DİFERANSİYEL DENKLEMLER-2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "DİFERANSİYEL DENKLEMLER-2"

Transkript

1 DİFERANSİYEL DENKLEMLER- SINIR DEĞER ve ÖZDEĞER PROBLEMLERİ Bu bölümde adi diferansiyel denklemlerde sınır ve özdeğer problemleri ( n) ( n1) incelenecektir. F( y, y,..., y, x) 0 şeklinde verilen bir diferansiyel denklemin sabitleri x=a ve x=b gibi iki noktada verilen şartlar ile belirleniyor ise bu probleme sınır değer veya iki nokta problemi adı verilir. Örneğin y f( x, y, y) diferansiyel denkleminin sabitlerini belirlemek için y(a)= ve y(b)= gibi iki şart verildiğinde bu bir sınır değer problemidir. Sınır şartları daa genel olarak a1y( a) ay( a) b1y ( b) by( b) şeklinde verilebilir. Sınır şartları a ve b noktalarında a y( a) a y( a) a y( b) a y( b) 1 b y( a) b y( a) b y( b) b y( b) 1 şeklinde verilir ise problem karışık sınır değer problemi olarak isimlendirilir. Adi diferansiyel denklemlerde karışık sınır değer problemleri genelde bir özellik taşımaz. Sınır değer problemlerinin çözümü tek olabildiği gibi çözümü olmayabilir veya sonsuz çözümde olabilir. Örneğin y y0 diferansiyel denkleminin y(0)= ve y(/)=1 sınır şartları altındaki çözümü y=sin x+ cos x dir. Aynı diferansiyel denklemin y(0)= ve y()= sınır şartları altında çözümü yoktur ve y(0)= ve y()= sınır şartları altında y=asin x+cos x şeklinde A sabitine bağlı olarak sonsuz çözümü vardır. Adi diferansiyel denklemlerde özdeğer problemini tanımlamak için doğrusal omoen bir diferansiyel denklemin omoen sınır şartları altında çözümünü göz önüne alalım; yani diferansiyel denklem ve sınır şartlarında y ve türevlerinin bulunmadığı terimler sıfırdır. Bu problemin çözümü y=0 dır. Bu

2 Müendislikte Bilgisayar Uygulamaları çözüme aşikar(trival) çözüm adı verilir. Diferansiyel denklemin y=0 dan farklı çözümü ancak katsayıların özel değerleri için mevcut olabilir. Bu değerlerin bulunması problemine adi diferansiyel denklemlerin özdeğer problemi adı verilir. Örneğin y p y 0 y(0) 0, y( L) 0 sınır değer probleminin aşikar çözümü y=0 dır. Problemin y=0 dan farklı çözümü olması için p=n/l (n=1,,,...) olmalıdır. p=n/l (n=1,,,...) değerleri için problemin y=asin(nx/l) şeklinde sıfırdan faklı çözümü vardır; burada A erangi bir sabittir. Adi diferansiyel denklemlerin sınır değer problemlerinin çözümünde kullanılan yöntemlerden en önemlileri aşağıda gruplar alinde verilmiştir. Bu gruplardan bazılarında tek, bazılarında birden fazla yöntem vardır. a) Atış yöntemi (problemi başlangıç değer problemine çevirme yöntemi): Bu yöntemde problem başlangıç değer problemine çevrilir ve önce başlangıç değer problemi çözülür. Buradan elde edilen bilgiler ile sınır değer problemi çözülür. Doğrusal problemlerde birden fazla çözüm yapılarak sonuca gidilir. Doğrusal olmayan problemlerde ise sonuca bir ardışık yaklaşım ile gidilir. Bu ardışık yaklaşımda, birinci noktadaki eğim değiştirilerek fonksiyonun ikinci noktadan geçmesi sağlanır. Bu işlem atışa benzediğinden yönteme atış yöntemi adı verilir. Yöntem, bazen, problemi başlangıç değer problemine çevirme yöntemi adı ile de anılır. b) Sonlu farklar yöntemi: Bu yöntemde diferansiyel denklemde bulunan türevler yerine fark formülleri yardımı ile fonksiyon değerleri konulur. Bu işleme diferansiyel denklemin ayrıklaştırılması adı verilir. Ayrıklaştırma çeşitli noktalarda yapılarak diferansiyel denklem yerine cebrik denklem takımı elde edilir. Denklem takımı doğrusal olduğu gibi doğrusal olmayabilir. Bu yönteme ayrıklaştırma yöntemi adı da verilir. En çok kullanılan yöntemlerden biridir. c) Değişim (varyasyon) yöntemleri: Bu yöntemde sınır değer problemi bir değişim problemine indirgenir. İndirgenen değişim probleminde çözüm, fonksiyonel adı verilen bir integrali ekstremum yapan bir fonksiyondur. Bu problem yaklaşık bir yöntem ile çözülür; RayleigRitz gibi. d) Belirsiz parametreler yöntemi: Bu yöntemde sınır değer probleminin yaklaşık çözümü ki buna yaklaşım fonksiyonu adı da verilir, çeşitli parametrelere bağlı olarak y(x)u(x,c1,c,...,cn) şeklinde kabul edilir. Kabul edilen yaklaşım fonksiyonu, sınır şartlarını veya diferansiyel denklemi veya kısmen sınır şartlarını kısmen diferansiyel denklemi sağlar. Sağlamadığı şartlar üzerine çeşitli kriterler konularak, yaklaşık olarak sağlatılır. Sınır

