T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KISMİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ İÇİN METHOD OF LİNES YÖNTEMİ Fatih DURMUŞ YÜKSEK LİSANS Matematik Anabilim Dalı Aralık - 05 KONYA Her Hakkı Saklıdır

2

3 TEZ BİLDİRİMİ Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm. DECLARATION PAGE I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work. Fatih DURMUŞ Tarih: 4//05

4 ÖZET YÜKSEK LİSANS KISMİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ İÇİN METHOD OF LİNES YÖNTEMİ Fatih DURMUŞ Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Yıldıray KESKİN 05, 3 Sayfa Jüri Doç. Dr. İbrahim YALÇINKAYA Doç. Dr. Yıldıray KESKİN Yrd. Doç. Dr. Yücel ÇENESİZ Son zamanlarda Method of Lines yöntemi çeşitli kısmi diferansiyel denklemleri çözmek için kullanılmaktadır. Bu tez çalışmasında, Adomian'ın ayrıştırma yöntemi (ADM), Homotopy Pertürbasyon Yöntemi (HPM), Homotopy Analiz Yöntemi (HAM) ve Varyasyon iterasyon yöntemi (VIM) gibi nümerik yöntemlerde olyşan karmaşık hesaplamalı üsstesinden gelmek için alternatif yöntem sunulmuştur. Bu yöntemin diğer bilinen yöntemlere göre etkili ve güçlü olduğunu göstermek için üç test problemleri çözülerek karşılaştırmalar yapılmıştır. Anahtar Kelimeler: Method of Lines yöntemi, İndirgenmiş Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi, Kısmı Türevli Diferansiyel Denklem iv

5 ABSTRACT MS THESIS A METHOD OF LINES METHOD FOR SOLVING PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Fatih DURMUŞ THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS Advisor:Assoc.Prof.Yıldıray KESKİN 05, 3 Pages Jury Assoc. Prof. İbrahim YALÇINKAYA Assoc. Prof. Yıldıray KESKİN Asst. Prof. Yücel ÇENESİZ Recently Method of Lines (MOL) has been used to solve various partial differential equations. In this paper, an alternative approach is presented to overcome the demerit of complex calculation of numerical methods such as the Adomian Decomposition Method (ADM), the Homotopy Perturbation Method (HPM), the Homotopy Analysis Method (HAM) and Variational Iteration Method (VIM). Comparing this methodology with some known techniques shows that the present approach is effective and powerful. In addition, three test problems of mathematical physics are discussed to illustrate the effectiveness and the performance of the Method of Lines. Keywords: Method of lines, Reduced differential transform method. iv

6 ÖNSÖZ Bu yüksek lisans tez çalışması Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Doç. Dr. Yıldıray KESKİN yönetiminde hazırlanarak Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsüne sunulmuştur. Yüksek Lisans tezi içerik olarak dört bölümden oluşmuştur. Birinci bölümde temel tanımlar verilmiş olup ikinci bölümde kullanılan yöntemler üzerinde durulmuştur. Üçüncü bölümde problemler ele alınmış olup dördüncü bölümde araştırma sonuçları incelenmiş, sonuç ve önerilere yer verilmiştir. Tez çalışması seçimi ve yürütülmesi sürecinde yardımlarından ve yönlendirmelerinden dolayı tez yöneticisi Doç. Dr. Yıldıray KESKİN e ve öğretim süreci boyunca maddi manevi desteklerini esirgemeyen aileme teşekkürü borç bilirim. Fatih DURMUŞ KONYA-05 v

7 İÇİNDEKİLER ÖZET... iv ABSTRACT... iv ÖNSÖZ... v İÇİNDEKİLER... vi. GİRİŞ.... KULLANILAN YÖNTEMLER Method of Lines (Çizgiler Yöntemi) İndirgenmiş Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi (RDTM) Variational İterasyon Yöntemi Adomian Ayrışım Yöntemi PROBLEMLER Problem Method of Lines ile Çözüm İndirgenmiş Dönüşüm Yöntemi ile Çözüm Problem Method of Lines ile Çözüm İndirgenmiş Dönüşüm Yöntemi ile Çözüm Problem Method of Lines ve Maple ile Çözüm İndirgenmiş Diferansiyel Dönüşüm Yöntemiyle Çözüm Varyasyonel İterasyon Yöntemi ile Çözüm Adomian Ayrışım Yöntemi ile Çözüm SONUÇLAR VE ÖNERİLER... 8 KAYNAKLAR... 9 ÖZGEÇMİŞ... 3 vi

