Açı Yöntemi. 1 ql 8. Açı yöntemi olarak adlandırılan denklemlerin oluşturulmasında aşağıda gösterilen işaret kabulü yapılmaktadır.

Transkript

1 çı Yöntemi Kuvvet ve -oment yöntemlerinde, ilave denklemleri zorlamaların sistem üzerinde oluşturduğu deformasyonların sistemde oluşturulan suni serbestliklerden dolayı oluşan deformasyonlardan ne kadar farklı olduğunu hesaplanır. rdından suni serbestlik oluşturulan yere uygulanan birim yük veya moment sonucu sistemde oluşan deformasyonlar ölçülür ve deformasyonların ilk haline gelebilmesi için suni serbestlik verilen bölgedeki moment veya kuvvet hesaplanır. erçek bir yapıda hiperstatiklik derecesi yüzden fazla olabilmektedir. u nedenle sistemin kuvvet veya -oment yöntemi ile çözülmesi hatta denklemlerinin oluşturulması dahi uygulanabilir değildir. ununla birlikte hiperstatik sistemlerin çözümünde denklem oluşturulurken belirli işlemlerin sürekli tekrar edildiği, yapının kinematik serbestliğine bağlı olarak denklem oluşturulmaktadır. Örneğin -oment yöntemi dönme serbestliğine sahip mesnetlere uygulanabilmektedir. Kuvvet yönteminde kirişlerin esnekliğini hesaplamada kullanılan denklemlerin genelleştirilmesi ile önemli ölçüde hesap yükü azaltılmıştır. enzer şekilde 95 yılında aney çerçeve yapıların kinematik serbestliğinden yararlanarak elde edilen denklemlerin oluşturulmasını bazı kabuller yaparak daha da kolaylaştırmıştır. enklemleri oluştururken kesme ve eksenel gerilmelerden dolayı oluşan deformasyonlar ihmal edilirken sadece momentin oluşturduğu eğilme ve deplasmanlar dikkate alınmaktadır. u nedenle yöntem genel olarak kinematik serbestliklerden en çok açı serbestliğini kullandığı için açı olarak adlandırılmaktadır. çı yöntemi olarak adlandırılan denklemlerin oluşturulmasında aşağıda gösterilen işaret kabulü yapılmaktadır. q l Sisteme temsili olarak noktasında bulunan momentinin, noktasında momentinin etki ettiği ve q düzgün yayılı yükün tüm kiriş boyunca etki ettiği durum ele alınmıştır. Temsili olarak belirtilen moment ve noktasal yükün ayrı ayrı ele alınarak oluşturulan moment diyagramı aşağıda belirtilmiştir. + - ql 8 + Kiriş boyunca sabit olduğu kabulü ile ve noktaları arasında yapısal elemanın deformasyonunu hesaplayan denklemler oment-lan yöntemi ile hesaplanacaktır. noktasının noktasına göre Δ kadar aşağı yönde hareket ettiği durum için denklemler oluşturulacaktır.

2 Δ Δ ' Δ l l ql l l ql denklemleri elde edilir. yrıca deformasyonun olduğu şekil incelendiğinde ve elde edilir. l l enklemlerde ve görülen yerlere moment alan yöntemi ile elde edilen eşitlik yazıldığında aşağıdaki eşitlikler elde edilir. l l ql l l ql 'yı elemek için üstteki denklem ile çarpılıp alttaki denkleme eklenir. enzer şekilde 'yi elemek için alttaki denklem ile çarpılıp üstteki denkleme eklenir. l ql ql l l ql l elemanının her ucunun ankastre mesnet olması halinde = = uç momentler ql = durumu oluşacak ve

3 ql ql biçiminde ifade edilir. lde edilen moment değerleri iki tarafı ankastre mesnet olan sistem üzerine etki eden yüklerin oluşturduğu moment değerlerine eşit olacağı için ankastre momenti veya sabit uç momenti olarak adlandırılır. Yaygın olarak oluşan yüklemelerin ankastre momentleri ankastre moment tablosundan yararlanılarak hesaplanır. çı denklemlerinin genel hali ij i j ij SU ij l i j ij SU ji ji l biçiminde ifade edilir. enklemde i kirişin sol ucundaki açıyı, j sağ ucundaki açıyı, ij kiriş uçlarının göreceli düşey deplasmanı sonucu kirşte gözlenen dönmeyi belirtmektedir. çı yönteminde saat yönündeki dönmeler pozitif kabul edilir. Örnek: şağıda verilen çerçeve sistemi açı yöntemini kullanarak çözünüz. kn kn m kn m 5 m m m m 8 m çı yöntemine göre çözümde ve noktalarındaki dönme ile çerçevenin yana doğru kayması olmak üzere adet bilinmeyen bulunmaktadır. leman uç momentleri

