Faktöriyel Tasarımlar

Transkript

1 İstatistiksel Deney Tasarımı Birdal Şenoğlu & Şükrü Acıtaş 1 / 99

2 Kesirli 2 / 99

3 Fisher (1935) ve Yates (1937) tarafından önerilen Faktöriyel deneyler (factorial experiments) veya bir çok kaynakta belirtildiği gibi faktöriyel tasarımlar (factorial designs), iki ya da ikiden fazla faktörün ana etkilerini (main effects) ve etkileşim etkilerini (interaction) aynı anda araştırmak için kullanılan oldukça popüler tasarımlardır. Özellikle mühendislik alanında yaygın bir kullanıma sahiptirler. Faktöriyel tasarımlar, zaman ve para tasarrufu sağlamak bakımından, her seferinde bir tane faktörün etkisini araştıran geleneksel tasarımlara göre çok daha etkindirler. Bunun yanı sıra, faktörler arasındaki etkileşim veya etkileşimleri araştırmak bakımından da her seferinde bir tane faktörün etkisini araştıran tasarımlara göre avantaj sağlarlar. Faktöriyel tasarımları, iç-içe tasarımlardan ayıran en önemli unsur, deneyde kullanılan herhangi bir faktörün düzeylerinin tamamının diğer faktör ya da faktörlerin her bir düzeyinde aynı/özdeş olmasıdır. Faktörler arasındaki etkileşimin temel nedeni de budur. Kesirli 3 / 99

4 "Faktöriyel tasarımları", uygulamada yaygın olarak kullanılan2 k,3 k,... gibi bazı özel faktöriyel tasarımlarla karıştırmamak için "genel faktöriyel tasarımlar" olarak adlandıracağız. Faktöriyel tasarımların özel hallerinden ise ayrıca bahsedeceğiz. Kesirli 4 / 99

5 Faktöriyel tasarımlarda, denemeler, faktör kombinasyonlarını ifade eder. Örneğin, A ve B faktörleri sırasıyla 3 ve 4 düzeye sahip olsun ve bu düzeyler, (a 1,a 2,a 3 ) ve (b 1,b 2, b 3,b 4 ) sembolleriyle gösterilsin. Bu deneyde, a 1 b 1, a 1 b 2, a 1 b 3, a 1 b 4, a 2 b 1, a 2 b 2, a 2 b 3, a 2 b 4, a 3 b 1, a 3 b 2, a 3 b 3, a 3 b 4 olarak ifade edilen toplam3 4 = 12 tane deneme vardır. Bu tasarım,3 4faktöriyel tasarım olarak adlandırılır. Kesirli 5 / 99

6 Benzer şekilde, A, B ve C faktörleri sırasıyla 3, 2 ve 3 düzeye sahip olsun ve bu düzeyler,(a 1,a 2,a 3 ) ve(b 1,b 2 ) ve(c 1,c 2,c 3 ) sembolleriyle gösterilsin. Bu deneyde, a 1 b 1 c 1, a 1 b 1 c 2, a 1 b 1 c 3, a 1 b 2 c 1, a 1 b 2 c 2, a 1 b 2 c 3, a 2 b 1 c 1, a 2 b 1 c 2, a 2 b 1 c 3, a 2 b 2 c 1, a 2 b 2 c 2, a 2 b 2 c 3, a 3 b 1 c 1, a 3 b 1 c 2, a 3 b 1 c 3, a 3 b 2 c 1, a 3 b 2 c 2, a 3 b 2 c 3, olarak ifade edilen toplam3 2 3 = 18 tane deneme vardır. Kesirli 6 / 99

7 2 k faktöriyel tasarımda, 2 düzey sayısını,k ise faktör sayısını gösterir. Faktörlerin düzeyleri genellikle(a 0,a 1 ), (0,1), (düşük, yüksek) veya (-1,1) gibi sembollerle ifade edilir. Deneyde etkisi araştırılmak istenen faktör sayısı çok fazla olduğunda,2 k faktöriyel tasarım, özellikle süreç geliştirme (process development) problemlerinde bir sonraki araştırmanın yönünün belirlenmesi için bir ön çalışma niteliği taşır, Box ve ark. (1978), Montgomery (2001), Hinkelmann & Kempthorne (1994) ve Şenoğlu (2005). Kesirli 7 / 99

8 Kesirli Her biri iki düzeye sahip, A ve B gibi iki faktör olduğunda,2 k faktöriyel tasarım,2 2 faktöriyel tasarım adını alır. 2 2 faktöriyel tasarımda, veya (a 0,b 0 ),(a 1,b 0 ),(a 0,b 1 ) ve(a 1,b 1 ) (0,0),(1,0),(0,1) ve(1,1) olarak gösterilen toplam2 2 = 4 tane deneme vardır. Bu denemeler, kısaca sembolleriyle gösterilir. Burada, olduğunu ifade eder. (1),a,b veab (1) : A faktörünün ve B faktörünün düşük düzeyde, a : A faktörünün yüksek ve B faktörünün düşük düzeyde, b : A faktörünün düşük ve B faktörünün yüksek düzeyde, ab : A faktörünün ve B faktörünün yüksek düzeyde, 8 / 99

9 Her biri iki düzeye sahip, A, B ve C gibi üç faktörün olduğu tasarım,2 3 faktöriyel tasarım olarak adlandırılır. Bu tasarımda, veya a 0 b 0 c 0,a 1 b 0 c 0,a 0 b 1 c 0,a 1 b 1 c 0,a 0 b 0 c 1,a 1 b 0 c 1,a 0 b 1 c 1,a 1 b 1 c 1 (1),a,b,ab,c,ac,bc,abc sembolleriyle gösterilen toplam2 3 = 8 tane deneme vardır. Genelleyecek olursak,2 k faktöriyel tasarımda, toplam2 k tane deneme vardır. Kesirli 9 / 99

10 Kesirli Faktöriyel tasarımların, uygulamada öneme sahip bir diğer özel hali ise,3 k faktöriyel tasarımdır. 3 k faktöriyel tasarımda, her biri 3 düzeye sahip toplamk tane faktör vardır. Faktör düzeyleri genellikle(a 0,a 1,a 2 ) veya (0,1,2) sembolleriyle gösterilir. Faktör sayısı 2 olduğunda,3 k faktöriyel tasarım,3 2 faktöriyel tasarım olarak adlandırılır ve (a 0,b 0 ),(a 0,b 1 ),(a 0,b 2 ),(a 1,b 0 ),(a 1,b 1 ),(a 1,b 2 ),(a 2,b 0 ),(a 2,b 1 ),(a 2,b 2 ) veya (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2) sembolleriyle gösterilen toplam3 2 = 9 tane deneme vardır. Benzer şekilde3 3 faktöriyel tasarımda, toplam3 3 = 27,3 k faktöriyel tasarımda ise toplam3 k tane deneme vardır. 4 k,5 k,... faktöriyel tasarımlar için de faktör kombinasyonları veya denemeler benzer şekilde ifade edilebilir. 10 / 99

11 Her ne kadar, faktöriyel tasarımlar olarak adlandırsak da aslında faktöriyel tasarımlar, bir tasarım şekli değil bir deneydir. Faktör kombinasyonları şeklinde ifade edilen denemeler arasında anlamlı bir fark olup olmadığını test etmek amacıyla daha önceki bölümlerde anlatılan ve ilerleyen bölümlerde anlatılacak olan tasarımlardan yararlanılır. Hangi tasarımın tercih edileceği ise önceki bölümlerde belirtilen ve ilerleyen bölümlerde belirtilecek olan kriterlere göre yapılır. Bir başka deyişle, deney birimleri arasında homojenliği en fazla sağlayan tasarım tercih edilir. Bununla beraber, kitabın bu ve bundan sonraki bölümlerinde literatürdeki yaygın kullanımına uygun olarak Faktöriyel Deneyler ifadesi yerine ifadesi kullanılacaktır. Kesirli 11 / 99