8 . GİRİŞ Mühendislik Bilimleri, Doğa Bilimleri ve ekonomi problemlerinin matematiksel modellemelerinde kısmi türevli diferansiyel denklemler karşımıza çıkmaktadır. (Evans, 998), (Wazwaz, 008) Bu denklemlerin çözümü için birçok yöntem bulunmaktadır. (Wazwaz, 00) Biz tezimizde daha çok Method of Lines metodunu anlatacağız ve bunun dışında üç adet yöntem daha kullanacağız. Method of Lines yöntemi ise yaklaşık çözüm üzerine kurgulanmıştır. İncelediğimiz kısmi diferansiyel denklem bir başlangıç değer problemi ise sonuçta oluşan adi diferansiyel denklemde bir başlangıç değer problemidir. Kısmi diferansiyel denklem eğer bir sınır-değer problemi ise sonuç olarak adi diferansiyel denklem oluşur. İndirgenmiş Diferansiyel denklem yöntemi ilk olarak diferansiyel dönüşüm yönteminin bir adım ötesi olarak Y. Keskin (Keskin,Oturanç 0) tarafından tanıtılmıştır. Bu yöntemin farkı kısmi diferansiyel denklemi yarı cebirsel denkleme dönüştürmesidir. Avantajı ise daha az cebirsel işlem yapılmasıdır. Variational İterasyon yöntemi ise Analitik çözüme hızla yakınsayan başarılı yaklaşımlar veren bir metottur. Metodu Ji Huan He (997) tanıtmıştır. Bu metot ile elde edilen nümerik çözümlerin hata miktarının az olmasının yanında işlemler sırasında kullanılacak bilgisayarda yüksek kapasiteye de ihtiyaç duyulmaması metodun uygulamalarını artırmıştır. He, geliştirdiği metodu otonom diferansiyel denklemlere (000), lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlere (004), integro diferansiyel denklemlere uyguladı (Wang ve He 007). He nin metodunu, Abdou ve Soliman (005), Burger ve coupled Burger, Schrodinger- KdV, genelleştirilmiş KdV ve sığ su denklemlerinin çözümlerini araştırmada kullandılar. Momani ve Abuasad, lineer Helmholtz kısmi diferansiyel denklemin çözümü için bu metodu uyguladılar. Ganji ve arkadaşları (006) lineer olmayan Joulent-Miodek, coupled KdV ve coupled MKdV denklemlerinin çözümlerini varyasyonel iterasyon metodu ile araştırdılar. Adomian yönetmi ise G.Adomian ın 980 yılında tanıttığı kendi ismi ile anılan bir yöntemdir. Yöntem picard yönteminden türetilmiştir. Bu yöntemde ardışık integraller alarak yaklaşık çözüm elde edilir. Biz tezimizde öncelikle bu yöntemleri tanıtıp ardından bu yöntemleri uygulamalı olarak inceleyerek karşılaştırmalarını yapacağız.

9 LİTERATÜR TARAMASI: KESKİN Y., OTURANÇ G., Reduced Differential Transform Method for Partial Differential Equations, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 0(6), (009). Bu çalışmada indirgenmiş diferansiyel dönüşüm yöntemi ilk defa tanıtılmıştır. KESKİN Y., OTURANÇ G., Reduced differential transform method for generalized KdV Equations, Mathematical and Computational Applications, 5 (3), , (00). Bu çalışmada indirgenmiş diferansiyel dönüşüm yöntemi genelleştirilmiş KdV denklemlerine başarılı bir şekilde uyarlanmıştır KESKİN Y., OTURANÇ G., The Reduced Differential Transform Method: a New Approach to Fractional Partial Differential Equations, Nonlinear Science Letters A, (), 07-8, 00. Bu çalışma kısmi türevli diferansiyel denklemlere indirgenmiş diferansiyel dönüşüm yöntemini uygulanmıştır. KESKİN Y., KURNAZ A., KİRİŞ M.E., OTURANÇ G., Approximate solution of Generalized Pantograph Equations by the differential transform method, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 8() 007, Bu çalışmada, genelleştirilmiş pantograf denklemlerin çözümü için diferansiyel dönüşüm yöntemi uygulanmış, konuyla ilgili örnekler ortaya konulmuştur. KESKİN Y., OTURANÇ G., The Differential Transform Methods For Nonlinear Functions And Its Applications, Selçuk Journal of Applied Mathematics, 9(), 69-76, 008. Bu çalışmada lineer olmayan fonksiyonlar için diferansiyel dönüşüm tanımı verilmiş ve Emden Fowler diferansiyel denklemi çözülmüştür. WAZWAZ A.M., Handbook of Differential Equations: Evolutionary Equations, 4, , 008. Bu çalışmada Adomian Ayrışım yöntemi kullanılarak KdV denkleminin soliton çözümleri araştırılmıştır. WAZWAZ A.M., Partial Differential Equations and Solitary Waves Theory, Springer, 009. Bu çalışmada kısmi türevli diferansiyel denklemler incelenip bu denklemlerin çözümleri varyasyonel iterasyon yöntemi ve adomian ayrışım yöntemiyle çözülmüştür.

10 3. KULLANILAN YÖNTEMLER Kısmi türevli diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri hesaplanırken kullanacağımız belli başlı yöntemler aşağıda belirtilen şekildedir... Method of Lines (Çizgiler Yöntemi) Çizgiler yöntemi bağımsız değişken veya zamana bağlı kısmi diferansiyel denklemin yerine uygun sonlu farkın yazılması sonucu oluşan nümerik çözüm tekniğidir. İlk olarak parabolik denklemlere uygulanmıştır. Çizgiler yöntemi genellikle sonlu fark veya sonlu eleman teknikleri ile kısmi diferansiyel denklemleri adi diferansiyel denklem sistemlerine indirgeyen bir çalışmadır. İncelenen kısmı diferansiyel denklem bir başlangıç-değer problemi ise sonuçta oluşan adi diferansiyel denklem de bir başlangıç değer problemidir. Kısmi diferansiyel denklem bir sınır değer problemi ise sonuç olarak adi diferansiyel denklem sistemi oluşur. Method of Lines yöntemi ile bağımsız değişkene göre veya zamana bağlı değşkene göre dağılma yapılabilir. Yani değişkenin boyutu sayılabilir sonlu parçaya ayrılarak işlem yapılır. (Çağlar, 0, Schiesser, 99) Yöntemi bir kısmi türevli diferansiyel denklem üzerinde incelersek; V xx V 0 (..) yy Çözümün bulunduğu alan x ekseni boyunca sayılabilir sonlu parçaya ayrılarak başlanır. Bu ayrışma sonucunda x e göre türev yerine fark denklemi yazılır. Denklem üç noktalı merkezcil fark denklemi olarak yazılırsa Vi Vi Vi a [ Vi] xx, hx (..) h N (..) denklemini (..) de yerine yazılırsa [ Vi] yy [ V i( y) Vi( y) Vi ( y)] 0 (..3) h denklemi elde edilir. Böylece (..) denklemini de i,,..., N açılımı yapılırsa

