Sayısal Analiz(Prof. Dr. Erhan Coşkun, KTU,

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Sayısal Analiz(Prof. Dr. Erhan Coşkun, KTU,"

Transkript

1 Bölüm 1 Sayısal Analiz(Prof. Dr. Erhan Coşkun, KTU, erhan@ktu.edu.tr) Bu bölümde matematiksel analiz türleri olarak bilinen analitik, sayısal, kalitatif ve sembolik analiz yöntemlerini kısaca tanıtarak, sayısal analiz yönteminin bütün aşamalarınıüç elemanter örnek üzerinde inceliyoruz. 1.1 Matematiksel analiz yöntemleri Çözümü matematiksel yöntemlerin kullanılmasınıgerektiren bir problemin, ilgili matematiksel yöntemler yardımıyla incelenmesine veya diğer bir değimle analiz edilmesine matematiksel analiz adıverilmektedir. Herhangi bir matematiksel problem analitik, sayısal, kalitatif veya sembolik analiz adıverilen yöntemlerden birisi veya birden fazlasıyardımıyla analiz edilebilir. Analitik analiz, matematiksel problemleri çözerken sıkça kullandığımız analiz yöntemidir. Bu analiz yöntemi ile verilen problem, kağıt ve kalem yardımıyla ve bilinen çözüm yöntemleri ve matematiksel argümanlar kullanılarak çözülür ve elde edilen çözüm irdelenir. Analitik analiz yöntemi, matematiksel analiz yöntemlerinden akla gelen ilk yöntemdir, ancak bu yöntem her problem için ve özellikle son yüzyılda uygulamalı matematik kapsamında incelenmesi gereken problemlerin analizi için yeterli bir analiz yöntemi değildir. Konuya ışık tutmasıaçısından aşağıda sunulan ve bir kısmıortaöğretim matematik ders müfredatlarında ve diğer bir kısmıise elemanter lisans ders-

2 2 Sayısal Analiz(Prof. Dr. Erhan Coşkun, KTU, lerinde incelenen temel konulardan bir kaçına göz atalım: 1. a, b, c R ve a 0 olmak üzere ax 2 + bx + c = 0 denkleminin köklerini belirlenmesi, 2. a ij R, b i R olmak üzere denklem sisteminin çözümü, a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b sin(x)dx integralinin hesaplanması, 4. (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ) noktalarından geçen doğru denkleminin belirlenmesi ve son olarak ta 5. y = t y, t (a, b), y(a) = y 0 başlangıç değer probleminin çözümünün belirlenmesi problemlerini gözönüne alalım. Birinci problem için analitik analiz mümkündür: Kısaca denklem köklerini veren x 1,2 = b ± b 2 4ac 2a formülü mevcuttur. O halde bu problem analitik yöntemle çözülebilir. Ancak şimdi de veya ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 denklemlerinin köklerini bulmaya çalışalım. Bu durumda 3. veya 4. dereceden polinomların köklerini bulmamız gerekmektedir. Söz konusu denklem köklerinin belirlenmesi için de formüller 1 ve 2 mevcuttur, ancak pratik olarak uygulanamayacak kadar karmaşıktırlar. 1 Ömer Hayyam( , İranlı) 2 Girolamo Cardano ( , İtalyan)

3 1.1 Matematiksel analiz yöntemleri 3 İkinci problem lineer bir denklem sistemidir ve çözümü yoketme yöntemi adını verilen bir yöntemle kolayca belirlenebilir. Ancak denklem ve bilinmeyen sayısı arttığında sistemin "kağıt-kalem" çözümü aşırı dikkat ve zaman gerektirir ve hatta belirli bir noktadan sonra ise mümkün olmaz. Oysa özellikle mühendislikte bir çok araştırma problemi binler, yüzbinler ve hatta milyonlarca bilinmeyenli lineer sistemlerin çözümünü gerektirmektedir. Üçüncü probleme gelince 1 0 sin(x)dx = 1 cos(1) olduğunu kolayca görebiliriz. Ancak şimdi de 1 0 sin(x 2 )dx intregralini göz önüne alalım. Türevi sin(x 2 ) fonksiyonuna eşit olan ve sonlu sayıda elemanter fonksiyonunun lineer kombinasyonu biçiminde ifade edilebilen hiç bir fonksiyon bulamayız. Bu ve benzeri bir çok fonksiyonun sonlu sayıda elemanter fonksiyonun lineer kombinasyonu biçiminde ifade edilebilen belirsiz integrali mevcut değildir. O halde bu problem için de analitik analiz yöntemi uygun bir yöntem değildir. Dördüncü probleme baktığımızda x 0 x 1 için (x 0, y 0 ),(x 1, y 1 ) noktalarından geçen doğru denkleminin y = y 0 + y 1 y 0 x 1 x 0 (x x 0 ) bağıntısıyla verildiğini hatırlayalım. Ancak en genel halde, verilen keyfi sayıdaki(örneğin n 3) (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) (1.1) nokta kümesini esas alarak, istenilen bir r x i, i = 0, 1,..., n noktasındaki değeri tahmin etme işlemi olarak bilinen interpolasyon işlemi analitik analiz kapsamında değerlendirilemez. Benzer biçimde (1.1) ile verilen noktalarından geçen polinomun hesaplanması için formül mevcut olsa da elde edilen polinomun istenilen bir noktadaki değerinin hesaplanmasıveya bu noktalara yeterince yakın uygun biçimdeki eğrinin belirlenmesi problemi(eğri uydurma) analitik analiz kapsamında incelenebilecek problemler değildir.

