ROBOT MANİPÜLATÖRLERİN DİNAMİĞİ VE KONTROLU

Transkript

1 ISBN ROBOT MANİPÜLATÖRLERİN DİNAMİĞİ VE KONTROLU Prof. Dr. M. Keal ÖZGÖREN Makina Teorisi Derneği Yayınları Ders Notları Serisi No: 2

2 ROBOT MANİPÜLATÖRLERİN DİNAMİĞİ VE KONTROLU 3-6 Şubat 2016, Ankara Prof. Dr. M. Keal ÖZGÖREN Orta Doğu Teknik Üniversitesi Makina Teorisi Derneği Yayınları Ders Notları Serisi No: 2 ISBN Bu kitabın içeriği, Prof. Dr. M. Keal Özgören tarafından, 3-6 Şubat 2016 tarihleri arasında düzenlenen "Robot Dinaiği ve Kontrolu Çalıştayı" (RDK 2016) kapsaında veriş olduğu dersin notlarına dayanarak oluşturuluştur. Kitabın dizgisi ve elektronik kopyası, Dr. Nurdan Bilgin ve Dr. Hakan Mencek in editörlük çalışalarıyla hazırlanıştır. Makina Teorisi Derneği Bahçelievler Mahallesi 1. Cad. TRT Haber 1 Sitesi No: C8 Gölbaşı/ANKARA RDK 2016 i M. Keal Özgören

3 ROBOT DİNAMİĞİ VE KONTROLU ÇALIŞTAYI (RDK 2016) ÇALIŞTAY DÜZENLEME KURULU Dr. Nurdan BİLGİN (Gazi Üniversitesi) Yük. Müh. Ece YILDIRIM (Gazi Üniversitesi) Yük. Müh. Fettah KODALAK (Gazi Üniversitesi) Yük. Müh. Burcu KÜÇÜKOĞLU (Gazi Üniversitesi) Yük. Müh. Abdurrahi DAL (Gazi Üniversitesi) ÇALIŞTAY BİLİM KURULU Prof. Dr. Eres Söyleez (MakTeD) Prof. Dr. M. Keal Özgören (MakTeD) Prof. Dr. M. Arif Adlı (Gazi Üniversitesi) Prof. Dr. Metin U. Salacı (Gazi Üniversitesi) RDK 2016 ii M. Keal Özgören

4 DÜZENLEME KURULU'NUN NOTU MakTeD in bir geleneğe dönüşen çalıştaylarından birine ev sahipliği yapış olaktan onur duyaktayız. Ev sahipliğini yaptığıız bu çalıştayın düzenlenesinde üç ayrı kuru, Türkiye de biliin ve bilisel düşüncenin başat anlayış olası ortak idealiyle bizlere destek verişlerdir. Ayrı ayrı hepsine gönül borcuuz bakidir. Bununla beraber konuşacı olarak katkıda bulunan değerli hocalarııza ve robotik alanında faaliyet gösteren katılıcı firalarııza buradan tekrar teşekkür etek isteriz. MakTeD Yöneti Kurulu Başkanı Prof. Dr. Eres Söyleez in önderliğinde süre gelen bu çalıştayları, çalıştayların katılıcısı olayı ve düzenlenesinde görev alayı çok önesedik ve önesiyoruz. Çünkü bu çalıştaylar, sadece bilgi edineizi sağlaıyor, birlikte üretenin, işbirliğinin, dostlukların zeinini oluşturuyor. Alanlarının en iyisi bili insanlarının, genç bili insanlarıyla dolaysız gönüllü ilişkisine ev sahipliği yapıyor. Planlanası, düzenlenesi ve sonuçların yayınlanasına kadar her aşaasında, tartışayı, ortak aklı ve ortak çözüü yönte ediniyor. Son söz olarak, bu çalıştayın ana konusundaki dersleri veren ve sonrasında çalıştay ders notlarını yoğun bir eekle bu kitaba dönüştüren, sayın hocaız Prof. Dr. M. Keal Özgören'e sonsuz teşekkürleriizi iletiriz. Düzenlee kurulu adına, Dr. Nurdan Bilgin RDK 2016 iii M. Keal Özgören

5 YAZAR'IN NOTU Bu kitap, Makine Teorisi Derneği'nin, Gazi Üniversitesi Mühendislik Fakültesi'nin ve Makine Mühendisleri Odası'nın katkı ve destekleriyle Şubat 2016 tarihleri arasında gerçekleştirilen "Robot Dinaiği ve Kontrolu" çalıştayında verdiği iki günlük ders için hazırlayıp katılıcılara ilettiği ders notlarının tarafıca yeniden gözden geçirilip gerekli düzelteler ve yararlı olabilecek ekleeler yapıldıktan sonra uygun bir forata göre düzenlenesiyle oluşuştur. Bu kitap, yine Makine Teorisi Derneği'nin önderliğiyle Gaziantep Üniversitesi, Makine Mühendisliği Bölüü tarafından 31 Ağustos-03 Eylül 2015 tarihleri arasında düzenlenen "Robot Kineatiği" çalıştayında verdiği iki günlük derse dayanarak hazırlanış olan "Seri ve Paralel Manipülatörlerin Analitik ve Yarı- Analitik Yöntelerle Konu ve Hız Analizleri" başlığını taşıyan kitabın devaı niteliğindedir. Her iki kitabın da sözü edilen çalıştaylara katılanlar ve bu konularla ilgilenen diğer kişiler için faydalı birer başvuru kaynağı olacağını uuyoru. Bu kitabın içeriğiyle ilgili değerli görüşlerini bildiren ve redaksiyonu ile düzenlenesinde katkıda bulunan Y. Doç. Dr. Gökhan Kiper, Y. Doç. Dr. M. İ. Can Dede, Dr. Hakan Mencek ve Çalıştay Düzenlee Kurulu Başkanı Dr. Nurdan Bilgin'e özverili çabaları için çok teşekkür ederi. Prof. Dr. M. Keal Özgören RDK 2016 iv M. Keal Özgören

6 İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1. VEKTÖR İŞLEMLERİ VE TEMEL KİNEMATİK Bir Noktanın Bir Eksen Takıına Göre Konuu Bir Vektörün Bir Eksen Takıındaki Matris Gösterii Vektör İşleleri ile Matris İşleleri Arasındaki İlişkiler Bir Vektörün Bir Eksen Etrafında Dönesi Rodrigues Forülü ve Döne Matrisi Teel Dikeysıra Matrisleri ve Teel Döne Matrisleri Döne Matrislerinin Bazı Özellikleri Örnek: İki aşaalı döne işlei Bir Vektörün Değişik Eksen Takılarındaki Matris Gösterileri Dönüşü Matrisi İfadeleri Dönüşü Matrisinin Teel Biri Vektörler Cinsinden İfade Edilesi Dönüşü Matrisinin Yöneli Kosinüsleri Cinsinden İfade Edilesi Dönüşü Matrisinin Döne Matrisi Olarak İfade Edilesi Dönüşü Matrisinin Euler Açıları Cinsinden İfade Edilesi Bir Noktanın Farklı Eksen Takılarına Göre Konuu ve Hoojen Dönüşü Matrisleri Bir Vektörün Farklı Eksen Takılarına Göre Türevleri Bir Vektörün Belli Bir Eksen Takıına Göre Türevi Bir Vektörün Farklı Eksen Takılarına Göre Türevlerinin Arasındaki İlişki ve Bağıl Açısal Hız Tanıı Bir Vektörün Farklı Eksen Takılarına Göre İkinci Türevlerinin Arasındaki İlişki ve Bağıl Açısal İve Tanıı Bir Noktanın Farklı Eksen Takılarına Göre Hızı ve İvesi Bir Noktanın Farklı Eksen Takılarına Göre Hızı Bir Noktanın Farklı Eksen Takılarına Göre İvesi Gösterii Basitleştiriliş Bağıl Hız ve İve İfadeleri BÖLÜM 2. İKİNCİ MERTEBEDEN TENSÖRLER: DİYADİKLER Diyadiklerin Tanıı ve Kullanı Yerleri Diyadiklerle Yapılan İşleler Nokta Çarpı Çapraz Çarpı RDK 2016 v M. Keal Özgören

