İlköğretim Matematik Öğretmen Adaylarının Model Oluşturma Etkinlikleri Üzerinde Düşünme Süreçleri

Transkript

1 Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri Educational Sciences: Theory & Practice - 12(4) Güz/Autumn Eğitim Danışmanlığı ve Araştırmaları İletişim Hizmetleri Tic. Ltd. Şti. İlköğretim Matematik Öğretmen Adaylarının Model Oluşturma Etkinlikleri Üzerinde Düşünme Süreçleri Ali ERASLAN a Ondokuzmayıs Üniversitesi Öz Son yıllarda artan bir biçimde ilgi görmeye başlayan matematiksel model ve modelleme araştırmalarına paralel olarak bu çalışmanın amacı model oluşturma etkinliği kullanarak ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının modelleme süreçlerini incelemek ve eğer varsa bu süreçte ortaya çıkan güçlük veya engelleri belirleyerek nedenlerini ortaya koymaktır. Araştırma, bir üniversitenin ilköğretim matematik öğretmenliği bölümü son sınıf öğrencilerinden Matematik Öğretiminde Modelleme dersini alan kırk beş öğrenciyi kapsamaktadır. Öğretmen adaylarının dönemin sonunda verilen modelleme sorularına verdikleri cevaplar ışığında seçilen 3 öğrenci ile yapılan grup odaklı görüşmeler sonunda toplanan veriler nitel araştırma teknikleri kullanılarak analiz edilmiştir. Elde edilen sonuçlar öğretmen adaylarının modelleme etkinlikleri üzerinde başarı ile çalışabildiklerini ve bu etkinlikler yardımıyla var olan matematiksel anlayışlarını geliştirebileceklerini gösterirken diğer taraftan süreçte bazı güçlükler yaşadıklarını ortaya koymuştur. Anahtar Kelimeler Model Oluşturma Etkinliği, İlköğretim Matematik Öğretmen Adayları, Matematiksel Modelleme. Son yıllarda matematik eğitimi araştırmalarında matematiksel model ve modelleme çalışmalarının artan bir biçimde ilgi görmesinin temelinde matematik ile gerçek dünya arasındaki ilişkileri ortaya koyma ihtiyacı yatmaktadır (Lesh, Hamilton ve Kaput, 2007). Matematik eğitiminde bireyin öğrenmesi ve matematiğin öğretilmesine yönelik birçok soru ve problem matematiğin gerçek dünya ile ilişkisini etkilemiş ve kendisi de bu ilişkiden aynı şekilde etkilenmiştir (Blum, Galbraith, Henn ve Niss, 2002). Odak noktasını bireyin matematiği gerçek dünya ile ilişkilendirme becerisi üzerine a Dr. Ali ERASLAN Matematik Eğitimi alanında doçenttir. Çalışma alanları arasında model ve modelleme, soyutlama, görselleştirme ve öğretmen eğitimi yer almaktadır. İletişim: Ondokuzmayıs Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, İlköğretim Bölümü, Matematik Eğitimi ABD, Kurupelit Samsun. Elektronik posta: aeraslan@omu. edu.tr, eraslanali@gmail.com Tel: /5811 Fax: oturtan PISA (Program for International Student Assessment) çalışmaları model ve modelleme çalışmalarını özellikle teşvik etmiştir çünkü PISA da ölçülmek istenen şey öğrencilerin matematik okuryazarlığıdır. Bir başka deyişle PISA öğrencilerin matematiğin dünyada oynadığı rolü belirleme ve anlama kapasitesini yani öğrencilerin matematik bilgilerini karşılaşabilecekleri birçok farklı durum ve içerikte fonksiyonel şekilde kullanabilme yeteneğini ölçmektedir (OECD, 1999). Her üç yılda bir yapılan PISA çalışmalarının sonuçlarına paralel olarak bir çok ülkede araştırmacılar okullarında yetişen öğrencilerin okul dışındaki hayatlarında ve ilerideki mesleki yaşamlarında karşılaştıkları gerçek hayat problemlerini çözme noktasında ne kadar hazırlıklı olduklarını sorgulamaya başlamışlardır (Blum, 2002; English, 2006; Mousoulides, 2007). Bunun sonucunda English (2002), Gainsburg (2006) ve Lesh ve Doerr (2003) gibi matematik eğitimcileri okulun ötesinde bir başarı için yeni bir takım anlayış ve yeteneklerin önemini vurgulamaya başlamışlardır; bunlar, (1) inşa etme (oluşturma), tanımlama, açıklama, manipüle etme

2 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ ve sonucu hakkında tahmin gerektiren karmaşık sistemleri anlama yeteneği, (2) planlama, sonucu kontrol etme ve iletişimin kritik öneme sahip olduğu çok basamaklı ve çok bileşenli problemlerle çalışabilme yeteneği ve (3) sürekli gelişme gösteren kavramsal sistemlere hızlı şekilde adapte olabilme yeteneği. Teknolojiye bağlı olarak bilginin her gün yenilenip geliştiği ve bu tür yeteneklerin gerektirdiği durumlarla karşılaşma olasılığının giderek arttığı günümüzde, öğrencilere farklı şekilde yorumlamalarını gerektiren matematiksel durumlarla çalışabilmelerini sağlayacak deneyimlerin kazandırılması ve bu durumlarla ilgili kendi anlayışlarını akranlarıyla paylaşmalarının sağlanması büyük önem taşımaktadır. Bu yetenekleri öğrencilere kazandırmanın bir yolu da çözümü bir matematiksel modelleme içeren model oluşturma etkinliklerinden faydalanmaktır (Blum ve Niss, 1991; English ve Watters, 2005; Lesh ve Doerr). İlköğretim seviyesinde yapılan araştırmalar model oluşturma etkinliklerinin öğrencilerin (a) eleştirel ve üst düzey düşünme becerilerini geliştirmede güçlü bir araç olduğu (English ve Watters, 2005), (b) var olan kavramsal bilgilerindeki eksikliği ortaya çıkarma ve yeni matematiksel bilgileri kazandırmada yeni ve etkili bir öğrenme ortamı sağladığı (Chamberlin, 2004), (c) ortaya çıkan kavramsal sistemleri açıklayabilmek için farklı ve çoklu şekilde temsil kullanımını teşvik ettiği (Boaler, 2001; English ve Watters, 2004; Mousoulides, 2007) ve (d) kendi matematiksel fikir ve anlamalarını paylaşmaları konusunda cesaretlendirerek iletişim becerilerini geliştirdiğini ortaya koymuştur (English, 2006). Diğer taraftan, model oluşturma süreçlerinde öğrenciler problemi anlama, problemi yapılandırma ve basitleştirme, değişkenleri kullanma, değişkenler arasındaki ilişkileri keşfetme, uygun varsayımlar geliştirme, gerçek yaşamla model arasında ilişkiyi sorgulama ve modelin geçerliliğini sağlama aşamalarında zorlandıkları görülmüştür (Blum ve Leib, 2007; Crouch ve Haines, 2007; Maab, 2007; Sol, Gimenez ve Rosich, 2011). Bu süreci öğrencilerin matematiksel düşünme biçimleri, model oluşturma etkinliklerine bakış açısı ve bunlarla ilgili deneyimleri, kendi yaşam tecrübeleri ve matematiğe olan tutumlarının etkilediği ortaya konmuştur (Ferri, 2011; Schoenfeld, 1992). Amerika Birleşik Devletleri, İngiltere, Avustralya, Hollanda, Almanya, İsveç gibi birçok ülke model oluşturma etkinliklerinin kendi matematik programlarında yer alması için projeler yürütmektedirler (Blum ve Niss, 1991; Mousoulides, Sriraman ve Christou, 2007). Benzer şekilde ülkemizde uygulamaya konan yeni ilköğretim matematik programı matematiksel modellemenin altını çizerek vizyonunu yaşamında matematiği gerektiği şekilde kullanabilen, gerçek yaşam durumlarıyla matematik arasındaki ilişkiyi kurabilen, karşılaştığı problemlere farklı çözüm yolları üretebilen, analitik düşünceye