12 Tasarımlar Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi-KARAR Tasarımlar 12 / 99

13 Tasarımlar Tasarımlar Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi-KARAR Tasarımlar A ve B faktörlerinin, sırasıylaavebdüzeyinin olduğu bira bfaktöriyel tasarım için matematiksel model y ijk = µ+τ i +γ j +τγ ij +ε ijk, (1) olarak ifade edilir. Burada, i = 1,2,,a; j = 1,2,,b; k = 1,2,,n y ijk, A faktörününi inci ve B faktörününj inci düzeyindekik ıncı gözlem değerini, µ, genel ortalamayı, τ i, A faktörününi inci düzeyinin etkisini, γ j, B faktörününj inci düzeyinin etkisini, τγ ij, A ve B faktörlerinin etkileşim etkisini ve ε ijk, rasgele hata terimlerini gösterir. 13 / 99

14 Tasarımlar Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi-KARAR Tasarımlar (1) modelinde, genel kareler toplamı olarak bileşenlerine ayrılır. Burada, SS Toplam = SS A +SS B +SS AB +SS Hata (2) SS Toplam SS A SS B SS AB SS Hata = = a a = bn = an = n i=1 b j=1 i=1 b j=1 a i=1 a i=1 (ȳ i ȳ ) 2 n k=1 (y ijk ȳ ) 2 (ȳ j ȳ ) 2 b (ȳ ij ȳ i ȳ j +ȳ ) 2 j=1 b j=1 k=1 n (y ijk ȳ ij ) 2 sırasıyla, genel kareler toplamını, A, B ana etkilerinin, AB etkileşim etkisinin ve hatanın kareler toplamını gösterir. (3) 14 / 99

15 Tasarımlar Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi-KARAR Tasarımlar Kareler toplamında kullanılan ifadeler aşağıda verilmiştir: y i = y j = y ij = b n j=1 k=1 a i=1 n k=1 n k=1 y ijk y ijk y ijk, ȳ i = y i bn, ȳ j = y j an, ȳ ij = y ij n, i = 1,2,,a, j = 1,2,,b Ayrıca, N = abn toplam gözlem sayısını göstermek üzere y = a i=1 b n j=1 k=1, i = 1,2,,a;j = 1,2,,b. y ijk, ȳ = y N sırasıyla, tüm gözlemlerin toplamı ve tüm gözlemlerin ortalaması olarak tanımlanır. (4) (5) 15 / 99

16 Tasarımlar Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi-KARAR Tasarımlar (1) modelinde, SS Deneme olarak yazılabilir. a = n b i=1 j=1 (ȳ ij ȳ ) 2 (6) a b = bn (ȳ i ȳ ) 2 +an (ȳ j ȳ ) 2 + i=1 j=1 a b n (ȳ ij ȳ i ȳ j +ȳ ) 2 (7) i=1 j=1 = SS A +SS B +SS AB (8) 16 / 99

17 Tasarımlar Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi-KARAR Tasarımlar Bir başka deyişle,ss Deneme ifadesi, A ve B faktörleri ile AB etkileşiminin kareler toplamı olarak bileşenlerine ayrılabilir. Dolayısıyla, A, B ve AB etkileşiminin serbestlik derecelerinin toplamı, denemeye ait serbestlik derecesine eşit olur. A faktörününadüzeyi olduğundan serbestlik derecesia 1, B faktörününbdüzeyi olduğundan serbestlik derecesi b 1 ve AB etkileşiminin serbestlik derecesi (a 1)(b 1) dir. Toplam serbestlik derecesin 1olduğundan, hatanın serbestlik derecesin ab olur. Serbestlik dereceleri kısaca aşağıdaki tabloda gösterildiği gibi yazılabilir. Kaynak df Denemeler ab 1 A B AB a 1 b 1 (a 1)(b 1) Hata N ab Genel N 1 17 / 99

18 Tasarımlar: Hipotez Testi (1) modelinde, A faktörünün anlamlı olup olmadığı, bir başka deyişle, Tasarımlar hipotezi H 01 : τ 1 = τ 2 = = τ a = 0 Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi-KARAR Tasarımlar F A = = SS A /(a 1) SS Hata /(N ab) MS A MS Hata, 18 / 99

19 Tasarımlar: Hipotez Testi B faktörünün anlamlı olup olmadığı, bir başka deyişle, Tasarımlar hipotezi H 02 : γ 1 = γ 2 = = γ b = 0 Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi-KARAR Tasarımlar F B = = SS B /(b 1) SS Hata /(N ab) MS B MS Hata 19 / 99

20 Tasarımlar: Hipotez Testi ve AB etkileşiminin anlamlı olup olmadığı, bir başka deyişle, Tasarımlar hipotezi H 03 : τγ 11 = τγ 12 = = τγ ab = 0 Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi F AB = test istatistikleri kullanılarak sınanır. SS AB /(a 1)(b 1) SS Hata /(N ab) = MS AB MS Hata Tasarımlar: Hipotez Testi-KARAR Tasarımlar 20 / 99

21 Tasarımlar: Hipotez Testi-KARAR Tasarımlar Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi-KARAR Tasarımlar F A test istatistiğinin değeri,αanlam düzeyinde,a 1veN ab serbestlik dereceli F tablo değerinden daha büyükse sıfır hipotezi reddedilir. Bir başka deyişle, F A > F α;a 1;N ab ise "A faktörünün düzeyleri arasında anlamlı bir farklılık vardır" ya da "A ana etkisi anlamlıdır" denir. F B test istatistiğinin değeri,αanlam düzeyinde,b 1veN ab serbestlik dereceli F tablo değerinden daha büyükse sıfır hipotezi reddedilir. Bir başka deyişle, F B > F α;b 1;N ab ise "B faktörünün düzeyleri arasında anlamlı bir farklılık vardır" ya da "B ana etkisi anlamlıdır" denir. F AB test istatistiğinin değeri,αanlam düzeyinde,(a 1)(b 1) ven ab serbestlik derecelif tablo değerinden daha büyükse sıfır hipotezi reddedilir. Bir başka deyişle, F AB > F α;(a 1)(b 1);N ab ise "A ve B faktörleri arasındaki etkileşim etkisi anlamlıdır" ya da "AB etkileşim etkisi anlamlıdır" denir. 21 / 99

22 a b c Tasarımlar A, B ve C faktörlerinin, sırasıylaa,bvecdüzeyinin olduğu bira b cfaktöriyel tasarım için matematiksel model y ijkl = µ+τ i +γ j +τγ ij +δ k +τδ ik +γδ jk +τγδ ijk +ε ijkl (9) i = 1,2,,a ; j = 1,2,b ; k = 1,2,c ; l = 1,2,,n şeklinde ifade edilir. Burada,τγδ ijk, A faktörününi inci, B faktörününj inci ve C faktörünün k ıncı düzeyi arasındaki etkileşimi gösteren model parametresidir, diğer terimler, (1) modelindekine benzer olarak tanımlanır. Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi-KARAR Tasarımlar 22 / 99

23 Tasarımlar Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi-KARAR Tasarımlar (9) modelinde, genel kareler toplamı SS Toplam = SS A + SS B + SS AB + SS C + SS AC + SS BC + SS ABC + SS Hata (10) şeklinde bileşenlerine ayrılır. Burada, a b c n a b c n SS Toplam = (y ijkl ȳ ) 2 SS Hata = (y ijkl ȳ ijk ) 2 i=1 j=1 k=1 l=1 i=1 j=1 k=1 l=1 a b SS A = bcn (ȳ i ȳ ) 2 SS B = acn (ȳ j ȳ ) 2 i=1 j=1 a b c SS AB = cn (ȳ ij ȳ i ȳ j + ȳ ) 2 SS C = abn (ȳ k ȳ ) 2 i=1 j=1 k=1 a c SS AC = bn (ȳ i k ȳ i ȳ k + ȳ ) 2 i=1 k=1 b c SS BC = an (ȳ jk ȳ j ȳ k + ȳ ) 2 j=1 k=1 (11) ve a b c SS ABC = (ȳ ijk ȳ ij ȳ jk ȳ i k + ȳ i + ȳ j + ȳ k ȳ ) 2 (12) i=1 j=1 k=1 dir. 23 / 99