7 2.3. Diyadiklerin Bir Eksen Takıındaki Matris Gösterileri Diyadiklerin Farklı Eksen Takılarındaki Matris Gösterileri Vektör-Diyadik İşlelerine Karşılık Gelen Matris İşleleri Biri Diyadik ve Ters Diyadik Döne Diyadiği BÖLÜM 3. KATI CİSİMLER İÇİN TEMEL DİNAMİK Bir Katı Cisin Atalet Özellikleri Bir Katı Cisin Kütlesi Bir Katı Cisin Kütle Merkezi Bir Katı Cisin Kütle Merkezi Etrafındaki Atalet Tensörü ve Atalet Matrisi Asal Eksen Takıları ve Asal Atalet Moentleri Asal Eksenlerin ve Asal Atalet Moentlerinin Belirlenesi Örnek: Aynı Cisi için İki Farklı Asal Eksen Takıı Bileşik Katı Cisiler için Atalet Tensörünün Oluşturulası Örnek: Üç Tipik Katı Cisi ve Atalet Moentleri Örnek: Bir Bileşik Katı Cisin Atalet Tensörü Bir Katı Cise İlişkin Kuvvet-Moent ya da Newton-Euler Denkleleri Kuvvet Denklei ya da Newton Denklei Moent Denklei ya da Euler Denklei Açısal Hız Bileşenleri Sabit Olan Özel Döne Hareketleri BÖLÜM 4. KATI CİSİM SİSTEMLERİNİN DİNAMİK ANALİZİ Sistedeki Dinaik İlişkilerin Newton-Euler Denkleleriyle İfade Edilesi Sistedeki Cisilere Ait Newton-Euler Denkleleri Etkileşi Kuvvet ve Moentlerinin Ayrıntıları Ekle Örnekleri Sistein Hareket Denklei ile Devinisel ve Eyletisel Dinaik Analizleri Sistein Serbestlik Derecesi Genelleştiriliş Koordinatlar Genelleştiriliş Eyleti Kuvvetleri Genelleştiriliş Yapısal Tepki Kuvvetleri Yeterince Kısıtlı ve Aşırı Kısıtlı Sisteler Tüleşik Newton-Euler Denklei Hareket Denklei ve Dinaik Analiz Aacıyla Kullanıı RDK 2016 vi M. Keal Özgören

8 4.3. Hareket Denkleinin Newton-Euler Denklelerinden Elde Edilesi Yönte 1: Genelleştiriliş Eyleti Kuvvetlerini Elde Ete Yöntei Yönte 2: Genelleştiriliş İveleri Elde Ete Yöntei Yönte 3: Serbestlik ve Kısıtlaa Yönlerinin Dikliğine Dayalı Yönte Örnek: Düzlesel Bir Paralel Manipülatörün Kineatik ve Dinaik Analizi Sistein Betilenesi Kineatik Analiz Newton-Euler Denkleleri Sayısal Uygulaa Hareket Denkleinin Lagrange Yönteiyle Elde Edilesi Skalar Lagrange Denkleleri Kinetik Enerji Genelleştiriliş Moentular Enerji Yitire İşlevi Potansiyel Enerji Genelleştiriliş Eyleti Kuvvetleri Genelleştiriliş Dış Etki Kuvvetleri Hareket Denklei Örnek: Düzlesel Bir Paralel Manipülatörün Hareket Denklei BÖLÜM 5. SERİ MANİPÜLATÖRLERİN DİNAMİK ANALİZİ Kineatik İlişkiler Denavit-Hartenberg (D-H) Yöntei Peşpeşe Gelen İki Uzuv Arasındaki Kineatik İlişkiler Uzuvların Zeine Göre Duruşları (Yönelileri ve Konuları) Uzuvların Zeine Göre Döne ve Ötelene Hızları Uzuvların Zeine Göre Döne ve Ötelene İveleri Eyletisel Dinaik Analiz Yenileeli Newton-Euler (Kuvvet-Moent) Denkleleri Eyleti Torkları ve Kuvvetleri Devinisel Dinaik Analiz Hareket Denklei Uzuv Ağırlıklarına İlişkin Dikeysıra Matrisinin Hesaplanası Hıza Bağlı Ataletsel Terilere İlişkin Dikeysıra Matrisinin Hesaplanası Görev Kuvveti ve Moentine İlişkin Dikeysıra Matrisinin Hesaplanası RDK 2016 vii M. Keal Özgören

9 Kütle Matrisinin Hesaplanası Sanal İş Yönteiyle Dinaik Analiz İşle Aygıtının Duruşundaki Sanal Değişi Görev Kuvveti ile Moentinin İşle Aygıtı Üzerinde Yaptıkları Sanal İş Manipülatörün Sanki-Statik Dengesi Örnek: Stanford Manipülatörü Manipülatörün Kineatik Betilenesi İşle Aygıtının Zeine Göre Duruşu İşle Aygıtının Zeine Göre Hızı Manipülatörün Jacobi Matrisleri Manipülatörün Sanki-Statik Denge Duruunda Kullanıı BÖLÜM 6. MANİPÜLATÖRLERİN SERBEST KONUM KONTROLU Bağısız Ekle Kontrolcuları Yöntei Hesaplanan Tork Yönteiyle Kontrol Yöntein Kısa Tanıtıı ve Tercih Edilebileceği Durular Manipülatör ile Eyleti Sisteinin Bütünleştirilesi Hesaplanan Tork Yönteinin Uygulanışı İve Koutunun Belirlenesi BÖLÜM 7. MANİPÜLATÖRLERİN YÜZEY TEMASLI KONUM KONTROLU Bir Yüzeyle Esnek Teaslı Konu Kontrolunun Esasları Manipülatörler İçin Bir Yüzeyle Esnek Teaslı Konu Kontrolu Bir Manipülatörün Bir Yüzeyle Teasını Betileyen Kineatik İlişkiler Yüzeyle Esnek Teas Sağlayan Kontrol İlişkileri Örnekler Konu Kısıtlaalı İşlelerde Birlikte Hareket ve Kuvvet-Moent Kontrolu Kısıtlaalı Dinaik Forülasyon ve Kısıtlaa Kuvvet ve Moentleri Birlikte Hareket ve Kuvvet-Moent Kontrolu Örnek: Düzlesel Bir Paralel Manipülatörün Hareket ve Kuvvet Kontrolu EK A: KAYNAKLAR EK B: KÜÇÜK SÖZLÜK RDK 2016 viii M. Keal Özgören

10 BÖLÜM 1 VEKTÖR İŞLEMLERİ VE TEMEL KİNEMATİK 1.1. Bir Noktanın Bir Eksen Takıına Göre Konuu 3 ( ) = = / 1 ( ) 2 ( ) Şekil 1.1 Bir Noktanın Seçilen Bir Eksen Takıına Göre Konuu Üç boyutlu uzayda gözlelenen herhangi bir P noktasının konuu, geleneksel olarak, Şekil 1.1'de de görüldüğü gibi, uygunca seçilen bir F a eksen takıına göre ifade edilir. F a eksen takıının orijini, A ya da O a ile gösterilen noktayla tesil edilir. F a eksen takıının yönelii ile eksenleri ise, aşağıda gösterilen teel vektör üçlüsü ile belirlenir. U a = {u 1 (a), u 2 (a), u 3 (a) } (1.1.1) Genelde, F a, ortonoral ve sağ el kuralına uyan ya da kısaca sağ elli olan bir eksen takıı olarak seçilir. Bu özellikler aşağıda açıklanıştır. F a eksen takıının ortonoral olabilesi için teel vektörlerinin birbirine dik biri vektörler olası gerekir. Bu özellik, aşağıdaki skalar çarpı denkleiyle ifade edilir. u (a) i u (a) 1, i = j ise j = δ ij = { 0, i j ise (1.1.2) F a eksen takıının sağ el kuralına uyabilesi için de teel vektörlerinin aşağıdaki vektörel çarpı denklelerini sağlaası gerekir. u 1 (a) u 2 (a) = u 3 (a) u (a) 2 u (a) (a) 3 = u 1 } (1.1.3) u 3 (a) u 1 (a) = u 2 (a) Gözlelenen P noktasının konuu, F a eksen takıının orijinine göre AP konu vektörüyle belirlenir. Bu vektör, aşağıdaki değişik biçilerde gösterilebilir. r = r P = r P/A = r AP = AP (1.1.4) (1.1.4) denkleindeki r vektörü, F a eksen takıında şöyle çözüştürülür. r = u (a) 1 r (a) 1 + u (a) 2 r (a) 2 + u (a) 3 r (a) 3 3 = u (a) (a) k=1 k r k (1.1.5) RDK M. Keal Özgören