sahip, akıl yürütme ve ilişkilendirme gibi becerilere sahip bireyler yetiştirmek olarak yeniden ifade etmiştir (MEB, 2005). Bu tür yeteneklerin gelişimi ise öğrencilerin kendi matematiksel fikir ve süreçlerini oluşturup geliştirmesine olanak tanıyan, genellenebilir ve yeniden kullanılabilir ilişkiler sistemini açıklayıp ortaya koymasını gerektiren modelleme becerilerinin gelişimine bağlıdır (English, 2006). Bu noktada öğrencilerimizi yetiştiren öğretmenlerin günlük derslerinde matematiksel modellemeleri başarılı bir biçimde kullanabilmeleri için sahip olmaları gereken bilgi ve becerilerin neler olduğu ve bu konuda ne kadar yeterli oldukları sorusu ortaya çıkmaktadır. Araştırmacılar, National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000) nin de tavsiyesi doğrultusunda amaçlı etkinlikler ve doğru sorgulamayla matematiksel kavramlar arasındaki ilişkilerin anlama noktasında geliştirilip arttırılmasında modelleme etkinliklerinin bir yol olarak kullanılabileceğini ortaya koymuşlardır. Bu yüzden bu çalışmada model oluşturma etkinlikleri kullanılarak ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının matematiksel model oluşturma süreçlerinin incelenmesi eğer varsa bu süreçte ortaya çıkan güçlük veya engellerin belirlenerek nedenlerinin ortaya konulması amaç edinilmiştir. Kuramsal Çerçeve Matematiksel modelleme öğrencilerin alışık olmadığı durumlarla başa çıkma noktasında esnek ve yaratıcı düşünmelerine imkan tanıyan ve gerçek yaşam problemlerini çözmelerine yardım edip onları hazırlayan etkili bir araçtır (English, 2006; Lesh ve Doerr, 2003). Mousoulides (2007) NCTM nin matematiksel kavramlar arasındaki ilişkileri anlamayı geliştirmek için doğru sorgulama içeren amaçlı etkinliklerin kullanılmasını tavsiye eden önerisini bir basamak ileri götürerek modelleme etkinliklerini eleştirisel düşünme ve matematik okuryazarlığı geliştirmede bir yol olarak kullanılabileceğini ifade etmektedir. Yapılan çalışmalar modelleme etkinlikleriyle çalışan öğrencilerin düşünceyi ortaya çıkaran çok bileşenli karmaşık problemlerin üstesinden başarı ile gelebildiklerini ve var olan anlayışlarını geliştirdiklerini ortaya 2

3 ERASLAN / İlköğretim Matematik Öğretmen Adaylarının Model Oluşturma Etkinlikleri Üzerinde Düşünme Süreçleri koymuştur (English, 2006). Modelleme etkinlikleri özgün içeriklerde öğrencilerin çok değişik yorum ve yöntem kullanmasına ve içsel motivasyonunu geliştirmesine yardım etmektedir (Mousoulides ve ark., 2010). Ayrıca öğrenciler örüntü, ilişki veya kuralları matematikleştirirken açıklama, analiz, oluşturma (inşa etme) ve muhakeme etme gibi önemli üst düzey matematiksel düşünce süreçleriyle meşgul olmaktadırlar (Lesh ve Doerr). Dolayısıyla, matematik öğretiminde uygulanan geleneksel yaklaşımdan farklı olarak modelleme etkinlikleri öğrencilere daha önceki bilgileri üzerinde daha derinlikli düşünüp anlamalarını ve onları yeniden inşa etmelerini sağlarken genellenebilir çözümler üretmelerini teşvik ederek zengin öğrenme fırsatları sunmaktadır (English, 2003, 2006). Lester ve Kehle (2003) matematiksel problem çözme bakış açısını daha da genişletilerek biliş-ötesi (metacognitive) temelinde matematiksel modelleme etkinliği kavramını tanımlamış ve bu çerçevede aşağıdaki İdeal Matematiksel Etkinlik Modelini (Şekil-1) geliştirmiştir. Yazarlar bu şekilde problem çözme sürecinde hesaba katılmayan birçok biliş ve biliş-ötesi eylemlerin dikkate alındığını belirtmişlerdir. Lester ve Kehle ye göre modelleme etkinlikleri geleneksel sözel problemlerin tersine çözmek için daha önceden bilinen bir prosedürün kullanılmadığı, planlama, strateji belirleme, bağlantı kurma ve sonucun test edilmesini gerektiren karmaşık süreçleri içeren ayrıca çıkarımsal ve temsili inşalar oluşturularak yeni anlayış ve keşiflerin ortaya konduğu problem durumlarıdır. Gerçekleştirilen bu etkinlikler şu dört aşamadan oluşan modelleme süreç döngüsü ile açıklanmaktadır: (1) basitleştirme/ probleme indirgeme: gerçekçi ve karmaşık matematiksel durum belli bir problem ortaya koyar. Problemi çözmeye başlamak için problemle ilgili doğrudan süreç ve kavramlar belirlenerek karmaşık yapı basit hale getirilir, (2) soyutlama: matematiksel kavram ve notasyonların seçimi yani gerçek modelin esas özelliklerinin matematiksel sembollerle temsil edilmesi, (3) hesaplama: matematiksel ifadelerin manipüle edilmesi ve bazı matematiksel sonuçların çıkarımını içerir. Bu süreçte kişinin kendi matematiksel bilgi, beceri, muhakeme yeteneği ve deneyimi önemli rol oynar, (4) yorumlama: elde edilen sonuç veya çözümlerin orijinal durum, problem ve matematiksel gösterim ile karşılaştırılması ve yorumlanmasını içerir. Fakat bu karşılaştırma işlemi sadece sonuç bulunduktan veya problem çözüldükten sonra olmaz, sürecin her noktasında ve her zaman olabilir. Şekil 1. Ideal Matematiksel Etkinlik Modeli (Lester ve Kehle, 2003) Yöntem Bu araştırma model oluşturma etkinlikleri kullanılarak ilköğretim matematik öğretmen adaylarının model oluşturma süreçlerinin incelenmesi eğer varsa bu süreçte ortaya çıkan güçlük veya engellerin belirlenerek nedenlerinin ortaya konulması amacıyla yapılmış nitel bir çalışmadır. Araştırmada desen olarak, bir grup veya olayı derinlemesine inceleme ve analiz etme olarak tanımlanan durum (case study) çalışması kullanılmıştır. Bu araştırmada, ele alınan durum, ilköğretim matematik öğretmen adaylarının model oluşturma süreçlerinin belirlenmesidir. Katılımcılar Bu araştırma eğitim-öğretim yılında, Karadeniz bölgesinde bulunan bir üniversitenin, ilköğretim matematik öğretmenliği son sınıf öğrencilerinden güz döneminde Matematik Öğretiminde Modelleme dersini alan 45 öğrenciyi kapsamaktadır. On dört haftalık ders boyunca öğrenciler matematiksel modelleme gerektiren farklı model oluşturma etkinlikleri üzerinde bireysel ve grup olarak çalışmışlardır. Bu süreçte ayrıca öğrencilerin model, modelleme, matematiksel modelleme, model oluşturma etkinliği, bunların öğrenciler ve öğretim açısından faydaları ve sınırlılıkları, model-modelleme bakış açısı ve diğerlerinden farkı gibi konuların tartışılması sağlanmıştır. Öğretmen adaylarının dönemin sonunda verilen modelleme sorularına verdikleri cevaplar ışığında ikisi erkek biri kız üç öğrenci bir odak grup oluşturmak üzere seçilmişlerdir. Gruplar oluşturulmasında amaçlı örnekleme yöntemi içinde yer alan ölçüt örnekleme tekniği kullanılmıştır. Öğrencilerin seçiminde model oluşturma etkinliklerinde başarılı olmalarının yanında daha önce birbiri ile çalışmış, konuşkan, düşüncelerini rahatlıkla ifade eden özgüveni yüksek öğrencilerden oluşmasına dikkat edilmiştir. 3

