Ders 07. Çok katlı İntegraller. 7.1 Alıştırmalar 07. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. 1. Soru 1

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Ders 07. Çok katlı İntegraller. 7.1 Alıştırmalar 07. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. 1. Soru 1"

Nergis Köprülü
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Bölüm 7 ers 7 Çok katlı İntegraller 7. Alıştırmalar 7 Prof.r.Haydar Eş Prof.r.Timur Karaçay. Soru a) 6x yd y 6x yd y 6x y +C (x) 3x y +C (x) 6x yd y 3x y 3x ( ) 3x 93

2 94 BÖLÜM 7. ERS 7 b) 6x ydx 6y x dx 6x3 3 y yx3 +C (y) 3 6x ydx yx 3 y(7 + ) 56y c) y x + y d y du +C (x) u u x + y +C (x) y x + y d y ( x + y x + 4 x ç) u x + y,du dx konumuyla y du dx y x + y u y. u +C (y) y x + y +C (y) 4 y 4 dx y x + y x + y y( 4 + y + y )

3 7.. ALIŞTIRMALAR Soru Önceki alıştırmada bulduklarınızzı da dikkate alarak aşağıdaki çift katlı integralleri heaplayınız. a) 3 6x yd ydx 3 3 x x y y dx 3x dx b) 3 6x ydxd y 56y 8 x 3 y 3 x d y 56yd y y c) 4 y 4 d ydx x + y ( x + 4 x ) dx ( x + 4 x) 4 ( ) 8 4) ( 5 ) ( ( ) 5 + ) ( ) 5 ç)

4 96 BÖLÜM 7. ERS 7 4 y dxd y x + y ( ) y 4 + y + y d y ( ) 5 )

5 7.. ALIŞTIRMALAR Soru3 Aşağıda integrasyon bölgesi verilmiş olan çift katlı integralleri her iki integral sırasıyla [d ydx ve dxd y] hesaplayınız. a) {(x, y) :, y 3)}, x yd A x yd A 3 x y x y d ydx 3 dx x( 9 ) dx 9 x 9 4 Şekil 7.: {(x, y) :, y 3)}

6 98 BÖLÜM 7. ERS 7 b) {(x, y) : x 4, 4 y 9}, x y d ydx x yd A x y d y dx 9 x y d ydx 4 x(3 ) 9 4 dx x(3 ) dx ( 3 )( 3 ) x 3 4 ( 4 )(8 ) Şekil 7.: {(x, y) : x 4, 4 y 9}

7 7.. ALIŞTIRMALAR 7 99 c) {(x, y); x, y }, ye x d ydx e x y dx ( ) e x dx ye x dx d y ye x x yex d A dx y(e )d y (e ) y y ( (e ) ) Şekil 7.3: {(x, y); x, l y l}

8 BÖLÜM 7. ERS 7 4. Soru4 Aşağıdaki integrallerde integral sırası önem kazanmaktadır. Hesabı kolaylaştıran integral sırasını belirleyerek integrali hesaplayınız. a) {(x, y) : x, y )}, xex y d A xe x y d A ( x xe x y d y dx ) e x y d y dx ( e x e x) dx ex ex ( e ) ( ) e e e + Şekil 7.4: {(x, y) : x, y )}

9 7.. ALIŞTIRMALAR 7 b) {(x, y) : x, y }, u + x y,du xd y konumuyla; x +x y d A} x + x y d A ln( + x y) dx [ln( + x) ln]dx ln( + x)dx (x + ) (ln(x + ) ln) (ln ) Şekil 7.5: {(x, y) : x, y }

10 BÖLÜM 7. ERS 7 5. Soru 5 Verilen denklemlerin grafikleri ile sınırlanan bölgeyi grafikle gösteriniz ve küme gösterimiyle, düzgün x-bölgesi ve/veya düzgün y-bölgesi olarak ifade ediniz. a) y 5 x, y Şekil 7.6: {(x, y) : y 5 x, y } {(x, y) x, y 5 x } {(x, y) y 5, 5 y x 5 y}

