GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz"

Transkript

1 GAMA FONKSİYONU H. Turgay Kaptaoğlu A. Taım Gama foksiyou, < < değerleri içi Euler itegrali dediğimiz Γ( = t e t dt itegrali ile taımlaır. Öce bu ifadei e demek olduğuu alamaya çalışalım. bir gerçel sayı olduğuda, t ifadesi e ( l t şeklide taımlaır. Buu içi de t i doğal logaritmaı taım kümeside, yai t > olması gerekir. Yai aslıda f(t = t e t foksiyou t = da taımsızdır. Fakat az sora buu öemii olmadığıı göreceğiz. Ayrıca t > ike f(t > dır ve e t < gerçekleir. Heme akla gele ikici soru bu itegrali solu olup olmadığı, çükü iki soru var: Hem sosuz uzuluktaki bir aralık üzeride itegral alıyoruz, hem de < < ike f(t foksiyou t sıfıra (sağda yaklaşırke sıırsız artıyor, yai t e t = + t + oluyor. Gama foksiyouu taımlaya itegrali, f foksiyouu grafiğii altıda kala ala olarak yorumlarsak, bu iki edede dolayı itegrali sosuz çıkma olasılığı var. Ama i pozitif bir sayı almamız bütü bu soruları ortada kaldırıyor; buu açıklayalım. Yukarıdaki itegralle e demek istediğimizi daha açık yazalım. ε ve M pozitif sayılar olsu. Eğer itler varsa, Γ( = ε + ε t e t dt + M = ε + I ε + M J M t e t dt demektir. Burada f(t i t = da taımlı olmasıı gerekmediğii heme görürüz. Aslıda ike, f(t foksiyou (, ] aralığıda ODTÜ Matematik Bölümü öğretim üyesi sürekli ve sıırlı olduğuda, ilk itegralde it almaya gerek kalmaz. Şimdi Γ ı taımıdaki itleri varlığıı göstere. I ε = ε t e t dt < = t t= t=ε= ε ε t dt eşitsizliğide, > ike I ε itegralii, ε > e olursa olsu, / ile üstte sıırlı olduğuu görürüz. ε + ike, pozitif bir foksiyou gittikçe büyüye bir aralıktaki itegrali olduğu içi I ε artar. Üstte sıırlılık ve artalık, > durumuda ε + I ε itii varlığıı gösterir. Bu hesapta alaşılması gereke, < < olsa bile, t + ike t i sıırsız arttığı, fakat yeteri kadar yavaş arttığı içi, grafiğiyle eksei arasıdaki alaı solu kalabildiğidir. J M itegralii iti içi şu souca ihtiyacımız olacak: Öerme. egatif olmaya bir tamsayı ve t > ise, e t > t! + t! + t t + +!! = +t+ t t + +! sağlaır. İspat. Tümevarım kullaacağız. = ike! = diye taımlarız. O zama t > ike e t > olacağı açıktır. Eşitsizliği = k içi doğru olduğuu kabul ede ve t içi h(t = e t t t! tk+ (k +! taımlayalım. h( = dir. Öte yada h (t = e t t t! tk k!, 6

