TEMEL KAVRAMLAR. TAM SAYILARDA DÖRT İŞLEM Tam sayılarda dört işlem yapılırken, işlem önceliklerine dikkat edilmelidir.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "TEMEL KAVRAMLAR. TAM SAYILARDA DÖRT İŞLEM Tam sayılarda dört işlem yapılırken, işlem önceliklerine dikkat edilmelidir."

Transkript

1 TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde mtemtiğin en temel kvrmlrı incelenecektir. Temel mtemtik bilgilerinin kvrnmsı ilerleyen bölümlerde önemli olcğındn eksiksiz bilinmesi şrttır. Bu konud tm syılrd dört işlem üzerinde durulcktır ve bsmk çözümlemeleri ypılcktır. Doğl syılr (N) TAM SAYILARDA DÖRT İŞLEM Tm syılrd dört işlem ypılırken, işlem önceliklerine dikkt edilmelidir. İşlem önceliği. prntez. kuvvet (üslü syı). çrpm -bölme. toplm çıkrm işleminin sonucu kçtır? Uyrı: İşlem önceliğine uyulmyn durumlrd ki öğrenci htsını görelim. = (HATALI ) ÇÖZÜM: = {0,,,,.} Sym Syılr (N ) = {,,,.} Tmsyılr (Z) = {. -,-,- 0,,,,.} Rsyonel syılr (Q) ={ -,-,0,,.} Reel Syılr ( R) ={-,-,0,,,.} = - İşlemde çrpm, çıkrmdn önceliklidir 0 A = negtif ise negtif, Pozitif ise pozitiftir. A = A A = 6 kçtır? işleminin sonucu = b 0, bc 0, c 0 olduğun göre, b, c işretleri nedir? ÇÖZÜM: Tbnı ne olurs olsun kuvveti çift oln syılr pozitiftir. b 0 ifdesi negtif. b pozitif olcğındn negtif olmlıdır ki sonuç negtif olsun. Bu nedenle negtif ise negtiftir. c 0 ifdesi pozitiftir. nın negtif olduğunu bulmuştuk, demek ki c de negtif olmlı ki sonuç pozitif olsun. Yni c negtiftir nedir? işleminin sonucu bc 0 ifdesi pozitiftir. pozitif olcktır. c pozitif olduğu için b ÇÖZÜM: İşlemimiz köşeli büyük prntez tek syı tek işret klıncy dek çözülmelidir, rdındn dış işlemler ypılır [-6 : (-)] [ + ] = = - Kuvvet (Üslü Syılr) = = 8 = = 8 = = = = Negtif tbnlı syılrd; kuvvet tek ise sonuç negtif Kuvvet çift ise sonuç pozitif Bsmk Çözümleme = ABC= A.00+B.0+C. iki bsmklı bir syının rkmlrının yerleri değiştirilirse bu syı küçülüyor. Bu syının rkmlrı rsındki frk nedir? ÇÖZÜM: b b 0 b 0b Syımız b olsun 0 b 0b 9 9b 9( b) b

2 Üç bsmklı rkmlrı frklı en büyük çift syı ile, iki bsmklı en küçük syının frkı kçtır? ÇÖZÜM: kçtır? 6 işleminin sonucu Rkmlrı frklı iki bsmklı birbirinden frklı üç pozitif tmsyının toplmı 08 ise bu syılrdn en büyüğü en çok kçtır? 0. işleminin sonucu kçtır? ÇÖZÜM: Üç syıdn en büyüğünü istediği için diğer iki syının en küçük olmsı lzım, o nedenle rkmlrı frklı iki bsmklı birbirinden frklı pozitif tmsyılrı bullım. 0++X =08 X=86 Not: syısının rkmlrı ynı olduğundn değerlendirmeye lınmmıştır. 6. işleminin sonucu kçtır? 7. 6 işleminin sonucu kçtır?, b N b 6 olduğun göre b toplmının en büyük ve en küçük değeri nedir? b 8. b 0, 0, c0 olduğun göre c, b, c nin sırsıyl işretleri nedir? ÇÖZÜM: b en büyük olmsı için =6 b= değerini verirsek b =7 olur En küçük değer için =6 b=6 değerlerini lbilir. b olur. 9.,b Z b =6 olduğun göre b toplmının en küçük değeri nedir? UYGULUMA SORULARI 0. bb bb b b işleminin sonucu kçtır? kçtır? işleminin sonucu kçtır? işleminin sonucu. 79 işleminin sonucu kçtır?. Üç bsmklı beş doğl syının her birinin yüzler bsmğı rtırılır, onlr bsmğı 7 zltılır, birler bsmğı rtırılırs toplmlrı nsıl değişir? CEVAPLAR ) ) - ) 0 ) 8 ) 6) - 7) -9 8 ),, 9) -7 0) rtr

3 RASYONEL SAYILAR TEMEL BİLGİLER? şeklinde gösterilen syı kümesine denir. b Sdeleştirme : syısını sdeleştirebiliriz. Sdeleştirme işlemi ypılırken py ve pyd d ki syıyı ynı nd bölen syı ile bölerek kesri en sde hle getiririz. 8 = ÇÖZÜM: (6) () () +? 6 Genişletme: 8 8 ü genişletelim: Sdeleştirmenin tm dersidir. Uyrı: Py ve Pyd ynı syıyl sdeleştirilir vey genişletilir, yrı syılrl değil.. ÇÖZÜM: Tm syılrın pydlrı dir. () Bileşik kesri tm kesre dönüştürme bileşik kesrini tm syılı bsit kesre dönüştürelim: Toplnır. ÇÖZÜM: + Çrpılır ( pyd) - 8 (tm) ( py) Alıştırm... =..... Alıştırm 7 8 =.. =.. =. Tm kesri Bileşik kesre Dönüştürme = = Çrpm:Çrpm işleminde Pylr kendi rlrınd pydlr kendi rlrınd çrpılır, sdeleştirme ypılır Alıştırm =.. =.. 6 = Uyrı: Syılrı çrpmdn önce sdeleştirme ypılmsı sonuc dh rht ulşmmızı, büyük syılrl uğrşmmmızı sğlr. Rsyonel Syılrd Dört İşlem Toplm-Çıkrm (HATA) 7 Rsyonel syılrd toplm ve çıkrm ypılırken kesirlerin pydlrı eşitlendikten sonr ork pydd pylr toplnır y d çıkrılır. 8 () () İşleminin sonucu kçtır? = Alıştırm 8 6 8

4 Bölme:Kesirli syılrd bölme işlemi ypılırken. kesir ynen yzılır, kesir ters çevrilir çrpılır. 6 ve y, 6 6 Alıştırm ONDALIKLI SAYILAR biçimindeki rsyonel syının pyını pydsın b böldüğümüzde bu syının ondlıklı çılımını bulmuş oluruz. 0,, Bir kesirli syıyı ondlıklı hle getirmek için pydsını 0 nun kuvvetlerine genişleterek de sğlybiliriz. İşleminin sonucu kçtır? 7 0, Uyrı: Burd önemli oln merkez kesir çizgisini bulmktır, ksi tktirde ynlış işlem ypılmış olur. Merkez kesir çizgisi = seviyesindeki çizgilerdir. syısını ondlıklı hle getirelim. 00 ÇÖZÜM: 6 = = İşleminin sonucu kçtır? = 7 7 ÇÖZÜM: Syının py kısmını ynen yzıyoruz., Syımızın sğ trfınd snl virgülümüz vrmış gibi düşünelim, işte bu virgül pydmızdki sıfır dedi kdr sol kycktır 00, 0000, 000,0 0,0 Alıştırm =... = = ÇÖZÜM: İşleminin sonucu kçtır? 8 8 = Ondlıklı Syıyı Kesirli Hle Getirme: 0, syısını kesirli syıy dönüştürelim. Kesrimizin py bölümüne virgülü görmeyecek şekilde syı ynen yzılır. Pydsın d virgülün sğınd ki syı dedi kdr sıfır konur ve önüne yzılır. Alıştırm 0,0= ,= 0,0= =

5 ONDALIKLI SAYILARDA DÖRT İŞLEM Toplm Çıkrm:Toplm ve çıkrm yprken virgülün sğındki bsmk dedi eşit olmlıdır. Eper değilse şu şekilde düzenlenebilir. Kurl: Bildiğiniz gibi tm syılrd syılr d rkmın önüne istediğiniz kdr sıfır eklerseniz bile syının değeri değişmez Ondlıklı syılrd ise virgüllü syının sğın ynı işlemi ypbiliriz.,,0, ,+0,0 işleminin sonucu kçtır? ÇÖZÜM: Toplm ypbilmemiz için virgülün sğınd ki bsmk syısı eşit olmlıdır. En çok bsmklı syıy göre düzenleme ypılck; (0,) =,00 0,=0,0 + 0,0=0,0, Çrpm-Bölme: Ondlıklı syılrd çrpm bölme ypmk için syıyı kesirli hle getirmek gerekir. 0,0 0,?,7 ÇÖZÜM: Öncelikle py kısmını tek ondlıklı syıy dönüştürelim. 0,0 + 0,= 0,0 + 0,0 = 0, olur. 0,, , 0,, 0,00? 0,0 0,6 0,00 ÇÖZÜM: => ÇÖZÜM: Eğer py ve pyddki virgül sonrsı rkm miktrı eşitse virgülü yokmuş gibi görebiliriz, böylece kıs yoldn çözüme kvuşuruz. 0, Mesel => syısının py ve pydsındki 0,0 syılrın virgülden sonrki syı dedi eşittir( tne) O hlde virgülü yokmuş gibi görürsek syı 0 olur. 00 Am virgülden sonrki syı dedi eşit değilse denkleştirme ypılır. Mesel, syısının py bölümünde virgülden sonr, rkm yok, pyd bölümünde ise bir rkm vr, o nedenle py bölümündeki syıyı pyd bölümündeki syıy benzeteceğiz.,,0 0 olur., 0,, 0,00? 0,0 0,6 0, Bu tür sorulrd frklı çözüm tekniğini de kullnbilirsiniz., 0,?,, ÇÖZÜM: 0 00 ÇÖZÜM: , 0,,0 0, 0 0 0,,,,0 Rsyonel Syılrd Sırlm Birbirinden frklı rsyonel syılrın rsındki sırlmlrd (büyüklük-küçüklük.) py ve pyd bölümlerinde ortk ilişkiler rnıp onun üzerinden krşılştırmlr ypılır, ortklık yoks syılr genişletilip ortklık yrtılbilinir , 0, 0 0,