4 4 Sayısal Analiz(Prof. Dr. Erhan Coşkun, KTU, Son olarak beşinci problem birinci mertebeden sabit katsayılıbir başlangıç değer problemidir ve çözümü olarak elde edilir. Ancak şimdi de y = t 1 + (1 a + y 0 )e (a t) y = t y 2, t (a, b) y(a) = y 0 başlangıç değer problemini göz önüne alalım. Bilinen analitik yöntemlerle problemi çözebilir miyiz? Yukarıda gözönüne aldığımız problemlerin bir kısmında veri sayısının artması ve diğer bir kısmında ise problem formülasyonununda yapılan ufak değişiklikten sonra analitik analizin artık mümkün olmadĭgınıgözlemliyoruz. Bu durumda sıkça başvurulan yöntemler sayısal analiz yöntemleridir. Sayısal analiz, genellikle analitik analizin mümkün olmadığıveya bu yöntemle elde edilen çözümün kullanışlı olmadığı durumlarda bilgisayar yardımıyla problemin gerçek ya da genellikle yaklaşık çözümünü belirleme yöntemidir. Genellikle bilgisayar ortamında gerçekleştirilebilen sayısal analiz yöntemleri, matematiğin doğuşu itibariyle kullanılmakta olan analitik analiz yöntemlerine kıyasla oldukça yeni bir yöntem türüdür ve özellikle XX. yüzyılın ikinci yarısında gelişen ve yaygınlaşan bilgisayar teknolojisine paralel olarak önem kazanmıştır. Sayısal yöntemler olarak adlandırılan sayısal analiz yöntemleri ise çok çeşitli araştırma alanlarında kullanılmakta olup, bu kaynağın esas konusunu teşkil etmektedirler. Öte yandan kalitatif analiz ise çözümü belirlemeksizin(ya da belirleyemeksizin) çözüm hakkında bilgi edinmeyi sağlayan analiz yöntemidir. Bu yöntem de modern ve kısmen yeni bir analiz yöntemidir. Örneğin bir diferensiyel denklemi çözmeden yön alanlarıyardımıyla çözüm eğrilerinin davranışı belirlenebilir. Şekil 1.1 de y = y(1 y) diferensiyel denklemi için elde edilen yön alanları(kısa çizgiler) ve bazıçözüm eğrileri(sürekli çizgiler) görülmektedir. Bu örnekte gösterilen yön alanları herhangi bir yazılıma ihtiyaç duyulmadan da elde edilebilir. Elde edilen yön alanlarına teğet olan çözüm eğrilerinin davranışıkolayca tahmin edilebilir. Son olarak sembolik analiz yönteminden bahsedelim. Sembolik analiz, analitik analizi mümkün olan ancak daha çok işlem karmaşıklĭgına neden

5 1.1 Matematiksel analiz yöntemleri 5 Şekil 1.1: Kalitatif analiz örneği: y = y(1 y) denkleminin yön alanlarıve bazıçözüm eğrileri. olan problemlerin analitik çözümlerinin bilgisayar cebir programı adı verilen programlar yardımıyla elde etme yöntemidir. Sembolik analiz, 1980 li yıllar itibariyle geliştirilen Maple[2], Mathematica[3], Maxima[6,7], veya MATLAB[3,4] sembolik araç kutusu veya daha değişik yazılımlar yardımıyla gerçekleştirilebilen ve kısmen yeni bir analiz yöntemidir. Aşağıda verilen başlangıç değer problemini gözönüne alalım. y + y = x (1.2) problemin analitik çözümünün y(0) = 0, y (0) = 0 (1.2) y = (x 2 2x + 2)/2 e x ile verildiği yukarıda bahsedilen yazılımlardan herhangi birisi yardımıyla kolayca görülebilir. Şekil 1.1 de verilen yön alanlarımaxima yazılımının plotdf fonksiyonu yardımıyla elde edilmiştir. MATLAB/Octave ve Maxima nın matematiksel amaçla kullanımıözetle ve sırasıyla [?] ve [?] da incelenmektedir.

6 6 Sayısal Analiz(Prof. Dr. Erhan Coşkun, KTU, 1.2 Sayısal analiz süreci Sayısal analiz süreci uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem ile başlayıp, problemin çözümü için gerekli sayısal yöntem(ve mümkünse yakınsaklık analizi), söz konusu sayısal yöntem için geliştirilen algoritma, algoritmanın uygun bir programlama diline dönüştürülmüş kodu veya diğer değimle programı, geliştirilen programın örnek problemler üzerinde test edilmesi(uygulama) ve sonuç, yorum, yöntemin kritiği ile mümkünse zayıf yönler için alternatif arayış aşamalarından oluşmaktadır. Sayısal analiz aşamalarını verilen bir fonksiyonun sıfıryeri için bir yaklaşım belirleme problemi üzerinde inceleyelim: Örnek 1: Verilen bir aralıktaki sıfıryeri için yaklaşım belirleme problemi 1. Problem: f fonksiyonu [a, b] aralĭgında tanımlıve aralĭgının uç noktalarında işaret değiştiren (yani, f(a)f(b) < 0 ) sürekli bir fonksiyon olsun. Fonksiyonunun [a, b] aralĭgındaki r sıfıryeri için yeterince küçük ɛ > 0 ile f(c) < ɛ kriterini sağlayan c = r yaklaşımınıbelirleyiniz. Öncelikle problemin çözümünün varlığına dikkat etmeliyiz. Sürekli fonksiyonlar için aradeğer teoremi gereğince f fonksiyonunun [a, b] aralığında en az bir reel sıfır yeri olduğunu biliyoruz. O halde problemin çözümü mevcuttur, yani f(c) < ɛ kriterini sağlayan en az bir c = r sıfıryeri yaklaşımımevcuttur. Bir sonraki aşama ise problemin elektronik ortamda çözümünü mümkün kılacak olan ve sayısal yöntem olarak bilinen uygun bir matematiksel yöntemin belirlenmesidir.

7 1.2 Sayısal analiz süreci 7 2. Sayısal Yöntem( ikiye bölme yöntemi): Sayısal yöntem problemin elektronik ortamda çözümü için ne yapılmasıgerektiğini ifade eder. Bu amaçla ikiye bölme yöntemi adıverilen sayısal yöntemi kullanalım. Bu yöntem ile [a, b] aralığıile başlanarak, bu aralık her adımda iki eşit parçaya bölünür ve fonksiyonun işaret değiştirdiği alt aralık belirlenir. Aralık bölme işlemine fonksiyonun işaret değiştirdiği yeni aralık ile devam edilir. İşlemin ne zaman sonlandırılacağınısonuçlandırma kriteri adıverilen kriter belirler. Sonuçlandırma kriteri olarak, belirlenen yeni aralĭgın orta noktasındaki fonksiyon değerinin mutlak değerce ɛ dan küçük olma kriteri olarak kabul edelim. Bu durumda elde edilen en son alt aralığın orta noktasını sıfıryeri için bir yaklaşım olarak kabul edebiliriz. Öteyandan elde edilen en son aralığını uzunluğunun yeterince küçük pozitif bir sayıdan küçük olmasıkriteri gibi daha değişik sonuçlandırma kriteri de kullanılabilir. Sayısal yöntem seçimini, bu yöntem için geliştirilen algoritma takip etmelidir. 3. Algoritma: Sayısal yöntemin hangi adımlarıtakip edilerek, nasıl uygulanacağınıifade eder. kullanıcıdan Girdi(input) adıverilen verilerin alınması, yöntemin icrasıiçin gerekli her bir adım ve kullanıcıya iletilecek sonuçların(çıktıveya Output) açık ve net bir biçimde ifade edildiği komutlar kümesidir. Buna göre model problemimiz için Algoritma 1.1 aşağıda sunulmaktadır. (a) adımında kullanıcının sıfıryerini belirlemek istediği fonksiyonu ve bu fonksiyonun işaret değiştirdiği aralığının uç noktalarıile sıfıryerini içeren en son alt aralığın ölçüsü olan ɛ > 0 sabitini tanımlamasıistenmektedir. (b) de f(a)f(b) > 0 edilmektedir. olması durumda yönemin çalışmayacağı ifade

