DERS 1. Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

Transkript

1 DERS Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler Sosal ve Beşeri Bilimlerde Matematik I kitabımıda doğrusal denklemleri tanımlamıştık (safa 85). Arıca, matematiksel modeli doğrusal denklemler içeren problem örnekleri de görmüştük (safa, ). Bu dersimide doğrusal denklem sistemlerini bira daha akından inceleeceği. Dersi bitirdiğinide iki değişkenli doğrusal denklem sistemleri, çöüm, çöüm kümesi grafik öntemi ile çöüm erine koma öntemi ile çöüm ok etme öntemi ile çöüm denk sistemler doğrusal denklem sistemleri üerinde temel işlemler çok değişkenli doğrusal denklem sistemleri, çöüm, çöüm kümesi ilaveli matris matrisler, girdi, satır, sütun matrislerde satır işlemleri doğrusal denklem sistemleri üerinde temel işlemler ile matrisler üerinde satır işlemleri arasındaki ilişki konularında bilgi sahibi olabileceksini.

2 Ders.. İki Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri. Günlük aşamda karşılaşılan problemlerden baılarının matematiksel modeli doğrusal denklem(ler) içerir (Bak. Sosal ve Beşeri Bilimlerde Matematik I, safa, ). Aşağıdaki örnekte matematiksel modeli iki adet doğrusal denklem içeren bir problem görülmektedir. Örnek. Manavdan alışveriş apan bir müşteri, kg elma ve kg portakal için 9 TL, diğer bir müşteri de kg elma ve kg portakal için 8 TL ödemiştir. Elma ve portakalın satış fiatını belirleini. Çöüm için, bir kg elmanın TL den, bir kg portakalın da TL den satıldığı varsaılırsa, problemde verilenlerden 9 ve 8 olduğu görülür. Bölece, problemin matematiksel modeli 9 ve 8 denklemlerini sağlaan ve saılarını belirleini biçiminde ifade edilebilir. Matematiksel modelde ifade edilen türden problemler için çöüm öntemlerini vermeden önce konu ile ilgili baı matematiksel terimler tanımlaacağı. a, b, h R olmak üere a b h denklemine bir (iki değişkenli) doğrusal denklem denir. Bu ifadede ve sembollerine değişkenler, a ve b saılarına katsaılar, h saısına da sağ taraf sabiti denir. Verilen, reel saıları için a b h doğrusal denkleminde erine ve erine aılınca denklem sağlanıorsa, başka bir deimle, a b h oluorsa, bu takdirde (, ) reel saı ikilisine bu denklemin bir çöümü denir. Eğer a ve b saılarından en a biri sıfırdan farklı ise, a b h doğrusal denkleminin sonsu çoklukta çöümü vardır. Örnek. 9 doğrusal denkleminin baı çöümleri, (,9), (, 6), (,), (-,) dir. (,) bu denklemin bir çöümü müdür? Neden? Her t R için bu denklemde erine t aılarak hesaplanırsa, - t 9 elde edilir. Dolaısıla, her t R için (t,-t9) bu denklemin bir çöümüdür. Diğer andan, bu denklemin Herhangi bir çöümünün birinci bileşeni t ise, ikinci bi- leşeni -t 9 olacağından bu denklemin çöüm kümesi, Ç{(t,-t 9) : t R} (,9) olarak ifade edilebilir. Geometrik olarak, katsaılarından en a biri sıfırdan farklı olan her iki değişkenli doğrusal denklemin grafiğinin dülemde bir doğru olduğunu anımsaını. Doğrusal denklemin çöümleri, grafik üerindeki noktalara karşılık gelen reel saı ikilileridir. 9 denkleminin çöümleri, andaki doğrunun noktalarına karşılık gelen reel saı ikilileridir. (,) 9

3 Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler... Uarı. Her iki katsaısı da sıfır, sağ taraf sabiti sıfırdan farklı olan bir doğrusal denklemin hiç çöümü oktur. Örneğin, doğrusal denkleminin hiç çöümü oktur. Eğer hem katsaılar hem de sağ taraf sabiti sıfır, ani ise, her reel saı ikilisi bu denklemin bir çöümüdür. a, b, c, d, h, k R olmak üere a b h c d k doğrusal denklemler topluluğuna bir (iki değişkenli) doğrusal denklem sistemi denir. Böle bir doğrusal denklem sisteminin bir çöümü denince her iki denklemin de çöümü olan bir (, ) reel saı ikilisi anlaşılır. Örnek de ele aldığımı problemin matematiksel modeli eni terimlerle şöle ifade edilebilir: 9 8 doğrusal denklem sisteminin çöüm kümesini bulunu. İki değişkenli doğrusal denklem sistemlerinin çöüm kümelerini belirlemek için çeşitli öntemler vardır. Bi aşağıda üç öntem üerinde duracağı: Grafik Yöntemi, Yerine Koma Yöntemi, Yok Etme Yöntemi... Grafik Yöntemi. Her iki değişkenli doğrusal denklemin grafiğinin bir doğru olduğunu anımsaını. Dülemde iki doğrunun birbirine göre konumu üç biçimde olabilir: Kesişen doğrular Paralel doğrular Çakışık doğrular