6 ) Pydlrı ynı oln syılrdn, pyı büyük oln en büyüktür. UYGULAMA SORULARI vey ) işleminin sonucu kçtır? 6 9 b) Pylrı ynı oln syılrdn pydsı küçük oln syı en büyüktür. vey ) 7 işleminin sonucu kçtır? 6 0 =, b=, c= syılrını büyükten küçüğe doğru sırlyınız? ÇÖZÜM: Birbirinden frklı kesirli syıyı sırlybilmek için üçünde de ortk bir özellik bulunmsı gerekir. Bu ü ç syının ne pylrı ne de pydlrı eşittir. Sırlm için ikisinden birinin eşitlenmesi gerekir. Biz pydlrı eşitleyelim. ) işleminin sonucu kçtır? 0 = b= c= (00) (0) () 00 = b= c= 000 Genişletilmiş hlde görülüğü üzere pydlr eşit oln syılrdn pyı en büyük oln b ondn sonr c ve en küçüğü ise kesirli syılrıdır. Bun göre sırlm b>c> şeklinde olcktır. 7 7 cinsinden değeri nedir? ise 9 0 ifdesinin 7 ) ) işleminin sonucu kçtır? işleminin sonucu kçtır? 6 ÇÖZÜM: Skın pydlrı eşitlemeyin içinden çıkılmz büyük syılrl uğrşırız. Bu klıptki sorulrın çözüm mntığı her iki trfı trf trf toplmk y d çıkrmktır. Hngisi, işimize yrrs 6) 6 : işleminin sonucu kçtır? =y diyelim -=+y =+y (y tek bşın bırkılır) 9 0 -=y (y= ) 7 +y 7) kçtır? : işleminin sonucu 6

7 8) 6 6 kçtır? işleminin sonucu ) = - 9, b=-, c= syılrı verilmiştir. Bun göre,b,c, rsındki büyüklük sırlmsı nsıldır? 9) : işleminin sonucu kçtır? ) = 8 7 y= 9 8 z= 0 9 syılrı verilmiştir. Bun göre,y,z rsındki büyüklük sırlmsı nsıldır? 0) - kçtır? işleminin sonucu 7 6) ise 9 6 cinsinden değeri nedir? ifdesinin 9 6 ), 0, 0, işleminin sonucu kçtır? 0, 7) y y ise y=? ) kçtır? 0,0 0, 0, 0, 0,0 0,0 0,00 işleminin sonucu CEVAPLAR 9 ) ). 8 ) 6 6) 7 ) ) 9 6 7) 8) 9) 6 7 0) ) 9, ) ) 0 ) >b>c ) c>b> 6) - işleminin sonucu 0,006 ) 0,06 0,66 kçtır? 7) -7 7

8 DENKLEM ÇÖZME Denklem Kvrmlrı Temel mtemtiğin en önemli bölümü kuşkusuz ki denklemler konusudur. Zten mtemtiğin temel çılımı bilinmeyen fonksiyonlrı belirli kurllr içerisinde düzenleyerek sınıflndırm, burdn hreketle bilinmeyeni bulm disiplinidir. Yni bilinmeyeni denklem hline getirip sonuc ulşmk. Denklem konusu bilinmeden hiç bir mtemtiksel sorunun üstesinden gelemeyiz, o yüzden denklem çözümlemelerinin bilmemek mtemtikte hiçbir şey ypmmk demektir. Mtemtiğin lfbesi denklem çözümlemesidir, bu konu mtemtiğin en önemli lt ypısıdır, bun göre çlışılmlı ve konuy önem verilmelidir. Bilenen ve Bilinmeyen Kvrmlrı En çok krmşnın yşndığı yer bu kvrmlrdır. 6 = -6 krşı trf ters geçer, görüldüğü gibi çıkrm işleminin tersi toplm olcktır. =+6 =8 Şimdi de syısını öbür trf tcğız. ile rsınd hngi işret vrdır? Çrpm işlemi. O zmn çrpı krşıy bölü diye geçecektir. = 8 8 = =6 Yni bilinmeyen syımız 6 olcktır. Bilinen Kvrmlr:, -6,, 00...(reel syılr) : lır? ( + ) = 0 ise hngi değeri y Bilinmeyen Kvrmlr:,y,z,t,.,,-bc, gibi kvrmlrdır. Bilinmeyen syılrın önünde bilinen syının bulunmsı onun bilinmeyenlik özelliğini kybettirmez. Şimdi şğıd bir denklem örneğini ele llım. + = 8 Görüldüğü gibi herhngi bir syısının ile toplmının sonucunun 8 ettiği ifde edilmiş. Kurl : En çok ypıln htlrdn biriyle bşlylım. += = (HATA) kvrmı bilinmeyen, syısı bilinen bir kvrmdır. Denklemlerde bilinenle bilinmeyen sl toplnıp çıkrtılmz. Am çrpm ve bölme işlemi ypılbilinir. Denklem Çözme Denklem çözümlemezinde ki mç bilinmeyeni tek bşın bırkmktır. Bilinmeyenin ynınd, ltınd ve y üstündeki kvrmlr eşitliğinin diğer trfın tılır. Eşitliğin diğer trfın geçen kvrm nitelik değiştirir yni ters gider. 6 = ise hngi değeri lır? ÇÖZÜM: Amcımız bilinmeyeni () tek bşın bırkmktır. ynındki ve 6 syılrını eşitliğin sğ trfın tcğız. Krşı trf geçen nitelik değiştirir, ters gider. Tbii öncelik sırlmsı önemlidir. İlk öncelik toplm ve çıkrm işlemindedir. ÇÖZÜM:: İşleme bşlybilmemiz için prntezi dğıtmk zorundyız. ( + ) = = 0 = 0 8 = = = y + 9 = y ifdesinde y hngi değeri lır? ÇÖZÜM:: Eşitliğin her iki trfınd d bilinmeyen vr ise temel kurl bilinenler bir trf bilinmeyenler bir trf lınrk işlem ypılcktır. Kolylık sğlmsı çısındn küçük oln bilinmeyen büyük olnın trfın geçmelidir. y + 9 = y = y y = y = y -t -( t ) = t ( t + ) Denkleminde t hngi değeri lır? ÇÖZÜM:: Krmşık gibi görünse de bsit bir denklem modeli. Öncelikle engellerden kurtullım. Prntez işlemlerini dğıtlım. -t -( t ) = t ( t + ) t - t + = t - t - 6 Eşitliğin her iki trfınd d ikişer tne bilinmeyen vrs önce kendi rlrınd toplnırlr. -t - t + = t - t -6 -t + = - t 6 8

9 Şimdi bilinmeyenin küçük olnını büyük olnının ynın bilineninde diğerini ters trf llım. -t + = - t = -t + t 8 = t 8 =t 6 = t Rsyonel Syılrd Denklemler c k y... z şeklinde ifde edilen b d l denklemlere rsyonel ( kesirli ) syılı denklem denir. Birçok çözüm tekniği uygulnbilir m en temel ve genel çözümü pydlrı eşitleme yöntemidir. Bütün kesirlerin pydsı eşitlendikten sonr pydlrı rtık görmezden gelebiliriz. ise kçtır? ÇÖZÜM: Bütün syılrı (tmsyılrd dhil) pydlrını eşitleyelim. = () () (6) Pydlr eşit olduğu için rtık onlrı yok edebiliriz. + = 0 = 0 0 = =6 y ( y ) ise y kçtır? ÇÖZÜM: y Pydlrı eşitleyelim. ( y ) 6y 9( y ) (6) () () Pydlrı yok edebiliriz. 6y - = 9(y-) 6y = 9y - 8 6y - 9 y= y = - y = İki Bilinmeyenli Denklemler İçerisinde iki tne frklı tür bilinmeyen bulunmyn denklemlere denir. Bu tür denklemleri çözerken yok etme metodunu kullncğız. + y = + y = Denklemleri verildiğine göre (,y) ikilisinin çözüm kümesi nsıldır? ÇÖZÜM: Yok etme metodund ess mç bilinmeyenlerden birini ( vey y) yok ederek diğerini bulmktır. önemli kurlı vrdır. Yok edilecek bilinmeyenin ( olsun) kt syılrı eşit ve işretleri ters olmlıdır. + y = + y = Her iki denklemde de in ktsyılrı frklı. O yüzden eşitlemek zorundyız, bunun için genişletme işlemini kullncğız. + y = + y = Genişletme işleminde bütün denklem genişler. 6+y= 6+y=0 Ktsyılr eşitlendi. Şimdi de in işretlerini ters hle getirelim. Bunun için denklemi - ile çrpbiliriz. Yeni denklemlerimiz şöyledir. -6-y=- 6+y=0 Denklem istediğimiz hle geldi, in ktsyılrı eşit ve işretleri ters hle geldi. Şimdi işlemi trf trf toplylım. -6-y= y= 0 0+y= - y = - Bilinmeyenlerden birini bulduk. y = - Şimdi nsıl bulunur, on geçelim. Yukrıd ki herhngi bir denklemden birini llım. + y = Artık bu denklemde y nin değeri bilindiğine göre sdece i bulbiliriz. + y = + (-) = - = = + = = 7 Bun göre, y ikilisinin oluşturduğu çözüm kümesi Ç.K. = ; y 7; Not: Ayrı yrı iki işlem ypmktns tek işlemde birinci denklemi - ile de çrpbiliriz. 9

10 + b + 7 = 0 b - + = 0 Denklem sisteminin çözüm kümesi nedir? 8 olduğun göre =? ÇÖZÜM: Öncelikle bu krışık denklem sistemini düzenli hle getirelim, birçok mtemtik sorusu için bu teknik önemlidir, sorulrın direkt çözümüne geçmeden önce düzenlemeye gidilirse ybncıymış gibi gelen soru tnıdık hl lır. + b + 7 = 0 + b = -7 b - + = b = - Şimdi yok etme metodumuzu kullnbiliriz. Kolylık sğlmsı çısınd ters işretli bilinmeyen yok edilmelidir. Yni. + b = b = - + 0b = b = - b = 66 b = ÇÖZÜM: Bu soru tipleri çözüm yöntemi bilinmediğinde sıkıntı yrtck soru tipleridir. Burd tümdengelim metodunu kullncğız. 8 ile hngi syıyı toplrsk eder. Cevp = 8 ilk denklemde b yerine değerini koyrsk yı buluruz. yi hngi syıy bölersek eder. Cevp = + b = -7 => + ()=7=> +=7=>=7- = - Ç.K.= ; = 8 ile hngi syıyı toplrsk eder. Cevp = Üç Bilinmeyenli Denklemler Üç bilinmeyenli denklemlerde çözüme ulşmk için yrı denkleme ihtiyç duyulur. Genelde bu soru tiplerinde çözüm kümesi istenmez, dh çok yeni bir denklemin sonucu istenir. + b = b + c = 7 + c = 8 8 i hngi syıy bölersek ypr Cevp = 8 ifdeleri verildiğine göre kçtır? +b+c işleminin sonucu ile hngi syıyı toplrsk eder. Cevp = ÇÖZÜM: Tek tek bilinmeyenleri bulbiliriz m bu uzun zmnımızı lır. Zten sınvlrd d öğrencinin zmnını çlmk için soruln soru tipidir. Öncelikle denklemi trf trf toplylım. + b = b + c = c = 8 +b + c = i hngi syıy bölersek eder. Cevp = X = Bizden istenen +b+c işleminin sonucuydu, o zmn her iki trfı d ye bölersek, b c +b+c = 0 0 0