8 8 Sayısal Analiz(Prof. Dr. Erhan Coşkun, KTU, Algoritma 1.1 İkiye bölme yöntemi algoritması. (a) Girdi: f, a, b, ɛ (b) Eğer f(a)f(b) > 0 ise çık (c) c = (a + b)/2 alt aralığın orta noktası, a, c, b, f(c) değerlerini yaz (d) f(c) > ɛ olduğu sürece i. Eğer f(a)f(c) < 0 ise b = c, değilse a = c (sıfıryerini içeren yeni [a, b] aralığı) ii. c = (a + b)/2 iii. a, c, b, f(c) değerlerini yaz (c) de [a, b] aralığının orta noktasıbelirlenmekte ve c değişkenine atanmakta ve a, c, b, f(c) değerleri yazdırılmaktadır. (d) de f(c) > ɛ olduğu sürece (d) (i) de sıfır yerini içeren alt aralık belirlenerek, bu alt aralık tekrar [a, b] aralığı olarak adlandırılmaktadır. Eğer f(a)f(c) < 0 ise yeni [a, b] = [a, c], yani b = c, değilse yeni [a, b] = [c, b], yani a = c dir. (d) (ii) de yeni alt aralığın orta noktasıbelirlenmekte (d) (iii) de ise a, c, b, f(c) değerleri yazdırılmaktadır. 4. Program(Kod): Bir sonraki aşama ise algoritması belirlenen probleme ait program geliştirme aşamasıdır. Bu aşama algoritma ile belirlenen komutlar kümesinin Bilgisayar Dili ne dönüştürülmesi aşamasıdır. Bu bağlamda uygun bir dil(basic, Pascal, Fortran, C, vs) veya Programlama Dili olarak ta kulanılabilen ve oluşturulan programlara zengin kütüphane desteği veren yazılımlar da tercih edilebilir. Uygulamalarımız için çoğunlukla MATLAB veya aynı yazım kurallarınıkullanan Octave ı[?] kullanıyoruz. Yukarıdaki problem için Octave programıaşağıda verilmektedir. Octave (http : // tware/octave) adresinden kolayca erişilebilen ücretsiz bir yazılımdır ve matematiksel işlemler için kullanımı[?] de özet olarak incelenmiştir. 5. Uygulama

9 1.2 Sayısal analiz süreci 9 function c=ikibol(f,a,b,eps) % f fonksiyonunun [a,b] aralığındaki % sıfıryerini ikiye bölme yöntemi ile bulur. % Yazılımı: c=ikibol(f,a,b,eps) % eps>0 yeterince küçük bir sabit % if f(a)*f(b)>0 error("ikiye bolme yöntemi uygulanamaz"); end; c=(a+b)/2; fprintf( a c b f(c) \n ); fprintf( %9.6f %9.6f %9.6f %9.6f\n, a, c, b, f(c)); while abs(f(c))>eps if f(a)*f(c)< 0 b=c; else a=c; end c=(a+b)/2; fprintf( %9.6f %9.6f %9.6f %9.6f \n, a, c, b, f(c)); end % Program 1.1: MATLAB/Octave ile ikiye bölme yöntemi uygulaması.

10 10 Sayısal Analiz(Prof. Dr. Erhan Coşkun, KTU, ÖRNEK 1.1. f(x) = cos(x) x fonksiyonunun [0, 2] aralĭgındaki sıfıryerini ikiye bölme yöntemi yardımıyla belirleyiniz. Çözüm. f fonksiyonunu f=inline( cos(x)-x ); komutu ile tanımlayalım. Daha sonra aşağıdaki komut yardımıyla Program 1.1 i çalıştırarak aşağıda gösterilen sonuçlarıelde edebiliriz. >>ikibol(f,0,2,1e-5) ans = Yakınsaklık Analizi Hazırlanan programın doğru çalıştığının kontrol edilmesini takip eden son aşama ise elde edilen sonuçların irdelenmesi ve yorumlanmasıdır. Bu bağlamda cevaplandırılmasıgereken sorular:

11 1.2 Sayısal analiz süreci 11 Yöntemin söz konusu aralıktaki sıfıryerini her zaman belirleyip ya da belirleyemeyeceği(teorem 1.1) Sıfıryerini belirleyebilme hızı(orta noktalardan oluşan dizinin yakınsama hızı). Bu sorulara vereceğimiz cevaplar yardımıyla yöntemin yakınsaklığı, yakınsama hızıve bilgisayar sistem kaynaklarınıhangi düzeyde kullandığı konusunda bilgi sahibi oluruz. Bu bilgiler yöntem ait kimlik bilgileridir ve bir diğer yöntemle karşılaştırılırken kullanılır. TEOREM 1.1. f fonksiyonu [a, b] = [a 1, b 1 ] aralĭgının uç noktalarında işaret değiştiren sürekli bir fonksiyon ve r de fonksiyonun her n için f(a n )f(b n ) < 0 şartınısağlayan [a n, b n ] aralĭgındaki sıfıryeri ve {c n } n=1 ise c n = (a n +b n )/2 ile tanımlanan orta noktalar dizisi olsun. Bu taktirde dir. r sıfıryeri için lim c n = r n r c n b n a n 2 olduğu açıktır. Öte yandan her bir alt aralığın uzunluğu önceki alt aralığın uzunluğunun yarısına eşit olduğundan r c n b n a n 2 = b n 1 a n 1 = = b 1 a n elde ederiz. Yukarıdaki eşitsizlikten lim n r c n = 0 elde ederiz. Öte yandan r c n r c n r c n eşitsizliği ve genel matematik dersinden bilinen sıkıştırma teoreminden sonuç açıkça görülür. TANIM 1.1. Bir r noktasına yakınsayan {c n } n=0 dizisi verilmiş olsun. Eğer her n N için r c n+1 α r c n β

