Kalman filtresinin temelleri DC motor modeli üzerinde Kalman filtresi Kalman filtresi için tümleşik sistem oluşturma Kalman filtresi için parametre seçimi Kalman filtresini

Detaylı

Alternatif Akım; Zaman içerisinde yönü ve şiddeti belli bir düzen içerisinde değişen akıma alternatif akım denir.

Alternatif Akım; Zaman içerisinde yönü ve şiddeti belli bir düzen içerisinde değişen akıma alternatif akım denir. ALTERNATiF AKIM Alternatif Akım; Zaman içerisinde yönü ve şiddeti belli bir düzen içerisinde değişen akıma alternatif akım denir. Doğru akım ve alternatif akım devrelerinde akım yönleri şekilde görüldüğü

Detaylı

DENEY 3 HAVALI KONUM KONTROL SİSTEMİ DENEY FÖYÜ

DENEY 3 HAVALI KONUM KONTROL SİSTEMİ DENEY FÖYÜ DENEY 3 HAVALI KONUM KONTROL SİSTEMİ DENEY FÖYÜ 1. Deneyin Amacı Bu deneyde, bir fiziksel sistem verildiğinde, bu sistemi kontrol etmek için temelde hangi adımların izlenmesi gerektiğinin kavranması amaçlanmaktadır.

Detaylı

FIRAT ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EMÜ-419 OTOMATİK KONTROL LABORATUARI DENEY 8

FIRAT ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EMÜ-419 OTOMATİK KONTROL LABORATUARI DENEY 8 FIRAT ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EMÜ-419 OTOMATİK KONTROL LABORATUARI DENEY 8 DC MOTORUN AYRIK ZAMANDA KONUM VE HIZ KONTROLÜ 1. Amaç: Bir DC motorunun konum

Detaylı

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ Anten Parametrelerinin Temelleri Samet YALÇIN Anten Parametrelerinin Temelleri GİRİŞ: Bir antenin parametrelerini tanımlayabilmek için anten parametreleri gereklidir. Anten performansından

Detaylı

Küçük sinyal analizi transistörü AC domende temsilş etmek için kullanılan modelleri içerir.

Küçük sinyal analizi transistörü AC domende temsilş etmek için kullanılan modelleri içerir. Küçük Sinyal Analizi Küçük sinyal analizi transistörü AC domende temsilş etmek için kullanılan modelleri içerir. 1. Karma (hibrid) model 2. r e model Üretici firmalar bilgi sayfalarında belirli bir çalışma

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME KURALLARI

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME KURALLARI OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME KURALLARI BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME KURALLARI Örnek 9: Aşağıdaki açık çevrim blok diyagramının transfer fonksiyonunu bulunuz? 2 BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME

Detaylı

Otomatik Kontrol I. Dinamik Sistemlerin Matematik Modellenmesi. Yard.Doç.Dr. Vasfi Emre Ömürlü

Otomatik Kontrol I. Dinamik Sistemlerin Matematik Modellenmesi. Yard.Doç.Dr. Vasfi Emre Ömürlü Otomatik Kontrol I Dinamik Sistemlerin Matematik Modellenmesi Yard.Doç.Dr. Vasfi Emre Ömürlü Mekanik Sistemlerin Modellenmesi Elektriksel Sistemlerin Modellenmesi Örnekler 2 3 Giriş Karmaşık sistemlerin

Detaylı

ELEKTRİK VE ELEKTRİK DEVRELERİ 2

ELEKTRİK VE ELEKTRİK DEVRELERİ 2 1 ELEKTİK VE ELEKTİK DEVELEİ ALTENATİF AKIM Enstrümantal Analiz, Doğru Akım Analitik sinyal transduserlerinden çıkan elektrik periyodik bir salınım gösterir. Bu salınımlar akım veya potansiyelin zamana

Detaylı

BÖLÜM 5 OTOMATİK KONTROL FORMLARI 5.1 AÇIK KAPALI KONTROL (ON-OFF) BİLGİSAYARLI KONTROL

BÖLÜM 5 OTOMATİK KONTROL FORMLARI 5.1 AÇIK KAPALI KONTROL (ON-OFF) BİLGİSAYARLI KONTROL BÖLÜM 5 OTOMATİK KONTROL FORMLARI Otomatik kontrolda, kontrol edici cihazın, set değeri etrafında gereken hassasiyetle çalışırken, hatayı gereken oranda minimuma indirecek çeşitli kontrol formları vardır.