4 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Veri Toplama Araçları Dönemin sonunda bir sınıf ortamında bir araya getirilen odak gruba model oluşturma etkinliği olarak Takım Sıralama Problemi (Ek-1) verilmiş ve üzerinde çalışmaları istenmiştir. Takım sıralama problemi bir model oluşturma etkinliği olup verilen dataya uygun olarak bir çok gidiş yolu ve bitiş noktasına sahiptir (Lesh, Hoover, Hole, Kelly ve Post, 2000). Model oluşturma etkinlikleri rutin olmayan-karmaşık gerçek dünya durumlarını ifade eden, kişilerden bu durumu matematiksel olarak yorumlamasını ve bu durumdan yararlanacak bireylerin karar vermesine yardım etmek amacıyla süreci veya metodu matematiksel olarak betimlemesi ve formüle etmesini gerektiren, olası farklı çözümler içeren problem durumları olarak tanımlanmaktadır (Lesh ve Zawojewsky, 2007; Mousoulides, 2007). Öğrenciler bu tür etkinliklerde sadece sağlamak zorunda oldukları kriterleri bilirler fakat geliştirmeye veya bulmaya çalıştıkları ürünün doğası yani etkinliğin sonunda nasıl bir şeyle karşılaşacaklarını bilemezler (Lesh ve ark.). Sürecin sonunda onlardan galibiyetmağlubiyet sayılarını kullanarak ilk beş takımı sıralamak için en iyi modeli geliştirmeleri beklenirken ayrıca kendilerini bu çözüme ulaştıran yolu da açık bir şekilde tanımlamak, kanıtlamak ve savunmak durumundadırlar. Bu etkinlikte ana matematiksel düşünce optimum model yani yapılmakta olan işin en iyi çözümünü ortaya koymaktır. Toplam 90 dakika süren odak grup çalışması önce video ile kayıt edilmiş, sonra çözümlenmiş ve öğrencilerin çözümde kullandıkları yazılı dokümanlarla beraber nitel olarak analiz edilmiştir. Odak grup çalışmasında amaç, bireysel görüşmelerde akla gelmeyecek bazı konular grup görüşmelerinde diğer bireylerin açıklamaları çerçevesinde akla gelebilmekte ve ek yorumlara neden olabilmektedir. Ayrıca, görüşmeden önce öğrencilere yapılan çalışma hakkında bilgi verilmiş, gerçek isimlerinin gizli tutulacağı belirtilmiş ve matematik eğitiminde yeni bir bakış açısı getiren model ve modellemenin onların çözüm yolları ve görüşleri doğrultusunda geliştirilip düzenleneceği belirtilerek ortaya koyacakları performansın önemi vurgulanmıştır. Verilerin Çözümlenmesi Odak grup çalışmasında yer alan öğretmen adaylarının Takım Sıralama Problemini çözerken geliştirdikleri matematiksel düşünceler ve ortaya koydukları yazılı cevapları Lester ve Kehle nin (2003) ideal matematiksel etkinlik modelinin süreçleri göz önüne alınarak analiz edilmiştir. Bu süreçte özellikle öğrenciler tarafından geliştirilen modeller ve bu modeli oluşturan her türlü temsil ve gösterimler dikkate alınmıştır. Ayrıca yapılan çalışmanın iç güvenirliğini veya tutarlığını arttırmak için ortaya konan modelleme süreçleri olduğu gibi doğrudan alıntılar yoluyla sunulurken yapılan yorumlar bu konuda oldukça deneyimi bulunan araştırmacının dışında aynı üniversitede görev yapan eğitim doktorasına sahip nitel araştırma konusunda deneyimli iki çalışma arkadaşı tarafından ayrı ayrı incelenmiş ve modelleme süreçleri üzerinde tam bir mutabakat sağlanmıştır. Araştırmanın aktarılabilirliğini artırmak için araştırma süreci ve bu süreçte yapılanlar araştırmanın deseni, katılımcılar, veri toplama aracı, veri toplama süreci, verilerin çözümlenmesi ve yorumlanması ayrıntılı bir biçimde tanımlanmıştır. Bulgular Odak grup çalışmasında yer alan öğrencilerin matematiksel düşünce ve yazılı işlem yoluyla ortaya koydukları model oluşturma süreçleri meydana geldiği sırada aşağıda sunulmuştur. Grup içinde yer alan erkek öğrencilere gerçek olmayan Arda ve Burak kız öğrenciye ise Ceren ismi verilmiştir. Modelleme Süreçleri Öğretmen adayları öncelikle basit kriterler kullanarak takımları sıralamışlardır. Örneğin, grafik üzerinde en yukarıda bulunan takımları (A, B ve G ) en çok galibiyet alan takımlar olarak; en sağdakileri ise (J, D ve H) en çok mağlubiyet alan takımlar olarak belirlemişlerdir. Daha sonra öğretmen adaylarından Arda grafik üzerinde harf olarak verilen 12 takımın galibiyet ve mağlubiyetlerini belirlemek için koordinat eksenlerini eşit birimlere ayırmak suretiyle numaralandırma yoluna gitmiştir (Şekil-2). Bu süreçte numaralandırma işleminin sayısal olarak mı yoksa harfle mi yapılması gerektiği grup içinde aşağıdaki şekilde tartışılmıştır: ARDA: Ben şöyle düşündüm. Şunlar şöyle sanki böyle bir sıraya göre CEREN: Hiza gibi duruyor ( başıyla onaylayarak) ARDA: Öyle düşündüm. Dedim ki 1,2,3 diye böyle numaralandıralım. Sonuçta grafik. Galibiyeti de aynı şekilde yaparsın, zaten 1 den 9 a kadar geliyor. O zaman B en fazla galibiyeti almış oluyor, 9 galibiyetle. BURAK: Onları da 1, 2, 3 diye numaralandırmak yerine ben de A, B, C, D diye 4

5 ERASLAN / İlköğretim Matematik Öğretmen Adaylarının Model Oluşturma Etkinlikleri Üzerinde Düşünme Süreçleri numaralandırmayı düşündüm. Hani tam aralıklarını bilmiyoruz ya oranların. ARDA: Sayısı diyor ya. CEREN: Hiçbir şeyi numaralandırmasak, sadece biraz fazla gibi, soyut kalır sadece. BURAK: Şurda zaten galibiyet sütununa baktığımızda en fazla B galip gelmiş. ARDA: Şey sıkıntı olur ama şimdi birinci ikinci tamam da o zaman diyor ya sıralama yapcaz orda sıkıntı olur. Mesela B benim hesabıma göre 12 maç yaptı. Ee, D 10 maç yaptı. Şimdi bu 12 maçta 3 tane mağlubiyet almış. Bu 10 maçta bu da 6 tane mağlubiyet almış. Başkada hangisi olabilir. F ye bakim. Bu da 6 ya 3; 9 maç yapmış. 6 sını kazanmış. 3 mağlubiyeti var. Yani burada puanlayarak sıralamasını oluşturabiliriz diye düşünüyorum. CEREN: Bu aralıkları kesin bilmiyoruz ama. BURAK: Evet. CEREN: Hani belki A iki aşağısında da olabilir. BURAK: İşte, bende o yüzden A, B, C, D desek, sonra bunları sıralarken, mesela şuraya A dediğimizi düşünürsek, şu da B. B büyük A dan. Yani toplanmış hesabı yaparsak. ARDA: Ama o fark etmez ki sonuçta aynı aralıklarla devam ediyorum ya. Şekil 2. Numaralandırılmış Grafik Tablo Şekil 3. Model İçin Oluşturulan Tablo Yukarıdaki açıklamalar gösteriyor ki her bir öğrenci kendi anlayışını grup ortamına getirirken tartışmanın sonunda grup üyeleri birbirlerinin görüş ve yorumları karşısında ortak bir uzlaşıya ulaşmışlardır. Burada öğrenciler problemi anlamaya, genel durumu açıklamaya ve daha basit hale getirmeye çalışmaktadırlar. Bu ilk modelleme denemesinde öğrenciler öncelikle grafiği numaralandırma yoluna gitmişlerdir. Daha sonra numaralandırılmış grafik üzerinde galibiyet ve mağlubiyetler belirlendikten sonra her bir takımın oynadığı toplam maç sayısını göz önünde bulundurarak beraberliğin olup olmaması durumunu karara bağlamışlardır: BURAK: Hım. Araya yuvarlak çember. 7, 8, 9 desen. B, 9 galibiyet 3 beraberlik almış. 12 yapıyor. ARDA: 12 maç yapmış. BURAK: A, 8 galibiyet, 1 mağlubiyet almış. 9 maç yapıyor. Burada kesinlikle şey var o zaman. ARDA: Beraberlik. BURAK: Beraberlik durumu var. ARDA: Normalde 12 takımlık bir ligde her biri birbiriyle ikişer kez oynasa ne oluyo? 20 mi maç mı oluyor? CEREN: Ha onu bilmiyorum. Bir kere de oynayabilir. ARDA: Bir kere oynarsa BURAK: Bir futbol liginde diyor. Mesela futbol liginde 5

