GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz

Transkript

1 GAMA FONKSİYONU H. Turgay Kaptaoğlu A. Taım Gama foksiyou, < < değerleri içi Euler itegrali dediğimiz Γ( = t e t dt itegrali ile taımlaır. Öce bu ifadei e demek olduğuu alamaya çalışalım. bir gerçel sayı olduğuda, t ifadesi e ( l t şeklide taımlaır. Buu içi de t i doğal logaritmaı taım kümeside, yai t > olması gerekir. Yai aslıda f(t = t e t foksiyou t = da taımsızdır. Fakat az sora buu öemii olmadığıı göreceğiz. Ayrıca t > ike f(t > dır ve e t < gerçekleir. Heme akla gele ikici soru bu itegrali solu olup olmadığı, çükü iki soru var: Hem sosuz uzuluktaki bir aralık üzeride itegral alıyoruz, hem de < < ike f(t foksiyou t sıfıra (sağda yaklaşırke sıırsız artıyor, yai t e t = + t + oluyor. Gama foksiyouu taımlaya itegrali, f foksiyouu grafiğii altıda kala ala olarak yorumlarsak, bu iki edede dolayı itegrali sosuz çıkma olasılığı var. Ama i pozitif bir sayı almamız bütü bu soruları ortada kaldırıyor; buu açıklayalım. Yukarıdaki itegralle e demek istediğimizi daha açık yazalım. ε ve M pozitif sayılar olsu. Eğer itler varsa, Γ( = ε + ε t e t dt + M = ε + I ε + M J M t e t dt demektir. Burada f(t i t = da taımlı olmasıı gerekmediğii heme görürüz. Aslıda ike, f(t foksiyou (, ] aralığıda ODTÜ Matematik Bölümü öğretim üyesi sürekli ve sıırlı olduğuda, ilk itegralde it almaya gerek kalmaz. Şimdi Γ ı taımıdaki itleri varlığıı göstere. I ε = ε t e t dt < = t t= t=ε= ε ε t dt eşitsizliğide, > ike I ε itegralii, ε > e olursa olsu, / ile üstte sıırlı olduğuu görürüz. ε + ike, pozitif bir foksiyou gittikçe büyüye bir aralıktaki itegrali olduğu içi I ε artar. Üstte sıırlılık ve artalık, > durumuda ε + I ε itii varlığıı gösterir. Bu hesapta alaşılması gereke, < < olsa bile, t + ike t i sıırsız arttığı, fakat yeteri kadar yavaş arttığı içi, grafiğiyle eksei arasıdaki alaı solu kalabildiğidir. J M itegralii iti içi şu souca ihtiyacımız olacak: Öerme. egatif olmaya bir tamsayı ve t > ise, e t > t! + t! + t t + +!! = +t+ t t + +! sağlaır. İspat. Tümevarım kullaacağız. = ike! = diye taımlarız. O zama t > ike e t > olacağı açıktır. Eşitsizliği = k içi doğru olduğuu kabul ede ve t içi h(t = e t t t! tk+ (k +! taımlayalım. h( = dir. Öte yada h (t = e t t t! tk k!, 6

2 t > ike tümevarım varsayımı gereği pozitiftir; yai h(t, t > aralığıda artadır. t = da değerii ala ve pozitif sayılarda arta bir foksiyou, orada egatif veya sıfır olamayacağı açıktır. Bu öermei özel bir hali egatif olmaya tamsayıları içi eşitsizliğidir. e t > t! (t > Artık J M itegralie bakabiliriz. bir pozitif tamsayı olsu. Öerme de ve sora da e t = e t <! t (t > t e t <! t + (t > çıkar. Verile bir > içi > sağlaya bir pozitif tamsayısı seçe. J M = =! t =! t e t dt < t=m t= ( M! t dt =! (M eşitsizliği, J M itegralii, M > e olursa olsu,! ile üstte sıırlı olduğuu söyler. M ike J M ayı zamada arttığıda, M J M iti vardır. Bu hesapta da alaşılması