Doğrusal Olmayan Devreler, Sistemler ve Kaos

Transkript

1 Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği İstanbul Teknik Üniversitesi 10 Mayıs 2012

2 Outline Bağlantılı Dinamik Sistemler 1 Bağlantılı Dinamik Sistemler 2 3

3 Bağlantılı Dinamik Sistemler Dinamik sistemler ağı: birimlerin dinamiği + bağlantı yapısı = BÜTÜNSEL DİNAMİK

4 Bağlantılı Dinamik Sistemler Dinamik sistemler ağı: birimlerin dinamiği + bağlantı yapısı = BÜTÜNSEL DİNAMİK

5 Bağlantılı Dinamik Sistemler Dinamik sistemler ağı: birimlerin dinamiği + bağlantı yapısı = BÜTÜNSEL DİNAMİK

6 Bağlantılı Dinamik Sistemler Dinamik sistemler ağı: birimlerin dinamiği + bağlantı yapısı = BÜTÜNSEL DİNAMİK

7 Bağlantılı Dinamik Sistemler Dinamik sistemler ağı: birimlerin dinamiği + bağlantı yapısı = BÜTÜNSEL DİNAMİK

8 Değişmez Altuzaylar Ağın simetrileri Ağın dengeli boyamaları

9 Ağdaki simetrilerin etkileri Düğümlerin bir permütasyonu ağı sabit bırakıyorsa bu permü tasyona ağın simetrisi denir. Bu permütasyona denk düşen durum uzayındaki koordinat dönüşü bağlantılı sistemin bir simetrisi olur.

10 Simetrik Dinamik Sistemler ẋ(t) = F(x(t)), t R (1) sistemini ele alalım. Öyle ki; x R n ve F, R n de bir vektör alanı olsun.

11 Simetrik Dinamik Sistemler ẋ(t) = F(x(t)), t R (1) sistemini ele alalım. Öyle ki; x R n ve F, R n de bir vektör alanı olsun. x, (1) in bir çözümüdür. = γx, (1) in bir çözümüdür. koşulunu sağlayan R n üzerinde tanımlı bir γ (γ : R n R n ) birebir dönüşümüne (1) in simetrisi denir.

12 Simetrik Dinamik Sistemler ẋ(t) = F(x(t)), t R (1) sistemini ele alalım. Öyle ki; x R n ve F, R n de bir vektör alanı olsun. x, (1) in bir çözümüdür. = γx, (1) in bir çözümüdür. koşulunu sağlayan R n üzerinde tanımlı bir γ (γ : R n R n ) birebir dönüşümüne (1) in simetrisi denir. γ, (1) in bir simetrisidir F, γ-eşdeğişkendir ( equivariant, γf = F γ).

13 Simetrik Dinamik Sistemler (1) in simetrileri bir grup (Σ) oluşturur..

14 Simetrik Dinamik Sistemler (1) in simetrileri bir grup (Σ) oluşturur.. Bu durumda, F ye Σ-eşdeğişken vektör alanı denir.

15 Simetrik Dinamik Sistemler (1) in simetrileri bir grup (Σ) oluşturur.. Bu durumda, F ye Σ-eşdeğişken vektör alanı denir. Fix(Σ) = {x R n : γx = x γ Σ} sabit nokta altuzayı F-değişmezdir.

16 Simetrik Dinamik Sistemler (1) in simetrileri bir grup (Σ) oluşturur.. Bu durumda, F ye Σ-eşdeğişken vektör alanı denir. Fix(Σ) = {x R n : γx = x γ Σ} sabit nokta altuzayı F-değişmezdir. (1) in bazı dallanmaları Σ simetri grubuyla ilişkilidir.

17 Simetrik Dinamik Sistemler (1) in simetrileri bir grup (Σ) oluşturur.. Bu durumda, F ye Σ-eşdeğişken vektör alanı denir. Fix(Σ) = {x R n : γx = x γ Σ} sabit nokta altuzayı F-değişmezdir. (1) in bazı dallanmaları Σ simetri grubuyla ilişkilidir. Bakınız: The Symmetry Perspective, M. Golubitsky and I. Stewart., Birkhauser Verlag, Basel, 2002.

18 Örnekler Bağlantılı Dinamik Sistemler

19 Örnekler Bağlantılı Dinamik Sistemler ẋ = x 2 simetrik mi?

