BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR. Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR. Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK"

Transkript

1 BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK

2 Önermelerin Eşdeğerlikleri Section 1.3

3 Totoloji, Çelişkiler, ve Tesadüf Bir totoloji her zaman doğru olan bir önermedir. Örnek: p p Bir çelişki her zaman yanlış olan bir önermedir. Örnek : p p Bir tesadüf, totoloji ya da çelişki olmayan p gibi bir önermedir. P p p p p p T F T F F T T F

4 Mantıksal Eşdeğerlik Eğer p q bir totoloji ise p ve q bileşik önermeleri mantıksal eşdeğerdir. İki bileşik önerme ancak ve ancak doğruluk tabloları aynı ise eşdeğerdir. p q doğruluk tablosu ile p q doğruluk tablosu aynı p q p p q p q T T F T T T F F F F F T T T T F F T T T

5 De Morgan Kuralı Augustus De Morgan De Morgan ın ikinci yasasının doğruluk tablosu p q p q (p q) (p q) p q T T F F T F F T F F T T F F F T T F T F F F F T T F T T

6 Temel Mantıksal Eşdeğerlikler Aynı, Baskınlık, Eşkuvvetli, Çift Değil: Değil :,

7 Temel Mantıksal Eşdeğerlikler Değişim:, Birleşim : Dağıtım: Yutma:

8 Daha Fazla Mantıksal Eşdeğerlikler

9 Yeni Mantıksal Eşdeğerlikler Oluşturma İki ifadenin mantıksal olarak eşdeğer olduğunu, ard arda eşdeğer ifadeler oluşturarak bulabiliriz. olduğunu göstermek için A ile başlayan ve B ile biten eşdeğerlikler üretiriz.

10 Eşdeğerlik İspatları Örnek: ile nin mantıksal eşdeğer olduğunu gösterin. Çözüm:

11 Eşdeğerlik İspatları Örnek: olduğunu gösterin Çözüm: ifadesinin totoloji

12 Önermenin İnandırıcılığı (Satisfiability) Bir bileşik önermenin değişkenlerine atanan doğruluk değerleri ile önerme doğru olabiliyorsa bu bileşik önermeye inandırıcı denir. Eğer bu durumu sağlayan hiçbir doğruluk değeri yoksa bu bileşik önermeye inandırıcı olmayan önerme denir. Bir bileşik önerme ancak ve ancak bu önermenin değili bir totoloji ise inandırıcı olmayan önermedir.

13 Önerme İnandırıcılığı Üzerine Sorular Örnek : Aşağıdaki bileşik önermelerin inandırıcılıklarını değerlendirin. Çözüm: İnandırıcı. p, q, ver ye T değeri ata. Çözüm : İnandıcırı. P ye T ve q ya F değeri ata. Çözüm : İnandırıcı değil. Mümkün olan bütün doğruluk değerlerini deneyin. Hiçbirinin, ifadeyi doğru yapmadığını göreceksiniz.

14 Gösterim

15 Sudoku Sudoku puzzle 9 9 ızgara ile gösterilir ve bu ızgara blok olarak bilinen 3 3 alt ızgaralardan oluşur. 81 hücrenin herbirine 1 den 9 a kadar sayılar atanır. Sudokunun amacı her bir sütunu, her bir satırı ve her bir kutuyu her bir rakam sadece bir kez kullanılacak şekilde 1 den 9 a kadar doldurmaktır. Örnek

16 Sudokunu İnandırıcılık Problemi Olarak İfade Etmek p(i,j,n) önermesi, n sayısı i. Satır j. Sütunun gösterdiği hücreye yazıldığı zaman doğru olsun. Bu şekilde = 729 önerme var. Örnek puzzle da p(5,1,6) doğrudur fakat p(5,j,6) j = 2,3, 9 için yanlıştır.

17 Sudokunu İnandırıcılık Problemi Olarak İfade Etmek Herbir satır bütün sayıları içerir. Herbir sütun bütün sayıları içerir. Herbir 3x3 blok bütün sayıları içerir

18 Sudokunu İnandırıcılık Problemi Olarak İfade Etmek Hiçbir hücre birden fazla sayı barındıramaz n, n, i, ve j, herbiri 1 ile 9 arasında değişir ve

19 İnandırıcılık Problemlerinin Çözümü Sudoku bulmacasını çözmek için 729 tane önermenin doğruluk değerlerini bulmalıyız. Doğruluk tablosu bulmak bir inandırıcılık problemi için her zaman bir çözümdür. Ancak, büyük problemlerin çözümünde kullanılması pratik olmaz.

20 Yüklemler (Predicates) ve Niceleyiciler (Quantifiers) Section 1.4

21 Önerme Mantığı Yeterli Değil! Örnek: Bütün insanlar ölümlüdür. Socrates bir insandır. Yani, Socrates ölümlüdür? Önerme mantığı ile ifade edilemez. Nesneler, özellikleri ve ilişkileri hakkında konuşabileceğimiz bir dil gerekli.

22 Yüklemler Mantığına Giriş Yüklemler mantığı aşağıdaki yeni özellikleri kullanır: Değişkenler: x, y, z Yüklemler: P(x), M(x) Niceleyiciler Önerme fonksiyonları basit önermelerin genelleştirilmiş halidir. Değişkenler ve Yüklemler içerirler, ör:p(x) Değişkenler, kendi alanlarından gerçek değerler ile değiştirilebilir.

23 Önerme Fonksiyonları Önerme fonksiyonlarının değişkenleri, değişkenlerin alabilecekleri gerçek değerler ile değiştirildiğinde önerme fonksiyonları basit önermeler haline gelir. (veya değişkenler nicelendirildiklerinde) P(x) ifadesi, P önerme fonksiyonunun x deki değeri anlamına gelir. Örneğin, P(x) önerme fonksiyonu x > 0 olsun ve x değişkeninin alanı tam sayılar olsun. Böylece: P(-3) false. P(0) false. P(3) true. Genellikle alan (domain) U ile gösterilir. Bu örnekteki U tam sayılardı.

24 Önerme Fonksiyonları Örnekleri x + y = z, R(x, y, z) ile gösterilsin ve U (3 değişken için de) tam sayılar olsun. Doğruluk değerlerini bulun: R(2,-1,5) Çözüm: R(3,4,7) Çözüm : R(x, 3, z) Çözüm : Şimdi x - y = z, Q(x, y, z) ile gösterilsin. U tamsayılar olsun. Doğruluk değerlerini bulun: Q(2,-1,3) Çözüm : Q(3,4,7) Çözüm : Q(x, 3, z) Çözüm :

25 Önerme Fonksiyonları Örnekleri x + y = z, R(x, y, z) ile gösterilsin ve U (3 değişken için de) tam sayılar olsun. Doğruluk değerlerini bulun: R(2,-1,5) Çözüm: F R(3,4,7) Çözüm : R(x, 3, z) Çözüm : Şimdi x - y = z, Q(x, y, z) ile gösterilsin. U tamsayılar olsun. Doğruluk değerlerini bulun: Q(2,-1,3) Çözüm : Q(3,4,7) Çözüm : Q(x, 3, z) Çözüm :

26 Önerme Fonksiyonları Örnekleri x + y = z, R(x, y, z) ile gösterilsin ve U (3 değişken için de) tam sayılar olsun. Doğruluk değerlerini bulun: R(2,-1,5) Çözüm: F R(3,4,7) Çözüm : T R(x, 3, z) Çözüm : Şimdi x - y = z, Q(x, y, z) ile gösterilsin. U tamsayılar olsun. Doğruluk değerlerini bulun: Q(2,-1,3) Çözüm : Q(3,4,7) Çözüm : Q(x, 3, z) Çözüm :