2 t > ike tümevarım varsayımı gereği pozitiftir; yai h(t, t > aralığıda artadır. t = da değerii ala ve pozitif sayılarda arta bir foksiyou, orada egatif veya sıfır olamayacağı açıktır. Bu öermei özel bir hali egatif olmaya tamsayıları içi eşitsizliğidir. e t > t! (t > Artık J M itegralie bakabiliriz. bir pozitif tamsayı olsu. Öerme de ve sora da e t = e t <! t (t > t e t <! t + (t > çıkar. Verile bir > içi > sağlaya bir pozitif tamsayısı seçe. J M = =! t =! t e t dt < t=m t= ( M! t dt =! (M eşitsizliği, J M itegralii, M > e olursa olsu,! ile üstte sıırlı olduğuu söyler. M ike J M ayı zamada arttığıda, M J M iti vardır. Bu hesapta da alaşılması gereke, t olsa bile e t i sıfıra iiş hızıı t i sıırsız artış hızıı, t e t i grafiğiyle eksei arasıdaki alaı solu yapacak kadar etkili bir biçimde bastırdığıdır. Böylece > içi gama foksiyouu iyi taımlamış olduğuu göstermiş olduk. A B. Temel Özellikler Şuu biliyoruz: t > içi f(t pozitif olduğuda, > içi Γ( de pozitiftir. = içi gama foksiyouu değerii hesaplamak kolaydır: Γ( = M e t dt = = M [ e M ] =. M [ e t ] M Öte yada Γ( + = t e t dt olur. Bu itegrali > içi parçalı itegralleme yoluyla hesaplamaya çalışalım. u = t ve dv = e t dt dersek, du = t dt ve v = e t olur. Böylece Γ( + = ε + M = ε + M + ε + M t e t dt [ t e t ] t=m ε t=ε t e t dt = ε + ε e ε M M e M + Γ( olur. Birici it açıkça dır. İkici it de dır; buu görmei bir yolu i sabit tutup M yi değişke olarak düşüerek M /e M üzeride L Hôpital kuralıı [5] uygulamaktır. Elde ettiğimiz Γ( + = Γ( eşitliği gama foksiyouu foksiyoel deklemidir. Şimdi i bir pozitif tamsayısı olarak seçer, foksiyoel deklemi kedisii sağ tarafıdaki Γ( ye uygularsak Γ(+ = ( Γ( buluruz; sora bu işlemi sağ tarafta Γ( = çıkaa kadar tekrarlarsak Γ( + =! ( =,,,... buluruz. Bu bize, yalızca doğal sayılarda taımlı ola faktöriyel işlemii gama foksiyou aracılığıyla bütü pozitif gerçel sayılara geişletildiğii söyler. Peki, gama foksiyouu pozitif olmaya sayılarda da taımlı kılabilir miyiz? Evet, hem de yukarıdaki yolla. Bir pozitif tamsayısı alır, foksiyoel deklemi Γ( + yerie Γ( + içi kullaır ve bu işlemi sağ tarafta Γ( kalaa kadar tekrarlarsak, her > içi Γ( + = (+ (+ (+Γ(, Γ( + Γ( = ( + ( + ( + elde ederiz. < < + ise < + < olur ve Γ(+ taımlıdır. O halde so deklemi gama foksiyouu < < + aralığıda 7

3 taımlamak içi kullaabiliriz. Kala kala sıfır ve egatif tamsayılar kaldı. Bular içi yapacak bir şey yok, çükü so deklemi sağ tarafı buralarda alamsız, ve gama foksiyou buralarda taımsız kalacak, çükü sıfıra veya egatif tamsayıya yaklaştığıda bu deklem Γ( i sıırsız arttığıı da söylüyor. Aslıda e başta gama foksiyouu yalızca (, ] aralığıda taımlamak yeterdi. Γ( + içi yukarıda verdiğimiz deklem sayeside, taım aralığıı (, + ] tipideki tüm aralıklara, yai bütü pozitif gerçel sayılara geişletebilirdik. Souç. Gama foksiyouu taım kümesi T, sıfır ve egatif tamsayılar dışıda kala bütü gerçel sayılardır. = ( ( (t e t /p (t y e t /q dt /p t e t dt /q t y e t dt = Γ( /p Γ(y /q çıkar. Her iki tarafı logaritmasıı aldığımızda, logaritma arta bir foksiyo olduğuda eşitsizlik koruur. Logaritmayı çarpma üzeride toplama olarak dağıtıp a, b > içi l a b = b l a özelliğii kullaırsak, ( l Γ p + y q p l Γ( + l Γ(y q elde ederiz. Bu ise l Γ foksiyouu dışbükey [4] olması demektir. C. Çarpım Formülleri ve Souçları Asıl ilgiç ola, gama foksiyouu, şimdiye kadar verdiğimiz üç temel özelliğide kesi olarak belirlemesidir []: Teorem 3. g, taım kümesi (, aralığıı içere pozitif değerli bir foksiyo olsu. Eğer (a g( = ise, (b g( + = g( sağlaıyorsa, ve (c l g dışbükeyse, o zama g i taımlı olduğu her içi g( = Γ( tir. Diğer bir öemli özellik içi, bir < p < ve buu eşleiği q ile Hölder eşitsizliğii [4] gama foksiyouu taımıdaki itegrale uygulayalım. <, y < olsu ki Γ( ve Γ(y pozitif çıksı ve logaritmalarıı alabile. ( Γ p + y = q = t p + y q e t dt t p + y q p q e t p t q dt İspat. Yukarıdaki üç özelliği sağlaya yalızca bir foksiyo olduğuu göstereceğiz. Gama foksiyou da bu üç özelliğe sahip olduğuda, o bir foksiyo gama foksiyou olacaktır. (b özelliği sayeside, g yi bir kere (, ] aralığıda belirlersek, taımlı olduğu her yerde g belirlemiş olacaktır. h = l g olsu; o zama h( = dır ve h dışbükeydir; ayrıca < t < içi h(t + = h(t + l t sağlaır. Bu eşitlik t = diye pozitif bir tamsayı alııp tekrarladığıda h( + = l(! verir. Bir kere de t = + + alııp tekrarladığıda h( + + = h( + l[( + ( + ] verir. Şimdi < < alalım. [4] teki Öerme 4 ü a = +, b = + + ve c = + alıp 8

