DEĞİŞKENLİK (YAYIKLIK) ÖLÇÜLERİ

Transkript

1 SAÜ 6. BÖLÜM DEĞİŞKELİK (YAYIKLIK) ÖLÇÜLERİ PROF. DR. MUSTAFA AKAL İÇİDEKİLER 1. DEĞİŞKELİĞİ TAIMI VE ÇEŞİTLERİ. AALATİK OLMAYA DEĞİŞKELİK ÖLÇÜLERİ 3. ORTALAMA MUTLAK SAPMA 3.1. Bast Serde Ortalama Mutla Sapma 3.. Tasnf Edlmş Serde Ortalama Mutla Sapma 3.3. Gruplanmış Serde Ortalama Mutla Sapma 4. STADART SAPMA VE VARYAS 4.1. Bast Serde Standart Sapma ve Varyans 4.. Tasnf Edlmş Serde Standart Sapma ve Varyans 4.3. Gruplanmış Serde Standart Sapma ve Varyans 5. DEĞİŞİM KATSAYISI 6. ÖREKLEMİ VARYAS VE STADART SAPMASII HESAPLAMASI 7. STADART SAPMAI ÖZELLİKLERİ VE FAYDALARI 8. TOPLAMA ORAI HEDEFLER Değşenlğn ve çeştlernn tanıtılması, değşm aralığı, OMS, standart sapma, varyans, değşm atsayısı ve toplanma oranı avramlarının tanıtılması ve yorumu.

2 1. DEĞİŞKELİĞİ TAIMI VE ÇEŞİTLERİ Serler çn hesaplanan ve te br raamla gösterlen merez eğlm ölçüler, o sernn merez haında bazı faydalı blgler verse de te başına o sernn dağılımı ve dğer serlerle arşılaştırılması çn ayrıntılı blg vermez. Bundan dolayı sernn değşenlğn belrleme ve dğer serlerle arşılaştırma çn lave blglere htyaç vardır. Araştırmacı sernn dağılımı (yayılığı) yan serde değerlern ortalamadan ne ölçüde uza ya da yaın olduğunu ölçmeye ve serler arşılaştırmaya da htyaç duyar. Bunun çn de serlern merez eğlm ölçülerne lave olara DEĞİŞİM ölçülernn de hesaplanması gerer. Değşm ölçülernn önemn br örnele açılayablrz. ÖREK: Aşağıda serler İtsat ve Kamu Yönetm bölümünde öğrenclern statst fnal notlarını vermetedr. İtsat Bölümü (X ) Kamu Yönetm Bölümü (Y ) İ sınıfında artmet ortalaması ve medyanı hesaplandığında, sınıfların aynı artmet ortalamaya ve medyana sahp olduğu görülmetedr. ve Medyan = 50 Merez eğlm ölçülerne batığımızda sınıf arasında br far gözümüyor olsa da verlern yayılımında farlılı olduğu datlerden açmamatadır. İtsat bölümünde öğrenclern notları görecel olara Kamu Yönetm bölümünde öğrenclern notlarından brbrne daha yaındır. Dğer br fadeyle, İtsat bölümünde öğrenclern notları Kamu Yönetm bölümünde öğrenclern notlarıyla arşılaştırıldığında 1