11 (1.1.5) denkleindeki r k (a), r vektörünün F a eksen takıındaki k-yinci bileşeni ya da P noktasının F a eksen takıındaki k-yinci koordinatı olarak tanılanır ve şu işlele elde edilir. r k (a) = r u k (a) (1.1.6) 1.2. Bir Vektörün Bir Eksen Takıındaki Matris Gösterii Önceki kısıda olduğu gibi, herhangi bir r vektörü, seçilen bir F a eksen takıında şöyle çözüştürülür. r = u 1 (a) r 1 (a) + u 2 (a) r 2 (a) + u 3 (a) r 3 (a) (1.2.1) (1.2.1) denkleindeki bileşenler, k = 1, 2, 3 için şöyle tanılanıştır. r k (a) = r u k (a) (1.2.2) Söz konusu bileşenler kullanılarak aşağıdaki biçide gösterilen bir dikeysıra atrisi oluşturulabilir. r (a) = [ r 1 (a) r 2 (a) r 3 (a) ] (1.2.3) Yukarıda oluşturulan r (a) dikeysıra atrisi, r vektörünün F a eksen takıınındaki atris gösterii olarak tanılanır. Bu dikeysıra atrisi için aşağıdaki gösteri biçileri de kullanılabilir. r (a) = [r] (a) = [r] Fa (1.2.4) Eğer ilgilenilen tü vektörler için aynı eksen takıı (örneğin F a ) kullanılıyorsa, gösteri kolaylığı olsun diye, (a) üstyazıtı gizlenebilir ve aşağıdaki basitleştiriliş gösteriler kullanılabilir. u k (a) u k, r k (a) r k, r (a) r 1.3. Vektör İşleleri ile Matris İşleleri Arasındaki İlişkiler Bu kısıda göz önüne alınan tü vektörlerin atris gösterilerinin aynı F a eksen takıında oluşturulduğu varsayılıştır. Dolayısıyla, önceki kısıda bahsedilen üstyazıtsız basitleştiriliş gösteri kullanılıştır. a) Nokta Çarpı ya da Skalar Çarpı: p ve q gibi iki vektörün nokta çarpıı, F a eksen takıındaki bileşenleri cinsinden şöyle ifade edilir. s = p q = p 1 q 1 + p 2 q 2 + p 3 q 3 (1.3.1) Aynı işle, ilgili vektörlerin F a eksen takıındaki atris gösterileriyle bir iç çarpı olarak şöyle de ifade edilebilir. q 1 s = [p 1 p 2 p 3 ] [ q 2 ] = p t q q 3 (1.3.2) RDK M. Keal Özgören

12 Nokta çarpı işleinde çarpanların yeri değiştirilebildiği için aynı sonuç aşağıdaki dört değişik biçide ifade edilebilir. s = p q = q p = p t q = q tp (1.3.3) Bu arada, p t = [p 1 p 2 p 3 ] ve q t = [q 1 q 2 q 3 ], p ve q vektörlerinin F a eksen takıındaki yataysıra atris gösterileri olarak adlandırılır. b) Çapraz Çarpı ya da Vektörel Çarpı: p ve q gibi iki vektörün çapraz çarpıı, yeni bir r vektörü verir. Şöyle ki, r = p q (1.3.4) İlgili vektörlerin F a eksen takıındaki bileşenleri kullanılarak (1.3.4) vektör denkleinin karşılığı olarak aşağıdaki atris denklei yazılabilir. r 1 p 2 q 3 p 3 q 2 0 p 3 p 2 q 1 [ r 2 ] = [ p 3 q 1 p 1 q 3 ] = [ p 3 0 p 1 ] [ q 2 ] (1.3.5) r 3 p 1 q 2 p 2 q 1 p 2 p 1 0 q 3 (1.3.5) denklei, derleşik olarak kısaca şöyle de yazılabilir. r = p q (1.3.6) Yukarıda kullanılan p (p-tilde) sigesi, p dikeysıra atrisinden türetilen antisietrik kare atrisi gösterektedir. Bu atris, "çapraz çarpı atrisi" olarak da adlandırılır ve aşağıda gösterilen biçide "as" (antisietrik atris) işleci kullanılarak oluşturulur. p 1 0 p 3 p 2 p = [ p 2 ] p = as(p ) = [ p 3 0 p 1 ] (1.3.7) p 3 p 2 p 1 0 Yukarıdaki "as" işlecinin tersi olan "ds" (dikeysıra atrisi) işleci ise şöyle tanılanır. p = ds(p ) = as 1 (p ) (1.3.8) c) Çapraz Çarpı Matrislerinin Bazı Özellikleri Çapraz çarpı atrislerinin bazı önde gelen özellikleri aşağıda gösteriliştir. det(p ) = 0 (1.3.9) p p = 0, p t p = 0 t (1.3.10) p q = q p t (q tp )I (1.3.11) p 2 = p p t (p t p )I (1.3.12) as(p q ) = p q q p = q p t p q t (1.3.13) as(r p ) = R p R t (1.3.14) Yukarıdaki denklelerde, I biri atristir. R ise, det(r ) = 1 olan ortonoral bir atristir. Bu atrisi ortonoral yapan özellik, R 1 = R t olasıdır. RDK M. Keal Özgören

13 1.4. Bir Vektörün Bir Eksen Etrafında Dönesi Rodrigues Forülü ve Döne Matrisi Şekil 1.2 Bir Vektörün Bir Eksen Etrafında Dönesi Şekil 1.2'de bir p vektörünün bir r vektörüne dönesi görülektedir. Döne açısı θ ile, döne eksenini tesil eden biri vektör ise n ile gösteriliştir. p vektörü, r vektörüne dönerken konik bir yüzey üzerinde hareket eder. Bu dönenin söz konusu koninin tabanındaki izdüşü görüntüsü, Şekil 1.2'nin sağında gösteriliştir. Bu dönenin sonucu olan r vektörü, Şekil 1.2 göz önüne alınarak aşağıda yazılan denkle dizisi sonunda ortaya çıkar. p = OA = OD + DA = s + p p = p s (1.4.1) r = OB = OD + DB = s + r r = r s (1.4.2) s = (p n )n = n (n p) (1.4.3) q = DC = n DA = n p q = n (p s) = n [p (p n )n ] = n p (p n )(n n ) q = n p (1.4.4) Şekil 1.2'nin sağındaki görüntüye göre, DB = DA cos θ + DC sin θ. Yani, r = p cos θ + q sin θ (1.4.5) (1.4.5) denklei, (1.4.1) (1.4.4) denkleleriyle birlikte aşağıdaki denklelere yol açar. r s = (p s) cos θ + (n p) sin θ r = p cos θ + (n p) sin θ + s(1 cos θ) r = p cos θ + (n p) sin θ + n (n p)(1 cos θ) (1.4.6) RDK M. Keal Özgören

14 (1.4.6) denklei, döne sonucunda ortaya çıkan r vektörünü verektedir. Bu denkle, "Rodrigues forülü" olarak da bilinir. Rodrigues forülü, seçilen bir F a eksen takıında, r = r (a) ve benzeri kısaltalar kullanılarak aşağıdaki atris denklei biçiinde de yazılabilir. r = p cos θ + (n p ) sin θ + n (n tp )(1 cos θ) (1.4.7) (1.4.7) denklei, p bir çarpan olarak ayrılıp şöyle de yazılabilir. r = R p (1.4.8) (1.4.8) denkleindeki R atrisi, "döne atrisi" olarak şöyle tanılanır. R = R (n, θ) = I cos θ + n sin θ + n n t(1 cos θ) (1.4.9) Bu arada, n bir biri vektör olduğu için, yani n tn = 1 olduğu için, (1.3.11) denklei, şu şekli alır. n 2 = n n t I (1.4.10) Böylece, R atrisi şöyle de ifade edilebilir. R = R (n, θ) = I + n sin θ + n 2(1 cos θ) (1.4.11) R atrisi için Taylor serisi açılılarından yararlanarak çok daha derleşik bir ifade elde edilebilir. Bu aaçla, (1.4.11) denklei, sin θ ve cos θ işlevlerinin Taylor serisi açılıları kullanılarak şöyle yazılabilir. R = I + n (θ 1 3! θ ! θ5 1 7! θ7 + ) + n 2 ( 1 2! θ2 1 4! θ ! θ6 1 8! θ8 + ) (1.4.12) Öte yandan, (1.3.9) ve (1.4.10) denklelerine göre, n atrisinin çeşitli dereceden kuvvetleri yalnızca n ya da n 2 cinsinden ifade edilebilir. Şöyle ki, n 3 = n, n 4 = n 2, n 5 = n, n 6 = n 2, n 7 = n. (1.4.13) (1.4.12) ve (1.4.13) denkleleri birleştirilince, R için aşağıdaki Taylor serisi açılıı ortaya çıkar. R = I + n θ + 1 2! (n θ) ! (n θ) ! (n θ)4 + (1.4.14) Dikkat edilirse, (1.4.14) denkleindeki açılı, üstel işlevin Taylor serisi açılııyla aynıdır. Böylece, R için aşağıdaki son derece derleşik ifade elde ediliş olur. R = R (n, θ) = e n θ (1.4.15) Yukarıdaki ifade yalnızca derleşik olayıp aynı zaanda döne ekseni ile döne açısını da açık olarak gösteresi nedeniyle oldukça kullanışlıdır. Bu biçide ifade edildiğinde, R için kısaca "üstel döne atrisi" deyii kullanılabilir Teel Dikeysıra Matrisleri ve Teel Döne Matrisleri Teel dikeysıra atrisleri, bir üçlü grup oluşturak üzere şöyle tanılanırlar u 1 = [ 0], u 2 = [ 1], u 3 = [ 0] (1.4.16) RDK M. Keal Özgören