4 Ders İki değişkenli bir doğrusal denklem sisteminin çöüm kümesini belirlemek için o denklem sistemindeki doğrusal denklemlerin grafikleri anı dülem üerinde (örneğin, anı grafik kâğıdı üerinde) çiilir ve elde edilen doğruların ortak noktalarına, ani kesişim noktalarına bakılır. Kolaca görülebileceği üere, a b h c d k denklem sistemine karşılık gelen doğrular paralel doğrular ise, denklem sisteminin hiç çöümü oktur; kesişen doğrular ise, sistemin bir tane (tek) çöümü vardır; çakışık doğrular ise, sistemin sonsu çoklukta çöümü vardır. Örnek. 9 8 denklem sistemini grafik öntemi ile çöelim. 9 (,9) 8 (,) (,) (,) (8,) Görüldüğü üere, bu denklem sistemine karşılık gelen doğrular bir noktada kesişmektedir. Dolaısıla, sistemin tek bir çöümü vardır ve çöüm kümesi, Ç {(,)} tür. Yukarıda elde edilen çöüm, Örnek. de verilen problemin matematiksel modelinin çöümüdür. Elmanın kilogramı TL, portakalın kilogramı TL den satılmaktadır. Anı problemin diğer öntemlerle de çöümü apılacaktır.

5 Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler... 5 Örnek. doğrusal denklem sisteminin grafik öntemi ile çöümü: 8 8 (,) (-,) (,-) (,) - Bu örneğimide, sisteme karşılık gelen doğrular paraleldir. Dolaısıla, sistemin hiç çöümü oktur; çöüm kümesi, boş küme, Ç dir. Örnek. 8 doğrusal denklem sisteminin grafik öntemi ile çöümü: 8 (,) (,) Bu örneğimide, sisteme karşılık gelen doğrular çakışıktır. Başka bir deimle sistemdeki denklemlerin çöüm kümeleri anıdır. Denklemlerden biri, örneğin kullanılarak t t (/)t işlemleri ile çöüm kümesi, Ç {(t, (/)t) : t R } olarak ifade edilebilir.

6 6 Ders.. Yerine Koma Yöntemi. Denklemlerden biri kullanılarak değişkenlerden biri diğeri cinsinden ifade edilir ve bu ifade diğer denklemde erine konur; elde edilen bir değişkenli denklem çöülerek sonuca gidilir. Örnek (9 ) Bu örnekte, ilk denklem 9 den değişkeni cinsinden 9 olarak ifade edilmiş; bu ifade ikinci denklem olan 8 de erine konulup birkaç aritmetik işlem sonunda denklemi elde edilmiş ve buradan olduğu görülmüştür. Sonra, değişkeninin cinsinden ifadesinde erine erleştirilerek olduğu ve bölece, çöüm kümesinin Ç {(, )} olduğu görülmüştür. Aşağıdaki örneklerde de bener olun ilendiğini gölemleini. Örnek. 5 - ( ) Sonuç olarak, çöüm kümesi, Ç {(, -)} dir.. Örnek ( 5)!!!... Ulaşılan bu ifade, birinci denklemin hiçbir çöümünün ikinci denklemi sağlamadığını; dolaısıla, denklem sisteminin hiç çöümü bulunmadığını gösterir. Sonuç olarak, sistemin çöüm kümesi Ç dir.