24 Tasarımlar Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi-KARAR Tasarımlar (11) ve (12) eşitliklerinde verilen kareler toplamlarında yer alan ifadeler, ȳ i = b c n j=1 k=1 l=1 bcn a b n i=1 j=1 l=1 ȳ k = ȳ i k = ȳ ijk = b n j=1 l=1 n l=1 abn bn y ijkl y ijkl y ijkl y ijkl olarak tanımlanır. Burada N = abcn dir. n, ȳ j =, ȳ ij =, ȳ jk =, ȳ = a c n i=1 c k=1 l=1 k=1 l=1 a n i=1 a i=1 l=1 acn n cn y ijkl an b c y ijkl j=1 k=1 l=1 N n y ijkl,, y ijkl 24 / 99

25 Tasarımlar Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi-KARAR Tasarımlar (9) modelinde, SS Deneme = SS A +SS B +SS AB +SS C +SS AC +SS BC +SS ABC (13) olarak yazılabileceğinden, faktörlere ve etkileşim etkilerine ilişkin serbestlik dereceleri olur. Kaynak df Denemeler abc 1 A B AB C AC BC ABC Hata Genel a 1 b 1 (a 1)(b 1) c 1 (a 1)(c 1) (b 1)(c 1) (a 1)(b 1)(c 1) N abc N 1 25 / 99

26 a b c: Hipotez Testi Tasarımlar Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi (9) modelinde, ana etkiler ile etkileşim etkilerinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını sınamak için aşağıda verilen test istatistikleri kullanılır. F A = MS A MS Hata F C = MS C MS Hata, F B = MS B MS Hata, F AC = MS AC MS Hata F ABC = MS ABC MS Hata., F AB = MS AB MS Hata,, F BC = MS BC MS Hata, (9) modelinde, karar kısmı, (1) modeline benzer olarak elde edilir. Bir başka deyişle, yukarıda verilen test istatistiklerinin değerleri, ilgili serbestlik dereceleri ile F tablo değerinden daha büyükse sıfır hipotezi reddedilir. Tasarımlar: Hipotez Testi Tasarımlar: Hipotez Testi-KARAR Tasarımlar 26 / 99

27 Grafiği Grafiği Grafiği Grafiği Kesirli 27 / 99

28 Grafiği Grafiği Grafiği Grafiği Kesirli Faktörler arasındaki etkileşimin anlamlı olup olmadığı istatistiksel testler yardımıyla belirlenebildiği gibi grafiksel yöntemler yardımıyla da belirlenebilir. Grafiksel yöntem, subjektif bir yöntem olmasına rağmen pratikte yaygın olarak kullanılır. Grafiksel yöntemde A faktörünün düzeylerine karşılık B faktörünün her bir düzeyi için A ve B faktör kombinasyonlarına ait ortalamaların grafiği çizilir. Elde edilen grafik kullanılarak faktörler arasında etkileşim olup olmadığına karar verilir. Örneğin, A ve B gibi iki faktöre sahip bir deneyde, bu iki faktörün düşük ve yüksek (0,1) olmak üzere iki düzeyi olsun. Bu durumda, AB etkileşim etkisi için iki farklı durum söz konusudur: (i) (ii) B faktörünün düşük ve yüksek düzeyleri için elde edilen doğrular birbirine paralel ise A ve B faktörleri arasında etkileşim yoktur, B faktörünün düşük ve yüksek düzeyleri için elde edilen doğrular birbirine paralel değilse A ve B faktörleri arasındaki etkileşim vardır, denir. 28 / 99

29 Grafiği Grafiği Grafiği Grafiği Grafiği Kesirli Ortalamalar B Yüksek B Düşük 0 1 A Faktörü 29 / 99

30 Grafiği Yukarıdaki şekilde B faktörünün düşük ve yüksek düzeyleri için elde edilen doğrular, birbirine paralel olduğundan, AB etkileşim etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olmadığı söylenir. Grafiği Grafiği Grafiği Grafiği Kesirli 30 / 99

31 Grafiği Grafiği Grafiği Grafiği Grafiği Ortalamalar B Yüksek B Düşük Kesirli 0 1 A Faktörü 31 / 99

32 Grafiği Bu şekilde ise B faktörünün düşük ve yüksek düzeyleri için elde edilen doğrular, birbirine paralel olmadığından, AB etkileşim etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olduğu söylenir. Grafiği Grafiği Grafiği Grafiği Kesirli 32 / 99

33 Bir Tekrarlıa b Bir Tekrarlı Tasarımlar Kesirli 33 / 99

34 Bir Tekrarlı Tasarımlar Bir Tekrarlıa b Kesirli Bir tekrarlıa bfaktöriyel tasarım için matematiksel model dir. Bu modelde, y ij = µ+τ i +γ j +ε ij, i = 1,2,,a; j = 1,2,,b (14) µ ij = µ+τ i +γ j denemeler olarak düşünüldüğünde, denemelerin serbestlik derecesininab 1 olacağı açıktır. Öte yandan, tüm gözlem sayısın = ab dir ve toplam serbestlik derecesi deab 1 olacaktır. Bu durumda, hatanın serbestlik derecesi sıfır olur. Böyle bir durum pratik ve teorik olarak mümkün olamayacağından, bir tekrarlı faktöriyel tasarımlarda en yüksek dereceli etkileşim genellikle hata terimi olarak alınır; çünkü yüksek dereceden etkileşimlerin genellikle önemsiz olduğu varsayılır. Bu durumda, ANOVA tablosu, Tablo aşağıda gösterildiği gibi oluşturulur. Kaynak df SS M S F A a 1 SS A MS A F A B b 1 SS B MS B F B Hata (AB) (a 1)(b 1) SS Hata MS Hata Genel N 1 SS Toplam 34 / 99

35 Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Deneme Kombinasyonları Ana Etkiler ve Ana Etkiler ve Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının Parçalanışı Genel Kareler Toplamının 35 / 99

36 Matematiksel Model Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Deneme Kombinasyonları Ana Etkiler ve Ana Etkiler ve Bağıntı Tablosu 2 2 faktöriyel tasarım için matematiksel model dir. Burada, y ijk = µ+τ i +γ j +τγ ij +ε ijk, (15) i = 1,2; j = 1,2; k = 1,2,,n y ijk, A faktörününi inci ve B faktörününj inci düzeyindekik ıncı gözlem değerini, µ, genel ortalamayı, τ i, A faktörününi inci düzeyinin etkisini, γ j, B faktörününj inci düzeyinin etkisini, τγ ij, A ve B faktörlerinin etkileşim etkisini ve ε ijk, rasgele hata terimlerini Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının Parçalanışı gösterir. 2 2 faktöriyel tasarım için veri yapısı aşağıdaki gibidir. B Faktörü A Faktörü Düşük (0) Yüksek (1) Düşük (0) y 111,y 112,,y 11n y 121,y 122,,y 12n Genel Kareler Toplamının Yüksek (1) y 211,y 212,,y 21n y 221,y 222,,y 22n 36 / 99

37 Deneme Kombinasyonları Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Deneme Kombinasyonları Ana Etkiler ve Ana Etkiler ve Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini 2 2 faktöriyel tasarımda, daha önce de bahsedildiği gibi, faktörlerin düşük ve yüksek düzeyleri için dört farklı deneme kombinasyonu söz konusudur: A B Deneme Kombinasyonları Düşük Düşük (1) Yüksek Düşük a Düşük Yüksek b Yüksek Yüksek ab Yukarıda verilen veri yapısı dikkate alındığında dır. (1) = b = n y 11k, a = k=1 n y 12k, ab = k=1 n k=1 n k=1 y 21k y 22k Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının Parçalanışı Genel Kareler Toplamının 37 / 99

38 Deneme Kombinasyonları Matematiksel Model b ab Deneme Kombinasyonları Deneme Kombinasyonları B Faktörü Ana Etkiler ve Ana Etkiler ve Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının Parçalanışı (1) a A Faktörü Genel Kareler Toplamının 38 / 99

39 Ana Etkiler ve Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Deneme Kombinasyonları Ana Etkiler ve Ana Etkiler ve Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma B nin yüksek düzeyinde, A nın etkisi ve B nin düşük düzeyinde, A nın etkisi ab b n a (1) n dir. Dolayısıyla, B nin tüm düzeylerinde A nın etkisi, bu etkilerin ortalaması olacağından, A = 1 2 [ ab b n + a (1) n ] (16) = 1 [ab b+a (1)] (17) 2n elde edilir. (17) denklemi, A faktörünün ana etkisi olarak tanımlanır. Parametre Tahmini Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının Parçalanışı Genel Kareler Toplamının 39 / 99