Detaylı

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SAYISAL ELEKTRONİK LAB. DENEY FÖYÜ DENEY 4 OSİLATÖRLER SCHMİT TRİGGER ve MULTİVİBRATÖR DEVRELERİ ÖN BİLGİ: Elektronik iletişim sistemlerinde

Detaylı

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu)

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu) BÖLÜM I GİRİŞ 1.1 Sinyal Bir sistemin durum ve davranış bilgilerini taşıyan, bir veya daha fazla değişken ile tanımlanan bir fonksiyon olup veri işlemde dalga olarak adlandırılır. Bir dalga, genliği, dalga

Detaylı

SİNYALLER VE SİSTEMLERİN MATLAB YARDIMIYLA BENZETİMİ

SİNYALLER VE SİSTEMLERİN MATLAB YARDIMIYLA BENZETİMİ SİNYALLER VE SİSTEMLERİN MATLAB YARDIMIYLA BENZETİMİ 2.1. Sinyal Üretimi Bu laboratuarda analog sinyaller ve sistemlerin sayısal bir ortamda benzetimini yapacağımız için örneklenmiş sinyaller üzerinde

Detaylı

ALTERNATİF AKIM (AC) II SİNÜSOİDAL DALGA; KAREKTRİSTİK ÖZELLİKLERİ

ALTERNATİF AKIM (AC) II SİNÜSOİDAL DALGA; KAREKTRİSTİK ÖZELLİKLERİ . Amaçlar: EEM DENEY ALERNAİF AKIM (AC) II SİNÜSOİDAL DALGA; KAREKRİSİK ÖZELLİKLERİ Fonksiyon (işaret) jeneratörü kullanılarak sinüsoidal dalganın oluşturulması. Frekans (f), eriyot () ve açısal frekans

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Cadence OrCAD Kurulum ve Simulasyon

Cadence OrCAD Kurulum ve Simulasyon Cadence OrCAD Kurulum ve Simulasyon http://www.cadence.com/products/orcad/pages/downloads.aspx Yukarida belirtilen link uzerinden, Cadence programlarinin demo versiyonlarini indirebilirsiniz. Sadece yapacagınız

Detaylı

5. (10 Puan) Op-Amp devresine aşağıda gösterildiği gibi bir SİNÜS dalga formu uygulanmıştır. Op-Amp devresinin çıkış sinyal formunu çiziniz.

5. (10 Puan) Op-Amp devresine aşağıda gösterildiği gibi bir SİNÜS dalga formu uygulanmıştır. Op-Amp devresinin çıkış sinyal formunu çiziniz. MAK442 MT3-MEKATRONİK S Ü L E Y M A N D E MİREL ÜNİVERSİTES E Sİ M Ü H E N DİSLİK-MİMM A R L I K F A K Ü L T E Sİ M A KİNA M Ü H E N DİSLİĞİ BÖLÜMÜ Ü ÖĞRENCİ ADI NO İMZA SORU/PUAN 1/15 2/15 3/10 4/10 5/10

Detaylı

Otomatik Sıcaklık Kontrolü Otomatik Sıcaklık Kontrolü

Otomatik Sıcaklık Kontrolü Otomatik Sıcaklık Kontrolü Otomatik Sıcaklık Kontrolü Otomatik Sıcaklık Kontrolü Bir çok pratik sistemde sıcaklığın belli bir değerde sabit tutulması gerekir. Oda sıcaklığı kontrolü, kimyasal reaksiyonlar ve standart ürün alınması

Detaylı

Elektrik - Elektronik Fakültesi

Elektrik - Elektronik Fakültesi . Elektrik - Elektronik Fakültesi KON314 Kontrol Sistem Tasar m Ödev #1 Birol Çapa-4645 Doç. Dr. Mehmet Turan Söylemez 23.3.29 1 1.a.Amaç Transfer fonksiyonu ( n 1 ve n üzerine konulan bir kontrolör ile

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

AYRIK-ZAMANLI KONTROL (~ DİJİTAL KONTROL)