15 Teel dikeysıra atrisleri, üç boyutlu dikeysıra atris uzayının teelini oluştururlar. Öyle ki, c gibi herhangi bir dikeysıra atrisi, üç teel dikeysıra atrisinin doğrusal bileşii olarak aşağıda gösterilen biçide ifade edilebilir c = c 1 u 1 + c 2 u 2 + c 3 u 3 = c 1 [ 0] + c 2 [ 1] + c 3 [ 0] = [ c 2 ] (1.4.17) c 3 Teel dikeysıra atrisleri, aynı zaanda, F a gibi bir eksen takıının teel biri vektörlerinin yine F a içinde ifade edilen atris gösterileridir. Şöyle ki, k = 1, 2, 3 için, u k = u k (a/a) = [u (a) k ] (a) = [u (a) k ] (1.4.18) Fa Eğer döne işlei, seçilen bir F a eksen takıının koordinat eksenlerinden biri, örneğin u k (a) doğrultusundaki eksen etrafında yapılıyorsa, döne ekseni biri vektörü, n = u (a) k olur. Bu duruda, n vektörünün F a eksen takıındaki atris gösterii, aşağıda görüldüğü gibi, k-yinci teel dikeysıra atrisi olur. n = n (a) = u k (a/a) = u k (1.4.19) Bu eksen etrafında belli bir θ açısıyla döneyi sağlayan atris ise, k-yinci "teel döne atrisi" olarak aşağıdaki denklele tanılanır. R k = R k(θ) = R (u k, θ) = e u kθ (1.4.20) Üç teel döne atrisinin (1.4.9) denklei kullanılarak elde edilen ayrıntılı ifadeleri aşağıda gösteriliştir R 1(φ) = e u 1φ = [ 0 cos φ sin φ] (1.4.21) 0 sin φ cos φ cos θ 0 sin θ R 2(θ) = e u 2θ = [ ] (1.4.22) sin θ 0 cos θ cos ψ sin ψ 0 R 3(ψ) = e u 3ψ = [ sin ψ cos ψ 0] (1.4.23) Döne Matrislerinin Bazı Özellikleri Döne atrislerinin bazı önde gelen özelliklerini yansıtan forüller aşağıda gösteriliştir. det(e n θ ) = 1 (1.4.24) (e n θ ) 1 = (e n θ ) t = e n θ = e n ( θ) = e ( n )θ (1.4.25) e n θ n = n, n te n θ = n t (döne ekseni üzerinde işlevsizlik forülü) (1.4.26) e n θ n = n e n θ n (1.4.27) e n θ e n φ = e n φ e n θ = e n (θ+φ) (paralel eksen forülü) (1.4.28) e n θ e φ e φ e n θ e (n θ+ φ) ( n ise) (1.4.29) (e n θ )/ θ = e n θ n = n e n θ (döne açısına göre türev forülü) (1.4.30) RDK M. Keal Özgören c 1

16 Teel döne ve teel dikeysıra atrisleri ise, aşağıdaki özellikleri paylaşırlar. e u kθ u k = u k, u kt e u kθ = u kt (1.4.31) e u iθ u j = u j cos θ + σ ijk u k sin θ (açılı forülü) (1.4.32) u it e u jθ = u it cos θ + σ ijk u kt sin θ (açılı forülü) (1.4.33) e u iπ/2 e u jθ = e σ ijku kθ e u iπ/2 (i j için kaydıra forülü) (1.4.34) e u iπ e u jθ = e u jθ e u iπ (i j için kaydıra forülü) (1.4.35) e u kπ/2 e u kθ = e u kθ e u kπ/2 = e u k(θ+π/2) (1.4.36) e u kπ e u kθ = e u kθ e u kπ = e u k(θ+π) (1.4.37) (1.4.32), (1.4.33), (1.4.34) denklelerinde yer alan σ ijk işaret sigesi, i j k için şöyle tanılanıştır. +1, ijk = 123, 231, 312 ise σ ijk = { 1, ijk = 321, 132, 213 ise Örnek: İki aşaalı döne işlei (1.4.38) Bu örnek, F a gibi bir eksen takıında gözlelenen bir döne işlei hakkındadır. İki aşaalı bu döne işlei, şeatik olarak aşağıda gösteriliştir. (a) p = bu döne[u (a) 2, θ] 1 q döne[u (a) 3, ψ] r (1.4.39) Bu işle sonucunda ortaya çıkan vektörleri belirleek aacıyla, ilgili vektörlerin F a eksen takıındaki üstyazıtsız atris gösterileri kullanılarak döne işleinin iki aşaası için aşağıdaki denkleler yazılabilir. q = R 2(θ)p = e u 2θ (bu 1) = be u 2θ u 1 (1.4.40) r = R 3(ψ)q = e u 3ψ (be u 2θ u 1) = be u 3ψ e u 2θ u 1 (1.4.41) Kısı 1.4.3'teki açılı forülleri kullanılarak (1.4.40) ve (1.4.41) denkleleri üzerinde aşağıdaki işleler yapılabilir. q = be u 2θ u 1 = b(u 1 cos θ u 3 sin θ) = u 1(b cos θ) u 3(b sin θ) (1.4.42) r = be u 3ψ (u 1 cos θ u 3 sin θ) = b[(e u 3ψ u 1) cos θ (e u 3ψ u 3) sin θ] r = b[(u 1 cos ψ + u 2 sin ψ) cos θ u 3 sin θ] r = u 1(b cos ψ cos θ) + u 2(b sin ψ cos θ) u 3(b sin θ) (1.4.43) (1.4.42) ve (1.4.43) atris denklelerinde, q = q (a), r = r (a) (a/a), ve k = 1, 2, 3 için u k = u k olduğu göz önüne alınarak söz konusu denklelerin vektör karşılıkları şöyle yazılabilir. q = u 1 (a) (b cos θ) u 3 (a) (b sin θ) (1.4.44) r = u 1 (a) (b cos ψ cos θ) + u 2 (a) (b sin ψ cos θ) u 3 (a) (b sin θ) (1.4.45) RDK M. Keal Özgören

17 1.5. Bir Vektörün Değişik Eksen Takılarındaki Matris Gösterileri Herhangi bir r vektörü, F a ve F b gibi iki farklı eksen takıında çözüştürülebilir. Şöyle ki, r = u 1 (a) r 1 (a) + u 2 (a) r 2 (a) + u 3 (a) r 3 (a) = u 1 (b) r 1 (b) + u 2 (b) r 2 (b) + u 3 (b) r 3 (b) (1.5.1) (1.5.1) denkleindeki bileşenler, şöyle tanılanıştır. r k (a) = r u k (a), r k (b) = r u k (b) (1.5.2) Söz konusu bileşenler kullanılarak aşağıdaki biçilerde gösterilebilen dikeysıra atrisleri oluşturulabilir. r (a) = [r] (a) = [r] Fa = [ r (b) = [r] (b) = [r] Fb = [ r 1 (a) r 2 (a) r 3 (a) r 1 (b) r 2 (b) r 3 (b) ] (1.5.3) ] (1.5.4) Yukarıdaki r (a) ve r (b) dikeysıra atrisleri, aynı r vektörünün F a ve F b eksen takıınlarındaki atris gösterileri olarak adlandırılırlar. Eğer F a ve F b çakışık ya da eş yönlü paralel değillerse, r (a) ve r (b), iki farklı atris olarak ortaya çıkar. Yani, genelde, r (a) r (b) (1.5.5) Bununla birlikte, r (a) ve r (b) arasında aynı r vektörünü tesil ettikleri için bir ilinti vardır. Bu ilinti, şöyle ifade edilebilir. r (a) = C (a,b) r (b) (1.5.6) (1.5.6) denkleinde görülen C (a,b), "bileşen dönüşü atrisi", ya da kısaca, "dönüşü atrisi" olarak adlandırılır. Aynı denklee göre, C (a,b) atrisi, r vektörünün F b eksen takıındaki bileşenlerini F a eksen takıındaki bileşenlerine dönüştürektedir. Öte yandan, (1.5.6) denklei şöyle de yazılabilir. r (b) = C (b,a) r (a) r (a) = [C (b,a) ] 1 r (b) (1.5.7) (1.5.6) ve (1.5.7) denkleleri karşılaştırılınca, şu sonuca varılır. [C (b,a) ] 1 = C (a,b) (1.5.8) Dönüşü atrisinin bir diğer öneli özelliği de aşağıda gösteriliştir. Noral olarak, belli bir kineatik incelee sürecinde göz önüne alınan eksen takılarının tüünün eksenlerinde aynı ölçek kullanılır. Böyle bir duruda, gözlelenen r vektörünün büyüklüğü tü eksen takılarında aynı görünür. Bu olgu, r vektörünün F a ve F b eksen takılarındaki atris gösterileri için şöyle ifade edilir. r 2 = r 2 = r r = r (a)t r (a) = r (b)t r (b) (1.5.9) RDK M. Keal Özgören