3 Diferansiyel Denklemler şartlarını sağlayıp diferansiyel denklemleri sağlamayan gruba ağırlıklı kalan yöntemi adı verilir. Ağırlıklı kalan yöntemi olarak isimlendirilmesinin nedeni: Diferansiyel denklemin kalanları üzerinde konulan şartların bir ağırlık fonksiyonu ile konulmasındır. Yaklaşım fonksiyonu, diferansiyel denklemi sağlayıp sınır şartlarının sağlamadığı allerde ise sınır şartları yaklaşık olarak sağlatılır. Bu gruptaki yöntemlere ise sınır yöntemleri adı verilir. Üçüncü grup yöntemlere karışık yöntem adı verilir. e) Sonlu elemanlar yöntemi: Son zamanlarda çok popüler olan sonlu elemanlar yöntemi konu bakımından geniştir. Bu yöntemde çözüm aralığı eleman adı verilen alt aralıklara ayrılır. Her bir elemanda geçerli olan yaklaşım fonksiyonu parametrelere bağlı olarak belirlendikten sonra parametreler eleman uçlarındaki değerlere bağlanır. Sonra bu bağıntılar bütün bölgede birleştirilir. ATIŞ YÖNTEMİ Çok kullanışlı olan bu yöntem ikinci mertebe diferansiyel denklemlerin sınır değer problemlerinin çözümünde kullanılır. Atış yönteminin genel düşüncesi basit olduğu gibi yöntemin programlanması da basittir. Yöntemin yakınsaması garanti edilemez buna karşın yöntem yakınsar ise çok kullanışlı bir yöntemdir. Atış yöntemi için y f( x, y, y) a x b y( a) y( b) şeklinde verilen ikinci mertebe diferansiyel denklemin sınır değer problemini göz önüne alalım. Verilen sınır değer problemi, atış yönteminde, y f( x, y, y) a x b y( a) y( a) C1 şeklinde başlangıç değer problemine çevrilir. Burada C1 değeri tamini olarak seçilen bir başlangıç değeridir. Bu başlangıç değer problemi çözülerek y(b) değeri esaplanır ve y(b)= olacak şekilde C1 değeri değiştirilerek çözüm bulunur. Çözüm bir deneme yanılma yöntemidir. Çözüm, şekil x de görüldüğü gibi A noktasında eğrinin eğimini değiştirerek eğrinin B noktasından geçmesini sağlamaktır. Bu nedenle atış yöntemi adı verilmektedir. Problemin sayısal çözümünde detaylar diferansiyel denklemin doğrusal olup olmamasına göre değişmektedir. En kolay çözüm elektronik tablolar kullanılarak yapılan çözümdür. Excel gibi tablolardan yararlanıldığında yukarıda anlatılan ardışık yaklaşımları tablonun Hedef ara komutu ile kolay bir şekilde yaptırmak mümkündür.

4 Müendislikte Bilgisayar Uygulamaları y C1 A B 1 a b x C1 C C C Şekil x Şekil x Örnek : y y yy (1 x ) y(1) 1/ ; y() 1/ sınır değer problemini atış yöntemi ile çözünüz. Problemin çözümünde elektronik tablo kullanınız. Çözüm: Verilen problemdeki ikinci mertebeden diferansiyel denklem iki tane birinci mertebeden diferansiyel denkleme indirgeyip RungeKutta yöntemi ile çözülecektir. y=y(x) eğrisinin başlangıçtaki eğimi C olsun. Problem aşağıda verilen başlangıç değer problemine indirgenir. y 1 1 y y1 (1) y y1 y1 y y(1) C Yukarıda verilen C değeri y1()=1/ şartından bulunacaktır. Bunun için C değerleri değiştirilerek y1() değeri esaplanacak ve bu değeri 1/ yapan C değeri ve bu ale ait eğri problemin çözümüdür. C=1 alınarak Runge-Kutta yöntemi ile yapılan çözümde, aşağıdaki tabloda görüldüğü gibi y1()=1,500 dır. C=0,5 alındığında y()=0,9971 bulunur. Excel programında Hedef ara komutu ile C değeri esaplanabilir. Tablo xx görüldüğü gibi y(1)=1,0000 alındıktan sonra (y(1) olarak başka değerde alınabilir) edef ara komutunda ile y1()=0, olacak şekilde y(1) değerinin bulunması istenir. Bu durumda çözüm aşağıda tablo xx de verilmiştir.

5 Diferansiyel Denklemler 5 Tablo xx xi k1,1 K1, k,1 k, k,1 k, k,1 k, y1 y 1,0 0,5000 1,0000 1,1 1,000-0,75 0,981-0,7 0,981-0,7 0,96-0,6 0,5981 0,968 1, 0,96-0,6 0,95-0,1 0,96-0, 0,99-0,11 0,697 0,989 1, 0,99-0,11 0,91-0,71 0,915-0,7 0,90-0,5 0,781 0,9018 1, 0,90-0,5 0,891-0,168 0,89-0,171 0,885-0,106 0,87 0,8850 1,5 0,885-0,107 0,880-0,0 0,88-0,08 0,881 0,0 0,9616 0,8815 1,6 0,881 0,0 0,88 0,19 0,888 0,1 0,89 0,0 1,050 0,89 1,7 0,89 0,19 0,905 0, 0,910 0,17 0,96 0,0 1,111 0,96 1,8 0,96 0,9 0,98 0,59 0,95 0,55 0,981 0,677 1,6 0,981 1,9 0,981 0,676 1,015 0,819 1,0 0,816 1,06 0,975 1,8 1,06,0 1,06 0,97 1,11 1,16 1,11 1,16 1,178 1, 1,500 1,178 Tablo xx xi k1,1 k1, k,1 k, k,1 k, k,1 k, y1 y 1,0 0,5000-0,500 1,1-0,50 0,50-0,8 0, -0,8 0, -0,7 0,16 0,76-0,68 1, -0,7 0,16-0,16 0,01-0,17 0,0-0,07 0,188 0,55-0,066 1, -0,07 0,188-0,197 0,175-0,198 0,176-0,189 0,16 0,8-0,1890 1, -0,189 0,16-0,181 0,15-0,181 0,15-0,17 0,15 0,167-0,176 1,5-0,17 0,15-0,166 0,16-0,167 0,16-0,160 0,18 0,000-0,1600 1,6-0,160 0,18-0,15 0,10-0,15 0,11-0,18 0,11 0,86-0,179 1,7-0,18 0,11-0,1 0,107-0,1 0,108-0,17 0,10 0,70-0,17 1,8-0,17 0,10-0,1 0,096-0,1 0,096-0,18 0,091 0,571-0,176 1,9-0,18 0,091-0,1 0,086-0,1 0,086-0,119 0,08 0,8-0,1189,0-0,119 0,08-0,115 0,078-0,115 0,078-0,111 0,07 0, -0,1111