11 4 i, [ V] yy [ V ( y) V( y) V0( y)] 0 h i, [ V] yy [ V 3( y) V( y) V( y)] 0 h i 3, [ V3] yy [ V 4( y) V3( y) V( y)] 0 h i N, [ VN] yy [ V N( y) VN( y) VN ( y)] 0 h (..4) denklemi matris formunda yazılırsa d dy V V V 0 V V 3 V 3 0 h V N 0 V N V N VN (..5) denklemi daha sade şekilde yazılırsa (..4) (..5) d dy V PV (..6) 0 denklemi yazılabilir. Burada ve P t,, V V V V N 0 h 0 dir. Sonraki adımımız ise y koordinatı boyunca analitik çözümü bulmak olacaktır. (..6) denklemi ikinci dereceden adi homojen diferansiyel denkleme dönüşmüştür. (..6) denkleminin çözüm kümesi ise şeklindedir. iy P iy P V Ae Be

12 5.. İndirgenmiş Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi (RDTM) İndirgenmiş diferansiyel dönüşüm yönteminin (Keskin, 00) tanımını vermeden önce bu yönteme temel teşkil eden bir boyutlu diferansiyel dönüşüm yöntemini (Zhou, 986) ve iki boyutlu diferansiyel dönüşüm yöntemini (Chen, 999) açıklayacağız. Daha sonra bu yöntemler ışığında indirgenmiş diferansiyel dönüşüm yönteminin tanımını vereceğiz. (Keskin ve Oturanç, 009)... Bir Boyutlu Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi Tek değişkenli w(x) fonksiyonunun diferansiyel dönüşüm fonksiyonu W(k) olmak üzere, w(x) nin tek boyutlu diferansiyel dönüşümü k d W( k) k w( x) k! dx x 0 (..) olarak tanımlanır. W(k) dönüşüm fonksiyonunun tersi; diferansiyel ters dönüşüm fonksiyonu, wx ( ) Wkx ( ) k (..) k 0 biçimde tanımlanır. (..) ve (..) eşitlikleri dikkate alınarak aşağıdaki eşitlik elde edilir. k d wx ( ) wx ( ) x k! dx k k 0 x0 k... İki Boyutlu Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi Benzer şekilde, İki değişkenli w(x,y) fonksiyonunun diferansiyel dönüşüm fonksiyonu W(k,h) olmak üzere, w(x,y) nin iki boyutlu diferansiyel dönüşümü kh W( k, h) w( x, y) k h kh!! x y x0, y0 (..3) olarak tanımlanır. W(k,h) dönüşüm fonksiyonunun tersi; diferansiyel ters dönüşüm fonksiyonu, wxy (, ) Wkhxy (, ) k h (..4) k0 h0 biçimde tanımlanır. (..3) ve (..4) eşitlikleri dikkate alınarak aşağıdaki eşitlik elde edebiliriz.

13 6 kh k wxy (, ) wxy (, ) xy kh!! x y k h k0 h0 x0, y0 h..3. İndirgenmiş Diferansiyel Dönüşüm Yöntemi Kabul edelim ki iki boyutlu kısmi türevli diferansiyel denklemin çözümü uxt (, ) Ukhxt (, ) k h k0 h0 şeklinde olsun. O zaman fonksiyonun diferansiyel dönüşüm karşılığı olarak tanımlanmıştı. kh Ukh (, ) uxt (, ) k h kh!! xt x0, t0 olduğundan fonksiyonu açık halde yazarsak k h uxt, Ukh, x t k0 h0 U, U x, U x,..., U t, U tx, U tx,..., U t, U t x,... 0,0 0, 0,,0,,,0, elde edilir. Buradaki terimleri t nin kuvvetlerine göre düzenleme yapılırsa yani ilk grup 0 k t Uk,0x k 0, ikinci grup k t Uk,x, üçüncü grup k t Uk,x v.b. Böylece k 0 u, ( ) h xt Uh x t h0 fonksiyonu elde edilir. Buradan hareketle aşağıdaki tanımları verilmiştir[keskin, 00]. k 0 Tanım.. İki bileşenli u(x,t) fonksiyonunun diferansiyel dönüşüm fonksiyonu U(k,h) olmak üzere, u(x,t) nin t boyunca hesaplanacak çözümü şeklindedir. uxt (, ) U( xt ) h (..5) h0 h

14 7 Tanım... İki bileşenli u(x,t) fonksiyonunun diferansiyel dönüşüm fonksiyonu U(k,h) olmak üzere, u(x,t) nin t boyunca hesaplanacak çözümün indirgenmiş diferansiyel dönüşümü şeklindedir. h Uh( x) u( x, t) h h! t t0 (..6) Tanım..3 U ( ) h x nin t boyunca indirgenmiş diferansiyel dönüşüm fonksiyonunun tersi; uxt (, ) U( xt ) h (..7) h0 h şeklinde tanımlanır. (..6) ve (..7) eşitlikleri dikkate alınarak aşağıdaki eşitlik elde edebiliriz. h uxt (, ) uxt (, ) t h! t h h h0 t0 Tanım..4 İki bileşenli u(x,t) fonksiyonunun diferansiyel dönüşüm fonksiyonu U(k,h) olmak üzere, u(x,t) nin boyunca hesaplanacak çözümü x şeklindedir. uxt (, ) U( ) k k tx k 0 Tanım..5 İki bileşenli u(x,t) fonksiyonunun diferansiyel dönüşüm fonksiyonu U(k,h) olmak üzere, u(x,t) nin x boyunca hesaplanacak çözümün indirgenmiş diferansiyel dönüşümü, şeklindedir. h Uk () t u( x,) t k k! x x0