18 (1.5.9) denklei, (1.5.6) denklei kullanılarak şöyle yazılabilir. [C (a,b) r (b) ] t [C (a,b) r (b) ] = r (b)t [C (a,b)t C (a,b) ]r (b) = r (b)t r (b) (1.5.10) (1.5.10) denkleinden şu sonuç çıkar. C (a,b)t C (a,b) = I C (a,b)t = [C (a,b) ] 1 (1.5.11) (1.5.11) ve (1.5.8) denklelerinden çıkan sonuç ise aşağıdaki özelliktir. C (b,a) = [C (a,b) ] 1 = C (a,b)t (1.5.12) 1.6. Dönüşü Matrisi İfadeleri Dönüşü Matrisinin Teel Biri Vektörler Cinsinden İfade Edilesi F b eksen takıının teel biri vektörleri, k = 1, 2, 3 için, F a eksen takıında aşağıdaki dikeysıra atrisleri biçiinde gösterilebilir. u k (b/a) = [u (b) k ] (a) = C (a,b) [u (b) k ] (b) = C (a,b) u k (b/b) = C (a,b) u k (1.6.1) (1.6.1) denkleindeki u k artçarpanı, çarpılan atrisin k-yinci dikeysırasını seçer. Buna göre, u k (b/a) (a,b) dikeysıra atrisi, C kare atrisinin k-yinci dikeysırası olaktadır. Dolayısıyla, C (a,b) atrisi, aşağıdaki ayrıntıyla ifade edilebilir. C (a,b) (b/a) = [u 1 (b/a) u 2 u 3 (b/a) ] (1.6.2) Öte yandan, (1.6.1) denkleinden, a ve b indislerinin yeri değiştirilerek ve (1.5.12) denklei kullanılarak şu ilişkiler elde edilir. u k (a/b) = C (b,a) u k u k (a/b)t = u kt C (b,a)t = u kt C (a,b) (1.6.3) (1.6.3) denkleindeki u kt önçarpanı ise, çarpılan atrisin k-yinci yataysırasını seçer. Buna göre, (1.6.3) denkleinden şu sonuç çıkar. C (a,b) = [ u 2 (a/b)t u 1 (a/b)t (a/b)t u 3 ] (1.6.4) Not-1: (1.6.4) denkleindeki yataysıra atrislerinin üstyazıtlarıyla (1.6.2) denkleindeki dikeysıra atrislerinin üstyazıtları arasındaki fark, gözden kaçırılaası gereken bir husustur. Not-2: (1.5.12) ile (1.6.2) ve (1.6.4) denklelerine göre, C (a,b) atrisi, ortonoral bir atristir. Yani, tersi devriğine (transpozuna) eşittir. Ayrıca, bu atrisin dikey sıraları, birbirine dik olan biri vektörleri tesil eder. Yatay sıraları için de aynı özellik geçerlidir. Bu özellik nedeniyle, C (a,b) atrisinin dokuz eleanı arasında altı adet ortonoralite ilişkisi bulunur. Dolayısıyla, C (a,b) atrisini ifade edebilek için yalnızca üç adet bağısız paraetre gerekli ve yeterlidir. RDK M. Keal Özgören

19 Dönüşü Matrisinin Yöneli Kosinüsleri Cinsinden İfade Edilesi Şekil 1.3 İki Eksen Takıı Arasındaki Yöneli Açıları F b ve F a eksen takılarının teel biri vektörleri arasındaki açılar, "yöneli açıları" olarak tanılanırlar. Altısı Şekil 1.3'te gösterilen bu dokuz açıdan her biri, F b eksen takıının F a eksen takıına göre yöneliini ifade etek üzere şöyle ifade edilebilir. θ ij (a,b) = [u i (a) u j (b) ] (1.6.5) Yöneli açılarının kosinüsleri ise, "yöneli kosinüsleri" olarak tanılanıp aşağıdaki gibi gösterilirler. c (a,b) (a,b) ij = cos θ ij (1.6.6) Yöneli kosinüslerinden c (a,b) ij, u (a) i ile u (b) j biri vektörleri cinsinden şöyle ifade edilebilir. c (a,b) ij = u (a) (b) i u j (1.6.7) (1.6.7) denklei, ilgili vektörlerin F a eksen takıındaki atris gösterileri kullanılarak şöyle de yazılabilir. c (a,b) ij = u i (a/a)t u j (b/a) = u it (b/a) u j (1.6.8) (1.6.8) denklei ise, (1.6.1) denklei sayesinde şöyle yazılabilir. c (a,b) ij = u it C (a,b) u j (1.6.9) (a,b) (1.6.9) denkleinde, u it ile u j çarpanları, C atrisinin i-yinci yataysırası ile j-yinci dikeysırasındaki eleanı seçerler. Dolayısıyla, C (a,b) atrisi, yöneli kosinüsleri cinsinden aşağıda gösterilen ayrıntıyla ifade edilebilir. RDK M. Keal Özgören

20 C (a,b) = [ (a,b) c 11 (a,b) c 21 (a,b) c 31 (a,b) c 12 (a,b) c 22 (a,b) c 32 (a,b) c 13 (a,b) c 23 (a,b) c 33 ] (1.6.10) Daha önce de belirtildiği gibi, C (a,b) atrisi, ortonoral olduğu için yalnızca üç adet bağısız paraetre cinsinden ifade edilebilir. Yöneli açıları söz konusu olunca, bu üç bağısız paraetre, genellikle, "birincil yöneli açıları" diye adlandırılan θ (a,b) 11, θ (a,b) 22, θ (a,b) 33 açıları olarak seçilir. Diğer yöneli açıları ise, "ikincil yöneli açıları" diye adlandırılır Dönüşü Matrisinin Döne Matrisi Olarak İfade Edilesi F b eksen takıı, F a eksen takıının aynı orijine ötelenesi ve daha sonra belli bir eksen etrafında döndürülesiyle elde edilebilir. Bu duru, şeatik olarak aşağıdaki gibi gösterilebilir. F a döne[n,θ] F b (1.6.11) Doğal olarak iki eksen takıının teel vektörleri de, k = 1, 2, 3 için, aşağıda gösterildiği gibi aynı döne ilişkisi içinde olurlar. u k (a) döne[n,θ] u k (b) (1.6.12) Yukarıdaki şeatik gösterii ifade etek üzere, döne işleinin F a eksen takıında gözlelendiği varsayılarak, aşağıdaki atris denklei yazılabilir. [u k (b) ] (a) = R (n (a), θ)[u k (a) ] (a) u k (b/a) = e n (a)θ u k (a/a) = e n (a)θ u k (1.6.13) Öte yandan, u k (b/a), daha önceki (1.6.1) dönüşü denklei ile şöyle ifade edilişti. u k (b/a) = C (a,b) u k (b/b) = C (a,b) u k (1.6.14) (1.6.13) ve (1.6.14) denkleleri, dönüşü ve döne atrislerinin, aşağıda ayrıca yazıldığı gibi, eşit olduklarını gösterektedir. C (a,b) = R (n (a), θ) = e n (a) θ (1.6.15) Yukarıdaki denklelerde, n vektörünün F a eksen takıındaki atris gösterii olan n (a) kullanılıştır. Aslında, n vektörünün F b eksen takıındaki atris gösterii olan n (b) de kullanılabilirdi. Bunun nedeni, n vektörünün döne ekseni üzerinde olasından dolayı, döne işleinden etkileneesi ve n (b) = n (a) olasıdır. Ancak, söz konusu döne işlei, F c gibi farklı bir üçüncü eksen takıında gözlelenirse, bu eşitlik kaybolur. Yani, n (c) n (b) = n (a). Dolayısıyla, (1.6.15) denklei kullanılırken, n vektörünün ifade edildiği eksen takıının F a ya da F b eksen takılarında biri olasına dikkat etek gerekir. Aksi halde, döne atrisi, dönüşü atrisine eşit olaz. Bu kritik husus, şöyle ifade edilebilir. C (a,b) = e n (a)θ = e n (b)θ e n (c) θ (1.6.16) RDK M. Keal Özgören

21 Dönüşü Matrisinin Euler Açıları Cinsinden İfade Edilesi Ortonoral olan C (a,b) atrisinin yalnızca üç bağısız paraetre cinsinden ifade edilebileceği daha önce belirtilişti. Euler açıları kullanıldığında, bu üç bağısız paraetre, önceden belirleniş eksenler etrafındaki döneleri gösteren birer açı olarak seçiliş olur. Söz konusu eksenlerden her biri, geleneksel olarak, bir eksen takıının eksenlerinden biri olarak belirlenir. Belirlenen eksenlere göre, çeşitli Euler açısı sıralaaları ortaya çıkar. Bu sıralaaları genel olarak tesil eden i-j-k sıralaasına göre, F a eksen takıının F b eksen takıına dönüşü, aşağıda şeatik olarak gösterilen üç aşaalı ardışık döne işleiyle gerçekleştirilir. F a (a) döne[u i, φ1 ] (), φ2 ] (n), φ3 ] döne[u j döne[u k F F n F b (1.6.17) Yukarıdaki şeada, F ve F n, ara eksen takılarıdır. Bu şeaya göre, C (a,b) şöyle oluşur. C (a,b) = C (a,) C (,n) C (n,b) (1.6.18) (1.6.18) denkleindeki dönüşü atrisleri, (1.6.15) denklei uyarınca, birer döne atrisi olarak şöyle ifade edilirler. C (a,) = e u i (a/a) φ1 = e u iφ 1 = R i(φ 1 ) (1.6.19) C (,n) = e u j (/) φ2 = e u jφ 2 = R j(φ 2 ) (1.6.20) C (n,b) = e u k (n/n) φ3 = e u kφ 3 = R k(φ 3 ) (1.6.21) Böylece, C (a,b), aşağıda görülen biçide elde ediliş olur. C (a,b) = e u iφ 1 e u jφ 2 e u kφ 3 = R i(φ 1 )R j(φ 2 )R k(φ 3 ) (1.6.22) Robotik alanında genel olarak ve sıralaaları kullanılaktadır. Araç dinaiği alanında ise, tü kara, hava ve deniz araçlarını kapsaak üzere, neredeyse istisnasız, sıralaası kullanılaktadır. Ne var ki, Euler'in bizzat öne sürüp kullandığı sıralaa, sıralaasıdır. Euler bu sıralaayı, özellikle, jiroskop rotorları ve kendi etrafında dönen gök cisileri gibi, sietrik olup sietri ekseni etrafında diğer eksenlere göre çok daha hızlı dönen cisileri inceleek için kullanıştır. RDK M. Keal Özgören

