BÖLÜM 5 SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIMLARI

Transkript

1 BÖLÜM 5 SÜRKLİ OLASILIK DAĞILIMLARI Bu ısımda gç aşamda oaa çıa p ço assal olaı modllmsid adalı ola süli dğişli paami olasılı dağılımlaıda baılaı iclci. l alıaca dağılımla bi hipoi ölm süci il ilgili vasaımla ümsi alıda mamaisl olaa ld dilmiş oi dağılımladı. Bu oi dağılımla blili paaml gö bi olasılı oğulu dsi ailsii aımlaa ualla ümsi il iad dilil. Bi şas dğişi v bi paam vilmiş olsu. is bi süli oi olasılı ül osiouu aımlaa ual olsu. ğ bi l saı is bu paam alı olasılı oğulu osiolaıı; büü bi ümsii blil. Souç olaa bu paami süli dağılım ailsii dğişi lmalaıı iç üm / ld dili. 5. TKDÜZ ÜNİFORM DAĞILIM Süli şas dğişli içi ullaıla basi dağılımlada bii dü dağılımdı. Mamaisl hsaplamalaa uguluğula öllil oi isaisi içi olduça ullaışlı bi dağılımdı. Bu dağılımı diğ bi ömi isaisi uamıı çşili ölii açılamaa basiliği dil ço aı olmasıdı. Taım süli dü şas dğişi: Bi süli şas dğişi aalığıdai h bii dği şi olasılıla alabilio is bu şas dğişi sili dü dağılıma sahipi v dü dağılımı olasılı oğuluğu şu şilddi: ; Buada il l sabildi v şliddil. T dü dağılımda olduğua gö dı v bi olasılı oğulu osiou olabilmi il oşuluu sağla. Diğ bi dişl olduğu içi dı. Tom: ; d oşulu sağlaı.

2 Şil: Tdü Dağılış Tom: ğ şas dğişi ] [ aalığıda dü dağılış gösiosa; a. b. V c. M şliddi. İspa: d V d d M

3 Tdü dağılış adıı [ a b] aalığıdai dü oğuluğuda v gaii şlid almaadı. Bu dağılıma didög biçimli dağılım da dmdi. Tom: T dü şas dğişii biiimli dağılım osiou F il aımlamışı. İspa: F d. Bu souç baı assal olgulada aaşııcı içi ullaışlı olmaadı. Öği; assal bi dğişii dğli sadc [ a b] gibi bi sıılı ala içid dağılıosa; [ a b] aalığıı şi msali ii al aalığıı şas dğişii içm olasılılaı şis o ama [ a b] aalığıda dü dağılış gösmdi. Ya da [ ] aalığıda hhagi bi saı l alıdığıda aslıda bu aalıa dü dağılış gös bi şas dğişid bahsdilmdi. Tom: Hhagi bi süli şas dğişi içi aımlaa oğulu osiou uiom oğulu osioua ümülai dağılım osioudu döüşüülbili. < < G alıaa buada G şas dğişii Bu om il sadc biim aalıai uiom dağılım içi biço süli dağılımı öllili ispalaaa gösilbili. Tdü dağılımı blili apalı bi [ a b] aalığıda dağıldığıı aımlamışı. Aıca a b açı aalığı a da a b] v [ a b aı açı aı apalı aalılaıda da aı aımı apma mümüdü. Buada bilimsi g h dö olasılı oğuluğuu da aı biiimli dağılış osioua sahip olduğudu. 5. GAMA DAĞILIŞI İsaisi ömli ol oaa dağılımlada iisi bi dağılım ailsi olaa göbilcğimi gama v üsl dağılımladı. Bu ii dağılımı bili l alımasıı sbpli; üsl dağılımı gama dağılımıı öl bi duumu olması v üsl şas dğişlii oplamıı gama dağılımı gösmsidi. Gama dağılışı sı sı blm amalaıı olasılı modli olaa ullaılmaadı. Öği aşam amaı sid ölüm ada gç sü gama 3