15 8.3. Variational İterasyon Yöntemi Bu metot ile elde edilen nümerik çözümlerin hata miktarının az olmasının yanında işlemler sırasında kullanılacak bilgisayarda yüksek kapasiteye de ihtiyaç duyulmaması metodun uygulamalarını artırmıştır. (Abdou ve Soliman, 005) Varyasyonel iterasyon metodunun uygulanmasında, L lineer operatör, N lineer olmayan operatör ve gx ( ) ise homojenliği bozan terim olmak üzere, çözümü aranan diferansiyel denklem, Lu Nu g( x) formunda ele alınır. Varyasyonel iterasyon metoduna göre denklemin, x un ( x) un( x) { Lu ( ) ( ) ( )} 0 n s Nu n s g s ds formundaki varyasyon fonksiyonu kurulur. Burada, Lagrange çarpanı (Inokuti 978) olup varyasyon teorisinden hareketle Maple, Mathematica gibi paket programları yardımıyla hesaplanır. u n sınırlanmış varyasyon (He 999) olup u n 0 dır. Bulunan sayı değerine göre varyasyon fonksiyonu yeniden düzenlenerek aranan çözüm fonksiyonu için rekürans bağıntısı oluşturulmuş olur. Başlangıç koşulu olarak verilen fonksiyon u 0 olarak seçilmek suretiyle n 0 için u n terimleri için yaklaşımlar elde edilmiş olur. Son olarak çözüm fonksiyonu, eşitliğinden elde edilir. u lim u n n.4. Adomian Ayrışım Yöntemi G.Adomian ın yaptığı gibi önce metodu yapısal olarak tanıtalım. Bunun içinde Fu t g t denklemini göz önüne alalım. Burada ut bilinmeyen fonksiyon ve g t sürekli bir fonksiyon olup F ise lineer ve lineer olmayan terimleri içeren lineer olmayan bir diferansiyel operatörü göstersin. [Ganji, 007] Lineer terim L+R şeklinde ayrıştırılır, R lineer operatörün geri kalan kısmıdır. L yüksek mertebeden ve tersi alınabilen bir diferansiyel operatör olsun. O zaman yukarıdaki denklemi Lu Ru Nu g şeklinde verebiliriz. Burada N lineer olmayan operatör ve L de tersi alınabilen bir operatör olduğundan, denklemin her iki tarafına L L Lu L gl Ru L Nu ters operatörü uygulanırsa

16 9 bulunur. Ayrışım metodu, u t nin çözümünü şeklinde seri formunda hesaplar ve lineer olmayan Nu terimlerini de biçiminde ayrıştırır. Burada A n ler u0 u n0 n0 Nu A olarak adlandırılan polinomlarıdır. u ve Nu lar, sırası ile, u u n n,,, un lere bağlı olan ve Adomian polinomları i ui, i0 i i Nu N ui Ai i0 i0 olarak elde edilir. Burada uygunluk için alınan bir parametredir. A n ler ifadesiyle bulunur. Buradan n d na! n N u n d n n n0 0 elde ederiz. Burada un L gl R un L An n0 n0 n0 0 u dır. u u n0 n 0 serisinin terimleri indirgeme formülü ile L g u L Ru L A 0 0 n n n, u L Ru L A, n0. şeklinde yazılır. Böylece ifadenin doğru çözümü seri formunda belirtilmiş olur. Fakat uygulamada u n0 n serisinden başlayarak yaklaşık çözümü; serisinin bütün terimlerini hesaplamak zordur. Bu nedenle kesme, veya n n u i0 n

17 0 u 0 u şeklinde buluruz. (Adomian, 988) n 0, u u u u,, u u u u, n0 n

18 3. PROBLEMLER Bu bölümde bazı özel kısmi türevli diferansiyel denklemlerin. Bölümde verilen yöntemlerle elde edilen çözümler ve bu çözümlerin sayısal değerleri tablo halinde verilmiştir. 3.. Problem Kimya ve mühendislikte sıvının yatay olarak hareketinin modellemesi olan lineer advection denklemi literatürde u u c (3.) t x ve bu denkleme ait başlangıç şartı da u x,0 f x analitik çözümü şeklinde tanıtılır ve bu denklemin u x, t f( x ct) şeklindedir. (c= sabittir) (Pregla, 989) 3... Method of Lines ile Çözüm (3.) Denklemin başlangıç şartı ux (,0) f( x) e x a x b Şeklinde ve sınır şartlarını da uat (, ) 0, ubt (,) 0 t 0 olarak alalım. (3.) denkleminin bağımsız değişkenini sayılabilir sonlu parçaya ayıralım. xi ih ( i,,..., N), a x i b ve ( b a) h N (3.) denkleminde u x ifadesinin yerine x i nin sonlu fark yaklaşımını yazarsak du f ( u i ) dt i,,..., N Şeklinde t ye bağlı bir adi diferansiyel denklem sistemi oluşur. Burada beş noktalı fark denklemleri yazarsak