4 h ye uygularsak, h( + + h( + h( + h( + = l(( +! l(! = l( + elde ederiz ki bu = halide de = olarak geçerlidir. < alıp [4] teki Öerme 4 ü bir defa da a =, c = + ve b = + + ile uygularsak, h( + + h( + h( + h( = l(! l((! = l elde ederiz. So iki eşitsizlik birlikte l h( + + h( + l( + verir. Daha öce h( + + ve h( + içi elde ettiğimiz formülleri burada yerie koyar ve logaritmaı bir özelliğii kullaırsak l h(+l[(+ (+/!] l(+ buluruz. Şimdi ile çarpıp, l çıkartıp, gee logaritmaı özelliklerii kullaıp sadeleştirirsek, [! ] ( h( l l + (+ (+ çıkar. Logaritmaı sürekliliğide, sağ tarafı ike iti dır. Dolayısıyla ortadaki ifadei de ike iti dır; yai h kesi olarak köşeli paratez içideki ifadei iti olarak belirleir. Logaritmaı birebir foksiyo olması g i de kesi olarak belirlediğii gösterir. İspatı souda Γ içi elde ettiğimiz Gauss formülüü yazalım:! Γ( = ( + ( + ( <. Bu formülü her T içi geçerli olduğuu görmek içi, diye. Γ ( = Γ ( + =! ( + ( Γ ( Γ ( = + + Γ ( + olur. ike bir içi bir tarafı iti varsa, diğer tarafı da vardır, yai Gauss formülüdeki it, içi varsa, + içi de vardır, ve de + içi varsa ve ise, içi de vardır. Özetle, G( ile göstereceğimiz it her T içi vardır, G( + = G( sağlaır, ve < içi G( = Γ( tir. G tek olduğuda, G ile Γ, T kümeside çakışırlar. Şu öerme Γ( içi değişik bir formül elde etmemizde yararlı olacak: Öerme 4. ( l iti vardır. Bu it γ ile gösterilir ve γ ya Euler- Mascheroi sabiti deir. İspat. C = l ve D = C / dersek, her =,,... içi C + C = ( + l +, D + D = ( l + olduğuu görürüz. d d (l = ( > olduğuu biliyoruz. Her iki tarafı de + ye kadar itegralii alırsak, ( + + d l = buluruz. / foksiyouu [, + ] aralığıda aldığı e büyük değer, e küçük değer ise + dir. Bu değerleri aralığı uzuluğu ola / ile çarparsak, yukarıdaki itegral içi alt ve üst sıırlar bulmuş oluruz: ( + l + ( =,,.... Bu eşitsizlikleri {C } ve {D } dizilerii fark formülüde kullaırsak, her içi C + C + + =, D + D = çıkar; yai {C } azala bir dizi, {D } arta bir dizidir. Taımlarıda her içi D < C olduğuda, D = terimii {C } dizisi içi bir alt sıır olduğuu görürüz. Azala ve altta sıırlı dizileri ise iti vardır (ve bu it e büyük alt sıırdır. 9