6 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ ARDA: Bir kere oynarsa olmaz zaten. B çürüttü. 9 a 3; 12. Kendisini çıkarırsın 11 maç yapar. BURAK: Evet, doğru. Ya bide mesela şu problemde hani bir turnuva demiyor. Futbol ligi diyor. CEREN: O zaman, ARDA: O zaman 22 maç oluyor. CEREN: 22 maç oluyor. BURAK:22 maç olcak o zaman. Tamam, 22 maç olduğunu varsayalım. 22 maç. Şimdi verilerimize bu simetri yazdığımız bu simetri uyuyor mu? 5, 6. Şimdi şöyle baksak. CEREN: Zaten K dan da bir. K hem en az galibiyeti almış, hem en az mağlubiyeti almış. BURAK: 2, 2 maç sayalım. CEREN: Evet. Demek ki gerisi berabere. Eşit sayıda maç yaptıysa. Ben bir bir demedim ama. O zaman K ya göre beraberlik var. BURAK: Onu nerden çıkardın? CEREN: Tabi ki eşit sayıda maç yaptıysa herkes. Herkes eşit sayıda maç yaptıysa, K en az galibiyeti almış, en az mağlubiyeti de almış. Bu adamın diğer maçları ne oldu o zaman? BURAK: Doğru. CEREN: Berabere demek ki. Eşit sayıda maç yaptığı varsayımı altında. ARDA: Ya şimdi şimdi şeyde var hani. Şimdi K o zaman bizim tahminimize göre bu sayılar varsayım 2 maç yapmış oldu. BURAK: Tamam. ARDA: Ama B ye bakıyoruz 12 maç yapmış. BURAK: 12, ARDA: Bu maçları işte birkaç defa J ile yaptı veya F ile yaptığını diye yorumlamamız o zaman olasılığa karışır. Demek ki beraberlik var. Onda hem fikiriz. CEREN: Beraberlik var. Yukarıdaki alıntılar gösteriyor ki öğrenciler gerek A ve B takımının toplam maç sayıları (sırasıyla 9 ve 12) gerekse K nin toplam maç sayısı (2 maç) göz önünde bulundurarak her bir takımın diğer takımlarla birden fazla maç yapması ve bu oynanan maçlar arasında beraberliklerin olması gerektiği sonucuna ulaşılmıştır. Dolayısıyla öğrencilerin bu ilk modeli her bir takımın diğer takımlarla birden fazla maç yapması ve bu oynanan maçlar arasında beraberliklerin olması gerektiği varsayımları üzerine kurulmuştur. Bir başka deyişle oluşturulacak modelde yer alacak ana değişkenleri belirlemişlerdir. Daha sonra günümüzdeki futbol ligleri düşünülerek toplam 12 takımın eşit sayıda ve kendisi hariç diğer on bir takımla toplam 22 maç yapması gerekliliği vurgulanarak gerçek duruma uygun bir model oluşturma yolunda önemli bir adım atmışlardır. Gruptaki öğrenciler bu esnada verilen grafikten yararlanmışlar ve takımların eşit ve 22 maç yaptığı varsayımından hareketle her bir takım için galibiyet, mağlubiyet ve beraberlik sayılarını hesaplayarak bir tablo oluşturmuşlardır (Şekil-3). Daha sonra öğretmen adayları sıralamayı oluşturmak için galibiyet, mağlubiyet ve beraberlik için bir puanlandırma ölçeği geliştirmeye çalışmışlardır. Bir başka deyişle, değişkenleri uygulanabilir bir matematiksel formül içinde göstermeye veya ifade etmeye çalışmaktadırlar. Bunun için ilk önce galibiyete 3, mağlubiyete 0 ve beraberliğe 1 puan vererek (G3-M0-B1) her bir takımın aldığı toplam puanı hesaplamışlardır. Bu aşamada öğrenciler oluşturdukları model üzerinde matematiksel işlemler yaparak elde ettikleri sonuçları önce toplamış sonra büyükten küçüğe doğru sıralamışlardır. Fakat bu süreçte elde edilen sonuçlar karşılaştırıldığında problemde yer alan takımlardan A ve B nin eşit ve 37 puan aldıklarını dolayısıyla kullanılan bu modelin kendilerinden istenen ilk beş takımı sıralamada yetersiz kaldığını tespit etmişlerdir. Bunun üzerine öğrenciler A ve B takımları arasındaki eşitliği bozmak için tekrar oluşturulan modele dönüp galibiyete 2, mağlubiyete 0 ve beraberliğe 1 puan vererek (G2-M0-B1) yeniden takımların puanlarını hesaplamışlardır. Yeni durumda A takımı 27, B takımı 28 puan toplamına ulaşarak sıralamadaki eşitlik bozulurken Burak bu ikinci modelde uygulanan mağlubiyete sıfır verilmesine karşı çıkarak şu şekilde bir tartışma başlatmıştır: BURAK: Bak aslında şöyle bir şey var. Arda nın dediği haklı. Niye biliyor musunuz? Şimdi bak. 3 e 1, 3 e 2 ya da 2 ye 1 vermemiz şey yapmıyor. Tamam 2 ye 1 verdiğimizde 28 ve 29 oluyor ama biz buna [mağlubiyete] sıfır vermekle direk bunları yok saydık zaten, mağlubiyet şeylerini. Tabloyu kendimiz oluşturduğumuz için, bu tabloya bakarak analiz yaptığımız için bu 6

7 ERASLAN / İlköğretim Matematik Öğretmen Adaylarının Model Oluşturma Etkinlikleri Üzerinde Düşünme Süreçleri verileri yok saymamamız lazım diye düşünüyorum. ARDA: Tamam. BURAK: Senin dediğin haklı yani 0 vermeyelim. CEREN: 1 verelim. ARDA: Tamam bir de öyle hesaplayalım. BURAK: Yani şöyle mi? 3 CEREN: Bence biz bir metot geliştirmemiz lazım yani birinci, ikinciyi bulmamız için. BURAK: Yani 3, 2, 1 diyelim. ARDA: Tamam. Yukarıda ifade edildiği gibi öğrenciler ilk olarak mağlubiyete sıfır verilmesi durumunda önemli miktarda bir verinin değerlendirme dışı kalacağının altını çizerek bu ikinci modelden vazgeçmiş ve sonra her üçünün de hem fikir olduğu puanlandırma ölçeği üzerinde sadece mağlubiyete verilen puanı değiştirmek suretiyle yani galibiyete 3, mağlubiyete 1 ve beraberliğe 2 puan vererek (G3-M1-B2) takımların puanlarını tekrar hesaplama yoluna gitmişlerdir. Fakat bu yeni puanlandırma biçiminde de bu kez takımlardan G ve I 48 şer puanla aynı sırada yer almış ve dolayısıyla puanlandırma ölçeği üzerinde geliştirilen bu yeni modelinde uygun ve yeterli olmadığı ortaya çıkmıştır. Bu noktada öğretmen adayları koordinat eksenleri üzerinde yapılan numaralandırma işlemine geri dönerek kendi kendilerini aşağıdaki şekilde yeniden sorgulamışlardır: ARDA: Bu aralıklar eşittir, neden? Yarım galibiyet ya da 1 buçuk galibiyet farkı olamaz. CEREN: Yani 2, 4, 6 nın; 1, 2, 3 ün. ARDA: Fark eder mi? CEREN: Ya eşit. Evet, eşit aralıklı oluyor her türlü. ARDA: Bu mesela, şurada bir boşluk var mesela, A ile F grubunun arasında. Buraya mesela bir takım gelebilir. BURAK: Şuraya bir çember sığıyor. ARDA: Şuraya bir takım gelebilir. burda şuraya geldiğimizde, şurada şuradaydı sanırım. Yok, alt tarafta ha 5 te sıkıntı var. E ile H grubu arasında Şuraya da bir takım gelebilir. Sonuçta bu galibiyet ya da mağlubiyet olduğu için buçuklu ya da oranlı bir ihtimal yok. 2 de alsak, 4 te alsak, 5 te alsak BURAK: Ya zaten 2, 4, 6 da alsak 2 parantezine aldığında; 1, 2, 3 diye gidecek. Yukarıdaki alıntılar öğrencilerin matematiksel durum ile gerçek durum arasında karşılaştırma yaparak incelediğini ve bu iki durumu uzlaştırmaya veya ortak bir noktada buluşturmaya