GÜÇ SİSTEMLERİNDE SIFIR GEÇİŞ VE TAYLOR YÖNTEMLERİ KULLANILARAK FREKANS KESTİRİMİ

Transkript

1 GÜÇ SİSTEMLERİNDE SIFIR GEÇİŞ VE TAYLOR YÖNTEMLERİ KULLANILARAK FREKANS KESTİRİMİ Bekir ÇENGELCİ Afyo Kocatepe Üiversitesi, Tekoloji Fakültesi, Mekatroik Mühedisliği, Kampus Afyokarahisar, Türkiye Özet Bu çalışmada gülük yaşam içerside kulladığımız birçok elektrik tükete alıcıları şebeke siyalide oluşturdukları, harmoik frekaslarıı tespit edilmesi hedeflemiştir. Harmoik aalizide frekas hesaplaması yapılır ike fourier seri döüşümleri ve fourier tabalı hesaplama yötemleri sıklıkla kullaılmıştır. Fourier serileri ile hesap yapma güçlükleri ve hesaplamaları uzu sürmeside dolayı, frekas hesaplamalarıda yei yötem arayışları sürmektedir. Çalışmada güç sistemleride karşılaşılması muhtemel bir harmoik siyali iki alteratif hesaplama yötemi öerilmiştir. Öcelikle bir elektrik motoruu besleye şebekede motoru çektiği akıma ait veriler kayıt edilmiş ve Matlab programı yardımıyla bu verilere uygu deklem elde edilmiştir. Daha sora elde edile bu deklemi zama ekseii kestiği oktalar sayısal sıfır geçiş yötemi ve sayısal aaliz yötemi ola Taylor serisi yardımı ile tespit edilmiştir. Bu oktalarda yararlaılarak siyale ait temel periyot ve frekas hesaplamıştır. Aahtar Kelimeler: Frekas Kestirimi, Güç Sistem Aalizi, Sıfır Geçiş Yötemi, Taylor Serisi Yötemi POWER SYSTEM FREQUENCY ESTIMATION BY ZERO CROSSING AND TAYLOR METHODS Abstract This study is aimed to determie the frequecy harmoics of sigal used i a daily life by may power-cosumers i etwork. Fourier series trasformatio ad fourier based calculatio methods are frequetly used to fid frequecy of harmoic aalysis. Because of the difficulties of fourier calculatios ad time cosumig ew methods has 14

2 bee ivestigated to calculate frequecy. I this study, two alterative methods has bee proposed to calculate the frequecy of a harmoic sigal which is ormally ecoutered i power systems Feedig the iverter output data usig a busiess machie was a real applicatio. Matlab data recorded with the help of the etwork equatio card data o Matlab curve fittig tool agai usig the appropriate equatios were obtaied from these data. The, the crossig poits of the equatio whe the axes of the umerical aalysis methods, Taylor series method ad zero crossig methods have bee idetified. Period ad frequecy of the sigal were calculated usig these poits. Keywords: Frequecy Estimatio, Power System Aalysis, Zero Crossig Method, Taylor Series Method 1. Giriş Frekas kestirimi; bir siyale ait parametrelerde siyale ait frekası ölçülmesi işlemidir [1]. Yaygı olarak kullaıla frekas kestirim yötemleri ve bu yötemleri uygulamalarıda bazıları sıfır geçiş tekiği [,3], seviye geçiş tekiği [4], e küçük kareler yötemi [5], Newto yötemi [6], taylor yötemi, kalma filtresi [7,8], fourier döüşümü [9,10], dalgacık döüşümü [11,1], proy yötemi [13,14] dir. Frekas kestirimide çalışıla siyaller ikiye ayrılmaktadır. Bular siüsoidal ve siüsoidal olmaya siyallerdir. Ayrıca bu siyaller gürültü içerikli olduğu gibi gürültü içermeye siyallerde oluşmaktadırlar. Elektriksel siyaller sayısal aaliz yötemleri kullaılarak parametrelerie ayrılabilmektedir. Frekas kestirimide birçok sayısal aaliz yötemi kullaılmıştır. Yötemleri uygulamasıda kullaıla algoritmaları karmaşıklığı devamlı olarak frekas kestirimi yötemleri üzeride arayışlara ede olmuştur. Bu çalışmada daha sade ola sıfır geçiş yötemi, Taylor serisi ile birlikte birleştirilip hibrit bir sayısal aaliz yötemi geliştirilmiş ve bu yötem kullaılarak frekas hesabı yapılmıştır. Bu yapıla frekas kestirim yötemleri arasıdaki sayısal işlem olarak e sade olaı ve e az hata ile frekas kestirimi yapa yötem başarılı yötem olarak tespit edilmiştir. Bur makalede, frekas kestirimi içi geliştirmiş olduğumuz hibrit bir yapı suulmaktadır.. Materyal ve Metot 15