22 1.7. Bir Noktanın Farklı Eksen Takılarına Göre Konuu ve Hoojen Dönüşü Matrisleri 3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) Şekil 1.4 Bir Noktanın Farklı Eksen Takılarında Gözlelenesi Şekil 1.4'te gösterilen senaryoda, bir P noktası, birbirine göre öteleniş (A B) ve dönüş (a b) olan F a (A) ve F b (B) gibi iki farklı eksen takıında gözlelenektedir. Bu duruda, P noktasının F a (A) ve F b (B) eksen takılarına göre konuunu gösteren r AP ve r BP vektörleri arasındaki ilişki, "ötelene vektörü" olarak adlandırılan r AB aracılığıyla şu şekilde sağlanır. r AP = r AB + r BP (1.7.1) (1.7.1) vektör denklei, r AP ve r BP vektörlerinin F a (A) ve F b (B) eksen takılarındaki atris gösterileri kullanılarak aşağıdaki atris denklei biçiinde de yazılabilir. r AP (a) = C (a,b) r BP (b) (a) + r AB (1.7.2) (1.7.2) denklei, P noktasının F a (A) ve F b (B) eksen takılarındaki görünüleri arasında ötelene teriinin varlığı nedeniyle hoojen olayan ya da diğer bir deyişle eklentili (biased) bir ilişki teşkil etektedir. Bu ilişkiyi hoojenleştirek için (1.7.2) denklei, 1 = 1 denkleiyle genişletilerek şöyle yazılabilir. r AP (a) = C (a,b) r BP (b) (a) + r AB 1 = 1 } (1.7.3) (1.7.3) denkle çifti, tek ve hoojen bir denkle biçiinde şöyle yazılabilir. [ r AP (a) (a) (b) 1 ] = [C (a,b) r AB 0 t 1 ] [r BP 1 ] (1.7.4) (1.7.4) denklei, aşağıdaki tanılara yol açar. R AP (a) = [ r AP (a) 1 ] : P noktasının F a(a)'daki büyütülüş (4 1) konu atrisi (1.7.5) R BP (b) = [ r BP (b) 1 ] : P noktasının F b(b)'deki büyütülüş (4 1) konu atrisi (1.7.6) RDK M. Keal Özgören

23 H AB (a,b) = [ C (a,b) (a) r AB ] : 4 4 boyutlu hoojen dönüşü atrisi (1.7.7) 0 t 1 Yukarıdaki tanılar kullanılınca, (1.7.4) denklei, kısaca aşağıdaki derleşik biçide yazılabilir. R AP (a) = H AB (a,b) (b) R BP (1.7.8) Böylece, görüldüğü gibi, R 3 uzayında yazılan fakat hoojen olayan (1.7.2) denklei, bir fazla boyutlu R 4 uzayında yazıla pahasına, hoojen olan (1.7.8) denkleine dönüştürülüştür. Dikkat edilirse, H AB (a,b) atrisi iki teel öğeden oluşaktadır. Birincisi, C (a,b) ile gösterilen döne öğesidir. İkincisi ise, r AB (a) ile gösterilen ötelene öğesidir. Eğer P noktası, üç farklı eksen takıında gözleleniyorsa, o zaan şu denkleler yazılabilir. Hoojen olayan denkle grubu: r AP (a) = C (a,b) r BP (b) (a) + r AB r BP (b) = C (b,c) r CP (c) (b) + r BC (1.7.9) (1.7.10) (a) r AP = C (a,c) (c) (a) r CP + r AC = [C (a,b) C (b,c) (c) ]r CP + [C (a,b) (b) (a) r BC + r AB ] (1.7.11) Hoojen denkle grubu: R AP (a) = H AB (a,b) (b) R BP R BP (b) = H BC (b,c) (c) R CP R AP (a) = H AC (a,c) R CP (c) (a,b) (b,c) (c) = [H AB H BC ]R CP (1.7.12) (1.7.13) (1.7.14) Özellikle, (1.7.11) ve (1.7.14) denklelerinin karşılaştırılası, hoojen dönüşü denklelerinin peşpeşe yapılan dönüşülerdeki derleşiklik (kısa ve toplu ifade) avantajını ortaya koyaktadır. Hoojen olayan dönüşülerde, bileşke döne ve bileşke ötelene terilerinin ayrı ayrı ifade edilesi gerekektedir. Şöyle ki, C (a,c) = C (a,b) C (b,c) (1.7.15) (a) (a) r AC = r AB + C (a,b) (b) r BC (1.7.16) Oysa, hoojen dönüşülerde, bileşke hoojen dönüşü atrisi, tek bir yalın çarpı denkleiyle ifade edilebilektedir. Şöyle ki, (a,c) (a,b) (b,c) H AC = H AB H BC (1.7.17) Hoojen dönüşü atrislerine ait bazı özellikler aşağıda belirtiliştir. (1.7.7) denkleinden yararlanarak gösterilebilir ki, (a,b) det[h AB ] = det[c (a,b) ] = 1 (1.7.18) RDK M. Keal Özgören

24 (1.7.8) denklei, F a (A) ile F b (B)'nin yeri değiştirilerek ve H AB (a,b) aşağıdaki iki biçide yazılabilir. R BP (b) = H BA (b,a) (a) R AP R BP (b) = [H AB (a,b) ] 1 (a) R AP atrisinin tersi alınarak (1.7.19) (1.7.20) (1.7.19) ve (1.7.20) denklelerine göre, H AB (a,b) atrisinin tersi şöyle bulunur. [H AB (a,b) ] 1 = H BA (b,a) = [ C (b,a) (b) r BA 0 t 1 ] = [C (a,b)t C (a,b)t r AB ] (1.7.21) 0 t 1 F a (A) ile F b (B) arasındaki ötelene ve döne ilişkisi, aşaalı olarak aşağıda gösterilen iki biçide ifade edilebilir. F a (A) F a (A) ötelene(a B) F a (B) döne(a b) F b (B) (1.7.22) döne(a b) F b (A) ötelene(a B) F b (B) (1.7.23) Yukarıdaki şealara göre, H AB (a,b) atrisi şu iki biçide ayrıştırılabilir. (a) H AB (a,b) = H AB (a,a) H BB (a,b) = H AB (a) (a,b) H B H AB (a,b) = H AA (a,b) H AB (b,b) = H A (a,b) (b) H AB (önce ötelene, sonra döne) (1.7.24) (önce döne, sonra ötelene) (1.7.25) Yukarıdaki ayrıştıralarda yer alan H AB (a) ve H AB (b) (a,b) atrislerine "yalın ötelene atrisleri"; H A ve H B (a,b) atrislerine ise "yalın döne atrisleri" denir. Bu atrislerin ayrıntılı ifadeleri aşağıda gösteriliştir. H AB (a) = [ I 0 t (a) r AB 1 ], H AB (b) = [ I (b) r AB 0 t 1 ] (1.7.26) H A (a,b) = H B (a,b) = H (a,b) = [ C (a,b) 0 0 t 1 ] (1.7.27) (1.7.26) ve (1.7.27) denklelerinden şu sonuçlar çıkartılabilir. (i) Yalın döne atrisleri, döne noktasına bağlı değildir. Bu nedenle, bir yalın döne atrisi, (1.7.27) denkleinde olduğu gibi, herhangi bir döne noktası belirteden H (a,b) biçiinde de yazılabilir. Bu özellik, döne işleinin etrafında yapıldığı noktanın, döndürülen nesnenin yöneliindeki değişi üzerinde herhangi bir etkisinin oladığını gösterektedir. (ii) Yalın ötelene atrisleri ise, doğal olarak ötelenenin gözlelendiği eksen takıına bağlıdır. Çünkü, ötelene r AB gibi bir vektörle gösterilir ve bu vektör de farklı eksen takılarında farklı dikeysıra atrisleri biçiinde görünür. RDK M. Keal Özgören

