2q-Konveks Parpoligon Yaklaşımını Kullanarak Kesir Dereceli Affine Belirsizlik Yapısındaki Sistemlerin Nyquist Zarflarının Elde Edilmesi

Transkript

1 q-koes Parpolgo Yalaşımıı Kullaara Kesr Derecel Affe Belrszl Yapısıda Sstemler Nyqust Zarflarıı lde dlmes Blal Şeol, Celaledd Yeroğlu Blgsayar Mühedslğ Bölümü İöü Üerstes, Malatya Özetçe Bu yayıda, q-oes parpolgo yapısı ullaılara, esr derecel affe belrszl yapısıda otrol sstemler Nyqust zarflarıı elde edlme sürec gösterlmştr. Verle esr derecel affe belrszl yapısı çere otrol sstem öşe e ear polomlarıı elde edlmes ç sstem pay e paydalarıı oluştura polomları q-oes parpolgo yapıları elde edlmş e bu blgler ullaılara tüm sstem Nyqust zarfı oluşturulmuştur. Yayıda ullaıla şlem basamaları öre uygulama üzerde graflerle açılamıştır.. Grş yıllı br geçmş olmasıa rağme, esr derecel sstemler so yıllarda lg göre br araştırma ousu olmuştur. Uygu matemat altyapısıı oluşması e esr derecel sstemler las sstemlere göre gerçe süreçler daha y fade etmes, bu ouya ola lg temel ayağıdır []. Bldğ gb esr derecel sstemler, türeler dereceler eyf reel sayılar olabldğ dferasyel delemlerle fade edlmetedr. Güümüzde esr derecel sstemler le lglee br ço çalışma bulumatadır [-5]. Kotrol sstemlerde e öeml oularda br, erle br sstem ararlılığıı araştırma e ssteme uygu otrolörü tasarlamatır. Kotrol sstemlerde parametre belrszller de, sstem ararlılığıı etleye öeml br fatördür. Sstemler freas teps hesaplaması, bu sstemler ararlılı aalzler yapılması eya bu sstemler ç otrolör tasarlaması ç öemldr. Belrszl yapıları çere br sstemde belrsz parametreler alt e üst lmtler br belrszl utusu oluşturur. Belrsz parametreler tüm değerler bu belrszl utusu çde yer almatadır. Parametre belrszlğ çere br sstem ararlılığıı celeme ç değer ümesde yararlaılablr. Bldğ gb adet belrsz parametre çere br sstem değer ümesde adet öşe e ( ) adet et ear bulumatadır []. Bu durumu bazı dezaatajları ardır çüü sstemde belrsz parametre sayısı arttıça hesaplaması geree durum sayısı da parabol şelde artmatadır. Ço sayıda belrsz parametre çere sstemler ararlılı aalz ç olaylı sağlayaca br yötem olara q-oes parpolgo yalaşımı gösterleblr [6, 7]. Bu yötemde sstem pay e paydasıı oluştura polomlara at değer ümeler dışta ala elemaları (öşe polomları) göz öüe alıara şlem yapılır. Böylece hesaplaması geree durum sayısı azalmata e şlem olaylığı ortaya çımatadır. Belrszl yapıları le lgl çalışmalara bazı öreler erme mümüdür [8, 9]. Faat bu çalışmaları çoğuda tamsayı derecel sstemler ele alımıştır. Bu yayıda, esr derecel affe belrszl yapısıda sstemler Nyqust zarflarıı hesaplaması ç qoes parpolgo yalaşımıda yararlaılmıştır. Affe belrszl yapısı çere esr derecel br otrol sstem e br otrolör ele alımış, sstem pay e payda polomlarıı değer ümeler elde edlmş e q-oes parpolgo yalaşımı ullaılara dış öşe e earlar hesaplamıştır. Daha sora sstem Nyqust zarfı, bu dış öşe e ear polomları ullaılara elde edlmştr. Souçlar öreler üzerde gösterlmştr. Bu çalışma, şu şelde düzelemştr. Bölüm 'de esr derecel matemat e affe belrszl yapısı haıda ısaca blg erlmştr. Bölüm 'te q-oes parpolgo yalaşımı açılamıştır. Bölüm 'te esr derecel otrol sstemler Nyqust zarflarıı elde edlmes haıda blg erlmştr. Bölüm 5'te öre br uygulama bulumatadır. Bölüm 6'da se souçlar yer almatadır.. Kesr Derecel Matemat e Affe Belrszl Yapısı Bölüm 'de erldğ gb türeler dereceler herhag br reel sayı olable dferasyel delemlere esr derecel dferasyel delemler der. Kesr derecel dferasyel delemler üzerde freas aalz yapablme ç delem Laplace döüşümü yardımıyla s tabaıda yazma faydalı olacatır. Kesr derecel br dferasyel delem aşağıda erle Laplace döüşümü yardımıyla s tabaıda yazılablr [].