3 .1. Matematiksel Modeli Elde Edilmesi Uygulama da 6400 Hz. ile öreklemiş gerçek uygulama ola elektrik motoruu şebekede çektiği akım verileri kayıt edilmiş ve bu siyale ait veriler kullaılmıştır. Kayıt edile bu verileri bir foksiyoa çevirmek içi matlab programı kullaılarak matematiksel model oluşturulmuştur. Eğri uydurma da geellikle kullaıla yötemler poliomsal yaklaşım, üstsel yaklaşım, fourier yaklaşımı, gaussia, iterpolat, power, orasal, smoothig splie, siüs foksiyolarıı toplamı şeklide yaklaşım yötemleridir. Verileri yapısıa uygu olarak e az veri kaybı olacak yötem, siüsleri birleşimi yötemi e uygu yötem olarak tespit edilip bu yötem yardımı ile verilere ait matematiksel model elde edilmiştir Hz. ile öreklemiş bir akım siyalii 104 verisii kullaarak uygulama gerçekleştirilmiştir. Uygulama yapılırke öcelikle bu verileri kullaarak, matlab programıda 10e-11 de bir veri kaybı olacak şekilde siüs bileşeleride oluşa bir deklem elde edilmiştir. Elde Edile Model f(x) = a1*si(b1*x+c1) + a*si(b*x+c) + a3*si(b3*x+c3) + a4*si(b4*x+c4) + a5*si(b5*x+c5) (1) Tablo1. 1. Deklemi katsayıları a a 4.43 a a 4.8e-011 a b b b b b c c 1.13e-013 c e-014 c c 5 5.0e-015 Tablo 1. de elde edile deklem (1) i katsayıları suulmuştur. Siyale ait elde edile deklem aşağıda verilmiştir; i (7071/100*si(5007 /100000* t 4363/10000) 443/100*si(751/ 5000* t /15845) 707 / 5*si(503/10000* t / 5353) / 61897*si(303/ 000* t- 67 /100) 11/100*si(701/ 000* t /1676)) () 16

4 100 i Şekil 1. Kayıt edile veriler Şekil 1 de elektrik motoruu çektiği akımı gelik ve zama değerleri, matlab ortamıa alıarak gösterilmiştir. Şekil. Verilere uygu elde edile eğri Şekil de akıma ait verilerde geçe deklem siüsleri toplamı yötemi ile elde edilerek gösterilmiştir. Şekil 3.de ise uydurula eğride geriye kala hata verileri gösterilmiştir. Bu eğri uydurma işlemide Matlab programı kullaılmıştır. Kayıt edile datalara 10e-11 hata ve veri kaybı ile yakısama sağlamıştır. 17

5 gelik Selçuk-Tekik Dergisi ISSN Joural of Selcuk-Techic 150 siyali bir periyodu N=14 Akım zama Şekil 3.Siyali bir periyotu 3.Sıfır Geçiş Noktalarıı Belirlemesi ve Frekas Hesabı 3.1. Sıfır Geçiş Yötemi Sıfır geçiş tekiği sade bir yötem olduğu içi yaygı bir şekilde kullaılmaktadır. Acak iceleme hatası, siyali harmoikleri, oluşa gürültülerde vb. dolayı sıfır geçişleri belirlemede hatalar oluşmaktadır. Buula birlikte frekas değişikliklerii izlemede yavaş kalmaktadır. Çükü uygulamada sıfır geçişler acak yarım dögü geçtikte sora tespit edilmektedir. İstikrarlı bir souç alabilmek içi birçok dögüyü kullamak gerekir []. Doğru sıfır geçişleri tespit edebilmek içi yardımcı yötemleri kullaılması gerekir. Bu sıfır geçiş oktaları belirleirke, siyali yaklaşık bir periyotluk dilimie ait deklemi 0 ile 16 oktaları arasıdaki değerleri iceleerek deklemi pozitifte egatif değere, egatifte pozitif değere geçiş oktaları belirlemiştir. Bu oktalar sıfır geçiş oktaları olarak alımıştır. Bu geçiş oktaları yardımı ile işareti periyodu ve frekası hesaplamıştır. 3.. Sıfır Geçiş Noktalarıı tespit edilmesi 6400 Hz. örekleme frekası ile kayıt edile veri değerleri Matlab programı yardımı ile deklem deki akım deklemi elde edilmiş ve bu deklemi öcelikle sıfır geçiş oktaları tespit edilmiştir. Matlab programı yardımı ile hesaplaa sıfır geçiş oktaları: 1.deklem içi sıfır geçişleri; as =