7 Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler... 7 Örnek. - - ( )!!!... Son eşitlik, birinci denklemin her çöümünün ikinci denklemin de bir çöümü olduğunu; dolaısıla, iki denklemin çöüm kümelerinin anı olduğunu gösterir. Buradan, sistemin çöüm kümesinin sonsu olduğu sonucu çıkar. Şimdi, t alıp ukarıda için ikinci denklemden bulduğumu ifadeden t - elde ederi. Dolaısıla, bu örneğimideki denklem sisteminin çöüm kümesi, Ç {(t, t - ) : t R} dir. Önceki örnekte olduğu gibi çöüm kümesinin sonsu olması durumunda çöüm kümesinin ifadesinde görülen t simgesi parametre olarak adlandırılır. Parametree atanacak her değer sistemin bir öel çöümünü verir. Örneğin, ukarıda, t değeri (,); t değeri (,) çöümünü verir. Bu bağlamda, çöüm kümesinin herhangi bir elemanını gösteren (t, t - ) ikilisine, sistemin genel çöümü denir... Yok Etme Yöntemi. Bu öntemde, verilen bir denklem sistemi, çöümü daha kola ancak verilen sistemle anı çöüm kümesine sahip bir sisteme dönüştürülerek adım-adım çöüme ulaşılır. Çöüm kümeleri anı olan iki denklem sistemine denk sistemler denir. Örnek. 9 9 ve sistemleri denktir, çünkü her iki sistemin 8 5 de çöüm kümesi Ç {(,)} tür. Burada, ikinci sistemin çöüm kümesinin {(,)} olarak kolaca elde edilebileceğine ve sonra, bu bilgi ile, ilk denklem sisteminin de tek çöümünün (,) olduğunun görülebileceğine dikkat edini. Yok Etme Yöntemi aşağıdaki teoremin ugulanmasıla gerçekleştirilir. Teorem. Aşağıdaki işlemlerden her biri verilen bir denklem sistemini o sisteme denk bir denklem sistemine dönüştürür: A. Bir denklem ile başka bir denklemin erlerini değiştirmek. B. Bir denklemi sıfırdan farklı bir saı ile çarpmak. C. Bir denklemin bir sabitle çarpımını başka bir denkleme toplamak. Teoremde ifade edilen işlemlere denklem sistemleri üerinde temel işlemler denir.

8 8 Ders Aşağıdaki örneklerde görüleceği üere, öellikle C türü temel işlemler ugulanarak verilen sistemin baı denklemlerindeki baı değişkenler ok edilmek suretile o sisteme denk ancak çöümü daha kola sistemler elde edilir. A ve B türü temel işlemler de ugulanarak çöümü doğrudan okunabilen, başlangıçtakine denk bir doğrusal denklem sistemine ulaşılır ve çöüm kümesi oradan belirlenir. Örnek. 9 8 (-) (birinci) (ikinci) 5 9 Birinci denklem (-) ile çarpılıp ikinci denkleme toplanmıştır. (-/5) (ikinci) 9 İkinci denklem ( -/5) ile çarpılmıştır. (-) (ikinci) (birinci) İkinci denklem (-) ile çarpılıp birinci denkleme toplanmıştır. (ikinci) (birinci) İki denklemin erleri değiştirilmiştir. En sondaki denklem sisteminin çöüm kümesinin ne olduğu açıkça görülmektedir. Bu sistem, başlangıçtaki sisteme denk olduğundan, buradan, başlangıçtaki denklem sisteminin çöüm kümesinin Ç {(, )} olduğu görülür. Örnek. 8 (-) (birinci) (ikinci) Birinci denklem (-) ile çarpılıp ikinci denkleme toplanmıştır. Bu işlem sonucunda, ikinci denklem sisteminde, ikinci denklemin erine, daima doğru olan eşitliği gelmiştir. O halde, bu örneğimideki doğrusal denklem sisteminin çöüm kümesi, doğrusal denkleminin çöüm kümesi ile anıdır. Bu denklemden değişkeni t cinsinden t biçiminde ifade edilerek çöüm kümesinin Ç {(t, -(/)t) : t R} olduğu görülür. Örnek. (-) (birinci) (ikinci) Birinci denklem (-) ile çarpılıp ikinci denkleme toplanmıştır. Bu işlem sonucunda, ikinci denklem sisteminde, ikinci denklemin erine, asla doğru olmaan eşitliği gelmiştir. Bu nedenle, bu örneğimideki denklem sisteminin hiç çöümü oktur; çöüm kümesi Ç dir.