4 SU SU SU SU SU SU K K K K K K leman uç momentleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. leman uç momentlerinin hesaplanmasında gerekli olan katsayılar aşağıdaki gibi hesaplanır. K K K K K 8 * * * * SU, 7kNm SU knm 5, **5 *5* SU, 5 knm SU knm, SU SU Oturma olmadığı için olur. Çerçevenin sağ tarafa Δ kadar ötelendiği kabul edilirse bulunur. m kn l ve l Yandaki şekilde noktasındaki toplam momentin olabilmesi için = - knm olmalıdır. esnet koşullarından ve noktalarındaki açıların olduğu bilinmektedir. Tüm değerler yerine yazıldığında aşağıdaki eleman uç moment denklem kümesi elde edilir.

5 K,7 K 5, *K 5, 5, 9 *K K K Sistemdeki denge denklemleri aşağıdaki gibi yazılır. Noktası Noktası + = + + = + - = enge koşullarından adet denklem elde edilmiştir, ancak toplamda adet bilinmeyen olduğu için adet denkleme ihtiyaç duyulmaktadır. Çözüm için ihtiyaç duyulan denklem kesme eşitliğinden sağlanmaktadır. Çerçeve sistem ve noktalarındaki mesnetlerin hemen üstünden, ve noktalarındaki kirişin ise hemen altından kesildiğinde aşağıdaki durum elde edilir. m m noktasına göre moment alındığında + noktasına göre moment alındığında elde edilir. + denklem eklendiğinde; 5

6 bulunur. sas sistemde x doğrultusundaki toplam kuvvetlerin toplamının olması koşulu kullanılarak kn elde edilir. öylece bulunur. enge denklemleri ile kesme eşitliğinden elde edilen denklemlere eleman uç momentlerinin değerleri yerine yazıldığında; K K K 9,8 K K K,9 K K K,7 denklemleri elde edilir. u denklemler aşağıda gösterildiği gibi matris biçimde yazılabilir. K 9,8 K,9 K,7 ilinmeyenlerin hesaplanması için katsayılar matrisinin tersi hesaplanır ve denklemin her iki tarafı ile çarpılır.,7,8,7897,8,,7,,7897,897,7,8, K,7,8, 9,8,8,7, K,8,7,,9,7897,7897,897 K,7897,7897,897,7 K,58 K,89 elde edilir. ulunan açı ve yanal deplasman değerleri eleman uç moment K 9, 987 denklemlerinde yerine yazılarak eleman uç momentleri hesaplanır. K,7 = *,58-9,987-,7 = -7,9 knm K 5,= *,58-9,987+5, = 5,957 knm *K 5, = *,58 + *(-,89) - 5,5 = -5,957 knm 5, 9 *K = *,58 + *(-,89) +,975 =,7 knm K = *(-,89) - 9,987 = -,7 knm K = *(-,89) -9,987 = -,85 knm esaplanan eleman uç momentleri denge denklemlerinde yerine yazılarak işlemlerin doğruluğu kontrol edilebilir. 5, ,957 =

7 + - =,7 + -,7 - = -7,9 + 5, ,7 + -,85 = - knm leman uç momentlerinin hesaplanmasının ardından kesme ve normal kuvvetler hesaplanır. = 5,957 = -,7 m kn m = -7,9 -,85 noktasına göre moment alındığında -7,9 + 5, = =, kn + noktasına göre moment alındığında -,7 + -,85 + = =,78 kn + kn m 5 m V V noktasına göre moment alındığında + 8V 5* -5,957 +,7 + 8 *V - 5 = V = 5,57 kn üşey yönlü kuvvetlerin denkliğinden V = -,7 kn bulunur. lde edilen kesme kuvveti noktasındaki düşey mesnet tepkisine eşittir. lde edilen sonuçlardan kesme diyagramı çizilebilir. 5,57 kn kn -,78 kn m m 5 m -,7 kn m m, kn +,78 kn 7

