ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ YÜZEYLERE DAİR BAZI DİFERENSİYEL GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER. Serpil KARAGÖZ

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ YÜZEYLERE DAİR BAZI DİFERENSİYEL GEOETRİK EŞİTSİZLİKLER Serpil KARAGÖZ ATEATİK ANABİLİ DALI ANKARA 7 Her hakkı saklıdır

2 ÖZET Doktora Tezi YÜZEYLERE DAİR BAZI DİFERENSİYEL GEOETRİK EŞİTSİZLİKLER Serpil KARAGÖZ Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü atematik Ana Bilim Dalı Danışman : Doç. Dr..Kemal SAĞEL Bu tez, beş bölümden oluşmaktadır.birinci bölümde, çalışmanın kapsamı ve amacı belirtilmiştir.ikinci bölümde, çalışma için gerekli olan temel tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde, 4-boyutlu Öklid uzayına immersed edilmiş -boyutlu manifoldun Gauss eğriliği ve ortalama eğriliğine dair eşitsizlikler verilmiştir.dördüncü bölümde, 6-boyutlu Öklid uzayına immersed edilmiş 4- boyutlu manifoldun Gauss eğriliği ve Betti sayılarına dair eşitsizlikler verilmiştir.beşinci bölümde, Öklid uzayında elde edilen eşitsizliklerin 4-boyutlu Lorentz uzayındaki karşılıkları verilmiştir. 7, 51 Sayfa Anahtar Kelimeler: Gauss eğriliği, ortalama eğrilik, birinci ve ikinci tipten α inci eğrilikler, Betti sayıları, Lorentz uzayı, Öklid uzayı, Lipschitz-Killing eğriliği, total mutlak eğrilik. i

3 ABSTRACT Ph. D.Thesis SOE DIFFERENTIAL GEOETRIC INEQALITIES FOR SRFACES Serpil KARAGÖZ Ankara niversity Graduate School of Naturel and Applied Sciences Department of athematics Supervisor: Assoc. Prof.Dr..Kemal.SAĞEL This thesisis composed of five chapters.in the first chapter, the aim and content of thesis are explained.in the second chapter, basic definitions and theorems are given.in the third chapter, inequalities with related to Gauss curvature and mean curvature of -dimensional manifold which is immersed into 4-dimensional Euclidean space are given.in the fourth chapter, inequalities with related to Gauss curvature and Betti numbers of 4- dimensional manifold which is immersed into 6- dimensional Euclidean space are given.in the fifth chapter inequalities in the euclidean space are obtained in the 4-dimensional Lorentz space. 7, 51 pages Key Words: Gauss curvature, mean curvature, the αth curvature of first and second kind, Betti numbers, Lorentz space, Öklid space, Lipschitz- Killing curvature, total absolute curvature. ii

4 TEŞEKKÜR Bu çalışmayı hazırlarken değerli vakitlerini esirgemeden bana ayıran, her adımda bilgisine başvurduğum sayın hocam Doç. Dr.. Kemal SAĞEL e, Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞL ve Prof. Dr Erdoğan ESİN e en derin saygı ve teşekkürlerimi arz ederim. Bu çalışmayı hazırlarken benden manevi desteklerini esirgemeyen aileme minnet ve şükranlarımı sunarım. Serpil KARAGÖZ Ankara, Eylül 7 iii

5 İÇİNDEKİLER ÖZET.. i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii SİGELER DİZİNİ.. v 1. GİRİŞ.. 1. TEEL KAVRALAR.1 Lif Demetleri.. Gauss Bonnet Formülü...3 Lipschitz-Killing Eğriliği. 1.4 Bir İmmersiyona Karşılık Gelen Lif Demetleri. 1.5 Total utlak Eğrilik I. ve II. Tipten α inci Eğrilikler Riemann ve Lorentz Geometri 1 3. E 4 ZAYINDA BAZI DİFERENSİYEL GEOETRİK EŞİTSİZLİKLER 3.1 E 4 zayının Yapı Denklemleri 4 3. Negatif Gauss Eğrilikli Yüzeylerde Total utlak Eğriliğin Hesaplanması E 4 zayında II. Tipten Eğriliklere Dair Eşitsizlikler Ortalama Eğriliğe Dair Eşitsizlikler E 6 ZAYINDA BAZI DİFERENSİYEL GEOETRİK EŞİTSİZLİKLER 4.1 E 6 zayının Yapı Denklemleri ve Şekil Operatörü Lipschitz-Killing Eğriliğinin Hesaplanması Gauss Eğriliği G Pozitif ise Total utlak Eğriliğin Hesaplanması Gauss Eğriliği G Negatif ise Total utlak Eğriliğin Hesaplanması L 4 ZAYINDA BAZI DİFERENSİYEL GEOETRİK EŞİTSİZLİKLER 5.1 L 4 zayının Yapı Denklemleri ve Şekil Operatörü L 4 zayında Lipschitz-Killing Eğriliğinin Hesaplanması L 4 zayında Negatif Gauss Eğrilikli Yüzeylerde Total utlak Eğriliğin Hesaplanması KAYNAKLAR ÖZGEÇİŞ... 5 iv

6 SİGELER DİZİNİ χ () G H E n K * λ α g β( ) K Euler karakteristiği Gauss eğriliği Ortalama eğrilik n boyutlu öklit uzayı Total mutlak eğrilik İkinci tipten α inci eğrilik Yüzeyin genusu Betti sayıları toplamı Lipschitz-Killing eğriliği µ α Birinci tipten α inci eğrilik II L n İkinci temel form n- boyutlu Lorentz uzayı v

7 1.GİRİŞ Bu çalışmada -boyutlu manifoldun 4-boyutlu Öklid uzayına immersiyonu durumunda Gauss eğriliği G ve ortalama eğrilik H olan eşitsizliklerin, 4-boyutlu manifoldun 6-boyutlu Öklid uzayına ve -boyutlu manifoldun 4-boyutlu Lorentz uzayına immersiyonu durumundaki karşılıkları ile Lipschitz-Killing eğriliği ve total mutlak eğriliği hesaplanacak ayrıca E 6 ve L 4 ün yapı denklemleri elde edilecek ve immersiyonun şekil operatörü hesaplanacaktır. 1

8 .TEEL KAVRALAR. 1 Lif Demetleri Lif demetleri teorisi ve uygulamaları 194 dan sonra matematiksel gelişmelerde önemli rol almıştır. Bizim konumuzla ilgili bölüm ise diferensiyellenebilir manifoldların tanjant demetleri ve çatı demetleridir. Daha genel olarak denilebilir ki bir diferensiyellenebilir manifold üzerinde (r,s) tipindeki tensörler bir lif demeti oluşturur (Willmore 198). Tanım. 1. 1: bir manifold olmak üzere; pє noktasında m tane lineer bağımsız tanjant vektör x 1, x,...,x m olsun. { p, x 1, x,...,x m }kümesine m-çatı denir. Bütün p noktasındaki çatıların kümesi B ile gösterilirse B ye çatı demeti denir. pє deki bütün ortonormal çatıların kümesine ise ortonormal çatı demeti denir (Willmore 198). Tanım. 1. :, E n nin ortonormal çatı demeti, (), E n nin bütün noktalarındaki ortonormal çatıların kümesi olsun. () olduğundan i: () inclusion dönüşümünden bahsedebiliriz. {X 1, X,...,X n } nin diferensiyellenebilir n-ortonormal vektör alanlarını gösterirse C : mє dönüşümüne C(m) = {m;x 1 (m), X (m),...,x n (m) }Є lokal cross section denir (Hacısalihoğlu 198).. Gauss-Bonnet Formülü Global Riemann geometrisinin en temel sonuçlarından biri de Gauss-Bonnet formülüdür. Bu formül manifoldun Riemann yapısının eğriliğini bir integralle ifade eder. Burada manifoldun Euler karakteristiği χ() ile gösterilmektedir. Gauss-Bonnet formülü manifoldun diferensiyel geometrisi ve topolojisi arasında bir bağıntıdır.

9 Şimdi boyutlu kapalı yüzeyler için Klasik Gauss-Bonnet teoremi verilecektir. Teorem.. 1:, boyutlu kapalı yönlendirilebilen Riemann manifoldu olsun. χ() Euler karakteristiğini, G Gauss eğriliğini, da hacim elementini göstermek üzere; GdA = π χ() dir. (.1) İspat:, boyutlu yönlendirilebilen C sınıfından Riemann yüzeyi olsun. nin her P noktasına e 1, e ortogonal birim vektör çifti belirli yönlendirmeyle verilsin. Pe 1 e şekli -çatı diye adlandırılır. nin P deki her v tanjant vektörü için v = u i e i dir. Gösterim kolaylığı açısından v = u i e i i = 1, (.) olsun. Riemann geometrinin temel eşitlikleri dp = ω i e i de i = ω ij e j (.3) ω ij + ω ij = olarak yazılabilir. ω i,(e i )bazının dual bazını veren 1-formlar ve ω ij ler konneksiyon formlarıdır. Yapı denklemleri dω i = ω j Λ ω ji dω ij + ω ik Λ ω jk = Ω ij (.4) Ω ij + Ω ji = dır. Ω ij formları,(.3) ün dış türevleri alınarak elde edilen denklem sistemini sağlar. Bianchi özdeşlikleri olarak bilinen denklemler ω j Λ Ω ji = dω ij - ω jk Λ Ω ik + ω ik Λ Ω jk = (.5) dır. Pe 1 e çatısına, e * i = a ij e j e i = a ji e * j, (.6) ile verilen ortogonal trasformasyon yapılmış olsun. Burada 3