gereke, t olsa bile e t i sıfıra iiş hızıı t i sıırsız artış hızıı, t e t i grafiğiyle eksei arasıdaki alaı solu yapacak kadar etkili bir biçimde bastırdığıdır. Böylece > içi gama foksiyouu iyi taımlamış olduğuu göstermiş olduk. A B. Temel Özellikler Şuu biliyoruz: t > içi f(t pozitif olduğuda, > içi Γ( de pozitiftir. = içi gama foksiyouu değerii hesaplamak kolaydır: Γ( = M e t dt = = M [ e M ] =. M [ e t ] M Öte yada Γ( + = t e t dt olur. Bu itegrali > içi parçalı itegralleme yoluyla hesaplamaya çalışalım. u = t ve dv = e t dt dersek, du = t dt ve v = e t olur. Böylece Γ( + = ε + M = ε + M + ε + M t e t dt [ t e t ] t=m ε t=ε t e t dt = ε + ε e ε M M e M + Γ( olur. Birici it açıkça dır. İkici it de dır; buu görmei bir yolu i sabit tutup M yi değişke olarak düşüerek M /e M üzeride L Hôpital kuralıı [5] uygulamaktır. Elde ettiğimiz Γ( + = Γ( eşitliği gama foksiyouu foksiyoel deklemidir. Şimdi i bir pozitif tamsayısı olarak seçer, foksiyoel deklemi kedisii sağ tarafıdaki Γ( ye uygularsak Γ(+ = ( Γ( buluruz; sora bu işlemi sağ tarafta Γ( = çıkaa kadar tekrarlarsak Γ( + =! ( =,,,... buluruz. Bu bize, yalızca doğal sayılarda taımlı ola faktöriyel işlemii gama foksiyou aracılığıyla bütü pozitif gerçel sayılara geişletildiğii söyler. Peki, gama foksiyouu pozitif olmaya sayılarda da taımlı kılabilir miyiz? Evet, hem de yukarıdaki yolla. Bir pozitif tamsayısı alır, foksiyoel deklemi Γ( + yerie Γ( + içi kullaır ve bu işlemi sağ tarafta Γ( kalaa kadar tekrarlarsak, her > içi Γ( + = (+ (+ (+Γ(, Γ( + Γ( = ( + ( + ( + elde ederiz. < < + ise < + < olur ve Γ(+ taımlıdır. O halde so deklemi gama foksiyouu < < + aralığıda 7

3 taımlamak içi kullaabiliriz. Kala kala sıfır ve egatif tamsayılar kaldı. Bular içi yapacak bir şey yok, çükü so deklemi sağ tarafı buralarda alamsız, ve gama foksiyou buralarda taımsız kalacak, çükü sıfıra veya egatif tamsayıya yaklaştığıda bu deklem Γ( i sıırsız arttığıı da söylüyor. Aslıda e başta gama foksiyouu yalızca (, ] aralığıda taımlamak yeterdi. Γ( + içi yukarıda verdiğimiz deklem sayeside, taım aralığıı (, + ] tipideki tüm aralıklara, yai bütü pozitif gerçel sayılara geişletebilirdik. Souç. Gama foksiyouu taım kümesi T, sıfır ve egatif tamsayılar dışıda kala bütü gerçel sayılardır. = ( ( (t e t /p (t y e t /q dt /p t e t dt /q t y e t dt = Γ( /p Γ(y /q çıkar. Her iki tarafı logaritmasıı aldığımızda, logaritma arta bir foksiyo olduğuda eşitsizlik koruur. Logaritmayı çarpma üzeride toplama olarak dağıtıp a, b > içi l a b = b l a özelliğii kullaırsak, ( l Γ p + y q p l Γ( + l Γ(y q elde ederiz. Bu ise l Γ foksiyouu dışbükey [4] olması demektir. C. Çarpım Formülleri ve Souçları Asıl ilgiç ola, gama foksiyouu, şimdiye kadar verdiğimiz üç temel özelliğide kesi olarak belirlemesidir []: Teorem 3. g, taım kümesi (, aralığıı içere pozitif değerli bir foksiyo olsu. Eğer (a g( = ise, (b g( + = g( sağlaıyorsa, ve (c l g dışbükeyse, o zama g