5 Şimdi Γ ( i taımlaya ifadede yerie eşiti e l yazalım. Sora! ifadesii /! olarak paydaya taşıdıkta sora, çarpalarıı sırayla (+(+ (+ i paydası olacak şekilde dağıtalım. Sora da Γ ( i = e e / e e / e / ile çarparsak eize Γ ( = e l e e / e / e e / e / geçer. Buradaki büyük kesiri payıı tek bir üstel foksiyoda birleştirebiliriz. Ayrıca paydadaki +k k kesirlerii de + /k şeklide yazabilir ve her birii e /k ile beraber düşüebiliriz. O zama Γ ( ifadesi [ ( ep l ] e /k + /k k= halii alır. Burada, çarpımı gösterir; ep( ise e ( demekte başka bir şey değildir. Öerme 4 sayeside, ike, yuvarlak paratez içideki ifadei itii γ, sol tarafı itii ise T deki ler içi Γ( olduğuu biliyoruz. O zama her T içi, ike sağdaki çarpımı da iti vardır; dolayısıyla Γ( = e γ = e γ k= k + k e/k k + k e/k ( T olur. Bu eşitlik Weierstrass çarpım formülüdür. Yukarıda {C } dizisii iti olarak taımladığımız γ ı e büyüklükte bir sayı olduğu hakkıda biraz fikir vere. Her şeyde öce {D } dizisii de iti vardır ve bu it γ dır, çükü iki dizii terimleri arasıdaki fark sadece / dir ve bu a yakısar. {D } dizisi arta olduğuda, γ ou e küçük üst sıırıdır. Dolayısıyla her içi D < γ < C sağlaır. D = l > dır, çükü < < e ve l = < l < = l e dir. Ayrıca C = 3 l < dir, çükü l yaklaşık olarak.7 dir. Böylece < γ < olduğu ortaya çıkar. yi büyük seçerek γ içi daha dar aralıklar bulabiliriz. γ içi yaklaşık bir değer.577 dir. So bir ot: γ ı rasyoel mi irrasyoel mi bir sayı olduğu biiyor. D. Beta Foksiyou Bir başka Euler itegrali de iki değişkeli br foksiyo taımlar. Beta foksiyou, > ve y > değerleri içi B(, y = t ( t y dt itegrali ile taımlaır. < < ve < y < ike, bu itegral de gama foksiyouu taımlaya itegral gibi itlerle verilir, çükü t de dolayı a yaklaşırke, ( t y de dolayı da e yaklaşırke sorular vardır. Bu sorular gee gama foksiyouda yapıldığı gibi aşılır. İtegrali içideki ifade pozitif olduğuda beta foksiyou da pozitif değerlidir; o zama logaritmasıı almamızda sakıca yoktur. y yi sabit tutup e değişke olarak baktığımızda, tıpkı gama foksiyou içi kulladığımız yolla, l B ı da dışbükey olduğuu görürüz. B(, y = /y de kolayca hesaplaır. Beta foksiyou içi de bir foksiyoel deklem çıkartalım. ( t B( +, y = ( t +y dt t yazar, ( t u = t ve dv = ( t +y dt diyip, parçalı itegralleme yaparsak, B( +, y = B(, y + y elde ederiz. Bütü buları ayrıtılarıı okuyucuya bırakıyoruz. Şimdi sabit bir y > alıp, g( = Γ( + y B(, y ( > Γ(y foksiyoua bakalım. g( + = g( ve g( = olduğuu heme görürüz. Logaritma çarpımı toplama çevirdiğide ve dışbükey foksiyoları toplamı da dışbükey olduğuda [4] (y i ve böylece Γ(y i pozitif bir sabit olduğuu uutmayalım, l g i de dışbükey olduğuu alarız. Artık yapılacak e doğal şey Teorem 3 ü uygulayıp, her > içi g( = Γ( yazmaktır. Bu da bize şu ilgiç formülü verir: Γ(Γ(y Γ( + y = t ( t y dt ( >, y >.

6 Bu formülde daha başka ilgiç formüller de türetebiliriz. İtegralde < t < olduğuda si θ = t sağlaya bir θ vardır ve dt = si θ cos θ dθ olur. O zama gee pozitif, y içi Γ(Γ(y Γ( + y = (si θ (cos θ y dθ gerçekleir. Şimdi = y = koyar, Γ( = ve Γ ( > olduğuu kulaırsak, ( Γ = π buluruz. ( π sayısı yazıda bir yerde çıkmalıydı! Geri döüp gama foksiyouu ilk taımıda t = s değişke değişimii yapmak Γ( = verir. Şimdi = s e s ds ( T koyarsak, π e s ds = elde ederiz. y = e s foksiyouu grafiği y eksei etrafıda simetriktir; dolayısıyla s > ike grfiği altıda kala alala s < ike grafiği altıda kala ala birbirie eşittir. Souç olarak çıkar. e s ds = π E. Türevleebilme ve Dışbükeylik Biraz da gama foksiyouu türevii olup olmadığıı araştıralım. Foksiyoel deklemde dolayı pozitif sayılara bakmak yetecek. Pozitif sayılarda ise gama foksiyouu pozitif değerli olduğuu biliyoruz, dolayısıyla logaritmasıı alabiliriz. Logaritma sürekli bir foksiyodur ve buda dolayı itle yer değiştirebilir. Logaritmaı solu çarpımları toplamlara çevirdiğii de biliyoruz. Diğer bir bildiğimiz, logaritmaı üstel foksiyou ters foksiyou olduğu; yai her gerçel a içi l e a = a ve her pozitif b içi e l b = b sağladığı. O zama Weierstrass çarpım formülüde l Γ( = γ l + l k + k e/k k= ( ( k = γ l + k l +k k= ( ( k = γ l + k l + k k= elde ederiz. Şimdi türev almaya çalışırsak sağdaki sosuz toplam soru çıkartmaya aday. Solu toplamları türevii her bir terimi türevii toplamı olduğu doğru, fakat bu sosuz toplamlarda da geçerli mi? Evet, eğer türevi elde edilecek ola sosuz toplam burada pek bahsetmek istemediğimiz düzgü yakısaklık özelliğie sahipse. Eizdeki toplamlar içi bu özelliği olduğu biliiyor ve her terimi ayrı ayrı türevii alıp toplamamızda bir sakıca yok. Zicir kuralıı birkaç uygulamasıda sora d d l Γ( = Γ ( Γ( = γ + ( k= = γ + k= k + k k( + k ( > buluruz. Düzgü yakısaklık özelliği tekrar tekrar türev alsak da sağlaıyor, dolayısıyla gama foksiyou sosuz kere türevli ve d m ( Γ ( d m = Γ( k= ( m (m ( + k m (m formülü her > içi geçerli. Yukarıda yaptığımız gibi foksiyoel deklemler sayeside bu formülü her T içi geçerli yapmak da mümkü. m = hali biraz daha icelemeğe değer, çükü ( d Γ ( = Γ(Γ ( (Γ ( d Γ( (Γ( = k= ( + k her zama pozitif. Burada her T içi Γ(Γ ( (Γ ( > Γ(Γ ( > (Γ ( çıkar. Bu ise her T içi, Γ( ve Γ ( sayılarıı ya her ikisii birde pozitif ya da her ikisii birde egatif olması demektir. Γ(