10 ( a ij ) = cosθ sinθ sinθ cosθ olarak alınmıştır. ( a ij ) ortogonal matristir ve θ, P nin koordinatlarının fonksiyonudur. (.) ve (.4) den Ω * ij = a ik a jl Ω kl (.7) dir. Ω aşağıdaki gibi tanımlanırsa 4πΩ = - Є i1iω i1i (.8) eğer ( i1, i) çift permütasyon ise Є i1i = +1 dır eğer ( i1, i) tek permütasyon ise Є i1i = -1dır. diğer durumlarda Є i1i = dır. (.7) den 4πΩ = - Ω 1 = R 11 ω 1 Λ ω G, nin Gauss eğriliği olmak üzere. πω = - Gω 1 Λ ω (.9) elde edilir (.7) ve (.9) dan açıkca görülür ki Ω ve hacim elementi da = ω 1 Λ ω çatı değişimi altında invaryanttır. Alternatif olarak denilebilir ki Ω ve da formları çatı demeti üzerinde tanımlı ve her bir lifte sabittir. Gauss-Bonnet teoremini Ω = χ() (.1) olarak ifade edebiliriz. nin yerel koordinatlarını B ve bileşenleri u i olarak alırsak u i u i = 1 (.11) dv = θ i e i (.1) θ i = du i +u j ω ji (.13) 4

11 (.11) den ve ω ji skew simetrik olduğundan u i θ i = dır. (.13) ün türevi alınırsa dθ i = du j Λ ω ji + u j dω ji =θ j Λ ω ji - u k ω kj + u k ( Ω ki ω kl Λ ω il ) dθ i =θ i Λ ω ji + u j Ω ji dır. (.14) (.6) çatısındaki bir değişim u i, θ i bileşenlerinde u * * i = a ij u j,θ i = a ij θ olmak üzere (.15) 1. dereceden Ф ve.dereceden ψ formlarının türevlerini hesaplarsak: Ф = Є i1i u i1 θ i (.16) ψ = Є i1i Ω i i (.17) Birim tanjant demeti B üzerinde tanımlı Ф,ψ invaryanttırlar. formları çatı değişimi altında dф = Є i1i du i1 Λ θ i + Є i1i u i1 dθ i = Є i1i (θ i1 Λ θ i - u j ω ji1 Λ θ i ) + Є i1i u i1 (θ j Λ ω ji + u j Ω ji ) Є i1iθ i1 Λ θ i + Є i1i u i1 u j Ω ji = θ 1 Λ θ + u 1 u j Ω j u u j Ω j1 olduğundan dф = θ 1 Λ θ + ( u 1 + u )Ω 1 = θ 1 Λ θ + Ω 1 dır. (.18) (.14) den θ 1 ve θ lineer bağımlıdır. Christoffel sembollerini sıfırlayacak lokal normal koordinatlar her zaman P noktasının bir komşuluğunda bulunabilir. P noktasında ω ji = dır. Böylece aralarındaki ilişki dф = 1 dψ dır. (.19) 5

12 Artık üzerinde sürekli birim tanjant vektör alanı tanımlanabilir öyle ki nin bir tek singülaritesi O dır. O noktasındaki vektör alanının indeksi, Euler karakteristiği, χ() dir. Bu vektör alanı B de sınırı χz olan bir V altmanifoldunu tanımlar. Z, O nok tasından geçen birim tanjant vektörlerin oluşturduğu 1 boyutlu çemberdir. üzerinde Ω nin integrali, V üzerindeki integraline eşit olur. Stoke s teoremi kullanılarak Ω = Ω V = - 1 4П Ψ = - 1 П d Φ V V = - χ П Φ Z dır. (.) Fakat 1 -boyutlu birim kürenin hacim elementi Ф = u 1 θ - u θ 1 olduğundan Φ = π dir. Buradan Z Ω = χ() olduğundan (.1) GdA = π χ() dir. (.) Bu farklı ispatın verilmesinin nedeni, benzer yöntem kullanarak n = p için Gauss- Bonnet teoreminin Ω = χ() olarak ifade edilebileceğinin gösterilmesidir. n, n = p boyutlu yönlendirilebilen Riemann manifoldu ve nin her bir noktasında yönlendirilmiş tanjant vektörlerin ortonormal çatısı e 1, e,... e n olsun. i, j = 1,,... n ve Ω = (-1 ) p 1 p π p p! Є i1... ip Ω i1i Ω i3i4... Ω ip-1ip (.3) olması durumunda 6

13 Ω = χ() olduğu aşağıdaki şekilde gösterilebilir.. üzerindeki birim tanjant uzayı, n -1 boyutlu bir manifold oluşturur. (.11), (.1), (.13),(.14), (.15) genel halde de sağlanır. Diferensiyel formlar Ф k = Є i1... ip u i1 θ i... θ ip-k Ω ip-k+1ip-k+... Ω ip-1ip k =, 1,..., p-1 (.4) ve Ψ k = Є i1... ipω i1 i θ i3... θ ip-k Ω ip-k+1ip-k+... Ω ip-1ip k =, 1,..., p-1 (.5) dir. Ф k derecesi p-1,ψ k derecesi p olan formlardır. Ayrıca Ψ p-1, Ω nın katıdır. Ф k ve Ψ k Riemann manifoldu üzerinde tanımlıdır. dф k = Ψ k-1 + p-k-1 Ψ k, k =, 1,..., p-1, Ψ -1 = 1(k+1) dф k = Є (i) du i1 θ i... θ ip-k Ω ip-k+1ip-k+... Ω ip-1ip + (p k 1) Є (i)u i1 dθ i θ i3... θ ip-k Ω ip-k+1ip-k+... Ω ip-1ip - k Є (i)u i1 θ i... θ ip-k dω ip-k+1ip-k+... Ω ip-1ip Є (i), Є i1... ip nin kısaltılmışı olarak alınırsa ve du i,dθ i,dω i değerleri yerine yazılırsa dф k ifadesi ω ij içeren ve içermeyen olmak üzere iki tip terimden oluşacaktır. ω ij içermeyen terimlerin toplamı; Ψ k-1 + (p k 1) Є (i)u i1 u j Ω jip θ i3... θ ip-k Ω ip-k+1ip-k+... Ω ip-1ip dır. (.6) Bu toplamın dф k ifadesiyle farkı, her teriminde ω ij içerir. Bu farkın, normal koordinat bazı seçilerek, herhangi bir P noktasında sıfır olduğu gösterilebilir. P k = Є (i) u i1 Ω i1i θ i3... θ ip-k Ω ip-k+1ip-k+... Ω ip-1ip k = Є (i) u i1 u i3 Ω i3i θ i3... θ ip-k Ω ip-k+1ip-k+... Ω ip-1ip T k = Є (i) u i3 Ω i1i θ i3... θ ip-k Ω ip-k+1ip-k+... Ω ip-1ip (.7) 7

14 P k, k,t k derecesi p olan formlardır. P k = Є (i) ( 1- u i - u i u ip )Ω i1i θ i3... θ ip-k Ω ip-k+1ip-k+... Ω ip-1ip = Ψ k - P k - (p k 1) T k -kp k Ψ k = ( k + 1)P k + (p k 1) T k (.8) k = Є (i) u i1 Ω i3i (- u i1 θ i1 - u i θ i - u i4 θ i u ip θ ip )θ i4... θ ip-k Ω ip-k+1ip-k+... Ω ip-1ip = T k - ( k + 1) k T k = ( k + 1) k (.9) dф k = Ψ k-1 + (p k -1 ){ P k + ( p - k 1 ) k }, k =, 1,..., p-1 Ψ k = ( 1) k m= p m+1 (k+1)k...(k-m+1) (p-k-1)(p-k+1)... (p-k+m-1) dф k m (.3) Ω = (-1) p 1 p π p p! Ψ p-1 = dи (.31) p 1 И = 1 π p m= ( 1) m (p-m-1)m! p+m Ф m dır. (.3) -boyutlu durumda olduğu gibi n üzerinde sürekli birim tanjant vektör alanı tanımlanabilir öyle ki n nin O noktası tek singülaritesidir. Hopf s teoremi kullanılarak O noktasındaki alanını indeksi, Euler Poincare karakteristiği χ( n ) eşit 8

15 olur. Vektör alanı, n-1 de bir V n alt manifoldu tanımlar. χz bu alt manifoldun sınırıdır. Z ise n-1 boyutlu, O dan geçen birim tanjant vektörlerin oluşturduğu döngüdür. n üzerinde Ω nin integrali, V n üzerindeki integraline eşit olur. Stoke s teoremi kullanılarak n Ф = ( p-1)! ( 1) i θ 1... θ i-1 u i1 θ i+1 θ 1... θ p olmak üzere i= 1 Ω = Ω V = χ z 1 И = - χ (p-1) p π p Φ dır. (.33) z dv, p-1 boyutlu birim kürenin hacim elementini göstersin. Bu elementin çeşitli hiper düzlemlere projeksiyonu u i dv =(-1) i θ 1... θ i-1 θ i * θ i+1... θ p (.34) (θ i * elemanı projeksiyon sonucu iptal edildi.) u i u i =1 n dv = ( 1) i θ 1... θ i-1 u i θ i+1 θ 1... θ p dır. i= 1 Ф, p-1 boyutlu birim kürenin hacim elementinin (p-1)! katıdır. Φ = (p-1)! πp (p-1)! Ω = χ( n ) dir (Willmore 198). 9