9 Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler... 9 Örnek (birinci), (ikinci) 5 (birinci) (ikinci) (/9) (ikinci) 5-5 (ikinci) (birinci) (-/) (birinci) (ikinci) (birinci) Son denklem sisteminden, çöüm kümesinin Ç {(, -)} olduğu görülür. Ekonomide, fiat talep denklemi ve fiat ar denklemi çoğu aman doğrusal denklemler olarak karşımıa çıkar. Dolaısıla, bu durumda paar denge fiatının (Bak. Sosal ve Beşeri Bilimlerde Matematik I, safa 5) bulunması, ortaa çıkan iki değişkenli doğrusal denklem sisteminin çöümünü gerektirir. Örnek 6. Bir beldede kira satışlarıla ilgili olarak apılan araştırmalar, piasada tonu p TL den ton kira talep edileceği düşünüldüğünde, fiat talep denkleminin p -(.).9 TL olduğu ve piasaa tonu p TL den ton kira sürülebileceği (ar edilebileceği) düşünüldüğünde, fiat ar denkleminin ise p (.8).5 TL olduğu görülüor. Paar denge fiatını bulunu. Çöüm. Fiat-talep denklemini p (.).9

10 Ders ve fiat ar denklemini p - (.8).5 biçiminde aabiliri. Paar denge fiatı, hem fiat talep denkleminin hem de fiat ar denkleminin sağlandığı fiattır. Başka bir deişle, paar denge fiatını belirlemek için p (.).9 p (.8).5 doğrusal denklem sistemini çömek gerekir. Çöüm için, istenilen herhangi bir öntem ugulanabilir. Yerine koma öntemini ugulaalım. p (.).9 p (.8).5 p -(.).9 -(.).9 (.8).5 -(.8) -.6, p.5 Paar denge fiatı p.5 TL dir. Piasaa tonu.5 TL den ton kira sürülürse ar ve talep çakışır..5. Çok Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri. Bu dersin başında Örnek. de ele aldığımı problemin verileri değiştirilerek ifade edilmiş olan aşağıdaki problemi gö önüne alalım. Örnek. Manavdan alışveriş apan bir müşteri, kg elma, kg portakal ve kg mu için TL, diğer bir müşteri de kg elma, kg portakal ve kg mu için TL ödemiştir. Bir kg elma kaça satılmaktadır? Çöüm için, dersin başlangıç kısmında olduğu gibi, bir kg elmanın TL den, bir kg portakalın TL den ve bir kg muun da TL den satıldığını varsaarak problemin veri ve koşullarından ve denklemleri elde edilir. Dolaısıla, problemin matematiksel modeli şöle ifade edilebilir: ve denklemlerini sağlaan saısını bulunu. Görüldüğü üere eni problemin matematiksel modelinde de denklemler ortaa çıktı. Bu denklemlerin başlangıçtaki problemde ortaa çıkan denklemlerden farkı, ve değişkenlerine ek olarak eni bir değişkeni ve bu değişkene ait katsaılar içermesidir. Yeni değişkenin ortaa çıkış nedeni satın alınan mevelere mu un da katılmasıdır. Başka

11 Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler... bir meve daha, örneğin nar satın alınsa bir değişken daha kullanılacak ve değişken saısı dört olacaktı. Bir problemin matematiksel modeli oluşturulurken değişken saısı üç vea daha a ise, değişkenler için, ve sembolleri tercih edilebilmekle beraber; değişken saısı üçten fala ise, o aman değişkenler için anı sembol numaralanarak kullanılır. Örneğin, beş değişken için,,,, 5 kullanılabilir. Ele alınan alışveriş problemi ile ilgili olarak şu hususu da belirtelim ki, eğer manavdan bir üçüncü müşteri de alışveriş apar ve anı tür mevelerden satın alırsa, onunla ilgili veriler üçüncü bir denkleme ol açar. Bu tartışmalar bii çok değişkenli doğrusal denklem ve çok değişkenli doğrusal denklem sistemi kavramlarına götürür. a, a,..., an, b R olmak üere a a... an n b ifadesine bir n değişkenli doğrusal denklem denir. a, a,..., an saılarına denklemin katsaıları, b saısına da sağ taraf sabiti denir. Verilen c, c,..., cn saıları için ac ac... an cn b ise, (c, c,..., cn ) sıralı n-lisine a a... an n b denkleminin bir çöümü denir. Örnek. Yukarıda ortaa çıkan denklemlerden nin çöümlerinden ikisi (,,) ve (,,) dir. Bu üçlüler denklemi için de çöüm müdür? a ij, b i R; i m, j n olmak üere n değişkenli m denklemden oluşan a a a m a a a m a a a n n mn n n n denklemler topluluğuna bir doğrusal denklem sistemi denir. a ij saılarına sistemin katsaıları, b i saılarına da sağ taraf sabitleri denir. n değişkenli bir doğrusal denklem sisteminin bir çöümü denince, o sistemdeki denklemlerden her birinin çöümü olan bir sıralı reel saı n-lisi anlaşılır. Bu tanımlardan sonra, bu kesimin başında Örnek de verilen problemin çöümü için b b b m