4 dağılışıa ua bi şas dğişi gösmdi. Gama dağılımıı Poisso süci il ilişisi bölüm soudai ld.5.3 Kısmıda vilmişi. Taım Gama şas dğişi: Bi şas dğişi aşağıdai olasılı oğuluğua uuosa gama dağılımı gama şas dğişi olaa adladıılı. olasılı oğulu osiou aımlaabili. Bu dağılış paamli gama dağılımıdı. ğ dili. şlid bi şas dğişi aımlaısa ii paamli gama dağılımı ld Taım: Bi şas dğişi aşağıdai olasılı oğuluğua uuosa gama dağılımı gama şas dğişi olaa adladıılı. / ; Buada v şliddi. Buada ölç şil paamsidi. Tom: ğ şas dğişi v paamli gama dağılışı gösiosa şliddi. a. b. V c. M İspa: a. Dağılışı bl dği d il aımlaa dğiş döüşümü ugulaaa d d ld dili. d b. Gama dağılışıı vaası da b şild d 4

5 5 d d d v V buluu. c. Gama dağılışıı mom ü osiou is; d d buada döüşümü il d d d buada döüşümü il d d d olup bu osio içi gçlidi. Souç olaa gama dağılımı içi M buluu. Tom: Gama dağılımıı oiji gö -ici momi

6 6 şiliğid ld dili. İspa: Gama dağılışıı -ici momi d il aımlaa dğiş döüşümü ugulaaa d d d Gama osiou aımı gği sağ aaı igali olduğua gö ispa amamlamış olu. Gamma dağılımıı ümülai dağılım osiou d F / olup α poii amsaı olduğuda bu igal ümi molala ld dili. F! 3!! 3 > Bu F osioua icompl gamma osiou di. İi paamli gama dağılımı alıaa poisso dağılımıı paamsi gö d iad dilbili b. Kısım ÜSTL DAĞILIM Üsl dağılım aşam sülii modllşmsid ullaılabili v sili duumlada ullaıla gomi dağılışı bidi. Gama dağılışıda olması duumuda oaa çıa. Taım Üsl şas dğişi: Bi şas dğişii olasılı oğuluğu aşağıdai aıma uuosa üsl dağılış gösi v üsl şas dğişi adıı alı. / ; Buada olup ölç paamsidi.

7 Tom: ğ şas dğişi üsl dağılış gösiosa bl dği vaası v mom ü osiou şu şilddi: a. b. V c. M İspa: a.üsl dağılımı bl dği ısmi igasouda / d alıaa d d d igali ısmi igal il çöülbili buula bili igal bi gama igali olup dğii vi v souç olaa buluu. b. Üsl dağılışı vaası da b şild / d v 3 d V olaa ld dili. c.üsl dağılımı mom ü osiou da buada d döüşümü ugulaaa d 7

8 olup içi buluu. M Üsl dağılımı ömli bi ölliği haıasılı ölliğidi. Tom: ğ şas dğişi paamli üsl dağılıma sahip is s olma ü P şiliği gçlidi. s / P s İspa: P s / buada s olduğuda P s P P s P s / P s / / P s d d s / / s bi mai paçasıı çalışma ömü olaa abul dilsi. Bu paçaı biim amada boulmaması şaıla s biim amada boulmama şalı olasılığı s biim amada boulmama olasılığıa şii. Diğ bi dişl si çalışa bi paçaı çalışma ömüü dağılışı il i çalışa paçaı çalışma ömüü dağılımı aıdı. 5.4 BTA DAĞILIMI 895 ılıda Kal Paso aaıda aııla ba dağılımıı açılama içi bi ba osiou aımlaı v bu osio sasid ba dağılımı buluu. Ba osiou ulaia igalii biici ipidi v bölüm sou ld Kısım.5. d açılamışı. ğ bi süç Gamma dağılışı gös dğişli oalaıı gö öü ala ip is Ba dağılımı ço aalı bi dağılışı. Ba dağılımıı olasılı oğulu osiou aalığıda blilmiş olduğuda biço dsl dağılış Ba dağılışıa uabili. Taım Ba şas dğişi: Bi şas dğişii olasılı oğuluğu aşağıdai aıma uuosa ba dağılışı gösi v ba şas dğişi adıı alı. 8

9 9. ; Buada olup şil paamlidi. Tom: şas dğişi Ba dağılımıa sahip is a. b. c. V İspa: a. Bi ba dağılımıı -icı momi ba osiouu öllili ullaılaa d buluu. b. ğ alıı is!!!! buluu. c. ğ alıı is!!!! v souç olaa vaas V buluu.

