O Q L N FĐBONACCĐ DĐZĐSĐ. indirgeme bağıntısı ile tanımlı diziye Fibonacci dizisi denir. Đndirgeme bağıntısı, ve karakteristik denklem

Transkript

1 a(), a() FĐBONACCĐ DĐZĐSĐ başlangıç değerleri ve a( n) a( n ) + a( n ) indirgeme bağıntısı ile tanımlı diziye Fibonacci dizisi denir. Đndirgeme bağıntısı, ve karakteristik denklem a( n) a( n ) a( n ) 0 λ λ 0 olmak üzere karakteristik denklemin kökleri, λ + λ dır. Dizinin genel terimi, n a( n) A ( ) + A ( ) biçimindedir. Başlangıç değerlerinden, R A + A S A ( ) + A ( ) T denklem sistemi yazılır. Denklem sisteminin çözülmesiyle, A A elde edilir. Buna göre Fibonacci dizisinin genel terimi, dır. L N M n a( n) ( ) ( ) n n O Q P

2 Fibonacci dizisinin ilk 0 terimi aşağıdadır. n a( n) a( n+ )/ a( n) n a( n) a( n+ )/ a( n) Leonardo Fibonacci -3 üncü yüzyıllarda yaşamış bir Đtalyan matematikçisidir. Pisa şehrinde doğan Leonardo çocukluğunu babasının çalışmakta olduğu Cezair'de geçirmiştir. Đlk matematik bilgilerini müslüman eğiticilerden almış olup küçük yaşlarda onluk Arap sayı sistemini öğrenmiştir. Ülkesi Đtalya'da kullanılmakta olan Roma sisteminin hantallığı yanında Arap sisteminin mükemelliğini gören Fibonacci 0 yılında "Liber abaci" isimli kitabını yazmıştır. Aritmetik ve cebir içeren ticaret ile ilgili bu kitapta Arap sayı sisteminin tanıtımını ve müdafasını yapmıştır. Đlk anda kitabın Đtalyan tüccarları üzerinde etkisi az olmasına rağmen zamanla bu kitap arab sayı sisteminin batı Avrupa'ya girmesinde büyük rol oynamıştır. Bu kitapta bulunan bir problem ortaçağ matematiğine katkıları olan Fibonacci'yi altı yüzyıl sonra, ondokuzuncu yüzyılın başlarından günümüze meşhur hale gelmesine sebep olmuştur. Bu problem "tavşan problemi" dir. Ergin bir tavşan çiftinin her ay yeni bir yavru çifti verdikleri ve yeni doğan çiftin bir ay zarfında tam erginliğe eriştikleri varsayımıyla, yavru olan bir tavşan çiftinden başlayıp bir yılda ( ayda) çiftlerin sayısı ne olur? Aylar : Çiftlerin sayısı: Kitaplara tavşan problemi olarak geçen bu problem halkımız tarafından kuzu-toklu-koyun problemi olarak bilinmektedir. Bilindiği gibi ergin bir kuzu olan toklu genellikle iki yaşına geldiğinde

3 yavrulamaktadır. Buna göre bir yavru dişi kuzu ile başlayıp her yavrulama sonucu bir dişi kuzunun doğduğu ve ölüm olmaması durumunda yıl sonunda kaç baş hayvana sahip olunur? Bu gelişimin ilk beş yılını şekil üzerinde gözleyelim. Dişi kuzuyu k, tokluyu T, koyunu K harfi temsil etmek üzere gelişim aşağıdaki gibidir. Yılla k T 3 K k 4 K k T K k T K k Belli bir yıldaki hayvan sayısı önceki iki yıldakilerin toplamı olmak üzere. yılda 44 baş hayvana ulaşılacaktır. Bunların yıllara göre yavru, toklu, koyun sayısı dağılışına gelince aşağıdaki gibi bir durum ortaya çıkmaktadır. Yıllar Kuzu sayısı Toklu sayısı Koyun sayısı Toplam

