B Ö L Ü M. ve kitaplar yayınlamış olan bir bilim adamıdır. 2 JULIUS WILHELM RICHARD DEDEKIND ( ), Gauss un öğrencilerinden biridir.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "B Ö L Ü M. ve kitaplar yayınlamış olan bir bilim adamıdır. 2 JULIUS WILHELM RICHARD DEDEKIND ( ), Gauss un öğrencilerinden biridir."

Transkript

1 B Ö L Ü M 2 DOĞAL SAYILAR En basit ve temel sayılar doğal sayılardır, sayı kelimesine anlam veren saymak eylemi bu sayılarla başlamıştır. Fakat insanoğlunun var oluşundan beri kullanılan bu sayıların açık bir şekilde tanımlanması modern matematiğe yapılan en son katkılardan biri olmuştur yılında Hermann Grassmann 1 tarafından lise öğrencileri için yazılan bir matematik kitabında, toplama ve çarpma işlemlerinin temel özelliklerinin sadece tümevarım özelliği denilen bir aksiyomdan elde edilebileceği gösteriliyordu. Bu bilgi lise öğrencilerini ne kadar heyecanlandırdı bilinmez ama 1888 yılında Richard Dedekind 2 ve 1889 yılında Guiseppe Peano 3 tarafından tekrar keşfedilinceye kadar matematik camisanının dikkatinden kaçtı. Dedekind ve Peano bu çalışmalarında doğal sayılar kümesini aksiyomatize etmişlerdir, yani asgari sayıda varsayımda bulunarak tüm sistemin sadece bu varsayımlara dayandığını göstermişlerdir. Bu bölümde doğal sayılar kümesini inceleyeceğiz, bu kümeyi elemanlarını tek tek tanımlayarak inşa etmek yerine, kümenin sağlaması gereken asgari özellikleri kabul edip bunlardan diğer tüm özelliklerini elde etmeye çalışacağız. Sadece üç basit varsayımdan hareket ederek tüm doğal sayılar sisteminin (toplama ve çarpma işlemleri ile sıralama ve bunların özellikleri de dahil olmak üzere) inşa edilebiliyor olması ilk okumada sizi şaşırtabilir. 1 HERMANN GÜNTHER GRASSMANN ( ), pek çok disiplinde çok sayıda çalışma yapmış ve kitaplar yayınlamış olan bir bilim adamıdır. 2 JULIUS WILHELM RICHARD DEDEKIND ( ), Gauss un öğrencilerinden biridir. En çok reel sayıların inşası üzerine yaptığı çalışmalarla tanınır. 3 GIUSEPPE PEANO ( ), kümeler teorisine ve matematiksel felsefeye katkıları olmuş bir İtalyan matematikçidir. 25

2 26 ö ü 2 r 2.1 Doğal Sayılar Kümesi Elemanlarını açık olarak bilmediğimiz bir N kümesini ve bir s : N N fonksiyonunu ele alalım. Bu küme ve fonksiyon aşağıdaki koşulları sağlasın: A 1 : s fonksiyonu bire birdir. A 2 : s fonksiyonunun görüntü kümesi N değildir (R(s) N ). A 3 : Bir M N kümesi için, (i) x N R(s) x M, (ii) y M s(y) M, koşulları sağlanıyorsa M = N dir. Bu saydığımız aksiyomlara literatürde Peano aksiyomları denir, 1888 yılında Dedekind tarafından verilmiştir 4. Bu aksyomlardan A 3 aksiyomuna literatürde tümevarım aksiyomu denir. Bu bölümün sonuna kadar N ile Peano aksiyomlarını sağlayan herhangi bir kümeyi göstereceğiz. Aslında önce Peano aksiyomlarını sağlayan bir kümenin var olup olmadığını sorgulamamız gerekir, fakat bu oldukça derin bir sorudur ve Zermelo-Fraenkel küme teorisinin aksiyomarı ile cevaplanabilir. Biz burada böyle bir kümenin var olduğunu kabul ederek yolumuza devam edeceğiz N kümesi yukarıda tanımladığımız gibi olsun ve N R(s) kümesindeki elemanlar bir p özelliğine sahip olsun. Ayrıca varsayalım ki herhangi bir n N elemanı bu p özelliğine sahip ise s(n) elemanı da p özelliğine sahip olsun. Bu durumda N kümesinin tüm elemanları bu özelliğe sahip olur mu? Şimdi N kümesi üzerine ilk gözlemlerimizi yapalım. Öncelikle bu tanımdan N olduğunu açıkça görebiliyoruz, A 2 koşulu bunu garanti ediyor. Sıradaki gözlemimiz oldukça önemli, bir teorem olarak ifade ediyoruz. Teorem N R(s) kümesinin tek bir elemanı vardır. İspat A 2 aksiyomu gereği bir x N R(s) elemanı vardır. M := {x} R(s) olarak tanımlayalım, bu durumda R(s) M olduğundan her n M için s(n) M olacaktır. Buradan A 3 aksiyomu gereği M = N olduğu görülür, yani N = {x} R(s) elde edilmiş olur ki istenendir. 4 Aslında bu koşullar Peano postulatlarının farklı bir ifadesidir, Dedekind bu koşulları çok az da olsa farklı ifade etmiştir. r ç r ü 2 Ö❻ ➑