12 Ders doğrusal denklem sisteminin çöülmesi eterli olacaktır. Elde edilecek çöümünün asıl problemde sorulandan daha çok bilgi içereceği dikkatli okurun göünden kaçmamıştır. Aru edilirse matematiksel modelin sadece asıl problemde sorulan değeri verecek şekilde ifade edilebileceği açıktır. Asıl problemde, doğrusal denklem sisteminin çöümlerinde bileşeninin ne olacağı sorulmaktadır. Öle anlaşılıor ki tüm çöümlerde bileşeni anı olacaktır. bileşeninin bu değerini bulmaa çalışını. Bir sonraki dersimide çok değişkenli doğrusal denklem sistemlerinin çöümü için çok elverişli ve etkin bir öntem göreceği. Fikir olarak iki değişkenli doğrusal denklem sistemleri için gördüğümü ok etme öntemine daanan bu öntem için bira haırlık gerekecektir. Dersimiin kalan kısmı bu haırlık doğrultusunda kullanılacaktır. İki değişkenli doğrusal denklem sistemleri için tanımlanan denklik kavramı çok değişkenli doğrusal denklem sistemleri için de geçerlidir. Çöüm kümeleri anı olan iki doğrusal denklem sistemine denk sistemler denir. İki değişkenli doğrusal denklem sistemleri için gördüğümü ok etme öntemi, ikiden çok değişkenli doğrusal denklem sistemleri için de anen geçerlidir. Bir denklem sistemini çömek için aşağıdaki teoremde ifade edilen A, B, C temel işlemleri kullanılarak o sisteme denk ancak çöümü daha kola bir denklem sistemleri inciri elde edilerek adım-adım çöüme ulaşılır. Teorem. Aşağıdaki işlemlerden her biri, ugulandığı bir denklem sistemini ona denk olan bir denklem sistemine dönüştürür: A. Bir denklem ile başka bir denklemin erlerini değiştirmek. B. Bir denklemi sıfırdan farklı bir saı ile çarpmak. C. Bir denklemin bir sabitle çarpımını başka bir denkleme toplamak. Hiç çöümü bulunmaan bir doğrusal denklem sistemine tutarsı doğrusal denklem sistemi, en a bir çöümü bulunan doğrusal denklem sistemine de tutarlı doğrusal denklem sistemi denir. Bir doğrusal denklem sistemi tutarsı ise, o doğrusal denklem sisteminin, içinde sağlanması mümkün olmaan bir denklem, örneğin, bulunan bir doğrusal denklem sistemine denk olduğu gösterilebilir (Bak. Örnek. ve Örnek.). Bir doğrusal denklem sistemindeki denklemlerden biri geri kalan denklemlerden A, B ve C temel işlemleri ile elde edilebiliorsa, o takdirde, o doğrusal denklem sistemine bağımlı doğrusal denklem sistemi denir. Bağımlı olmaan bir doğrusal denklem sistemine bağımsı doğrusal denklem sistemi denir. Bir doğrusal denklem sistemi bağımlı ise, o doğrusal denklem sisteminin, içinde daima sağlanan bir denklem, örneğin, bulunan bir doğrusal denklem sistemine denk olduğu gösterilebilir (Bak Örnek. ve Örnek.).

13 Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler... Örnek. Yukarıdaki matematiksel modelde verilen üç değişkenli doğrusal denklem sisteminin çöümünü ok etme öntemi ile apalım: 5 Birinci denklem - ile çarpılıp ikinci denkleme toplandı İkinci denklem -/5 ile çarpıldı 6 İkinci denklem - ile çarpılıp birinci denkleme toplandı 6 İki denklemin erleri değiştirildi Son adımda elde edilen sistemin sonsu çoklukta çöümü vardır. Çöüm kümesi, t alınıp ikinci denklemden 6 6 t aılarak olarak elde edilir. Ç {(,t,6-t) : t R} Önceki örnekte her bir çöümde olduğunu görüoru. Örnek de ifade edilen probleme geri dönülüp orada sorulan soru anımsanırsa, bir kilogram elmanın satış fiatının TL olduğu sonucu çıkar. Örnek. 6 bin TL nin bir kısmı A-bank a, bir kısmı B-bank a, kalan kısmı da C-bank a atırılıor. A-bank ve B-bank a atırılan toplam miktar, C-bank a atırılan miktardan 6 bin TL fala; A-bank ve C-bank a atırılan toplam miktar ise, B-bank a atırılan miktarın iki katından bin TL eksiktir. Her bir bankaa kaç TL atırılmıştır? Çöüm. A-bank a atırılan miktar bin TL, B-bank a atırılan miktar bin TL ve C- bank a atırılan miktar bin TL olsun. Problemde verilenlerden 6, 6, denklemleri elde edilir. Dolaısıla, problemimiin çöümü 6 6 denklem sisteminin çöümüne indirgenmiştir.