40 Ana Etkiler ve Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Deneme Kombinasyonları Ana Etkiler ve Ana Etkiler ve Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının Parçalanışı A nın yüksek düzeyinde, B nin etkisi ve A nin düşük düzeyinde, B nin etkisi ab a n b (1) n dir. Dolayısıyla, A nın tüm düzeylerinde B nin etkisi, bu etkilerin ortalaması olacağından B = 1 2 [ ab a n + b (1) n ] (18) = 1 [ab a+b (1)] (19) 2n elde edilir. (19) denklemi, B faktörünün ana etkisi olarak tanımlanır. AB etkileşim etkisi ise, B nin yüksek düzeyindeki A nın etkisi ile B nin düşük düzeyindeki A nın etkisi arasındaki farkın ortalaması olarak tanımlanır: AB = 1 [ab+(1) a b]. (20) 2n Genel Kareler Toplamının 40 / 99

41 Bağıntı Tablosu (17), (19) ve (20) eşitliklerinde verilen köşeli parantez içindeki ifadeler sırasıyla A, B ve AB etkilerinin bağıntıları olarak ifade edilir. Bir başka deyişle, Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Deneme Kombinasyonları Ana Etkiler ve Ana Etkiler ve Bağıntı A Bağıntı B Bağıntı AB = ab+a b (1) = ab+b a (1) = ab+(1) a b dir. 2 2 faktöriyel tasarımda bağıntı katsayıları, aşağıda gösterildiği gibi elde edilir. Etkiler (1) a b ab A B AB (21) Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Dikkat edilirse, faktörlere ve etkileşime ait bağıntı katsayıları birbirine diktir. Bu ifade, yukarıdaki tabloda satırların birbirine dik; bir başka deyişle, satırların karşılıklı çarpımlarının toplamının sıfır olması anlamına gelmektedir. Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının Parçalanışı Genel Kareler Toplamının 41 / 99

42 Cebirsel Çarpma Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Deneme Kombinasyonları Ana Etkiler ve (21) de verilen bağıntılar, Bağıntı A Bağıntı B Bağıntı AB = (a 1)(b+1) = (a+1)(b 1) = (a 1)(b 1) cebirsel çarpma işlemi kullanılarak da elde edilebilirler. (22) eşitliğinin avantajı, bağıntıların akılda kalmasını kolaylaştırmasıdır. (22) deki eşitlikler, ilgilenilen faktöre -1 diğer faktöre +1 değeri verilerek yapılan çarpma işlemi sonucunda elde edilir. Dikkat edilmelidir ki, burada yapılan çarpma işlemleri semboliktir, sadece kolaylık sağlaması bakımından önemlidir. (22) Ana Etkiler ve Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının Parçalanışı Genel Kareler Toplamının 42 / 99

43 Parametre Tahmini (15) modelinde, hata terimlerinin kareleri toplamının ilgili parametreye göre minimum yapılmasıyla bulunur. Gerekli işlemler yapıldığında parametrelerin LS tahmin edicileri, Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Deneme Kombinasyonları Ana Etkiler ve Ana Etkiler ve Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının Parçalanışı olarak elde edilir. µ = ȳ (23) τ i = ȳ i ȳ (24) γ j = ȳ j ȳ (25) τγ ij = ȳ ij ȳ i ȳ j +ȳ (26) 2 2 n (y ijk ȳ ij ) 2 σ 2 = i=1 j=1 k=1 2 2 (n 1) (27) Genel Kareler Toplamının 43 / 99

44 Hipotez Testi Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Deneme Kombinasyonları (15) modelinde, A ve B faktörlerinin ana etkileri ile AB etkileşim etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığı test edilir. Her bir durum için hipotezler sırasıyla H 01 : τ 1 = τ 2 = 0 (28) (veyah 01 : A ana etkisi anlamlı değildir) H 02 : γ 1 = γ 2 = 0 (29) (veyah 02 : B ana etkisi anlamlı değildir) Ana Etkiler ve Ana Etkiler ve Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının Parçalanışı ve dir. H 03 : τγ 11 = τγ 12 = τγ 21 = τγ 22 = 0 (30) (veyah 03 : AB etkileşimi anlamlı değildir) Genel Kareler Toplamının 44 / 99

45 Genel Kareler (15) modelinde, genel kareler toplamı SS Toplam = 2 2 n i=1 j=1 k=1 (y ijk ȳ ) 2 (31) Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Deneme Kombinasyonları Ana Etkiler ve Ana Etkiler ve Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi olup şeklinde bileşenlerine ayrılır. Burada SS A = SS B = SS AB = SS Toplam = SS A +SS B +SS AB +SS Hata (32) = n 2 2 i=1 j=1k=1 2 2 i=1 j=1k=1 2 2 i=1 j=1k=1 2 i=1 j=1 n (ȳ i ȳ ) 2 = 2n n (ȳ j ȳ ) 2 = 2n Genel Kareler Toplamının SS Hata = (y ijk ȳ Parçalanışı ij ) i=1 j=1k=1 Faktöriyel Tasarım: Genel Kareler Toplamının 45 / 99 ve i=1 2 j=1 n (ȳ ij ȳ i ȳ j +ȳ ) 2 2 (ȳ ij ȳ i ȳ j ȳ ) 2 n (ȳ i ȳ ) 2 (ȳ j ȳ ) 2 (33)

46 Genel Kareler Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Deneme Kombinasyonları Ana Etkiler ve Ana Etkiler ve Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının Parçalanışı y i = y j = y ij = 2 n j=1 k=1 2 i=1 k=1 n k=1 n y ijk y ijk y ijk, ȳ i = y i 2n, ȳ j = y j 2n, ȳ ij = y ij n olarak ifade edilir. Ayrıca,N = 2 2 n toplam gözlem sayısını göstermek üzere y = 2 i=1 2 n j=1 k=1 y ijk, i = 1,2, j = 1,2, i = 1,2;j = 1,2, ȳ = y N sırasıyla tüm gözlemlerin toplamı ve tüm gözlemlerin ortalaması olarak tanımlanır. (34) (35) Genel Kareler Toplamının 46 / 99

47 Kareler Toplamları Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Deneme Kombinasyonları Ana Etkiler ve Ana Etkiler ve SS A,SS B vess AB kareler toplamları, bağıntılar cinsinden de yazılabilir. Genel olarak, kareler toplamı dir. Bu formülden SS A = SS B = SS AB = SS = [Bağıntı]2 2 2 n n [ab+a b (1)] n [ab+b a (1)] n [ab+(1) a b]2 elde edilir. 2 2 faktöriyel tasarımda, (37) i kullanmak, (33) yi kullanmaktan daha yaygındır. (36) (37) Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının Parçalanışı Genel Kareler Toplamının 47 / 99

48 Test İstatistikleri (15) modelinde, sırasıyla (28), (29) ve (30) hipotezlerini sınamak için F A = SS A /1 SS Hata /2 2 (n 1) = MS A MS Hata (38) Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Deneme Kombinasyonları Ana Etkiler ve Ana Etkiler ve Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının Parçalanışı ve test istatistikleri kullanılır. F B = F AB = SS B /1 SS Hata /2 2 (n 1) SS AB /1 SS Hata /2 2 (n 1) = MS B MS Hata (39) = MS AB MS Hata (40) Teorem 1.1 (15) modelinde,h 0 hipotezi altında,f A,F B vef AB test istatistiklerinin her biri,1ve2 2 (n 1) serbestlik dereceli merkezif dağılımına sahiptir. Genel Kareler Toplamının 48 / 99

49 KARAR Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Deneme Kombinasyonları Ana Etkiler ve F A,F B vef AB test istatistiklerinin değeri,αanlam düzeyinde,1ve2 2 (n 1) serbestlik derecelif tablo değerinden daha büyükse sıfır hipotezi reddedilir. Bir başka deyişle, ise sırasıyla F A F B F AB > F α;1;2 2 (n 1) > F α;1;2 2 (n 1) > F α;1;2 2 (n 1) "A ana etkisi istatistiksel olarak anlamlıdır", Ana Etkiler ve Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının Parçalanışı ve denir. "B ana etkisi istatistiksel olarak anlamlıdır" "AB etkileşim etkisi anlamlıdır," Genel Kareler Toplamının 49 / 99