6 Frekas Hesabı Periyot = *(1.sıfır geçiş oktası.sıfır geçiş oktası) P = *( ) = 16.8 s. (3) Örekleme frekası = 6400 Hz. f = örekleme frekası / bir periyot zamaı f = 6400 / 16.8 = Hz. (4) ts = 1/f = s. (5) Bir periyodu oluşması içi geçe zama s. bulumuştur Taylor ve Maclauri Formülleri Taylor formülü; b a ( b a) f ( b) f ( a) f '( a) f ''( a)... 1!! 1 ( b a) ( 1) ( b a) ( ) f ( a) f ( x1 ) ( 1)!! Bezer şekilde b a h ve 0 1 olarak x1 a h yapılırsa formül, (6) h h f ( a h) f ( a) f '( a) f ''( a)... 1!! 1 h ( 1) h ( ) f ( a) f ( a h) ( 1)!! Şeklii alır. Bu formül f( x) i artımıı x i artımı h ciside verir. (7) Taylor formülüde a 0, b x yapılırsa, Maclauri formülü adı verile; x x f ( x) f (0) f '(0) f ''(0) 1!! x x ( 1)!! 1 ( 1) ( )... f (0) f ( x) formülü elde edilir. Bua göre bu formül yardımıyla x i verilmiş ola bir değeri içi f( x ) foksiyouu (8) sayısal değeri isteile yaklaşıklıkta hesaplaabilir. O halde Maclauri formülü; x x f ( x) f (0) f '(0) f ''(0) 1!! 1 x ( 1)... f (0) x ( 1)! (9) 19

7 Şeklie girer. Bu formül x i sıfır civarıdaki değerleri içi f( x) i hesabıda kolaylık sağlar. h f ( a h) f ( a) hf '( a) f ''( a)...! 1 h ( 1) h ( ) f ( a) f ( a h) ( 1)! (10) Formülüdeki h,mutlak değer bakımıda yeter derecede küçük ve h li terim h lı terimi yaıda ihmal edilebilirse h ı daha yukarı derecelerii buluduğu terimlerde ihmal edilebileceğide f ( a h) f ( a) hf '( a) (11) yazılabilir. Daha yaklaşık bir değer bulumak isteirse, h f ( a h) f ( a) hf '( a) f ''( a) (1) Formülü kullaılır Sıfır geçişleri Taylor serisi yardımı ile daha kesi değerlere yaklaştırılması Frekas kestirim uygulamasıda Taylor serisii bilie bir foksiyoa yakısama özelliğii kullaarak. Daha öcede Matlab programı yardımı ile Taylor serisi açılımıyla eşit bir eğri elde etmek hedefledi. Taylor serisi belirli oktalara yakısama işlemii serii birkaç terimiyle gerçekleştirebilirke, belirli uzuluklardaki foksiyolara yakısama işlemi daha çok terimli Taylor serisi ile gerçekleşmektedir. İşlemleri uzu serilerde elle yapılması oldukça güçleşirke matlab programı yardımı ile kolayca çözülebilmektedir. Matlab programıı yazarke işareti sıfır geçişleri serii yakısama oktası olarak alımıştır. Bu oktaya yakısama yapa Taylor serisi deklemi matlab programı yardımı ile elde edilmiştir. Bu deklem i kökleri ise bize sıfır geçiş oktasıı 1e-4 doğrulukta vermektedir Taylor Serisi İle Sıfır Geçiş Noktalarıa Yakısama Ve Elde Edile Grafikler Negatif köke ait yaklaşım 130

8 gelik gelik Selçuk-Tekik Dergisi ISSN Joural of Selcuk-Techic Taylor Deklemii Grafiği 30 Taylor Foksiyo örek umarası Şekil 5. Taylor Deklemi ile Negatif köke Yakısama Taylor deklemii kökü matlab yardımı ile bulumuştur. Negatif kok = Birici köke ait yaklaşım Taylor Deklemii Grafiği 30 Taylor Foksiyo örek umarası Şekil 6. Taylor Deklemi ile 1.köke Yakısama 1.kök kök = İkici köke ait yaklaşım 131