2 m m d f ( t) m d f ( t) L () m s L f t s m () dt dt t Burada, m 'dr. Kotrol sstemlerde ullaıla e sstem fade ede trasfer fosyoları da bu şelde elde edleblmetedr. Kesr derecel br otrol sstem Laplace tabaıda aşağıda gb taımlama mümüdür []. Ns () b s b s... b s Gs () Ds () a s a s... a s m m m m Burada,..., m m... olma üzere reel sayılardır e a, b,,,,..., sabtlerdr. Öce bölümde bahsedldğ gb, otrol sstemlerde belrszller, stemeye e date alıması geree yapılardır. Parametre belrszlğ çere esr derecel br polomu aşağıda gb taımlama mümüdür. P( s, q) q s... q s q s q s () () Burada,.. eyf seçlmş reel üslerdr. q [ p,.., p ] Q se Q belrszl ümese at br belrsz parametredr. Q belrszl ümes aşağıda şelde taımlaablr [, ]. Q q : p p, p,,,..., () Burada p, p,,,..., l, p belrsz parametres. elemaıa at sırasıyla alt e üst lmtlerdr. Lteratürde, farlı belrszl yapıları le lglee çalışmalar buluablmetedr [8, 9]. Farlı belrszl yapıları ç farlı belrszl ümeler meydaa gelmetedr. Bu yayıda affe belrszl yapısı ullaılmıştır. Affe belrszl yapısı çere esr derecel br polom ales aşağıda şelde gösterleblr. p( s, q) ( q) s ( q) s... ( q) s (5) Burada,,,,...,, q 'ye bağlı br polomdur e q, q ( aq a q... aq ) şeldedr. Burada a,,,..., sabtlerdr, q,,,...,, belrsz parametrelerdr e,,,,...,, R polomu reel derecelerdr. Görüldüğü gb affe belrszl yapısıda belrsz parametreler brbrlerde bağımsızdır. Verle herhag br otrol sstem ararlılı aalz, sstem değer ümes ullaılara yapılablmetedr. Herhag br polomda eya sstemde s j değşlğ yapılara stele değer ç polomu freas aalz yapılablr e değer ümes elde edleblr. j 'ı reel derecel değer se aşağıda şelde elde edleblmetedr [5]. j cos js (6) Burada eyf seçlmş br reel sayı olablr. Değer ümes elde edldte sora [, ) freas aralığıda sstem Nyqust zarfı elde edleblr.. q-koes Parpolgo Yalaşımı q-oes parpolgo yalaşımı, belrszl yapıları çere polomları ararlılı araştırmasıda e freas tepler hesaplamasıda, hesaplama olaylığı sağlaya br yötemdr [6, 7]. Bldğ gb adet belrsz parametre çere br sstem değer ümesde adet öşe e ( ) adet et ear bulumatadır [, ]. değer büyüdüçe öşe e et ear sayıları da hızla artmata e hesaplama zorlaşmatadır. qoes parpolgo yalaşımıda bu öşe e earları sadece e dışta alaları gözöüe alımata e böylece şlem olaylığı ortaya çımatadır. q-oes parpolgo yalaşımı, tamsayı derecel sstemler ç [6, 7]'de ullaılmıştır. Bu yalaşımı esr derecel sstemler ç elde edlmes, esr derecel otrol alaıda çalışmalara atı sağlayacatır. Verle esr derecel br polomu q-oes parpolgo yapısıı elde etme ç geree adımlar aşağıda erlmştr.. Adım: Verle polom aşağıda şelde yede yazılmalıdır. P( s, q) f ( s) p... f ( s) p f ( s) p f ( s) (7) Burada p,,,..., belrsz parametrelerdr.. Adım: Verle polom alesde te e çft ısımlarıı bulma ç, polomda s j değşlğ yapara polomu Pçft jpte formuda yazma geremetedr. Polomu te e çft ısımları buluduta sora. adımda geçş freası araştırması yapılmalıdır. Delem 7'de erle polom ales te e çft ısımları aşağıda şelde buluablr. Re( f ( s)), Im( f ( s)) Re( f ( s)), Im( f ( s)) Re( f ( s)), Im( f ( s))... Re( f ( s)), Im( f ( s)). Adım: Br polom ales değer ümes dış öşeler oluştura polomlar, değşe freas değerlerde yer değştreblrmetedr. Öreğ değerde değer ümes dışıda bulua polomlar değerde değer ümes çde alablmetedr. Bu edele q-oes parpolgo oluşturulmada öce (8)