çalıştıklarını göstermektedir. Bu noktada öğretmen adayları daha önce almış oldukları kararın doğruluğunu onayladıktan sonra en son model üzerinde puanları eşit olan G ile I takımları arasındaki eşitliği bozmak için atılan gol sayıları belli olmadığından averaj durumuna bakamayacakları dile getirilmiş ve devamında Arda nın galibiyet sayısı fazla olan takımın [G nin 8 galibiyeti, I nin 5 galibiyeti vardır] daha fazla gol atması gerektiği görüşünü dile getirerek oluşturulan modeli geliştirmek adına yeni bir değişken tanımlamış ve bu durum grup içinde şu şekilde tartışılmıştır: BURAK: Galip geldikleri maçlarda. Biri 1-0 galip gelmiştir, 5 galibiyet alan 5-0 galip gelmiştir. ARDA: Bak şimdi bu 8 galibiyet alan adam, diğerinden daha iyidir; çünkü aynı ligdeler ve o daha fazla takımı yenmiş. CEREN: Ee? ARDA: Şimdi Burak diyor ki belki 8 galibiyet alan belki her maç 1-0, 1-0 almış olabilir. CEREN: Evet olabilir. ARDA: Olabilir. Ama 5-0, 4-0 gol atan bir takım bir maçta neden daha az galibiyet alsın ki? CEREN: Evet, olabilir. ARDA: 5-0, 4-0 atan bir takım neden daha az galibiyet alsın. CEREN: Ama olabilir ki. BURAK: Evet, olabilir. Şimdi gerçek hayat uyarlayalım diyorsun olabilir ki gerçek hayatta. Ya olabilir gerçek hayatta. ARDA: Olabilir. BURAK: Olabilir niye olmasın ki gerçek hayatta? ARDA: Bence olamaz ya. Eğer bir takım bu kadar iyiyse, bu kadar fazla gol atabiliyorsa bir maçta 5 ten fazla galibiyet alması lazım. Sonuçta bu ilk 4 te dediğimiz bir takım. Değil mi? CEREN: Ya onu söyleyemeyiz ama bu iyi takımdır diye daha fazla gol atmıştır. 7

8 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Yukarda ifade edildiği gibi Arda nın önerisi gerçek hayatla karşılaştırılmış, olası farklı durumlar tartışılmış ve galibiyet sayısı fazla olan takımın her zaman daha fazla gol atması gerekmediği durumlar ortaya konarak geliştirilen bu yeni modelin G ve I takımları arasındaki eşitliği bozmada yeterli olmadığı ortaya konulmuştur. Bu önerinin kabul görmemesi üzerine grup puanlandırma ölçeği üzerine kurulan modele geri dönmüş ve Arda nın galibiyete 4, mağlubiyete 2 ve beraberliğe 3 puan (G4-M2-B3) vermeyi içeren yeni puanlandırma sistemi denenmiş fakat bu yeni durumda da G ile I arasındaki eşitlik bozulmamış ve her iki takım 70 puan alarak yine aynı sırada yer almışlardır. Bundan sonraki süreçte tüm takımları sıralayabilecekleri daha uygun bir sistem oluşturmak amacıyla Ceren in rakam kullanmaksızın grafiğin işaretlenmesi ve Burak ın mağlubiyete negatif puan verilmesi gibi iki yeni model geliştirme önerisi de tartışılmış ve sonucu değiştirmeyeceği gerekçesiyle dikkate alınmamıştır. Ardından Burak ın farklı puanlandırmayı amaçlayan galibiyete 4, mağlubiyete 1 ve beraberliğe 3 puan (G4-M1-B3) veren yeni önerisi de B ve I nin aynı 69 puan almasıyla bir sonuca ulaşamayınca grup üyeleri uyguladıkları puanlandırma ölçek modelini sorgulamaya başlamışlardır: BURAK: Bunlara öyle bir puanlama sistemi yapmalıyız ki. Ve tamam puanlama sistemine takılmasak başka nasıl bir sıralama yaparız. ARDA: Başka bir sisteme göre de ezbere gidiyormuş gibi olur. CEREN: Puanlama olmadan Baksana benim yazdıklarıma göre çıkmıyor. BURAK: Galibiyet mağlubiyetlere göre sıralasak. En fazla galibiyet alan B. CEREN: O zaman olmaz ki. Beraberlikler ne olacak? ARDA: O zaman eşit sayıda tabloya göre herkes eşit sayıda maç yapmış olmuyor. Yani ondan dolayı bence ona göre değerlendiremeyiz Çünkü bunu [K yi göstererek] 2 maç üzerinden değerlendireceğiz, B yi 12 maç üzerinden değerlendireceğiz. Yukarıdaki alıntılar bir sonuç üretebilmek amacıyla öğrencilerin matematiksel durum ile gerçek durum arasında uzlaştırma çabalarının devamını göstermektedir. Bu süreçte Puanlama sistemi takımları sıralamada etkili bir model sunmamasına rağmen grup üyeleri bu modelde ısrarcı olurken diğer taraftan kendilerini sonuca götürecek alternatif bir model geliştirme noktasında zorlanmaktadırlar. Burada puanlama sistemi üzerinde beraberlikleri hesaba katmadan sadece galibiyet ve mağlubiyete göre yapılacak bir sıralamanın anlamlı olmayacağı ifade edilirken yine Ceren in beraberlik durumlarını göz ardı ederek ortaya attığı toplam galibiyet ve toplam mağlubiyet sayılarının eşit olması gerektiğine dikkat çeken yeni önerisi şu şekilde tartışılmıştır: CEREN: Hayır ben şunu diyorum mesela biz şimdi bu grafikteki eşit aralıklı bir şey aldık ya. ARDA: Hı,hı. CEREN: Hani tam olarak bilmiyoruz aslında ama kabul ettik. Şimdi bu mağlubiyetlerinin ve galibiyetlerin sayısına baktığımız zaman mesela 8 galibiyet varsa, karşıdan birileri 8 kez yenildi. ARDA: Tamam. CEREN: Hani bu sayıların birbirini sağlaması lazım. Biz gerçekten doğru rakamlar mı yazdık oraya. ARDA: O zaman toplayalım onu. CEREN: Hı. Evet. ARDA: Şu aradaki farkı mesela kaç birim olduğunu o zaman oradan çıkartalım. CEREN: Hı, evet onu demek istiyorum. Bu yanıltıcı bir durum olabilir. ARDA: Ama mağlubiyeti de ona göre aldık. Şimdi mağlubiyette de bir boşluk var, galibiyette de bir boşluk var. Ve biz ikisini de birer birim olarak aldık. CEREN: Evet ikisini de baştan öyle kabul ettik zaten. Ben acaba doğru bir doğru bir şey mi yaptık? Onu kontrol ediyorum. ARDA: Ha, yani iki bölüm içinde yaptık ya. Çünkü galibiyet bir küme, mağlubiyet bir küme. BURAK: Şöyle yapalım. ARDA: İkisi içinde aynı şeyi yaptık, BURAK: Bak, bizim mağlubiyetlerin sayısı galibiyetlerden az görünüyor öyle değil mi, burada? CEREN: Evet. BURAK: Şöyle yapsak o zaman. Onların arası, şunları birer birim aldık ya, ARDA: Tamam. 8

9 ERASLAN / İlköğretim Matematik Öğretmen Adaylarının Model Oluşturma Etkinlikleri Üzerinde Düşünme Süreçleri BURAK: Bunları simetrik düşündük. Galibiyet çizgisini birer birer aldık. Mağlubiyet çizgisini ikişer ikişer alsak. Yani 2, 4. CEREN: Bak burada toplam 61 tane galibiyet var bu şekilde. Ama toplamda 12, 16, 19, 23, 29, 30, 36, 41 tane mağlubiyet var. BURAK: Tamam, şöyle yapalım. ARDA: 63 e 41. CEREN: Evet. ARDA: 22 şey CEREN: Açık var. Birileri yenmiş ama birileri yenilmemiş yani. BURAK: Evet. CEREN: Bu rakamlar olmuyor. ARDA: Ama biz şey yapsak, hani burayı diyelim ki 1 aldık, tamam burayı 2 ile başlatalım. Bu sefer beraberlikler gidecek. Yukarıdaki alıntılar gösteriyor ki grup üyeleri numaralandırarak basit hale getirdikleri ilk grafiğe tekrar dönüp var olan durumu yeniden gözden geçirmektedirler. Bu süreçte öncelikle verilen grafikteki boşlukların nasıl doldurulması gerektiği tekrar tartışılmış daha sonra uygulanacak farklı numaralandırmanın hem galibiyeti hem de mağlubiyeti aynı şekilde etkileyeceği kabul edilerek grafik üzerinde herhangi bir değişikliğe gitmemişlerdir. Grafik üzerinde yapılan hesaplamalar