10 Bu dağılımı mom ü osiou basi bi apıda olmadığı içi ullaışlı dğildi. Ba dağılımıı öl duumu: ğ v is Ba dağılımı süli üiom dağılımı aımla. Ba dağılımı ;; içi oasıda simi olup oalaması da dği şii. 5.5 NORMAL DAĞILIM Ugulamalı isaisi ullaıla ili çoğu Nomal dağılıma daamaadı. Bu dağılım il 733 Abaham d Moiv aaıda Biom dağılımı gös dğişli oplamıı aısadığı bi dağılım olaa şdilmişi. Biço baımda isaisi uamıı ml aşı saıla omal dağılış daha soa ölçm haalaıı şaşılaca dcd dülili gösmsii gölml bilim adamlaıca Pi Laplac v Kal Gauss aaıda iclmişi. Göl dağılımlaı omal haa ğili adı vil v şas uallaıa bağlaa süli ğil ço aı olduğu bulumuşu. İl olaa bu ü omal ğili aımlaa h osiouu mamaisl öllili aaşıılmışı. İl aşamada igali mvcu olup olmadığı l alısı I d bu igali igadı poii süli bi osio olduğuda v igali alıabili bi osiola sıılı olduğu içi d d d lim d d d lim d mvcuu.

11 Tom: I igalii dği solu olup d dği şii. İspa: I igalii disi il çapımı I is I dd bu igali çöümü içi uupsal oodialaa döüşüm cos v si apılaa v jaobia dmiaı; d J d d d hsaplaaa d d cos d si d si dd cos I dd buluu. Bu igald u döüşümüü apılaa du d v I d u u dud d I ld dil ispa amamlaı. Taım Nomal Dağılım: ğ oalaması µ v vaası σ ola bi şas dğişii olasılı oğulu osiou aşağıdai gibis bu şas dğişi Nomal dağılım gösmdi. ; Buada paaml içi sııla dağılım N şisilili il aımlamışı. Bu il gösili. Nomal dağılım aı amada Gauss dağılımı a da haa

12 o dağılımı olaa da bilii. Öclil omal dağılıma ai osiou o olma oşullaıı sağladığı ispalası. Tom: ; bi olasılı oğulu osioudu. İspa: v d d döüşümü apılaa A ; d d d v alıaa v d d olu v gama osiouu ölili ullaılaa A d ispa amamlaı. Alai bi alaşım uupsal oodialaı ullaılmasıdı d olduğu haılaaa ld dili. d Tom: ğ şas dğişi N a. b. V c. M İspa: İl olaa a şıı iclmişi. dağılışı gösiosa; d Dğiş dğişim iği il is v d d olu d d şiliği sağıdai il igal Z dğişii bi osioudu v aı igal soucu d

13 d solu olduğuda igal soucu sııa şii. İici igal is oalaması sıı vaası bi ola sada omal dğişi olasılı oğulu osiou olduğuda igal soucu bi şii. Souç olaa. b. Va d d döüşümü il d d olu V v alıaa osio olduğuda V d v d d olu igal içidi osio çi d v gama osiouu ölili 3 V ld dili. 3 c. M d ullaılaa d p üsl osiouu üs ısmı l alısı. d 4 4 Bu bilgi igald i oulusa 4 3

14 M p d so ld dil şilii igal oalaması v vaası ola bi Nomal dağılımı olasılı oğulu osioudu. Dolaısıla bu ğii alıda ala ala şii. Bölc ispa amamlaı. Nomal dağılımı ümülai dağılım osiou F igali il ld dili. ğ döüşümü apılısa F şlid ld dili. d d Yuaıdai ullaıla döüşümü öl bi duumdu v sada omal şas dğişi olaa adladıılı. Sada omal şas dğişi oalaması sıı vaası is bi ola dağılıma sahipi. Bu şas dğişi ai olasılı osiou is şliddi. ğ N Z is sada omal ümülai dağılım osiou şlid ld dili. Sada omal olasılı osiouda d şiliği üm l Z dğli içi gçlidi. Çüü sada omal dağılım v ld dili. Souç olaa aıda simii. çi osioudu. Bi başa dişl i öl apısı dil oasıda şsi bi masimuma v oalaıda is büüm oalaıa sahipi. Aıca p dı. içi v 4