6 6 Müendislikte Bilgisayar Uygulamaları SONLU FARKLAR YÖNTEMİ Sınır değer problemlerinin sayısal çözüm yöntemlerinden en fazla kullanılanlardan biri sonlu farklar yöntemidir. Bir diğer yöntem ise sonlu elemanlar yöntemidir. Sonlu farklar yöntemi teorisi ve kullanışı kolay olması nedeni ile uygun sınır şartları altında sonlu elamanlara üstünlük sağlar. Sonlu farklar yönteminin esası türev işleminin fonksiyon değerleri ile ifade edilmesinde dayanır. Fonksiyon değerleri ile ifade edilen türev işlemleri diferansiyel denklemlerde yerine konulduğunda bir cebrik denklem elde edilir. Bu denklemde bilinmeyen fonksiyonun belirli noktalarda değerleri vardır. Bu denklem çeşitli noktalarda yazılarak elde edilen cebrik denklem sistemi çözülerek bilinmeyen fonksiyon nokta nokta elde edilir. Önce türev değerlerinin fonksiyon değerlerine bağlayan formülleri verelim. İleri doğru farklar cinsinden türev ifadeleri: Bir f(x) fonksiyonu; x0, x1, x,..., xn gibi eşit aralıklı n+1 noktada verilsin. Burada referans noktası olarak x0 noktası alınacaktır. Bir f(x) fonksiyonunun x0, türevi, bu fonksiyonun x1, x,..., xn noktalarındaki değerlerine bağlı olarak aşağıda verilmiştir. f 0 ( 0) 1 f f f x 0 f 0 f1 f f0 f ( x0) 11f 0 18f1 9f f f0 f ( x0) 6 5f 0 8f1 6f 16f f f0 f ( x0) 1 Yukarıda verilen ifadelerdeki ata alınan terim sayısına bağlıdır. Dolayısıyla fazla terim alındığında daa assas esap yapılır. Geriye doğru farklar cinsinden türev ifadeleri: Bir f(x) fonksiyonu; x0, x1, x,., xn gibi eşit aralıklı n+1 noktada verilsin. Burada referans noktası olarak xn noktası alınacaktır. Bir f(x) fonksiyonunun xn noktasındaki türevi, bu fonksiyonun xn, xn-1,., x0 noktalarındaki değerlerine bağlı olarak aşağıda verilmiştir.

7 Diferansiyel Denklemler 7 f n fn1 fn f ( xn) f n fn 1 fn fn f ( xn) 11f n 18fn 1 9fn fn fn f ( xn) 6 5f n 8fn 1 6fn 16fn fn fn f ( xn) 1 Yukarıda verilen formüllerde fn, fn1, fn, fn, fn, fn5 yerlerine sıra ile f0, f1, f, f, f, f5 konulup terimlerin işaretleri değiştirildiğinde ileriye doğru fark formüllerinde bulunan sonuçlar elde edilir. Merkezi fark cinsinden türev ifadeleri: Bir f(x) fonksiyonu, eşit aralıklı x n, x n+1, x, x 1, x0, x1, x,.., xn gibi noktalarda verilsin. Burada x0 noktası referans noktası olarak alınacaktır. Bir f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevi, bu fonksiyonun x n, x n+1, x, x 1, x0, x1, x,.., xn noktalarındaki değerlerine bağlı olarak aşağıda verilmiştir. f 0 ( 0) 1 f f f x 1 f 8f1 8f 1 f f0 f ( x0) 1 Yukarıda verilen ilk formülde, fonksiyonun iki değeri kullanılıyor gibi gözüküyor ise de aslında fonksiyonun üç değeri kullanılıyor; f0 teriminin katsayısı sıfır olduğundan formüllerde gözükmüyor. İkinci formül içinde aynı şey geçerlidir. İleriye ve geriye doğru farklar cinsinden yüksek türevler: f İkinci Türev 0 f1 f f0 5f1 f f f 0 O( ) f 0 O( ) 5f0 10f1 11f 56f 11f f0 O( ) 1 f Üçüncü Türev 0 f1 f f f 0 O( ) 5f0 18f1 f 1f f f0 O( ) ( ıv) f Dördüncü Türev 0 f1 6f f f f 0 O( ) ( ıv) f0 1f1 6f f 11f f5 f0 O( )

8 8 Müendislikte Bilgisayar Uygulamaları Geriye doğru fark formülleri için yukarıda verilen formüllerde f0, f1, f, f, f, f5 yerine sıra ile fn, fn1, fn, fn, fn, fn5 konulacak birinci (yukarıda bulunmamaktadır) ve üçüncü türevde terimlerin işaretleri değiştirilecektir. Merkezi farklar cinsinden yüksek türevler: f İkinci Türev 1 f0 f f 1 0 O( ) f 16f1 0f0 16f 1 f f 0 O( ) 1 f Üçüncü Türev f1 f 1 f f 0 O( ) f 8f 1f1 1f 1 8f f f 0 O( ) 8 ( ıv) f Dördüncü Türev f1 6f0 f 1 f f 0 O( ) ( ıv) f 1f 9f1 56f0 9f 1 1f f f 0 O( ) 6 Kısmi türevler: İki bağımsız değişkenli fonksiyon u ve bağımsız değişkenler x, y olsunlar. Bu fonksiyonun xi ve y noktasındaki değerini ui, u( xi, y) y (i-1, +1) (i, +1) (i+1, +1) (i-1, ) (i, ) (i+1, ) (i-1, -1) (i, -1) (i+1, -1) y y ile gösterelim. u(x,y) fonksiyonu, şekil xx de görüldüğü gibi, serbest değişkenleri x ve y gibi eşit aralıklarla sıralanan bir ağ üzerinde verilsin. Şekilde ağ üzerindeki noktaların indisleri görülmektedir. xi ve y noktasındaki x doğrultusundaki birinci türevler aşağıda verilen şekilde yazılır. x x x Şekil XX u ui 1, ui, O( x), x x u ui, ui 1, O( x), x x u ui 1, ui 1, O[( x) ] x x