16 . 3 Lipschitz-Killing Eğriliği Tanım. 3. 1: n, n boyutlu kompakt, yönlendirilebilir C manifold ve f: n E n+n C dönüşüm olsun. Öyle ki f * birebir ( f dönüşümünün jacobian matrisi lokal koordinatlarla ifade edildiğinde mє n için rankı n ye eşit) f dönüşümüne bir immersiyon denir. Ek olarak eğer f de birebir ise dönüşüme immedding denir (Hacısalihoğlu( 198). Kompakt diferensiyellenebilir manifold n için f: n E n+n birebir dönüşümü her zaman vardır; öyle ki f( n ), E n+n nin bir alt manifoldudur. İmmersiyon yapılmış manifoldun her noktasına ve o noktadaki her doğrultuya bir reel sayı karşılık getirilerek Lipschitz-Killing eğriliği ölçülür. Birim normal demet üzerinde bu eğrilik modülünün integrali, immersiyonun total mutlak eğriliğini verir. Böylece total mutlak eğrilik ile manifoldun topolojik yapısı arasında bir bağıntı kurulur (Willmore 198).. 4 Bir İmmersiyona Karşılık Gelen Lif Demetleri x ЄE n+n ve e 1, e,...,e n+n yönlendirmesi E n+n ile uyumlu x deki ortonormal vektörleri göstersin. F(n,N), E n+n nin (xe 1, e,...,e n+n ) şeklindeki tüm çatılarının uzayı olsun. Bunlar 1 (n+n)(n+n+1) boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold oluşturur. 1 i, j, k n ; n+1 r, s, t n+n ; 1 A, B, C n+n E n+n öklid metriği ile donatıldığından E n+n üzerinde sıfır torsiyon ve sıfır eğrilikli tek bir Riemann konneksiyonu vardır. Bu konneksiyon lokal olarak (e A ) ortonormal bazı ve dual baz (ὡ A ) ya bağlı 1-formların matrisi olarak ifade edilir. Bu formlar E n+n de lokal olarak düşünmek yerine F(n,N) de global olarak ele alınır. Lif demeti terminolojisinde ὡ A, ὡ AB formları E n+n de asli demet çatılarının demet uzayı üzerinde tanımlanır. Rotas yon grubu demet uzayına sağ ötelemeyle etki eder. Bu formlar Cartan denklemlerini sağlar. 1

17 de A = ὡ AB e B ; dὡ A = ὡ B Λὡ BA ὡ AB + ὡ BA = dp = ὡ A e A ; dὡ AB = ὡ AC Λὡ CB n n-boyutlu, kopmakt, yönlendirilebilir, C -manifold ve f: n E n+n, n nin C dönüşümü olsun.öyle ki; f * birebir örtendir yani f nin Jacobian matrisi, lokal koordinatlar cinsinden ifade edildiğinde her noktası m Є n için rankı n dir. f dönüşümü vektör değerli bir fonksiyon olarak ele alındığında m Є n, f(m), f * da E n+n deki değerlerle birlikte lineer diferensiyel formdur. İmmersiyon özelliğinden dolayı f nin değerleri t 1, t,...,t n tane lineer bağımsız vektörün lineer kombinasyonudur. Bu lineer kombinasyona tanjant vektör dik ise normal vektör denir. n nin E n+n ne immersiyonu aşağıdaki vektör demetlerini verir. 1-) B τ Birim tanjant demeti, n ⅹ E n+n demet uzayının alt kümesi ve τ birim tanjant vektör olmak üzere B τ = {(m,τ) ; m Є n ve τ Єf(m)}olsun. -) B υ Birim normal demeti, n ⅹ E n+n demet uzayının alt kümesi ve υ birim normal vektör olmak üzere B υ = {(m, υ) ; m Є n ve υ Єf(m)}olsun. 3-) B demeti n ⅹ F(n,N) nin alt kümesi olduğunda B = {(m, f(m)e 1, e,...,e n,e n+1,...,e n+n ); e 1, e,...,e n f(m) de tanjant e n+1,...,e n+n normal vektörler olmak üzere Ψ :B n (m, f(m)e 1, e,...,e n,e n+1,...,e n+n ) m projeksiyonu Ψ τ :B B τ Ψ τ (m, f(m)e 1, e,...,e n+n ) = (m, e n ) Ψ υ :B B υ Ψ υ (m, f(m)e 1, e,...,e n+n ) = (m, e n+n ) 11

18 i: B n ⅹ F(n,N) injeksiyon dönüşüm, λ: n ⅹ F(n,N) F(n,N) ikinci bileşene projeksiyon B n ⅹ F(n,N) F(n,N) olmak üzere ω A =( λi) * ὡ A ω AB = ( λi) * ὡ AB dir. d ve Λ operatörleri ( λi) * ile değişmeli olduğundan ω A ve ω AB aşağıdaki bağıntıları verir. dp = ω A e A dω A = ω B Λ ω BA dω AB = ω AC Λ ω CB ω AB + ω BA = ω r = ; n+1 r n+n ; 1 i,j n =dω r = ω A Λ ω Ar = ω i Λ ω ir ω ir = A rij ω j ω i Λ A rij ω j = ; A rij = A rji Özel olarak n = 1 ve N = olması durumunda boyf(n,n) = 6; boy B υ = ;boy B τ =1 ;boy B = dir. i,j = 1; r,s =,3 A,B,C = 1,,3 dp = ω 1 e 1 + ω e + ω 3 e 3 ; ω 1 = ω = dp = ω 1 e 1 dω A = -ω BA Λ ω B dω A + ω BA Λ ω B = dω 1 = ω 1 Λ ω 1 = ω 13 Λ ω 1 = ω 1r = A rij ω j ; ω 1 = A 11 ω 1 ve ω 13 = A 311 ω 1 dp = ω 1 e 1 hacim elementi (ω 1 = ds yay uzunluğu) de A = ω BA e B 1

19 de 1 = ω 1 e + ω 13 e 3 de = ω 1 e 1 + ω 3 e 3 de 3 = ω 31 e 1 + ω 3 e de 1 = ω 13 e 3 ; ω 1 = ω 13 = A 311 ds ; A 311 = κ ω 3 = A 31 ω 1 ω 3 = -τ ds edilir. dir. Burada e 1 = t, e = b, e 3 = n seçilirse; Serret-Frenet Formülleri elde Genel halde ise B demet uzayı B de diferensiyel formlar oluşturulmak için göz önüne alınırsa ki bu formlar Ψ ve Ψ υ dönüşümleri altında, n de ve B υ deki diferensiyel formların ters görüntüleridir. n nin hacim elementi dv = ω 1 Λ ω...λ ω n ile ve B υ nin hacim elementi dvλdσ N-1 olduğunda dσ N-1 B υ üzerinde N-1 dereceden formların lif üzerine kısıtlanması m Є n noktasındaki birim normal vektörlerin oluşturduğu kürenin hacim elementidir. de n+n = ω n+na e A normal parçası, ω n+nr e r N-1 dereceden formdur. dσ N-1 = ω n+n,n+1 Λ ω n+n,n+ Λ... Λω n+n,n+n-1 de n+n = ω n+n e A olduğundan birim hiperkürenin E n+n deki hacim elementi d = ὡ n+n1 Λ ὡ n+n Λ... Λὡ n+n,n+n-1 dir. Bu formun B υ ye geri çekimi için ξ küresel dönüşümünün duali kullanılır. ξ*( d ) = ω n+n1 Λ ω n+n Λ... Λω n+n,n+n-1 ξ*( d ) =(-1) n det(a n+nij )ω 1 Λ ω Λ... Λ ω n Λ ω n+n,n+1 Λ ω n+n,n+ Λ... Λ ω n+n,n+n-1 ω n+ni = (-1)A n+nij ω j dvλdσ N-1 = ω 1 Λ ω Λ... ω nλω n+n,n+n-1 Λ ω n+n,n+ Λ... Λ ω n+n,n+n-1 G(m, υ) = (-1) n det(a n+nij ) olduğundan G(m, υ) reel sayısına m noktasında immersiyonun Lipschitz-Killing Eğriliği denir. G(m, υ), υ ye bağlıdır. m nin koordinat komşuluğunda ě A : q ě A :(q) ; qє fonksiyonları ile verilen. n nin B deki lokal cross sectionı gözönüne alınırsa 13

20 e A (q), q üzerindeki lifde bir çatıdır. e A = C AB e B (q) dur. C AB determinantı +1 olan ortogonal bir matris ve ayrıca c ir = dır. i, j A sij ω i ω j = r, i, j C sr Ā rij ὡ i ὡ j A rij nin lokal cross sectiona kısıtlanmışı Ā rij ve υ = e n+n ; υ = υ r ě r ve m noktasında G(m, υ) =(-1) n det(υ r Ā rij (m)) υ.d m = υ.d[e A ω A ] = υ r de r + υ r ω A ω Ar = υ r ὡ i ὡ ir = υ r Ā rij ὡ i ὡ j dir. υ = e n+n seçildiğinde -dυ.dm = υ.d m = υ r Ā rij ὡ i ὡ j olur. Böylece G(m, υ), yüzeyin ikinci temel formunun determinantı olarak elde edilir. n, E n+1 e immersiyon yapılmış yönlendirilebilir hiperyüzey ise m Є n noktasında υ(m) birim normal vektörü, diğer bir birim normal vektör tanımlar. υ(m) = υ (m) G(m, υ(m)) = G(m, υ (m)) = ( 1) n G(m) burada n çift sayı ise G(m, υ(m)) E n+1 in hiperyüzeyinin yönlendirmesinden bağımsızdır özel olarak n = için G(m), Gauss eğriliği K ya dönüşür (Willmore 198). 14