12 12 Sayısal Analiz(Prof. Dr. Erhan Coşkun, KTU, eşitsizlĭgi sağlanacak biçimde α > 0, β 1 reel sayılarıve N > 0 tamsayısı mevcutsa {c n } n=1 dizisi β-ıncı basamaktan yakınsak bir dizidir denir. β = 1 olması durumunda yakınsama için α (0, 1) olmalıdır ve bu durumda diziye lineer yakınsak dizi adı verilir. β = 2 olması durumda ise diziye kuadratik yakınsak dizi adıverilir. İkiye bölme yöntemi için ve r c n+1 b n+1 a n+1 2 r c n b n a n 2 eşitsizliklerini karşılaştırarak r c n+1 = 1 2 r c n = 1 b n a n 2 2 elde ederiz. O halde yöntem lineer olarak yakınsaktır ve r c n+1 / r c n = 1 sabiti ise ortalama yakınsaklık oranı olarak 2 tanımlanır. 7. Alternatif Arayışlar En iyi sayısal yöntem, gerçek sonucu en büyük hassasiyetle ve minimal bilgisayar bellek ve zaman kaynağıkullanımıile elde eden yöntemdir. Alternatif olarak daha değişik yöntemler uygulanabilir: Kirişle Bölme(Regula Falsi, false position) yöntemi: Genellikle Regula Falsi olarak bilinen yöntem, her adımda aralığıorta noktasından ikiye bölmek yerine, (a, f(a)), (b, f(b)) noktalarınıbirleştiren kirişin x eksenini kesim noktasıyardımıyla aralığıiki alt parçaya böler. Kirişin ekseni kesim noktasınıbelirlemek için öncelikle kiriş denklemini gözönüne alalım: y = f(a) + f(b) f(a) (x a) b a Bu doğrunun x = c olarak adlandıracağımız x eksenini kesim noktasını, y = 0 alarak x = c = a (b a) f(a) (1.3) f(b) f(a)

13 1.3 Diğer alternatif yaklaşımlar 13 olarak elde ederiz. Bu yönteme ait algoritmayı, Algoritma 1.1 de küçük bir değişiklik yapmak suretiyle elde edebiliriz: Algoritma 1.1 de c = (a + b)/2 yerine almak yeterlidir. c = a (b a) f(b) f(a) f(a) Uyarı. ikibol.m isimli dosyada da aynı değişiklĭgi yaparak elde ettĭginiz programı kirislebol.m isimli dosyada kaydediniz. function ikibol(f,a,b) satırınıise function kirislebol(f,a,b) olarak değiştirmeyi unutmayınız. 1.3 Diğer alternatif yaklaşımlar Bir diğer alternatif ise kiriş yöntemidir: Kiriş Yöntemi: Kirişle bölme yöntemindeki sıfıryerini içeren aralıkla başlayıp(yani f(a)f(b) < 0) ve yine sıfıryerini içeren alt aralık ile devam etme kriterinden vazgeçilebilir. Bu durumda verilen f fonksiyonu ve sıfıryerine yakın komşuluktaki keyfi iki a,b noktası ile başlayarak (a, f(a)), (b, f(b)) noktalarından geçen kirişin x eksenini kestiği c noktası(1.3) ile belirlenir. Daha sonra en güncel iki yaklaşım noktasıolan a,b yi a = b, b = c olarak elde edilerek, işleme f(c) > ɛ kriteri doğru olduğu sürece devam edilir. Elde edilen en son c değeri sıfıryeri için yaklaşım kabul edilir. Bu yöntem kirişle bölme yöntemi ile çoğu kez karıştırılır ve Kiriş(secant) yöntemi olarak adlandırılır. Yukarıda incelenen kirişle bölme yöntemi, ikiye bölme yöntemi ve kiriş yönteminin bir kombinasyonudur. Aşağıdaki program parçasını inceleyiniz: % c=a-(f(a)*(b-a))/(f(b)-f(a)); fprintf( a c b f(c) \n );

14 14 Sayısal Analiz(Prof. Dr. Erhan Coşkun, KTU, fprintf( %9.5f %9.5f %9.5f %9.5f\n, a, c, b, f(c)); while abs(f(c))>eps a=b; b=c; c=a-(f(a)*(b-a))/(f(b)-f(a)); fprintf( %9.5f %9.5f %9.5f %9.5f\n, a, c, b, f(c)); end % Uyarı. Kirişle bölme yöntemi ile kiriş yöntemini karıştırmayınız ve aralarındaki farkıtartışınız. Örnek 2 de sayısal analiz aşamalarını bir fonksiyonun verilen bir nokta komşuluğundaki sıfıryerini içeren aralĭgı belirleme problemi üzerinde inceleyeliyoruz Örnek 2: Verilen bir nokta komşuluğunda sıfıryerini içeren aralĭgıbelirleme problemi Verilen bir f fonksiyonunun ve yine verilen bir x 0b noktasıkomşuluğundaki sıfıryerini içeren [a, b] aralığınıbelirleyelim. 1. Problem(Sıfıryerini içeren aralık belirleme) Reel sayıların uygun bir alt kümesi üzerinde tanımlıve reel sıfıryeri olan sürekli bir f fonksiyonun verilen bir x 0b noktasıkomşuluğundaki sıfıryerini içeren [a, b] aralığınıbelirleyiniz. 2. Sayısal yöntem(sağ veya sol yönde tarama): x 0b noktasınıiçeren uygun bir [x min, x max] kümesine sıfıryeri tarama aralĭgı adı verelim. x 0 = x 0b noktasından başlayarak önce sağa doğru, h adım uzunluklu x i+1 = x i + h, i = 0, 1, 2,... ile tanımlanan noktalarında x i+1 < x max olduğu sürece f(x i )f(x i+1 ) <= 0 Bu du- eşitsizliğini sağlayan ilk (x i, x i+1 ) nokta çiftini belirleyelim. rumda a = x i, b = x i+1 dir.