7 foksiyouu düşüürsek, ikici türevi hep pozitif olur. [4] teki Souç 8 de dolayı Γ( foksiyou T üzeride dışbükeydir. Dikkatli bakarsak, Γ( + yi vere formülde, gama foksiyouu işaretii (, + aralığıda ( i işareti ile ayı olduğuu görürüz; burada bir pozitif tamsayıdır. > ike de Γ( pozitiftir. Dolayısıyla gama foksiyou (,, (,, ( 4, 3,... aralıklarıda dışbükeydir; T deki geri kala aralıklarda ise Γ dışbükeydir. F. Siüs Foksiyou İçi Bir Bağıtı Başlagıç olarak g( = π Γ ( Γ ( + foksiyoua bakalım. Açıkça g e az (, aralığıda taımlı ve orada pozitif değerlidir. Ayrıca Γ( + = Γ( özelliğide g( + = + π Γ = π Γ ( ( + Γ + ( ( + Γ = g( sağlaır. ( ( + l g( = (l + l Γ + l Γ özdeşliğide sağdaki her terim dışbükey olduğuda, l g dışbükeydir. O zama g, Γ da başka bir şey değildir (Teorem 3; yai ( ( + Γ Γ = π Γ( özdeşliği, her iki taraf da taımlı ike doğrudur; bua da Gauss formülü deiyor. Burada yerie koyarsak, ( ( Γ Γ = π Γ( elde ederiz. Şimdi ϕ( = Γ(Γ( si π foksiyoua bakalım. Bu foksiyo sadece tamsayı olmaya gerçel ler içi taımlıdır. yerie koyarsak ϕ( + = Γ( + Γ( si(π + π Γ( = Γ( ( si π = Γ(Γ( si π = ϕ( buluruz; yai ϕ periyodiktir ve periyodu dir. Az öce elde ettiğimiz bağıtıları kullaarak da ( ( ( ( + ϕ ϕ = Γ Γ ( ( + Γ Γ si π cos π = π Γ( π Γ( si π π cos = πγ(γ( si π = πϕ( ( elde ederiz. Bu özdeşlik de tamsayı olmaya ler içi geçerlidir. Gama ve siüs foksiyoları sosuz kere türevli olduklarıda, ϕ de öyledir, tabii tamsayı değilse. Γ( + ϕ( = Γ( si π si π = πγ( + Γ( π yazalım. Bu eşitliği sağ tarafıı ike itii alırsak πγ( = π buluruz, çükü gama foksiyou de süreklidir. Eğer ϕ( = π diye taımlarsak, ϕ sıfırda da sürekli olur. Diğer tamsayılarda da ayı iti buluruz, çükü ϕ periyodiktir. O halde ϕ yi tamsayılarda π diye taımlarsak, ϕ bütü gerçel sayılarda sürekli olur. Yukarıdaki eşitliği türevii alıp tekrar ike itie bakabiliriz. Gama foksiyou de sosuz kere türevli olduğuda yalız si π/π ifadeside gele terimlerde iti araştırmak yeter. L Hôpital kuralıda [5] oları da iti kolayca buluur. Sora tekrar ϕ ( ı it yardımıyla taımlar ve periyodiklikle bütü tamsayılara geişletiriz. Özetle, ϕ bütü gerçel sayılarda sosuz kere türevlidir. Ayrıca taımıda < < içi ϕ( pozitiftir. ϕ( = π ve periyodiklik sayeside bu her gerçel sayıda da doğrulaır. Böylece ϕ i logaritması alıabilir.