9 Diferansiyel Denklemler 9 Bu türevlerden birincisi ileriye doğru, ikincisi geriye doğru ve üçüncüsü ise merkezi farklar formunda yazılmıştır. Benzer şekilde; u(x,y) fonksiyonun (xi,y) noktasında y e göre kısmi türevi, u/y, aşağıda verildiği şekilde bulunur. u ui, 1 ui, O( y) y y u ui, ui, 1 O( y) y y u ui, 1 ui, 1 O([ y] ) y y İkinci türevler aşağıda verilmiştir. u u x i1, ui, ui 1, O[( x) ( x) ] u ui, 1 ui, ui, 1 O y y ( y) [( ) ] u u u 1 u u ( ) [( ) i, 1 ( ) i, 1 ] yx y x y x x u u ui 1, 1 ui 1, 1 ui 1, 1 ui 1, 1 O[( x y) ] xy yx xy Yukarıda verilen türevler merkezi farklara göre yazılmıştır. Bu türevlerin ileriye doğru veya geriye doğru farklar şeklinde yazılımı ise aşağıda verilmiştir. İleri doğru Geriye doğru u ui, ui 1, ui, u ui, ui, 1 ui, O[ x] O[ y] x ( x) y ( y) u u ui 1, 1 ui, 1 ui 1, ui, O[ x y] xy yx xy u ui, ui 1, ui, u ui, ui, 1 ui, O[ x] O[ y] x ( x) y ( y) u u ui, ui 1, ui, 1 ui 1, 1 O[ x y] xy yx xy u fonksiyonunun x e göre üçüncü, dördüncü ve karışık türevlerinin esaplanışı ve sonuçları aşağıda verilmiştir. Üçüncü Türev u u 1 u u ( ) [ ] O[( x) ] x x x x x x i1, i1,

10 10 Müendislikte Bilgisayar Uygulamaları u ui, ui 1, ui 1, ui, O x x ( x) [( ) ] u ui, ui, 1 ui, 1 ui, O y y ( y) [( ) ] Karışık Türev u u u 1 u u ( ) [ ] O[( x y) ] xy y y y x x i1, i1, u u u u u u i1, 1 i1, i1, 1 i1, 1 i1, i1, 1 O x y xy ( x)( y) [( ) ] Karışık Türev u u 1 u u ( ) [ ] O[( x y) ] yx x x x y y i, 1 i, 1 u u u u u u u i1, 1 i, 1 i1, 1 i1, 1 i, 1 i1, 1 O x y yx ( y)( x) [( ) ] Dördüncü Türev u u 1 u u u ( ) [ ] O[( x) ] x x x x x x x ( ) i1, i, i1, u ui, ui 1, 6ui, ui 1, ui, O x x ( x) [( ) ] u ui, ui, 1 6ui, ui, 1 ui, O y y ( y) [( ) ] Karışık Türev u 1 u u u [ ] O [( x y ) ] ( ) i, 1 i, i, 1 y x y x x x u ui 1, 1 ui, 1 ui 1, 1 ui 1, ui, ui 1, ui 1, 1 ui, 1 ui 1, 1 y x ( x) ( y) Yukarıda verilen türevlerde fonksiyon değerlerinin katsayıları atırlamak ve bazı uygulamalarda yardımcı olması için aşağıda şekil xx verilen şablonlar kullanılır. Şablonlarda, tek dereceli türevlerde (birinci ve üçüncü türev) ilgili eksenin yönü önemli olduğundan, eksenin yönü şekilde gösterilmiştir. Eksen yönü olarak şekilde gösterilen yönün tersi alındığında, değiştirilen eksen doğrultusundaki katsayıların simetriğini almak gerekir. Buna ait örnek şekilde u/xy ve u/x türevinde gösterilmiştir.