11 UYGULAMA SORULARI k. 6 ise k syısı kçtır? 9. k - p = p -m = 0 m + n = 8 ise k-p+m+n ifdesinin değeri kçtır?. (m+) = m + (m-) işleminde m hngi syıdır? ise kçtır?. denklemindeki 6 syısının değeri kçtır. b b. ise b kçtır? y. lır? işleminde y hngi değeri. z z z z z=? ) y 8 y z. z Olduğun göre kçtır? ( y) z işleminin sonucu 6 lır? işleminde hngi değeri 7. k + m = k m = Denklemi verildiğine göre k m değeri kçtır?. b b 6 Verildiğine göre ornı kçtır? b 8. 6 b b Denklem sisteminde (, b) ikilisinin çözüm kümesi nedir? CEVAPLAR ) 6 ) ) ) 6 ) 6) 8 7) 8) ; 9) 0 0) ) 0 ) 8 )

12 BÖLME, BÖLÜNEBİLME ve OBEB-OKEK BÖLME A, B, C, K birer doğl syı ve B 0 olmk üzere, n 8 => 8 den küçük oln en büyük tm kre syı 6 dır. n 6 ise n = olur. A 8 n n => A = 8 = 7+6=88 bölme işleminde, A y bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K y kln denir. A = B. C + K dır. Kln, bölenden küçüktür. (K < B) Kln, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir. Bu durumd K ile A değişmez. K = 0 ise, A syısı B ile tm bölünebiliyor denir. syısı syısın bölündüğünde sonuç kç olur? ÇÖZÜM: A 8 - n n Yukrıdki bölme işlemine göre A syısının lbileceği en büyük değer kçtır? ÇÖZÜM: A 8 n n A syısının en büyük değeri lbilmesi için syısın en büyük değeri vermeliyiz. Anck unutulmmsı gereken özellik, klnın bölenden küçük olm koşuludur. n Bölünebilme Kurllrı İle Bölünebilme Birler bsmğındki rkmı çift oln syılr ile tm bölünür. Tek syılrın ile bölümünden kln dir. İle Bölünebilme Rkmlrının syısl değerleri toplmı ün ktı oln syılr ile tm bölünür. Bir syının ile bölümünden kln, rkmlrının toplmının ile bölümünden kln eşittir. A üç bsmklı syısı e tm bölünebildiğine göre A syısı hngi değerleri lır? ÇÖZÜM: + + A => + A +A=6 vey +A=9 vey +A= olmlıdır. A= A= A=7 Rkmlrı birbirinden ve sıfırdn frklı, üç bsmklı ve üçe bölümünden kln oln en küçük doğl syı kçtır? ÇÖZÜM: Bu tür sorulrd kln yokmuş gibi işlem düzenlenir, rdındn kln eklenir. Önce yukrıdki koşullr uygun e tm bölünebilen syıyı bullım. Rkmlrı birbirinden ve sıfırdn frklı, üç bsmklı en küçük doğl syı tür. Bu syı yrıc e tm bölünebilmektedir. Klnın olmsı için syıy eklersek sonuc ulşbiliriz. + = bulunur.

13 İle Bölünebilme Bir syının onlr bsmğındki rkm ile birler bsmğındki rkmın (son iki bsmk) belirttiği syı, ün ktı oln syılr ile tm bölünür.... bc syısının ile bölümünden kln bc nin (son iki bsmk) ile bölümünden kln eşittir. İle Bölünebilme Birler bsmğındki rkm 0 vey oln syılr ile tm bölünür. Bir syının ile bölümünden kln, o syının birler bsmğındki rkmın ile bölümünden kln eşittir. X üç bsmklı syısının ile bölümünden kln ise X hngi değerleri lır? ÇÖZÜM: Bir syının ile bölümünden kln, o syının birler bsmğındki rkmın ile bölümünden kln eşittir. X syısının birler bsmğındki syının ile bölümünden kln ise X syısı lcğı değerler, ve 8 olcktır. 8 İle Bölünebilme Yüzler bsmğındki, onlr bsmğındki ve birler bsmğındki rkmlrın (son üç rkmın) belirttiği syı 8 in ktı oln syılr 8 ile tm bölünür. 000,, 60 syılrı 8 ile tm bölünür. 9 İle Bölünebilme Rkmlrının toplmı 9 un ktı oln syılr 9 ile tm bölünür. Bir syının 9 ile bölümünden kln, o syının rkmlrının toplmının 9 ile bölümünden kln eşittir. 6 syısının 9 ile bölümünden kln kçtır? ÇÖZÜM: İle Bölünebilme + bulunur. Birler bsmğındki rkmı 0 (sıfır) oln syılr 0 ile tm bölünebilir. Bir syının birler bsmğındki rkm o syının 0 ile bölümünden klndır. 90 yedi bsmklı syısının; ) ile bölümünden kln kçtır? b) ile bölümünden kln kçtır? c) ile bölümünden kln kçtır? d) 8 ile bölümünden kln kçtır? e) 9 ile bölümünden kln kçtır? f) 0 ile bölümünden kln kçtır? ÇÖZÜM: ) = 6. 6/ kln olur. b) / kln olur. c) Birler bsmğındki syı olduğu için kln dir. d) /8 işleminde kln 6 olur. e) = = 8 bulunur. f) Birler bsmğındki syı olduğu için kln dir. Büyük Syılrd Bölünebilme Her syının tek tek bölünebilme kurllrını bilemeyiz, bu sorunu çözebilmek dın şöyle bir formülizsyon bulunmuştur. Kurl: İstenilen syının rlrınd sl çrpnlrını bulrk çözüm sğlnır. Arlrınd Asl Syılr Normlde sl olmyıp, kendi rlrınd ortk böleni olmyn syılr denir. 8 ile sl olmyn iki syıdır m bu syılr rlrınd sl syılrdır çünkü ikisinin de den bşk ortk böleni yoktur.

14 syısının bölünebilme kurlını bullım. syısının rlrınd sl çrpnlrı => ve tir. Yni bir syının e bölünebilmesi için hem e hem de e tm olrk bölünmesi gerekmektedir. Üç bsmklı AB syısı e tm bölünebildiğine göre A hngi değerleri lır? ÇÖZÜM: AB syısı hem hem de e tm bölünmelidir. Bu tür durumlrd öncelik birler bsmğın ilgilendiren kurlddır. O nedenle ilk ile y d ile bölünebilme kurllrını sormmız gerekmektedir. A + A + 0 = 9 A =, (rkm değil) A + A + 0 = 8 A = 9 A + A + 0 = 7 A=, (rkm değil) A + A + = 9 A= A + A + = 8 A=, (rkm değil) A + A + = 7 A= (rkm değil) O hlde syımızın lbileceği değerler 990 ve dir. Bu syıy eklediğimizde istediğimiz syılr ulşmış oluruz. 99 ve 7 Bun göre A nın lbileceği en büyük değer 9 olcktır. Syının ile tm bölünebilmesi için birler bsmğı 0 y d olmlıdır. A0 vey A Şimdi de ile bölünebilme kurlını bullım. Syılrın rkmlrının değerinin toplmı vey ün ktı olmlıdır. + A = 6 A= A0 + A = 9 A= + A = A= 8 + A + = 9 A=0 + + A = A= A + + A = A=6 + + A = 8 A=9 A syısı yukrıd ki değerleri lır. 0 ile 60 rsınd 0 ile bölünebilen kç tm syı vrdır? ÇÖZÜM: 0 ile 60 rsındki syılr sorulduğu için 0 ve 60 dhil değildir. 0 ile 60 rsınd olup d 0 bölünebilen syılrı rhtç bulbiliriz. Bunlr 0, 0, 0 ve 0 dir. Yni cevp tne syıdır. Bu kdr bsit rlıklr sorulmycğı için bu klıplrın bsit bir formülü vrdır. 0, 0,.0, 0, 60 İlk uçtki ilk ktsyı (0) ile, son uçtki son ktsyının(0) frkının lıp, istenilen syıy eklediğimizde sonuc ulşılır. 0, 0,.0, 0, 60 Son. Ktsyı İlk. Ktsyı Formül: Bölen AAB üç bsmklı syısının ile bölümünden kln ise A nın lbileceği en büyük değer kçtır? ÇÖZÜM: syısının rlrınd sl çrpnlrı 9 ve dir. Yni AAB syısı hem e hem de 9 tm bölünmelidir rdındn kln eklenecektir. Önce AAB syısı e tm bölünebilmesi için B nin lcğı değerler, 0 ve dir. Yni syılrımız AA0 ve AA dir. Şimdi de bu syılrın 9 tm bölünmesinin koşullrını rylım. 0 0 X = 0 ile 86 rsınd e bölünebilen kç tne tmsyı vrdır? ÇÖZÜM: den sonr gelen in ktıyl, 86 dn önce gelen in ktını bullım., 0,..80, 8, X=

15 Asl Bölenler Bir syının birden çok böleni vrdır. Bu bölenlerin içerisinde sl olnlr ve sl olmyn tm bölenler bulunur. Asl bölenler,,,7 gibi syılrdır. Şimdi bir syıyı sl bölenlerine yırmyı bulcğız. 7 syısını sl bölenlerine yırlım = 9 syısının kç tne pozitif böleni vrdır? Bu syıyı bölen tm syılr,,,, 6, dir. Yni 6 tne pozitif (doğl syı) böleni vrdır. Bir o kdrd negtif syı böleni vrdır. İçlerinde ve sl bölenleridir. Tbii her syının pozitif bölenlerinin syısını bu kdr rht bulmyız, işimiz büyük syılrd zorlşır. Bunun için bsit bir formül bulunmktdır. Formül:A syısının pozitif bölenlerinin syısı (PBS); y z A= b c... PBS = (+).(y+).(z+). şeklinde bulunur. = => PBS = (+).(+)=.=6 bulunur. 7 syısının; ) Kç tne pozitif tm syı böleni vrdır? b) Kç tne tm syı böleni vrdır? c) Kç tne sl olmyn tmsyı böleni vrdır? ÇÖZÜM: 7 syısının sl çrpnlrın yrılmış hlini yukrıd bulmuştuk. 7 = ) PBS= (+)(+)=.= tne pozitif böleni vrdır. b) tne pozitif böleni vrs tne de negtif böleni vrdır. Toplmd tne tm syı böleni vrdır. c) Asl oln bölenleri ve tür. Bu nedenle sl olmyn bölenlerin syısı; = tnedir,y N kç tne değer lır? 80 olduğun göre y y ÇÖZÜM: ve y doğl syıymış yni pozitif syılrmış. Soru bizden 80 ni kç tne tm syı ile bölersek sonuç tmsyı olur demektedir. Yni 80 nin kç tne pozitif böleni vrdır? 80= PBS= (+)(+)(+)= 8 y doğl syısı 8 tne doğl syı değeri lır. 90 y ifdesi verilmiştir. Bun göre y toplmının lbileceği en z değer kçtır? ÇÖZÜM: Bu klıp sorulrın sözel ifdesi 90 syısını en z hngi syıyl çrprsk bir syının küpüne ulşırız. Bunun için 90 syısını sl çrpnlrın yırıp eksik kln ynını tmmlycğız. 90 y y => syısını bulmk için bütün syılrı üçüncü kuvvetlerine tmmlmlıyız. y (kuvvetlerin toplmı olck) =00 syısının lbileceği en küçük değer 00 dür. Şimdi y syısını bullım. Syımızın tmmlnmış hli; y 0 y Bun göre; + y = = 0 y 0 OBEB-OKEK Birden fzl syının ortk bölenleri ve ktsyılrı rsınd ki ilişkiyi irdeleyeceğiz. ve 6 syısının yrı yrı ktlrını ve de bölenlerini bullım , OBEB: Açımlı her iki syınınd Ortk Bölenlerin En Büyüğüdür. Her iki syınınd ortk bölenleri gösterildiği gibi,, dir. En büyüğü tür. Bun göre; OBEB(, 6) = OKEK: Her iki syının Ortk Ktlrının En Küçüğünü ifde eder. Her iki syınınd ortk ktlrı 8, 96, sonsuz kdr devm eder. Ortk Ktlrının En Küçüğü ise 8 dir. Bun göre; OKEK(, 6 ) = 8 Tbi ki her syının OBEB ve OKEK ini bu uzun yoll bulmyız, dh prtik bir yöntem şğıdki gibidir.