19 5u48u 36u3 6u4 3 u5, i= , i= u u u u u u f( u ) u 8u 8 u u, i=3,4,...,n- t i h i i i i un4 6un3 8un 0un 3 un, i=n- 3un4 6un3 36un 48un 5 un, i=n şeklinde f ( u i ) ler elde ederiz. Çözüm matlab programı ile de aşağıdaki şekilde elde edilir. [Schiesser W.E., Griffiths G.W.,0] t x c N u(x,t)(analitik) u(x,t)(nümerik) Hata Çizelge 3.. MOL ile çözülen (3.) denklemin nümerik değerleri 3... İndirgenmiş Dönüşüm Yöntemi ile Çözüm Lineer advection denkleminin( (3.) denkleminin) başlangıç şartı ux (,0) f( x) e x a x b (3..) şeklinde olsun. Bu denklemi indirgenmiş diferansiyel dönüşüm yöntemi ile çözelim. (3.) denkleminin diferansiyel dönüşüm karşılığı ( k) Uk ( x) c Uk( x) (3..) x burada U ( x), u( x, t ) nin t boyunca hesaplanacak çözümün indirgenmiş diferansiyel k dönüşüm fonksiyonudur. Başlangıç değerinin dönüşüm karşılığı ise ( ) x U0 x e (3..3) olur. Şimdi (3..3) denklemini (3..) de yerine yazılarak değerlerinin hesaplayacak olursak

20 3 ( ) x U0 x e ( ) x U x cxe x U ( x) c e (x ) 3 x 3 U3( x) c e (x 3 x) (3..4) 3 4 x 4 U4( x) c e (4x x 3) 6 5 x 5 3 U5( x) c e (4x 0x 5 x) 5.. Elde edilen bu değerler (..7) denkleminde yerine yazarsak k 0 U x t U x U x t U x t k k ( ) 0( ) ( ) ( )... dır. Hemen belirtelim ki terim sayısını arttırırsak daha fazla iş yükü ortaya çıkar ve bilgisayar için daha fazla bellek kullanılmasına neden olur. 6 terim kullanarak elde edilen yaklaşık çözüm 30 60cxt 30c t 60c t x 6 x uxt (, ) U6( xt, ) Uk ( x) e 60ctx40ctx 60ctx k ctx 5ct 40ctx8ctx 30ctx şeklindedir. Bulduğumuz ifadenin ne kadar kesin çözüme yakın olduğu ile ilgili tablo verilmiştir. (N =terim sayısı) [Bozdemir, 03] t x c N u(x,t)(analitik) u(x,t)(rdtm) Hata Çizelge 3.. RDTM ile çözülen (3.) denklemin nümerik değerleri

21 4 Şimdi iki tabloyu alt alta koyarak karşılaştırma yapalım; t x c N u(x,t)(analitik) u(x,t)(rdtm) Hata Çizelge 3.. RDTM ile çözülen (3.) denklemin nümerik değerleri t x c N u(x,t)(analitik) u(x,t)(nümerik) Hata Çizelge 3.. MOL ile çözülen (3.) denklemin nümerik değerleri 3.. Problem Literatürde KdV denklemi olarak bilinen u 6uu u 0, x R, (3..) t x xxx ve başlangıç değeri k k ux (,0) sech x (3..) şeklinde olan kısmi türevli diferansiyel denklemin çözümünü bulunuz. (Keskin 009) 3... Method of Lines ile Çözüm KdV denkleminin başlangıç şartı Sınır değerleri ise k k, a x bolsun. ux (,0) sech x uat (, ) 0, ubt (,) 0, t 0 olsun. Kdv denkleminde istenilen sonuç a x b ile 0 t T bögesinin içindedir. Bu bölgeyi x boyunca sayılabilir sonlu parçaya ayırırsak,

22 5 xi ih( i,,..., N), a xi b ve ( b a) h N u Denklemde ve x 3 u yerine sonlu fark yaklaşımı yapıldığında 3 x du f ( u i ) dt, i,,..., N Şeklinde t ye bağlı bir adi diferansiyel denklem sistemi oluşur. Buradan ileri fark denklemlerini yazalım, 5ui 8ui 4ui 4ui3 3ui4 3ui 4ui ui 6, 3 ui i h h ui3 8ui 3ui 3ui8ui ui3 ui ui f( ui ) 6u 3,4,..., 3 3 i i N 8h h 3ui4 4ui34ui 8ui 5ui ui 4ui 3ui 6u, 3 i i N N h h Şeklinde sonuç elde edilir. Matlab ile aşağıdaki şekilde sonuç elde edilir. [Griffiths ve Schiesser 00] t x c N u(x,t)(analitik) u(x,t)(nümerik) Hata Çizelge denkleminin MOL ile çözümü 3... İndirgenmiş Dönüşüm Yöntemi ile Çözüm k k Diferansiyel denklemin analitik çözümü uxt (, ) sech xkt dir. Şimdi indirgenmiş diferansiyel dönüşüm yöntemi ile denklemi çözelim. (3..) denklemine indirgenmiş dönüşüm yöntemi uygulanırsa h 3 ( h) Uh ( x) 6 Uhs( x) Us( x) Uh( x) 3 s0 x (3..3) x elde edilir. Burada U x, uxt (, ) nin t boyunca hesaplanacak çözümün indirgenmiş h diferansiyel dönüşümüdür.(3..) başlangıç değerinden

23 6 ( ) k k U0 x sech x (3..4) (3..4) denklemini (3..3) denkleminde yerine yazılması sonucunda istenilen mertebe kadar Uh x değerleri ardışık olarak hesaplanabilir. İterasyon uygulanırsa kx 5 sinh k U( x), 3 kx cosh 8 kx k 3cosh U( x) 4 8 kx cosh kx kx k sinh cosh 3 U3( x), 5 kx cosh 4 4 kx kx k cosh 5 5cosh U4( x) 6 96 kx cosh O zaman U ( ) 4 h x değerlerinin ters indirgenmiş diferansiyel dönüşümü h 0 alınarak verilen denklemin dördüncü mertebeden yaklaşık çözümü

