Bernoulli Say lar Üzerine Ali Nesin /

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Bernoulli Say lar Üzerine Ali Nesin /"

Gülbahar Karaduman
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Mateat Düyas, 2009-III-IV Beroull Say lar Üzere Al Nes / aes@blgedutr e say s, MD-2007-IV, sayfa 28 de, e 0! olara ta la flt Bu yaz aac ç, e yuarda gb br ser olara göre yere, br bçsel uvvet sers, ya atsay lar br zaa sora 0 ola zoruda olaya br tür sosuza adar uzay gde olo olara göreblrz [MD II, sayfa 2-8] Bu bçsel uvvet sers atsay lar dedr elbette Ya e er sterse, e [[]] varsay yaablrz Aalzde braz daha ler sevyede ola our, e br fosyo olara al yuarda efltl e Taylor sers olara da göreblr Ded z gb bu ba fl aç lar hçbr bu yaz ç fareteyece Aa bz e daha ço br uvvet sers olara göre taraftar y z fd ( ) e fadese baal Bu fadey braz aça z gerer, çüü e dee oldu u e bell de l E er bu fadey br fosyo olara göre sterse, = 0 duruuda e alaa geld aç laal - y z Sürell orua aac yla, = 0 se fosyou olara ta layal, çüü l0 e dr (Nede?) Aa daha da do rusu bu fadey bçsel br Lauret sers, ya bçsel br uvvet sers (ya ) bölü br bafla bçsel uvvet sers (e ) olara göretr Braz hesa yaarsa ayday ortada ald r bu fadey br Lauret sers yere bçsel br uvvet sers olara yazablrz: e 0!!!! 2! ( )! E soda fade aydas da bulua uvvet sers ters vard r, çüü sabt say s dr ve sabt say s tersr ola uvvet serler tersrdr (ya çar sal tersler de uvvet serlerdr, MD-2004-II, sayfa 4, Teore 2) Nte, ( )! 2 ( )! ( )! 4 ( )! ( )! Sa tarafta sosuz tola fazla orutas (braz orutablr aa!) çüü bu tola sosuz ble olsa her uvvet atsay s hesalaablr Öre, e adar ola atsay lar hesalaa ç odülo 4 çal fl, ya 4 = 0 efltl varsay, sadece ( )! ( )! ( )! olo çar hesalaa yeterldr [Bz MD-2004-II, sayfa 5, Ösav 4] Dee sted z flu, e fades (uvvet sers olara, aa fosyo olara da) 2 ( )! ( )! ( )! 4 ( )! ( )! fadese eflttr Braz zahetle de olsa bu fade l braç ter hesalayablrz: !!!! 660! Oura bu terler braç elle hesalaas tavsye ederz Her ö rec bu tür hesalar hayat da braç ez yaal d r Souç olara, () fades asl da bçsel br uvvet sersdr Bu bçsel uvvet sers atsa- 2 5

2 Mateat Düyas, 2009-III-IV y lar B /! olara yazal : j B j e ( )! 0! 0 B say lar a, bu say lar l bula fl ola Jacob Beroull ourua der l Beroull say lar flöyledr: B 0 =, B = /2, B 2 = /6, B 4 = /0, B 6 = /42, B 8 = /0, B 0 = 5/66, B 2 = 69/270, B 4 = 7/6, B 6 = 67/50, B 8 = 4867/798, B 20 = 746/0 Brazda a tlayaca z üzere, > br te say ysa, B = 0 d r Sa ld terse Beroull say lar hesalaa ç aal forüller vard r, aa bld adar yla bu forüller hçbr bast de ldr Ya Beroull say lar hesalaa olay de ldr Mateat hee hee her dal da arfl - lafl l r Beroull say lar yla: Say lar ura da (Rea zeta fosyouda ya da brazda görece- z üzere de ye adar ola do al say lar c uvvetler tola da), aalzde (tajat fosyouu Taylor sersde ya da Euler-Mac- Laur forülüde), toolojde (Kervare-Mlor forülüde) ve obatorte Teore E er > br te say ysa, o zaa B = 0 Ka t: Bast br hesa yaal öce: 2 e e e e e( e 2 e( e e( e( 2 e( e( Yuarda fadeler ster fosyo olara, ster bçsel uvvet sers olara görü, faretez E sa da fadede yere oyarsa, fade de flez Dee solda fade de bu de flde etleez Aa B = /2 oldu uda, solda fade, B! fadese eflttr Bütü bularda, B ( ) B!! efltl ç ar Aa bçsel uvvet sers, aca ve aca ay atsay lara sahse eflttr Dee, tese ve de de flse, B B!!, ya B = 0 fd B lar tüevar la hesalaaya yarayaca br forül bulal : Teore 2 Her > ç B 0 0 Ka t: Kolay br hesa: B e 0! efltl de B e 0! ç ar Buu açarsa, B! 0 elde ederz fadelere bçsel uvvet sers uaeles çe her taraf atsay lar efltled zde 2 ç, elde ederz B e 0! B 0!! B,!! B 0 0 Yuarda teorede tüevar la,!b lfls olayl la elde edlr, ya B say lar aydas da ( + )! ola esrl say lard r Aa brazda buda ço daha güçlü br teore a tlayaca z 4