27 Önerme Fonksiyonları Örnekleri x + y = z, R(x, y, z) ile gösterilsin ve U (3 değişken için de) tam sayılar olsun. Doğruluk değerlerini bulun: R(2,-1,5) Çözüm: F R(3,4,7) Çözüm : T R(x, 3, z) Çözüm : Bu bir önerme değil Şimdi x - y = z, Q(x, y, z) ile gösterilsin. U tamsayılar olsun. Doğruluk değerlerini bulun: Q(2,-1,3) Çözüm : Q(3,4,7) Çözüm : Q(x, 3, z) Çözüm :

28 Önerme Fonksiyonları Örnekleri x + y = z, R(x, y, z) ile gösterilsin ve U (3 değişken için de) tam sayılar olsun. Doğruluk değerlerini bulun: R(2,-1,5) Çözüm: F R(3,4,7) Çözüm : T R(x, 3, z) Çözüm : Bu bir önerme değil Şimdi x - y = z, Q(x, y, z) ile gösterilsin. U tamsayılar olsun. Doğruluk değerlerini bulun: Q(2,-1,3) Çözüm : T Q(3,4,7) Çözüm : Q(x, 3, z) Çözüm :

29 Önerme Fonksiyonları Örnekleri x + y = z, R(x, y, z) ile gösterilsin ve U (3 değişken için de) tam sayılar olsun. Doğruluk değerlerini bulun: R(2,-1,5) Çözüm: F R(3,4,7) Çözüm : T R(x, 3, z) Çözüm : Bu bir önerme değil Şimdi x - y = z, Q(x, y, z) ile gösterilsin. U tamsayılar olsun. Doğruluk değerlerini bulun: Q(2,-1,3) Çözüm : T Q(3,4,7) Çözüm : F Q(x, 3, z) Çözüm :

30 Önerme Fonksiyonları Örnekleri x + y = z, R(x, y, z) ile gösterilsin ve U (3 değişken için de) tam sayılar olsun. Doğruluk değerlerini bulun: R(2,-1,5) Çözüm: F R(3,4,7) Çözüm : T R(x, 3, z) Çözüm : Bu bir önerme değil Şimdi x - y = z, Q(x, y, z) ile gösterilsin. U tamsayılar olsun. Doğruluk değerlerini bulun: Q(2,-1,3) Çözüm : T Q(3,4,7) Çözüm : F Q(x, 3, z) Çözüm : Bu bir önerme değil

31 Bileşik İfadeler Mantıksal önermelerdeki bağlaçlar mantıksal yüklemlerde de kullanılır. P(x) x > 0, olsun. Doğruluk değerlerini bulun. P(3) P(-1) Çözüm: P(3) P(-1) Çözüm : P(3) P(-1) Çözüm : P(3) P(-1) Çözüm : Değişken barındıran ifadeler önerme değildir ve dolayısıyla doğruluk değerleri de yoktur. Örnek: P(3) P(y) P(x) P(y) Niceleyiciler (quantifiers) kullanıldığı zaman bu ifadeler önerme haline gelir.

32 Bileşik İfadeler Mantıksal önermelerdeki bağlaçlar mantıksal yüklemlerde de kullanılır. P(x) x > 0, olsun. Doğruluk değerlerini bulun. P(3) P(-1) Çözüm: T P(3) P(-1) Çözüm : P(3) P(-1) Çözüm : P(3) P(-1) Çözüm : Değişken barındıran ifadeler önerme değildir ve dolayısıyla doğruluk değerleri de yoktur. Örnek: P(3) P(y) P(x) P(y) Niceleyiciler (quantifiers) kullanıldığı zaman bu ifadeler önerme haline gelir.

33 Bileşik İfadeler Mantıksal önermelerdeki bağlaçlar mantıksal yüklemlerde de kullanılır. P(x) x > 0, olsun. Doğruluk değerlerini bulun. P(3) P(-1) P(3) P(-1) Çözüm: T Çözüm : F P(3) P(-1) Çözüm : P(3) P(-1) Çözüm : Değişken barındıran ifadeler önerme değildir ve dolayısıyla doğruluk değerleri de yoktur. Örnek: P(3) P(y) P(x) P(y) Niceleyiciler (quantifiers) kullanıldığı zaman bu ifadeler önerme haline gelir.

34 Bileşik İfadeler Mantıksal önermelerdeki bağlaçlar mantıksal yüklemlerde de kullanılır. P(x) x > 0, olsun. Doğruluk değerlerini bulun. P(3) P(-1) P(3) P(-1) P(3) P(-1) Çözüm: T Çözüm : F Çözüm : F P(3) P(-1) Çözüm : Değişken barındıran ifadeler önerme değildir ve dolayısıyla doğruluk değerleri de yoktur. Örnek: P(3) P(y) P(x) P(y) Niceleyiciler (quantifiers) kullanıldığı zaman bu ifadeler önerme haline gelir.

35 Bileşik İfadeler Mantıksal önermelerdeki bağlaçlar mantıksal yüklemlerde de kullanılır. P(x) x > 0, olsun. Doğruluk değerlerini bulun. P(3) P(-1) P(3) P(-1) P(3) P(-1) P(3) P(-1) Çözüm: T Çözüm : F Çözüm : F Çözüm : T Değişken barındıran ifadeler önerme değildir ve dolayısıyla doğruluk değerleri de yoktur. Örnek: P(3) P(y) P(x) P(y) Niceleyiciler (quantifiers) kullanıldığı zaman bu ifadeler önerme haline gelir.

36 Niceleyiciler «Hepsi» ve «Birkaçı» kelimelerinin anlamlarını ifade edebilmek için niceleyicilere ihtiyacımız var. Bütün insanlar ölür. Bazı kedilerin tüyleri yoktur. En önemli iki niceleyici: Evrensel niceleyici, Hepsi için, sembol: Varlık niceleyicisi, Vardır, sembol: x P(x) ve x P(x) olarak yazılırlar. Charles Peirce ( ) x P(x), P(x) in x in alanındaki bütün x ler için doğru olduğunu önerir. x P(x), P(x) in x in alanındaki bazı x ler için doğru olduğunu önerir.

37 Evrensel Niceleyici x P(x), her bir x için, P(x) şeklinde okunur. Örnekler: 1) P(x) x > 0 ve U tam sayılar ise x P(x) false. 2) P(x) x > 0 ve U pozitifi tam sayılar ise x P(x) true. 3) P(x) x çifttir ve U tam sayılar ise x P(x) false.

38 Varlık Niceleyicisi x P(x), bazı x ler için, P(x), veya vardır en az bir tane x, P(x), şeklinde okunur Örnekler: 1. P(x) x > 0 ve U tam sayılar ise x P(x) true. Ayrıca eğer U pozitif tamsayılar ise yine true. 2. P(x) x < 0 veu pozitif tamsayılar ise x P(x) false. 3. P(x) x çifttir ve U tamsayılar ise x P(x) true.

39 Tekillik Niceleyicisi!x P(x), P(x) i doğru yapan bir ve yalnız bir x değeri vardır. Örnek: P(x) x + 1 = 0 ve U tamsayılar ise!x P(x) true.

40 Niceleyiciler Hakkında Bahsedilen alan (domain) sınırlıysa, niceleme işlemini alandaki bütün elemanların bir döngü ile kullanılması olarak düşünebiliriz. x P(x) ifadesini hesaplamak için alandaki bütün x ler döngü ile kullanılır. Eğer P(x) in bütün adımları doğru ise x P(x) doğrudur. Eğer P(x) in herhangi bir adımı yanlış ise x P(x) yanlıştır ve döngü sonlandırılır. x P(x) ifadesini hesaplamak için alandaki bütün x ler döngü ile kullanılır. Eğer en az bir adımda P(x) doğru ise x P(x) doğrudur ve döngü sonlandırılır. Eğer döngü P(x) i doğru yapan en az bir tane x bulamadan sonlanırsa x P(x) yanlıştır. Bahsedilen alan sonsuz olursa yine bu şekilde düşünebilir. Ancak bazı durumlarda döngü sonlanmayabilir.