16 Her iki syının ynı nd sl çrpnlrın böleriz. Bu durumlrd istisnlr dışınd ilk ypcğımız işlem OBEB i bulmk olcktır. Ardındn OKEK e devm edilir., 6 Her iki syıd ynı nd bölünene 6, 8 kdr işleme devm edilir. Ortk, bölen klmmışs işlem biter. OBEB (,6)==, 6 OBEB işlemi bittikten sonr rtık 6, 8 syılrı tek tek bölenlerine yırcğız., OKEK(,6)==8 Kurl: İki syının çrpımı, o syılrın OBEB ve OKEK inin çrpımın eşittir. A B = OBEB ( A,B ) OKEK( A, B ) 6 = 8 9 = 9 ve A syısının OBEB i 6, OKEK i 6 ise A syısı kçtır? ÇÖZÜM: A B = OBEB ( A,B ) OKEK( A, B) A = 6 6 A= 6, 9, syılrının OBEB ve OKEK ini bulunuz? ÇÖZÜM: 6, 9, OBEB,,,, OKEK,,,, OBEB( 6, 9, ) = OKEK(6, 9, ) = 9 = 6 Fruk elindeki bilyeleri yrı yrı üçerli, dörderli ve beşerli sydığınd hep iki bilye rtmktdır. Bun göre Fruk un elinde en z kç bilye vrdır? ÇÖZÜM: Devmlı bilye fzl geldiğine göre o bilyeler olmsydı bilyeler hem üçerli, hem dörderli ve hem de beşerli syıldığınd rtık bilye olmycktı. Yni bilyelerin syısı, ve in ortk ktı olcktı. Bu syıyı d,, in OKEK i lınrk bulbiliriz. OKEK(,, ) = 60 bulunur. Her seferinde bilye rttığın göre bu syıy ekleyerek sonuc ulşırız = 6 tne bilyesi vrdır. Bu sorunun syısl olrk ifdesi şöyledir. A = + = b + = c + ile bölümünden kln 6, 6 ile bölümünden kln 0 oln en küçük doğl syı kçtır? ÇÖZÜM: A = + 6 = 6b + 0 Yukrıdki sorud olduğu gibi bu sorud d syılr rstgele seçilmemiştir. Her iki durumd d bir ortklık mevzubhistir. Bir önceki sorud her üç durum için fzllık vrdı ortk olrk, bu sorud d dikkt edersek syımız eğer 6 dh fzl olsydı ye de 6 y d tm bölünebilecekti. Yni syımız 6 eksik olmsydı ve 6 nın ortk ktı olcktı. OKEK (, 6) = = Üç hemşire sırsıyl, 8, 0 günde bir gece nöbetine klmktdır. İlk nöbetlerine birlikte bşlyn üç hemşire tekrr kç gün sonr birlikte nöbet tutrlr? ÇÖZÜM: İlk gün birlikte nöbet tuttuklrın göre yeniden nöbetlerinin çkışmlrı için üçünün de nöbet periyotlrının ortklştığı gün önemlidir. Yni, 8 ve 0 un ortk ktı bulunmlıdır. OKEK (, 8, 0 ) = 0 Yni 0 gün sonr tekrr birlikte nöbet tutcklrdır. Boyutlrı 60 m ve 8 m oln bir konferns slonunun zemini eşit büyüklükte oln kre fynslrl döşenecektir. Bun göre en z kç tne fyns gerekmektedir? ÇÖZÜM: Bu klıptki sorulrd öğrencinin kfsını krıştırn nokt nerde OBEB nerde OKEK lıncğıdır. Çok bsit bir mntıkl çıklrsk, Eğer sorud bütünü prçlm vey küçültme işlemi vrs OBEB, eğer prçyı bütünleştirme vey büyültme işlemi vrs OKEK lınır. Bu örnekte olduğu gibi konferns slonunu küçük fynslrl döşeme işlemi prçlm işlemidir. Yni OBEB lıncktır. 60, 8 OBEB (60, 8)=m 0, Kre fynsın kenr, uzunluğudur., İşlem sonund kln syılrı çrprsk sonuc ulşırız. = 0 en z 0 tne fyns gerekmektedir. 6

17 Boyutlrı cm, cm ve cm oln kibrit kutulrındn en z kç tne kullnırsk içi dolu bir küp kutu elde ederiz? ÇÖZÜM: Bu örnekle ise küçük kibrit kutulrındn büyük küp kutu elde ediliyor. Yni bütünleme işlemi ypılıyor. O nedenle OBEB lıncktır.,,,,,,,, OKEK (,, ) = = 0 Sonuçt oluşturcğımız küp kutunun bir kenr uzntısı 0 cm olcktır. 0 cm yrıtlr kçr tne kibrit kutusunun yerleşebileceğini bulmk için, küp kutunun yrıtını kibritin yrıtlrın bölmemiz gerekecektir tne kibrit kutusu gerekmektedir. Neden çrpm işlemi ypıldı? Her sorud çrpm işlemi ypılcktır diye bir kurl yoktur. Sorulrın köküne bkıldığınd; İlk sorud uzunluklrı verilen zemininin içi fynslrl doldurulcğı için ln formülü uygulnmıştır. İkinci sorud üç yrıtı verilen kutulrdn kre küp elde edileceği için küpün hcim formülü uygulnmıştır. Kenr uzunluklrı 7 m ve 60 m oln dikdörtgen şeklindeki trlnın çevresine ve köşelerine eşit rlıklrl ğç dikilecektir. Bun göre en z kç ğç gerekir? ÇÖZÜM: Bu sorud prçlm işlemi vrdır. O nedenle OBEB lıncktır. Ayrıc burd bizden trlnın etrfın yni çevresine ğç dikmemiz istendiği için çevre formülü uygulncktır. Eğer trlnın içine dikim işlemi istenseydi ln formülü uygulncktı. 7, 60 6, 0 8, 6, OBEB (7, 60) = Ağçlr rsındki mesfe en çok metre olcktır. İşlem sonund kln syılrdn çevre formülü uygulrsk. Dik.Dört. Çevresi = ( + y ) = ( + 6) = Bu trly en uzk eşit rlıklrl ve köşelerde bulunmk üzere en z tne ğç dikilebilir. UYGULAMA SORULARI. Beş bsmklı ABAB7 syısının iki bsmklı AB syısın bölündüğünde oluşck bölüm ile klnın toplmı kçtır?. y - y - z Yukrıdki bölme işlemine göre in z cinsinden değeri nedir?. Üç bsmklı rkmlrı birbirinden frklı en büyük üçe bölünebilen çift syı kçtır?. 8 çrpımının 9 ile bölümünden kln kçtır?. y 0 rkmlrı frklı beş bsmklı y7z syısı 6 syısın tm bölünüyor. Bun göre y syısı hngi değeri lır? 6. 0 n ifdesi verildiğine göre n en z hngi değeri lır? 7. k, m Z olduğun göre, m 8 k m m nin lbileceği kç frklı değer vrdır? 8. ile rsınd hem e hem de 6 y bölünebilen kç tm syı vrdır? 9. A = + = b + = 6c + İfdesi verildiğine göre A syısı en z hngi değeri lır? 0. m, 0 m, m boyutlrındki bir depoy boşluk klmyck şekilde en z kç tne küp şeklinde koli yerleştirilir?. Ayrıtlrının uzunluğu cm, cm ve 9 cm oln tuğllrdn en z kç tne kullnrk küp şeklinde duvr örülür?. Ağırlıklrı 0 kg, kg, 8 kg oln frklı klitedeki üç torb buğdy hiç rtmyck ve birbirine krışmyck şekilde pketlere doldurulcktır. Poşetlere konn ğırlıklr eşit olcğın göre en z kç det poşet kullnılır? Cevplr ) 07 ) = 6z + ) 98 ) ) 9 6)0 7) 6 8)7 9)7 0) 60 ) )8 7

18 ÇARPANLARA AYIRMA Mtemtiğin olmzs olmz konulrındn biri de Çrpnlr Ayırm konusudur. İleride işleyeceğimiz konulrın çoğunun içinde bu bilgilerden yrrlnılrk çözümlemeler ypılcktır. O önemle üzerinde ısrrl durulmsınd önem vrdır. Zor gibi görünen konuyu dh bsit hle getirmek için bzı gereksiz yrıntılrdn ve klıplrdn uzk tuttuk, tbii ki geniş bir konu fkt en önemli ve ğırlıklı ynlrını öne ldık. Çrpnlr yırm işleminin önemi nedir? İki önemli nedeni vrdır. - Toplm çıkrm işlemindeki denklemleri çrpm hline getirerek sdeleştirme işlemi ypılmsını sğlr. - Denklemlerinin derecelerini küçültme işlemini sğlyrk bsit hle dönüştürmemizi sğlr. Bu konuyu n mdde şeklinde sınıflndırcğız.. Ortk Prntez Birden çoklu denklemlerde, bütün bilinmeyen elemnlr içerisinde ortk elemnlr vr ise bu denklemlere ortk prntez işlemi uygulnır. b 6b ifdesinin çrpnlr yrılmış hlini bulunuz? ÇÖZÜM: İlk etpt ifdenin rht görünümü için, denklemi en küçük çrpnlrın kdr yırlım, tbii bu her sefer bu şekilde ypılırs çok zmn lır, o nedenle ortk elemnlrı doğrudn sptnmsı yrrımız olcktır. b 6b b bb Görüldü gibi her iki bilinmeyende de ortk kvrmlr vrdır. Bu d b dir. İfdeyi b ortk prntezine lıp kln değerleri prntez içerisinde göstereceğiz. b b İfdesine ulşılır. Görüldüğü gibi ifde toplm hlindeyken çrpım hline gelmiş ve derecesi. dereceden. dereceye düşmüştür. y 6y y ifdesinin çrpnlrın yrılmış hli nsıldır? ÇÖZÜM: Bu sefer ifdeyi tek tek çrpnlrın yırmdn hemen bullım. Zmn bizim için önemli. Her üç bilinmeyenin de ortk çrpnı y dir. Ylnız bu ortk çrpn her üçünde bulunmk zorunddır. y y Önemli bir yrıntı, son denklemin bizzt kendisi ortk ifdeyi oluşturduğu için prntez içerisinde ki temsiliyet hkkını syısı sğlr. k kl l kl İfdesinin en sde hli nedir? ÇÖZÜM: Bu tür sorulrdki en büyük ht sdeleştirme işlemi ypmktır. Sdeleştirme işlemini toplm vey çıkrm işlemlerinde ypılmz. Sdeleştirme işlemi sdece çrpım ve bölüm işlemlerinde ypılır. O nedenle işlemi çrpım durumun dönüştürmek için py ve pyd bölümünü ortk prntez yoluyl çrpnlrın yırlım. k k l l l k Prntez içi ynı olduğu için prntez sdeleşir. İşlemin en sde hli, k l. İki Kre Frkı ( ) ( y) şeklindeki ifdelere denir. Çrpnlr yrılmış hli; ) ( ) = y y ( y Şeklinde gösterilir. Yni kresi lınn ifdelerinin toplmı ve frkının birbiriyle çrpımın eşittir. Alıştırm # 8 6 # - = - = # 9 y y y y # 9 9 # 6 y # y # k k # 0 9 8