20 Örnekler Bağlantılı Dinamik Sistemler ẋ = x 2 simetrik mi? ẋ = x 3 simetrik mi?

21 Örnekler Bağlantılı Dinamik Sistemler ẋ = x 2 simetrik mi? ẋ = x 3 simetrik mi? simetrik mi? ẋ = x + y ẏ = y + x

22 Guckenheimer-Holmes Çevrimi

23 Guckenheimer-Holmes Çevrimi ẋ = µx + (ax 2 + by 2 + cz 2 )x ẏ = µy + (ay 2 + bz 2 + cx 2 )y (2) ż = µz + (az 2 + bx 2 + cy 2 )z

24 Guckenheimer-Holmes Çevrimi ẋ = µx + (ax 2 + by 2 + cz 2 )x ẏ = µy + (ay 2 + bz 2 + cx 2 )y (2) ż = µz + (az 2 + bx 2 + cy 2 )z Yansıma simetrileri: (x, y, z) (±x, ±y, ±z)

25 Guckenheimer-Holmes Çevrimi ẋ = µx + (ax 2 + by 2 + cz 2 )x ẏ = µy + (ay 2 + bz 2 + cx 2 )y (2) ż = µz + (az 2 + bx 2 + cy 2 )z Yansıma simetrileri: (x, y, z) (±x, ±y, ±z) Permutasyon simetrisi: (x, y, z) (y, z, x)

26 4 Hücreli bağlantılı sistem

27 4 Hücreli bağlantılı sistem ẋ 1 = f (x 1 ; x 2, x 3 ) ẋ 2 = f (x 2 ; x 1, x 4 ) ẋ 3 = f (x 3 ; x 1, x 2 ) ẋ 4 = f (x 4 ; x 1, x 2 )

28 4 Hücreli bağlantılı sistem ẋ 1 = f (x 1 ; x 2, x 3 ) ẋ 2 = f (x 2 ; x 1, x 4 ) ẋ 3 = f (x 3 ; x 1, x 2 ) ẋ 4 = f (x 4 ; x 1, x 2 ) x i R, f : R 3 R

29 4 Hücreli bağlantılı sistem ẋ 1 = f (x 1 ; x 2, x 3 ) ẋ 2 = f (x 2 ; x 1, x 4 ) ẋ 3 = f (x 3 ; x 1, x 2 ) ẋ 4 = f (x 4 ; x 1, x 2 ) x i R, f : R 3 R f (x; y, z) = f (x; z, y) x, y, z R.

30 Simetrinin Belirlediği Değişmez Altuzay. Σ = {1, (12)(34)} Fix(Σ) = {x = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 = x 2, x 3 = x 4 }

31 Değişmez Altuzaylar Ağın simetrileri Ağın dengeli boyamaları

32 Ağdaki dengeli boyamalar Dengeli Boyama: Aynı renkli hücrelerin verilen bir renk grubundan aldıkları giriş sayısı eşit olmalı.

33 Ağdaki dengeli boyamalar Dengeli Boyama: Aynı renkli hücrelerin verilen bir renk grubundan aldıkları giriş sayısı eşit olmalı. Bakınız: M. Golubitsky and I. Stewart. Nonlinear dynamics of networks: the groupoid formalism. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 43(3):305â364 (electronic), 2006.

34 Ağdaki dengeli boyamalar Dengeli Boyama: Aynı renkli hücrelerin verilen bir renk grubundan aldıkları giriş sayısı eşit olmalı.

35 Bağlantı Yapısının Belirlediği Değişmez Altuzaylar Dengeli Boyama: Aynı renkli hücrelerin verilen bir renk grubundan aldıkları giriş sayısı eşit olmalı. V 1 = {x R 4 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 }

36 Bağlantı Yapısının Belirlediği Değişmez Altuzaylar Dengeli Boyama: Aynı renkli hücrelerin verilen bir renk grubundan aldıkları giriş sayısı eşit olmalı. V s1 2 = {x R 4 x 2 = x 3 = x 4 }

37 Bağlantı Yapısının Belirlediği Değişmez Altuzaylar Dengeli Boyama: Aynı renkli hücrelerin verilen bir renk grubundan aldıkları giriş sayısı eşit olmalı. V s2 2 = {x R 4 x 1 = x 3 = x 4 }

38 Bağlantı Yapısının Belirlediği Değişmez Altuzaylar Dengeli Boyama: Aynı renkli hücrelerin verilen bir renk grubundan aldıkları giriş sayısı eşit olmalı. V s3 2 = {x R 4 x 1 = x 2, x 3 = x 4 }