41 Niceleyicilerin Özellikleri x P(x) ve x P(x) ifadelerinin doğruluk değerleri P(x) ve U ya bağlıdır. Örnek: 1. U pozitif tamsayılar ve P(x) x < 2, ise x P(x) true, fakat x P(x) false olur.

42 Niceleyicilerin Öncelik Sıraları ve niceleyicileri diğer mantıksal operatörlere göre önceliklidir. Örneğin, x P(x) Q(x) ile ( x P(x)) Q(x) aynı anlamdadır. x (P(x) Q(x)) ise başka bir şeyi ifade eder.

43 Türkçe den Mantık Diline Çeviri Örnek 1: «Bu sınıftaki her öğrenci bir java dersi almıştır.» Çözüm: ilk olarak U alanına karar ver. Çözüm 1: Eğer U sınıftaki bütün öğrenciler ise, J(x) fonksiyonunu tanımla ve anlamı x bir java dersi almıştır olsun ve bunu şu şekilde tercüme et x J(x). Çözüm 2: Eğer U bütün insanlarsa, o zaman bir S(x) fonksiyonu tanımla ve anlamı x bu sınıftaki bir öğrencidir olsun ve şu şekilde tercüme et x (S(x) J(x)).

44 Türkçe den Mantık Diline Çeviri Örnek 2: «Bu sınıftaki bazı öğrenciler bir java dersi almıştır.» Çözüm : ilk olarak U alanına karar ver. Çözüm 1: Eğer U sınıftaki bütün öğrenciler ise şu şekilde tercüme et x J(x) Çözüm 2: Eğer U bütün insanlarsa, o zaman şu şekilde çevir x (S(x) J(x))

45 Socrates örneğine dönelim Önerme fonksiyonu Man(x), x bir insandır ve Mortal(x), x bir ölümlüdür. olsun. İki temel önerme (aksiyom): Sonuç: Bunun ispatını sonra yapacağız.

46 Yüklem Mantığında Eşdeğerlik Yüklemler ve niceleyiciler içeren ifadeler ancak ve ancak doğruluk değerleri aynıysa eşdeğerdir. S T gösterimi S ve T mantıksal denktir demektir. Örnek: x S(x) x S(x)

47 Niceleyicileri «ve» ve «veya» olarak düşünmek Eğer alan sınırlı ise, bir evrensel niceleyici önermesi, niceleyiciler kullanmadan yazılan ve «ve» bağlacı ile bağlanan önermelere eşdeğerdir. Aynı şekilde, bir varlık niceleyici önermesi, niceleyiciler kullanmadan yazılan ve «veya» bağlacı ile bağlanan önermelere eşdeğerdir. U 1,2, ve 3 tam sayılarından oluşsun: Bahsedilen alan sonsuz olursa yine bu şekilde düşünebilir. Ancak sonsuz sayıda ifadeyi göstermek gerekir.

48 Nicelik İfadelerini Olumsuz Yapmak x J(x) ifadesini göz önünde bulunduralım «Bu sınıftaki her öğrenci bir java dersi almıştır.» J(x) x bir java dersi almıştır ve alan (domain) sınıftaki öğrenciler olsun. Orijinal ifadeyi olumsuz yapmak «Bu sınıftaki her öğrenci bir java dersi almıştır durumu böyle değildir» Bu, şunu gerektirir. «sınıfta java dersi almayan bir öğrenci vardır.» Sembolik olarak x J(x) ve x J(x) mantıksal olarak denktir.

49 Nicelik İfadelerini Olumsuz Yapmak x J(x) ifadesini göz önünde bulunduralım «Bu sınıfta, java dersini alan en az bir öğrenci vardır» J(x) x bir java dersi almıştır ve alan (domain) sınıftaki öğrenciler olsun. Orijinal ifadeyi olumsuz yapmak «Bu sınıfta, java dersini alan en az bir öğrenci vardır durumu böyle değildir» Bu, şunu gerektirir. «Bu sınıftaki her bir öğrenci daha doğru Türkçe ile hiçbir öğrenci- java dersini almamıştır» Sembolik olarak x J(x) ve x J(x) mantıksal olarak denktir.

50 De Morgan ın Niceleyiciler Üzerindeki Yasaları Niceleyicileri olumsuz yapma üzerine kurallar: Tablodaki kanıtlar şunu gerektirir: Bunlar Önemli. Kullanacaksınız!

51 Sistem Gereksinimi Belirleme Örneği Yüklem mantığı, bir sistemin yapması gereken işleri (gereksinimleri) tanımlamakta kullanılabilir. Örneğin, aşağıdaki cümleleri mantıksal yüklemler haline çevirin: 1 MB tan büyük her e-posta mesajı sıkıştırılacaktır. Eğer bir kullanıcı aktifse, en az bir ağ bağlantısı çalışacaktır. Yüklemlere ve değişkenlerin alanlarına (domain) karar verin: L(m, y), E-posta mesajı m, y megabyte tan büyüktür. olsun C(m), E-posta mesajı m sıkıştırılacaktır. olsun A(u), u kullanıcısı aktif. olsun S(n, x), Ağ bağlantısı n nin durumu x. olsun Böylece:

52 Lewis Carroll un Örneği Charles Lutwidge Dodgson (AKA Lewis Caroll) ( ) İlk ikisi önerme, üçüncüsü ise sonuç. 1. Bütün aslanlar sinirlidir. 2. Bazı aslanlar kahve içmez. 3. Bazı sinirli yaratıklar kahve içmez. P(x), Q(x), ve R(x) sırası ile şu mantıksal yüklemler olsun: x bir aslandır, x sinirlidir, ve x kahve içer,. 1. x (P(x) Q(x)) 2. x (P(x) R(x)) 3. x (Q(x) R(x)) İspatını sonra yapacağız.

53 İç İçe Niceleyiciler Section 1.5

54 İç İçe Niceleyiciler İç içe niceleyiciler kullanmak, Türkçe cümleleri göstermek için kullanılabileceği gibi bilgisayar bilimindeki veya matematikteki kavramları göstermek için de kullanılabilir. Örnek: Her gerçek sayının bir tersi vardır x y(x + y = 0) burada x ve y için alan (domain) gerçek sayılardır. İç içe kullanılan mantıksal fonksiyonları şu şekilde de düşünebiliriz: x y(x + y = 0) ifadesi şu şekilde düşünülebilir x Q(x). burada Q(x) y P(x, y) ifadesidir ve P(x, y) (x + y = 0) ifadesidir.

55 İç İçe Niceleyiciler Hakkında İç İçe Döngüler x yp (x,y) ifadesinin doğru olduğunu görmek için, x in herbir değeri için: Her bir adımda y nin değerlerini kullanan bir döngü kur. Eğer bir tane x ve y değer çifti için P(x,y) yanlışsa (false), x yp(x,y) ifadesi de yanlıştır. İçteki ve dıştaki döngüleri sonlandır. Eğer dıştaki döngü x in bütün değerleri için çalıştıktan sonra bittiyse x y P(x,y) ifadesi doğrudur. x yp(x,y) ifadesinin doğru olduğunu görmek için x in herbir değeri için : Her bir adımda y nin değerlerini kullanan bir döngü kur. P(x, y) ifadesini doğru yapan bir x ve y çifti bulduğunda içteki döngüyü bitir (dıştaki döngünün sonraki adımına geç). Eğer P(x, y) ifadesini doğru yapan bir y bulunamazsa dıştaki döngüyü sonlandır ve x yp(x,y) ifadesinin yanlış olduğunu göster. Eğer dıştaki döngü x in bütün değerleri için çalıştıktan sonra bittiyse x y P(x,y) ifadesi doğrudur. Eğer değişkenlerin alanları sınırsız ise bu işlemi gerçekleştirmek imkansızdır.