21 . 5 Total utlak Eğrilik Tanım. 5. 1: n, n boyutlu kompakt, yönlendirilebilir C manifold ve f: n E n+n immersiyon olsun. mє n, c n+n-1 E n+n deki hiperkürenin hacmini göstermek üzere; f(m) deki birim normal vektör küresi üzerinde integral alınırsa K * (m) = 1 c n+n-1 G(m, υ) dσ N-1 K * (m), ( n, f,e n+n ) immersiyonunun m noktasında total mutlak eğriliği ve τ (, f ) = K * (m)dv n değerine de, ( n, f, E n+n ) immersiyonunun total mutlak eğriliği denir. -boyutlu yönlendirilebilir kapalı E 3 e immersiyon yapılmış yüzeylerde Lipschitz-Killing eğriliği, Gauss eğriliği K ya eşit olduğundan τ (, f ) = 1 π K ds dir. S Ek olarak n, E n+1 e immersiyon yapılmış hiperyüzey ise τ ( n, f ) = n K dv dir. (Willmore 198) 15

22 Teorem. 5. : kompakt kapalı C yüzey ve f, den E 3 e immersiyon olsun χ() yüzeyin Euler karakteristiği, K Gauss Eğriliği, ds hacim elementi olmak üzere 1 π K ds 4 - χ() dir. İspat: kompakt kapalı C yüzey olsun. f : E 3 immersiyonu verilsin. Gauss-Bonnet Teoreminden 1 π KdS = χ() dir χ() = 1 π KdS + K> 1 π KdS K< τ (, f ) = K ds dir. τ (, f ) = 1 π K ds + K> 1 π K ds K< = 1 π KdS - K> 1 π KdS K< = 1 π KdS - ( K> 1 π K ds - 1 π K> KdS + K> 1 π KdS ) K< 16

23 = 1 π KdS - χ() Gauss Bonnet Teoreminden K> 1 π KdS 4 K> τ (, f ) 4 - χ() K ds 4 - χ() (Willmore 198) Tanım. 5. 3: f : n E n+n proper immersiyon olsun. ( f( n ) görüntüsü E n+n nin bir lineer alt manifoldu içinde değilse immersiyon properdır). Eğer f minimal total mutlak eğriliğe sahip ise tight immersiyon olarak adlandırılır. (Willmore 198) τ = 4 - χ ise her yönlendirilebilir yüzey E 3 uzayına tight olarak gömülür. yönlendirilebilir değilse,başka bir manifoldu seçilirse, nin total mutlak eğriliği üzerinde Lipschitz-Killing Eğriliğinin integralinin yarısı olarak tanımlanır. Örneğin T torusu anchor halkası olarak E 3 uzayına gömüldüğünde, birim küredeki hemen hemen her nokta Gauss dönüşümü ile iki kez örtülür. χ(t ) = olduğundan KdS τ = π T KdS 4 = π T ise 1 π T K ds = 4 dir. E 3 deki eğriler için ( yani n = 1 N = özel durumu ) c uzay eğrisi için; τ = 1 π κ ds c 17

24 olduğu bilinmektedir. E deki konveks kümenin sınırı için τ = dir.yani bir tight immersiyon matematik anlamda konveksliğin doğal bir genellemesini verir. c eğrisi tight olarak gömülürse düzlemde konveks bir eğriye dönüşür. Ayrıca g yüzeyin genusunu yani yüzeydeki delik sayısını gösterirse biliyoruz ki; Euler karakteristiği χ() = (1- g ) dir. Buradan KdV = π χ() olduğundan KdV + KdV = π (1- g ) K> K< 4 π + KdV π (1- g ) K< KdV 4π - 4π g - 4π K< KdV - 4π g elde edilir (Willmore 198). K<. 6 I. ve II. Tipten α inci Eğrilikler Tanım. 6. 1: n, n boyutlu yönlendirilmiş kapalı manifold olsun. x: n E n+n immersiyonu verilsin ve F( n ), F(E n+n ) sırasıyla n ve E n+n nin yönlendirilmiş ortonormal çatıları olsun. B kümesi b=(p,e 1, e, e 3,,e n+n ) elemanlarından oluşan bir küme öyle ki; (p, e 1, e, e 3,,e n ) Є F( n ) ve (x(p), e 1, e, e 3,,e n+n ) Є F(E n+n ) olmak üzere 18

25 y: B F( E n+n ) dönüşümünde y(b) = ( x(p), e 1, e, e 3,,e n+n ) doğal olarak tanımlıdır. B V, n nin E n+n deki birim normal vektörleri gösterirse B V n dönüşümü pє n deki S N-1 p demet küresini tanımlar. Diyelim ki u: B V S n+n-1 dönüşümünde E n+n nin orijininde e ye paralel birim vektör u(p,e) olsun. E n+n nin yapı denklemleri dx = ŵ A e A de A = ŵ AB e B dŵ A = ŵ B Λŵ BA dŵ AB = ŵ AC Λŵ CB ŵ AB + ŵ BA = dır. Burada A,B,C = 1,, n+n ve ŵ A, ŵ AB F(E n+n ) çatısında 1-formlar ve w A, w AB ler ŵ A, ŵ AB lerden B ye y dönüşümü ile indirgenmiş 1-formlar olsun. r,s,t = n+1,,n+n i,j,k = 1,,3,,n için w r = ; w ri = A rij w j ; A rij =A rji dw i = w j Λw ji dw AB = w AC Λw CB dir. Her (p,e r ) Є B V için birinci temel form I = dx.dx ve ikinci temel form II = de r.dx dir. Birinci temel forma göre ikinci temel formun k 1 (p,e r ),,k n (p,e r ) karakteristik değerlerine n nin (p,e r ) ile eşlenen asli eğrilikleri denir. H n (p,e r ), (p,e r ) ile eşlenen h inci ortalama eğrilik aşağıdaki eşitlikle tanımlanır. det (δ ij + t A rij n )= h= n Hh (p,e r )t h h burada t yerine k i karakteristik değerleri yazıldığında n Hh = k 1 k h, h = 1,,3,,n olduğu görülür. H =1 dır. H n (p,e r ), K(p,e r ) ile h 19

26 gösterilir ve (p,e r ) de Lipschitz-Killing eğriliği diye adlandırılır. x : E +N immersiyonunu, B F( E +N ) nin lokal cross sectionı olarak, p noktasında (p, e 1, e, e 3,,e +N ) yi ve S N-1 p demet küresinin her bir e vektörü için p nin bir komşuluğunda e = e +N = ξ r e r (p) alınırsa ve A rij nin lokal cross sectiona kısıtlanmışı Ā rij ile gösterilse o zaman A +Nij = ξ r Ā rij ve (p,e) de Lipschitz-Killing eğriliği K(p,e) = det( ξ r Ā rij ) = ( ξ r Ā r11 )( ξ s Ā s ) - ( ξ t Ā t1 ) olur. (.34) Bu ise ξ 3,,ξ +N nin quadratik ifadesidir. B F(E +N ) nin Frenet cross sectionını alırsak ortonormal bir çatı ile bu quadratik ifade N K(p,e) = + r= 3 λ r- ξ r ξ r λ 1 λ λ N şekline dönüşür. λ α lar ikinci tipten α inci eğrilikler olarak adlandırılır. Bu çatıya göre H 1 (p,e α+ ) = µ α (p) ler de birinci tipten α inci eğrilikler olarak adlandırılır ve w 1r Λw r = λ r- dv dv = w 1 Λw dir. r = 3,,+N nin E +N de p noktasındaki Gauss Eğriliği G(p) ile gösterilirse N G(p) = αr= 1 λ α (p)dir (Chen197). (.35)

27 . 7 Riemann ve Lorentz Geometri Bazı genel çalışmalardan sonra index ile belirlenen iki önemli geometri üzerinde yoğunlaşacağız. v = olan Rieman geometrisi ve v = 1 olan Lorentz geometrisi g : VxV R (X,Y) g (X,Y) metriği, i) g (X,Y) = g (Y, X) simetriktir. ii) Bilineerdir. iii) g (X, X) ise g (X, X) = ancak ve ancak X = ve ya g (X, X) > ancak ve ancak X = Euclideandır. iii) Her v Є V için g (, V ) = iken = olması gerekiyorsa g ye nondejenere denir. W С V altuzayı alınırsa W V = { ξ Є V g (ξ, V ) =, v Є V } bu alt uzaya V nin radikali ve ya null uzayı denir. Rad V = Null V = { ξ Є V g (ξ, V ) =, v Є V } boy ( Rad V ) ifadesine g nin sıfırlık derecesi denir. g nin derecesidir ancak ve ancak boy ( Rad V ) > g non dejeneredir ancak ve ancak boy ( Rad V ) = g (V, V ) > ise metrik pozitif tanımlı, g (V, V ) < ise metrik negatif tanımlıdır denir. g (V, V ) ise metrik yarı pozitif tanımlıdır ve g (V, V ) ise metrik yarı negatif tanımlıdır denir. W en büyük boyutlu alt uzay ise boy W = q ise ve g W negatif tanımlı ise q, g nin indeksi diye adlandırılır. indv = q 1

28 V = χ() alırsak ind χ() = ise ; Riemann manifoldu ind χ() 1 ise ; Semi-Riemann manifoldu ind χ() = 1 ise ; inskowski zayı g ye de inskowski etriği denir. ind χ() > 1 ise Lorentz manifoldu olarak adlandırılır. g ye de Lorentz etriği denir. g degenere ise ye Light like denir (O Neill 1983). Tanım.7.1: R n üzerinde Lorentz metriği <,> I L olsun. Böylece { R n, <,>Ι L } çifti L n de n- boyutlu Lorentz uzayı olarak adlandırılır (O Neill 1983). Tanım.7.: X = (x 1,x,, x n ), Y = (y 1,y,, y n ) Є R n uzayında iç çarpım olsun. Lorentz <, >I : L R n x R n R n-1 (X, Y) < X,Y>I L = x i y i x n y n i =1 olarak tanımlanır. Bu iç çarpım R n de simetrik, bilineer, nondejenere metrik tensördür ve Lorentz metriği diye adlandırılır (O Neill 1983). n = 4 için de Lorentz iç çarpımı X = (x 1,x,x 3,x 4 ), Y = (y 1,y,y 3,y 4 ) Є R 4 olsun. Lorentz iç çarpımı <, >I : L R 4 x R 4 R (X, Y) < X, Y> I L = x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 x 4 y 4 (O Neill 1983). Tanım.7.3: X = (x 1,x,, x n ) Є L n ise X in normu, I<X,X>I I L = X Eğer < X,X> I L < ise X timelike vektör Eğer < X,X> I L > ise X spacelike vektör Eğer < X,X> I L = ise null vektördür (O Neill 1983).