sonucunda elde edilen toplam galibiyet [63] ve toplam mağlubiyet [41] farkının ortadan kaldırmak amacıyla grafiğin farklı şekilde numaralandırılması durumunda beraberliğin bu durumdan etkileneceği ifade edilerek bu öneriden de vazgeçilmiş ve model oluşturma gayretleri durma noktasına gelmiştir. Kısa bir sessizliğin ardından Ceren tekrar grafiğe dönerek, Ya adım adım kıyaslayarak gidelim o zaman. Yani tek harfleri kıyaslayalım. Mesela A, B den fazla gibi şeklindeki açıklaması öğretmen adayları arasında aşağıdaki şekilde yeni bir tartışma başlatmıştır: CEREN: Ya aslında şöyle gitsek. Mesela A, I ve K nın mağlubiyetleri eşit ya böyle ya da mesela şunların da galibiyetleri eşit[a ile G], şunların da [B ile F] yine mağlubiyetleri eşit. Bunların arasında kıyaslayarak yapsak. ARDA: Tamam, bunlar arasında CEREN: Bir şeyleri eşit olanları en azından birbirleri arasında sıralasak. BURAK: Beraberlikler diyor. ARDA: Ama o zaman diğerlerine geçiş yapamayız ki. Mesela F ile I yı nasıl kıyaslayacağız? CEREN: Ya zaten şunların -Burak için diyorum- şunların mağlubiyetleri eşitse ve galibiyetleri farklıysa oradan zaten beraberlikleri çıkartabiliriz. Hani o bundan daha çok berabere kalmış diye. BURAK: Doğru. CEREN: Ya eşit sayıda maç yaptığımızı düşündüğümüzde BURAK: Doğru. Tamam. Bak şu CEREN: Ya onu çıkartabiliriz de ya dediğin gibi kıyaslayabilir miyiz? Onu şu anda bilemiyorum. Mesela A, I, K en az mağlup olmuş olanlar. Ya A nın K arasında kıyasladığımızda zaten en az mağlup olmuş A en fazla galibiyet almıştır. BURAK: Mağlubiyetleri eşit, A nın galibiyeti en fazlaysa beraberliği en azdır. Beraberlikte şöyle şu bu şekilde artıyor. CEREN: Yine buraya eşit aralıklı alabiliriz. Yani şu şuradaki eşit aralıklı hizalayabiliriz. BURAK: Tamam o zaman A, I, K diye sıralıyorsun. Yani A büyük, K büyük yok, I büyük, K şeklinde sıralıyorsun değil mi? Hı? CEREN: Şöyle çizeyim ben. Hı. Peki, şunları da yazdım. BURAK: Şuraya geldim. A ile G nin galibiyetleri eşit. CEREN: G daha çok mağlup olmuş. BURAK: G daha çok mağlup olmuş. O zaman G nin beraberliği de azdır. Ha o zaman burada A nın puanı G den fazla di mi? ARDA: Evet. BURAK: Onu da yazalım. ARDA: Daha az beraberliği var. BURAK: G den fazla. Sonra, şuraya bakalım. Tamam mı? Mağlubiyetler eşit, G nin galibiyeti fazla. O zaman G, L, E olacak. Bak şu geldi. A büyük G idi. G büyük L. G, L, E. Hani bir üçgenin kenarlarını karşılaştırırken bir üçgenden bir üçgene geçiyorsun ya, hani onu yapmaya çalışıyorum. CEREN: Onu yaptın. BURAK: Anladın mı? Şimdi bak işte E de 9

10 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ takılı. Bak, E den sonra şurdan bir noktada gitmiyor. ARDA: Zaten şurdan şuraya geçemez ki BURAK: Ha, ordan oraya geçmedim. Şöyle yaptım. A ile ARDA: Hepsi kendi içerisinde farklı eşitsizlikler oluyor. BURAK: Bir dakika! B, F yapsam, bunu yapsam, bunu yapsam Öğretmen adayları galibiyet, mağlubiyet ve beraberlik üzerine kurulan model üzerinde puanlandırma sistemini değiştirerek takımlar arasındaki puan eşitliği bozmayı uzun süre deneyip başarısız olduktan sonra başa dönüp yeni her takımın eşit sayıda maç yapmadıkları varsayımı üzerinde aynı sayıda mağlubiyeti olan takımlar (A- I -K ile B - F) ile aynı sayıda galibiyeti olan takımlar (A- G ile F- L -J ) arasında ikişer ikişer karşılaştırma yaparak sıralamışlar ve sonucu A, B, G, I ve F olarak belirleyerek modelleme etkinliğini tamamlanmışlardır. Tartışma ve Sonuç Öğretmen adaylarından oluşturulan grup takım sıralama problemi üzerindeki model oluşturma süreçlerini üç ana döngü üzerinde gerçekleştirmiştir. Öncelikle takımların grafikte bulundukları yerleri göz önünde bulundurarak basit bir biçimde takımları sıralamışlardır. İkinci aşamada karmaşık ve çok bileşenli bir matematiksel model oluşturarak Boaler (2001), English ve Watters (2004) ve Mousoulides in (2007) çalışmalarında olduğu gibi model üzerinde çok sayıda hesaplama, ilişkilendirme, tablolaştırma ve sıralama işlemlerini başarıyla gerçekleştirmişlerdir. Son olarak oluşturulan model üzerinde değişken sayısı azaltılmak suretiyle daha basit bir model üzerinde sonuca gitme yolunu tercih etmişlerdir. Birinci aşamada öğrenciler grafik üzerinde en yukarıda bulunan takımları en çok galibiyeti olan en sağdakileri ise en çok mağlubiyet olan takımlar olarak belirlemişlerdir. Bu süreçte grup sadece galibiyet ve mağlubiyet eksenlerini dikkate alarak sistematik olmayan sınırlı bir matematiksel düşünce ortaya koymuş yani verilen grafikten yeterli derecede yararlanamamışlardır. İkinci aşamada grup üyeleri grafik üzerinde galibiyet ve mağlubiyet eksenlerini eşit birimlere ayırarak numaralandırdıktan sonra ilk modellerini her bir takımın diğer takımlarla birden fazla maç yapması ve bu oynanan maçlar arasında beraberliklerin olması gerektiği varsayımları üzerine kurmuşlardır. Sonra gerçek futbol ligleri göz önünde bulundurularak toplam maç sayısı ve buna bağlı galibiyet, mağlubiyet ve beraberlik sayıları tespit edilerek tablolaştırılmıştır. Devamında sıralamayı oluşturmak için gerçek duruma uygun galibiyet, mağlubiyet ve beraberliklerin her birine farklı bir puan vermeyi esas alan bir puanlandırma ölçek modeli geliştirmişlerdir. Bulunan bu modelin takımları sıralamada yetersiz kalması üzerine grup üyeleri bu modelin uygun olup olmadığını sorgulayıp tartışmış ve modeli geliştirmek adına beş kez puanlandırma sistemini değiştirmiş olmalarına rağmen bazı takımların eşit puanla aynı sırada yer almalarını engelleyememişlerdir. Bu süreçte oluşturulan model takımları sıralamada etkili bir yöntem sunmazken grup üyeleri gerek var olan modeli geliştirme gerekse alternatif bir model geliştirme noktasında güçlükle karşılaşmışlardır. En son aşamada öğretmen adayları bir sonuca ulaşabilmek amacıyla en başa dönmüş ve grafik üzerinde aynı sayıda mağlubiyeti olan takımlar ile aynı sayıda galibiyeti olanlar arasında ikişer ikişer karşılaştırma yaparak daha az karmaşık ve sınırlı bir modelle etkinliği tamamlanmışlardır. Tüm bu süreçte English ve Watters in (2005) çalışmasında olduğu gibi verilenlerden sonuca ulaşana kadar grup üyeleri modelleme etkinliği üzerinde doğrusal olmayan ve sürekli geri dönüp var olan durumun gözden geçirildiği bir çok biliş ve bilişötesi düşünme süreçlerin içinde yer almışlardır. Öğrenciler sonuca ulaşıncaya kadar bir çok fikri ortaya atıp tartışmışlar, çeşitli varsayımlar üzerinde çözümlerini test etmişler ve sonuçlarını gerçek durumlarla karşılaştırıp bunların uygun olup olmadığına karar vermişlerdir (English, 2006). Bir başka deyişle, açık-uçlu modelleme etkinliği olan takım sıralama problemi öğrencilerin araştırmasına, keşfetmesine, derinlikli düşünmesine, matematiksel fikirlerini ortaya koyup geliştirmesine ve düzenlemesine imkan tanırken Chamberlin nin (2004) çalışmasında da vurgulandığı gibi öğrencilere yeni bir öğrenme ortamı yaratmıştır. Burada ortaya konan matematik sadece verilen etkinliğin sağladığı bir durumdan ziyade öğrenciler ile modelleme etkinliği arasındaki etkileşimin sonucu olarak ortaya çıkmış yani verilenlerle çözüm arasında bağlantıyı kuran yolun oluşturulması için gereken matematiksel fikirlerin öğrenciler tarafından belirlenmesi ve bunların yorumlanmasını gerekli kılmıştır. Model oluşturma etkinliklerini gerektiren problemlerin diğer problemlerden en büyük farkı verilenlerin diğer problemlerde olduğu gibi kesin ve net olmamasıdır. Problemi çözen kişilerden istenen bu eksikliklere rağmen problemin çözümü 10