15 Aşağıda omal dağılımı ölm dağılımlaı olaa adladııla v isaisi ugulamalaıda v oisid ömli ua Sud i-a v F Dağılımlaı iclci. 5.6 CAUCHY DAĞILIMI Cauch dağılımı isaisi oili içisid öl bi ol oa. Tahmil içi aşıı bi duum simgl. Öği gölmli oalaıı hsaplamada alışılmış bi ugulamadı. İlgiç ola bi duum da ii sada omali bi Cauch dağılımıa sahip olmasıdı. Cauch dağılımı simi bi dağılımdı v aalığıda ça biçimid bi dağılış gösi. Cauch dağılımı omal dağılımda ço alı göümmsi ağm omal dağılıma gö büü ala içi. Bulada bii Cauch dağılımıı oalamasıı mvcu olmamasıdı. TaımCauch Dağılımı: Bi şas dğişii olasılı oğuluğu aşağıdai gibis sada Cauch dağılımıa ua v Cauch şas dğişi adıı alı ; ; paamli paamsi Cauch olasılı oğulu osiou: ; ; v ii paamli v ölç Cauch olasılı oğulu osiou: ; ; olaa aımlamışı. Cauch dağılımı aıda simi olmasıa ağm oalaması v daha büü momli mvcu dğildi. Diğ bi dişl mom ü osiou mvcu dğildi. Tom: şas dğişi sada Cauch dağılımıa sahip is a. blisi b. V blisi İspa: a. d ğ u is du d du u 5

16 Lim l blisiliği buluu. b. d d d d Lim Lim l blisiliği buluu. Tom: ; ; osiou bi olasılı oğulu osioudu. İspa: d d Lim d d Buada aca olduğuda d buluu. d Lim aca Cauch dağılımıda paamsi dağılımı mi ölçümüü aımla v P. 5 olduğu içi dağılımı mdaıdı. İi sada omal şas dğişii oaı Cauch dağılımıa sahipi.ispa içi b 5.7 LOGNORMAL DAĞILIM 6

17 ğ logaiması omal dağılım gös log ~ N bi şas dğişi is şas dğişi bi logomal dağılıma sahipi. şas dğişi olasılı oğulu osiou omal dağılımı olasılı oğulu osioua logaimi döüşüm ugulaaa ld dilbili. Taımlogomal dağılımı: Bi şas dğişii olasılı oğuluğu aşağıdai gibis logomal dağılımıa ua v logomal şas dğişi adıı alı log ; Tom: ğ bi logomal dağılıma sahip is a. / b. V İspa: şas dğişlii momli Y log ~ N ilişisi il omal dağılımda [ [ Y log ] ] il buluabili. Buula bili şas dğişii momli olasılı oğulu osiou il d buluabilii. log a. d Buada Log Buada döüşümü il d d / d d d d döüşümü il d d d olu. Souç olaa 7

18 8 buluu. b. d log Buada Log döüşümü il d d d d d d Buada döüşümü il d d buluu v V ld dili. Logomal dağılım sağa çapı bi dağılımdı. 5.8 LAPLAC ÇİFT ÜSTL DAĞILIMI Bu dağılım bibiid bağımsı ii üsl dağılışlı şas dğişii aalaıdai alaı dağılımıdı. Taım: Bi şas dğişii olasılı oğulu osiou aşağıdai gibi is dğişi laplac şas dğişi adıı alı. ; Buada v il aımlamışı.