i taımlı olduğu her içi g( = Γ( tir. Diğer bir öemli özellik içi, bir < p < ve buu eşleiği q ile Hölder eşitsizliğii [4] gama foksiyouu taımıdaki itegrale uygulayalım. <, y < olsu ki Γ( ve Γ(y pozitif çıksı ve logaritmalarıı alabile. ( Γ p + y = q = t p + y q e t dt t p + y q p q e t p t q dt İspat. Yukarıdaki üç özelliği sağlaya yalızca bir foksiyo olduğuu göstereceğiz. Gama foksiyou da bu üç özelliğe sahip olduğuda, o bir foksiyo gama foksiyou olacaktır. (b özelliği sayeside, g yi bir kere (, ] aralığıda belirlersek, taımlı olduğu her yerde g belirlemiş olacaktır. h = l g olsu; o zama h( = dır ve h dışbükeydir; ayrıca < t < içi h(t + = h(t + l t sağlaır. Bu eşitlik t = diye pozitif bir tamsayı alııp tekrarladığıda h( + = l(! verir. Bir kere de t = + + alııp tekrarladığıda h( + + = h( + l[( + ( + ] verir. Şimdi < < alalım. [4] teki Öerme 4 ü a = +, b = + + ve c = + alıp 8

4 h ye uygularsak, h( + + h( + h( + h( + = l(( +! l(! = l( + elde ederiz ki bu = halide de = olarak geçerlidir. < alıp [4] teki Öerme 4 ü bir defa da a =, c = + ve b = + + ile uygularsak, h( + + h( + h( + h( = l(! l((! = l elde ederiz. So iki eşitsizlik birlikte l h( + + h( + l( + verir. Daha öce h( + + ve h( + içi elde ettiğimiz formülleri burada yerie koyar ve logaritmaı bir özelliğii kullaırsak l h(+l[(+ (+/!] l(+ buluruz. Şimdi ile çarpıp, l çıkartıp, gee logaritmaı özelliklerii kullaıp sadeleştirirsek, [! ] ( h( l l + (+ (+ çıkar. Logaritmaı sürekliliğide, sağ tarafı ike iti dır. Dolayısıyla ortadaki ifadei de ike iti dır; yai h kesi olarak köşeli paratez içideki ifadei iti olarak belirleir. Logaritmaı birebir foksiyo olması g i de kesi olarak belirlediğii gösterir. İspatı souda Γ içi elde ettiğimiz Gauss formülüü yazalım:! Γ( = ( + ( + ( <. Bu formülü her T içi geçerli olduğuu görmek içi, diye. Γ ( = Γ ( + =! ( + ( Γ ( Γ ( = + + Γ ( + olur. ike bir içi bir tarafı iti varsa, diğer tarafı da vardır, yai Gauss formülüdeki it, içi varsa, + içi de vardır, ve de + içi varsa ve ise, içi de vardır. Özetle, G( ile göstereceğimiz it her T içi vardır, G( + = G( sağlaır, ve < içi G( = Γ( tir. G tek olduğuda, G ile Γ, T kümeside çakışırlar. Şu öerme Γ( içi değişik bir formül elde etmemizde yararlı olacak: Öerme 4. ( l iti vardır. Bu it γ ile gösterilir ve γ ya Euler- Mascheroi sabiti deir. İspat. C = l ve D = C / dersek, her =,,... içi C + C = ( + l +, D + D = ( l + olduğuu görürüz. d d (l = ( > olduğuu biliyoruz. Her iki tarafı de + ye kadar itegralii alırsak, ( + + d l = buluruz. / foksiyouu [, + ] aralığıda aldığı e büyük değer, e küçük değer ise + dir. Bu değerleri aralığı uzuluğu ola / ile çarparsak, yukarıdaki itegral içi alt ve üst sıırlar bulmuş oluruz: ( + l + ( =,,.... Bu eşitsizlikleri {C } ve {D } dizilerii fark formülüde kullaırsak, her içi C + C + + =, D + D = çıkar; yai {C } azala bir dizi, {D } arta bir dizidir. Taımlarıda her içi D < C olduğuda, D = terimii {C } dizisi içi bir alt sıır olduğuu görürüz. Azala ve altta sıırlı dizileri ise iti vardır (ve bu it e büyük alt sıırdır. 9