9 gelik Selçuk-Tekik Dergisi ISSN Joural of Selcuk-Techic Taylor Deklemii Grafiği 0 15 Taylor Foksiyo kök kök = örek umarası 3.6. Bulua kökler yardımı ile frekas hesabı 3. Kök ile 1. kök arasıdaki farkta; Şekil 7. Taylor Deklemi ile.köke Yakısama Kök farkı = = f = Örekleme sayısı / bir periyottaki örek sayısı 6400 f Hz. (14) Tablo. Gerçek frekasla kestirile frekasları karşılaştırılması 1.Sıfır Geçiş Gerçek Frekas(Hz) Kestirile Frekas(Hz) Periyot (s) Yötemi Taylor Serisi ile iyileştirilmiş Yötem Tablo. de işarete ait gerçek frekas değeri 51 Hz. ike, sıfır geçiş yötemi kullaılarak kestirimi yapıla frekas değeri Hz. dir. Bu yötemi iyileştirilmesi olarak suula ve Hibrit bir yapıya sahip ola Taylor serisi ile frekas kestirimide elde edile frekas kestirim soucu Hz. olmuştur. 4. Souç 13

10 Bu geliştirile frekas kestirimi yötemi soucuda frekas çok küçük hata ile buluabilmiştir. Öcelikle işarete ait verilerde veri kaybı e az olacak bir şekilde siüsleri toplamı modeli kullaılarak matematiksel deklem elde edilmiştir. Bu deklem yardımı ile işaret işleme gerçekleştirilmiştir. İşarete ait gerçek frekas degeri 51 hz. İke, sıfır geçiş yötemi kullaılarak hesaplaa frekas olarak bulumuştur. Bu yötemi soucuda kestirile frekası Hata oraı% olmuştur. Sıfır geçiş yötemi ile birlikte Taylor serisi birleşik bir algoritma olarak kullaıldığı zama frekas olarak bulumuş ve hata oraı % düşmüştür. Böylece frekas kestirimide iyileştirme gerçekleştirilmiştir. Kayaklar [1] J.K. Wua, J. Loga, J.X. Waga, F. Hea. A ovel method for fudametal frequecy measuremet of multi-harmoic sigals with oises usig umerical differetiatio. Mechaical Systems ad Sigal Processig 005; 19(4): [] P.J. Moore, R.D. Carraza, A.T. Johs. Model system tests o a ew umeric method of power system frequecy Measuremet. IEEE Trasactios o Power Delivery 1996; 11 (): [3] M.M. Begovic, P.M. Djuric, S. Dulap, A.G. Phadke. Frequecy trackig i power etworks i the presece of Harmoics. IEEE Trasactios o Power Delivery 1993; 8 (): [4] C.T. Nguye, K. A. Sriivasa. A ew techique for rapid trackig of frequecy deviatios based o level crossigs. IEEE Trasactios o Power Apparatus ad Systems 1984; 103 (8): [5] M.S. Sachdev, M.M. Giray. A least error squares techique for determiig power system frequecy. IEEE Trasactios o Power Apparatus ad Systems 1985; 104 (): [6] V.V. Terzija, M.B. Djuric, B.D.Kovacevic. Voltage phasor ad local system frequecy estimatio usig Newto type algorithm. IEEE Trasactios o Power Delivery 1994; 9 (3): [7] Z. Salcic, Zheguo Li, U.D. Aakkage, N. Pahalawaththa. A compariso of frequecy measuremet methods for uderfrequecy load sheddig. Electric Power Systems Research 1998; 45:

11 [8] M.S. Sachdev, H.C. Wood, N.G. Johso. Kalma filterig applied to power system measuremets for relayig. IEEE Trasactios o Power Apparatus ad System 1985; 104 (1): [9] A.G. Phadke, J.S. Thorp, M.G. Adamiak. A ew measuremet techique for trackig voltage phasors, local system frequecy, ad rate of chage of frequecy. IEEE Trasactios o Power Apparatus ad Systems 1983; 10 (5): [10] A.A. Girgis, F.M. Ham. A ew FFT-based digital frequecy relay for load sheddig. IEEE Trasactios o Power Apparatus ad Systems 198; 101: [11] Mileko B. Djuri c, Zeljko R. Djurisic. Electric Power Systems Research Frequecy measuremet of distorted sigals usig Fourier adzero crossig techiques. Electric Power Systems Research 008; 78(8): [1] Ke-Ju Xu, Xiao-Fe Wag a, Yog- Sha Li a. Fudametal wave extractio ad frequecy measuremet based o IIR wavelet filter baks. Measuremet 007; 40: [13] H.P. Yi, D. Duhamel, P. Argoul. Natural frequecies ad dampig estimatio usig wavelet trasform of a frequecy respose 004; 71(3-5): fuctio. Joural of saud ad vibratio [14] Tadeusz Lobos ad Jacek Rezmer. Real-Time Determiatio of Power System Frequecy. IEEE Trasactıos o Istrumetatıo ad Measuremet 1997; 46(4):