3 ortalama değer etrafında daha yaın dağılmıştır. Bu nedenle serlern dğer özelllern de ortaya oyaca merez eğlm ölçüler dışında değşm ölçülerne htyaç vardır. Değşm ölçüler genel olara Değşm Aralığı (Range), Ortalama Sapma, Standart Sapma, Varyans ve Değşm (değşenl) Katsayısı olara blnr. Değşenl, ser termlernn değerce brbrlernden farlılıları ve değerce nasıl dağıldılarını fade eder. Dağılma, graf üzernde, özellle apsste apladığı ısmın ennde endn gösterr. Br sernn değşenlğ arttıça ölçe sabt alma şartıyla, o ısım genşler. Değşenl azaldığı oranda ortalamanın temsl ablyet azalmata, değşenl azaldığı oranda ortalama temsl olma vasfını azanmatadır. Br sernn bölünmes o sernn grafte y esennde apladığı bölümde ortaya çımatadır. Sery tam olara tanımlayablme çn ortalama yanında değşenl ve bölünme şelnden yararlanılır. Değşenl ölçülernn hesaplanmasında sernn bütün termler date alınmasına analat değşenl ölçüler, sernn tüm termlernn hesaplanmaya atılmadığı değşenl ölçüsüne analt olmayan değşenl ölçüler denr.. AALATİK OLMAYA DEĞİŞKELİK ÖLÇÜLERİ Analt olmayan değşenl ölçüler; Değşm Aralığı ve Kartller Arası Fartır..1. Değşm Aralığı Serde en büyü gözlem değer le en üçü gözlem değer arasında fara DEĞİŞİM ARALIĞI denr. Formülü aşağıda gb yazılır. DA = X max - X mn Yuarıda örnete İtsat bölümü çn DA = = 40 ve Kamu yönetm bölümü çn DA = 95-5 = 90 olara hesaplanır. Tüm gözlem değerlernn brbrnden ya da ortalamadan farlarını ortaya oymaması açısından sernn dağılımı haında fazla br blg çermez. Değşm Aralığı atsayısı yuarıda örneten de görüldüğü gb özellle serde uç değerlerden aşırı etlenmetedr. Özelller:. D.A. nın hesabı olaydır.. Ayırı ve uç değerlerden hemen etlenr.. Açı uçlu dağılımlar çn hesaplanamaz... Kartller Arası Far Değşm aralığının sernn ucunda yer alan anormal termlerden hemen etlenmes saıncasını gderme üzere artller arası far (KAF) adı verlen ölçü ullanılır. Bu ölçü KAF= Q 3 Q 1 e eşttr.

4 ÖREK: Aşağıda A ve B serlernn değşenllern DA ve KAF le arşılaştırınız? A B A sers: D.A = X max - X mn = 15 - =3 tür, K.A.F. = Q3 Q1=9 5=4 dr. B sers: D.A = X max - X mn = 11 - =9 tür, K.A.F. = Q3 Q1 =9-3=6 dır. B çn artller; Q1. term olduğundan.term = Q 1 = Q3. termolduğundan 5.term=Q 3 =9. 4 Benzer olara A sersnn artller bulunur ve KAF hesaplanır. Değşm aralığının sernn ucunda yer alan anormal termlerden hemen etlenmes saıncasını gderme üzere artller arası far adı verlen ölçü ullanılır. Kartller arası farı büyü olan sernn değşenlğ artller arası farı üçü olan serye nazaran değşenlğ daha fazladır. Dağılma özellğ yüsetr. Örneğn A sersnn artller arası farı 4 ve B sersnn KAF ı 6 se; B sersnn değşenlğ A sersnn değşenlğ Çünü 6 4 tür. Bütün serlerde bu özell aynıdır. Oysa Değşm aralığı rterne baılaca olsaydı A sersnn değşenlğ B sersnnnden daha büyü olara abul edlecet. ÖREK: Sınıflanmış Serlerde KAF ın hesabı. A B X X Q1. term Q3. term Q. term 4 A; Q1 5; Q3 7 B; Q1 ; Q3 5 3