25 1.8. Bir Vektörün Farklı Eksen Takılarına Göre Türevleri Bir Vektörün Belli Bir Eksen Takıına Göre Türevi Bir vektörün türevinin alınası, seçilen eksen takıına göre bağıl bir işledir. Örneğin, bir r vektörünün F a (A) ve F b (B) gibi iki farklı eksen takıına göre alınan türevleri aşağıdaki biçilerde gösterilebilir. D a r = d a r/dt = [dr/dt] Fa (1.8.1) D b r = d b r/dt = [dr/dt] Fb (1.8.2) Söz konusu vektörün türevi, (1.8.1) denkleine göre alınırken F a eksen takıının yönelii; (1.8.2) denkleine göre alınırken de F b eksen takıının yönelii sabitiş gibi kabul edilir. Türevi alınacak vektör, F a (A) ve F b (B) eksen takılarında şöyle çözüştürülebilir. r = u 1 (a) r 1 (a) + u 2 (a) r 2 (a) + u 3 (a) r 3 (a) = u 1 (b) r 1 (b) + u 2 (b) r 2 (b) + u 3 (b) r 3 (b) (1.8.3) Bu çözüştürelere göre, D a r ve D b r türevleri şöyle ifade edilir. D a r = u (a) 1 r 1 (a) + u (a) 2 r 2 (a) + u (a) (a) 3 r 3 D b r = u (b) 1 r 1 (b) + u (b) 2 r 2 (b) + u (b) (b) 3 r 3 (1.8.4) (1.8.5) (1.8.4) ve (1.8.5) denklelerine göre, r vektörünün ve türevlerinin F a (A) ve F b (B) eksen takılarındaki atris gösterileri şöyle ilişkilendirilir. [r] (a) = r (a) = [ [r] (b) = r (b) = [ r 1 (a) r 2 (a) r 3 (a) r 1 (b) r 2 (b) r 3 (b) (a) r 1 (a) ] [D a r] (a) = r (a) = [ r 2 ] [D b r] (b) = r (b) = [ r 2 (a) r 3 (b) r 1 (b) (b) r 3 ] (1.8.6) ] (1.8.7) Dikkat edilirse, (1.8.6) ve (1.8.7) denkleleri, çözüştüre ve türev ala eksen takıları aynı ise geçerlidir. Ne var ki, çözüştüre ve türev ala eksen takılarının her zaan aynı olaları gerekez. Böyle bir duruda, aşağıdaki denkleler yazılabilir. [D b r] (a) = C (a,b) [D b r] (b) = C (a,b) r (b) (1.8.8) [D a r] (b) = C (b,a) [D a r] (a) = C (b,a) r (a) (1.8.9) (1.8.8) ve (1.8.9) denklelerinin herbirinde, türev ala eksen takıı, birinde F b diğerinde F a olak üzere, aynıdır. Bununla birlikte, söz konusu denklelerle, türev alındıktan sonra ortaya çıkan vektörün farklı iki eksen takıındaki atris gösterileri ilişkilendiriliştir. RDK M. Keal Özgören

26 Bir Vektörün Farklı Eksen Takılarına Göre Türevlerinin Arasındaki İlişki ve Bağıl Açısal Hız Tanıı Bir r vektörünün F a (A) ve F b (B) gibi birbirlerine göre açısal olarak farklı hareket eden iki eksen takıına göre alınan türevleri, "Coriolis Teorei" ya da "Transport Teorei" olarak bilinen teore sayesinde ilişkilendirilir. Bu teore şöyle ifade edilir. D a r = D b r + ω b/a r (1.8.10) (1.8.10) denkleindeki ω b/a vektörü, F b (B)'nin F a (A)'ya göre bağıl açısal hızı olarak tanılanır. Aynı denkleden, sol tarafın F a (A)'daki, sağ tarafın ise F b (B)'deki atris gösterileri kullanılarak aşağıdaki atris denklei elde edilir. r (a) = C (a,b) [r (b) + ω b/a (b) r (b) ] (1.8.11) (1.8.11) denklei, türev aladan önce yazılan aşağıdaki dönüşü denkleinden yola çıkılarak da elde edilebilir. r (a) = C (a,b) r (b) (1.8.12) (1.8.12) denkleinin taraf tarafa alınan türevi, aşağıdaki denklei verir. r (a) = C (a,b) r (b) + C (a,b) r (b) = C (a,b) [r (b) + C (b,a) C (a,b) r (b) ] (1.8.13) (1.8.11) ve (1.8.13) denkleleri karşılaştırılınca, iki eksen takıı arasındaki bağıl açısal hızı, iki eksen takıı arasındaki bağıl yöneli atrisiyle (yani dönüşü atrisiyle) ilişkilendiren aşağıdaki denkle elde edilir. ω b/a (b) = C (b,a) C (a,b) ω b/a (b) = ds[c (b,a) C (a,b) ] (1.8.14) (1.8.14) denkleinden de, ω b/a (a) = as[ω b/a (a) ] = as[c (a,b) ω b/a (b) ] = C (a,b) ω b/a (b) (b,a) C biçiinde ifade edilen bağıntılar dizisi kullanılarak aşağıdaki denkle elde edilebilir. ω b/a (a) = C (a,b) C (b,a) ω b/a (a) = ds[c (a,b) C (b,a) ] (1.8.15) Hatırlatak gerekirse, (1.8.14) ve (1.8.15) denklelerinde kullanılış olan "ds" (dikeysıra atrisi) işleci, daha önce Kısı 1.3'te tanıtılan "as" (antisietrik atris) işlecinin tersidir. Yani, ds = as 1. Buradan çıkartılan sonuca göre de, C (b,a) C (a,b) ve C (a,b) C (b,a) atrisleri, birer antisietrik atris olaktadırlar. Eğer r vektörünün türevleri, birbirlerinden farklı açısal hareketleri olan üç eksen takıına göre alınırsa, (1.8.10) denklei, şu üç şekilde yazılabilir. D a r = D b r + ω b/a r (1.8.16) D b r = D c r + ω c/b r (1.8.17) D a r = D c r + ω c/a r (1.8.18) Yukarıdaki üç denkleden şu sonuç çıkar. ω c/a = ω c/b + ω b/a (1.8.19) RDK M. Keal Özgören

27 (1.8.19) denklei, bağıl açısal hızların bileşkesinin yalnızca toplaa yoluyla elde edilebileceğini gösterektedir. Oysa, daha önce de görüldüğü gibi, bağıl yöneli atrislerinin bileşkesi, yalnızca çarpı yoluyla elde edilektedir. Şöyle ki, C (a,c) = C (a,b) C (b,c) (1.8.20) Bir Vektörün Farklı Eksen Takılarına Göre İkinci Türevlerinin Arasındaki İlişki ve Bağıl Açısal İve Tanıı Coriolis-Transport teorei uygulanarak bu kez de (1.8.10) denkleinin türevi, taraf tarafa aşağıdaki gösterildiği gibi alınabilir. D a 2 r = D a (D a r) = D a (D b r + ω b/a r) D a 2 r = D b (D b r + ω b/a r) + ω b/a (D b r + ω b/a r) D a 2 r = D b 2 r + ω b/a (D b r) + α b/a r + ω b/a (D b r + ω b/a r) D a 2 r = D b 2 r + 2ω b/a (D b r) + α b/a r + ω b/a (ω b/a r) (1.8.21) (1.8.21) denkleindeki α b/a vektörü, F b (B)'nin F a (A)'ya göre "bağıl açısal ivesi" olarak tanılanır ve iki eksen takıı arasındaki bağıl açısal hız vektöründen aşağıdaki türev ala işleiyle elde edilir. α b/a = D b ω b/a (1.8.22) Bununla birlikte, Coriolis-Transport teorei uyarınca ve ω b/a ω b/a = 0 olduğu için α b/a aşağıdaki türev ala işleiyle de elde edilebilir. α b/a = D a ω b/a (1.8.23) Ancak, dikkat etek gerekir ki, (1.8.22) ve (1.8.23) denkleleri, yalnızca F a (A) ile F b (B) eksen takıları için geçerlidir. Bir başka deyişle, ω b/a vektörünün üçüncü bir F c (C) eksen takıına göre alınan türevi, α b/a vektörünü verez. Bu duru kısaca şöyle ifade edilebilir. α b/a = D a ω b/a = D b ω b/a D c ω b/a (1.8.24) Yine Coriolis-Transport teoreine göre, D c ω b/a türevi doğrudan α b/a vektörünü verese de, α b/a vektörüyle aşağıda gösterilen biçilerde ilişkilidir. D c ω b/a = α b/a + ω a/c ω b/a = α b/a + ω b/c ω b/a (1.8.25) Öte yandan, daha önce, üç farklı eksen takıı söz konusu olduğunda, bağıl açısal hızların bileşkesinin yalnızca toplaa yoluyla elde edilebileceği görülüştü. Bu duru, (1.8.19) denkleiyle şöyle ifade edilişti. ω c/a = ω c/b + ω b/a (1.8.26) RDK M. Keal Özgören