50 ANOVA Tablosu Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Deneme Kombinasyonları Yukarıda elde edilen bilgiler ışığında,2 2 faktöriyel tasarım için ANOVA tablosu, aşağıda gösterildiği gibi oluşturulur. Kaynak df SS M S F A 1 SS A MS A F A B 1 SS B MS B F B AB 1 SS AB MS AB F AB Hata 2 2 (n 1) SS Hata MS Hata Genel N 1 SS Toplam Ana Etkiler ve Ana Etkiler ve Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının Parçalanışı Genel Kareler Toplamının 50 / 99

51 Küçük bir hatırlatma Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Deneme Kombinasyonları Ana Etkiler ve Ana Etkiler ve Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının Parçalanışı (15) modelinde, parametrelerin LS tahmin edicileri ve kareler toplamları hatırlanırsa SS A SS B SS AB = 2n = 2n = n 2 (ȳ i ȳ ) 2 = 2n i=1 2 (ȳ j ȳ ) 2 = 2n j=1 2 i=1 2 j=1 τ 2 i γ 2 j n (ȳ ij ȳ i ȳ j +ȳ ) 2 = n k=1 n k=1 τγ 2 ij eşitliklerinin sağlandığı görülür. Bir başka deyişlef A,F B vef AB test istatistikleri LS tahmin edicilerine dayalıdır ve bunun bir sonucu olarak normallik varsayımı altında en güçlü test istatistikleridir. (41) Genel Kareler Toplamının 51 / 99

52 Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının Parçalanışı 52 / 99

53 Matematiksel Model Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları 2 3 faktöriyel tasarım için matematiksel model y ijkl = µ+τ i +γ j +τγ ij +δ k +τδ ik +γδ jk +τγδ ijk +ε ijkl (42) i = 1,2 ; j = 1,2 ; k = 1,2 ; l = 1,2,,n dir. Buradaτγδ ijk A faktörününi inci, B faktörününj inci ve C faktörününk ıncı düzeyinin etkleşimini gösteren model parametresidir. Modeldeki diğer parametreler,2 2 faktöriyel tasarımda olduğu gibi tanımlanır. Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının Parçalanışı 53 / 99

54 Deneme Kombinasyonları Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri 2 3 faktöriyel tasarımda, daha önce de bahsedildiği gibi, faktörlerin düşük ve yüksek düzeyleri için sekiz farklı deneme kombinasyonu söz konusudur: A B C Deneme Kombinasyonları Düşük Düşük Düşük (1) Yüksek Düşük Düşük a Düşük Yüksek Düşük b Yüksek Yüksek Düşük ab Düşük Düşük Yüksek c Yüksek Düşük Yüksek ac Düşük Yüksek Yüksek bc Yüksek Yüksek Yüksek abc Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının Parçalanışı 54 / 99

55 Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi Hipotez Testi B ve C düşük düzeyde iken A nın etkisi B yüksek, C düşük düzeyde iken A nın etkisi B düşük, C yüksek düzeyde iken A nın etkisi B ve C yüksek düzeyde iken A nın etkisi dir. Dolayısıyla, A faktörünün ana etkisi A = n [ a (1) n a (1), n ab b n, ac c n abc bc n + ab b n + ac c n + abc bc ] n Genel Kareler Toplamının = [abc+ac+ab+a bc c b (1)] (44) Parçalanışı 55 / 99 (43)

56 Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Benzer şekilde, B ve C faktörlerinin ana etkileri ile AB, AC, BC ve ABC etkileşim etkileri aşağıdaki gibi ifade edilebilir: Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi Hipotez Testi B = C = AB = AC = BC = ABC = 1 [abc+bc+ab+b ac a c (1)] 2 2 n (45) 1 [abc+bc+ac+c a b ab (1)] 2 2 n (46) 1 [abc+ab+c+(1) bc ac a b] 2 2 n (47) 1 [abc+ac+b+(1) bc ab a c] 2 2 n (48) 1 [abc+bc+a+(1) ac ab b c] 2 2 n (49) 1 [abc+a+b+c bc ac ab (1)] 2 2 n (50) Genel Kareler Toplamının Parçalanışı 56 / 99

57 Bağıntı Tablosu Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının 2 3 faktöriyel tasarımda, bağıntılar Bağıntı A Bağıntı B Bağıntı AB Bağıntı C Bağıntı AC Bağıntı BC Bağıntı ABC = abc+ac+ab+a bc c b (1) = abc+bc+ab+b ac a c (1) = abc+ab+c+(1) bc ac a b = abc+bc+ac+c a b ab (1) = abc+ac+b+(1) bc ab a c = abc+bc+a+(1) ac ab b c = abc+a+b+c bc ac ab (1) dir. (51) de verilen eşitlikler elde edilirken kullanılan bağıntı katsayıları aşağıdaki tabloda gösterildiği gibidir. Etkiler (1) a b ab c ac bc abc A B AB C AC BC ABC Parçalanışı 57 / 99 (51)

58 Cebirsel Çarpma Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma (51) de verilen bağıntılar, cebirsel çarpma işlemi kullanılarak şeklinde de ifade edilebilirler. Bağıntı A Bağıntı B Bağıntı AB Bağıntı C Bağıntı AC Bağıntı BC Bağıntı ABC = (a 1)(b+1)(c+1) = (a+1)(b 1)(c+1) = (a 1)(b 1)(c+1) = (a+1)(b+1)(c 1) = (a 1)(b+1)(c 1) = (a+1)(b 1)(c 1) = (a 1)(b 1)(c 1) (52) eşitlikleri, ilgili faktör(ler)e -1 diğer(ler)ine +1 değeri verilerek yapılan çarpma işlemi sonucunda elde edilir. Ancak; (52) eşitliklerindeki çarpma işlemi semboliktir, daha önce de söylendiği gibi sadece kolaylık sağlaması bakımından önemlidir. (52) Parametre Tahmini Hipotez Testi Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının Parçalanışı 58 / 99

59 Parametre Tahmini (42) modelinde, parametrelerin LS tahmin edicileri µ = ȳ (53) τ i = ȳ i ȳ (54) γ j = ȳ j ȳ (55) Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri τγ ij = ȳ ij ȳ i ȳ j +ȳ (56) δ k = ȳ k ȳ (57) τδ ik = ȳ i k ȳ i ȳ k +ȳ (58) γδ jk = ȳ jk ȳ j ȳ k +ȳ (59) Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi Hipotez Testi ve τγδ ijk = ȳ ijk ȳ ij ȳ i k ȳ jk +ȳ i +ȳ j +ȳ k ȳ (60) σ 2 = 2 i=1 Genel Kareler Toplamının dir. Parçalanışı 59 / j=1 k=1 l=1 n (y ijkl ȳ ijk ) (n 1) (61)

60 Hipotez Testi Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi (42) modelinde, A, B ve C ana etkileri ile AB, BC, AC ve ABC etkileşim etkilerinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığı test edilir. Her bir durum için hipotezler sırasıyla, H 01 : τ i = 0 i = 1,2 (62) (veyah 01 : A ana etkisi anlamlı değildir) H 02 : γ j = 0 j = 1,2 (63) (veyah 02 : B ana etkisi anlamlı değildir) H 03 : τγ ij = 0 i = 1,2; j = 1,2 (64) (veyah 03 : AB etkileşim etkisi anlamlı değildir) H 04 : δ k = 0 k = 1,2 (65) (veyah 04 : C ana etkisi anlamlı değildir) Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının Parçalanışı 60 / 99

61 Hipotez Testi H 05 : τδ ik = 0 i = 1,2; k = 1,2 (66) (veyah 05 : AC etkileşim etkisi anlamlı değildir) Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri ve H 06 : γδ jk = 0 j = 1,2; k = 1,2 (67) (veyah 06 : BC etkileşim etkisi anlamlı değildir) H 07 : τγδ ijk = 0 i = 1,2; j = 1,2; k = 1,2 (68) Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi Hipotez Testi olarak ifade edilir. (veyah 07 : ABC etkileşim etkisi anlamlı değildir) Genel Kareler Toplamının Parçalanışı 61 / 99