5 KAF A =7-5= < KAF B =5-=3, B sers daha değşendr. KAF ın Özelller:. Hesabı D.A. dan braz daha olaydır.. Ayırı ve uç değerlerden etlenmez.. Açı uçlu dağılımlar çn hesaplanablr..3. Kartller Arası Değşm Katsayısı Kartller Arası Değşm Katsayısı (KADK) artllere dayanan dğer br değşenl 1 ölçüsüdür. Q1 ve Q 3 br ser çn verlsn. 1 3 Q Q bze sernn merez eğlmn verr veya ortalamasını verr. 1 Q Q3 Q1 bze artller arası farın yarısını verr. Bu bze ver dağılımının asmetrs haında blg verr. Mutla değer ne adar büyü se sernn değşenlğ ve asmetrs o adar yüsetr. 1 Q Q3Q1 formülü ullanılara Kartller Arası Değşm Katsayısı hesaplanara asmetr dağılımın nsp değer de belrleneblr. sp asmetr ölçüsü ve değşenlğ se şöyledr; Kartller Arası Değşm Katsayısı; V Q 1 ( Q3 Q1 ) ( Q3 Q1) 1 ( Q ( 3 1) 3 Q1) Q Q ÖREK: Br sernn Q 3 =69.61, Q 1 =65.64 se KADK nedr? V Q % Değer sıfırdan büyü olduğu çn ser sağa eğtr. İ artl arası farın değşenlğ % dr. ÖREK: İ serye at olara ser A: Q 1 =.9, Q 3.43, Q 3 =5 ve Ser B: Q 1 =4.5, Q 5.5, Q 3 =6.40 artl değerlern ullanara sernn çarpılığını ve değşenlğn arşılaştırınız? Pearson Asmetr ölçüsünü ullanara B AS ve AS her ser asmetrs haff sağa eğ serlerdr. A P K.A.D.K. nı ullanara; P 4

6 A V Q B V Q % % olduğu bulunur. A B VQ %37 > V Q =%0 olduğundan A sers değşenlğnn daha yüse olduğu görülür; Dolayısıyla A sers daha asmetr ve değşenlğ daha yüsetr. 3. AALİTİK DEĞİŞKELİK ÖLÇÜLERİ 3.1. ORTALAMA MUTLAK SAPMA (OMS) Değşm aralığı hesaplanıren serde tüm değerler ullanılmadığı çn blg aybı olablr ve bu br esltr. Bundan dolayı serde değşm ölçme çn daha ler ve tüm değerler hesaba atan değşm ölçülerne htyaç vardır. Br serde gözlem değerlernn o sernn artmet ortalamasından farlarının (sapmalarının) mutla değernn ortalamasına ORTALAMA MUTLAK SAPMA denr. Bu değşm ölçüsü gözlem değerlernn artmet ortalamadan ne adar saptığını göstermes açısından değşenl haında blg çerr. Ortalama Mutla Sapma, termlern artmet ortalamadan mutla sapmalarının artmet ortalamasıdır. OMS Medyana göre de hesaplanablr. Ortalama mutla sapma bast serler, tasnf edlmş serler ve gruplanmış serler çn hesaplanablr. ORTALAMA MUTLAK SAPMASI (AAKÜTLE) Bast serlerde Sınıflanmış serlerde Gruplanmış serlerde OMS X -X 1 1 OMS X 1 -X m -X 1 OMS 1 Ortalama mutla sapmanın medyana göre hesaplanmasında se X = M e formülde yerne onur. Ortalama mutla sapması büyü olan ser daha değşendr Bast Serde Ortalama Mutla Sapma Bast serde Ortalama Mutla Sapma aşağıda formül yardımıyla hesaplanır. 5

7 ÖREK: İstatst ders sınavına gren 5 öğrencnn aldığı notlar aşağıda tabloda verlmştr. Öğrenclern aldığı notların ortalama mutla sapmasını hesaplayınız. İstatst otları (X ) Ortalama Sapmalar Ortalama Mutla Sapmalar = = = = = Beş öğrencnn notlarının ortalamadan sapması mutla değer olara 16.8 bulunmuştur Sınıflanmış Serlerde Ortalama Mutla Sapma Tasnf edlmş serde Ortalama Mutla Sapma aşağıda formül yardımıyla hesaplanır. ÖREK: Malye bölümü öğrenclernn İstatst fnal sınavı notları tasnf edlmş ser olara aşağıda verlmştr. Bu dağılımın ortalama mutla sapmasını hesaplayınız. Öğrenclern otları (X ) f f X