8 l ϕ i ikici türevie λ diye. λ da periyodiktir ve periyodu dir. λ, [, ] aralığıda sürekli ve buu soucu olarak orada sıırlıdır. Periyodiklik gereği bütü gerçel sayılarda sıırlı olur; yai öyle bir M sayısı vardır ki, her gerçel içi λ( M sağlaır. Öte yada ( ı her iki tarafıı logaritmasıı ve sora iki kere türevii alıca ( ( ( + λ + λ = λ( 4 elde ederiz. Burada λ( ( 4 λ + ( + 4 g M 4 + M 4 = M çıkar. Bu işlemi tekrarlarsak, λ ı üst sıırıı istediğimiz kadar ufaltabileceğimizi görürüz. Souç olarak her gerçel içi λ( = dır. λ ı taımıda bu l ϕ( = a + b olması demektir. l ϕ i periyodikliğide a = olmalıdır; yai ϕ sabit bir foksiyodur. ϕ( = π olduğuu biliyoruz. Dolayısıyla her gerçel içi ϕ( = π dir. Şimdi eizde si π = π Γ(Γ( = π Γ(Γ( var. Bu da Γ içi bir başka foksiyoel deklemdir. Weierstrass çarpım formülüü burada kullaırsak si π = π ( k= k ( < < elde ederiz. Bu formülü değişik bir elde edilişi [3] te var. Aslıda bu formül poliomlar içi bildiğimiz bir özelliği si π içi yazılmışı. Bilidiği gibi her poliom köklerie ait çarpaları çarpımı olarak yazılabilir; tabii poliomları solu tae kökü vardır. Yukarıdaki formül bize sosuz tae kökü ola si π gibi bazı foksiyoları da köklerie ait çarpaları çarpımı olarak yazılabileceğii söylüyor. KAYNAKÇA [] E. Arti, The Gamma Fuctio, Holt, Riehart & Wisto, New York, 964. [] H. Bohr & J. Mollerup, Laerebog i Matematisk Aalyse, Kopehag, 9. [3] N. Çalışka, Bir Algorist: Leohard Euler, Matematik Düyası, 5, sayı 5, 3 5 (995. [4] H. T. Kaptaoğlu, Dışbükey Foksiyolar, Matematik Düyası, 6, sayı, 8 (996. [5] M. A. Kocatepe, L Hôpital Kuralı Üstüe, Matematik Düyası, 4, sayı, 5 7 (994. 3

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz.

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz. MAT -MATEMATİK (5-5 YAZ DÖNEMİ) ÇALIŞMA SORULARI. Tabaı a büyük ekseli, b küçük ekseli elips ile sıırlaa ve büyük eksee dik her kesiti kare ola cismi 6ab hacmii buluuz. Cevap :. y = ve y = eğrileri ile

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

FREKANS CEVABI YÖNTEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI

FREKANS CEVABI YÖNTEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI FREKANS CEVABI YÖNEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI G(s (r(t ı Laplace döüşümü; A(s B(s A(s (s p (s p L(s p C(s G(sR(s R(s R s A(s B(s R(s A(s R a C(s L B(s s s j s j s p a b b s

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki

Detaylı

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır

Detaylı

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde SAYILAR DÜNYASINDA GEZİNTİLER H. Turgay Kaptaoğlu Bu yazıda deri teorilere imede sayıları çoğulula da tamsayıları ilgiç özellileride bahsedeceğiz. Bu özellileri hiçbiri yei değil; yüzyıllar, hatta biyıllar

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık

Detaylı

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 200 ANKARA ii Mehmet YILDIZ tarafıda hazırlaa MÖBİUS

Detaylı

REEL ANALĐZ UYGULAMALARI

REEL ANALĐZ UYGULAMALARI www.uukcevik.com REE NĐZ UYGUMRI Sou : (, Α, µ ) ölçü uzayı olsu. = N, Α= ( N ) ve µ ( E) olduğuu östeiiz. N üzeide alması içi eek ve yete koşul < di. Gösteiiz. µ oksiyouu veile taımıı uyulayalım; µ (

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ MUSTAFA YILMAZ DENİZLİ, TEMMUZ - 07 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir?