19 y z y z y z z İfdesinin sdeleştirilmiş hlini bulunuz? ÇÖZÜM: Bu soruyu şimdiye kdr gördüğümüz iki kurl üzerinden çözeceğiz. Şimdi py ve pydyı yrı yrı ele llım. y z z y > İki kre frkı gibi görünse de değildir. Çünkü çrpım durumundki ikinci elemnlrın kreleri lınmmıştır. O nedenle ortk prntez vr mıdır? Evet y z z y yz y z olur. y z = y z y z. Yerlerine koylım y z y z z y y = yz( y z) = ( y z)( y z) y yz y z. Prntez ( Tm) Kre şeklindeki ifdelere denir. İki önemli durumu vrdır. Bu ifdelerin bir çılımı bir de çrpnlr yrılmış hli vrdır. İkisini de görelim. Açılımı = y y y Çrpnlr yırımı y ( y)( y) y ( y)( y) Sorulrd hngisini kullncğımızı iyi sptmmız gerekecektir. Alıştırm Aşğıd ki tm krelerin çılımlrını ypınız? ( ) () () ()() 9 b b b b b = k p b b b İfdesinin sdeleştirilmiş hlini bulunuz? ÇÖZÜM: Py ve pyd kısmı birbirinin ynısıymış gibi görünse de slınd tmmen frklı kvrmlrdır. Py bölümü iki kre frkı, pyd bölümü tm kredir. Ayrıc sdeleştirme işlemlerinde tm krelerin çılımı ypılmycktır. Çrpnlr yrılmış hli buluncktır. b b ( b) b b = ( b)( b) b, b b 6 b 8 b işleminin sonucu kçtır? ÇÖZÜM: Bize birinci derece denklemler verilerek, ikinci derece denklem sonucu istenmiş. Bu nedenle dereceleri yükselteceğiz. b 6 ifdesinin kresini llım. b) (6 b b b b b 6 (8) ise sonucu kçtır? ÇÖZÜM: Bu klıp sorulr çok rstlrız. Dikkt edin py ve pyd d ki syılr ynı bilinmeyenli syılr olduğu için tm kre lımınd birbirilerini sdeleştireceklerdir. ( ) () 9 - =9 =7. + b + c İfdesinin Çrpnlrı En önemli çrpnlr yırm klıbıdır diyebiliriz çünkü krşımız birçok yerde çıkmktdır, bu nedenle iyi bilinmesi gerekmektedir. 9

20 6 8 ifdesinin çrpnlrı nedir? ÇÖZÜM: İfdenin birinci ve üçüncü terimin çrpnlrın yrılır. 6 8 Özelikle üçüncü terimin birden çok çrpnı olduğu için sğlm işlemi ypmmız gerekmektedir. Bu nedenle üçüncü terimin işreti (+8) pozitifse her iki çrpnlrının işretleri ynıdır. ( ++ vey --) Eğer üçüncü terimin işreti negtif ise her iki çrpnlrın işretleri ise ters olcktır. ( +- vey -+) Sğlm işlemi yprk hngisinin doğru olduğunu bullım. Sğlm işlemi şu şekilde ypılır; birinci ve üçüncü terimler çprzlmsın çrpılır ve sonr toplnır. Ypıln toplm işlemi sonrsınd ikinci terime hngisinde ulşılıyors o seçenek doğrudur İfdesinin çrpnlr yrılmış hlini bulunuz? ÇÖZÜM: İlk bkılck nokt üçüncü terimin işretidir. Tüm soru on göre şekillenecektir. Görüldüğü gibi işret negtif olduğu için çrpnlrın işretleri ters olmk zorunddır. Şimdi deneme ynılm yoluyl çözüme ulşlım. İlk denemelerimiz htlı olsun +6-6 Ortd ki terime ulşmdık. Verilen değerleri değiştirmemiz gerekmektedir. + - Ortd ki terime ulştık fkt işreti ters bulduk. Bunun nlmı çrpnlrımız doğru syı fkt işretleri ters olmlıdır. + Demek ki ifdemizin çrpnlr yrılmış hli; = +6 DOĞRU İlk ifdenin sğlmsı doğru çıktığı için bu seçeneği lıyoruz. Bu sefer çözüm kümesini oluştururken birinci ve üçüncü kvrmlrı yn yn gelecek şekilde prntez içerisine lrk ifdenin çrpnlr yrılmış hline ulşıyoruz = - 6 YANLIŞ = ( )( ) Not: Kıs yol sğlmsı çısındn, üçüncü terimin büyük çrpnının işreti ortdki terimin işretiyle ynıdır. Alıştırm Aşğıdki ifdelerin çrpnlrın yrılmış hlini bulunuz? # y 6y ( y)( y) # k k # m m # n 7n 8 # 8 ( )( ) # 8y y ( y)(6 y) # 0n n 6 Çözüm Kümesi (Ç.K) 6 8 ( ) ( ) Şimdi bury kdr gördüğümüz bşlıktki çrpnlr yırm kurllrını kullnrk ypbileceğimiz sorulrı çözelim. 0

21 İfdesinin sdeleştirilmiş hlini bulunuz? ÇÖZÜM: Tek tek bütün ifdeleri çrpnlrın yırıp sonr işlemde yerlerine koylım. => 6 ( ) => ( ) => 6 ( )( ) => 9 ( )( ) => ( )( ) => 6 ( ) Açılımlrı yerlerine koyrsk ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ). Derece Formüller.= Çrpnlr yırm konusunun temelini oluşturn bölümlerini gördük. Bunlr bilinmesi öncelikli kurllrdı. Şimdi ise ğırlıklı olms d bzı kynklrd ve sorulrd krşımız çıkn m sınvd sorulm ornı çok düşük oln formülleri vereceğiz. Ezberlemekten ziyde sorulrı çözdükçe formüllere bkrk sorulrı çözün. b b ( b)( ( b)( b b b b b b b b b b b İşleminin sdeleştirilmiş hli nedir? ÇÖZÜM: Sorunun py kısmını ortk prntez lmnın özel bir bölümü oln gruplndırm yöntemiyle bulcğız. b b İfdeyi ortdn ikiye yırlım ve yrı yrı inceleyelim. b ( b) Şimdide ( b) ortk prntezine llım. ( b)( ) çrpnlrı bulunur. Yerine konulduğund; ( b)( ) b ) ) b olmk üzere; b 0 = 0 denkleminin köklerinden biri olduğun göre b kçtır? ÇÖZÜM: İkinci derece denklemlerin tne kökü bulunur. Bu kökler denklemde bilinmeyen () yerine konduğund sonuç sıfır eşit olur. b 0 = 0 b 0 0 +b-0 = 0 b = - İşleminin en sde hli nedir? ÇÖZÜM: Önce pyd bölümlerini düzenleyelim. => Dikkt edin pydlr ynıymış gibi görünse de ters işretlidir. Pydlrı eşitlemek için birin - ile çrprsk diğerine benzer. ( ) Olduğun göre nedir? b b b nin cinsinden değeri ÇÖZÜM: Sorud ın b cinsinden değeri verilmiştir. bizden b nin cinsinden değeri istendiğine göre b yi tek bşın bırkcğız. Önce içler dışlr çrpnı ypcğız ( b ) b b b b b b ( ) b b nin cinsinden ifdesidir.

22 . UYGULAMA SORULARI ( ) ( ) 7. y y? İfdesinin sdeleştirilmiş hli nedir?. k k p kp 8 y y z olduğun göre z y sonucu kçtır? İfdesinin sdeleştirilmiş hli nedir? işleminin sonucu kçtır?. 7 ise kçtır? 0. A B 6 0 ise kçtır? Olduğun göre A+B kçtır? 6. 8 İşleminin sdeleştirilmiş hlini bulunuz?. olduğun göre ifdesinin sonucu kçtır? İşleminin sdeleştirilmiş hlini bulunuz? CEVAPLAR k p ) ) k ) 7 ) ) 6) 7 7) 8) 8 9) 0 0) )

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

2011 RASYONEL SAYILAR

2011 RASYONEL SAYILAR 011 RASYONEL SAYILAR AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 06.01.011 A.Tnım 3 B.Kesir 3 C.Kesir çeşitleri 3 1.Bsit kesirler 3.Birleşik kesirler 3 3. Tm syılr 3 D.Rsyonel syılrı sırlm 4 E.Rsyonel syılrd işlemler 5 1.Rsyonel

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek

Detaylı

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7.

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7. MC. + + +.. Rsyonel Syılr TEST I sonsuz kesrinin eşiti kçtır? A) B) C) D) E) 4 www.mtemtikclu.com, 006 Ceir Notlrı. 8. Gökhn DEMĐR, gdemir@yhoo.com.tr 0;0 0;0008 = 0; x ise x kçtır? A) 0,0 B) 0,000 C)

Detaylı

Üslü Sayılar MATEMATİK. 5.Hafta. Hedefler. Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK. Bu üniteyi çalıştıktan sonra;

Üslü Sayılar MATEMATİK. 5.Hafta. Hedefler. Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK. Bu üniteyi çalıştıktan sonra; MATEMATİK Üslü Syılr Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK 5.Hft Hedefler Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Gerçel syılrd üslü işlemler ypbilecek, Üslü denklem ve üslü eşitsizlikleri çözebileceksiniz.