29 Tanım.7.4: X,Y Є L 3 olmak üzere Lorentz anlamında vektörel çarpım *:L 3 x L 3 L 3 e 1 e - e 3 (X,Y) X*Y = x 1 x x 3 dir. y 1 y y 3 (Tagos and Papontaniov 1988) Tanım.7.5: E n nin bir hiper yüzeyi ve nin birim normal vektör alanı N verilsin. E n de Riemann konneksiyonu D olmak üzere, her X Є χ() için S (X) =D X N şeklinde tanımlı S dönüşümüne üzerinde şekil operatörü veya nin Weingarten dönüşümü denir (Hicks 1974). Tanım.7.6: E 3 de bir yüzey olsun. nin P noktasındaki şekil operatörü S(P) olmak üzere K: R P K(P) = det S(P) biçiminde tanımlanan fonksiyona nin Gauss eğrilik fonksiyonu ve K(P) değerine de nin P noktasındaki Gauss eğriliği denir. H: R P H(P) = 1 İz S(P) Biçiminde tanımlanan fonksiyona nin Ortalama eğrilik fonksiyonu ve H(P) değerine de nin P noktasındaki Ortalama eğriliği denir (Boothy1975). 3

30 3. E 4 ZAYINDA BAZI DİFERENSİYEL GEOETRİK EŞİTSİZLİKLER 3.1 E 4 zayının Yapı Denklemleri, boyutlu yönlendirilmiş kapalı yüzey, z: E 4 immersiyon, F( ), F(E 4 ) sırasıyla ve E 4 ün yönlendirilmiş ortonormal çatıları olsun. B cümlesi b = (p,e 1, e, e 3, e 4 ) elemanlarından oluşan bir cümle öyle ki; (p,e 1, e ) Є F( ) ve (z(p),e 1, e, e 3, e 4 ) Є F(E 4 ) çatılarının yönlendirmesi E 4 ile benzer ayrıca e i ile dz(e i ) belirleniyor. i = 1, ž: B F(E 4 ) ž(p) = (z(p),e 1, e, e 3, e 4 ) doğal olarak tanımlıdır. E 4 ün yapı denklemleri dz = ὡ A e A dὡ A = ὡ A Λ ὡ BA de A = ὡ AB e B ὡ AB + ὡ BA = dὡ AB = ὡ AC Λ ὡ CB A, B, C = 1,, 3, 4 dir. ὡ A ve ὡ AB ler F(E 4 ) üzerinde 1-formlardır. ω A ve ω AB,B üzerinde ὡ A ve ὡ AB lerden ž: B F(E 4 ) ile indirgenmiş 1-formları göstersin. ω 3 = ω 4 = ω i3 = A 3i1 ω 1 + A 3i ω ω j4 = A 4j1 ω 1 + A 4j ω i, j = 1, dir (Chen and Houh 1971). 3. Negatif Gauss Eğrilikli Yüzeylerde Total utlak Eğriliğin Hesaplanması Teorem 3..1:, -boyutlu yönlendirilmiş kapalı yüzey ve p noktasındaki Gauss eğriliği G(p) <, λ 1 ikinci tipten 1 inci ve λ ikinci tipten inci eğrilik olsun = { p Є ; λ 1 (p) > } V = { p Є ; λ 1 (p) }olarak tanımlayalım 4

31 p noktasında total mutlak eğrilik K * (p) V üzerinde; K * (p) = - π G(p) ve (3.1) üzerinde ;K * (p) = (α π ) G(p) + 4 -λ 1 λ dir. (3.) İspat:(.35) den G(p) = λ 1 (p) + λ (p) dir. z: E 4 immersiyon ve (p,e 1, e, ē 3, ē 4 ), B F( ) nin lokal cross sectionı olsun. İmmersiyonun şekil operatörü A rij nin, lokal cross sectiona kısıtlanmışı Ā rij ile gösterilsin. r = 3, 4 için birim normal vektör e = e 4 = cosθ ē 3 +sinθ ē 4 ve A 4ij = cosθ Ā 3ij + sinθ Ā 4ij de i, j =1, için A 411 = cosθ Ā sinθ Ā 411 A 41 = cosθ Ā 31 + sinθ Ā 41 A 41 = cosθ Ā 31 + sinθ Ā 41 A 4 = cosθ Ā 3 + sinθ Ā 4 (p,e r ) de Lipschitz-Killing eğriliği K(p,e) = det (A 4ij ) = cosθ Ā sinθ Ā 411 cosθ Ā 31 + sinθ Ā 41 cosθ Ā 31 + sinθ Ā 41 cosθ Ā 3 + sinθ Ā 4 = (cosθ Ā sinθ Ā 411 ) )(cosθ Ā 3 + sinθ Ā 4 ) (cosθ Ā 31 + sinθ Ā 41 ) = [Ā 311 Ā 3 (Ā 31 ) ]cos θ +[Ā 311 Ā 4 + Ā 411 Ā 3 - Ā 31 Ā 41 ] cosθ sinθ + [Ā 411 Ā 4 (Ā 41 ) ]sin θ dir. Ā 311 Ā 4 + Ā 411 Ā 3 - Ā 31 Ā 41 = olacak şeklinde seçilirse K(p,e) = λ 1 (p) cos θ + λ (p)sin θ dir (3.3) λ 1 λ ve λ 1 (p) = det (Ā 3ij ) λ (p) = det (Ā 4ij ) dir. V üzerinde λ 1 ve λ negatif olacağından total eğrilik 5

32 π K * (p) = K ( p, e) dθ π = λ 1 cos θ + λ sin θ dθ π = -(λ 1 cos θ + λ sin θ ) dθ = - π( λ 1 + λ ) = - π G(p) dir. üzerinde λ 1 pozitif olduğundan ve G(p) durumu incelendiğinden λ negatifdir. Bu ise λ λ 1 gerektirir.total mutlak eğrilik π K * (p) = K ( p, e) dθ π = = 1 π λ 1 cos θ + λ sin θ dθ = 1 π (λ 1 - λ ) (λ 1 + λ ) +(λ 1 - λ ) cosθ dθ λ 1 - λ λ 1 + λ + cosθ dθ cosα = - λ 1 + λ λ 1 - λ ; < α П olacak şekilde α açısı tanımlansın. sinα = -λ 1 λ λ 1 - λ 1 6

33 K * (p) = 1 π (λ 1 - λ ) π = (λ 1 - λ ) α =(λ 1 - λ ) cosθ - cosα dθ cost - cosα dt π (cost - cosα ) dt - (λ 1 - λ ) α ( cost - cosα ) dt K * (p) = (α π ) G(p) + 4 -λ 1 λ dir (Chen and Houh 1971) E 4 zayında II. Tipten Eğriliklere Dair Eşitsizlikler Teorem 3.3.1, -boyutlu yönlendirilmiş kapalı yüzey ve p noktasındaki Gauss eğriliği G(p) <, λ 1 ikinci tipten 1 inci ve λ ikinci tipten inci eğrilik, dv hacim elementi olmak üzere -λ 1 λ dv π + 1 αg dv dir. İspat: K * dv = K * dv + K * dv V = [(α π ) G+ 4 -λ 1 λ ] dv + - π G dv V = - πg dv + - π G dv + αgdv + 4 -λ 1 λ ] dv V = - π GdV + αgdv + 4 -λ 1 λ dv Gauss-Bonnet Formülünden GdV = π χ( ) g yüzeyin genusu ise χ( ) = (1- g ) olduğunda = 4π(1- g ) dir. 7

34 Chern-Lashof bir sonucu olarak total eğrilik Betti sayılarının toplamı β( ) den büyüktür. * K * dv c n+n -1 β( ) β( ) = + g ve eşitsizliğinden [Γ( 1 )]k+1 c k = Γ( k+1 bilinen formülüyle hesaplanır (Chern and Lashof 1957). ) k=5 alındığında c 5 = π Bu ifadeler * eşitsizliğinde yerine konursa K * dv π ( + g) K * dv 4π (1 + g) dir. 4 -λ 1 λ dv = K * dv + π yerine konursa GdV + αg dv eşitliğinde elde edilen eşitsizlikler 4 -λ 1 λ dv 4π (1 + g)+ π 4π(1- g ) + αg dv -λ 1 λ dv π + 1 αg dv (3.4) eşitsizliği elde edilir. Eğer eşitlik sağlanıyorsa yüzeyine E 4 de tightdır denir. Ancak eşitlik tight immersiyon olursa sağlanır ve yüzey E 4 de konveks olur (Chen and Houh 1971). 8