8 Toplam İl aşamada artmet ortalama hesaplanır. Artmet ortalamadan mutla sapmalar ( ) bulundutan sonra her br gözlemn artmet ortalamadan mutla sapması freansı le çarpılır ( ). Bulunan değerler formülde yerne onulduğunda tasnf edlmş sernn OMS bulunur. olara bulunur Gruplanmış Serde Ortalama Mutla Sapma Gruplanmış serde Ortalama Mutla Sapma aşağıda formül yardımıyla hesaplanır. ÖREK: Saarya Ünverstes İİBF öğrenclernn statst yılsonu notları gruplanmış ser olara aşağıda verlmştr. Bu dağılımın ortalama mutla sapmasını hesaplayınız. ot Sınıfları (Gruplar) m f m f

9 , , , , İl aşamada artmet ortalama hesaplanır. İnc aşamada sınıf orta değerler (m ) bulunur. Artmet ortalamadan mutla sapmalar ( ) bulundutan sonra her br gözlemn artmet ortalamadan mutla sapması freansı le çarpılır ve toplamları alını; onulduğunda gruplanmış sernn OMS bulunur.. Bulunan değerler formülde yerne olara bulunur. Anca aşağıda yalaşım O.M.S. değern daha doğru verr: Gruplanmış Serde Ortalama Mutla Sapma Hesabında Eğlm Gruplanmış serlerde formülü uygulamadan önce artmet ortalamayı htva eden sınıfı ortalamaya adar ve ortalamadan sonra olma üzere ye bölme gerer. X ler yerne sınıf ortaları yan (m ) ler date alınır. Gruplar m m -4 den az dan az den az dan az Σ =16 Σ m =106 m =1 106 Σ =16, Σ m =106 se X = = = =1 8

10 Sınıflar m m - X m -X m -X -4 den az dan az den az den az dan az Sonra aşağıda ser üzernden OMS oluşturulur. Σ m -X = freansı 6-8 den az sınıfında bulunur. 6-8 den az sınıfını ( den az) ve ( den az) şelnde ye bölerz ve bu bölme esnasında 6-8 den az sınıfının freansı bu bölünmüş sınıfa sınıf aralıları le orantılı olara dağıtılır. Sınıflar Sınıf aralıları Freanslar freans den az 0.65 a den az t den az s 7*0.65 a.1875, yan freansların % açının 0.66 sınıf aralığına arşılı s geldğn buluruz. a + t = t =7 t =4.815 Ortalama Mutla Sapma OMS 5 m-x dır Ortalama Mutla Sapmanın Özelller. Her gözlem sapmasına eşt ağırlı verr.. Ortalamadan sapmalar bçmnde olduğu gb Medyandan sapmalar şelnde de hesaplanablr.. Hesabı ve anlaşılması standart sapmaya göre daha olaydır. v. OMS, standart sapma adar olmasa da serde aşırı değerlern ets altında alır. 9