Detaylı

Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Eşitsizlikler

Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Eşitsizlikler www.mustfygci.com.tr, 4 Cebir Notlrı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoo.com Eşitsizlikler S yılr dersinin sonund bu dersin bşını görmüştük. O zmnlr dın sdece birinci dereceden denklemleri içeren mnsınd Bsit Eşitsizlikler

Detaylı

MATEMATİK BÖLME BÖLÜNE BİLME RASYONEL VE ONDALIK SAYI BÖLÜNEBİ LME KURA LLARI 4 İ LE BÖLÜNE Bİ LME 5 İ LE BÖLÜNEBİ LME ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK ÖRNEK ÖRNEK

MATEMATİK BÖLME BÖLÜNE BİLME RASYONEL VE ONDALIK SAYI BÖLÜNEBİ LME KURA LLARI 4 İ LE BÖLÜNE Bİ LME 5 İ LE BÖLÜNEBİ LME ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK ÖRNEK ÖRNEK MATEMATİK BÖLME BÖLÜNE BİLME RASYONEL VE ONDALIK SAYI BÖLÜNEBİ LME KURA LLARI İ LE BÖ LÜNEBİ LME Syımızın irler smğı çift (son rkmı 0) ise syımız iki ile tm ölünür. 0 0 v. iki ile ölünür. syısı iki ile

Detaylı

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi Kesir.. Trlı lnı gösteren kesri bulunuz. kesrini ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri bulunuz.. Yndki şekilde bir bütün 8 eş prçy bölünmüş ve bu prçlrdn tnesi trnmıştır. Trlı lnı gösteren kesir syısı

Detaylı

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı,

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı, Rsyonel Syılr. Sınıf Mtemtik Soru Bnksı TEST. Aşğıdki bilgilerden hngisi ynlıştır? A) Rsyonel syılr Q sembolü ile gösterilir. B) Her tm syı bir rsyonel syıdır. şeklinde yzıln bütün syılr rsyoneldir. b

Detaylı

3 kesri on ikide üç şeklinde okunur. a kesrinin pay ve paydası sıfırdan farklı bir k tam sayısıyla, a a.k, k 0 ( Kesrin Genişletilmesi )

3 kesri on ikide üç şeklinde okunur. a kesrinin pay ve paydası sıfırdan farklı bir k tam sayısıyla, a a.k, k 0 ( Kesrin Genişletilmesi ) RASYONEL SAYILAR A Rsyonel Syı ve irer tm syı ve 0 olmk üzere, içiminde yzılilen syılr rsyonel syı denir Rsyonel syılr kümesi Q ile gösterilir Q { : ve tm syı ve 0 } dır ifdesinde y py, ye de pyd denir

Detaylı

MUTLAK DEĞER. a ε R olmak üzere; Mutlak Değer MATEMATĐK ĐM YILLAR 2002 203 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 14) GENEL ÖRNEKLER.

MUTLAK DEĞER. a ε R olmak üzere; Mutlak Değer MATEMATĐK ĐM YILLAR 2002 203 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 14) GENEL ÖRNEKLER. Mutlk Değer YILLAR 4 6 8 9 1 11 ÖSS-YGS - - - 1 - - 1 - - 1/1 MUTLAK DEĞER ε R olmk üzere;, -, ise < ise ve b reel syı olmk üzere; 1) dır Eğer ise dır ) 14) + n n Z olmk üzere dır 1) f ( ) > g( ) f ( )

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

SAYILAR TEMEL KAVRAMLAR

SAYILAR TEMEL KAVRAMLAR YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - - 1-1 - 1 Pozitif tmsyılr,negtif tmsyılr ve 0 ın ererce oluşturduğu kümeye Tmsyılr kümesi denir Z ile gösterilir SAYILAR TEMEL KAVRAMLAR Temel

Detaylı

İkinci Dereceden Denklemler

İkinci Dereceden Denklemler İkini Dereeden Denkleler İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :,, R ve olk üzere + + denkleine, ikini dereeden ir ilineyenli denkle denir Bu denkledeki,, gerçel syılrın ktsyılr, e ilineyen

Detaylı

b göz önünde tutularak, a,

b göz önünde tutularak, a, 3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi

Detaylı

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS Rsonel Sılr YILLAR 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 ÖSS-YGS RASYONEL SAYILAR KESĐR: Z ve 0 olmk üzere şeklindeki ifdelere kesir denir p pd kesirçizgisi KESĐR ÇEŞĐTLERĐ: kesri için i) < ise kesir sit kesirdir

Detaylı

YÜZDE VE FAĐZ PROBLEMLERĐ

YÜZDE VE FAĐZ PROBLEMLERĐ YILLAR 00 003 00 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS 3 1 1 1 3 YÜZDE VE FAĐZ PROBLEMLERĐ YÜZDE: Bir syının yüzde sı= dır ÖRNEK(1) % i 0 oln syıyı bullım syımız olsun 1 = 0 = 0 ÖRNEK() 800 ün % ini bullım

Detaylı

ÜÇGEN VE PİSAGOR BAĞINTISI

ÜÇGEN VE PİSAGOR BAĞINTISI ÜÇGEN VE PİSGOR ĞINTISI KZNIMLR Üçgen kvrmı Üçgen çizimi Üçgenin kenrlrı rsındki ğıntılr Üçgen eşitsizliği Üçgenlerde yükseklik Üçgenlerde kenrorty Üçgenlerde çıorty Kenr ort dikme kvrmı Pisgor ğıntısı

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24. DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli

Detaylı

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm

LOGARİTMA. çözüm. için. Tanım kümesindeki 1 elemanını değer kümesindeki herhangi. çözüm. çözüm LOGARİTMA Üstel Fonksion >0 ve olmk üzere f:r R +, f() = şeklindeki fonksionlr üstel fonksion denir. Üstel fonksionlr birebir ve örtendir. f:r R +, f()=( ) bğıntısının üstel fonksion olup olmdığını inceleiniz.

Detaylı

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir. LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.

Detaylı

DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu

DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu OĞRU ÇILR Temel Kvrmlr ve oğrud çılr Nokt: Nokt geometrinin en temel terimidir. ni, boyu vey yüksekliği yoktur. İnce uçlu bir klemin kğıt üzerinde bırktığı iz olrk düşünebilirsiniz. oğru: üz, klınlığı

Detaylı

KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MATEMATİK

KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MATEMATİK MTEMTİK KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MTEMTİK EDİTÖR Turgut MEŞE YZR İdris DOĞN ütün hklrı Editör Yyınlrın ittir. Yyınevinin izni olmksızın, kitbın tümünün vey bir kısmının bsımı, çoğltılmsı ve dğıtımı

Detaylı

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü, 005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.

Detaylı

BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4.

BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4. IV. HTTİN TTIŞ MTEMTİK YRIŞMSI u test 30 sorudn oluşmktdır. İREYSEL YRIŞM SORULRI 1. 4 3 + 1 4. 3 3 + = + 1 + 1 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir? ) 5 3 ) ) 3 D) 13 3 ) { 0 } ) { 1} ) { }

Detaylı

Cevap D. 6. x = 3, y = 7, z = 9 olduğundan x + y < y ve. Cevap C. 7. x ile y aralarında asal olduğundan x 2 ile y sayıları da. Cevap A.

Cevap D. 6. x = 3, y = 7, z = 9 olduğundan x + y < y ve. Cevap C. 7. x ile y aralarında asal olduğundan x 2 ile y sayıları da. Cevap A. eneme - / Mt MTEMTİK ENEMESİ. c - m. c - m -.., bulunur. y. 7, + 7 y + + 00 y + + + y + +, y lınr ı.. ^ - h. ^ + h. ^ + h ^ - h. ^ + h - & & bulunur.. ΩΩΩΩΔφφφ ΩΩφφ ΩΩΔφ 0 evp. ise ^ h ^h 7 ise ^ 7h b

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran Matematik I Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran Matematik I Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınvı (Öss) / 7 Hzirn 007 Mtemtik I Sorulrı ve Çözümleri.. 7 işleminin sonucu kçtır? A) B) 9 C) D) E) Çözüm. 7..9.. + işleminin sonucu kçtır? 4 8 A) 8 B) 8 C) 8 D) 4 E) 4 Çözüm + 4 8 8 4+

Detaylı

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,

Detaylı

14) ( 2) 6 üslü sayısının kesir olarak yazılışı A) ) 2 3 sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 16) -6 2 üslü sayısının eşiti kaçtır?

14) ( 2) 6 üslü sayısının kesir olarak yazılışı A) ) 2 3 sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 16) -6 2 üslü sayısının eşiti kaçtır? ÜSLÜ SAYILAR KAZANIM PEKİŞTİRME SORULARI ) üslü syısı şğıdkilerden hngisine eşittir? 6 9 7 ) +++++++ işleminin sonucu şğıdkilerden hngisi ile ifde edilebilir?. + )... işleminin sonucu şğıdkilerden hngisi

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı., b olduğun göre, b. b ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir?,,,9 8... b b ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir?.. Bun göre, verilior. ifdesinin değeri kçtır? 8. b b c 8 c d

Detaylı

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ]

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ] 3. BÖLÜM 2 v r = M m v r 2 2 = 22 M m2 v r n n 2n = M mn MTRİSLER gibi n tne vektörün oluşturduğu, r r r = v v v [ L ] 2 n şeklindeki sırlnışın mtris denir. 2 nlitik Geometriden Biliyoruz ki : Mtris 2

Detaylı

(bbb) üç basamaklı sayılardır. x ile y arasında kaç tane asal sayı vardır? A)0 B)1 C) 2 D) 3 E) x, y, z reel sayılar olmak üzere, ifadesinin

(bbb) üç basamaklı sayılardır. x ile y arasında kaç tane asal sayı vardır? A)0 B)1 C) 2 D) 3 E) x, y, z reel sayılar olmak üzere, ifadesinin 4 () ve (bb) iki bsmklı syılr, () ve 1 x=15! +1 y=15!+16 olmk üzere, (bbb) üç bsmklı syılrdır x ile y rsınd kç tne sl syı vrdır? A)0 B)1 C) D) 3 E) 4 b + bb + bbb = 6 olduğun göre, b çrpımı en çok kçtır?

Detaylı

Ünite Planı Şablonu. Öğretmenin. Fatma BAĞATARHAN Yunus Emre Anadolu Lisesi. Ġnönü Mahallesi. Bingöl. Adı, Soyadı. Okulunun Adı

Ünite Planı Şablonu. Öğretmenin. Fatma BAĞATARHAN Yunus Emre Anadolu Lisesi. Ġnönü Mahallesi. Bingöl. Adı, Soyadı. Okulunun Adı Intel Öğretmen Progrmı Ünite Plnı Şlonu Öğretmenin Adı, Soydı Okulunun Adı Okulunun Bulunduğu Mhlle Okulun Bulunduğu Ġl Ftm BAĞATARHAN Yunus Emre Andolu Lisesi Ġnönü Mhllesi Bingöl Ünit Bilgisi Ünite Bşlığı

Detaylı

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-364-027-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-364-027-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 0 DENEME SINAVI ISBN 97-0--07- Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem Akdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem Akdemi Yy. Eğt. Dn. Hizm. Tic. Ltd. Şti

Detaylı

İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06

İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06 PROBLEMLER İÇİNDEKİLER Syf No Test No ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06 SAYI PROBLEMLERİ... 299-314... 01-08 YAŞ PROBLEMLERİ...

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı 8. sısının pozitif tek tmsı bölenlerinin sısı kçtır? 8. olmk üzere; kesrinin değeri şğıdkilerden hngisi olmz?. (8!) sısının sondn kç bsmğı sıfırdır? 8. ifdesinin sonucu kçtır? (

Detaylı

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma DERS NOTU 01 Son Hli Değildir, tslktır: Ekleme ve Düzenlemeler Ypılck BİR SOSYAL BİLİM OLARAK İKTİSAT VE TEMEL KAVRAMLAR 1 Bugünki dersin işleniş plnı: 1. Değişkenler ve Eğriler: Mtemtiksel Htırltm...