14 Ders Bu sistemin ok etme öntemi ile bir çöümü aşağıda gösterilmiştir Birinci denklem - ile çarpılıp önce ikinci denkleme sonra da üçüncü denkleme toplandı İkinci denklem -/ ile ve üçüncü denklem -/ ile çarpıldı İkinci denklem - ile ve üçüncü denklem - ile çarpılıp birinci denkleme toplandı. İkinci ve üçüncü denklemlerin erleri değiştirildi. Son sistemden doğrusal denklem sistemimiin çöüm kümesinin Ç {(8,,5)} olduğu görülür. Bu çöüm asıl problem için orumlandığında, A-bank a 8 bin TL, B-bank a bin TL ve C-bank a 5 bin TL atırılmış olduğu görülür. İki ve üç değişkenli doğrusal denklem sistemlerinin çöümü için çok elverişli olan ok etme öntemi değişken saısı (ve denklem saısı) arttıkça elverişsi hale gelir. Gerçekten, kendinii on değişkenli seki denklemden oluşan bir doğrusal denklem sistemini ok etme öntemi ile çöerken düşününü. İnsan bunalabilir, değil mi? Kaldı ki değişken saısı ve denklem saısı ülerle ifade edilen doğrusal denklem sistemleri de sö konusu olabilir. Yok etme öntemi, değişken saısı ve denklem saısı çok olan doğrusal denklem sistemlerinin çöümü için de elverişli olacak, hatta bilgisaara programlanabilecek biçimde revie edilerek Gauss-Jordan Yok Etme Yöntemi olarak bilinen öntem geliştirilmiştir. Bu öntemde kullanılan temel araç matris kavramıdır. Gauss-Jordan ok etme önteminde temel gölem, n değişkenli m denklemden ibaret olan a a an n b a a an n b am am amn n bm doğrusal denklem sisteminin, katsaıları ve sağ taraf sabitlerinden oluşan a a a m a a a m a a n a n mn b b bm

15 Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler... 5 tablosu tarafından tamamen belirlenmiş olduğudur. Gerçekten, bu tablo bilindiği takdirde, bu tabloa ol açan doğrusal denklem sistemini eniden amak sorun değildir. Bu tabloa sö konusu doğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisi denir. Dikkat edilirse, n değişkenli m denklemden oluşan sistemin ilaveli matrisi denklem saısı kadar ( m tane ) satır ve değişken saısının bir falası kadar ( n tane ) sütundan oluşmaktadır. Tabloda son sütundan önceki düşe çigi, sağ taraf sabitlerinin oluşturduğu sütunu katsaılardan oluşan diğer sütunlardan aırmak için konmuştur. Bu noktada, okuucunun, ilaveli matrisi verilen bir denklem sistemini vea verilen bir doğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisini amak hususunda birkaç alıştırma apması ararlı olacaktır. Örnek 5. Bu dersin ilk kesiminde ortaa çıkan 8 9 doğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisi 8 9, ukarıda ortaa çıkan doğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisi de dir. Aşağıda, solda görülen matristen sağdaki dört değişkenli üç denklemden oluşan doğrusal denklem sistemini aabileceğinii gölemleini: 7 5, 7 5