19 Şil: Laplac Dağılımı Tom: Laplac dağılışıı oalaması v vaası şu şilddi. a. b. V 5.9 İKİ DĞİŞKNLİ NORMAL DAĞILIM İi dğişli omal dağılım ço dğişli omal dağılımı basi şlidi. Ço dğişli omal dağılımı açılama içi mais cbii ullama giğid sadc ii dğişli omal dağılım aa halaıla alaılacaı. Taım: v assal dğiş çiii oa olasılı oğululaı aşağıdai gibis ii dğişli omal dağılıma uala v oa omal dağılmış şas dğişli olaa adladıılıla. v içi; p p Buada v olup olaso asaısıdı. Yuaıdai olasılı oğulu osioda oulduğuda olasılı oğululaı v ola bağımsı v sadüi dğişlii olasılı oğulu osiolaıı çapımı ld dili. Bu oa dağılımı iclbilm içi öc paamlii v şas dğişlii oalamalaıla sada sapmalaı olduğu gösilmlidi. 9

20 Yoğulu osiouda hal gö igal alıısa i majial oğuluğu ld dili: p p d Gösimi basilşim içi v şlid dğiş döüşümü apıldığıda aşağıdai iad ulaşılı: p p d Aşağıdai şili ullaılaa; v iml oplaaa şu aşamaa glii: p p d g Buada öşli paa içidi iad v ola omal şas dğişii aalığıdai igalidi. Dolaısıla bu iadi şils içi şuu buluu: p Bu iad göüldüğü gibi; i majial oğuluğu oalaması μ v sada sapması σ ola bi omal dağılışı. Simid dolaı da i majial oğuluğu oalaması μ v sada sapması σ ola bi omal dağılış olacaı. Tom: v ii dğişli omal dağılıma uuosa vilmiş i oşullu oğuluğu oalaması; / vaası /

21 ola bi omal dağılımdı. vilmiş i oşullu oğuluğu oalaması / vaası / ola bi omal dağılımdı. İspa: / olduğua gö; iadi basilşim içi v aıldığıda şu iad buluu: p p / p p Bu souç il dğişli cisid aılısa şu ld dili: p / Göüldüğü gibi bu iad; oalaması / v vaası / ola bi omal oğuluu. vilmiş i oşullu oğuluğua aşılı gl bulgula simi olula buluabili. Tom: İi şas dğişi ii dğişli omal dağılıma uuolasa v is bağımsıdıla. İspa: içi; p

22 soucua ulaşılı i bula v olasılı oğulu osiolaıdı. İsdiği adid çapım bi şild paçalaaa da aılabili. Tom: İi dğişli omal dağılımı mom ü osiou p M şilddi. Bu osioda hal v i bl dğ vaas v ovaaslaı buluabili. Buu içi apılması g is dğişi dği gö üv alıp sııa şilmi. A olsu. M A M A M A A M A A ] [ V ] [ V ] [ Cov M i oulduğuda; Cov ld dili.

23 BÖLÜM 5 KLR.5. TK V ÇİFT FONKSİYONLAR H hagi bi osiou is çi osiodu is osiodu. ğ çi osio is d d d. d ğ osio is v d K d d d d d is ld dili. 5. GAMA FONKSİYONUNUN ÖZLLİKLRİ Gama dağılış ailsi l alımada öc d igali il aımlaa gama osiou iclci. ğ is d ğ is Adışı iaso il;! d 3

24 buluu. Dğldiilmsi g öl duumlada bii d dğidi.!!! d Buada döüşümü apılaa!.. d d d Bu igal sada omal dağılımı aı alaıa şi olduğuda! buluu. Aıca gli ola diğ bi bilgi d Buada alıdığıda d d di. Buada omal dağılışa souç olaa d olduğu haılaaa d v buluu..5.3 BTA FONKSİYONUNUN ÖZLLİKLRİ ab aalığıda aımlaa 4

25 C a b. Bu osiodai C sabi v amsaı olaa iad di. > olma ü v ab aım aalığıı ba dağılımıı olasılı ogulu osiou olaa aımlaabilcğimi aalığı alısa; B d ba osiouu ld di. Ba osiou aımlama içi ii gama osiouu çapımıda adalaılı: d d d d Buada u döüşümü ugulaaa u. v. du d v u dğişii u u sıılaı olacaı u. u u u d u d Bu igald v u döüşümü il d u d v v buada v dğişii sıılaı v olacaı u. u u. v u v u u v v d. d u v v u v v u u vd d u v v u. v u u d ud u du şiliğii soludai iad Ba osioudu: ; u. u. d u Gama v Ba osiolaı aasıdai ilişi is; v 5