Detaylı

Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR

Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR Vektörler zr rd.doç.dr.nevin MAHİR ÜNİTE 3 Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Düzlemde vektör kvrmını öğrenecek, İki vektörün eşitliği, toplmı, doğrusl bğımlılığı ile bir vektörün bir gerçel syı ile çrpımı,

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 1 BÖLÜM 1 KÜMELER VE SAYILAR 1.1 KÜMELER 1.1.1. TEMEL TANIMLAR Kesi ir tımı ypılmmkl erer,sezgisel olrk,kümeye iyi tımlmış iri iride frklı eseler topluluğudur diyeiliriz. Kümeyi meyd getire eselere kümei

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı.,, z rdışık pozitif tmsılr ve z olmk üzere; z olduğun göre, kçtır? C). olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir? C) 8 6., b, c Z olmk üzere; b c bc c b olduğun göre,,

Detaylı

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler Ünite ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR f() g() log.. Üstel Fonksion / / / /.. Logritm Fonksionu.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR KAZANIM ve İÇERİK.

Detaylı

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS)

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS) ÇMR ÖSS SRULRI 1., ve noktlrı merkezli çember üzerinde m( ) = m( ) =. ir dik üçgeni için, = cm ve = 4 cm olrk veriliyor. Merkezi, yrıçpı [] oln bir çember, üçgenin kenrını ve noktlrınd kesiyor. un göre,

Detaylı

İntegral Uygulamaları

İntegral Uygulamaları İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim

Detaylı

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1)

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) ÖSS MT-1 / 008 MTMTİK 1 TSTİ (Mt 1) 1. u testte 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik 1 Testi için yrıln kısmın işretleyiniz. 1. 1 + 4 1 ( ) 4. syısı b 0 ) b syısının kç ktıdır? ) b ) b işleminin

Detaylı

Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Doç. Dr. Hüseyin Sarı

Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Doç. Dr. Hüseyin Sarı Ankr Üniversitesi Mühendislik Fkültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207 Temel ElektronikI Doç. Dr. Hüseyin Srı 2. Bölüm: Dirençli Devreler İçerik Temel Yslrın Doğrudn Uygulnışı Kynk Gösterimi ve Dönüşümü

Detaylı

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel

Detaylı

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0)

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0) BÖLÜM TRİGONOMETRİ.. TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR... BİRİM ÇEMBER Tnım : Merkezi orijin ve yrıçpı birim oln çembere trigonometrik çember vey birim çember denir. Trigonometrik çemberin denklemi + y dir.yni

Detaylı

1984 ÖSS. 6. a, b, c birer pozitif sayı ve. olduğuna göre, a, b, c arasındaki bağlantılardan hangisi doğrudur? 7. a, b, c birer tamsayı olmak üzere

1984 ÖSS. 6. a, b, c birer pozitif sayı ve. olduğuna göre, a, b, c arasındaki bağlantılardan hangisi doğrudur? 7. a, b, c birer tamsayı olmak üzere 984 ÖSS 033 0. = x 0 olduğun göre x in değeri nedir? A) 0063 B) 063 C) 63 D) 63 E) 630. 6. b c birer pozitif syı ve b c = = 03 04 05 olduğun göre b c rsındki bğlntılrdn hngisi doğrudur? A) c

Detaylı

Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf

Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf Çevre ve Aln İlköğretim 6. Sınıf Çevre Merhb,ilk olrk seninle birlikte evin çevresini bulmy çlışlım Kırmızı çizgiler evin çevre uzunluğunu verir. Çevre Şimdi sır futbol shsınd Çevre Şimdi,Keloğlnın Pmuk

Detaylı

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - LYS - - - - - - - - FONKSĐYONLAR A ve B oşn frklı iki küme olsun A dn B ye tnımlı f fonksiyonu f : A B ile gösterilir A y tnım kümesi, B ye

Detaylı

Okuyun başarın Okuyun başarın. Okuyun başarın İhtiyaç ile kazanın! Okuyun başarın MATEMATİK

Okuyun başarın Okuyun başarın. Okuyun başarın İhtiyaç ile kazanın! Okuyun başarın MATEMATİK ! SEVGİLİ RKŞLR MTEMTİK 0 KPSS, ÖSYM nin yptığı düzenlemeyle birlikte, testlerdeki konu ve soru dğılımlrının güncellendiği, lışılmışın dışınd bir sınv olcktır. Syısl ve mntıksl muhkeme becerilerini ölçmeye

Detaylı

DRC. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. c m. m m. y Cevap A. Cevap D 21, 25, = = =. 21.

DRC. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. c m. m m. y Cevap A. Cevap D 21, 25, = = =. 21. Deneme - / Mt MATMATİK DNMSİ. - + -. 0,.., f -, 0, p. 0,. c- m.,,. ^- h.. 7. ^- h 7 - ulunur. +. c m olur.. + + ulunur. ( ) c m + c m. cc m m. c m.. ulunur. evp evp. Sekiz smklı herhngi ir özel syı cdefgh

Detaylı

a bir reel (gerçel) sayı ve n bir pozitif tam sayı olsun. 1 dir. n a ye üslü ifade

a bir reel (gerçel) sayı ve n bir pozitif tam sayı olsun. 1 dir. n a ye üslü ifade ÜSLÜ İFADELER A. Tı bir reel (gerçel syı ve bir pozitif t syı olsu.... te olck şekilde, te ı çrpıı ol deir. ye üslü ifde Kurl. sıfırd frklı bir reel syı olk üzere,. 0 0 0 ifdesi tısızdır.. ( R... 0 7..

Detaylı

MATEMATİK.

MATEMATİK. MTEMTİK www.e-ershne.iz. s( \ ) = 6, s( \ ) = 8 tür. kümesinin lt küme syısı ise, kümesinin elemn syısı kçtır?... D. 7 Ynıt:. s( ) =? s( ) = = s( ) = 6 8 s( ) = 6 + + 8 =. Rkmlrı frklı üç smklı üç oğl

Detaylı

7.SINIF: ÇOKGENLER ÇOKGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç veya daha fazla noktanın birleşmesiyle oluşan kapalı geometrik şekillere çokgen denir.

7.SINIF: ÇOKGENLER ÇOKGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç veya daha fazla noktanın birleşmesiyle oluşan kapalı geometrik şekillere çokgen denir. 7.SINIF: ÇOKGNLR oğrusl olmyn üç vey dh fzl noktnın birleşmesiyle oluşn kplı geometrik şekillere çokgen denir. n kenrlı bir çokgenin bir dış çısının ölçüsü 360/n dir. n kenrlı bir çokgenin bir iç çısının

Detaylı

Mobil Test Sonuç Sistemi. Nasıl Kullanılır?

Mobil Test Sonuç Sistemi. Nasıl Kullanılır? Mobil Test Sonuç Sistemi Nsıl ullnılır? Tkdim Sevgili Öğrenciler ve eğerli Öğretmenler, ğitimin temeli okullrd tılır. İyi bir okul eğitiminden geçmemiş birinin hytt bşrılı olmsı beklenemez. Hedefe ulşmks

Detaylı

ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI

ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI ÜÇGN ÇI-NR ĞINTILRI ir üçgende üük çı krşısınd üük kenr, küçük çı krşısınd küçük kenr ulunur. 3 Şekildeki verilere göre, en uzun kenr şğıdkilerden hngisidir? 3 3 üçgeninde, kenrlr rsınd > > ğıntısı vrs,

Detaylı

1000(1,025) t TL ödeyerek bir fon. F t SORU 2 : SORU 1 : Bahar, t=1,3,5. yılların sonunda. Bir yatırım fonu, 0 t 1. için. anlık faiz oranına göre

1000(1,025) t TL ödeyerek bir fon. F t SORU 2 : SORU 1 : Bahar, t=1,3,5. yılların sonunda. Bir yatırım fonu, 0 t 1. için. anlık faiz oranına göre SORU 1 : Bhr, t=1,3,5. yıllrın sonund 1000(1,025) t TL ödeyerek bir fon oluşturmuştur. Üç ylığ dönüştürülebilir nominl iskonto ornı 4/41 olrk verildiğine göre, bu fonun 7. yıl sonundki birikimli değeri,

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

ÜÇGENDE BENZERLİK. Benzerlik. Benzerlik Oranı. Uyarı

ÜÇGENDE BENZERLİK. Benzerlik. Benzerlik Oranı. Uyarı ÜÇN NZRLİK enzerlik eometride benzerlik kvrmı görsel olrk birbiri ile ynı oln şekiller için kullnılır. enzer iki şeklin krşılıklı kenrlrı rsınd sbit bir orn vrdır. iz bu bölümde sdece üçgenler rsındki

Detaylı

BULANIK MANTIK. Gaziosmanpaşa Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Tokat.

BULANIK MANTIK. Gaziosmanpaşa Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Tokat. Nim Çğmn, ncgmn@gop.edu.tr BLNIK MNTIK Gziosmnpş Üniversitesi, Fen Edebiyt Fkültesi, Mtemtik Bölümü, Tokt. Mtemtik deyince ilk kl gelen kesinliktir. Hlbuki günlük hytt konuşmlrımız rsınd belirsizlik içeren,

Detaylı

DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ

DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ A. DENEYĠN AMACI : Direnç devrelerinde eşdeğer direnç ölçümü ypmk. Multimetre ile voltj ve kım ölçümü ypmk. Ohm knununu sit ve prtik devrelerde nlmy çlışmk. B. KULLANILACAK AAÇ VE MALZEMELE : 1. DC güç

Detaylı

2.I. MATRİSLER ve TEMEL İŞLEMLER

2.I. MATRİSLER ve TEMEL İŞLEMLER Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı.I. MTRİSLER ve TEMEL İŞLEMLER Tnım.. Mtris. şğıdki gibi stırlr ve sütunlr biçiminde sırlnmış reel syı tblolrın mtris denir............. n n n... mtrisinin n stırı

Detaylı

İntegralin Uygulamaları

İntegralin Uygulamaları Bölüm İntegrlin Uygulmlrı. Aln f ve g, [, b] rlığındki her x için f(x) g(x) eşitsizliğini sğlyn sürekli fonksiyonlr olmk üzere y = f(x), y = g(x) eğrileri, x = ve x = b düşey doğrulrı rsındki S bölgesini

Detaylı

ORAN ORANTI. Örnek...1 : Örnek...4 : Örnek...2 : Örnek...5 : a 1 2 =2b+1 3 =3c 4. Örnek...6 : Bir karışımda bulunan a, b ve c maddeleri arasında

ORAN ORANTI. Örnek...1 : Örnek...4 : Örnek...2 : Örnek...5 : a 1 2 =2b+1 3 =3c 4. Örnek...6 : Bir karışımda bulunan a, b ve c maddeleri arasında ORAN ORANTI syısının 0 dn frklı oln b syısın ornı :b vey olrk gösterilir. b İki vey dh fzl ornın eşitlenmesiyle oluşn ifdeye orntı denir. b =c d ifdesine ikili orntı denir. Bir orntı orntı sbitine eşitlenerek

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 16 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri = 9, : = 6

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 16 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri = 9, : = 6 Öğrenci Seçme Sınvı (Öss) / 6 Hzirn 00 Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri.,4 0,4,4,4 işleminin sonucu kçtır? A) 0 B) 0, C) 9,9 D) 0, E), Çözüm,4 0,4,4,4 0 99 0 0 40 4 4 40 9,9. 6 : 4. işleminin sonucu kçtır?