24 7 4 kx kx 4 k 5k 5k cosh k cosh t 4 h 4(, ) h( ) 6 h0 u x t U x t kx 96cosh 3 9 kx kx 9 kx kx k 8k sinh cosh 4k sinh cosh 3 t 6 96 kx cosh 4 6 kx 6 kx k 36k cosh 4k cosh t 6 96 kx cosh 5 kx k sinh k t 3 kx kx cosh cosh böylece problemin aranılan analitik çözümü uxy (, ) lim u ( xy, ) şeklinde verilir. (Keskin ve Oturanç 00) k k Bu çözüm uxt (, ) sec h xkt. analitik çözüme yakınsak olduğu ayrıca literatürde verilen varyasyonel iterasyon yöntemi ile kıyaslandığında aynı olduğu şekilden görülebilir. n n Şekil 3.. İndirgenmiş dönüşüm yöntemiyle elde edilen u 4 ( x, y) yaklaşık çözümü ( k ): (a) k k uxt (, ) sech xkt yöntemi soliton dalga çözümünün kıyaslaması analitik çözüm ile kıyaslanması, (b) varyasyonel iterasyon

25 Problem 3 Isı iletim denklemini ele alalım; Başlangıç şart ve sınır şartı u u, t x ux (,0) u(0,) t 0, u(,) t 0 şeklinde verilsin Method of Lines ve Maple ile Çözüm Bu denklemin çözümü için Maple programı yardımıyla ve Method of lines yöntemiyle aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz. (Wouwer ve Saucez ve Schiesser ve Thompson, 005) (Schiesser ve Griffiths, 009) Maple programı ile çözdüğümüz takdirde grafik üzerinde inceleme fırsatı bulmamızda çözüm konusunda bize daha fazla yardımcı olacaktır. (Schiesser, 99) >restart; >with(linalg):with(plots): >ge:=diff(u(x,t),t)=diff(u(x,t),x$); ge := t u ( x, t) u ( x, t) x =>Başlangıç şartı olarak x=0: >bc:=u(x,t); bc := u ( x, t ) =>Sınır şartımız da x=l: >bc:=u(x,t); bc := u ( x, t) =>Başlangıç şartını girersek >IC:=u(x,0)=; IC := u ( x, 0) =>Düğüm noktalarının sayısını gireriz >N:=4; N := 4 =>Alanın büyüklüğünü gireriz

26 9 >L:=4; L := 4 =>X=L için ilk türev işlemi; >dydxf:=/*(-u[](t)-3*u[0](t)+4*u[](t))/h; u 3 u 0 ( t ) 4 u ( t ) dydxf := h =>İkinci türev işlemi; >dydxb:=/*(u[n-](t)+3*u[n+](t)-4*u[n](t))/h; dydxb := u 3 ( t )3 u 5 ( t ) 4 u 4 ( t ) h =>Sınır şartı sonlu diferansiyele dönüştürürsek; >dydx:=//h*(u[m+](t)-u[m-](t)); dydx := u m ( t )u m ( t ) h > dydx:=/h^*(u[m-](t)-*u[m](t)+u[m+](t)); dydx := u m u ( t ) u ( ) m m t h >bc:=subs(diff(u(x,t),x)=dydxf,u(x,t)=u[0](t),x=0,bc); bc := u 0 >bc:=subs(diff(u(x,t),x)=dydxb,u(x,t)=u[n+](t),x=,bc); bc := u 5 =>Sınır şartlarımızı eq[0] ve eq[n+] olarak kaydedelim; >eq[0]:=bc; eq 0 := u 0 >eq[n+]:=bc; eq 5 := u 5 =>Ana denklemi sonlu diferansiyel forma çevirecek formülümüz; > for i from to N do eq[i]:=diff(u[i](t),t)= subs(diff(u(x,t),x$) =subs(m=i,dydx),diff(u(x,t),x) = subs(m=i,dydx),u(x,t)=u[i](t),x=i*h,rhs(ge)); od; eq := eq := d dt d dt u 0 u ( t ) u u h u u ( t ) u 3 u h

27 0 eq 3 := eq 4 := d dt d dt u u 3 ( t ) u 4 u 3 h u 3 u 4 ( t ) u 5 u 4 =>Sınır şartları u[0](t) ve u[n+0](t) nu eleyelim; > u[0](t):=(solve(eq[0],u[0](t))); u 0 := 0 h > u[n+](t):=solve(eq[n+],u[n+](t)); u 5 := 0 =>Şimdi ele aldığımız denklem daha basit hale gelmiş oldu; > for i from to N do eq[i]:=eval(eq[i]);od; eq := eq := eq 3 := eq 4 := d dt d dt d dt d dt u ( t ) u u h u u ( t ) u 3 u h u u 3 ( t ) u 4 u 3 h u 3 u 4 u 4 h =>Maple da ki genmatrix komutu ile (A) katsayılar matrisini üretiriz. > eqs:=[seq(rhs(eq[j]),j=..n)]; eqs := u ( t ) u ( t ) u ( t ) u ( t ) u 3 ( t ) u u 3 ( t ) u 4 ( t ),,, h h h > Y:=[seq(u[i](t),i=..N)]; Y := [ u ( t ), u ( t ), u 3 ( t ), u 4 ] > A:=genmatrix(eqs,Y); u 3 ( t ) u 4 ( t ) h