3 polom alesde geçş freası olup olmadığı araştırılmalıdır. Br polom ales geçş freası aşağıda delem le celeeblr [6]. Re[ f ]Im[ f j ] Re[ f j ]Im[ f ] (9), j,,,..., j Delem 9'u poztf reel öler polomu geçş freasları olara adladırılır e bu değerler freas ese solu sayıda aralılara böler. Bu aralılarda polom ales değer ümes dış öşeler ayı almatadır [6]. ğer erle polomda br t geçş freası bulumuşsa, polom ales değer ümes, [, t ] e [ t, ) aralıları ç ayrı ayrı çzlmeldr.. Adım: lde edle değer ümes ear çzgler reel eya saal ese le esşm otalarıı buluması geremetedr. Kear çzgler saal ese le esşm otaları aşağıda delem le belrleeblr [6]. P {,,..., } V p p pq P { e, e,..., e } p p pq {( ),( ),..., p p p p ( ) } [,] pq p Burada P V, öşe polmları ümes, polomları ümes göstermetedr. () P se ear p e e p,,,..., q, sırasıyla q-oes parpolgo yalaşımıı ullaara elde edlmş öşe polomlarıı e ear polomlarıı belrtmetedr. Böylece qoes parpolgo yalaşımı le, erle polom alese at değer ümes elde edlmş olur. Sürec daha y açılama ç Bölüm 5'te görsel br öre bulumatadır. q y ( )( q q ), () Bezer şelde ear çzgler reel ese le eşsm otaları da aşağıda delem le belrleeblr. q x ( )( q q ), () Burada,,,,,..., q sırasıyla f () s ' çft e te ısımlarıdır. f () s, esr derecel belrsz polom ales göstermetedr. q, buluması stee maxmum eya mmum esşm otasıı belrtece şelde q eya q değerler alablr. Bu çalışmada tamsayı derecel polomlar ç []'da erlmş ola delemler esr derecel sstemler ç geelleştrlebleceğ gösterlmştr. Şel 'de adet belrsz parametre çere br polom ales ç buluması geree tüm öşe e et earlar e q-oes parpolgo yötem le elde edlece öşe e earlar gösterlmştr. Şel (a)'da görüldüğü gb las yötem le 8 öşe e et ear bulumuştur. Şel (b)'de se q-oes parpoygo yalaşımı ullaılara 6 öşe e 6 ear elde edlmştr. Verle polom ales ç bütü y eya x,,,..., değerler buluması geremetedr. q değerler, y eya x ' maxmum eya mmum durumlarıa göre q eya q değerler alır. q 'ı değşe durumlarıa göre, öşe polomları y eya x 'y ullaara elde edleblmetedr. Daha sora, öşe çftler arasıda earlar, aşağıda erle ear teorem ullaara elde edleblr []. Şel. Kearları reel e saal esele esşm otaları.. Kesr Derecel Sstemler Nyqust Zarflarıı lde dlmes Bu çalışmada pay e paydasıda affe belrszl yapısıda esr derecel polom aleler çere br otrol sstem Nyqust zarfı elde edlmetedr. Şmdye adar, erle polom aleler q-oes parpolgo yapısıı oluşturulması haıda blg erld. Pay e payda ç q-oes parpolgo yapısıı elde edlmesde sora elde edle öşe e