11 Diferansiyel Denklemler 11 1 u x 1-1 u y - 1 Şekil 11.

12 1 Müendislikte Bilgisayar Uygulamaları İkinci mertebe sınır değer problemleri: y A( x) y B( x) y g( x) a x b y( a) y( b) şeklinde verilen ikinci mertebe doğrusal sınır değer problemini göz önüne alalım. Problemin çözüleceği [a,b] aralığını n eşit parçaya ayıralım. Bu şekilde bulunan alt aralıkların uzunluğu =(ba)/n dir Alt aralıkların uç noktaları xi=a+i (i=0,1,..,n) ile belirlenir. [a,b] aralığında (0,1,...,n) olmak üzere n+1 nokta bulunmakta olup y(xi) değerleri bu noktalarda esaplanacaktır. Yukarıda verilen denklemde, türevler yerine fonksiyon değerleri merkezi fark kullanılarak yazıldığında aşağıda verilen bağıntı elde edilir. y( xi1) y( xi ) y( xi1) y( xi1) y( xi1) A( x ) ( ) ( ) ( ) i B xi y xi g xi Yukarıda verilen bağıntıda y(xi) değerleri yerine yaklaşık değerleri olan yi değerler alındığında aşağıda verilen denklem elde edilir. 1 1 (1 A i) yi 1 ( Bi ) yi (1 A ) i yi 1 gi Yukarıda verilen bağıntı i=1,,...,n1 noktalarında yazıldığında n1 denklem elde edilir. Bu denklemlerde y0, y1, y,..., yn, olmak üzere n+1 tane yi değeri vardır. Bu değerlerden y0= ve yn= olarak verildiğinden bilinmeyen sayısı n1 olup bilinmeyen sayısı kadar denklem vardır. Sınır şartları a1 y( a) ay( a) b1 y( b) b y( b) şeklinde verildiğinde artık y0 ve yn değerleri bilinmemektedir. Bu durumda bilinmeyen sayısı n+1 dir. Rekürans bağıntısı i=1,,...,n1 noktalarında yazıldığında n1 denklem elde edilir. Ek iki denklem yukarıda verilen sınır şartı bağıntısının sonlu farklar şeklinde yazılmasından elde edilir. Bu denklemler y 1 y 0 y n n a y a b y b yn şeklindedir. Daa az ata için türev ifadesinde fazla terim alındığında aşağıda verilen sonuçlar bulunur.

13 Diferansiyel Denklemler 1 a 1 b a 1 1y0 ( y 0 y1 y ), b1 yn ( y n yn1 y n) Yukarıda verilen bağıntılarda türev ifadelerinde ileriye ve geriye doğru farklar kullanılmıştır. Merkezi farklar kullanıldığında y1 y 1 y 1 1 0, n y a y a b n 1yn b bağıntıları yazılır. Bu durumda bilinmeyen yi değerleri y 1, y0, y1, y,..., yn, yn+1 olmak üzere n+ tanedir. Bu alde rekürans bağıntısını i=0,1,,...,n noktalarında yazılmasından n+1 denklem elde edilir. Ek iki denklem ise yukarıda verilen sınır şartları bağıntısıdır. x Örnek : y ( x 1) y y (1 x ) e (0 x 1) y(0) 1; y(1) 0 sınır değer problemini =0,1 alarak sonlu farklar yöntemi ile çözünüz. Çözüm: Rekürans bağıntısı xi=0,1; 0,;...; 0,9 noktalarında yazıldığında dokuz denklem elde edilir. y0=1 ve y10=0 olduğunda yazılan dokuz denklem y1, y,..., y9 olmak üzere dokuz bilinmeyen bulunmaktadır. Dokuz denklem ve sağ tarafları tablo xx de verilmiştir. Tabloda görülen son sütun denklemlerin sağ tarafların göstermektedir. İlk ve son denklemlerin sağ taraflarında gi terimlerine ek olarak y0=1 ve y10=0 dan dolayı ek terimler gelmiştir(aslında y10=0 olduğundan son denkleme ek terim gelmez). Denklem takımı çözüldüğünde bulunan yi değerleri ve bu değerlere ait yüzde ataları tablo xx de verilmiştir. Problemin kesin çözümü y ( x 1) e x dir. Tablo xx x1 x X X x5 x6 x7 x8 x9 -,000 1,0550 0,950 0,900 -,000 1,0600 0,0079 0,950 -,000 1,0650 0,0067 0,900 -,000 1,0700 0,0056 0,950 -,000 1,0750 0,005 0,900 -,000 1,0800 0,005 0,9150 -,000 1,0850 0,005 0,9100 -,000 1,0900 0,0016 0,9050 -,000 0,0008 Tablo xx y1 y y y y5 y6 y7 y8 y9-0,81-0,6550-0,5186-0,0-0,0-0,195-0,190-0,0899-0,007-0,0% -0,0% -0,05% -0,07% -0,09% -0,1% -0,1% -0,17% -0,0%

14 1 Müendislikte Bilgisayar Uygulamaları ÖZDEĞER PROBLEMLERİ Diferansiyel denklemlerde özdeğer probleminin çözüm yöntemlerinden biri de, diferansiyel denklemi sonlu farklar ile cebirsel denklem aline getirip, cebirsel denklemin sıfırdan farklı çözümüne ait şartlardan yararlanmaktır. Yöntemi y p y 0 y(0) 0, y( L) 0 şeklinde verilen özdeğer problemine uygulayalım. Diferansiyel denklemdeki türevler sonlu farklar ile x1, x,..., xn-1 noktalarında fonksiyon değerleri cinsinden yazıldığında ( p ) y1 y y0 i1 i i1 n ( ) n1 n y ( p ) y y 0 ( i n ) y p y y elde edilir. y0=yn=0 olduğundan ilk verilen denklem takımının sıfırdan farklı çözümünün olması için katsayılar matrisinin determinantı sıfır olmalıdır. Katsayılar matrisini sıfır yapan değerler özdeğer olarak bulunur. Yukarıda verilen denklem takımı vektörel olarak aşağıda verilen şekilde yazılır. ( A I) y 0 p Burada görüldüğü gibi diferansiyel denklem problemi cebirsel bir probleme indirgendi. Burada, katsayılar matrisinin determinantını sıfır yapan değerler deneme ve yanılma yöntemi ile bulunacaktır. Bu değerler özdeğerlerdir. Deneme yanılmadaki ardışık işlemler Excel tabloları ile yapılacaktır. Örnek 5: Bir ucu ankastre diğer ucu boşta ve kendi ağırlığının etkisi altındaki kirişin burkulma yükü EI +qz=0; (0)=0, (L)=0 özdeğer probleminin çözümü ile verilmektedir. Burada; q değeri kolonun birim boy ağırlığı, değişkeni elastik eğrinin türevi olup z ise kolonun tepe noktasından itibaren ölçülmektedir. Kolonun burkulma yükünü sonlu farklar ile bulunuz.