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir? ÖRNEK 1 : A= {1,,}, B={1,,5,7}kümeleri veriliyor. A da B ye taımlaa aşağıdaki bağıtılarda hagisi foksiyo değildir? A) {(1,), (,5), (,7)} B) {(1,), (1,5), (,1)} C) {(1,1), (,1), (,1)} D) {(1,5), (,1), (,7)}

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI)

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI) 5..5 Ele Alıaca Aa Koular Ayrı-zama işaretleri impuls dizisi ciside ifade edilmesi Ayrı-zama LTI sistemleri ovolüsyo toplamı gösterilimi Hafta 3: Doğrusal ve Zamala Değişmeye Sistemler (Liear Time Ivariat

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler 3. Ders Parametre Tahmii Tahmi Edicilerde Araa Özellikler Gerçek düyada rasgelelik olgusu içere bir özellik ile ilgili ölçme işlemie karş l k gele X rasgele de¼gişkeii olas l k (yo¼guluk) foksiyou, F ff(;

Detaylı

DERS 5. Limit Süreklilik ve Türev

DERS 5. Limit Süreklilik ve Türev DERS 5 imit Süreklilik ve Türev İlk dersimizi solarıda, it sözüğü kullaılmada bu sözükle iade edile kavram ele alımıştıbak.. Bu dersimizde, it kavramıa biraz daa akıda bakaağız ve bu kavram ardımıla süreklilik

Detaylı

limiti reel sayı Sonuç:

limiti reel sayı Sonuç: 6 TÜREV MAT Bara Yücel Taı: a, br veriliş ols. olak üzere : a, b R oksiyo ab, içi li liiti reel sayı ise, b liit değerie oksiyo oktasıdaki türevi deir ve d dy, ya da biçiide gösterilir. d d Ba göre, li

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ.

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ. T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ İsmail AYDOĞDU Balıkesir, Hazira-009 ÖZET CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR

Detaylı

Bileşik faiz hesaplamalarında kullanılan semboller basit faizdeki ile aynıdır. Temel formüller ise şöyledir:

Bileşik faiz hesaplamalarında kullanılan semboller basit faizdeki ile aynıdır. Temel formüller ise şöyledir: 1 BİLEŞİK FAİZ: Basit faiz hesabı kısa vadeli(1 yılda az) kredi işlemleride uygulaa bir metot idi. Ayrıca basit faiz metoduda her döem içi aapara sabit kalmakta olup o döem elde edile faiz tutarı bir soraki

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

1 Primitif Kökler. [Fermat ] p asal, p a a p 1 1 (mod p) a Z, a p a (mod p) [Euler] ebob(a, m) = 1, a φ(m) 1 (mod m) φ(1) := 1

1 Primitif Kökler. [Fermat ] p asal, p a a p 1 1 (mod p) a Z, a p a (mod p) [Euler] ebob(a, m) = 1, a φ(m) 1 (mod m) φ(1) := 1 Primitif Kökler [Fermat ] p asal, p a a p (mod p) a Z, a p a (mod p) [Euler] ebob(a, m) =, a φ(m) (mod m) φ : Z + Z + φ() := φ(m) := {x Z x < m, ebob(x, m) = } φ fonksiyonunun özellikleri: ) m >, φ(m)

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748 ISBN - 978-605-563-60-4 Sertifia No: 748 GENEL KOORDİNATÖR: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR REDAKTE: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR SERDAR DEMİRCİ SABRİ ŞENTÜRK Basm Yeri: EVOS BASIM - ANKARA Bu itab tüm basm ve yay halar

Detaylı

DOKTORA TEZİ. Ali ÇEVİK

DOKTORA TEZİ. Ali ÇEVİK ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ MATRİS ORTOGONAL POLİNOMLARININ ve MATRİS FONKSİYONLARININ BAZI ÖZELLİKLERİ Ali ÇEVİK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 9 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora

Detaylı

D( 4 6 % ) "5 2 ( 0* % 09 ) "5 2

D( 4 6 % ) 5 2 ( 0* % 09 ) 5 2 3 BÖLÜM KAALI SİSEMLEDE EMODİNAMİĞİN I KANUNU I Yasaya giriş Birii bölümde eerjii edilide var veya yo edilemeyeeği vurgulamış, sadee biçim değiştirebileeği belirtilmişti Bu ile deeysel souçlara dayaır

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK

Detaylı

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU.