28 0 0 h h 0 A := h h h 0 h h h 0 0 h h =>Düğüm noktaları arasındaki mesafeyi h olarak girelim; > h:=eval(/(n+)); h := 5 =>A matrisi aşağıdaki hale gelir; > A:=map(eval,A); A := > if N > 4 then A:=map(evalf,A);end: > evalm(a); =>Çözüm için üstel matris kullanırız; > mat:=exponential(a,t): > mat:=map(evalf,mat): =>Başlangıç şartı olarak YO vektörü; > Y0:=matrix(N,):for i from to N do Y0[i,]:=evalf(subs(x=i*h,rhs(IC))); od:evalm(y0);.... > Y:=evalm(mat&*Y0): > Y:=map(simplify,Y);

29 e ( t ) e ( t ) Y := e ( t ) e ( t ) e ( t ) e ( t ) e ( t ) e ( t ) =>Bir sonraki adımda bağımlı değişkenleri kaydedelim ; > for i from to N do u[i](t):=evalf((y[i,]));od: > for i from 0 to N+ do u[i](t):=eval(u[i](t));od; u 0 := 0 u := e ( t ) e ( t ) u := e ( t ) e ( t ) u 3 := e ( t ) e ( t ) u 4 := u 5 := e ( t ) e ( t ) Analitik çözümü her farklı değişken nokta için farklı sonuçlar bulduk. Bunları şekil üzerinde incelersek sonuçları görmemiz daha kolay olur. Her bir çözüm içinde farklı renk kullanırız. > pp:=plot([seq(u[i](t),i=0..n+)],t=0..0.4); > pt:=textplot([[0.05,0.05,typeset(u[0],"(t), ",u[5],"(t)")],[0.,0., typeset(u[],"(t), ",u[4],"(t",u, u[4],"(t)")],[0.5,0.4, typeset(u[],"(t), ",u[3],"(t)")]]); > display({pp,pt},axes=boxed,thickness=4,title="figure 5.",labels=[t,"u"]);

30 3 Şekil 3.. =>Çözümü 3 boyutlu olarakta inceleyebiliriz; > tf:=0.; tf := 0. =>Adım sayısını girelim(0 da dahil); > M:=30; M := 30 =>T için ara ne olmalı onu girelim; > T:=[seq(tf*i/M,i=0..M)]; T := [ 0., , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ] > PP:=matrix(N+,M+);

31 4 PP := array (.. 6,.. 3, [ ]) =>İlk sütun başlangıç şartımız ile doldurulur: > for i from to N+ do PP[i,]:=evalf(subs(x=(i-)*h,rhs(IC)));od: =>Kalan sütünlar ise elde ettiğimiz çözümler ile dolar; > for i from to N+ do for j from to M+ do PP[i,j]:= evalf(subs(t=t[j],u[i-](t)));od;od: => surfdata komutu ile 3 boyutlu çözümü elde edebiliriz > plotdata := [seq([ seq([(i-)*h,t[j],pp[i,j]], i=..n+)], j=..m+)]: >surfdata( plotdata, axes=boxed, title="3-boyut", labels=[x,t,u],orientation=[45,60]); (Griffiths ve Schiesser 00) Şekil İndirgenmiş Diferansiyel Dönüşüm Yöntemiyle Çözüm Isı iletim denkleminin başlangıç şartı ux (,0) şeklindedir. Bu denklemi indirgenmiş diferansiyel dönüşüm yöntemi ile çözelim. (3.) denkleminin diferansiyel dönüşüm karşılığı ( k) Uk ( x) U ( ) k x x

32 5 burada U ( x), u( x, t ) nin t boyunca hesaplanacak çözümün indirgenmiş diferansiyel k dönüşüm fonksiyonudur. Başlangıç değerinin dönüşüm karşılığı ise U ( x) 0 olur. Şimdi bulduğumuz değerleri yerine yazılarak değerlerinin hesaplayacak olursak ( ) x U0 x e ( ) x U x cxe x U ( x) c e (x ) 3 x 3 U3( x) c e (x 3 x) 3 4 x 4 U4( x) c e (4x x 3) 6 5 x 5 3 U5( x) c e (4x 0x 5 x) 5 elde edilen bu değerler denklemde yerine yazarsak k 0 U x t U x U x t U x t k k ( ) 0( ) ( ) ( )... şeklindedir. Hemen belirtelim ki terim sayısını arttırırsak daha fazla iş yükü ortaya çıkar ve bilgisayar için daha fazla bellek kullanılmasına neden olur. 6 terim kullanarak elde edilen yaklaşık çözüm 30 60cxt 30c t 60c t x 6 x uxt (, ) U6( xt, ) Uk ( x) e 60ctx40ctx 60ctx k ctx 5ct 40ctx8ctx 30ctx bulunur. Bulduğumuz ifadenin ne kadar kesin çözüme yakın olduğunu ve avantajını incelemek aşağıdaki tablolar verilmiştir. (N =terim sayısı) [Griffiths ve Schiesser 00]

33 6 t x c N u(x,t)(analitik) u(x,t)(rdtm) Hata Çizelge 3.4. RDTM ile çözülen (3.) denklemin nümerik değerleri Varyasyonel İterasyon Yöntemi ile Çözüm Denklemimizi varyasyon formunda yazalım.,, t un x un x un x, tunx, t d. x 0 yazarsak iterasyon denklemi;,, t un x un x un x, tunx, t d, n 0 x 0 olur. u0 x, t den başlayarak t t t 3 3t t t 6 3 4t3t t t t5t t t t t t t t t t t t t t t t t

34 7 Maple Kodu yazarsak > restart: > Mertebe:=0: > U[0]:=: > for k from 0 to Mertebe do U[k+]:=U[k]-int(subs(t=a,U[k])-subs(t=a,diff(U[k],xx)),a=0..t) > od: > print(u[mertebe]): Şeklinde hesaplanarak 3 5 t t un x, tt... 3! 5! Bu şeklinde bulunur Adomian Ayrışım Yöntemi ile Çözüm Başlangıç değer problemimizin homojen olduğundan eşitliğin her iki tarafına operatörünü uygular ve başlangıç değerlerini kullanırsak;, t xx, u x t t L L u x t denklemini elde ederiz. Buradan Adomian serilerini u x, t için kullanırsak; L t u x, t tl L u x, t n t xx n n0 n0 olur. Sistemi açık şekilde yazarsak: 0, u x t t, t xx u x t L L u t 0 u 5 x, t Lt Lx u t sinx 5! u(x,t) nin seri formundaki çözümü uxt, u0xt, uxt, uxt,... xt t sin xt t t... 3! 5! olur. Çözümün kapalı formdaki ifadesi ise 3 u x, t xt t sinxsint şeklinde olur.