3 2 r ü s 27 Yukarıdaki sonuçta bahsettiğimiz elemanı bundan sonra e ile göstereceğiz. Yani e doğal sayısı s fonksiyonunun görüntü kümesinde olmayan tek doğal sayı; hiç bir n N için s(n)=e eşitliği sağlanmıyor ve her n e doğal sayısı için s(x)=n olacak şekilde bir x N var Her n e doğal sayısı için s(x) = n olacak şekilde tek bir x N vardır, kanıtlayın Her n N için s(n) n olmalıdır, kanıtlayın. M N bir küme olmak üzere eğer her n M için s(n) M oluyorsa bu M kümesine bir tümevarımsal küme deriz. Dolayısıyla A 3 tümevarım aksiyomunu şu şekilde yeniden ifade edebiliriz: Eğer M kümesi e elemanını içeren tümevarımsal birkümeyse M = N dir Herhangi iki tümevarımsal kümenin kesişimi de bir tümevarımsal kümedir, kanıtlayın. Tümevarım aksiyomunun en önemli sonuçlarından biri de N kümesinde tanımlanmış fonksiyonları özyineleme bağıntılarıyla (rekürans veya indirgeme bağıntıları da denir) ifade etmeye olanak vermesidir. Aşağıdaki teorem ile ifade edeceğimiz bu sonuç, daha sonraki araştırmalarımızda en önemli aracımız olacak. Teorem (Özyineleme Teoremi) A herhangi bir küme, g : A A bir fonksiyon ve a A olsun. Bu durumda f (e)= a ve her n N için f ( s(n) ) = g ( f (n) ) olacak şekilde tek bir f : N A fonksiyonu vardır. İspat N A kümesinin (i) (e, a) T, (ii) eğer (n,b) T ise ( s(n), g (b) ) T koşullarını sağlayan tüm T alt kümelerinin kümesi C olsun. N A kümesinin kendisi bu iki koşulu sağlar, dolayısıyla C dir. Şimdi F := T T C kümesini tanımlayalım, her T C için F T olduğu açık. Ayrıca F kümesinin yukrıdaki iki koşulu sağladığı da kolayca görülebilir, dolayısıyla F C dir. Bu F kümesinin aradığımız f fonksiyonu olduğunu göstereceğiz.