15 Diferansiyel Denklemler 15 Verilen denklemi ve şartlarını, =z/l şeklinde yeni tarif edilen boyutsuz değişken kullanarak, =ql /(EI) olmak üzere, aşağıda verilen şekilde boyutsuz alde yazalım. d / d 0 (0) 0 (1) 0 Boyutsuz olarak (0,1) aralığı aline gelen çubuk boyunu n aralığa bölelim. Aralık genişliği olsun. Yukarıda verilen diferansiyel denklem, i noktasında aşağıda verilen şekilde yazılır. ( ) 0 i1 i i i1 Aralık üzerindeki noktalar, 0,1,,..,n olarak numaralansın. Son noktada n=0 olarak bilinmektedir. Yukarıda verilen sonlu fark denklemi i=0,n-1 noktalarında yazıldığında n denklem elde edilir. Bu denklemlerde -1, 0, 1, n- 1 olmak üzere n+1 bilinmeyen vardır. Sonunca denklem (0)=0 dan elde edilecektir. Bu şart sonlu fark olarak (1--1)/()=0 yazılır. Buradan 1=-1 elde edilir. Bu sonuç =0 noktasında yazılan eşitlik ile birleştirildiğinde =0 noktasında yazılan eşitlik -0+1=0 şekline gelir. Dolayısıyla denklemlerden -1 bilinmeyeni elimine edilmiş olur. Yukarıda basedilen denklemlerin katsayılar matrisi Tablo xx de görülmektedir. Burada başlangıç değeri olarak =1 alınmıştır. Bu matrisin determinantı sağ üst köşede görülmektedir. Hedef ara komutu ile determinant sıfır olacak şekilde değeri arandığında =7,85 olarak bulunur. Bu durum ikinci tabloda görülmektedir. Bessel fonksiyonları ile yapılan esaplarda =7,87 bulunmuştur. Bu durumda değeri dört diit alınarak esap yapıldığında % 0,1 olarak ata payı elde edilir.

16 16 Müendislikte Bilgisayar Uygulamaları Örnek 6: Sabit kesitli, iki ucu mafsallı ve kendi ağırlığının etkisi altındaki olan bir çubuğun burkulma yükü d y d dy EI q [( L y) ] 0 y(0) y (0) y( L) y ( L) 0 dx dx dx şeklinde verilen özdeğer probleminin çözümünden elde edilmektedir. Burada: q, çubuğun birim uzunluğunun ağırlığı; y, çubuğun elastik eğrisi; L, çubuğun boyu; EI, çubuğun eğilme riitliğidir. Sonlu farklar yöntemi çubuğun qkr burkulma yükünü bulunuz. Çözüm: Verilen sınır değer probleminde diferansiyel denklemin sağ tarafı (y ve türevlerini bulundurmayan terimler) ve sınır şartlarının sağ tarafları sıfırdır. Dolayısıyla omoen bir diferansiyel denklem omoen sınır şartları altında çözülecektir. Verilen diferansiyel denklemin verilen sınır şartları altında aşikar çözümü y=0 dır. Ancak q nün belirli değerleri için y=0 dan farklı çözüm elde edilebilir. Bu değerler qkr olup iki ucu mafsallı çubuğun kendi ağırlığı altında burkulma yüküdür. Ayrıca qkr değeri tek olmayabilir ki genelde öyledir. Bunlardan en küçük qkr değeri teknik bakımdan önemlidir. Verilen diferansiyel denklemi boyutsuz ale getirmek için de =x/l, =y/l ve =ql /(EI) şeklinde yeni boyutsuz değişkenler tarif edelim. Bu değişkenler yardımı ile verilen diferansiyel denklem ve sınır şartları d d d (1 ) 0 (0) (0) (1) (1) 0 d d d

17 Diferansiyel Denklemler 17 şeklinde yazılır. Boyutsuz olarak [0,1] aralığı aline gelen çubuk boyunu n eşit alt aralıklara bölelim. Aralık genişliği olsun. Diferansiyel denklemin sonlu fark denklemi, ıv y ( y y 6y y y ) / i i1 i i1 i y ( y y y ) / i1 i i1 y ( y y ) /( ) i1 i1 türev bağıntıları kullanılarak aşağıda verilen şekilde yazılabilir. i [ (1 i) / ] i1 [6 (1 i)] i [ (1 i) / ] i1 i 0 Sınır şartlarına gelince: 0 n 0 olduğunda =0 ve =1 noktalarındaki ikinci türev bağıntılarından aşağıda verilen sonuçlar elde edilir n1 n n1 ( ) / 0 ( ) / n1 n1 Sonlu fark denklemi, i=1,,...,n1 noktalarında yazıldığında 1, 1,...,n1, n+1 olmak üzere (0=n=0 olarak bilinmektedir) n+1 bilinmeyen ve n1 denklem bulunmaktadır. 1= 1 ve n+1=n1 olduğundan bilinmeyen sayısı denklem sayısına eşittir. Bu denklemlerin katsayılar matrisi tablo xx de verilmektedir. Katsayılar matrisinin determinantı tablonun sağ üst köşesinde verilmiştir. Hedef ara komutu ile determinant sıfır olacak şekilde değeri arandığında en küçük değeri =18,987 olarak bulunur. Başka yöntemlerle yapılan esaplarda =18,57 bulunmuştur. Bu durumda bulunan değeri 18,0 alınarak esap yapıldığında % 0,9 olarak ata payı bulunur.

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER

SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER Bir elastik ortamın gerilme probleminin Airy gerilme fonksiyonu ile formüle edilebilen halini göz önüne alalım. Problem matematiksel olarak bölgede biharmonik denklemi sağlayan

Detaylı

HARMONİK DENKLEM. Burada göz önüne alınacak problem Dirichlet problemidir; yani fonksiyonun sınırda kendisinin verilmesi halidir. 2 2 (15.