3 Mateat Düyas, 2009-III-IV Beroull say lar S () = () tolalar bulada ço fle yararlar: Teore Her 0 ve > ç B S ( ) 0 Daha aç bçde yazaca olursa, teore, S () say lar B B B B 0 2 bçde yaz ld söylüyor 0 2 Kuvvetler Tola de ye adar ola do al say lar c uvvetler tola es ça larda ber ateatçler eflgul etfltr Bu ouda çal fla öcü ateatçlerde baz lar : Psagor (MÖ ~ ), Arflet (MÖ ), Htl Aryabhata (do uu 476), ral Ebuber el Karac (do uu 09), M s rl Al Hayta (965-09) glz ateatç Thoas Harot (560-62), dördücü uvvetlere adar ola tolalar vere sgesel br forül bula l ateatç olufltur 6 de, Ala Joha Faulhaber (580-65) Acadea Algebra adl tab da tolalar 7 c uvvete adar hesala flt r svçrel ateatç Jacob Beroull ( ), sabt br B 0, B, B 2, B, dzs ullaara uvvetler tola te elde vere br forül bula l ateatç olufltur Forülü buldu uda, br etubuda Bu cetvel (ya B dzs) sayesde, 000 e adar ola say lar oucu uvvetler tola oldu uu bula br çeyre saat yar s da daha az zaa ald, dye yaz flt r Teore Üzere Notlar: ) S () = ( ) tola da, yazad z 0 y da sayarsa ta tae say var Öte yada, teorede forülde tolaaca tae ter var 2) S () = () fades oloa bezer br ya yo Bu fadede yere oya aca br ç lg l belrts olara görüleblr Öte yada, teorede forülde y br de- fle olara al rsa, bu fade br olo oldu uu görürüz B S ( ) [ ] 0 Olduça flafl rt c ) Teore sayesde, (B ) dzs blrse S () say lar br ç r da hesalayablrz Teore ü Ka t : Her fley bast br hesata ç yor asl da Br yada 2 e e e e e ( ) e e ( ) 0! Bj j j0 j! 0 ( )! efltl, öte yada, efltl geçerl Katsay lar efltleyere, ya Bj j! j0 j! Bj j 0 ( )! j0 j! 0 j 0 ( )! 0 ( )! Bj ( )! j! j ( )! Bj ( )! j! Bj j B 0 2 e e e ( ) e 0 ( ) 00 0! 0! 0 0! 0! 0 0 S ( )! S ( ) B 0! ( )! 5

4 Mateat Düyas, 2009-III-IV S( ) B 0 elde ederz Bu forülde yere al rsa, olayl la teorede forülü buluruz Teore 2 de,!b soucuu elde etflt, ya B y aydas da ( + )! ola br say olara yazablrz fd buda daha güçlü br souç elde edece z: B, aydas da asal ve, 'y böler ola br esrl say d r Yazar, soucu öede ço a t güzell de etled traf eder! Teore 4 [vo Staudt-Clause 840] E er br çft say ysa, o zaa, B q asal ve q q Afla da, forülü do rulu ua dell olara braç öre sudu B2 2, B4 2 5, B6 2 7, B8 2 5, B0 2, B , B4 2 2, B6 6, B , B Teore 4 ü a t uzu sürece Öce br ta gereyor; ard da braç yard c souç a tlayaca z br asal say olsu E er q 0 br esrl say ysa, ye bölüeye a ve b tasay lar ve br tasay s ç, q a b tasay s q taraf da belrlefltr Bu duruda, val (q) = yazal Ayr ca val (0) = ta yaal Böylece val : {} br fosyo Braç öre verel: val () = val () = 0, val (9/7) = 2, val 7 (9/7) =, val 2 (9/7) = 0, val 5 (250/7) =, val ( ) = E er her ve her \ {0} ç, + = + =, <, = varsay lar yaarsa, bu fosyou flu özelller vard r: val Fosyouu Özelller: Her a ve b esrl say s, her > 0 do al say s ve her asal say - s ç flu özelller geçerldr: val (a) = a= 0, aher asal say s ç val (a) 0, val () = val () = 0, v val (a) = val (a), v val (ab) = val (a) + val (b), v val (a ) = val (a), v val (a ) = val (a), v val (a + b) {val (a), val (b)}, E er val (a) val (b) se, val (a + b) = {val (a), val (b)} Ka t: Bular her br a t olayd r ve oura b ra l flt r v ve v özelller say da say ya geellefltrleblr elbet Öel br olgu s flt ral araya: (,, v) özelller sayesde, e er (0, ) se d(a, b) = val() ta üzere br etr verr; geellle = / al r (Bz sayfa 5, Öre ) Teore 4 ü a t da ullaaca z br soucu a tlayal fld Buda böyle br asal ve > 0 br do al say y tesl edece 6