4 28 ö ü 2 r Şimdi M := { n : (n,b) F olacak şekilde tek bir b A vardır. } kümesini tanımlayalım. Amacımız tümevarım aksiyomunu kullanarak M = N olduğunu göstermektir, eğer bunu gösterebilirsek F nin N kümesinden A kümesine tanımlı bir fonksiyon olduğu sonucunu elde edilmiş oluruz. Bu durumda yukarıdaki (i) koşulu gereği F (e) = a olacaktır. Ayrıca bu durumda (ii) koşulu bize her n N için ( s(n), g (b) ) = ( s(n), g ( f (n) )) T olduğunu, yani f ( s(n) ) = g ( f (n) ) olduğunu söyler. Önce e M olduğunu gösterelim. F C olduğundan (i) gereği (e, a) F olur, a dan başka bunu sağlayan eleman olmadığını göstermeliyiz. Varsayalım ki (e, x) F ve a x olacak şekilde bir x A var olsun. F x := F {(e, x)} tanımlayalım, bu durumda (e, a) (e, x) olduğundn (e, a) F x olur. Eğer (n,b) F x ise Teorem gereği ( s(n), g (b) ) (e, x) olacağından yukarıdaki iki koşul sağlanır ve F x C sonucuna varılmış olur. Fakat bu durumda F kümesinin tanımı gereği F F x elde edilir ki bu bir çelişkidir. Dolayısıyla böyle bir x A yoktur. Şimdi n M iken s(n) M olduğunu göstereceğiz. Eğer n M ise M kümesinin tanımı gereği (n,b) F olacak şekilde tek bir b A elemanı vardır. F C olduğundan (ii) gereği ( s(n), g (b) ) F olur, g (b) dışında bunu sağlayan bir elemanın olmadığını göstermeliyiz. Varsayalım ki ( s(n), y ) F ve y g (b) olacak şekilde y A var olsun. F y := F {( s(n), y )} tanımlayalım. Teorem ve (i) koşulu gereği ( s(n), y ) (e, a) F olacağından (e, a) F y olur. Şimdi (m, z) F y olsun, bu durumda ( s(m), g (z) ) ( s(n), y ) olacaktır. Çünkü öyle olmasaydı s(m) = s(n) ve g (z)= y g (b), yani m = n ve z b olurdu. Buradan da (n,b),(n, z) F elde edilir ki bu da n M olmasıyla çelişir, dolayısıyla ( s(m), g (z) ) ( s(n), y ) olmalıdır. Sonuç olarak ( s(m), g (z) ) F y elde edilmiş oldu. Fakat bu durumda F kümesinin tanımı gereği yine F F y çelişkisine varılmış olur, dolayısıyla böyle bir y A yoktur. Böylece F kümesinin istenilen özellikleri sağlayan bir fonksiyon belirttiğini göstermiş olduk, şimdi bu özelliklerde başka bir fonksiyonun var olamayacağını gösterelim. Varsayalım ki f (e) = a ve f (s(n)) = g ( f (n) ) eşitlikleri sağlanacak şekilde bir f : N A fonksiyonu var olsun. L := { n N : f (n)= f (n) } kümesini tanımlayalım, tümevarım aksiyomunu kullanarak L = N olduğunu göstereceğiz. Öncelikle f (e)= a = f (e) olduğundan e L olduğu açıktır. Şimdi n L olsun, yani f (n)= f (n). Bu durumda f (s(n))= g ( f (n) ) = g ( f (n) ) = f (s(n)) olduğu, yani s(n) L olduğu görülür. Böylece ispat tamamlanmış oldu. Buraya kadar Peano aksiyomlarını sağlayan kümelerin var olduğunu kabul edip bu kümelerin bazı özelliklerini elde ettik, fakat bu aksiyomları sağlayan kümeler arasında bir ilişkinin var olup olmadığını henüz sorgulamadık. Aşağıdaki çok r ç r ü 2 Ö❻ ➑

5 2 r ü s 29 önemli sonuç bize uzaylıların da nesneleri bizim gibi saydıklarını (eğer saymayı biliyorlarsa!) söylüyor. Teorem N kümesi, s : N N fonksiyonu ve e N elemanı ile Peano aksiyomlarını sağlasın. Ayrıca N kümesi de s : N N fonksiyonu ve e N elemanı ile Peano aksiyomlarını sağlayan başka bir küme olsun. Bu durumda öyle bir f : N N fonksiyonu vardır ki (i) f bire bir ve örtendir, (ii) f (e)=e, (iii) her n N için f (s(n))= s ( f (n) ) koşulları sağlanır, yani bu kümeler izomorfiktir. İspat Özyineleme teoreminde (Teorem 2.1.1) A = N, a = e ve g (x)=s (x) seçilirse (ii) ve (iii) koşullarını sağlayan tek bir f : N N fonksiyonun var olduğu sonucuna ulaşılır. Bu fonksiyonun bire bir ve örten olduğunu göstermeliyiz. Bire bir olduğunu göstermek için M := { n N : her m N için [ f (n)= f (m) n= m ] sağlanır } kümesini tanımlayalım, bu kümeyi M := { n N : her m N için [ n m f (n) f (m) ] sağlanır } olarak da ifade edebiliriz. Amacımız tümevarım aksiyomunu kullanarak M = N olduğunu göstermektir, bunun için A 3 aksiyomunun her iki koşulunun da sağlandığını görmeliyiz. e M olduğunu görmek için n e olacak şekilde bir n N seçelim, f (n) f (e) olduğunu göstereceğiz. Teorem gereği s(x)=n olacak şekilde bir x N vardır. Bu eşitliğe f fonksiyonunu uygularsak (iii) koşulu gereği f (n)= f (s(x))= s ( f (x) ) elde edilir. Diğer yandan N kümesi de Peano aksiyomlarını sağladığından Teorem ve yukarıdaki (ii) koşulu gereği s ( f (x) ) e = f (e) olur. Son iki eşitlik birleştirilirse f (n) f (e) elde edilmiş olur, bu da e M anlamına gelir. Şimdi n M kabul edelim, yani her n y için f (n) f (y) olsun. Bu durumda s(n) M olduğunu, yani her y s(n) için f (y) f (s(n)) olduğunu göstermeliyiz. Eğer y = e ise, e M olduğunu az önce gösterdiğimizden, y = e s(n) olup f (y) = f (e) f (s(n)) olduğu açıktır. Şimdi y e kabul edelim. Bu durumda Teorem gereği s(z) = y olacak şekilde bir z N vardır. y s(n) olduğundan buradan s(n) s(z) elde edilmiş olur ki s fonksiyonunun bire birliği gereği n z sonucuna ulaşılır. Ayrıca n M kabul ettiğimizden dolayı f (n) f (z) olacaktır. Buradan da (iii) koşulu ve s fonksiyonunun bire bir olduğu kullanılırsa f (y) = f (s(z))= s ( f (z) ) s ( f (n) ) = f (s(n)) elde edilir ki böylece s(n) M olduğu gösterilmiş olur.