8 oment diyagramı ise aşağıdaki gibidir. -,7 knm -5,957 knm - knm m 5 m -5,957 knm m +,579 knm,5 knm m m -,7 knm -7,9 knm,85 knm şağıda verilen sistemin üzerine etkiyen yükler ve konumları şekil üzerinde belirtilmiştir. una ek olarak mesneti cm aşağı yönlü oturmuştur. Tüm kolon ve kirişlerin atalet momenti, elastik modülü dir. Verilen yüklere göre Ç YÖNTİNİ KULLNRK a) ilinmeyenleri yazın b) leman uç momentlerini şekil üzerinde gösterin c) leman uç momentlerinin denklemlerini oluşturun d) enge ve kesme denklemlerini oluşturun e) leman uç momentlerini denklemlerde yerine koyun ve matris formatında yazın kn m q = kn/m m kn m m m 5 kn m m 5 m 5 kn m o o m a) Şekildeki sistem,,, ve düğüm noktalarında dönebilmekte ve yanal deplasmana açık bir sistemdir. u nedenle sistemdeki bilinmeyenler θ, θ, θ, θ, θ, açıları ve doğrultusunda yaptığı Δ yanal deplasmandır. una göre sistemde toplam adet bilinmeyen mevcuttur. b) leman uç momentleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. 8

9 o o c) leman uç momentlerinin denklemleri ij K ij formülü ile oluşturulur. i j ij SU SU SU SU SU SU SU SU SU SU K K K K K K K K K K oluşturulan eleman uç moment denklemlerindeki değerler aşağıdaki gibi hesaplanır. Sertlikler: K K = K ile yer değiştirilirse. K K 5 K K K K, 5K K, 5K K, K K K elde edilir. nkastre omentleri: SU SU * SU knm SU knm 9

10 5* * 5** SU 8 knm SU knm 5 5 * * * * SU 5, 5 knm SU knm, * 5* SU 7, 5 knm SU 7, 5 knm 8 8 Yanal Kayma ile Oluşan önme: l l l Oturma ile Oluşan önme:,, 75 l radyan,, 5 l radyan esnet Koşulu: eğerler yerine konarak aşağıdaki eşitlik kümesi elde edilir. K K K,5,5,8 8,8,75, 875,75 5, 5,5 7, 5,5 7, 5 K,K,K K K K K d) enge denklemleri dönme oluşabilen her düğüm noktası için yazılabilir. Noktası Noktası + = + + =

11 Noktası Noktası + = = Noktası = noktasında kayar mesnet olduğu için noktasında yatay mesnet tepkisi bulunmayacaktır. u nedenle = olur. yrıca ankastre olmadığı için moment de sıfır olacaktır ve = yazılır. u iki koşul özel bir duruma yol açar. kolonu kesilip özel olarak incelenirse aşağıda görülen durum ortaya çıkar. = m kn m genelleştirilebilir. noktasına göre moment alınırsa + * elde edilir. enklemde = ve = yerine konursa knm elde edilir. u durumda düğüm noktasındaki dönme cinsinden yazılan tüm eleman uç momentlerinin değeri hesaplanabilir olmaktadır. u nedenle θ açısı bilinmeyenler arasından çıkarılabilir. u durum kolonların bağlı olduğu mesnet kayar mesnetse mesnetteki dönme miktarının bilinmeyenlere dâhil edilmesine gerek yoktur biçiminde noktasındaki dönme miktarının elenmesi ile kalan adet düğüm noktasındaki dönme miktarlarının hesaplanabilmesi için gerekli olan denge denklemleri oluşturulmuş oldu. Yanal deplasman için gereken denklem ise kolonların kesilmesi ile elde edilir. esnet tepkisinin sıfır olduğu bilindiği için kolonunun serbest cisim diyagramına dâhil edilmesi zorunlu değildir. şağıda sadece ve kolonlarının dahil edildiği serbest cisim diyagramı gösterilmektedir. kn 5 kn m m m

12 noktasına göre moment alındığında + noktasına göre moment alındığında elde edilir. Tüm sistemde yatay kuvvetler toplamının sıfır olması koşulundan + = kn koşulunda bulunan değerler yerine konursa 5 elde edilir. enklem sadeleştirilirse 57 eşitliği oluşturulur. K K K,5 7, 5 K,5 7, 5 K K K 8K 57 enge denklemlerinden elde edilen diğer eşitliğe eleman uç moment denklemleri yerine konduğunda; ) + = K K,5 K K K, 75K ) + + =,5,K,8 8 K K,8K,K,K 5 ) + =,8 K,5 7, 5,K,K 8,8K K K,K 9,5 ) =,5 K K K K lde edilen 5 denklem toplu halde aşağıdaki gibi yazılabilir. K K K, 75K