16 6 Ders.6. Matrisler. Doğrusal denklem sistemlerinin çöümü ile bağlantılı olarak karşımıa çıkan matris kavramı matematiğin ve diğer bilim dallarının pek çok alanında kullanılan bir kavramdır. Matrisler, üerinde tanımlanan baı işlemlerle cebirsel bir apı ile donatılmış başlı başına ilginç matematiksel nesnelerdir. m tane satır ve n tane sütun oluşturacak biçimde diilmiş mn tane saının oluşturduğu tabloa bir m n matris denir. m n ifadesine matrisin büüklüğü, m ve n saılarına da matrisin boutları denir. Örnek. n değişkenli m denklemden oluşan bir doğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisi bir m (n) matristir. İlaveli matriste, denklem sistemindeki her denkleme bir satır ve her bir değişkene de bir sütun karşılık gelir. Örnek. 5 A 5, B 6 5 tablolarından ilki bir matris A, diğeri de bir matris B i göstermektedir. Bir matrisi oluşturan saılardan her birine o matrisin bir girdisi denir. Örnek de, A matrisinin 6 adet girdisi satır ve sütun oluşturacak biçimde; B matrisinin adet girdisi de satır ve sütun oluşturacak biçimde düenlenmiştir. Bir matrisin satırları ukarıdan aşağıa doğru, sütunları da soldan sağa doğru numaralandırılır. Örneğin, ukarıdaki B matrisinin üçüncü satırı, girdileri sırasıla -, -5, olan satır; ikinci sütunu da girdileri sırasıla,, -5, olan sütundur. Bir matrisin girdileri, ait oldukları satır ve sütuna gönderme apılarak belirtilir. Bir matrisin i inci satırında ve j inci sütununda bulunan ortak girdie o matrisin i-j girdisi denir. Örnek de, A matrisinin - girdisi, B matrisinin - girdisi -5 tir. Sadece bir satırdan oluşan bir matrise satır matrisi, sadece bir sütundan oluşan bir matrise sütun matrisi denir. Satır ve sütun matrislerinin girdilerine birinci, ikinci, üçüncü, girdiler olarak gönderme apılır. Örnek. [ 5 ] A bir satır matrisidir. A nın birinci (a da ilk) girdisi 5, 5 ikinci girdisi, üçüncü girdisi - dir. B bir sütun matrisidir. B nin birinci girdisi 5, ikinci girdisi - dir.

17 Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler... 7 Bir matrisin her bir satırı bir satır matrisi, her bir sütunu da bir sütun matrisi olarak düşünülebilir. Dolaısıla, matrisin i-j girdisi, i inci satırının j inci girdisi ve j inci sütununun i inci girdisidir. Denklem sistemlerini ok etme öntemi ile çöerken kullandığımı A, B ve C temel işlemlerinden her biri sistemin ilaveli matrisinin satırları üerinde baı işlemlere karşılık gelir. Daha açık bir ifadele, bir doğrusal denklem sistemine temel işlemlerden herhangi biri ugulanarak elde edilen sistemin ilaveli matrisi başlangıçtaki sistemin ilaveli matrisinin satırlarına ugun bir işlem ugulanarak elde edilir. Satırlar üerine ugulanacak işlemler aşağıdaki tanımlarla ilişkili olacaktır. Bundan böle bir satırın bir c saısı ile çarpılması denince o satırın her girdisinin c saısı ile çarpılması, bir satırın anı büüklükte diğer bir satıra toplanması denince o satırın her girdisinin diğer satırda karşılık gelen girdie toplanması anlaşılacaktır. Örnek. [ 5 -] satırı ile çarpılırsa, [ 6 -] satırı elde edilir. Anı satır ile çarpılıp [ - ] satırına toplanırsa, [7 7 ] satırı elde edilir. Yukarıda tanımlanan işlemler, çoğu aman alın satırlara değil verilmiş bir matrisin satırlarına ugulanacaktır. Örnek 5. matris 6 A matrisinin birinci satırının ile çarpılmasıla elde edilen 5 B ; 5 B matrisinin birinci satırının ile çarpılmasıla elde edilen satırın ine B nin ikinci satırına toplanmasıla elde edilen matris de C matrisidir. Denklem sistemlerine ugulanan A temel işlemi, ani iki denklemin erlerinin değiştirilmesi, ilaveli matriste karşılık gelen satırların erlerinin değiştirilmesine ol açar. B temel işlemi, ani bir denklemin sıfırdan farklı bir saı ile çarpılması, ilaveli matriste karşılık gelen satırın her bir girdisinin o saı ile çarpılması sonucunu verir. C temel işlemi, ani bir denklemin bir saı ile çarpılıp başka bir denkleme toplanması, ilaveli matriste bir satırın her girdisinin o saı ile çarpılıp başka bir satırın karşılık gelen girdisine toplanması sonucunu verir.

18 8 Ders Şimdi, bundan önceki kesimin üçüncü örneğinde ortaa çıkan doğrusal denklem sistemini ok etme öntemi ile çöerken uguladığımı işlemlerin ilaveli matrise nasıl ansıdığını görelim. 6 6 : : : : : 5 8 Denklem sistemini çöerken denklemler üerinde işlemler apmak erine ilaveli matrisin satırları üerinde işlem apmaı düşünür vea tercih eder misini? Yanıtını evet ise, bu anıtın ne kadar isabetli olduğu bir sonraki dersimide daha ii anlaşılacaktır. Birinci satır - ile çarpılıp önce ikinci satıra sonra da üçüncü satıra toplandı İkinci satır -/ ile ve üçüncü satır -/ ile çarpıldı. İkinci satır - ile ve üçüncü satır - ile çarpılıp birinci satıra toplandı. İkinci ve üçüncü satırın erleri değiştirildi. İlaveli matris