11 ERASLAN / İlköğretim Matematik Öğretmen Adaylarının Model Oluşturma Etkinlikleri Üzerinde Düşünme Süreçleri için bir matematiksel model oluşturması ve bu modelin hem gerçek probleme hem de buna benzer problemlere uygulanabilir olmasıdır. Öğrenciler ilk başta bu veri eksikliğinden dolayı çözümde kullanılacak değişkenleri belirleme ve bunlar üzerinde varsayımları oluşturmada zorlanmışlardır. Bu Blum ve Leib (2007) ile Crouch ve Haines in (2007) çalışmalarında ortaya koyduğu öğrencilerin model oluşturma sürecinin ilk basamağında zorlandıkları sonucu ile paralellik göstermektedir. Devamında modelleme etkinliğinin çözümü için önce her takımın galibiyet, mağlubiyet ve beraberlik sayılarını belirlemişler sonra da bunlara bağlı oluşturulan model üzerinde takımların puanlarını hesaplamışlardır. Fakat her seferinde takımlardan ikisinin birbirine eşit puan alması nedeniyle oluşturulan model üzerinde değişikliğe gidilmiş ve farklı puanlama sistemi üzerinden takımların toplam puanları yeniden hesaplanarak sıralanmıştır. Oluşturulan bu yeni modellerde bu sorunu çözmede başarılı olamamıştır. Yani Maab in (2007) çalışmasında olduğu gibi öğrencilerin geliştirdikleri matematiksel modeller gerçek problem durumuna etkili ve yeterli bir çözüm üretememiştir. Bunun sonucunda öğrenciler modelleme sürecinin başına dönerek tekrar grafiği incelemişler ve her takımın eşit sayıda maç yapmadıkları varsayımına dayanan ve sadece galibiyetlerle mağlubiyetler üzerinden bir karşılaştırma yaparak takımları sıralayabilmişlerdir. Buradan da açıkça görüldüğü gibi öğretmen adayları özellikle gerçek dünya probleminden matematiksel modellemeye geçişte yani Sol, Gimenez ve Rosich in (2011) çalışmasının sonuçlarının da desteklediği gerçek duruma uygun alternatif modeller geliştirme ve var olan modeli geliştirme noktasında güçlüklerle karşılaşmışlardır. Grup bu güçlüğü aşabilmek için oluşturulan model üzerinde yer alan değişkenlerin sayısını azaltarak yani beraberlik durumunu hesaba katmadan sadece galibiyet ve mağlubiyet üzerinden sistematik olmayan, daha basit ve sınırlı bir model üzerinden sonuca gitmiştir. Bunun nedeni öğrencilerin eğitim öğretim hayatları boyunca süreçten çok sonucun önemli olduğu ve kendi çözüm yollarından ziyade kendisine gösterildiği şekilde yapmaları istenen öğretmen merkezli bir sistemden geçmiş olmalarından kaynaklanıyor olabilir. Diğer taraftan öğrencilerin beraber çalışma, yeni fikir üretme, farklı şekilde yorumlama ve paylaşma gerektiren bu tip matematiksel modelleme deneyimlerinin sınırlı olması da bu sonucu desteklemektedir. Sonuç olarak bu çalışma öğretmen adaylarının modelleme sürecinin bazı aşamalarında güçlüklerle karşılaştıklarını gösterirken aynı zamanda onların modelleme etkinlikleri üzerinde başarı ile çalışabildiklerini ve bu etkinlikler yardımıyla var olan matematiksel anlayışlarını geliştirebildiklerini ortaya koymuştur. Modelleme sürecinde karşılaşılan güçlüklerin ortadan kaldırılmasında öğretmen adaylarının model oluşturma etkinlikleri ile daha önceden ortaöğretim seviyesinde tanıştırılarak bunlar üzerine daha fazla deneyim sahibi olmalarının sağlanması ve bu deneyimlerin elde edilmesinde etkili bir yol sunan grup çalışmaları ve geri dönüt mekanizmalarına önem verilmesi tavsiye edilebilir. Bu deneyimin elde edilmesinde geleneksel yaklaşımın tersine yani öğreticinin modelleme etkinliği üzerinde çalışan grupları dolaşarak onlara sorular sorup yol göstermesinden ziyade grup üyelerinin maksimum derecede bağımsız olarak çalışmalarına olanak tanıyan ve öğreticinin bu sürece minimum derecede katıldığı bir öğretim biçimi önerilmektedir (Blum ve Ferri, 2009). Blum ve Ferri ye göre bu sınırlı katkı gruplara şu şekilde sorular sorularak sağlanabilir: Durumu hayalinde canlandır? Burada amacımız nedir? Ne kadar yol aldın? Neyi hala bilmiyoruz? veya Bu sonuç gerçek duruma uygun mu? Öğretmen adaylarının modelleme süreçlerini ortaya koymayı amaçlayan bu çalışma takım sıralama problemi ve bu çalışmaya katılan üç öğrencinin görüşleriyle sınırlıdır. Bu konuda yapılacak yeni çalışmaların okul öncesi, ilköğretim ve ortaöğretim öğrencilerini kapsayacak şekilde genişletilmesi, modelleme ile ilgili bilgilerinin zaman içinde nasıl gelişip değiştiğinin belirlenmesi, modelleme sürecinde karşılaşılacak güçlük veya engellerin tespit edilmesi ve modellemenin matematiğe karşı olan görüş ve düşüncelerin değişimindeki etkisinin incelenmesi bu konuda oldukça kısıtlı olan ulusal literatürün derinleşip zenginleşmesine katkıda bulunacaktır. 11

12 Educational Sciences: Theory & Practice - 12(4) Autumn Educational Consultancy and Research Center Prospective Elementary Mathematics Teachers Thought Processes on a Model Eliciting Activity Ali ERASLAN a Ondokuzmayıs University Abstract Mathematical model and modeling are one of the topics that have been intensively discussed in recent years. The purpose of this study is to examine prospective elementary mathematics teachers thought processes on a model eliciting activity and reveal difficulties or blockages in the processes. The study includes forty-five seniors taking the course of Modeling in Teaching Mathematics in an elementary education program at a university. Three prospective teachers were selected among them and then interviewed in a focus group. The transcription of conversation of the group was examined and qualitatively analyzed. Findings indicated that prospective teachers were able to successfully work with modeling eliciting activity and improve their mathematical understandings. They also showed some difficulties while working on the modeling activity. Key Words Model Eliciting Activity, Prospective Teachers, Elementary Education, Mathematics Modeling. Top of Form In recent years, research studies in mathematics education have been increasingly interested in mathematical