4 ear polom ümeler ullaılara ssteme at Nyqust zarfı elde edleblmetedr. Affe belrszl yapısıda esr derecel br otrol sstem açı çerm trasfer fosyou L( s) C( s) G( s, q) şelde erleblr. Burada Cs, () otrolörüü pay e paydası sabt polomlardır. Br sstem değer ümes omples düzlemde br polgola fade edlyorsa bu değer ümeler sabt br polomla çarpılması, polomu ölçeğ e açısıı değştrece, şel se değştrmeyecetr. Dolayısıyla sabt br polomla çarpıla br polgo ye br polgo olacatır [7]. Kesr derecel aralı sstemler Nyqust zarflarıı hesaplaması ç []'te erle teorem, bu çalışmada affe belrszl yapısıda esr derecel sstem pay e paydasıa at q-oes yapısıda öşe e ear polomları ullaılara Nyqust zarflarıı elde edlmes ç geellemştr. Affe belrszl yapısıda br sstem G( s, q) N( s, b) / D( s, a) le fade edls []. N V, N, D V e D sırasıyla Ns () e Ds () polom alelere at q-oes parpolgo yapısıda öşe e ear ümeler çers. Bu sstem ç aşağıda fade yazılablr []. NV N G( j, a, b) G ( j) () D D Burada, dış sıırları, G se extremal sstem göstermetedr. Delem 'te elde edle değer te freas değer ç çzmde Nyqust şablou elde edleblr. İstee freas aralığıda se Nyqust zarfı elde edleblr. Bu yayıda erle uygulama öreğde Nyqust şablou e Nyqust zarfı elde edlmştr. 5. Öre Uygulama []'da erle affe belrszl yapısıda otrol sstem esr derecel formda şöyle ele alalım. s Cs () s 7 b s ( b b b ) s ( b b ) G( s, q) a s a s ( a a a ) s ( a a ).8.9 V () Burada b [,], b [,6], b [.,.8] a [,], a [,5], a [.5,.5] e a [.,.] olara erlmştr. Görüldüğü gb sstem pay e paydası ayrı ayrı affe belrszl yapısıda esr derecel polomlardır. q-oes parpolgo yapısıı oluşturma ç l adım erle polomları Delem 7 formuda yazmatır. Bu adımı pay e payda polomları ç gerçeleştrlmş hal aşağıda erlmetedr. Ns () b ( s s ) b ( s ) b ( s ) Ds () a ( s s ) a a ( s s ) a ( s ) (5) Sora adım erle polomu çft e te ısımlarıı bulmatır. Bu öre ç erle polom aleler çft e te ısımları aşağıda erlmştr..9. N N.9. N N N N.56, , , D ,.7.8 D D D D D (6)..8 D, D Polomları çft e te ısımlarıı elde ettte sora, polom aleler ç br geçş freası olup olmadığı araştırılmalıdır. Delem 9 ullaılara yapıla araştırma le Ns () ç geçş freası buluamamıştır. Ds () ç se t.97 rad / s e t rad / s değerler bulumuştur. q-oes parpolgo öşe e earlarıı hesaplare geçş freas değerler date alımalıdır e bu öre ç Ds () polom ales değer ümes [,.97], [.97,] e [, ) aralıları ç ayrı ayrı çzlmeldr. Tablo. Ns () e Ds () q-oes parpolgo earları Ns () Ds () Ds () Ds () (, ) (,.97) (.97,) (, ) Geçş freasları elde edldte sora şlem Delem eya ullaılara polom değer ümeler earlarıı saal eya reel esele esşm otalarıı bulumasıdır. Bu şlem yapare döüşüm freaslarıı da göz öüe alıması geremetedr. Dış öşeler elde edldte sora se Delem

5 ulaılara öşeler arasıda earlar belrleeblr. Tablo 'de Ns () e Ds () polom aleler ç qoes parpolgo yalaşımı le elde edlmş earlar, geçş freasları date alıara gösterlmştr. Ns () polom ales ç q-oes parpolgo yalaşımı le [, ) aralığı ç elde edle öşe e ear polom ümeler aşağıda erldğ gbdr..s 5.s 6,.8s 7.8s s 9.8s 8,.s 7.s s 9.s, 6.8s.8s (7) e ( ), e ( ) e ( ), e ( ) e5 ( ) 5, e6 ( ) Bezer şelde Ds () polom ales ç q-oes parpolgo yalaşımı le [,.97] freas aralığıda elde edle öşe e ear polom ümeler aşağıda erlmştr e ( ), e ( ) 5 e ( ), e ( ) e ( ), e ( ) e ( ), e ( ) (8) Ds () polom ales ç q-oes parpolgo yalaşımı le [.97,] freas aralığıda elde edle öşe e ear polom ümeler aşağıda erlmştr. e ( ), e ( ) e ( ), e ( ) 5 8 e ( ), e ( ) e ( ), e ( ) Ds () polom ales ç q-oes parpolgo yalaşımı