56 Niceleyicilerin Sırası Örnek: 1. P(x,y) ifadesi x + y = y + x. olsun. U nun gerçek sayılar olduğunu düşünelim. Böylece x yp(x,y) ve y xp(x,y) ifadeleri aynı doğruluk değerlerine sahip olurlar. 1. Q(x,y) ifadesi x + y = 0. olsun. U nun gerçek sayılar olduğunu düşünelim. Böylece x yq(x,y) doğru, fakat y xq(x,y) yanlıştır.

57 Niceleyicilerin Sırası İle İlgili Örnekler Örnek 1: U nun gerçek sayılar olduğunu düşünelim, ifade: P(x,y) : x y = 0 Aşağıdakilerin doğruluk değerlerini bulunuz: 1. x yp(x,y) Cevap: 2. x yp(x,y) Cevap : 3. x y P(x,y) Cevap : 4. x y P(x,y) Cevap :

58 Niceleyicilerin Sırası İle İlgili Örnekler Örnek 1: U nun gerçek sayılar olduğunu düşünelim, ifade: P(x,y) : x y = 0 Aşağıdakilerin doğruluk değerlerini bulunuz: 1. x yp(x,y) Cevap: False 2. x yp(x,y) Cevap : 3. x y P(x,y) Cevap : 4. x y P(x,y) Cevap :

59 Niceleyicilerin Sırası İle İlgili Örnekler Örnek 1: U nun gerçek sayılar olduğunu düşünelim, ifade: P(x,y) : x y = 0 Aşağıdakilerin doğruluk değerlerini bulunuz: 1. x yp(x,y) Cevap: False 2. x yp(x,y) Cevap : True 3. x y P(x,y) Cevap : 4. x y P(x,y) Cevap :

60 Niceleyicilerin Sırası İle İlgili Örnekler Örnek 1: U nun gerçek sayılar olduğunu düşünelim, ifade: P(x,y) : x y = 0 Aşağıdakilerin doğruluk değerlerini bulunuz: 1. x yp(x,y) Cevap: False 2. x yp(x,y) Cevap : True 3. x y P(x,y) Cevap : True 4. x y P(x,y) Cevap :

61 Niceleyicilerin Sırası İle İlgili Örnekler Örnek 1: U nun gerçek sayılar olduğunu düşünelim, ifade: P(x,y) : x y = 0 Aşağıdakilerin doğruluk değerlerini bulunuz: 1. x yp(x,y) Cevap: False 2. x yp(x,y) Cevap : True 3. x y P(x,y) Cevap : True 4. x y P(x,y) Cevap : True

62 Niceleyicilerin Sırası İle İlgili Örnekler Örnek 2: U nun gerçek sayılar olduğunu düşünelim, ifade: P(x,y) : x / y = 1 Aşağıdakilerin doğruluk değerlerini bulunuz: 1. x yp(x,y) Cevap: 2. x yp(x,y) Cevap : 3. x y P(x,y) Cevap : 4. x y P(x,y) Cevap :

63 Niceleyicilerin Sırası İle İlgili Örnekler Örnek 2: U nun gerçek sayılar olduğunu düşünelim, ifade: P(x,y) : x / y = 1 Aşağıdakilerin doğruluk değerlerini bulunuz: 1. x yp(x,y) Cevap: False 2. x yp(x,y) Cevap : 3. x y P(x,y) Cevap : 4. x y P(x,y) Cevap :

64 Niceleyicilerin Sırası İle İlgili Örnekler Örnek 2: U nun gerçek sayılar olduğunu düşünelim, ifade: P(x,y) : x / y = 1 Aşağıdakilerin doğruluk değerlerini bulunuz: 1. x yp(x,y) Cevap: False 2. x yp(x,y) Cevap : True 3. x y P(x,y) Cevap : 4. x y P(x,y) Cevap :

65 Niceleyicilerin Sırası İle İlgili Örnekler Örnek 2: U nun gerçek sayılar olduğunu düşünelim, ifade: P(x,y) : x / y = 1 Aşağıdakilerin doğruluk değerlerini bulunuz: 1. x yp(x,y) Cevap: False 2. x yp(x,y) Cevap : True 3. x y P(x,y) Cevap : False 4. x y P(x,y) Cevap :

66 Niceleyicilerin Sırası İle İlgili Örnekler Örnek 2: U nun gerçek sayılar olduğunu düşünelim, ifade: P(x,y) : x / y = 1 Aşağıdakilerin doğruluk değerlerini bulunuz: 1. x yp(x,y) Cevap: False 2. x yp(x,y) Cevap : True 3. x y P(x,y) Cevap : False 4. x y P(x,y) Cevap : True

67 İki Değişkenli Niceleyiciler İfade Ne Zaman Doğru? Ne zaman Yanlış? P(x,y) ifadesi bütün x,y çiftleri için doğruysa. P(x,y) ifadesinin yanlış olduğu bir x,y çifti varsa. Bütün x ler için en az bir y P(x,y) ifadesini doğru yapıyorsa. En az bir x için bütün y ler P(x,y) ifadesini doğru yapıyorsa. P(x,y) ifadesini doğru yapan en az bir x,y çifti varsa. En az bir tane x için bütün y ler P(x,y) ifadesini yanlış yapıyorsa. Bütün x ler için en az bir y P(x,y) ifadesini yanlış yapıyorsa. Bütün x,y çiftleri için P(x,y) ifadesi yanlışsa.

68 İç İçe Niceleyicileri Türkçe ye Çevirmek Örnek 1: İfadeyi çevirin x (C(x ) y (C(y ) F(x, y))) burada C(x) x in bir bilgisayarı var, ve F(x,y) is x ve y arkadaşlar, ve x ve y için alan (domain) okuldaki bütün öğrenciler. Çözüm:

69 İç İçe Niceleyicileri Türkçe ye Çevirmek Örnek 1: İfadeyi çevirin x (C(x ) y (C(y ) F(x, y))) burada C(x) x in bir bilgisayarı var, ve F(x,y) is x ve y arkadaşlar, ve x ve y için alan (domain) okuldaki bütün öğrenciler. Çözüm: Okuldaki bütün öğrencilerin bir bilgisayarı var veya bilgisayarı olan bir arkadaşı var.

70 Matematiksel İfadeleri Mantıksal Yüklemlere Çevirmek Örnek: İki pozitif tam sayının toplamı her zaman pozitiftir ifadesini çevirin. Çözüm:

71 Matematiksel İfadeleri Mantıksal Yüklemlere Çevirmek Örnek: İki pozitif tam sayının toplamı her zaman pozitiftir ifadesini çevirin. Çözüm: 1. İfadeyi gerektirme şeklinde ve alan (domain) açıkça ifade edilen şekilde yeniden yazın Her bir tamsayı çifti için, eğer bu tamsayılar pozitifse, bu tamsayıların toplamı da pozitiftir.