6 30 ö ü 2 r Şimdi de f fonksiyonunun örten olduğunu kanıtlayalım. Bunu için L := { u N : u= f (n) olacak şekilde bir n N vardır } kümesini tanımlayalım, tümevarım aksiyomunu kullanarak L= N olduğunu göstereceğiz. Öncelikle (ii) gereği f (e) = e olduğundan e L olduğu açıktır. Şimdi u L kabul edelim, bu durumda f (n) = u olacak şekilde bir n N vardır. Buradan (iii) eşitliği gereği f (s(n))= s ( f (n) ) = s (u) elde edilir, yani s (u) L dir. Böylece tümevarım aksiyomu sağlanmış olur ve ispat tamamlanır. Yukarıdaki teorem bize şunu söylüyor aslında: Peano aksiyomlarını sağlayan kümeler birbirine o kadar benzer ki, elemanlarının gösterimleri dışında hiç bir farkları yoktur. Kısacası Peano aksiyomlarını sağlayan tek bir küme vardır, bu kümeye bir isim verelim. Tanım (Doğal Sayılar) A 1,A 2 ve A 3 Peano aksiyomlarını sağlayannkümesine doğal sayılar kümesi, bu kümenin elemanlarına da doğal sayılar denir. N sembolünü görünce hemen aklınıza 1,2,... sayıları gelmesin, bu kümenin içinde ne olduğunu açıkça bilmiyoruz, ayrıca henüz sayı karamını tanımlamadık. 2.2 Toplama ve Çarpma İşlemleri Bu bölümde N kümesi üzerinde temel ikili işlemleri tanımlayıp bunların bazı özelliklerini araştıracağız. Teorem Aşağıdaki özellikleri sağlayan tek bir F : N N N fonksiyonu vardır (i) her m N için F (m,e)= s(m), (ii) her m,n N için F (m, s(n))= s (F (m,n)). İspat Keyfi bir m N alalım. Özyineleme teoreminde (Teorem 2.1.2) A =N, a = s(m) ve g = s seçersek (1) F m (e)= s(m), (2) hern N için F m (s(n))= s (F m (n)) olacak şekilte tek bir F m :N N fonksiyonunun var olduğunu görürüz. Bu durumda F := {( (m,n),f m (n) ) : (m,n) N N } kümesin N denn ye bir fonksiyon belirtir. Her m N için (1) gereği F (m,e)=f m (e)= s(m) r ç r ü 2 Ö❻ ➑