35 Teorem : kapalı yönlendirilebilir yüzey ve z: E 4 immersiyon olsun. Gauss eğriliği G ise nin E 4 deki ortalama eğriliği H için H dv 4 + [ αg + λ ] π dv dir. (3.5) Buradaki eşitlik nin E 4 de tight olması ve G nin, üzerinde sıfıra denk olması halinde geçerlidir. İspat: (p, e 1,e, ē 3, ē 4 ) çatı ve ē 4 e göre asli doğrultular e 1,e olsun Ā rij matrisinin bileşenleri gösterim kolaylığı için aşağıdaki gibi seçilsin. Ā 311 = a Ā 31 = Ā 31 = c Ā 3 = b Ā 411 = d Ā 41 = Ā 41 = Ā 4 = e seçildiğinde 1 = ab c λ λ = de 4H = (a+b) + (d+e) 4H = (a+b) + (d-e) + 4de 4 ab + 4 de + 4de olmak üzere ortalama eğrilik 8 abed + 4de 8 λ1 λ + 4 λ ( üzerinde) H λ1 λ + λ eşitsizliği elde edilir. -λ 1 λ dv π + 1 αg dv olduğunu bölüm 3.3 den biliyoruz. Öyle ise H dv 4π + [ αg + λ ] dv dir. 9

36 Eğer H dv 4π + [ αg + γ ] olur (Chen and Houh 1971). dv eşitliği olduğunda üzerinde λ 1 = - λ yani G Teorem : kapalı yönlendirilebilr yüzey z: E 4 immersiyon olsun. λ dv π ( + g 1) dir. (3.6) π eşitlik ancak ve ancak, E 4 de tight ve flat ise gerçeklenir (Chen and Houh 1971). Lemma : yüzeyinin E 4 de bir immersiyonu z: E 4 olsun. O zaman nin her yerinde λ λ olur. 1 İspat : S p z(p) de bütün birim normal vektörlerin cümlesi olsun. p ve é, S p de sabit nokta, S * p = S p {} é olarak alalım. O zaman S p ve * S p üzerinde türevlenebilir olarak hareket eder. Asli eğrilikler k 1 (e) ve k (e), e 1 (e) ve e (e) ye göre kabul edelim k 1 (e) (bazı e * S p ) olsun. * S p üzerinde süreklidir. Şimdi * S p üzerinde k 1 sürekli olduğundan ve k 1 (-e) = - k 1 (e) olduğundan * S p ın bazı noktalarında k 1 = olduğunu görürüz. Bu ise Lipschitz Killing eğriliği K(p,e) = (bazı e Buradan ve * S p için). K(p,e) = λ 1 (p) cos θ + λ (p) sin θ, λ 1 (p) λ (p) den görürüz ki p noktasında λ λ. Bu bütün p noktaları için doğru olduğundan 1 ispat tamamlanır. Şimdi Teorem 3.3. nin ispatına dönecek olursak G(p) = λ p) + λ ( ) den elde ederiz ki 1( p 3

37 V üzerinde λ λ ve 1 V λ dv 1 V GdV den 1 λ GdV dir. dv λ1λ dv u Gauss Bonnet formülünden 1 λ dv π ( π + g 1) + αg dv olduğundan. λ dv π ( + g 1) sonucu elde edilir. π Eğer eşitlik sağlanırsa, E 4 de tight olur. üzerinde λ1 = λ ve V üzerinde λ 1 = λ dir. Lemma den görebiliriz ki V üzerinde 1 λ λ = = dır. Bu da gösterir ki üzerinde Gauss eğriliği G sıfıra denk olur. Tersine eğer, E 4 de flat ve tight ise g = 1 ve dv = λ dv = λ 1 π dir.. Theorem 3.3. in hipotezi altında λ dv π ( + 1 g) dır. 1 π Buradaki eşitlik sadece ve sadece, E 4 de tight ve flat ise sağlanır (Chen and Houh 1971) Ortalama Eğriliğe Dair Eşitsizlikler I Teorem: kapalı yönlendirilebilir yüzey z: E 4 immersiyon olsun. µ 1, µ birinci tipten eğrilikler olmak üzere 1 ( µ ) dv π + [ αg + ] 1 G dv dir. (3.7) 31

38 eşitlik sadece ve sadece, E 4 de tight ve G, da sıfır ise sağlanır. İspat: e 1,e yi ē 3 ye göre asli doğrultu olarak seçelim. O zaman Ā 3ij aşağıdaki formda verilir. Ā 311 = a Ā 31 = Ā 31 = Ā 3 = b 1 ( µ 1 ) = ( a + b) ab = λ1 ( üzerinde) 4 1 ( µ 1) dv ( λ1 λ ) dv + GdV λ1λ dv + eşitlik sağlanırsa ; üzerinde λ1 = λ olur., E 4 de tightir ve da G dır. 1 1 GdV Eğer, E 4 de flat torus ise ortalama eğrilik H için H = ( µ ) + ( µ olduğundan 1 ) H dv π dir. Eğer, E 4 de genusu olan yönlendirilmiş kapalı bir yüzey ve G ise H dv π ( π 1) dir. 1 1 H dv π + GdV π + GdV = π ( π 1) Lemma ve Gauss Bonnet formülüyle λ dv 4 ( g 1) dir. Burada π λ dv π, g =1 olduğunda 3

39 π ( π + g 1)... g =,3,4 λ dv dir (Chen and Houh 1971). 4π ( g 1)... g = 5,6,7 33

40 4. E 6 ZAYINDA BAZI DİFERENSİYEL GEOETRİK EŞİTSİZLİKLER 4.1 E 6 zayının Yapı Denklemleri ve Şekil Operatörü Teorem 4.1.1: 4, 4 boyutlu yönlendirilmiş kapalı manifold, x : 4 E 6 immersiyon ve F( 4 ), F(E 6 ) sırasıyla 4 ve E 6 nin yönlendirilmiş ortonormal çatıları olsun. B cümlesinin elemanları b = (p,e 1, e, e 3,e 4, e 5, e 6 ) öyle ki; (p, e 1, e, e 3,e 4 )Є F( 4 ) ve (x(p), e 1, e, e 3,e 4, e 5, e 6 ) Є F(E 6 ) olsun. y: B F( E 6 ) b y(b) = ( x(p), e 1, e, e 3, e 4, e 5, e 6 ) olarak tanımlansın. ŵ A, ŵ AB F(E 6 ) çatısında 1-formlar ve w A, w AB ler ŵ A, ŵ AB lerden y dönüşümü ile indirgenmiş 1-formları, (A 6ij ) immersiyonun şekil operatörü olmak üzere İkinci temel form II ( dp, dp ) = A 611 w 1 + A 61 w 1 w + A 614 w 1 w 4 + A 6 w + A 63 w w 3 + A 64 w w 4 + A 633 w 3 + A 634 w 3 w 4 + A 644 w 4 dır. İspat: B V, 4 nin E 6 deki birim normal vektörlerini gösterirse B V 4 dönüşümü p Є 4 3 deki S p demet küresini tanımlar. Diyelim ki u: B V S 5 dönüşümünde E 6 nın orijininde e ye paralel birim vektör u(p,e) ise E 6 nin yapı denklemleri dx = ŵ A e A de A = ŵ AB e B dŵ A = ŵ B Λŵ BA dŵ AB = ŵ AC Λŵ CB ŵ AB + ŵ BA = dır. A,B,C = 1,,3,4,5,6 r = 5,6 i,j = 1,,3,4 için w r = w ri = A rij w j A rij =A rji dw i = w j Λw ji dw AB = w AC Λw CB açık olarak yazarsak dw 1 + w 1 Λ w + w 31 Λ w 3 + w 41 Λ w 4 = dw + w 1 Λ w 1 + w 3 Λ w 3 + w 4 Λ w 4 = dw 3 + w 13 Λ w 1 + w 3 Λ w + w 43 Λ w 4 = w 15 Λ w 1 + w 5 Λ w + w 35 Λ w 3 + w 45 Λ w 4 = 34

41 w 16 Λ w 1 + w 6 Λ w + w 36 Λ w 3 + w 46 Λ w 4 = denklemleri elde edilir. Diğer yandan w ri = A rij w j den w i5 = A 5i1 w 1 + A 5i w + A 5i3 w 3 + A 5i4 w 4 i = 1,...,4 w i6 = A 6i1 w 1 + A 6i w + A 6i3 w 3 + A 6i4 w 4 II inci temel formu hesaplarsak II ( dp, dp ) = < S(dp), dp > = < S(w 1 e 1 +w e +w 3 e 3 +w 4 e 4 +w 5 e 5 +w 6 e 6 ),(w 1 e 1 +w e +w 3 e 3 +w 4 e 4 +w 5 e 5 +w 6 e 6 )> = < S(w 1 e 1 +w e +w 3 e 3 +w 4 e 4 ),(w 1 e 1 +w e +w 3 e 3 +w 4 e 4 )> S(e 1 ) = D e1 e 6 = A 611 e 1 + A 61 e + A 631 e 3 + A 641 e 4 S(e ) = D e e 6 = A 61 e 1 + A 6 e + A 63 e 3 + A 64 e 4 S(e 3 ) = D e3 e 6 = A 613 e 1 + A 63 e + A 633 e 3 + A 643 e 4 S(e 4 ) = D e4 e 6 = A 614 e 1 + A 64 e + A 634 e 3 + A 644 e 4 İmmersiyonun şekil operatörü A 611 A 61 A 631 A 641 A 61 A 6 A 63 A 64 S = A 613 A 63 A 633 A 643, A 6ij = A 6ji olarak elde edilir. A 614 A 64 A 634 A 644 w 1 S(e 1 ) = ( A 611 e 1 + A 61 e + A 631 e 3 + A 641 e 4 )w 1 w S(e ) = ( A 61 e 1 + A 6 e + A 63 e 3 + A 64 e 4 )w w 3 S(e 3 ) = ( A 613 e 1 + A 63 e + A 633 e 3 + A 643 e 4 )w 3 w 4 S(e 4 ) = ( A 614 e 1 + A 64 e + A 634 e 3 + A 644 e 4 )w 4 II ( dp, dp ) = A 611 w 1 + A 61 w 1 w + A 614 w 1 w 4 + A 6 w + A 63 w w 3 + A 64 w w 4 + A 633 w 3 + A 634 w 3 w 4 + A 644 w 4 ikinci temel form olarak elde edilir. 35