35 8 4. SONUÇLAR VE ÖNERİLER Çizgiler yönteminde (MOL) seçilen grid noktalarının iyi sonuç elde edilebilmesi icin,yüzün üzerinde farklı nokta alınması gereklidir. Grid aralıkları ne kadar çok olursa hata payı o kadar fazla olur. Grid noktalarını arttırmak ise hem bilgisayara bağımlı kılar, hem de bilgisayarda yapılan işlemlerin uzamasına neden olur. İndirgenmiş diferansiyel dönüşüm yöntemi ise daha az iterasyon ile daha yaklaşık çözümler vererek iyi sonuçlar alınmıştır. Fakat lineer olmayan ifadelerin derecelerinin fazla olması durumunda bilgisayar kullanmaksızın yöntemin uygulanması karmaşık işlemler meydana getirmektedir.

36 9 KAYNAKLAR Abdou, M. A., & Soliman, A. A., 005, New applications of variational iteration method. Physica D: Nonlinear Phenomena, (), -8. Adomian, G., 988, A review of the decomposition method in applied mathematics. Journal of mathematical analysis and applications, 35(), Bozdemir, T., 03, Kısmi Türevli Diferansiyel Denklemlerin Nümerik Çözümleri Üzerine Yeni Yöntemler, Yüksek Lisans Tezi, Aksaray Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Çağlar, İ., 0, Bazı Özel Kısmi Türevli Diferansiyel Denklemlerin Gezen Dalga Çözümleri, Yüksek Lisans Tezi, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Evans, L. C., 998, Partial Differential Equations, American Mathematical Society Ganji, D.D., & Nourollahi, M., & Rostamian, M., 007, A Comparison of Variational Iteratiın Method with Adomian s Decomposition Method in Some Highly Nonlinear Equations, International Journal of Science&Technology, Griffiths, G., & Schiesser, W. E., 00, Traveling wave analysis of partial differential equations: numerical and analytical methods with MATLAB and Maple. Acedemic Press He, J. H., 999, Variational iteration method a kind of non-linear analytical technique: some examples. International journal of non-linear mechanics, 34(4), Keskin, Y., Oturanç, G., 009, Reduced Differential Transform Method for Partial Differential Equations, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 0(6) Keskin Y., Oturanç G., 00, Diferansiyel Dönüşüm Yöntemiyle Diferansiyel Denklemlerin Çözülmesi Keskin, Y., Oturanç, G., 00, Reduced differential transform method for generalized KdV Equations, Mathematical and Computational Applications, 5 (3),

37 30 Keskin, Y., Oturanç, G., 00, The Reduced Differential Transform Method: a New Approach to Fractional Partial Differential Equations, Nonlinear Science Letters A, (), 07-8 Keskin, Y., Kurnaz, A., Kiriş, M.E., Oturanç, G., 007, Approximate solutions of generalized pantograph equations by differential transform method, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 8() Keskin, Y., Kurnaz, A., Kiriş, M.E., Oturanç, G., 007, Approximate solution of Generalized Pantograph Equations by the differential transform method, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 8(), Schiesser, W. E., 99, The numerical method of lines. Academic Press. Schiesser, W. E., & Griffiths, G. W., 009, A compendium of partial differential equation models: method of lines analysis with Matlab. Cambridge University Press. Pregla, R., 989, The method of lines. Analysis of Electromagnetic Fields and Waves: The Method of Lines, -3. Wazwaz, A. M., 00, Partial differential equations. CRC Press. Wazwaz A.M., 008, Handbook of Differential Equations: Evolutionary Equations, 4, Wouwer, A. V., & Saucez, P., & Schiesser, W. E., & Thompson, S., 005, A MATLAB implementation of upwind finite differences and adaptive grids in the method of lines. Journal of computational and applied mathematics, 83(),

38 3 ÖZGEÇMİŞ KİŞİSEL BİLGİLER Adı Soyadı : Fatih DURMUŞ Uyruğu : Türk Doğum Yeri ve Tarihi : Sivas 09/08/988 Telefon : Faks : fdurmus5@hotmail.com EĞİTİM Derece Adı, İlçe, İl Bitirme Yılı Lise : Gebze Anadolu Lisesi 006 Üniversite : Selçuk Üniversitesi 0 Yüksek Lisans : Doktora : İŞ DENEYİMLERİ Yıl Kurum Görevi 03 Maliye Bakanlığı VHKİ UZMANLIK ALANI -İyi Derece Bilgisayar Kullanımı YABANCI DİLLER -İngilizce -Arapça BELİRTMEK İSTEĞİNİZ DİĞER ÖZELLİKLER -Anadolu Üniversitesi İktisat Fakültesi Kamu Yönetimi Yüksek Onur Derecesi ile Mezuniyet -Istanbul Üniversitesi Hasan Ali Yücel Eğitim Fakültesinden Formasyon Sertifikası