7 r ➑ r 31 ve (2) gereği F (m, s(n))=f m (s(n))= s (F m (n))= s (F (m,n)) koşulları sağlanır, yani F fonksiyonu (i) ve (ii) özelliklerine sahiptir. Şimdi bu fnksiyonun tek olduğunu gösterelim. Yukarıdaki F nin dışında (i) ve (ii) özelliklerini sağlayan bir F :N N N fonksiyonunu ele alalım ve G := { n N : F (m,n)=f (m,n) } kümesini tanımlayalım. Tümevarım aksiyomunu kullanarak G =N olduğunu göstereceğiz. Öncelikle F (m,e)= s(m)=f (m,e) olduğundan e G olur. Şimdi n G kabul edelim, yani F (m,n)=f (m,n) olsun. Buradan F (m, s(n))= s ( F (m,n) ) = s (F (m,n))=f (m, s(n)) elde edilir, bu da s(n) G demektir. Böylece ispat tamamlanmış oldu. Yukarıdaki teoremle belirlenen F : N N N fonksiyonu N kümesinde bir ikili işlem belirttiğinden bu teoremi şu şekilde ifade edebiliriz. Sonuç N kümesinde aşağıdaki özelliklere sahip tek bir işlemi vardır (i ) her m N için m e = s(m), (i i ) her m,n N için m s(n)= s (m n). Bu ikili işleme artık bir isim verelim. Tanım (Toplama İşlemi) Teorem ile verilen F : N N N fonksiyonnun belirttiği ikili işleme toplama işlemi denir. Bu işlem için sembolünü kullanacağız, yani F (m,n) yerine m n yazacağız. Yani toplama işlemi Sonuç ile verilen özelliklerle tanımlı olan : N N N işlemidir Her m,n N için m n e olduğunu kanıtlayın. Aşağıdaki teoremle toplama işleminin temel özelliklerini elde ediyoruz. Teorem m,n, p N olsun, bu durumda aşağıdakiler sağlanır (i) m p = n p ise m= n olur, (ii) (m n) p = m (n p), (sadeleşme özelliği) (birleşme özelliği) (iii) m n= n m. (değişme özelliği) İspat

8 32 ö ü 2 r (i) G := { p N : m p = n p m= n } kümesini tanımlayalım. Tümevarım aksiyomunu kullanarak G = N olduğunu göstereceğiz. Önce e G olduğunu gösterelim. Eğer m e = n e ise Sonuç (i) gereği s(m) = s(n) olduğu görülür, buradan da A 1 Peano aksiyomu gereği m= n sonucuna varılır. Böylece e G elde edilmiş oldu. Şimdi p G kabul edelim, yani eğer m p = n p ise m= n olsun. Bu durumda s(p) G olduğunu, yani m s(p)=n s(p) ise m = n olduğunu göstermeliyiz. Eğer m s(p)=n s(p) ise Sonuç (ii) gereği s(m p) = s(n p) olur ve buradan da yine A 1 Peano aksiyomu gereği m p = n p elde edilir. Buradan da p G kabulümüz gereği m = n sonucuna ulaşırız ve böylece tümevarım tamamlanmış olur. (ii) H := { p N : (m n) p = m (n p) } olmak üzere tümevarım aksiyomunu kullanarak H =N olduğunu göstereceğiz. Sonuç ile verilen sırasıyla (i), (ii), (i) özellikleri kullanılırsa (m n) e = s (m n)=m s(n)=m (n e) olacağından e H olduğu görülür. Şimdi p H kabul edelim ve s(p) H olduğunu gösterelim. Sonuç (ii) gereği (m n) s(p)= s ( (m n) p ) = s ( m (n p) ) = m s(n p)=m ( n s(p) ) olduğu görülür ki böylece tümevarım tamamlanır. (iii) Önce n = e durumunu ele alalım. M := {m N : m e = e m} olmak üzere tümevarım aksiyomunu kullanarak M = N olduğunu göstereceğiz. e e = e e olduğundan e M olduğu açıktır. Şimdi m M olsun, bu durumda sırasıyla Sonuç (i) özelliği, m M olduğu, bir önceki maddede kanıtladığımız birleşme özelliği ve tekrar Sonuç (i) özelliği kullanılırsa s(m) e = (m e) e = (e m) e = e (m e)=e s(m) elde edilir. Böylece s(m) M elde edilmiş oldu ki bu da tümevarım adımını tamamlar, yani her m N için m e = e m sonucu elde edilmiş olur. Şimdi L := { n N : her m N için m n= n m } olmak üzere tümevarım aksiyomunu kullanarak L=N olduğunu göstereceğiz. Az önce e L olduğunu kanıtladık, şimdi n L kabul edelim, bu durumda s(n) L olduğunu göstermeliyiz. Sonuç ile verilen (i) özelliği, e L olduğu, birleşme özelliği ve n L olduğu kullanılırsa s(n) m = (n e) m= (e n) m= e (n m) = e (m n)=(e m) n= (m e) n = m (e n)=m (n e) = m s(n) elde edilir ki bu da tümevarımı tamamlar. r ç r ü 2 Ö❻ ➑