5 Şimdi Γ ( i taımlaya ifadede yerie eşiti e l yazalım. Sora! ifadesii /! olarak paydaya taşıdıkta sora, çarpalarıı sırayla (+(+ (+ i paydası olacak şekilde dağıtalım. Sora da Γ ( i = e e / e e / e / ile çarparsak eize Γ ( = e l e e / e / e e / e / geçer. Buradaki büyük kesiri payıı tek bir üstel foksiyoda birleştirebiliriz. Ayrıca paydadaki +k k kesirlerii de + /k şeklide yazabilir ve her birii e /k ile beraber düşüebiliriz. O zama Γ ( ifadesi [ ( ep l ] e /k + /k k= halii alır. Burada, çarpımı gösterir; ep( ise e ( demekte başka bir şey değildir. Öerme 4 sayeside, ike, yuvarlak paratez içideki ifadei itii γ, sol tarafı itii ise T deki ler içi Γ( olduğuu biliyoruz. O zama her T içi, ike sağdaki çarpımı da iti vardır; dolayısıyla Γ( = e γ = e γ k= k + k e/k k + k e/k ( T olur. Bu eşitlik Weierstrass çarpım formülüdür. Yukarıda {C } dizisii iti olarak taımladığımız γ ı e büyüklükte bir sayı olduğu hakkıda biraz fikir vere. Her şeyde öce {D } dizisii de iti vardır ve bu it γ dır, çükü iki dizii terimleri arasıdaki fark sadece / dir ve bu a yakısar. {D } dizisi arta olduğuda, γ ou e küçük üst sıırıdır. Dolayısıyla her içi D < γ < C sağlaır. D = l > dır, çükü < < e ve l = < l < = l e dir. Ayrıca C = 3 l < dir, çükü l yaklaşık olarak.7 dir. Böylece < γ < olduğu ortaya çıkar. yi büyük seçerek γ içi daha dar aralıklar bulabiliriz. γ içi yaklaşık bir değer.577 dir. So bir ot: γ ı rasyoel mi irrasyoel mi bir sayı olduğu biiyor. D. Beta Foksiyou Bir başka Euler itegrali de iki değişkeli br foksiyo taımlar. Beta foksiyou, > ve y > değerleri içi B(, y = t ( t y dt itegrali ile taımlaır. < < ve < y < ike, bu itegral de gama foksiyouu taımlaya itegral gibi itlerle verilir, çükü t de dolayı a yaklaşırke, ( t y de dolayı da e yaklaşırke sorular vardır. Bu sorular gee gama foksiyouda yapıldığı gibi aşılır. İtegrali içideki ifade pozitif olduğuda beta foksiyou da pozitif değerlidir; o zama logaritmasıı almamızda sakıca yoktur. y yi sabit tutup e değişke olarak baktığımızda, tıpkı gama foksiyou içi kulladığımız yolla, l B ı da dışbükey olduğuu görürüz. B(, y = /y de kolayca hesaplaır. Beta foksiyou içi de bir foksiyoel deklem çıkartalım. ( t B( +, y = ( t +y dt t yazar, ( t u = t ve dv = ( t +y dt diyip, parçalı itegralleme yaparsak, B( +, y = B(, y + y elde ederiz. Bütü buları ayrıtılarıı okuyucuya bırakıyoruz. Şimdi sabit bir y > alıp, g( = Γ( + y B(, y ( > Γ(y foksiyoua bakalım. g( + = g( ve g( = olduğuu heme görürüz. Logaritma çarpımı toplama çevirdiğide ve dışbükey foksiyoları toplamı da dışbükey olduğuda [4] (y i ve böylece Γ(y i pozitif bir sabit olduğuu uutmayalım, l g i de dışbükey olduğuu alarız. Artık yapılacak e doğal şey Teorem 3 ü uygulayıp, her > içi g( = Γ( yazmaktır. Bu da bize şu ilgiç formülü verir: Γ(Γ(y Γ( + y = t ( t y dt ( >, y >.