4 34 44 Dikkat edilirse b( n), n. yıldaki kuzuların sayısı olmak üzere, kuzular için b( n) b( n ) + b( n ), b( ), b( ) 0 indirgeme bağıntısı sözkonusudur ve çözüm olan, 0,,,, 3,, 8, 3,... dizisinde n 3 için Fibonacci dizisi ortaya çıkmaktadır, yani b( n) a( n ), n 3 dır. Benzer bir durum yıllara göre toklu sayısı için de sözkonusudur. c( n), n. yıldaki tokluların sayısı olmak üzere, c( n) a( n 3), n 3 dır. Yıllara göre koyunların sayısı ise iki yıl geçikmeli bir Fibacci dizisidir. Fibonacci'nin kendisi,,,, 3,, 8, 3,,... dizisi üzerinde bir inceleme yapmamıştır. Hatta bu dizi üzerinde ondokuzuncu yüzyılın başlarına kadar ciddi bir araştırma yapılmadığı da belirtilmektedir. Ancak bundan sonra bu dizi üzerine yapılan araştırmaların sayısı Fibonacci'nin tavşanlarının sayısı gibi artmıştır. Fibonacci dizisinde olduğu gibi, a( n) a( n ) + a( n ) indirgeme bağıntılı ve herhangi a( ), a( ) başlangıç değerli genelleştirilmiş Fibonacci dizileri, a( n) a( n ) + a( n ) + a( n 3 ) indirgeme bağıntılı a( ), a( ), a( 3 ) başlanğıç değerli tribonacci dizileri gibi genellemeler yapılmıştır. Fibonacci Derneği tarafından 963 yılından itibaren yayınlanan "The Fibonacci Quarterly" dergisi ilginç özelliklere sahip tamsayıları ve özellikle genelleştirilmiş Fibonacci sayılerını inceleyen araştırmalar yayınlamaktadır. Bu dergiyi ziyaret edebilirsiniz. Fibonacci dizilerinin çekiciliği bir taraftan matematiği sevenlerin çok az bir temel bilgiyle bu dizileri inceleme imkanı bulmaları diğer taraftan ise hayatta ve araştırmalarda hiç umulmadık yerlerde bu dizilerle karşılaşmalarından kaynaklanmaktadır. Bazısı bilinen, bazısı

5 öne sürülüp ispatlanamayan ve bilinmeyip keşfedilmesi beklenen bir çok özelliğe sahip Fibonacci dizileri ile ilgili bilinen birkaç özellik üzerinde duralım. Genelleştirilmiş Fibonacci dizilerinde de geçerli olmak üzere,, a( ) ve a( ) a( n) a( n ) + a( n ) olan Fibonacci dizisinin bir terimi öncekine bölündüğünde bölümün n için, "altın oran" denen ve irrasyonel bir sayı olan sayısına yakınsadığı görülmektedir. Gerçekten, dır. sayısı, veya a n + lim ( ) lim a( n) n n Đrasyonel bir sayı olan Φ x x x 0 + x L N M L N M ( ) ( ) n+ n+ n n ( ) ( ) n + ( ) lim n n ( ) denkleminin pozitif değerli λ kökü olduğundan bir cebirsel sayıdır. den, Φ Φ + + O Q P O Q P Φ Φ Φ + Φ +...

6 yazılır. Ayrıca Φ + Φ Φ Φ +... olmak üzere Φ sayısı elemanları olan bir sonsuz zincir kesiri'dir. Bu zincir kesirinin kısmi kesirleri, olmak üzere ardışık iki Fibonacci sayısının oranıdır. Φ başlangıç değerleri ve b( 0), b( ) b( n) b( n ) + b( n ) indirgeme bağıntısı ile tanımlanan genelleştirilmiş Fibonacci dizisi olmak üzere, Φ, Φ, Φ, Φ, + 3 Φ, 3 + Φ, + 8 Φ,... Φ + bağıntısının gözönüne alınmasıyla, 3 4, Φ, Φ, Φ, Φ, Φ,... biçiminde yazılabilir. Görüldüğü gibi bu genelleştirilmiş Fibonacci dizisi aynı zamanda ortak çarpanı Φ olan bir geometrik dizidir. Bu diziye Altın Dizi denmektedir. Altın Dizinin terimleri, ,,,,,,... olarak yazıldığında kesirlerin paylarındaki birinci terimler,, 3, 4, 7,, 8,...