le [, ) freas aralığıda elde edle öşe e ear polom ümeler aşağıda erlmştr e ( ), e ( ) 6 e ( ), e ( ) e ( ), e ( ) e7 7 ( ) 8, e8 9 ( ) Böylece pay e payda polomları ç q-oes parpolgo yapıyı oluştura öşe e ear ümeler elde edlmş olur. Kotrolör le beraber sstem trasfer fosyou gösterm aşağıda gbdr. Ns () s ( s ) N( s) C( s) G( s) D ( s) (s 7) D( s) s () () rad / s freas değerde Ns () s e Ds () s ç las yötem le elde edlmş değer ümeler sırasıyla Şel (a) e (c)'de erlmştr. q-oes parpolgo yalaşımı le elde edle değer ümeler se sırasıyla Şel (b) e (d)'de erlmştr s s s (9) Şel. rad / s freas değerde N () s e Ds () s ç elde edle değer ümeler. s

6 uygulamalı br öre üzerde graflerle gösterlmştr. Bu yalaşım ullaılara sstem Bode e Nchols zarfları gb freas tabalı aalz araçları da olaylıla elde edleblr. Kayaça Şel. C( s) G( s ) sstem ç rad / s freas değerde elde edle Nyqust şablou. Şel. C( s) G( s ) sstem ç [,] rad / s freas değerde elde edle Nyqust zarfı. Görüldüğü gb bu sstem ç q-oes parpolgo yalaşımıda, las yöteme göre hesaplaması geree polom sayısı %.6 azalmıştır. Ssteme at pay e paydaı q-oes yapıda polomlarıı elde ettte sora, öşe e ear polom ümeler ullaılara sstem Nyqust şablou e Nyqust zarfı Delem yardımıyla elde edleblmetedr. Delem 'de erle C( s) G( s ) sstem ç rad / s freas değerde elde edle Nyqust şablou Şel 'de erlmştr. lde edle Nyqust şablouu [,] rad / s freas aralığıda geçş freasları dat alııp çzdrere, Şel 'te erle Nyqust zarfı elde edleblr. [] I. Podluby, Fractoal-order systems ad PI D cotrollers, I Trasactos o Automatc Cotrol, ol. (), pp. 8, 999. [] R. Capoetto, G. Dogola, L. Fortua ad I. Petras, Fractoal rder Systems, Modelg ad Cotrol Applcatos. World Scetfc, Sgapore,. [] C. Farges, J. Sabater ad M. Moze, Fractoal order polytopc systems: robust stablty ad stablsato, Adaces Dfferece quatos, 5 (),. [] C. Yeroglu, M. M. zyet ad N. Ta, Frequecy Respose Computato of Fractoal rder Iteral Trasfer Fuctos, IJCAS, 8 (5), 9-7,. [5] N. Ta,. F. zgue ad M. M. zyet, Robust stablty aalyss of fractoal order teral polyomals, ISA Trasactos, 8 (9), 66-7, 9. [6] J. Shaw ad S. Jayasurya, "A ew algorthm for testg the stablty of a polytope: a geometrc approach for smplfcato," J. Dyam. Syst. Meas. Cotrol, 8, 6-6, 996. [7] N. Ta ad D. P. Atherto, Frequecy respose of ucerta systems: A q-oes parpolgoal approach, I Proc. Cotrol Theory Appl., ol. 7, pp ,. [8] R. Matusu, ad R. Proop, Graphcal aalyss of robust stablty for systems wth parametrc ucertaty: a oerew, Tras. of the Ist. of Meas. ad Cot., (), 7-9,. [9] M. S. Fadal, Stablty Testg for Systems wth Polyomal Ucertaty, ACC, 896-9,. [] N. Ta ad D. P. Atherto, Magtude ad Phase elopes of Systems wth Affe Lear Ucertaty, Iteratoal Coferece o Cotrol, 998. [] S. P. Bhattacharyya, H. Chapellat, L. H. Keel, Robust Cotrol: The Parametrc Approach, Pretce Hall, Souçlar Bu yayıda affe belrszl yapısı çere esr derecel otrol sstemler değer ümes, q-oes parpolgo yalaşımı ullaılara oluşturulmuştur. Daha sora, bulua değer ümesde ssteme at Nyqust zarfı elde edlmştr. q-oes parpolgo yalaşımıı las yötemlere göre aatajları