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU. T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisas Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr.Abdullah SÖNMEZOĞLU Yozgat 202

Detaylı

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY

Detaylı

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi 3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

Hiperbolik ve Küresel Uzaylarda Bir Simetrik Dörtyüzlünün Hacmi Üzerine. Abstract. Özet

Hiperbolik ve Küresel Uzaylarda Bir Simetrik Dörtyüzlünün Hacmi Üzerine. Abstract. Özet Hiperboli Küresel Uzaylarda Bir Simetri Dörtyüzlüü Hacmi Üzerie Bai KARLIĞA arliaga@gazi.edu.tr Gazi Üirsitesi Fe Edebiyat Faültesi atemati Bölümü 06500 Aara T.oullar/Aara urat SAVAŞ msavas@gazi.edu.tr

Detaylı

ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK

ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK ÖABT ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK DENEME SINAVI ÇÖZÜMLERİ ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ DENEME SINAVI / çözümlei. DENEME. Veile öemelede yalız III kesi olaak doğudu. Bu edele doğu cevap seçeeği B di..

Detaylı

HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr.

HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr. HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisas Tezi Matematik Aabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr. Arzu AYKUT 2014 Her hakkı saklıdır ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

Diferansiyel denklemler uygulama soruları

Diferansiyel denklemler uygulama soruları . Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b)

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b) Bağıtı YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - - - BAĞINTI ÖZELLĐKLER: SIRALI ĐKĐLĐ: (a,) şeklideki ifadeye ir sıralı ikili yada kısaca ikili deir (a,) sıralı ikiliside a ya irici

Detaylı

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir.

Detaylı

A) π B) 4 π C) 9 π D) 16 π E ) π 6. Çözüm: Yanıt:A. 5. ax +by+ 5 = 0 } denklemlerini aynı zamanda. Çözüm: Yanıt:B

A) π B) 4 π C) 9 π D) 16 π E ) π 6. Çözüm: Yanıt:A. 5. ax +by+ 5 = 0 } denklemlerini aynı zamanda. Çözüm: Yanıt:B . +? + + işlemii soucu aşağıdakilerde xy } y 5,x 4 5x 4y Ç 6y +7x 6.5+7.4 58 cm Yaıt:C hagisie eşittir? A) 7 B) 4 C) 7 4 D) 7 7 E ) 7 4. Aşağıda alaları verile dairelerde hagisii alaı sayıca çevresie eşittir?

Detaylı

11. SINIF KONU ÖZETLİ SORU BANKASI

11. SINIF KONU ÖZETLİ SORU BANKASI . SINIF MATEMATİK KONU ÖZETLİ SORU BANKASI Mil li Eği tim Ba ka lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş ka lı ğı ı 4.8. ta rih ve sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi le ve - Öğ re tim Yı lı da iti ba re uy

Detaylı

v = ise v ye spacelike vektör,

v = ise v ye spacelike vektör, D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,

Detaylı

MATEMATİK ANABİLİM DALI

MATEMATİK ANABİLİM DALI ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Serka ÖKTEN -NORMLU UZAYLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 00 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ -NORMLU UZAYLAR Serka ÖKTEN ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ AÇILARI VE KENARLARI ARĠTMETĠK, GEOMETRĠK VE HARMONĠK DĠZĠ OLUġTURAN ÜÇGENLER ĠLE x 3y z DĠOPHANTĠNE DENKLEMĠ ARASINDAKĠ ĠLĠġKĠ ÜZERĠNE BĠR ARAġTIRMA Tayfu

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 009 ANKARA Muhib ABULOHA tarafıda hazırlaa KONİK METRİK UZAYLAR

Detaylı

DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ

DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ UFUK KAYA Mersi Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aa Bilim Dalı YÜKSEK LİSANS TEZİ Tez Daışmaı Prof. Dr. Nazım KERİMOV MERSİN Hazira - 8 ÖZ Bu çalışmada

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM Nesliha KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 00 ANKARA Nesliha Koza BAŞAK taraıda hazırlaa KANTOROVICH-STANCU

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

Ders #2. Otomatik Kontrol. Laplas Dönüşümü. Prof.Dr.Galip Cansever

Ders #2. Otomatik Kontrol. Laplas Dönüşümü. Prof.Dr.Galip Cansever Ders #2 Otomatik Kontrol Laplas Dönüşümü Prof.Dr.Galip Cansever Pierre-Simon Laplace, 1749-1827 Matematiçi ve Astronomdur. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/biographies/laplace.html LAPLAS DÖNÜŞÜMÜ

Detaylı

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır? PROBLEMLER: 9 Sıavı 5 a, a, a,..., a Z, 0 a k olmak üzere, 95 sayısı faktöriyel tabaıda 5. k 95 = a+ a.! + a.! +... + a.! biçimide yazılıyor. a kaçtır? (! =...( ) ) 0 ( B ) ( C ) ( D ) ( E ). Bir ABC üçgeide

Detaylı

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( ) . TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı)

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı) 3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı) İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda

Detaylı