19 Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler... 9 ALIŞTIRMALAR -. Aşağıda, ilk iki denklem sistemini grafik öntemi ile, sonraki ikisini erine koma ve diğer ikisini de ok etme öntemi ile çöünü. a) 5 b) c) ç) 6 d) u v u v e) 7. Aşağıdaki denklem sistemlerini erine koma vea ok etme öntemi ile çöünü. 5 a) 6 9 b) c).8..7 ç) d) e)... 6, 8, ve 5 denklemleri ile verilen doğruları anı koordinat düleminde çiini ve bu doğrulardan iki vea daha falasının kesiştiği noktaların koordinatlarını bulunu.. Bir tatil beldesinde satışa sunulan maolar için, tanesi p TL den tane maonun satışa sunulması durumunda, haftalık fiat-ar denklemi p. ve fiat-talep denklemi p 87 TL olarak verilior. Paar denge fiatını ve denge satış miktarını bulunu. 5. adet dinleici kapasiteli konser salonuna, fiatları TL ve 8 TL olan biletler satılmaktadır. Tüm biletlerin alıcı bulacağı varsaıldığına göre, bilet satışından a) TL gelir elde etmek için her biletten kaç adet satılması gerekir? b) TL gelir elde etmek için her biletten kaç adet satılması gerekir? c) 5 TL gelir elde etmek için her biletten kaç adet satılması gerekir? ç) 5 TL gelir elde etmek mümkün müdür? TL gelir elde etmek mümkün müdür? 6. Beslenme rejimi ugulaan bir kişi, günlük dietindeki kalsium ve protein miktarını artırmak için bea penir ve oğurt kullanıor. Kullandığı ölçeğe göre, bir ölçek bea penirde 6 gram kalsium ve miligram protein; bir ölçek oğurtta da gram kalsium ve miligram protein bulunmaktadır. Bu dietten günde 6 gram kalsium ve 77 miligram protein kaanabilmesi için bu kişi günde kaç ölçek bea penir ve kaç ölçek oğurt tüketmelidir?

20 Ders 7. Bir şirket, Selan dan ithal ettiği ça ile Rie çaından harman aparak Buruk A ve Buruk B markalarıla satışa sunmak istior. Bir kg Buruk A, gr Selan ve 7 gr Rie çaı karıştırılarak elde edilior. Bir kg Buruk B, 6 gr Selan ve gr Rie çaı karıştırılarak elde edilior. Firmanın elinde, her birinin ağırlığı 6 kg olan çuval Selan çaı ve 5 çuval Rie çaı bulunmaktadır. Şirketin elindeki çaın tamamını piasaa sürebilmesi için kaç kg Buruk A ve kaç kg Buruk B marka ça üretmesi gerekir? 8. Türkie genelinde dağıtım apan bir kargo şirketi, irmi dört saat içinde adresine teslim edilmek üere paket kabul etmekte; her paketin 5 grama kadar olan (5 gram dahil) ağırlığı için sabit bir ücret alıor ve ilk 5 gramdan sonraki her 5 gram için de başka bir sabit ücret uguluor..5 kg lık bir paket gönderen bir müşteri 5 TL,.5 kg lık paket gönderen bir müşteri de 9 TL ödediğine göre, ilk 5 gram için ve ondan sonraki her 5 gram için ugulanan ücreti belirleini. 9. İkinci alıştırmadaki her denklem sisteminin ilaveli matrisini aını.. Aşağıdaki ilaveli matrislerin her birinin ait olduğu doğrusal denklem sistemini aını. Değişkenleri,,, gibi numaralaarak gösterini. a) 7 b) 7 5 c) 5 ç) İlaveli matrisi aşağıda verilmiş olan denklem sistemlerini aını ve çöüm kümelerini bulunu. a) b) c) ç) d) e). 6 8 A matrisi verilior. a) A nın - girdisi kaçtır? - girdisi kaçtır? - girdisi kaçtır? b) A nın birinci satırındaki girdileri sırasıla aını. c) A nın ikinci sütunundaki girdileri sırasıla aını. ç) A nın birinci ve üçüncü satırlarının erleri değiştirilince elde edilen matrisi aını. d) A nın birinci satırı - ile çarpılınca elde edilen matrisi aını. e) A nın birinci satırı ile çarpılıp üçüncü satırına toplanınca(birinci satırı değiştirmeden) elde edilen matrisi aını.