42 4. E 6 zayında Lipschitz-Killing Eğriliğinin Hesaplanması Teorem 4..1: 4, 4 boyutlu yönlendirilmiş kapalı manifold, x : 4 E 6 immersiyon olsun. λ 1 ikinci tipten birinci, λ ikinci tipten ikinci eğriliği, e birim normal vektör olmak üzere p noktasında Lipschitz-Killing eğriliği K(p,e) = λ 1 (p) cos 4 θ + λ (p) sin 4 θ ; λ 1 λ dir. İspat: İmmersiyonun şekil operatörü A 6ij nin, lokal cross sectiona kısıtlanmışı Ā 6ij ile gösterilsin o zaman e birim normal vektörü için e = e 6 = cosθē 5 + sinθē 6 alınırsa A 6ij = cosθ Ā 5ij + sinθ Ā 6ij olur ve Lipschitz-Killing eğriliği K(p,e) aşağıdaki şekilde hesaplanır. K(p,e) = det(a 6ij ) Dönüşüm yapılmadan determinant alınır ve sonra determinantın her terimi için dönüşüm yapılırsa uygun bir seçim yapılarak sağ taraf cos θ ve sin θ nın quadratik ifadesi haline gelir. Frenet cross sectionını alırsak ortonormal bir çatı ile bu quadratik ifade K(p,e) = λ 1 (p) cos 4 θ + λ (p) sin 4 θ olur. λ 1 λ λ 1 (p) = det(ā 5ij ) λ (p) = det(ā 6ij ) dir. 4.3 Gauss Eğriliği G Pozitif İse Total utlak Eğriliğin Hesaplanması Teorem 4.3.1: 4, 4 boyutlu yönlendirilmiş kapalı manifold x : 4 E 6 immersiyonu olsun, G pozitif Gauss Eğriliğini, β( 4 ) Betti sayıları toplamını göstermek üzere G dv 4 3 π β( 4 )dir. 36

43 İspat: Total eğriliği hesaplayacak olursak π K * (p) = K (p,e) dθ λ 1 ve λ pozitif ise yani pozitif Gauss Eğriliği için π = λ 1 (p) cos 4 θ + λ (p) sin 4 θ dθ π = (λ 1 (p) cos 4 θ + λ (p) sin 4 θ ) dθ = 3П 4 ( λ 1(p) + λ (p)) = 3П 4 G(p) dir. K * dv = 3 π 4 G dv β( 4 ) Betti sayıları toplamını gösterirse Chern Lashof un sonucu olarak K * dv π 3 β( 4 ) dir. Buradan 3 π 4 G dv π3 β( 4 ) G dv 4 3 π β( 4 ) eşitsizliği elde edilir. 37

44 4.4 Gauss Eğriliği G Negatif İse Total utlak Eğriliğin Hesaplanması Teorem 4.4.1: 4, 4 boyutlu yönlendirilmiş kapalı manifold x : 4 E 6 immersiyonu ile gömülürse, G(p) = λ 1 (p) + λ (p) negatif Gauss Eğriliğini, β( 4 ) Betti sayıları toplamını göstermek üzere λ 1 (p) < ve λ (p) < ise G dv π β( 4 )dir. İspat: λ 1 (p) < ve λ (p) < ise G(p) < dır. Negatif Gauss Eğriliği için total mutlak eğrilik π K * (p) = π = K (p,e) dθ λ 1 cos 4 θ + λ sin 4 θ dθ π = - (λ 1 cos 4 θ + λ sin 4 θ ) dθ = - 3П 4 ( λ 1(p) + λ (p) ) = - 3П 4 G(p) dir. K * dv = - 3П 4 G dv dir. β( 4 ) Betti sayıları toplamını gösterirse Chern Lashof un sonucu olarak K * dv π 3 β( 4 ) dir. Buradan - 3 π 4 G dv π3 β( 4 ) G dv π β( 4 )dir. 38

45 Teorem 4.4.: 4, 4 boyutlu yönlendirilmiş kapalı manifold x : 4 E 6 immersiyonu ile gömülürse, G(p) = λ 1 (p) + λ (p) negatif Gauss Eğriliğini, β( 4 ) Betti sayıları toplamını göstermek üzere λ 1 (p) > ve λ (p) < ise [( -λ λ 1 ) 4 -λ 1 λ λ 1 -λ ( λ 1 + -λ ) ]dv 1 6 π4 β( 4 )+ 3π 3 χ( 4 ) αg dv dir İspat: λ 1 (p) > ve λ (p) < olduğunda = { p Є 4, λ 1 (p) > } ve V = { p Є 4, λ 1 (p) < } olarak tanımlayalım. negatif Gauss Eğriliği için λ (p) λ 1 (p) dir. Bu durumda π K * (p) = π = K (p,e) dθ λ 1 (p)cos 4 θ + λ (p) sin 4 θ dθ integralinin hesaplanması : G(p) = λ 1 (p) + λ (p) negatif Gauss eğriliği olmak üzere π K * (p) = π = π = K (p,e) dθ λ 1 (p) cos 4 θ + λ (p) sin 4 θ dθ a cos θ + b sin θ a cos θ b sin θ dθ a = λ 1, b = -λ, b > a > dır. a cos θ + b sin θ olduğundan π K * (p) = (a cos θ + b sin θ ) a cos θ b sin θ dθ 39

46 = 1 π (a cos θ + b sin θ ) (a-b) + (a+b) cosθ dθ = 1 π (a+b) (a cos θ + b sin θ ) a-b a+b + cosθ dθ cosα = - a - b a + b ; < α П olacak şekilde α açısı tanımlansın. sinα = ab a + b ; G(p) = λ 1(p) + λ (p) ; G(p) = a - b K * (p) = 1 π (a+b) = 1 4π 4 (a+b) = 1 π 4 (a+b) 4 = 1 π (a+b) (a cos θ + b sin θ ) cosθ - cosα dθ (a cos t + b sin t (a cos t + b sin t ) cost - cosα dt ) cost - cosα dt [(a+b) + (a-b) cost ] cost - cosα dt = a - b π [ a + b a - b + cost ] cost - cosα dt = a - b π [- 1 cosα + cost ] cost - cosα dt = a - b α [- 1 cosα + cost ](cost cosα) dt - a - b π α [- 1 cosα + cost ](cost - cosα )dt K * (p) = 3 αg(p) - 3π 4 G(p) + ( b a ) ab a + b (a + b) olarak bulunur. 4

47 V = { p Є 4, λ 1 (p) < } için K * (p) = - 3П 4 G(p) dir. K * dv = = = K * dv = K * dv + V K * dv [ 3 αg - 3П 4 G + ( b a ) ab a + b (a + b) ]dv + V - 3П 4 GdV + V - 3П 4 GdV + 3-3П 4 GdV + αg dv + [( b a ) ab [( b a ) ab - 3П 4 GdV a + b (a + b) ]dv + 3 a + b (a + b) ]dv αg dv [( b a ) ab Gauss-Bonnet Formülünden a + b (a + b) ]dv = K * dv + 3П 4 GdV - 3 αg dv GdV = 8π χ( 4 ) dır. Chern-Lashof bir sonucu olarak total eğrilik Betti sayılarının toplamı β( 4 ) den büyüktür. Bu durumda K * dv c 7 β( 4 ), c 7 = 1 3 π4 alındığında K * dv 1 3 π4 β( 4 ) dır. [( b a ) ab a + b (a + b) ]dv 1 3 π4 β( 4 )+ 3π 3 χ( 4 ) + 3 αg dv [( b a ) ab a + b (a + b) ]dv 1 6 π4 β( 4 )+ 3π 3 χ( 4 ) αg dv bulunur. 41

48 a = λ 1, b = -λ olduğundan dir. [( -λ λ 1 ) 4 -λ 1 λ λ 1 -λ ( λ 1 + -λ ) ]dv 1 6 π4 β( 4 )+ 3π 3 χ( 4 ) αg dv 4

49 5. L 4 ZAYINDA BAZI DİFERENSİYEL GEOETRİK EŞİTSİZLİKLER 5.1 L 4 zayının Yapı Denklemleri ve Şekil Operatörü Teorem 5.1.1: iki boyutlu kapalı yönlendirilmiş yüzey x: L 4 timelike immersiyon F( ) ve F(L 4 ) sırasıyla ve L 4 ün yönlendirilmiş ortonormal çatıları olsun.b kümesi b = (p, l 1, l, l 3, l 4 ) elemanlarından oluşan bir küme öyle ki (p, l 1 l )Є F( ) (x(p), l 1, l, l 3, l 4 )Є F(L 4 ). Çatının yönlendirmesi L 4 ile benzer ve dx(l i ), l i ile belirleniyor. Burada l i ler birim vektörler ve ayrıca l timelike vektördür. y: B F(L 4 ) y(p) = (x(p), l 1, l, l 3, l 4 ) doğal olarak tanımlı, w A B üzerinde ŵ A lerden y ile indirgenmiş 1-formlar, (A 4ij )immersiyonun şekil operatörü ise ikinci temel form II(dp,dp) = A 411 w 1 + A 41 w 1 w + A 4 w dır. İspat: iki boyutlu kapalı yönlendirilmiş yüzey x: L 4 timelike immersiyon F( ) ve F(L 4 ) sırasıyla ve L 4 ün yönlendirilmiş ortonormal çatıları olsun. B kümesi b = (p, l 1, l, l 3, l 4 ) elemanlarından oluşan bir küme öyle ki (p, l 1 l )Є F( ) (x(p), l 1, l, l 3, l 4 )Є F(L 4 ). 43