72 Matematiksel İfadeleri Mantıksal Yüklemlere Çevirmek Örnek: İki pozitif tam sayının toplamı her zaman pozitiftir ifadesini çevirin. Çözüm: 1. İfadeyi gerektirme şeklinde ve alan (domain) açıkça ifade edilen şekilde yeniden yazın Her bir tamsayı çifti için, eğer bu tamsayılar pozitifse, bu tamsayıların toplamı da pozitiftir. 2. x ve y değişkenlerini tanımla, alanı belirle: Bütün x ve y pozitif tam sayıları için, x + y pozitiftir.

73 Matematiksel İfadeleri Mantıksal Yüklemlere Çevirmek Örnek: İki pozitif tam sayının toplamı her zaman pozitiftir ifadesini çevirin. Çözüm: 1. İfadeyi gerektirme şeklinde ve alan (domain) açıkça ifade edilen şekilde yeniden yazın Her bir tamsayı çifti için, eğer bu tamsayılar pozitifse, bu tamsayıların toplamı da pozitiftir. 2. x ve y değişkenlerini tanımla, alanı belirle: Bütün x ve y pozitif tam sayıları için, x + y pozitiftir. 3. Sonuç: x y ((x > 0) (y > 0) (x + y > 0)) burada her iki değişkenin alanı bütün tam sayıları kapsar.

74 Türkçe den Mantıksal İfadelere Çevirmek Örnek: İfadeyi çevirmek için niceleyiciler kullanın. Dünyadaki bütün havayolu firmaları ile en az bir kez uçmuş bir bayan vardır. Çözüm:

75 Türkçe den Mantıksal İfadelere Çevirmek Örnek: İfadeyi çevirmek için niceleyiciler kullanın. Dünyadaki bütün havayolu firmaları ile en az bir kez uçmuş bir bayan vardır. Çözüm: 1. P(w,f) w, f yolculuğuna çıkmıştır ve Q(f,a) f a daki bir uçuştur.

76 Türkçe den Mantıksal İfadelere Çevirmek Örnek: İfadeyi çevirmek için niceleyiciler kullanın. Dünyadaki bütün havayolu firmaları ile en az bir kez uçmuş bir bayan vardır. Çözüm: 1. P(w,f) w, f yolculuğuna çıkmıştır ve Q(f,a) f a daki bir uçuştur. 2. w nin alanı bütün bayanlar, f nin alanı bütün uçuşlar ve a nın alanı bütün havayollarıdır.

77 Türkçe den Mantıksal İfadelere Çevirmek Örnek: İfadeyi çevirmek için niceleyiciler kullanın. Dünyadaki bütün havayolu firmaları ile en az bir kez uçmuş bir bayan vardır. Çözüm: 1. P(w,f) w, f yolculuğuna çıkmıştır ve Q(f,a) f a daki bir uçuştur. 2. w nin alanı bütün bayanlar, f nin alanı bütün uçuşlar ve a nın alanı bütün havayollarıdır. 3. Böylece ifade şu şekilde gösterilebilir: w a f (P(w,f ) Q(f,a))

78 Türkçe den Çeviri Örnekleri Doğru yüklemleri seçin ve ifadeleri oluşturun. Örnek 1: Herkes bazılarını sever.

79 Türkçe den Çeviri Örnekleri Doğru yüklemleri seçin ve ifadeleri oluşturun. Örnek 1: Herkes bazılarını sever. Çözüm : x y L(x,y)

80 Türkçe den Çeviri Örnekleri Doğru yüklemleri seçin ve ifadeleri oluşturun. Örnek 1: Herkes bazılarını sever. Çözüm : x y L(x,y) Örnek 2: Herkes tarafından sevilen en az bir kişi vardır.

81 Türkçe den Çeviri Örnekleri Doğru yüklemleri seçin ve ifadeleri oluşturun. Örnek 1: Herkes bazılarını sever. Çözüm : x y L(x,y) Örnek 2: Herkes tarafından sevilen en az bir kişi vardır. Çözüm : y x L(x,y)

82 Türkçe den Çeviri Örnekleri Doğru yüklemleri seçin ve ifadeleri oluşturun Örnek 1: Herkes bazılarını sever. Çözüm : x y L(x,y) Örnek 2: Herkes tarafından sevilen en az bir kişi vardır. Çözüm : y x L(x,y) Örnek 3: Bir kişiyi seven en az bir kişi vardır.

83 Türkçe den Çeviri Örnekleri Doğru yüklemleri seçin ve ifadeleri oluşturun Örnek 1: Herkes bazılarını sever. Çözüm : x y L(x,y) Örnek 2: Herkes tarafından sevilen en az bir kişi vardır. Çözüm : y x L(x,y) Örnek 3: Bir kişiyi seven en az bir kişi vardır. Çözüm : x y L(x,y)

84 Türkçe den Çeviri Örnekleri Doğru yüklemleri seçin ve ifadeleri oluşturun Örnek 1: Herkes bazılarını sever. Çözüm : x y L(x,y) Örnek 2: Herkes tarafından sevilen en az bir kişi vardır. Çözüm : y x L(x,y) Örnek 3: Bir kişiyi seven en az bir kişi vardır. Çözüm : x y L(x,y) Örnek 4: Herkes kendini sever

85 Türkçe den Çeviri Örnekleri Doğru yüklemleri seçin ve ifadeleri oluşturun Örnek 1: Herkes bazılarını sever. Çözüm : x y L(x,y) Örnek 2: Herkes tarafından sevilen en az bir kişi vardır. Çözüm : y x L(x,y) Örnek 3: Bir kişiyi seven en az bir kişi vardır. Çözüm : x y L(x,y) Örnek 4: Herkes kendini sever Çözüm : x L(x,x)

86 İç İçe Niceleyicileri Olumsuz Yapmak Örnek 1: Uçuş örneğini hatırlayın: w a f (P(w,f ) Q(f,a)) Kısım 1: İfadeyi oluşturmak için niceleyiciler kullanın Dünyadaki bütün havayolu firmaları ile an az bir kez uçmuş bir bayan yoktur. Çözüm: w a f (P(w,f ) Q(f,a)) Kısım 2: Şimdi, «değil» bağlacını ifadenin içerisine mümkün olduğu kadar ilerletmek için De Morgan kurallarını kullanın. Çözüm: 1. w a f (P(w,f ) Q(f,a)) 2. w a f (P(w,f ) Q(f,a)) De Morgan kuralı için 3. w a f (P(w,f ) Q(f,a)) De Morgan kuralı için 4. w a f (P(w,f ) Q(f,a)) De Morgan kuralı için 5. w a f ( P(w,f ) Q(f,a)) De Morgan kuralı için Kısım 3: Sonucu tekrar Türkçe ye Çevirebilir misin? Çözüm:?

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR Kümeler Koşullu ve Mantıksal Denklik Kümeler Kümeler Ayrık Kümeler De-Morgan Kuralı Z (Zahlen; alm.) tamsayılar kümesi Z negatif tamsayılar kümesi, Z nonneg

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Kümeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Kümeler Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından biridir Sayma problemleri için önemli Programlama dillerinin

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 1.KONU Sembolik Mantık; Önermeler, Niceyiciler, Olumsuzluk, İspat yöntemleri KAYNAKLAR 1. Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A.,

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)

Detaylı

Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar

Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar David Pierce 26 Aralık 2011, saat 11:48 Bu yazının ana kaynakları, Burris in [1] ve Nesin in [4] kitapları ve Foundations of Mathematical Practice (Eylül 2010)

Detaylı

Lisans. Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler. Konular. Tanım. Tanım çalışma evreni: U izin verilen seçenekler kümesi örnekler:

Lisans. Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler. Konular. Tanım. Tanım çalışma evreni: U izin verilen seçenekler kümesi örnekler: Lisans Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler H. Turgut Uyar Ayşegül Gençata Yayımlı Emre Harmancı 2001-2013 You are free: to Share to copy, distribute and transmit the work to Remix to adapt the work c