AYRIK-ZAMANLI KONTROL (~ DİJİTAL KONTROL) AYRIK-ZAMANLI KONTROL (~ DİJİTAL KONTROL) Ayrık-zamanda çalışırken sinyaller bütün zamanlar için değil, sadece belli zaman anları için tanımlıdır. Bu zaman anları arasındaki aralığa Ts diyelim. Örneğin

Detaylı

Bilgisayar Programlama MATLAB

Bilgisayar Programlama MATLAB What is a computer??? Bilgisayar Programlama MATLAB Prof. Dr. İrfan KAYMAZ What Konular is a computer??? MATLAB ortamının tanıtımı Matlab sistemi (ara yüzey tanıtımı) a) Geliştirme ortamı b) Komut penceresi

Detaylı

EGE ÜNİVERSİTESİ EGE MYO MEKATRONİK PROGRAMI

EGE ÜNİVERSİTESİ EGE MYO MEKATRONİK PROGRAMI EGE ÜNİVERSİTESİ EGE MYO MEKATRONİK PROGRAMI SENSÖRLER VE DÖNÜŞTÜRÜCÜLER SÜREÇ KONTROL Süreç Kontrol Süreç kontrolle ilişkili işlemler her zaman doğada var olmuştur. Doğal süreç kontrolünü yaşayan bir

Detaylı

ALTERNATĐF AKIM (AC) I AC NĐN ELDE EDĐLMESĐ; KARE VE ÜÇGEN DALGALAR

ALTERNATĐF AKIM (AC) I AC NĐN ELDE EDĐLMESĐ; KARE VE ÜÇGEN DALGALAR ALTERNATĐF AKIM (AC) I AC NĐN ELDE EDĐLMESĐ; KARE VE ÜÇGEN DALGALAR 1.1 Amaçlar AC nin Elde Edilmesi: Farklı ve değişken DC gerilimlerin anahtar ve potansiyometreler kullanılarak elde edilmesi. Kare dalga

Detaylı

8. FET İN İNCELENMESİ

8. FET İN İNCELENMESİ 8. FET İN İNCELENMESİ 8.1. TEORİK BİLGİ FET transistörler iki farklı ana grupta üretilmektedir. Bunlardan birincisi JFET (Junction Field Effect Transistör) ya da kısaca bilinen adı ile FET, ikincisi ise

Detaylı

Açık Çevrim Kontrol Açık Çevrim Kontrol

Açık Çevrim Kontrol Açık Çevrim Kontrol Açık Çevrim Kontrol Açık Çevrim Kontrol Açık çevrim kontrol ileri kontrol prosesi olarak da ifade edilebilir. Yandaki şekilde açık çevrim oda sıcaklık kontrolü yapılmaktadır. Burada referans olarak dışarı

Detaylı

Yukarıdaki şekilde, birim geribeslemeli bir kontrol sisteminin ileri yol transfer fonksiyonuna ait, sistemin orijinal çevrim kazancı K = 1 için deneysel olarak elde edilmiş Bode eğrisi verilmiştir. Aşağıdaki

Detaylı

Bu soruda eğik şekilde belli bir hızda ve değişik açılarda atılan ve sonrasında yerden seken bir topun hareketini ifade eden kod yazılacaktır.

Bu soruda eğik şekilde belli bir hızda ve değişik açılarda atılan ve sonrasında yerden seken bir topun hareketini ifade eden kod yazılacaktır. ÖDEV 1 Aşağıdaki soruları çözerek en geç 23 Şubat 2014 Pazar günü saat 23:59'a kadar bana ve dersin asistanına ilgili dosyaları eposta ile gönderin. Aşağıda hem soruların açıklaması, hem de sizlere yol

Detaylı

RF MİKROELEKTRONİK GÜRÜLTÜ

RF MİKROELEKTRONİK GÜRÜLTÜ RF MİKROELEKTRONİK GÜRÜLTÜ RASTGELE BİR SİNYAL Gürültü rastgele bir sinyal olduğu için herhangi bir zamandaki değerini tahmin etmek imkansızdır. Bu sebeple tekrarlayan sinyallerde de kullandığımız ortalama

Detaylı

ELEKTROMANYETİK DALGA TEORİSİ DERS - 5

ELEKTROMANYETİK DALGA TEORİSİ DERS - 5 ELEKTROMANYETİK DALGA TEORİSİ DERS - 5 İletim Hatları İLETİM HATLARI İletim hatlarının tarihsel gelişimi iki iletkenli basit hatlarla (ilk telefon hatlarında olduğu gibi) başlamıştır. Mikrodalga enerjisinin