50 Çatının yönlendirmesi L 4 ile benzer ve dx(l i ), l i ile belirleniyor. Burada l i ler birim vektörler ve ayrıca l timelike vektördür. y: B F(L 4 ) y(p) = (x(p), l 1, l, l 3, l 4 ) doğal olarak tanımlı A,B,C = 1,,3,4 dx = ŵ A l A dŵ AB = ŵ AC Λŵ CB dl A = ŵ AB l B ŵ AB + ŵ BA = dŵ A =ŵ A Λŵ BA ŵ A ve ŵ AB ler F(L 4 ) üzerinde 1-formlardır. w A ve w AB B üzerinde ŵ A ve ŵ AB lerden y: B F(L 4 ) ile indirgenmiş 1-formları göstersin. w 3 = w 4 = w i3 = A 3i1 w 1 + A 3i w w j4 = A 4j1 w 1 + A 4j w i,j=1, B F( ) lokal cross sectionını ele alalım. (p, l 1, l, l 3, l 4) bu lokal cross sectionın çatısı olsun. A rij nin lokal cross sectiona kısıtlanmışı Ā rij ile gösterilsin. S immersiyonun şekil operatörünü göstermek üzere. İkinci temel formu hesaplarsak II(dp,dp) = <S(dp),dp> = <S(w 1 l 1 + w l + w 3 l 13 + w 4 l 4 ), w 1 l 1 + w l + w 3 l 13 + w 4 l 4 > =<S(w 1 l 1 + w l ), w 1 l 1 + w l > =< w 1 S(l 1 ) + w S(l ), w 1 l 1 + w l > = w 1 < S(l 1 ), l 1 > + w 1 w < S(l 1 ), l > + w < S(l ), l > 44

51 S(l 1 ) = D l1 l 4 = A 411 l 1 - A 41 l S(l ) = D l l 4 = A 41 l 1 - A 4 l S= A A 41 A 41 - A 4 < S(l 1 ), l 1 > = < A 411 l 1 - A 41 l, l 1 > = A 411 < S(l 1 ), l > = < A 411 l 1 - A 41 l, l > = A 41 < S(l ), l > = < A 41 l 1 - A 4 l,l > = A 4 II(dp,dp) = A 411 w 1 + A 41 w 1 w + A 4 w ikinci temel form olarak elde edilir. 5. L 4 zayında Lipschitz- Killing Eğriliğinin Hesaplanması Teorem 5..1: iki boyutlu kapalı yönlendirilmiş yüzey, x: L 4 timelike immersiyon, (A 4ij ) immersiyonun şekil operatörü, p noktasındaki Lipschitz-Killing eğriliğini K(p,l), birim normal vektör l ve λ 1 (p) = det(ā 3ij ), λ (p) = det(ā 4ij ). ikinci tipten birinci ve ikinci eğrilikler olmak üzere K(p,l) = - λ 1 (p)cos θ λ (p)sin θ dir. İspat: l = l 4 = cosθ Ǐ 3 + sinθ Ǐ 4 seçersek A 4ij = cosθ Ā 3ij + sinθ Ā 4ij i,j =1, K(p,l) = det(a 4ij ) dir. 45

52 cosθ Ā sinθ Ā 411 -cosθ Ā 31 - sinθ Ā 41 K(p,l) = cosθ Ā 31 + sinθ Ā 41 - cosθ Ā 3 - sinθ Ā 4 K(p,l) = - λ 1 (p)cos θ λ (p)sin θ olarak bulunur. λ 1 (p) = det(ā 3ij ) λ (p) = det(ā 4ij ) dir. λ 1, λ ikinci tipten α inci eğriliklerdir. 5.3 L 4 zayında Negatif Gauss Eğrilikli Yüzeylerde Total Eğriliğin Hesaplanması Teorem 5.3.1: iki boyutlu kapalı yönlendirilmiş yüzey x: L 4 timelike immersiyon olsun. G(p), p noktasındaki Gauss Eğriliğini, λ 1, λ ikinci tipten birinci ve ikinci eğrilikler ayrıca = { p Є ; λ 1 (p) > } ve V = { p Є ; λ 1 (p) }olmak üzere total mutlak eğrilik K * (p) = - π G(p) ; V üzerinde K * (p) = (α π ) G(p) + 4 -λ 1 λ ; üzerinde dir. İspat: V üzerinde λ 1 ve λ negatif olacağından total eğrilik π K * (p) = K ( p, l) dθ π = -λ 1 cos θ - λ sin θ dθ 46

53 π = -1 λ 1 cos θ + λ sin θ dθ π = -(λ 1 cos θ + λ sin θ ) dθ = - π( λ 1 + λ ) = - π G(p) dir. üzerinde λ 1 pozitif olduğundan ve G(p) durumu incelendiğinden λ negatifdir. Bu ise λ λ 1 gerektirir. Total mutlak eğrilik π K * (p) = K ( p, l) dθ π = π = π = -λ 1 cos θ - λ sin θ dθ -1 λ 1 cos θ + λ sin θ dθ (λ 1 + λ ) +(λ 1 - λ ) cosθ dθ = 1 π (λ 1 - λ ) λ 1 - λ λ 1 + λ + cosθ dθ cosα = - λ 1 + λ λ 1 - λ ; < α П olacak şekilde α açısı tanımlansın. sinα = -λ 1 λ λ 1 - λ 1 K * (p) = 1 π (λ 1 - λ ) cosθ - cosα dθ 47

54 π = (λ 1 - λ ) α =(λ 1 - λ ) cost - cosα dt π (cost - cosα ) dt - (λ 1 - λ ) α ( cost - cosα ) dt K * (p) = (α π ) G(p) + 4 -λ 1 λ dir. Teorem 5.3.: kapalı yönlendirilebilir yüzey x: L 4 timelike immersiyon olsun.gauss eğriliği G ise nin L 4 deki ortalama eğriliği H için H dv 4π + αg dv dir. İspat: ( p, l 1, l, l 3, l 4) çatı l 4 e göre asli doğrultular l 1 ve l olsun. Ā rij matrisinin bileşenlerini gösterim kolaylığı açısından aşağıdaki gibi seçelim. Ā 311 = a Ā 411 = d Ā 41 = Ā 41 = Ā 31 = - c Ā 3 = - b Ā 3ij = Ā 31 = c Ā 4 = - e a -c c -b Ā 4ij = d -e λ 1 (p) = det(ā 3ij ) = -ab + c λ (p) = det(ā 4ij ) = -de ve λ 1 λ olmak üzere 48

55 a -c S = c -b d -e S matrisine göre ortalama eğriliği hesaplayacak olursak H = a-b+d-e H = (a-b+d-e) 4 4H = (a-b) + (d-e) -(a-b)(d-e) = (a-b) + (d-e) -( ad - ae - bd + be) ad - ae - bd + be = dır. Çünkü Ā 311 Ā Ā 3 Ā 4 = Ā 311 Ā 4 + Ā 3 Ā 411 = Ā 31 Ā 41 +Ā 41 Ā 31 ve Ā 41 = Ā 41 = dır. 4H = (a-b) + (d -e) 4H 4 ab + 4 de 4H 8 abde λ 1 λ = (-ab + c )(-de) = abde -dec -λ 1 λ = -abde + dec = { pє : λ 1 (p) > } üzerinde 4H 8 -λ 1 λ H -λ 1 λ, her iki tarafın üzerinden integralini alacak olursak 49

56 H dv olduğundan -λ 1 λ dv, -λ 1 λ dv π + 1 αg dv H dv 4π + αg dv dir 5

57 KAYNAKLAR Boothy, W An Introduction To Differentible anifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, New York, San Francisco, Londan. Chen, B. Y. and Houh, C. S Some Differential Geometric Inequalities For Surfaces in Euclidean Spaces. Tensor, N. S.Vol 3; Chen, B. Y On an Inequality of T. J. Willmore. AS; Chen, B. Y On The Total Cuvature of Immersed anifolds,i an Inequality of Fenchel- Borsuk- Willmore. Amer. J. ath; Chern, S. S. and Lashof, R. K On The Total Curvature of Immersed anifolds, II. Amer. J. ath; 5-1. Hacısalihoğlu, H. H Yüksek Diferensiyel Geometriye Giriş. Fırat Üniversitesi Fen Fakültesi Yayınları, Türkiye. Hicks, N Notes On Differential Geometry. Von Nostrand Reinhold Company, Londan. O Neill, B Semi-Riemannian Geometry. Academic Press, Newyork, London. Willmore, T.J Total Curvature in Riemannian Geometry. Halsted Pres, London Tagos, G. and Papontaniov, B On therectilinear Congruences of Lorentz anifold Establishing An Area Preserving Representation.Tensör, N. S. 51

58 ÖZGEÇİŞ Adı Soyadı: Serpil KARAGÖZ Doğum Yeri : Bolu Doğum Tarihi: 6/5/197 edeni Hali : Bekar Yabancı Dili : İngilizce Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl) Lise: Bolu Atatürk Lisesi (1989) Lisans : armara Üniversitesi Atatürk Eğitim Fakültesi (1994) Yüksek Lisans: armara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü atematik Ana Bilim Dalı (1997) Çalıştığı Kurum/Kurumlar ve Yıl ahalli İdareler Behiye Baysal Anadolu eslek Lisesi Abant İzzet Baysal Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi atematik Bölümü