62 Genel Kareler (42) modeli için SS Toplam = SS A + SS B + SS AB + SS C + SS AC + SS BC + SS ABC + SS Hata (69) Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi olup Burada, SS A SS B SS AB SS C SS AC SS BC SS ABC = 2 2 n = 2 2 n = 2n = 2 2 n = 2n = 2n = n 2 (ȳ i ȳ ) 2 i=1 2 j=1 2 i=1 j=1 2 k=1 2 i=1 k=1 2 j=1 k=1 2 i=1 j=1 k=1 2 2 (ȳ j ȳ ) 2 2 (ȳ ij ȳ i ȳ j + ȳ ) 2 (ȳ k ȳ ) 2 2 (ȳ i k ȳ i ȳ k + ȳ ) 2 2 (ȳ jk ȳ j ȳ k + ȳ ) (ȳ ijk ȳ ij ȳ i k + ȳ jk + ȳ i + ȳ j + ȳ k ȳ ) 2 n Hipotez Testi SS Hata = (y ijkl ȳ ijk ) i=1 j=1 k=1 l=1 Faktöriyel Tasarım: Genel Kareler Toplamının (70) Parçalanışı dir. 62 / 99

63 Kareler Toplamları Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi Hipotez Testi (70) de verilen kareler toplamları, bağıntılar cinsinden şeklinde de ifade edilebilir. Bu formülden, dir. SS A = SS B = SS AB = SS C = SS AC = SS BC = SS ABC = SS = [Bağıntı]2 2 3 n n [abc+ac+ab+a bc c b (1)] n [abc+bc+ab+b ac a c (1)] n [abc+ab+c+(1) bc ac a b] n [abc+bc+ac+c a b ab (1)] n [abc+ac+b+(1) bc ab a c] n [abc+bc+a+(1) ac ab b c] n [abc+a+b+c bc ac ab (1)]2 (71) (72) Genel Kareler Toplamının Parçalanışı 63 / 99

64 Test İstatistikleri (42) modelinde, (62), (63), (64), (65), (66), (67) ve (68) hipotezlerini sınamak için sırasıyla F A = SS A /1 SS Hata /2 3 (n 1) = MS A MS Hata F B = SS B /1 SS Hata /2 3 (n 1) = MS B MS Hata Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri F AB = F AC = SS AB /1 SS Hata /2 3 (n 1) SS AC /1 SS Hata /2 3 (n 1) = MS AB MS Hata F C = = MS AC MS Hata F BC = SS C /1 SS Hata /2 3 (n 1) SS BC /1 SS Hata /2 3 (n 1) = MS C MS Hata = MS BC MS Hata Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Bağıntı Tablosu F ABC = SS ABC /1 SS Hata /2 3 (n 1) = MS ABC MS Hata Cebirsel Çarpma Parametre Tahmini Hipotez Testi Teorem 1.2 (42) modelinde,h 0 hipotezi altında F A,F B,F AB,F C,F AC,F BC vef ABC test istatistiklerinin her biri,1ve2 3 (n 1) serbestlik dereceli merkezi F dağılımına sahiptir. Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının Parçalanışı 64 / 99

65 ANOVA Tablosu Matematiksel Model Deneme Kombinasyonları Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Ana etkiler ve Etkileşim Etkileri Bağıntı Tablosu Cebirsel Çarpma Yukarıda elde edilen bilgiler ışığında,2 3 faktöriyel tasarım için ANOVA tablosu, aşağıda gösterildiği gibi oluşturulur. Kaynak df SS M S F A 1 SS A MS A F A B 1 SS B MS B F B AB 1 SS AB MS AB F AB C 1 SS C MS C F C AC 1 SS AC MS AC F AC BC 1 SS BC MS BC F BC ABC 1 SS ABC MS ABC F ABC Hata 2 3 (n 1) SS Hata MS Hata Genel N 1 SS Toplam 2 3 faktöriyel tasarım için karar kısmı,2 2 faktöriyel tasarıma benzer şekilde ifade edilebilir. Parametre Tahmini Hipotez Testi Hipotez Testi Genel Kareler Toplamının Parçalanışı 65 / 99

66 Kesirli 66 / 99

67 Kesirli 2 k faktöriyel tasarımda, her biri iki düzeye sahipk tane faktör ve bu faktörlerin birbirleriyle olan etkileşimleri söz konusudur. 2 k faktöriyel tasarımın matematiksel modeli y ij pl = µ+τ i +γ j +τγ ij + +δ p +τδ ip + +τγ δ ij p +ε ij pl, (73) i = 1,2; j = 1,2; p = 1,2; l = 1,2,,n olarak ifade edilir. 2 k faktöriyel tasarımda, ana etkiler ve etkileşim etkileri için bağıntılar olarak ifade edilir. Ana etkiler ve etkileşim etkileri Bağıntı X = (a 1)(b 1) (p 1) (74) X = 1 2 k 1 n Bağıntı X (75) kareler toplamları ise formülleri yardımıyla hesaplanır. SS X = 1 2 k n [Bağıntı X] 2 (76) 67 / 99

68 Kesirli Ana etkiler ve etkileşim etkilerinin serbestlik derecesi 1 olduğundanss X kareler toplamı MS X kareler ortalamasına eşittir. BuradaX,2 k faktöriyel tasarımda kullanılan faktörleri veya faktör etkileşimlerini göstermektedir. Ana etkilerin ve etkileşim etkilerinin anlamlı olup olmadığını sınamak için F X = MS X MS Hata (77) test istatistiği kullanılır. Hata kareler toplamı ve hata kareler ortalaması sırasıyla SS Hata = 2 i=1 2 j=1 2 p=1 l=1 n (y ij pl ȳ ij p ) 2 (78) ve formülleri yardımıyla hesaplanır. MS Hata = SS Hata 2 k (n 1) (79) 68 / 99

69 69 / 99

70 Faktöriyel tasarımlarda, faktörlerin kombinasyonu olarak ifade edilen denemelerin sayısı bloklardaki deney birimi sayısından daha fazla olduğunda denemelerin tamamını aynı blokta kullanmak, bir başka deyişle tam tekrar (complete replication) yapmak mümkün olmayabilir. Bu durumda, deneme sayısının yarı büyüklüğünde iki farklı blok kullanarak bu sorun giderilmeye çalışılır. Ancak, denemelerin yarısını birinci blokta diğer yarısını ikinci blokta kullanmak bazı faktöriyel etkilerin (ana etkiler veya etkileşim etkileri) bloklarla karışmasına (confounding) neden olur. Bir başka deyişle, faktöriyel etki ile blok etkisi ayırt edilemez (özdeş) olur ve hangi faktöriyel etkinin bloklarla karıştırılacağı problemi gündeme gelir. Faktöriyel tasarımlarda, yüksek dereceli etkileşimlerin, ana etkilere ve düşük dereceli etkileşimlere göre, daha az önemli olduğu düşünüldüğünden veya bir başka deyişle yüksek dereceli etkileşimlerden elde edilecek bilginin ana etkilerden veya düşük dereceli etkileşimlerden elde edilecek bilgiye göre daha gözden çıkarılabilir olduğu düşünüldüğünden (bkz. Hinkelmann & Kempthnone, 1994, Montgomery, 2001), bloklarla karıştırılacak olan faktöriyel etki genellikle yüksek dereceli etkileşimler arasından seçilir. 70 / 99

71 Denemelerin tamamını aynı blokta kullanmak mümkün olmadığından, burada tanıtılan tasarım eksik blok tasarımı olarak da isimlendirilir (bkz. Bölüm 10). Ancak, faktöriyel tasarımların özel yapısı gereği veri analizi kısmı, Bölüm 10 da anlatılan dengeli eksik blok tasarımlara göre daha kolaydır (Montgomery, 2001). Burada, dikkat edilmesi gereken diğer bir husus, kaynaklar yeterli olsa bile çok sayıda deney birimi içeren bloklar kullanıldığında deneysel hatayı kontrol altına almak için kullanılan "bloklama" ilkesinden uzaklaşılmış olur ve etki karışımı kullanmak gerekliliği doğar, bkz. Kuehl (2000). 71 / 99