15 1.3 Diğer alternatif yaklaşımlar 15 Eğer belirtilen kriterleri sağlayan nokta çifti bulunamaz ise, bu durumda x 0 = x 0b noktasından başlayarak, x i+1 > x min olduğu sürece x i+1 = x i h, i = 0, 1, 2,... ile tanımlanan noktalarda yukarıdaki eşitsizliğin sağlandığıilk (x i+1, x i ) nokta çiftini belirleyelim. Bu durumda a = x i+1, b = x i dir. Eğer sol yönde tarama işleminde de belirtilen kriteri sağlayan nokta çifti bulunamaz ise bu durumda [x min, x max] tarama aralĭgında sıfıryerini içeren alt aralık belirlenememiş olur. 3. Yönteme ait algoritma aşağıda verilmektedir: Algoritma 1.2 Sıfıryerini içeren aralık belirleme algoritması (a) Girdi : f, x 0b, R (b) Varsayılan parametreler: i. x min = x 0b R, x max = x 0b + R sıfıryeri tarama aralĭgıdır. ii. h = 0.1 ardışık noktalar arasımesafe, x 0 = x 0b ilk tahmini değer (c) Sağ yönde tarama: i. x 1 = x 0 + h ii. x 1 < x max olduğu sürece A. eğer f(x 0 )f(x 1 ) 0 ise X = [x 0, x 1 ] tanımla ve çık B. değilse x 0 = x 1, x 1 = x 0 + h olarak tanımla ve c(ii) ye git (d) Sol yönde tarama i. x 0 = x 0b, x 1 = x 0 h ii. x 1 > x min olduğu sürece A. eğer f(x 0 )f(x 1 ) 0 ise X = [x 1, x 0 ] tanımla ve çık B. değilse x 0 = x 1, x 1 = x 0 h olarak tanımla ve d(ii) ye git (e) Sıfıryeri için tahmini aralık bulunamamıştır yaz ve çık. 4. Program(Kod) Algoritma 1.2 ye ait Program 1.2 aşağıda verilmektedir.

16 16 Sayısal Analiz(Prof. Dr. Erhan Coşkun, KTU, % function X=bul(f,x0b,R) x0=x0b; % aralık uzunluk ölçüsü ve başlangıç noktası xmin=x0-r;xmax=x0+r; % aralık uç noktaları h=0.1; %tarama adım uzunluğu x1=x0+h; test=1; % döngü parametresi while test %sağ yönde arama if f(x0)*f(x1)<=0 X=[x0,x1]; return; else x0=x1; x1=x0+h;test=x1<xmax; end; end x0=x0b; x1=x0-h;test=1; while test %sol yönde arama if f(x0)*f(x1)<=0 X=[x1,x0]; return; else x0=x1;x1=x0-h;test=x1>xmin; end; end disp( sıfıryerini içeren aralık bulunamadı );X=[]; % Program 1.2: uygulaması. Verilen x0 komşuluğunda sıfıryerini içeren aralık belirleme

17 1.3 Diğer alternatif yaklaşımlar Uygulama ÖRNEK 1.2. f(x) = exp(x) x 4 fonksiyonunun x 0 = 0 noktası komşuluğundaki sıfıryerini içeren ve h = 0.1 uzunluklu [a, b] aralĭgını belirleyiniz. >> f=inline( exp(x)-x-4 ) f = Inline function: f(x) = exp(x)-x-4 >> X=bul(f,0) X= ÖRNEK 1.3. f(x) = log(x) x + 4 fonksiyonunun x 0 = 10 noktasıkomşuluğundaki sıfıryerini içeren ve h = 0.1 uzunluklu [a, b] aralĭgınıbelirleyiniz. >> f=inline( log(x)-x+4 ) f = Inline function: f(x) = log(x)-x+4 >> X=bul(f,10) X= Alternatif Arayışlar Verilen bir fonksiyonun sıfıryerini içeren aralĭgıbelirleyen bu yöntem ile yukarıda verilen ikiye bölme yöntemini birlikte kullanarak, fonksiyonun verilen bir nokta komşuluğundaki sıfıryerini yaklaşık olarak belirleyebiliriz.

18 18 Sayısal Analiz(Prof. Dr. Erhan Coşkun, KTU, Örnek 3: Bir nokta komşuluğunda sıfıryeri belirleme problemi Örnek 1 de geliştirilen yöntem ile Örnek 2 deki yöntemi birleştirerek hibrid olarak adlandırılan bir karma yöntem geliştirebiliriz. 1. Problem: Verilen bir f fonksiyonunun yine verilen bir x 0 noktası komşuluğundaki sıfıryerini belirleyiniz. 2. Yöntem(karma yöntem): Öncelikle verilen bir f fonksiyonunun yine verilen bir x 0 noktasıkomşuluğundaki sıfıryerini içeren [a, b] aralığını Örnek 2 de geliştirdiğimiz yöntem ile belirledikten sonra, elde edilen aralığı ikiye bölme yöntemine göndererek fonsiyonunu sıfıryerini belirleyebiliriz. 3. Algoritma Yönteme ait algoritma aşağıda verilmektedir. Algoritma 1.3 Verilen x0 noktasıkomşuluğunda sıfıryeri belirleme algoritması. (a) Girdi f,x0 (b) f nin sıfıryerini içeren [a,b] aralĭgınıörnek 2 deki yöntem ile belirle (c) i. eğer f(a)=0 ise c=a, ii. değil ve eğer f(b)=0 ise c=b dir, iii. değilse Örnek 1 deki yöntem ile c=ikibol(f,a,b) ile c yi bul (d) Çıktı: c 4. Program Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. 5. Test ÖRNEK 1.4. f(x) = log(x) x + 4 fonksiyonunun x 0 = 4 noktası komşuluğundaki sıfıryerini belirleyiniz. >> f=inline( log(x)-x+4 ) f =

19 1.3 Diğer alternatif yaklaşımlar 19 % function c=fsifir(f,x0); X=bul(f,x0);a=X(1);b=X(2); if f(a)==0 c=a; elseif f(b)==0 c=b; else c=ikibol(f,a,b); end % Program 1.3: Girilen nokta komşuluğundaki sıfıryerini belirleme uygulaması. Inline function: f(x) = log(x)-x+4 >> fsifir(f,4) ans = Aynı işlem MATLAB/OCTAVE fzero fonksiyonu yardımıyla da gerçekleştirilebilir: >> fzero(f,4) ans = ÖRNEK 1.5. f(x) = xsin(1/x) fonksiyonunun x 0 = 4 noktasıkomşuluğundaki sıfıryerini belirleyiniz. >> f=inline( x*sin(1/x) )