26 6. ; Yuaıda ld dil Ba osiou ullaılaa d. d.. şiliği buluabili..5.4 GAMA DAĞILIŞININ POİSSON SÜRCİ İL İLİŞKİSİ Baı duumlada W şas dğişi ad ola oaa çııcaa ada gç ölçği aımla. ğ sabi olaa abul dils W u dağılım osiou W W G P P W uuluğuda ad ola oaa çııosa W duumu içi ala ad ola oaa çıa. Başa bi dişl aalığıda ad ola mvcuu:! P W v G! olup şas dğişii olasılı oğulu osiou ' g G ; g!!!!...!!!!!! 3!.. 3!! Buada v! alıdığıda;

27 g buluu i bu da gama şas dğişi içi olasılı oğulu osioudu..5.5 ÜSTL DAĞILIMIN POİSSON SÜRCİ İL İLİŞKİSİ İl ola oluşucaa ada gç asgl uuluğu W olduğu abul dilsi. W uuluğuu dağılım osiou: G P W PW İl olaı oaa çımasıı uuluğu W u uuluğuda büü olması uuluğuda hiç ola oluşmaması alamıa gli. Başa bi dişl bu olasılı duumda P G g P dği şii. Bu Üsl dağılım olasılı oğulu osiou ld dili. Buada a gö bi sabii v a da d d G g G G P h lim h h olaa aımlaı. Güvilili aaliid haa oaı ailu a olaa bilii. Buada il aasıdai ilişi baılaca olusa / bi ola mdaa gli gç süli dağılımıı gösi. Yai buada = / olacaı. Şüphsi p ço duum içi ipmalaı a da isalaı haa oaı da bağımsı dğildi. şili i soludai basi diasil dlm G G sıı oşulu içi; l G G içi çöüldüğüd d p G W i o... d içi v 7

28 8 p g d buluu. Üsl dağılım oşulla aası blm süli d ugulaabili. Öği blm uuğu poblmlid üsl dağılım olduça ullaışlı olmaadı. Müşi him süsii blisi olduğu duumlada bu blisili çoğu ama aı bi biçimd üsl dağılım gösbili..5.6 BİNOM DAĞILIMININ NORMAL DAĞILIMA YAKLAŞIMI sadüi dğişi biom dağılım gös bi sili dğiş olsu. dğişii olasılı osiou =P{=}= p p di. v i silig omülüü ugulamasıa ima vc ada büü olduğuu vasaalım:!=!= bu duumda; P{=}= p p!!! = p p = p p h ii aaı p p il çapalım. p p P{=}= p p = p p olaa buluu. Buada u= p p p döüşümü adımıla =p+u p p -=-p-u p p ld dili. Bu dğli uaıdai şili li oalım v -p=q olaa aalım. / / P pq u q pq u p pq u q q pq u p p pq

29 = u q / p pu pq / u p / q qu pq / ld dili. pu pq / qu pq / A= u q / p u p / q dilim. loga= p u pq / log u q/ p q u pq / log u p/ q Buada h ii logaimi osiou sil halid glişiis olduğu da dia alıdığıda loga= p u pq / u q/ p u q/ p... q u pq / u p/ q u p/ q... = pu q/ p u q / u q/ p qu p/ q u p / q u p/ q = pu q/ p qu p/ q u q u p u q/ u p/ =[u /]p+q =u / ld dili. loga=u / u / A buluu. Şimdi bu dğli dia alaa pq P p A u= pq u / olduğuda p pq = P{=}= pq p pq Biom dağılımıda μ=p σ =pq olduğuda P{=}== olaa ld dili. Şu hald biom dağılım oalaması p vaası pq olma ü bi omal dağılıma alaşı. i büü olduğu duumda Biom olasılı osiou aacılığıla ilgilil olasılılaı hsaplaması olduça güçlşi. Dolaısıla biom bi dağılım gös sili sadüi 9

30 dğişi içi p=q is dağılımı simi olduğuu biliou. Şu hald i büü olduğu duumda p il q bibili aı isl biom dağılımı alaşı olaa omal dağılıma bci. Bu duumda sadüi dğişii süli bi dğiş halii aldığıı düşü ilgilil olasılılaı hsaplamasıda omal dağılımda aalaıı. 3