9 r ➑ r Her m,n N için m n m olduğunu kanıtlayın := s(e), Γ := s( ), Σ := s(γ), Π := s (Σ) ve Ω := s (Π) olarak tanımlayın. Bu durumda e e = ve Σ=Γ Γ=Ω olduklarını gösterin. Şimdi yukarıda tanıttığımız işlemine dayanarak yeni bir işlem tanımlayacağız, bu işleme de çok aşina olduğunuzu göreceksiniz. Teorem Aşağıdaki özellikleri sağlayan tek bir K : N N N fonksiyonu vardır (i) her m N için K (m,e)=m, (ii) her m,n N için K (m, s(n))=k (m,n) m. İspat Özyineleme toereminde (Teorem 2.1.2) A=N, a= m ve g (k)=k m seçersek keyfi bir m N için (1) K m (e)=m, (2) her n N için K m (s(n))=k m (n) m olacak şekilde tek bir K m :N N fonksiyonunun var olduğunu görürüz. Bu durumda K := {( (m,n),k m (n) ) : (m,n) N N } kümesin N denn ye tanımlı olan K (m,n)=k m (n) fonksiyonunu belirtir. Yukarıdaki (1) ve (2) eşitlikleri gereği her m,n N için K (m,e)=k m (e)=m ve K (m, s(n))=k m (s(n))=k m (n) m= K (m,n) m olacağından K fonksiyonunun istenilen özelliklere sahip olduğu görülür. Tekliğin gösterilmesi okuyucuya bırakılmıştır Teorem ispatını tamamlayın; bahsedilen özelliklerde tek bir fonksiyon var olabilir. Yukarıdaki teoremde tanımlanan K fonksiyonu N kümesinde bir ikili işlem belirteceğinden bu teorem aşağıdaki gibi de ifade edilebilir. Daha sonra bu ikili işleme tanıdık bir isim verip temel özelliklerini araştıracağız.

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1 BİR İŞLEMLİ SİSTEMLER Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1.1 İŞLEMLER Bir kümeden kendisine tanımlı olan her fonksiyona birli işlem denir. Örneğin Z

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c 0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade

Detaylı

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır.

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır. 0.1 GRUPLAR Tanım 1 A kümesi boştan farklıolmak üzere işlemine göre aşağıdaki koşulları gerçekliyorsa (A, ) ikilisine bir Grup denir. 1. kapalılık özelliğine sahiptir, yani her x, y A için x y A olur.

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 İyi Sıralama 5 Bibliography 13 1 İyi Sıralama Well Ordering İyi sıralama kavramı, doğal sayıların

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR 1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR Bu bölümde ilk olarak Matematikte çok önemli bir yere sahip olan Bağıntı kavramnı verip daha sonra ise Fonksiyon tanımı verip genel özelliklerini inceleyeceğiz. Tanım 1 A B

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Denklik Bağıntıları 5 Bibliography 13 1 Denklik Bağıntıları 1 1denklik 1.1 Eşitlik Günlük

Detaylı

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A 2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A

Detaylı

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011 ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI

DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI T.C ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI ÖĞRETİM ÜYELERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR:

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50 Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli

Detaylı

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016 7. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 17, 2016 Bu derste bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği sıfır olan k cismi üzerine tanımlı olduğunu varsayıyoruz. 1 Tekrar Gözden Geçirme: Basitlik,

Detaylı

SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin. A := {B P (X) : B sonlu} SORU 2: X sayılamayan bir küme

SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin. A := {B P (X) : B sonlu} SORU 2: X sayılamayan bir küme 2. ÖLÇÜLER 2.1 BazıKüme Sınıfları SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin bir sınıfıolsun. A sınıfıx üzerinde bir σ cebir midir? ÇÖZÜM 1: A := {B P (X) : B sonlu} X / A

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Operatörler 5 Bibliography 19 Index 23 1 Operatörler İşlemler 1.1 Operatör Nedir? İlkokulden

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi 1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi Euclidean R uzayının tabanının B = {(a, b) : a, b R} olduğunu biliyoruz. Demek ki bu uzayda belirleyiçi unsur açık aralıklar. Her açık aralık (a, b) için, olmak üzere, d

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14

İÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14 İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM MANTIK Giriş... 1 Genel Olarak Mantık... 1 Mantığın Tarihçesi ve Modern Mantığın Doğuşu... 1 Mantık Öğretimin Önemi ve Amacı... 2 Önerme... 3 VE İşlemi (Birlikte Evetleme, Mantıksal

Detaylı

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)

Detaylı

Sezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar

Sezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar Sezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar Sonbahar 2002 Ali Nesin 10 Ekim 2010 1. a) Verilen bir X kümesi için X şöyle tanımlansın: y X ancak ve ancak öyle bir x X var ki y x.