13 K,8K,K,K 5,K 8,8K K K,K 9,5 K K K 7,5 K K K 8K 57 atris formatında yazımı aşağıdaki gösterilmiştir. K,75K,8, K,K 5, 8,8 K 9,5,K K 7,5 8 K 57 şitliğin iki tarafı katsayılar matrisinin tersi ile çarpılır ve bilinmeyenler hesaplanır. K,,5,7,89,5,75K K,5,,98,,,K 5 K,7,98,7,558,,K 9,5 K,89,,558,,9 7,5 K,5,7,,7, 57 K 8,7,7K K,8,8K K,9,5K K 8,99,5K K 78,875,957K K = *(8,7+,7K) - *(78,875+,957K) = -,7 -,98K K = 8*(8,7 +,7K) - *(78,875 +,957K) = -9, +,978K K,5 = *(8,7 +,7K) + *(-,8 +,8K) -,75K - = 9, -,978K K,5 = *(8,7 +,7K) + *(-,8 +,8K) -,75K + = 8,58 -,78K,K,8 8 =,8*(-,8 +,8K) +,*(,9-,5K) +,K -8 = -78,58 +,78K,K,8 =,*(-,8 +,8K) +,8*(,9-,5K) +,K + = -7, +,878K K,5 7, 5 = *(,9-,5K) + * (8,99+,5K) - (78,875+,957K) + 7,5 = 7, -,88K

14 ,5 7, 5 K = *(,9-,5K) + * (8,99+,5K) - (78,875+,957K) - 7,5 =,7,98K 9,,978K = 97,9 -,8 K 5 7,,88K K 5 =,9+,8K + = kn Şekil üzerine etkiyen yükler ve konumları şekil üzerinde belirtilmiştir. una ek olarak mesneti cm aşağı yönlü oturmuştur ve kirişi olması gerekenden 5 cm daha uzun üretilmiştir. Tüm kolonların atalet momenti, kirişlerin atalet momenti, ve tüm elemanların elastik modülü dir. Verilen yüklere göre Ç YÖNTİNİ KULLNRK a) ilinmeyenleri yazın b) leman uç momentlerini şekil üzerinde gösterin ( ab, ba vb. eleman uç momentlerdir) c) leman uç momentlerinin denklemlerini oluşturun d) ilinmeyenlerin çözümü için gerekli denklemleri oluşturun e) leman uç momentlerini denklemlerde yerine koyun ve matris formatında yazın m q = 8 kn/m m 5 kn m m m m,5 m m 5 m üretilmiş m o o a) ilinmeyenler,,, olmak üzere açı yöntemine göre bilinmeyen bulunmaktadır. b) leman uç momentleri aşağıdaki figürde gösterilmiştir.

15 o o c) leman uç moment eşitlikleri ij K ij SU SU SU SU SU SU SU SU SU SU SU SU SU SU K K K K K K K K K K K K K K formülü ile oluşturulur. enklemlerde yer alan sertlik, eleman dönmeleri ve sabit uç momentleri aşağıdaki gibi hesaplanır. Sertlikler: i j ij K K K K K 8K 5, K K K K K K K K Sabit Uç omentleri: SU SU 5

16 SU 8 knm SU 8 knm 5 5 SU knm SU 8 knm 5 5 SU SU SU SU SU SU SU SU çılar : (esnet koşulu) Yapı lemanlarının önmesi kirişi olması gerekenden 5 cm daha uzun olduğu ve mesneti ankastre, mesneti kayar mesnet olduğu için kirişini 5 cm sağa doğru kaydırır. u nedenle kolonlarda,5,5 Oturmadan dolayı oluşan dönme miktarı,5 radyan dönme meydana gelir.,,,75 radyan, 75 radyan ilinen değerler yerine konularak K,5 K,5 K,5 K,5, K, K 8 K K 8K,5 8K,5 K,75 K,75 8K,5 8K,5 elde edilir. enklem kümesinde yer alan adet bilinmeyenin hesaplanabilmesi için adet denkleme ihtiyaç duyulmaktadır.