11 v. Açı gruplu serlerde OMS hesaplanamaz. Hesaplama çnse grup üst veya alt sınır çn br tahmn yapılır. v. OMS matematsel şlemlere uygun değldr. v. Öngörü doğrulu ıyaslaması ve öngörü model seçmnde ullanılablmetedr. 3.. STADART SAPMA VE VARYAS Gözlem değerlernn artmet ortalamadan farlarının toplamı sıfır olacağından, bu farların mutla değern alara ortalama mutla sapmaları hesaplandı. Ortalama Mutla sapmaya alternatf olara br değşenl ölçüsü olara standart sapma ullanılablr. Br serde gözlem değerlernn o sernn artmet ortalamasından farlarının (sapmalarının) aresnn toplamının ortalamasına VARYAS ve areöü alınan varyansa STADART SAPMA denr. Standart sapma, termlern artmet ortalamadan farlarının arel ortalamasından barettr. Standart sapması üçü olan ser daha değşendr. Ana ütlenn varyansı ve standart sapması σ (sgma) smges le gösterlren, örnelemn varyansı ve standart sapması s smges le gösterlr. Serlerde varyans ve dolayısıyla standart sapma arttıça sernn yayganlığı artmatadır. Ana ütlenn artmet ortalaması μ ve örnelemn artmet ortalaması smges le gösterlr. Bu bölümde ana ütle üzernde çalışacağımız varsayımı altında artmet ortalama μ le gösterlecetr. AAKÜTLEİ STADART SAPMASI Bast Serlerde Sınıflanmış Serlerde Gruplanmış Serlerde 1 X - 1 X m - 1 Örnelem standart sapması le lglenldğnde, σ yerne s, μ yerne X smges ve yerne n smges terch edlr ve toplam örnelemn freans (gözlem) sayısının br esğ le bölünür. Burada serde bulunan farlı term ya da grup sayısıdır. 1 s Gruplanmış serlere Sheppard düzeltmes uygulanır; 1 s= Orta sınıf aralığı 1 =Düzeltlmş Sheppard düzeltlmesnn yapılablmes çn sernn bölünmesnn normal veya normale yaın, ayrıca freanslarının büyü ve sernn ucunda asmptot olara sıfıra yalaşma eğlmnde olması gerer. J, ters J ve U serlernde ve ço asmetr serlerde 10

12 düzeltmenn yararı yotur. Bu düzeltme sınıf sayısının yeternce ço olmaması halnde anlam taşımaz. ot: 1) > ortalama sapma (Standart Sapma > Ortalama Mutla Sapma) ) K > A ( Karel Ortalama>Artmet Ortalama) 3) > Bast Serde Standart Sapma ve Varyans Bast serlerde Varyans ve Standart Sapma aşağıda formül yardımıyla hesaplanır. 1 X - 1 X - ÖREK: İstatst ders sınavına gren 5 öğrencnn aldığı notlar aşağıda tabloda verlmştr. Öğrenclern aldığı notların (bast sernn) varyansını ve standart sapmasını hesaplayınız? İstatst otları (X ) Ortalama Sapmalar Ortalama Mutla Sapmalar = = = = =

13 Yorum: Her br öğrencnn notu artmet ortalamadan (66) ortalama olara 18.5 standart sapma farlılı göstermetedr Tasnf Edlmş Serde Standart Sapma ve Varyans Tasnf edlmş serlerde Varyans ve Standart Sapma aşağıda formül yardımıyla hesaplanır. 1 X X - 1 ÖREK: Malye bölümü öğrenclernn İstatst fnal sınavı notlarının tasnf edlmş ser olara aşağıda verlmştr. Bu dağılımın (tasnf edlmş sernn) varyansını ve standart sapmasını hesaplayınız? Öğrenclern otları (X ) X - X - X Toplam 1 =0 X - =

14 X İl aşamada artmet ortalama hesaplanır X X Yorum: Her br öğrencnn notu artmet ortalamadan (70) ortalama olara 14.5 standart sapma farlılı göstermetedr Gruplanmış Serde Standart Sapma ve Varyans Gruplanmış serlerde Varyans ve Standart Sapma aşağıda formül yardımıyla hesaplanır. 1 m - 1, Gruplanmış serlerde 1 m - 1 Sınıflar m m m m m -6 dan az dan az ten az den az Σ m ,