72 2 2 faktöriyel tasarımda, deneme kombinasyonları (1), a, b, ab dir. Elimizde, her biri iki tane deney birimi içeren iki farklı blok olduğunu ve AB etkileşim etkisinin bloklarla karıştırılmasına karar verildiğini varsayalım. AB etkileşim etkisi bloklarla karıştırılacağından, bağıntı tablosunda AB etkileşimine karşılık gelen satır göz önüne alınır: AB satırında "+" işaretli olan deneme kombinasyonları birinci bloğa, AB satırında " " işaretli olan Etki (1) a b ab AB (1), ab a, b deneme kombinasyonları da ikinci bloğa alınır. 72 / 99

73 AB 1. Blok (1) ab 2. Blok a b 73 / 99

74 AB etkileşim etkisi bloklarla karıştırıldığından dolayı blok etkisi ile aynı olur. Bir başka deyişle, AB etkileşim etkisi, blok etkisinden ayrılamaz. Gerçekten Blok Etkisi = 1. Blok Ortalaması 2. Blok Ortalaması (80) = (1)+ab 2 a+b 2 (81) = 1 [ab+(1) a b] 2 (82) = AB (83) dir. Blok etkisi ile karıştırılmamış olan A ve B ana etkileri ise, daha önce verilen formülleri yardımıyla hesaplanır. A = 1 2n [ab+a b (1)] B = 1 2n [ab+b a (1)] 74 / 99

75 2 2 faktöriyel tasarımda AB etkileşim etkisi bloklarla karıştırıldığında ve bu işlemr defa tekrarlandığında ANOVA tablosu, aşağıda gösterildiği gibi oluşturulur. Kaynak df SS Bloklar 2r 1 SS Blok r 1 1 r 1 Tekrarlar AB Tekrarlar AB SS Tekrar SS AB SS Tekrar AB A 1 SS A B 1 SS B Hata (Tekrarlar A+Tekrarlar B) 2(r 1) SS Hata Genel 4r 1 SS Toplam 75 / 99

76 Tekrarlar ve AB arasında anlamlı bir farklılık olup olmadığı sınanırken, hata terimi olarak Tekrarlar AB etkileşimi kullanılır. Ancak, Tekrarlar AB etkileşimine ait serbestlik derecesi az olduğundanf testinin gücü de az olur, bkz. Muluk ve ark. (2009). Ana etkiler ve etkileşim etkileri sınanırken de Tekrarlar Etkiler hata terimi olarak kullanılır, bkz. Cochran & Cox (1957). Not edilmelidir ki, tekrar sayısı 1 olduğunda yukarıdaki tabloda, hatanın serbestlik derecesi "sıfır" olur. Bu durumda, normal Q-Q grafiği ya da kareler toplamlarının genel kareler toplamına oranlarına bakılarak ihmal edilebilir ya da önemsiz olduğu düşünülen faktöriyel etkiler belirlenir. 76 / 99

77 Q-Q grafiğinde etkisi az olan ya da daha az önemli olan etkiler düz bir doğru etrafında yayılım gösterirken, önemli derecede etkiye sahip olan etki ya da etkiler bu doğrudan sapma gösterirler. Dolayısıyla, düz bir doğru etrafında yayılım gösteren etkiler hata terimi olarak alınırlar. Kareler toplamına bakarak, hangi etki ya da etkilerin hata terimi olarak alınacağına ilgili etkinin kareler toplamının, genel kareler toplamına bölümünden elde edilen oran yardımıyla karar verilir. Bu oran "açıklama oranı" olarak da isimlendirilir. Açıklama oranı düşük olan etki ya da etkiler hata terimi olarak alınırlar. Detaylı bilgi için bkz. Montgomery (2001). Bir tekrar olması ve B ana etkisinin Q-Q grafiğinde önemli bulunmaması halinde, ANOVA tablosu aşağıda gösterildiği gibi oluşturulur. Kaynak df Bloklar(AB) 1 A 1 Hata(B) 1 Genel 4-1=3 77 / 99

78 2 2 faktöriyel tasarımda, eğer A ana etkisinin AB etkileşim etkisine göre daha az önemli olduğu düşünülüyorsa, A ana etkisi bloklarla karıştırılır. Karıştırma işlemi yukarıdaki gibi yapılır. Bağıntı tablosunda A faktörüne karşılık gelen satır göz önüne alınır: (1) a b ab Etki A A satırında "+" işaretli olan a, ab deneme kombinasyonları birinci bloğa, A satırında " " işaretli olan (1), b deneme kombinasyonları da ikinci bloğa alınır. 78 / 99

79 Sonuç olarak, aşağıdaki şekilde gösterilen iki blok elde edilir. A 1. Blok 2. Blok a ab (1) b 79 / 99

80 da Ana faktör etkilerine ve ikili etkileşimlere göre daha az önemsiz olduğu düşünülen ABC etkileşim etkisi, bloklarla karıştırıldığında her biri 4 büyüklüğünde iki blok elde edilir: ABC 1. Blok 2. Blok Hatırlatma: a b c abc (1) ab ac bc (1) a b ab c ac bc abc Etki ABC / 99

81 da 2 3 faktöriyel tasarımda, ABC etkileşim etkisinin bloklarla karıştırılması işlemininr kez uygulanması halinde, ANOVA tablosu, aşağıda gösterildiği gibi oluşturulur. Kaynak df SS Bloklar 2r 1 SS Blok r 1 1 r 1 Tekrarlar ABC Tekrarlar ABC SS Tekrar SS ABC SS Tekrar ABC A 1 SS A B 1 SS B AB 1 SS AB C 1 SS C AC 1 SS AC BC 1 SS BC Hata 6(r 1) SS Hata Genel 8r 1 SS Toplam 81 / 99

82 da Bir tekrar yapılması ve ikili etkileşim (AB, AC ve BC) etkilerinin Q-Q grafiğinde önemli bulunmaması halinde, ANOVA Tablosu aşağıda gösterildiği gibi oluşturulur. Kaynak df Bloklar(ABC) 1 A 1 B 1 C 1 Hata(AB+AC+BC) 3 Genel 8-1=7 82 / 99

83 Kısmi Eğer araştırmacı, etki karışımlı tasarımlarda olduğunun aksine, faktöriyel etkilerin hepsinden kısmi de olsa bir bilgi elde etmek istiyorsa, her tekrarda farklı bir etkiyi bloklarla karıştırmak suretiyle bu bilgiyi ilgili tekrarlardan elde eder. Bu nedenle, bu tip tasarımlara kısmi etki karışımlı (partially confounded) tasarımlar denir. Örneğin,2 3 faktöriyel tasarımda, I. tekrarda ABC, II. tekrarda BC ve III. tekrarda AC etkileşim etkileri bloklarla karıştırılmış olsun. ABC hakkındaki bilgi II. ve III. tekrarlardan, BC hakkındaki bilgi I. ve III. tekrarlardan ve AC hakkındaki bilgi I. ve II. tekrarlardan elde edilir. Böylelikle, ABC, BC ve AC etkileşim etkileri hakkında tam bir bilgi kaybından kaçınılmış olur ve her bir etki hakkında 2/3 oranında bilgi elde edilmiş olur. 83 / 99

84 Kısmi ANOVA tablosunda, tekrarlar için kareler toplamı, bloklar için kareler toplamı, r SS Tekrar = 2 3 ( T i ȳ ) 2, (84) i=1 SS Blok = r ve faktöriyel etkiler için kareler toplamı, i=1 formülleri kullanılarak hesaplanır. Burada, T i,i inci tekrardaki gözlemlerin ortalamasını, B ij,i inci tekrardakij inci blok ortalamasını, gösterir. 2 ( B ij T i ) 2, (85) j=1 SS X = [Bağıntı X] 2 r2 3 (86) 84 / 99

85 Kısmi Not etmek gerekir ki, SS formülünde "Bağıntı" değeri hesaplanırken sadece ilgili tekrarlardan elde edilen gözlem değerleri kullanılır. Kısmi etki karışımlı2 3 faktöriyel tasarım için ANOVA tablosu, aşağıda gösterildiği gibi oluşturulur. Kaynak Tekrarlar Bloklar(Tekrarlar) df r 1 r A 1 B 1 C 1 AB 1 AC (I. ve II. tekrardan) 1 BC (I. ve III. tekrardan) 1 ABC (II. ve III. tekrardan) 1 Hata Genel 6r 7 8r 1 85 / 99