28 (1.8.26) denkleinin türevi taraf tarafa F a (A) eksen takıına göre alınırsa, bağıl açısal ivelerin bileşkesi, aşağıda gösterilen biçide elde edilir. D a ω c/a = D a ω c/b + D a ω b/a α c/a = (D b ω c/b + ω b/a ω c/b ) + α b/a α c/a = α c/b + α b/a + ω b/a ω c/b (1.8.27) Görüldüğü gibi, bağıl açısal ivelerin bileşkesi yalnızca toplaa yoluyla elde edileeektedir. Bileşkeye ilgili bağıl açısal hızların çapraz çarpıından oluşan bir teri daha eklenektedir Bir Noktanın Farklı Eksen Takılarına Göre Hızı ve İvesi Bir Noktanın Farklı Eksen Takılarına Göre Hızı Şekil 1.4'e tekrar bakıldığında, bir P noktasının birbirine göre farklı hareket eden (ötelenen ve dönen) F a (A) ve F b (B) gibi iki eksen takıında gözlelenen bağıl konu vektörleri arasında aşağıdaki ilişkinin olduğu görülektedir. r AP = r AB + r BP (1.9.1) Eşdeğerli fakat farklı bir gösterile, (1.9.1) denklei, şöyle de yazılabilir. r P/A = r P/B + r B/A (1.9.2) (1.9.1) ve (1.9.2) denklelerindeki farklı gösteriler, ateatiksel olarak eşdeğerli olakla birlikte, sözel olarak farklı birer yorula şöyle ifade edilirler. r AB : A noktasından B noktasına doğru yöneltiliş konu vektörü. r B/A : B noktasının A noktasına göre bağıl konu vektörü. P noktasının F a (A) ve F b (B) eksen takılarında gözlelenen bağıl hızları arasındaki ilişkiyi elde etek üzere, (1.9.2) denkleinin eksen takılarından birine göre, örneğin F a (A)'ya göre, taraf tarafa türevi alınırsa, aşağıdaki denkle ortaya çıkar. D a r P/A = D a r P/B + D a r B/A (1.9.3) (1.9.3) denkleindeki teriler, aşağıdaki gibi gösterilebilen genel bir hız tanıına yol açar. v P/B/Fa = D a r P/B (1.9.4) (1.9.4) denklei ile tanılanan hız vektörü, şöyle adlandırılır: P noktasının B noktasına göre F a (A) eksen takıına göre türev alınarak elde edilen bağıl hız vektörü. Dikkat edilirse, genel hız tanıı, aşağıda belirtilen üç teel unsura dayanaktadır. 1. Hızı istenen nokta: P 2. Referans noktası: B 3. Türev ala eksen takıı: F a (A) (1.9.4) denkleindeki gösteri kullanılarak (1.9.3) denklei şöyle yazılabilir. v P/A/Fa = v P/B/Fa + v B/A/Fa (1.9.5) RDK M. Keal Özgören

29 Ne var ki, F b (B) eksen takıını kullanan gözleci, gözlelediği noktaların hız vektörlerini de aynı eksen takıına göre oluşturak ister. Bu isteği karşılaak üzere, (1.9.5) denklei, Coriolis-Transport teorei kullanılarak şöyle de yazılabilir. v P/A/Fa = v P/B/Fb + ω b/a r P/B + v B/A/Fa (1.9.6) Bir Noktanın Farklı Eksen Takılarına Göre İvesi (1.9.4) denkleindeki genel hız tanıına benzer bir biçide genel ive tanıı da aşağıdaki gibi yapılabilir. a P/B/Fa = D a 2 r P/B (1.9.7) Görüldüğü gibi, genel ive tanıı da, aşağıda belirtilen üç teel unsura dayanaktadır. 1. İvesi istenen nokta: P 2. Referans noktası: B 3. Türev ala eksen takıı: F a (A) (1.9.7) denkleindeki gösteri kullanılarak (1.9.3) denklei, bir kez daha türevi alınarak şöyle yazılabilir. a P/A/Fa = a P/B/Fa + a B/A/Fa (1.9.8) Hız denkleinde olduğu gibi, F b (B) eksen takıını kullanan gözleci, gözlelediği noktaların ive vektörlerini de yine aynı eksen takıına göre oluşturak ister. Bu isteği karşılaak üzere, (1.9.8) denklei, Coriolis-Transport teorei kullanılarak şöyle de yazılabilir. a P/A/Fa = a P/B/Fb + 2ω b/a v P/B/Fb + α b/a r P/B + ω b/a (ω b/a r P/B ) + a B/A/Fa (1.9.9) (1.9.9) denkleindeki terilerden ikisi, birinci türevlerden oluşuştur. Bu teriler, aşağıdaki özel adlarla anılırlar. Coriolis İvesi: 2ω b/a v P/B/Fb (1.9.10) Merkezcil İve: ω b/a (ω b/a r P/B ) (1.9.11) Gösterii Basitleştiriliş Bağıl Hız ve İve İfadeleri Eğer kineatik incelee süresince yalnızca F a (A) ve F b (B) gibi iki eksen takıı kullanılıyorsa, yukarıdaki ayrıntılı gösteri yerine, aşağıdaki basitleştiriliş gösteri de kullanılabilir. r P/A = r, r P/B = r, r B/A = r (1.9.12) v P/A/Fa = v, v P/B/Fb = v, v B/A/Fa = v (1.9.13) a P/A/Fa = a, a P/B/Fb = a, a B/A/Fa = a (1.9.14) ω b/a = ω, α b/a = α (1.9.15) RDK M. Keal Özgören

30 Yukarıdaki basitleştiriliş gösteri kullanılarak konu, hız, ve ive denkleleri, aşağıdaki sade görünüleriyle yazılabilir. r = r + r (1.9.16) v = v + ω r + v (1.9.17) a = a + 2ω v + α r + ω (ω r ) + a (1.9.18) (1.9.16,17,18) denklelerini, terilerin yerine göre F a (A) ve F b (B) eksen takılarındaki atris gösterilerini kullanarak da yazak ükündür. Bu aaçla,{r, v, a} ve {r, v, a } üçlülerinin F a (A)'daki üstyazıtsız atris gösterileri ile {r, v, a, ω, α} beşlisinin F b (B)'deki üstyazıtsız atris gösterileri, C = C (a,b) dönüşü atrisi eşliğinde kullanılabilir. Bu şekilde yazılan denkleler, aşağıda gösteriliştir. r = C r + r (1.9.19) v = C (v + ω r ) + v (1.9.20) a = C [a + 2ω v + (α + ω 2)r ] + a (1.9.21) (1.9.21) denkleinde şu husus dikkat çekicidir: α ve ω vektörlerine F b (B) eksen takıında karşılık gelen α ve ω atrisleri kullanıldığında, α ile ω 2 birbiriyle toplanabilir teriler haline gelektedir. RDK M. Keal Özgören

31 BÖLÜM 2 İKİNCİ MERTEBEDEN TENSÖRLER: DİYADİKLER 2.1. Diyadiklerin Tanıı ve Kullanı Yerleri Bir diyat, ya da bir teel diyadik, iki vektörün yanyana getirilesiyle oluşturulur. Şöyle ki, Δ = pq (2.1.1) Yukarıdaki diyat oluşuunda, p vektörü, öncül vektör (anterior vector); q vektörü ise, artçıl vektör (posterior vector) olarak adlandırılır. Bir diyadik ise, birden çok diyadın bir doğrusal bileşii biçiinde oluşturulur. Şöyle ki, n n D = k=1 d k Δ k = k=1 d k p k q k (2.1.2) Bir diyadiğin eşleniği (conjugate of a dyadic), o diyadiği oluşturan öncül ve artçıl vektörlerin yerleri değiştirilerek elde edilir. Şöyle ki, Δ = conj(δ ) = conj(pq) = qp (2.1.3) n D = conj(d ) = k=1 d k q k p k (2.1.4) Diyadikler, vektörlerin he yönlerini he de büyüklüklerini değiştirebilen işleçler (operatörler) olarak kullanılırlar. Diyadiklerin bu kullanıı, vektör işlelerinden olan nokta çarpı aracılığıyla gerçekleştirilir. Kineatik ve dinaik alanında kullanılan diyadikler aşağıda belirtiliştir. a) Döne ya da Döndüre Diyadiği: R Bu diyadik aracılığıyla bir vektör (p) döndürülerek bir başka vektör (r) elde edilir. Yani, r = R p (2.1.5) b) Atalet Diyadiği: J Bu diyadik aracılığıyla bir katı cisin açısal hız vektörü (ω ) ile açısal oentu vektörü (H ) ilişkilendirilir. Yani, H = J ω Tensör Terinolojisi: (2.1.6) Diyadikleri, vektörleri, hatta skalarları da kapsayan genel bir tensör terinolojisi uyarınca, diyadikler ikinci ertebeden tensörler; vektörler birinci ertebeden tensörler; skalarlar ise sıfırıncı ertebeden tensörler olarak da adlandırılırlar. Bununla birlikte, skalarların ve vektörlerin ikinci bir adlandıraya pek ihtiyaçları oladığı için, tensör terii tek başına kullanıldığında genel olarak ikinci ertebeden bir tensör, yani bir diyadik anlaşılır. Diğer bir deyişle, çoğu kez, atalet diyadiği yerine atalet tensörü, döne diyadiği yerine de döne tensörü terileri kullanılabilektedir. RDK M. Keal Özgören