15 n 1 m 06.4, Gruplanmış ser olduğu çn düzeltme gerer. 1 s Yorum: Her br termn değer artmet ortalamadan (11.6) ortalama olara standart sapma farlılı göstermetedr Standart sapma arel ve artmet ortalama yardımıyla şu şelde hesaplanır. hesaplanır. Br önce örneğe uygulayalım: K K. Bunun çn önce arel ortalamanın ve artmet ortalamanın areler m , X Gruplanmış ser olduğu çn düzeltme gerer. 1 s ÖREK: Tabloda verlen gruplanmış sernn varyansını bunuz? Sınıflar m m m -4 den az dan az den az dan az Σ m 106 X 6.65, K m

16 Alternatf olara aşağıda şelde de standart sapma hesaplanablr. Sınıflar m m X m X -4 den az 3 (3.65)= dan az 5 (1.65)= den az (0.315)= den az (0.6875)= dan az 4 9 4(.375)= Toplam Standart Sapma ve Varyansın Özelller 1. Br sernn bütün termlerne aynı sayı elenr veya toplanırsa sernn varyansı değşmez. a) b) X X X X V X V X X X X X V X V X Br serye sayısı çıartılır veya toplanırsa artmet ortalama adar artar veya azalır anca sernn standart sapması değşmez.. Br sernn bütün termlern aynı sayıyla çarptığımızda ya da böldüğümüzde, varyans çarpılan sayının ares le orantılı olara büyür ya da bölümün aresyle orantılı olara üçülür. Yne burada termler br sayı le çarpılırsa artmet ortalama o sayı adar büyür ve bölünürse üçülür özellğnden hareetle; a) LXLX X X L. V LX L V X 15

17 b) X L 1 X X. X 1 V V X L X L L 3. Brbryle lşl sernn termlernn arşılılı toplanması (veya çıarılması) sonucu elde edlen sernn varyansı, bu serlern varyansları toplamı (çıarımı) ovaryansının atının toplamına (farına) eşttr. Yne sernn termlernn arşılılı olara artmet ortalaması bu serlern artmet ortalamalarının toplamına eşttr; artmet ortalama özellğnden yararlanara; a) X Y X Y X X Y Y = X X Y Y X X Y Y V X Y V X V Y Cov XY L = b) X Y X Y X X Y Y X X Y Y X X Y Y V X Y V X V Y Cov XY Kovaryans serler arası lşnn varlığını ve yönünü belrleyen br özellğe sahptr. 4. Brbrnden bağımsız sernn termlernn arşılılı olara toplanması (çıartılması) suretyle elde edlen sernn varyansı, bu serlernn varyansları toplamına (çıarımına) eşttr. Çünü X ve Y bağımsız ser se; Cov(X,Y)=0 dır. Ve V X Y V X V Y 5. > OMS dır DEĞİŞİM KATSAYISI (DK) Ölçüm brmler aynı olan sernn dağılımının değşenlğn arşılaştırma mümün en farlı ölçü brmler ullanan sernn dağılımının değşmlern gösteren standart sapmalarını arşılaştırılara serlern değşenlğn ıyaslama mümün değldr. Bu nedenle serlern standart sapmasının ortalamasına göre yüzdes alınara DEĞİŞİM KATSAYISI hesaplanır. Farlı ölçü brmlerne sahp serlern değşm atsayıları yardımıyla değşenller arşılaştırılablr. Değşm atsayısının formülü aşağıda verlmştr. 16

18 Bu formül yardımıyla hesaplanan değşm atsayılarında ölçü brmler ortadan alara farlı ölçümlü serlern değşenlğ bu oranlar arşılaştırılara yapılablr. ÖREK: Tabloda 5 şye at yaş ve ağırlılardan vermetedr. Bu şlern yaş ve ağırlılarından oluşan bu sernn değşenllern arşılaştırınız. Yaş (Yıl) (X - µ yaş ) Ağırlı (Klogram) (X - µ ağırlı ) Yaş ve ağırlı farlı ölçü brmler le ölçüldüğünden standart sapmalarına baara serlern değşmlern arşılaştırma sağlılı olmaz. Değşm atsayılarını hesaplamamız gerer. µ yaş =, µ ağırlı = g σ yaş = yıl. σ ağırlı = ğ. Yaş ve ağırlılardan oluşan sernn standart sapmalarını arşılaştırdığımızda ağırlı sersnde değşmn daha fazla olduğu sonucu ortaya çımatadır bu sonuç bz yanıltır. İ sernn ölçü brmler farlı olduğundan standart sapmalarını arşılaştırara böyle br sonuca varma yanıltıcı olacatır. Doğru yöntem her sernn değşm atsayılarını arşılaştırmatır. 17