20 20 Sayısal Analiz(Prof. Dr. Erhan Coşkun, KTU, f = Inline function: f(x) = x*sin(1/x) >> fsifir(f,4) ans = elde ederiz. Benzer yazılımlarla karşılaştırma: MATLAB/Octave fzero fonksiyonunun yukarıda tanımlanan f fonksiyonunun sıfıryerini x 0 = 4 başlangıç noktasıyla belirleyememektedir: >> fzero(f,4) Exiting fzero: aborting search for an interval containing a sign change because NaN or Inf function value encountered during search. (Function value at -Inf is NaN.) Check function or try again with a different starting value. ans =NaN Ancak başlangıç noktası fonksiyonun sıfıryerine daha yakın seçilerek, fzero yardımıyla da sıfıryeri belirlenebilmektedir: >>fzero(f,1) ans =

21 1.3 Diğer alternatif yaklaşımlar Alternatif arayışlar Verilen bir reel x 0 noktasıkomşuluğunda reel sıfıryerini bulan yöntem, karmaşık sıfıryerini bulmak için geliştirilebilir. Bu konu Bölüm 4 te teferruatlıolarak incelenmektedir. Alıştırmalar [ a11 a A = 12 a 21 a 22 ] [ b1, b = b 2 ] [ x, X = y biçimindeki küçük boyutlu bir problem için AX = b denklem sisteminin sayısal analizini aşağıdaki adımlarıuygulayarak gerçekleştiriniz: (a) det(a) 0 ise Cramer yöntemini sayısal yöntem olarak deneyiniz. det(a) = 0 ise yöntemin uygulanamayacağımesajınıkullanıcıya iletiniz. (b) Yönteme ait algoritmanızı adım adım ve açık bir biçimde yazınız. Algoritma kullanıcıdan A 2 2 matrisi ve b 2 1 vektörünü alarak X 2 1 çözümünü sunmalıdır. (c) Algoritmaya ait programınızıoctave yazılım diline uygun olarak geliştiriniz. (d) Programınız farklıa matrisleri ve b sağ yan vektörleri için test yapınız. ax 2 + bx + c = 0 denkleminin köklerini belirleme probleminin sayısal analizini aşağıdaki adımlarıuygulayarak gerçekleştiriniz. (a) a 0 için bilinen kuadratik polinom kök formüllerini sayısal yöntem olarak deneyiniz. (b) Yönteme ait algoritmanızıadım adım ve açık bir biçimde yazınız. Algoritma kullanıcıdan a, b, c katsayılarını alarak, reel veya kompleks kökleri belirlemelidir. (c) Algoritmaya ait programınızıoctave yazılım dilinde geliştiriniz. (d) Programınızıfarklıa, b, c katsayılarıiçin test yapınız. (e) a = 0 olmasıdurumundaki kökü ayrıca hesaplatmayıunutmayınız. ]

22 22 Sayısal Analiz(Prof. Dr. Erhan Coşkun, KTU, 3. Soru 2 deki analiziniz yardımıyla A 2 2 matrisinin özdeğerlerini belirleme probleminin sayısal analizini gerçekleştiriniz. 4. x 2 + y 2 = r 2 ax 2 + y = 0 çember ve parabolünün arakesit noktalarını belirleme probleminin sayısal analizini gerçekleştiriniz. Verilen r yarıçapıve a 0 katsayısıiçin her iki arakesit noktasıbelirlenmelidir. 5. İkiye bölme yöntemine ait Program 1.1 i aşağıda verilen fonksiyonlar ve [a, b] aralıkları için çalıştırarak sıfıryerlerini belirleyiniz. Epsilon sabitini eps = 1e 10 olarak alınız. (a) f(x) = x 2 5x, a = 2, b = 3 (b) f(x) = x 3 x 1, a = 2, b = 3 (c) f(x) = ln(x + 1) 1 4 x2, a = 1, b = 4 (d) f(x) = 5e x coshx, a = 0, b = 4 6. Soru 5 i kirişle bölme(regula falsi) yöntemi için tekrarlayınız. 7. Soru 5 i kiriş(secant) yöntemi için tekrarlayınız. 8. Kullanıcıdan f fonksiyonu, a,b değerleri ve eps toleransıile birlikte yontem isimli bir değişken değerini de alarak yontem = 1 olmasıdurumunda ikiye bölme yöntemini, yontem = 2 olmasıdurumunda kirişle bölme yöntemini ve diğer durumlarda ise kiriş yöntemini çağırarak sıfıryerini belirleyen bir uygulama geliştiriniz. 9. Soru 5 te verilen fonksiyonlarıve yine verilen a değerlerini x 0 = a alarak Program 1.2 yardımıyla verilen fonksiyonların sıfıryerlerini içeren aralıkları hesaplayınız. 10. İkiye bölme yöntemini, her adımda eldilen aralık içersindeki rasgele üretilen bir noktayı(örneğin MATLAB/Octave ortamında rand fonksiyonu ile ) c noktasıolarak kabul edecek biçimde modifiye ediniz. Elde ettiğiniz yöntemi ikiye bölme yöntemiyle karşılaştırınız. Ne gözlemliyorsunuz?

23 1.3 Diğer alternatif yaklaşımlar Program 1.3 ile tanımlanan f sif ir programı ve MATLAB/Octave a ait f zero programlarıyardımıyla Soru 5 te verilen fonksiyonların sıfıryerlerini yine aynısoru da verilen a değerlerini başlangıç noktasıalarak hesaplayınız. 12. MATLAB/Octave ortamında roots komutu, katsayılarıverilen polinomun sıfır yerlerini bulur. Buna göre Soru 5(a),(b) deki polinomların katsayılarını girerek köklerini elde ediniz. Elde ettiğiniz sonuçlar yukarıdaki formül ile elde edilen sonuçlarla aynıolmalıdır. Örneğin >> roots([a b c]) komutu ile polinomunun kökleri hesaplanır. p(x) =ax 2 + bx + c 13. Bilgisayarınızın bellek kullanım kapasitesini test yapınız: MATLAB/Octave ortamında A = rand(n) komutu ile n = 1000 için rasgele bir A n n matrisini üreterek, matrisin tersi, determinantıve rankını bulmaya çalışınız. n = 2000, 4000, için aynıişlemleri yapmaya çalışarak tersini hesaplayabileceğiniz en büyük boyutlu matrisi bulmaya çalışınız. 14. Rasgele üreteceğiniz A matrisi ve b vektörü için MATLAB/Octave ortamında X = A\b komutuyla çözebileceğiniz en büyük boyutlu AX = b denklem sisteminin boyutunu belirlemeye çalışınız. 15. Bilgisayarınızın CPU hızınıtest yapınız: toplamını S N = N 1/k k=1 N = 1000, 10000, , değerleri için hesaplayarak her bir işlem için kullanılan CPU zamanınıbelirlemeye çalışınız. Artan N değerleri için CPU zamanınasıl değişmektedir. N değerlerine karşı, toplama işlemi için gerekli CPU zamanlarının grafiğini çizdiriniz. Bunun için MATLAB/Octave ortamında cputime komutunu uygulayan aşağıdaki programıkullanabilirsiniz:

24 24 Sayısal Analiz(Prof. Dr. Erhan Coşkun, KTU, function sonuc=topla(n) topla=0; zaman=cputime; for i=1:n topla=topla+1/i; end zaman=cputime-zaman; disp([ zaman=,num2str(zaman)]);

Sayısal Analiz. Prof. Dr. Erhan Coşkun. Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Ekim, 2018

Sayısal Analiz. Prof. Dr. Erhan Coşkun. Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Ekim, 2018 Sayısal Analiz Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü E-posta:erhan@ktu.edu.tr Ekim, 2018 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Ekim, 2018 1 / 40 Matematiksel Analiz Analitik

Detaylı

Sayısal Analiz Süreci

Sayısal Analiz Süreci Bölüm 1 Sayısal Analiz Süreci Bu bölümde matematiksel analiz yöntemleri olarak bilinen analitik, sayısal, kalitatif ve sembolik analiz yöntemlerini kısaca tanıtarak, sayısal analiz yönteminin bütün aşamalarınıüç

Detaylı

Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata

Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi Matematik Bölümü Kasım, 2018 e 5 Kasım, 2018 1 / 48 Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER

Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin

Detaylı

Yüksek basamaktan tek adım Sonlu Fark Yöntemleri

Yüksek basamaktan tek adım Sonlu Fark Yöntemleri Bölüm Yüksek basamaktan tek adım Sonlu Fark Yöntemleri Bu bölümde, birinci basamaktan başlangıç değer problemleri için Tek adım (Yamuk, Düzeltilmiş Euler(Heun), Runge-Kutta yöntemlerinin nasıl elde edildikleri,

Detaylı

Mesleki Terminoloji. Sayısal Analiz DERSİ VEREN: ARŞ. GRV. DR. GÖKSEL BİRİCİK MEHMET EMRE ÖNDER DOĞAÇ CEM İŞOĞLU

Mesleki Terminoloji. Sayısal Analiz DERSİ VEREN: ARŞ. GRV. DR. GÖKSEL BİRİCİK MEHMET EMRE ÖNDER DOĞAÇ CEM İŞOĞLU Mesleki Terminoloji DERSİ VEREN: ARŞ. GRV. DR. GÖKSEL BİRİCİK Sayısal Analiz MEHMET EMRE ÖNDER - 12011061 DOĞAÇ CEM İŞOĞLU - 11011074 Sayısal Analiz Nedir? Sayısal analiz, yada diğer adıyla numerik analiz,

Detaylı

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3 Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata

Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata Bölüm 5 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata Bu bölümde önelikle verilen bir ayrık veri kümesi için standart ve ağırlıklıen küçük kareler yöntemi ile en uygun yaklaşım polinomunun nasıl belirleneeğini

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

1. Hafta Uygulama Soruları

1. Hafta Uygulama Soruları . Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin

Detaylı

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim : (264) Sayısal Analiz. Giriş.

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim :  (264) Sayısal Analiz. Giriş. Okut. Yüksel YURTAY İletişim : Sayısal Analiz yyurtay@sakarya.edu.tr www.cs.sakarya.edu.tr/yyurtay (264) 295 58 99 Giriş 1 Amaç : Mühendislik problemlerinin bilgisayar ortamında çözümünü mümkün kılacak

Detaylı

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz. ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI .. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME 1 SAYISAL ÇÖZÜMLEME 4. Hafta DENKLEM ÇÖZÜMLERİ 2 İÇİNDEKİLER Denklem Çözümleri Doğrusal Olmayan Denklem Çözümleri Grafik Yöntemleri Kapalı Yöntemler İkiye Bölme (Bisection) Yöntemi Adım

Detaylı

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır. 1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31 SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

Prof. Dr. Mahmut Koçak.

Prof. Dr. Mahmut Koçak. i Prof. Dr. Mahmut Koçak http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/ ii Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Kitabın yazarına aittir. Bütün hakları saklıdır. Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri yazarın yazılı izni

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 4- LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Matematikte veya hidrolik, dinamik, mekanik, elektrik

Detaylı

Bilgisayar Programlamaya Giriş I KAREKÖK BULMA Acaba hesap makinesi bir sayının karekökünü nasıl buluyor? başlangıç değeri olmak üzere,

Bilgisayar Programlamaya Giriş I KAREKÖK BULMA Acaba hesap makinesi bir sayının karekökünü nasıl buluyor? başlangıç değeri olmak üzere, KAREKÖK BULMA Acaba hesap makinesi bir sayının karekökünü nasıl buluyor? başlangıç değeri olmak üzere, dizisi değerine yakınsar. Yani; olur. Burada birinci sorun başlangıç değerinin belirlenmesidir. İkinci

Detaylı

1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ

1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ SAYISAL ANALİZ 1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ 1 AMAÇ Mühendislik problemlerinin çözümünde kullanılan sayısal analiz yöntemlerinin algoritmik olarak çözümü ve bu çözümlemelerin MATLAB ile bilgisayar ortamında

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz. Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel

Detaylı

11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 İNTERPOLASYON Deney sonuçları veya benzer çalışmalar için

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

ALTIN ORAN ARAMA (GOLDEN SECTION SEARCH) METODU

ALTIN ORAN ARAMA (GOLDEN SECTION SEARCH) METODU ALTIN ORAN ARAMA (GOLDEN SECTION SEARCH) METODU Tek değişkenli bir f(x) fonksiyonunu ele alalım. [Bazı x ler için f (x) bulunamayabilir.] Aşağıdaki DOP modelini çözmek istediğimizi var sayalım. Max f(x)

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

Altın Oran Arama Metodu(Golden Search)

Altın Oran Arama Metodu(Golden Search) Altın Oran Arama Metodu(Golden Search) Bir f(x) (tek değişkenli) fonksiyonunu ele alalım. [Bazı x ler için f (x) bulunamayabilir.] Aşağıdaki DOP modelini çözmek istediğimizi var sayalım. Max f(x) a x b