Detaylı

ARTOS7F1 ARIZA TESPİT CİHAZI VE PC OSİLOSKOP 7 FONKSİYON 1 CİHAZDA

ARTOS7F1 ARIZA TESPİT CİHAZI VE PC OSİLOSKOP 7 FONKSİYON 1 CİHAZDA ARTOS7F1 ARIZA TESPİT CİHAZI VE PC OSİLOSKOP 7 FONKSİYON 1 CİHAZDA ARTOS7F1 Arıza Tespit Cihazı ve PC Osiloskop her tür elektronik kartın arızasını bulmada çok etkili bir sistemdir. Asıl tasarım amacı

Detaylı

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI .. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;

Detaylı

Alternatif Akım. Yrd. Doç. Dr. Aytaç Gören. Alternatif Akım

Alternatif Akım. Yrd. Doç. Dr. Aytaç Gören. Alternatif Akım Yrd. Doç. Dr. Aytaç Gören Paralel devre 2 İlk durum: 3 Ohm kanunu uygulandığında; 4 Ohm kanunu uygulandığında; 5 Paralel devrede empedans denklemi, 6 Kondansatör (Kapasitans) Alternatif gerilimin etkisi

Detaylı

S Ü L E Y M A N D E M İ R E L Ü N İ V E R S İ T E S İ M Ü H E N D İ S L İ F A K Ü L T E S İ O T O M O T İ V M Ü H E N D İ S L İ Ğ İ P R O G R A M I

S Ü L E Y M A N D E M İ R E L Ü N İ V E R S İ T E S İ M Ü H E N D İ S L İ F A K Ü L T E S İ O T O M O T İ V M Ü H E N D İ S L İ Ğ İ P R O G R A M I OTM309 MEKATRONİK S Ü L E Y M A N D E M İ R E L Ü N İ V E R S İ T E S İ M Ü H E N D İ S L İ F A K Ü L T E S İ O T O M O T İ V M Ü H E N D İ S L İ Ğ İ P R O G R A M I ÖĞRENCİ ADI NO İMZA TARİH 26.11.2013

Detaylı

AERODİNAMİK KUVVETLER

AERODİNAMİK KUVVETLER AERODİNAMİK KUVVETLER Prof.Dr. Mustafa Cavcar Anadolu Üniversitesi, Sivil Havacılık Yüksekokulu, 26470 Eskişehir Bir uçak üzerinde meydana gelen aerodinamik kuvvetlerin bileşkesi ( ); uçağın etrafından

Detaylı

F AKIM DEVRELER A. DEVRE ELEMANLARI VE TEMEL DEVRELER

F AKIM DEVRELER A. DEVRE ELEMANLARI VE TEMEL DEVRELER ALTERNATİF AKIM DEVRELERİ A. DEVRE ELEMANLARI VE TEMEL DEVRELER Alternatif akım devrelerinde akımın geçişine karşı üç çeşit direnç (zorluk) gösterilir. Devre elamanları dediğimiz bu dirençler: () R omik

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

KESİKLİ İŞLETİLEN PİLOT ÖLÇEKLİ DOLGULU DAMITMA KOLONUNDA ÜST ÜRÜN SICAKLIĞININ SET NOKTASI DEĞİŞİMİNDE GERİ BESLEMELİ KONTROLU

KESİKLİ İŞLETİLEN PİLOT ÖLÇEKLİ DOLGULU DAMITMA KOLONUNDA ÜST ÜRÜN SICAKLIĞININ SET NOKTASI DEĞİŞİMİNDE GERİ BESLEMELİ KONTROLU KESİKLİ İŞLETİLEN PİLOT ÖLÇEKLİ DOLGULU DAMITMA KOLONUNDA ÜST ÜRÜN SICAKLIĞININ SET NOKTASI DEĞİŞİMİNDE GERİ BESLEMELİ KONTROLU B. HACIBEKİROĞLU, Y. GÖKÇE, S. ERTUNÇ, B. AKAY Ankara Üniversitesi, Mühendislik