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

4.3. Türev ile İlgili Teoremler

4.3. Türev ile İlgili Teoremler 4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN

Detaylı

7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER:

7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER: 7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER: Bilindiği üzere, matematikte ortaya konan her yeni kavram, kendinden önceki tanımlanmış kavramlar cinsinden, herhangi bir tereddüt veya muğlâklığa mahal bırakmayacak resmî

Detaylı

V 2 = J 2,1 J 2,2 = aşamada ise atılanlar = 27. ve kalanlar. kümeleridir. aralıklar 2 n 1 tanedir ve. V n = J n,1 J n,2 n 1 = tanedir ve

V 2 = J 2,1 J 2,2 = aşamada ise atılanlar = 27. ve kalanlar. kümeleridir. aralıklar 2 n 1 tanedir ve. V n = J n,1 J n,2 n 1 = tanedir ve CANTOR KÜMELERİ H. Turgay Kaptanoğlu Yazımızın başlığında adı geçen Alman matematikçisi Georg Cantor (845 8), modern matematiğin temeli olan kümeler teorisinin kurucusu olarak kabul edilir. Cantor,. yüzyılın

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

1. BÖLÜM DÜZLEM GEOMETRİNİN TEMEL KAVRAMLARI İÇİNDEKİLER

1. BÖLÜM DÜZLEM GEOMETRİNİN TEMEL KAVRAMLARI İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM DÜZLEM GEOMETRİNİN TEMEL KAVRAMLARI İÇİNDEKİLER 1. TANIMSIZ KAVRAM, AKSİYOM, TEOREM VE İSPAT NE DEMEKTİR? 2. NOKTA, DOĞRU, DÜZLEM VE UZAY KAVRAMLARI * Nokta, Doğru ve Düzlem * Doğru Parçası *

Detaylı

Hamel Taban ve Boyut Teoremi

Hamel Taban ve Boyut Teoremi Hamel Taban ve Boyut Teoremi Mert ÇAĞLAR 1 VE Zafer ERCAN 2 1 Amaç Baştan söyleyelim: vektör uzay, vektör altuzay, doğrusal dönüşüm, izomorfik (eş yapılı) vektör uzaylar kavramlarına başlangıç seviyesinde

Detaylı

MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR. (b) = ise =

MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR. (b) = ise = MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR 1. : bir dönüşüm, olsunlar. a) ( ) = ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) olduğunu c) ( ) nin eşitliğinin sağlanması için gerekli ve yeterli bir koşulun nin 1 1 olması ile mümkün olduğunu

Detaylı

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2 SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Fonksiyonlar Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Fonksiyonlar Tanım: A ve B boş olmayan kümeler. A dan B ye bir f fonksiyonu f: A B ile gösterilir ve A nın her

Detaylı

10. SINIF MATEMATİK FONKSİYONLARDA İŞLEMLER-2

10. SINIF MATEMATİK FONKSİYONLARDA İŞLEMLER-2 . SINIF MTEMTİK FONKSİYONLRD İŞLEMLER- ÇKEY NDOLU LİSESİ MTEMTİK ÖLÜMÜ . ÜNİTE.. FONKSİYONLRD DÖRT İŞLEM Neler öğreneceksiniz? Fonksiyonlarda dört işlem yani toplama çıkarma, çarpma ve bölmeyi öğreneceksiniz.

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

DERS 2 : BULANIK KÜMELER

DERS 2 : BULANIK KÜMELER DERS 2 : BULNIK KÜMELER 2.1 Gİriş Klasik bir küme, kesin sınırlamalarla verilen bir kümedir. Örneğin, klasik bir küme aşağıdaki gibi belirtilebilir: = { x x > 6 }, Kapalı sınır noktası burada 6 dır.burada

Detaylı

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe)

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) Merak uyandıran konulardan birisi olan fonksiyonel denklemlerle ilgili Türkçe kaynakların az oluşundan dolayı, matematik

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir.

1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir. 1.3. Normal Uzaylar Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak baz temel özellikleri incelenecektir. Tan m 1.3.1. (X; ) bir Hausdor uzay olsun. E¼ger, 8F; K 2 F; F \ K = ;

Detaylı

FONKSYONLARI FONKSYONLARA GÖTÜREN FONKSYONLAR ÜZERNDE ANT-MONOTONLUK VE DEMPOTENTLK

FONKSYONLARI FONKSYONLARA GÖTÜREN FONKSYONLAR ÜZERNDE ANT-MONOTONLUK VE DEMPOTENTLK ÖZEL EGE LSES FONKSYONLARI FONKSYONLARA GÖTÜREN FONKSYONLAR ÜZERNDE ANT-MONOTONLUK VE DEMPOTENTLK HAZIRLAYAN ÖRENC: Kıvanç Ararat (10B) DANIMAN ÖRETMEN: Emel Ergönül ZMR 2011 ÇNDEKLER PROJENN ADI 2 PROJENN