11 7.. ALIŞTIRMALAR 7 3 b) y x, y 4 Şekil 7.7: y x, y 4 {(x, y) x, x y 4} {(x, y) y 4, y x y}

12 4 BÖLÜM 7. ERS 7 c) y x 6x + 8, x + y 8 Şekil 7.8: y x, y 4 {(x, y) y x 6x + 8, x + y 8}

13 7.. ALIŞTIRMALAR 7 5 d) y 5 + 4x x, x + y 5 Şekil 7.9: y 5 + 4x x, x + y 5 {(x, y) x 5, x + 5 y 5 + 4x x }

14 6 BÖLÜM 7. ERS 7 6. Soru6 Köşeleri (,), (3,3), (4,3) ve (5,) noktalarında olan dörtgensel bölge olsun. yi sadece sınır noktalarında ortak noktaları bulunan düzgün bölgelerin birleşimi olarak ifade ederek a) 4xd A Şekil 7.: Köşeleri: Köşeleri: (, ),(3, 3),(4, 3)ve(5, )

15 7.. ALIŞTIRMALAR 7 7! 3 4xd A x 4 3 4xd A + x x x 4 x xd ydx 4xd ydx 4xd ydx 4xd A + 4xd A 3 4yd A x 4 3 4yd A + x x x 4 x yd ydx 4yd ydx 4yd ydx 4yd A + 4yd A 3 3

16 8 BÖLÜM 7. ERS 7 7. Soru 7 İntegrasyon bölgesi verilmiş olan çift katlı integrali hesaplayınız. a) {(x, y) : y x, x }, (x + x y)d A Şekil 7.: {(x, y) : y x, x } x (x + x y)d ydx 6

17 7.. ALIŞTIRMALAR 7 9 b) {(x, y) : x < y, y }, (4x y 3 )d A Şekil 7.: {(x, y) : x y, y } y 4x y 3 dxd y y 6 x y 3 y d y y 3 (y )d y y 5 d y

18 BÖLÜM 7. ERS 7 c) {(x, y) : y x y, y }, x yd A Şekil 7.3: {(x, y) : y x y, y } y y x ydxd y 7

19 7.. ALIŞTIRMALAR 7 ç) {(x, y) : x y, y }, yex d A Şekil 7.4: {(x, y) : x y, y } x ye x dxd y e x y y x d y (e y y y)d y e y y e

20 BÖLÜM 7. ERS 7 d) {(x, y) : y x, x }, ex+y d A Şekil 7.5: {(x, y) : y x, x } x e x+y d ydx x (e ) e x e y d ydx

21 7.. ALIŞTIRMALAR Soru8. İntegrasyon bölgesinin grafiğini çizerek integral sırasını değiştiriniz. a) x 3 x 4 f (x, y)d ydx Şekil 7.6: x 3 x 4 f (x, y)d ydx x 3 x 4 f (x, y)d ydx 4 y 3 y f (x, y)dxd y

22 4 BÖLÜM 7. ERS 7 b) y f (x, y)dxd y Şekil 7.7: Soru7-8b y f (x, y)dxd y x f (x, y)d ydx

23 7.. ALIŞTIRMALAR 7 5 c) 4x x 3 f (x, y)d ydx Şekil 7.8: 4x x 3 f (x, y)d ydx 4x x 3 f (x, y)dxd y 8 3 y y/4 f (x, y)d ydx

24 6 BÖLÜM 7. ERS 7 ç) 8 y y f (x, y)d ydx 4 Şekil 7.9: 4x x 3 f (x, y)d ydx 8 y y/4 f (x, y)dxd y 4x x f (x, y)d ydx

25 7.. ALIŞTIRMALAR Soru 9 Aşağıdaki integralleri integrai sırasını değiştirerek hesaplayınız (integral sırasını değiştirmeden hesaplamayı denemeyiniz!) a) x e y d ydx y e y dxd y e y x y d y ye y d y e y y e (e ) Şekil 7.: x e y d ydx

26 8 BÖLÜM 7. ERS 7 b) y ye x dxd y x 6 e x x ye x d ydx y e x xdx 3e x x 3(e ) dx Şekil 7.: y yex dxd y