Detaylı

BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR. Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK

BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR. Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK Derse Genel Bakış Dersin Web Sayfası http://www.mehmetsimsek.net/bm202.htm Ders kaynakları Ödevler, duyurular, notlandırma İletişim bilgileri Akademik

Detaylı

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler . ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

LİSE 1 MANTIK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ

LİSE 1 MANTIK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ LİSE 1 MANTIK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ 1 ÖNERMELER Kesin olarak doğru ya da yanlış hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler p ve q gibi harflerle ifade edilirler.bir önerme doğru ise, doğruluk değeri

Detaylı

Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi)

Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Şimdi bu beş mantıksal operatörün nasıl yorumlanması gerektiğine (semantiğine) ilişkin kesin ve net kuralları belirleyeceğiz. Bir deyimin semantiği (anlambilimi),

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Önermeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 3 Önermeler Önermeler Mantığı, basit ifadelerden mantıksal bağlaçları

Detaylı

B. ÇOK DEĞERLİ MANTIK

B. ÇOK DEĞERLİ MANTIK B. ÇOK DEĞERLİ MANTIK İki değerli mantıkta önermeler, doğru ve yanlış olmak üzere iki değer alabilir. Çünkü özdeşlik, çelişmezlik ve üçüncü hâlin olanaksızlığı ilkelerine göre, önermeler başka bir değer

Detaylı

6.8 Aşağıdaki biçimlerin neden birer ikb olmadıklarını açıklayınız.

6.8 Aşağıdaki biçimlerin neden birer ikb olmadıklarını açıklayınız. 6.7 x ( Fx zgzx) biçiminin bir ikb olduğunu gösteriniz. Kural 1 gereği Fa ve Gba birer ikb dir. Bu durumda, kural 2 ve 4 gereği, sırasıyla Fa ve zgza birer ikb dir. Bu iki biçime kural 3 ün uygulanması

Detaylı

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER Sunum ve Sistematik. ÜNİTE: MANTIK KONU ÖZETİ Bu başlık altında, ünitenin en can alıcı bilgileri, kazanım sırasına göre en alt başlıklara ayrılarak hap bilgi niteliğinde konu özeti olarak sunulmuştur..

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

BLM-111 PROGRAMLAMA DİLLERİ I. Ders-2 Değişken Kavramı ve Temel Operatörler

BLM-111 PROGRAMLAMA DİLLERİ I. Ders-2 Değişken Kavramı ve Temel Operatörler BLM-111 PROGRAMLAMA DİLLERİ I Ders-2 Değişken Kavramı ve Temel Operatörler Yrd. Doç. Dr. Ümit ATİLA umitatila@karabuk.edu.tr http://web.karabuk.edu.tr/umitatilla/ Nesne Bellekte yer kaplayan ve içeriklerine

Detaylı

MODERN (SEMBOLİK) MANTIK

MODERN (SEMBOLİK) MANTIK MODERN (SEMBOLİK) MANTIK A. ÖNERMELER MANTIĞI 1. Önermelerin Sembolleştirilmesi Önermeler mantığında her bir yargı, q, r... gibi sembollerle ifade edilir. Örnek: Dünya gezegendir. Dünya nın şekli elistir.

Detaylı

1 MATEMATİKSEL MANTIK

1 MATEMATİKSEL MANTIK 1 MATEMATİKSEL MANTIK Bu bölümde ilk olarak önerne tanımıverilip ispatlarda kullanılan düşünce biçimi incelenecektir. Tanım 1 Bir hüküm bildiren ve hakkında doğru veya yanlış denilmesi anlamlı olan ifadelere

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

Önermeler. Önermeler

Önermeler. Önermeler Önermeler ers 1 1-1 Önermeler 1-2 1 Önerme Mantığı ve İspatlar Mantık önermelerin doğruluğunu kanıtlamak için kullanılır. Önermenin ne olduğu ile ilgilenmek yerine bazı kurallar koyar ve böylece önermenin

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Küme Temel Kavramları

Küme Temel Kavramları Kümeler Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa

Detaylı

Yüklemler Mantığında Çözümleyici Çizelgeler (Çürütme Ağaçları)

Yüklemler Mantığında Çözümleyici Çizelgeler (Çürütme Ağaçları) Yüklemler Mantığında Çözümleyici Çizelgeler (Çürütme Ağaçları) Daha önce kanıtlamaların geçerliliği üzerine söylenenlerden hatırlanacağı gibi, bir kanıtlamanın geçerli olabilmesi için o kanıtlamadaki öncüller

Detaylı

BTP 207 İNTERNET PROGRAMCILIĞI I. Ders 8

BTP 207 İNTERNET PROGRAMCILIĞI I. Ders 8 BTP 27 İNTERNET PROGRAMCILIĞI I Ders 8 Değişkenler 2 Tamsayı Değerler (Integer) Tamsayılar, tabanlı (decimal), 8 tabanlı (octal) veya 6 tabanlı (hexadecimal) olabilir. 8 tabanındaki sayıları belirtmek

Detaylı

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin

Detaylı

C PROGRAMLAMA YRD.DOÇ.DR. BUKET DOĞAN PROGRAM - ALGORİTMA AKIŞ ŞEMASI

C PROGRAMLAMA YRD.DOÇ.DR. BUKET DOĞAN PROGRAM - ALGORİTMA AKIŞ ŞEMASI C PROGRAMLAMA DİLİ YRD.DOÇ.DR. BUKET DOĞAN 1 PROGRAM - ALGORİTMA AKIŞ ŞEMASI Program : Belirli bir problemi çözmek için bir bilgisayar dili kullanılarak yazılmış deyimler dizisi. Algoritma bir sorunun

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ 6. SINIF DERS NOTLARI 2

BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ 6. SINIF DERS NOTLARI 2 PROGRAMLAMA Bir problemin çözümü için belirli kurallar ve adımlar çerçevesinde bilgisayar ortamında hazırlanan komutlar dizisine programlama denir. Programlama Dili: Bir programın yazılabilmesi için kendine

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

HSancak Nesne Tabanlı Programlama I Ders Notları

HSancak Nesne Tabanlı Programlama I Ders Notları DİZİLER Bellekte ard arda yer alan aynı türden nesneler kümesine dizi (array) denilir. Bir dizi içerisindeki bütün elemanlara aynı isimle ulaşılır. Yani dizideki bütün elemanların isimleri ortaktır. Elemanlar

Detaylı

Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN

Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYIN KURULU Hazırlayanlar Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK &

Detaylı

POLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9

POLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9 POLİNOMLAR Test -. I. P x x 5 II. III. P x x P x ifadelerinden hangileri polinom belirtir? 6. P x x x x 7 polinomunun katsayılar toplamı A) B) C) D) 0 E) 9 A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI. : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI. : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI 1.KURUMUN ADI 2.KURUMUN ADRESİ 3.KURUCUNUN ADI :Tercih Özel Öğretim Kursu : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA : ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM

Detaylı

DOĞRULUK TABLOSU / ÇİZELGESİ İLE DENETLEME

DOĞRULUK TABLOSU / ÇİZELGESİ İLE DENETLEME DOĞRULUK TABLOSU / ÇİZELGESİ İLE DENETLEME (, q...) gibi basit bir önerme doğru veya yanlış yorumlanabileceğinden, (D) veya (Y) değerine sahi olabilir. Buna karşılık herhangi bir önerme eklemiyle kurulan