6 Bu formülde daha başka ilgiç formüller de türetebiliriz. İtegralde < t < olduğuda si θ = t sağlaya bir θ vardır ve dt = si θ cos θ dθ olur. O zama gee pozitif, y içi Γ(Γ(y Γ( + y = (si θ (cos θ y dθ gerçekleir. Şimdi = y = koyar, Γ( = ve Γ ( > olduğuu kulaırsak, ( Γ = π buluruz. ( π sayısı yazıda bir yerde çıkmalıydı! Geri döüp gama foksiyouu ilk taımıda t = s değişke değişimii yapmak Γ( = verir. Şimdi = s e s ds ( T koyarsak, π e s ds = elde ederiz. y = e s foksiyouu grafiği y eksei etrafıda simetriktir; dolayısıyla s > ike grfiği altıda kala alala s < ike grafiği altıda kala ala birbirie eşittir. Souç olarak çıkar. e s ds = π E. Türevleebilme ve Dışbükeylik Biraz da gama foksiyouu türevii olup olmadığıı araştıralım. Foksiyoel deklemde dolayı pozitif sayılara bakmak yetecek. Pozitif sayılarda ise gama foksiyouu pozitif değerli olduğuu biliyoruz, dolayısıyla logaritmasıı alabiliriz. Logaritma sürekli bir foksiyodur ve buda dolayı itle yer değiştirebilir. Logaritmaı solu çarpımları toplamlara çevirdiğii de biliyoruz. Diğer bir bildiğimiz, logaritmaı üstel foksiyou ters foksiyou olduğu; yai her gerçel a içi l e a = a ve her pozitif b içi e l b = b sağladığı. O zama Weierstrass çarpım formülüde l Γ( = γ l + l k + k e/k k= ( ( k = γ l + k l +k k= ( ( k = γ l + k l + k k= elde ederiz. Şimdi türev almaya çalışırsak sağdaki sosuz toplam soru çıkartmaya aday. Solu toplamları türevii her bir terimi türevii toplamı olduğu doğru, fakat bu sosuz toplamlarda da geçerli mi? Evet, eğer türevi elde edilecek ola sosuz toplam burada pek bahsetmek istemediğimiz düzgü yakısaklık özelliğie sahipse. Eizdeki toplamlar içi bu özelliği olduğu biliiyor ve her terimi ayrı ayrı türevii alıp toplamamızda bir sakıca yok. Zicir kuralıı birkaç uygulamasıda sora d d l Γ( = Γ ( Γ( = γ + ( k= = γ + k= k + k k( + k ( > buluruz. Düzgü yakısaklık özelliği tekrar tekrar türev alsak da sağlaıyor, dolayısıyla gama foksiyou sosuz kere türevli ve d m ( Γ ( d m = Γ( k= ( m (m ( + k m (m formülü her > içi geçerli. Yukarıda yaptığımız gibi foksiyoel deklemler sayeside bu formülü her T içi geçerli yapmak da mümkü. m = hali biraz daha icelemeğe değer, çükü ( d Γ ( = Γ(Γ ( (Γ ( d Γ( (Γ( = k= ( + k her zama pozitif. Burada her T içi Γ(Γ ( (Γ ( > Γ(Γ ( > (Γ ( çıkar. Bu ise her T içi, Γ( ve Γ ( sayılarıı ya her ikisii birde pozitif ya da her ikisii birde egatif olması demektir. Γ(

7 foksiyouu düşüürsek, ikici türevi hep pozitif olur. [4] teki Souç 8 de dolayı Γ( foksiyou T üzeride dışbükeydir. Dikkatli bakarsak, Γ( + yi vere formülde, gama foksiyouu işaretii (, + aralığıda ( i işareti ile ayı olduğuu görürüz; burada bir pozitif tamsayıdır. > ike de Γ( pozitiftir. Dolayısıyla gama foksiyou (,, (,, ( 4, 3,... aralıklarıda dışbükeydir; T deki geri kala aralıklarda ise Γ dışbükeydir. F. Siüs Foksiyou İçi Bir Bağıtı Başlagıç olarak g( = π Γ ( Γ ( + foksiyoua bakalım. Açıkça g e az (, aralığıda taımlı ve orada pozitif değerlidir. Ayrıca Γ( + = Γ( özelliğide g( + = + π Γ = π Γ ( ( + Γ + ( ( + Γ = g( sağlaır. ( ( + l g( = (l + l Γ + l Γ özdeşliğide sağdaki her terim dışbükey olduğuda, l g dışbükeydir. O zama g, Γ da başka bir şey