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 4.KONU Latisler, Boole Cebri 1. Kısmi sıralı kümeler 2. Hasse Diyagramı 3. Infimum, Supremum 4. Latis (Kafes Lattice) 5. Latis (Kafes) Yapıları ve Özellikleri

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri

Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri PROJENİN ADI: ÖKLİD NE SÖYLER CAUCHY NE ANLAR HAZIRLAYANLAR : AYŞE İREM AKYILDIZ ZEYNEP KOÇYİĞİT ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR FEN LİSESİ İSTANBUL-04 Projenin Adı: Öklid

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

( 2x+1, 3y 1. Örnek...4 : A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri için, AxB ve BxA kümelerini liste biçimde yazınız.

( 2x+1, 3y 1. Örnek...4 : A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri için, AxB ve BxA kümelerini liste biçimde yazınız. SIRALI İKİLİ a ve b'nin (a,b) biçiminde tek bir eleman olarak yazılmasına sıralı ikili ya da kısaca ikili denir. Burada a' ya ikilinin birinci bileşeni, b' ye ise ikinci bileşeni denir. Örneğin ; (4, 3)

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Fibonacci Sayıları 4. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Fibonacci nin Tavşanları Fibonacci Sayıları Fibonacci

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 11 CONTENTS 5 0.1 Kartezyen Çarpım 0.2 Sıralı İkililer Şimdiye kadar sıra ya da

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler . ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.

Detaylı

Küme Temel Kavramları

Küme Temel Kavramları Kümeler Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

KÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir.

KÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir. 1 KÜMELER İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. ir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. u nesneler somut veya soyut olabilir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman(öğe) denir.

Detaylı

Problem Set 1 Çözümler

Problem Set 1 Çözümler Algoritmalara Giriş Eylül 30, 2005 Massachusetts Institute of Technology 6.046J/18.410J Profesörler Erik D. Demaine ve Charles E. Leiserson Dağıtım 8 0J Professors Erik D. Demaine ve Charles E. Leiserson

Detaylı

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ :

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : a ve b elemanlarının belirttiği ( a, b ) şeklindeki ikiliye sıralı ikili denir. Sıralı ikili denilmesindeki sebep bileşenlerin yeri değiştiğinde ikilinin değişmesindendir.

Detaylı

MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI

MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI DERS NOTLARI 1 Önceki derslerimizde pek çok geçişten sonra n-adım geçiş olasılıklarının

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü MB1001 ANALİZ I Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 2013, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı

12. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 24, Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon.

12. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 24, Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon. 12. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 24, 2016 1 Yerel Kaldırma Özellikleri Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon ι : Sym(g) n 0 U n /U n+1 bize bir derecelendirilmiş

Detaylı

BOOLEAN İŞLEMLERİ Boolean matematiği sayısal sistemlerin analizinde ve anlaşılmasında kullanılan temel sistemdir.

BOOLEAN İŞLEMLERİ Boolean matematiği sayısal sistemlerin analizinde ve anlaşılmasında kullanılan temel sistemdir. BOOLEAN MATEMATİĞİ İngiliz matematikçi George Bole tarafından 1854 yılında geliştirilen BOOLEAN matematiği sayısal devrelerin tasarımında ve analizinde kullanılması 1938 yılında Claude Shanon tarafından

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

ÖZEL EGE LĠSESĠ. ġeklġndekġ ĠFADELERĠN. SADELEġTĠRĠLEMEZ VEYA SADELEġTĠRĠLEBĠLĠR OLMASI ĠÇĠN GEREKEN KOġULLAR

ÖZEL EGE LĠSESĠ. ġeklġndekġ ĠFADELERĠN. SADELEġTĠRĠLEMEZ VEYA SADELEġTĠRĠLEBĠLĠR OLMASI ĠÇĠN GEREKEN KOġULLAR ÖZEL EGE LĠSESĠ ġeklġndekġ ĠFADELERĠN SADELEġTĠRĠLEMEZ VEYA SADELEġTĠRĠLEBĠLĠR OLMASI ĠÇĠN GEREKEN KOġULLAR HAZIRLAYAN ÖĞRENCĠ: Ersin ĠSTANBULLU DANIġMAN ÖĞRETMEN: Defne TABU ĠZMĠR 2013 ĠÇĠNDEKĠLER 1.

Detaylı