27 7.. ALIŞTIRMALAR 7 9 c) 4 y 4y + x dxd y 4 x y + x d ydx + x y x dx y x + x dx x + x dx ln( + x ) 4 ln(7) ln() ln(7) Şekil 7.: 4 4y y dxd y +x

28 BÖLÜM 7. ERS 7 ç) 4 x + y d ydx y + y dxd y y + y x + y 4yd y ( + y ) 3 d y 3 3 ( ) (6) 5 3 Şekil 7.3: 4 x + y d ydx

29 7.. ALIŞTIRMALAR 7. Soru İntegrasyon bölgesi verilen denklemlerin grafikleri ile sınırlanan çift katlı integrali hesaplayınız. a) {y x, y x} ile sınırlı, y d A Şekil 7.4: Soru7-a y d A x x 3 y 3 y d ydx x 3 dx x 3 (x 6 x 9 )dx 3 3 [ x7 7 x ] 7

30 BÖLÜM 7. ERS 7 b) {y x, y 8 x ile sınırlı }, (4 y )d A Şekil 7.5: Soru7-b (4 y )d A + x 4 8 x 5 5 ( (4 y )d ydx (4 y )d ydx )

31 7.. ALIŞTIRMALAR 7 3 c) {y, x, x y}, ex d A Şekil 7.6: Soru7-c e x d A x/ e x y e x d ydx x/ e x x dx xe x dx 4 (e4 ) dx

32 4 BÖLÜM 7. ERS 7 ç) {x, x y, y } ile sınırlı bölge, e y d A Şekil 7.7: Soru7-cc e y d A x/ e y d ydx e y/ x/ dx ( e / e )dx x/4 ( ) xe / + 4e x/ dx [( e + 4e ] ) ( + 4) 8 4 e 8 e 8e 4 e 8 e

33 7.. ALIŞTIRMALAR 7 5. Soru Verilen iki denklemin grafikleri arasında kalan bölgenin alanını çift katlı integralle hesaplayınız. a) y x 4, y x + Şekil 7.8: Soru7-a 4 Al an 4 +x/ x /4 d ydx ( x + x 4 ) dx ( ) ( ) 5 6 9

34 6 BÖLÜM 7. ERS 7 b) x y 5, x + y 6 Şekil 7.9: x y 5, x + y 6 Al an 5 6 x 5 5/x d ydx ( (6 x) 5 x ) dx (6 x 5 5ln(x)) ) (3 5 5ln5) (6 5ln) 3 8 5ln5 5ln5 9

35 7.. ALIŞTIRMALAR 7 7 c) y x, y x 3 Şekil 7.3: y x, y x 3 Al an x ( x x4 4 ( 4 ) d ydx x 3 ( (x x 3 ) ) dx )

36 8 BÖLÜM 7. ERS 7. Soru Aşağıda tanımlanan hacimleri hesaplayınız (Sadece bölgesinin grafiğini çiziniz). a) Köşeleri (,), (,), (,) olan üçgeni ile z x + y nin grafiği arasındaki hacim, Şekil 7.3: Köşeleri:(, ),(, ),(, ) V x (x + y)d A (x + y)d ydx (x y + y x dx y ( x) [x( x) + [ x + ] dx x3 6 + x ] dx

37 7.. ALIŞTIRMALAR 7 9 b) Köşeleri (,), (,), (,) olan üçgeni ile z (x y) nin grafiği arasındaki hacim, Şekil 7.3: Köşeleri: (, ),(, ),(, ) V x 4 3 (x y) d A (x y) d ydx

38 3 BÖLÜM 7. ERS 7 c) y l x ve y ile sınırlanan bölgesi ile z 4 düzlemi arasında kalan hacim. Şekil 7.33: Köşeleri: y x, y, z 4 V 4d A x 4d ydx 4y x y dx 4( x )dx (4 4x )dx (4x 4x

Benzer belgeler

2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz.

2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz. D DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÇALIŞMA SORULARI Fakülte No:................................................... Adı ve Soyadı:................................................. Bölüm:...................................................................