19 DK yaş = DK ağırlı = Ağırlı sersnn standart sapması daha yüse olmasına rağmen, yaş sersnn değşm atsayısı daha yüsetr. Dolasıyla yaş sersnn değşenlğ ağırlı sersnden daha yüsetr. Gruplanmış serlerde düzeltlmş standart sapma uygulanır. 4. ÖREKLEMİ VARYAS VE STADART SAPMASII HESABI Örnelemn varyansı bast serlerde aşağıda formül yardımıyla hesaplanır. S = Örnelemn varyansı. = Örnelemn artmet ortalaması. n = Örnelemn gözlem sayısı, örnelem hacm. n-1 = Serbestl dereces. Örneten br değer hesaplanıren parametre yerne ullanılan her statst çn gözlem sayısından br esltlr. Burada μ yerne X hesaplanmıştır. Bundan dolayı hesaplamada örnelem gözlem sayısından br çıartılmıştır. Örnelemn standart sapması aşağıda formül yardımıyla hesaplanır. S= Örnelemn standart sapması. ÖREKLEMİ STADART SAPMASI Bast Serlerde Sınıflanmış Serlerde Gruplanmış Serlerde s n 1 X - X n-1 s n X X 1 - n -1 1 s n 1 m -X n STADART SAPMAI FAYDALARI 1. Termlern ortalamadan sapmalarının areler toplamı dolayısıyla varyans mnmumdur. 18

20 . Standart sapma sernn yayganlığı haında blg verr. Standart sapma büyüdüçe (üçüldüçe) sernn grafğnn yayganlığı artar (azalır). 3. Gözlem değerlern artmet ortalamadan sapmalarını standart sapma cnsnden fade edeblrz. Dğer br fade le z normal değşenn oluştururen standart sapmadan yararlanırız. Örneğn statst sınavının ortalaması 60 ve standart sapması 10 olsun. Br öğrenc bu sınavdan 90 almıştır. Bu öğrenc ortalamadan 30 puan fazla almıştır. Standart sapma cnsnden se ortalamadan 3 standart sapma daha yüse almıştır. 4. Ser termlernn cebrsel sapmalarını standart sapmanın atları cnsnden ölçülmesnde ullanılır. Aynı ölçü brmn ullanan farlı serlerde gözlem değerlern standart sapma cnsnden arşılaştırablrz. Örneğn br öğrenc statst ders brnc vzesnden 40 ( ) ve nc vzesnden 80 ( ) almıştır. Bu öğrenc l vzede sınıf ortalamasından 10 puan nc sınavda se 0 puan yüse not almıştır. Standart sapma cnsnden hesapladığımızda, bu öğrenc l vzede sınıf ortalamasından standart sapma ve nc sınavda se sınıf ortalamasından 1 standart sapma daha yüse not almıştır. Dolayısıyla öğrenc brnc vzede daha başarılıdır. 6. TOPLAMA ORAI Günlü hayatımızda gelrlern eşt dağılmadığı görülür. T.O. tsad fatörlern az sayıda büyü ellerde toplanıp toplanmadığını; eşt dağılıp dağılmadığını veya dağılımın eştszl sevyesn belrleme çn ullanılır. cel bölünme serlernden sınıflanmış serlerle gruplanmış serlerde belrl sevyelern altında alan ümülatf oransal freanslarla bunlara teabül eden ümülatf oransal toplam ıymetler arasında br ıyaslama yapmayı sağlama üzere toplanma sers oluşturulur. Sonra şu formül yardımıyla toplanma oranı oluşturulur. 1 p q TO 1 p p = sp ümülatf freans değerler. q = (freans)x(term) değerlernn nsp ümülatf freans değerler. = sınıf sayısı, p -q (-) olamaz, p -q > 0. 0 T. O. 1' dr. 19