Detaylı

63032 / 63932 ELEKTRONİK SICAKLIK KONTROL CİHAZI KULLANIM KILAVUZU

63032 / 63932 ELEKTRONİK SICAKLIK KONTROL CİHAZI KULLANIM KILAVUZU 63032 / 63932 ELEKTRONİK SICAKLIK KONTROL CİHAZI KULLANIM KILAVUZU www.omk.com.tr 01.08.2014 V3185 / V4185 VARİL ISITICISI KULLANIM KILAVUZU OMAK MAKİNA SANAYİİ ve TİCARET LİMİTED ŞİRKETİ DR. MEDİHA ELDEM

Detaylı

6. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI

6. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI 6. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI Öğrenme Alnlrı ve Alt Öğrenme Alnlrı 6.1. Syılr ve İşlemler 6.1.1. Doğl Syılrl İşlemler 6.1.2. Çrpnlr ve Ktlr 6.1.3. Tm Syılr 6.1.4. Kesirlerle İşlemler 6.1.5. Ondlık Gösterim

Detaylı

Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2015-2016 Güz Dönemi

Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2015-2016 Güz Dönemi Andolu Üniversitesi Mühendislik Fkültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Plnlmsı 2015-2016 Güz Dönemi 2 Tesis (fcility) Tesis : Belli bir iş için kurulmuş ypı Tesis etmek :

Detaylı

Cebir Notları. Üslü-Köklü İfadeler Mustafa YAĞCI,

Cebir Notları. Üslü-Köklü İfadeler Mustafa YAĞCI, wwwmustfygcicom, 00 Ceir Notlrı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoocom Üslü-Köklü İfdeler Bzen yeri gelir 00 tne yi çrpmmız gerekir, unu yi 00 kere yzıp çrprk gösterecek hlimiz yok tii ki Dh genel olrk n tne syısının

Detaylı

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI ASAL SAYILAR Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki

Detaylı

BÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a.

BÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a. MTEMTİK BÖLÜM 5 Tşkın, Çetin, bdullyev MTRİS ve DETERMİNNTLR 5 MTRİSLER Tnım : mni,,, j + olmk üzere tüm ij reel syılrdn oluşn m m n n mn tblosun m x n tipinde bir mtrisi denir ve kısc şeklinde gösterilir

Detaylı

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ

LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ LYS / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ Deneme -. A) - - + B) - 7 - + C) 5-5 - 5 +. + m ; + me + > H + D) - 5 - + E) 7- - + Sılrın plrı eşit olduğun göre, pdsı en üük oln sı en küçüktür. Bun göre A seçeneğindeki

Detaylı

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ BÖLÜM : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ (Rndom Vribles Giriş: Bölüm de olsılık fonksionu, denein örneklem uzını oluşurn sonuçlrın erimleri ile belirleniordu. Örneğin; iki zr ıldığınd, P gelen 6 olsı sırlı ikilinin

Detaylı

Komisyon. ALES EŞİT AĞRILIK ve SAYISAL ADAYLARA TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 978-605-364-214-5

Komisyon. ALES EŞİT AĞRILIK ve SAYISAL ADAYLARA TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 978-605-364-214-5 Komisyon LES EŞİT ĞRILIK ve SYISL DYLR TMMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 97-605-36-1-5 Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem kdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem kdemi Yy. Eğt. Dn.

Detaylı

A A A A A TEMEL MATEMAT K TEST. + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 4.

A A A A A TEMEL MATEMAT K TEST. + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki TEMEL MATEMAT K TEST  bölümüne iflaretleyiniz. 4. TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevplyc n z soru sy s 40 t r + u bölümdeki cevplr n z cevp k d ndki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflretleyiniz.. ( + )y + = 0 (b ) + 4y 6 = 0 denklem sisteminin çözüm

Detaylı

JOVO STEFANOVSKİ NAUM CELAKOSKİ. Sekizyıllık İlköğretim

JOVO STEFANOVSKİ NAUM CELAKOSKİ. Sekizyıllık İlköğretim JOVO STEFNOVSKİ NUM CELKOSKİ Sekizyıllık İlköğretim Syın Öğrenci! u kitp, ders proğrmınd öngörülen ders mlzemesini öğrenmek için yrdımcı olcktır. Vektörler, öteleme ve dönme hkkınd yeni ilginç bilgiler

Detaylı

ORAN ORANTI ORAN ORANTI ORANTININ ÖZELLİKLERİ ÖRNEK - 1 TANIM. x ve y tamsayıdır. x y

ORAN ORANTI ORAN ORANTI ORANTININ ÖZELLİKLERİ ÖRNEK - 1 TANIM. x ve y tamsayıdır. x y ORAN ORANTI TANIM Anı irimden iki çokluğun iririle krşılştırılmsın orn denir. ornınd ve nı irimden olduğu için nin irimi oktur. ÖRNEK - 1 ve tmsıdır. = ve + = 0 olduğun göre, kçtır? A) 1 B) C) 0 9 D) 1

Detaylı

2002 ORTA ÖĞRETİM KURUMLARI ÖĞRENCİ SEÇME VE YERLEŞTİRME SINAVI MATEMATİK TESTİ 10. 10 10. aşağıdakilerden hangisidir? A) 0,01 B) 0,1 C) 10 D) 100

2002 ORTA ÖĞRETİM KURUMLARI ÖĞRENCİ SEÇME VE YERLEŞTİRME SINAVI MATEMATİK TESTİ 10. 10 10. aşağıdakilerden hangisidir? A) 0,01 B) 0,1 C) 10 D) 100 22 ORTA ÖĞRETİ URUARI ÖĞRECİ EÇE VE YEREŞTİRE IAVI ATEATİ TETİ 1. 3 2 1 1. 1 1. 1 : işleminin sonucu 7 1. 1 1 şğıdkilerden hngisidir? A),1 B),1 C) 1 D) 1 2. O P R T U V Yukrıdki syı doğrusund birbirine

Detaylı

B - GERĐLĐM TRAFOLARI:

B - GERĐLĐM TRAFOLARI: ve Seg.Korum_Hldun üyükdor onrım süresinin dh uzun olmsı yrıc rnın izole edilmesini gerektirmesi; rızlnmsı hlinde r tdiltını d gerektireilmesi, v. nedenlerle, özel durumlr dışınd tercih edilmezler. - GERĐLĐM

Detaylı

2013 YILI TÜRKİYE RADYO VE TELEVİZYON YAYINCILIĞI SEKTÖR RAPORU

2013 YILI TÜRKİYE RADYO VE TELEVİZYON YAYINCILIĞI SEKTÖR RAPORU 2 0 1 3YI L I R KL AMV Rİ L Rİ YL T ÜRKİ Y RADY OVT L Vİ ZY ONY A YI NCI L I ĞI S KT ÖRRAPORU R A T M R A D Y OT L V İ Z Y O NY A Y I N C I L A R I M S L KB İ R L İ Ğ İ L e y l ks o k kmu r t İ ş Me r

Detaylı

İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ. Balıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi İnşaat Müh. Bölümü Balıkesir, TÜRKİYE THEOREM OF WORK INFLUENCE LINE

İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ. Balıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi İnşaat Müh. Bölümü Balıkesir, TÜRKİYE THEOREM OF WORK INFLUENCE LINE BAÜ Fen Bil. Enst. Dergisi (006).8. İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ Scit OĞUZ, Perihn (Krkulk) EFE Blıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimrlık Fkültesi İnşt Müh. Bölümü Blıkesir, TÜRKİYE ÖZET Bu çlışmd İş Etki Çizgisi

Detaylı

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI EĞİTİM TEKNOLOJİLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ Ölçme Değerlendirme ve Açıköğretim Kurumları Daire Başkanlığı

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI EĞİTİM TEKNOLOJİLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ Ölçme Değerlendirme ve Açıköğretim Kurumları Daire Başkanlığı T.C. MİLLÎ EĞİTİM BKNLIĞI EĞİTİM TEKNOLOJİLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ Ölçme Değerlendirme ve çıköğretim Kurumlrı Dire Bşknlığı KİTPÇIK TÜRÜ T.C. SĞLIK BKNLIĞI PERSONELİNİN UNVN DEĞİŞİKLİĞİ SINVI 43. GRUP: ELEKTRİK

Detaylı

TASLAKTIR. Eratosthenes (Eratosten) Kalburu yardımıyla 100 e kadar olan asal sayılar bulunur.

TASLAKTIR. Eratosthenes (Eratosten) Kalburu yardımıyla 100 e kadar olan asal sayılar bulunur. Mtemtik Dersi Öğretim Progrmı 6. SINIF KAZANIM VE AÇIKLAMALARI M.6.1. SAYILAR VE İŞLEMLER M.6.1.1. Doğl Syılrl İşlemler Terimler: doğl syılr, kuvvet (üs), tbn, üslü ifde Semboller: çrpm işreti:. M.6.1.1.1.

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

KIVIRMA İŞLEMİNİN ŞEKİL ve BOYUTLARI

KIVIRMA İŞLEMİNİN ŞEKİL ve BOYUTLARI 2011 Şut KIVIRMA İŞEMİNİN ŞEKİ ve BOYUTARI Hzırlyn: Adnn YIMAZ AÇINIM DEĞERERİ 50-21 DİKKAT: İyi niyet, ütün dikkt ve çm krşın ynlışlr olilir. Bu nedenle onucu orumluluk verecek ynlışlıklr için, hiçir

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI

ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI ULUSL İLKÖĞRETİM MTEMTİK OLİMPİYTI DENEME SINVI -0 SINVL İLGİLİ UYRILR: * Çoktn seçmeli 0 test sorusundn oluşn sınv süresi 50 dkikdır. * evp kğıdınız, size verilen soru kitpçığının türünü işretlemeyi unutmyınız.

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) 009 - ÖSS / MT- MTEMTİK TESTİ (Mt ). u testte sırsıl, Mtemtik ( 8) Geometri (9 7) nlitik Geometri (8 0) lnlrın it 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için rıln kısmın işretleiniz..

Detaylı

DENEME 6 SAYISAL BÖLÜM ÇÖZÜMLERİ

DENEME 6 SAYISAL BÖLÜM ÇÖZÜMLERİ DENEME 6 SAYISAL BÖLÜM ÇÖZÜMLERİ. 3 3 = ( 3 ) ( 3) > > = 3 3 = 6 6. xy x = 8 xy x = 8 x.(y ) x.(y ) = 8 8 6 y (y ).(y) = 6 y = 6 y=6 y=5. 36. 8 d 8 = 6 d n 0 8 0 = 6 ( ) = 6 5 = 3 00 3. 880 ( 3) 80 0 =

Detaylı

İlişkisel Veri Modeli. İlişkisel Cebir İşlemleri

İlişkisel Veri Modeli. İlişkisel Cebir İşlemleri İlişkisel Veri Modeli İlişkisel Cebir İşlemleri Veri işleme (Mnipultion) işlemleri (İlişkisel Cebir İşlemleri) Seçme (select) işlemi Projeksiyon (project) işlemi Krtezyen çrpım (crtesin product) işlemi

Detaylı