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

KON 314 KONTROL SİSTEM TASARIMI

KON 314 KONTROL SİSTEM TASARIMI KON 34 KONTROL SİSTEM TASARIMI PROJE 2 Öğretim Üyesi: Doç. Dr. Mehmet Turan SÖYLEMEZ HAZIRLAYANLAR TAKIM 6 45437 Burak BEŞER 45442 Elif KÖKSAL 464 Muharrem ULU 4645 Birol ÇAPA Teslim Tarihi: 24.4.29 GİRİŞ

Detaylı

OTOMATİK KONTROL 18.10.2015

OTOMATİK KONTROL 18.10.2015 18.10.2015 OTOMATİK KONTROL Giriş, Motivasyon, Tarihi gelişim - Tanım ve kavramlar, Lineer Sistemler, Geri Besleme Kavramı, Sistem Modellenmesi, Transfer Fonksiyonları - Durum Değişkenleri Modelleri Elektriksel

Detaylı

ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ İLETİŞİM LABORATUARI SAYISAL FİLTRELER

ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ İLETİŞİM LABORATUARI SAYISAL FİLTRELER SAYISAL FİLTRELER Deney Amacı Sayısal filtre tasarımının ve kullanılmasının öğrenilmesi. Kapsam Ayrık zamanlı bir sistem transfer fonksiyonunun elde edilmesi. Filtren frekans tepkes elde edilmesi. Direct

Detaylı

EEM 451 Dijital Sinyal İşleme LAB 3

EEM 451 Dijital Sinyal İşleme LAB 3 EEM 451 Dijital Sinyal İşleme LAB 3 1. AMAÇ Ayrık zamanlı filtrelerin implementasyonu, çeşitleri FIR filtrelerinin incelenmesi FIR filtresi dizayn edilmesi 2. TEMEL BİLGİLER 2.1 FIR(Finite impulse response)

Detaylı

DC DEVRE ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ

DC DEVRE ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ DC DEVRE ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ Elektrik devresi, kaynak ve yük gibi çeşitli devre elemanlarının herhangi bir şekilde bağlantısından meydana gelir. Bu gibi devrelerin çözümünde genellikle, seri-paralel devrelerin

Detaylı

Elektrik Devre Temelleri

Elektrik Devre Temelleri Elektrik Devre Temelleri 3. TEMEL KANUNLAR-2 Doç. Dr. M. Kemal GÜLLÜ Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Kocaeli Üniversitesi ÖRNEK 2.5 v 1 ve v 2 gerilimlerini bulun. (KGK) 1 PROBLEM 2.5 v 1 ve v 2

Detaylı

MATLAB Semineri. EM 314 Kontrol Sistemleri 1 GÜMMF Elektrik-Elektronik Müh. Bölümü. 30 Nisan / 1 Mayıs 2007

MATLAB Semineri. EM 314 Kontrol Sistemleri 1 GÜMMF Elektrik-Elektronik Müh. Bölümü. 30 Nisan / 1 Mayıs 2007 MATLAB Semineri EM 314 Kontrol Sistemleri 1 GÜMMF Elektrik-Elektronik Müh. Bölümü 30 Nisan / 1 Mayıs 2007 İçerik MATLAB Ekranı Değişkenler Operatörler Akış Kontrolü.m Dosyaları Çizim Komutları Yardım Kontrol

Detaylı

Sayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU

Sayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU Sayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU İbrahim Beklan Küçükdemiral Yıldız Teknik Üniversitesi 2015 1 / 50 Bu bölümde aşağıdaki konular incelenecektir: Sürekli ve Ayrık Kontrol Problemlerinin Tanımı Ayrık Zamanlı

Detaylı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı FOURIER SERİLERİ Bu bölümde Fourier serilerinden bahsedeceğim. Önce harmoniklerle (katsıklıklarla) ilişkili sinüsoidin tanımından başlıyacağım ve serilerin trigonometrik açılımlarını kullanarak katsayıları

Detaylı

GÖRSEL EKRAN TASARIMI (VISUALIZATIONS)

GÖRSEL EKRAN TASARIMI (VISUALIZATIONS) GÖRSEL EKRAN TASARIMI (VISUALIZATIONS) Visualizations sekmesi, PLC programlarına görsel arayüz tasarlamak için kullanılır. Ancak dokunmatik (touch) panellerin çoğu bu görsel arayüzü desteklememektedirler.