Detaylı

BAZI ÖZEL TİP İRRASYONEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜM TEKNİKLERİ

BAZI ÖZEL TİP İRRASYONEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜM TEKNİKLERİ BAZI ÖZEL TİP İRRASYONEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜM TEKNİKLERİ www.sbelian.wordpress.com Gerek lise müfredatında gerekse Tübitak İlköğretim ve Lise sınavlarında, sıkça karşılaşılan soru tiplerinde biri de irrasyonel

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd. Doç. Dr. Adnan SONDAŞ Sayısal Çözümleme

SAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd. Doç. Dr. Adnan SONDAŞ Sayısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd. Doç. Dr. Adnan SONDAŞ asondas@kocaeli.edu.tr 0262-303 22 58 1 SAYISAL ÇÖZÜMLEME 1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ 2 AMAÇ Mühendislik problemlerinin çözüm aşamasında kullanılan sayısal

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L

T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L 1 Denklemler 1.1 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz.

Detaylı

LYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal

Detaylı

Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi Bilgisayar Programlama Dersi Ödevi Soru

Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi Bilgisayar Programlama Dersi Ödevi Soru Adı: Soyadı: Numara: Bölümü: Erzurum Teknik Üniversitesi Mühislik Mimarlık Fakültesi Bilgisayar Programlama Dersi Ödevi 15.11.2015 Soru 1 2 3 4...... Toplam Puanlar Soru-1: Yandaki kısımda verilen terimlerin

Detaylı

Nazım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları ax 1 + bx 2 = α cx 1 + dx 2 =

Nazım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları ax 1 + bx 2 = α cx 1 + dx 2 = Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0.6. DOĞRUSL DENKLEM SİSTEMLERİ ax + bx = α cx + dx = gibi bir doğrusal denklem sistemini, x ve y bilinmeyenler olmak üere, çömeyi hepimi biliyoru. ma probleme

Detaylı

KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu

KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.

Detaylı

Algoritma ve Akış Diyagramları

Algoritma ve Akış Diyagramları Algoritma ve Akış Diyagramları Bir problemin çözümüne ulaşabilmek için izlenecek ardışık mantık ve işlem dizisine ALGORİTMA, algoritmanın çizimsel gösterimine ise AKIŞ DİYAGRAMI adı verilir 1 Akış diyagramları

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU 08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 7 6 6.. Yönlü

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

ÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ

ÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ Giriş ÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ Sayısal Analiz Nedir? Mühendislikte ve bilimde, herhangi bir süreci tanımlayan karmaşık denklemlerin

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER

Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Doğrusal Ara Değer Hesabı Lagrance Polinom İnterpolasyonu

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

BM202 SAYISAL ÇÖZÜMLEME

BM202 SAYISAL ÇÖZÜMLEME BM202 SAYISAL ÇÖZÜMLEME DOÇ.DR. CİHAN KARAKUZU DERS-2 1 Ders2-Sayısal Hesaplamalarda Gerek Duyulabilecek Matlab İşlemleri MATLAB, çok paradigmalı (bir şeyin nasıl üretileceği konusunda örnek, model) sayısal

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 4- LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ SORULAR ÇÖZÜMLER & MATLAB PROGRAMLAMA Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ Arş. Gör. Emre DEMİRCİ 1 4.1: Aşağıdaki verilen fonksiyonun belirten aralıklarda

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Doç. Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ

SAYISAL ANALİZ. Doç. Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ SAYISAL ANALİZ Doç. Dr. Cüneyt BAYILMIŞ 1 SAYISAL ANALİZ 1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ 2 AMAÇ Mühendislik problemlerinin çözümünde kullanılan sayısal analiz yöntemlerinin algoritmik olarak çözümü ve bu

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU 08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 8 6 6.. Yönlü Açılar

Detaylı

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 0-0 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 0.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI EYLÜL EKİM. Gerçek katsayılı ve tek değişkenli polinomu kavram olarak örneklerle açıklar, polinomun derecesini,

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

ÖDEV (Vize Dönemi) CEVAPLAR. 1. Ekrana Merhaba Dünya! yazdıran algoritmanın akış diyagramını çiziniz ve sözde kod olarak yazınız.

ÖDEV (Vize Dönemi) CEVAPLAR. 1. Ekrana Merhaba Dünya! yazdıran algoritmanın akış diyagramını çiziniz ve sözde kod olarak yazınız. ÖDEV (Vize Dönemi) CEVAPLAR 1. Ekrana Merhaba Dünya! yazdıran algoritmanın akış diyagramını çiziniz ve sözde kod olarak yazınız. PROGRAM Soru1 PRINT Merhaba Dünya! ; 2. Klavyeden girilen negatif bir sayıyı

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

mustafacosar@hitit.edu.tr http://web.hitit.edu.tr/mustafacosar

mustafacosar@hitit.edu.tr http://web.hitit.edu.tr/mustafacosar Algoritma ve Programlamaya Giriş mustafacosar@hitit.edu.tr http://web.hitit.edu.tr/mustafacosar İçerik Algoritma Akış Diyagramları Programlamada İşlemler o o o Matematiksel Karşılaştırma Mantıksal Programlama

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini

Detaylı

TÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun.

TÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. Maksimum ve Minimum Değerler Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. TÜREVİN UYGULAMALARI D içindeki her x elemanı için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak maksimumumu vardır.

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER

Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Ders Adı : Bilgisayar Mühendisliğinde Matematik Uygulamaları

Detaylı

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ. Kısıtsız Optimizasyon

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ. Kısıtsız Optimizasyon OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ Kısıtsız Optimizasyon Giriş Klasik optimizasyon yöntemleri minimum veya maksimum değerlerini bulmak için türev gerektiren ve gerektirmeyen teknikler olarak bilinirler. Bu yöntemler

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA DERSİ

BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA DERSİ BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA DERSİ 4. DERS NOTU Konu: M-dosya yapısı ve Kontrol Yapıları Hazırlayan: Yrd. Doç. Dr. Ahmet DUMLU 1 M-Dosya Yapısı Bir senaryo dosyası (script file) özel bir görevi yerine getirmek

Detaylı

Kübik Spline lar/cubic Splines

Kübik Spline lar/cubic Splines Kübik spline lar önceki metodların aksine bütün data noktalarına tek bir fonksiyon/eğri uydurmaz. Bunun yerine her çift nokta için ayrı ayrı üçüncü dereceden polinomlar uydurur. x i noktasından geçen soldaki

Detaylı