HARMONİK DENKLEM. Burada göz önüne alınacak problem Dirichlet problemidir; yani fonksiyonun sınırda kendisinin verilmesi halidir. 2 2 (15. HARMONİK DENKLEM Harmonik denklemin sağ tarafının sıfır olması haline Laplace, sağ tarafının sıfır olmaması haline de Possion denklemi adı verilir. Possion ve Laplace denklemi, kısaca harmonik denklem

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER

İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki... 1 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji...

Detaylı

dir. Fonksiyonun (a,b) aralığında integrali ise, her aralıkta alınan integral değerlerini toplanarak, aşağıda verilen şekilde elde edilir.

dir. Fonksiyonun (a,b) aralığında integrali ise, her aralıkta alınan integral değerlerini toplanarak, aşağıda verilen şekilde elde edilir. SAYISAL İNTEGRASYON TEK KATLI İNTEGRASYON Sayısal integrasyon çok geniş bir konudur. Burada problemli olmayan (genelde integrantın tekilliği olmayan, fazla salınım yapmayan, yaklaşım problemi bulunmayan)

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : 3 gerilme bileşeni : 3 şekil değiştirme

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü

Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7 Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 10 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 9-DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ 1 GİRİŞ Diferansiyel denklemler, mühendislikte fiziksel olayların modellenmesinde sık karşılaşılan denklemlerdendir. Dolayısıyla bu

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES)

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) Lagrange ve Neville yöntemlerinin bazı olumsuz yanları vardır: İşlem sayısı çok fazladır (bazı başka yöntemlere kıyasla) Data setinde bir nokta ilavesi veya çıkartılması

Detaylı

AÇI YÖNTEMİ Slope-deflection Method

AÇI YÖNTEMİ Slope-deflection Method SAKARYA ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT ÜHENDİSLİĞİ BÖLÜÜ Department of Civil Engineering İN 303 YAPI STATIĞI II AÇI YÖNTEİ Slope-deflection ethod Y.DOÇ.DR. USTAA KUTANİS kutanis@sakarya.edu.tr Sakarya Üniversitesi,

Detaylı

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9 İÇİNDEKİLER Ön Söz... Adi Diferansiyel Denklemler... Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler...9 Homojen Diferansiyel Denklemler...15 Tam Diferansiyel Denklemler...19 Birinci Mertebeden

Detaylı

Bekleme Hattı Teorisi

Bekleme Hattı Teorisi Bekleme Hattı Teorisi Sürekli Parametreli Markov Zincirleri Tanım 1. * +, durum uzayı * +olan sürekli parametreli bir süreç olsun. Aşağıdaki özellik geçerli olduğunda bu sürece sürekli parametreli Markov

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması.

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Projenin Amacı: Aritmetik bir dizinin ilk n-teriminin belirli tam sayı kuvvetleri toplamının

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

MATRİSLER. Şekil 1 =A6:B7+D6:E7

MATRİSLER. Şekil 1 =A6:B7+D6:E7 MATRİSLER Bir A matrisi mxn adet gerçel veya sanal elemanların sıralı koleksiyonudur. Bu koleksiyon m satır ve n sütun ile düzenlenir. A(mxn) notasyonu matrisin m satırlı n sütunlu olduğunu gösterir ve

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.

Detaylı

Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir.

Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir. 3. Yüksek Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Geçmiş konularda şu ana kadar ele alınan 1.mertebe-1.dereceden adi diferensiyel denklemler ancak 1.mertebe seviyesindeki belirli problemleri ifade edebilmektedir.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların

Detaylı

Tabakalı Kompozit Plakların Sonlu Farklar Yöntemi ile Statik Analizi Static Analysis of Laminated Composite Plates by Finite Difference Method

Tabakalı Kompozit Plakların Sonlu Farklar Yöntemi ile Statik Analizi Static Analysis of Laminated Composite Plates by Finite Difference Method Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi Cilt 17, Sayı 1, 2011, Sayfa 51-62 Tabakalı Kompozit Plakların Sonlu Farklar Yöntemi ile Statik Analizi Static Analysis of Laminated Composite Plates

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

Diferansiyel denklemler uygulama soruları

Diferansiyel denklemler uygulama soruları . Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

FONKSİYONLARIN TABLO ŞEKLİNDE HESAPLANMASI

FONKSİYONLARIN TABLO ŞEKLİNDE HESAPLANMASI FONKSİYONLARIN TABLO ŞEKLİNDE HESAPLANMASI Bu kısımda bir fonksiyon değerlerinin tablo şeklinde hesaplanması incelenecektir. İncelenecek fonksiyon y=f(x) şeklinde bir değişenli veya z=f(x,y) şeklinde iki

Detaylı

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1 . ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 3- LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ Bilimsel ve teknolojik çalışmalarda karşılaşılan matematikle ilgili belli başlı

Detaylı

HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR

HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için maksimum veya minimum (ekstremum) noktalarının belirlenmesinde diferansiyel hesabı kullanarak çeşitli

Detaylı

Şekil 6.1 Basit sarkaç

Şekil 6.1 Basit sarkaç Deney No : M5 Deney Adı : BASİT SARKAÇ Deneyin Amacı yer çekimi ivmesinin belirlenmesi Teorik Bilgi : Sabit bir noktadan iple sarkıtılan bir cisim basit sarkaç olarak isimlendirilir. : Basit sarkaçta uzunluk

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi 6 7. DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ Diferensiyel denklemlerin sayısal integrasyonunda kullanılabilecek bir çok yöntem vardır. Tecrübeler dördüncü mertebe (Runge-Kutta) yönteminin hemen hemen

Detaylı

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları 2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ

ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ GİRİŞ Önceki bölümde cisme etkiyen kuvvetlerin dengesi incelenerek gerilme kavramı geliştirildi. Bu bölümde ise şekil değiştiren cisim mekaniğinin en önemli kavramlarından biri olan

Detaylı

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3 p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan; . Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş

Detaylı

2. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

2. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 2. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 C.1.2. Piyasa Talep Fonksiyonu Bireysel talep fonksiyonlarının toplanması ile bir mala ait

Detaylı

YAPI STATİĞİ MESNETLER

YAPI STATİĞİ MESNETLER YAPI STATİĞİ MESNETLER Öğr.Gör. Gültekin BÜYÜKŞENGÜR STATİK Kirişler Yük Ve Mesnet Çeşitleri Mesnetler Ve Mesnet Reaksiyonları 1. Kayıcı Mesnetler 2. Sabit Mesnetler 3. Ankastre (Konsol) Mesnetler 4. Üç

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM

YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM Yavaş değişen akımların analizinde kullanılacak genel denklem bir kanal kesitindeki toplam enerji yüksekliği: H = V g + h + z x e göre türevi alınırsa: dh d V = dx dx

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

DENKLEM DÜZENEKLERI 1

DENKLEM DÜZENEKLERI 1 DENKLEM DÜZENEKLERI 1 Dizey kuramının önemli bir kullanım alanı doğrusal denklem düzeneklerinin çözümüdür. 2.1. Doğrusal düzenekler Doğrusal denklem düzeneği (n denklem n bilinmeyen) a 11 x 1 + a 12 x

Detaylı

R d N 1 N 2 N 3 N 4 /2 /2

R d N 1 N 2 N 3 N 4 /2 /2 . SÜREKLİ TEELLER. Giriş Kolon yüklerinin büyük ve iki kolonun birbirine yakın olmasından dolayı yapılacak tekil temellerin çakışması halinde veya arsa sınırındaki kolon için eksantrik yüklü tekil temel

Detaylı

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Hessien Matris-Quadratik Form Mutlak ve Bölgesel Maksimum-Minimum Noktalar Giriş Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ

BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ DÜZLEM-BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME 3D durumda, bir noktadaki birim şekil değiştirme durumu 3 normal birim şekildeğiştirme bileşeni,, z, ve 3 kesme birim şekildeğiştirme bileşeninden,

Detaylı

diff Türev Alma Fonksiyonu. >> syms x >> A=3*x^4+x^2-3*x A = 3*x^4+x^2-3*x. >> diff(a) // A fonksiyonunun türevini alır. ans = 12*x^3+2*x-3

diff Türev Alma Fonksiyonu. >> syms x >> A=3*x^4+x^2-3*x A = 3*x^4+x^2-3*x. >> diff(a) // A fonksiyonunun türevini alır. ans = 12*x^3+2*x-3 7.4.. diff Türev Alma Fonksiyonu >> syms x >> A=3*x^4+x^-3*x A = 3*x^4+x^-3*x >> diff(a) // A fonksiyonunun türevini alır. 1*x^3+*x-3 >> diff(a,) // A fonksiyonunun türevini kere alır. 36*x^+ ÖRNEK: >>

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

5. BASINÇ ÇUBUKLARI. Euler bağıntısıyla belirlidir. Bununla ilgili kritik burkulma gerilmesi:

5. BASINÇ ÇUBUKLARI. Euler bağıntısıyla belirlidir. Bununla ilgili kritik burkulma gerilmesi: 5. BASINÇ ÇUBUKLARI Kesit zoru olarak, eksenleri doğrultusunda basınç türü normal kuvvet taşıyan çubuklara basınç çubukları adı verilir. Bu tür çubuklarla, kafes sistemlerde ve yapı kolonlarında karşılaşılır.

Detaylı

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu

Detaylı

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ 3 DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Gerilme Kavramı Dış kuvvetlerin etkisi altında dengedeki elastik bir cismi matematiksel bir yüzeyle rasgele bir noktadan hayali bir yüzeyle ikiye ayıracak olursak, F 3 F

Detaylı

EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I

EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I Prof. Dr. Selçuk YILDIRIM Siirt Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Kaynak (Ders Kitabı): Fundamentals of Electric Circuits Charles K. Alexander Matthew N.O. Sadiku

Detaylı

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır.

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır. TÜREV UYGULAMALARI Bölüm içinde maksimum, minimum, artan ve azalan fonksiyonlar, büküm noktası, teğet, normal ve belirsizliğin türev yardımıyla giderilmesi işlenmektedir. 11.1 Maksimum ve Minimum (Ekstremum)

Detaylı

HEDEF ARA ve ÇÖZÜCÜ HEDEF ARA

HEDEF ARA ve ÇÖZÜCÜ HEDEF ARA HEDEF ARA ve ÇÖZÜCÜ HEDEF ARA Hedef ara komutu bir fonksiyonun tersinin bulunmasında kullanılır. Hedef ara işlemi, y=f(x) gibi bir fonksiyonda y değeri verildiğinde x değerinin bulunmasıdır. Bu işlem,

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

5. RITZ metodunun elemana uygulanması, elemanın rijitlik matrisi

5. RITZ metodunun elemana uygulanması, elemanın rijitlik matrisi 5. RITZ metodunun elemana uygulanması, elemanın rijitlik matrisi u bölümde RITZ metodu eleman bazında uygulanacak, elemanın yer değiştirme fonksiyonu, şekil değiştirme, gerilme bağıntıları, toplam potansiyeli,

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

Ayrık Fourier Dönüşümü

Ayrık Fourier Dönüşümü Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ

BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ Elektron spini için dalga fonksiyonlarını tanımlamak biraz kullanışsız görünüyor. Çünkü elektron, 3B uzayda dönmek yerine sadece kendi berlirlediği bir rotada dönüyor. Elektron

Detaylı

Akışkan Kinematiği 1

Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği Kinematik, akışkan hareketini matematiksel olarak tanımlarken harekete sebep olan kuvvetleri ve momentleri gözönüne almadan; Yerdeğiştirmeler Hızlar ve İvmeler cinsinden

Detaylı