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

MatLab. Mustafa Coşar mustafacosar@hitit.edu.tr http://web.hitit.edu.tr/mustafacosar

MatLab. Mustafa Coşar mustafacosar@hitit.edu.tr http://web.hitit.edu.tr/mustafacosar MatLab Mustafa Coşar mustafacosar@hitit.edu.tr http://web.hitit.edu.tr/mustafacosar Sunum Planı MatLab Hakkında Ekran Yapısı Programlama Yapısı Matlab da Programlamaya Giriş Sorular MatLab Hakkında MatLab;

Detaylı

Temel Devre Elemanlarının Alternatif Gerilim Etkisi Altındaki Davranışları

Temel Devre Elemanlarının Alternatif Gerilim Etkisi Altındaki Davranışları Temel Devre Elemanlarının Alternatif Gerilim Etkisi Altındaki Davranışları Direnç (R) Alternatif gerilimin etkisi altındaki direnç, Ohm kanunun bilinen ifadesini korur. Denklemlerden elde edilen sonuç

Detaylı

Sembolik Programlama1. Gün. Sembolik Programlama. 20 Eylül 2011

Sembolik Programlama1. Gün. Sembolik Programlama. 20 Eylül 2011 Sembolik Programlama 1. Gün Şenol Pişkin 20 Eylül 2011 Sunum Kapsamı MuPAD İçerik Başlangıç 1. Bölüm: Cebirsel işlemler 2. Bölüm: Denklem çözümleri MuPAD Kısaca MuPAD Bilgisi ve Tarihçesi MuPAD Diğer Araçlar

Detaylı

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ Sabit kabul edilen bir noktaya göre bir cismin konumundaki değişikliğe hareket denir. Bu sabit noktaya referans noktası denir. Fizikte hareket üçe ayrılır Ötelenme Hareketi:

Detaylı

6. Osiloskop. Periyodik ve periyodik olmayan elektriksel işaretlerin gözlenmesi ve ölçülmesini sağlayan elektronik bir cihazdır.

6. Osiloskop. Periyodik ve periyodik olmayan elektriksel işaretlerin gözlenmesi ve ölçülmesini sağlayan elektronik bir cihazdır. 6. Osiloskop Periyodik ve periyodik olmayan elektriksel işaretlerin gözlenmesi ve ölçülmesini sağlayan elektronik bir cihazdır. Osiloskoplar üç gruba ayrılabilir; 1. Analog osiloskoplar 2. Dijital osiloskoplar

Detaylı

Data Communications. Gazi Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü. 3. Veri ve Sinyaller

Data Communications. Gazi Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü. 3. Veri ve Sinyaller Veri İletişimi Data Communications Suat ÖZDEMİR Gazi Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü 3. Veri ve Sinyaller Analog ve sayısal sinyal Fiziksel katmanın önemli işlevlerinden ş birisi iletim ortamında

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

1. Direnç değeri okunurken mavi renginin sayısal değeri nedir? a) 4 b) 5 c) 1 d) 6 2. Direnç değeri okunurken altın renginin tolerans değeri kaçtır?

1. Direnç değeri okunurken mavi renginin sayısal değeri nedir? a) 4 b) 5 c) 1 d) 6 2. Direnç değeri okunurken altın renginin tolerans değeri kaçtır? 1. Direnç değeri okunurken mavi renginin sayısal değeri nedir? a) 4 b) 5 c) 1 d) 6 2. Direnç değeri okunurken altın renginin tolerans değeri kaçtır? a) Yüzde 10 b) Yüzde 5 c) Yüzde 1 d) Yüzde 20 3. Direnç

Detaylı

İleri leri Kompanzasyon

İleri leri Kompanzasyon İleri leri Kompanzasyon İleri Kompanzasyon (Lead( Compensation) geçici durum tepkisini iyileştirir. Açık k döngd ngü sistemin transfer fonksiyonuna kazanç geçiş frekansında nda (ω( gc ) faz ekler. Kontrol

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

T.C. DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BMT103 ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ DERSİ LABORATUVARI DENEY NO: 7

T.C. DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BMT103 ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ DERSİ LABORATUVARI DENEY NO: 7 T.C. DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BMT103 ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ DERSİ LABORATUVARI DENEY NO: 7 KONDANSATÖRLER VE BOBİNLER Doç. Dr. İbrahim YÜCEDAĞ Arş. Gör. M.