7 gibi genelleştirilmiş bir Fibonacci dizisi, ikinci terimlerdeki önündeki katsayılar ise,,, 3,, 8,... Fibonaci dizisini oluşturmaktadır. in Fibonacci dizisinin ilk 0 teriminin toplamı acaba nedir? Đlk n terimin toplamı n k a( ) + a( ) a( n) ( ) ( ) k olmak üzere, L NM L N M a( n + ) L N M L N M n n k ( ) ( ) k k n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) O n+ n + ( ) + ( ) P a( n + ) a( ) + a( ) a( n) + yazılabilir. Buna göre ilk 0 terimin toplamı, dır. a( ) + a( ) a( 0) a( ) b( ) α, b( ) β başlangıç değerli genelleştirilmiş Fibonacci dizisinin terimleri için, α β b( 3) b( ) + b( ) + b( 4) b( ) + b( 3) α + β b( ) b( 3) + b( 4) α + 3β b( 6) b( 4) + b( ) 3α + β b( 7) b( ) + b( 6) α + 8β b( 8) b( 6) + b( 7) 8α + 3β... yazılabilir. ( a( n )) Fibonacci dizisi olmak üzere, dır. Buna göre, b( n) α. a( n ) + β. a( n ) Q k k O Q P O Q P O QP

8 b( ) + b( ) b( n) α a( ) + a( ) a( n ) + β a( ) + a( 3) a( n ) α. a( n) + β a( n + ) elde edilir. b( ), b( ) 3 başlangıç değerli, 3, 4, 7,, 8, 9, 47, 76,... genelleştirilmiş Fibonacci dizisinin ilk teriminin toplamı, b( ) + b( ) b( ). a( ) + 3. a( 6) olmak üzere bu toplam 368 dir. Genelleştirilmiş bir Fibonacci dizisinde ilk 0 terimin toplamı 7. terimin katıdır. Örneğin b( ), b( ) 3 başlangıç değerli genelleştirilmiş Fibonacci dizisinde, b( ) + b( ) b( 0). a( 0) + 3.( a( ) ) ve b( 7) 9olmak üzere dir. Genel olarak b Fibonacci dizisinde, b( ) α olmak üzere dir. b( ) + b( ) b( 0). b( 7) ( ) α, b( ) 7 + 8β + 3.( 89 ) 39 β başlangıç değerli bir genelleştirilmiş b( ) + b( ) b( 0) α. a( 0) + β.( a( ) ) α. + β.( 89 ) α + 88β b( 7) Fibonacci sayılarıyla bitki aleminde karşılaşmanın en çarpıcı örneklerinden biri ayçiçeği tohumlarında mevcut, saat ibresinin hareket yönünde ve buna karşı yönde uzayan iki tür spirallerin (sarmalların) sayısının ardışık iki Fibonacci sayısı olmasıdır. Orta büyüklükte ayçiçekleri için spirallerin sayısı 34 'e karşılık veya 'e karşılık 89, daha büyükleri için 89 'a karşılık 44, ve küçükler için de 3 'e karşılık veya 'e karşılık 34 olarak gözlenmiştir. Buna benzer bir durum papatya çiçeklerinde 'e karşılık 34, ananaslarda 8 'e karşılık 3, çam kozalaklarında 'e karşılık 8 veya 8 'e karşılık 3 olarak gözlenmiştir.

9 Bitki aleminde yaprakların saplar üzerindeki dizilişi (phyllotaxy) ile Fibonacci sayıları arasındaki ilişkiye dair çok sayıda örnek vardır. Örneğin / kesiriyle ifade edilen bir phyllotaxy, iki yaprağın sap boyunca aynı sıraya gelinceye kadar sap etrafında tur yaptığını ve sap boyunca tane yaprak olduğunu anlatmaktadır. Sap boyunca belli bir yapraktan sonra 6. yaprak aynı hizada olup, ardışık iki yaprak sap etrafında 70/44 derecelik açı yapmaktadır. Bazı bitkiler için bu oranlar: karaağaç, çim / kayın, ayak otu /3 meşe, elma, armut / kavak, muz 3/8 badem, pırasa /3 olarak gözlenmiştir. Fibonacci dizisi,,,, 3,, 8, 3,,..., a( n ),... olmak üzere bir terimin karesinin, yanındaki iki terimin çarpımından birim farklı olduğu kolayca gözlenebilir. Örneğin, olduğu gibi. O halde, n a( n) a( n ). a( n + ) ( ) dır. Fibonacci dizisi için geçerli olan bu özellik genelleştirilmiş Fibonacci dizilerinde de vardır. Genelleştirilmiş bir Fibonacci dizisinin bir teriminin karesi yanındaki iki terimin çarpımından sabit bir sayı kadar farklıdır. Örneğin b( ), b( ) 3 ve b( n) b( n ) + b( n ) olan genelleştirilmiş Fibonacci dizisi,, 3, 4, 7,, 8,... olmak üzere,