86 Çift Bazı durumlarda, deneme sayısı o kadar fazla olabilir ki, deneme sayısının yarı büyüklüğünde deney birimi içeren bloklar elde etmek dahi mümkün olmayabilir. Bu gibi durumlarda, ikinci bir faktöriyel etkiyi bloklarla karıştırarak, deneme sayısının dörtte biri büyüklüğünde dört farklı blok kullanmak suretiyle bu sorun giderilmeye çalışılır. Çift etki karışımında, iki ayrı faktöriyel etkiye ilaveten bu faktöriyel etkilerin etkileşimleri de bloklarla karışmış olacağından, toplam üç tane faktöriyel etki bloklarla karıştırılmış olur. Benzer şekilde, deneme sayısının sekizde biri büyüklüğünde sekiz ayrı blok kullanmak için üç ayrı faktöriyel etkiye ilaveten bu üç faktöriyel etkinin ikişerli ve üçerli etkileşimleri de bloklarla karıştırılmış olur. Faktöriyel tasarımlarda, çift etki karışımının nasıl yapıldığını bir örnek üzerinde açıklayalım. 2 3 faktöriyel tasarımda, ABC etkileşim etkisi bloklarla karıştırıldığında her biri dörder tane deney birimi içeren iki blok elde edilir. Pratikte, bu özelliğe sahip bloklar elde etmek çok zor olmamakla beraber, bu örnek için elimizde her biri ikişer tane deney birimi içeren dört blok olduğunu varsayalım. Bu durumda, önemsiz olduğu düşünülen BC faktöriyel etkisi de bloklarla karıştırılarak, dört olan blok büyüklükleri yarıya indirilir. 86 / 99

87 Çift ABC etkileşim etkisi bloklarla karıştırıldıktan sonra elde edilen blokların her biri için BC etkileşim etkisi bloklarla karıştırılırken BC nin bağıntı katsayılarından yararlanılır. (1) a b ab c ac bc abc Etki BC dir. Blok 1 için BC etkileşim etkisi bloklarla karıştırılırken,"+" işaretli olan deneme kombinasyonları a, abc Blok 11 de ve " " işaretli olan deneme kombinasyonları b, c Blok 12 de yer alır. Benzer şekildeblok 2 için BC etkileşim etkisi bloklarla karıştırılırken, "+" işaretli olan deneme kombinasyonları (1), abc Blok 21 de ve " " işaretli olan deneme kombinasyonları Blok 22 de yer alır. ab, ac 87 / 99

88 Çift Sonuç olarak, her biri iki büyüklüğünde dört blok elde edilmiş olur: ABC Blok 1 a b c abc BC Blok 2 (1) ab ac bc BC Blok 11 a abc Blok 12 b c Blok 21 (1) abc Blok 22 ab ac 88 / 99

89 Çift Not edilmelidir ki, ABC ve BC nin etkileşim etkileri, bloklarla karıştırıldığında (ABC)(BC) = AB 2 C 2 = A mod 2 ana etkisi de bloklarla karıştırılmış olur. Buradaki çarpma işlemi 2 modülüne göre yapılmıştır. 89 / 99

90 Kesirli Kesirli Kesirli Kesirli Kesirli ın 1/2 Tekrarı ın 1/2 Tekrarı ın 1/2 Tekrarı ın 1/2 Tekrarı Kesirli Kesirli 90 / 99

91 Kesirli Kesirli Kesirli Kesirli Kesirli ın 1/2 Tekrarı ın 1/2 Tekrarı ın 1/2 Tekrarı Eldeki kaynaklar yeterli olmadığında veya yüksek dereceli etkileşimlerin önemli olmadığı varsayıldığında, araştırmacılar tam tekrar yapmak yerine, yarı (1/2) tekrar, dörtte bir (1/4) tekrar... v.b. yapmak isteyebilirler. Bu durumda, en uygun yöntem denemelerin yalnız bir kısmını kullanan kesirli faktöriyel tasarımlardır (fractional factorial designs). Böylelikle, ana etkiler ile düşük dereceli etkileşimler hakkında bilgi elde etmenin yanısıra, deneyde kullanılan deney birimi sayısı, dolayısıyla da, harcanan para ve zamandan da tasarruf edilmiş olur. Kesirli faktöriyel tasarımlar, özellikle mühendislik alanında yaygın olarak kullanılır. Bunun başlıca sebebi, deneyin başlangıç safhalarında faktöriyel etkiler hakkında önemli bilgiler vermesi (Kuehl, 2000), dolayısıyla da, çalışmanın ilerleyen safhaları için daha sağlıklı kararlar alınabilmesini kolaylaştırmasıdır. 2 7 tasarımda toplam 128 tane deneme vardır. 128 tane deney birimi içeren bir blok yerine, 64 tane deney birimi içeren iki bloktan rasgele olarak birini kullanmak (1/2 tekrar) ya da 32 tane deney birimi içeren dört bloktan rasgele olarak birini kullanmak (1/4 tekrar) bir çok açıdan tam tekrar yapmaya göre avantaj sağlar. ın 1/2 Tekrarı Kesirli Kesirli 91 / 99

92 Kesirli Kesirli Kesirli Kesirli Kesirli ın 1/2 Tekrarı ın 1/2 Tekrarı Örneğin,2 7 faktöriyel tasarımda, 64 tane deney birimi içeren iki bloğun kullanıldığını ve yüksek dereceli etkileşimlerin ihmal edilebilir olduğunu varsayarsak, hataya ait serbestlik derecesi, df Hata = df Toplam (df Blok +df Ana Etkiler +df İkili Etkileşimler ) = 127 (1+7+21) = 98 olur. Üçlü etkileşimlerin de önemli olduğu düşünülüyorsa hataya ait serbestlik derecesi df Hata = df Toplam (df Blok +df Ana Etkiler +df İkili Etkileşimler +df Üçlü Etkileşimler ) olur. = 127 ( ) = 63 ın 1/2 Tekrarı ın 1/2 Tekrarı Kesirli Kesirli 92 / 99

93 Kesirli Bu serbestlik dereceleri hata için gerekenden çok fazladır ve gereksiz yere kaynak israfına neden olur. Dolayısıyla, faktöriyel tasarımda, 1/2 tekrar yaparak, 64 tane deney birimi içeren bloklardan birini rasgele olarak kullanmak bizim için yeterli olabilir. 2 6 ve2 8 tasarımları içinde benzer yorumlar yapılabilir, bkz. Montgomery (2001) ve Hinkelmann & Kempthorne (1994). Literatürde,2 k faktöriyel tasarımın1/2 x (x = 1,2,,k 1) tekrarı,2 k x olarak ifade edilir. Kesirli Kesirli Kesirli Kesirli ın 1/2 Tekrarı ın 1/2 Tekrarı ın 1/2 Tekrarı ın 1/2 Tekrarı Kesirli Kesirli 93 / 99

94 ın 1/2 Tekrarı Kesirli Kesirli Kesirli Kesirli ın 1/2 Tekrarı ın 1/2 Tekrarı ın 1/2 Tekrarı ın 1/2 Tekrarı Kesirli Kesirli Etki karışımında olduğu gibi etkisi bloklarla karıştırılacak olan faktöriyel etkiler belirlenir. Bu faktöriyel etkiler tanımlayıcı bağıntı (defining contrast) olarak ifade edilir vei sembolü ile gösterilir. Yüksek dereceli etkileşimler genellikle önemsiz olarak kabul edildiğinden kesirli faktöriyel tasarımlarda tanımlayıcı bağıntı olarak alınırlar. 2 3 faktöriyel tasarımda, tanımlayıcı bağıntıi = ABC etkileşim etkisi olsun. 1/2 tekrar ile amaç, 8 deneme kombinasyonu yerine 4 deneme kombinasyonu ile çalışmaktır. 8 deneme kombinasyonu, etki karışımında olduğu gibi, bağıntı katsayıları tablosununda yaralanılarak her biri 4 tane deney birimi içeren iki bloğa ayrılır. I = ABC olduğu durumda,2 3 faktöriyel tasarımda "+" işaretli olan deneme kombinasyonları dır. a, b, c, abc Dolayısıyla,2 3 faktöriyel tasarımın 1/2 tekrarında kullanılacak olan deneme kombinasyonları olarak belirlenirler. a, b, c, abc 94 / 99