Detaylı

FRENIC MEGA ÖZET KULLANIM KLAVUZU

FRENIC MEGA ÖZET KULLANIM KLAVUZU FRENIC MEGA ÖZET KULLANIM KLAVUZU GENEL BİLGİLER SÜRÜCÜ KONTROL BAĞLANTILARI PLC 24 VDC CM DİJİTAL GİRİŞ COM UCU FWD REV DİJİTAL GİRİŞLER ( PNP / NPN SEÇİLEBİLİR ) SW1 X1 - X7 EN ENABLE GİRİŞİ Y1 - Y4

Detaylı

DY-45 OSĐLOSKOP KĐTĐ. Kullanma Kılavuzu

DY-45 OSĐLOSKOP KĐTĐ. Kullanma Kılavuzu DY-45 OSĐLOSKOP KĐTĐ Kullanma Kılavuzu 01 Kasım 2010 Amatör elektronikle uğraşanlar için osiloskop pahalı bir test cihazıdır. Bu kitte amatör elektronikçilere hitap edecek basit ama kullanışlı bir yazılım

Detaylı

ideal Sistem Tester Kullanım Klavuzu

ideal Sistem Tester Kullanım Klavuzu 1- Sistem Modülüne Giriş ideal Sistem Tester Kullanım Klavuzu Herhangi bir Grafik penceresinin başlığındaki S harfine basılarak açılan menüden yapılabilen seçimlerle kullanılmaya başlanır. Bu menüden,

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

Yükseltici DA Kıyıcılar, Gerilim beslemeli invertörler / 12. Hafta

Yükseltici DA Kıyıcılar, Gerilim beslemeli invertörler / 12. Hafta E sınıfı DC kıyıcılar; E sınıfı DC kıyıcılar, çift yönlü (4 bölgeli) DC kıyıcılar olarak bilinmekte olup iki adet C veya iki adet D sınıfı DC kıyıcının birleşiminden oluşmuşlardır. Bu tür kıyıcılar, iki

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

SABİT MIKNATISLI MOTORLAR ve SÜRÜCÜLERİ

SABİT MIKNATISLI MOTORLAR ve SÜRÜCÜLERİ SABİT MIKNATISLI MOTORLAR ve SÜRÜCÜLERİ 1-Step Motorlar - Sabit mıknatıslı Step Motorlar 2- Sorvo motorlar - Sabit mıknatıslı Servo motorlar 1- STEP (ADIM) MOTOR NEDİR Açısal konumu adımlar halinde değiştiren,

Detaylı

Alternatif Akım Devre Analizi

Alternatif Akım Devre Analizi Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Emre ÖZER Alternatif Akımın Tanımı Zamaniçerisindeyönüveşiddeti belli bir düzen içerisinde (periyodik) değişen akıma alternatif akımdenir. En bilinen alternatif akım

Detaylı

1. Giriş 2. Yayınma Mekanizmaları 3. Kararlı Karasız Yayınma 4. Yayınmayı etkileyen faktörler 5. Yarı iletkenlerde yayınma 6. Diğer yayınma yolları

1. Giriş 2. Yayınma Mekanizmaları 3. Kararlı Karasız Yayınma 4. Yayınmayı etkileyen faktörler 5. Yarı iletkenlerde yayınma 6. Diğer yayınma yolları 1. Giriş 2. Yayınma Mekanizmaları 3. Kararlı Karasız Yayınma 4. Yayınmayı etkileyen faktörler 5. Yarı iletkenlerde yayınma 6. Diğer yayınma yolları Sol üstte yüzey seftleştirme işlemi uygulanmış bir çelik

Detaylı

Deney 21 PID Denetleyici (I)

Deney 21 PID Denetleyici (I) Deney 21 PID Denetleyici (I) DENEYİN AMACI 1. Ziegler ve Nichols ayarlama kuralı I i kullanarak PID enetleyici parametrelerini belirlemek. 2. PID enetleyici parametrelerinin ince ayarını yapmak. GENEL

Detaylı

Şekil 6.1 Faz çeviren toplama devresi

Şekil 6.1 Faz çeviren toplama devresi 23 Deney Adı : İşlemsel Kuvvetlendiricinin Temel Devreleri Deney No : 6 Deneyin Amacı : İşlemsel kuvvetlendiricilerle en ok kullanılan devreleri gerekleştirmek, fonksiyonlarını belirlemek Deneyle İlgili

Detaylı