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

ALGORİTMA VE PROGRAMLAMA I

ALGORİTMA VE PROGRAMLAMA I ALGORİTMA VE PROGRAMLAMA I Yrd. Doç. Dr. Deniz KILINÇ deniz.kilinc@cbu.edu.tr YZM 1101 Celal Bayar Üniversitesi Hasan Ferdi Turgutlu Teknoloji Fakültesi Genel Bakış 2 Koşul Karşılaştırma Operatörleri Mantıksal

Detaylı

BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA

BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA Yrd. Doç. Dr. Beytullah EREN beren@sakarya.edu.tr 0264 295 5642 Excel - Hücreler Excel de hücrelere hangi değerler girilebilir? Metin Rakam Tarih ve Saat Formül 1 HÜCRE SEÇİMİ Matematikteki

Detaylı

Internet Programming II. Elbistan Meslek Yüksek Okulu Bahar Yarıyılı

Internet Programming II. Elbistan Meslek Yüksek Okulu Bahar Yarıyılı Internet Programming II Elbistan Meslek Yüksek Okulu 2015 2016 Bahar Yarıyılı Öğr.Gör. Murat KEÇECİOĞLU 14 Mar. 2016 1 Bileşik Atama Operatörleri İki değişken arasında gerçekleştirilen atama ve aritmetik

Detaylı

Algoritmalar ve Programlama. Algoritma

Algoritmalar ve Programlama. Algoritma Algoritmalar ve Programlama Algoritma Algoritma Bir sorunu / problemi çözmek veya belirli bir amaca ulaşmak için gerekli olan sıralı mantıksal adımların tümüne algoritma denir. Algoritma bir sorunun çözümü

Detaylı

Programın Akışının Denetimi. Bir arada yürütülmesi istenen deyimleri içeren bir yapıdır. Söz dizimi şöyledir:

Programın Akışının Denetimi. Bir arada yürütülmesi istenen deyimleri içeren bir yapıdır. Söz dizimi şöyledir: Programın Akışının Denetimi Bir program komutların yazıldığı sırada akar. Ama çoğunlukla, bu akışı yönlendirmek gerekir. Bu iş için denetim yapılarını kullanırız. Bunlar iki gruba ayrılabilir: Yönlendiriciler

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR 1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR Bu bölümde ilk olarak Matematikte çok önemli bir yere sahip olan Bağıntı kavramnı verip daha sonra ise Fonksiyon tanımı verip genel özelliklerini inceleyeceğiz. Tanım 1 A B

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI 0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

Problem Set 1 Çözümler

Problem Set 1 Çözümler Algoritmalara Giriş Eylül 30, 2005 Massachusetts Institute of Technology 6.046J/18.410J Profesörler Erik D. Demaine ve Charles E. Leiserson Dağıtım 8 0J Professors Erik D. Demaine ve Charles E. Leiserson

Detaylı

BLG 1306 Temel Bilgisayar Programlama

BLG 1306 Temel Bilgisayar Programlama BLG 1306 Temel Bilgisayar Programlama WEB : mustafabahsi.cbu.edu.tr E-MAIL : mustafa.bahsi@cbu.edu.tr Değişken ve Atama Bilgisayar programı içerisinde ihtiyaç duyulan sembolik bir ifadeyi veya niceliği

Detaylı

DERS ÖĞRETİM PLANI TÜRKÇE. 1 Dersin Adı: Sembolik Mantık II. 2 Dersin Kodu: FLS Dersin Türü: Seçmeli. 4 Dersin Seviyesi: Lisans

DERS ÖĞRETİM PLANI TÜRKÇE. 1 Dersin Adı: Sembolik Mantık II. 2 Dersin Kodu: FLS Dersin Türü: Seçmeli. 4 Dersin Seviyesi: Lisans DERS ÖĞRETİM PLANI TÜRKÇE 1 Dersin Adı: Sembolik Mantık II 2 Dersin Kodu: FLS 3010 3 Dersin Türü: Seçmeli 4 Dersin Seviyesi: Lisans 5 Dersin Verildiği Yıl: 3 6 Dersin Verildiği Yarıyıl: Bahar/VI.yarıyıl

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR Test -1

TEMEL KAVRAMLAR Test -1 TEMEL KAVRAMLAR Test -1 1. 6 ( ) 4 A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5. 4 [1 ( 3). ( 8)] A) 4 B) C) 0 D) E) 4. 48: 8 5 A) 1 B) 6 C) 8 D) 1 E) 16 6. 4 7 36:9 18 : 3 A) 1 B) 8 C) D) 4 E) 8 3. (4: 3 + 1):4 A) 3 B) 5

Detaylı

Günümüz bilgi toplumunda bilgisayar, her alanda kendine yer edinmiş ve insana, bir çok işlemde yardımcı olarak büyük kolaylık sağlamaktadır.

Günümüz bilgi toplumunda bilgisayar, her alanda kendine yer edinmiş ve insana, bir çok işlemde yardımcı olarak büyük kolaylık sağlamaktadır. I. GİRİŞ Günümüz bilgi toplumunda bilgisayar, her alanda kendine yer edinmiş ve insana, bir çok işlemde yardımcı olarak büyük kolaylık sağlamaktadır. İnsanların elle yaptığı ve yapmakta olduğu bir çok

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

MATEMATİK I Ders Notları

MATEMATİK I Ders Notları MATEMATİK I Ders Notları Gazi Üniversitesi Gazi Eğitim Fakültesi Bilgisayar ve Öğretim Teknolojileri Eğitimi Bölümü, ANKARA 2009 2010 1. ÖNBİLGİLER 1 İÇİNDEKİLER 1.1. ÖNERMELER MANTIĞI... 2 1.2. KÜMELER...

Detaylı

Microsoft Office Excel 2007

Microsoft Office Excel 2007 2014 Microsoft Office Excel 2007 Öğr. Gör. Serkan KORKMAZ Harran Üniversitesi Birecik Meslek Yüksekokulu İçindekiler MİCROSOFT OFFİCE EXCEL 2007... 4 EXCEL ORTAMINDA ÇALIŞMAK... 4 EXCEL ÇALIŞMA SAYFASI...

Detaylı

Toplama işlemi için bir ikili operatör olan artı işareti aynı zamanda tekli operatör olarak da kullanılabilir.

Toplama işlemi için bir ikili operatör olan artı işareti aynı zamanda tekli operatör olarak da kullanılabilir. www.csharpturk.net Türkiye nin C# Okulu Yazar Yunus Özen Eposta yunus@yunus.gen.tr Tarih 08.04.2006 Web http://www.yunusgen.tr ARİTMETİK OPERATÖRLER VE KULLANIM ŞEKİLLERİ Bilgisayarlar yapıları gereği,

Detaylı

Yrd.Doç.Dr. Celal Murat KANDEMİR. Kodlama (Coding) : Bir nesneler kümesinin bir dizgi (bit dizisi) kümesi ile temsil edilmesidir.