21 Grafte 45 derecel çzg p =q olduğunu gösterr. Taralı Alan TO.. AOC A T.O.=0 se brmlern tam eşt dağılımını, T.O.=1 se brmlern te br yerde veya te br elde toplandığını gösterr. 0 < T.O.< 0.5 termlern sınıflar arasında eşt dağıldığını gösterr. Toplanma oranının 1 e yalaşması dağılımda eştszlğn arttığını gösterr. Toplanma oranının 0 a yalaşması dağılımda eştlğn arttığını gösterr. 0 0 Eşt dağılma 45 l br açı yapar. 45 l açılı doğru le eğr arasında alan gölgel alana toplanma alanı adı verlr. Ser eşt dağılmadan uzalaştıça bu alan genşler. p 1 X 1 ve q X 1 p q 1.. ; 1 p 1 TO TO p 1 1 q Bast Serlerde T aralı Alan değer sıfırdır ve T.O.=0 olup tam eşt dağılımı fade eder. p 6.1. Sınıflanmış Serlerde Toplanma Oranının Hesabı 0

22 ÖREK: X sersnn değerler ve freansları aşağıda gb verlmş olsun. Buna göre toplanma oranını bulalım. X.X Σ Σ X %p %q %(p -q ) Toplam Σ =100 Σ X =400 1 p =190 Σ(p -q )= % p.100 % q X X %p lern Σ lern en sonuncusu %100 abul edlme suretyle p ler bulunur; %q lern Σ X lern en sonuncusu %100 abul edlere q ler bulunur Şmd toplanma oranını hesaplayalım. Serde 4 sınıf mevcuttur. Bundan dolayı p, ve (p -q ) farlarının l üçü toplanması geremetedr. %p lern l üçü sırasıyla; =190 dır. Ve %(p -q ) farlarının l üç toplamı se 56.8 dr. 1 p q =1.. x100 x100 1 TO =1 p T.O.= <0.5 olduğundan adldr Gruplanmış Serlerde Toplanma Oranının Hesabı 1

23 ÖREK: X sersnn grupları ve freansları aşağıda gb verlmş olsun. Buna göre toplanma oranını bulalım. Sınıflar m m Σ Σ m %p %q %(p -q ) 8-1 den az dan az den az , den az Toplam Σ =50 Σ m = p =15 ( pq - ) =4.36 =1 %p ler çn; %q ler çn; p q =1.. x100 x100 1 TO =1 p TO < 0.5 adldr ÖREK: Aşağıda şehr büyülüler ve sayıları verlen tabloda nüfusun şehrlere ne derece eşt dağıldığını belrleynz? Şehr büyülüler X Σ Σ X %p %q %(p -q ) den az den az den az den az

24 Toplam Σ =0 Σ X = p =80 %p ler çn; %q ler çn; TO > 0.5 adl değldr. üfus eşt olara şehrlere dağılmamıştır. KAYAKLAR: 1. Yılmaz Özan, Uygulamalı İstatst 1, Saarya Ktapev, Özer Serper, Uygulamalı İstatst 1, Flz Ktapev, Merç Öztürcan, İstatst Ders notları, YTÜ. 4. Andım Oben Balce ve Serdar Demr, İstatst Ders otları, Pamuale Ünverstes, Ayşe Canan Yazıcı, Byostatst Ders otları, Başent Ünverstes. 6. Zehra Mulu ve Yavuz Eren Ataman, Byostatst ve Araştırma Tenler Ders otları, Başent Ünverstes. 3