10 dır. yani, Fibonacci dizisinin ardışık iki teriminin kareleri toplamı için, a( ) + a( ) + a( 3) a( ) + a( 3) + a( ) a( 3) + a( 4) a( 7) a( 4) + a( ) a( 9) a( n) a( n + ) a( n + ) dır. Fibonacci dizisinin a( n ), a( n ), a( n), a( n + ) gibi dört ardışık terimi için, dır ( Đspatlayınız ). a( n) a( n ) a( n ). a( n + ) Sıfırdan farklı herhangi m tamsayısı için m 'ye tam olarak bölünen sonsuz tane Fibonacci sayısının, yani Fibonacci dizisinde m 'nin katı olan sonsuz tane terimin bulunduğu ve ilk m terim arasında m 'nin katı olan en az bir tane teriminin var olduğu gösterilmiştir. Ardışık iki Fibonacci sayısısının en büyük ortak böleni 'dir. Fibonacci dizisindeki her üçüncü terim 'ye, her dördüncü terim 3'e, her beşinci terim 'e, her altıncı terim 8'e, her yedinci terim 3'e, yani her kj. (j,,...) terim a( k )'ya tam olarak bölünmektedir. a( ) ve a( ) olmak üzere bunların dışında, kendi indisinin karesine eşit olan başka bir Fibonacci sayısının bulunmadığı ispatlanmıştır. Fibonacci dizisinde asal sayı olan terimlerin sayısının ne olduğu sorusu çözülememiş problemlerden birisidir. Ziyaret edilebilecek iki site:

11 ALTIN ORAN Altın Oran ile ilgili olarak okuyucularımıza Sayın Mehmet Suat Bergil'in "Doğada, Bilimde, Sanatta Altın Oran" isimli kitabından bazı alıntılar yaparak kısa bilgiler vermeye çalışacağız. Meraklı okuyucularımıza Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyelerinden Sayın Prof.Dr. Öner Çakar'ın yaptığı çalışmaları ve Çukurova Üniversitesi Fen Fakültesi Đstatistik Bölümü Öğretim Üyelerinden Hocam Sayın Prof.Dr. Fikri Akdeniz in Altın Oran isimli küçük kitabını tavsiye ederim. Bilindiği gibi Altın Kesit bir AB doğru parçasının, A C B AB AC AC CB orantısına uygun olarak C noktası tarafından bölünmesidir.(ab gibi bir doğru parçasının uzunluğunu karışıklığa yol açmadığı takdirde yine AB ile göstereceğiz.) AB AC + CB olduğu göz önüne alınırsa, ve elde edilir. AC + CB AC AC CB AC AC CB CB AC CB AB AC + AC CB oranına (sayısına) Altın Oran denir.

12 Bir AB doğru parçasının Altın Kesitini bulmak için AB ye dik olan ve uzunluğu BDAB/ olan BD doğru parçası çizilir. Kenar uzunlukları :: oranında olan DBA dik üçgeninde D merkezli DB yarıçaplı çemberin AD hipotenüsü ile arakesiti (E noktası) bulunur. A merkezli AE yarıçaplı çemberin AB doğru parçası ile arakesiti (C noktası) Altın Kesiti vermektedir. D E A C B Euclide, Altın Kesit ile ilgili olarak başka bir problem daha vermiştir; Öyle bir dikdörtgen bulunsun ki, bundan bir kare çıkarıldığında geriye kalan küçük dikdörtgenin kenar uzunlukları oranı kendisininkiyle aynı olsun. Böyle bir dikdörtgene Altın Dikdörtgen denir. D F C A E B

13 AB AD BC BE Uzun kenarından başlayıp bir Altın Dikdörtgen çizmek için AB kenarının Altın Kesiti olan E noktası bulunur ve sonra ADAE olacak şekilde ABCD çizilir. D F C A G E B Kısa kenardan (AD) başlayıp bir Altın Didörtgen çizmek için önce AEFD karesi çizilip sonra AE nin orta noktası (G) den GF yarıçaplı çemberin AE doğrusu ile arakesiti olan B noktası bulunur. Bir ABCD Altın Dikdörtgeninde AC köşegenine dik olan BO doğrusu DC kenarının ( E ) Altın Kesitinden geçer. D E C O A Yukarıdaki düşünceden istifade ederek bir ABCD Altın Dikdörtgeninde sırasıyla E,E,E 3,... noktalarının çizilmesiyle gitgide küçülen (alanları Φ oranında küçülen ) Altın Dikdörtgenler elde edilir. B