değildir (Teorem 3; yai ( ( + Γ Γ = π Γ( özdeşliği, her iki taraf da taımlı ike doğrudur; bua da Gauss formülü deiyor. Burada yerie koyarsak, ( ( Γ Γ = π Γ( elde ederiz. Şimdi ϕ( = Γ(Γ( si π foksiyoua bakalım. Bu foksiyo sadece tamsayı olmaya gerçel ler içi taımlıdır. yerie koyarsak ϕ( + = Γ( + Γ( si(π + π Γ( = Γ( ( si π = Γ(Γ( si π = ϕ( buluruz; yai ϕ periyodiktir ve periyodu dir. Az öce elde ettiğimiz bağıtıları kullaarak da ( ( ( ( + ϕ ϕ = Γ Γ ( ( + Γ Γ si π cos π = π Γ( π Γ( si π π cos = πγ(γ( si π = πϕ( ( elde ederiz. Bu özdeşlik de tamsayı olmaya ler içi geçerlidir. Gama ve siüs foksiyoları sosuz kere türevli olduklarıda, ϕ de öyledir, tabii tamsayı değilse. Γ( + ϕ( = Γ( si π si π = πγ( + Γ( π yazalım. Bu eşitliği sağ tarafıı ike itii alırsak πγ( = π buluruz, çükü gama foksiyou de süreklidir. Eğer ϕ( = π diye taımlarsak, ϕ sıfırda da sürekli olur. Diğer tamsayılarda da ayı iti buluruz, çükü ϕ periyodiktir. O halde ϕ yi tamsayılarda π diye taımlarsak, ϕ bütü gerçel sayılarda sürekli olur. Yukarıdaki eşitliği türevii alıp tekrar ike itie bakabiliriz. Gama foksiyou de sosuz kere türevli olduğuda yalız si π/π ifadeside gele terimlerde iti araştırmak yeter. L Hôpital kuralıda [5] oları da iti kolayca buluur. Sora tekrar ϕ ( ı it yardımıyla taımlar ve periyodiklikle bütü tamsayılara geişletiriz. Özetle, ϕ bütü gerçel sayılarda sosuz kere türevlidir. Ayrıca taımıda < < içi ϕ( pozitiftir. ϕ( = π ve periyodiklik sayeside bu her gerçel sayıda da doğrulaır. Böylece ϕ i logaritması alıabilir.

8 l ϕ i ikici türevie λ diye. λ da periyodiktir ve periyodu dir. λ, [, ] aralığıda sürekli ve buu soucu olarak orada sıırlıdır. Periyodiklik gereği bütü gerçel sayılarda sıırlı olur; yai öyle bir M sayısı vardır ki, her gerçel içi λ( M sağlaır. Öte yada ( ı her iki tarafıı logaritmasıı ve sora iki kere türevii alıca ( ( ( + λ + λ = λ( 4 elde ederiz. Burada λ( ( 4 λ + ( + 4 g M 4 + M 4 = M çıkar. Bu işlemi tekrarlarsak, λ ı üst sıırıı istediğimiz kadar ufaltabileceğimizi görürüz. Souç olarak her gerçel içi λ( = dır. λ ı taımıda bu l ϕ( = a + b olması demektir. l ϕ i periyodikliğide a = olmalıdır; yai ϕ sabit bir foksiyodur. ϕ( = π olduğuu biliyoruz. Dolayısıyla her gerçel içi ϕ( = π dir. Şimdi eizde si π = π Γ(Γ( = π Γ(Γ( var. Bu da Γ içi bir başka foksiyoel deklemdir. Weierstrass çarpım formülüü burada kullaırsak si π = π ( k= k ( < < elde ederiz. Bu formülü değişik bir elde edilişi [3] te var. Aslıda bu formül poliomlar içi bildiğimiz bir özelliği si π içi yazılmışı. Bilidiği gibi her poliom köklerie ait çarpaları çarpımı olarak yazılabilir; tabii poliomları solu tae kökü vardır. Yukarıdaki formül bize sosuz tae kökü ola si π gibi bazı foksiyoları da köklerie ait çarpaları çarpımı olarak yazılabileceğii söylüyor. KAYNAKÇA [] E. Arti, The Gamma Fuctio, Holt, Riehart & Wisto, New York, 964. [] H. Bohr & J. Mollerup, Laerebog i Matematisk Aalyse, Kopehag, 9. [3] N. Çalışka, Bir Algorist: Leohard Euler, Matematik Düyası, 5, sayı 5, 3 5 (995. [4] H. T. Kaptaoğlu, Dışbükey Foksiyolar, Matematik Düyası, 6, sayı, 8 (996. [5] M. A. Kocatepe, L Hôpital Kuralı Üstüe, Matematik Düyası, 4, sayı, 5 7 (994. 3