39 Bağlantı Yapısının Belirlediği Değişmez Altuzaylar Dengeli Boyama: Aynı renkli hücrelerin verilen bir renk grubundan aldıkları giriş sayısı eşit olmalı. V 2 = {x R 4 x 1 = x 3, x 2 = x 4 }

40 Bağlantı Yapısının Belirlediği Değişmez Altuzaylar Dengeli Boyama: Aynı renkli hücrelerin verilen bir renk grubundan aldıkları giriş sayısı eşit olmalı. V 1 3 = {x R 4 x 2 = x 4 }

41 Bağlantı Yapısının Belirlediği Değişmez Altuzaylar Dengeli Boyama: Aynı renkli hücrelerin verilen bir renk grubundan aldıkları giriş sayısı eşit olmalı. V 2 3 = {x R 4 x 1 = x 3 }

42 Bağlantı Yapısının Belirlediği Değişmez Altuzaylar Dengeli Boyama: Aynı renkli hücrelerin verilen bir renk grubundan aldıkları giriş sayısı eşit olmalı. V s 3 = {x R 4 x 3 = x 4 }

43 Bağlantı Yapısının Belirlediği Değişmez Altuzaylar Dengeli Boyama: Aynı renkli hücrelerin verilen bir renk grubundan aldıkları giriş sayısı eşit olmalı. V 4 = R 4

44 Bağlantı Yapısının Belirlediği Değişmez Altuzaylar Dengeli Boyama: Aynı renkli hücrelerin verilen bir renk grubundan aldıkları giriş sayısı eşit olmalı. V 4 = R 4

45 Bağlantı Yapısının Belirlediği Değişmez Altuzaylar Boyut Değişmez Altuzay 4 V 4 = R 4 3 V3 s = {x R 4 x 3 = x 4 } 3 V3 1 = {x R 4 x 2 = x 4 } 3 V3 2 = {x R 4 x 1 = x 3 } 2 V 2 = {x R 4 x 1 = x 3, x 2 = x 4 } 2 V2 s1 = {x R 4 x 2 = x 3 = x 4 } 2 V2 s2 = {x R 4 x 1 = x 3 = x 4 } 2 V2 s3 = {x R 4 x 1 = x 2, x 3 = x 4 } 1 V 1 = {x R 4 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 }

46 Değişmez Altuzayların Kapsama İlişkisi V s1 2 V x V y V x V y. V2 s2 V2 s3 V 1 V 2 V s 3 V3 1 V 4 V 2 3

47 Bağlanacak her sistemin bir kararlı limit çevrimi olsun. x 2 y 2 y 1, y 2 θ 1 θ 2 x 1 y 1 x 1, x 2 θ 1 θ 2 θ 2 θ 1

48 Bağlantılı osilatörlerin (ω ij, Ω ij )-karakteristiğı

49 Bağlantılı osilatörlerin (ω ij, Ω ij )-karakteristiğı Osilatörlerin bağlanmadan önceki frekansları: ω i

50 Bağlantılı osilatörlerin (ω ij, Ω ij )-karakteristiğı Osilatörlerin bağlanmadan önceki frekansları: ω i Osilatörlerin bağlantı sonrası gözlenen frekansları: Ω i

51 Bağlantılı osilatörlerin (ω ij, Ω ij )-karakteristiğı Osilatörlerin bağlanmadan önceki frekansları: ω i Osilatörlerin bağlantı sonrası gözlenen frekansları: Ω i Genel durum: Osilatörlerin doğal frekansları yakınsa senkronizasyon gerçekleşir. Ω ij ω ij (a)

52 Hodgkin-Huxley Nöronu c v i (t) = I i + g L (v i (t) v L ) g K n 4 (h i (t))(v i (t) v K ) g Na m 3 (v i (t))h i (v i (t) v Na ) g syn j i s j (v i (t) v syn) τ h ḣ i (t) = h (v i (t)) h i (t) ṡ i (t) = a(v i (t τ d ))(1 s i (t)) s i (t)/τ syn

53 Hodgkin-Huxley Nöronları Senkronizasyon İndeksi(Synchronization index): ρ ij = eiθ i +e iθ j 2 1

54 Hodgkin-Huxley Nöronları Senkronizasyon İndeksi(Synchronization index): ρ ij = eiθ i +e iθ j 2 1