14 D E C E E 3 E 4 A E B AB kenarını kısa kenar kabul edip gittikçe büyüyen Altın Dikdörtgenler de çizilebilir. AB, BC, CE, E E, E E 3,... doğru parçalarının oluşturduğu şekle dik çizgili sarmal (spiral) denir. ABCD Altın Dikdörtgeninde, AB BC CE E E... Φ BC CE E E E E 3 dır. Bilindiği gibi, eşit açılı logaritmik spiralin kutupsal koordinatlarda denklemi, k ve c pozitif reel sabitler olmak üzere, cθ ρ ke, θ 0, g biçimindedir. ρ ışın vektörü ile ışın vektörünün spirali kestiği noktadaki teğet arasındaki açının tanjantı, ρ tgϕ dρ c dθ dır. A,B,C,E,E,E 3,... noktalarından geçen eşit açılı logaritmik spiral için, ve c ln π Φ ϕ 73 o dır. Fibonacci spirali, altın spiral ve logaritmik spiral için:

15 adresine bakabilirsiniz. Birçok canlının büyüme sırasında şekilsel olarak logaritmik spirali izlediği gözlenmiştir. Bu konuda D'arcy Thompson: "Bir deniz kabuğunun büyüme sürecinde, aynı ve değişmez orantılara bağlı olarak genişlemesi ve uzamasından daha sade bir sistem düşünemeyiz; nitekim Doğa da son derece basit olan bu yasayı izler. Kabuk... giderek büyür, fakat şeklini değiştirmez. Đşte, sabit kalan bu büyüme göreceliğinin ya da form özdeşliğinin varlığı, eşitaçılı spiralin özünü ve belki de tanımının esasını oluşturur" diyor. Altın dikdörtgenler estetik açıdan göze en hoş görünen dikdörtgenlerdir. Kendilerine çeşitli dikdörtgen örnekleri gösterilip, en güzelini ve en çirkinini seçmeleri istenilerek yapılan araştırmalarda, örneğin Fechner (876) ve Lalo (908) 'nun anket sonuçları aşağıdaki gibi olmuştur. (Bilim ve Teknik, Cilt, Sayı 97,Sayfa 7) ORAN EN GÜZEL EN ÇĐRKĐN DĐKDÖRTGEN Genişlik/Uzunlu k DĐKDÖRTGEN Fechner (%) Lalo (%) Fechner (%) Lalo (%) Kenar uzunlukları oranı Altın Orana yakın olan diktörtgenlerin beğenilme yüzdesi büyük olarak gözlenmiştir. Karenin de beğenilmiş

16 olmasına dikkat ediniz. Altın Dikdörtgene çirkin diyen bir tek kişi bile çıkmamıştır. Mimaride, inşa edilecek yapının cephe görünüşünün daima bir Altın Dikdörtgen içine yerleştirilebilmesi dikkat edilecek ilk husus olmaktadır. Mimaride olduğu gibi, resimde de temel ögelerden biri Altın Oran'dır.

17 Altın Üçgen: Tepe açısı 36 o olan ikizkenar üçgenlere Altın Üçgenler denir. Altın Üçgen içine çizilen gitgide küçülen Altın Üçgenlerin köşelerinden de eşit açılı logaritmik spiral geçmektedir. A 36 D C B Düzgün bir ongen esasında 0 tane Altın Üçgen diliminden oluşmaktadır. Altın Üçgen düzgün beşgenlerde de karşımıza çıkmaktadır. A E F G B K H J D C

18 FGHJK düzgün beşgeninin kenar uzunluğu birim olursa aşağıdaki özellikler yazılabilir. AF AG BG... Φ GJ HK JK KG FH Φ KP / HP GP/ JP... Φ OB/ ON OC / OS... Φ ON / OK Φ / OC / OF Φ AB BC... Φ BD / OB Φ Yıldızın kolları, çekirdeğini oluşturan FGHJK beşgeninin kenarlarından yukarıya doğru kıvrılıp birleştirilirse oluşan piramidin yüksekliğinin, tabanı çevreleyen çemberin yarıçapına oranı Φ dir. Altın Oran konusunu Norman Gowar'ın sözleri ile noktalayalım. "Belirli bir sayının, birbirinden bağımsız olarak hem matematik hem de estetik bilimlerini ilgilendiren bir çekiciliği olması, insanı çileden çıkaracak derecede ilginç bir husustur. Üstelik, Altın Oran, insanların tasarımından kaynaklanmaksızın Doğa'da da ortaya çıkmaktadır."