17 Noktası Noktası + + = + + = Noktası Noktası + + = = üğüm noktalarındaki toplam momentin olması koşulundan tüm sistem için toplam adet denklem yazılabilir. Noktası ( + + = ) K,5 K,5 8K,5 K K,K Noktası ( + + = ),5, K K,75 K K 9,K, K,8K 5 Noktası ( + + = ) 8 K 8K,5, K, K 7,K K,K 8 Noktası ( = ) K 8K e) enklemler atris formunda aşağıdaki gibi yazılır 7

18 9,,, 7, K,K K,8K 5 K,K 8 8K Katsayılar matrisinin tersi alınıp iki tarafla çarpılarak bilinmeyenler hesaplanır. K, K, K,79 K,,,58,5,77,79,5,9895,995,,K,77,8K 5,995,K 8,97 K,K,9 K,K,98 esaplanan parametreler eleman uç momentleri denklemlerinde K,5K,5 K,77K,9 yerine konularak eleman uç momentleri hesaplanır.,7k 5,88 knm,95, 5 knm,k 58,8 knm,9 57, 9558 knm,5k,9 knm,597k, 58 knm,98k,55 knm knm,9k, knm,7k, knm,8k 7,88 knm,8k 5, 7 knm,55k 8, knm,7k, 7 knm Örnek: = Pa, = 5x - m ve mesnetinin cm oturduğu durum için katlı çerçeve sisteminin mesnet tepkilerini hesaplayın. q = 8 kn/m q = kn/m 5 kn.5 5 metre metre J metre metre q = 8 kn/m metre q = kn/m 5 kn.5 5 metre metre K metre metre metre 8

19 J K SU SU SU SU SU SU SU SU K K K K K K K K SU SU SU SU SU SU K K K K K K SU SU SU SU SU SU K K K K K K 9

20 Sertlikler: K K,5 5 K K K = K ile yer değiştirilirse. K K K K K K K K, K K K K 9 K K K K K K, K Sabit Uç omentleri: 5 SU * 8*5 SU SU * 8*5 SU SU * * SU 8 SU * * 8 SU iğer elemanların Sabit Uç omentleri 'dır. Sabit Uç omentleri hesaplanırken, Uç oment enklemlerinde Sabit Uç omentinin önüne ilk '-' ile başlanıp sabit biçimde '-', '+' işaretine uyacak şekilde işareti konulup SU hesaplanırken iki kenar da pozitif işaretli olarak hesaplanabilir. çılar: (esnet koşulu) Yapı yanal deplasmanın engellendiği bir yapı değildir. u nedenle her iki kat farklı miktarlarda yanal deplasmana maruz kalabilir. İlk katın yanal deplasmanı, ikinci katın toplam yanal deplasmanı olarak ifade edildiğinde sadece ikinci katın yapacağı yanal deplasman 'e eşit olacaktır. u değer ise aşağıdaki gibi ifade edilebilir. ' ' olarak ifade edilmiştir. u duruma göre kolonlardaki dönmeler öylece,,,,, açıları ile ve 8 adet bilinmeyen bulunmaktadır. ' yanal deplasmanları bilinmeyenlerdir. Toplamda Kirişlerdeki önme: mesnetinin cm aşağı oturması nedeniyle ve kirişi saat yönünde ve kirişleri ise saat yönünün tersinde dönerler. Kirişlerdeki dönme açıları;,,, radyan, 5 radyan 5

21 Sabit uç momentleri, açılar ve deplasman değerleri eleman uç momentleri denklemlerindeki yerine yazıldığında aşağıdaki denklem kümesi elde edilir ,8 K,8 K K K,8 K,8 K K K K K K K K K K,75 K,75 K,75 K,75 K,75 K,75 enge denklemleri: Yapısal elemanın düğüm noktası için eleman uç momentlerinin toplamının sıfır olma koşulu ile iki katı için kesme kuvvetleri ile ilgili denklemin oluşturulması gerekmektedir. Noktası: + =,8 K 8 + K, K,8 K K K 8 Noktası: + + =,8 K 8 + K + K 75 8 =,8 K 5,K K K K Noktası: + + J = J = - knm K K - = K K K 5 Noktası: + + = K +,8 K 8 K,75 +

22 K 7,K,8 K,5K K 8 Noktası: =,8 K 8 + K + K K,75 = K,8 K, K K,5K K Noktası: K = K + K K,75 - = K K 8K,5K K 5 Kesme (Kat ): ( + + ) = K,75 + K,75 + K,75 +,75 K,75 + K,75 - * = 9K 9K 9K,5K Kesme (Kat ): (' + ' + ' ) = K + K K K K K K K 5 lde edilen 8 denklem matris biçiminde aşağıdaki gibi yazılabilir.,,8 K,8 5, 7,,8 9,8, 9 8 9,5,5,5, Katsayılar matrisinin tersi alındığında bilinmeyenler aşağıdaki gibi hesaplanır

23 ,7589,879,78 8,9 K,999, 8,75 8,5 leman uç momentleri aşağıdaki gibi hesaplanır