model and modeling because of the need to establish the relationships between the real world and mathematics (Lesh, Hamilton, & Kaput, 2007). Many questions and problems about individual learning and teaching of mathematics have affected the relationship of mathematics to a Ali ERASLAN, Ph.D., is currently an Associate professor of Mathematics Education in the Faculty of Education at the Ondokuzmayis University in Samsun, Turkey. He is interested in the teaching and learning of mathematics at all levels. His research interests also include model & modeling, imagery and visualization in mathematics learning as well as teacher education involving both prospective and in-service teachers. aeraslan@ omu. edu.tr Phone: /(Ext.) 5811, Fax: the real world (Blum, Galbraith, Henn, & Niss, 2002). PISA (Program for International Student Assessment) studies focusing on individual s ability to relate mathematics to the real world have particularly encouraged this type of study (OECD, 1999). In line with the results of the PISA studies, researchers in many countries have begun to question how much students in schooleducation system are prepared to solve the realworld problems they encounter in their future professional lives (Blum, 2002; English, 2006; Mousoulides, 2007). As a result, mathematics educators such as English (2002), Gainsbourg (2006) and Lesh and Doerr (2003) have begun to emphasize the importance of new skills and understanding for success in beyond the school. These are: (1) constructing, hypothesizing, describing, manipulating, predicting and understanding complex systems, (2) planning and working for complex and multifaceted problems that require critical communication skill and (3) adapting to work on conceptual systems developing continuously. When students increasingly face this

13 ERASLAN / Prospective Elementary Mathematics Teachers Thought Processes on a Model Eliciting Activity kind of situations in their daily life, it is important to make sure that students have enough experience to work together and interpret mathematical situations that enable them to think in different ways and share their ideas with their peers. Thus, model eliciting activities are one of main tools that help students to gain experiences and the new skills required (Blum & Niss, 1991; English & Watters, 2005; Lesh & Doerr, 2003). Research studies in elementary education level showed that model eliciting activities (a) are a powerful tool that helps students to develop critical and higher level thinking skills (English & Watters, 2005), (b) provide a new and effective learning environment in which students reveal and rebuild their existing conceptual knowledge (Chamberlin, 2004), (c) encourage the use of different and multiple representations to explain mathematical structure and conceptual systems (Boaler, 2001; English & Watters, 2004; Mousoulides, 2007) and (d) improve students communication skills in sharing of their understanding of mathematical ideas (English, 2006). On the other hand, students had difficulties in the following modeling processes: understanding the problem, structuring and simplifying the problem, developing appropriate assumptions, exploring relationships between variables, questioning the relationship between the model and real-life and validating the model obtained (Blum & Leib, 2007; Crouch & Haines, 2007; Maab, 2007; Sol, Gimenez, & Rosich, 2011). It was argued that these processes were affected by students mathematical thinking styles, their own life and problem-related experiences, their beliefs and attitudes about mathematics and model eliciting activities (Ferri, 2011; Schoenfeld, 1992). Many countries such as United States, Britain, Australia, the Netherlands, Germany, and Sweden carried out important projects on model eliciting activities to adapt in their mathematics programs (Blum & Niss, 1991; Mousoulides, Sriraman, & Christou, 2007). Similarly the Turkish government put into practice a new mathematics education program particularly focusing on mathematical modeling and higher level mathematical thinking. The vision of the new program is to help students to develop analytical thinking and reasoning skills, establish the relationship between mathematics and real life situations and create different solutions to the problems they face in their everyday life (Milli Eğitim Bakanlığı [MEB], 2005). Developing such skills depends on the development of modeling skills allowing students to create their own mathematical ideas and understanding and reach general, valid and usable solutions (English, 2006). At this point, the question raised is whether prospective teachers who would teach mathematics modeling to their students have enough mathematical knowledge and skills needed. Therefore, this study aims to examine prospective elementary mathematics teachers thought processes on a model eliciting activity and reveal difficulties or blockages in the processes. Research Model Method This is a qualitative research study that aims to examine prospective elementary mathematics teachers thought processes on a model eliciting activity and also reveal difficulties or blockages in this process. The case study design, which is defined to examine or analyze in depth of a case or a group, was selected for research design. The case in this study was the focus group of prospective teachers who were working on the model eliciting activity. Participants This research study was carried on a university located in the Black Sea region in the fall semester. The participants were forty-five senior students who were taking the course of Modeling in Mathematics Teaching in the department of mathematics education. In a period of fourteenweek course, students worked individually or as a group on different model eliciting activities that require mathematical modeling. In this processes, students also discussed the issues of model, modeling, mathematical modeling, model eliciting activity, problem solving and differences among them. At the end of the semester, three students (one girl and two boys) were selected as a focus group using criterion sampling on the basis of the answers given to modeling problems. Some other criteria such as being successful, self-confident, talkative, articulate and previously worked with each other were also being considered in the selection process. Data Collection Instrument At the end of the semester, the Team Ranking Problem (Appendix) was given to the focus group to work on it in a classroom environment. The Team Ranking Problem is a model eliciting activity 13