5 Mateat Düyas, 2009-III-IV Ösav 5 > 0 br do al say ysa S ( + ) S ( ) od + Ka t: E er = se souç olay ve oura b - ra l flt r Buda böyle > olsu E er te se, souç Teore de ç ar Buda böyle çft oldu uu varsayal E er 0 < + se, y ye bölere, br ve br te 0 u < ve 0 v < özelller sa laya (u, v) çft ç = u + v elde ederz Bu olguyu ullaara S ( + ) say s od + hesalayal S 0 0u, 0v 0u, 0v S ( ) v ( ) 2 0v E er 2 se souç hee ç ar E er = 2 se, souç çft olas da ç ar Souç 6, > 0 do al say olsular O zaa S S Ka t: Br öce ösava göre, her > 0 ç, ( u v) ( v v u ) v v u 0u, 0v 0u, 0v S v ( ) u 0u, 0v S v ( ) u 0v 0u S S Souç (teleso tolalar sayesde), buda hee ç ar S( ) Souç 7 val B 0 Ka t: Teore e göre B S ( ) 0 Dee, S( ) B 0 fd burada yere alal : S( ) B ( ) 0 Dolay s yla, S( ) B B ( ) 0 fd taraf da val s alaca z Sa tarafta B atsay lar val ler e üçü üe v dyel O zaa, val v ve v özelllerde dolay S( ) val B v Dee y yeterce büyü seçere, say s dled z adar büyü, öre oztf yaablrz Böyle br seçel Ayr ca, Souç 6 ya göre, S S val 0 So soucu br araya getrere ve v özell ullaara sted z soucu elde ederz Ösav 8 S (od ) e er ( ) se 0 (od ) as halde Ka t: br asal oldu uda, / solu ( eleal ) br csdr Dolay s yla (/)* = / \ {0}, ües, çara alt da, eleal dögüsel br grutur [MD-2004-I, sayfa 6, Souç 4] Dolay s yla e er say s y bölüyorsa, (/)* grubuu c uvvet olaya br elea vard r Bu elea de br teslcse a dyel O zaa, S a a ( ) a a S Aa a 0 od Dolay s yla bu duruda S () 0 od fd y böldü üü varsayal O zaa her / \ {0} ç = Dolay s yla, S( ) val B S 7

6 Mateat Düyas, 2009-III-IV Souç 9 E er, y bölüyorsa S ( )/ As halde S ( )/ + / Ka t: Souç 6 = e uygulaas da ve Ösav 8 de hee ç ar Souç 0 E er, y bölüyorsa val (B ) 0 As halde val (B + ) 0 Ka t: Souç 7 ye göre S( ) val B 0 E er, y bölüyorsa, Souç 9 a göre, S ()/, ya val (S ()/) 0 Dolay s yla, S( ) S( ) valb valb S( ) S( ) B, 0 E er, y bölüyorsa, Souç 9 a göre, S ()/ + /, ya val (S ()/ + /) 0 Dolay s yla, S( ) S( ) valb val B S( ) S( ) B, 0 sted z a tlad Teore 4 ü Ka t [Wtt]: W say lar flöyle ta las : W B q asal ve q q herhag br asal olsu E er say s y bölüyorsa, ya W yuarda ta da tolada yer al yorsa, o zaa, Souç 0 a göre, valw val B q asal ve q ve q q valb, val q asal ve q ve q q 0 E er say s y bölüyorsa, ya W yuarda ta da tolada yer al yorsa, o zaa, gee Souç 0 a göre, valw valb q asal ve q q valb, valq asal ve q q 0 Dee hag asal say olursa olsu, val (W ) 0 Bu da aye W deetr Teore 4 ü a - t btfltr Kayaça J W S Cassels, Local Felds, Lodo Matheatcal Socety, Studet Tets (986) 8

Benzer belgeler

32. Kardinal Say lar, Tan m ve lk Özellikler

32. Kardinal Say lar, Tan m ve lk Özellikler 32. Kardial Say lar, Ta ve l Özelliler Her üei iyis ralaabilece ii a tla flt (Teore 24.1). Özel iyis ral üeler ola ordialleri de Bölü 10 da ta la flt. Ordiallerde iyis ralaa iliflisiyle verilir, yai bir