Yrd.Doç.Dr. Celal Murat KANDEMİR. Kodlama (Coding) : Bir nesneler kümesinin bir dizgi (bit dizisi) kümesi ile temsil edilmesidir. Bilgisayar Mimarisi İkilik Kodlama ve Mantık Devreleri Yrd.Doç.Dr. Celal Murat KANDEMİR ESOGÜ Eğitim Fakültesi - BÖTE twitter.com/cmkandemir Kodlama Kodlama (Coding) : Bir nesneler kümesinin bir dizgi

Detaylı

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI

11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI 11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI Programın öğrencilerde geliştirmeyi hedeflediği becerilerle 11. sınıf matematik öğretim programı ilişkisi Modelleme/Problem çözme Matematiksel Süreç

Detaylı

ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK 3 BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI

ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK 3 BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK 3 BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI 1.KURUM ADI: Özel Çorum Ada Özel Öğretim Kursu 2. KURUMUN ADRESİ: Yavruturna Mah. Kavukçu Sok. No:46/A ÇORUM/MERKEZ 3. KURUCUNUN

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

Excel de Düşeyara Vlookup) Fonksiyonunun Kullanımı

Excel de Düşeyara Vlookup) Fonksiyonunun Kullanımı FARUK ÇUBUKÇU EXCEL AKADEMİ Excel de Düşeyara Vlookup) Fonksiyonunun Kullanımı Excel de arama ve veri işleme konusunda en önemli fonksiyonlardan birisi olan DÜŞEYARA (İngilizce sürümde VLOOKUP) fonksiyonu

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

Boole Cebri. (Boolean Algebra)

Boole Cebri. (Boolean Algebra) Boole Cebri (Boolean Algebra) 3 temel işlem bulunmaktadır: Boole Cebri İşlemleri İşlem: VE (AND) VEYA (OR) TÜMLEME (NOT) İfadesi: xy, x y x + y x Doğruluk tablosu: x y xy 0 0 0 x y x+y 0 0 0 x x 0 1 0

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNERMELER BİLEŞİK ÖNERMELER AÇIK ÖNERMELER İSPAT YÖNTEMLERİ

İÇİNDEKİLER ÖNERMELER BİLEŞİK ÖNERMELER AÇIK ÖNERMELER İSPAT YÖNTEMLERİ - MANTIK İÇİNDEKİLER Safa No Test No ÖNERMELER...-... - BİLEŞİK ÖNERMELER...-... -6 AÇIK ÖNERMELER...-6... 7-8 İSPAT YÖNTEMLERİ...7-8... 9-9 - KÜMELER KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR...9-4... - KÜMELERDE İŞLEMLER...5-6...

Detaylı

MATE 409 SAYILAR TEORİSİ BÖLÜM: 8. Muazzez Sofuoğlu Nebil Tamcoşar

MATE 409 SAYILAR TEORİSİ BÖLÜM: 8. Muazzez Sofuoğlu Nebil Tamcoşar MATE 409 SAYILAR TEORİSİ BÖLÜM: 8 LİNEER KONGRÜANSLAR Muazzez Sofuoğlu 067787 Nebil Tamcoşar 8.1. Bir Değişkenli Lineer Kongrüanslar a,b ve m/a olmak üzere; Z ax b(modm) şeklindeki bir kongrüansa, birinci

Detaylı

MİNTERİM VE MAXİTERİM

MİNTERİM VE MAXİTERİM MİNTERİM VE MAXİTERİM İkili bir değişken Boolean ifadesi olarak değişkenin kendisi (A) veya değişkenin değili ( A ) şeklinde gösterilebilir. VE kapısına uygulanan A ve B değişkenlerinin iki şekilde Boolean

Detaylı

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ :

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : a ve b elemanlarının belirttiği ( a, b ) şeklindeki ikiliye sıralı ikili denir. Sıralı ikili denilmesindeki sebep bileşenlerin yeri değiştiğinde ikilinin değişmesindendir.

Detaylı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1 Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı Mart 2015 0 SORU 1) Bulanık Küme nedir? Bulanık Kümenin (fuzzy

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar

Detaylı

1- Sayı - Tam sayıları ifade etmek için kullanılır. İfade edilen değişkene isim ve değer verilir.

1- Sayı - Tam sayıları ifade etmek için kullanılır. İfade edilen değişkene isim ve değer verilir. Değişkenler 1- Sayı - Tam sayıları ifade etmek için kullanılır. İfade edilen değişkene isim ve değer verilir. Örnek Kullanım : sayı değer= 3; sayı sayı1; 2- ondalık - Ondalık sayıları ifade etmek için

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

FBEB-512 C++ ile Nesne Tabanlı Programlama Güz 2009 (1. Hafta) (Yrd. Doç. Dr. Deniz Dal)

FBEB-512 C++ ile Nesne Tabanlı Programlama Güz 2009 (1. Hafta) (Yrd. Doç. Dr. Deniz Dal) FBEB-512 C++ ile Nesne Tabanlı Programlama Güz 2009 (1. Hafta) (Yrd. Doç. Dr. Deniz Dal) Algoritma Geliştirme ve Akış Diyagramları BİLGİSAYARLA PROBLEM ÇÖZÜMÜ AŞAMALARI Analiz Algoritma Geliştirilmesi

Detaylı

SEMBOLİK MANTIK MNT102U

SEMBOLİK MANTIK MNT102U DİKKATİNİZE: BURADA SADECE ÖZETİN İLK ÜNİTESİ SİZE ÖRNEK OLARAK GÖSTERİLMİŞTİR. ÖZETİN TAMAMININ KAÇ SAYFA OLDUĞUNU ÜNİTELERİ İÇİNDEKİLER BÖLÜMÜNDEN GÖREBİLİRSİNİZ. SEMBOLİK MANTIK MNT102U KISA ÖZET KOLAY

Detaylı

7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER:

7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER: 7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER: Bilindiği üzere, matematikte ortaya konan her yeni kavram, kendinden önceki tanımlanmış kavramlar cinsinden, herhangi bir tereddüt veya muğlâklığa mahal bırakmayacak resmî

Detaylı

MS Excel. Excel Microsoft Office in bir parçasını oluşturur. Office 2007, Office 2010, Office 2013, Office 2016

MS Excel. Excel Microsoft Office in bir parçasını oluşturur. Office 2007, Office 2010, Office 2013, Office 2016 MS Excel Elektronik tablolama veya hesaplama programı olarak da adlandırılan Excel, girilen veriler üzerinde hesap yapabilme, tablolar içinde verilerle grafik oluşturma, verileri karşılaştırıp sonuç üretebilme

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal

Detaylı

Veritabanı. SQL (Structured Query Language)

Veritabanı. SQL (Structured Query Language) Veritabanı SQL (Structured Query Language) SQL (Structured Query Language) SQL, ilişkisel veritabanlarındaki bilgileri sorgulamak için kullanılan dildir. SQL, bütün kullanıcıların ve uygulamaların veritabanına

Detaylı

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI Sayı ekseni üzerindeki tüm noktalarda değer alabilen değişkenler, sürekli değişkenler olarak tanımlanmaktadır. Bu bölümde, sürekli değişkenlere uygun olasılık dağılımları üzerinde

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

enum bolumler{elektronik, insaat, bilgisayar, makine, gida};

enum bolumler{elektronik, insaat, bilgisayar, makine, gida}; BÖLÜM 12: Giriş C programlama dilinde programcı kendi veri tipini tanımlayabilir. enum Deyimi (Enumeration Constants) Bu tip, değişkenin alabileceği değerlerin belli (sabit) olduğu durumlarda programı

Detaylı

BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA DERSİ

BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA DERSİ BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA DERSİ 5. DERS NOTU Konu: Döngü Yapıları Hazırlayan: Yrd. Doç. Dr. Ahmet DUMLU DÖNGÜ YAPILARI Birçok uygulamada bazı işlemlerin tekrar tekrar gerçekleştirilmesi gerekir. Bizlere bu

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Temel Matematik Testi - 3

Temel Matematik Testi - 3 Test kodunu sitemizde kullanarak sonucunuzu öğrenebilir, soruların video çözümlerini izleyebilirsiniz. Test Kodu: 003. u testte 0 soru vardır. 2. Tavsiye edilen süre 0 dakikadır. Temel Matematik Testi

Detaylı

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez.

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez. MTEMTĐK ĐM YILLR 00 00 004 005 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - - - - 1 1 1/1 /LYS KÜMELER TNIM: in tam bir tanımı yoksa da matematikçiler kümeyi; iyi tanımlanmış nesneler topluluğu olarak kabul

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı